CHOQUE ELÁSTICO ENTRE DOS CUERPOS EX PERI ENCI A N º 10
En una colisión elástica, la energía mecánica se conserva
I. OBJETIVOS 1. Verificar el principio de conservación de la cantidad de movimiento de un sistema en una colisión.
II. EQUIPOS Y MATERIALES -
Rampa Acanalada. Tablero. Balanza. Hojas de papel carbón. Plomada. Prensa. Bolas de acero o vidrio (2). Hojas de papel blanco.
III. FUNDAMENTO TEÓRICO CHOQUES El denominador común de todos los choques es que durante el mismo actúan fuerzas muy grandes durante el tiempo que los cuerpos están en contacto que es muy pequeño. Si el sistema lo forman las partículas que chocan entre sí, entonces durante el choque las únicas fuerzas que unas partículas hacen sobre otras serán fuerzas interiores, concretamente concretamente fuerzas impulsivas. Está claro entonces que, en un choque antes y después del mismo se conserva el momento lineal del sistema. (Precisamente en los choques es donde el principio de conservación del momento lineal encuentra una de sus mayores aplicaciones) Seguramente Seguramente estarás pensando en unas bolas de billar, una pelota botando en el suelo o una colisión entre vehículos. En efecto, todos serían ejemplos de choques, pero también son choques las colisiones que tienen lugar entre partículas nucleares. Por ejemplo, cuando un protón se acelera y se lanza sobre un núcleo de flúor, éste puede entrar en el núcleo y formar una estructura inestable que casi instantáneamente instantáneamente se estabiliza formándose una partícula α (núcleo de helio) y oxígeno:
Como puedes ver, este choque tiene de especial que las partículas antes y después del mismo son diferentes, pero eso no excusa para que el momento lineal se conserve.
En consecuencia, estudiando los choques, por ejemplo entre dos bolas de billar podemos aprender mucho sobre las reacciones nucleares, puesto que estas no son mas que choques entre partículas. El choque entre dos protones es igual al que tiene lugar entre dos bolas de billar, puesto que se trata de dos partículas idénticas, aunque lo curioso de éste caso es que los protones no llegan a tocarse, porque se lo impiden las fuerzas de repulsión, que son las que los dispersan:
El efecto Compton, del que mucho más adelante nos ocuparemos, también es un ejemplo de choque, aunque algo especial porque se trata del choque entre un fotón y un electrón.
CLASES DE CHOQUES Según que durante el choque se conserve la energía mecánica, los choques se clas ifican en: 1. Elásticos: Son aquellos en los que además de conservarse el momento lineal se conserva la energía mecánica. 2. Inelásticos: Son aquellos en los que solamente se conserva el momento lineal. Dentro de ellos podemos distinguir entre:
• Choque parcialmente inelástico: Son aquellos en los que se pierde parte de la energía mecánica, pero las partículas no se adhieren. • Choque inelástico total o plástico: Es aquel en el que las partículas se adhieren durante el choque, marchando juntas después del mismo, por ejemplo cuando una bala se incrusta en un taco de madera. También puede distinguirse entre choque en una dimensión o choque frontal que es el que tiene lugar cuando las partículas chocan a lo largo de la línea que une sus centros. E n este caso las partículas se mueven antes y después del choque sobre la recta que une sus centros. Choque bidimensional u oblicuo, es el que tiene lugar cuando las partículas no chocan según la línea que une sus centros y en consecuencia sus velocidades después del choque cambian de dirección.
CHOQUE ELÁSTICO Ya hemos dicho que en él se conserva la cantidad de movimiento y además la energía mecánica. Entonces podremos plantear las ecuaciones:
donde v1 y v2 son las velocidades de las partículas antes del choque y v´ 1 y v´2 las velocidades después del mismo Teniendo en cuenta que también se conserva la energía mecánica y que como cualquier choque tiene lugar en un punto, siempre la energía potencial de cada partícula inmediatamente antes y después es la misma, la conservación de la energía mecánica se reduce a que se conserve la energía cinética de las partículas antes y después del choque
A) Choque elástico frontal En este caso particular se puede prescindir del carácter vectorial de las velocidades porque antes y después se mueven sobre una recta. Simplemente le asignaremos signo positivo o negativo según se muevan hacia un lado u otro.
Los problemas de choques normalmente consisten en calcular las velocidades de las partículas después del mismo conociendo las que tenían inicialmente. En este caso particular no hay ningún problema porque tendríamos 2 incógnitas y disponemos de 2 ecuaciones. El problemilla es que de las dos ecuaciones, una de ellas es de segundo grado, mientras que la otra es de primero, y eso complica un poco su resolución. Si en la ecuación de conservación de la energía cinética simplificamos el término ½ y además la escribimos sacando factor común de las masas:
la ecuación de conservación del momento lineal puede escribirse:
si dividimos la primera ecuación por la segunda y tenemos en cuenta que la suma por diferencia es igual a la diferencia de cuadrados, nos quedaría que:
así que por tanto, este caso particular de choques podemos resolverlo, de una forma más sencilla, con el par de ecuaciones siguientes:
Ejemplo: Si dos masas iguales, que se mueven en sentidos opuestos chocan con velocidades de 7 y 10 m/s ¿cuáles serían sus velocidades después del choque, supuesto frontal y elástico?
Según nuestro criterio de signos hemos asignado a v2 signo negativo por moverse hacia la izquierda. En este caso, como las masas son iguales, las ecuaciones anteriores pueden simplificarse quedando:
sustituyendo:
Resolviendo obtenemos que v´1=-10m/s y que v´2=7m/s. Como puede verse las partículas intercambian sus velocidades Esta solución es general, quiere decir que en el caso particular de que dos partículas de igual masa choquen frontal y elásticamente intercambian sus velocidades. Da igual si chocan en sentidos opuestos o si chocan en la misma dirección. Un caso aún mas particular tendría lugar si una de las partículas estuviera en reposo. Puesto que intercambian sus velocidades después del choque quedaría en reposo la que se movía
Ejemplo: Choque elástico de una pelota contra una pared. Lo particular de este caso es que la masa de la pelota es despreciable frente a la masa de la pared (o del suelo), es decir, que si la pelota es la partícula 1 y la pared la 2:
Como además antes del choque la velocidad de la pared es nula (v 2=0) nos quedaría que:
si multiplicamos la segunda ecuación por m1 y las sumamos y luego despejamos v´2
(aquí se deduce que si m2 es muy grande, el cociente es casi cero)
por tanto, si v2≈0 entonces, si sustituimos en la segunda ecuación obtendremos que
lo que quiere decir que la velocidad de la pelota después del choque es la misma que la que tenía al principio, pero que invirtió el sentido, como era de suponer, ya que si la pared no se mueve y se debe conservar la energía cinética, la velocidad de rechazo de la pelota debe ser la que tenía y con el sentido inverso.
B) Choque elástico bidimensional En este caso el problema no puede resolverse con el único dato de las velocidades iniciales, ya que al tener que calcular los módulos de las dos velocidades después del choque y los dos ángulos de rechazo tendríamos 4 incógnitas y solo 3 ecuaciones para resolver. Como solo tenemos 3 ecuaciones, porque tenemos una de conservación del momento lineal en el eje X, otra para el eje Y y la de la energía, es necesario que además de las velocidades iniciales nos den alguna de esas 4 incógnitas para poder resolver.
Ejemplo:
5
Un protón se mueve con una velocidad de 5.10 m/s y choca elásticamente con otro protón que inicialmente se encuentra en reposo. Se observa que después del choque uno de los protones se mueve en una dirección que forma un ángulo de 30º con la dirección de incidencia. Calcular la velocidad de cada protón después del choque y la dirección del otro protón.
Como sabemos en un choque elástico se conserva el momento lineal y la energía mecánica, así que: (Cuidado, es este caso al tratarse de un movimiento bidimensional las velocidades hay que escribirlas en forma de vector)
con estas tres ecuaciones podemos calcular los valores de v´1, v´2 y α2 Para resolver el sistema vamos a empezar eliminando α 2 y para eso, elevamos al cuadrado la
primera ecuación, pero escribiéndola previamente dela forma:
lo mismo haremos con la segunda ecuación, pero escribiéndola antes como:
Una vez elevadas al cuadrado, si las sumamos miembro a miembro, y además tenemos en cuenta que
entonces nos quedaría que:
Ahora eliminamos v2´ restando a esta ecuación la ecuación (3) y tenemos que:
despejando v1´
de la ecuación (3)
de la ecuación (2) se deduce que
de donde α2=60º. Observa que en este caso particular, de dos masas iguales que chocan
elásticamente estando una de ellas inicialmente en reposo, los ángulos de rechazo suman 90º. La demostración es sencilla: Si multiplicamos escalarmente la ecuación de la conservación del momento lineal, por ella misma, para este caso particular de que las masas sean iguales:
si comparamos la expresión obtenida con la de conservación de la energía, ecuación (3), veremos que como deben ser iguales, entonces el término: que
son vectores perpendiculares para que
Ejemplo: Alguna vez habrás visto un objeto decorativo que consiste en una serie de bolas de acero, colgadas de hilos de la misma longitud, como en la figura. Si se desplaza un ángulo α la primera y se la deja en libertad, observarás que no se mueve ninguna bola, solamente la última de ellas que sube, desplazándose también un ángulo α.
La velocidad con que la bola 1 golpea a la 2 es, aplicando el principio de conservación de la energía entre el punto A y B (y tomando nivel cero de Ep la que hay en B)
Puesto que el hilo de todos los péndulos es igual de largo, el choque de una bola con la siguiente es frontal (según la línea que une sus centros) y puesto que las bolas son de acero y prácticamente no se deforman, puede considerarse que es prácticamente elástico, con lo que en cada choque no se pierde energía, y por tanto las bolas intercambian sus velocidades, como hemos visto antes. Eso quiere decir que la bola 1 al chocar con la 2 se queda parada y su velocidad se la transmite a la 2 y así sucesivamente hasta llegar a la última bola que no tiene con quien chocar. Así, la velocidad que le transmitió la penúltima bola la invierte en subir, es decir en energía potencial. Como la velocidad inicial es igual a la de la bola 1 (hemos dicho que se ha ido transmitiendo de una a la siguiente) naturalmente subirá hasta la misma altura, o sea se desplaza de la posición de equilibrio el mismo ángulo α
IV. PROCEDIMIENTO 1. Coloque el equipo de manera análoga al de la experiencia movimiento de un proyectil. 2. Coloque la rampa acanalada a una altura H del tablero. Mida con la regla. 3. Coloque en el tablero la hoja de papel carbón sobre la hoja de papel blanco. 4. Sobre la rampa acanalada escoja un punto, tal como T en su parte superior. Este será el punto de partida para todos los próximos lanzamientos. 5. Suelte la primera bola, tal que se deslice sobre la regla acanalada. El impacto de este dejará una marca sobre el papel blanco. Repita el paso 5 veces. Fig. 10.3
Rampa acanalada Punto superior T 6. De acuerdo a la experiencia de movimiento de un proyectil, calcule la velocidad de la bola, está será la velocidad de la primera ola antes del choque. 7. Ahora ajuste el tornillo de soporte tal que en el momento del que la bola 1 y la bola
2 estén en el mismo nivel. 8. Al impactar las bolas en el papel dejarán sobre él: A 1 y A2. ver la Fig.10.4. Las proyecciones de las posiciones iniciales de las bolas sobre el tablero (suelo), instantes antes de chocas, corresponden a los puntos B1 y B2. Ver la Fig. 10.5. Estos puntos se pueden conocer con ayuda de la plomada. 9. Coloque la bola 2 sobre el tornillo de soporte como se indica en la Fig. 10.5. Así se obtendrá un choque rasante.
10. Mida con el calibrador vernier el diámetro de cada bola d1 y d2, después mida con la balanza las masas M1 y M2 de cada una de ellas. 11. Suelte la bola 1 desde el punto T, observe el choque, Repita este paso 5 veces. Determine el valor promedio de las velocidades de ambas bolas después del choque. Considere el radio d/2 de cada bola. 12. Mida los alcances o distancias r 1 y r 2 de ambas bolas y calcule sus respectivas velocidades V1 y V2. Estas son las velocidades después del choque. 13. Repita los pasos (11) y (12) para ángulos de impacto diferentes. 14. Tabule sus resultados en la Tabla 1.
Tabla 1
(g)
(g)
(cm) (cm) (cm) (cm) (cm/s)
8
8
1,2
1,2
50
32.5 10.2
26
16,5 5,17
55
17,3 5,41
8
8
1,2
1,2
50
33
28
17
5,32
57
17
5,32
8
8
1,2
1,2
50
32.5 10.2
25,5 17
5,32
52
17
5,32
8
8
1,2
1,2
50
32.5 10.2
24
17
5,32
49
16
5,0
8
8
1,2
1,2
50
32.5 10.2
22
17,5 5,48
43
17,1 5,4
10.3
(cm) (cm/s)
(cm) (cm/s)
̅ ̅
̅
̅
̅
̅
(g) (g) (cm) (cm) (cm) (cm) (cm/s)
8
8
1,2
1,2
50
32,6 10,2
̅
(cm) (cm/s)
25,1 17
5,3
̅
̅
(cm) (cm/s)
1,2 17
5,29
Como se sabe: Antes del impacto:
V. CUESTIONARIO 1. Dibuje el vector cantidad de movimiento antes del choque y los vectores cantidad de movimiento de ambas bolas después del choque. 2. De acuerdo a lo realizado en la experiencia. ¿Puede usted considerar que el choque ha sido elástico? Teóricamente es un choque elástico debido a que: -Sólo actúan fuerzas conservativas; se debe conservar la cantidad de movimiento; se conserva la energía cinética .Pero con los datos obtenidos P. inicial ≅ P. final p. inicial=1/2(0.008).(10.2)2=0.41616 J p. final= 1/2(0.008).(5.3)2+1/2(0.008).(8.7)2=0.41512 J Estas medidas no son iguales debido a los errores cometidos al medir los datos experimentalmente.
3. ¿Cómo es la energía del sistema antes y después del choque? 4. ¿Podría calcular teóricamente las posiciones r 1 y r 2? 5. Puede usted afirmar que sus resultados experimentales comprueban la ley de conservación de la cantidad de movimiento ? Se puede comprobar de los resultados que casi se mantienen iguales, pero no llega hacer iguales ya que se han cometido errores en los datos Algunos de estos errores se encuentran en que la esfera que impacta se haya colocado en un carril equivocado, y de esta manera hay variaciones con otras pruebas, o también que la esfera la cual sufre el impacto haya sido ubicado en distintas
6. ¿Cómo influye la fuerza de gravedad en esta experiencia? Puesto que la fuerza de gravedad es una fuerza conservativa, y al no existir f uerzas exteriores que alteran la energía; la energía propia del sistema permanece constante; es decir que mientras la energía cinética del sistema aumenta, su ene rgía potencial disminuye en la misma cantidad, en resumen podemos decir que gracias a la fuerza de gravedad se conserva la c antidad de movimiento, junto con la energía del sistema.
7. ¿Cuáles cree usted que han sido las posibles fuentes de error en el experimento? De soluciones. 8. ¿Qué tipo de dificultades ha encontrado al realizar esta experiencia. Descríbalas
