lducaJ
vr4
Mitici Dudiu Florentina Dudiu
I
*
I
I
ffJfis8*fill:l.:Stril3 ,ri ' l
desPre ,gproaPutnhl rwlndafrgtt'"twa
EdituraCARNtrNIS '.
PITESTI
'
Dor(rlclor CIP r DlbllotocllN0llonrle a Romeniei Aproipc totul despremetodallgurativtr:natematici pentru !|lvtrlllm0ntulprlmsr / MiticdDuddu,Teodor$teft]ice,MarinOanea,... 2006 - PitcAlirCarminisEducalional, 112p.;20 cm. Bibliosr ISBN(10)973-7826-86-8; ISBN (13)978-9?3-7826-86-2 L Dudiu, Mitic; IL $tefinici, Teodor IIL Oanea,Marin Jl (075.33)
O Toate drepturile apar{in trditurii CARMINIS Redactor:Carmen Joldescu Tebrcredactor:Marina Zan ir CoredurA:{utorii Revizie:Cristina Neculai, f,nese Dunitru Tebnoredactre conputerizara:Editlra CARMINIS TiDaml executatla TIPARG S.A. Pitesti Comenzileseprimescla teLffax: n2441253O22, 252467 saupe adresa:Editura CARMINIS str. Exerciliu,bl. D 22, sc.B, ap. I cod 110242,Pitetti,jud. Arge$ ISBN 973-7826-86-8i ISBN (13) 978-973-7826-86-2
PREFATA . Ptuinli, brmici $i alte rudq..prietenid9.familie sau,colegide seNiciu ai pirinlilor se chinuie uneori se ajute un scolar si r;mlve o problemd.Telefoanelezbdmdie,firul explicaliilor se pierde gi atunci se apeleazdIa altcineva, stareade nervozitatecre$te,uneod copilul merge la gcoalacu problemanerczolvatd(,,...se ti-o rezolve invlleioarea.dacda dar a$aproblemagrea!") cand... torul poaledeveni foarte simplu: fie descoperimsinguri, fie vedemrezolvareafhcuti in clasi, oricum,nu ne vine sdcredemce doar catevasegmentedesenate inspirat clarifi cd totul. . Da, metoda figurativi, fiindci d€spreea este vmba, poate clarrfrcaconlinululuneiproblemeo poarefacesepardutoari. Cu o condi.tie:si o fi inleles cat mai bine, crmoscandcat rnai multe nuante aleeiprinaplicarea in caLmaimullesitualii. Iati de ce am consialeratnecesar si elaboldn lucrarea ,,Aproape totul despre metoda figurativi.. Aceastaii w ajuta in pnmd rand pe copii, dm $i pe cei carevor se-i Wrijine pe acegi4 se gdseasceinfoniafii despre conlinuirl metodei, despremodul ei de aplicare in diverse situatii, oferind explicaFi reorctice,modalitili de clasificare a problemelor,modele de rezolvare ti propunands!)Ie rezohaneunnumir maredeFoblemedeo largd!?detate. Irl cartea noashi ,,Matematici penlru clas€le III-IV: Tipuri de probleme. Metode de rezolvare. Teste de selectie.. (FdituraC.arminis. Piretlj.2002)priml!acu inleresde ulililarori, am pus in evidenli cele patuu tipud clasice de prcbleme care se pot rezolva prin metoda figurativi: sume Si diferenli, sumd qi cat, diferenfdqi cat, imperFrecu rest. Experienlala catedri ne-a indemnatsAevidenliemin Drima parle a actualellucreri ti alte caEgorii de problemecare se pol rezolva prin metodafigurativi decat cele clasice.Am consideratcd, pe hngd legetula acestornoi categorii de problemecu cele clasice, exlsti lm specific al lor care meriti cunoscutsi utilizat in eforfirl de rczoh,are,
Partca a II-a cuprinde probleme care se pot rezolva prin motodgfigurativd(dar nu in mod excJusiv).uneledjntreele pudnpdrfii l. all,e'enecesildndidei din mai du.solncadrain subcapitolele mult. astfel dc subcapitole.Ordinealor esterelativ in$mpldtoare.Nu in'6fia1;;aaoelorlpesen€ care:.: vorbesc", lndrplrtdre estd.?ldsabea, pafcurgerdauriCip5x,ti'datmai insermatedin lucrarcanoastrdpermi€forturileprin creadvilatea sugera6de Fnd elevilorse-$iincununeze aoestedesene. ,'' :Af,telitdh!reaciile dtunneavoaste.Nd-ambucua se afldfii,ce problemeleqeastrev-auireat ,,Fobleme!',9i,mai ales,ne-amblrcura saaflamce lucmreade fatev-a fostde folos. ,Mult succes! ,",Autoti
DESPRE
,r'
' l'
*s *
INTNOOACESE Conlinutul unor probleme pare foarte incurcat. Rezolvitorul citeste de rlai multe ori problerna, incercand si $i-o apropie, sI renunte temporar la unele informalii, punand accent pe altele Si revenind apoi la cele la care a renuntat, spre a face textul rnai accesibil,Inai u$or de infeles. E ca $i cum ai incerca sAexplici ceva cuiva care n'a piceput de prima datd $i_f tot adaptezi stilul de expunerepani cand, in sfirgit, se intevede cd ar inlelege $i el cate pu,m (numai ce, in cazuinostru,cel carear inlelegemai greuar putea fi rezolvitorulinsusi!). inlelegerea relaliilor dintre mdrimile unor probleme, intre \,?lorile cunoscutesi/ sal! valodle necunoscuteale aceston este rm proces carc se desfr$oarl in rnai multe etape,de la o etapSla alta rezolvitorul sim,tindce zonacercetatd(problema!)devinedin ce in ce mai luminatddup6ce, ini1ial, i sepAreaci estein beztI. Uneledinte acesteetapepresupundiversetipuri de reformularea problemeipdni se giselte foma care se asigureintelegereaclari a corLmutului ei, asdel incat, el, rezolvitorul, sa $tie cu precizie ce opera$i efectueazi pentrua afla necunoscuteleproblemei(celeceruteexplicit de text san cele formulateca cerinteintermediarede rezolvitor). in multe situaIii, o reformulare schematicdeficientd se reali_ zeaz, prin metoda lig[rativi (grafici), o metodl foafie desutilizatii in clasele I-IV, Ea cons$ in reprezentaream5rimilor necunoscute prin diferite simboluri, evidenliind in aceastdreprezentare$i posibF iele relalii dintre mirimile probl€mei.Utilizand pentru reprezentarea mirimilor, segmentede dreaptesaualte figuri geometrice,precum$l scbemeale obiectelor despr€care se vorb€$tein probleme,metoda u$uleazetrecereade la abstractla concret Si inve6, netezindcalea problemeloralgebricein re,,olvarea spreulili/afeameLodelor h aphcareametoderse ia o nlinme dreptreper(de regulacea mai micd) celelaltemarimi fiind reprezentatein flmcfe de acesta' Metoda pel1nite,uneori chiar n€cesitd,formulareade ipoteze referitoarela evolu(iaunei situalii reprezentateinifal saula posibilele consecinleale unor modificiri efectuatede rezolvtor precumrmele tansferu sau folosirea unor expresii ca ,,il tnai dau an cehi mai nic". ..ii mai iau eu celuimai nare". *6*
DacAproblemase ref€reh dinamica- evoluiiain timp a tmor rtArimi, trebuieidentificatecu grijn momertele$i ales cel caretrebuie reprezentat, sar! in cazulreprezentiriituturor,cel careconfmercperul. Cum ajungemla concluziacd trebuie sa folosim metodafigurativi? Rareoricalld citim o problemAputemformulao judecad saurm rSspunsimediatla cerinF acesteia.De aceea,ftre a incercasAalgoritmizf,m abordarearemlvirii rmeiprobleme,rccomanalimrezolvitorului, a$acum amrnaifEcut-o$i altddati,sdparcurgdurmdtoareleetape: a) Cutroatterea ti inlelegerea €nunlului problemei Ele!'rt hebuie se aibe in vedere: lecturaatentda textului; clarifi careaelementelorde vocabular; - scrjerea schematici (se includ in schemdnumai informatii esenliale- de regule cantitative $i care permit reconstituircatextului dupeschend); eviden{iereainforma$ilor esenliale,a detaliilor, a legdtu.ilor intre date. G. Polya r€comanddse se pomeasci totdeaunade la mlml, enun!iI esrearaldeclar si de afima'nd:.-\4ergrinainleabracandac.esl poli incat nu te Inai ui,tila problemdpentruo bine ilrpdmat in minte sI pierzi teami ci ai si din vedere ansamblul."' clipi, frrE plan Atraliza intocmirea unui b) ti Cercetind legiturile dinhe valodle cunoscutefi cele necunoscute ale merimilor problemei, se descoperdidei p.ivind aflarea oecrmoscutelorsau aflarea unor date intermediarece pot duce la allarea acestom.Acest proces poate duce la punereain eviden!5a ideilor ce contribuie la rezolvareaproblemei. In acestcaz, stabilirea unei succesiuniconvenabilepoateusula ob,tinereasolulei. Seajrmge, astfef.la inlocmrrea unurplan de rezolvarea problemei. Un€od €steimpodant si gisim o idee de ,,umire" a problemei, etapele planului de rezolvare revelandu-seo date cu rezolvarea propnu-z1si. c) Realizarea planului Coincide clr rczolvarcapropriu-zisaa problemei,prin alegerea operafiilorcorespunz;loare. $i efectuarea ' G. Polya- ,,Cumrezolvdmo problemi ", Ed. $tiinlifici, Bucuesti, I 965
*7*
in etapeleanterioare,cand Stabilireaoper4iilor s€prefigureaz.a lectura textului, identificarearelitiilor dintre alate,intocmireaplanului de rezolvareconducimplicit sprecalculelece trebuie efectuate. d) Privir€a retrospectivi Este o etapdde multe ori ignorat5,dar Iere de carerezolvarea unei problemenu hebuie consideratdincheiate.Neabordareaacestei etapediminueazdpandla anulareefectul in plan intelectual^$iprogre_ sul in capacitateade rezolvarein viitor a altor probleme.In aceasta ehpe se poate reconstitui cu claritate planul optim de rczolvare a problemei (inclusiv prin renuntarcala wrele etape$i restructumrca altora), s€ evidentiazeleglturi cu alte problemeli se fixeazdid€i ce pot fi folosite in rezolvareaacestora,se fac generaliziri sauparticularizeri, sepoi compunealte probleme. In ce priveqt€ lucmrea noastrdcrcdem ce mai sunt necesare catevaobservalii. Uneo am apelat la foqnalinrea problemei folosind penhu diversemirimi litere: a, b, c,. .. In cadrul acestorformalizdri am optat pentru sc ereacu ajutorul inmulFrii a unor r€latii exprimatein text pdn cuvinte ce sugereaz5impi4ireai ,,b estede trei ori Inai mic decat impd4idilui a lab este2 ti reshrl3"se a"sescriea-3!b; ,,catul scrie a = 2 x b + 3. La fel, experienta ne indeanmAse folosim operalia de adunar€ atunci cand textul ne sugereazesi folosim scddetea:..b eslecu 3 mai mic decAta" se sariea = b + 3. Tot din experientdrecomandim rezolvitorilor ca in€galit4ile sugemtede texteleunor problemesi fie scrisecu ajutonrl egaltefilor: .e mai mareca b cu 2A" sescriea: b + 20; ,,4 mai marede2 ori ctt b" se scrie a 2 b. Respectandacesterecomand5rivom ajunge, in cazul in care am decissi folosim metodagrafici, sAreprezentdmcu u$udnfefigura corespunzitoarcproblemei. Paragtafelecare urmeazi reprezlntao incercare de grupar€a problemelor care pot fi rezolvateprin meloalafigurativi in categoni pe car€ noi le-am identificat in actiyitateapmctici. RezolYito i pot aveasi alteDAreri.
*8*
t. samirt DtFEREnffr in cazul acesteicategorii de probleme,reprezmtfunpdn segmentecele doui numere,punandin evidenlelaptul ci unul dinhe ele eslemarmaredecelcelalallcu drfermladrnneele DacA luam ca rcper num6rul mai mic, atunci oblinem dublul acestuinumir scizand din surnddifer€nta celor doue numere.Daci luim ca reper numerul rnai rnare,atunci obtinem dublul acestuinumar adunandla sumediferenlacelor douenumere. A Problcma roEolrtra{ EI Suna a doui numere,,a" $i ,,b" este 18 Si se afle cele doui numere$tiind cAunul estemai mare cu 4 d€catcelilalt Rezplvare a+b=18 a -b - 4 ::-.)U
Egalareacelor douenunere se face: a) prin scddere(e rnai utilizate) bl.---------l
"
I
I
F__]j---]rJ
1 8 4 = 1 4( 2 x b s a u 2 b ) 14: 2= 7 (b) 7 -4 - ll( a ) V e rif ic a re : 1 1 + 7 =1 8 Daci din numirul marc ,,a" scedem4, atunci ,,a" va fi egal cu ,,b". Scizand pe 4 din sumd(18), atunci oblinem douenumereegale
* 9*
b) prin adunare:
* 8. Pe doui rafturialeuneibibliotecisunt75 de cd4i. Se se afle catece4i se afla pe fiecareraft, $tiindcd pe al doileasuntcu 17 mai pu,tined€catpe pdmul.
u+l 4l
b +-:i 1 8 +4 =2 2 (2a) 2 2 : 2:11 (a) 1 1 - 4 = 7 (b) V e ri fica r el l: 7=18
! lR
J
* 9. Suma a ffei numereeste 50. Si se afle fiecare numar, $tiind cd al doilea est€ mai mic cu 4 decat primul qi cu 7 decat al
Dacdnumdruluirnai mic ,,b" ii adrmem4 (diferen{a),atunci va fi cgal cu numerulmai mare ,,a". Diferenla aceastava fi adunate$i b sumi $i atunci obfnem 22 (2 x a s v 2a). !3- Probleme proDrrse
* | O, Sumaa nei numere€ste682. Al fteilea numfu estemai maredecatal doileacu 115,iar decatprimuiest€mai mic cu 170.SI sealle numerele, * 1 1. Pe3 caietes-auscrisin total 101pagini.Pepdmulcaiet s-ascdscu 8 paginirnai pulin decatpe al doilea,iar pe al teilea cu 13mai mult decatpe al doilea.Catepaginis-auscrispe fiecarecaiet?
* l. Sumaa doui numereeste25, iar diferenlalor este5. Allali cele doudnumere.
* 12. Mirind cu 12 sumaa doui numercob.tinem 216.Sd se aflenumerele$tiindcd primulestecu 28 mai maredecatal doilea.
* 2. Sumaa doui numereeste54, iar unul dintre ele estecu 18 mai maredecatceldlalt.Care suntcele doudnumere?
* 13. Daci dintr-unnumerscedem15,iar din altul scddem 83, diferenla numerelor oblinute este 10. Si se afle diferenla dintre numereleinifiale.
* 3, Doudcompuneriau in total49 deranduri.Una € mai scurtd cu 17randuridecatcealaltd.Carcrinduri arefiecarecompunere? * 4. in dounbidoanese afl6 58 l,lapte. CaShtri slmt in fiecare bidondacdin p.imul suntcu 14, mai mult decatin al doilea?
* 14, Sumaa doui numereeste226. Dacedin p.imul nurnir scidem 22 $i din al doilea scedem 52, atunci diferenla dinhe numereleoblinuteva fi 12.SI seaflenumerele.
* 5. Doi ftaS au impreuni 26 de ani. Unul dinhe ei are cu 4 ani mai mult d€catceldlalt.Cati ani are fiecare?
* I 5. Sumaa doudnumereeste208. Dacepe pdmul il mfuim de 2 ori, iar pe al doilea de 3 ori, sumanumercloroblinute va fi egaii cu 512.Seseaflenumerele.
* 6. Bogdanare 100 de timbre romanettiqi striine. Cate timbr€ are din fiecare fel, gtiind ci timbre romane$tiate ctt 24 mai multedecatstriine?
* 16. Diferenfa dintre doua lumere este 9. Mirind de 3 ori cele doui num€re, surrn numcrelor obfinute este 363. Sd se afle numereleinitiale.
* 7. Doui cdr,tiauimprcuni 244 depagini. Una din ele are cu 38 de pagini mai puiin decatcealaltl. Catepagini ar€ fiecarcca.te?
* | 7. Mdrind de 3 ori doui numere obfinem pentru noile numeresuma333, iar diferenta51. Caresuntnumerele?
*1 0 *
*1r*
* 18. Sumaa doudnumereeste121-Dacdil micsordmpe primul de 3 frei ori Sip€ al doilea cu 3, sumanumereloroblinute este egalacu 54. Aflali numereleiniliai€.
2. SAMA tt CAT
a douanumereeste49. Sa seafle numerele * 19. Semisuma primul ci este mai marc cu 18 d€catal doilea. $tiind
Caracteristicaesenlialea acestorprobl€meconsti in faptul ci se precizeazi (sau se poate deduce)de cete ofi este mai rnarc un numdr ,,a" decatalt nunar,,b" $i careestesumalor, prin segmentene va sugemcd,,a" estemai n1are Reprez€ntarea decet,,b"de,,n" ori SicAsumalor este(n + 1)b.Vom obfineastfelpe ,,b" pnn impd4irea sumei]a ,,n + 1" 9i pe ,,a" prin inmul{irea lui ,,b"
* 2O, Semisumaa doudnumereeste70, iar semidiferenta este16.Sdseaflenumerele. * 21 . Dublul sumeia doudnumereeste2fl. Afla1i numerele $tiind cAprimul estecu 28 mai mic decatal doilea. * 22. Triplul sumei a trei numer€este282. Si se afle numerel€, $tiind ci primul estecu 26 mai mic decatal doilea $i mai mare decetal heileacu 28. * 23. Mdrind de 6 ori suna a douenumereoblinem438.Si seafle numerele$tiind ci diferenfadintre ele este2 1. * 24. Sumaa trei mrmereeste52. Primul nurnlr este 10, iar diferenta dintre al treilea $i al doilea este 12. Allati celelalte doui * 25. Un elev a citit in trei zile 43 de pagini dintr-o carte.In prima zi a citit cu 3 pagini mai pulin decata tl€ia zi., i$ a do'Jazi a citit 16pagini. Catepagini a citit in fiecarezi? * 26, Un elev a citit in ffei zile 46 de pagini. in pdma !i in a douazi a citit un nunir €gal de pagini, iar a keia zi cu 18pagini mai putindecatin celedoueziie la un loc.Catepaginia citit in fiecarezi? * 27. Trei elevi aurezolvat intr-o sdplimani 95 deprobleme. Pdmul si al doilea au rezolvat rm numdr egal d€ probieme, iar al treil€a cu 7 probleme mai mult decat ceilalli doi imprermi. Cate problemea rezol€t fiecarc?
A Problenrii reeohuti EI Sumaa doul numereeste28. St se afle numerele,$tiind ce unulestedetlei ori mai marelmic decatcc161a1t. Rezolvqre a+b 28 a : 3 b s a ub = a : 3 Din scriereaprcscudati se obse d cA numarul mai mic este ,,b". il vom figura primul. Pe al doilea il vom desenade 3 ori mai mate.
bH
It ^^
a#J Confom figurii, 28 (suma)rcp.ezinti de4 od numerulmic (b). 28:4- 7 (b) 7 \ 3 : 21(a)
* 13*
!s- Proble||le propur€ * I . Sumaa doui numereeste27. Aflali numerele,ttiind cd al doilea estede 2 o mai rnaredecatpdmd. * 2. Sumaa doui numereeste35. Primul este de 4 on mai mic decatal doilea.Aflali numerele. * 3. Doi frali au imprema 64 de nuci. AflaF cate nuci are hecare,ilaci unul din ei are de 7 ori mai multe nuci decatceldlalt. * 4, ia doud zile rur elev a citit 24 de pagini. Catepagini a citit in fiecare zi, dac5in prina zi a citit de 3 ori mai mult decat a douazi?
* 1O. impdtritul unui numdr $i dublul celui de-al doilea sunt numereegale$i au surna448. Aflali numerele. * 1 1. Triplul unui numdr esteegal cu dublul altui numtu. Sd seafle numerele,$tiind cd sumacelor doudnumereest€250. * 12. Sumaa doudnumereeste80. Diferenla lor estede 3 ori numirul mai mic- Caresuntnumercle? * 13. Suma a doud numer€ €ste 200. Daci pe primul il inmul,rm cu 6, iar pe al doilea cu 2, obFnemnumereegale.Si se afle numerele.
* 5. Trei persoanecumpdrn 100 kg de vazd- Primele doud cumpfudcantit4i egal€,iar a teia cat celelaltedou5 la un loc. Cate kilogramede varzda cumperatfiecarepersoand? * 5. Trei ci4i au impreunI525 de pagini. Cea de-atreia are rm numir dublu de pagini fald de a doua,iar pdma estejumitate din a doua.Carepaginiareflecarecarle? * 7. in trei saci$mt 120kg de cirnent.Catekilogramedecimert $mt in iecare sac,$tiindci in al doileaestejwrEtatedin cantitateadin primul,iar in al treil€ade3 ori mai mult decatill al doilea? * 8. Sumaa doudnumereeste 136.DacSpe primul il inmlrllim cu 2, iar pe al doilea cu 6, oblinemnumereegale.Aflati c€le doui * 9. Suna a doui numereeste48. Dacd pe primul il mlim de 3 ori, iar pe al doilea de 9 ori, obFnem numere egale-AllaF
*14*
*15*
3. D//FESENIA fl Gef in acesteproblemese precizeazdde cate ori est€mai mare un numer,,a" decatun numlr,,b" (saude ceteori estelnai mic ,,b" decat ,,a") $i careestedifercnla dintre ele. Reprczentarcaprin segmentesugercazdcA, dacd ,,a" este de ori ,,n" mai mareca ,,b",atuncidifer€nla,,a- b" este(n - 1)b.Vom oblinenumirul ,,b"prin imptulircadiferenleila,,n l" $i apoip€ ,,a" prrninmullirea lur..b"cu ..n . A Problenri rc€olu i BI Diferenlaa doui numereeste18,iar catullor este3. Sd se d€terminenumerele. Rezolttare
os Proble|n0 DroDN$€ * l. Catula douenumer€este2, iar diferenlalor estetot 2. Aflati numerele. * 2. O compunercare de 4 ori mai multe rendu decatalta. Si se afle cateranduri are fiecare,gtiind ci una are cu 27 randuri mai mult decatcealalte. * 3. Diferenla a doul num€reeste40, iar catul este5. Ailaf numercle. * 4. Un caietareclr 150depaginimai mult decataltul.Aflali cate pagini arc fi€carc caiet, dac5 unul e de 3 ori rnai gros decat celelalt. * 5. Pe un raft sunt de trei ori mai multe pAini decatpe altul, adrcacu 40 marmulle.A llatrcalepernrsuntpe fiecarc rafi.
a b =1 8 a :b:3sa u a =3b ^._'lJ
Pentru a-mi ulun interyrctarca datelor problemei $i a vedea mai bine in minte figura,am rcsois a douarclalie prin operaliainversi imp;rFrii: . deimper,titui= catd x impeqitorul, in cazulnostrua:3 x b.
* 5, intr-un sac sunt de 5 ori mai multe kilogramede ciment decat in alhr1.Difer€nla dintre cantilA,tiledin cei doi saci este de 60 kg. Catekilogramesunt in total? * 7. Fiul are de 6 ori lnai pulini ani decattalal, adica cu 25 mai pulin. CareestevArstafi€chrlia? * 8. Se dau 3 numere.Al doilea este de 2 ori mai mic decat primul, al treilea este suma celorlalte dou6, iar diferenta dintre al treilea qi al doilea este22. Si se afle llumerele.
bl.---
a# 18 Din figuri se observa cd diferenta (18) r€prezinte de doua 18 :2= 9 ( b) 9 \3:27 ( a ) V€rificare:27 - 9: 18
* 9. S; se alle numarul;64. )tirnd ca b - c. b + b c -2 a : 8 . *
paine? *1 6 *
2a,;i
lO. O pnine $i jumitate costi 6000 de lei. Cat costi o
*17*
Dupece se * 1 1. Doui cutii au acela$inumdrde bomboane. pdma qi din a doua 25, se constati ci in a iau din 85 de bomboane doua au ramas de 5 ori mai multe bomboane.Cate bomboaneare fiecarecutie? * 12. endrei are a trcia parte din varstabunicii $i jumeiate din varstamamei. Bunica estemai Inarc cu r|4 de ani d€cetAr&ei. Aflali varstelecelor tl€i persoane. * 1 3, O carteare cu 384 de pagini mai mult decatalta, adicl de 4 ori mai multe. Catepagini ar€ liecarc carte? * | 4. La un concurs de atletism numfuul copiilor de peste 10 ani a fost de 7 ori mai mare decatcel al copiilor carc aveaumai puFn de l0 ani. Sd se afle nume.d copiilordin fiecarecategoriede varstn,$tiind ci cei de peste l0 ani erau cu 144 mai mulf decat ceilalri. * | 5. Penruo kg decanofi.-auplilil cu 4 ,ermaimulldecdr pentru2 kg. Cat costi I kg de carlofi? cite * 16. 7 caieteaucu 192de f,lemarmulrdec;t.] caiele. file are Lmcaiet? * 17, Diferenlaa doui numereeste54 si estede 3 ori mai rnared€cetal dorleanumir.Alla|l numerele. * I 8. Dacd4 sticlede apemineralecost5cu 6 lei mai mul{ decatrmasingure,cat costi o sticle?
18*
4.IM?itfnEAcu tEsr In un€le probleme se cunoa$tesuma sau diferenla a doui numere naturale, catul impd4irii celui rnai mare la cel mai mic qi restulacesteiimparliri. Astlel, dacda : b x n + r, atunci vom rcprezenta,,b,,printr-un segment, iar pe ,,a"p n,,n" segm€nte de merimeaceluicarel repr€zinte pe ,,b" qi incd un s€gment(mai mic) caresereprezinterestul. Reprezentareafigurativb sugereazdse scddemdin sumd sau diferentipe,,r" pentrua rdrnane cu ,,n+ 1" (sau,,n- l") segmente de mirimea celui carel reprezindpe ,,b". 6 Pr.oblc||r(!r()soh! o BI 1. Sumaa doue numereeste26. Catul impe4tuii numirului mai marela cel mic este3, iar restul 2. Caresunt cele doui numere? Rezolyare a+b=26 a : b = 3 ( r e s2t ) s a ua = 3 b+ 2 a - lb : ?
b F---------r
I
2 126
a#J
Din figxre observim ci daci din suma 26 ii indepirtam (scidem) pe2. ob!rnem de4 ori ,,b-. 26 2:24 (4b) De aici avemo problemiin carecunoa$tem suma$i catul. 24:4=6(b) 6\3+2:20(a) Verificare:20 : 6: 3 (rest2) sau20 + 6 - 26
*19*
EI 2. Diferenfa a'doui [umere est€ 20, iar catul lor este3 si restul 4. Si seafle nume.ele. Rezolrare
* 5. Deteminali nuderele ,,a" $i ,,b", $tiind c5 diferenta dinhe ele este 20, iar prin imperlirea primului numer la al doilea se oblinecetd 3 qi restul2.
a b =2 0 a:b= J (rest4) saua = 3b + 4 a- 2 b =? bf-------4
a# l-------------_
* 4. Caful a doui nltme.€ este2, restul 5, iar diferenraesle 12.Saseaflenumercle-
---,
20 Diferenta esle 20. Daci indepdrtampe 4 din aceastidiferenld, obtinemde2 od ,,b". 20- 4: 16(2b) 16 :2: 8( b) 8 x 3+ 4=2E (a) 28:8=3 (rest4) sau28 8:20 Verificare: rs P|'oblonrc paoprrae
* 6. Nicoleta are d€ 6 ori mai multe bomboanegi incd 4 comparativcu Cistian. Catcbomboaneare fiecare,$tiind ce diferenla dintri cele doudcantitdli estede 44 de bomboane? * 7. Doua caieteau 148 de file. Primul are de 2 ori mai multe file decatal doilea gi ince 4. Catefile are fiecarecaiet? * 8, Sumaa trei numereesteI 915.A1 doileanurnarestede 3 ori mai mare decatp mul, iar daceil impi4im p€ al treilea la al doilea,obfinemcatul2 si restul45. Seseaflenumerele. * 9. Sase afle sumaa trei numere,$tiindce al doileaestede doud ori mai mare decat primul, iar dacd il impirtim pe c€l de-al h€ileala primul,oblinemcahrl5 $i restul7. S€mai $tieci difercnqa dintreal heilea$i primuleste39.
* l. Sumaa doui numereest€69. Cetul dintre primul numdr $i al doileaeste7, iar restul5. Seseaflenumerele.
* lO. Mnrind cu 5 triplul unui num5r natural, obFnem un nund. cu 33mai maredecatnum6rulini{ial.Careestenumfuul?
* 2. intr-o clasi numerul fotbali$tilor este clr 2 mai mare decat dublul numirului tenismenilor, ?n total 29 de elevi Aflali numirul de sportivi din fiecarecategorie.
* 1 1 . Pe un raft sunt de douaori mai multe paini decatpe un alt raft ti inca4. Sd seafle catepainisrmtpe celedoudrafturi,$tiind cdpe al doileasuntcu 34 mai multedecatpepdmul.
* 3, Mama9i fiica au impreuni 37 de ani. Sd se afle versta fiecareia, stiind ce manu arc cu un an nai mult d€cat varsta fiicei meriti de 5 on.
* | 2. in doun coquri sunt nuci. in primul co$ sunt de 3 ori rnai multe mrci decat in al doilea co$ $i inci 6. Diferenla dintre cantitefiledin celedoueco$uriestede 54 de nuci.Cetenuci suntin fi€carc co$?
*2 0 *
*
21 *
5. ?808LEMECANAMEBE C0NSECAflVE ConsiderAm$iru1numerelornaturale,scrise in ordine crescetoare:0, l, 2, 3,... . Luandla inamplareo secventd a acestui$ir (care cuprindecel pulin 2 numereluate in ordineain care le gisim in tir), spunemcd numereiecarecompunaceasecventi suntnumerenaturale consecutive: 7,8,9,..., 15,16. Dacd dintr-o astfel de secventeeuminlm numerelenatuale impare,obtinemnumerenaturaleconsecutive pare:8, 10, 12, 14, 16. DacAvom €limina dintr-o secventdde numerenaturalepe cel€ pare, obtinemnumerenaturaleconsecutive impare:7, 9, 11, 13,15. In rezolvareaunor problemereferitoarela numercconsecutive se recomanddutilizarea unor figuriri prin segment€careevidantiazd diferenlele dintre numerelela care face ref€rire textul fiecerei probleme.Seva observaastfelca suntproblemede sumi Sidiferenll. 6 Problen|,oragohat€
Serezolvdca o problem; de sumdsi diferenfe: 39 3 = 36 (3a) 36 :3 - 12(a),13(b),14(c) pare este48. Sa se afle M 2. Sumatrei numereconsecutive numerele. Rezobarc
a+ b+
ar-l
2
48
b#+2
)1
c f-----------l+r
]-
a8 6=a2 0a) 42 :3:14 ( a) .16( b) ,l E( c ) q |troblcmc paopr|$o
EI l. Sumaa t-ernumereconsecutite e{e 39.CaresunLnuJnercle? RczolrarP
* 1. Sumaa trei numerenatumleeste33. Aflali numerele, $tiindca elesrmtconsecutive.
a+b + c:39 a, b, c - numele consecutlve a :2 b:2 c:2
* 2, Suma a trei numere consecutiv€pare este 24. Afla1i numer€le. *
b= a+l c- a '2 Seobi$nuiestesi se figurezein doudfelu.i: a F-l
b# c F__|_l__]
* 4. Numnrd 70 rcprezirtd sumaa trei numereco[secutive impare$i numirul 7. Aflali num€rele.
a F--------------1
39
3. Sumaa tlei numereconsecutiveimparc este 33. Afla1i
b ++1 ],,
* 5. Sumaa trei num€rcnatural€este117.Daci din pimul se scade24, din al doilea 20, iar din al treilea25, se oblin numere consecutivein ordine crescitoare.Afla1i numerele.
* 23tr
* 5. Un elev citeSteo carte in patru zile. in fiecare i cite$te cu o pagini mai mult decatin ziuaprecedenti.Catepaginia citit in fiecarezi, stiindca a alut de citit i 10pagini? * 7. in 4 pungi sunt 140 de bomboane.Si se afle numarulde bomboanedin liecarepunge,qtiind ce in p.ima sunt cu 15bomboane mai mult decatin a palr'a,iar in ultimele trei cantitateade bomboane prinnumere e)lerepre/enlara conceculr\e. pareest€696. * 8. Dublul sumeia pafu numereconsecutive Aflali numerele. * 9. Sumaa 4 numereeste162.Saseaflenumerele,$tiindci p.imele doui $i ultimele doui stmt numereconsecutive,iar diferenla dintre ultimul $i primul €ste2 I . * lO. Sumaa4 numereeste ll1. Al patruleaeste57, iar primele trei su,1tnumereconsecutivepare in ordine descrescitoarc. Aflati numerele.
DE 6, ?NOSLEME 'M'Y'FE8 Sunt probiemein care estenecesarsi evaludmdiferenfelece apar intre merimi de acela$ifel, pr€cum!i modalitilile prin care el€ pot fi create,schimbatesauanulate. O modalitatede a crea,schimbasauanuladifercnladintr€ doue mdrimi consd in efectuareade transferuride la o mirime la alta. Prin metodafigurativi vom evidenla rnai clar relaliile dintre m&imi, iie lui, fi€ in ambelesituaiiiinaintedelransfer,fie dupi efectuarea 6 Problcnre resol&tt€ EI f. in doud cutii avem acela$inumir de creioane.Dacd transf€rim 10 creioanedin prima cutie in cea de-a doua, atunci in prima cutievor fi de 2 o mai puine creioanedecatin a douacutie. Catecreioanesuntin celedoui cutii la un loc? Rezolvdre
+
--"r I --t 10
Figura sugereaz.icI, dupa transfer, avem de 2 o mai multe creioanein a doua cutie decat in prima Si cd, in felul acesta(pdn transfer),in a douaculic vor fi 4 pe4i a cate I 0 creioane,ia. in prima cutie 2 pi4i a carc 10crcioane. 4 x l0 = 40 creioane(dupi hansferin a douacutie) 2 x 10= 20 creioane(in primacutie) 40 + 20 = 60 creioane(in ambelecutii) E|2. intr-oladi suntcu 10kg de cartofimaimult decatintr-oa doua hda. DacAmutdm 5 kg din a doua lad5 in prirna ladi, atunci aceastava con,tineo cantitatede 3 ori mai mar€decata doualadi. Catekilogramede cartofi sunt in cele doui 16zi? *24*
*2s*
Rezohtare Dupi transferavemurmatoarcasituafie:
rnalnreoe ranslel aveamsl|rl:It]al
20 : 2 = 10nuci (aveaal doiteacopil) 10+8= i8 nuci (aveaprimulcoPii) Alt mod(a douavaria fi): 28 : 2 = 14nuci (ar avea,dup5transfer,fiecarecopil) 14+ 4 = 18nuci (aveap.imul copil) L4 4 - l0 nuci(aveaal doileacopill 6 Problcnre proprrr€ * 1. Dace dintr-un numdr luim 5 $i il adiugtun la alt numdr, numereledevin egale.Carea fost diferenladintre ele?
ObservdmcA dublul canrit4ii rimase in a doua ladi dupe transfea estede: 5kg + l 0 kg + 5 kg:20 kg 20 kg : 2 - 10kg (dmen in a douahde) 10kg x 3 = 361t 1"". fi in primaladddupdh?nsfer) 30kg + 10kg=40kg(inceledou-ihzitiinainteqidupitransfer) EI 3. Doi copii au impreuni28 denuci.Dacecel carearemai multe a. da 4 nuci celuilalt, atunci ei ar aveaacela$inumfu de nuci. Catenuci aveafiecare? Rezolrare
r,_++q
L--l
28 <
|
l
Figura ne sugereazecd cel car:eare mai multe de jurnltate djn ce arein plusceluilalt. 4 x 2 : 8 nuci (aveain plusprimulcopil) 28 8 :20 nuci (dublulnundruluide nuci ale celuide-aldoileacopil) *26'k
* 2. Sumaa doud numereeste 38. Daci lu-im 4 din primul numdr$i adlug5mla al doilea,oblinemnumereegale Caresunt ele? * 3. Diana 9i Andreeaau impreula 18 creioane DacdDiana ii dI Andreei doue creioane,atunci ele vor av€a acela$inumlr de creioane.Catecreioanea ar,rrtfiecarela inceput? * 4. in doi sacisrmt 108kg d€ fiinn. SAseafle cetekilognm€ de fdine sunt in fiecare sac, ltiind cE daca luem din al doilea sac 6 kilograme $i le punem in primul, atunci in cei doi saci vor fi cantiteg egaled€ {dtnl * 5. Sumaa doud numereeste 60 DacA luim 7 din primul numar Si adunim la al doilea, atunci al doilea va fi de 3 ori mai mare decatprimul. Careau fost numerelela inceput? Daceiau din prima * 5. in douacutii slmt 186de bomboane. din umll vor in aceasta pun atunci in a doua, cutie 14bomboanefi le au fost pima bomboane Cate fi cu 6 bomboanemai puline decatin initial in fiecarecuti€?
*27*
tn nnp a aMon MaNMt 7.EvoLAfn
* 7. in doudclasesunt62 de elevi. Dacas-artransfera3 elevi din prima clase in cea de-a dolra, atunci ?n cele doul clase ar fi acela$inlrmdrde elevi. Cali elevi suntin fiecareclase?
In unele problemeavem informalia despreevolulia in timp a unor mdrimi, evolulie ce vizeazi schimbarea,atai a valorilm pe care le iau acestemdrimi, cat $i a reialiilor dintre acestevalori. De asemenea,sulrt Fobleme in carc unei€ modificari sunt initiate de rezolvitor. In acestecondilii esteimpo ant seaiegemcu gije ce momente ale evoluliei reprezentim $i ce reper luem in fiecare caz. Oricum, .ezoh'itorul tebuie se aibi abilitateade a fractu€ problemain doue saumai multe probleme,de a vedeasuccesiuneain careacesteapot fi rezoll?te, astfelincat, la final, si poatdf1rezolvateproblemadat5(pe care trebuie s-o avem pemanent in minte ca ansamblual pfulilor compon€nte).
* f. in doud clas€sunt 47 de elei. Dacd2 elevi din a doua clasdse mutd in prima, atunci difercnfa dintr€ col€ctivelecelor doui claseestede un elev.Cafieleviau fost inilial in fiecarechsa? * 9, in trei \asesunr24 y'de apa.Daca"e roamain al treitea vas2 ,din primul si Ldin al doilea,atuncial doileavasva conline de doui ori mai multe api decatprimul, iar primul va aveade trei od mai putin, ape decat al treilea. Cate ap[ a fost la inceput in liecare \,?s? * 1O. Doui numereslmt egale.Daces€ ia 7 din primul $i se adrmi la al doilea, atrmci acestadevine de doui od mai mare decat primul. Careau fost numerele?
A Prohlcnre r€Fokate EI 1. Tafil, rnarrn, biiatul Si fata vor aveapeste 4 ani suna ve.sielorde 80 de ani. Aflati cati ani are fiecare,dacabeiatulestemai maredecatfata cu 2 ani, tatdl d€catmamatot cu 2 ani, iar tatdl decat fatacu 28 de ani. Rezolrare T + M + B + F : 80 ani (peste4 ani) Ca si aducemtimpul la prez€nt,scedemdin sund (80) 16 ani, deoarecefi€carea inaintat in varstacu cate4 ani. 80- 16= 64 (aniin prezenl) Realizdmmai intai urmatoareafigurer:
F#l B+l
I *2 8 *
2l
Mt--------:l r#l
164
2b
,l ,6
* 29*
Am ajLmsla o problemade surni !i diferentd: 64 (2 + 2):60 2 l{+2 F=6 0 impi4ind la 2, oblinem: M+F = 30 M F 2f l
F+l
rr-----------f---!-)
)
lto
26 30 - 2 6 = 4 QF) 4'. 2:2a ni(arefat^) 4+ 2= 6 ani (arebdiatul) 2 + 26 = 28 ani (are iJlarna) 28+ 2 = 30 anl(arctutel) Verificare: l0-28 4 2-b4ani El 2. Peste7 ani fiul va ayea22 de ?f.ll,jar tat'l 46. Acum cai ani varstafiului a fost de 5 ori mai mici decatvarstatatdlui? Rezolvare Viitor Tat5l:46ani Fiul: 22 ani
Pre,,ml Tat6'1: 46 ,7 = 39 (aai) Fiul: 22 . 7 : 15(ani)
24:4- 6 ani(fltl) 6 x 5 -3 0 a n i ( t a r d ) Situa(iaaceastaa fost acum: 15 6: 9 ani sau39 30 - 9 ani EI 3. Ia un concurss-au?nscrisbdieli qi fete.Numerulbiietilor este cu I mai mare decatjumdrarcdin numirul fetelor. Dupe prirna probdsmt eliminafi 6 baieli fi 5 f€te dmanandin concursde 3 ori mai multe fet€ decatbeiei. Catefete $i caf bdieli s-auinscrisla concurs? Rezolrdre Realizim mai intai o figure corespunzitoaresitua{ieiiniliale:
Ff
I
I
Figura urmetoarene indici rezultatul modificdrilor survenite dupi prima probd:
F F______J__F______B F--l Cum s-a ob,tinut acest rezultat? Figua umetoare ne poate sugeraun rispuns Siideead€ rezolvar€:
51
Diferenladevaistdested,e:39 15= 24 (an1)
|-.--v#LA
Trecut
La incepuraufost 20 defere(4 x 5) $i I I beieli(2 x 5 + l).
Fl-.]
os Proble|ne IrolnrS€ * 1. Tatelare31 de ani, iar fiuI4. Ce! ari au trecutde cand tatil aveade 10 ori verstafiului?
Am tblosit metodafigurativd p€ntrutimpul trecut. Acum avem de rezoh?t o problem5de diferenf5Sicat.
't3 0 *
* 2. Pest€8 ani mamava avea30 de ani, iar fiica 9. pesteca! atu mamava aveade 4 od varstafiicei?
*3r*
de rotii scoasah vanzarc€ste * 3. La un magazincantitatea de 3 ori mai mare d€catceade ardei gras.Dacasevand 30 kg de ro$ii qi 20 kg de ardei,rnnAn de patru ori nai multe.osii decatardei.Care h venzare? suntcantiteilede rolii $i ardeiscoase * 4. intre brmic qi nepot esteo diferenfi de 48 de ani. Acum l0 ani bunicul era de 9 ori mai in verstddecatnepotul. Cai ani a.e acumfiecare? * 5. in doui vaseesteape. Cantitateade apd din primui vas estecu un lih1r mai maredecato treime din cantitateaconlinutede al doileavas.Dacdmai adiugim in primul vas7 ,d€ ap5,iar in al doil€a 4 4 atunci in al doilea vas va fi de doui ori mai multi api decatin primul vas.Ce cantit4i eruula inceputin lieca.e vas? * 6. Tatil arede 5 ori vnrstafiLtlui,altfel spus,cstecu 28 deani ar€a de hei ori lnai mult mai rnarc decatacesta.Pe$ecali ani talil decatfiul? * 7. Elevii unei claseplanteazeintr-o zi de douaori mai mulli meri decatperi. A douazi mai planteazi16 meri qi 2 peri $i astfel numarul merilor plantafi in cele doui zile este de 3 ori mai marc decatnunr,irulperilor. Cali pomi au plantat elevii in cele douSzil€? * 8. Acum 5 ani sumavarstelorbunicului, tatilui $i nepotului era de 90 de ani. Si se afle peste cal ani tatdl qi bunicul vor avea dublul, rcsp€ctiv triplul varstei copiiului, qtiind cA atunci cand s-a ndscutcopilul,tatil avea25 deani, iarbunicul50. * 9, Andrei a rczo7\.at26 de probleme, iar Cristina 6 probleme.Dacefiecaredintre ei rezolvi de acumincolo cate2 probleme pe zi, pestecatezile Andrei va avearezolvatede 2 ori nai mult€ pro' bl€medecatCristina? * 'l O. Suna dintrever$eletatiilui,fetiqei$i beiatuluiestede48 de ani. Difden{a dintresord$i &ateestede 2 ani. Sdseafle var$afieciruia, ltiind cAacum4 a1i tatdlaveade5 ori sumavaistelorcelor2 copii.
f,(3 2 *
8. EXEtCtfuSAAPR0SLEME? Existi tmdinta ca o sarcini matematicl formulati in scris care folosegtenumainumerc(eventual,in locul unon, litere) qi senmede opemlii matematice,adici {Xri text, si fie considerateexerciliu. Dar esteintotdeaunaexerciliu? A$a cum am mai spus,cerinla de a atinge un scopclar definit (aflar:eaLmeinecunoscutede,exemplu)carenu esteimediat accesibil, reprezintd,p€ntu cel careincearcl sdo rczolve, o probleme. Penhr unii copii, chiar perfeclionali in aflarea unei necunoscut€ dintr-o egalitateprin metodamersuluiinvers, esteo problemt sI dept$easciun anumit stadiu de rezolvare.Dupd ce se obline o folme mai simple (nu mai u$oare, ci mai putin stufoase) pin metoda mersului invers, aplicAndmetodafigurativi se ?oate vedeamai clar ce opera,tiiefectrlampenfu a afla.necrmoscuta. 1 + 2 1 : { l + [a + ( a : 4 2 ) x 2 ] : 7 \ = 8 2 l: { l -[ a | ( a : 4 - 2 ) ' 2 1 7 ) 7 I + [ ^ + (a : 4 2 ) x 2 l t 7 = 3
P @ : a 2 ) ' 2 1 7- 2
(a . : 4 2 ) x 2 = 1 4 ^a++ a : 2 -4 = 1 4 a lr' -lR
Ajun$i aici, folmulem umetorul enunl: Daceunui num5r ii adiugimjumitatea sa, ob.tinem18. Caree num5rul? a
\.- - - - - - - - - - - - .J
18 nurnerului a) 18:3= 6 oumdtatea 6 x 2 : 1 2 (a )
* 33*
A$a cum obs€rvdn din exempltrldat, daci foma de la carc se face rezolvateaprin metodaflguativd esteprivifi ca o problemaa cdrei descifiare €st€conceputi sub fomi de exercifiu, daci se face efortul de a, bompune in minte o astfel de prpblemi, mlmca rezolyitorului devinernai con$tientA9i mai eficie4ti. Propunemca, inainte de a trece la aflareanecunosputelordin problemelepropuse,si s€rezolveurntitoi€le cerin,tecarerepr€zntA posibile enur4ui al€ unor ,,exercilii" aduse la forma d€ la care rezolvarease face.prinmetodafigurativi. l. Numirul 17 reprezintddublul rmui numdrmarit cu 1. Aflali numdnrl. . 2. Dacd mic$orim dublul unui numdr'cu 3, obinem numarul Aflafi-l. t. Dacedin 90 se scadedublul unui numfu,se ob,mejum6taleaaceluinumar.Careestenumirul? 4, A treia parte dintr-un numfu se ob,tinedacedin 35 se scade dublul numZrului.Afla! numdrul. . 5, Daca mic$ordmlm numer cg,2!,-pbFnem a treia parte din el. Aflalinumarul. 5. Daci din 19 scddema $apteapane dintr'rm numer,obiinem rlumirul micsomt cu 13.Careesteacelnumfu? . lsi ProblQrDopropuro *
* 5. 1oo- [( b:2+5) +2x b]=5
* 6 . 1 6 + [ a- ( 3 8 : 2 a : 7 ) - 1 0 ] = 1 9 * 7, 42tlc+(c x 2-3)-2s)=3 * 8 . a -S x 4 + a ) 1 2 = 1 3 6 .*
9 . a + a : 2- a : 4 = 7 Q
* f0 . c- [( c:++re)+s]=o
,,
l . x ( x:7 +ll)=s5
* 2 . a + ( a + a :a )=1 7 * 3 . a - ( 1 3 + a :3 )=1 5 * 4. 62 -l' + (a | 3+ a) + z] = 23 *3 4 *
"
*3s*
-
Rezolrare
OA7ESAAogft'IUTE 9. EOALT|AT|
a + b -7 5 x+ 14= a x+17= b
A fost dificil sd decidemexislcnlaacestuisubcapitol$i denumirealui. Ne-amgendilsd evidenliemexistentaacesteicat€goriid€ probleme(pe care le-am intalnit in practica la cat€dri) Si un anume modd€rezolvarea lor. Trei modeledeproblemecred€mce seincadreaziaici.
t
' *,
14
i
t')
,1"
75- ( 14+ 17) = {{ (dsblulunui nundr) 44 | 2 = 22 (unul dtn celedouanumere) EI 2. Surnaa trei num€reeste74 DacAse scad€din pdmul 17, din al doilea25 qi din al treilea20, seoblin num€reegale Caresunt numerel€initiale?
2. Se cunoustetu a vulotilor iniliule ale unor mArimi salr difercnlele dintre ele, se cunosc tilodncdrile rdlorilor acestor mdrifl1i, se itie cd in urma acestormodi.ficArise oblin valori egaleti se cerc afLlea ralorilor iniliale.
Rezobarc a + b + c = 14 b -2 5 = x c -2 0 = x ; = 1 b --. 1 c = 7
3. Se Slie suha wlotilor iniliale ale unor mdrimi,se $tie cd Jiecare mfuime iSi nodiJicd valoareaprin cre$teresau mic$orarecu aceea$icantitate,se cunoscrezultalelemodiJicdrik)rti se cerc valoar ea acestor modi/ic,rL
l
graficepun€in e\.id€nfe in astfelde situalii,reprezentarea ega[tef, diferenje$i modificlrile opetate,sugerandastf€l modul de rezolvar€,
"#-+.'22',+'z A Problomo roFo|lote
*3 6 *
t
Sumanumerelormodilicateeste75. Din aceaslisumescidem oblinanddublutfi€ciruiadin celedouenumereegale. ce s-aadeugat,
L Se Stie cd nille mdrimi au talori egale, se tlie cu ait se modiJiad raloaree fiecdrei ndrimi Si care este suma valorilor nodifcdte sau unele dilbreille dintt'e acestea ;i se cere aflarca raloii inilia le cotnune.
pdmului 14,iar M 1. Fiind datedounnumereegal€,adeugand celui de-al doilea 17, se obfine surna75. Care au fost numerele initiale?
*
'|
I
I
17+ 25 + 20 = 62 (strrnamodificirilor cfectuate) 74- 62 = 12(sumacelortrei numereegale) 12 : 3 - 4 (fiecaredin cel€trei numereegale) 4 + l7 = 21 (primulnum&) 4 + 25 :29 (al doileanumtu) 4 + 20 = 24 (al treileanumdr)
* 37*
EI 3. Sumaa doue numerceste53. Dace din fiecare se scade rcelasjnLm;r.seoblrnnumerele 24sj lq. Caresunrnumerele inidale?
* 5. in doui camioanea fost incercatacelaginumdrde saci cu grau.Dupace primul a d€sclrcaila o moari 35 de saci,iar aldoil€a 48, alr mai rirnas in total 117saci.Ca,tisaciaufost in fiecarecamion?
Rezolvarc
utlo
v.lit
* 6. Sumaa trei numereeste145 Daci scedemdin fiecarc acela$inumir, seobline32,40 ti 37.Careestevaloareaini$ali a fi€ caruinumar?
1..
I"
b - x = 19
& 7. Sumaa trbi numereeste2 I - Dacese adaugdla primul un numer,el devineegalcu al doilea;dacdseadaugeacela$numfula al doilea,acestadevin€€galcu al treilea,iar daci la al tr€ileadildugim acela$inumIr, el va devenicu 9 mai mare decatprimul numAr.Care au fost num€rele?
Nouasumd:24 + 19= 43. Scidemnouasumt din vecheasume $i ob,tinem10,carcreprczinti 2x. Deci nunidrulcares-a scAzuteste5. Afl5m numerele: 24 5 - 2s (valoarea luj a) 19+ 5 - 24 (valoarcalui b)
' * 8. Surnaa trei num€re€ste28. Merind {iecarenomarcu pnmul numdr,se ob,tinnumerel€16, 13, 23. Aiai valoarcafiecdrui numar
!g Protlomp Drop 6e * l. Sumaa douanr:mereeste41. Adunandacela$inumir la fiecare,seobtine25,respectiv40. SdseaIl€numer€le.
* 9. Dacdla douanumere€gal€adiugemprimului 14' iar celui de-aldoilea 17, oblinem suma75. Careau fost numerele?
* 2. Pe doueraflud sunt 62 de cdr!. Dacdad5ugdmacela$i numerde ci4i pe fiecareraft, atunci pe primul raft vor fi 35 de cfuF, iarpe al doilea43. Catecir! aufost la inceputpe fiecarerafl?
* | O. in doudclasesunt56 deelevi Dacbdin primachseies 18 elevi, iar din a doua 14, atuncj in cele doui claseva ramane acelaginumardeelevr.Cali eleviauremasin fiecarec1as5?
* 3. in doi saci sunr79 kg d€ lEint. Dacdluim alinfiecaresac aceea$icantitated€ faind, mai remanin pdmul 24 kg, iar in al doilea 27 kg. Cateklogram€ de feind au fost in fiecaresac? * 4. intr-o sali de spectacole,pe doudranduri, era un numar egald€ copii-DacAmai vin 12copii pe pdmul rand$i 19copii pe al doilea,aluncivor fi pe ambelerinduri 61 de copii.Cali copii au fost la inccpurpe hecarerend:
*.ls*
I *:s*
to, ALIEaEpnEzErfiat occir PRlltsEaMEilrE in unele probleme reprezentareaprin s€gmenteeste relativ dificili $i nu suficientde sugestivicu privirela relaliiledintremirimile problemei.In astfeldeconditiiscrecomande udlizarcaaltormoduri de rcprezentare caresi evidenliezemai bine atat semnificatia fiecdreimarimircprczentate, cat$i rclatiiledinheacesiemirimi. Putemastfelr€prezenta schematic vase,fiinte,liucte,supmfel€etc. ci unii rezolvitori nu sc descurc5 atatdc bine la d€s€n$i $tim d€ aceeale va veni greusd reprezinte,de exemplu,fiinte. Pe iangd laplul ci nu nebuiesi urmireascioblin€reade aprccieriin ce€ace prive$telalcntulla desen,fiind suficienteni$tcschi{e(veziexenrplel€ I $i 3), crcdemcd in cazulnrerirnilorcc cxprimi ele]llentoalc unor mullimi estesuficientdutilizarcaunorliterecaresd sugoreze despre cc clementeeslevorba$i ce relalii se stabilescintre mullimj (ca in exemplul2). lfo lDrotlomo ropolooto
Rezolvare D)
oo oo il tl oo
lilt iill
.t Obscrvrfie Problena se , ezalit coltloll$i Prin melodafalsei ipoteze Da/, chiar si a$a,fobsirea odulti .leJigurarepreze tatiace l ai u;oard i lelegerearezobArii. El 2. intr-o urni suntde 3 od mai multc bile ro$ii d€catalbe DacI se scot6 bile roqii $i se adaugd2 bile albe,atunciin utni stult de doueofi maimultebile rofii decatalbe.Catebilero$iiau€xistatla inceput?Dar albc? Rezolrare RRRR a ) RA R RA R R A R . . . . .. . . .
..R4R
RRRR R,A.R RAR R^R.............RAR A b)
E 1 intr-o cute s\rnrpdsiri $i oi, in tolal 15 oapete$i 40 de picioare.Catepesdri$i cateoi suni?
a)
in a douafiguri ampuscate2 picioarelengefiecarecap Ne-auramas40 30 = 10 (picioare).De ce?Pentruca la fiecare oaieampusdoarcat€2 picioarein loc de4. in a treia figure am mai pus cale 2 picioarela fiecareoaie, a d ic n la1 0 : 2 = 5 ( o i ) .E x i s t i ,d c c i , 5o i $ i 1 5 5 : 1 0 G n i n i ) .
(J r) cap€te O 15capete
ll :opi"ion."
ooo tl
-}-JL_'\.-/
iilil
15capcte 40 picioare
510 rnprrrnaflguraJtnsutserat e\rslenla a tJ capele,
*4 0 *.
... .RAR c) RAR RAR RAII RAR llAR... \--\--,-/ 8 bilc ro$ii+ 4 bile albe 8 bile albe+ 14bile rogii in prima figuri am sugcratfaptul cd existl de 3 ori rnai multe bile roqii decatalbe,firA a $i categrupedecete4 bile exisli In a doua figwI am sugeratdisparilia a 6 bile ro$ii $i aparitia a inca doud bil€ bil€lor in grupede cate albe.in a heia figuri am sugeratreorganizarea 3 bile din care2 rosii $i una albd.Pentruca langi flecarcbili albddin cele4 rimase ,,shnghere"dupi operaFaprec€dentesdapad cate2 bile ro$ii (in total 8 bile roqii) am |-ratcdte una de acolo de unde existau cate3 bile ro$ii.in final,remanin um6 12bile albeqi 24 debile roqii, iar la inceputauexistat10bile albe9i 30 debile ro$ii.
*l r "t
I Obs€rvafie
!9 ProblQ||reproltt$e
Ploblenapoatefr rezol|atd Siprin frgurare ,,clasicA",pe bazd
* 1 . La rm concursde cros se inscriu de 3 ori mai mulfi b6ieli decat fete. in ziua concursului, datoriti unor probleme medicale, 2 baie! $i 4 f€te se retrag $i astfel la concursseprezintade 4 ori mai mulfi beieli decatfete. Cati beieli li cate fete s-auinscris la concurs?
de segmente.
- situale iniliah
A l---1 R
* 2. La un concursseinscriu de doudod mai multe fete decat bdieli. Dupe prima Fobd sunt eliminati 4 bnieli si 4 fete. Grupand concurenliirima$i cate4 fete li un bAiat,dman 2 baieli necuprin$iin nici o grupd.Cd! biiegi si cate feie s-auinscris la concurs?
- situa{iedupdmodificeri Din figura se obseryecA o treime din bilele ro$ii existentela inceput in ume insearymd10 bile albe. Avem deci la inceput 30 de bile ro$ii $i 10bile albe.
* 3. intr-un las sunt de 3 ori lrlai multe prune decet mere. Dacd am mai adiuga in vas 3 mere $i am lua 3 pnme, atunciin vasar fi de doue ori mai multe prune decatmere.Cate mere $i cate pnme eraula inceputin vas?
EI 3. Dacd intr-o clase stau cete 2 elevi intr-o bancA,riman 4 eleyi in picioare, iar dacastaucate3 elevi intr-o banceramandoui bAncilibere. Ca! elevi Sicatebinci suntin clasi?
& 4. intr-rm r,as sunt de 3 ori mai multe piersici decatcaise. La rnasi sunt 5 pemoane.Fiecare ia din vas cate o caisi 9i doui piersici. Rin1anin vas de 4 oi rnai multe piersici decetcaise.Cate caise$i catepieEici emu la inceputin vas?
Rezolvare a ) O O O O . . .OO
b)oooo.
oo
oo
a\n^f
\
/'\f\a\r\
* 5. Pe o masi eraude 5 ori mai multebananedecatportoagezate la masi minanci 2 portocal€ti cale.Fiecaredin p€rsoanele 3 banane,in final rimAnind pe maseo portocala $i 33 d€ banane. Catepersoaneemu la masa?
0 a@
[email protected]@ -.i_
8 binci In prima figuri am sugent asezareacopiilor cete 2 in bance$i faptul c; mai rdman4 in picioare. In a doua figllri am sugemtridicareain picioare a elevilor din ultimele doudbdnci (carerimdn libere).Observdmcd vor fi in picioare 8 ele\i. in a treia figuri am plasatpe cei 8 elevi carestateauin picioare, cateunul in fiecarebancdin carc mai existaudeja2. Vor fi 8 bencicu cate3 eleviSidoui bancilibere.Avemdeci24 de elevisi 10benci.
* 5. Un grup de tineri srmtla restauant aSezalicatedoudfete 9i 3 bdie{i la fiecaremasa.La tm momentdat, cetevaperechimerg la dansqi rdman h mese4 fet€ $i 12 bnie!. CaS baieli ti cate fete sunt in grup?
i:
*
42*
I It l I
& 7. intr-o zi, fiecaredin elevii lmei claseaveala el 3 pixuri qi doui creioane.A douazi, 10 copii i$i mai cumpiri caterm pix, iar 4 copii 'i$i uitd creioaneleacasd9i astfel, numirul pixudlor tuturor copiilor este de doua ori mai mare decat numarul creioanelor'Cali copii sunt in clas5'l
* 43J t
* 8, DacAintr-o clasSstaucate3 elevi in bance,rdrian 2 elevi in picioare.Dacestaucate4 elevi ill bance,rimane o banci liberd,iar intr-o banci vor fi 3 elevi. Cali elevi qi catebinci suntin clas4? S 9. Mai mulfi copii vor- sA tmvercezeleul cu ni$te btuci. Daci se aSazicate 5 copii in barc5,rimer pe mal 2 copii. Daci stau cate 6 in barce,atunci, peni! ultima barcd,mai remandoar 3 copii. Catebdrcisi cali copii sunl? '
* | O. Setsamd50 Capdin 15vase,LnGlede 3 l'gi alele de4 1,. Cdtevasesuntde fiecarefel?
n. nEToDA FrcUnArtvA tt FnAf|]t/,E Familia zareaelevilor cu ideeade fiaclie sefaceinci din clasa a II-a cand li se vorbe$te de jumitate !i sfert. Tot atunci, unii inv4etori le spun copiilor despre,doime", ,,heime", ,,p5tlime" etc. ca rezultateale impi4idi unui intreg in 2, 3 sau4 pn4i egale. Folosind metoila figurative evidenliem mai clar irnpd4irea unui intreg in unitili fraclonare de un anumetip.
Numerul
jumitatea treimea
pdtrimea
A Probleme reBolsotc EI l. Jundtat€aunui numer esteegali cu treimeaaltui numfu. Caresuntnum€rele,qtiind ce suna lor este25? Rezolvare
*
44*
*45*'
DesenAmdoud segmentgipgalece ieFezlnLi dolmeaprimului numdr,respectivheimea celui de-al doilea. Dublim pimul segment gi obfinem primul nurnlr, tripEm al doilea segment$i obtinem al dorleanumir.in toral5 segmenle.egale. pnmulutsautretmea z) : ) = J (dotmea celurde-aldorleal 5 _x_2: 10 (prirnul numir) 5 \ I - l5 (aldoileanumar) El 2. Dacaunui numdrii adaugam reimeasaoblinem16.Care a lost numerul?
!g Pr'oblem€ Dropuse *
| . Cincimeaunui numir este9. Clarelestdnumbrul?
Carcest€ * 2. Douecincimi dintr-unnumerau valoarea;18. , numerul? .* 3. Adunind la un numdrfeimea sa, oblinem 20. Desprece numft est€vorba? * 4. Adundnd la rm numdr treimea sa $i apoi sfertul sdu, oblinem 76. Carca fost numirul?
Rezobare
#l 16 16:4- 4 ( n eimea) 4\3- 1 2 ( n u m.rul) EI3- Sfertulunuinunxr este6. Car€estenumirul?.
* 5. D'acdla un numnradunemtreimeasa $i inci 25, obin€m 61.Carea fostnumad? * 6. DacI dinh-un num;r scidem jumitatea sa $i inci 12, obtinem33. Carcestenumarul? * 7. Sumaa doui numereerie 58. Sd seaflenumerele.r{lind sfenulprimului.la careseadaugatl. ca al doileareprezinle
Rczolvare
#
* 8. Jumitateaunui numer esteegaldcu sferful alh.rinumdr' Caresuni numer€le,$tiind ci sumalor este30?
6 6x4 - 2 4 ( n u m A rul) EI 4. Numerul 74 reTezintd doud heimi dintr-un alt num.{r. Allali mrmirul.
* 9. Un numir esteegal cu jumdtateaaltui numfu Caresunt numerele. sdindc5 suinalor e'LeJ0? * 1O. Doui pntrimi dinh-un numir sunt egale cu treimea altui numer.Aflati numerele,qtiind cd sumalor este80.
Rezolvare \--------.Y-
t4 1 4 : 2 = 7 ( ot re i me ) 7x3=21 (nurnarul) *46*
*47*
4 * 2 = 8 (problemerimase nerezolvatedupi primele 3 zile) 8 x 2 - 16(probleme nerezolvate dupl primele2 zile) 16x 2 = 32 (probleme nerezolvate dupl primazi) 32 2 - 64 fproblemc dc re/oltrl)
2. MtnsultilvEns tt MET0DAFtauR,fiua in general,o problemd care ;e rezolvd prin metodamersLrlui inversareca cerinii aflareavalorjiiniEialea uneimalimi, valoarece a iost supusi unor modific,iri succesive(prezentat€de text), rezultatul final al acestormodificiri fiind cunoscut. Pentrurezolvarea unorastfeldeprobleme, uneori,est€indicati figuarea acestormodificdri, fapt ce duce la o mai buni inlelegerea lor $i a succesiunii operaliilorpc caretrebuiesAle efectudnpenlrua aflavaloarcainitial6. De obicei,daci textul sugereaze anumitcoperalii,inh-o anumita ordinc, pentru rczolvareaproblemeivoln efectuaopemliile rnversecclorindicatedc tcxt $t in ordineainversAordinii din text.
& 2. Mama lasi intr-o farfirric prune penfu cei 3 fii ai sei. l
Primulcarevrneconsuma- din prunelega"ileSi incA2 pnrne.al I doilcxconsuma ror ] din prurclcgi'rrc )l lncaI pntne.tarcelde-xl heilea consumejumdtatedin prunelegasite lesandneconsunatc 5 prune.Cateprune le-a Esat mamacelor 3 fii ai sii? Rezoltare Figwa um;toare suger€aze ce situaliegdse$te fiecaredin cei 3 fii $i catconsumd ei.
A llrobhmo roeolulrto E 1. Alin rezolvi in prina zi a vacan]eide primivari jumitate problcmcle din pe carelc av€aderezolvat.in fiecaredin urmdtoarele 3 zile rezolv[juftetatedin problemelerimasenerezolvate din ziua precedentd. Pentrua cinceazi ii mai reman4 problcme.CateproblemeaveaderezolvatAlin?
W
2
l11-/1C+q-/+,
Rezolvare 5 x 2 = 10prune(a gisit altreileacopil) ,) 10+ 2 = 12prune(: din ce a gdsital doileacopil)
Figurade rnai jos ne ajut5 si inlelegemsuccesiunea modific:lrilorasupramirimii ,,probleme de rczolvat"qi succesiunea operapentru de efectuat a afla valoa.ea initiali a acestei mirimi. liilor I tffi+
12 : 2 x 3 = 18prune(a gAsital doileacopil) ,) 18+ 2 = 20 prune(: din totalulprunelor)
Ir vjtl]4-, lIl V+tt---1 ,t I
V FX
*4s*
I
20 : 2 = 10prune tl dmtotalulorunclor) 'l 10 x 3 : 30prun€(le-alisat mamacelor3 fii) *49*
I
EI 3. Un turisi parcurge,pe jos, un Faseumontanin 3 zile. in prima zi merge cu 2 lan mai puin decat o treime din lungimea faseului, a doua zi merge cu 1 km mai mult debatjumdtate din po4iunea de traseurimasl, iar a heia zi parcuge ultimii l0 km. Ce lungimeaveatraseul? Rezolr'drc
ffi I
ttiitttirrtttt
lifr,
'o
t
10+ 1 : 11km (lumdtatedin po4iuneade haseurimasi dupi prima zi) 11 x 2 = 22 lcll] (porfruneade traseurimasa dupaprima zi) 7
22 - 2 : 20 kn (- din lungimeatraseului) I
20 : 2 x 3 : 30 kn (lungimeatraseului) ,€ |trohleme prop$6e * 1. Din cnlntorii aflaqi intr-rm autoblLz,la prima stalie coboareun sfert $i urci 4. La stala umetoare coboad un sfert din cei rdma$i stallecoborrAI dincAlaLorir exlslmlr)l ufcdb. I a penullrma 4 $i ince 2. La ultina stalieajung 25 de cililori. Ce,ticilStori au fost la inceputin autobuz? * 2. Un biciclist parcurgeun ilrum de o anumiti lungime in 3 ore. in prima ori parcurgeo treime din lungimeatraseului $i ince 4 km. In a doua ori parcurgecu 7 lar mai mult decat un sf€rt din po4iunea ramasa, iar in a treia ora parcurge ultimii 20 hn. Ce lurgime are drumul?
*so*
*
3. Un turist ti-a propus se stdbati lm traseu montan in
4 ,/ile. ^t In prima zi parcurge
4
din lungimeatraseului.a doua ./i
)a parcurge din rest, a treia zi parcurg€: din noul rcst, iar a paha zi ! ultimii 8 lan. Ce lungime are traseul? * 4. O h€ime din cai€telecareexistela un mommt dat intr-o ? papetdriesunt de rnatematicd,; din celelalte sunt de dictando,iar ) restul de 32 de caiete sunt cu foaie velind. Cate caiete sunt in acel momentin papetade? * 5. ? din romlulde oerechide incdllamrnle exrstmleinn-un 5 ) magazinsunt pentru berbafi, : din rest sunt pentru femei, iar restul J
de 36 de perechisunt pentru copii. Cateperechi de incdljdminteslmt in magazin? * 6. Un sfertdin totalulelevilorcicluluiprimaral unei scoli qi inci 5 elevisuntin clasal. Un sfefidin ceilalli$i incd 15elevistmt in clasaa II-a. Doua cincimi din el€vii claselora III-a si a IV-a 9i inca 15elevi suntin clasaa III-a, iar 75 de elevi suntin clasaa IV-a.Cai elevi suntin total? * 7. O ferrnn agricoli cultiva cu cereale .jumitate din suprafa,taambile gi ince 10 ha. Jumetatedin rcst $i inci 10 ha suni cultivate cu cafiofi, cu 10 ha mai pulin decetjumelate din noul rest le cultiva cu floarea-soarelui!i ultimele 40 ha le cultivd cu sfecli de zahAr.Careestesuprafalatotala cultivate?
*5r*
*
8. Din totalul problemelor pe care le avea de rezolwt
pentru vacanldrrm copil rezolva in prima zi
;
ti inci 5. A doua zi
rezolve f din rest si ince 3 Drobleme.A treia zi rezolve I din noul 43 rest si incd doud probleme. A paria zi rczo7ve1 din problemele rdmase9i pe ultimele 5. Cateproblemeare derezolvat in total? b 9. un copil a citit o carte in 4 zile. in piima zi a iitit cu I
20 de paginirnai punn decil : din numarulpagrnrlor.A douazi a citit cu 20 de pagini mai mult decat rm sfert din nurndrulpaginilor rimase- A treia zi a citit jumetate din noul rest, iar a paha zi a citit ultimele 50 depagini. Catepagini are cartea? *
Frctmfflvi It aEoMEfStA t3. METOOA
1O. Tabdra Bddigor isi ocupd locurile unei serii dstfel:
1 din locud sunt ocupatede elevi din jude{ul calali, I dir rest $i 1'5 inc5 10 locuri revin elevilor din judelul Buz[u, cu 5 locud mai putin decatjumatat€alocurilor remasesunt rcpartizatejudefului lalomifa, iar ultimele 40 de locuri revin eleyilo. din judelul Constanqa.Cate locuri aretabdn Bddiqor intr-o serie?
geometric,relatiile In rezolvareaunor probleme se evidenqiazimai clar daci dintr€ elementeleunor figuri geomet"uce"onlinut fdlosim reprez€ntareain desen a acelor figuri sau numai a unor elementeale figurilor respectivePutemreprez€nta,sub forrni de segmente,relalii intre elemente ale figurilor geometricece sereducin esenfeh una din cel€4 v?Iiante ale metodeifigumtive clasice,dupi cum,realizarea€flcientda figurii geometricedesprecaresevorbe$tein text, cu incercarcad€ a respecta infomaFile, dar si ce nlele textului, poatefi sug€stivi penh1rgdsirea ciii de rezolvarea problemei. 6 Problernc rcsoltl|te lungimeaeslecu 5 m mai maredec;l Et l. lnr-un dreprunghr lilimea. $tiind ci perimetrui &eptunghiului este egal cu 50 ft, sd s€ afle dimensiuniledreptungliului. Rezolrdre
r #s r #J
I 125
-\
P -5 0 m+ 2 L+ 2 / = 5 0 m L + l= 2 5 m 2 5 rr: 5 m=2 0 m Q I ) 2 0 rt , 2 = l0 m ( D l0 m+ 5 m= l5 m ( L ) tr Observ|tie Este o problemd in care se poate afla u$ot numerestiindu-sediferenla lor.
*s2*
*s3 *
El 2. Dac4 rfiiim do!6 din laturile n€aleturat€ale rmui patrat cu cate 5 m, figul? oblinut, va aveaperimetul de 42 m. Aflali perimetirl qi aria figurii iniliale.
* 4. Un dreptunghiare perimetrul egal cu 64 cm. $tiind cd lungimeaestede 3 ori mai mare decatli1imea, sd se afle cate pltrate cu laturade 4 cm acop€d completdreptungltiul. * 5. Un teren de handbalare lungimeade 40 m $i b(imea de 30 m. La ce distanfe de margineaterenului se construiegeun gard imprejmuitor lung de 220 m?
Rezolrorc l5
* 6. Daci mdrim latura unui patat cu 2 m, aria lui se rnfueste cu 36 m'?.Careesteperimetrulpdtratului ini,tial? * 7. Dacd mic$ordmlatura unui pehat cu 1 m, aria lui se mic;oreazl cu 9 m'?.Carea fost pedmetrulpitratului inifial?
l5 Efectuand operajia indicat5, oblin€m un dreptunghi a cirui lungime este cu 5 m mai mare decat hlmea. De aici, problema e cu ceadinainte. asemdndloare 42m 5'ir.-5'J-32m(41) J 2:4- 8 m ( 0 8 m x 8 m: 64 m'?(aria figurii iniliale) .
* 8, Lungimearmui dreptunghiestecu 8 m mai mare decat lalmea. Dace mtuim litime! clr 5 miii mictorelir ludqlmeacu 3 m, obtinemo figula cu perimetnil de 28 m. Carea fost perimetrulfigurii iniliate? * t. Un teren dreptunghiularcu lungimeade 4 ori mai marc decet l6limea, este despi4it in 4 suprafefecu aceea$iarie. Precizafi car€din varianteleunndtoarede construcliea gardurilordespirlitoare estemai ieftina?
6 Problenrr proD|rse * | . Se se afle perimetrul unui dieptunghi,tiiind ce ltmg1mea estealedou.i ori mai maredecatletimea,iar aria lui estede 50 m'?.
sau
') eria unul drepunghj. sxindca laFmeaerle -S 2, Sd se aile J
din lungime,iar perimehul sduesteegalcu 40 m. * 3. Un dreptunghicarenu estepltat are perimehll 8 m ti fiecare laturi a sa este exprinatd p.intr-un numer intreg dq metri. uluj? dreptungfu Caie sunldrmensiunile
*54*
* | O, Lungimeaunui &epnmghi estede 5 ori llrai maredecat litimea. Daca mtuim lungimea cu ruloarea le{mii $i ligimea cu valoarea lungimii, figura oblinuti are perimetrul 24 m. Care este perimetrul figldi ini,tiale?
*55*
SENEaOLVr CABE L ?NOS'f;jME ?Nll MEtooAFto,tlfitve din fiecare ffi f. in patrLrldzi se afle caise.Numerul de caise pentru ca in cele lade crcstedin t in 2. Ce transferuritrebuie sefacem pafu lezi sAavemacela$inumdr de caise? 235 C'rc ffi 2, Sumaa cinci numerenaturaleconsecutiveeste se ac€stea pertru ca sa facem sunt n;erele 9i ce transferuri trebuie fie egale?
?ANTEAAII-A
altui nurEi ffi !. impitritr-rl uaui numir este egal cu dublul $tiind cAsurnalor este36, aflali cele douanunere' altui numir' Si ffi 4. Triplul unui numar esteegal cu dublul 40 este se afle numerele,$hind ca surnalor pagini Dace prima ar ffi 5. Dou6 cdrf au impreund365 de avea cu 5 pagini mai pu1in, atunci cea de-a doua ar rcprezenta jumitaie din prima. Catepagini are liecarecarte? palticipat 28 de beieli $i X 6. La olimpiada de matematici au mic, atuncijumetate 3 mai feft. D;n numnrul bnielilor ar fi fost cu ilin numerullor ar fi reprezentata treia pall€ din numarulfetelor' Ca,ti beiel $i catefete auparticipat la olimpiadAT in p ma zi X 7. Un elev a citit o povest€in douAzile Dacd ar fi numir din acest sfert un mlrlt, atunci ar fi cfr cu 4 pagini mai zi Cate a doua citite paginilor rcprczentat o ieime din mrmirul pagini a citit in frecarezi, $hind ce povesteaa al'ut 45 de pagini?
*s6*
*s7 *
ffi 8. Sumaa nei numereeste819.Primul estede 4 ori rnai maredecatal doilea,iar al treileaesteegalcu diferenJa dintreprimul numir $i dubll celuide-alaloilea.Sdseaflec€letlelnumere.
ffi | 7. Sumaa nei numere€steE7.Primul estede trei ori mai maredecatal doilea,iar al treileaestecu 12mai mic decatjumitatea primului. Afl ali numerele-
X 9. Sumaa trei numereeste860.A1doilcaestcdc 5 ori rnai maredecatprimul,iar al treileaesteegalcu dilerentadintreal doilea $i primul. AIlali cele trei numere.
X 18, Sumaa trei numereest€79. A1 trcileaestecu 7 mai mic decit al doilea,iar ai doileaestecu 5 mai mared€catjumitatea primuluj-Si sc afleceletrci numere-
ffi 1O. Sumaa trei numereeste400.Al doileanumarested€ 4 ori mai maredecatprimul mic$oratcu 15,iar al fteileareprezinte sunacelorlalledoui. AIlali numerele.
X | 9. Aflali douenumerc,$tiindci sumadintredublulprimului qi triplul celuide-aldoileaestc252,iar al doileaesteJundtatea primuluinumir.
ffi I l. Sumaa trei nunere este 138.A1 doilcncstede 3 ori mai nare decatprimul micsoratcu 12, iar al trcilca estc egal cu diferenladintrccelelaltedoun.Allali numcrele. ffi 12. Avem o mullime de numercnaturaleconsecutive nenulescriscin ordinecrcscitoarc,Douenumerealituratedin mullimc au suma23. l)up! cl€ sunttot atateanum€recite suntinaintea lor. CAtenumerearemu\imea$i careestesumalor? ffi 13. Se dau trei numere.Al treileaestede 3 od mai mare decetal doilea 9i cu 84 mai mare decatprimul. Allali cele trei nulncre,qtiindci pri ul estemai mic cu 12decatal doilea. ffi 14. Peste5 ani Cristian$i Bogdanvor aveaimpretmd28 de ani.DifercnFdevalstedintreei estede4 ani.Ce! aniaualllt acum5 ani? X 15. Afla1ice varsti areacumfiecarecopil, qtiindcAdiferen,ta dintrebiiat $i fati estede 3 ani, iar peste15 ani tatdl lor, careacumare 44 deani, va aveavarstaegaldcu sumaversblorcelordoi copii. ffi16. Sumaa trei numereeste80.Primulestejundtatedin al doilea,iar al treileaestecu 3 mai n1arcdecatjumitat€ap muluiAflati numerele. *58*
ffi 2O. Acum 7 ani mamaav€a26 dc ani Peste3 ani va avea varstaegald cu sunu varstelorcelor trei copii ai sii la timpul respectiv.Sd se afle varctel€copiilor,$tiindci ele suntrcprez€ntate impar€, p{in numoreconsecutive ffi 2l, Luoiaare 18ani.Peste5 ani va aveasumavarstelorpe carolc aveauStclice$i Alin acurn3 ani Si se afle varstafiecfuui bAiat.$tiindci Stelicitcstccu 3 animai marcdocatAlin ffi 22, intr-o gospodiricsuntoi, capre$i gdini,in tolal 208de picioare.Si se afle numarulde capctc,$tiindci oi suntde 3 ori mai multcdecatcapre,iar giini dc 6 ori maimultedecil oi. sunt120 de picioarede oi, gdini 9i ffi 23. intr-o gospodnrie ra1e.Giini suntde 6 oli mai multe decatoi, iar ratemai puline cu 5 decatjumltate din numirul gdinjlor. Sase afle cile Yiefuitoaresunt de fiecareiel. ffi 24, intr-un pa.c slmt copii care se plimbd cu maiinu,te, biciclete$i trotinete,in total 48 de roti. Cafi copii suntin parc,stiind ci cej care au ffotinete sunt de doud ori mai mulli decat cei cu ma$inufe$i dedoueori mai pu.tinidecatcei cu biciclele? *59*
aveavarstaactualda mam€i,iar peste X 25, Acum3 ani ta151 4 ani felila va aveavarstaactualia biiatului.Mamaestede 4 ori mai in varsti decat baiatul, iar peste 5 ani, cei patru membri ai familiei vor aveaimDreuni99 de ani.CAtiani areacumfiecar€? ffi 26. Suma a doui numere€ste cu 18 mai mare decet diferenfa1or.Si se aflc cele doudnumere,$tiind ci diferenla1or reprezinteun sfert din numirul mai mare. X 27. Catuldintr€suma,sidiferenlaa doul mrmereeste3 $i restul4. Aflati numerel€, $tiindci difcrcnlacstcmaimici decatsuma cu 28. ffi 28. in 3 ghivccesunt30 dc Ilori. in primcledoua,numerul iar in al hcilea sunt cat in florilor reprezintdnumereconseculive, celelalledouirla un loc.Cateflori suntin ficoarcghivcci? ffi 29. Arrdrcrr cilit o cancdc 72 dc pagrniin 4 ziie.in a patrazi a citit catin primelelrei zile la utxLoc,iar ln primeletrei zile, numirul paginilorcitite in fiecarezi reprezintdnumcrcconsecutive parein ordin€crescitoare. Catepaginia citit in fiecarczi? ffi 3O. Sumaa patrunu ereeste125.?rimeletrei s nt consecutiveimparc,iar al patruleaestecu 9 mai mic decatal treilea.Sese afle numerele, ffi 31 . Daci dub1ulunuinu er este24,catreprezinti ] din e1? 3 X t2. Un dreptunghicu perimctruldc 3 920 mm are lungimea cu 28 cm mai mare decat lilimea. Sa s,3afle dimensiunea fiecdreilaturi. ffi 33. Perimetrul unui dreptunghi este mai mare cu 24 cm decatlftimea$i cu 21 cm decatllurgimea.Sdsc afle lalurile.
*6 0 *
ffi 3,1. un dreptunghi are aria de 63 cm'z,iar perimetrul de dreptunghiului. 32 crn.Afla1idimensiunile ffi 35. Un gmp dc copii trebuiecazat1aun cemin Dacase repafiizeazi cate3 copii intr-o camera,raman 14copii necazali Daci Celi cate4 copii intr-o camerd,rimine un copil necaT-at. se cazeazd copii sunt$i catecameresuntdisponibile? de construcliia trimis la o fabricl de X 36. O inireprindere Daci s-arpune cimentun numir dc camioanepenfluaprovizionare. cei€ 100 de saci in fiecarc camion,ar mai r.imane100 de saci iar daci s-arpunecete150dc saciin fiecarecamron,ar neincAlcati, goalo$i unulcu 100de saci.Si s€afle: rimenetrei camioane a) numarulcamioanelor $i al sacilor; b) doui variantecarevi s€par potrivitepcntrua inc6(casacii in camioan€. ffi 37, Sumaa douirnumereeste15.Dacdpe primulil mdrim de 3 ori, iat pe al doileail mic$oremde 4 ori, sumaacestomva fi egali cu 23. Aflali numerele. ffi 38, Difercnlaa doui numereeslc6- Dupircc pe pimul il micooremdc 5 ori, ial pc al doileade 2 ori, dilcrcntalor dcvinenuli (egalecu 0). A0ali celedouiinumere. ffi 39. Acum 5 ani sumavarstelora trei fia1icrade 16ani Se se aflc varsta{iecfuuia,;tiind ci peste2 ani ftatel€mai mic va avea varsiaactuali a ftateluimijlociu, iar acum 5 ani, fratelernai marc arear iusraceluimic. ffi 4O. Un gospodararegiini, ra1e,porci 5i icpuri,in total 258de picioare. Sd se afle numArulde capet€,gtiind cAraf€ sunt de doui o mai putine d€cat gnini, iepuri dc 5 ori mai mulli decat porci, iar numdruldepicioareal iepurilor$i al porciloresle48 *61
*
ffi 4l . Un grup de excursioni$timergela masd.DacAse a$aza cate4 la o mase,riman 6 excursioni$tifE i loc. Daci se aSazicate6, rdman3 meselibere-Cafi excursionitti ti catemeseau fost? in X 42, La o moare'-a adusintr-o zi greupmtru macinaL. 3 .^ .^^ ^ 2.. aceazl 5-amactnat- $l Inca6uu I(g-ceeace repfezrnla - drn cantitateaaduse.Cat€kilograme de gau au fost adusein aceazj la moard? ffi 43. Ce numaradmat cu sfertul sAuesteeg l cu 220'l ffi 44, Dacd din 400 se scadeinp5tritul unui numdr se ob12. ,tine Careesteacelnumir? ffi 45. Un grddinarare risaduri de ardei.DacApunecate 8 p€ un rand, ii mai riman 1l rasaduri,iar daci punecate 10,ii rinane un rand cu 5 dsaduri. Cateranduri a pregitit $i cateresaduria a\,'rrt? ffi 45. Un cnhtor mergein prima zi un sfert din drumul pe careil aveade parcurs;a douazi mergeo jumitate din rest, a treia zi ,) merge: drnce a ramas.rara patrazi restulde 20 km. Careeclelungimeadrumului? ffi 47. Sumadintre diferenla $i catul a doudnumereeste21, iar pdn impi4tuea diferentei la cat obtinem 3 $i restul 1. Aflali numetele. ffi 48. intr-o cofeterie,dacdse a$azacete3 scaunela fiecare rnase,dman 4 scaune,iar dace se a$azacete 4 scaunela liecare masi, dmane o mase fire scaune$i o rnasAcu doui scaune.Cate mese$i catescarmesunt in cofetarie?
*6 2 *
ffi 49. Suma a doue numere este 24. Dac6' pe primul il micgoremde 3 ori, iar pe al doilea il rnirim de 3 ori, sumalor nu se schimba.Afl afi numerele. X
50. Catva muncito au plantat un numer de pomi in
4 zile. in prima zi au plantat cu 8 mai pulin decat ] din total, a doua 3 ] din rest, a treia cu ? mai pulin decatjumatate din zi au Dlantat '1 "i noul r€st, iar a paffa zi au plantat 35 de pomi. Cafi pomi s-auplantat in primele trei zile? X 51. impe4ind sumaa doui mrmereh catul lor, oblinem catul l0 $i restul 2. Daci se adunl sumacelor doui numerccu catul 1or,ob,them35. Sd seafle numerele. ffi 52. Diferenla a doudnumereeste i 28. S[ seafle numerele, $tiind cA daci mdrim al doilea numlr d€ doue oi, iar p€ primul il mic$olemde douaori, atunci sumava fi egalacu 344 ffi 53, Dacndintr-unnumir luim 15,iar la cincimearestului adunim87,obtinemnum6rul.Careesteacestnumer? X 54. Sfertul jumdtilii sf€rtului unui numi. est€ 12. Afla.ti numdrul. ffi 55. Daci mirim de 3 ori un numir, atltnci el va fi mai marecu 108decdt i din valoarealui. Careestenumirul? 4 X 55. Dacd la sfertul unui numdr adiuglm 28, oblinem dublul nunardui. Careest€acel numar?
* 63/.
ffi 57. Sumaa trei numeroeste45. Sdse afle numerele,gtiind . - I .. .. ' 7 . . capnmurrepreTrnra - drnai oo ea.taratreltea- dtnpnmul, X 58. Seseafl€ tr€inumere,$tiindci sumalor este166,primul €stecu 29 nrairnaredecatal doilea,iar al tieilearcprezind 1 * tt-t. '5 X 59. Perimehulunui dreptunghiesrede 108m. Sa se ane aria, $tiind cd dimensiunilelui sunt reprezentatepdn numereconsecuh\epare,
din cat au sepatprimii tei. Sd se afle cat a sdpatfiecare, $tiind cd al doilea a sdpatcu 20 m mai mult decatal parulea. X 55. Mic$orandcu 23 sumaa trei numere,oblinem263.Sa se afle numerele, $tiind cA pdmul este mai mare cu 106 decat al doilearj cu 50 rnaimicdecatal lreilea. ffi 66. Suma a doui numereeste 65. Dace pe primul il mirim de 4 ori, iar pe al doileade 3 ori, obfinemsuma231.Determinali numerele.
X 60. Un dreptunghi $i un pitrat au aceeagiarie: 81 cm2. l Carediite cele douefigui areperimehul mai mare?
X 57. Meilnd de 4 ori primul numar $i cu 4 pe al doilea, oblinem surna88. SA se afle numerele,gtiind ca diferenla dintre al doilea Siprimul este9.
K 6l . in tl€i butoaie sunt 450 / de vin. Dupi ce se transferd un sfert din primul butoi irl al doilea, iar un alt sfert in al treilea, atunci in celetrei butoaievor fi cantitAli egale.Celi litri d€ vil au fost in fiecarebutoi?
qi ffi 58. Mama avea26 de ani cind s-aniscut biiatul 28 de de ani. 69 tutwor insumeazi varstele ani cand s-anescutfata. Acum CAli ani are fiecare?
X,62. 100 de copii din 4 clasea$lbaptisd intle in $coali. Dace ar trece 2 copii din prira clasein a doua 9i a\i 2 copii'in a teia. iar un copil trecedin a rreiain a patraclasii.atunctclaselear a\eaefecrive egale. Celicopti.unl in fiecare claoe? X 63. in doue cudi srmt 280 de bomboare.Dace ludm jumdtate din bomboaneledin prima cutie gi le punerir in cea de-a doua,atunci in a doua vor fi cu 70 de bomboanemai multe decatin prima,CAtebomboane sunlacumin fiecafeculie? X 64. Patru muncitori,au sdpatun $anIin felul urndtor: al doilea a sepatd€ 8 ori mai mult decatprimul, al heilea-asepata heia pafte din cat au sdpatprimii doi, iar al patruleaa s;pat a treia parte *64*
ffi 69. Suma a doue numere este 312 Dacd pe primul il merim de 9 ori, iar pe al doilea de 3 ori, oblinem numercegale.Si se afle nurrcrele, ffi 7O. Dacn adwem fiplul unui mrmer cu dublul altui numir, obrinem270. Sd se afle numerele,$tiind cA triplul primului estede doui oi firai maredecatdublul celui de_aldoilea ffi 71. Un pix costdcat dou6 caiete.Un pix $i tm caiet costd 3 lei. Cristianare 18lei. a) Catepixuri saucatecaietepoatecumpdra? b) Carcestenurnerulqgaldepixuri 9i caietece sepot curnpera?
*6s*
ffi 72. Sumaa 4 numereeste 106.Se se afle num€rele,;tiind c5 al doilea estemai mare clt 5 decato treime din primul, al treilea estesumadintre p mul $i al doilea, iar al patruleaestemai mic cu 5 decatal treilea. ffi 73. lrer copriau rn roral69 de nucl.DupAce primulprimeqteun numdr de nuci, al doilea de doudori mai multe decatacesta, iar al treilea de 3 ori mai multe decatplimul, acumfieca-reare acela$i nunft de nuci, in total I I I . Catenuci a a\.ut inilial fiecarecopit? X 74, Trei copii au acela$inumir de bomboane.Dupd ce p.imesc14 bomboane, au impreund47 de bomboane. Se se afle cate bomboaneare acum fiecare, $tiind ci al doilea a pdmit jumdtate din cat a p mit p mul, iar al heilea jumdtatedin cat a primit al doilea. ffi 75. Trei copii au 72 de cire$€.Dlrpi ce primul consume catevacire$€, al doilea de doue oi mai multe decat acesta,iar al treileade 3 ofi mar multe decarprimul. fiecareramenecu aLirea cfue$ecat€au consumatimpreunl. Cateciresea a\ut fiecarecopill ffi 76. Cu banii pe careii arc, o gospodinepoatecumpim 2 kg de portocalesau8 kg deiartofi. Cali bani aregospodin4daci difercnla dintreI kg depoftocale$i I kg decartofiestede3 delei?
ffi 8O. Sumaa dou[ numeree'ste70. Sd se afle numercle,ltiind prinnrlui. ce sfen[ celui de-aldoileaestemai Inmecu 4 decatjumdtatea X 81. Se se impanenumdrul84 in patrupd4i, astfelincat prima parte impndti la 4; a douaimp6rfln h 3, a treia impa4ite la 5, iar a paha pafie impir,titi la 2, se deaac€la$icat. ffi 82. Numirul 125 a fost impd4it in patru ptuti astfel: prinla parte estejumitate din a doua, a treia parte reprczintf, suma dintre prima Si a doua parte, iar partea a patm este cu 5 mai mare decat jumitarc din a treia pafie. Sd seafle fiecareparte. . X 83. Dace dintr-un numer se ia o pdtrime $i la rest se adauga12,se oblre 24. Carea fost numArul? ffi 84. Un firan are gdini li oi, in total 77 de capete$i 184 de picioare.Celeor !i cetegainjareldranul? areoi, capre,gdini$i rale,in total 118caffi 85. Un gospodar pete $i 272 de picioare. Si se afle cate animale sunt din fiecare fel, $tiind cAoi sunt de 5 ori mai multe decatcapre,iar mie sunt de 3 on maipulinedecdlgdinj.
ffi 77. Suma a doud numere este 72. SA se afle numercle, $tiind cA un sfefi din al doilea numd. estemai mare cu 2 decatrm sfefldin primulnumar.
jumdtate ffi 86. in doudcutii sunt 54 de bomboane.Daceiau in a doua, ahmci prirna le mut cutie si din numerul bomboanelordin numinrl bomboanelordin a doua cutie se dubleazi. Catebomboane au fost la inceputin fiecarccutie?
ffi 78. Un elev spme cd a citit o cincimedintr-o carte,ilar daca ar mai citi 4 pagini,ar ajungela sfertulei. Catepagini arecartea?
ffi 87. Sumaa doudnumercestecuprinsdintl€ 78 $i 90, catul este4, iar restul 4. S5se afl€ cele douenumere.Catevaiante sunt?
ffi 79. Perimetrulunui triunghi estede 24 cm. SEse afle lungimile laturilor sale,$tiind ci ele slurt exp.iinateprin numerenatuale
ffi 88. in tei sacierau 116kg d€ zahAr.Dupdce din primul s-auluat 25 kg, din al doilea 16kg, iar din al treilea 27 kg, in cei trei
*66*
* 67*
saciau rdmascantitdqireprezentatep n numereconsecutivein ordine crescdtoare.Catekilogramede zahSrau fost la inceputin fiecarcsac? ffi 89. in dounvazesunt 20 de flo . Dacemut doui flori din prima vazdin a doua,ahrnciin a doua lazi vor fi de 3 ori mai multe flori decatin prima. Cateflo.i au fost in fiecarevazd? ffi 9O, intr-un gnrp se afl6 cu 12 copii mai mult decatin alt grup, iar prtu impe4irea numdi:uluide copii din primul glup la cel de-al doilea se obline catul 2 $i restul 4. Din numarul total de copii weau sAfomez 4 echipe.Cati copii vor fi in fiecaregchipd? X 91. Pe doui talerealermeibalanlese afld 12kg de ndlai. Daci se iau 2 kg de mehi de pe al doilea taler gi se pun pe primul, atunci balanta se echilibre^zd.CAte kilograme de milai au fost pe Iiecaretaler? sunr45 desncle.Dacamuts shcledin prima ffi 92. h 3 navere in a doua$i 6,din a douain a treia,atunciin celetrei navete fi acelaqi numerde sticle.Catesticleaufost la inceputin fiecarenaveti? ffi 93. in doui cutii se afli 42 de crete.Dacemut doui crete din prima cutie in a doua, atunci in prima vor fi de doui ori mai multe cretedecatin a doua.Cetecreteau fost in fiecarecutie? Daca!e iau7 bomffi 94. h douacutiisunr27debomboane. boanedin prina cutie $i sepun ?na doua,atunci in a douacutie vor fi cu 3 bomboanerlai multe decatin prima. Catebomboaneau fost in fiecarecutie? ffi 95. Pe douabervi ale uner;oselecirculi intredoualocaLtefi 75 d€ ma$ini. Daci un sfert din nurndrulma$inilor d€ pe pfina banili ar hece pe banda a dou4 atunci pe banila a doua.ar circula iumataredin numarulmasinilorcare cLculau la inceputpe banda intei. Catemasini au circulat Defiecarebandi? *68*
se iau din X 95. in trei cutii sunt 114b€lede chibrit Da'a de bete' r€ia 32 din a iar 13 be!e' din a doua orima cutie 24 de bete, bele de Cate de beie numfu ac€lafi atunci in fiecarecutie va ramane chibrit au fost in fiecarccutie? pentru X 97, Adminisffafia unei tabere s-a aprovizionat, I seriede copli.cu camede pamrori aslfel:prirnadataa cumpdral5 ! din cantitateatotale ti inci 50 de kg; a douaoard a crmrperat dn rest $i inci 50 de kg; a teia oari a cumparatcu 20 kg mai pulin decat iumitate din noul iest, iar ulrima oar6 a cumptuat215 kg Cu cate .-u aprovizionattabdrapentru aceaserie? i.ilogru-e d" "um" M 98. Sumaa fiel nuinereeste25 Marim fiecarenumarcu primuftmar, iar penmlca ele 5afie egale.primulujtrebuiest-i mai adundm1, iar celui de-al treilea4. Afla! nurnerele' iau 5 paini de pe ffi 99. Pe doui rafturi sunt 76 de paini- Dace al doilea raft 9i le pun pe primul, atunci pe acestavor fi de 3 ori ma1 multe paini aecatpe at aoitea. Carc paini au fost pe fiecare raft la inceput? din primul X lOO' in doud grupuri sunt 24 de copii' DacA gup vin 2 copii in al doilea gl1lp,atuncjin primd remande 3 ori mai grupl mulli.CeFcopiiaufoslin fiecare ma chsa ffi | Ol. in trei clasesunt7l de elevi Dupdcedinp 7 elevi in a trerr iar drn ele\'r. doua l0 ies in G'uza 18elevi,din a doua iar in in a decel pulini elevi orinra;lasar,mAnde doueori mai in la ora au fosl elevr i treia de 3 ori mai muli decatir prima. Cali fiecarcclasi? *69*
ffi 102. Un numtu este triplul altui mrml{. Daci adrmim triplul primului nundr cu dublul celui de-al doilea, ob.tinem440. Si se det€rminecele doui numere. ffi | O3. Trei copii citescac€ea$icarte.Primul a citit 82 de pagini; celui de-al doilea i-au r4ai rfunasde citit cu douepagini mai mult decatprimului; al heilea mai are de citit de doudo mai multe pagrnidecatal doilea,adic676 depagini.Sdseafle: a) carcpagini are caltea; b) catepagini a citit al doilea copil; c) celepaginia ciriral relleacopil. a douanumere e{e 8. Sumadinre dublul X l04. Dilerenta numaruluima.e $i triplul numeruluimic este86. SAse afle numerele. ffi lO5. In treichse5unt7l de copii.in pauzaiesdinprima clasl 16 copii,din care4 seduc la colegiilor din a douachse; din a douaclasi ies 12 copii $i ldman cu 9 mai mul(i decatin prima clase, iar din a heia clas5ies 6 copii 9i rimAn de doui ori mai multi decatin pnmaclasa.SasedeErmrninumdrulde copii drn fiecareclasA. ffi | O5. Surnaa douanumereesle25.Drferenladintresfenul primului numlr $i treimeacelui de-al doilea estel. Allali numercle. ffi 107. Trei'copii aveaufiecarc acelaginumia de nuci. Dupe ce fiecare menancd10 nuci, le mai reman h un loc tot atateanuci cateaveafiecarela inceput,Catenuci aveafiecare? dineleconlinand acela$i numar ffi lO8, Arem6cutii.fiecare de creioane,Dacadrn fiecareculie luamcale 5 creloane,anrnciin cele 6 cutii rdmanin total atateacreioanecateerauin fiecare cutie la incepul.Catecreioaneau folt la incepulin fiecareculie?
*7 0 *
conude la I la 8' fiecare M lO9. Avem8 cuoi numerolate atatea culre llecare ndnda?lasi numarde creroane.Dacaluamdin lam:in 8 cutii deioane c;te indica numirul ile ordine, atunci in cele au fost' JAtea creioanecat au fost la inceputin 5 cutii Catefieioane la inceput,in fiecarecutie? diferenla unei ffi 1 | O. Sumadintre descdzutul,scizetorul 9i estede scizdtorul ci scdderea, Stiind scederi*este200. Reconshtuifi 3 ori mai maredecatdilerenta. unel lc'zalorulsr diferenla X I I l. Sumrd,nre descblutul. e5(ecu scaderfi.tc 160.Reconslituinscaderearlrind ca scaza{orul 20 mai rnaredecaldil-erenla este70' jar diferenta ffi | 12. Sumaa douAnumelenaluftle drn numirul mic. Sasealle celedoudnumere lor esleo n-erme este 100,iar diferenta ffi I | 3. Sumaa douf,numerenaorale douanumere' cele se afle Se lor estJi treime ilin numerulmare. este63 DacAscddem ffi | 14. Suna a doudnumerenaturale mai mic 3, oblinem un nurnir de 5 oli mai mic decat din num^mard numirul mai marc' Carc sunt celedou[ numere? este cu 80 mai mare ffi 1 15' Sumaa doui nume.enaturale decatdiferenlalor. Sese afle cel mai mic difltre Ilumere' este cu 90 mai mare ffi I | 6. Sumaa doui numerenaturale decet Aif€renla lor sau ale4 ori n1aimare decat aceasti diferenli' Aflati cele doui numere. are l0 mere Dacdcer ffi 1|7. lonelare25 de meteiar Nicu doi orilmes" acelasinumdr de mere, Ionel v€ avea de doue ori rnai multe meredecatNicu Catemerea primit fiecare? *71
*
ffi 1 18. Rdzvanare 25 de bomboane,iar Adrian are 10 bomboane. Daci fiecare din cei doi copii minanci acela$inumdr de bomboane,lui R5zvanii vor rimane de 4 od mai multe bomboane decatlui Adrian. Cat€bomboanemirancd fiecare? 38 de nuci.SrindcAunuldin ffi | 19. Doi copirau impreuna ei are.cu8 nuci mai mult decetjun5tate din numdrr-rlnucilor celuilalt, sd s€afle cateiiuci are fiecar€, 52 de probleme. ffi l2O. Doi copii rezolv6impreund $nind ce unul din ei rezolvd cu 12 nai mult decato treime din nullrirul de problemerezolvatedeceldlalt,sdseafle cateproblernerezolvi fiecare. ffi 121. Ca se cumpde un obiect, Mihai mai are nevoie de 5 lei. Ca si cumpere acelagi obiect, Nelu mai are nevoie de 3 lei. Dacdigi prm banii la un loc 1emai rdmaneI leu. Ce sumeavea fiecare$i cat a costatobiectul? ffi 122. Ca si cumpereun obiect,Danamai are nevoiede 7 lei- Ca sd cumperc acela$i obiect, Ioana mai are nevoie de 5 lei. Daceiqi pun banii la un loc, mai au nevoiede 2 lei. Ce sum6 aveafiecareSicata costalobiecrul? ffi 123, Doi copii au de rezolvatimpreunl60 de probleme. Daci primul at rehlya de 4 ori mai multe probleme decat qi-a propus,iar al doilea de doud ori mai multe, atunci ar rezolva imprelme 170de probleme.Cateproblemeare de rezolvatfiecare? ffi 124. intr-un depozit sunt de 3 o.i mai multe cerealedecat in altul. DupA ce se scot din p mul depozit 95 de tone, iar din al doilea 15 tone, in cele doud depozite riman cantitifi egale. Ce cantitatede cerealeem la inceputin fiecaredepozit?
*7 2 *
skt 125. irtr-un vas se afla d€ I ori nmi multt apirdecalin doilea atrul.b?ca in pr;mutvass-arnui addugal0 l iar in cel de-al cantitate Ce de apa egale cantitdfi ar fl aouz vase ao7. o*tt"i i" ""t" deapda fostla inceputin llecarevas? mai multd apd decat in ffi | 25. irrtr-un vas s€ afli de 4 ori l0 20 altul. D^aciin vasulmai plin mai addugnm C,iar in celalalt 'de in decet rlare mai aD6.atunciin primul rai va fi o cantitatede 3 on d. api a lost la inceputin fiecarevas? C" "ital"lt. "untitut M 127. intr-o chsa suntde douaon mai multe fele decat fete atuFci baieli.Gca in clasaar md veni ? baiei $i ar plecadoua ca$ baieti fete Cate bliefilor' si numtuul i"t"tot u, n .gal cu i '-nJ-t suntin clasd? DK 128. inn-o clasasunl de dour4ori mai multe lele decal atunci bdieli.Gca in clasdar md \eni douiifete$l ar pleca4 baieli'
i"i"Gt n a" 4 od maimaredecetnumerdbnieflor'cate '"-li-f ". fele$i cdli beiei suntin cla'a?
de ciresescoa)ela !?m,zare canlilztea DK 129. La un magaTin. clreie e"le d;ori mat maredecalceade \4fFe Dacasevend20 kg de decal ,iiOt s d" uirrn., t"i tamat de \"andulde 8 ori mai mulrecirese la \ anz re? .-rit* a. fuctedin lietarefel a fostscoase l.io.i. DK | 30. t a un concursauparriclpatbaieti ll lete Numarulblieplu: 5 drn numarullelelor'Dupaprimaprobaau dlor es?cAtjurnatare egal de ilri.Urnr*fi Z U;"ri 9r 5 fere-raminandin conclm un nunlir concurs? tai"ti ti a" i.t". Catiteief li catefeteaupafiicipatla beieli $i fete Numdnrl ffi 131. La un concurs s-au inscris plus unu din numirul fetelor-inscrise in concurs este o treime o fatE' rdrnatJi"6iot. Oupap.i-" ptobi au fost eliminali 6 beiefi ti
* 73*
nand in concus de doudo mai mulli baiefi decatfete. Cali bdiei $i cat€fete s-auinscds la concurs? o mingecu i4 lei. ftimul d ffi | 32, Doi copiiau cumparal dat tofi banii sii, iar al doilea a dat jumetatedin banii sii. Dacf, primul dddeadoarjumdtatedin banii sei, iar al doilea d-ideatoF banii sii, le'ar mai fi febuit I leu. Ce sund a avut fiecare? ffi 133, Doi €levi au cumperatcd4i in valoarede 43 lei. Pentu a pldti acestecdrli primul a dat toF banii sii, iar al doilea doud h€imi din sumasa.DacAprimul dddeadou5treimi din sumasa,iar al doilea l$i didea toli banii, ar mai Ii trebuit I leu pcnffu a putea cumpdracarllle.Ce sumaa awt fiecare.) ffi | 34. Doi copii au cump5rato saniede 50 de lei, penhu carc p mul copil a pus trer sfenuri din sumape car€ o avea.iar celdlalttoti banii pe carc-i avea.Daci primul copil ar fi dat toal4 sumasa, iar al doilea ar fi pus doar 1lei sferturi din swna pe care o avea,cei doi copii ar fi pututcumperao saniecu 5 lei mai scumpe. Cc sumi aver fiecare? impreunlun dicfionarde 59 de ffi | f5. Doi frali au cumpArat I lei. penmrcareprimul copil a pus : din sumape careo avea,iar 4
2 ..
2..
cetatatra pus - otn sumasx. uacapnmulcopll ar Tlpus - GtnsurL:t pe careo avea,iar al doiiea copil ar fi pldtit cu hei sferhfi din suma pe care o avea, atunci le-ar mai fi dmas 1 leu. Ce sume a alllt fiecare? ffi 136. Cdtula dounnumereeste6. Dacdmictordmdeimp5r,titut cu 96, iar impertitorul de 3 ori, catul remaneneschimbat. Atlali celedouenumere.
*i4*
de M lf7. Doi elevl si-aupropussa rezolveacela:i nurruiLr 28 Dupace primL,la reTol\'?Ilo ploblemelar al dorlea de oroble^nre. constaiaci primul mararede rc/ol!?r de douaori rnai ;;;il;.;, de rezolvat i"ufi" ptoUf".n" decat ai doilea. Cate probleme av€a fiecarcelev? de 3 ori mai mare decat alt ffi | 38. Un numnr natuml este dinfte numi!^natural.SAse afle cele dou[ numere,$tiind cd diferenta dublulprimuluinumdrqi triplul celuide-aldoileaeste30' M | 39. Marindcu I0 irnpitntulunuinumarnaturaloblinemun J I maimaredecatnumerullnillal Carea foslacelnurn'4r? numar^cu un DK | 40. Marindcu I0 sfertulunuinumdrnaturaloblinem numar? I 1 mai mic decatnumarulinjlial Carea fosl acelnumft? obliX | 41 . MicsorAndcu 2? impetritulunui numernatural' 3 mai matedecetnutn5rulinitial care a fost acel n"- ul n*a, "u num6r? M | 42. Din comandape careo a\ca de onomt un muncilor inLAiun .fer. opoiiutatale di resl$i in 6nal uhimele "*".ur?rnui 12piese.Catepieseaveadeexecutatmuncitorul? din M 143. Un camionIncarcalcu canofi lasao lecime jumilate piatir' incdrcfird la primapjald.o Edme din rest la a doua Cu cele iir-""ri t." fl, u tt.in pi"lu 5i ultimele3 lone la o cattine tone a fost incErcatla inceputcamionul? pe carea primit-ode la DK 144' Din cutiacu bomboane di unui priefuni"frt\1"i, aa ,u.o.it saleun slerl o rerme din resto eraula incepul ien.rarlur ii mairamdnl0 bomboaneCetebomboane in cuti€?
*7 s*
de pe scaraunui bloc au ffi 145. Jumdtatedin apaftame.ntele douecamere,o zecimedin rcst au 4 camere,doui treimi din noul rest au 3 camere,iar ultimele 3 au cate o cameri. Cate apartamentesrmt pe scare?
uner DR l5l. Llevii uneiclaseau panioipalla amma;area planlat J au inca ei ponr-iuniaingradinaScolii Un 'lefl drntre $l io-i. o t .iti" ilin rest $i ince 4 au sepat staturi penti! flon' iar alei Cali elevi suntin clast? ;ltimii 8 au amena.jat
X !46. cradina din fala caseieste organi,,ard asrfel: o cincimedin suprafala ei tl incAl0 m'esre culLivata cu flori, o neimedin resl5r inci 20 m se culti\Acu legume. peJumatale din noul rest ;i incd 10 m'?se planteazl pomi, iar ultimii 30 m, sunt pmtru alei.Ce supmfataaregedlna:
DK 152. Din cantitaleade legurnecu care!€nisr Ia lirg un t'ran vindeficcesrr: o zecimedin cantitate:l0 Lg: o zrcimedln ce a mai rest rinlaq 13kg o pitrime din ce a mai iarnas;25 kg un sfertdin noul se ?ntoarc€ si irc; 10 G; jumntatedin ce a rnai rernas;15 kg Teranul h terg? venit a liranul acasicu 10f,g deleglrme.Cu ce cantitate
ffi 147. lrina aveade cillr o care. in primazi a cilil cu 5 pagini mai mult decatjumatate din numdrultotal de pagini, a doua zi a citit cu 10pagini mai mult deceto treime din rest, iar a treia zi a cilil ulrmele20depaginr. Calepaginra\€acanea:
5K 153. Alexandrua prrmit ln dar o cutie cu bomboanepe un sfefl din loate l"? mat.rl ir 4 zile ir prima zi a m2rncat puFn "".. bomboanele;i ince 5, a doua zi a mancatcu o bomboandmar dec6tiumaraiedir ce i-a rnairamas.a treta/i a rn'incalcu dou{ibomputindeceldouefelmi dln noul resl iarapavazia Uo-J ultimeft 7 bomboane.Cat€bomboaneaveacutia? mancat-ui
DKI148. Din toLalulptsenlorexislenleinr-o cune.w slert$i inci l0 suntgdini, a cinceaparte din rest $i incd 16suntra1e,o treime din noul rest Siinci 7 slmt ga$te,iar reshrl de 9 pasfui sunt clllci. Cate pdserisun(_ucufie? ffi 149. Panu muncitori au de €xecutato comandd.primul muncltor executi cu 10 piese mai purin decatjumetate din numdrul total de piese ce trebuie executate.,Al doilea muncitor txecute cu 6 piesemai mult decatun sfert din restul pieselor.Al treilea muncitor executdcu 5 piesemai mult deceto heime din noul resl,iar al patrulea muncitor executa ultimele 11 piese. Cate piese aveau de executatcei 4 mlmcitori? X l5O. Anal inrr-oexcursiede J zile Lmcopil chelruie$E in p.ima zi un sfertdin sumape careo aveala el gi inci 15 lei. A douazi chelhrie$te un sfertdin rcst $i ince 18lei, iar a treiazi cheltuieqteultimii 27 delei. Ce sund a arut copilul in excursie? *76*
la-.5 cump6raton X 154' Un lziranvinde in piale mrre din cantilaleape un pulin decal ftrmuGr.rrnparicu ) kg mal 'fefl o ut"n !6r"nul Al d;ilea cumparao lecimedin resl5l inci 9 kg "u." o treimedin noul rest si inca4 kg Al patrulea e.t t.,t"u "urnpa.a laranului$i incd I kg cumparaiumaiaredin ce-i mai ramasese Lllrrmulcumpdrz7 kg Ce canlitalede merea vandutlAranLrl? agazdcate 2 in banc'" ffi 155. Dace el€vii tmei clase se 3 copii? au loc Daci staucate3 in bance,douebnncir&nin-liberc' iar l"ii t"""a ta-a." a.*rrn copil Caf elevi $i catebencisrmtin clasd? Dkl 156. Un lrup de excursionitli\rreasa bepllmbecu barca gnrpulursocolesteca dacaar metge Lac? Rosu Conducator,,l - oe g ii in t"t"a. 6 dintre ei nu ar avea loc, iar dacemerg crate4 in " it*"a tatta"" nefolositd, iar intr-o barcd vor fi doar doui i";"4. " Cati excursioni$ti$i cetebErci erau? pe.soane. *77*
,
elevii participanf la o lucrare scrisi sepun la ffi | 5 7. Pentrr-r dispozi{i€ d€ 3 ori mai multe pixuri decat ueioane. Fiecarerelev folose$tedorLipixuri.qi un creion $i laman nefolosite 30 de pixuri si 5 cferoane. Citr eleviau partlciparla acealucrarc?
X 164. in doue cudi sunt 56 de creioane Dacd ludm din Drirna cutie un sfert din continutul €i si inca doul deioane $i le punemio a douacutie, atunciin cele douecutli va fi acela$inumir de oreioane.Catecreioan€au fost la inceputin fiecarecutie? ' .
ffi I 58. Pentruparticipanfii la un concursde tenisde masi se pregatescde 5 od mai multe mingi decatpalete.Fiecarepafiicipant folose$teo pale6 $i 3 mingi, remanandnefolosite 5 paiete Si 65 de mingi. Cafi jucetori participi la acestcolrcurs?
K 165. Doi copii au 60 de nuci. Daceprimul copil ar da celui de-al doilea fir doudnuci mai pulin d€catun sfefi din num6ru1 nucilor sale.atunci al doilea copil ar av€ade doueori mai multe nuci decatprimul.Catenucrare hecarecopll?
X 159, Un bunic i$i cheami nepolii sa culeagdfructeilin gredinn-Nepolii culegde 5 ori mai multe nuci decetmere.La sfrr$it bunicul di fiecirui nepot cate 8 mere qi 20 de nuci, iar lui ii mai riman 36 de mere$i 340 de nuci. Cai nepoli are bunjcul?
X | 66, in 3 clas€ sunt 77 de elevi Dace s-ar ffansfera din prima clas63 elevi in a douaclas[, atunci in aceastaar fi cu unul mai mult decet in prirna clasd.Dacd s-ar fansfera din a doua cbse id a treia chse 2 elevi, atunci in aceastaar fi cu un elev mai mult decatin a douachse. Cati elevi suntin fiecate chse?
5dfie pusecdleo vazacu ffi | 6O. De nlele gcoliisesrabile$le flori in fiecarechse.Dacdflorile curnpemtein acestscopsuntpusecete 5 in vaza.ram;n neurlizare25 de llori, rardacasepun catet non in fiecare\aai-nuajung{loripenEuI clare.CaEsdi deilasAaretcoala? ffi 161. Nelu ar_ede rezolvatin vacantade pdmevarl rm anumrtnumfu de probleme.DacSar rezolvacate4 problemepe zi, ar ternina intr-un anumitnurnerde zile. Daci ar rezolvacete 5 Drobleme pe rr. ar lermlnacu o zi mai deweme,CateproblemeaveaNelu de reTolval? clase$Faupropussaplanreleun anumit X 162. EleviiLrnet numarde pomi. Dact fi€carc ar plantacetetm pom, ar rdmane7 pomi neplantali.Daci fiecareelev ar planta cate2 pomi, 9 elevi nu ar mai aveace planta.Cali elevi are clasa9i cd;i pomi sunt de plantat? ffi 153. irtr-o vazaesrecu o gafoal; mai mutl decarin alta vaza.Dacehl.im din plima vazd4 garoafe$i l€ punemin a douavazi, atunci in aceastavor fi de doudori mai mulfe garoafedecatin pdrna. Categaroafeau fost la inceputin fiecarevazd?
*2 8 *
X 157. in 3 cutii sunt 45 de creioan€.Dacd am muta din prima cutie 4 ffeioane in cea de-a doua; atunci in aceastaar fi de 4 ori mai multe creioanedecatin prima. Dacdammuta 3 cr€ioanedin a doua cutie in a treia, atlmci aceasiadin llrrn5 ar aveaun ffeion in plus fa16de ceade-adouacutie. Cetecreioanesuntin fi€carecutie? X 168. in 3 cutii sunt 43 de creioane.Dacaam transfera 4 creioanedin prima cuti€ in a douacutie, atunci in aceastadin urme ar Il de 4 on mai mullecreioanedec,l ln pnrna.Dacaam ranslera doud creioanedin a treia cutie in a doua cutie, atunci in aceastadin urmi ar fi de doui ori mai multe creioanedecatin a treia cutie. Cate sunlin fiecarecutie? creroane pare,$tiindca suma X 159. Sd seafle 3 numer€consecutive lor estecu 10mai maredecatnumfuulrrrare X l7O. Careslmt cele 3 numercconsecutivecareau sur a cu mare decatcel mai marenurnerul? 9 mai
*19*
$tiindca X 171. Dererminali4 numereimpareconsecutive, celui rnai rnare dintre ele. suma1orestecu 7 mai maredecattriplul ffi 1 72, Afla1i 4 numerenatural€consecutive,stiind ci suma lore.recu I I mximaredec6ttriplulceluimaimare. ffi | 73. Patlucopii auimpreund22 demingi detenis.Pimul are de 3 ori mai multedecatal doilea,acestiaimpreuneau de 2 ori mai multedccetal heilea,iar al pahrleaare cu 2 mai puline decat ceilal{i3 la tul loc.Catemingi arefiecare? ffi | 74. Patruloturi de pidure au o suprafalide'12 ha. A1 doilca lot are o suprafaied€ doui ori mai marc decatprimul lot, ac€stea impreunAauo supralalide doudori mai mared€catal treilea lot, iar toatetrei la un loc au o suprafalidc 3 o mai nare decatal patrulcalot. Catchcclarearesuprafalaliecirui lot? ffi | 75. Sumaa 3 nunrerenatwaleest€50. Al treileanumar estede 4 o mai mic decalsumaprimelordoui numeregi cu 5 mai mic decatal doilca.Aflaji coletrei numere. ffi | 75. Sumao 3 numerenatuale este100.Al doileanumir estecu 20 mai marcdecatprimul,iat diferenradintreal treileaqi al doileanum6r€steegalecu primulnumrr.Caresuntceletrei numere? ffi | 77. Sumaa 3 numerenatuale este26. Al doileanumer €ste de doui ori ti jumltate mai mare decatprimul, iar diferenla dintreal treilcr $i al doil€anumeresteegalecu jumdtatedin primul numar,Si se afle cel trei numere. ffi | 78. Sumaa 3 numerenaturaleeste52. Daci mlrim sfertul primului numir cu 35, heimeacelui de-aldoileanumtucu 36 qi doimeacelui d€-altreileanumarcu 37, oblin€m3 numerenalumle pare.Caresuntceletrei numere? consecutiv€
*8 0 *
este79 Daci icsordm ffi 179. Sumaa 3 numerenaturaie qi cu 5 dlimea primului numir, cu 4 feimea celui de-al doilea numer trei numercegaie Sa cu 3 sfenulcelui de-altreileanumir, ob,tinem seaflecele1Ieinumere esteI 818 Dacernicsoffi 18O' Sumaa 3 nunlereraturale ru 70ujumalalerce[r de-al prinuluiIrLrnur. rarncu-l00 iumllatea jumirirlea Jc-31lrcrleanumtuob!rnem rclul .toit.unr.;i ,i c l00 trei numerenaturaleconsecutiveCalcau losl numqele'? rxlumlue\lr cu g0 llui maredecirl a 3 numere ffi l8l. SL-rma cc au ca 5ci/aLof Pecel Inalmrc)i ca d(scilutpe suma;;ferenlelor doui. Afla1icelmaimic dintrccelctrei numerc' lieoaredinh€celelalte rafe,gigte Dacd ffi | 82. intr-o curtesunt60 de pAsari:8iini, din or mulfi doua rals, atunci nun1lrl ralclor ar fi doui feimi de ilei numdrulgdinilor,iar daci ar mai fi 6 ghini,atunciglinile ar fi ori mai fr-ultedeclt giqtele CAtepesarisulltde fiecarefel? pdseri:gdini,rale,ga$leDacI ffi | 83' inlr-o crrrtesunt60 de ,luui ratc, atunci numiiruldc rate ar fi doui treimi.din o. dou:I -oi-ii nunarui de g:rini,iar dacdar lnai ii 6 r'ale,atunciralcloar fi de (late icl? dc ilecarc sunt gallclc. Patsiri ori fiai nrul; docat EK 184' tn I l;i/i sLnt85 Lg 'ic con"fi T)upic( drn pnma 4 kg. din c dolr.ihdd 'e vend7 ku '"t 6 n x tlg13serdnd ladj se^vdnd de 8 ka.rimdn in p;tmaladi dedou!ori m i nlullLlcorlin a doursi la erau cartofi dc t n".l .uti a".rr in a ncir. Cdlekllogrsmc -ui in fi€carelad5? inceput este86' Saseafle cele3 nuffi | 85' Sumaa 3 numerenaturale cu 5 mai marcd€cattriplul primuiui numir' .cr.. ,t^tiind ul doil.u "l "ste iar al teilea estecu 11rnai maredecit dublul cetuide-aidoilea'
,t 81 *
X I 85: Tiei muncitori au de executal105piese Dacdprimul ar eiecuta de doud ori mai multe piese decat ii'revin; al{oilea cu 21 mdi multe, iar al treil€a juni'atat€, atunci'fiecarc din cei trei ar executaacela$inumdrde piese.CatepieseexecutAfiecare? X | 87. CandNeluavea7 ani.soralui avral0 ani Acumau irnpreud 23 de ani. Ci! ani arc fiecare? X f88. Pest€6 ani mama ra avea 36 de ani, iat fric 12. Acum caf ani va$ta mameieru de 7 ori mai maredecatva$ta fiicei? - X 189. T:it51are 28 de ani, iar fiul 6'aii. Pesteca! ani tatdl !? fi de I ori rnaiin verrledecatfiul? . X 19O. Acum 3 ani, mamaera de 3 od rnai in varsJedecat fiica, Peste9 ani mamava fi de doudori rnai in varsti decat'fiica.Ce varsti are fiecareacum'l ffi 1 9 | . Soramea estemai mare decatfiatele meu cu 4 ani. Ce vdrlti are sorameailaci e ile 3 ori mai maredecatfrat6lemeu? 'X 192. Determinali vaista actuali a tatilui udiri bdiat de ? ani, gtiind ce atunci cand bliatul va aveavarstaa'i;tualea tatdlui, tatil va avea55 d€ ani. ' X | 93; Eu am 9 ani, iar tatelmeu 31 de ani. Pestecaf ani voi fi de3 ori mai mic decattatdl meu? ffi | 94. Tatdl are doi copii: Alina $i Mihai. Cand s-a nzscut Alina, Mihai avea2 ani- Peste4 atri tat6l va fi de 4 ori mai mar€decat Mihai $i de 5 ori rnai mare decatAlina. Ce varsti are acUmfiecare? X | 95. Peste5 afli valsta lui Rizwr va fi de 5 on mai n]are repreznta decatdiferenFdintrevarstalui 9i vaBtalui Adrian,iar aceasta ver$alui Addandeacrun4 ani. Ce varstdauR;z€n $i Adrian? f,<82*
X | 96. PesteI 5 anrvor avea'/erslapecareo atea lalal-merr decdl *r- flot. Pesle4 ani tatalmeu va Il d€ J ori mai in \ drstS "mine.Ce varstdam? 100de M 197. lar,l. marna)r cei doi fii ai lor au impreuna fiilor qdi ani.Pe? to ani .4iq'raklalui \a fl egalacu 5umaviurslelor * 4 ani mai tantrd decattat'l' ar unlrl dintre''fii 3ti'i"ala:rn"." ""t" cu 2 ani, si se calculezevarstafiecdruia' Jrt" trui-"t" a""at ""rdblt M 198. Luneimeaunul drcptungh!estede J on mai mare O"-"a-- tt"5o'" lun!'t"" cu l0 m si'am rruirj a*r, fi.*-fri. tm paoal Aflali penmeruldreptunghtului ia,r-." * o "ufne -, "t mai rnare DK 199. Luneimeaunul dreptunghieslecu l0 penmetrul 'm elle egalcu dreptunghiului d."ut G,..u lui. Pe-rimetrul dimensiunile Aflati cm de de 20 cu latura *"i'J,lngfti ""ftif"t"*l dreptmghiului. afle M 2OO. Perimetrulunui dreptunghiestede 60 m Se se rliind c6 lungimeaestecu 6 m firairnare dimenfrrnrledreprunghiului. decatlelim€a. afle M 2Ol. Perrmewlunui drepturghrestede 60 m Sd se mai ori doua de este $liindca lungimea dimenfirniledreprunghrului. maredecatlellmea. M 202. Perimetrulunul dreptunghie5lede 60 m Sa se afle $lirndca lungimeaeslecu 2 m mai mare dirnen uniledrepr,-rnghiului. decartriplul Hlimii, a{le Dkl2O3. Perjmetrulunui dreptunghjestede 60 m Sa se ca ladmeaestecu I maj mic; dreprunghiului.stiind ai^*finit" decetdublullungimii.
*$*
ffi 2O4. Lungimeagardului din jurul unui teren triunghiular estede 100m. Si seafle lungimeafiecirei laturi a tiunghiului, $tiind ci rmadin ele estede doueori mai maredecato a doualaturdqi cu 20 mai nare decata treia latud. ffi 2O5. Perimetmlunui t irmghiesiede 120 m. Si se afl€ lungimile laturilor triunghiului, $tiind cAuna est€o tueimedin surna celorlalte doue laturi, iar a doua laturd este cu 3 m mai micd d€cat dublulceleide-atueia. ffi 2O6. Lungimea lmui dreptunghi este de 3 ori mai mare decat ldlimea iui. DacAmic$odm lungimea$i lilimea cu cate 2 cn! atunci aria lui se micqoreazi cn 16 cnf. Care este perimetrul dreptunghiuluiinilial? ffi 2O7. Un sfert din lungimeaunui dreptmghi impreunl cu o heime din hlimea lui fac 18 m. Si se afle dimensirmiledreptunghiului,$tiindcdperimetrullui estede 128m.
peri Nunturl perilor reprcX 2 t f . intr-o li\,?de suntnuci 9i din numirul total de pomi $tiind ca jumarat din numft-ul numirul pedlor esteegalcu numarulnucilormirit cu 100,si se afle denuci fi ped. drn W 212. O treimedintr-unnumale-leegal6cu o dolme qe alle sir 75 ul, nulnat.i,i'"a cr sunr celordotri numereeste numercle, a nci lllrca pcnlruorganrzateaW 213. La ora de educalre numirulcelor iocuri.?fo.r ne\oiede47 dejucaloriDinrrcacettia nurnirul decat mic mai doue ori i-J"t fu""i "B."hg"lele" esie cei careau decat 'le marc * ju*t ,,Ut.ul doarme"$i cu 5 mai ""io, iucat""t" ,,Crabir$i creve!i" joc' al Sa\e afiecafieleviaupanlcipalh frcccre u"participatla toatejocurile'si seafle ca!1 ti $,i;na S "e "opii elevi emuPeterenulde spofi
X 2O8. O tieirne din lungimeaunui dreptunghiimpreundcu Jumitate din ldlimea lui fjrc 18 m. SAse afl€ dimensiuniledreptunghiului, qtiind c; perin€tml lui esteegalcu 94 de metri.
de nuci la 3 copii' astfelincat X 214. Si se imparti 100 primii?oi seaibi impreuna72 denuci,iar ltimii doi 59 denuci'
X 209. Andrei, Daniel $i Mircea se intec la co$uldebaschet. Mircea a realizat dublul punctelor rnarcatede Andrei gi Daniel la un loc, iar Daniel are de doui ori inai multe punctedecatAtdrei. $tiind cd cei trei copii au realizat impreund45 de puncte, se se afle cate
purceior' rule>ige:rein lotalI 444de EEr2 | 5. l-ao iermdsLrnL oiloreslede5 on lnar caDele;I I 520depicroarestirrdci numArul ; al p'u.ceilor' iar numnrul ga$telorde 3 ori mai mic #;lci, ut *l"lot,-ti .e afle cateanimalesunt din fiecarefel a..at ""t
ffi 21O, Mamaa cumptu?tpenfir copii 2 stilouri,8 caiete$i 4 cer,ti.Cunoscandca lm sdlou, un caiet $i o carteau costatinprermi 22 de lei qi ce o carte_arc valoateaa 7 caiete,iar un stiloucost5cat 2 cArli, si seafle valoarealucru lor cumpirate.
*84*
elev M 2|6. Flerii L,neiclaseau plxnlalpomi Dacafiecale iar dac; a, olafi .ite un pom.ar remane25 de pomi neplantali nomoe nrcr avea nu ar 'ln fle;areelevar plantacale2 pomi.4 elevi plantat? de in cla;e si cali pomi au a\alt pr"*"i. cafi aiu "*t
*8 s*
dou[ numerea cerordiferengisi fie ffi 217. Snse gdseascd 290, iar daci impa4im primul numar ia al doilea, sAoblnem catul 4 )i re.rul 8. ffi 2l 8. Sumaa dounnumereeste44, iar diferenqa , 5lor este] din numfuri mic. Caresuntacestenumerc? ffi 219. Dacd o pizza ar costacu I leu mai pulin, atunci jumitate din noul prei ar fi cu 2 lei mai mare decat sfe.tul acestuia. Catcosti o pizza? ffi 22O. Din banii pe carc-i are,Iuiia poatecumpnra:3 CD-uri sau 2 D\D-uri. Ca{i lei a a}'ut, dacdun DVD estenai scumpcu 19 lei decatun CD? X 221. Djntr-o panglici cu lungimeade 235 cm s-autdiat doui bucili mai mari,de aceeaqi lungime9i 3 bucat mai mici, egale. Au mai rirnas 1I cm. O bucatemareestede douao.i mai lungd decat una din celenici. Ce lungimeare fiecar€bucata? rm anumit ffi 222. Trei copii au 156denuci.Pdmulmenance numir de nuci, al doilea cu 3 mai multe decat biplul numiruiui de nuci mancate de pdmul, iar al treilea, dublul numnmlui de nuci consumate de al doilea.Fiecarecopil a rdmascu tot ateteanuci cate au menc.it la un loc toli tei. Si se afle cate nuci a av'ut la inceput fiecarecopil. ffi 223. O gospodinncheltuiegtepenlrucamecu 3 lei mai pulin 2 I ' decir - drn surnape careo avea.pmml pesle .l din resrsi inca2 lei. iar pentu brenzA,cu 2 lei rnai pu(in decatjrmntate din noul rest. $tiind cd i-au mai fimas 10lei, sdseafle surnainitiali.
rl 86 rt
a douenumere cu diferenla lor obliffi 224. Adunnndsuma lor este 30 Si se afle n"- sfi."i", aifer"nlu aintre suma$i diferen{a cele dolr6numere. de 7 ori-maimulte oi negredecat X 225. intr-o tumn sunt 26 de ol albe numerul :rlbe.D-ac;se r irnd l0 ol neg'e)r secumpira in *f", "lbedevincaccla>iCite ol aLrloslla incepul t."" I "f ",i", furmd? 5'kgdebJninecosu2s deler' DacaI ffi 226. 3 kg depiasrcisr cosuimpreun;7 lei saseafle ce(cosl,a ke dep_'ersrci tr I ki debanane cate I kg din fiecare 4 pizaare lrlra poxrc-i-lr cumpere ffi 227. Cu banripecare-i niman (une rnai ii $r *u z lani. .au I u-icou.Ea cunparao prrzr >ro unricou l iia. cahi.i u. n rcuuit mai aibacasecumperc$i "l sunlinlr'oculr.edac' )i-ca!icarbburi X 228' Calrpil,anieni tl e5le54 rr ddci in Iolal\unLE c:rr:bu$i al picioarelor numanrTroral 8)' peianj€nul pai*j*i. (Catat"q"t 6 picioare, -e de^4-orl M 229. M:rmaarecu 5 anl ma pLrlindccallalalfi I / oe avea marna firccl 'ale maiffi decdtfirca.ftiind ce la na:lc'rea ani, sI seafle varstafi€clruia' eslede uneicuqi rn form;de dreptunghi M 23O. PerrmenLrl fi marmarecu 2 m lrunci aceasuar Ii de il"gi;.; 284 *'t;; "r si cali are ?""a, li.timeaCali metriarelungrmea
i""i
"'*" -Iicu4ii? ldlimea
sa se afle K 231. Sumaa 4 numerenaluralcesle I E20 cu 364' al treilea decar r'**"?iit tii*J"" "l doileaestcmaimare cu primurur suma 164iar pnmur.cu decer ;i;:l;"i;;;.,; ;i;; 'nut.aecar'umacel''lallecu 364 urr'-ui.*" -"' *87*
ffi 232. Sa se afle vnrstamameiunei fetile, $riindcd fetila ar€ 9 ani,iar atmci candfetilava aveavirsta mamei.mamava avea63deani. ffi 233. Un muncitortrebuiesi sapeun San!in I0 zile.Dupi 4 zile a mai fost angajatun muncitor care lucrcazAde doui ori mai lent decetprimul. Dupa catezile de la angajarea celui de-aldoilea muncitorse temini lucffe a? ffi 234. Un muncitorpoatesi sapeun $an1in 8 zile. Dupa5 zile estelnlocuit cu un alt muncitorcarelucreazide doudori mai Jent.Dupi catezile de la inlocuireaprimului muncitoresteteminati lucrarea? X 235. Trei zugravi bcbuie si viruiaschporfiuni egalc chntr-unperete.Primulviruie$tcpartealui $j incd 3 m pentrua veni in sprijinulcelorlalli.Al doilcavinrie$topar.tca lui, iar al rreilcarnaj aredev:lruit5 m. Ce lunginicaveapcretcl( X 236. in douiirczervoarcslmt I 000 / dc benzin6.Dac?ise mutl din pdmul in ccliilalt 90 { se obline relalia II = I x 4. Ce canlitatedc bcnzinia lost irifial r^nrezervoare? ffi 217. Trci ciclitti iau startulr'n acela$imom€nt.Cand primulfaccun tur de pisti, al doileail dcplsettecu un sfertde tur $i al treileacu jumitate de tur. inprcunl ej auparcurs30 de ture.Cdie lurea parcursfiecareciclist? X 238, Doi copiipleaci din accla$ipunct,in direcqiiopuse, in linie dreapti,unul cu trotincla,iar celilalt pe jos. Ctanddistanla dintreci estede 180m, se opresc.Cali metria parcursfiecareStiind ci, in timp ce pnmulparcurg€2 metri,al doileaparcurgeun mehu? ffi 239. Trei copii au parcursrm drum de 8 hn. pdn]ut a mers dedoui ori maircpededecdtceila1qi. CAEikilornetria parcu$ fiecare?
Jt8 8 *
cu ouade eirnil oui de rata in EK 24O. Mci -nullecoSulele \or vlndeacesl canrnafi;Jicarade numarulinccrr.Pccos ..Daci mai multe rr"t, ga"a"ii" ta.r*oarea, imi vor;im;nc de doui ori gandit? ""i nria"'giina a""at o"a aera.ld".La carecoss-a /'\ ,,-\
a-) <-) ee ft IJJ LrJ L't
r-i r s I F-t L?rr
('0 cm 5140 cm Se M 241. Un llblou afe dintns Lrrilcdc Irn'eil lr,'rrterrte5 cm t ir"L(tlt' lrcfimelrul "orn",,Go|-r.i., 4 i m3imullibaieli M 242. La unexemcn ''au prc/cnlar 'ic "r\Lrrnirulbirelilor a."n, 6.. Jin care4 biicli l 4 fcrenu ru rcrr)rl ceparal i ,.ul,t; t to.l a" I o.i'na)mxredccil ll lclcln irlicrndiJrli la examen'1 bAiedSifexe,s-auprezentat rlc orc/ c'lc in llccrrcdin cci M 243. Siiserflc cc ccntrtute numcre rct'nzcnt:rtc 5 srci.irind Li: ln primir2 'rci sunlcar'titr'rir 'lc sacflre lrcllca 2 ir'rirr l"rrl ltio kU irl .on.".,i'it" impcrc,urm:lroni (rn(.ilca src c'tc rl .u_Atg nt"i nu.t,a".o' triPlulcclurJ( rl P'rlrul(r' 1 utth un prrrrrul ;r ultrnrtrl cu t kE mci grcudeeir I drrrprrnrulrur loc 75 kg. manca M 244' lrei copirxu 42 de ntrci Ddcarl doileaJr arer ar nuci J 3 nuci.r^rarcacit al r;ilcr' dardacepnrnuli-Jr'la Catenuci arefiecarecopil? cetacesta. de lei Daci M 245. Iulic. hin.rti l/abelrau irnprerrn;95 -a\ca h , liaa in a i a le a5 le i .r r a v c ac a l l r i n a r a r r m p r c u n i c u c a catIzabela.Si seaflecali lei arefiecare
*89*
ffi 245. intr-un cogsuntcu 35 de merernai multe decarin alt 3 co$.Stiind cd 1 din primul coqreprezinti o1n al oolLea co$. sa se aflecetemeresuntin flecareco$, ffi 247. intr-o biblioteci sunt 180 de cd4i a$ezatepe 5 rafturi. Pe primul raft sunt cu 5 ci4i mai multe decatpe raftul al treileasau al patrulea,iar pe raftul ai cincileao treimedin totalul cirlilor din bibliotece.Catecdrti suntpe fiecareraft, dacepe al doilea slmt cat pe primul $i al heilea la un loc?
fost imprejmuiti de petratcu laturaegal6cu lilimea dreptunghiuluia cu Lrngard. Sese afle lungimeagardului' Cangurul"elevii X 254. Pregarindu 'e j penmrconcur5ul exercitrisi multe md uu ,.iol*t ur sdprdmdni o^"i?no decat o mult mai doud au rezolvat cu p.i*" pitrime din "aptdmana o pu.tin decat "t"lf"-"j. cu4 mai sdptimana ili, ;il; il;;i; ,1
Cate rest, iar a treia septemenaI din noul rest $i inci l0 Fobleme problemeau rezolvatin total in celetrei sdpfimani?
ffi 251 . Sdseafle 5 numeredacesumalor este813,primeletei s.rn1consecutive impare,iar umdtoar€leilei srurtconsecutive pare.
c'n'i sj pl\uri in M 255. Cu sumade 40 de lers-aucumparat din pretul dccatJumahte mult bl-al8^bu;;. I n prxcoslacu I leumai numi^rt decat mare mar fa".a,irf pixunlora fo'r de J on *" 'Se cerlil€' "rn'. ." uff" tei aurlmas dupi ce s-aucumpirat "a! "e.tifo.. in Lotal careaucosDal banane $l ponocale DK256. S-aucurnparat cea de dec6t rnare on nlli de porlocaleeslede 3 rs f"i?*nr"r." I kg de decdt mult ;; i kg de Lananecos* de 2 ori mar ;;;; pono.ul..S, un. u co)lalcateI kg drnfiecarefel' '. "ar Loto doi prieteni X 257. Dupdce au callrgclla rrxgerca in mo.l egal casllgulri au inceputsa sr chelruiasca si'au im^pirnrr pe n"c"are,dacdprimul a cheltuitcate50 de lei i*ii. il'it "'"aiiit" ;" lei pe zi' iar primul a terminatbanii cu s de ;;id"ti";;;?0 zile mai repededecatcelilalt?
X 252. O cnzantemi costi cu 3 lei mai muit decat o gladiole.Penhu3 crizanteme $i 5 gladioies-aupletit 25 de lei. SAs€ afle catcostefiecarefloarc.
nlrci in al doitea sunt mai multe X 258. in 4 cosuri sunt ' co) sunlde doui decatin al treileacu : din pnmul.rar tll i rl Patrulea
X 248. Iulia ti Izabelaau cete17 nuci.A{lali cateminanci fiecare,daceceeace le remanereprezinti numeaeconsecutivecareau sumacet numirul de nuci mancatede Izabela. ffi 249. Un kilogram de piersici, unul de prune qi unul de zmeuri costela un loc 10 lej. Cat costi fiecare,dacei kg de prune costi de 9 ori mai pulin d€cat I kg de piersici Si I kg de zrcuri la un loc, iar 2 kg de piersici costl cat 1 de kg de uneuri? ffi 25O, Sumaa 6 numereeste 939. Primele 3 sunt numere consecutivepare, umitoaaele 3 sunt consecutiveimparc cu suma 201.Si seaflenumerele.
ffi 253. Curtea unei gndinite are perimetrul de 240 m, l5limea fiind d€ 3 ori mai mici d€catllmgimea.O porfiune in formn
*9 0 *
primul-gi ifl.al treilea ori mai multe decatin primul Dacdaddugimin i* din al patruleaco$ scidem dublul lui 20' in a" ".r-"ai"-iO egaie-Catenuci suntin cele4 coquri'? ft t* """i, + ""*iti,ti ""*.i ""[ *91
*
ffi 259. De la Gala! pleacdspreTulceao barcecu viteza m€die de 18 km pe ord. Dupi doui ore pleacdun vapor cu viteza mediede 30 km pe ore. Dupi cat timp vaporul va ajungebarca? cu sciziffi 25O. Snse afle descazutul, $tiindci adunandu-l torul $i cu difer€nfaobtinem568. p( 26 | , htr.o cune.untaLatea oi celegdini$i Balletaun loc. Num .l,llgiinilor ested€ doul ori mai rnaredecatnumfuul ga$telor$i cu 20 mai mic decetnumirul oilor. Cateanimalesunt de fiecarefel? ffi 252. intr-Lursac sunt de 3 ori mai multe klograme de cartoli decatin altul. Daci se iau 4 kg din saculal doilea $i se pun in primul, atunci in acestavor fi de 4 ori mai multe kilogramed€catin al doilea-Catekilogramede carlofi suntin fiecaresac? ffi 253. Sumaa trei numerenaturaleeste228. Sumaprirnelor doui numereesteegalacu al treilea numfu, iar diferenla lor este 14. Sdseafle celetrei numere. ffi 264. Sumaa doui numereeste94. $tiind ci lmul din numere estecu 5 mai mic decAtI din celilalt sdseafle celedouenumere. 6 o crne un eleva platir] d'n ,uru p..ur. o ffi 265. Pentru 8 avea,pentru un stilou f din rest, penku un pix I din noul rest, iar pentru4 caietea pleiit ultimii 4 lei. Si se afle suna a\,utede elev $i cata costatfiecareobiect. ffi 266, O gladioH;i o trandafircosta7 lei. Dacemic$oram prelul gladiolei cu I leu Si mtuim cu 2 lei pleful rrandafirului, atunci trandafimlar fi de 7 ori mai scumpdecatgladiola.Ca! lei costa fiecare? 'k92*
I
. ffi 267, Sumaa 3 numereeste2 367.Primul numfureprezmtd jumatate din al doilea. Daca impirlim pe al treilea la a1 doilea, obfinemcatul1 Sirestul17.Si seaflecele3 num€rc' ffi 268. Cntulimpn4irii a doudnumereeste3, iar resiul65 Dacdadunimdeimparlitul,impe4itord,catulsi restuloblinem461' Caresuntnumerele? un ffi 269. La impS,ueaa douenumerenaturale'catuleste sfefi din imp54itor, iar restuljumitate din cat $tiind ce impnrFtorul, catul $i restul insumeazd308, sa se afle cclc doui numerenaturale' da ffi 270. Un numdradunatcu el insu$i $i clrjumitate din el 4?5.Careeslenumdrul? ffi 271. De ziuaei, Iulia \'aeasa-ti scrveascicolegiicu bomar mai aveanevoiede l0 bom_ boane.Dacele ali cate5 bomboane, boane,iar ilacd le di cate 4, i-ar mai rimane 20 de bomboane Cai elevi suntin clasd9i catebomboaneare lulia? leu, iar ffi 272. Daci ar cunpira 3 ciocolate'Iuliei i-ar rameneI lulia? lei are lei Cali 17 mai tebui lar daci ar cumpira 9 ciocolate, problemede ffi 273. intr-o culegeresunt 777 de exercilii 9i geometrie este de doudori de aritmei[5 9i geometrie.Nunarul celor se pentru un exercillu mai mic decatal celor de aritmetica.$tiind cd puncte cdl]n $i acorde3 puncte,iar pentru o problemede geometrie5 geometri€ ob{ine qi d€ problem€le exerciiiile toate rezolvd elev care geometrie rezolvd qi probleme de cate cAte exercilii 1 113,si se afle pentru a acumulaacestPunctaj. gcolar,Iulia a X 274. Pentrufestivitat€ade la sfer$itulanului cumptrat flori in valoare de 63 de lei: garoafecu I leu firul, gerbera i l"i fi-l $i trandafiri cu 7 lei firuI. Cate flori din fiecare fel a "u *93*
cumpimt Iulia, daci numirul g€rberelorestede 3 ori rnai rnaredecatal trandafinlor,iar ace$iiasunlde 5 ori rnai pufini decatgaroafele? ffi 275. Un vaporpleacedin GalalispreTulcea$i parcurge 90 km in 3 ore. Ce distanlSva stribate o barci ce se deplaseaz6timp de 4 or€ cu o vitezd de 3 ori mai mice decalceaa vaporului? ffi 275, Perimetrulunui triunghi este 373 cm Se se afle lungimilelaturilor,$tiirldce una din laturi estemai mici cu 12 cm decataliaqi mai marecu 8 cm dccatceade-atreia. ffi 277. Tat5lestecu 24 de ani mai in varsted€catf1ul.Peste doi ani varslatatelui va fi de doueori mai maredecatvarstafiului. Ce varstdar€ acumfiecar€? X 278. VA(staIrinei csle cu 19 ani mai mic6 decatvtusta mamei.Peste10 ani varstamamciva fi de doudori mai maredecat varsrafiicei. Ce versti arefiecarein prezcnt? cateo sumdde bani,primul ffi 279. Doi copii au economisit doilea. Dacbal doileai-ar da lei docat al mai mulfi avAndde 6 ori Cili lei are fiecare mai mulfi. primului4lei, acestaar aveade 7 ori copil? ffi 28O. Mo9 Andrci are de 4 ori mai mult€ rate decatga$t€ Dacd ar vinde doue ga$te$i ar cumpera4 mle, at aveade 6 o mai multe rate decatgaste.Cetera.te9i cat€gesteare acummo$Andrei? X 28 | . Mnna a ldsatplicintd pe un platoupentru cei 3 copii a luat ] din numarul ai sdi. Cand a venit de la 9coala,pnmul copil '3 bucallor $i a plecat.Al doileaa mancatI din ce a remasgi a plecat.
l
pe farfurie Al ft€ilea a mencat$i el I din ce a r:unassi a mai ]asat 8 bucSlipentru ftafii lui Catebucili de pldcifltd au fost la inceputl X 282. Patrucopiidu 12 'lc nrcreDacaprimular maia\ea mulle' hci l?ere, al dorlcacu3 maiputrnc:rl nerlcade 3 ori mai acela$i ar avea ficcare iar al patulea ale4 ori n1aipuline.alunci numardemerc.Si seaflecatcmercarc llccare' 42 d( ler'ljupi ce fiecarc inlprcurriL M 283. freicopiravealr suma.le-aumairiimsr2 l(r' l5 lel re'pcctlv4 lei' a.ceas, a cheltui^t Ca[ lei a awt flecarela inceput? rl.r* i r III-aA au lual M 284. La tcsruldemarcmarica. 'lcvir l{' nurtl l'rqt ts" 72nu l2 nu au fost..l'lj calificctive: umato^arcle {cl'? au fost,,S".Catecalificativeau fostdefiecarc Iulia$illianca' ffi 285. Peo bancistau4 felilc:Luminila''\diru' ]lianca' Dac6liia, careesteprima din $enga,s-armutaintrc Adim $i feiilc? 4 celc sl1u ordinc ot rnli niun"u . ft p.i-u din stdngatn ce Jornrcudoui M 286. Pisiciledonncam lo orcdin 24 NorpLrir /iua 1rectenoaptcel oremr]iult decirtzrua.t irtcoredormpisrLrlc ni$lepasarijn calevapi'rcrparr'lc'c M 287. inn-osradrne, pr'F ,n,ut f,^indts ochi. Numarulpisinlor esrcdublu lxld dc cel al cilor.Catepisici li cat€peserisunt? in M 288. jntr-osadrnl. carc\rpisrcipande'cnislepasari pi'ici pasarr' C6le L.,,ul fi*a:a de ochr'irecdreiprsrciii re\in doua $i caiepiseri sunt?
3
*9 1
*
*9s*
X 289. h ia, Ratuca,Luminila, Cristina $i Dan au alerezol_ vat imFeurie 40 de probleme.Ei ti le-au impdrtit adtfel incat incepand.cu Raluca,au cateo problemi in plus faqi de Fecedentul. Cate probl€meare de rezolvat fiecare? pareeste72. Despre ffi 29O. Surnaa J nlrmereconseculive Ce nldnere esle \ Olbal
ffi 29 | . La un concursde maternaticd,pentru 12 intrebdri se acorde 100 de puncte. Pentrup mele tlei intrebiri se acorddnumdr egalde puncletpennuurmatoarelerei se acordain Dlusfiecaruia care 2 punctel lrmdloareleEei au cale un puncr in plus lala de precedenrele. iar ultrmeleo-eiinnebariaucu cere5 punctein pluj lale de primele hei. Scrieti baremelede corectarepentru fiecareintrebarl. Din oficiu seacordel0 puncte. ffi 292. lJn camionmcarcalcantaresle l0 t. Canritalea dezahartransponatiestede4 ori nraimaredecatceade bomboane. ceade ciocolatde cu 100 kg mai mare decatcea de zah6r,iar cantitateade caramelecu 100 kg mai rnaredecatcea de bomboan€.Camionulgol cendresre8 l. CalekiloglametransportA din fiecareprodus? ffi 293. Ana a obfnur la primele 4 teste58 de puncte,cateun punct in plus de fiecaredat5.Cat a obtinut la fiecarc t€st? ffi 294. Un disc metalic are I 000 g. Se decupeazedin el o po4rune, ramanandun disc mai mic gi tot ata de.inci dbui ori, cantitateainl6tulat5 fiind aceeaqide fiecaredati. Ultimul disc lelnas caintare$te 400 g. C€ cantitatede metal s-ainldhimt de fiecaredati?
piesecatalta X 296. O.,qqfiniprodlcein doua6retot atatea piese Cat€plese 500 de produc I in 3 ore, LucrAndimpreuni 6 ore, producepe orafiecaremalind? inpreuld 45 de ffi 297. Primii rei frafi dintr-o familie. art pdmii trej sunl cd ani 20 de $tiind ani, iar urmdtorii au impreuni de 4 anl, la difererld doi ultimii ndscuti la diferenti de lm an, iar patrulea ftate' al aflali ce diferen$ de vfusti esteintre a1treilea $i pentru X 298. La un test, num?irulpunctelol acordate pentru umetoarele o.imele S int.bari este cu 3 mai mare decat este egal cu al intrebfui punctajul 3 aceslor seu, Li randul ! intrebariultimelor doui intreblri. in cadrui fiecirei tran$e, intrebarile au punctaj egal. Acordandu-se11 puncte din oficiu' se pot ob{ine maximum 50 alepuncte. Gre$indun raspuns' un elev obline 48 de o p"nnu * rdspunsgre$it depunctareaeste purcte. $tiind "i 'le al cerei teime din valoareaintreberii, din ce categorieesteintrebarea respunsa fost gre$it? l0 ani va avea ffi 299' Tat are de 3 ori varstafiului Peste din cei doj? vemia(lublefaldde fiul seu C€ varstdaref1€care O hnsi ffi 30O. incepeqcoala9i Iulia igi cumpiri rechizite ghiozdanul cu de desencosti de trei ori cet cele3 cutii cu CD-uri, ghiozdane I leu mai mult decatCD-urile,iar aiterechizitecat doue Pentruplatda folosit3 bancnot€de 50 de lei si 9 bonurivaloricede dlnlrerechi/ile' 7 ler.Crt co.tdfiecare
X 295. Un disc merahcare 2 000 g. Se decupeara din el o portiune, rdrnenandun disc rnai mic $i tot a$a de ince doui od. canlikreajnlaturala firndde fiecaredala cu cele 50 e mai mare. Discul remas in final cantdre$te800 g. Ce cantirate Je metal s-a inuturat de fiecaredate?
* ge*
*9?*
.l
Deseneleurmdtoarevi sugereazaprobleme.Gesili enunquri pofiivite (in un€lecazui 9i valori numerice)pentru fiecaredintre ele. Folositi-vi sitde rairimi concrete din r€alitatea ce vd inconjoare: pai , ma$ini,mingi, copii,pomi, flori, ce4i,proftucte,bomboane, bl€me,kilog?tne,litli, zile,ore,pisiri, bile, creibaneetc.
a.F--------l--"i-*-l
2.tL----r----1
I
"'---T
l---_---'--
nT,
,l2r /
I,' '
tll
++' 6. #
*+l
tl
f' -_l-
"E1;'|"
\.--..--.--
5. #
1 ..
I,"
J
)
fts
.T-'...---1-------r-1J, z ,z ,l
..t 98*
*19
t 2.#
t9.#'
1
#
I
F---r-l---f---r tr t-'t-'l--{ \---,J
,-r--^..-/-
14.# \_J
4 15.-
40 -.-----------^._ l------]--..]._-|---]-F----l--l
16. + l
i__-1. ll
{,l" ,.------------..,-'5 '
23.
24.#, r--------+------
l)
I8.F------r----.'- -rI
F---lt--+}1-----
l"n ) * too*
rs - +--------
-----il
t--------------
i *m1 *
tt r t ?,inansant cAT t tlot, PARTEA I
"=-l
r. suM 4,$l DIFERENTA 6' 62ti m 1.15;10.2.16;18.3 .16;33.4.22t';36,5'l 1ani ;15ani 10'37-9; l7 B;m 29 9 ' ' t,r";le ti-br". i. rO: pugi"l 141paginiS'46;
tr. sg.rl ' r04;r2215'r12;e6 tte;-e8 iilioi.li.zq,zz,is.-tz. 52: 80' 16'.56; 65.17 4'7; 64. 18.96;25 19' 58; 40 20' 86; 54 21'
16;t427'22' t5;2725.12;t6;ts.26'16 ii'.iz st;q.zs.q1;ze.24. 28.#
2. srM;. $r cAT 150;300 1 . 9 ; 1 8 .2 . 7 ; 2 8 . 3 . 8 ; 5 6 .4 . 18;6. 5. 25; 25; 50 6. 75; 12. &: 150. 100; r12. 1r. s6; 12.10. 7. 40;20;60.8. 102:.34.9.36, 16.13.50;150.
-:-f-ll 30.+---l
=:--'l
3. DIFERINTA $I CAT 225pa9 r6nduri.3' 50; 10 4' 75,resp€ctiv 1.4; 2. 2. 36,respectiv I l: ll 22: ani E Jn,.i. Zo.,.'p""r,' oOpdiri 6.90kg.? 30anrr5 ani' ani' 66 44 12'22 i. +ts. ro. + 0oolei. I i. 100bomboane ^nii f:. iis, r""p""tiusrz p agtni.14.24 168copii 15' 1 leu 16'48 file' 11. 72;t8. 18.2 lel.
I
4. iMPiRTInEAcu Rxsr 1. 61; 8. 2. 20 fofbaligti;9 tenismeni3 3 1, 6 anr'4' 19:'7' 5' 29;,9' 1 167 O.!i, t""p""tiu A to.nUoaneT. 100file;48 file 8' 187;561; 10. 14. 11.94 peirllt.t2.7 8 nuci;24 nuci' 5. PROBLEME Ct NUMERT CONSEC(TVE 1 . 1 0 ;1 1 ; 1 2 . . 2 . 6 ;8; 1 0 . 3 . 9 ; 1 1 :1 3 4 1 9 ;2 I i 2 3 5 ' 3 9 t - 3 6 ; 4 2 '
s' 84;86;88;90 9' 30; ii. iii i ; zt; zg.i. tt ; 30;31;32bomboane 3 1 ;5 0 ;5 1 .1 0 . 2 0 ;1 8 ;1 6 ;5 7
* 102lt
* 103*
6. PROBTII"ME DD TR-{N-SFE\ l. 10.2.23; 15.3. 1L;7.4. 48: 60.5.22; 38.6. 110;76 bomboane. 7- 34;28 ele\i. 8. 2l: 26 elei. 9. 6 (.,:9 [,;9 t. 10,21. . ?. trVOLUTIA iN TIMP A UNOR MARIMI 1. I an. 2" P€ste6 ani.3. 150kg ro$ii,50 kg ardei.4. 64 ani; 16ani. 5. ll r';lo l. 6. 7 anr.7.48 pomi.8. Seaflamaiinrai\arstaactualia fiec5iurafolorindfigura:
Calculrm apoi velstaviiioar€ a fiului: F f--------Peste15ani.9. 7 zile. 10.6 ani; 8 ani;34 an1. 8. EXERCITII SAU PROBLEME? 1 . ' , 1 7.2 .8.3.42 .4. 15.5.36.6.28.7. 14.8. 14,1. 9 . 5 6 .1 0 .2 8 . 9. EGALITATI DATE SAU OBTINUTE 1. 13; 28. 2.27, respectiv35 ci4i. 3. 38 kg; 41 kg. 4. 15 copii pe fiecarerand.5. 100saci.6. 44; 52].49.1. 4; 7; 10.8. 8; 5; 15.9. 22, 22. 10,l0: 26eleq. IO. AL'I E REPREZENTAH DECAT PRTA SEGMENTE
(3 bai€! $r concurs),cei l0 baielirdmaiidupaPrimulmoddegrupare se ;;ata)irrnl distribuiticit; unul in gnlpelecompleleoblinand s-au astfeli0 fete si '10bnief careparticipdla concursDeci' inilial inscris42 biieti $i 14fete.2.20 fete:i0 bii€.ti' 3.PP PP PP PPPP.""'PP MP MP MP MP M P - . . . " M P M M M Inillali un m;r cu de noi sugel!r/r grupirrea reilrlTali F'qrualea J mercDlngrupele i J."" r' frp'"f.;.. iauJ pruneortb 'c adaLrgi penlrua ram'ne loi.r'. ,n,1r1ri .;.r." corrplelcluim crleo prunii din cele i-at_siZ p-t" qi le punemcite doui prunclangafiecare grupe l2 vum rvea r' prunc ri \. 1r'bu,su.rrc. 'le i a 4' T a -it.'"arJ*"t.. r" .rrii 2 prule La incep_laL lo'l 2 p'rrne)r mere """ anlcrioar;:lu ca'
I . FC BB FBBB FB B B FB B B FB B B ,,, F B B B Figurareade mai sussugereazlsituaEia inscrierilo.9i a retragerilorPenhua aveagrupedc cale 4 bnieli $i o fatd (prezenlaelectivi la *104*
* ro5tY
PARTEAAII_A 1. Din a patra lAdi{, luam 3 caisegi le mutemin prirna, iar din a tieia luam o caisd$i o mutdmin a doua.2. 45, 46,4'7,48,49. Din a1 cincilea transferim 2 in pdmul, iar din al patruleatransferem1 ln al doilea.3. 12:24. 4. 16;24. 5, 245,respectiv120pagini.6. 13bdie!; 15 f€te. 7, Primazi ) U paglJ,i,a douai ) 21 pagini.8. 468; 117: 234.9. 86 430;3rA.10. 52],148]'200.11. 35|.69;34. 12.22 n'.vnsre.. 253 (suma).13. 24; 36; 108.14. 6 afi].2 ari. 15. Bnia$l -+ 16 ani, fata -+ 13 ani. Indicalii. S€ deseneaz5intai segmentulce ieprezinti varslaactuali a tatilui. carese 29(b+ f- acum) mdrestecu 15. Din acestsesmenlsescadcaleI5 anipentru fiecarecopilpentrua se ajunge # 15 1avArstaior actuald.Va."tu f-ot t---@ actuali fi 44 - ls = 29 (ani). 44 (varsfaactualda talalui) Se rezolveapoi ca o problemi d€ suma$i diferen,ta. 16.22;14; 14.11.54;18;15.18.38;24; 17.19.'72;36.20.7 a ; 9 arl|. 1I ani.21. 16ani; 13ani22.12 o\;4 cary; 72 gdini.23. 15oi; 90eaini; 40 fttq.24.21 copii.25.35ani;32an! 8 ani;4 ani.26.12;9.21.26;14. 28.7 flo ; 8 flori; 15flo.i.29. l0 pagini;12pagini;14pagini;36pagini.30. 31; 33:'35:26.31.8.32. Il2 clr| 84 cm.33. 9 cm; 6 cm. 34.9 cm; 7 cm.35.53copiij 13camere.36. a) 12camioane; I 300saci; b) i I x 108+ 1 x 112sau4x 109+ 8 x 108.3?.7; 8.38.10;4. 39.i3 ani; l0 ani; 8 ani.40. 70 giini; 35ra!e;2 porci; 10iepud.41. 54 excursioni$ti; l2 mese.42.4800fu grdu.43. 176.44.97.45.8 findnn]'75rd'saduri-46. 160 krn. 47,20]'4. 48. 10 mese;34 scaune.49. 18; 6. 50. 114pomi.51. 24; 8. 52.240;112.53. 105.54.384.55-48. 56. 16. 51.9; 15;21. 58.'15;46; 45. 59.728d. 60.Indicalie:f)reptlri,ghlttl ar puteaavealaturile 81 x 1 sau27 x 3. In ambel€cazuri perimetuul dr€ptunghiului estemai mare.61.300,;75l,;75 1,.62.29;2324: 24 copii. 63. 105,respectiv 175bomboane. 64. 5 m; 40 m; 15m; 20 m. 65.114;8; 164,66.I:36:,n:29.67.15;U.6a.41ani;15ani;13ani. 69-78a234.70.60:45.71.a) 18caietesau9pixuri;b) 6. 72.24: 13:37; *106*
n)cil 16nuci ?4' 19; 15;'13bomboane?5'2l;24; 32.73.30 1c1;23
j"fr.-'T,1."1 ;ll;l;:ii:#i:,'ir,^;'1' ii,"",;:;f ls oi:25ralei75gdinj86'16:l8 bomboane' i. i!. r ""p'", "ai ti.ill ,, iii ii6 Erb8,:{ l7 si72)88'40ks:32ksi44ks se'7: ii
l.'n:'im;:*';;.'.H"',H;3i"'L1 r0l' 24"22;25' 6i. s,';, i. ;s. l+ pai^;sz pai";r0o'20.4 ioi. izir"+0.i6i.
'opii p sini l04'22i14' c)a2 i rap;gini;b)80paerni;
"l tos. 24i 25i22 copri.1i6. 16,9.
75 ani fic i i lndicaie: Se rccurgela r.rimaroarele l) a + b = 2 5 b : 3 : 1 lx 1 2 ^:4 2) ^+ = b2 = 51 lx23 3 ab4 3 ) 3 a + 3 b -7 5 3a- 4b= 12 4\ 3a:'15 3b:12+4b
110'100 75= 25' 109'12creioan€ fos.O*eioane. iirijs 40' "*i. iii' s-o - iii = :0. tiz. to; t0.113.60;40 114'50;13 115' 120'30' llg' 18;20nuci s bomboane iii.zi +s.in.i-*e. 116. lei 123' l0 5 lei; 3 lei; 122' tet **""tii' il pt"tf".-" f 21.4lei:61eii9 45 l'; 15 l'' 126' 40 l/' 25,respectirr35probleme ' 124.Ima 40 tone' 125' 129'100kg; 20 kg' rc !.,.127.18 fete;9 bdieli.128'18 fete;9 b[ieti 133'27 iio. ro r*, r: tui"ft.r31. 18bdiefi;7fete 132'10lei;8lei
137'40 144:,24 i,:i.'iit"i]-iii Ai"i;zolei 13s'36lei;48lei 136' 141'10142'32pies€143'10toio'139.'1.140.28 ptiti"-". l3-s.30, k 1o1*
146. 200 d.147. l0O ne. 1,f4, 20 bomboane.145,20 apartarJ,er\E. pagint. 148. 80 pnstui. 149. 60 piese. 150. 100lei. 151.28 elevi-152. 154.60 kg. 155.11berci;zs cop1l..156. 12 200kg. 153.44 bcrnboane. berci: 42 ex-iursionisti. 157. 15 elevi. 158. 20 tenismeni- 159. 8 1A.25 elevi,32Fdrni.163.1l, nepoli.160.23 snli.161.20 ptoblerne. 165.24;36 )ci.166.30:' respectivl0 garcafe.164.40; 16creioane. 25;22 eld'i. 161. loi 20:, 15 cieioane. 168. 10; 20; 13 creioane.169. 173.6;2; 4: 6: 8.170.4:5; 6.171.13;15:.'1719.172.14:'15,16;17 15; 10. 176.15; 4; 10 mingi. 174.12 h^; 241E:'18h4 18ha 175,25; : 35; 50- 1'f7.4; 10;12.17& a F l I 2 0 : l 8 : 1 4 .1 7 9 .25 :21:27. ,. .| .^ z D r--------------1 180.404: o0b: 808. l8l. fcrtu 14.l c H 10. 182.30 geini; 18rale; 'u , ro, 'o l2 ga$te.183.30 gdini; 18rate;12g4te.184.40;25; 20 kg. 185.6; 23; 57. 136. 187.l0 ani; 18;15;72piese. 8 13 ari. 188. acum 2 ani. 192. 31 ani. 193.peste2 am189.5 ani.190.15ani;39ani 191.6 ani. '197. I I ani; 13 ani; 40 194.4 aln:.6 a':'i.195. 10 arf: 7 ani. 196.8 ad. ani; 36 ani. 198.64 m. 199.20cnr;10crn"200.L: 1814 /= l2n 201. 20 nx l0 m 202.23nt 7 n 203.11 m; 19 n.204.24 n\ 48 n\ 28m.205.3011159m, 3l m. 206.80 cm. 207,40m; 24 rn 208.14m; 33 m. 209,5, 10, resp€ctiv30 plmcte.210. (A 1e1.2ll. 2N lci; ffiO pei. 212. 45; 30. 213,Indicalie: Nuntuul elevilor nu esE acelasicu nwntui jucatorilor.a) l3; 26; 8 elevi;b) 37 elevi.214-41,31, respectiv 28 ndci. 215.386 porci; 1930oi; 282 ga$te;846ftle. 216'33 eleri; 219.9\ei.220,114lei..221.32 58 pomi.217.384;94.218.24l'20. 223. 40 lei. 224. 15i'25. cm:,64 brri.222. 42 ftucij 51 nuci; 63 rJId.C;'. piersicl. 3 lei,&g 227.24 ter.228.3 225.48 oi. 226,4letlkg banane; peianjeni;5cdrdhrsi.229.9ani fiica;36 ani ama.,4l anir^i51.230. I : 36 n:, L : 106 m. 231. 364]'546i'182;728.232.36 ?di.233-4 ztle. 234-6 z;le.235.24m. 236.290ta710'L237,1= 8 ture;II : l0 tme;m rgi]' 2 ba 2 km- 240. 29. 241. - 12 hne. 238. 120 m; 60 m. 239. 4
*l o 8 *
240 cm. 242.8 fere;32 bdief. 2€. 5I kg; 53 kei'l'| kg:,23 ke. 24 kg' 2.44.19, 13, respectiv10 nuci. 245. 20 lei. 25 lei:' 50 lei 246' 63 mere;28 mere.247.27; 49,22; 22: 60 ctuI1.248'Iulia - l2-nucr; Izabeia * lf nuci- 249. 1 leu&g pmne; 3 lei/kg piersici; 6 leilkg z:mevd.2i0.244 246,248.65:67; 69. 251.131;133;135;136; ll,a; 140.252.5 lei:2 lei. 253. 120m. 254. 45 probleme 255'30de Iei 256.3 lei4q poiocate;o leli(g deban?jt.257.I 000lei 6ecae 258'320 nuci.259.Io;. 260.284.201.40garnir20 ea$le:60 oi 262.60kgi 20 kg. 263. 50; 64: 114.264. 54,40.265.24 lei - sumainilial4 9 l€i catea; 9 lei stiloul; 2lei pixul; I leu caietul.266.2 lei gladiola,5 leirn:lijntoot- ZA. tlO; ga1t 957. 268. 82; 311. 269. 12 5'12;224 210' 190-271. 30 elevi: 140 bomboane.272. I0 lei' 213' 9I exexciii:'168 274.3 trandafiri;9 gerbera;15garoafe.215.40 ktn 216' 115 Drobleme. 9 anr' 279' 192 278. 28 cm; 123 cm; 135 cm.277. 22 a ; 46 ^ni; ^Iri. =9 lei;32lei.2s0. 32 r4e; 8 gaqte'281.27 bucefi.282.I:3 rnerci mere;III:2 rflere;IV= 18mere.283.9lei; 22lei; 11lei- 284'4 ,'suficienf'; l0 ,,bind'; 12,,foartebine" 285.Iulia; Bianca;Adina; Lumm4a' 286-7 orc;g.;lre. 281.3; 6. 28f'.4; 8. 289.6: 7; 8: 9; l0 probleme290' 5 purcte;ft + 7 prmcte;7 9 + 8 puncte;1022;24;26.29'. 11 12 + 10 puncte. 292. '120 kg zahdr; 180 kg bomboane;820 kg . 293-13:,14; 15, 16-294.200 9 295' 350 g; ciocola6 240 kg caramele 2s{)30anir 400e 450a.2q6.150;100.297.2arJ.298'calegoriaatreia g0 62 ghiozdanull 3l lei lei o-usal cu CD-uri; cutia Io a;i. 100.l0 lei/ lei alte rcchizite-
* ro9*
StSU0etAFtE L C6lugtuita.A. - Eren ilii 1i problenede natematicApentru elevii claselorI-IV, EdlturaUniversalPan,Bucure$ti,1998 2. Cfuje,Gheorghi,teyi(rIe7 Matemalicd,culegeredeprobleme, invdfima tul primar, Editura Sonoco,Iagi, 1999
3. Chemta.V. $i coleco\ - Culegere.Metodede reztlwre a pro blemelolile aritmeticd, claseleI-IV, Editun Sibilo, Craiova,
pentru 10. PetricA,1., St€linescuV - MatematicAPrcbleme claseteI IV, EdittxaPolirom,Ia$i,1996 Editua $tiinlifice' 11. Polya,George- Descoperlea in 'natemaicA' 1971 Bucuresti, 12. Polya,George- Cum tezoltdn o ptoblemd'Edihna$tiinqificn' Bucueqti, 1965 SeriaB' 1985-2002 13.**+ - Gazetamatemdttcd, t4. *++,Mate atitd pentruelevi,Gal^!|,1989'2002
1993 '4. Dudeu,Mitici qi colectlv - Matematlcdpentru claseleIII-II/, EdiruraCarminis,Piteiti,2002 5. Dumitrrr, Viorel George $i colectiv - MatematicApentru ciclulprimar, tditua All. Bucure$li.1994 999 de exercilii ti Probleme de matematicd,claseleI-14 EdituraPofio Franco,Galali, 1993
6. Enache, M. gi colectiv
7. Gherman, Angelrtca Culegerede exelcilii $i probleme de pentruclaseleI IV, E.D.P.,Bnc'utre$li.199'l matematicd 8. Neac$u,J. $i colectiv - Metodica Preddrii matetnalicii la claseleI Il/. E.D.P.,Bucuretn.1986 9. Paraiald;D., Paraiald,,y. Testede aritmeticdpe ra pregdtirea de performanld la clasa a IV a, Edifura PolirorE Ia$i, 1998
*
110*
*
1 1 1*
' "'tuPRtils'' ' .i.,i
t) 1itr ::.1t1
5 ,9 I3 16 I 19 22 '25 29 33 36 40 45 48 53 5',l 98 103 110
* r12 ,it
anzai
