Capítulo 8 - Líneas de Influencia en Vigas

Universidad Nacional de Ingeniería

LÍNEAS DE INFLUENCIA INFLUENCIA EN VIGAS

“No podemos resolver problemas usando el mismo tipo de pensamiento que usamos cuando los creamos”. Albert Einstein

8.1 8. 1 CON ONCE CEPT PTOS OS PR PREV EVIO IOS S


P

M

0

 

Pb L FV  0  R A  RB P  0

B

A

B

a

Pb L

b L

 R A ( L )  P( b )  0 R A 

Pa L

Pa L

RB 

X

DMF (M)

Pab = Mmáx L

Para la viga, con una c arga P fija, ubicada a “a” metros del apoyo A A,, se considera para el diseño de esta, el momento flector máximo de: Mmáx = Pab L

ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera

+

0  x  a: M

V

Pb L

X

M

Pb (x) L

x  0  M 0 x a  M

Pab L

1

P

P

P


A

B 1m

1m

1m

1m

4m

P (1)(3) = 0,75 P = M 1 máx 4 P (2)(2) = P = M 2 máx 4 P (3)(1) = 0,75 P = M 3 máx 4

M1 máx

Para una viga, con una carga “ P” móvil, (ubicada a 1 a 1m m o 2 2m m o 3 3m m del apoyo A A), ), se considera para el diseño diseño,, el máximo de los momentos momentos flectores flectores posibles: posibles:

M2 máx M3 máx .

M máx (de todas las posibles ubicaciones)

. Mn máx




Para diseñar adecuadamente adecuadamente un puente, es necesario conceptos y procedimientos para vigas sometidas a cargas móviles, y determinar el momento máximo al cual estará sometida la estructura.


2




Caso contrario, es plausible de colapso.



3





TIPOS DE PUENTES: TIPO LOSA

Para luces ( L ) cortas: 2 a 8 m. (puentes de un solo tramo)

L 1 1

Sección 1 - 1

Ancho = 3 a 10 m.


4


TIPO LOSA DE SECCIÓN CONTINUA

Súper estructura 8m

12 m

8m Estribo

Pilar

Viga continua para luces de 8 a 12 m.


PUENTE DE VIGAS + LOSA

- Para luces de 15 a 25 m. - La sección longitudinal es la misma que la del tipo losa, pero con la sección transversal indicada. - Para tramos: Concreto armado :

15 a 25 metros

Concreto pretensado : 25 a 60 metros


5


PUENTE CON VIGAS DE METAL

- Dimensiones por tramos pueden ser las mismas que las del puente de vigas+losa de concreto pretensado.

PUENTE SECCIÓN CAJÓN


- Utilizado en puentes de s ecciones curvas, acueductos, continuos. - Gran rigidez en torsión.


6

PUENTE TIPO PÓRTICO

PUENTE TIPO ARCO




7

PUENTE ATIRANTADO

PUENTE COLGANTE




8

PUENTE RETICULADO




CARGAS QUE ACTÚAN SOBRE UN PUENTE

Peso propio + Peso muerto Cargas permanentes

Vehículos:


+ Vehículos + Sismo + Viento + Colisiones + Explosiones Cargas variables

Cargas excepcionales

Carga móvil, determinada por reglamentos para cada tipo de vehículos (desde los más livianos a los más pesados), ubicación y uso del puente (urbano o rural). Manual de diseño de puentes - Perú: - R.M. N° 589-2003-MTC/02 del 31.07.2003 Reglamento americano (AASHO): - Cargas tipo H

:

Camiones 2 ejes.

- Carga tipo HS

:

Camiones 3 ejes.

Reglamento francés: C – 30 Puente debe ser diseñado para que soporte estas cargas.


9


EJEMPLO:

H20 S16 3m

4 tn

16 tn

4.2 m

16 tn

1,8 m

9m

H 20 + S 16

4 + 16

16 Semirremolque


8.2 DEFINICIÓN DE LA LÍNEA DE INFLUENCIA En los capítulos anteriores se han mostrado estructuras que soportaban cargas fijas dispuestas en una sola posición; sin embargo, existen estructuras que están sujetas a cargas que se mueven a lo largo de las mismas, siendo el caso mas evidente el de los puentes que están bajo el tránsito de vehículos. Si reconocemos que todo elemento de una estructura debe diseñarse para las condiciones más criticas de fuerza, resulta necesario manejar una herramienta que nos oriente donde colocar las cargas móviles para obtener los máximos efectos. Las Líneas de Influencia se usan para determinar dónde se deben ubicar las cargas móviles para que éstas causen las máximas fuerzas en la estructura. Para dibujar las Líneas de Influencia, se debe graficar como ordenadas ( eje Y) los valores en estudio (reacciones, fuerza cortante, momento f lector ), obtenidos de situar una carga unitaria en diferentes posiciones a lo largo de la estructura.


10

8.3 LÍNEAS DE INFLUENCIA PARA LAS REACCIONES Universidad Nacional de Ingeniería

P = 1 tn “ x” es variable

A

B L

R A

Por equilibrio: +

RB

x



MB = 0 : RA (L) – P (L– x) = 0

Como P = 1 tn

(L–x )



+1

RA = L – x = 1 – x L L

0  x  L L. I. R A

(+)

x = 0  RA = 1 x = L  RA = 0

Y1

+



+1 L. I. R B

MA = 0 : P (x) – RB (L) = 0

Como P = 1 tn RB = x  L 0  x  L x = 0  RB = 0 x = L  RB = 1

(+) Y2


Si P = 1

RA = P (Y1)

Si P = 1

RB = P (Y2)

P1

P2

RB = Y2

W

P3

R A

RB

+1

L. I. R A

RA = Y1

R A

RB

+1

Y1

Y2

Y3

RA = P1 (Y1) + P 2 (Y2) + P 3 (Y3)

ÁREA =

L. I. R A RA = w ()

RA =  P i Yi


11


8.4 LÍNEAS DE INFLUENCIA PARA FUERZAS CORTANTES EN UNA SECCIÓN ( ) Cuando la carga está ubicada entre 0  x  a, se calculará la fuerza cortante en la sección 1–1 (“a” metros del apoyo A):

P =1 tn 1 A

B

1

1 – x = RA L

a

b

P = 1 tn ubicada entre 0  x  a

RB = x L

x

V 1

Parte derecha para no considerar en la ecuación la carga P.

L ( L–x )

1 RB

+

(derch)

V1-1 = - RB = - x L x=0

V=0

x=a

V=-a L V=-1

x=L

( ) Carga P = 1 tn ubicada entre a

 x 

L


V1-1 = ?? L

1 1

RA (izq)

V

Ahora consideramos parte izquierda para no incluir en la ecuación la carga P.

x

( L–x )

P =1 tn

+

1 A

V1-1 = RA = 1 - x L

1 – x = RA L

x=0

V=1

x=a

V=1-a = b L L V=0

x=L

b

a

RB = x L

+1 b L

L. I. V1-1

(+) YC

(-) -a L

YC :

B

1

-1

Fuerza cortante en la sección 1 – 1 (V1-1) debido a la carga P (P = 1 tn), cuando esta carga unitaria se encuentra donde se indica en la figura.


12


8.5 LÍNEAS DE INFLUENCIA PARA MOMENTOS FLECTORES EN UNA SECCIÓN 

P =1 tn

M1-1 = ?? cuando la carga P = 1 tn, se encuentra ubicada 0  x  a :

1 A

1

1

1 – x = RA L

M

B

a

b

RB = x L

1

RB

b

L x

(derch) ( L–x )

+ M1-1 = RB ( b ) = x b L x=0

M=0

x=a

M = ab L M=b

x=L



M1-1 = ?? Cuando la carga P = 1 tn, en a



x 1




L:

L x

M

(L–x)

(izq) RA

a

1

+

P =1 tn

1

M1-1 = RA (a) = ( 1 – x ) a L

x=0

M=a

x=a

M = ab L M=0

x=L

A

1 – x = RA L

b

a

B RB = x L

+a

+ ab L

L. I. M1-1

YM :

1

YM

+b

(+)

Momento flector en la sección 1 – 1 (M1-1) debido a la carga P (P = 1 tn), cuando la carga unitaria esta ubicada donde se indica en la figura.


13

OBSERVACIONES:




En el Diagrama de Momentos Flectores, cada ordenada representa el momento flector en la sección correspondiente, originado por cargas fijas.



En el Diagrama de Influencia, cada ordenada indica el factor que debe multiplicarse a la fuerza “ P” (ubicada en correspondencia con ella) para obtener el momento flector en una sección transversal fija. P

P 1

P( 1 – x )

x

L

Px

( L – x )

1

P( 1 – x )

L

x

L

Px

(L–x)

L

a

L

b

L ab L

D. M. F.

(+)

L. I. M1-1

(+) YM

P ( 1– x ) x

M1-1 = P (YM)

L

Las ordenadas tienen dimensiones fuerza x longitud.

Las ordenadas poseen dimensión de longitud.




En el Diagrama de Influencia de la fuerza cortante en una sección 1-1, cualquier ordenada de este es numéricamente igual a la fuerza cortante en la sección fija 1-1, cuando una carga unitaria ocupa sobre la viga la posición correspondiente a la ordenada elegida. L x

( L–x )

P =1 tn 1 A

1 – x = RA L

B

1

b

a

RB = x L

+1 b L

L. I. V1-1

(+) YC

(-) -a L


-1

14


8.6 VALORES MÁXIMOSPARA CARGAS MÓVILES EN UNA VIGA SIMPLE 

Se desea determinar la ubicación de la sección en que se origina el mayor momento flector mayor, que un mismo sistema de cargas, podría producir en una viga simplemente apoyada.



La solución completa, es hallar el momento flector máximo y determinar en que sección se produce, cuando un sistema dado de cargas se desplaza a lo largo del tramo.



Esta sección transversal particular se denomina “ sección peligrosa” y el momento flector máximo que en ella se origina “ momento flector máximo absoluto ” . Este momento, en el caso de una viga de sección transversal

constante, es el que debe utilizarse como base para el diseño de dicha viga.




Consideraremos el caso general de una viga simplemente apoyada, c argada con una serie de fuerzas concentradas como se muestra en la figura.



Como todas las cargas producen momentos flectores positivos (en t odas las secciones), entonces para obtener el momento flector máximo absoluto, debemos aplicar sobre la viga el mayor número posible de cargas importantes.



Si suponemos una posición cualquiera de las cargas, el momento flector máximo se producirá debajo de la que determina el cambio de signo en el diagrama de fuerza cortante.


15

CASO GENERAL

R= P1

P2

Pi

P4

1 n

P5

PJ


Pn

A

B

R x = RA L

(L - x - a )

a

x

L

D.F.C.

(+) (-)

D.M.F.

Mmáx



En la figura:


Pi

=

Carga donde se produce el cambio de signo de la fuerza cortante.

R

=

Resultante de todas las fuerzas que actúan en la viga.

x

=

Distancia de la resultante “R” al apoyo “B”.

M

=

Suma de los momentos de todas las cargas situadas a la izquierda de “Pi”, con respecto al punto de aplicación de esta.

a

=

Distancia entre las fuerzas “R” y “Pi”.



El momento flector bajo la carga Pi, será:

Mpi = RA (L – x – a) – M como: R A = R x L 


Mpi = R x ( L – x – a ) – M L

16




Considerando que podemos hacer variar “ x” sin que ninguna carga penetre en el tramo o salga de él, dentro de estos límites, para determinar el momento máximo:

d Mpi = 0 dx 

d Mpi = R ( L – 2x – a ) = 0 dx L







( L – 2x – a ) = 0

x=L–x–a

Por tanto “ Mpi ” será un máximo absoluto, cuando “ Pi ” y la resultante de todas las cargas “ R ” sean equidistantes de los extremos de la viga.




El máximo momento flector en una viga simplemente apoyada sometida a la acción de un conjunto de cargas concentradas, se produce debajo de la carga en que cambia el signo la fuerza cortante, y es un máximo absoluto , cuando las fuerzas se hallan dispuestas de manera que el punto medio de la viga, divide en partes iguales la distancia “ a” (distancia entre las fuerzas “Pi” y “R”).



La sección, en que se produce el momento flector máximo absoluto, (la sección peligrosa), nunca se aleja de la sección transversal media.


17


PROBLEMA :

Para la viga que se muestra y considerando el tren de cargas indicado, determinar el máximo momento flector y la máxima fuerza cortante: 2 tn

4 tn

6 tn

6’

20’

L = 40’ 9’

11’ = r

R = 12 tn 

Determinamos la ubicación de R = 12 tn 

M Extremo derecho = 0



2 tn (26’) + 4 tn (20’) = 12 tn ( r ) 



(resultante del tren de carga)

r = 11’


Para determinar el M máx se considera las siguientes posiciones: Pi

POSICIÓN I:

2 tn

Considerando que la sección crítica se encuentra ubicada en Pi = 2 tn ( a = 15’).

4 tn

7,5 a 2

RA

6 tn

R

7,5 a 2

Pi

POSICIÓN II:

2 tn

4 tn

6 tn

R

Considerando que la sección crítica está en Pi = 4 tn ( a = 9’). 4,5 a 2

RA

4,5 a 2

Pi

POSICIÓN III: Considerando que la sección crítica está en Pi = 6 tn ( a = 11’).


2 tn

RA

4 tn

6 tn

R

5,5 a 2

5,5 a 2

18


POSICIÓN I: Considerando que la sección crítica se encuentra ubicada en Pi = 2 tn

Si a  15 ' 

2 tn

R

4 tn

 x 

6 tn

R A 

2

Rx



L  a

 12 , 5 pies

12 ( 12 , 5 )

L

2

40

 3 , 75 tn

7.5

7.5

RA

40  15

x 

( a = 15’).

a

a

Como :

2

2

12.5

15

12.5

(L – x – a )

a

x

x ( L  x  a )  M L  3, 75 ( 12 ,5 )  0

M I  R M I

 M I  46 ,875 tn  pies


POSICIÓN II:

2 tn

Considerando que la sección crítica está en Pi = 4 tn

R

4 tn

6 tn

a  9'  x  4,5

4,5

RA

( a = 9’)

409 2

 15,5 pies

a

a

2

2

15,5

9

15,5

(L – x – a )

a

x

R A 

Rx 12(15,5) L



40

 4,65tn

 M II  4,65(15,5) 2(6)  60,075tn pies


19


POSICIÓN III: Considerando que la sección crítica está en P i =

2 tn

R

4 tn

6 tn

Notamos que cuando suponemos esa condición, la carga de 2 tn del tren de cargas, sale de la viga.  La

resultante debe cambiar, solamente se debe tomar en cuenta las cargas que soporta la viga.

5,5 5,5 a a 2

2

15

11

(L – x – a )

a

6 tn ( a = 11’ )

4 tn

6 tn 20’ 

12’

4 ︵20' ︶  10 ︵r︶ tn

tn



r



8'

8’ = r

R = 10 tn


4 tn

6 tn

R

4

4

a

a

 tomando a  8' x 

RB

2

2

40  8

16

8

16

(L–x–a)

a

x

R B 

2

 16 pies

10 ( 16 ) 40

 4 tn

M III  R B ( x )  64 tn  pies



Comparando los 3 momentos ( en las 3 posiciones)




M máx = 64 tn - pies

20




Máxima fuerza cortante: Esta se da cuando una de las cargas del tren de cargas pasa por un apoyo.

POSICIÓN I: 2 tn

4 tn

6 tn

R B  2 tn RB R = 6 tn

POSICIÓN II:

2 tn

2’

4 tn

6 tn R B  6

( 40  2 ) 40

 5,7 tn

RB


POSICIÓN III: R = 12

2 tn

4 tn

11’

tn

6 tn R B  12

( 40  11 ) 40

 8,7 tn

RB



Comparando tenemos:


Vmáx = 8,7 tn

21


8.7 LÍNEAS DE INFLUENCIA EN VIGAS CON VOLADO EN EL EXTREMO P = 1 tn

RA

RB L2

L1

+1

R A  1

x L1

(+) (-)

RB 

x L1

 L 2   L   1 

L. I. R A

+1

 L 2  1   L1 

(+)

L. I. RB


P = 1 tn 1 1 x a

b L2

L1 +1 b L1

L. I. V1-1

(+)

+a

(-)

(-) -a L1

ab L1

 L 2     L1 

-1 +b

L. I. M1-1

(+) (-)


 L 2   a   L1 

22

8.8 LÍNEAS DE INFLUENCIA EN VIGAS GERBER (1 FIJO, 2 MÓVILES) Universidad Nacional de Ingeniería

y

P = 1 tn x D

B

A

a

C

b

c

LÍNEAS DE INFLUENCIA PARA REACCIONES +1 +

0

0

L. I. R A

-

+1 +

L. I. RB

0

+1 +

L. I. RC

0


1

A

2

B

3

D

1

2

3

L1

L2

L3

C

LÍNEAS DE INFLUENCIA PARA FUERZAS CORTANTES

+1

+

0

-

L. I. V1-1

-

-1

+1 + 0

L. I. V2-2

+1 (+) (-)

0

L. I. V3-3

-1


23


+a

+b

LÍNEAS DE INFLUENCIA PARA MOMENTOS FLECTORES

+

a

0

b

-

L. I. M1-1

d

0

-

-d

L. I. M 2-2

e

f + e f

L. I. M 3-3


8.9 LÍNEAS DE INFLUENCIA EN VIGAS CONTINUAS LÍNEAS DE INFLUENCIA DE MOMENTOS FLECTORES EN UN APOYO:

-

-

-

+

+

A

L. I. M A APOYO



En los apoyos se obtiene momentos iguales a cero.



Cantidades significativas sólo en los tramos vecinos y subsiguientes.


24


LÍNEAS DE INFLUENCIA DE MOMENTOS FLECTORES EN UN PUNTO CUALQUIERA:

1 +

-

1


+

L. I. M 1-1

+

25

Capítulo 8 - Líneas de Influencia en Vigas

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