Cap 2.Resistencia y Ley de Ohm

Introducción Con la publicación en Internet de “Física entre nosotros 4º año”, estamos inaugurando una nueva propuesta educativa en nuestro país. Nuestra idea es poner en línea y con libre acceso a todos los alumnos, un libro de texto adaptado al programa curricular de 4º año de Enseñanza Secundaria. Esperamos que esta nueva modalidad permita una mayor difusión de nuestro trabajo y que en los próximos años vaya aumentando el número de publicaciones con estas características. Los autores autorizan la libre utilización de este material por parte de docentes y alumnos, siempre que no tenga ninguna finalidad comercial. Para hacernos llegar sus comentarios, criticas y sugerencias que mucho valoraremos, pueden hacerlo por los siguientes medios: Profesores: Marcelo Szwarcfiter y Ernesto Egaña e –mail:

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Capítulo 2

La física entre nosotros 4º año

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Reseña del Capítulo 2 En este capítulo estudiaremos la relación entre la diferencia de potencial eléctrico y la intensidad de corriente para diferentes tipos de conductores. De esta forma llegaremos a expresar la Ley de Ohm y definir la magnitud “resistencia eléctrica”. Clasificaremos los conductores en óhmicos y no óhmicos y veremos ejemplos de cada uno de ellos. Para finalizar analizaremos los factores que determinan el valor de la resistencia eléctrica de un conductor óhmico, introduciendo para ello el concepto de “resistividad”.

Resistencia eléctrica y Ley de Ohm Si entre los extremos de un conductor establecemos una diferencia de potencial eléctrico “∆VAB” mediante un generador de corriente continua (fig. 1), a través de él se establecerá una intensidad “i”. Si colocáramos entre A y B otros conductores de diferentes materiales o diferentes dimensiones (largo, sección, etc) observaríamos que los valores de las intensidades de corriente que se obtienen son distintos. i

¿Por qué las intensidades son distintas si los conductores están conectadas al mismo generador (igual diferencia de potencial) ? Los electrones al moverse por el conductor interactúan con los átomos y moléculas del conductor. Dependiendo de la estructura interna de los conductores, los electrones de conducción encontrarán más o menos “resistencia” para moverse a través de ellos. Esto determina que no todos los conductores se comporten igual ante la aplicación de la misma diferencia de potencial eléctrico entre sus extremos. En la siguiente práctica definiremos una nueva magnitud asociada a los conductores denominada resistencia eléctrica. Esta magnitud nos permite cuantificar la oposición que realiza un conductor a que circule corriente eléctrica a través de él. Los llamados “buenos conductores” tienen valores de resistencia eléctrica menores que los conductores constituidos por materiales “malos conductores”. El valor de la resistencia de un conductor no solo depende del material del que está constituido, sino también de sus dimensiones. Siendo esta relación tratada más adelante, en este mismo capítulo.

A

B

Fig. 1 Circuito para estudiar la relación entre la diferencia de potencial aplicada a los extremos de un conductor y la intensidad de corriente que circula por él.

Es de uso común, llamar “resistencia” al elemento de un circuito que denominamos “resistor”. Debemos ser cuidadosos y no confundir el nombre del elemento, con el de la magnitud “resistencia eléctrica” que comenzamos a estudiar. Fig. 2


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Práctica Ley de Ohm ¿Existe alguna relación entre la diferencia de potencial eléctrico aplicada a un conductor y la intensidad que circula por él? Para investigar esto podemos realizar el siguiente experimento: Armamos el circuito de la figura 3 donde el generador que utilizamos tiene la propiedad de que podemos seleccionar la diferencia de potencial que aplica en sus terminales (lo llamaremos generador variable). Con el amperímetro y el voltímetro mediremos valores de la intensidad de corriente que pasa a través del resistor “R” y de la diferencia de potencial eléctrico entre sus extremos, respectivamente.

Luego de tomar una pareja de valores de “∆V e i”, cambiamos el selector de la fuente, produciéndose entonces un cambio en los valores de “∆V” y de “i”. Repitiendo este procedimiento varias veces obtendremos un cuadro de valores como el de la figura 4. En una primera observación de los valores del cuadro, podemos apreciar que cuando “∆V” aumenta, la intensidad también lo hace. Una procedimiento muy útil para estudiar que tipo de relación matemática existe entre dos magnitudes, es graficar una magnitud en función de la otra. En este caso graficaremos “∆V” en función de “i”, cuya notación es ∆VAB = f (i). (Fig. 5)

R

Fig. 3 La variación de la diferencia de potencial del generador, produce un cambio en la intensidad del circuito.

∆V (V)i (A)1,50,53,01,06,02,09,03,0

Fig. 4

Podemos ver que la gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas, esto nos está determinando que la relación entre “∆V” e “i” es directamente proporcional. ¿Qué significa que la relación funcional entre dos magnitudes es directamente proporcional? Significa que cuando una varía la otra lo hace en la misma proporción. Por ejemplo, si duplicamos la diferencia de potencial en los extremos del resistor, la intensidad de corriente a través de él también se duplica. Generalizando podemos decir que dos magnitudes son directamente proporcionales, si el cociente (división) de todos los pares de valores (∆V e i) entre si, dan un mismo resultado. El valor obtenido en la divisiones, es el mismo que el de la pendiente de su gráfica.

Fig. 5 A las gráfica ∆V = f (i) se le denomina curva característica del elemento del circuito.

• Pendiente

Fig. 6 Encontramos que para un resistor las magnitudes “∆V” e “i” son directamente proporcionales.


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Recuerda que para calcular la pendiente de una recta debemos tomar dos puntos de ella (fig. 6). Al de menor abscisa (menor “i”) lo llamaremos inicial y al de mayor abscisa final. Luego planteamos la división entre la variación de la magnitud del eje vertical (∆V final ∆V inicial) y la variación en el eje horizontal (i final – i inicial). Pendiente =

∆Vfinal − ∆Vinicial 9,0V − 3,0V ∆vertical = ⇒ i final − i inicial 3,0A − 1,0A ∆horizontal

Pendiente =

6,0V 2,0A

⇒ Pendiente = 3,0

V A ∆V (V)i (A)∆V/i (V/A)1,50,53,03,01,03,06,02,03, 09,03,03,0

∆V • Cocientes i

En el cuadro de valores (fig. 7) vemos que el resultado de dividir“∆V” entre “i” parta todos los pares de valores es el mismo ( 3,0

V A

) y coincide con el valor de la pendiente de la recta.

Fig. 7 Los cociente para el resistor, son todos iguales.

Conclusión: •

Para un resistor, “∆V” es directamente proporcional a “i”, esto se escribe con el siguiente símbolo ⇒ ∆V ∝ i

•

Los cocientes

• •

∆V i

tienen el mismo valor, que coincide con el de la

pendiente de la gráfica. Este valor no depende de “∆V” ni de “i”, porque para cualquier valor de ellos se obtiene el mismo resultado. Si repitiéramos la experiencia con otros resistores distintos, obtendríamos gráficas rectas y cocientes constantes

•

∆V , i

pero de

valor diferente. Esto implica que el valor de la constante sólo depende del resistor que se utilice. La constante que se obtiene de la división

∆V i

*** Investiga *** ¿Como será la gráfica ∆V = f (i), si conectamos el resistor al revés, de forma que la corriente eléctrica pase en sentido opuesto? Fig. 8 ¿Los resistores conducen la corriente de igual forma en ambos s sentidos?

o la pendiente

de la gráfica ∆VAB = f(i) para un determinado resistor, se denomina RESISTENCIA ELÉCTRICA de ese resistor, siendo notación “R”. La unidad de medida de la resistencia eléctrica en el Sistema Internacional de Unidades se denomina Ohm y su símbolo es la letra Omega mayúscula “Ω” (fig. 9)

Hemos definido “R” a partir de la división . La unidad de este cociente en el S.I. es : 1 Ω=

Fig. 9 Definición de la unidad Ohm


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Ley de Ohm En 1827 el científico alemán G. S. Ohm (fig.10) basado en el estudios experimentales sobre la relación entre la diferencia de potencial eléctrica aplicada a un conductor y la intensidad de corriente que circula por él, enunció la siguiente ley: Ley de Ohm La intensidad de corriente eléctrica que circula por un conductor es directamente proporcional a la diferencia de potencial aplicada entre sus extremos, siendo la constante de proporcionalidad la resistencia eléctrica de dicho conductor. Matemáticamente lo ∆V podemos expresar con la ecuación: =R i • • •

No todos los conductores cumplen con esta ley. En general los conductores metálicos a temperatura constante la cumplen. A los conductores que cumplen la Ley de Ohm se les denomina “conductores óhmicos” o “lineales”. A los conductores que no cumplen la Ley de Ohm se les denomina “no óhmicos”.

Fig.10 George Simon Ohm (1787 – 1854) Físico alemán nacido en Baviera

Ejemplo 1 Al conectar una calentador eléctrico a 220V, pasa por él un intensidad de 4,0A. (consideraremos que el calentador tiene comportamiento óhmico) a) ¿Cuál es su resistencia eléctrica? Nuestros datos son: ∆V = 220V e i = 4,0A, para hallar la resistencia utilizaremos la ecuación de la Ley de Ohm: R=

220V ∆V = 4,0A i

⇒ R = 55Ω (recuerda que

V = Ω) A

b) ¿Si se disminuye la diferencia de potencial a la mitad, que sucede con el valor de su resistencia eléctrica y con la intensidad de corriente? El valor de su resistencia no cambia, ya que en los conductores óhmicos, el valor de “R” no depende de “∆V” ni de “i” La Ley de Ohm nos dice que “∆V” es directamente proporcional a “i”, por lo tanto si ∆V se divide entre dos, la nueva intensidad será la mitad de la anterior ⇒ i = 2,0A (fig. 11) c) ¿Para los valores ∆V = 110V e i = 2,0A, calcula cuánta carga (q) pasó por un punto del circuito en 5,0 minutos?

Podemos verificar el resultado analíticamente: R = ⇒i = = i = 2,0A Fig. 11 F


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Recordemos la definición de intensidad de corriente eléctrica i =

q ∆t

y despejando “q” obtenemos: q = i. ∆t = 2,0A. 300s ⇒ q = 600C o expresado en notación científica y con el número correcto de cifras significativas q = 6,0 x 102C

1 minuto = 60 segundos

Observa que el tiempo lo expresamos en segundos para que la carga quede expresada en Coulomb. d) ¿Cuánta energía consumió el calentador eléctrico en los 5,0 minutos? La energía eléctrica que consumió el electrodoméstico es igual al trabajo eléctrico realizado. Recordando la definición de diferencia de T potencial eléctrico ∆V = y despejando obtenemos: T = q.∆V q T = 6,0 x 102C . 110V = 6,6 x 104 CV ⇒ T = 6,6x 104J (fig. 12)

Recuerda que cuando definimos la unidad Volt: 1V = . Despejando obtenemos que: 1CV = 1J Fig.12 Ejemplo 1 F

Conductores no óhmicos Ya hemos adelantado la existencia de conductores que no cumplen la Ley de Ohm, o sea la relación entre la diferencia de potencial en sus extremos y la intensidad de corriente a través de ellos no es directamente proporcional. Esto también implica que el valor de su resistencia eléctrica no es constante. (fig. 13)

En los conductores no óhmicos “∆V” no es directamente proporcional a “i” y “R” no es constante. Fig. 13 Conductores no óhmicos

¿Cómo hacemos para determinar si un conductor es óhmico o no óhmico? Utilizando el mismo circuito de la práctica Ley de Ohm, pero sustituyendo el resistor por el elemento que queremos estudiar. A continuación veremos dos ejemplos de conductores no óhmicos, el filamento de una lamparita y un diodo. •

Lamparita

La gráfica v = f (i) (fig. 14) para la lamparita nos muestra que a medida que aumenta “∆V” también aumenta “i”, pero no en la misma proporción. Con esto concluimos que el filamento de la lámpara es un conductor no óhmico. Si observas la curvatura de la gráfica y trazas rectas tangentes a la curva en diferentes puntos de ella, podrás apreciar que las pendientes de estas rectas son mayores (más inclinadas) para los puntos de mayor intensidad. Esto nos indica que la resistencia eléctrica del

Fig. 14 Lamparita, ejemplo de cconductor no óhmico.

Fig. 15 Diodo, ejemplo de conductor no óhmico.

V = f (i) La física entre nosotros 4º año

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filamento aumenta a medida que aumenta la intensidad de corriente que pasa por él. •

Diodo

En la figura 15 podemos observar el circuito para el estudio del diodo y su curva característica. La gráfica no es recta, por lo tanto podemos afirmar que es un conductor no óhmico. Pero en este caso el valor de la resistencia disminuye al aumentar “∆V” e “i” (las pendientes disminuyen). Cuando se realizó la práctica Ley de Ohm se dejó planteado como investigación, estudiar que sucedía si se invertía el sentido de circulación de la corriente por el resistor. Si realizaste este experimento, habrás llegado a la conclusión de que el resistor no cambia su comportamiento, ∆V sigue siendo directamente proporcional a la intensidad y el valor de la resistencia eléctrica no varía. Sin embargo con el diodo no ocurre lo mismo. Los valores negativos que aparecen en la gráfica (fig. 15) corresponden a cuando se invirtió la polaridad del circuito. Vemos que al aumentar los valores de ∆V, los valores de intensidad son nulos. Esto comprueba una característica muy importante de los diodos y es que conducen corriente en un único sentido (fig. 16) .

V = f (i)

Fig. 16 Los diodos conducen corriente eléctrica en un solo sentido.

Resistividad Si un conductor es óhmico el valor de su resistencia eléctrica es independiente de la diferencia de potencial eléctrico y de la intensidad que circule por él. Esto implica que la resistencia depende exclusivamente de ciertas características del conductor. La resistencia eléctrica de un conductor depende de: su longitud (L), su sección transversal (S) y el material del que está constituido (fig.17). •

•

•

Cuanto más largo sea el conductor más dificultad tendrán los electrones para pasar entre sus extremos, por lo tanto a mayor longitud mayor resistencia, en una relación directamente proporcional (fig. 18) Cuanto más pequeña sea la sección (alambre más fino), la dificultad para el desplazamiento de los electrones libres es mayor, por lo tanto la resistencia eléctrica es mayor. En caso contrario, los alambres de gran sección oponen poca resistencia al pasaje de corriente. La relación entre el valor de la resistencia eléctrica y la sección del conductor es inversamente proporcional (fig. 19) Si tenemos dos conductores de igual longitud y sección pero de diferentes materiales tendrán también diferentes resistencias

L S

Fig. 17 Si el conductor es cilíndrico, su sección transversal es un círculo .

R ∝ L

Fig. 18 Relación resistencia - longitud

1 R ∝ S Fig. 19 Relación resistencia – sección

Sustancia Resistividad (Ωm) m Aluminio2,6 x 10-8- Cobre 1,7 x 10-8- Constantán4,9 x 10-7- Plata 1,5 1 x 10-8- Silicona 2,6 x 10-3- Vidrio1012

Fig. 20 Valores de resistividad de algunas sustancias a temperatura ambiente


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eléctricas. La disposición de sus átomos o moléculas, el número de electrones libres por cada átomo y otros factores propios de cada material determina que conduzcan la corriente de forma diferente. Todas estas características de un material determinan la existencia de una propiedad característica denominada RESISTIVIDAD que es directamente proporcional al valor de la resistencia eléctrica y su notación es con la letra griega Rho “ρ”. En la tabla (fig. 20) vemos valores de resistividad de algunas sustancias, Cuanto menor es el valor de la resistividad de una sustancia, ésta será mejor conductora de la corriente. 1 y R∝ ρ) S obtenemos la ecuación de la figura 21 que nos permite calcular la resistencia de un alambre conductor, conociendo su longitud, su sección y el material que lo constituye. Utilizando todas las relaciones vistas (R∝ L, R∝

ρ .L R = S Fig. 21

Las unidades en S.I. de la magnitudes que intervienen en esta ecuación son: R → (Ω), L → (m), S → (m2) y ρ → (Ωm)

*** Investiga *** A partir de las unidades de R, L y S demuestra que la unidad de medida de la resistividad (ρ) es “Ωm”. Ejemplo 2 Al conectar a una batería de 12,0V un conductor óhmico cilíndrico de 19,2m de longitud y diámetro de sección 2,00mm, pasa por él una intensidad de 4,00A. Observando la tabla de la figura 20 indique de que material está constituido. Aplicando la ecuación de la Ley de Ohm podemos determinar la 12,0V ∆V resistencia eléctrica del conductor: R = = ⇒ R = 3,00Ω 4,00A i Ahora que conocemos la resistencia, la longitud y la sección (fig. 22) podemos calcular el valor de resistividad y de esa forma poder ρ.L identificar el material del conductor ⇒ R = despejando S R.S 3,00Ω..3,14x10 −6 m 2 obtenemos: ρ = = ⇒ ρ = 4,91 x 10-7 Ωm L 19,2m Observando la tabla vemos que el conductor es de Constantán (fig.23) Código de colores Los fabricantes de resistores en lugar de utilizar números para indicar el valor de la resistencia eléctrica, utilizan franjas de colores alrededor del resistor. A continuación y a partir de un ejemplo, aprenderemos a interpretar el código que nos permite leer estos valores.

Nuestro dato es el diámetro de la sección D = 2,00mm. Si deseamos calcular la sección debemos calcular el área de un circulo de radio 1,00mm. S = π. r2 = 3,14 . (1,00 x 10-3m)2 S = 3,14 x 10-6 m2 Fig.22 Cálculo del área de un círculo.

Por ser la resistividad una propiedad característica, a cada material le corresponde unColorDígitoNegro0Marrón único valor de “ρ”. 1Rojo2Naranja3Amarillo4Verde Fig. 23 5Azul6Violeta7Gris8Blanco9 Porcentaje de IncertidumbreDorado5%Platea do10%

Fig. 25 Código de colores


• • • • • •

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En el resistor (fig. 24) se ven tres líneas de colores y una cuarta (y última) que sólo puede ser plateada o dorada. Cada una de las tres primeras líneas representa un número (fig. 25) Las dos primera líneas corresponden a las dos cifras significativas del valor de la resistencia. En este ejemplo la primera línea es roja y representa al número 2 y la segunda verde y representa al 5. La tercera línea nos indica el exponente de la base 10. En ese caso la tercera línea es amarilla y corresponde al número 4. El valor de la resistencia es 25 x 104Ω. 25 por las dos primeras líneas y 104 por la tercera línea. La cuarta línea representa la incertidumbre o tolerancia del valor, si la línea es plateada la incertidumbre es del 10% y si es dorada 5%. En ese caso es plateada y la incertidumbre relativa del valor de la resistencia es 10% que corresponde a 2,5 x 104Ω. ultima línea plateada = 10%

Preguntas

1era línea Rojo = 2

2da línea 3a línea verde = 5 amarillo = 4

1) ¿Qué significa que un conductor tiene mayor resistencia eléctrica que otro? 2) ¿Qué relación existe entre la diferencia de potencial eléctrico aplicada entre los extremos de un resistor y la intensidad de corriente que circula por él? 3) ¿Cómo puedes comprobar experimentalmente la relación de la pregunta 2? 4) ¿En qué unidades se mide la resistencia eléctrica? 5) Enuncia la Ley de Ohm 6) ¿Qué es un conductor óhmico? 7) Da algunos ejemplos de conductores óhmicos 8) ¿Qué es un conductor no óhmico? 9) Da algunos ejemplos de conductores no óhmicos

Fig. 24 Las dos primeras líneas nos indican las dos cifras del valor y la tercera a que número debemos elevar la base 10 ⇒ la resistencia de este resistor es 25 x 104Ω La línea plateada nos está indicando que el valor real de la resistencia puede oscilar en intervalo de ± 10% del total. En caso de que no haya 4ta línea el porcentaje de incertidumbre es del 20%


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10) ¿De que factores depende el valor de la resistencia eléctrica de un alambre conductor? 11) ¿Qué es la resistividad? 12) ¿Qué significa que la resistividad es una propiedad característica? 13) Dados dos conductores del mismo material e igual sección transversal. ¿Cuál de ellos tiene mayor resistencia, el más largo o el más corto? 14) Dados dos conductores del mismo material e igual largo ¿Cuál de ellos tiene mayor resistencia, el de mayor sección o el de menor? 15) Dados dos conductores de igual largo y sección ¿Cuál de ellos tiene mayor resistencia, el de cobre o el de plata? 16) Explique como se interpreta el código de colores de un resistencia.

Problemas 1) Un electrodoméstico se conecta a la red de U.T.E. (220V) y pasa a través de él una intensidad de10A. ¿Cuál es el valor de su resistencia eléctrica?

R

2) En el circuito de la figura 26 el amperímetro indica 200mA y el voltímetro 4,0V. ¿Cuál es el valor de la resistencia del resistor? 3) Si en el circuito del problema anterior se aumenta la diferencia de potencial eléctrico al triple. a) ¿Qué sucede con el valor de la resistencia? b)¿Que sucede con el valor de la intensidad de corriente?

Fig. 26

4) Si en el mismo circuito se sustituye el resistor por otro cuya resistencia eléctrica es el doble. a) ¿Qué sucede con la medida del voltímetro? b) ¿Qué sucede con la medida del amperímetro? 5) Dos resistores de resistencias R1 y R2 tal que R1>R2 se conectan a dos generadores iguales. ¿Por cuál circulará mayor intensidad de corriente? Justifique 6) Una lamparita de 20Ω está conectada a un generador de 12V. a) ¿Cuál es la intensidad por ella? b)¿Cuánta carga pasa por ella en

∆V (V)i (A)12,00,15010,00,1438,00,133 (A)12,00,15010,00,1238,00,100 6,00,0754,00,0522,00,024 6,00,1204,00,1012,00,067

Fig. 28 27 Problema 8


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2,0 minutos? c) ¿Cuánta energía eléctrica transforma la lámpara en ese tiempo? 7) Que diferencia de potencial eléctrico existe entre los extremos de un resistor cuya resistencia es R = 15KΩ, si por él pasa una intensidad de 2,0 x 10-2A. 8) Los cuadros de valores (figs.27 y 28) corresponden a las diferencias de potencial eléctrico e intensidades registradas para dos elementos conductores. a) Trace las curvas características de cada conductor (gráfica V = f (i)) b) ¿Cuál conductor es óhmico y cuál es no óhmico? Justifique c) ¿Podría haber determinado cuál de ellos era óhmico sin realizar la gráfica V = f (i)? d) Calcule la resistencia eléctrica del conductor óhmico a partir de la gráfica.

9) Utilizando los datos del cuadro de valores correspondiente al conductor óhmico del problema anterior: a) Calcule la resistencia eléctrica para cada pareja de valores. b) Determine su promedio e indique su margen de incertidumbre. 10) En la figura 29 se muestran las gráficas V = f(i) correspondientes a dos conductores óhmicos. ¿Cuál de los dos tiene mayor resistencia eléctrica? Justifique 11) Al establecer una diferencia de potencial eléctrico de 10V en los extremos de un diodo, por él circula una corriente de 5,0 x 10-2A. a) ¿Qué intensidad circulará por él si duplicamos la diferencia de potencial? Justifique b)¿Qué intensidad circulará por él, si invertimos su polaridad (lo conectamos al revés)? Justifique 12) ¿Cuántos metros de alambre conductor de cobre de (diámetro de sección 1,0mm y ρ = 1,7 x 10-8 Ωm ) se necesitan para construir una resistencia de 2,0Ω?

V

cond. 1

cond. 2

i Fig. 29

Problema 10 Gráfica V = f (i)


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13) Un trozo de alambre de largo “L” y sección de área “A” tiene una resistencia eléctrica de 12Ω. Que resistencia tendrán los siguientes conductores del mismo material, cuyas características son: a) Igual sección y doble longitud b) Igual longitud y doble sección a

c) Doble sección y doble longitud d) Mitad de sección y doble longitud

b

e) Igual longitud y doble diámetro de sección 14) ¿Por cuál de los 5 conductores del problema anterior pasará más intensidad de corriente y por cual menos si se conecta cada uno de ellos a iguales generadores? 15) Utilizando el código de colores, lee y expresa el valor de la resistencia de los resistores de la figura 30, con su correspondiente tolerancia.

c Fig. 30 Problema 15

Cap 2.Resistencia y Ley de Ohm

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