Aplicaciones: (Ecuación Lineal.) Docente: Francisco Arias Dominguez
Circuitos eléctricos simples. Consideremos un circuito eléctrico simple que consta de algunos de los cuatro elementos siguientes en serie: una fuente de fuerza electromotriz (batería o generador), una resistencia, un condensador y un inductor. La fuente de fuerza electromotriz o voltaje E, impulsa a las cargas eléctricas y produce una corriente i. La resistencia R, se opone al paso de la corriente produciendo una caída de la fuerza electromotriz igual a ER = iR (ley de Ohm). El inductor, de inductancia L, se opone a cualquier cambio en la corriente produciendo una caída di . de la fuerza electromotriz igual a EL = L dt El condensador (de capacitancia C) almacena una carga q. La carga almacenada se opone a la entrada de nueva carga y produce una caída de la fuerza electromotriz igual a EC = Cq .
Se acostumbra indicar los diferentes elementos de un circuito como se ilustra en la siguiente tabla
Si aplicamos la segunda ley de Kircho¤. "La suma algebraica de todas las caídas de la fuerza electromotriz en cualquier camino cerrado de un circuito electrico es igual a cero" con los cuatro elementos anteriores, se sigue que E = EC + ER + EL . Luego, se veri…ca E= Ahora hay que tener en cuenta que i =
dq , dt
q di + iR + L : C dt
por lo que la ecuación anterior adopta la forma
q dq d2 q E = +R +L 2: C dt dt Se trata de una ecuación diferencial de segundo orden. 1
CASOS PARTICULARES: a) Circuito RL en serie:(Resistencia, Inductancia, no hay condensador)
di : dt b) Circuito RC en serie: (Resistencia, Capacitancia, no hay inductor) E(t) = iR + L
E(t) =
dq q +R : C dt
EJERCICIOS. 1: Un generador con una fem de 50 V se conecta en serie con una resistencia de 6 y un inductor de 2 henrys. Si el interruptor K se cierra en t = 0, determine la corriente para todo t. (Rta: i(t) = 25 (1 e 3t )) 3 2: Determine i(t) para el circuito eléctrico del problema anterior si el generador de 50 V se remplaza 5 (3 sin(7t) 7 cos(7t)) + 35 e 3t ) por otro con una fem de E(t) = 10 sin(7t). (Rta: i(t) = 58 58 3: Una bateria cuya fem está dada por E(t) = 200e 5t se conecta en serie con una resistencia de 20 y uncondensador de 0; 01 F . Suponiendo que q(0) = 0 encuentre la carga y la corriente en cualquier tiempo. Muestre que la carga alcanza un máximo, calcule su valor y halle el valor de t para el cual se alcanza. (Rta: q(t) = 10te 5t , i(t) = 10(1 5t)e 5t , qmax = 0; 74 coulombs) 4: Una resistencia de R varía con el tiempo t (en segundos) de acuerdo a R = 1 + 0; 01t. Se conecta en serie con un condensador de 0; 1 F y un generador con una fem de 100 V . La carga inicial en el condensador es de 5 coulombs. Encuentre a) La carga y la corriente como una función del tiempo. b) La carga máxima teórica. (Rta: (a) q(t) = 10 5(1 + 0; 01t) 1000 , i(t) = 50(1 + 0; 01t) 1001 , (b) qmax = 10 coulombs) 5: A un circuito en serie, en el cual la inductancia es de 0; 1 H y la resistencia es de 50 , se le aplica una tensión de 30 V . Determine la corriente i(t) si i(0) = 0. ¿Cuál será el valor de la corriente después de un tiempo largo?. 6: A un circuito en serie, en el cual la resistencia es de 200 y la capacitancia es de 10 4 F , se le aplica una fuerza electromotriz de 100 V . Si q(0) = 0, calcule la carga q(t) en el capacitor y obtenga la 1 1 corriente i(t). (Rta: q(t) = 100 e 50t , i(t) = 12 e 50t ) 100 7: Un inductor de L henrys varía con el tiempo t (en segundos) de acuerdo a L = 0; 05 + 0; 001t. Se conecta en serie con un generador cuya fem es de 40 V y una resistencia de 10 . Si la corriente i es cero inicialmente, encuentre 2
a) La corriente para todo t > 0. b) ¿Cuál es la corriente máxima teórica. 8: Una resistencia de 20 y un inductor de 5 H se conectan en serie en un circuito eléctrico en el cual hay un ‡ujo de corriente de 20 A al tiempo t = 0. Encuentre la corriente para t 0 si la fem es cero para t > 0: 9: Una batería de 12 volts se conecta a un circuito en serie cuya inductancia de 12 henrys y una resistencia de 10 ohms. Determinar la corriente i, si la corriente inicial es cero. 10: Un condensador de 5 10 3 F está en serie con una resistencia de 25 y una fem de 50 cos(6t) V , t 0. El interruptor se cierra en t = 0. Si la carga inicial en el condensador es cero, determine la carga y la corriente en cualquier tiempo. 11: Una resistencia de 20 se conecta en serie con un condensador de 0; 01 F y una fem en volts dada por 40e 3t + 20e 6t . Si q(0) = 0, muestre que la carga máxima en el condensador es de 0; 25 coulombs. 12: Un circuito consiste de una resistencia constante de R ohms en serie con una fem constante de E volts y una inductancia constante de L henrys. Si la corriente inicial es cero, muestre que la corriente crece a la mitad de su valor teórico máximo en L Rln 2 s. 13: Resuelva el circuito RL en serie suponiendo que E(t) = E0 sin(!t) e i(0) = i0 . 14: Una fuerza electromotriz 8 < 120; si 0 t 20 E(t) = : 0; si t > 20 se aplica a un circuito LR en serie que tiene inductancia de 20 henrys y resistencia de 2 ohms. Encuentre la corriente i(t) si i(0) = 0. Respuesta: 8 si 0 t 20 < 60 60e t=10 ; i(t) = : : 2 t=10 60(e 1)e ; si t > 20
15: Suponga que un circuito RC en serie tiene un resistor variable. Si en el tiempo t la resistencia está dada por R = k1 + k2 t, donde k1 y k2 son constantes positivas, y además si V (t) = V0 y q(0) = q0 . Determine: (a) el modelo (P:V:I:) que describe esta situación. (b) Demuestre que la solución del (P:V:I) es 1=Ck2 k1 : q(t) = V0 C + (q0 V0 C) k1 + k2 t
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