series en matlab 1.docx

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERÍA E. A. P. DE INGENIERÍA CIVIL

I.

INTRODUCCION

La idea básica de las series de Fourier es que toda función o señal periódica de periodo L puede ser expresada como una suma trigonométrica de senos y cosenos del mismo periodo. Descubierta a finales del siglo XVIII por Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 - 1830) para tratar la solución de problemas en la conducción del calor, hoy día sus aplicaciones son amplias en telecomunicaciones, audio, video, imagen (médica, satelital), geofísica, entre otras. La noción de señal es bastante amplia y aparece en diferentes situaciones en las cuales ciertas cantidades varían en el tiempo o el espacio de una magnitud física o de otra naturaleza. Por tanto está ligada al concepto de función. El análisis armónico también conocido como el Análisis de Fourier juega un papel muy importante en la Ingeniería, en los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de espectros de frecuencia. En este documento se presentan algunos ejemplos y ejercicios de la realización manual y en el software MATLAB, el cual es un programa de cálculo científico de gran versatilidad y facilidad de uso con un gran número de herramientas orientadas a una amplia diversidad de aplicaciones entre ellas la modelación y representación gráfica de las series de Fourier. MATLAB es un entorno de computación y desarrollo de aplicaciones totalmente integrado orientado para llevar a cabo proyectos en donde se encuentren implicados elevados cálculos matemáticos y la visualización gráfica de los mismos. De forma coherente y sin ningún tipo de fisuras, integra los requisitos claves de un sistema de computación técnico: cálculo numérico, gráficos, herramientas para aplicaciones específicas y capacidad de ejecución en múltiples plataformas. Esta familia de productos proporciona al estudiante un medio de carácter único, para resolver los problemas más complejos y difíciles.

Análisis matemático pág. 1

III


II.

OBJETRIVOS 2.1. OBJETIVO GENERAL

 Desarrollar funciones con series de Fourier de forma analítica y en el software Matlab. 2.2. OBJETIVOS ESPECIFICOS

 Representar funciones en términos de series de Fourier.  Establecer las herramientas fundamentales para el manejo de las series de Fourier de una función periódica con Matlab.  Determinar la solución de graficas de series de Fourier mediante el uso de software (MATLAB).

III.

MARCO TEORICO

3.1. SERIE DE FOURIER

El análisis de Fourier surgió a partir del intento del matemático francés por hallar la solución a un problema práctico, la conducción del calor en un anillo de hierro. Demostró que se puede obtener una función discontinua a partir de la suma de funciones continuas. Esta tesis fue defendida por Fourier ante la Academia Francesa, lo que motivó severas objeciones de los matemáticos más importantes de su época como LaGrange, Laplace, etc. Una serie de Fourier es una ampliación de una función periódica en términos de una suma infinita de senos y cosenos. Estas series hacen uso de las relaciones de ortogonalidad de las funciones seno y coseno. El cálculo y estudio de series de Fourier es extremadamente útil como una manera de romper una función arbitraria periódica a un conjunto de términos simples que pueden ser conectados, resuelto individualmente, y


III


luego recombinados para obtener la solución al problema original o una aproximación a ella, la precisión que se desea o la más útil. Sea f (x) una función periódica de periodo 2π, llamaremos SERIE DE FOURIER asociada a f (x) a una serie trigonométrica. La serie puede desarrollarse para igualar cualquier función deseada durante cualquier duración finita de tiempo mientras la componente fundamental de la serie pasa por un ciclo completo.

El método de encontrar los coeficientes, llamado análisis de Fourier, se basa en que las funciones seno y coseno constituyen un sistema ortogonal, esto es el promedio de sus productos en cruz es cero. Y con esto resulta: Por lo cual la tesis del teorema de Fourier definida en el intervalo (-π-π) puede escribirse como: ∞

F ( x )=

a0 + ∑ [ancos ( nx ) +bnsen (nx )] 2 n=1

3.2. LOS COEFICIENTES DE FOURIER: π

a 0=

1 ∫ f ( x ) dx π −π

an=

1 ∫ f ( x ) cos ⁡(nx )dx π −π

bn=

1 ∫ f ( x ) sen (nx )dx π −π

π

π

3.3. CASOS PARTICULARES PARA LA DETERMINACION DE LA SERIE DE FOURIER

Podemos demostrar que hay condiciones de simetría que permiten establecer la existencia o no de determinados términos en la serie, lo que nos ahorra trabajo en el cálculo. Función impar


III


F (x) = -f(-x) sólo tienen términos en senos, haciendo uso del hecho que f(x) = -f(-x) = -f(x'): Entonces tenemos: π

1 a 0= ∫ f ( x ) dx=0 π −π

π

1 an= ∫ f ( x ) cos ⁡(nx )dx=0 π −π

π

2 f ( x ) sen ( nx ) dx=¿ ∫ f ( x ) sen(nx ) dx π 0 π

bn=

1 ∫¿ π −π

Por lo tanto la expansión en serie de Fourier, de una función periódica impar de periodo 2π consiste en términos de senos solamente, y está dada por: ∞

F ( x )=∑ [bnsen(nx )] n=1

Donde:

π

f ( x ) sen ( nx ) dx=¿

2 ∫ f ( x ) sen(nx ) dx ; ∀ n=1,2,3, … π 0 π

1 bn= ∫ ¿ π −π

Función par F (x) = f (-x) sólo tienen términos en cosenos y la constante.


III

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERÍA E. A. P. DE INGENIERÍA CIVIL π

2 f ( x ) dx=¿ ∫ f ( x ) dx π 0 π

a 0=

1 ∫¿ π −π

π

an=

π

1 ∫ f ( x ) cos ⁡(nx )dx= 2π ∫ f ( x ) cos ⁡(nx )dx π −π 0

f ( x ) sen ( nx ) dx=¿ 0 π 1 bn= ∫ ¿ π −π Por lo tanto la expansión en serie de Fourier de una función periódica par, e periodo 2π, consiste de términos de cosenos solamente y está dado por: ∞

F ( x )=

a0 + ∑ [ancos ( nx ) ] 2 n=1

Donde: π

π

1 2 an= ∫ f ( x ) cos ⁡(nx )dx= ∫ f ( x ) cos ⁡( nx )dx ; ∀ n=0,1,2,3, … π −π π 0

Estas fórmulas permiten simplificar los cálculos de los coeficientes de Fourier, cuando la función dada es par e impar.

3.4. COMANDOS UTILIZADOS EN MATLAB

 Plot: Crea una gráfica x-y. Este comando ploteará los elementos del vector x en el eje horizontal de una figura, y los elementos del vector y en el eje vertical de la figura. Por defecto, cada vez que se use el comando plot, se borrará la figura que estaba, quedando solo la nueva.  Los (:) Se usan para generar matrices, indica todas las filas o todas las columnas de ésta; en una función con los dos puntos se colocan el primer y último valor que esta tomara y el incremento por defecto


III


será 1, pero si se desea usar un incremento diferente se coloca entre estos dos números en este caso, el incremento será de 0.01.  El ( ; )separa filas en una definición de matriz, suprime salida cuando se usa en comandos, cabe recordar que la matriz es el tipo de datos principal que se usa en Matlab y puede retener información numérica así como otros tipos de información.  Hold: congela la gráfica actual, de modo que se puede recubrir una gráfica adicional, la creación de una gráfica con más de una línea se puede lograr en muchas formas.  Plot: (comando que crea una gráfica x-y).  Hold on: apila las gráficas unas encima de otras. Matlab continuara poniendo en capa las gráficas hasta que se ejecute el comando hold off.  Grid: agrega una retícula o rejilla solo a la gráfica actual.  Grid on agrega una retícula o rejilla a la gráfica actual y a todas las subsecuentes en la figura actual.  Syms: Crea variables simbólicas, note en la ventana del área de trabajo que X y Y se mencionan como variables simbólicas y que el tamaño del arreglo para cada una es 1 x 1. Cada argumento de entrada debe comenzar con una letra y puede contener sólo caracteres alfanuméricos. Para la compatibilidad con versiones anteriores del software. El comando syms es particularmente conveniente porque se puede usar para crear múltiples variables simbólicas al mismo tiempo, como con el comando. En las funciones y scripts, no utilice el comando syms para crear variables simbólicos con los mismos nombres que las funciones de MATLAB. En Matlab primero se realizan los cálculos adentro de paréntesis, desde el conjunto más interno hasta el más externo. En algunos casos la lectura de la salida que proporciona MATLAB no es muy legible.  Pretty: genera en ocasiones una visualización más usual, es decir, visualiza una expresión simbólica de forma parecida a como esta suele escribirse realmente (forma algebraica).


III


 Subs: Es otra forma ligeramente distinta para sustituir más de una variable simbólica por uno o varios valores numéricos. Las variables var1, var2,…, varN son variables simbólicas de la expresión S que se pretenden sustituir por números, estas deben teclearse entre llaves. Los números numero1, numero2,…, numero N son los que se sustituirán en las variables simbólicas comentadas anteriormente, los números pueden ser escalares, vectores o matrices. Los bucles se usan cuando se necesita repetir un conjunto de instrucciones muchas veces, Matlab soporta dos tipos de bucles uno de ellos es:  For, este es la opción más sencilla cuando se sabe cuántas veces se repetirá el bucle, la primera línea de su estructura identifica el bucle y define el índice en este caso n, que es un número que cambia en cada paso a través del bucle. Después viene el grupo de comandos que se quiere ejecutar. Finalmente la terminación del bucle se identifica mediante el comando end.  Sin: Seno de argumento en radianes. Y = sin (X) devuelve el seno circular de los elementos de X. La función pecado elemento operasabio en las matrices. Dominios dela función y rangos incluyen valores complejos. Todos los ángulos están en radianes.  Title: agrega un título a la gráfica. El apostrofe (') al principio de los comandos anteriores le advierte que comienza una cadena o lista de caracteres string (solo letras). El color del texto cambia a púrpura cuando escribe el apóstrofe final ('), lo que indica que completó la cadena.  Ezplot: representa gráficamente una expresión simbólica, dibuja curvas como plot en cartesianas y paramétricas de una manera más sencilla ya que genera automáticamente los valores de la variable independiente. También se utiliza para dibujar curvas en implícitas. Sea S una función simbólica que contiene una variable var, ezplot creara un gráfico de S (bar) frente a var.

IV.

CONCLUCIONES


III


El estudio efectuado pone de manifiesto, que las series de Fourier son de mucha importancia en la Ingeniería, gracias a ellas se logra identificar la frecuencia, amplitud y fase de cada una de las modulaciones de tipo seno y coseno generadas por una función infinita. Además de lograr identificar la forma adecuada de realizar una serie de Fourier en Matlab, desarrollando su respectivo gráfico. Los resultados obtenidos en este trabajo evidencian que este tipo de análisis de las series de Fourier proporcionan información complementaria a la suministrada por parámetros de forma convencionales.

V.

BIBLIOGRAFIA

 Series de Fourier, Transformadas de Fourier y aplicaciones. G. González. Consultado 30 de noviembre de 2012, enhttp://www.emis.de/journals/DM/v5/art6.pdf H. Dym, H. P. McKean. Fourier series and Integrals.  Academic Press. NewYork, 1972.G. Amos. Matlab, Una introducción con ejemplos prácticos. Barcelona, España. Editorial Reverte s.a. 2005. 340 pág. H. Moore. Matlab para ingenieros. Editorial Pearson, Prentice Hall. 600 pág.  Leer más: http://www.monografias.com/trabajos11/serfour/serfour.shtml#SERI E#ixzz3IsJ53jq  Leer más: http://www.monografias.com/trabajos5/matlab/matlab.shtml#intro#i xzz3Is2oXQK


III


PROBLEMAS 1. Calcular la serie de Fourier la siguiente función f(x)=x*sin(x); periódica en - � ≤ x ≤� SOLUCIÓN

A). Gráfica de la función a. Código MATLAB para graficar función f(x)=x*sen(x) ; periódica en -� ≤ x ≤� clc clear close all x=-pi:0.0001:pi y=x.*sin(x) plot(x,y) hold on x1=pi:0.0001:3*pi plot(x1,y) hold on x2=3*pi:0.0001:5*pi plot(x2,y) hold on

b. Gráfica generada en MATLAB

2 1.8 1.6 1.4

y

1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -4

-2

0

2

4


6 x

III

8

10

12

14

16


B). Cálculo de coeficientes de Fourier a. Hallamos

a0

pi

1 a0 = ∫ x∗senxdx pi − pi a0 =1 b. Hallamos

an pi

1 ∫ x∗senx∗cos (nx) dx pi − pi

an = Para n≠1se tiene 2∗(−1)n+1 an = n2−1

c. Hallamos bn Cumple con la condición Serie de Fourier de función PAR. bn =0

d. La serie de Fourier es: 1 2 2 2 f ( x ) 1− cosx− cos 2 x + cos 3 x− cos 4 x +… 2 3 8 15 e. Gráfica de la serie de Fourier Graficamos para n=2; n=4; n=7 1 2 y 1 1− cosx− cos 2 x 2 3 1 2 2 2 y 2 1− cosx− cos 2 x+ cos 3 x− cos 4 x 2 3 8 15

1 2 2 2 2 2 2 y 3 1− cosx− cos 2 x + cos 3 x− cos 4 x + cos 5 x− cos 6 x+ cos 7 x 2 3 8 15 24 35 48


III


 Código en MATLAB clc clear close all x=-3*pi:0.0001:3*pi y=1-(1/2)*cos(x)-(2/3)*cos(2*x) plot(x,y) hold on x1=-3*pi:0.0001:3*pi y1=1-(1/2)*cos(x1)(2/3)*cos(2*x1)+(2/8)*cos(3*x1)(2/15)*cos(4*x1) plot(x1,y1) hold on x2=-3*pi:0.0001:3*pi y2=1-(1/2)*cos(x2)(2/3)*cos(2*x2)+(2/8)*cos(3*x2)(2/15)*cos(4*x2)+(2/24)*cos(5*x2)(2/35)*cos(6*x2)+(2/48)*cos(7*x2) plot(x2,y2)

 Gráfica en MATLAB

2

1.5

1

0.5

y1 0

y2 y3

-0.5 -10

-8

-6

-4


-2

III

0

2

4

6

8

10


2. Calcular la serie de Fourier la siguiente función

f (x)=x

2

; periódica en -� ≤

x ≤� SOLUCIÓN

A. Gráfica de la función a. Código MATLAB para graficar función

f ( x)=x 2 ; periódica en -� ≤ x ≤�

clc clear close all x=-pi:0.001:pi y=x.^2 plot(x,y) hold on x1=pi:0.001:3*pi plot(x1,y) hold on x2=3*pi:0.001:5*pi plot(x2,y) hold on x3=5*pi:0.001:7*pi plot(x3,y) hold on x4=7*pi:0.001:9*pi plot(x4,y) hold on x5=9*pi:0.001:11*pi plot(x5,y)

b. Gráfica generada en MATLAB 10 9 8 7

Y

6 5 4 3 2

Análisis matemático 1 pág. 12

0 -5

0

5

10

III 15 X

20

25

30

35


B. Cálculo de coeficientes de Fourier a. Hallamos

a0

pi

1 a0 = ∫ x2 dx pi − pi 2 a0 = π 2 3 b. Hallamos

an

pi

1 an = ∫ x2 cos (nx) dx pi − pi an =

4 (−1)n 2 n

c. Hallamos

bn

pi

bn =

1 ∫ x2 sen (nx )dx pi − pi

bn =0 d. La serie de Fourier es: f (x)

1 2 4 4 4 π −4 cosx+ cos 2 x− cos 3 x + cos 4 x− cos 5 x +… 3 9 16 25

e. Gráfica de la serie de Fourier Graficamos para n=2; n=4; n=8 y1

1 2 π −4 cosx+cos 2 x 3

y2

1 2 4 4 π −4 cosx +cos 2 x− cos 3 x + cos 4 x 3 9 16


III


y3

1 2 4 4 4 4 4 4 π −4 cosx+cos 2 x− cos 3 x + cos 4 x− cos 5 x + cos 6 x − cos 7+ cos 8 x 3 9 16 25 36 49 64

 Código en MATLAB clc clear close all x=pi:0.001:11*pi y=1/3*pi^2-4*cos(x)+cos(2*x) plot(x,y) hold on x1=pi:0.001:11*pi y1=1/3*pi^2-4*cos(x1)+cos(2*x1)4/9* cos(3*x1)+4/16* cos(4*x1) plot(x1,y1) hold on x2=pi:0.001:11*pi y2=1/3*pi^2-4*cos(x2)+cos(2*x2)4/9* cos(3*x2)+4/16* cos(4*x2)4/25 *cos(5*x2)+4/36 *cos(6*x2)4/49 *cos(7*x2)+4/64 *cos(8*x2) plot(x2,y2)

 Gráfica en MATLAB 10 9 y1 y2 y3

8 7

y

6 5 4 3 2

Análisis matemático 1

III

pág. 14 0

0

5

10

15

x

20

25

30

35



f ( x )=π /4

f ( x )=−π /4

en -� ≤ x ≤0 y

en

0≤ x ≤ � SOLUCIÓN

A. Gráfica de la función a. Código MATLAB para graficar función

f ( x)=x

2

; periódica en -� ≤ x ≤�

clc clear close all x3=-pi:0.001:pi y3=2 plot(x3,y3) hold on x4=-pi:0.001:0 y4=-2 plot(x4,y4) hold on x=-pi:0.001:0 y=-pi/4 plot(x,y,'r-') hold on x1=0:0.001:pi y1=pi/4 plot(x1,y1,'r-') hold on x2=pi:0.001:2*pi plot(x2,y,'r-') hold on x5=2*pi:0.001:3*pi plot(x5,y1,'r-') hold on x6=3*pi:0.001:4*pi plot(x6,y,'r-') hold on 2 x7=4*pi:0.001:5*pi plot(x7,y1,'r-') 1.5 1

b. Gráfica generada en MATLAB y

0.5 0 -0.5 -1

Análisis matemático -1.5

III

pág. 15

-2 -4

-2

0

2

4

6 x

8

10

12

14

16


B. Cálculo de coeficientes de Fourier a0

a. Hallamos 0

pi

pi dx +∫ dx ∫ −pi 4 −pi 0 4 ) 1 a0= ¿ pi a0 =

π 2 an

b. Hallamos

pi

− pi pi cos ( nx ) dx+∫ cos ( nx ) dx 4 0 4 0

∫¿ −pi

an=

1 ¿ pi

an =0 c. Hallamos

bn pi

− pi pi sen ( nx ) dx +∫ sen ( nx ) dx 4 0 4 0

∫¿ −pi

bn =

1 ¿ pi

{

0 , si n es par bn = 1 , si n es impar n


III


d. La serie de Fourier es: f (x)

π sen 3 x sen 5 x sen 7 x + senx+ + + +… 4 3 5 7


π sen 3 x + senx+ 4 3

y2

π sen 3 x sen 5 x +senx+ + 4 3 5

y3

π sen 3 x sen 5 x sen 7 x + senx+ + + 4 3 5 7

+

sen 9 x 9

 Código en MATLAB clc clear close all x=-pi:0.001:11*pi y=(pi/4)+sin(x) plot(x,y) hold on x1=-pi:0.001:11*pi y1=(pi/4)+ sin(x)+ sin(3*x)/3+ sin(3*x)/3+sin(5*x)/5 plot(x1,y1) hold on x2=-pi:0.001:11*pi y2=(pi/4)+ sin(x)+ sin(3*x)/3+ sin(3*x)/3+sin(5*x)/5+ sin(7*x)/7+ sin(9*x)/9 plot(x2,y2)


III



2.5

2

y

1.5

1

0.5

y1 y2 y3

clc clear 0 close all %funcion f(x)=x x=0:0.001:pi y=x -0.5 plot(x,y) -5 0 5 10 15 20 25 hold on x x1=2*pi:0.001:3*pi plot(x1,y) 4. Calcular holdlaonserie de Fourier la siguiente función f(x)=|x|; periódica en -� ≤ x ≤� x2=4*pi:0.001:5*pi plot(x2,y) SOLUCIÓN hold on x3=6*pi:0.001:7*pi A). Gráfica de la función plot(x3,y) hold on a. Código MATLAB para graficar función f(x)=|x|; periódica en -� ≤ x ≤� x4=8*pi:0.001:9*pi plot(x4,y) hold on x5=10*pi:0.001:11*pi plot(x5,y) %funcion f(x)=-x hold on x6=-pi:0.001:0 y1=-x6 plot(x6,y1) hold on x7=pi:0.001:2*pi plot(x7,y1) hold on x8=3*pi:0.001:4*pi plot(x8,y1) hold on x9=5*pi:0.001:6*pi plot(x9,y1) hold on x10=7*pi:0.001:8*pi plot(x10,y1) hold on III x11=9*pi:0.001:10*pi pág. 18 plot(x11,y1)

Análisis matemático


b. Gráfica generada en MATLAB 3.5

3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 -5

0

5

10


a0


III

15

20

25

30

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERÍA E. A. P. DE INGENIERÍA CIVIL 0

pi

1 1 a0 = ∫ −xdx + ∫ xdx pi − pi pi 0 a0 =π b. Hallamos

an

0

an =

pi

1 1 −xcos (nx ) dx+ ∫ xcos (nx ) dx ∫ pi − pi pi 0

{

0,∧n es par an = −4 ,∧n es impar πn2 c. Hallamos bn pi

bn =

1 x3 sen(nx ) dx ∫ pi − pi bn =0


π 4 4 4 4 − cosx− cos 3 x− cos 5 x− cos 7 x+ … 2 π π9 π 25 π 49


π 4 4 − cosx− cos 3 x 2 π π9

y2

π 4 4 4 − cosx− cos 3 x− cos 5 x 2 π π9 π 25

y3

π 4 4 4 4 4 4 − cosx− cos 3 x− cos 5 x− cos 7 x− cos 9 x cos 11 x 2 π π9 π 25 π 49 π 81 π 121


III


 Código en MATLAB clc clear close all x=-pi:0.001:9*pi y=pi/2-4/pi*cos(x)-4/(pi*9)* cos(3*x) plot(x,y) hold on x1=-pi:0.001:9*pi y1=pi/2-4/pi*cos(x1)-4/(pi*9)* cos(3*x1)-4/(pi*25)* cos(5*x1) plot(x1,y1) hold on x2=-pi:0.001:9*pi y2=pi/2-4/pi*cos(x2)-4/(pi*9)* cos(3*x2)-4/(pi*25)* cos(5*x2)-4/(pi*49)* cos(7*x2)-4/(pi*81)* cos(9*x2)-4/(pi*121)* cos(11*x2) plot(x2,y2)

 Gráfica en MATLAB 3.5 y1 y2 y3 3

2.5

y

2

1.5

1

0.5

0 -5

0

5

10

x

15


20

25

f ( x )=x 3−π 2 x ; periódica en

-� ≤ x ≤� SOLUCIÓN

A). Gráfica de la función 3 2 clc MATLAB para graficar función f ( x )=x −π x a. Código

clear ≤� close all x=-pi:0.001:pi y=x.^3-(pi.^2)*x plot(x,y) hold on x1=pi:0.001:3*pi plot(x1,y) hold on x2=3*pi:0.001:5*pi pág. 21 plot(x2,y)


III

; periódica en -� ≤ x

30



15

10

y

5

0

-5

-10

-15 -4

-2

0

2

4

6 x

8

B). Cálculo de coeficientes de Fourier Como es función par a. Hallamos

a0

x (¿ ¿ 3−π 2 x )dx pi 1 a0= ∫ ¿ pi − pi


III

10

12

14

16


a0 =0 b. Hallamos

an x (¿ ¿ 3−π x )∗cos( nx) dx pi 1 an = ∫ ¿ pi − pi 2

an =0

c. Hallamos bn x (¿ ¿ 3−π x )∗sen (nx)dx pi 1 b n= ∫ ¿ pi −pi 2

−1 ( ¿¿ n) 12 bn = 3 ¿ n

d. La serie de Fourier es: f ( x ) −12 senx+

12 12 sen 2 x− sen 3 x +… 8 27

e. Gráfica de la serie de Fourier Graficamos para n=2; n=4; n=7 y 1 −12 senx+

12 sen 2 x 8

y 2 −12 senx+

12 12 12 sen 2 x− sen 3 x+ sen 4 x 8 27 64

y 3 −12 senx+

12 12 12 12 12 12 sen 2 x− sen 3 x+ sen 4 x− sen 5 x+ sen 6 x− sen 7 x 8 27 64 125 216 343


III


 Código en MATLAB clc clear close all x=-pi:0.001:5*pi y=-12*sin(x)+(12/8)*sin(2*x) plot(x,y) hold on x1=-pi:0.001:5*pi y1=-12*sin(x1)+(12/8)*sin(2*x1)-(12/27)*sin(3*x1)+(12/64)*sin(4*x1) plot(x1,y1) hold on x2=-pi:0.001:5*pi y2=-12*sin(x2)+(12/8)*sin(2*x2)-(12/27)*sin(3*x2)+(12/64)*sin(4*x2)(12/125)*sin(5*x2)+(12/216)*sin(6*x2)-(12/343)*sin(7*x2) plot(x2,y2)

 Gráfica en MATLAB 15

10

y

5

0

-5

-10

-15 -4

-2

0

2

4


6 x

III

8

10

12

14

16


6. Calcular la serie de Fourier la siguiente función f(x)=|sin(x)|; periódica en -� ≤ x ≤� SOLUCIÓN

A). Gráfica de la función a. Código MATLAB para graficar función f(x)=|sen(x)|; periódica en -� ≤ x ≤� clc clear close all x=0:0.0001:pi y=sin(x) plot(x,y) hold on x1=-pi:0.0001:0 y1=-sin(x1) plot(x1,y1) hold on x2=2*pi:0.0001:3*pi y2=sin(x2) plot(x2,y2) hold on x3=pi:0.0001:2*pi y3=-sin(x3) plot(x3,y3) hold on

b. Gráfica generada en MATLAB 1

0.8

y

0.6

0.4

0.2

0

-0.2 -4

-2

0


2

III

x

4

6

8

10



a0

senx dx pi

pi

∫ −senx dx + ∫ ¿ − pi

−pi

1 a 0= ¿ pi a0 =

4 π

b. Hallamos

an senx∗cos ( nx ) dx pi

pi

∫ −senx∗cos ( nx ) dx + ∫ ¿ − pi

−pi

1 an = ¿ pi

Para n≠1se tiene an =

{

0, si n es impar 4 ,n par π (1−n)(1+n)

c. Hallamos bn Cumple con la condición Serie de Fourier de función PAR. bn =0


4 4 4 4 4 − cos ⁡( 2 x)− cos 4 x + cos 6 x− cos 8 x +… π 3π 15 π 35 π 63

e. Gráfica de la serie de Fourier Graficamos para n=2; n=4; n=8


III


y1

4 4 − cos ⁡( 2 x) π 3π

y2

4 4 4 − cos ⁡( 2 x)− cos 4 x π 3π 15 π

y3

4 4 4 4 4 − cos (2 x )− cos 4 x − cos 6 x − cos 8 x π 3π 15 π 35 π 63

 Código en MATLAB clc clear close all x=0:0.0001:3*pi y=4/pi-(4/(3*pi))*cos(2*x) plot(x,y) hold on x1=0:0.0001:3*pi y1=4/pi-(4/(3*pi))*cos(2*x1)-(4/(15*pi))*cos(4*x1) plot(x1,y1) hold on x2=0:0.0001:3*pi y2=4/pi-(4/(3*pi))*cos(2*x2)-(4/(15*pi))*cos(4*x2)-(4/ (35*pi))*cos(6*x2)-(4/(63*pi))*cos(8*x2) plot(x2,y2) hold on

1.7


y1 y2 y3

1.6 1.5 1.4

y

1.3 1.2 1.1 1 0.9


0.8

III

pág. 27 0.7

0

1

2

3

4

5 x

6

7

8

9

10


7. Calcular la serie de Fourier la siguiente función f(x)= x

3

; periódica en -� ≤ x

≤� SOLUCIÓN

A). Gráfica de la función 3 a. Código MATLAB para graficar función f(x)= x ; periódica en -� ≤ x ≤�

clc clear close all x=-pi:0.001:pi y=x.^3 plot(x,y) hold on x1=pi:0.001:3*pi plot(x1,y) hold on x2=3*pi:0.001:5*pi plot(x2,y) hold on x3=5*pi:0.001:7*pi plot(x3,y) hold on x4=7*pi:0.001:9*pi plot(x4,y) 40 30 20


y

10

0 -10 -20 -30


-40 -5

0

5

III 10

x

15

20

25

30



a0

pi

1 a0 = ∫ x3 dx pi − pi a0 =0 pi

b. Hallamos

an

1 ∫ x3 cos ( nx ) dx pi − pi

an =

an =0

c. Hallamos bn pi

1 bn = ∫ x3 sen(nx )dx pi − pi −2 π 2 12 bn = + 3 (−1)n n n

(

)

d. La serie de Fourier es: f (x) −

(

−2 π 2 12 −2 π 2 12 −2 π 2 12 −2 π 2 12 −2 π 2 12 + sinx+ + sin 2 x− + sin 3 x + + sin 4 x− + sin 5 1 1 2 8 3 27 4 64 5 125

) (

)

e. Gráfica de la serie de Fourier Graficamos para n=2; n=3; n=6


III

(

)

(

)

(

)


(

−2 π 2 12 −2 π 2 12 −2 π 2 12 + sinx+ + sin 2 x− + sin 3 x 1 1 2 8 3 27

(

−2 π 2 12 −2 π 2 12 −2 π 2 12 −2 π 2 12 −2 π 2 12 + sinx+ + sin 2 x− + sin3 x + + sin 4 x − + sin 5 1 1 2 8 3 27 4 64 5 125

y3 −

(

) (

2

(

y2 −

+

2

−2 π 12 −2 π 12 + sinx + + sin 2 x 1 1 2 8

y1 −

) ( ) (

)

)

(

)

)

(

)

(

)

(

)

−2 π 2 12 + sin 6 x 6 216

)

 Código en MATLAB clc clear close all x=pi:0.0001:11*pi y=-((-2*pi^2)/1+12/1)*sin(x)+((-2*pi^2)/2+12/8)*sin(2*x) plot(x,y) hold on x1=pi:0.0001:11*pi y1=-((-2*pi^2)/1+12/1)*sin(x1)+((-2*pi^2)/2+12/8)*sin(2*x1)-((2*pi^2)/3+12/27)*sin(3*x1) plot(x1,y1) hold on x2=pi:0.0001:11*pi y2=-((-2*pi^2)/1+12/1)*sin(x2)+((-2*pi^2)/2+12/8)*sin(2*x2)-((2*pi^2)/3+12/27)*sin(3*x2)+((-2*pi^2)/4+12/64)*sin(4*x2)-((30 2*pi^2)/5+12/125)*sin(5*x2)+((-2*pi^2)/6+12/216)*sin(6*x2) plot(x2,y2) 20

10

y

 Gráfica en MATLAB 0

-10 y1 y2 y3

-20


III

pág. 30

-30

0

5

10

15

x

20

25

30

35



III

series en matlab 1.docx

Recommend Documents