CENTRIFUGA DE DISCOS En esta sección se desarrolla un análisis para la centrifuga de discos análogo al efectuado para la centrifuga tubular. La geometría del sistema es diferente (Figura 4.12), entonces se puede intuir ue la e!presión para el cálculo del flu"o en este caso tambi#n es diferente.
En el análisis se supone ue el flu"o global $ se di%ide euitati%amente entre los espacios formados formados por todos los discos, discos, de tal manera ue el flu"o en cada espacio es $ n&$'n, donde n es el nmero de espacios formados entre los discos. El flu"o se presenta tanto en la dirección angular como en dirección paralela a los discos. En el sentido angular se supone ue el líuida gira a la misma %elocidad ue los discos. rime rimero ro se desa desarr rrol olla la una una e!po e!posi sici ción ón para para el tiem tiempo po de resi reside denc ncia ia en la centrifuga, posteriormente una e!presión para el tiempo de sedimentación, * fina finalm lmen ente te se comb combin inan an amba ambass e!pr e!pres esio ione ness para para rela relacciona ionarr el gast gasto o %olum#trico mane"able con las propiedades del caldo * la geometría de la centrífuga.
Tiempo de Residencia en una Centrifuga de Discos
En una centrifuga de discos la partícula ue se desea sedimentar se mue%e por con%ección * por sedimentación. El mo%imiento con%ecti%o es paralelo a los discos * el mo%imiento por sedimentación es en sentido +oriontal. -i los e"es de referencia se fi"an como aparece en la Figura 4.12, el
mo%imiento producido por sedimentación tiene componentes tanto en ! como en *, de tal manera ue la %elocidad neta de la partícula en la dirección !, es el resultante de la %elocidad con%ecti%a del fluido (auí se supone ue la partícula se mue%e a la misma %elocidad ue el fluido) * la componente en ! de la %elocidad de sedimentación ue se opone a este mo%imiento. na condición necesaria para alcanar una separación efecti%a, es ue la %elocidad con%ecti%a de la partícula sea muc+o ma*or ue el componente de la %elocidad de sedimentación ue acta en sentido opuesto. En el siguiente desarrollo se parte de este supuesto cuando se analia la %elocidad de la partícula en el sentido.
Expresión para x!" ara obtener una e!presión del tiempo de residencia de una partícula en una centrífuga de discos es necesario primero desarrollar una e!presión para la %elocidad de la partícula en el sentido !, / !. En el desarrollo de la e!presión para / ! se supone un arreglo geom#trico sencillo como se muestra en la Figura 4.10. La %elocidad / ! %aría con la distancia ! dado ue el gasto es constante en toda la sección de cada película * dado ue la sección trans%ersal de flu"o disminu*e conforme ! aumenta (se supone ue el líuido es incompresible). La %elocidad
/! tambi#n %aría en el sentido * formando un perfil de %elocidades con / !& en las superficies de los discos. -i se considera una sección de película de longitud L, donde la %elocidad / ! sólo depende de * pero no de ! cuando se desprecian los efectos inerciales, se considera ue el sistema se encuentra en el estado estacionario * el flu"o es laminar, la ecuación de mo%imiento para este sistema puede ser escrita de la siguiente forma3 2
d V dP = μ 2 x ( 4.25 ) dx dy
Esta e!presión puede ser integrada dos %eces #ntrelos límites3 ara
ara
y =
y =
a 2
−a 2
V x = 0
,
,
V x = 0
obtener la e!presión3 2
∆ Pa V x = 8 μL
[ ( ) ] 1
2 y
−
2
a
( 4.26)
donde3 a es el espesor de la partícula * P es la presión.
La ecuación (4.25) se puede e!presar en t#rminos de $ n si se integra a lo largo del área del flu"o con los límites apropiados. 6onsiderando ue el área de flu"o puede ser apro!imada por un rectángulo de anc+o a * largo
2 πr
entonces3
a 2 πr
Q n=
2
∫∫ 0
−a
2
∆ Pa 8 μL
[ ( ) ] 1
−
2 y
a
2
dydz ( 4.27 )
2
donde3 Qn es el flu"o %olum#trico entre dos discos de la centrifuga.
La integración de la ecuación (4.27) conduce a3 3
π ∆ Pa r ( 4.28 ) Q n= 6 μL
6ombinando las ecuaciones (4.25) * (4.28) se tiene ue3 V x =
( )[ −( ) ]( 3 Qn
4 πra
2 y
1
2
a
4.29
)
9 bien en t#rminos de flu"o %olum#trico total3 V x =
(
3Q 4 nπra
)[ −( ) ] ( 1
2 y
2
a
4.30
)
La ecuación (4.0) describe el perfil de la %elocidad de la película así como su comportamiento en diferentes planos en función de la %elocidad promedio. :e la ecuación (4.0) se puede obtener una e!presión para un diferencial del tiempo de residencia de la siguiente forma3 dt r=
d x
(
3Q 4 nπra
)[ ( ) ] 1
− 2 y
2
( 4.31 )
a
C#$cu$o de$ Tiempo de Sedimentación % e$ Gasto o$um&trico ara desarrollar la e!presión del tiempo de sedimentación de una partícula, ue a su %e permita desarrollar una e!presión para el gasto mane"able en una
centrifuga de discos, al igual ue en las centrifugas tubulares se consideran dos casos de inter#s3 − ;iempo para el 1< de sedimentación. − ;iempo para el =< sedimentación.
Tiempo para e$ '(() de Sedimentación % Gasto o$um&trico!" En este caso la partícula más difícil de capturar se localia en la parte inferior derec+a de la película en (!&, *&>a'2), * la parte más le"ana en la ue puede sedimentar es la parte superior iuierda de la película en ?!&(@ >@1)'senA, *&a'2B. La %elocidad de sedimentación en el sentido radial está dado por la Le* de -toCes3 2
dr =V g w r ( 4.32) dt s g
por lo tanto3 dt s=
gdr 2
V g w r
( 4.33 )
La condición de diseDo ue establece ue el tiempo de sedimentación debe ser menor o igual ue el tiempo de residencia puede lograrse igualando las ecuaciones (4.01) * (4.00) para obtener la e!presión3 gdr = 2 V g w r
d x
(
3Q 4 nπra
)[ ( ) ] 2 − y
1
2
( 4.34 )
a
de acuerdo a la geometría del sistema se puede efectuar el siguiente cambio de %ariables3 d y =cos θdr r = R 0− senθ
con estas nue%as %ariables la ecuación (4.04) se transforma en3
3 2a
[ ( ) ] =[ −
1
2 y
2
a
dy
2 πn V g w
Qg
2
](
R0− senθ )
2
(
cos θdx 4.35
)
La ecuación (4.0=) puede ser integrada utiliando el cambio de %ariable u&(@ > !senA) * los límites siguientes3 ara
ara
x =0
y =
,
R 0− R1 x = senθ
,
−a 2
y =
a 2
obteni#ndose3 Q =V g
[
2 πn w
2
3g
( R
3 0
− R
3 1
]
) cot θ ( 4.36 )
La ecuación anterior tambi#n puede ser e!presada en función del parámetro de la siguiente manera3 Q =V g ∑ ( 4.37 )
:onde para este caso está definida por la e!presión dentro del par#ntesis cuadrado de la ecuación (4.05).
Tiempo para e$ *() de Sedimentación % Gasto o$um&trico!" ara calcular el gasto ue puede mane"ar la centrifuga para un corte del =<, debido a la separación tan peueDa de los discos una buena apro!imación está dada por3 −¿=2 V g ∑ ( 4.38 ) Q
¿
:onde está dada por la misma e!presión ue la de la ecuación (4.05). (/er e"emplo 4.0 inciso b).
E+emp$o ,!,!" Separación de E. coli mediante una centrifuga de discos! Estimar el gasto %olum#trico para producir un líuido claro de
E. coli en
una
centrifuga de discos (runner, 1G80) ba"o las siguientes condiciones3
Datos Centr-fuga @adio e!terno 8.1 cm @adio interno 0.5 cm Hmero de discos 72 /elocidad 8,4 rpm Ingulo 08J
Datos Ca$do .8 μm :iámetro celular :ensidad celular 1.= g'l :ensidad del medio 1.2 g'l /iscosidad 1.2!1 >0
So$ución. El gasto de la centrifuga de discos puede ser calculado mediante la ecuación (4.05). ara aplicar esta ecuación es necesario calcular primero / g. :e acuerdo a la ecuación (4.4).
( 0.8 × 10− V g =
4
2
cm )
( 1.05 −1.02 ) g × 980 cm 3
cm s 3 m 10 g −3 kg 18 × 1.02 × 10 × × 2 m.s kg 10 cm −6
V g =1.02 × 10
2
cm s
en seguida se calcula de la ecuación (4.05),
∑¿
(
2 π × 72
cm
3 × 980
s
2
)
∑ ¿ 7.39 × 10 cm 7
(
2 π × 8400 60
)
2
s × ( 8.1 −2
3
−3.6 ) cm × cot 38 3
3
2
El gasto %olum#trico ue puede mane"ar la centrifuga es3 −6 cm
Q =1.02 × 10
s
7
× 7.39 × 10 cm
2
cm Q =75.35 s
Q =271
3
l h
ESCA/A0IENTO En el análisis de la operación de la sedimentación centrifuga se +an desarrollado e!presiones para el cálculo del gasto mane"able por una centrifuga de una geometría particular. Este enfoue es debido a ue los euipos disponibles se contribu*en en tamaDos específicos, de tal manera ue gran parte del problema de separación centrifuga se reduce a una selección del euipo más ue a un diseDo específico para un traba"o particular. or otro lado, las %elocidades de sedimentación ue se predicen con la Le* de -toCes pueden ser adecuadas para el caso de las centrifugas tubulares, pero pueden resultar +asta dos %eces ma*ores de las realmente obtenidos en las centrifugas de discos. En la selección de euipo de centrifugación una combinación adecuada de los principios teóricos con pruebas e!perimentales directamente con el material, es lo más recomendable. E!isten dos enfoues para el escalamiento de datos, uno basado en el tiempo eui%alente de centrifugación * otro en el área de centrifugación.
Ta1$a ,!'. a$ores de Gt! 2art-cu$a Hcleo Kitocondria @ibosomas
Tiempo E5ui6a$ente
G 5 1= 1
t 3min4 = = 5
Gt 3min4 0 7= 5
Este enfoue consiste en determinar el producto t, donde está dado por la ecuación (4.5) * t es el tiempo necesario para producir una centrifugación aceptable, de tal manera ue la igualdad3 G1 t 1=G2 t 2
(4.0G)
puede ser utiliada como un criterio de escalamiento. Los subíndices 1 * 2 se refieren a las escalas estudiadas. Las pruebas de sedimentación sobre las muestras se pueden realiar en el laboratorio en una centrifuga de tubos o en una centrifuga de taón. Las muestras se +acen girar a %elocidades específicas a diferentes tiempos +asta producir un sobrenadante claro. El %alor de t obtenido se usa para la selección de euipos a escala industrial. La consistencia de los sólidos puede ser estudiada preliminarmente utiliando una %arilla d laboratorio sobre la torta despu#s de decantar el sobrenadante. En la ;abla 4.1 se presentan %alores de t características de algunas partículas biológicas.
Factor Sigma La e!presión para calcular el parámetro -igma de cada tipo de centrifuga es característica de cada geometría particular (M!elsson, 1G8=). Esta área característica o factor ∑ +a sido empleada para escalar euipos con similitud geom#trica. En la tabla 4.2 se presentan los rangos de los factores ∑ para diferentes tipos de centrifugas.
El escalamiento utiliando el factor sigma supone ue para una
Ta1$a ,!7. Factores Sigma! 2art-cu$a Nntermitente :ecantador a ;ubular :iscos
∑, m2
2>2 1=>2 = 2 >0 4>12
Fuente3 Koir, 1G88
@eproducido con el permiso de Kc raO Pill Nnc. 6op*rig+t Q1G88. ;odos los derec+os reser%ados.
misma suspensión la %elocidad de sedimentación de las partículas es independiente de la escala. Este supuesto es más utiliando cuando se escalan centrifugas del mismo tipo, de tal manera ue3
( V g ) =( V g ) 1
2
* utiliando la ecuación (4.20) se obtiene3 Q ´ 1 ∑1
=
Q´ 2 ∑2
( 4.40 )
-e debe recordar en este punto ue la selección del euipo de centrifugación debe combinar la teoría, la e!perimentación directa con el material (inclu*endo pruebas a ni%el piloto) * la e!periencia (Koir, 1G88). En la ;abla 4.0 se presenta una guía general para la selección de centrifugas sedimentadoras. El tamaDo de partículas a ue se refiere la ;abla 4.0 está basado en la sedimentación en agua de esferas de cuaro de densidad relati%a 2.5=. ara calcular el diámetro eui%alente de las partículas de cuaro, al de las partículas de inter#s en una suspensión dada, se establece ue las %elocidades de sedimentación son iguales en ambos medios, obteniendo la siguiente e!presión3 dc=
1 /2
[( ) ] !− L μ # d ² !
" − #
μ L
( 4.41 )
Ta1$a ,!8. Gu-a para $a se$ección de centrifugas! 6aracterísticas mane"ables de la Mlimentación ;ipos de 6entrifuga ;ubular 6ámara Kltiple
;amaDo de artícula Kicras .1 R 2 .= R =
6ontenido -ólidos < S .= 1R=
rueba de -edimentación a 1 (min) 2 > 2 2 > 2
rueba de 6onsistencia de los -ólidos ;orta firme ;orta firme
:iscos * bouillas :iscos ;aón abierto :iscos * bouillas :iscos Nntermitente ;aón -ólido :ecantadora
.= R 2 .= > 2 .= > 2 .2= > 2 2 > = 2 > =
2 > 2 S 1 S 1 S1 1>= 2 > 8
1 > 1 1 > 1 1 R 1 1 > 1 >0 >0
Lodo Lodo Lodo ;orta firme ;orta firme Lodo R agua
6aracterísticas de rocesamiento ;ipos de 6entrifuga ;ubular 6ámara Kltiple :iscos * bouillas :iscos ;aón abierto :iscos * bouillas :iscos Nntermitente ;aón -ólido :ecantadora
K#todo de descarga de sólidos Nntermitente Nntermitente 6ontinuo Nntermitente Nntermitente Nntermitente Nntermitente 6ontinuo
6apacidad la%ado de torta Hinguna Hinguna Koderada Hinguna Hinguna Hinguna Hinguna Koderada
Flu"o de la Mlimentación l'min 8 R 12 1.= R 00= 08 R 0 78 0.8 R 1 = 0.8 R =7 .08 R 1 = 1.= R 2= 0.8 > 18G
Fuera g Ká!ima 12 R 15 = R G = R 8 = = R 7 14 R 1= = R 8 = R 8 2 R 0 2
Mdaptada de3 Koir, 1G88 @eproducida con el permiso de Kc raO Pill Nnc. 6op*rig+t Q 1G88. ;odos los derec+os reser%ados.
donde3 " : $ens%daddel c&arz' ( 2.65 ) . [ ( / L
3
]
! : $ens%dad de la !art%c&la en s&s!ens%)n. [ ( / L L : $ens%dadde l l*+&%d'. [ ( / L # : $ens%dad de l ag&a . [ ( / L
3
3
3
]
]
]
μ # : V%sc's%dad del ag&a. [ ( / L − .t ]
μ L : V%sc's%dad del l%+&%d' . [ ( / L−. t ] d ! : $%ametr' !art%c&la . [ L ] .
d c : $%ametr' e+&%,alente de &na es-erade c&arz'. [ L ] .
E+emp$o ,!*!" 9rea de Centrifugación
na centrifuga de discos de laboratorio produce un sobrenadante claro con una alimentación de 2.1 l'+ de una solución diluida de c#lulas. El área característica de la centrifuga es de 200 m 2. Estimar el área necesaria para mane"ar un flu"o de 1 l'+ en una centrifuga similar.
So$ución -e puede utiliar la ecuación (4.4) para el caso de mane"o de un flu"o claro a la salida de la centrifuga3 Q1 ∑1
=
Q2 ∑2
1 ni%el laboratorio, 2 ni%el industrial. -ustitu*endo %alores,
( 1 000 l / h ) ( 233 m ) = ∑= ( 2.1 l / h ) Q 2
Q2 ∑1
2
1
∑2=111.000 m
2
