CAPITULO 4 FUERZA CORTANTE, MOMENTO FLECTOR Introducción Un elemento está sometido a cargas de flexión cuando soporta fuerzas y momentos externos con dirección perpendicular a la de su eje centroidal.
Fuerza
Momento
Los elementos sometidos a flexión se denominan vigas y los puentes, pasarelas y losas son ejemplos reales de este tipo de esfuerzos. esfuerzos. Características: Los elementos son rectos Los elementos tienen secciones transversales transversales uniformes Las dimensiones de la sección transversal transversal son pequeños respecto a la longitud Las secciones transversales transversales permanecen planas y perpendiculares al eje axial Las deformaciones son pequeñas comparadas con las dimensiones de la viga Los esfuerzos no sobrepasan los límites de fluencia. El módulo de Young es el mismo para tracción y compresión. Las cargas se aplican en el eje de simetría de la sección transversal transversal de la viga Las cargas y las reacciones en los apoyos actúan perpendicularmente al eje de la viga.
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CARGAS PUNTUALES Y DISTRIBUIDAS
Las cargas pueden clasificarse como puntuales y distribuidas Cargas Puntuales
Una carga es puntual cuando actúan en un punto. Estas cargas son ideales sin embargo las cargas aplicadas en áreas pequeñas pueden suponerse como puntuales. Así, las reacciones en las llantas de los vehículos automotores; las fuerzas que soportan los miembros de las estructuras metálicas, las fuerzas que soportan los cables se pueden idealizar como puntuales
Cargas Distribuidas
Una carga es distribuida cuando actúan en áreas no muy pequeñas. La fuerza del viento, el peso, la presión que los líquidos ejercen sobre superficies sumergidas, etc., son ejemplos de cargas distribuidas.
Cargas equivalentes
Las cargas distribuidas que soportan las vigas, frecuentemente deben ser reemplazadas por otras puntuales denominadas equivalentes de modo que produzcan idénticos efectos en los extremos de la viga.
Considérese una viga que soporta el “peso” de un material distribuido
En un elemento infinitesimal se puede suponer la altura constante h(x) y su peso es: dw = γ dV = γ h(x) dx dz donde:
γ = es el peso específico del material
h(x) = es la altura de la carga en la posición x dx = es el ancho del elemento diferencial dz = es la profundidad de la viga
Llamando p(x) = γ h(x) dz Integrando
= =
El momento en el extremo izquierdo originado por la carga distribuida sobre un elemento diferencial es: dMo = dw (x) Integrando
= =
Ya que los momentos en los extremos de la viga originados por la carga puntual equivalente y por la carga distribuida deben ser iguales.
= = Por lo tanto se concluye que:
La magnitud de la carga puntual equivalente es el área de la carga distribuida
La ubicación de la carga puntual equivalente es el centro de gravedad de la carga distribuida
REACCIONES EN APOYOS Tipos de Apoyos
Los puntos sobre los que se apoyan las vigas se clasifican en: a) Apoyo móvil, b) Apoyo fijo y c) Empotramiento
a) Apoyo Móvil.- Es un apoyo que restringe el movimiento vertical pero no el horizontal ni el de rotación. Este tipo de apoyo ejerce solo reacciones verticales. Un rodillo es un ejemplo de este tipo de apoyo. b) Apoyo Fijo.- Es un apoyo que restringe los movimientos vertical y horizontal pero no el de rotación. Este tipo de apoyo ejerce reacciones verticales y horizontales. Una bisagra es un ejemplo de un apoyo fijo. c) Empotramiento.- Es un apoyo que restringe los movimientos vertical, horizontal y de rotación. El apoyo ejerce reacciones verticales, horizontales y momentos.
Tipos de Vigas
Las vigas pueden clasificarse en función a sus apoyos en: a) Simplemente apoyada.- Cuando la viga descansa sobre un apoyo móvil y otro fijo. b) Simplemente empotrada.- Es aquella que tiene uno de sus extremos empotrado. c) Con apoyos múltiples.- Las vigas que tenga más de un apoyo fijo y otro móvil o un empotramiento, tiene apoyos múltiples y su cálculo es hiperestático.
CRITERIO DE SIGNOS
El criterio habitual de signos para el esfuerzo cortante y el momento flector es el siguiente:
Así, una fuerza que tiende a flexar la viga de modo que la concavidad esté hacia arriba, se dice que produce un momento flector positivo. Una fuerza que tiende a cortar la parte izquierda de la viga hacia arriba respecto a la parte derecha, se dice que produce un esfuerzo cortante positivo.
ECUACIONES DE CORTANTE Y MOMENTO
Generalmente es conveniente introducir un sistema coordenado a lo largo de la viga con origen en un extremo de la misma. Es conveniente conocer el esfuerzo cortante y el momento flector en todas las secciones de la viga, para lo cual se escriben dos ecuaciones, una que da el esfuerzo cortante, y la otra que da el momento flector M en función de x. DIAGRAMAS DEL ESFUERZO CORTANTE Y EL MOMENTO FLECTOR
La representación gráfica de estas ecuaciones en V y M se conocen como diagrama del esfuerzo cortante y del momento flector, respectivamente. En estos gráficos, las abscisas (horizontales) indican la posición de la sección a lo largo de la viga y las ordenadas (verticales) representan los valores del esfuerzo cortante y el momento flector, respectivamente. Por lo tanto, indican gráficamente la variación de eses dos magnitudes en una sección a lo largo de la barra. Es muy fácil determinar, con esos gráficos, el valor máximo de cada una de ellas.
RELACION ENTRE ESFUERZO CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR
Se establece el sistema de coordenadas con origen en el extremo izquierdo A y las distancias a las diversas secciones de la viga se empresa por la variable x.
Para un valor cualquiera de x, el esfuerzo cortante V y el momento flector M están relacionados por la ecuación:
=
EJERCICIOS
1. Para la viga en voladizo, escribir las ecuaciones del esfuerzo cortante y el momento flector. Dibujar los diagramadas del esfuerzo cortante y el momento flector.
En equilibrio:
=0;− + = 0 ; = =225 Ecuaciones del esfuerzo cortante:
V = - 225 Kg
Ecuaciones el momento flector: M = - 225 x Kg-m DIAGRAMAS
Esfuerzo Cortante
Momento Flector
2. Para la viga en voladizo sometida a una carga uniformemente repartida de P Kg por metro lineal, escribir las ecuaciones del esfuerzo cortante y del momento flector. Dibujar los diagramas del esfuerzo cortante y del momento flector.
Ecuaciones del esfuerzo cortante:
=0;−+ = 0 ; =
V = - P x; Kg Ecuaciones el momento flector: M = - P x (x/2); Kg-m M = - P (x2/2); Kg-m
Esfuerzo cortante
Momento Flector
2
3. Considerar la viga simplemente apoyada sometida a una sola carga aislada de 2000 kg de la figura. Escribir las ecuaciones del esfuerzo cortante y el momento flector en cualquier punto de la viga y trazar los diagramas correspondientes.
=0;− 0,5+ 2 = 0 ; =500 =0; − + = 0 ; =1500
Para 0 < x < 0,5 V = 1500 Kg M = 1500 X; kg-m Esfuerzo cortante Para 0,5 < x < 2 V = 1500 – 2000 V = – 500 Kg Momento flector M = 1500 X – 2000(X – 0,5); kg-m M = 1000 – 500 X; kg-m
4. Para la viga simplemente apoyada, sometida a una carga uniformemente repartida de Kg por metro lineal y otra P 1, escribir las ecuaciones del esfuerzo cortante y del momento flector. Dibujar los diagramas del esfuerzo cortante y del momento flector.
5. Para la viga en voladizo sometida a una carga uniformemente repartida de p Kg por metro lineal, escribir las ecuaciones del esfuerzo cortante y del momento flector. Dibujar los diagramas del esfuerzo cortante y del momento flector.
