Capítulo 7 - Fuerzos Internas en Vigas.pdf

Universidad Nacional de Ingeniería

FUERZAS INTERNAS EN VIGAS

“Un científico debe tomarse la libertad de plantear cualquier cuestión, de dudar de cualquier afirmación, de corregir errores”.

Julius Robert Oppenheimer


Rockefell er Center, Nueva York

ESTÁTICA-Ing.SergioHerrera

1





7.1 DEFINICIÓN DE VIGA Elemento estructural proyectado o diseñado para soportar cargas aplicadas en diversos puntos a lo largo del mismo. Elemento estructural con sección transversal cualquiera, con una dimensión mucho mayor que la otra.

h

L L >>> b , h


b

2

V

Tipos de apoyos:

H

H

M

V Móvil

Tipos de cargas: P1

P2

Fijo


Q R

Rótula

Empotramiento W2 (tn/m)

P3 (tn)

W1

Cargas repartidas Cargas concentradas

m1

m 2 (tn- m)





Momentos concentrados o p ares

Para determinar las reacciones, pueden sustituirse las cargas repartidas por cargas concentradas equivalentes. Para calcular las fuerzas internas en una viga, se puede hacer esa sustit ución pero con especial cuidado.


Vigas estáticame nte determinadas (ISOSTÁTICA) : Cuando se pueden determinar las reacciones de los apoyos utilizando las ecuaciones del equilibrio estático.

Vigas estáticame nte indete rminada s (HIPERESTÁTICA) : Cuando el número de las reacciones excede el número de ecuaciones de equilibrio; para determinar las reacciones será necesario usar ecuaciones basadas en la deformación de la viga.

VigadeGalileo


3


L: luz (distancia entre apoyos) L

Vigas est áti cament e determin adas

Vigas estáti cament e in determi nadas


Nota 01: Una estructura es estable cuando puede soportar cualquier sistema de carga, resistiendo sus elementos en forma elástica la aplicación de las cargas. Estabilidad externa: Número de reacciones mayores a dos, no concurrentes en un punto, ni paralelas. 

Estabilida d inte rna: Referido a los elementos que conforman la estructura,



siendo necesario que las deformaciones sean pequeñas.


4


Nota 02: Se dice que una estructura se encuentra en equilibrio estático, cuando ante la acción de fuerzas externas, la estructura permanece en estado de reposo. El equilibrio estático se puede aplicar a toda una estructura en sí, como también a cada una de sus partes o componentes. Se dice que una estructura se encuentra enequilibrio dinámico, cuando ante la acción de cargas generadas por sismo, viento, motores, etc., la estructura responde (se deforma) con un movimiento o vibración (aceleración) controlado de cada una de sus partes; mas no así sus soportes o apoyos.


7.2 FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR EN VIGAS Se pretende determinar las fuerzas internas que mantienen juntas las diversas partes de una viga. En esta parte presentaremos lo que han denominado “Fuerza Cortante” y “Momento Flector” en cualquier sección de la viga.

Y

Y

P

Y

P

P

Y

X

X

h

X

X

X

X

X

X

b

Y

Y

Y

a


e

P

Y

b

c

5


Caso

a :

Si las cargas están contenidas en el plano de simetría de la sección, entonces se produce flexión y fuerza cortante.

Y

Y

P

X

X

h

X

X

b

Y

R2

R1

P

Y


Caso b : Si la carga es excéntrica, entonces, adicionalmente, se produce momento torsional. e Y

Y

P

P

X

X

h

X

X

b

Y

Y


6


Caso

c :

Si la carga es centroidal e inclinada, entonces se produce cortante y flexión en dos planos ( X e Y). P

Y

Y

P

X

X

h

X

X

b

Y

Y


Caso d :

Si la carga es inclinada en el plano longitudinal, entonces, adicionalmente a la fuerza cortante y flexión, se producen fuerzas axiales en la viga (tracción y compresión). Y

Y

P

P

X

X

X

h

X

b

Y

Y

P

Compresión Axial


Tracción Axial

7




FUERZAS INTERNAS EN BARRAS DE UN RETICULADO:

C A

F

F

C B

F

F F

A

F

F

F

B

F

F F

F




FUERZAS INTERNAS EN UNA PLACA EN FORMA DE “L” :

Q M

B

D A

P

V

C

P

P

V Q

M

P

Si cortamos un elemento que está en equilibrio, para que cada subsistema o subelemento se mantenga en equilibrio, debe “haber” en la sección del corte fuerzas internas que generen acciones opuestas a las que se producen lasfuerz as externas.


8



FUERZAS INTERNAS EN UNA VIGA:


Tenemos una viga como la que se muestra en la figura (apoyada en sus extremos y con cargas concentradas).

b a

P1

Y

P2

P3

1

X

1 R1

R2

X

Si hacemos el corte 1-1 a la viga, a una distan cia “X” metros del apoyo izquierdo, para mantener el equilibrio aparecerán los efectos internos que se indican: V y M.

(x-a) (x-b)

P1

P2

1 1

R1



El objetivo es determinar el valor de esas fuerzas internas.

M V

Efectos internos

X

(Si consideramos el equilibrio en la zona izquierda del corte, entonces habrá que tener en cuenta las fuerzas internas del lado derecho del corte).

Apl icando las ecuacion es de equilibr io en el sub sistema:

(+)   F y = 0 +

 M1-1 = 0

:


R1 – P1 – P2 – V = 0  V = R1 – P1 – P2

Fuerza cortante

: -R1 (x) + P1 (x-a) + P2 (x-b) + M = 0

(en el lugar del corte)

 M = R1 (x) – P1 (x-a) – P2 (x-b)

Momento flector

Fuerza cortante (V):

Suma algebraica de las fuerzas verticales situadas a un lado de la sección en estudio.

Mome nto flector (M):

Suma algebraica de los efectos de momento producido por las fuerzas externas situadas a un lado de la sección en estudio.


9


C

A

F

F

F

B

F

F

F

B D C

A

P

P

Q M V

V

M

P

P

Q

CRITERIO DE SIGNOS:


X

Cuando las fuerzas externas (cargas y reacciones) que actúan sobre una viga, tienden a cortar o doblar a la viga como se muestra, se considera el signo indicado.

dx L

+

-

dx

dx

Momento

Momento

positivo

negativo


10


X

dx L

Cortante

Cortante

positivo

negativo

X dx L


dx

Parte izquierda

M

dx

Parte derecha

T

M

C

C

T

M

Mome nto positiv o

M Momento negativo

V

V

+

V

V

Cortante positivo

Q

+ Norma l positiva


-

Cortante negativo

Q Q

-

Q

Normal negativa

11


7.3 DIAGRAMAS DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR

1. Cálculo de las reacciones en los apoyos. 2. Determinación del corte y momento genérico para toda la viga. V

3. Diagrama de fuerza cortante:

o

+ -

X

+

X

M

Diagrama de momento flector:

o


7.4 RELACIÓN ENTRE CARGA, FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR W (Tn/m) 1

2

a

R1

b

R2

L (m) X

i w



d V dx

:

Vb  Va



d M dx

:

Mb  Ma

   xx ba w dx  

ii

v


  xxba v dx 

(Área bajo la curva de cargas entre los puntos “a” y “b”).

(Área bajo la curva de fuerza cortante entre los puntos a“ ” y “b”).

12


Ecuación (i):

La variación en la fue rza cortante entre dos puntos es igua l a menos el área comprendida bajo la curva de carga entre los mismos dos puntos. Válida sólo para cargas repartidas, las cargas concentradas mostrarán cambios bruscos (discontinuidades en la curva o función).

Ecuación (ii):

El área entre dos puntos bajo la curva de fuerza cortante es igual a la variación en el momento flector entre estos mismos puntos. Aplicable para cargas repartidas y concentradas pero no para pares (momentos concentrados). También muestra que la fuerza cortante es nu la en los puntos donde el momento flector es máximo , facilitando la determinación de las secciones en la que la viga podría f allar debido a la flexión.


7.5 PROBLEMAS DE CÁLCULO DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR PROBLEMA 1: Dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento f lector en la viga mostrada.

300 Lb/pie

A

B 10pies


2 000 Lb-pie

5pies

5pies

13


P = (300 Lb/pie) (10 pie) = 3000 Lb 1



300 Lb/pie

2 000 Lb-pie

2

Cálculo de reacciones: +

3

 MA = 0 : RB = 1 133,33 Lb

+   FY = 0 : 1

A RA

2

10pies

3

B



5pies RB

5pies

corte 1-1:

X

V

RA = 1 866,67 Lb

Cálculo de las fuerzas internas:

+

0  x  10 (izq.)

1 866,67

(Lb)

300 (x)

X/2

300 Lb/pie

+

1

X

-

V 1

- 1 133,33

RA

M

X

(Lb-pie)

+

X

3 666,7

M1-1 = RA x – 300 x2/2

V1-1 = RA – 300 x M

 

X = 0  V1-1 = 1 866,67 Lb X = 10  V1-1 = -1 133,33 Lb

X = 0  M1-1 = 0 X = 10  M1-1 = 3 666,7 Lb-pie


1

300 Lb/pie

2 000 Lb-pie

2

RA

1

A 10pies

2

B

RB

5pies

300 (10) 5

(X – 5)

2 300

Lb pie

1 866,67

M

2V

(Lb)

RA X

+

X

-

- 1 133,33

M

V2-2 = RA – 3 000 = -1 133,33 Lb

- 2 000

-

(Lb-pie)

X

M2-2 = RA x – 3 000 (x – 5)

+ 3 666,7


+

10  x  15 (izq.)

3

5pies

X

V

corte 2-2:

3



X = 10  M = 3 666,7 Lb-pie X = 15  M = -2 000 Lb-pie

14


1

300 Lb/pie

2 000 Lb-pie

2

3

corte 3-3: 1

A RA

2

10pies

5pies RB

5pies

0x 5

(derch.)

+

3

B

X

M V3

X

2 000 Lb-pie

V

1 866,67

3

(Lb)

X

+

X

-

V3-3 = 0

- 1 133,33 - 2 000

M

-

(Lb-pie)

X

M3-3 = – 2 000 Lb-pie

+ 3 666,7


300 Lb/pie

RA

V

2 000 Lb-pie

A

B 10pies

5pies

Determinación del momento máximo: M máx

V

d M0 dx



x  6,22 pies



Mmáx  M X  6,22

RB

5pies

 V11 1866,67 300 x

1 866,67

(Lb)

+

X

6,22

- 1 133,33



C

-

6,22

(Lb-pie)

+ C

3 666,7

5 807,4 (M máx)

300 2

(6,22) 2

T

- 2 000

M

 1 866,67 (6,22) 

X

Mmáx  M X  6,22  5 807,4 Lb  pie

NOTA: Si la curva de cargas es una línea recta horizontal, la de las fuerzas cortantes será una línea recta oblicua (1er. grado), y la de los momentos flectores será una parábola (2do. grado). Estas dos últimas curvas son siempre un grado y dos grados, respectivamente, mayores que la curva de la carga.

T


15


PROBLEMA 2: Dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento f lector.

Rótula 2 tn/m

A

D

C

B

2m

m 2

m 3

Rótula


1

2

2 tn/m 

A

D RA

2m

B

1 m 2

C

2

RB

RC

m 3

Cálculo de reacciones: RA = 2 tn RB = 11,67 tn RC = 0,33 tn

X



Cálculo de fuerzas internas: corte 1-1

0x 4

2x

+

V1-1 = 2 - 2x

X/2 2 tn/m

(izq.)

1 M

1V

RA X


M1-1 = 2 x – 2 x (x/2)

X = 0  V = 2 tn X = 1 V = 0 X = 2  V = - 2 tn X = 4  V = - 6 tn

X = 0 M = 0 X = 1  M = 1 tn-m X = 2  M = 0(Rótula) X = 4  M = - 8 tn-m

16

Rótula


1

2 tn/m

2

corte 2-2: 0  x  3 A

D RA

2m

B

1

X/2

M V2

X

V

2x

RC

m 3

X

(tn)

5,67 2

RC 0

X

X - 0,33

-

-2

2 tn/m

2

+

0



V2-2 = 2 x - RC

-6

M

-8

(tn-m) 0

+

+

C

2

RB

m 2

(derch.)

X

0

+

1

0

X = 0  V = - 0,33 tn X = 3  V = 5,67 tn

M2-2 = – 2 x (x/2) + RC (x)

0,027



X=0 M=0 X = 3  M = - 8 tn-m



2 tn-m

4 tn-m

A

B

2m


m 3

m 1

17



2 tn/m

2 tn/m

3 tn-m

3 tn-m A

B

m 2

1 mm 2 m 1

2m


1 2 tn/m

2

3

4

5

2 tn/m

3 tn-m

3 tn-m 

1

X 2m



A

2

3

4

RA

B

5

Por Simetría: RA = RB = 6 tn

RB 1m

m 2

m 1

Cálculo de reacciones:

2m

Cálculo de fuerza internas:

+

corte 1-1: 0  x  2 (izq.)

2x x/2

2 tn/m

1

M

V=-2x

3 tn-m 1V

X


M = 3 – 2x (x/2)



X=0 V=0 X = 2  V = - 4 tn



X = 0  M = 3 tn-m X = 2  M = - 1 tn-m

19

corte 2-2:

+

2  x  3 (izq.) x/2

2x 2 tn/m

V = - 2x + 6 2

3 tn-m




X = 2  V = 2 tn X=3 V=0

M



M = 3 + 6 (x-2) – x2

2 V

6 tn x-2

X = 2  M = - 1 tn-m X=3 M=0

X

corte 3-3:

+

3  x  5 (izq.) 6 tn

V=-6+6=0

x – 1.5

2 tn/m

3

3 tn-m

M

3 V

6 tn

M = 3 + 6 (x-2) – 6 (x – 1,5) = 0

x–2

X

corte 5-5:

0  x  2 (derch)

+

2x 5

M

V = + 2x

x/2

2 tn/m

V




3 tn-m

M = + 3 - 2x (x/2)

5

X

X=0 V=0 X = 2  V = 4 tn



X = 0  M = 3 tn-m X = 2  M = - 1 tn-m 4

2 tn/m

5

2 tn/m

3 tn-m

3 tn-m A

4

RA

corte 4-4:

2  x  3 (derch) 2x

x/2

M

V = + 2x - 6

2 tn/m

4

m2

+



3 tn-m

x–2

RB

1 mm 2 m 1

5 X

2m

X = 2  V = - 2 tn X =3 V =0

V 4

B

M = 3 – 2x (x/2) + 6 (x – 2)



X = 2  M = - 1 tn-m X=3 M=0

6 tn X


20


1 2 tn/m

2

3

4

5

2 tn/m

3 tn-m

3 tn-m 1

X

A

2m

DFC V (tn)

2

RA

3

1m

B

4

m 2

RB

m 1

5

X

2m 4

2 0

0

X 0

-2

-4 -1

-1

DMF

X

M (tn-m)

3

3



2 tn-m

1 tn/m

A

1m


1 tn/m m 2

m 2

4 tn

B

m 1

21


1

1 tn/m

2

3

2 tn-m

2

3

B

4

4 tn 

A

1

RA

RB

1 tn/m

1m

2m

4

m2



 M A  0 : R B  3,375 tn

m1

   FY  0 : R

X




A

 1,625 tn

Cálculo de fuerza internas: corte 1-1: 0  x  1

+

(izq.)

V = -x



X=0 V=0 X = 1  V = - 1 tn

M = - x (x / 2)



X=0 M=0 X = 1  M = - 0,5 tn-m

1(x) x/2 1 tn/m

1

1V

X

corte 2-2:

+

1  x  3 (izq) x/2

1(x) 1 tn/m

2


V = RA - x = 1,625 - x



X = 1  V = 0,625 tn X = 3  V = - 1,375 tn

M = RA (x-1) – x (x/2)



X = 1  M = - 0,5 tn-m X = 3  M = - 1,25 tn-m

M

2V

RA

M

x–1

X

corte 3-3:

+

3  x  5 (izq)

1(3) x – 1.5

1 tn/m

3

RA

V

1 tn/m

(x -3)

3 x 3 2

x-3 x-1

M

V = RA – 3 + (x-3)



X = 3  V = - 1,375 tn X = 5  V = 0,625 tn

M = RA (x-1) – 3 (x – 1.5) + (x-3)  x  3   2 



X = 3  M = - 1,25 tn-m X = 5  M = - 2 tn-m

X


22


1

1 tn/m

A

1

RA

1m

2

2 tn-m

3

B

3

2

RB

1 tn/m 2m

m2

4

4 tn

corte 4-4:

+

0  x  1 (derch)

4

m1

X

X 4

DFC

M

4

4 tn

V

4 4

V 0,625

(tn)

0,625

X

0

0 -1

- 1,375

V = + 4 tn

-4

DMF M

- 2,196

(tn-m)

-2

- 1,2 - 0,5

M = – 4 (x)



X=0 M=0 X = 1  M = - 4 tn-m

- 0,305

0

0



5 tn/m 4 tn/m

6tn

4tn

A

m 2


B

1m

1m 2m 3 m 2

23


5 tn/m 1

4 tn/m

2

3

4

5

6tn

1

A

RA

2m

2

1m



4tn

3

1m

6

4

m2

6

RB

m3

 M B  0 : R A  18,26 tn



B

5


   F  0 : R  16,24 tn Y

m2

B

X 

Cálculo de fuerza internas: corte 1-1: 0  x  2 (izq.)

+

4x 1

M = - 4x ( x / 2 )

2

V = RA - 4x M

2 V

RA

X =0 V =0 X = 2  V = - 8 tn X =0 M =0 X = 2  M = - 8 tn-m


x/2

4 tn/m

 

+

2  x  3 (izq)

4x

M

1V

X

corte 2-2:

V = - 4x

x/2

4 tn/m



X = 2  V = 10,26 tn X = 3  V = 6,26 tn

M = RA (x - 2) – 4x ( x / 2)

x–2



X = 2  M = - 8 tn-m X = 3  M = 0,26 tn-m



X = 3  M = 0,26 tn-m X = 4  M = 6,52 tn-m

X

corte 3-3:

+

3  x  4 (izq) x – 1.5

12 tn

4 tn/m

V = RA – 12 = 6,26 tn M

3

V

RA

3

M = RA (x - 2) – 12 (x – 1,5)

x–2

X


24

corte 4-4: 12

+

4  x  6 (izq)


x – 1.5

tn

6 tn

4 tn/m

V = RA – 12 – 6 = 0,26 tn

x-4

M

4



M = RA (x-2) – 12 (x-1,5) – 6 (x-4) V

RA

X = 4  M = 6,52 tn-m X = 6  M = 7,04 tn-m

4

x–2

X

corte 5-5:

+

6  x  9 (izq) x – 1.5 (X6) 2 2

12 tn 6 tn

4 tn/m

V = RA - 12 - 6 - 4 -

X 6 3

4 tn

M

5

X = 6  V = - 3,74 tn X = 9  V = - 8,24 tn

(x –6)

M = RA (x-2) - 12 (x-1,5) - 6 (x-4) - 4 (x-6) -

V

RA



(x  6) 2 2

x-6 5



5 tn/m

x–4

x-6

x–2

(x

 6) 2 .  x  6   3  2

X = 6  M = 7,04 tn-m X = 9  M = - 8,66 tn-m

x -6 5m

X


5 tn/m

4 tn/m

corte 6-6: 0  x  2 (derch.)

1

+ 1

A

2

3

2

3

4

6tn

4tn

4

6

5

B

5

RA 2m

(x)(x) 2

(5 –x) x 6

1m

(5 - x)

5 tn/m 2 V = (5 - x) x + x

2

6

1m

m2

m3

m2

X

x

M V

6

RB



X=0 V=0 X = 2  V = 8 tn

x 2 2 M = - (5 - x) x  x   x  2 x   2  2 3 

2x 3

X



X=0 M=0 X = 2  M = - 8,66 tn-m

Nota: Para analizar una carga trapezoidal, se puede emplear:


25


5 tn/m 1

4 tn/m

2

3

4 6tn

1

A

2

RA

2m

X DFC

1m

6

4tn

3

1m

5

4

B

5

m2

m3

RB

6

m2

X

10,26 8

6,26

V (tn)

0,26 0

0 - 3,74 -8

DMF

- 8,24 - 8,66

-8

M (tn-m) 0

0 0,26 6,52 7,04



4 tn

4 tn/m

3 tn-m

Rótula

2m


m

3

m

4

26


4 tn

1

4 tn/m

2

3 tn-m

3




MB

1

Rótula

2

RA = 5,67 tn RB = 14,33 tn

RB

3

MB = 25,32 tn-m RA

2m

3m

4m

X



Cálculo de fuerza internas: corte 1-1:

+

0  x  2 (izq.) 4T

1

1

M

V = - 4 tn

V

M=-4x

X

corte 2-2: 4 tn


V = - 4 + 5,67 = 1.67 tn

M

2

X=0 M=0 X = 2  M = - 8 tn-m

+

2  x  5 (izq)

3 tn-m



V 2

5,67

M = - 4x + 5,67 (x – 2) + 3



X = 2  M = - 5 tn-m X=5 M=0

x-2

X

corte 3-3:

+

5  x  9 (izq)

4 (x - 5)

4 tn

x5 2

V = - 4 + 5,67 – 4 (x – 5)

3 tn-m 3

M

V 3

5.67

x-5 x–2



X = 5  V = 1,67 tn X = 9  V = - 14,33 tn

M = - 4 (x) + 3 + 5,67 (x - 2) – 4 (x – 5) x  5   2 



X =5 M =0 X = 9  M = - 25,32 tn-m

X


27


4 tn

1

3 tn-m

1

2

4 tn/m

3

MB Rótula

2

RB

3

RA 2m

3m

4m

X DFC 1,67

V (tn)

-4 - 14,33

DMF

- 25,32 -8

M (tn-m)

-5

- 0.5

0

0 0,35


PROBLEMA 8: Hallar los diagramas de fuerza cortante y momento f lector de la siguiente viga:

2 tn

3 tn

2 tn/m

3 tn

4 tn-m

A

B 3 tn/m

m


1

3m m

4 m

2

28


1

2 tn

2

3 tn

1

A

3

2 tn/m

2

4 tn-m

B

3

RA 3m

3 tn



m4

Cálculo de reacciones: 

4

RB

3 tn/m

1m

4

 M A  0 : R B  1,29 tn

   F Y  0 : R A  3,71 tn

m2

X 

Cálculo de fuerza internas: corte 1-1: 0  x  1 (izq.) 2 tn

1

+

M

V = - 2 tn 1

V

M= -2x

X

corte 2-2:

3 tn

X=0 M=0 X = 1  M = - 2 tn-m

+

1  x  4 (izq)

2 tn



(x  1) 2 x 1 3 3

M

2 (x 1) 3

1


V = RA - 2 - 3 -



(x  1) 2 3

V 1

RA

M = RA (x - 1) - 2x - 3 (x - 1) -

x–1



X

corte 3-3:

2  x  6 (derch)

4 tn-m

3

M V 3 (x 2) 4

3 x 2 3

RB

3 (x 2)2 8

x–2

X


3 tn

X = 1  V = - 1,29 tn X = 4  V = - 4,29 tn

(x  1) 2 (x  1) . 3 3

X = 1  M = - 2 tn-m X = 4  M = - 8,86 tn-m

+



V = 3 - RB  38 x  2 2

M = - 3 (x) + RB (x - 2) 

3 8

X = 2  V = 1,71 tn X = 6  V = - 4,29 tn

x  2 2



x2  4    3 

X = 2  M = - 10 tn-m X = 6  M = - 8,86 tn-m

29

corte 4-4:


+

0  x  2 (derch)

V = + 3 tn

3 tn

4

M V

X =0 M =0 4



M = - 3 (x) X

NOTA:

X = 0  M = - 6 tn-m

Para 2  x  6 (derch) V 

d dx

- 3  RB 

M 

 M

3 8

(x  2) 2  0

 x  4,138

 - 12,44 tn-m

X 4,138


2 tn

1

1

2

3 tn

A

2

RA 1m

2 tn/m

3

4 tn-m

B

3

m4

3 tn

4

RB

3 tn/m 3m

4

m2

X

X

DFC

3,00

V 1,71

(tn) - 1,29 -2 - 4,29 - 12,44

DMF M (tn-m)

- 8,86

- 10 -6

-2 0


30


PROBLEMA 9: Determinar las cargas a las cuales debe estar sometida la siguiente viga, si el diagrama de fuerza cortante es el que se muestra. Asimismo, trazar el diagrama de momento flector.

A

m

1

B

m

2 m2

m

5

m

5

1 V = −

12.5

DFC V

2

x − 10



+ 12.5

6.3

(kN) 0 − 1.2 − 3.7

−5

1 V = − − 15

2

x − 10



− 1.2

− 13.7


1 V = −

12.5

DFC V

2

x − 10



+ 12.5

6.3

(Kn) 0 − 1.2



− 3.7

−5

1 V = − − 15

2

x − 10



− 1.2

− 13.7

La fuerza cortante en x = 0 es - 5 kN Por tanto existe una carga puntual en x = 0 de 5 kN (↓)

Desde x = 0 a x = 1 m la fuerza cortante varía linealmente, entonces hay una carga distribuida de valor igual a la pendiente, m = - 10 kN/m con dirección (↓).

5 kN 10 kN/m

A

m


1

B

m

2 m2

m

5

m

5

31


1 V = −

12.5

DFC V

2

x − 10



+ 12.5

6.3

(Kn) 0 − 1.2 − 3.7

−5

V = − − 15

1 2

x − 10



− 1.2

− 13.7

En x = 1 (apoyo fijo) se ve un “salto” de 21.3 kN (↑), que corresponde al valor de la reacción

5 kN

Desde x = 1 a x = 3 la fuerza cortante es constante, entonces no hay cargas en ese tramo

En x = 3 se ve un salto de 10 kN (↓), debido a una carga puntual

Desde x = 3 a x = 5 hay una carga distribuida de valor igual a la pendiente m = - 5 kN/m con dirección (↓)

10 kN 5 kN/m

10 kN/m

A

B 21.3 kN

m

1

m

2 m2

m

5

m

5


1 V = −

12.5

DFC V

2

x − 10



+ 12.5

6.3

(Kn) 0 − 1.2 − 3.7

−5

1 V = − − 15

De x = 5 a x = 10, derivamos la ecuación  de V :  = −  − 10 , que corresponde a una carga distribuida lineal de 5 kN/m (↑) en x = 5 a 0 kN/m en x = 10

5 kN

2

x − 10



En x = 10 (apoyo móvil) se ve un “salto” de 13.7 kN (↑), que se debe al valor de la reacción

5 kN/m

5 kN/m

A

B 5 kN/m

21.3 kN


1

De x = 10 a x = 15, derivamos la ecuación  de V :  = −  − 10 , que corresponde a una carga distribuida lineal de 0 kN/m en x = 10 a - 5 kN/m (↓) en x = 15

10 kN 10 kN/m

m

− 1.2

− 13.7

m

2 m2

m

5

13.7 kN m

5

32

5 kN 1

10 kN 10 kN/m 2

5 kN/m

3

A 3

m

2 m2

m

5

4

5 kN/m

21.3 kN 1


B 2

1

m

5 kN/m

5

4

13.7 kN

5

m

5

X



X

Cálculo de fuerza internas (Momento Flector): corte 1-1: 0  x  1 (izq.)

+

M=-5

corte 2-2: 1  x  3 (izq.)

+

M = + 6.3

corte 3-3: 3  x  5 (izq.)

+

M = - 2.5

corte 4-4: 5  x  10 (derch)

+

corte 5-5: 0  x  5 (derch)

+

5 kN

x - 5 x2 x - 16.3 x2 + 11.3 x - 8.8

M = + 0.167 x3 - 2.5 x2 + 13.7 x - 68.5 M = + 0.167

10 kN

5 kN/m

5 kN/m

10 kN/m


A

B 5 kN/m

21.3 kN m

1

x3 - 2.5 x2

m

2 m2

m

5

13.7 kN m

5 1 V = −

12.5

DFC V

2

x − 10



+ 12.5

6.3

(Kn)

0 − 1.2 −3.7

−5

1 V = − −15

2

x − 10



− 1.2

−13.7

- 41.7

DMF M (Kn/m)

- 14.8 - 10 0 2.6


33


PROBLEMA 10: Hallar el valor de las cargas “ W (tn/m)”, “ P (tn)” y “ M (tn-m)”,así como también la longitud “L (m)”; si: 

La fuerza cortante y el momento flector en el extremo del volado es 12 tn y 12 tn-m,



la fuerza cortante en el empotramiento (apoyo A) es - 8 tn, y



el momento flector en el apoyo móvil (apoyoB) es - 30 tn-m.

P

P

W

Rótula

M A

B

W 2L

L

L


Tenemos 4 incógnitas: “W (tn/m)”, “ P (tn)”, “ M (tn-m)” y “ L (m)”; así que procedemos a formular ecuaciones que involucren dichas incógnitas. DEL DATO:

La fuerza cortante y el momento flector en el extremo del volado es 12 tn y 12 tn-m.

(parte derecha)

P = 12 tn

+

 M = 12 tn - m

DEL DATO: La

fuerza c ortante en el empotramiento (apoyo A) es - 8 tn.

(parte izquierda)


+



RA = 8 tn

(

)

34


DEL DATO:

El momento flector en el apoyo móvil (apoyoB) es - 30 tn-m. (parte derechadel apoyo B)

Mapoyo B = - 30 = 12 - 12 ( L ) - W L 2

POR EQUILIBRIO EN

+

EL

F

v

SISTEMA:

(

L 3



)

Tomando  F verticales  0

W L 2 = 252 - 72 ( L )

+ ...... (I)

(para no incluir en la ecuación los momentos concentrados)

 0 = - 8 + W ( 2L ) - 12 + RB - 12 - W ( 2L ) 2



RB = 32 tn

(

)

2

Además, sabemos que el momento flector en la rótula es nulo (parte derecha de la rótula)

Mrótula = 0 = 12 - 12 ( 2 L ) + 32 ( L ) - W ( 2L ) ( L )



+

W L 2 = 12 + 8 ( L ) ...... (II )

2


Igualando las expresiones (I) y ( II) : 252 - 72 ( L ) = 12 + 8 ( L )

Reemplazando en (I) o en (II) :



L = 3 m

W = 4 tn / m

NOTA : El problema podría complementarse con las siguientes interrogantes: “Así también determinar los diagramas de fuerzas cortantes y

momentos flectores y el máximo

momento flector y su ubicación en la estructura.”


35


PROBLEMA 11: Hallar el valor de las cargas “W1 (tn/m)”, “ W2 (tn/m)” y “ M (tn-m)”,así como también la longitud “L (m)”; si: 

La fuerza cortante en la rótula es de -1,17 tn,



el momento flector en el apoyoB es de 27,67 tn-m, y



la reacción en el apoyo A, B y C es 0.83 tn ,10,25 tn y 13,42 tn, respectivamente.

W 2

W 1 Rótula M

2M A RA

B

W L

1

C

RB 2L

L

RC

2L


Tenemos 4 incógnitas: “W1 (tn/m)”, “ W2 (tn/m)”, “ M (tn-m)” y “ L (m)”; así que procedemos a formular ecuaciones que involucren dichas incógnitas. DEL DATO:

La fuerza cortante en la rótula es de -1,17 tn. (parte izquierda de la rótula)

Vrótula = -1,17 = 0,83 – W1 L



W1 L = 4

+

...... ( I)

2

Además, sabemos que el momento flector en la rótula es nulo. Mrótula = 0 = M + 0,83 L – W1 L 2

(

2L ) 3

Reemplazando el valor de I(), tenemos: M = L

...... (II)

2


36


DEL DATO:

El momento flector en el apoyoB es de 27,67 tn-m.

+

(parte derechadel apoyo B)

Mapoyo B = 27,67 = - 2 M + 13,42 ( 2L ) – ( W2 ) ( 2L ) L

POR EQUILIBRIO EN EL SISTEMA:

+

F

v

Tomando  F verticales  0

...... (

III )

(para no incluir en la ecuación al momento externo

M)

 0 = 0,83 - W1 L + W1 ( 2L ) + W1 L - 10,25 - W2 ( 2L ) + 13,42 2

2



W1 L - W2 L = - 2

Reemplazando el valor de I(), tenemos: W2 L = 6

...... (

IV)


Reemplazando el valor de I(I) y ( IV) en la expresión (III) : 27,67 = - 2 L + 13,42 ( 2 L ) – ( 6 ) ( 2 L )



L = 2 m

2

Reemplazando en (II) :

M = 1 tn - m

Reemplazando en (I) :

W1 = 2 tn / m

Reemplazando en (IV) :

W2 = 3 tn / m

NOTA : El problema podría complementarse con las siguientes interrogantes: “Así también determinar los diagramas de fuerzas cortantes y

momentos flectores y el máximo

momento flector y su ubicación en la estructura.”


37


PROBLEMA 12: Determinar la longitud “L 1” (en función de L), de manera que se reduzca al mínimo el momento flector máximo de la viga ( M máx ). Asimismo indicar el correspondiente valor del M máx (en función de W y L).

W

A

B

L1

L1 L

1

W

2



1A

2

L1

B

RB

RA

Por Simetría: RA = RB = W L / 2 

L1

( L –2 L 1 )

X

Cálculo de fuerza internas: corte 1-1:

V

-

0  x  L1

+ W L1

+ X

-

- W L1 - W ( L / 2 -L

1

 

M = - W x (x/2)

corte 2-2:

X



(izq.)

+

X = L 1  V = W (L / 2 - L 1 ) X =L /2  V = 0

M = - W x ( x/2 ) + W L / 2 ( x - L 1 )




X=0 M=0 X = L 1  M2 = - W ( L 1 )2 / 2

L1  x  L / 2

V = -W x + W L / 2

+

+

)

M

-

(izq.)

X=0 V=0 X = L1  V = - W L1

V = -W x

+ W ( L / 2 -L 1 )

+



X = L 1  M = - W ( L 1 )2 / 2 X = L / 2  M1 = W ( L )2 / 8 - W (L ) (L 1 ) / 2

38


Momento máximo positivo:

M1 = W ( L )2 - W (L ) (L 1 )

Momento máximo negativo:

M 2 = - W ( L 1 )2

Para el sistema tenemos:

8

2

2

Notamos que el momento f lector máximo (M máx), es el mayor momento entreM 1 y M 2. Debemos minimizar estas dos expresiones (al mismo tiempo), a fin que se reduzca al mínimo el momento flector máximo de la viga (M máx).

L1

L1


Se observa que al querer minimizar M 1, incrementamos M 2, y al querer minimizar M 2 incrementamos M 1. Entonces, el menor valor que podría tener igual magnitud.

M 1 y M 2; se dará cuando estos sean de

Es decir, debemos establecer la relación:

l M 1 I = l M2 I

W ( L )2 - W (L ) (L 1 ) 8

2

=

W ( L 1 )2



L 1 = 0,207 ( L )

2

Para calcular el valor del momento flector máximo de la viga ( reemplazar L 1 ( = 0,207L ), en la expresión de M 1 o M 2: M máx = M2 = W ( L 1 )2 = W ( 0,207 L )2 2




M máx), bastará con

Mmáx = 0,0214 W ( L )2

2

39


PROBLEMA 13: Si la viga homogénea AB pesa 120 lb y la viga homogénea CD pesa 800 lb, determinar los diagramas de fuerza cortante y momento f lector de las vigas:

80 lb/pie B

A

300 lb

D

C

3 pies

7 pies

6 pies




Cálculo de Reacciones:

120 lb 5 pies

5 pies

Viga AB: B

A

300 lb

R1

 R2

   FY  0 : R 2  780 lb

3 pies

7 pies

Viga CD:

800 lb 4,5 pies

4,5 pies

80 lb/pie 1 200 lb

780 lb

M



 MD  0 : M  10 200 lb - pie

   FY  0 : R 3  1 460 lb

D

C

R3 3pies


 MB  0 : R 1  1 200 lb

6pies

40




Cálculo de Fuerza Internas: Viga AB: 0x 7

120/10 lb/pie A

+

(izda.)

B

300 lb

V = - 300 – 12 x

780 lb

1 200 lb X

X

M = - 300 x – 12 x x   2

3 pies

7 pies

0x 3

 

X = 0  V = - 300lb X = 7  V = - 384lb

X = 0 M = 0 X = 7  M = - 2 394lb-pie

+

(dcha.)

V = + 780 + 12 x M = - 780 x – 12 x x   2

 

X = 0  V = 780 lb X = 3  V = 816 lb

X = 0 M = 0 X = 3  M = - 2 394lb-pie


Viga CD: 800/9 lb/pie

0x 3 80 lb/pie

1 200 lb

780 lb

+

V = - 1 200 – 88.9 x

10 200 lb-pie D

C

1 460 lb

X

3pies

(izda.)

x M = - 1 200 x – 88.9 x    2

X = 0  V = - 1 200 lb X = 3  V = - 1 466,7lb

X = 0 M = 0 X = 3  M = - 4 000 lb-pie

6pies

3x 9

(izda.)

+

V = - 1 200 + 780 – 88,9 x – 6,7 (x – 3)2 M = - 1 200 x + 780 (x – 3) – 88,9 x x  – 6,7 (x – 3) 2 (x  3) 3  2


   

X = 3  V = - 686,7lb X = 9  V = - 1 460 lb

X = 3  M = - 4 000 lb-pie X = 9  M = - 10 200 lb-pie

41

80 lb/pie B

A

300 lb


D

C

V

6 pies

3 pies

7 pies 816

(Lb)

-300

780

-384

V

- 1 200

- 686,7 - 1 466,7

M

- 1 460

- 2 394

(Lb-pie) 0

0

- 10 200

M

- 4 000

0


7.6 PÓRTICOS ISOSTÁTICOS Un pórtico es una estructura reticular formada por elementos (vigas y columnas) conectados entre si mediante uniones rígidas (conexión vigacolumna), diseñado para soportar las fuerzas externas aplicadas en sus elementos. Las vigas y columnas de un pórtico no pueden girar independientemente en sus zonas de encuentro (conexión viga-columna), por lo que, en una conexión, las fuerzas internas de los elementos (fuerzas axiales, fuerzas cortantes y momentos flectores) se transmiten de un elemento a otro. Otras conexiones sólo permiten la transmisión de determinados esfuerzos. La más frecuente es la rótula, que impide la transmisión de momentos flectores.


42


Eje de barras sin cargas

θ

Eje de barras deformadas

θ θ

θ


Para el cálculo de la fuerza normal, fuerza cortante y momento flector de un pórtico isostático, se propone el siguiente procedimiento: i. Calcular las reacciones en los apoyos (  FX = 0,  FY = 0,  MA = 0). A: Punto en que podamos eliminar el mayor número de reaccionesincógnitas .

ii. Diagrama de cuerpo libre para cada una de sus vigas y columnas. iii. Las fuerzas en la base de las columnas son las reacciones. iv. Los valores en la parte superior de las columnas pueden obtenerse de la estática. v. Dibujar los diagramas de fuerza normal, fuerza cortante y momento flector (se sugiere dibujar los diagramas como si se estuviera “situado” al interior del pórtico).


43


PROBLEMA 14: Hallar los diagramas de la fuerza normal, fuerza cortante y momento flector del siguiente pórtico:

3m

6m

100 kN B

C

3m 50 kN 3m A





 Cy Ax

 MA 0 : C

   FY  0 :    FX  0 :

A

 50 kN

Y

Y

A

 50 kN X

 50 kN

Ay



Diagrama de cuerpo libre: Columna AB: 50 kN

0  x  3 (izda.) 150 kN-m

kN

+

0 B

3m

N = - 50 V = + 50 kN M = + 50 x

50 kN 3m

3  x  6 (izda.) X

A

50 kN

+

N = - 50 kN V = + 50 - 50 = 0 M = + 50 x - 50 (x - 3) = 150 kN-m

50 kN


45

3m

50 kN B

0

6m

Viga BC:


100 kN

0  x  3 (izda.)

C

+

N=0 V = + 50 kN

150 kN-m

50 kN X

M = + 50 x + 150

X

0  x  6 (dcha.)

N=0 V = - 50 kN

+

M = + 50 x

DFN

DFC

DMF

(kN)

(kN)

(kN-m)

+ 50

0 5 1 +

+ 150

- 50 0 5 -

0 5 1 +

0 5 +

+ 300



3m

3m

500 kg 200 kg/m B

C 3m 400 kg

600 kg-m

6m

3m A

D

300 kg/m


46







 M A  0 : D Y  1 050 kg

   FY  0 :

A

   FX  0 :

Ax Ay

Y

A

 650 kg X

 500 kg

Dy

Diagrama de cuerpo libre:



650 kg 600 kg-m

Columna AB:

400 kg B

+

0  x  6 (izda.)

N = - 650 kg V = + 25 x2 - 300 x + 500

6m

M = + (25/3) x3 - 150 x2 + 500 x

X

A

500 kg

300 kg/m 650 kg

1 050 kg


Columna CD:

1 800 kg-m 400 kg

0  x  3 (dcha.)

C

+

N = - 1 050 kg V=0

3m 400 kg

600 kg-m

M=0

X

3m

3  x  6 (dcha.)

+

N = - 1 050 kg

D

V = + 400 kg M = - 600 - 400 (x - 3)

1 050 kg

3m

Viga BC:

3m

0  x  3 (izda.)

500 kg 200 kg/m 400 kg 600 kg-m

+

400 kg B

C

650 kg X

1 050 kg

N = - 400 kg V = - 200 x + 650 M = - 100 x2 + 650 x - 600

1 800 kg-m

3  x  6 (izda.)

+

N = - 400 kg V = - 200 x + 150 M = - 100 x2 + 150 x + 900


47

DFN

DFC

(kg)

(kg)


+ 650 + 50 0 0 4 -

- 400 0 5 6 -

+ 4 0 0

- 450

1 0 5 0

- 1 050 0 0 5 +

- 1 800

DMF

1 8 0 0

- 600

(kg-m) 0 0 6 -

+ 450 6 0 0

,7 6 6 4 +

0



3m

3m

2 tn/m B

C Rótula

4m

A

D

3 tn/m


48





2 tn/m B

A Ax

D

Ay



 M A  0 : D Y  7,33 tn



 MD  0 : A





C Rótula

3 tn/m



DERECHA

Y

0 : D

M RÓTULA

Dx

 3,25 tn X

   FX  0 :

Dy

 4,67 tn

A

X

 2,75 tn

Diagrama de cuerpo libre: 4.67 tn 5 tn-m

Columna AB:

3.25 tn B

0  x  4 (izda.)

+

N = - 4,67 tn V = + (3/8) x2 - 3 x + 2,75

4m

M = + (1/8) x3 – 1,5 x2 + 2,75 x

X

A 3 tn/m

2.75 tn

4.67 tn


7.33 tn

Columna CD:

13 tn-m 3.25 tn

0  x  4 (dcha.)

C

+

N = - 7,33 tn V = + 3,25 tn

4m

M = - 3,25 x

X

D 3.25 tn 7.33 tn

Viga BC: 3m

3m

0  x  6 (izda.) 2 tn/m 3.25 tn

3.25 tn 5 tn-m

B

C

4.67 tn

+

N = - 3,25 tn V = - 2 x + 4,67 M = - x2 + 4,67 x - 5

13 tn-m

7.33 tn

X


49

DFN

DFC

(tn)

(tn)


+ 4,67

5 ,2 3 -

- 3,25 7 ,3 3

7 ,6 4 -

- 7,33

+ 3 , 2 5

5 ,7 2 +

- 13 -5

DMF (tn-m) 1 3

+ 0,45

5 -

8 ,3 1 +

0

0



3 tn

3m

3 tn

2 tn/m

2 tn/m B

Rótula

C

3 tn

6m

A

1,5 m


D

1,5 m

1,5 m

1,5 m

50



Cálculo de Reacciones: 3 tn

3 tn

2 tn/m

3m


2 tn/m Rótula

B

6m



 MD  0 : A





Dx

Ay

 8,49 tn

Y

0 : D

DERECHA

M RÓTULA

D Ax

 2,916 tn X

   FX  0 :

A

X

 0,084 tn

Dy 1,5 m



 M A  0 : D Y  14,48 tn

C

3 tn

A



1,5 m

1,5 m

1,5 m

Diagrama de cuerpo libre: 8,49 tn 0,50 tn-m

Columna AB: 2,916 tn

3 tn

B

+

0  x  6 (izda.)

N = - 8,49 tn V = + 0,084 tn

6m

M = + 0,084 x

X

A

0,084 tn

8,49 tn

14,48 tn Universidad Nacional de Ingeniería

17,50 tn-m 2,916 tn

Columna CD:

C

+

0  x  6 (dcha.)

N = - 14,48 tn

6m

V = + 2,916 tn

X

M = - 2,916 x D 2,916 tn

14,48 tn

Viga BC: 3 tn

2 tn/m

3 tn

3m 2,916 tn

2,916 tn B

C

0,50 tn-m

17,50 tn-m 14,48 tn

8,49 tn

1,5 m


m 1,5 m 1,5

1,5 m

51


1,41 tn/m

1,41 tn/m

2,12 tn

2,12 tn

2,06 tn

+ 2,06 tn

B

2,06 tn

C

2,12 tn

2,12 tn

B

2,06 tn

C

0,50 tn-m 6 tn

10,24 tn

0  x  2,12

+

(izda.)

10,24 tn

6 tn

17,50 tn-m

0  x  2,12

(dcha.)

+

N = - 8,06 + 1,41 x

N = - 12,3 + 1,41 x

V = + 3,94 - 1,41 x

V = - 8,18 + 1,41 x

M = + 0,50 + 3,94 x - 1,41 x (x / 2)

M = - 17,50 + 8,18 x - 1,41 x (x / 2)

2,12  x  4,24

+

(izda.)

2,12  x  4,24

(dcha.)

+

N = - 8,06 + 2,12 + 1,41 x

N = - 12,3 + 2,12 + 1,41 x

V = + 3,94 - 2,12 - 1,41x

V = - 8,18 + 2,12 + 1,41 x

M = + 0,50 + 3,94 x - 2,12 (x - 2,12) - 1,41 x (x / 2)

M = - 17,50 + 8,18 x - 2,12 (x - 2,12) - 1,41 x (x / 2)

DFN

DFC

(tn)

(tn)

9 ,4 8 -

1 4 , 4 8


+ 2 ,9 1 6

4 8 ,0 0 +

0

DMF (tn-m) 1 7 ,5 0

0 ,5 0 +

0


0

52

Capítulo 7 - Fuerzos Internas en Vigas.pdf

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