CRITICAL BOOK REPORT KALKULUS
DWI JAKA PRANATA 5162331002
PENDIDIKAN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS NEGERI MEDAN 2017
KATA PENGANTAR
Segala puji bagi Tuhan yang telah menolong hamba-Nya menyelesaikan makalah ini dengan penuh kemudahan. Tanpa pertolongannya mungkin penulis tidak akan sanggup untuk menyusun Critical Book Report ini dengan baik. Critical Book Report ini disusun untuk membahas materi mata kuliah Kalkulus yang penyajiannya berdasarkan pengamatan dari satu sumber yaitu buku dengan sedikit peringkasan. Critical Book Report ini disusun oleh penulis dengan berbagai rintangan. Baik itu yang datang dari diri penulis maupun yang datang dari luar. Namun dengan penuh kesabaran dan terutama pertolongan dari Tuhan akhirnya makalah ini dapat terselesaikan. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada dosen pembimbing yang telah membantu penyusun dalam menyelesaikan makalah ini. Ucapan terima kasih yang sama juga penulis sampaikan kepada kedua orang tua yang selalu mendukung di saat senang maupun susah. Penulis menyadari bahwa Critical Book Report ini memiliki banyak kekurangan. Untuk itu saran dan kritik dari para pembaca sangat penulis harapkan untuk menyempurnakan laporan ini sehingga menjadi lebih sempurna, baik, dan bermanfaat
Medan, September 2017
Penulis
i
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ............................................. ................................................................... ............................................ .......................... .... i DAFTAR ISI .................................................... .......................................................................... ............................................. ................................. .......... ii BAB I PENDAHULUAN ............................ ................................................... ............................................. .................................... .............. 1 1.1 Latar Belakang ........................... ................................................. ............................................ ............................................ ...................... 1 1.2 Tujuan Penulisan ........................................... ................................................................. ............................................ ......................... ... 1 1.3 Manfaat Penulisan ............................................ .................................................................. ............................................ ...................... 1 BAB II ISI BUKU............................................ .................................................................. ............................................ ................................. ........... 2 2.1 Buku Utama (Buku Satu) ............................................ ................................................................... ................................. .......... 2 2.2 Buku Pembanding (Buku Dua) ........................................... .................................................................. ....................... 14 BAB III PEMBAHASAN ............................ ................................................... ............................................. .................................. ............ 21 3.1 Perbedaan Buku ............................. ................................................... ............................................ ...................................... ................ 21 3.2 Kelebihan dan Kelemahan Buku............................................ ................................................................ .................... 21 BAB IV PENUTUP .................................................... .......................................................................... .......................................... .................... 23 4.1 Kesimpulan .................................... .......................................................... ............................................ ...................................... ................ 23 4.2 Saran........................................... ................................................................. ............................................ .......................................... .................... 23 DAFTAR PUSTAKA .......................................... ................................................................ ............................................ ........................... ..... 24 LAMPIRAN .......................................... ................................................................ ............................................ .......................................... .................... 25
ii
BAB I PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang
Matematika merupakan salah satu displin ilmu yang mempunyai peranan penting dalam kehidupan. Banyak kegiatan sehari-hari
yang melibatkan
matematika, contoh sederhana adalah dalam proses jual beli. Selain itu, matematika juga digunakan oleh disiplin ilmu lain sebagai ilmu penunjang, seperti Ilmu Pengetahuan Alam dan Ilmu Pengetahuan sosial. Mata kuliah Kalkulus merupakan Mata Kuliah yang harus dipelajari dengan total 2 SKS oleh mahasiswa Program Studi Pendidikan Teknik Elektro. Mata kuliah ini merupakan mata kuliah dasar yang penting dikuasai mahasiswa karena banyak dipakai untuk mempelajari mata kuliah lain, oleh karena itu mata kuliah ini menjadi prasyrat untuk mengambil beberapa mata kuliah berikutnya. Pada kesempatan kali ini kami akan mereview beberapa buku yang menjadi referensi mata kuliah Kalkulus ini. Kedua buku sama-sama berjudul “Matematika Teknik I”. Kami akan mengulas perbedaan dari kedua buku
1.2
Tujuan Penulisan
Adapun tujuan mengkritik buku kepemimpinan adalah : a. Melatih dan meningkatkan kemampuan mahasiswa dalam mengkritisi suatu buku b. Mahasiswa lebih memahami dan mendalami pokok bahasan matematika teknik I
1.3
Manfaat Penulisan
a. Dapat menyelesaikan tugas mata kuliah Kalkulus tentang Critical Book Report b. Agar mahasiswa lebih memahami dan mendalami pokok bahasan khususnya tentang Kalkulus
1
BAB II ISI BUKU
2.1
Buku Utama (Buku Satu) Judul Buku
: Matematika Teknik I
Penulis
: Drs. Marsangkap Silitonga, M.Pd. Drs. Jongga Manullang, M.Pd. Amirhud Dalimunte, ST., M.Kom.
Penerbit
: Unimed Press
Tahun Terbit
: 2016
Jumlah Halaman
: 95 Halaman
Ringkasan I si B uku 1.
BAB I BILANGAN REAL
Bilangan real adalah gabungan antara himpunan bilangan rasional dengan bilangan irrasional. Dengan perluasan dari bilangan asli, bilangan cacah, bilangan bulat, bilangan rasional dan bilangan irrasional. Ada beberapa istilah bilangan pada Matematika yaitu: 1. Bilangan Real
5. Bilangan Cacah
2. Bilangan Rasional
6. Bilangan Asli
3. Bilangan Irrasional
7. Bilangan Prima
4. Bilangan Bulat
8. Bilangan Komposit
Sifat-Sifat Bilangan Real 1. Sifat Komutatif (pertukaran) : 2. Sifat Asosiatif (pengelompokan) 3. Sifat eksistensi bilangan 0 4. Sifat eksistensi elemen negatif atau invers penjumlahan untuk setiap a elemen
ℝ
terdapat -a elemen
5. Sifat eksistensi elemen unit 1
ℝ
sedemikian hingga a+(-a)= 0 dan (-a)+ a = 0
6. Sifat eksistensi invers perkalian 7. Sifat Distributif (penyebaran)
2
2.
BAB II BILANGAN KOMPLEKS
Bilangan kompleks adalah suatu bilangan a + bi, dimana a dan b bilangan real, sedangkan i adalah satuan khayal (imajiner). a disebut bagian real dan b disebut bagian khayal dari bilangan kompleks tersebut. Bilangan kompleks = (bil.riil)+ j (bil.imajiner) Contoh: x = 3 + j5
dengan: 3 disebut bagian riil dari x 5 disebut bagian imajiner dari x
Contoh soal bilangan kompleks x1 = 2- j3
x2 = 5+ j4
Jawab :
x1 + x2 = (2-j3) + (5+j4)
3.
x1-x2 = (2-j3) - (5+j4)
= (2+5) + j(-3+4)
= (2-5) + j(-3-4)
= 7+j
= -3-j7
BAB III FUNGSI DAN LIMIT 1. Fungsi DEFINISI : Suatu fungsi f ialah suatu aturan padanan yang memasangkan
tiap x dalam suatu himpunan yang disebut daerah asal (domain) dengan sebuah nilai tunggal f(x) dari himpunan kedua yang disebut kodomain. Himpunan nilai yang diperoleh dengan cara demikian disenut daerah nilai (range)
F ungsi Aljabar Fungsi aljabar terdiri atas berbagai jenis teapi yang terutama ada tiga: a. polinom (suku banyak) b. fungsi Rasional c. Fungsi irrasional 2. Limit
Teorema-teorema limit a. teorema A andaikan n bilangan bulat positif ,k konstanta serta f dan g adalah fungsi fungsi yang mempunyai limit di c
3
b. teorema B jika f fungsi polinom atau fungsi rasional, maka
l→im
Asalkan
dalam kasus fungsi rasional nilai penyebutnya tidak nol di c. 3. Fungsi Trigometri
Keenam fungsi trigometri dinyatakan koordinat (x,y) dari tiik ujung sisi terminal sudut itu yang berjarak r dari titik asal sebagai berikut . sin
tan
sec
cot
=
=
csc
= =
cos 4.
BAB IV TURUNAN (DERIVSTIF) 1. Pengertian Turunan
Turunan fungsi y terhadap x adalah
lim ∆ ∆ lim ∆→ ∆ ∆→ ∆
Asalkan limit itu ada.
Proses pencarian turunan fungsi disebut sebagai pendifferensialan sedangkan bagian kalkulus yang berhubungan dengan pendifferensialan disebut kalkulus differensial. 2. Aturan Pencarian Turunan
Berikut ini merupakan teorema pencarian turunan untuk fungsi aljabar:
→ 0 → 1 → − .→ .′ ± → ±
Aturan konstanta :
Aturan identitas:
Aturan pangkat:
Aturan kelipatan konstanta:
Aturan jumlah dan selisih:
Aturan hasil kali:
\
4
. → → tan→ sec→ .tan cot→ csec→ .cot
Aturan hasil bagi:
3. Turunan Fungsi Trigonometri
4. Dalil (aturan) Rantai
Untuk menetukan turunan (dy/dx) dari suatu fungsi komposisi berbentuk y = f(u), dengan u=g(x) digunakan suatu aturan yang disebut dalil rantai sbb. Jika
,
5. Turunan Tingkat Tinggi
Turunan tingkat tinggi dapat diartikan sebagai turunan dari turunan. Hal tersebut dapat dijelaskan dengan contoh sebagai berikut. Sebuah partikel bergerak sepanjang garis koordinat, dengan persamaan lintasan
2 128
( S diukur dalam sentimeter dan t diukur dalam detik).Untuk
menentukan percepatan partikel tersebut setelah waktu t detik diperlukan turunan tingkat. 6. Pendifferensialan Implisit
Untuk menyelesaikan soal seperti ini diperlukan aturan pendiffrensialan implisit sebagai berikut. Untuk fungsi impilisit berbentuk:: aym+bxn+c=0 (m,n bilangan bulat), berlaku
0
5
5.
BAB V PENGGUNAAAN TURUNAN 1. Tangen dan Normal
Untuk menentukan persamaan garis singgung (tangent) suatu kurva pada sebuah titik, pertama-tama ditentukan turunan fungsi dititik tersebut. Untuk menentukan persamaan garis normal ( garis tegak lurus ) terhadap tangent, ingat bahwa gradient garis tegak lurus adalah kebalikan negative. Jadi gradien garis normal di titik P (x,y) adalah –
,.
2. Gerak Kurvilinier
Rumus umum untuk suatu vektor A dengan sudut arah adalah
= cos ɵ A=
dengan besar A
sinɵ ² tan ɵ =
3. Laju yang Berkaitan
Setiap dua variabel yang berubah terhadap waktu dan diantara keduanya terdapat suatu hubungan, bisa mempunyai laju terhadap waktu dari yang satu dinyatakan dalam laju terhadap waktundari yang lainnya. 4. Masalah Maksimum dan Minimum
Karena turunan fungsi menentukan gradien garis singgung, dapat disimpulkan bahwa: x naik mengakibatkan y naik jika turunan fungsi itu [ositif dan sebaliknya bahwa x naik mengakibatkan y turun jika fungsi itu negative. Kesimpulan ini bisa dinyatakan sbb: f(x)naik jika f’(x)>0 dan f(x)turun jika f’(x)<0
6.
BAB VI INTEGRAL 1. Differensial
Differensial dari suatu fungsi y = f(x) di defenisikan sebagai dy = f”(x)dx. Dy adalah differensial dari y,sedangkan dx adalah diferensial dari x. differensial dx didefenisikan.. Sebagai sama dengan
∆
yaitu perubahan kecil
pada x.ini didefenisikan demikian sehingga f(x)=dy/dx.
6
2. Integral Tak Tentu (Anti Turunan) Defenisi : F disebut suatu anti turunan (integral tak tentu ) dari f pada
selang I jika F(x)=f(x) atau dF(x) untuk setiap x dalam selang I ,yang di tulis dengan
∫
Beberapa aturan yang berlaku dalam integral tak tentu dapat disebutkan sebagai berikut:
aturan pangkat
sifat kelinieran integral tak tentu
aturan pangkat yang diperumun
3. Integral Tentu
Sifat-Sifat Integral Tentu
7.
(i) Sifat penambahan selang
(iii) Nilai rata rata integral tentu
(ii) Sifat pembandingan
(iv) nilai rooth, mean, square
BAB VII PENGGUNAAN INTEGRAL 1. Pengunaan Integral Tak Tentu (Persamaan Differensial)
Masalah Gerak Didalam masalah gerak, diketahui bahwa percepatan adalah laju
. ∫
perubahan kecepatan terhadap waktu yang dv = a.dt. Sehingga
∫
atau v =
Dari rumus ini diperoleh
. Selanjutnya karena percepatan
(v) adalah laju perubahan jarak (S) terhadap waktu, didapat S =
Masalah Arus Listrik
∫
Dalam teori listrik diketahui bahwa kuat arus adalah laju perubahan muatan terhadap waktu yang ditulis
. Kalau rumus ini ditulis dalam
bentuk differensial akan menjadi dq = id t. Selanjutnya dengan pengintegralan menjadi
∫ .
.
2. Penggunaan Integral Tentu
Menghitung luas bidang datar Luas bidang yang dibatasi oleh fungsi y = f(x), sumbu x,garis = a dan
garis x= b adalah
∫
(x)dx
7
Menghitung volume benda putar Volume benda putar yang terbentuk apabila bidang yang di batasi y =
g(x), sumbu x, garis x = a dan garis x = b, di putar mengelilingi sumbu x (metode cakram) adalah V =
∫[ ]
dx.
Menentukan Koordinat Titik Pusat Massa (Centroid) Suatu bidang datar yang dibatasi oleh y1 =f 1(x), y2 = f 2(x), x1 = g1(y)
memiliki titik pusat massa ( Centroid ) di titik (x,y) dengan
ʃ − ʃ − ʃ − ӯ = ʃ −
x=
Menghitung Momen I nersia Suatu bidang datar yang dibatasi fungsi y 1 = f 1(x), y2 = f 2(x), garis x = a
dan garis x = b mempunyai momen inersia terhadap sumbu yaitu : Iy = k a ʃ b x2 (y1 – y2) dx
Menghitung usaha dari gaya berubah (variable) secara fisika, usaha (energi) ialah hasil kali antara suatu gaya konstan
dengan jarak yang dilalui. Usaha dapat dinyatakan sebuah integral tentu dalam bentuk sebagai berikut. W = a ʃ b f(x) dx
Menghitung gaya tekanan zat cair Jika berat per satuan volume (berat Jenis) zat cair dinyatakan dengan w
maka tekanan pada kedalaman h adalah p = wh. Untuk air, w = 9800 N/m 3 atau w = 62,4 lb/ft 3.
8.
BAB VIII FUNGSI TRANSENDEN 1. Fungsi Logaritma Asli
Definisi : Fungsi logaritma asli yang ditulis in didefinisikan sebagai In x =
∫ ;>
Daerah definisinya adalah himpunan bilangan rill positif Turunan logaritma asli Jika y = f(x) = ln x, maka turunan adalah
;≠ 8
2. Fungsi Balikan (Invers) Dan Turunannya
Untuk mendapatkan balikan dari suatu fungsi yang memiliki balikan, dapat dilakukan dengan langkah sebagai berikut a. Nyatakan x dengan y dari persamaan y = f(x) b. Nyatakan bentuk dalam y yang telah ditentukan itu, sebagai f -1(y) yaitu x = f -1(x) c. Ganti y dengan x dan x dengan y dalam bentuk x = f -1(y), sehingga diperoleh y = f -1 (x)
Turunan fungsi invers Andaikan f fungsi yang dapat diturnkan dan monoton murni dalam selang i. apabila f(x) ≠ 0 pada semua x imempunyai balikan (invers) maka f -1 dapat diturunkan dititik y = f(x) pada daerah nilai f dan berlakunya
Rumus tersebut dapat juga ditulis sebagai / (f -1)’(y) =
3. Fungsi Eksponen Asli
Definisi : balikan dari ln disebut sebagai fungsi eksponen asli dan ditulis sebagai exp. Yaitu x = exp. Y ↔ y = in x 4. Fungsi Eksponen Umum Dan Fungsi Logaritma Umum
Fungsi eksponen umum suatu fungsi ekponen umum dapat dinyatakan dengan y = f(x) = a x
dengan a adalah bilangan rill positif yang tidak sama dengan e. untuk a>0 dan x sebarang bilangan rill, berlaku ax =exln a Dari definisi tersebut didapatkan ln(ax) = ln(exlna) = x ln a
Fungsi logaritma umum Fungsi logaritma umum ialah fungsi logaritma dengan bilangan pokok a
yaitu bilangan positif yang tidak sama deagan 1.fungsi logaritma umum biasa ditulis y = f(x) = loga x yang didefinisikan sebagai berikut. Jika a bilangan positif dan a ≠ 1, maka y = loga x ↔ x = ay
berdasarkan definisi tersebut juga diperoleh loga x =
9
5. Pertumbuhan dan peluluhan eksponensial
Bentuk persamaan differensial yang berkaitan langsung dengan fungsi eksponensial ialah
. Dengan pemisahan variable persamaan ini menjadi
sehingga dengan pengintegralan menghasilkan
In y = kt + C.
Apabila terdapat syarat awal bahwa y = y0 untuk t = 0, diperoleh y = y0 ekt 6. Fungsi Trigonometri Balikan (Invers)
− ⟺; − ≤ ≤ cos− ⟺ cos; 0≤ ≤ tan− ⟺tan; − < < sec− ⟺ sec; 0≤ ≤ ≠ sinh − coth cosh − sech tanh ℎ csch
7. Fungsi Hiperbolik dan Balikannya
9.
BAB IX TEKNIK-TEKNIK PENGINTEGRALAN 1. Pengintegralan dengan penggantian (substitusi)
Apabila substitusi ini mengubah f(x)dx menjadi h(u)dud an apabila H adalah anti turunan dari h, maka
∫ ∫ ()
2. Integral Trigonometri
Untuk mengintegralkan fungsi trigognometri digunakan metode penggantian dan memakai kesamaan trigonometri yang tepat. Berikut ini adalah teknik peintegralan fungsi trigonometri dalam berbagai jenis:
∫ sinxdx, ∫cos xdx ∫ sin xcos xdx ∫ tanxdx, ∫ cotxdx ∫ tanxsec xdx, ∫ cotxcsc xdx ∫ sin mx cos nxdx, ∫ sin mx sin nxdx, ∫ cos mx cos nxdx
Jenis 1 :
Jenis 2 :
Jenis 3 :
Jenis 4 :
Jenis 5 :
10
3. Penggantian yang merasionalkan
Substitusi u =
√ √ ;√ √
Integran yang memuat
untuk merasionalkan
Integran memuat
, dan
4. Penintegralan parsial
Dalam rumus turunan hasil kali fungsi, berlaku hal sebagai berikut Misalnya u = f(x) dan v = g(x). Jadi
10.
∫ .. ∫ .
. atau d(u.v) = u.dv + v.du
BAB X BENTUK TAK TENTU DAN INTEGRAL TAK WAJAR
1. Bentuk-Bentuk Tak Tentu
a) Bentuk tak tentu jenis 0/0 b) Bentuk tak tentu jenis
∞/∞
2. Integral Tak Wajar, Batas Tak Terhingga
a) satu batas integral tak terhingga b) Kedua batas tak terhingga 3. Integral Tak Wajar, Integral Tak Terhingga
a) integral yang tak terhingga pada titik ujung satu selang b) Integral yang tak terhingga pada sebuah titik dalam
11.
BAB XI PENGINTEGRALAN NUMERIK DAN HAMPIRAN
1. Aturan Trapesium
Nilai-nilai y yang digunakan diperoleh dari fungsi y = f(x) atau koordinat y
AT AT b ∫ f xdx y y y y3 y− y dari sekumpulan data. Karena
menghampiri luar bidang di bawah kurva, maka
juga menghampiri nilai integral tentu yaitu ≈(
+
+
+
+…+
+
) Δx Dengan Δx =
Persamaan inilah yang disebut dengan aturan trapezium.
b−
2. Aturan Parabola (Aturan Simpson)
Aturan simpson adalah metode pengintegralan nummerik yang pendekatannya sama dengan aturan trapezium, tetapi menggunakan kurva dengan sekumpulan busur busur parabolic sehingga disebut juga sebagai aturan parabola.
12
3. Deret Mc Laurin
Suatu fungsi aljabar dapat dinyatakan dengan suatu fungsi berbentuk F(x) =
+
+
+…
+ ….
Persamaan ini disebut sebagai ekspansi deret pangakat dari f(x). masalahnya apakah setiap fungsi dapat dinyatakan dalam bentuk seperti itu. 4. Deret Taylor
Asumsi dasar dalam memformulasikan ekspansi deret taylor ialah bahwa suatu fungsi dapat diekspansi ke dalam sebuah polinominal berbentuk F(x) =
+
(
)+
x-
+…
13
2.2
Buku Pembanding (Buku Dua) Judul Buku
: Matematika Teknik I
Penulis
: K.A. Stroud
Penerbit
: Erlangga
Tahun Terbit
: 2003
Edisi
: Kelima Jilid I
Jumlah Halaman
: 670 Halaman
Kota Terbit
: Jakarta
Ringkasan I si B uku Pembanding 1.
BAB I ALJABAR 1. Bilangan
Bilangan natural umumnya disimbolkan dengan N yang terdiri dari N = {1,2,3,4,5,…}.kemudian orang mulai memikirkan tentang nol, dan pada saat ini orang mulai mengenal bilangan cacah. Bilangan cacah umumnya disimbolkan dengan W yang terdri dari W= {0,1,2,3,4,5,…} bisa dibilang semua bilangan natural adalah anggota bilangan cacah karena, irisan keduanya adalah bilangan natural itu sendiri. 2. Operasi Bilangan
Penjumlahan
Perkalian
Pengurangan
Pembagian
3. Eksponen/ Pangkat
Pangkat yang dinyatakan dengan a n adalah notasi yag menyatakan banyaknya perklian a terhadap dirinya sendiri, sebanyak n kali Contohnya ; 3 3 = 3.3.3 = 27 42 = 2.2 = 16
4. Logaritma
Logaritma adalah cara untuk menentukan nilai pangkat dari sebuah bentuk bilangan berpangkat. Logaritma memiliki sifat-sifat khas, yaitu : 1. aLog A =
2. Log A + Log B = Log ( A.B ) 14
3. Log A – Log B = Log 5. Faktorial
4. Log An = n Log A
Factorial didefenisikan sebagai perkalian berurutan mulai dari 1 hingga angka tertentu. Tentunya ini adalah defenisi untuk angka adalah anggota bilangan cacah, karena selama ini factorial yang diajarkan hanya sebatas itu. Misalkan n! = 1.2.3…( n-2 ) ( n – 1 )n ini adalah rumusnya factorial. 6. Binomial Newton Vs Binomial Sugi
Binomial newton ini hanya berlaku untuk pangkat n anggota bilangan cacah. Salah satu kekurangan dari binomial adalah tidak bisa digunakan untuk pangkat n negative. Berikut ini adalah rumus Binomial Newton:( a + b ) n = 7. Pola Bilangan
∑= −
Pola bilangan adalah bentuk atau struktur yang sekuensial atau memiliki hubungan pengoperasian dari urutan dengan bentuk dan struktur s ebelumnya. Pola bilangan berarti adanya struktur yang sekuensial antara bilangan-bilangan selanjutnya dengan bilangan-bilangan sebelumnya. Secara fundamental pola bilangan terbagi menjadi 2 yaitu pola aritmatika dan pola geometri 8. Fraksi Parsial
Prinsip parsial dari fraksi parsial adalah mengubah sebuah persamaan rumit menjadi bentuk parsial atau bagian yang lebih sederhana. Contohnya ada permasalahan sebelumnya dapat disederhanakan menjadi :
− ∫ −−
2.
=
+ + −
BAB II TRIGONOMETRI
Trigonometri adalah salah satu cabang dari matematika yang mempelajari tentang sudut sudut segitiga, sisi sisi segitiga dan hubungan dengan keduanya. 1. Teorema Phytagoras
Menurut Phytagoras ada hubungan yang menarik antara sisi sisi segitiga siku siku. Hubungan tersebut terkenal dengan sebutan teorema phytagoras, yang berbunyi “ Kuadrat sisi miring sebuah segitiga siku siku, sama dengan jumlah kuadrat sisi sisi yang lainnya.
13
2. Rasio Trigonometri
Gagasan ini adalah pengembangan dari adanya rasio phytagoras yang nilainya tetap. Berikut adalah rasio trigonometri tersebut sin
℧ ℧ cos
atau
3. Sudut sudut istimewa
3.
℧
=
BAB III GRAFIK DAN FUNGSI
Suatu
fungsi
didefenisikan
sebagai
suatu
korespondensi
yang
menghubungkan suatu himpunan yang disebut daerah asal ( domain ), dengan nilai tunggal suatu himpanan yang disebut daerah hasil atau range. 1. Pengertian Fungsi
A adalah daerah asal ( domain ), B adalahdaerah hasil fungsi ( range). Anggap semua fungsi adalah sebuah mesin yang mengubah beberapa dari anggota himpunan daerah asal menjadi salah satu anggota dari himpunan daerah hasil fungsi. 2. Grafik Fungsi
Grafik fungsi adalah penggambaran sebuah fungsi ke dalam sebuah grafik, dengankoordinat tertentu ( umumnya kartesian ). Pada koordinat kartesian, nilai fungsi f(x) adalah koordinat y, atau y = f(x). 3. Fungsi Invers
Fungsi invers didefenisikan sebagai balika dari sebuah fungsi, dimana fungsi invers dari sebuah fungsi tertentu akan bekerja berkebalikan dengan fungsi tertentu. Ambil x adalah elemen dari himpunan X, yaitu himpunan dearah asal
∈
, dan y adalah elemen Y, yaitu himpunan daerah hasil
4. Fungsi Komposisi
∈
.
Dari pembahasan diatas, kita telah mengkomposisikan f denga g. fungsi yang dihasilkan disebut komposisi f dengan g, yang dinyatakan dengan
°
. 13
° ° 5. Fungsi Limit
Menyatakan bahwa
l−im
berarti bahwa bila mana x dekat tetapi
berlainan dengan c, maka f(x) dekat ke F.
4.
BAB IV TURUNAN
Pengertian turunan dapat dijelaskan sebagai berikut: jika P(a,f(a)) adalah sembarang titik pada sebuah grafik suatu fungsi
f . Titik lain pada gambar
dinotasikan dengan Q(a+h,f(a+h)),dimana h adalah beda antara absis Q dan P. Kemiringan tali busur yang melalui titik P dan Q adalah Mpq =
+ℎ ℎ
1. Turunan Dengan Fungsi Limit
Turunan sebuah fungsi f adalah fungsi lain f’ ( dibaca f” aksen ) yang nilainya pada seberang bilangan x adalah f’(x) = 2. Turunan Sederhana
lℎ−im +ℎℎ−
Ada 2 jenis turunan sederhana yaitu turunan polinomial dan turunan pada trigonometri 3. Teorema Aturan Berantai
Jika kita ambil sebuah fungsi, dimana fungsi tersebut adalah kombinasi dari beberapa fungsi dasar pembangunannya, maka penyelesaian fungsi tersebut akan memenuhi sebuah aturan yang disebut aturan berantai. 4. Operasi Pada Turunan
Rumus cepat dari operasi turunan yaitu :
′ ′′ ′ ²
5. Aplikasi Turunan
Aplikasi turunan sangat berguna disegala bidang ilmu. Dalam dunia teknik turunan berperan dalam upaya optimalisasi desain dan segala urusan perhitungan efisiensi dan ekonomis. Dalam duia perekonomiaan, turunan digunakan untuk analisis pasar dan menentukan gradien fungsi permintaan dan penawaran. 14
5.
BAB V INTEGRAL 1. Defenisi Integral
Integral adalah kebalikan dari proses diferensiasi. Integral ditemukan menyusul ditemukannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang integral adalah ʃ . Integral terbagi dua yaitu integral tak tentu dan integral tertentu. 2. Pengintegralan Sederhana
∫ + ( ± ) ± n
dx =
+c
3. Metode Penyelesaian Integral
a. Subtitusi
b. Partial
о () ′
Didalam buku-buku kalkulus kita sering menjumpai rumus partial sebagai berikut :
∫ ∫
c. Residu
Metode residu (sisa) adalah metode yang didapat dari penerapan teorema sisa pada polinomial. Permasalahan yang sering diselesaikan dengan metode ini biasanya adalah sebuah integral sebuah fungsi dimana pembaginya adalah sebuah fungsi polinomial. d. Metode Trigonometri
Metode ini menggunakan fungsi trigonometri sebagai pensubtitusi pada fungsi yang akan kita integralkan.
6.
BAB VI MATRIKS 1. Matriks
Matriks adalah sebuah ruangan yang terdiri dari baris dan kolom. Jika A adalah sebuah matriks m x n, maka dituliskan sebagai berikut: 15
A= 2. Operasi Pada Matriks
11 ⋯ 1 1⋮ ⋯⋱ ⋮
a. Penjumlahan dan Pengurangan
Dua matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan hanya jika dua matriks tersebut memiliki banyak garis yang sama dan banyak kolom yang sama. b. Perkalian
Perkalian matriks sebagai berikut: A x B = AB 3. Matriks Identitas
Pada matriks, ada yang disebut dengan I matriks identitas n x n di mana jika dikalikan dengan A matriks n x n, maka hasilnya adalah matriks n x n itu sendiri. Perkalian dengan matriks identitas bersifat komutatif. 4. Invers Matriks
Pembagian adalah perkalian suatu bilangandengan bilangan yang diinverskan. Jika suatu bilangan dikalikan dengan inversnya sendiri, maka hasilnya adalah satu.
7.
BAB VII VEKTOR 1. Mengenal Vektor
Dalam penulisannya vektor digambarkan dengan anak panah dan dituliskan dengan huruf yang diatasnya ada anak panahnya. 2. Komponen vektor
Vektor memiliki tiga komponen yang setiap komponen arahnya searah dengan tiap sumbu pada koordinat kartesius tiga dimensi. 3. Magnitude vektor
Magnitude adalah nilai dari sebuah vektor. Mencari magnitude
→ → + +
komponen vektor
= axi + ay j + azk adalah sebagai berikut
→
dari
=
16
4. Operasi Vektor a. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor
Penjumlahan dan pengurangan pada vektor memiliki arah, sehingga arah juga memengaruhi perhitungan. b. Perkalian Vektor dengan Skalar
Jika vektor dikalikan dengan skalar, maka langsung saja kalikan skalar tersebut dengan tiap komponen vektor. c. Perkalian Dot (Dot Product)
Perkalian dot adalah perkalian dua vektor yang hasil akhirnya adalah skalar. d. Perkalian Silang (Cross)
Perkalian cross adalah perkalian dua vektor yang hasil akhirnya adalah vektor 5. Sudut Dua Vektor
Dua vektor
⃗ dan
akan membentuk sudut ω. Untuk mencari sudut ω bisa
menggunakan perkalian dot atau perkalian silang. Dan akan mendapatkan sudut ω dengan persamaan berikut: ω = arccos
‖⃗‖‖. ‖
,
ω = arcsin
‖⃗‖‖ ‖
6. Diferensial Vektor
Diferensial vektor terhadap t didefenisikan sama seperti diferensial fungsi skalar, sebagai berikut: 7. Operator Del
Del
∇
⃗ = lim + ∆− ∆→ ∆
didefenisikan secara aljabar sebagai berikut:
∇ i
+ k
+ j
a. Gradien b. Divergensi c. Curl 8. Integral Lintasan Vektor
Cara menghitungnya adalah dengan mengubah integral lintasan menjadi integral biasa, baru menghitungnya. Didefenisikan dengan persamaan berikut:
⃗ ⃗
W = ʃ . d
17
8.
BAB VIII BILANGAN KOMPLEKS
1. Bilangan Kompleks Bilangan kompleks terbentuk atas bagian real dan imajiner. Dinyatakan dengan z = x + iy: Rez = x,
Imz = y
2. Operasi Bilangan Kompleks Sebenarnya operasi dalam matematika hanya ada dua saja. Yaitu penjumlahan dan perkalian, sedangkan pengurangan adalah kondisi kusus dari penjumlahan dengan bilangan negatif dan pembagian adalah kondisi kusus perkalian dengan bilangan invers atau balikan.
3. Modulus Jika bilangan kompleks dinyatakan oleh berikut ini : z = a + ib, sin ɵ = ɵ
maka yang disebut modulus adalah || = √ √ ||
, cos ||
4. Konjugat Kompleks Konjugat adalah pasangan. Setiap bilangan kompleks z memiliki pasangan
⃗
(konjugat) .
5. Teorema de Moivre Teorema de moivre menyatakan eikƟ = (cos Ɵ + i sin Ɵ)k = cos kƟ + i sin kƟ
9.
BAB IX PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA 1. Persamaan Sparabel Variabel
Sparabel Variabel adalah metode penyelesaian persamaan diferensial dengan cara mengelompokkan fungsi-fungsi berdasarkan variabel yang sama, kemudian diintegralkan. 2. Persamaan Eksak
Persamaan eksak adalah persamaan diferensial yang memiliki syarat tertentu, apabila tiap bagian persamaan saling diturunkan dengan variabel pasangannya, maka keduanya sama. 3. Persamaan tak Eksak
Persamaan tak eksak adalah persamaan differensial yang memiliki syarat tertentu, apabila tiap bagian persamaan saling diturunkan dengan vvariabel pasangannya, maka keduanya tidak sama.
18
4. Persamaan Diferensial Linier
Persamaan diferensial linear adalah persamaan yang memiliki bentuk umum turunan orde satu dan pada umumnya tak eksak. 5. Persamaan Homogen
Persamaan homogen adalah persamaan diferensial yang pada awalnya berbentuk
,kemudian dapat dimodifikasi menjadi bentuk F=F (v).
f(x,y)=
6. Persamaan Bernouli
Persamaan bernoli adalah salah satu bentuk persamaan diferensial. Bentuk umum persamaan Bernouli
7. Persamaan diferensial Orde Dua = 0
Adalah persamaan diferensial yang memiliki komponen turunan tingkat dua. Untuk menyelesaikan persamaan diferensial orde dua dengan cara membentuknya menjadi persamaan kuadrat. 8. Persamaan Diferensial Orde Dua ≠ 0
Untuk persamaan diferensial orde dua yang f(x) ≠ 0 penyelesaiannya tidak hanya complementary function tetapi juga melibatkan particular integral.
10.
BAB X TRANSFORMASI LAPLACE
1. Pengertian Transformasi Laplace
Ide dasar dari transformasi Laplace adalah merubah variabel bebas (domain) dari fungsi penyelesaian persamaan diferensial menjadi bentuk variabel bebas (domain frekuensi) s.
2. Invers Transformasi Laplace-Sugi
Invers transformasi laplace didefenisikan sebagai balikan dari transformasi laplace. Jadi invers transformasi laplace adalah tools untuk mengubah kembali variabel bebas (domain frekuens) ke dalam variabel bebas (domain) asal. 3. Operasi Transformasi Laplace
b. Mentransformasikan Turunan a. Mentransformasikan Turunan
19
c. Mentransformasikan Turunan
4. Teorema Transformasi Laplace
Transformasi
laplace
memiliki
sifat-sifat
tetentu.
Fungsi
yang
ditransformasikan jika fungsi-fungsi tersebut merupakan hasil sebuah perkalian, maka akan menghasilkan bentuk transformasi yang berbeda-beda 5. Aplikasi Transformasi laplace
Dengan transformasi laplace kita bisa menyelesaikan persamaan diferensial dengan sangat mudah. Bentuk fungsi pada transformasi laplace memenuhi operasi aljabar biasa, sehingga mudah untuk disederhanakan.
20
BAB III PEMBAHASAN
3.1
Perbedaan Buku
Buku Utama (Diktat Matematika Teknik 1) menurut kami lebih unggul jika dibandingkan buku pembandingkedua karena buku utama semua materi dijelaskan secara detail sedangkan di buku kedua sangat membosankan ketika dibaca dan penjelasan materinya kurang detail dan terperinci. Ini yang membedakan antara buku utama dengan buku pembanding.
3.2
Kelebihan dan Kelemahan Buku
3.2.1
Buku Utama (Buku Satu)
a. Kelebihan Buku
Keunggulan dari buku utama yaitu isi dari buku ini sangat lengkap sekali, karena setiap aspek-aspeknya dijelaskan secara rinci, dari pengertian sampai kepada contoh-contohnya. Buku Matematika Teknik I ini terdiri dari beberapa sub bab, masing-masing dari sub bab tersebut berisi penjelasan tentang topik judul yang tertera dari sub babnya. Disetiap akhir babnya selalu dilampirkan contoh soal, jadi keakuratan dari isi buku ini sangat terjamin. Bahasa yang digunakan dalam buku ini sangat mudah sekali untuk dicerna dan dipahami, semua yang dijelaskan dalam buku ini sangat berurutan dan bagus sekali.
b. Kelemahan Buku
Kelemahan dari buku pertama yaitu pembahasannya terlalu monoton. Ada penulisan kata yang salah, seperti seharusnya “dan” tetapi dibuat “dari”. Dan banyak kata-kata yang diulang-ulang.
21
3.2.2
Buku Pembanding Satu (Buku Dua)
a. Kelebihan Buku
Keunggulan dari buku pembanding yaitu sangat menarik, terutama dalam bab 1 dibahas tentang logaritma, invert, dan ekporer secara individu. Penulis buku ini sangat memahami bahwa setiap individu memiliki perbedaan.
b. Kelemahan Buku
kelemahan dari buku pembanding yaitu gambar yang kurang jelas, penulisan yang sukar untuk dipahami. Isinya penuh dengan penjelasan semua, jadi ketika kita membacanya mudah bosan. Dan kita perlu ekstra konsentrasi (fokus) ketika memahami apa inti dari buku ini
22
BAB IV PENUTUP
4.1
Kesimpulan
Matematika Teknik I ini adalah buku yang berusaha mengembangkan potensi diri mahasiswa melalui proses pembelajaran pada jalur pendidikan baik formal maupun non formal, pada jenjang pendidikan dan jenis pendidikan tertentu, dan setiap individu memiliki perbedaan kemampuan dan motorik. Buku ini berbeda dengan buku matematika lainnya. Matematika Teknik lebih sukar dan sulit dipelajari karena membutuhkan pemahaman lebih dibanding mempelajari matematika dasar.
4.2
Saran
Saran dari kami mengenai buku Matematika Teknik I ini yaitu rumus-rumus yang terdapat di dalam pembahasan buku tersebut harus lebih simple, jelas, dan tepat. Dan sebagai pemula kami berharap agar contoh soal yang diberikan agar lebih mudah untuk dipahami dan tidak sukar dimengerti. Dan semoga nantiya dengan kita terus belajar dan memahami segala sesuatu yang ada di dalam buku tersebut kita bisa menjadi guru yang berkualitas dan kita dapat menerapkan ilmu yang kita dapat ke jenjang pendidikan berikutnya.
23
DAFTAR PUSTAKA
Silitinga, Marsangkap ; Manulang, Jongga dan Dalimunthe, Amirhud. 2016. Diktat Kuliah Matematika Teknik I . Medan Stroud, K.A. 2003. Matematika Teknik I . Jakarta : Erlangga
24
