APROXIMACIÓN FUNCIONAL E INTERPOLACIÓN
4. 1.
INTRODUCCIÓN
Muchos experimentos en el área de la Ingeniería dan como resultado funciones tabulares de la variable independiente, frente a la variable dependiente. Durante la aplica aplicació ción n en ciert ciertos os fenóme fenómeno nos s físic físicos os se relac relacion ionan an los los valore valores s de las variable variables s dependie dependientes ntes e independ independiente ientes s resultan resultando do valores valores discretos discretos que se tabulan en diferentes relaciones, cantidad de reactante consumido con respecto al alimen alimentad tado o en una reacci reacción ón,, conce concentr ntraci ación ón de un compon componen ente te puro puro con respecto a la mezcla en una destilación, los mismo que se pueden expresar con respecto ciertos intervalos en el tiempo. omo no siempre se pueden registrar lo que sucede a cada instante, en el fenómeno que se está estudiando, se pueden usar usar los los dato datos s regi regist stra rado dos s para para obte obtene nerr los los falt faltan ante tes, s, es deci decirr valo valore res s aproximados en aquellos puntos donde no se han registrado o experimentado.
!n otros casos con fines fines computaci computacional onales es se requiere requiere construir construir una función explí explícit cita a de toda toda la tabla tabla obten obtenida ida por m"todo m"todos s exper experim iment entale ales s se#al se#alado ados s anteriormente, por lo cual se hace importante el conocimiento de t"cnicas de inter interpo polac lació ión n poli polinóm nómic ica a sea con pasos pasos equid equidist istan antes tes,, no equid equidist istan antes tes o t"cnicas de interpolación interpolación iterada. 4.2.
CAPACIDADES:
$l finalizar esta unidad, a partir de un con%unto de datos experimentales experimentales de laboratorio, el estudiante estará en la capacidad de determinar un polinomio de interpolación, extrapolación & elaborar el programa de interpolación en !xcel & Mat'ab & realizar el a%uste curvas.
Contenidos Conceptuales $proximación (imple • $proximación
Contenidos Procedimentales datos de • $naliza los datos
laboratorio & determinar el polinomio de 'agrange interpolación. • Diferencias divididas $proximación )olinomial • sa el Mat'ab para la • $proximación programación del de *e+ton algoritmo de • )olinomios de *e+ton en interpolación. • Interpolación de
-
Contenidos Actitudinales • Manifiesta
creatividad creatividad e inventiva en el análisis & la programación de los m"todos.
diferencias finitas. $proximación con • $proximación mínimos cuadrados.
• ealizar el a%uste curvas.
4. 3.
4. 2
MÉTODOS DE SOLUCIÓN
A.
POLINOMIOS DE LAGRANGE (ea una función f ( x ) dada en forma tabular/ Tabla 9: Información tabular
Punto
0
s
x
1
2
x -
x 1
f ( x 0 ) f ( x - ) f ( x 1 )
f ( x )
n x n
f ( x n )
(e pueden obtener un polinomio que relacione todos estos puntos/ pn ( x )
= L0 ( x ) f ( x 0 ) + L- ( x ) f ( x - ) + + Ln ( x ) f (x n ) 234.-5
6bs"rvese que si se va a relacionar con un polinomio de grado n se necesita n7- puntos para el m"todo. 'os polinomios de 'agrange ( L0 , L- , , Ln ) en forma matemática se representan como/ n
Li ( x ) =
(x − x j )
∏ ( x − x ) j =0 j ≠ i
i
234.15
j
8enemos algunos e%emplos de los primeros polinomios de 'agrange/
L0 ( x ) =
( x − x ) ( x − x ) ( x − x n ) ( x − x ) ( x − x ) ( x − x n ) -
0
-
1
0
1
0
( x − x ) ( x − x ) ( x − x n ) ( x − x ) ( x − x ) ( x − x n )
L- ( x ) =
0
-
L1 ( x )
=
1
0
-
1
-
( x − x ) ( x − x ) ( x − x ) ( x − x n ) ( x − x ) ( x − x ) ( x − x ) ( x − x n ) 0
1
0
-
1
9
-
9
1
!ntonces la ecuación 34.-5 queda expresada de la siguiente forma/ n
p n
(
x )
=
∑L
i
( x )
f ( x i
)
i = 0
234.95
Ejemplo de Aplicación 4.1 = 0,: / Dada la siguiente información, encontrar el valor de la f unción para x = Punto s x f 3 x x 5
0
1
2
3
0,; 0,=9:;
0,< 0,::-1
0,= 0,:0<1
-,0 0,<>;1
1
Solución: (e tiene 4 puntos, esto nos permite hacer un a%uste hasta un polinomio de grado 9/ Ajuste Polinomio !e Primer "ra!o $plicando la expresión 34.95 para n
= - & utilizaremos sólo 1 puntos en donde se
encuentre el valor que se quiere interpolar 3puntos - & 15, reformulando estos puntos/
Punto s x f 3 x 5
0
1
0,< 0,::-1
0,= 0,:0<1
p- ( x ) = L0 ( x ) f ( x 0 ) + L-( x ) f ( x - ) p- ( x ) =
( x − x ) ( x − x ) f ( x ) + f ( x ) ( x − x ) ( x − x ) 0
0
23-5
0
-
-
-
-
0
eemplazando los valores del la formulación previa en el cuadro & reordenando se tiene/
( x − 0,=) ( x − 0,<) ( 0,::-1) + ( 0,:0<1) ( 0,< − 0,=) ( 0,= − 0,<) ( x ) = -,-9=-; − 0,9>:; x
p- ( x ) p-
=
2315
eemplazando el valor x = 0,: en 315/ p- ( 0,: )
= 0,:449;
Ajuste Polinomio !e #e"un!o "ra!o $plicando la expresión 34.95 para n
= 1 & utilizaremos 9 puntos en donde se
encuentre el valor que se quiere interpolar 3puntos -, 1 & 95, reformulando estos puntos/
Punto s x f 3 x 5 p1 ( x )
2
0
1
0,< 0,::-1
0,= 0,:0<1
-,0 0,<>;1
= L0 ( x ) f ( x 0 ) + L-( x ) f ( x -) + L1( x ) f ( x 1)
( x − x ) ( x − x ) ( x − x ) ( x − x ) ( x − x ) ( x − x ) f ( x ) + f ( x ) + f ( x ) ( x − x ) ( x − x ) ( x − x ) ( x − x ) ( x − x ) ( x − x )
p 1 ( x ) =
-
0
1
1
0
0
0
-
0
1
-
-
-
0
-
2395
9
1
1
1
0
1
-
eemplazando los valores del la formulación previa en el cuadro & reordenando se tiene/ p 1 ( x )
=
( x − 0,= ) ( x − -) ( x − 0,< ) ( x − -) ( x − 0,< ) ( x − 0,= ) ( 0,::-1 ) + ( 0,:0<1 ) + ( 0,<>;1 ) ( 0,< − 0,= ) ( 0,< − -) ( 0,= − 0,< ) ( 0,= − -) (- − 0,< ) (- − 0,= ) p1 ( x )
= -,014< − 0 ,0<<:99 x − 0,-:->< x 1 2345
eemplazando el valor x = 0,: en 345/ p 1 ( 0,: )
= 0,:4>-><
Ajuste Polinomio !e Tercer "ra!o $plicando la expresión 34.95 para n = 9 & utilizaremos 4 puntos 3utilizaremos el cuadro del problema en el mismo orden de los puntos5 p9 ( x )
p9 ( x ) =
= L0 ( x ) f ( x 0 ) + L- ( x ) f ( x - ) + L1 ( x ) f ( x 1 ) + L9 ( x )f (x 9 )
( x − x - ) ( x − x 1 ) ( x − x 9 ) ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) ( x − x 9 ) f ( x 0 ) + f ( x ) + ( x 0 − x - ) ( x 0 − x 1 ) ( x 0 − x 9 ) ( x - − x 0 ) ( x - − x 1 ) ( x - − x 9 ) -
( x − x ) ( x − x ) ( x − x ) ( x − x ) ( x − x ) ( x − x ) f ( x ) + f ( x ) 23;5 ( x − x ) ( x − x ) ( x − x ) ( x − x ) ( x − x ) ( x − x ) 0
-
9
0
-
1
1
1
0
1
-
1
9
9
9
0
9
-
9
1
eemplazando los valores del la formulación previa en el cuadro & reordenando se tiene/ p9 ( x )
= 0,==;9 + 0,01>199 x − 0,909 x 1 + 0,04>>< x 9
23>5
eemplazando el valor x = 0,: en 3>5/ p9 ( 0,:)
= 0,:4>1>
(i nos basamos en el concepto del me%or a%uste que pasa por la ma&or cantidad de puntos, diremos que el a%uste de tercer grado es la me%or aproximación como se puede ver en la siguiente interfaz gráfica/
4
$i"ura 3%: Interfa& 'r(fica !el m)to!o !e Interpolación !e Polinomios !e La"ran"e en el *atLab
B.
DIFERENCIAS DIVIDIDAS )ara utilizar este concepto, es necesario recordar la definición de la
derivada de una función f ( x ) , es decir/
f + ( x )
= Lim
x → x 0
f ( x ) − f ( x 0 )
234.45
x − x 0
uando esta función se encuentra en forma tabular 3tabla =5, estas diferencias deberán obtenerse num"ricamente forma aproximada, luego la derivada se calcula como/
f + ( x ) ≈
f ( x - ) − f ( x 0 ) x - − x 0
, x 0
< x < x
-
234.;5
!l lado derecho de esta expresión se conoce como la primera diferencia dividida & normalmente se denota mediante/
f [ x 0 , x - ] =
f ( x - ) − f ( x 0 )
234.>5
x - − x 0
!n la siguiente tabla, se presenta un resumen de la notación de estas diferencias divididas/
Tabla 10: Tabulación "eneral !e !iferencias !ii!i!as
Ejemplo de Aplicación 4.2 Dada la siguiente información, elabore una tabla de diferencias divididas/ Pun tos x
0
1
2
3
?9
?1
0
1
;
-
.
;
>
f 3 x 5
?
?
;
-
0
=
-
;
:
-;
>
<
Solución: on esta información podemos encontrar las diferencias divididas haciendo uso de la tabla anterior/ )rimeras diferencias/ f [ x 0 , x - ]
=
- − ( −-= ) −-= − ( −;0 ) = -0 @ = 9- @ f [ x , x ] = 0 − ( − 1) −1+9 -
f [ x 9 , x 4 ]
− ; = 1< @ ;−1
:>
=
f [ x 1 , x 9 ]
1
f [ x 4 , x ; ]
=
; −1−0
=1
= -;< − :> = <>−;
(egundas diferencias f [ x 0 , x -, x 1 ]
=
f [ x 1 , x 9 , x 4 ]
− 9- = −< @ 0+9
-0
=
1< − 1 ;−0
f [ x -, x 1 , x 9 ]
f [ x 9 , x 4 , x ; ]
=; @
1 − -0
=
=
1+1
<- − 1< >−1
= −1 = --
8erceras diferencias/ f [ x 0 , x - , x 1 , x 9 ]
= −1 + < = - @ 1+9 f [ x 1 , x 9 , x 4 , x ; ]
f [ x - , x 1 , x 9 , x 4 ]
=
-- − ; >−0
=
+1 =- @ ;+1 ;
=-
esumiendo se obtienen la siguiente tabla de diferencias divididas/ Tabla 11: Tabulación !e las !iferencias !ii!i!as !el ejemplo -/2 i 0
x
f 3 x 5 −;
-
−9 −1
1
0
-
1
;
9 4 ;
; >
−-
:> -;<
Diferencias Divididas )rimera (egunda 8ercera uarta 9-
−<
-0
−1
1
;
1<
--
<-
-
0 0
-
6bservamos que las diferencias de tercer orden tienen el mismo valor, & las diferencias de cuarto orden son cero lo que concuerda con la tercera & cuarta derivada de un polinomio de tercer grado.
C.
APROXIMACIÓN POLINOMIAL DE NEWTON !sta se expresa en forma matemática de la siguiente forma/
>
0 −-
n
pn ( x ) =
∑ a ∏ ( x − x ) 0
0 = 0
Donde los coeficientes
a0 aa1
234.<5
i
i = 0
, a están dados por/
a0 , a- , a1 ,
n
= f [ x ] = f [ x , x ] = f [ x , x , x ] 0
0
-
0
-
234.:5
1
an
= f [ x , x , x , , x n ] 0
-
1
Ejemplo de Aplicación 4.3 Dada la siguiente información, con el polinomio de *e+ton en diferencias divididas de segundo grado, aproxime el valor de la función cuando x = =0 / Punto s x f 3 x 5
0
1
2
3
40 0,>9
>0 -,9>
:0 1,-:
-00 9,00
-
.
-10 9,=9
-40 >,11
->0 :,;=
Solución: (i n
= 1 @ entonces la expresión 34.<5 para este caso es/ p1 ( x )
= a + a ( x − x ) + a ( x − x ) ( x − x ) 0
-
0
1
0
-
(e necesitará solo tres puntos para la determinación de este polinomio, entonces procedemos a formular la respectiva tabla de diferencias divididas/ i
x
f 3 x 5
0
40
0,>
-
>0
-,9
1
:0
1,-
9
-00 9,0
4
-10 9,=
;
-40 > ,1
>
->0 :,;
Diferencias Divididas )rimera (egunda 0,09>; 0,04-0 0,04-0 0,04>; 0,--4; 0,--:;
0,000--1 0,000000 0,000-9< 0,00-<00 0,000-00
omo sólo se necesita 9 puntos, elegimos de la siguiente manera/
a0 aa1
= f [ x ] = 1,-: = f [ x , x ] = 0,04-0 = f [ x , x , x ] = 0,000-9<; 1
1
9
1
9
4
!ntonces nuestro polinomio ahora está dado de la siguiente manera/ p1 ( x ) p1 p1
= a + a ( x − x ) + a ( x − x ) ( x − x ) ( x ) = 1,-: + 0,04-0 ( x − :0) + 0,000-9<; ( x − :0) ( x − -00) ( x ) = 0,000-9<; x + 0,0->1;x 0
-
1
1
1
1
<
9
eemplazando x = =0 en este polinomio, & se puede ver la distribución de los puntos/ p1 ( =0 )
= 1,;<>1;
$i"ura 3%: Interfa& 'r(fica !el m)to!o !e Interpolación Polinomial !e eton en 4iferencias 4ii!i!as
D.
DIFERENCIAS FINITAS
D.1
Dif!"#i$ P!%&!'i($ (i
f ( x )
∆
es denominado como operador lineal hacia delante & definido sobre
como/
∆f ( x ) = f ( x + 5 ) − f ( x )
234.=5
Donde/ 5 = ( x i − x 0 ) 6 i .'as diferencias de orden superior se generan como sigue/
(
∆ f ( x ) = ∆ ∆ i
D.2
)
234.-05
Dif!"#i$ R&!'i($ (i
f ( x )
f ( x )
i −-
∇
es denominado como operador lineal hacia atrás & definido sobre
como/ ∇f ( x ) = f ( x ) − f ( x − 5 )
234.--5
Donde/ 5 = ( x i − x 0 ) 6 i .'as diferencias de orden superior se expresan en t"rminos generales como/
:
(
∇ f ( x ) = ∇ ∇ i
f ( x )
i −-
)
234.-15
E.
POLINOMIO DE NEWTON EN DIFERENCIAS FINITAS
E.1
P%)i"%*i% + N,-%" " Dif!"#i$' $#i$ $+)$"- (i se denota s = ( x − x 0 ) 6 5 @ se obtiene el polinomio el siguiente polinomio
en diferencias hacia delante/ pn ( x )
= f [ x ] + s∆f [ x ] + 0
s ( s − -)
0
s ( s − -) ( s − 1) ( s − ( n − -) )
∆ f [ x ] + + 1
0
1 7
n 7
∆n f [ x ] 0
...34.-95
E.2
P%)i"%*i% + N,-%" " Dif!"#i$' $#i$ $-!/' (i se denota s = ( x − x 0 ) 6 5 @ se obtiene el polinomio el siguiente polinomio
en diferencias hacia delante/ p n ( x )
= f [ x ] + s∇f [ x ] + 0
s (s
0
+ -)
∇ f [ x ] + + 1
s ( s + -) ( s
+ 1 ) ( s + ( n − -) )
0
1 7
n 7
∇ n f [ x ] 0
...34.-45 (e denomina a x 0 como punto base o punto pivote.
Ejemplo de Aplicación 4.4 !n base a la función tabula que se muestra, aproxime el valor de la función cuando x = -,; / Punto s x f 3 x 5
0
1
2
3
0 ?;
-
1 =
9 1;
-
.
4 ;;
; -0;
Solución: Desarrollando las primeras diferencias finitas hacia adelante/
∆f [ x 0 ] = - − ( −; ) = > @ ∆f [ x - ] = = − - = : @ ∆f [ x ] = 1; − = = -> 1
∆f [ x ] = ;; − 1; = 90 @ ∆f [ x ] = -0; − ;; = ;0 9
4
(egundas diferencias finitas/
∆1 f [ x 0 ] = : − > = 1 @ ∆ f [ x ] = -> − : = : 1
-
∆1 f [ x 9 ] = 90 − -> = -4 @ ∆ f [ x ] = ;0 − 90 = 10 1
4
8erceras diferencias finitas/
∆9 f [ x 0 ] = : − 1 = > @ ∆9 f [ x - ] = -4 − : = > @ ∆ f [ x ] = 10 − -4 = > 9
1
=
esumiendo se obtienen la siguiente tabla de diferencias finitas/
Tabla 12: Tabulación !e las !iferencias finitas !el ejemplo -/i
x
Diferencias Ainitas ∆f [ x i ∆1 f [ x i ∆9 f [ x i ∆4f [ x i
f 3 x 5
0
0
−;
-
-
-
1
1
=
9
9
> 1
: ->
1;
4
;;
;
;
-0;
0
>
-4
90
4
>
:
0
>
10
;0
6bservamos que las diferencias de tercer orden tienen el mismo valor, esto se interpreta que esta función tabular probablemente es un polinomio de tercer grado. Aormulando una interpolación con diferencias hacia adelante para un polinomio de tercer grado & un valor pivote de x 0 = - / 5
p n (-,; )
= ( 1 − -) 6 - = - @
= - + 0,; × : +
0,; ( 0,; − -) 1 7
s
= (-,; − -) 6 - = 0,;
×: +
0,; ( 0,; − -) ( 0,; − 1) 9 7
× > = 4,9<;
!l a%uste de tercer grado es la me%or aproximación como se puede ver en la siguiente interfaz gráfica/
$i"ura 38: Interfa& 'r(fica !el m)to!o !e Interpolación Polinomial !e eton en 4iferencias $initas
F.
APROXIMACIÓN POLINOMIAL CON M0NIMOS CUADRADOS
-0
'os m"todos vistos anteriormente se han enfocado en encontrar un polinomio de aproximación que pase por estos puntos, sin embargo cuando se realiza un procedimiento experimental, en muchos casos se busca correlacionar dos o más variables entre sí. !l ob%etivo en este caso es encontrar la me%or curva de a%uste que tenga una forma polinomial, &a que el mane%o de polinomios resulta sencillo en cualquier aplicación. (upongamos que se mide el valor de para de x , se representan los datos en una gráfica de vs. x , & trazamos una recta que pase por dichos puntos.
$i"ura 39: 'r(fica !e la aproximación lineal ue pasa entre los puntos *o obstante, esto crea algunos problemas, &a que se puede pasar un nBmero infinito de curvas entre los puntos. )ara la determinación de la me%or curva se establece que la suma de las distancias al cuadrado calculadas entre el valor de la función que aproxima p( x i ) & el valor de f ( x i ) sea mínima, es decir/ m
m
∑ [ p( x ) − f ( x ) ] = ∑ ! 1
i
1
i
i
i =-
= m;nimo
234.-;5
i =-
n 1 (i p ( x i ) = a0 + a- x i + a1 x i + + an x i es la aproximación a un polinomio de
grado n@ la expresión 34.-;5 se presenta como/ m
∑[
a0
+ a- x i + a1 x i + + 1
− f ( x i ) ] = 1
an x i n
i =-
m
∑
= m;nimo
! i 1
234.->5
i =-
(e pasa a minimizar la expresión 34.->5, lo cual se obtiene derivándola parcialmente con respecto a cada coeficiente a j , e igualando a cero cada una de estas derivadas con esto se llega al siguiente sistema/
a0 a0
m/a0
+
∑ x ∑ x
+
1
+
∑ x + a ∑ x + a ∑ x + a-
1
-
9
-
∑ x a ∑ x a ∑ x
1
a1
∑ x = ∑ 9 + + + a ∑ x = ∑ x9 + + + a ∑ x = ∑ x 9
+ + an
9
1
4
1
n
n -
n
n
1
1
n
234.-<5
a0
n
∑ x
+ a-
n +-
∑ x
+ a1
n+1
∑ x
+ + an
n +n
∑ x
=
∑ x 9 n
Donde m es el nBmero de puntos 3 x, 5 en la información tabular. (e han omitido los subíndices i , de x e , así como los límites de sus sumatorias que van desde - hasta m para simplificar su escritura.
--
Ejemplo de Aplicación 4.5 !n base a los datos observados, encontrar la ecuación de a%uste a un polinomio de segundo grado & estime el valor correspondiente cuando x = 0,1; / Punto s 1 9 4 ; >
x 0,0; 0,-0,-; 0,90,4> 0,;1
Punto s < : = -0 --
0,=;> 0,:=0 0,:91 0,<-< 0,;<0,;9=
< 0,<0 0,<4 0,:1 0,=: -,-<
0,9<: 0,9<0 0,90> 0,141 0,-04
Solución: )ara n
= 1 & se tiene -- puntos ( m = --) la expresión 34.-<5 toma la forma de/ --/a0
a0 a0
∑ x ∑ x
1
∑ x a ∑ x a ∑ x
+
a-
+
-
+
+
a1
+
a1
+
a1
1
9
-
∑ x ∑ x ∑ x
1
9
4
∑ 9 = ∑ x9 = ∑ x 9
=
23-5
1
)ara el cálculo de los coeficientes a0, a- a1 formulamos la siguiente tabla/ )untos 3i 5 1 9 4 ; > < : = -0 - 8otales
x i
9 i
x i 1
x i 9
x i 4
x i 9 i
x i 1 9 i
0,0; 0,-0,-; 0,90,4> 0,;1 0,<0 0,<4 0,:1 0,=: -,-< >,0-
0,=;> 0,:=0 0,:91 0,<-< 0,;<0,;9= 0,9<: 0,9<0 0,90> 0,141 0,-04 ;,=0;
0,001; 0,0-10,011; 0,0=>0,1--> 0,1<04 0,4=00 0,;4<> 0,><14 0,=>04 -,9>:= 4,>;4;
-,1;0C-0 ?4 -,99-C-0 ?9 9,9<;C-0 ?9 0,01=<=0,0=<99> 0,-40>0: 0,949000 0,40;114 0,;;-9>: 0,=4--=1 -,>0->-9 4,--4=>9
>,1;0C-0?> -,4>4C-0?4 ;,0>9C-0?4 =,19;C-0 ?9 0,044<<4> 0,0<9-->1 0,140-000 0,1==:>;: 0,4;1-1-: 0,=119>:1 -,:<9::<1 9,=->-1<<
0,04<: 0,0=<= 0,-14: 0,1119 0,1>1< 0,1:09 0,1>4> 0,1<9: 0,1;0= 0,19<1 0,-1-< 1,-:9=
1,9=0C-0?9 0,0-0<>= 0,0-:<10 0,0>:=04 0,-10:14 0,-4;<4> 0,-:;110 0,101>-1 0,10;<;4 0,1914-< 0,-419>> -,99;<1-
eemplazando estos resultados en 3-5, se tiene/ -- /a0 >,0-a0 4,>;4; a0
+ >,0-a + 4,>;4; a = ;,=0; + 4,>;4; a + 4,--4=>9 a = 1,-:9= + 4,--4=>9 a + 9,=->-1<< a = -,99;<1-
1
-
1
-
1
esolviendo 315 con el m"todo de la eliminación de Eauss/ a0
= 0,==:
= a-
= −-,0-:
!ntonces la ecuación buscada es/
-1
= a1
= 0,11;
2315
9 = 0,==: − -,0-: x + 0 ,11; x 1
!l valor estimado para x = 0,1; es/ 9 ( 0,1; )
= 0,<;:
na forma de saber qu" tipo de polinomio es el adecuado para el a%uste, viene relacionado con el factor de correlación r que tiene una variedad de fórmulas 3para cada grado del polinomio5 en los textos de estadística, mientras se acerque "ste valor a la unidad será el me%or polinomio de a%uste. )ara un bosque%o rápido usted puede deducir un polinomio de a%uste con el diagrama de dispersión de los puntos@ obs"rvese la interfaz gráfica con el e%emplo anterior/
$i"ura -0: Interfa& 'r(fica !el m)to!o !e Aproximación Polinomial por *;nimos >ua!ra!os
F.
APROXIMACIÓN MULTILINEAL CON M0NIMOS CUADRADOS on frecuencia se tienen funciones con más de una variable, esto es
f ( u , , & ) . (i se sospecha una funcionalidad lineal en las distintas variables@ es
decir, si se piensa que la función/ 9 = a0
+ a- u +a 1 + a9 &
234.-:5
(e puede aplicar el m"todo de mínimos cuadrados para determinar los coeficientes a0 , a- , a1 , a9 @ lo cual se obtiene derivándola parcialmente con respecto a cada coeficiente a j , e igualando a cero cada una de estas derivadas con esto se llega al siguiente sistema/
-9
m/a0 a0 a0 a0
∑ ∑ ∑
u
∑ ∑ ∑ ∑
+ a-
u
+ a-
u
+ a& + a-
+ a1
∑ ∑ ∑ ∑
+ a9
1
+ a1
u + a9
u
+ a1
1
&u
+ a1
& + a9
+ a9
∑ ∑ ∑ ∑
&
∑ =∑ =∑ =∑ =
9
u&
u9
&
9
& 1
234.-=5
&9
Donde m es el nBmero de puntos en la información tabular.
4.3
A!%i*$#i" F"#i%"$) I"-!%)$#i" " I"&"i!5$ 65*i#$ 'a interpolación es de gran importancia en el campo de la ingeniería, &a
que al consultar fuentes de información presentadas en forma tabular, es frecuente no encontrar el valor buscado como un punto en la tabla. (i se realizó un experimento & se quiere conseguir un modelo matemático, el a%uste de curva de estos puntos hace posible conseguirlo.
Problema de Aplicación 4.3.1 Cátedras: ?u;mica "eneral 3)roblema )ropuesto ;.- F M"todos *um"ricos $plicados a la Ingeniería ? $. *ieves5 'a densidad del carbonato neutro de potasio en solución acuosa varía con la temperatura & la concentración de acuerdo con la t abla siguiente/
a5 alcule la densidad a 40 G & -;H de concentración. b5 alcule la densidad a ;0 G & 1:H de concentración. c5 alcule la densidad a =0 G & 1;H de concentración. d5 alcule la concentración que tiene una solución de densidad -,-1= a una temperatura de >0 G. tilice interpolaciones cuadráticas en todos los incisos.
Solución/ tilizaremos la interpolación con los polinomios de 'agrange para un polinomio de segundo grado. )ara el inciso a5 se toma la concentración como argumento 3 x 5 & a la densidad como el valor de la función f 3 x 5. )ara una interpolación cuadrática necesitamos 9 puntos/
-4
eemplazando & reordenando estos datos en 34.95 tenemos/ p1 ( x )
= 0,==1< + 0,00:;: x + 9,=:4 × -0 − p 1 (-; )
;
x 1
= ! (-;A , 40 @ > ) ≈ -,-909
)ara el inciso b5 se toma la temperatura como argumento 3 x 5 & a la densidad como el valor de la función f 3 x 5/
eemplazando & reordenando estos datos en 34.95 tenemos/ p1 ( x )
= -,1:4> − 0,00049; x − -,1; × -0−
>
p 1 ( ;0 )
x 1
= ! ( 1:A , ;0 @ > ) ≈ -,1;=<
)ara el inciso c5 la densidad se aproxima utilizando las interpolaciones previas a =0 G de las filas -1H, 10H & 1:H@ despu"s a partir de estos valores se interpola a 1;H/ Aproximación !e la !ensi!a! a -1H & =0 G.
1
= -,-1-; − 0,0004<1; x − <,=->< × -0 − ( =0 = ! (-1A , =0 @ > ≈ - 0<1
<
x
x 1
Aproximación !e la !ensi!a! a 10H & =0 G.
1
= -,1019 − 0,000;41; x − 1,=->< × -0 − ( =0 = ! ( 10A , =0 @ > ≈ -,-; x
Aproximación !e la !ensi!a! a 1:H & =0 G. p1 ( x
= -,1::> − 0,000;:; x + 0,0 x ( =0 = ! ( 1:A , =0 @ > ≈ - 19>
1
$hora interpolamos a una concentración de 1;H/
-;
x
1
p 1
= 0,=>>4- + 0,00:1; x + 4,=1-= × -0 − ( 1; ) = ! ( 1;A , =0 @ > ) ≈ -,1094 x
x
)ara el inciso d5 es necesario interpolar los valores de densidad a >0 G a diferentes concentraciones,
despu"s
se interpola
la concentración
corresponda la densidad de -,-1=. Aproximación !e la !ensi!a! a 4H & >0 G.
p2 ( x )
= 1,0381 − 0,0001275 x − 3,375 ×10−6 x 2 p2 ( 60)
p2 ( x )
= d ( 4%, 60 º C ) ≈ 1,0183
= 1,116 − 0,0002675 x − 2,5 ×10−6 x 2
p2 ( 60)
= d (12% , 60 º C ) ≈ 1,0910
Aproximación !e la !ensi!a! a -1H & >0 G.
p2 ( 60)
= d ( 20% , 60 º C ) ≈ 1,1692
Aproximación !e la !ensi!a! a 10H & >0 G.
p2 ( x )
= 1,1977 − 0,00037125 x − 1,7188 ×10−6 x 2
$hora interpolamos a una densidad de -,-1=/
p2 (1,129)
p2 ( x )
= C (1,129 ; 60 º C ) ≈ 16%
= −165,0351 + 218,2247 x − 51,28877 x 2
->
que
*ótese que los resultados se redondearon a 4 dígitos decimales, las concentraciones & las temperaturas se presentan sólo en nBmeros enteros. !l algoritmo del problema anterior para las interpolaciones es presentado en un archivo m. en el Mat'ab & como e%emplo la interfaz gráfica del inciso b5/
$i"ura -0: Interfa& 'r(fica para el inciso bB !el problema -/1
Problema de Aplicación 4.3.2 Cátedras: ?u;mica 'eneral
-<
'as presiones de vapor de la benzofenona, a distintas temperaturas, figuran en la tabla contigua/ T 3G5 p
-0:,1 -
-4-,< ;
-;<,> -0
3mmg5
-<;,:
-=;,<
10:,1
114,4
10
40
>0
-00
alcule la temperatura a una presión de :0 mmg & la presión de vapor a una temperatura de -;0 G utilizando polinomios de *e+ton en diferencias divididas/
Solución/ )ara el cálculo de la temperatura a una presión de :0 mmg, tomaremos los 4 Bltimos puntos & utilizaremos un polinomio de tercer grado, su respectiva tabla de diferencias divididas es/ Diferencias Divididas )rimera (egunda 8ercera
i
x
f 3 x 5
0
10
-<; ,
-
40
-=; ,
1
>0
10: ,
9
-00
114 ,
0,==;
−0,00=1 − 0,009> 0,0000>=<=
0,>1; 0,40;
eemplazando estos datos en 34.<5 & se obtiene el siguiente polinomio/
= -4;,-; + -,:;<0:9 x − 0,0-<>1; x 1 + >,=<=->< × -0 −; x 9
p9 ( x )
p 9 ( :0)
= T ( :0 mmC" ) ≈ 1->,>; @ >
)ara el cálculo de la presión de vapor a -;0 G, tomaremos los 4 primeros puntos & utilizaremos un polinomio de tercer grado, la tabla de diferencias divididas es/
i
x
f 3 x 5
0
-0: ,
-
-
-4-,
;
1
-;< , -0
9
-<; , 10
Diferencias Divididas )rimera (egunda 8ercera 0,--=401 0,9-44> 0 ,;4=4;
−0,009=4 − 0,00>:= 0,000049;1<
eemplazando estos datos en 34.<5 & se obtiene el siguiente polinomio/ p 9 ( x )
= −;>,;;41 + -,;-41< x − 0,0-9<::> x 1 + 4,9;1< × -0 −; x 9 p9 (-;0 )
= p( -;0 @ > ) ≈ <, 14> mmC"
-:
!l algoritmo del problema anterior es presentado en un archivo m. en el Mat'ab & como e%emplo la interfaz gráfica para el cálculo de la presión de vapor a -;0 G/
$i"ura -1: Interfa& 'r(fica para la presión !e apor a 1.0 @> !el problema -/2
Problema de Aplicación 4.3.3 Cátedras: ?u;mica 'eneral, $isicou;mica 3)roblema )ropuesto ;.-= F M"todos *um"ricos $plicados a la Ingeniería ? $. *ieves5 !n una reacción química, la concentración del producto > D cambia con el tiempo como se indica en la tabla de aba%o. alcule la concentración > D cuando t J 0,:1@ usando un polinomio de *e+ton en diferencias finitas.
-=
>
0,00
0,90
0,;;
0,:0
-,-0
-,-;
0,00
0,-0
0,40
0,>0
0,:0
-,00
D
t
Solución/ (e utilizará un polinomio de tercer grado con los 4 Bltimos puntos 3pasos equidistantes5, la respectiva tabla de diferencias finitas hacia adelante/ i
x
0 1 9
0,4
f 3 x 5 0,;
0 ,>
0,:
0 ,:
-,-
-,0
-,-
Diferencias Ainitas ∆f [ x i ∆1 f [ x ∆9 f [ x 0,1; 0,90 0,0;
0,0; − 0,1
?0,9
eemplazando en la expresión 34.-95 & reordenando se obtiene el polinomio/ p9 ( x )
= -,4 − ;,:<; x + --,:<; x 1 − >,1; x 9 p 9 ( 0,:1 )
= > D ( 0,:1) ≈ -,-1-1
!l algoritmo del problema anterior es presentado en un archivo m. en el Mat'ab & la interfaz gráfica para la interpolación/
10
$i"ura -2: Interfa& 'rafica!le !el resulta!o !el problema -/3
Problema de Aplicación 4.3.4 Cátedras: $enómenos !e Transporte, $un!amentos !e In"enier;a ?u;mica 'a velocidad a la cual una sustancia pasa a trav"s de una membrana semipermeable se determina mediante la difusividad 3cm2 6s5, varía con la temperatura de la membrana T 3E 5 segBn la le& de $rrhenius/
J 0 e G
Donde/
F ÷ H/T
0/ Aactor pre exponencial F / !nergía de activación H / -,=:< cal 6 mol"E
(e miden las difusividades de (6 1 3g5 en un tubo de goma fluorosiliconado, a varias temperaturas, obteni"ndose los siguientes resultados/ T 3E 5 3cm2 6s5 x -0> 94<,0 -,94 9<4,1 1,;0 9=>,1 4,;; 410,< :,;1 44<,< -4,0< 4<-,1 -=,== alcule los valores de 0 & F utilizando el m"todo de los mínimos cuadrados.
Solución/ aciendo los siguientes arreglos a la le& de $rrhenius/
F
J 0 e G H/T
1-
Ln 35 J Ln 305 ?
F - H T
'os cambios de variable/ J Ln 35 @ a0 J Ln 305 @ a- = −
F H
@ x J
-
T
8abulando nuevamente los datos del problema/ x 1,::-: x -0?9 1,><14 x -0?9 1,;140 x -0?9 1,9<<0 x -0?9 1,199> x -0?9 1,-111 x -0?9
K ?-9,;11: ?-1,:==1 ?-1,9004 ?--,><9?--,-<-; ?-0,:109
$plicando el m"todo de mínimos cuadrados se obtiene/ 9 = −9,0-;;: − 9>>;,<: x
!ntonces/
0 J e a
0
0 J
e ( −9,0-;;: )
= 0,04=0-<
cm 1 6 s
F = −a-/H F = −-× −9>>; ,<: × -,=:< = <1:9 ,=0; cal 6 mo l" /E
'a ecuación que representa los datos experimentales queda de la siguiente forma/
J
−9>>; ,<:
0,04=0-< e
T
6bs"rvese que las difusividades dadas en la tabla &a están multiplicadas por un factor de -0?> & se refiere en realidad/
394< E 5 J -,94x-0?> 3cm2 6s5 na mala interpretación de la información tabular, no fi%arse en las unidades o no tomar en cuenta las cifras significativas provocará un mal a%uste de curva.
!l algoritmo del problema anterior es presentado en un archivo m. en el Mat'ab & la interfaz gráfica para el a%uste de curva/
11
$i"ura -3: Interfa& 'r(fica para el ajuste !e cura !el problema -/-
Problema de Aplicación 4.3.5 Cátedras: $un!amentos !e In"enier;a ?u;mica 6bserve que los datos siguientes parecen ser a%ustados por una curva 9 = a.e b. x
al hacer una gráfica en papel semilogarítmico & observar que los
puntos parecen caer sobre una recta 3los datos son las solubilidades de n? butano en ácido fluorhídrico anhidro a altas presiones & se usaron en el dise#o de refinerías de petróleo5.
8emperatura, @ $ (olubilidad, Hpeso << 1,4 -00 9,4 -:; <,0 19
19= 1:;
--,-=,>
!ncuentre los valores de a & b por medio de una regresión.
Solución / 'as gráficas en el papel logarítmico representan los puntos como una recta & para dar esta forma, hacemos las siguientes operaciones/ 9 = a.e b. x Ln ( 9 ) = Ln( a) + b. x L 9
=
c
+ b. x
'as temperaturas serán las variables independientes ( x ) & las solubilidades las dependientes ( 9 ) , tabulando los datos para la aplicación del m"todo de mínimos cuadrados/ x << -00 -:; 19= 1:;
L = Ln( 9 9
0,:<;4< -,119<: -,=4;=1,40>=; 1,=<;;9
)rocediendo con el m"todo obtenemos la ecuación de la recta/ L = 0,-:9=4 + 0,00=>09 x 9
b
= 0,00=>09
a = e 0,-:9=4 = -,10-=4
!l algoritmo del problema anterior es presentado en un archivo m. en el Mat'ab & la interfaz gráfica para el a%uste de curva/
14
$i"ura --: Interfa& 'r(fica para el ajuste !e cura !el problema -/.
Problema de Aplicación 4.3.! Cátedras: Transferencia !e >alor 3)roblema )ropuesto ;.99 F M"todos *um"ricos $plicados a la Ingeniería ? $. *ieves5 (ieder & 8ate encontraron que una ecuación que relaciona la transferencia de calor de líquidos por dentro de tubos en cambiadores de calor se puede representar con nBmeros adimensionales/ !
µ 2u = a ( He) ( Pr ) µ 3 b
c
Donde u es el nBmero de *usselt, He es el nBmero de e&nolds, Pr el nBmero de )randtl & & las viscosidades del líquido a la temperatura promedio de "ste & a la temperatura de la pared del tubo, respectivamente. !ncuentre los valores de a, b, c & d asumiendo que la tabla siguiente representa datos experimentales para un grupo de hidrocarburos a diferentes condiciones de operación/
Solución /
1;
!stos datos se pueden relacionar linealmente con el m"todo de mínimos cuadrados multilineal, entonces haciendo operaciones algebraicas se linealiza la ecuación del problema/ Ln ( 2u )
µ = Ln ( a ) + b/Ln( He ) + c /Ln( Pr ) + ! /Ln µ 3 9 ( u , , & )
= a0 + b/u + c / + ! /&
8abulando/
eemplazando en la expresión 34.-=5 & resolviendo el sistema se obtiene/ 9 = −9,:0<1;9 + 0,:099:9 /u + 0,994-01 / + 0,-910<0 /&
a
= e a = 0,0111 = 0
b
= 0,:099:9
= c = 0,994-01 = ! = 0,-910<0
!n resumen/ 0 ,-910<0
2u
= 0,0111 ( He )
0 ,:099:9
( Pr )
0 ,994-01
µ µ 3
!l algoritmo del problema anterior es presentado en un archivo m. en el Mat'ab/
4.4.
E7ERCICIOS PROPUESTOS
4.4.- 6btenga la aproximación polinomial de 'agrange con todos los puntos.
1>
Puntos1 0 "#i$ ?9 0 #i
1 9 0 ; < 9 > 6btenga la aproximación polinomial de 'agrange con todos los puntos. Interpole el valor de la fundón ƒ3x5 para x J 1,1 4.4.1 6btenga los polinomios de mínimos cuadrados de segundo & tercer grado para los datos de la siguiente tabla i &i -,:4 -,-,=> -,9 1,1-,; 1,4; -,= 1,=4 1,9,-: 4.4.9 'a siguiente tabla proporciona las presiones de vapor en lbNplg 1 a diferentes temperaturas para el -?9 butadieno.
Puntos &'( P lb)pl*2
%
1
2
3
4
5
;0 14.=4
>0 90.--
<0 9>.0;
:0 41.:4
=0 ;0.;<
-00 ;=.90
$proxime la función tabulada por el polinomio de *e+ton en diferencias hacia delante e interpole la presión a la temperatura de >4OA.
4.8. •
REFERENCIAS BIBLIOGR9FICAS CA++ASC,- uis / 0E&,,S E+C,S- Aplicados a la n*eniera6. (egunda !dición, !diciones AE, pág. =; ? -<-, )erB 100<.
•
E,+ES- Etter 7 0S,C, E P+,8EAS E 9EE+A C, A&A86.
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1<
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1:
