VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
XXXXXXXX
XXXXX
PROBABILIDAD
XXXXXXX
Tutor XXXXXXXXXX
Universidad Nacional Abierta y a Distancia - UNAD Ingeniería de Telecomunicaciones
Jamundí, Mayo de 2018
ESTUDIO DE CASO 4
La distribución de probabilidad de Poisson describe el número de veces que se presenta un evento durante un intervalo específico. El intervalo puede ser de tiempo, distancia, área o volumen.
La distribución se basa en dos supuestos. El primero consiste en que la probabilidad es proporcional a la longitud del intervalo. El segundo supuesto consiste en que los intervalos son independientes. En otras pal abras, cuanto más grande sea el intervalo, mayor será la probabilidad; además, el número de veces que se presenta un evento en un intervalo no influye en los demás intervalos.
Esta distribución posee diversas aplicaciones. Se le utiliza como modelo para describir la distribución de errores en una entrada de datos, el número de rayones y otras imperfecciones en las cabinas de automóviles recién pintados, el número de partes defectuosas en envíos, el número de clientes que esperan mesa en un restaurante, el número de accidentes en una carretera en un periodo determinado.
NIÑOS “PROPENSOS A ACCIDENTES”
Los padres preocupados porque sus hijos son “propensos a accidentes” pueden estar tranquilos, de acuerdo con un estudio realizado por el Departamento de Pediatría de la Universidad de California, San Francisco. Los niños que se lesionan dos o más veces tienden a sufrir estas lesiones durante un tiempo relativamente limitado, por lo general un año o menos. El estudio determinó que el número promedio de lesiones por año para niños en edad escolar es de dos.
Usando sus conocimientos sobre distribuciones de probabilidad discretas, presente un informe que como mínimo contenga:
1. Esta situación cumple con los supuestos de la distribución Poisson. Identifíquelos
Se usa variable discreta
El enunciado ofrece la media aritmética de los eventos a calcular
Los hechos son de naturaleza aleatoria.
Se observa como los hechos se dan durante cierto periodo de tiempo.
El número de resultados que ocurren en un intervalo de tiempo es independiente del número que ocurre en cualquier otro intervalo disjunto de tiempo.
Cabe explicar que para aplicar la distribución probabilística de Poisson se usa la siguiente formula
− ∙ () = ! Donde:
- () representa el promedio de niños lesionados por años, en esta caso 2. - () es el valor Euler - ( ) representa el número de niños lesionados a calcular la probabilidad
Por lo anterior, se procede a aplicar la fórmula de acuerdo a los enunciados siguientes.
2. Probabilidad de que un niño sufra tres lesiones durante el año
− ∙ 2 0.1353 ∙ 8 1.0827 (3) = 3! = 6 = 6 = 0.1804 La probabilidad que un niño sufra tres lesiones durante el año es de: 18.04%
3. Probabilidad de que un niño sufra más de tres lesiones durante el año
Para este punto de aplica uno de los teoremas que dice: Si A es un evento cualquiera de un experimento aleatorio y A’ es el complemento de A. A. Por lo tanto para saber la probabilidad mayor que tres, primero debemos hallar la suma de las probabilidades menores e iguales a tres, y restárselos a 1.
− ∙ 2 0! − ∙ 2 1! − ∙ 2 2! − ∙ 2 3!
0.1353 1353 ∙1 ∙1 1 0.1353 1353 ∙2 ∙2 1 0.1353 1353 ∙4 ∙4 2 0.1353 1353 ∙8 ∙8 6
0.135 0.271 0.271 0.180 (≤ ) = . .
(> 3) = 1 (≤ 3) (> 3) = 1 0.857 (> 3) = 0.143 La probabilidad que un niño sufra más tres lesiones durante el año es de: 14 .3%
4. Probabilidad de que un niño sufra una lesión en los siguientes tres meses del año.
El enunciado nos indica que en el año hay un promedio de 2 niño lesionados, como están pidiendo la probabilidad de tres meses, entonces el promedio original se debe dividir por el número de trimestres
= 2 ÷ 4) seria 0.5
que hay por año son 4, y esto nos indica que el valor de (
−. ∙ 0.5 0.6065 (1) = 1! = 0.60651 ∙ 0.5 = 0.3032 1 = 0.3032 La probabilidad que un niño sufra una lesión en los siguientes tres meses es de: 30 .32%
5. Número de lesiones esperado por año y su desviación estándar. Dentro de que limites se espera entonces que caiga el número de lesiones por año.
Esperanza matemática
() = ∑ ∙ () () 0 1 2 3 4
() 0.135 0.271 0.271 0.180 0.143
∙() 0 0.271 0.542 0.541 0.572 () = . .
Varianza
= () = () [()] 0 1 2 3 4
0 1 4 9 16
() 0.135 0.271 0.271 0.180 0.143
∙ ( ()) 0 0.271 1.084 1.624 2.288 .
= 5.267 267 (1.92 (1.926) 6) = 5.267 267 3.709 709 = . . Desviación
= ( () = √ 1.558 1.558 = ,, 6. Realmente, pueden estar tranquilos los padres? Sustente su opinión en los resultados obtenidos
Después de realizar los ejercicios dados en esta actividad, parto observando la probabilidad de que un niño no tenga ninguna lesión, y observo que apenas es del 13.5%, por lo tanto queda claro que existe una probabilidad de 86.5% la cual es muy alta de que un niño por lo menos sufra una lesión en el años, por lo tanto no n o se puede dar una tranquilidad a los padres, partiendo que igual cada niño es un evento independiente. Pero lo resultados indican que los niños estarán expuestos a tener alguna eventualidad de lesión, y se les aconseja a sus padres tener mucho cuidado en las actividades de sus hijos.
