MECÁNICA DINÁMICA
Movimiento Curvilíneo
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Movimiento Curvilíneo
Coordenadas Cartesianas (Plano)
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Movimiento Curvilíneo
Coordenadass Cartesianas (Espacio) Coordenada
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Movimiento Curvilíneo
Coordenadas Polares
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Movimiento Curvilíneo
Coordenadas Cilíndricas
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Movimiento Curvilíneo
Coordenadas Normales y tangenciales
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Movimiento Curvilíneo
Ejemplo 1: Se dispara horizontalmente un proyectil de peso 150 N , con una celeridad inicial de 225 m/s desde la cumbre de un ribazo situada 150 m por encima de la zona circundante. Determinar el alcance R de proyectil y el tiempo que tarda en llegar al suelo. Desprecie la
resistencia del aire. y
w y 0 = 150 m
x R MECÁNICA DINÁMICA
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Movimiento Curvilíneo
Solución:
Aplicando las ecuaciones en coordenadas rectangulares: …
(a)
… (b)
Integrando (a), tenemos:
De las condiciones iniciales: cuando t = 0 cuando t = 0
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Movimiento Curvilíneo
Solución:
De la ecuación (b) : O sea: Integrando se tiene:
De las condiciones iniciales: cuando t = 0 cuando t = 0
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Movimiento Curvilíneo
Solución:
Por tanto: …
(c)
…
(d)
…
(e)
…
(f)
El proyectil llegará al suelo cuando y = 0 . Por tanto, de la ecuación ( f ) :
El alcance R se obtiene de la ecuación ( f ). Así:
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Movimiento Curvilíneo
Ejemplo 2: Una esfera de masa m está unida en el extremo superior de una varilla vertical
de masa despreciable, según se indica. Al dar un pequeño desplazamiento a la esfera, se inicia la rotación del sistema en torno al pasador situado en O. Determinar la velocidad lineal v de la esfera y la fuerza P en la varilla cuando ésta esté en posición horizontal, si m = 5 kg. y R = 2 m.
P R
w
θ
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Movimiento Curvilíneo
Solución:
Las ecuaciones del movimiento de la esfera, en coordenadas polares, son: …(a) …(b)
Como la longitud de la varilla es fija, ocurre que:
Luego, de la ecuación (b), tenemos:
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Movimiento Curvilíneo
Solución:
Multiplicando los dos miembros por
Como:
cuando
e integrando, se tiene:
, entonces:
Por tanto: Cuando
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Movimiento Curvilíneo
Solución:
Luego:
De la ecuación (a): Cuando
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Movimiento Curvilíneo
Ejemplo 3: En el sistema mostrado, la barra OA de masa despreciable está girando a razón constante de 4 rad/s. Debido a dicho movimiento, la distancia OB varía en la forma r = 1.6 cosθ, donde el deslizador B tiene una masa total de 0.5 kg. Para θ = 45° , determine la fuerza F y la fuerza normal N que ejerce el aro sobre el deslizador, cuando el sistema : a) Está en posición horizontal . b) Está en posición vertical . eθ F e A B
O
θ
C 0.8m
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r
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Solución:
a) Posición horizontal
De los datos del problema:
N 45°
A
B 45°
De modo que :
0.8m
O
45° 0.8m
C
Aplicando leyes de Newton en ambos ejes:
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Movimiento Curvilíneo
Solución:
a) Posición vertical N 45°
A
Podemos aplicar leyes de Newton en ambos ejes, considerando ahora el peso del deslizador:
B 45°
45°
W 0.8m
O
Reemplazando datos y resolviendo:
45° 0.8m
C
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Movimiento Curvilíneo
Ejemplo 4: Las cajas de cartón de 5 kg que deslizan por el dispositivo mostrado, tienen una velocidad constante de 8 m/s. Determinar el menor radio curvatura para que la caja no deslice radialmente. Los coeficientes de fricción estático y cinético son 0.7 y 0.5
respectivamente.
v =8 m/s ρ
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Solución:
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Analizando en el eje vertical:
Entonces, la fuerza de rozamiento: Luego en el eje normal:
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Ejemplo 5: El bloque A de masa m se mueve con rapidez v . Si se desprecia la fricción, se
pide: a) Encontrar la ecuación de la rapidez del bloque en función de θ. b) Encontrar la ecuación de la fuerza de contacto (normal) en función de θ.
θ
R A
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Solución:
Analizando en el eje tangencial: NA
De la cinemática de partículas: θ
Pero: mg
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Movimiento Curvilíneo
Solución:
Ahora analizando en el eje normal: NA
θ
Pero: Reemplazando, tenemos:
mg
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Ejemplo 6: La varilla OA gira alrededor del eje vertical de acuerdo con la relación 10t rad s . Un collarín B de 250 g se sostiene por medio de una cuerda con una resistencia a la rotura de 18 N . Si se ignora la fricción, determine, inmediatamente después de que se rompe la
cuerda, lo siguiente: a) La aceleración relativa del collarín con respecto a la varilla OA. b) La magnitud de la fuerza horizontal que ejerce la varilla sobre el collarín. 0.5 m
B O
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A
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Solución:
a) De los datos del problema, tenemos que:
F aθ ar
O
B
A
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Luego, del gráfico, vemos que la aceleración relativa del collarín respecto a la varilla OA es la componente radial de la aceleración, de modo que:
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Movimiento Curvilíneo
Solución:
b) Dado que el collarín se mueve en una
trayectoria circular, la componente transversal de r la aceleración del collarín, será: a r
F aθ ar
O
B
A
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Luego, si aplicamos la segunda Ley de Newton en la dirección transversal, tenemos:
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Ejemplo 7: El disco mostrado se encuentra rodando. Para la posición indicada, la velocidad angular del disco es 5 rad/s en sentido horario y la aceleración angular es 2 rad/s2 en sentido antihorario, al mismo tiempo la velocidad y aceleración relativas del seguidor P con respecto a la rueda son de 8 pies/s y 32.2 pies/s2, respectivamente, ambos dirigidos hacia abajo. Determinar la fuerza de contacto entre el seguidor P y la ranura del disco. La masa del seguidor P es de 2 slugs. y ω = 5 rad/s
P 12 in
O
x
α = 2 rad/s2
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Solución: y
ω = 5 rad/s
P
O
Para calcular la fuerza de contacto del seguidor A con la ranura de la rueda, sólo hace falta conocer la aceleración en la dirección transversal:
r 2r
12 in
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x
Ya que: Reemplazando los datos del problema, tenemos que:
α = 2 rad/s 2
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Ejemplo 8: La curva de una autopista tiene un radio de 200 m, el ángulo de peralte que posee es suficiente para no deslizar a una velocidad de 65 Km/h. Si el automóvil entrara a la curva a 100 Km/h, determinar el coeficiente mínimo de fricción requerido entre las llantas y
la pista para que el automóvil no deslice transversalmente sobre la curva. y
ρ = 200 m
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x
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De los datos del problema:
Solución:
v = 65 km/h = 18.05 m/s
y
Primero, para hallar el ángulo seguro ϴ, calculamos sin tener en cuenta la fricción transversal: ρ = 200 m
x
Luego: N
W =mg
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