Cap. 27 Losas Armadas en Dos Direcciones 2015

Universidad Mayor de San Andrés Facultad de Ingeniería Ingeniería Civil

Ing. Miguel Muñoz Black Hormigón Armado II CIV 210

CAPITULO XXVII LOSAS ARMADAS EN DOS DIRECCIONES 27.1 Introducción.Este tipo de losa transmite los esfuerzos en ambas direcciones de modo que será necesario colocar armaduras principales perpendiculares entre sí para absorber las solicitaciones. De manera general cumplen la siguiente relación entre sus lados

ε=

ly lx

≤ 2 (Ec.27.1)

27.2. Cargas.Como en el caso de losas armadas en una dirección, distinguiremos entre: Cargas permanentes: Uniformemente repartidas, Lineales y puntuales. Cargas variables: Uniformemente repartidas, Lineales y puntuales. Conocido el valor de las cargas lineales o puntuales y su extensión o proyección en planta, es necesario recurrir a gráficos de superficie de influencia que nos permiten hallar para cada tipo de carga y las condiciones de borde, las solicitaciones máximas.

27.3.- Luces de cálculo.Se usarán los mismos criterios expuestos en losas armadas en una dirección. 27.4.- Espesores de losas.Prevalecen los criterios límites del caso de losas armadas en una dirección. Empero se proponen los siguientes parámetros generales que considerando las deformaciones proponen: h≥

lx 40

siendo lx la luz menor, o también h ≥ 8 cm. (Ec.27.2)

h= Perímetro/ 180

(Ec.27.3)

El espesor de la lámina no tiene mayor incidencia en la formalización del proyecto dado que la losa está totalmente rodeada por los elementos de apoyo, por esta razón el espesor será fijado por razones de estabilidad (resistencia y deformación) y de economía. Aunque la norma admite un espesor mínimo de 8cm no es recomendable en nuestro medio especificar menos de 10cm 10cm dado dado que se considera considera que que espesores menores son demasiado sensibles sensibles a imperfecciones imperfecciones en la ejecución ejecución de la obra. Los espesores espesores que fija la norma EHE para para que no sea exigible la verificación por deformaciones3 resultan recomendables desde el punto de vista económico, pero como ya se ha señalado con un mínimo de 10cm.



Otros criterios proponen: Tabla 27.1 Esquema estructural

m 50

55

60

Tabla 27.1 Espesores de losas

Donde h =

lc m

Este tipo de losas proporciona esbelteces mayores, ya que distribuyen mejor las cargas.

27.5.- Anchos mínimos de apoyo.Son los mismos del caso de losas armadas en una dirección.

27.6.- Determinación de las solicitaciones.- Se pueden determinar mediante: A.- Métodos clásicos Resolución de las ecuaciones diferenciales de las placas Cálculo por el método de diferencias finitas Cálculo por el método de elementos finitos Asimilación a un emparrillado Uso de tablas Marcus, Czerny, Loser, Stigglat Wippel Métodos automatizados. B.- Métodos de líneas de rotura Yield Line Theory, Johansen y Gerslev. 













Si bien algunos métodos clásicos llevan en cuenta la influencia del coeficiente de



Poisson, con un valor entre 1/6 a 1/5, debería adoptarse preferentemente aquellos esfuerzos solicitantes calculados con un μ=0, dado que la influencia de este coeficiente desaparece en Estado II. Debe tomarse en cuenta que la distribución de tensiones es radial, dado que la envolvente es espacial, ocasionando que cada elemento aislado este sometido a flexotorsión. Para la determinación de solicitaciones, conociendo la geometría de la losa y las cargas, se deben resolver las ecuaciones diferenciales que expresan el equilibrio de un trozo elemental de losa y la relación entre las cargas y las deformaciones 1, es decir siguiendo el mismo proceso que se realiza para las estructuras en forma de barra.

∂ 2 M x ∂ x 2

2 ∂ 2T ∂ M y +2 + = p → ( Ecuación _ de _ equilibrio) Ec.27.4 ∂ x∂ y ∂ y 2

∂ 4ω ∂ 4ω ∂ 4ω p + 2 2 2 + 4 = → ( Ecuación _ c arg a − deformación) Ec.27.5 D ∂ x 4 ∂ x ∂ y ∂ y Esta resolución es, a diferencia con las barras, un problema matemático complejo que solamente puede ser atacado por aproximación. El tema ha sido abordado a lo largo del tiempo y se fueron adoptando soluciones para el mismo acordes con las herramientas de cálculo de que se disponía. Graschoff y Marcus, cuya resolución es la base de la mayor parte de las tabulaciones existentes en la bibliografía, se aproximaron al problema mediante el estudio de la compatibilidad de deformaciones en el punto de máxima. Esta aproximación tiene total vigencia frente a la resolución manual del caso de losas rectangulares apoyadas en todo el perímetro. Existen tablas que permiten abordar las solicitaciones para los tipos de carga más habituales en las estructuras de edificios. En la actualidad al disponerse de ordenadores se posibilita la aplicación del método de los elementos finitos que da una aproximación mayor y fundamentalmente permite ampliar los casos a estudiar. 1

p = valor de la carga uniforme Mx = momento flector en el sentido x My = momento flector en el sentido y T = momento torsor ω = función que expresa la deformada de la losa h = altura de la losa E = módulo de deformación longitudinal el hormigón ν = módulo de Poisson del hormigón



Figura 27.1 Direcciones de los momentos principales para losas rectangulares simplemente apoyadas (a) y empotradas en todo su contorno (b), sujetas a carga uniforme, dibujadas según las direcciones de las tensiones originadas por los mismos ___________ Momentos principales positivos (Tracción en la cara inferior) _ _ _ _ _ _ _ _ Momentos principales negativos (Tracción en la cara superior) _._._._._._._._ Cambio de signo de los momentos principales

27.6.1. Notación de apoyos.Empotramiento Borde simplemente apoyado Borde libre.

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27.6.2. Compatibilidad de deformaciones.En las losas la acción de las cargas es sensiblemente normal al plano medio, en consecuencia se producirá el descenso de los puntos que no pertenecen a los apoyos configurándose una superficie deformada que en la mayoría de los casos es de doble curvatura. La superficie deformada presenta características derivadas de las condiciones de apoyo, carga o forma de la planta de la losa. Los apoyos podrán ser puntuales o lineales y estos paralelos o concurrentes; las cargas superficiales, lineales o puntuales y la forma de la planta cualquiera. En las siguientes figuras 27.2 se presentan algunos ejemplos y sus respectivas deformadas.

Figura 27.2 Deformadas de distintas tipologías de losas en dos direcciones El estudio de la deformación, permite detectar la ubicación de las zonas traccionadas: En la zona central las tracciones se presentan en la cara inferior y en los ángulos se presentan en la cara superior. Esta característica de la deformación surge, de la solidaridad existente entre la losa y sus apoyos que son considerados indeformables y que al permanecer rectos alabean a la lámina. El estudio de un caso particular, una losa de planta rectangular simplemente apoyada en todo su perímetro y cargada uniformemente, permite establecer criterios de comportamiento y modelos de análisis que resultarán luego extrapolables a otros casos más complejos. Para comprender el comportamiento de esta losa se la modeliza como dos 99



conjuntos de fajas perpendiculares entre sí. Cada elemento de superficie de la losa pertenece a los dos sistemas de fajas y por lo tanto el total de carga que actúa sobre él influye en la deformación de las dos fajas que lo atraviesan, produciéndose descargas en las cuatro zonas de apoyo de las fajas. Figura 27.3

Figura 27.3 Las dos fajas se curvan, se flectan. Se visualiza así el trabajo a flexión en más de una dirección que es característico de las placas apoyadas en todo su contorno. Figura 27.4

Figura 27.4 La deformación de las dos fajas centrales presenta una curvatura análoga a la que se produce en un tramo lineal (viga), igualándose los descensos máximos. Para el resto de las fajas la deformación que se produce no es solamente una curvatura (flexión) sino que también resultan alabeadas (torsionadas) debido a que la compatibilidad de deformaciones entre los dos conjuntos de fajas hace que las secciones de una faja, tal como la que se muestra en las Figuras 27.5 y 27.6 giren con respecto a las fajas de los apoyos que permanecen con sus lados en posición horizontal y vertical.

100



Figura 27.5

Figura 27.6 La capacidad resistente de las placas surge por lo tanto no solamente de su rigidez flexional, la resistencia a curvarse en ambas direcciones, sino también de la rigidez torsional es decir la resistencia a alabearse. Por lo tanto si se toma un trozo de losa, de lados uno, sobre el que actúa una carga “p” se debe plantear que el equilibrio de ese trozo se logra por la existencia de momentos flectores M, fuerzas cortantes V y momentos torsores T. En la sección a la izquierda se tienen valores M x, Vx y Tx, en la de la derecha valores M’ x, V’x y T’ x, en la sección frontal valores M y, Vy y Ty y en la posterior valores M’ y, V’y y T’y. Figura 27.7

Figura 27.7 101



Tal como sucede en los elementos con forma de barra, de la interpretación de este equilibrio y de la relación entre las solicitaciones y las deformaciones surgen las ecuaciones que posibilitan el estudio de las losas. El conjunto de relaciones resultante es de mayor complejidad que en el caso de las barras y su resolución ha pasado por distintas aproximaciones, desde las primeras de Grashoff y Marcus hasta las actuales de los elementos finitos. En todos los casos la materialización será una lámina de hormigón armado, maciza o aligerada con la malla de acero ubicada en la proximidad de la cara traccionada . Para el cálculo de solicitaciones en losas armadas en dos direcciones debe distinguirse:

27.6.2. Losa aislada.- Se calcularán las solicitaciones con carga máxima p=g+q, utilizando para ello cualquier manual de cálculo de placas. Se elegirá la tabla en función del tipo de vinculación y en la función de la relación de lados, se obtienen los momentos en tramo en ambas direcciones, los momentos de empotramiento (si los hubiera) y las reacciones a cada lado de la losa. Además debe remarcarse que el cálculo de una losa armada en dos direcciones, mediante la teoría de la elasticidad supone la existencia de rigidez a torsión, tal hipótesis que no se verifica cuando: Las losas no están aseguradas contra el despegue en las esquinas En el encuentro de dos bordes simplemente apoyados, no existe armadura de esquina. Presentan huecos considerables en las zonas de las esquinas. En todos estos casos, para lograr la seguridad necesaria a rotura, se debe aumentar el momento de tramo calculado con tablas. (Marcus provee un coeficiente). 





27.6.3. Losa continua.- Cuando la losa consta de varios paños continuos, los momentos flectores deben ser determinados llevando en cuenta la continuidad y considerando para cada sección los estados más desfavorables de carga. La distribución de cargas se hará de la siguiente manera: 



Para obtener el momento flector máximo positivo en el paño 6 (Ver fig. 27.1) se cargará dicho paño con p y los restantes alternativamente con g y p como en el caso de un tablero de ajedrez. Para los momentos máximos sobre los apoyos, se cargará los tramos contiguos a los mismos, disponiendo el resto de las cargas como el caso anterior.

102



Cálculo de momentos en el tramo.-

Se hará el siguiente juego de cargas: 



Se supone inicialmente que todos los paños están sometidos a la carga ficticia de valor p´=g+q/2, y se admite que en este estado parcial de carga no se produce rotación en los apoyos lindantes con otras losas, de esta forma cada losa se comporta como una losa empotrada en uno o varios bordes, según sea su posición relativa (Paño esquinero, perimetral, central).

Luego se considera los paños cargados alternativamente con cargas ficticias de valor p´´= ±q/2 que se supondrán dirigidas hacia abajo en los paños en los cuales se desea calcular los momentos máximos y hacia arriba en los paños circundantes, en este nuevo estado parcial de carga se admite que cada losa está simplemente apoyada en sus cuatro bordes. Sumando ambos estados de carga, se obtienen los momentos máximos y mínimos

103



Cálculo de momentos de empotramiento.Se cargarán ambas losas continuas con p y se calcula cada una de ellas con sus verdaderas condiciones de borde y considerándolas como empotradas en los bordes contiguos. Para momento de diseño se deberá usar un método similar al método de Cross, que considera las rigideces relativas de las losas involucradas. (Como momento de dimensionamiento puede también adoptarse el promedio de los momentos de empotramiento de ambas losas.) Por el método de Marcus, los momentos serán: Momentos de tramo:

M máx x =

K ' mn

+

K " m1

(Ec. 27.5)

Siendo K’calculada con p’ y K” calculada con p” y m 1 el coeficiente de la losa con rigidez torsional Tipo 1. q

K"

Llamando λ' = 2p = K , se obtiene la ecuación bajo la forma:

M máx =

K mn

(1 +

mn m1

λ´−λ´)

(Ec.27.6)

En las tablas se encuentran para los momentos M x y My de las losas con rigidez torsional, los valores m ∆(x, y) = n − 1 (Ec.27.7) m 1

Para los tipos de apoyo 2 y 4, los valores correspondientes a la fórmula anterior, han sido incrementados calculándose ahora con la relación: 104



∆ (x,y) =

m ′n m1

−1

(Ec.27.8)

De esta manera se considera la influencia que las puntas libres 1 ó 2 tienen sobre el coeficiente. Empleando estos coeficientes Δ los momentos pueden determinarse con las siguientes ecuaciones.

K

M x máx =

M y máx =

m xn

K m yn

(1 + λ´∆ x )

(Ec.27.9)

(1 + λ´∆ y )

(Ec.27.10)

Los valores λ’Δx y λ’Δy representan el porcentaje de aumento del momento de tramo bajo la influencia de la carga variable. La aproximación lograda con este procedimiento es suficiente siempre que la longitud de los lados (o rigideces) de la losa no difieran más del 20%. Para divergencias mayores se puede operar por el método de compensación que se verá luego. Cuando las sobrecargas son importantes debe también verificarse si pueden producirse momentos de tramo negativos. La carga p´´ se considera entonces con signo opuesto, es decir, las losas no tienen sobrecarga, mientras que las losas vecinas soportan la carga total. Con estas hipótesis las ecuaciones anteriores se transforman en: M x mín =

My

mín

=

K m xn

K m yn

(1 − λ´(2 + ∆ x )) (Ec.27.11)

(1 − λ´(2 + ∆ y ))

(Ec.27.12)

Momentos en apoyos: Métodos de compensación Los métodos de compensación suponen primero un empotramiento perfecto en los bordes comunes a dos tramos vecinos, se calculan los momentos de empotramiento con la relación: 105


M e1 =

K m e1


M e2 =

y

K

m e2

(Ec.27.13)

La compensación se efectúa con: (Ver Fig. 27.5) M e1− 2 = µ1M e1 + µ 2 M e 2 (Ec.27.14)

Donde μ1 y μ2 representan el grado de empotramiento mutuo de las losas, son factores que se determinan con los coeficientes de rigidez k de las losas. Tales coeficientes tienen el mismo significado que en el método de Cross. Si k1 y k2 representan las rigideces de la losa a la izquierda y a la derecha del apoyo común, los valores de μ de la ecuación anterior se determinan con: k 2 k 1 µ 1 = µ 2 = y (Ec.27.15) k 1 + k 2 k 1 + k 2

27.6.4. Rigidez de placas con flexión biaxial.- La rigidez k de una losa es un valor particular que origina un giro unitario de la misma. Si h es el espesor de la losa el momento de inercia respecto al plano medio será J=

h3

12

(Ec.27.16)

La rigidez que es ese valor particular de giro será: ρEJ k = (Ec.27.17) l x

Si l x es la luz de la losa del borde perpendicular al borde donde se aplica el momento unitario. En la práctica se prefiere usar coeficientes de rigidez reducidos (Tabla 7)

27.7. Disposiciones de armadura y detalles constructivos.Se dispondrán armaduras ortogonales paralelas a los bordes capaces de resistir los momentos solicitantes La disposición de la armadura dependerá mucho del tipo de vinculación, sea esta libre al giro o restringida 



106

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




Debe considerarse cuidadosamente la disposición de armadura en esquinas, para absorber el momento envolvente (torsor). Podrá doblarse, en caso de losas continuas, para absorber los momentos de continuidad sobre apoyos hasta 2/3 de la armadura de tramo, llevando el 1/3 restante sin interrupción de apoyo a apoyo. La colocación de armaduras para losas simplemente apoyadas será: (Fig. 27.6) ly

Asy/2

0.2 lx

Asy 2 / x s A

x s A

2 / x s A

Asy/2

0.2 lx

Ase=0.75 Asx (A.D.,S,I)

ly
0.2 ly

0.2 ly

Cara inferior

Anclaje con sobrecarga con gancho

0.2 ly

Sin sobrecarga Anclar en la pared

Figura 27.6 Como armadura para absorber momentos de empotramiento no planificados se dispondrá malla contra fisuras (Doblar 1/3 de la armadura de tramo con ángulos de 30° a 45°, iniciando el doblado a 0.15 l del borde del apoyo)

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Para losas empotradas o continuas la disposición de la armadura podrá ser: ly

ly

Asy/2

2 / x s A

Asy/2

0.2 lx

Asy/2 Asy/2

2 2 / / x x s s A A

Asy/2 lx 2 / x s A

Asy/2

2 / x s A

Asy/2

2 / x s A

2 / x s A

2 / x s A

Asy/2

0.2 lx

0.2 ly

0.2 ly

0.2 ly

Cara inferior

Cara superior

Figura 27.7 



También se dispondrá armadura paralela al borde empotrado en las esquinas de losas continuas con apoyos de distinta naturaleza, con un área igual a la mitad de la armadura máxima del tramo central, dispuesta en un cuadrado de lado 0.2 l y. Deberán verificarse las cuantías mínimas de acero: B-400 S: 2 por mil Acero por temperatura y retracción B-500 S: 1.8 por mil Acero por temperatura y retracción Art. 36.1.8.2 EHE.

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Cap. 27 Losas Armadas en Dos Direcciones 2015

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