ECUACIONES LINEALES Muchos de los problemas de las ciencias, economía, finanzas, medicina y otros numerosos campos se pueden traducir a problemas de álgebra. Ésta es una razón por la que el álgebra es tan útil. En esta sección usamos usamos las ecuaciones e inecuaciones como modelos matemáticos para resolver problemas de la vida cotidiana.
CRITERIOS PARA MODELAR CON ECUACIONES Se aplican los siguientes criterios para plantear ecuaciones que modelen situaciones formuladas en palabras.
Para modelar con ecuaciones 1. Identificar la variable. Identifique la cantidad que el problema le pide determinar. Por lo regular, esta cantidad se puede determinar por medio de una lectura cuidadosa de la pregunta planteada al final del problema. Entonces introduzca la notación para la variable (llámela x o cualquier otro nombre). 2. Expresar todas las incógnitas en términos de la variable. Lea una vez más cada oración del problema, y exprese todas las cantidades mencionadas en el problema en términos de la variable que definió en el paso 1. Para organizar esta información, a veces es útil dibujar un esquema o elaborar una tabla. 3. Plantear el modelo. Encuentre el hecho decisivo en el problema que relaciona las expresiones que usted listó en el paso 2. Plantee una ecuación o modelo, que exprese esta relación. 4. Resuelva la ecuación y compruebe su respuesta. Resuelva la ecuación, verifique la respuesta y exprésela como una oración que responde a la pregunta hecha en el problema.
Ejemplo 1: Una compañía que renta automóviles cobra 30 dólares al día más 15 centavos de dólar por milla al rentar un automóvil. Helen renta un automóvil por dos días y su cuenta es de 108 dólares. ¿Cuántas millas recorrió?
Solución: Identifique la variable
Se pide determinar la cantidad de millas que Helen recorrió. Entonces sea x cantidad de millas recorridas Luego traducimos toda la información del problema al lenguaje del álgebra. En palabras En lenguaje algebraico Cantidad de millas recorridas x Costo de la cantidad de millas recorridas(a 15 centavos la 0.15x milla) Costo diario(a 30 dólares el 2(30) día) En seguida planteamos el modelo
Exprese todas las cantidades desconocidas en términos de la variable
Plantee el modelo
Resolución
C osto en la las millas recorridas
+
Costo Diario
C os to Total Total =
Helen recorrió 320 millas con su auto rentado.
Ejemplo 2: Si en el producto 36x30, se añade 4 al primer factor, ¿Cuánto se debe sumar o restar al otro factor para que el producto no cambie?
Solución: Supongamos que añadimos x al factor 30. Esto es, formaríamos el producto
Se debe sumar (-3).
Ejemplo 3: Si Luis saca de su alcancía S/.20.00 y luego pone S/.100.00, resulta con el doble de lo que tenía antes de la doble operación. ¿Cuánto tenia al comienzo?
Solución:
Si al comienzo tenia x Nuevos Soles, al sacar S/20 se quedaría con x-20. Al poner 100 tendrá . Esto es equivalente al doble de lo que tuvo al comienzo, o sea entonces
Luego Luis tenía al comienzo S/.80.00
Ejemplo 4: Una señora compró cierto número de naranjas por S/. 120. Al día siguiente le hubieran dado 15 naranjas más por la misma suma de dinero, lo que hubiera significado que cada naranja le resultase costando los dos tercios de lo que le costó el primer día. ¿Cuántas naranjas compró?
Solución: Identifique la variable
Se pide determinar la cantidad de naranjas compradas x Luego traducimos toda la información del problema al lenguaje del álgebra. En palabras En lenguaje algebraico Número de naranjas compradas x
Exprese todas las cantidades desconocidas en términos de la variable
El primer día, cada naranja cuesta El 2° día, cada naranja cuesta:
Plantee el modelo
En seguida planteamos el modelo
C os to del del s eg undo día dí a
=
( )
C os to del del primer día
Resolución
Compro 30 naranjas.
Ejemplo 5:
Una vendedora lleva al mercado una cesta de huevos. Si cuando vende los menos 4 huevos, añada 64 a los que quedan, el número de huevos que lleva al mercado quedaría aumentado en ¿Cuántos huevos llevaba en la cesta?
Solución:
Identifique la variable
Se pide determinar la cantidad de huevos que llevaba llevaba en en la cesta x Luego traducimos toda la información del problema al lenguaje del álgebra. En palabras En lenguaje algebraico
Exprese todas las cantidades desconocidas en términos de la variable
Número de huevos que lleva Vende Le queda:
Plantee el modelo
x- (
)=
En seguida planteamos el modelo L o que queda +64
Resolución
x
=
L levaba
+ de lo que llevaba
En la cesta llevaba 144 huevos.
Ejemplo 6: Un tren tarda 5 segundos en pasar por delante de un viajero y 20 segundos, para pasar por delante de una estación de 300m. ¿Cuál es la longitud del tren?
Solución:
Sea x la longitud del tren. Para pasar por delante de la estación debe recorrer un espacio de metros. La velocidad con la que pasa tanto por delante del viajero, como de la estación es:
Pero como se trata de la misma velocidad, se tiene:
Luego
Por lo que la longitud del tren es 100m.
Ejemplo 7: Luis se puso a jugar con el dinero que tenía: logra duplicarlo y gasta S/. 10. Con lo que queda, juega por segunda vez, triplica su dinero gasta S/. 50, Juega por tercera vez, logra cuadruplicar su dinero, gasta S/. 100 y se queda con S/. 900. ¿Cuánto tenia inicialmente?
Solución: Inicialmente tenía:
x
[] [] []
Al gastar S/. 10: Al Triplicar:
Al gastar S/. 50: Al cuadruplicar:
Al gastar S/. 100:
Como le queda S/. 900 se tiene
Por lo que Luis tenía inicialmente S/. 55
Ejemplo 8: Luis tiene S/. 48. Gasta los cinco cuartos de lo que no gasta y luego la octava parte de lo que ya gasto. Si aún le queda la octava parte de lo que tenía inicialmente, ¿Cuánto gasto inicialmente?
Solución: Identifique la variable
Exprese todas las cantidades desconocidas en términos de la variable
En palabras
En lenguaje algebraico
Lo que gasto inicialmente Lo que no gasta
Plantee el modelo
Se pide determinar el gasto inicial : x Luego traducimos toda la información del problema al lenguaje del álgebra.
x
En seguida planteamos el modelo Tiene Inicialmente
Resolución
Resolviendo
-
Gasta Primero
-
Gasta Despué s
= lo que queda
Inicialmente tenia S/. 16.
Ejemplo 9: Don Luis es un hombre de edad un poco avanzada, que tiene alguna dificultad en el corazón. Antes de someterse a un chequeo, el medico ha prescrito caminatas progresivas diarias. Comenzó a caminar el domingo, y termino el siguiente domingo por la tarde. Si se sabe que en total ha recorrido una distancia de 84 Km, y cada día caminaba un km. más que el día anterior. ¿Cuántos km recorrió el primer día?
Solución: Observamos la figura;
Sumando e igualando a 84 se tiene que:
.
Ejemplo 10: Halle cuántos litros de alcohol puro pueden añadirse a 15 lt. de solución que contiene 20% de alcohol para que la mezcla resultante sea de 30% de alcohol.
Solución: Si x son los litros de alcohol añadidos, entonces, 15 + x , representa la cantidad en litros en la nueva solución.
Litros de solución 15
Concentración de alcohol 0.20
Litros de alcohol 0,20 (15)
Solución original Alcohol puro X 1,00 1,00 x Mezcla 15+x 0,30 0,30 ( 15 + x) resultante Si la cantidad de alcohol en la solución original más la cantidad de alcohol puro añadida balancean la cantidad de alcohol en la mezcla resultante, se tiene: 0,20 (15) + 1,00 x = 0,30 ( 15 + x) 3 + x = 4,5 + 0,3 x 0,7 x = 1,5
Por lo tanto la cantidad de alcohol añadida es
Ejercicios
lt.
1.- Trabajando sola una bomba A puede llenar un tanque en 2 horas y una bomba B lo puede llenar en 3 horas. ¿Qué tan rápido las bombas pueden llenar el tanque trabajando juntas? Rpta:
horas
2.- La señora Beecham invirtió parte de US$10.000 en un certificado de • Recuerda que: al tener un número negativo multiplicando en un lado de la ecuación, lo pasamos con el mismo signo, para despejar la variable. ahorros a 7% de interés simple. El resto lo invirtió en un título que producía 12%. Si recibió un total de US$900 de interés por el primer año, ¿Cuánto invirtió en el título? Rpta:
3.- Un hombre recorrió 289 Km. en auto y luego montó en bicicleta 50 Km. más. Si el tiempo total del viaje fue de 12 horas y la velocidad en la bicicleta fue ¼ de la velocidad en el auto, encuentre cada velocidad. Rpta:
4.- En 5 años Bryan tendrá tres veces la edad que tenía hace 7 años. ¿Cuántos años tiene? Rpta:
5.- Mary hereda 100 000 dólares y los invierte en dos certificados de depósito. Uno de los certificados paga el 6% y el otro paga % de interés anual simple. Si el interés total de Mary es 5025 dólares por año, ¿cuánto dinero está invertido en cada tasa? Rpta:
6.- Un cartel tiene una superficie impresa de 100 por 140 cm y una franja de ancho uniforme alrededor de los cuatro lados. El perímetro del cartel es veces el perímetro del área impresa. ¿Cuál es el ancho de la franja en blanco y cuáles son las dimensiones del cartel Rpta:
7.- Un fabricante de bebidas refrescantes afirma que su naranjada tiene “saborizante natural”, aunque contiene sólo 5% de jugo de naranja. Una nueva ley federal establece que para que se le llame “natural” a una bebida ésta debe contener por lo menos 10% de jugo de fruta. ¿Cuánto
jugo natural puro debe agregar este fabricante a los 900 galones de bebida de naranja para apegarse a la nueva reglamentación? Rpta:
8.- El día de ayer usted compró un par de pantalones para deporte que le costaron $ 24,50,
incluyendo el impuesto de venta del 17%. Hoy, al viajar a otro estado, usted descubrió que puede adquirir un par idéntico de pantalones y pagar solamente el 12% por concepto de impuesto de venta. ¿Cuánto se hubiera ahorrado al comprar los pantalones con un impuesto de venta del 12%? 9.-. Un alambre de cobre de 36cm de longitud habrá de cortarse en forma tal que la resistencia eléctrica de una pieza sea dos terceras partes la resistencia eléctrica de la otra. ¿Cuál debe ser la longitud de cada pieza en decímetros y en pulgadas?(1cm = 0,3937pulg) 10.- El promedio que usted ha obtenido en todos sus exámenes es 75. El instructor indica que su promedio final será igual a dos tercios del promedio de los exámenes, más un tercio de la calificación del examen final. ¿Qué calificación necesita usted obtener en el examen final para elevar su promedio a 80? 11.- Para ser candidato a cierto trabajo gubernamental es necesario obtener un promedio de por lo menos 7,5 en tres exámenes. Si las dos primeras calificaciones obtenidas por cierta persona son 6,5 y 7,0. ¿Qué calificación necesita obtener en el tercer examen para elevar su promedio a 7,5? 12.- Un alambre de cobre de 0,914m de longitud debe cortarse en tres partes de manera que la segunda parte tenga el doble de la resistencia eléctrica de la primera pieza y que la tercera pieza tenga el doble de la resistencia de la segunda. ¿Cuál deberá ser la longitud de la parte más larga en metros? 13.- En un vuelo de aves se observan tantas a las de gorriones, como cabezas de gaviotas. Una vez posadas se observan 90 patas. ¿Cuántas aves quedan al volar nuevamente 2 docenas de aves? 14.- ¿Qué hora es?, si la mitad del tiempo transcurrido desde las 09:00 hrs es igual a la tercera parte del tiempo que falta transcurrir para ser las 19:00 hrs.? 15.- Habiéndose preguntado a un matemático por su edad, éste responde: “Si al doble de mi edad le quito 20 años, esta diferencia será igual al doble de lo que me falta para tene r 90 años”. ¿Qué edad tiene el matemático?
16.- Los tres hijos de Rosa tienen (2x + 9), (x + 1) y (x+2) años, respectivamente. ¿Cuántos años tendrán que transcurrir para que la suma de las edades de los últimos sea igual a la edad del primero?. 17.- Memo paso así su vida: 1/3 durmiendo 1/12 comiendo, 1/4 viajando, 1/6 practicando deporte y el resto de su vida que son 3, 5 años la pasó trabajando. ¿Qué edad tuvo al morir? 18.- A una pieza de tela de 12,2m de longitud se le hizo dos cortes de tal manera que la longitud de cada trozo es igual a la longitud de la anterior más 1/4 de dicha longitud. ¿Cuál es la longitud del trozo más grande? 19.- Una persona tiene cierto número de gallinas. Al ser víctima de un robo pierde 2/9 del total, menos 5 gallinas. Por otro lado; compra 37 gallinas y se percata que el número primitivo quedó aumentado en 1/6. ¿Cuántas gallinas le robaron?. 20.- A una hoja cuadrada y cuadriculada con 100 cuadraditos por lado, se le traza y una diagonal principal. ¿Cuántos triángulos como máximo podrán contarse en total?.
ECUACIONES CUADRÁTICAS FORMA GENERAL: 2 ax bx c 0 , donde: a 0 2 Resolución a partir de: ax bx c 0 multiplicando por 4a ax 2 bx c 2 2 2 4a x 4abx 4ac sumando b 4a 2x 2 4abx b 2 b 2 4ac (2ax b )2 b 2 4ac 2ax b b 2 4ac
de donde:
x
b b 2 4ac 2a
NATURALEZA DE LAS RAICES: Cuando los coeficientes de la ecuación son números reales las raíces pueden ser números reales o números imaginarios, dependiendo del valor que tenga la cantidad sub-radical:
b 4ac . 2
Que recibe el nombre de discriminante o invariante característico. Casos.
a) b) c)
Primer caso: Segundo caso: Tercer caso:
cuando 0 , las raíces son números reales de diferente valor. cuando 0 , las raíces son reales y tienen el mismo valor. cuando 0 , las raíces son números complejos conjugados.
MÉTODOS DE RESOLUCIÓN: Por factorización. Este método se basa en la propiedad siguiente: a b 0 a 0 b 0 . La solución por este método es posible siempre que el trinomio sea factorable.
Ejemplo:
Resolver:
x 2 x 12 0 4 x
3
x
(x 4)(x 3) 0 x 5
x 3
Por fórmula. Consiste en utilizar la forma general. Ejemplo: Resolver: 3x 2 x 2 0
Calculamos el discriminante: b 2 4ac 1 4(3)(2) 25
x 1,2
1 25
2(3)
1 5 x 1 6 x 1 5 2 6
2 3
x 1
x 2 1
Ejemplo: Se compra x borradores a x soles cada uno; (x 10) cuadernos a (x 10) soles cada uno; y 4 x lapiceros a 4 x soles el par. Si se gastó en total 250 soles, ¿qué cantidad de cuadernos se compró? Resolución: x x (x 10)(x 10) (2x )(4x ) 250 x2 x 10x
2
2
20x 100 8x 2 250
20x 150 0
x 2 2x 15 0
dicha ecuación se puede resolver de dos maneras diferentes: 1º Forma: FACTORIZACIÓN (x 5)(x 3) 0
x 5
x 5 0
x 3 0
x 3
2º Forma: FORMA GENERAL x
- 2 22 4(1)(15) 2(1) x
5
x
3
x
2 64 2
Ejemplo 1 Un avión voló desde Nueva York a Los Ángeles, una distancia de 4 200 km. La velocidad para el viaje de regreso fue de 100 km/h más rápido que la velocidad de ida. Si el viaje total dura 13 horas, ¿cuál es la velocidad del avión desde Nueva York a Los Ángeles?
Solución: Se pide la velocidad del avión de Nueva York a Los Ángeles. Hagamos x= velocidad de Nueva York a Los Ángeles Entonces: x +100 = velocidad desde Los Ángeles hasta Nueva York En seguida organizamos la información en una tabla. Primero llenamos la columna “Distancia”, porque sabemos que entre las ciudades hay 4200 km. Luego llenamos la columna “Velocidad”,
ya que hemos expresado ambas velocidades en términos de la variable s. Por último, calculamos las entradas para la columna “Tiempo” mediante:
N.Y. a L.A.
Distancia (km) 4200
Velocidad (km/h) X
L.A. a N.Y.
4200
X+100
El viaje total dura 13 horas, de modo que tenemos el modelo
Tiempo (h)
Sumando las fracciones se tiene:
Usando formula general
Luego:
Puesto que x representa la velocidad, rechazamos la respuesta negativa y concluimos que la velocidad del avión desde Nueva York hasta Los Ángeles fue de 600 km/h.
Ejemplo 2 Los ornitólogos han determinado que algunas especies de aves evitan volar sobre cuerpos de agua grandes mientras haya luz del día porque, por lo general, el aire se eleva durante el día sobre el suelo, pero desciende sobre el agua, de modo que volar sobre el agua requiere más energía. Un ave es liberada en el punto A en una isla, a 5 millas de B, el punto más cercano
sobre una orilla recta de la playa. El ave vuela hasta el punto C sobre la orilla de la playa y luego a lo largo de la playa hasta una zona D donde anida, según se ilustra en la figura.
Suponga que el ave tiene 170 kcal de reservas de energía. Utiliza 10 kcal/milla al volar sobre tierra y 14 kcal/milla al volar sobre agua. a) ¿Dónde se debe ubicar el punto C para que el ave utilice exactamente 170 kcal de energía durante su vuelo? b) ¿Tiene el ave suficientes reservas de energía para volar de manera directa desde A hasta
D?
Solución
Se pide determinar la ubicación de C. De modo que De acuerdo con la figura y por el hecho de que
determinamos lo siguiente:
E n P alabras
E n Lenguaje alg ebraico
Distancia desde B hasta C Distancia de vuelo sobre el agua (desde A hasta C) Distancia de vuelo sobre tierra (desde C hasta D) Energía utilizada sobre el agua Energía usada sobre tierra Ahora establecemos el modelo.
Para resolver esta ecuación, eliminamos primero la raíz cuadrada pasando todos los otros términos a la izquierda del signo de igual y luego elevamos al cuadrado ambos miembros.
Esta ecuación se puede factorizar, pero como las cantidades son muy grandes es más sencillo usar la fórmula cuadrática y una calculadora:
El punto C debe estar a millas o a kcal de energía durante su vuelo.
millas de B para que el ave utilice exactamente 170
b) De acuerdo con el teorema de Pitágoras, la longitud de la ruta desde A hasta D es =13 millas, de modo que la energía que el ave requiere para esa ruta es . Esto es más de lo que tiene el ave reservado, de modo que no puede irse por esa ruta.
Ejemplo 3 Dentro de 30 años la edad de Andrea será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 10 años. ¿Cuántos años tiene Andrea hoy?
Solución Definimos X como la edad actual de Andrea. Planteamos la ecuación
Resolviendo la siguiente ecuación cuadrática
se tiene
Luego se puede ver que para 2 años no es posible ya que hace 10 años no hubiera nacido por lo tanto la edad actual de Andrea es 20.
Ejemplo 4 Dos números enteros positivos se diferencian en 6 unidades y la suma de sus cuadrados es 218. ¿Cuáles son esos números?
Solución Los números serán “x” y “y”.
Dice:
Resolvemos sustituyendo y en la segunda ecuación.
Utilizamos el 13 ya que tiene que ser un número entero positivo. Sustituimos este valor en la primera ecuación y obtenemos el valor de “y”
(13) – 6 = y y =7 13 y 7 Son los dos números. Ejemplo 5 Un caño tarda dos horas más que otro en llenar un depósito y abriendo los dos juntos se llena en 1 hora y 20 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarlo cada uno por separado? Solución Tiempo del 1º x
Tiempo de 2º x − 2 1º El primero llena un depósito en x horas. 2º
El segundo llena un depósito en (x − 2) horas
√
Entre los dos llenan un depósito en 4/3 horas
Tiempo del 1º 4 horas Tiempo de 2º 2 horas no es una solución, porque el tiempo empleado por el segundo caño sería negativo. 1 hora y 20 minutos = 4/3 horas Entre los dos
Ejemplo 6
Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medidas en centímetros tres números pares consecutivos. Halla los valores de dichos lados.
Solución 1 e r cateto 2x 2º cateto 2x + 2 Hipotenusa 2x + 4 2 2 (2x) + (2x + 2) = (2x + 4) 2 4x 2 + 4x 2 + 8x + 4 = 4x 2 + 16x + 16 4x 2 − 8 x − 1 2 = 0 x 2 − 2x − 3 = 0 x = 3 y x= −1 e r
6 cm 1 cateto 2º cateto 8 cm Hipotenusa 10 cm Ejemplo 7 Una pieza rectangular es 4 cm más larga que ancha. Con ella se construye una caja de 840 cm 3 cortando un cuadrado de 6 cm de lado en cada esquina y doblando los bordes. Halla las dimensiones de la caja.
Solución: 6 (x − 12) · (x + 4 −12) =840 (x − 12) · (x −8) = 140 x2 − 20x − 44 = 0 x = 22 y x= −2
Las dimensiones son: 26 cm y 22 cm.
Ejemplo 8: En un salón de clase, cada alumno cuenta a sus compañeros. Si al sumar todas las cantidades se obtiene como resultado 600. ¿Cuántos alumnos tiene la clase? Solución Número de alumnos: x Cada alumno cuenta: x-1 Al sumar las x veces x-1 resulta Resolviendo la ecuación se tiene: Por lo que el aula tiene 25 alumnos.
Ejemplo 9 Preguntando Luis por su edad, responde: “Tengo la edad que tenía hace 42 años, pero al cuadrado”. ¿Cuántos años tiene?
Solución Sea x la edad que tenía Luis hace 42 años. Ahora tiene: x + 42
Luego Por consiguiente Luis tiene 49 años.
Ejemplo 10 Una división entera da de cociente un tercio del divisor, y como residuo un medio del divisor. Si el dividendo excede en 9 al divisor, ¿Cuál es este dividendo?
Solución Sean D el dividendo y d el divisor. Entonces el cociente es expresión euclidiana de la división, se tiene:
Además
()
Resolviendo el sistema:
Se tiene
Por consiguiente:
El Dividendo es 15.
⁄
, y el residuo,
⁄
. De la
Ejercicios 1.- Un comisionista de vinos gastó US$800 en algunas botellas de vino añejo Cabernet Sauvignon de California. Si cada botella hubiera costado US$4 más, el comisionista habría obtenido 10 botellas menos por el dinero que dio. ¿Cuántas botellas se compraron? Rpta:
2.- Encontrar dos números tales que su suma sea 34 y su producto 273. 3.-Encontrar un número tal que dos veces su cuadrado exceda al propio número en 45. 4.- El perímetro de un rectángulo es 320cm. Calcular su área si su largo es el triple de su ancho. 5.- La diferencia entre los lados de un rectángulo es 70 cm. Calcular esos lados sabiendo que su diagonal mide 130 cm. 6.- Dos motoristas distanciados por 130 km., parten para encontrarse. Si la velocidad de uno es de 30 km/h y la velocidad del otro es 33 más que el número de horas que pasan antes del encuentro. Determinar la distancia recorrida por ambos antes de encontrarse y el tiempo transcurrido desde que partieron. 7.- Una lámina rectangular de aluminio de perímetro 96cm se utiliza para confeccionar una caja sin tapa. Para ello se corta un cuadrado de 4cm de lado en cada esquina y se sueldan los bordes. ¿Cuáles son las dimensiones de la lámina usada si el volumen de la caja es de 768cm3? 8.-Un grupo de jóvenes decide pagar por partes iguales el arriendo de $14.000 de un bote. A última hora, tres de los jóvenes se arrepintieron, con lo cual la cuota de cada uno de los restantes jóvenes subió en $1.500. a) ¿Cuántos jóvenes había en el grupo original?. [Resp. 7 jóvenes] (b) ¿Cuánto pagó cada uno de los jóvenes del grupo final? [Resp. $3500] 9.- Al terminar una fiesta, hubieron 105 estrechadas de mano. Se sabe que cada participante dio la mano a cada uno de los demás. ¿Cuántas personas hubo en la fiesta? Rpta:15 10.- La diferencia entre el cuadrado y el cuádruple de un número es 45. ¿Cuál es la raíz cuadrada real de este número? Rpta:-3 y 3 11.- Si al cuadrado de un numero se le agrega 21, se obtiene el cuadrado del número consecutivo. ¿Cuál es la diferencia entre el cuadrado y el mismo número? Rpta:90 12.- Si se agrega 15 a un número, se toma su triple, y a esto se agrega 9, se obtiene el cuadrado de dicho número. ¿cuál es el número? Rpta:-6 y 9 13.- Los empleados de una oficina bancaria reúnen 301 soles para comprar un televisor a colores. Si el pago total se hizo en partes iguales y además la cantidad que aporta cada uno excede en 36 al número de empleados. ¿Cuál es este número?
14.- El ancho de un campo rectangular es 4m menor que el largo del mismo. Si se incrementan ambas dimensiones en 4m el área se duplicaría. ¿Cuál es el ancho? 15.-Un gran auditorio tiene sus sillas dispuestas en filas, si se cuentan exactamente 5 600 sillas y además el número de sillas por fila excede en 10 al número de filas, calcular el número de sillas por fila. 16.-Un grupo de estudiantes de la UNSA desean comprar una computadora cuyo precio es de 800 dólares; Si lo que va a pagar cada uno excede en 92 a la cantidad de alumnos que conforman el grupo. ¿Cuál es el número de alumnos? 17.- La suma de las edades de Pepe y Mary es 20 años, si el producto de ambas edades es 75 años, cual es la diferencia de ellos. 18.- Una sociedad formada por algunos padres de familia de un colegio, deciden abrir una pequeña empresa, para lo cual necesitan un aporte inicial de 1 800 soles. Si la diferencia entre el número que representa el aporte de cada uno de ellos menos el número de aportantes es 294. ¿Cuánto aporta cada padre de familia? 19.- Ana y Carla tienen entre los dos 10 vestidos de fiesta, si la mitad de vestidos que tiene Ana multiplicado por la tercera parte de vestidos de Carla es 4. Indicar cuantos vestidos tiene Ana. 20.- Un extraño tablero de ajedrez tiene la característica que el número de cuadraditos en el largo excede en 4 al número de cuadraditos en el ancho, si en total hay 112 cuadraditos ¿Cuántos cuadraditos hay en el perímetro?
SISTEMAS DE ECUACIONES Es un conjunto de dos o más ecuaciones cuyos valores de las incógnitas deben verificar a todas las ecuaciones dadas. Por lo tanto: 6x 4y 16 ; es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. 3x 5y 1 Un sistema de ecuaciones es compatible o posible cuando tiene solución y es imposible o incompatible cuando no tiene solución. La solución del sistema es un conjunto de valores de las incógnitas que satisface todas las ecuaciones del sistema. Por ejemplo la solución correspondiente al anterior sistema es x = 2; y = 1. 3x 4y 5 ; Ejemplo: 3x 4y 16 sistema incompatible (ningún x e y cumplen ambas ecuaciones).
SISTEMAS EQUIVALENTES: Dos sistemas son equivalentes si tienen iguales soluciones. SISTEMA DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS Resolver un sistema es encontrar el valor de cada incógnita, que verifiquen a todas las ecuaciones dadas, para lo cual se emplean los métodos siguientes: 1. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN Consiste en despejar una incógnita de una de las ecuaciones para sustituir el valor hallado en la otra ecuación. REGLA: 1.- Despéjese una incógnita de una de las dos ecuaciones. 2.- Sustituya la expresión que representa su valor en la otra ecuación. 3.- Revuélvase la nueva ecuación, con lo cual se obtiene el valor de la incógnita no eliminada. 4.- Sustitúyase el valor así hallado en la expresión que representa el valor de la otra incógnita y revuélvase la ecuación resultante. Ejemplo.(1) 4x 3y 22 Resolver: (2) 5x 7 y 6 Solución: Escogemos una de las dos ecuaciones por ejemplo la número (1) 1. Despejamos el valor de x en (1) 4x 22 3y (3) x (22 3y ) /4 2. Sustituimos este valor en la ecuación (2) 5 (22 3 y ) / 4 7y 6 110 15y 28y 24 43y 86 y 2 3. Sustituimos en (3) el valor hallado para x x 22 3(2) / 4
x 4
2. MÉTODO DE IGUALACIÓN Consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones para luego igualarlas y resolver
REGLA: 1. Despéjese en cada ecuación la incógnita que se quiere eliminar. 2. Iguálense las expresiones que representan el valor de la incógnita eliminada. 3. Revuélvase la ecuación que resulta con lo cual se obtiene el valor de la incógnita no eliminada. 4. Sustitúyase el valor hallado en una de las expresiones que representa el valor de la otra incógnita y revuélvase. Ejemplo.(1) Resolver: 4x 3y 22 (2) 5x 7 y 6 Solución: 1. Despejamos el valor de x en las ecuaciones (1) y (2) x (22 3y ) / 4 x (6 7y ) / 5
2. Iguálense las dos expresiones que representan el valor de x (22 3y ) /4 (6 7 y ) /5
3. Resuélvase: 5(22 3y ) 4(6 7y ) 110 15y 24 28y 28y 15y 110 24 43y 86
y 2
4. Sustituyendo en una de las expresiones que representa el valor de x x 22 3(2) / 4 x 4 3. MÉTODO DE REDUCCIÓN O DE SUMAS Y RESTAS. Consiste en sumar o restar convenientemente ecuaciones con el fin de eliminar una incógnita.
REGLA: 1. Multiplíquese los dos miembros de una de las ecuaciones o de ambas, por números tales que resulten iguales los coeficientes de una misma incógnita. 2. Súmense las 2 ecuaciones si los coeficientes son de signos contrarios y réstense si son del mismo signo. 3. Revuélvase la ecuación que así resulta, con lo cual se obtiene el valor de la incógnita que contiene. 4. Sustitúyase este valor en una de las ecuaciones dadas y revuélvase. Se obtiene así la otra incógnita.
Ejemplo. 4x 3y 22 5x 7 y 6
Resolver:
(1) (2)
Solución: 1. Multiplicamos la ecuación (1) por 7 y la ecuación (2) por 3 7(4x 3y ) 7(22) 3(5x 7y ) 3(6) 28x 21y 154
(3)
15x 21y 18
(4)
2. Súmense miembro a miembro las ecuaciones (3) y (4) 43x 172 x 4 3. Sustituya el valor de x en cualquiera de las ecuaciones (1) o (2) 4(4) 3y 22 16 3y 22 4. POR DETERMINANTES
y 2
a 1x b 1y c 1z d 1
Veamos un sistema de ecuaciones cualquiera: a x b y c z d
2 2 2 2 a x b y c z d 3 3 3 3
Las soluciones están dadas por: donde:
x
x ; s
y
y ; s
z
z s
a 1 b 1 c 1
d 1 b 1 c 1
a 1 d 1 c 1
a 1 b 1 d 1
s a 2 b 2 c 2
x d 2 b 2 c 2
y a 2 d 2 c 2
z a 2 b 2 d 2
a 3 b 3 c 3
d 3 b 3 c 3
a 3 d 3 c 3
a 3 b 3 d 3
Desarrollo de determinantes: a b c d
ad bc
a b c abc d ef
(-)
d e f
g h i
ghi
aei dhc gbf gec ahf dbi
(Regla de Sarrus)
a b c d e f
(+)
Ejemplo: 2 2
3 1
0 1
1
2
0
3
3 1
0 1
1
2
0
2
3
3 1
0 1
1
(2)(1)(0) (0)(3)(1) (2)(3)(1) (2)( 1)( 1) ( 2)(3)(1) (0)(3)(0)
Ejemplo 1 Jorge y Luis convienen en jugar 10 partidas de ajedrez. Como Jorge juega un poco mejor que Luis, acuerdan que por cada partida que gane Jorge, recibe S/. 10 de Luis, y cuando Luis Gane recibirá de Jorge S/. 15. Resulta que al terminar sus 10 partidas ambos tienen la misma cantidad de dinero que antes del inicio. ¿Cuántas partidas gano cada uno?
Solución Partidas ganadas por Jorge: x Partidas ganadas por Luis: y Total de partidas jugadas: Ganancia de Jorge: 10x Ganancia de Luis: 15y Como ambos terminaron con la misma cantidad de dinero que tuvieron inicialmente se tiene:
{
Resolviendo el sistema
Se tiene Jorge gano 6 partidas y Luis 4.
Ejemplo 2 De 30 estudiantes que están terminando sus estudios el presente año se tiene que: el promedio de los aprobados en matemáticas es 15, el de los desaprobados 9 y el promedio de los 30 es 13 ¿Cuántos han aprobado matemática?
Solución Aprobados: x Desaprobados: y Total de alumnos: Puntaje total de los aprobados: 15y Puntaje total de los desaprobados: 9y Promedio de los 30 estudiantes De los datos se tiene el siguiente sistema:
{
Reduciendo se tienen:
Resolviendo se tiene:
Ejemplo 3
He pagado S/. 85 con 11 billetes de S/. 5 y S/. 10 ¿Cuántos billetes de cada valor he dado?
Solución Billetes de S/. 5: x Billetes de S/. 10: y Luego planteando el sistema se tienen: Resolviendo
{
He dado 5 billetes de S/. 5 y 6 de S/. 10.
Ejemplo 4 Un caballo y un mulo caminaban juntos llevando sobre sus lomos pesados sacos. Lamentábase el caballo de su enojosa carga, a lo que el mulo le dijo: ¿De qué te quejas? Si yo tomara un saco tuyo, mi carga seria el doble de la tuya. En cambio, si te doy un saco tu carga igualaría a la mía, ¿Cuantos sacos lleva cada una?
Solución: Carga del caballo: x Carga del mulo: y Arreglando
Resolviendo El caballo lleva 5 sacos y el mulo 7.
{ {
Ejemplo 5 La cabeza de un pescado tiene 6 cm. De largo, la cola es tan larga como la cabeza y la mitad del cuerpo, y el cuerpo es tan grande como la cola y la cabeza juntos. ¿Cuál es la longitud del pescado?
Solución Sean x, y las longitudes del cuerpo y la cola del pescado, respectivamente. Según el enunciado se tiene que:
La cola es tan larga como la cabeza y la mitad del cuerpo.
El cuerpo es tan largo como la cabeza y la cola juntos.
Las ecuaciones anteriores forman un sistema
Resolviendo
La longitud total del pescado es:
La longitud total del pescado es de 48 cm.
Ejemplo 6 La suma de una fracción y su inversa es fracciones?
, y la diferencia de ambas es
¿Cuáles son estas
Solución
⁄ ⁄
Sumando las ecuaciones se tiene:
Y restando las ecuaciones se tiene: Luego las fracciones son:
Ejemplo 7
Cuatro hermanos desean comprar un regalo para su madre con todo el dinero reunido de sus propinas. Comprar un regalo que cuesta S/. 72. Al tratar de ver cuánto aportó cada uno se dan cuenta que si al aporte del primero se aumenta S/. 1 al del segundo se disminuye S/. 1, el del tercero se duplica y al del cuarto se toma la mitad, todos tendrían igual. ¿Cuánto aporto cada uno?
Solución Sean x, y, z, w los aportes de cada uno. Aporte del primero aumentado en S/. 1: x+1 Aporte del segundo disminuido en S/. 1: y-1 Aporte del tercer duplicado: 2z Mitad del aporte del cuarto : Luego según el enunciado
De esto tenemos
Reemplazando las ecuaciones en (1) se tiene: Luego
Los hermanos aportaron S/: 15, S/: 17, S/: 8 y S/: 32 respectivamente.
Ejercicios 1. Halla las edades de dos personas, sabiendo que hace 10 años la edad de la primera era 4 veces la edad de la segunda, y dentro de 20 años la edad de la primera será sólo el doble. 2. Hace un año la edad de un padre era 3 veces mayor que la del hijo, pero dentro de 13 años no tendrá más que el doble. ¿Cuál es la edad del padre y del hijo? 3. Un alumno tiene monedas en ambas manos. Si pasa 2 de la derecha a la izquierda, tendrá le mismo número de monedas en ambas manos, y si pasa 3 monedas de la izquierda a la derecha, tendrá en ésta doble número de monedas que en la otra. ¿Cuántas monedas tiene en cada mano? 4. Un hotel tiene habitaciones dobles y sencillas. Tiene en total 100 habitaciones y 174 camas. ¿Cuántas habitaciones tiene de cada tipo? 5. En un corral entre cerdos y patos, se cuentan 19 cabezas y 60 patas. ¿Cuántos animales hay de cada clase? 6. ¿Cuántos litros de leche con 35% de grasa ha de mezclarse con leche de 4% de grasa para obtener 20 litros de leche con 25% de grasa? 7. Por la mezcla de 8 kilogramos de café con 2 kilogramos de achicoria se han pagado 1324 ptas. Calcula el precio del kilogramo de café y del kilogramo de achicoria, sabiendo que si se mezclase 1 kilogramo de cada clase costaría la mezcla 182 ptas. 8. Se desea mezclar vino de 550 ptas. El litro con otro de 400 ptas. El litro de modo que la mezcla resulte a 450 ptas. El litro. ¿Cuántos litros de cada clase deben mezclarse para obtener 300 litros de la mezcla? 9. La consejería de Pesca proporciona tres tipos de alimentos a tres especies de peces protegidas que habitan en un lago. Cada pez de la especie 1 consume por semana un promedio de una unidad de alimento A, 1 unidad de alimento B y 2 del alimento C. Los de la especie 2, 3 unidades del alimento A, 4 del B y 5 del C. Y los de la tercera especie, consumen cada semana 2 unidades del alimento A,1 unidad del B y 5 del C. Cada semana se vierten en el lago 25.000 unidades del alimento A, 20.000 del alimento B y 55.000 del alimento C. Suponiendo que toda la comida se consuma. ¿Cuántos ejemplares de cada especie pueden convivir en el lago? ¿Y si se vierten 15.000 unidades del A, 10.000 del B y 35.000 del C? 10. En una reunión hay 22 personas, entre hombres, mujeres y niños. El doble del número de mujeres más el triple del número de niños, es igual al doble del número de hombres. a) Con estos datos, ¿se puede saber el número de hombres que hay? b) Si, además, se sabe que el número de hombres es el doble del de mujeres, ¿cuántos hombres, mujeres y niños hay? 11. Por un rotulador, un cuaderno y una carpeta se pagan 3,56 euros. Se sabe que el precio del cuaderno es la mitad del precio del rotulador y que, el precio de la carpeta es igual al precio del cuaderno más el 20% del precio del rotulador. Calcula los precios que marcaba cada una de las cosas, sabiendo que sobre esos precios se ha hecho el 10% de descuento. 12. En una residencia de estudiantes se compran semanalmente 110 helados de distintos sabores: vainilla, chocolate y nata. El presupuesto destinado para esta compra es de 540 euros y el precio de cada helado es de 4 euros el de vainilla, 5 euros el de chocolate y 6 euros el de nata. Conocidos los gustos de los estudiante, se sabe que entre helados de chocolate y de nata se han de comprar el 20% más que de vainilla. Plantea un sistema de ecuaciones lineales para calcular cuántos helados de cada sabor se compran a la semana.
13. Disponemos de tres lingotes de distintas aleaciones de tres metales A, B y C . El primer lingote contiene 20 g del metal A, 20 g del B y 60 del C . El segundo contiene 10 g de A, 40 g de B y 50 g de C . El tercero contiene 20 g de A, 40 g de B y 40 g de C . Queremos elaborar, a partir de estos lingotes, uno nuevo que contenga 15 g de A, 35 g de B y 50 g de C . ¿Cuántos gramos hay que coger de cada uno de los tres lingotes? 14. La Marquesa concurrió a la boda con las manos llenas de anillos En la izquierda tenia el doble de los que tenía en la derecha. En la mitad de la fiesta cambia tres anillos de mano y tuvo la misma cantidad en cada mano. ¿Cuántos tenía en cada mano al iniciar la fiesta? 15. Anunciación tiene la misma cantidad de años que Amaranta hace tres años. Amaranta tiene la misma edad que Amelia dentro de dos. Dentro de cinco años su edades sumarán treinta. ¿En que año sumarán sesenta? ¿En qué año Amaranta cumplirá veinte? ¿Cuál de las tres es más vieja?.
INECUACIONES Se llama inecuación a cualquier desigualdad en la que aparece una variable. Ejemplo: es una inecuación.
2x 2 x 3 x 6
Llamamos solución de una inecuación a todo número real que, sustituido en la variable satisface la desigualdad. En las inecuaciones se pueden aplicar todas las propiedades de las desigualdades pues, como ya sabes, las incógnitas representan números. En particular:
Se pueden transponer términos de un miembro a otro, cambiando el signo de los términos.
Se pueden multiplicar o dividir los dos miembros por un número real positivo. Si se multiplican o se dividen por un número real negativo, la desigualdad cambia de sentido.
INECUACIÓN DE PRIMER GRADO Si después de realizar las operaciones necesarias para quitar paréntesis y denominadores, para reducir términos semejantes, etc., toma una de las siguientes formas. ax b 0
donde:
,
x a ; b
ax b 0
,
ax b 0
,
ax b 0
incognita coeficientes
Ejemplo 1 Lorena tiene 20 años menos que Andrea. Si las edades de ambas, suman menos de 86 años. ¿Cuál es la máxima edad que podría tener Lorena? Solución
Ejemplo 2 Si al doble de la edad de Mirtha se le resta 17 años, resulta menos de 35, pero si a la mitad de la edad de Mirtha se le suma 3 el resultado es mayor que 15. Mirtha, tiene:
Solución
Ejemplo 3
Tres cazadores A, B y C reúnen más de 8 perros. Si B tuviera 4 perros más, tendría más perros que A y C juntos. Se sabe que B tiene menos perros que C, y que los de éste no llegan a 5. ¿Cuántos perros tiene cada uno?
Solución Según el enunciado Tenemos:
Sumando miembro a miembro (1) y (2):
De (3) y de (4) se obtiene que:
La posibilidad es que respectivamente.
Luego los cazadores A, B y C tiene 2, 3 t 4 perros
Ejemplo 4 Un grupo de cuatro amigas discutían, quien era mayor, y quien menor, pero ninguna quería decir su edad. De todo lo dicho solo se pudo establecer que Doris era mayor que Inés, que las edades de Rosa y Nora sumaban tanto como las de Doris e Inés, que las de Doris y Nora juntas sumaban menos que las de Rosa e Inés. Más tarde, en forma casual, se enteraron que Inés tenía 30 años, y que entre sus edades existía una diferencia de 2 años. ¿Cuál es la edad de cada una de ellas?
Solución: Organizando los datos decimos:
Sumando (2) y (3) se tiene
Según (4) y (1), el orden ascendente de las edades, hasta ahora es:
Falta encontrar la ubicación de la edad de Rosa. Según (2) se tiene que:
Pero como Según (5), Doris e Inés son mayores que Nora, para que sea posible la igualdad (2) es necesario que Rosa sea mayor que Doris y que Inés. Entonces el orden ascendente de las edades de las cuatro amigas es:
Como Inés tiene 30 años, y la diferencia de edades es 2 años, las amigas tienen 28, 30, 32 y 34 respectivamente. Nora tiene 28 años, Inés 30 años, Doris 32 años y Rosa 34 años.
Ejemplo 5 M es menor que N, P es igual a Q, P es mayor que N y S es mayor que Q. ¿Cómo es S con relación a M?
Solución: Representamos lo números M, N, P, Q Y S sobre la recta numérica. Según lo enunciado se tiene la siguiente figura, de la cual deducimos que S es Mayor que M.
S es Mayor que M.
Ejemplo 6 Jorge es mayor que Enrique, y Alberto es mayor que Luis. Se sabe que Enrique y Alberto son mellizos. ¿Quién es mayor entre Jorge y Luis?
Solución Del Diagrama se tiene:
Jorge es Mayor que Enrique, Enrique = Alberto y Alberto >Luis, entonces Jorge >Luis,
Ejemplo 7 Cierto número de alumnos van de paseo con dos profesores. Si pagan S/. 5 cada uno por pasaje, gastan menos de S/. 27; Pero si pagan/. 1 más cada uno gastan más de S/. 27 ¿Cuántos alumnos fueron de paseo?
Solución Sea x el número de alumnos. Entonces x + 2 personas van de paseo. Según el enunciado se tiene:
Resolviendo se tiene
De esto
El único elemento que satisface esta expresión es: x=3 Por lo que los alumnos que van de paseo son 3.
Ejemplo 8 Un grupo de turistas contratan dos guías, a quienes aparte de pagarles sus honorarios, les pagan pasajes. Si pagan S/. 10 cada 1 uno por pasaje, gastan menos de S/. 125; pero si pagan un sol más cada uno, gasta más de S/. 125. ¿Cuántos son los turistas?
Solución Sea x el número de turistas. Con los dos guías serian x + 2 pasajes por pagar. Entonces:
Resolviendo se tiene
Entonces:
El único valor entero de x que satisface esta expresión es 10, luego los turistas son 10.
Ejemplo 9 Se compra cierto número de libros. Si cada uno se paga S/. 15, se gasta menos de S/. 140; pero si se paga S/. 16 por cada uno se gasta más de S/. 140 ¿Cuántos Libros se ha comprado?
Solución Sea X el número de libros comprados Si se paga S/. 15 por cada uno, se gastan 15x y según el enunciado:
Por otro lado, si se paga S/. 16 por cada uno:
De estas inecuaciones se tiene
De estas expresiones se reduce a
El Único elemento que cumple con esta propiedad es 9 Por lo que se ha comprado 9 libros.
Ejemplo 10 Para un fabricante de termostatos, el costo combinado de mano de obra y materiales es de $ 5 por unidad. Los costos fijos (los costos en los que se incurre en un lapso dado sin que importe la cantidad que se fabrique) son de $60000. Si el precio de venta de un termostato es de $7. ¿Cuántos deben venderse para que la compañía obtenga utilidades?
Solución Sea q el número de termostatos que deben venderse. Entonces, su costo es 5q. Por ello, el costo total para la compañía es así de 5q + 60,000. Los ingresos totales por la venta de q aparatos serán 7q. Ahora bien,
y se desea que las utilidades > 0. Por lo tanto,
Por lo tanto, se deben vender cuando menos 30,001 termostatos para que la compañía obtenga utilidades.
INECUACIONES POLINÓMICAS DE GRADO SUPERIOR AL PRIMERO Cualquier inecuación polinómica puede ser reducida a una de la forma: p (x ) a n x n a n 1 x n 1 ... a 1 x a 0 0
donde el símbolo
representa cualquier tipo de desigualdad (<,>, ó ).
Los pasos que hay que dar para encontrar la solución son los siguientes:
1° Se calculan las raíces reales del polinomio p (x ) . [Soluciones reales de p (x ) 0 ]. 2° Se marcan sobre la recta real de forma ordenada las raíces encontradas: x 1
x 2
x 3
3° Se calcula el signo del polinomio p (x ) en cada uno de los intervalos en que las raíces dividen a la recta real. Para calcular dicho signo basta dar a x un valor del interior de cada intervalo. Obtendríamos así un esquema de signos similar al siguiente: _ x 1
_
+ x 2
+ x 3
4° Si la desigualdad es del tipo: – p (x ) >0, la solución será los intervalos con signos + sin incluir las raíces de p (x ) . – p (x ) <0, la solución será los intervalos con signo – sin incluir las raíces de p (x ) . – p (x ) 0, la solución será los intervalos con signo + incluidas las raíces de p (x ) . – p (x ) 0, la solución será los intervalos con signo – incluidas las raíces de p (x ) . NOTA.- A las raíces calculadas de la ecuación p (x ) 0 se les conoce como puntos críticos. EJEMPLO (Decisión de precios) Un peluquero tiene un promedio de 120 clientes semanales a un costo actual de $8 por corte de cabello. Por cada incremento de 75¢ en el precio, el peluquero perderá 10 clientes. ¿Cuál es el precio máximo que puede cobrarse de modo que los ingresos semanales no sean menores que los actuales?
Solución Sea x el número de incrementos de 75¢ por encima de $8.
Entonces el precio por corte de cabello es (8 + 0.75x) dólares, y el número de clientes será de por semana. De modo que
Los ingresos por los 120 clientes actuales son ingresos deben ser al menos $960:
Simplificamos:
. Por tanto, los nuevos
La ecuación correspondiente es
⁄ , cuyas soluciones son
Puntos críticos, luego la solución de la inecuación es el intervalo de un corte de cabello debe estar entre $8 y puede cobrarse es $9.00.
.
. Esto es, el precio
. El precio máximo que
EJERCICIOS 1.- Manuel compra 2 veces el número de cuadernos de S/.5 que el de S/.8. Si no tiene más de S/.360 para gastar en cuadernos. ¿Cuál será el número máximo de cuadernos de S/.5 que puede comprar? 2.- El propietario de una tienda paga a sus vendedores S/.10 por artículo vendido más una cantidad fija de S/.50000. Otra tienda de la competencia paga S/.15 por artículo y S/.30000 fijos. ¿Cuántos artículos debe vender el vendedor de la competencia para ganar más dinero que el primero? 3.- La relación entre las escalas de temperaturas Fahrenheit y Celsius está dada por 5 C (F 32) . Exprese los valores de C correspondientes a 60 F 80 por medio de una 9 desigualdad 4.- Un constructor debe decidir si ha de rentar o comprar una máquina excavadora. Si la rentara, tendría que pagar $600 (dólares) al mes (sobre una base anual), y el costo diario (gasolina, aceites y el conductor) sería de $60 por cada día que se utilizara. Si la comprara, su costo fijo anual sería de $4000, y los costos diarios de operación y mantenimiento serían de $80 por día. ¿ Cuál es el número mínimo de días al año, que tendría que utilizar la máquina para justificar el rentarla en vez de comprarla? (Sug: )
5.- Una compañía editorial encuentra que el costo de publicar cada ejemplar de una cierta revista es de $0.38 (de dólar). Los ingresos provenientes de los distribuidores son de $0.35 (dólares) por copia. Los ingresos por publicidad son del 10% de los ingresos que se reciben de los distribuidores, para todos los ejemplares que se venden por encima de 10,000. ¿Cuál es el número mínimo de ejemplares que se deben vender, para que la compañía obtenga utilidades? (Sugerencia: utilidad = ingresos totales - costos totales) 6.- En la actualidad, un fabricante tiene 2,500 unidades de un producto en su almacén. El producto se vende en estos momentos a $4 (dólares) por unidad. Para el próximo mes, el precio unitario aumentará en $0.50. El fabricante desea que los ingresos totales que se obtengan por la venta de las 2500 unidades no sea inferior a $10,750. ¿Cuál es el número máximo de unidades que pueden venderse este mes? 7.- Supóngase que una compañía le ofrece un puesto en ventas, pudiendo usted elegir uno de dos planes para determinar su sueldo anual. Según un plan, recibiría $12,600, más un bono de 2% de las ventas anuales. Según el otro plan, recibiría una comisión directa de 8% sobre las ventas. ¿Para qué nivel de ventas anuales es mejor elegir el primero de los planes?
8.- Una compañía invierte un total de $30,000 (dólares) de fondos excedentes a dos tasas anuales de interés: 5% y %. Desea obtener un rendimiento anual no inferior a % ¿Cuál es la cantidad minima de dinero que debe invertir a la tasa de
%?
9.- Para fabricar una unidad de un producto nuevo, una compañía determina que el costo de los materiales es de $2.50 (dólares) y el costo de la mano de obra de $4. Los gastos generales constantes, sin importar el volumen de ventas, son de $5,000. Si el precio para los mayoristas