Losas en Dos Direcciones

PF-3921 Concreto Estructural Avanzado

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Losas en dos direcciones PF-3921 Concreto Estructural Avanzado Lección 4 Lunes 3 de setiembre 2012

Introducción

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Posgrado en Ingeniería Civil - UCR


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Tipos de Losas Tipo de losa

Luz (m)

Carga (kg/m2)

Placa plana

4.5 a 6.0

200

Losa plana

6.0 a 9.0

500

7.5 a 12.0

?

Losa nervada

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3

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Desarrollo histórico de losas en dos direcciones

Distribución de refuerzo en la losa de hongo de C.A.P. Turner 3 setiembre 12


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Comportamiento de una losa cargada hasta la falla a flexión • Antes del agrietamiento, la losa se comporta como una placa elástica. Para cargas de corto plazo, las deformaciones, los esfuerzos y las deflexiones pueden calcularse con análisis elástico. • Después del agrietamiento pero antes de la fluencia del refuerzo, la losa deja de tener rigidez uniforme y deja de ser isotrópica ya que los patrones de grietas son diferentes dependiendo de la dirección de análisis. Pruebas confirman que la teoría elástica predice momentos adecuadamente. • Se inicia la fluencia del refuerzo en zonas de momento máximo y éstos se redistribuyen a zonas todavía elásticas. • Aun cuando las líneas de fluencia forman un mecanismo plástico, las rótulas se entraban conforme aumenta la deflexión y se forma un arco de compresión.

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Comportamiento de una losa cargada hasta la falla a flexión

Losa apoyada sobre, y continua con, vigas rígidas o muros. Las losas que fallan en flexión son muy dúctiles. Las placas planas pueden fallar en cortante. (Falla frágil) 3 setiembre 12



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Comportamiento de una losa cargada hasta la falla a flexión

Las rótulas se entraban conforme aumenta la deflexión y se forma un arco de compresión. Esto supone una estructura rígida alrededor de la losa.

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Análisis de momentos en losas en dos direcciones Momentos en sección A-A q12 m-Mg m 8 2 M   q 2  1 m-Mg 8 Momentos en sección B-B

m

 q   M 1b   1  2 m-Mg  2 8 2 M   q1  2 m-Mg 8 2

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Análisis de momentos en losas en dos direcciones Momentos en sección A-A q12 m-Mg m 8 2 M   q 2  1 m-Mg 8 Momentos en sección B-B m

q 22 m-Mg m 8 2 M   q1  2 m-Mg 8

m

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Análisis de momentos en losas en dos direcciones Análisis de momentos en losas según Nichols: Supone: 1. Panel rectangular interior típico en una estructura grande 2. Carga uniforme en todos los paneles de la estructura Esto asegura que las líneas de momento máximo coincidirán con las líneas de simetría de la estructura. Las reacciones a las cargas verticales se transmiten a la losa mediante cortante alrededor de la cara de las columnas.

3.

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Las reacciones de la columna se concentran en las cuatro esquinas de cada columna.


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Análisis de momentos en losas en dos direcciones El momento estático total, Mo, es la suma del momento negativo M1 y el momento positivo M2 : M o  M1  M 2   q 1 2  1  qc1c2  c1  q1 2 qc1c2  c1        2 2  2 4  2 4  2  2  2c1 c2 c12    1 1   1  2 12     Con  n  1  c1 , el ACI 318 simplifica haciendo Mo 

q 2 8

 2c c c 2   2n   12 1  1  2 12  y por lo tanto: 1  21   2 q  Mo  2 n 8

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Distribución de momentos en losas Ecuaciones básicas: mx  

Et 3   2 z    12  x 2 

my  

Et 3   2 z    12  y 2 

mxy  

Et 3   2 z    12  xy 

Figura 10-9. Relación entre curvatura de losa y momentos

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Curvatura:  M 1   r z EI 14

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Distribución de momentos en losas

Figura 10-10. Deflexión de la franja B de la figura 10-9

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Distribución de momentos en losas Momentos en losas apoyadas sobre muros o vigas rígidas

Figura 10-11. Tipos de diagramas de momentos: losa empotrada en cuatro lados.

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Distribución de momentos en losas Momentos en losas apoyadas sobre columnas aisladas

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Distribución de momentos en losas Momentos en losas apoyadas sobre columnas aisladas

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DISEÑO DE LOSAS

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Pasos en el diseño de losas • 1. Escogencia del trazado y el tipo de losa a usar. Los diferentes tipos de losas en dos direcciones y sus usos han sido discutidos brevemente en la sección 10.1. La escogencia del tipo de losa está altamente influenciado por consideraciones arquitectónicas y constructivas.

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Pasos en el diseño de losas • 2. Escogencia del espesor de losa. Generalmente, el espesor de la losa se escoge para prevenir deflexiones excesivas ante cargas de servicio. Igualmente importante es escoger el espesor adecuado para resistir el cortante tanto en las columnas interiores como exteriores (ver Sección 10.10).

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Pasos en el diseño de losas • 3. Escogencia del método de cálculo de los momentos de diseño. El método del pórtico equivalente usa análisis elástico para calcular los momentos positivos y negativos en los diferentes paneles de la losa. El método directo de diseño usa coeficientes para calcular esos momentos.

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Pasos en el diseño de losas • 4. Cálculo de momentos positivos y negativos en la losa.

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Pasos en el diseño de losas • 5. Cálculo de la distribución de momentos a través del ancho de la losa. La distribución lateral de momentos en un panel depende de la geometría de la losa y de la rigidez de las vigas (si las hay). Este procedimiento es el mismo independientemente de si los momentos negativos y positivos se calculan con el método directo o con el de pórtico equivalente.

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Pasos en el diseño de losas • 6. Si hay vigas, asignar una porción del momento a las vigas.

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Pasos en el diseño de losas • 7. Escoger la cuantía de refuerzo para los momentos obtenidos en los pasos 5 y 6. (Nota: los pasos 3 a 7 deben ser efectuados para ambas direcciones principales)

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Pasos en el diseño de losas • 8. Verificar la resistencia de cortante en la sección crítica alrededor de las columnas.

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Razón de rigidez entre viga y losa, f En la norma ACI, los efectos de la rigidez de las vigas sobre las deflexiones y la distribución de momentos se expresan como una función de f, definido como la rigidez a la flexión,

4EI 

de la viga dividida por la rigidez a la flexión de un ancho de la losa limitado lateralmente por las líneas de centro de los paneles adyacentes a cada lado de la viga:

f 

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4 Ecb I b  4 Ecs I s 


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Razón de rigidez entre viga y losa, f

Figura 10-19. Secciones transversales de viga y losa para el cálculo de f

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Razón de rigidez entre viga y losa, f

Fig 10-20. Sección transversal de vigas según definición de ACI 13.2.4

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Ejemplo 10.1 • Una losa de 20 cm de espesor está apoyada sobre una viga de borde de peralte total de 40 cm por 30 cm de ancho, como se muestra en la figura 10‐21a. La losa y la viga fueron coladas monolíticamente, tienen concreto de igual resistencia, y módulo de elasticidad Ec. Calcule f. Como y entonces (10‐9) se reduce a . 3 setiembre 12



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Ejemplo 10.1 •  Cálculo de Ib. La sección transversal de la viga es como se muestra en la figura 10‐21b. El centroide de la viga está localizado a 17.5 cm de la fibra superior de la losa. El momento de inercia de la viga es

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Ejemplo 10.1 •  Cálculo de Is. Is se calcula para la parte achurada de la losa según la figura 10‐21c: •

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Ejemplo 10.1 •  Cálculo de f. • 

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Figura 10-21. Losa para el Ejemplo 10-1. 3 setiembre 12



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Espesor mínimo de losas en dos direcciones • El artículo ACI 318S‐08 9.5.3 define espesores mínimos que generalmente son suficientes para limitar las deflexiones de las losas en valores aceptables. Se pueden usar losas más delgadas si se puede demostrar que las deflexiones calculadas no van a ser excesivas. El cálculo de deflexiones en losas se presenta en la Sección 10.6.

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Losas sin vigas entre columnas internas • Para una losa sin vigas entre columnas internas y con una razón de luz larga vs. luz corta de 2 o menos, el espesor mínimo se puede tomar de la Tabla 10‐1 (ACI Tabla 9.5(c)), pero no menor que 12.5 cm en losas sin ábacos o 10 cm en losas con ábacos con dimensiones definidas en el artículo ACI 318S‐08 13.2.5.

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Tabla 10‐1. Espesor mínimo de losas en dos direcciones

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Losas sin vigas entre columnas internas • El espesor calculado con la Tabla 10‐1 debe ser redondeado hacia arriba por 1 cm para losas de 15 cm o más de espesor. Redondeando hacia arriba se logra una losa más rígida y por lo tanto con menores deflexiones. Estudios sobre deflexiones en losas presentados por Thompson y Scanlon (Thompson & Scanlon, 1988) sugieren que losas sin vigas internas deberían tener espesores un 10% mayor que los valores mínimos recomendados por ACI para evitar deflexiones excesivas.

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MÉTODO DE DISEÑO DIRECTO

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Limitaciones en el uso del método de diseño directo • 1. Debe haber un mínimo de tres luces continuas en cada dirección. De esta forma, la estructura mas pequeña a considerar será una de nueve paneles (3 por 3). Si hay menos de tres paneles, los momentos negativos internos provenientes del método directo de diseño tienden a ser muy pequeños

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Limitaciones en el uso del método de diseño directo • 2. Los paneles rectangulares deben tener una razón de largo vs. ancho no mayor que 2. Cuando esta razón es mayor que 2, el comportamiento unidireccional se torna predominante

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Limitaciones en el uso del método de diseño directo • 3. Las longitudes de luces sucesivas en cada dirección no deberán diferir en más de un tercio de la longitud de la luz mayor. Este límite es exigido para incentivar el uso de ciertos detalles de corte de barras estandarizados

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Limitaciones en el uso del método de diseño directo • 4. Las columnas pueden estar sesgadas de la cuadricula rectangular del edificio hasta por un 10% de la luz paralela al sesgo. En un edificio con una disposición como ésta, se debe usar la ubicación real de las columnas para determinar las luces de la losa utilizadas en el cálculo de los momentos de diseño

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Limitaciones en el uso del método de diseño directo • 5. Todas las cargas deben ser únicamente gravitacionales y uniformemente distribuidas en todo el panel. El método directo de diseño no puede ser usado para pórticos no arriostrados, losas de fundación o losas preesforzadas

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Limitaciones en el uso del método de diseño directo • 6. La carga viva de servicio (no mayorada) no deberá ser mayor que dos veces el valor de la carga muerta de servicio. Solicitaciones de tablero o de franja con razones de carga viva vs. carga muerta muy grandes pueden conducir a momentos más grandes que los supuestos por este método de análisis

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Limitaciones en el uso del método de diseño directo • 7. Para un panel con vigas en las dos direcciones entre apoyos, la rigidez relativa de las vigas en las  f 1 22  f 2  12 dos direcciones perpendiculares dadas por no deberá ser menor que 0.2 ni mayor que 5. El término f se define más adelante y 1 y 2 son las luces en las dos direcciones

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Distribución interna de momentos en paneles— Losas sin vigas entre apoyos

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Ejemplo 10‐2 Cálculo de momento estático, Mo

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Momentos positivos y negativos en paneles

Figura 10-24. Asignación de regiones de momento positivo y negativo 3 setiembre 12


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Figura 10-25. Definiciones de franjas central y de columna

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Suponiendo un coeficiente de Poisson de cero, G = E/2 y por tanto la razón de rigidez torsional será

t 

EcbC 2 Ecs I s

 x  x3 y  C   1  0.63   y 3  

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Ejemplo 10‐3

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MÉTODO DE PÓRTICO EQUIVALENTE 3 setiembre 12



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Método de Pórtico Equivalente • Más alcance que el Método de Diseño Directo • Se emplea un analisis de rigidez del portico columna‐losa para determinar la distribucion longitudinal de los momentos flexionantes, incluyendo posibles patrones de carga. • Se usa la misma distribución transversal de momentos según franjas central y de columna. • Método propuesto por Corley y Jirsa en 1970. • En ACI 318‐83 y subsiguientes se incluye el análisis para cargas laterales. 3 setiembre 12


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Metodo Clásico para Cargas Verticales • Se divide la losa en una serie de pórticos equivalentes en las dos direcciones de la edificación:

Fig. 3.20 División de la losa en pórticos para diseño.

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Cálculo de la rigidez, acarreo y momentos de empotramiento • Es necesario calcular la rigidez a la flexión, K; factor de acarreo COF; factor de distribución, DF; y momentos de empotramiento, FEM para cada elemento de la estructura. • Para un elemento prismático empotrado en el extremo y sin cargas axiales se tiene: K 3 setiembre 12

kEI L


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Método de Distribución de Momentos: Hardy Cross x (ft) 0 25 55 85

A B C D

‐104.2

0.44 104.2 20.4

10.2 8.3 4.2 1.4 0.7 0.6 0.3 0.1 0.0 ‐88.8

Tramo A‐B B‐C C‐D

0

135.0

0.56 ‐150.0 25.5 ‐18.8 10.4 ‐3.2 1.8 ‐1.3 0.7 ‐0.2 0.1 ‐0.1 ‐135.1

Longitud Inercia Rigidez Carga 25 20 0.8 2 30 30 1 2 30 30 1 20

0.50 150.0 ‐37.5 12.7 ‐6.4 5.2 ‐2.6 0.9 ‐0.4 0.4 ‐0.2 0.1 122.2

0.50 ‐75.0 ‐37.5

75.0

FEM Dist 1

‐18.8 ‐6.4

Dist 2 ‐3.2

‐2.6

Dist 3 ‐1.3

‐0.4

Dist 4 ‐0.2

‐0.2

Dist 5 ‐0.1 51.5

‐122.1

Total

20k 2 k/ft

A

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B

C


D

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Figura 13-31 Variación de la rigidez a lo largo de la luz.

Si se usa el EI del centro, k es mayor que 4, COF es mayor que ½, y FEM es mayor que 1/12. Se puede usar la analogía de la columna propuesta por Hardy Cross. 3 setiembre 12


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Analogía de la Columna • Cross notó una analogía entre las ecuaciones usadas para calcular esfuerzos en una columna asimétrica sujeta a fuerzas axiales y momentos, y las ecuaciones usadas para calcular momentos en una viga doblemente empotrada.

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Propiedades de viga‐losa • Los elementos horizontales en el pórtico equivalente se denominan vigas‐losa. • Consisten de losa, ábaco, viga paralela. (ACI 318S‐11, Art. 13.7.3).

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Figura 10‐32 Valores de EI para una losa con ábaco.


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Figura 10‐33 Valores de EI para una losa con viga.

Ejemplo 10‐5 • Cálculo de los coeficientes para distribución de momentos para un entrepiso de placa plana – La Figura 10‐34 muestra la planta de un entrepiso de placa plana sin vigas de borde. El entrepiso es de 7 in de espesor. Calcular las constantes para distribución de momentos para las vigas‐losa en el pórtico equivalente a lo largo del eje 2.

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Figura 10‐34 Planta de un entrepiso de placa plana—Ejemplos 10‐5, 10‐7, 10‐9 y 10‐10.

Table A‐14


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Ejemplo 10‐6 • La Figura 10‐35 muestra la planta de un losa en dos direcciones con vigas entre todas las columnas. El entrepiso es de 7 in de espesor y todas las vigas son de 18in de ancho por 18 in de peralte. Calcular las constantes para distribución de momentos para las vigas‐losa en el pórtico equivalente a lo largo del eje B.

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Figura 10‐35 Losas en dos direcciones con vigas—Ejemplos 10‐6 y 10‐8.


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Figura 10‐36 Luz B1‐B2—Ejemplo 10‐6

Propiedades de Columnas • Se establece lo siguiente para rigideces y factores de acarreo: • Momento de inercia basado en area bruta de concreto • Se supone infinito dentro del peralte de la losa en la junta.

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Figura 10‐37 Secciones para los cálculos de rigidez de columna, Kc.

Table A‐17


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Elementos en torsión y columnas equivalentes

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Figura 10‐38 Acción de pórtico y torsión de elemento de borde.


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Torque unitario aplicado a la columna equivalente .

Suponemos variación lineal del Torque unitario.

C = constante torsional G = módulo de rigidez

Figura 10‐39 Cálculo de Kt.

La distorsión total de un extremo del brazo relativo a la columna es la suma de las distorsiones por unidad de longitud y es igual al área del diagrama del ángulo de distorsión por unidad de longitud. Como es parabólica, el ángulo en el extremo del brazo es un tercio de la altura por la longitud del diagrama:

1 1  c2  2    2  c2    2 1  c2  2   1     3 2CG 6CE  2   2  2

t ,end 

3

Esta es la rotación en el extremo del brazo. La rotación promedio la tomamos como un tercio de la rotación en el extremo:

t ,end

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 1  c2  2   2 18CE

3


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Finalmente, la rigidez torsional de un brazo se calcula como:

K t  M t ,avg 

9 EC  2 1  c2  2 

3

El comentario de la Sección 13.7.5 del ACI indica:

Kt  

9 Ecs C

 2 1  c2  2 

3

 x  x3 y  C   1  0.63   y 3   3 setiembre 12


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Table A‐17


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Figura 10‐40 Elementos en torsión.

Figura 10‐41 Elementos torsionales para Ejemplo 10‐7


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Figura 10‐42 Columnas exteriores en junta de losa en B1 para Ejemplo 10‐8.

Figura 10‐43 Elementos en torsión en B1 y B2 para Ejemplo10‐8.


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Disposición de cargas vivas para análisis estructural • Para momento positivo máximo—carga muerta factorizada en todos los paneles más 0.75 veces la carga viva factorizada en el panel en cuestión y en los alternos • Para momento negativo máximo en panel interior—carga muerta factorizada en todos los paneles más 0.75 veces la carga viva factorizada en el panel en cuestión y el adyacente • Los momentos finales de diseño no deberán ser menores que para el caso de carga muerta más viva factorizadas en todos los paneles. 3 setiembre 12


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Figura 10‐44 Secciones críticas para momento negativo.

Momentos en las caras de los apoyos


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Si la losa cumple con los requisitos para Diseño Directo se permite la reducción tal que:

 M1  M 2   M3   Mo  2  

Figura 10‐45 Momentos negativos y positivos en una viga‐losa.

Distribución de momentos hacia franjas de columna, franjas centrales y vigas • Los momentos positivos y negativos obtenidos anteriormente son distribuidos a las franjas centrales y de columna según ACI 13.6.4 y 13.6.6 de la misma forma en que se hizo para el método directo. • Esto es válido para 0.2 < α1ℓ22/α2ℓ12 < 5.0 únicamente. Fuera de este rango se deben usar otros métodos. 3 setiembre 12



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Ejemplo 10‐9 Análisis de entrepiso de placa plana usando Pórtico Equivalente Clásico • Referencia Fig. 10‐36, usar concreto de 4000 psi para losa y columnas. Altura entre pisos 8 ft‐10 in. El piso soporta su propio peso más 25 psf para particiones y una carga viva de 40 psf.

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Figura 10‐34 Planta para el Ejemplo 10‐9.


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Figura 10‐46 Rigidez, factores de acarreo y de distribución—Ejemplo 13‐9.

Tabla 10-6 Distribución de Momentos—Ejemplo 10-9 A2

B2 COF = 0.508

FEM

D2 COF = 0.508

0

0.434

0.566

0.304

0.471

0.225

0.225

0.471

0.304

0.566

0.434

0

Vol. -4.0

Col. 0

Losa +82.9

Losa -82.9

Col. 0

Losa +105

Losa -105

Col. 0

Losa +82.9

Losa -82.9

Col. 0

Vol. +4.0

-36.0

-46.9

-6.7

-10.4

+10.4

-3.4

-23.8

+1.9

+6.5

+3.3

+1.0

-1.9

+0.4

+0.2

-0.9

B1 C1 B2

+1.5

C2 B3

-1.4

C3 B4 Suma

C2 COF = 0.507

-4.0

Suma en junta

+10.0 +0.7

-5.0

+5.0

+2.5

-2.5

+4.8

-4.8

-2.4

+2.4

+0.3

-0.3

-0.2

+0.2

-10.0 -0.7

+6.7

+46.9 +36.0

+23.8

+3.4

-6.5

-1.9

-1.0

-3.3

-0.4

+1.9

+0.9

-0.2

-1.5 +1.4

-0.1

-0.1

+0.3

+0.5

+0.2

-0.2

-0.5

-0.3

+0.1

+0.1

-36.0

36.0

-106

+0.80

105

-105

-0.80

+106

-36.0

36.0

0

3 setiembre 12


0

0


+4.0

0

106

53


3 setiembre 12

Figura 10‐47 Momentos y cortantes en pórtico eje 2 para el Ejemplo 10‐9.

Uso de computadores en análisis de pórticos equivalentes • El método clásico fue derivado para cálculos manuales. • Para software de análisis estructural, se requiere incorporar el elemento en torsión (y la columna equivalente resultante) ya sea en el elemento viga‐losa o en la columna. • La direccion general tomada ha sido la de modificar la rigidez de la viga‐losa mediante la definición de un ancho efectivo de viga para reducir la rigidez del elemento, particularmente en las conexiones. 3 setiembre 12



108

54


3 setiembre 12

Figura 10‐48 Valor mínimo para ancho efectivo de losa en la conexión losa‐columna exterior.

Figura 10‐49 Ancho efectivo de losa, y ubicación de nodos intermedios a lo largo de la luz. 2


55


3 setiembre 12

Tabla 10-7 Valores de α y β recomendados para rigidez a la flexión en elementos losa-viga valor de α

valor de β

(para ancho efectivo αℓ2)

(para Ie = βIg)

Regiones de momento positivo

0.5

0.5

Regiones de momento negativo

0.5

0.5 para análisis gravitacional únicamente 0.33 para carga lateral

0.2 a 0.5 (función de la rigidez de la viga de borde)

0.33

Región de la losa

(columnas interiores)

Regiones de momento negativo (columnas exteriores)

3 setiembre 12


111

Figura 10‐50 Ubicación de puntos nodales y dimensiones para pórtico losa‐columna analizado en Ejemplo 10‐10.


56


3 setiembre 12

Figura 10‐51 Modelo de pórtico equivalente para analisis de pórtico losa‐columna sujeto a cargas laterales y gravitacionales.

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114

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115

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118


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Tabla 10-8 Resultados de análisis: Momentos de diseño de software estándar vrs. CEFM Vano final Caso de análisis

Vano interior

Momento en Momento a cara exterior mitad de (kip-ft) vano (kip-ft)

Momento en Momento en Momento a cara interior cara interior mitad de (kip-ft) (kip-ft) vano (kip-ft)

CEFM

-24.4

55.1

-80.6

-80.0

50.7

Caso 1

-37.8

50.4

-74.2

-79.4

52.3

Caso 2

-37.0

50.6

-74.7

-79.4

52.3

Caso 3

-39.5

54.8

-62.7

-70.9

60.8

3 setiembre 12


119

RESISTENCIA DE CORTANTE EN LOSAS EN DOS DIRECCIONES 3 setiembre 12



120

60


3 setiembre 12

Resistencia de cortante en losas en dos direcciones • En general, la capacidad para cortante de punzonamiento de una losa o de una zapata será considerablemente menor que la capacidad para cortante en una dirección. • En diseño es necesario considerar ambos mecanismos de falla.

3 setiembre 12


121

Figura 10‐54 Falla de cortante en una losa.


61


3 setiembre 12

Comportamiento de losas con falla de cortante Columnas interiores • Las grietas inclinadas o de cortante definen una superficie de cono truncado alrededor de la zona de máximos momentos negativos.

3 setiembre 12

Grietas inclinadas en una losa después de la falla de cortante:


123

Comportamiento de losas con falla de cortante Modelo de cercha para transferencia de cortante en una columna interior.

Columnas interiores • Para analizar la falla por punzonamiento de cortante se puede usar un modelo de cercha. • Antes de que se formen las grietas inclinadas, el cortante se transfiere mediante esfuerzos de cortante en el concreto. • Cuando se forman las grietas inclinadas no se puede transmitir mucho cortante a traves de ellas. 3 setiembre 12



124

62


3 setiembre 12

Comportamiento de losas con falla de cortante Modelo de cercha para transferencia de cortante en una columna interior.

Columnas interiores • La mayor parte del cortante vertical se transmite por puntales inclinados A—B y D— C que se extienden desde la zona de compresión en la parte inferior de la losa hasta el refuerzo en la parte superior de la losa. • La componente vertical de la compresión del puntal empuja la barra hacia arriba lo cual es resistido por esfuerzos de tracción en el concreto ubicado entre las barras. 3 setiembre 12


125

Comportamiento de losas con falla de cortante Columnas interiores • Cuando se forman las grietas inclinadas no se puede transmitir mucho cortante a traves de ellas. • Aun cuando una losa en dos direcciones posee gran ductilidad si falla en flexión, tiene ínfima ductilidad si falla en cortante.

3 setiembre 12


Modelo de cercha para transferencia de cortante en una columna interior.


126

63


3 setiembre 12

Diseño para cortante en dos direcciones • Para transferencia de cortante sin momento : columnas interiores. • La sección crítica esta en la cara de la columna. • Para simplificar se decidió usar la sección crítica a d/2: • Sección pseudo‐crítica para cortante. Nota: d corresponde al peralte efectivo de la losa. 3 setiembre 12


127

Diseño para cortante en dos direcciones Ubicación del perímetro crítico

• No debe estar a menos de d/2 de la cara de la columna. • Longitud del perímetro bo es el mínimo. • Perímetro rectangular si la sección transversal de la columna también lo es.

3 setiembre 12



128

64


3 setiembre 12

Secciones críticas para losas con ábacos • El ábaco es un incremento del espesor de la losa para incrementar la capacidad de cortante. • El incremento debe ser de al menos un 25%. • Se deben considerar dos secciones críticas. • Sirve para disminuir deflexiones o reducir refuerzo negativo. 3 setiembre 12


129

Secciones críticas cerca de aberturas y en los bordes • ACI pide que se reduzca el perímetro crítico si la abertura está a menos de 10h. • Para aberturas, – perímetros si A y B no exceden el mayor de 4h y 2ℓd. – perímetros si A excede el mayor de 4h o 2ℓd , pero B no los excede.

3 setiembre 12



130

65


3 setiembre 12

Areas tributarias para cortante en losas en dos direcciones • Para carga uniformemente distribuida el límite son las líneas de Vu = 0 • Para paneles interiores la línea se considera en 0.5ℓ • Para paneles de borde las líneas de Vu = 0 están de 0.42ℓ a 0.45ℓ. Usar 0.5ℓ. • Para primer panel interior usar 0.5x1.15ℓ. 3 setiembre 12


131

Ecuaciones de diseño: Cortante en dos direcciones sin transferencia de momento • Columnas interiores en edificios arriostrados. • Transferencia de momentos es despreciable. • Transferencia de momento a zapata es también despreciable. • Ecuación de diseño:

Vn  Vu 3 setiembre 12



132

66


3 setiembre 12

Cortante de punzonamiento, Vc, del concreto en losas en dos direcciones Capacidad de cortante: • En general ACI recomienda Vn = Vc + Vs. Para cortante en losas se toma Vs = 0. • Para Vc se recomienda el menor valor de

Vc  4 f cbo d Vc   2  4    f cbo d Vc   s d bo  2   f cbo d 3 setiembre 12


Distribución varía según la razon largo/ancho de la columna. 133





134

67


3 setiembre 12




135

Figura 10‐63 Comparación de ecuaciones de diseño contra datos experimentales.


68


3 setiembre 12

Cortante en una dirección en losas Capacidad de cortante: • La sección crítica se localiza a una distancia d de la cara del apoyo, de la cara del ábaco o de otros cambios de rigidez. El ancho total del panel se considera como resistente:

Vc  2 f cbd

3 setiembre 12


137

Ejemplo 10‐11 Revisión de cortante en una y en dos direcciones en una columna interior de una placa plana

3 setiembre 12



138

69


3 setiembre 12

Figura 10‐65 Determinación de dprom para uso en evaluación de resistencia de cortante de losas en dos direcciones.

Figura 10‐66 Area con carga y secciones críticas para cortante en dos direcciones—Ejemplo 10‐11.


70


3 setiembre 12

Aumentando la resistencia de cortante Aumento en capacidad • Aumentar el espesor de la losa (aumenta Vu) • Usar ábacos • Incrementar bo mediante aumento del tamaño de la columna o añadiendo un capitel. • Añadir refuerzo de cortante

3 setiembre 12

Diagramas Carga‐Deflexión:


141

Figura 10‐67 Curvas de deflexión debida a carga para losas reforzadas para falla de cortante en dos direcciones.


71


3 setiembre 12

Refuerzo de cortante para losas en dos direcciones Estribos • ACI 318S‐08, Art. 11.11.3 permite el uso de estribos abiertos de un brazo, de multiples brazos o estribos cerrados, siempre que se cuente con refuerzo longitudinal en todas las esquinas de los estribos. • Solo válido para losas con d > 6 in. o 16ds. • Alto costo previene uso. Bueno solo para losas de 10 in. 3 setiembre 12


143

Figura 10‐68 Refuerzo para cortante tipo estribo en losas en dos direcciones.


72


3 setiembre 12

Cabezas de cortante de acero estructural • Diseñadas para resistir cortante y parte del momento segun 11.11.4. • En columnas exteriores requieren norma especial para transferir el momento de desbalance.

3 setiembre 12


145

Pernos con cabeza para cortante • Permitidos por 11.11.5. • Actuan de la misma forma que ganchos de estribos • Soldados en taller a placas de acero con espaciamiento predeterminado • Area de apoyo de la cabeza 10 veces el area del perno para permitir desarrollo del perno antes del aplasta‐ miento del concreto 3 setiembre 12



146

73


3 setiembre 12

Figura 10‐69 Cabezas de cortante estructurales. (Tomado del Journal ACI, Octubre 1968.)

Figura 10‐70 Cabezas de cortante.


74


3 setiembre 12

Diseño del refuerzo de cortante • Se requiere si el esfuerzo de cortante en la sección crítica interna a d/2 de la cara de la columna excede Vc. • O bien si excede el esfuerzo de cortante Vc en la sección crítica externa a d/2 de los pernos extremos.

3 setiembre 12


149

Diseño del refuerzo de cortante • La sección 11.11.3.1 permite únicamente la mitad del esfuerzo del concreto en la sección crítica interna para refuerzo de cortante de estribos, comparado en el caso sin refuerzo (pruebas de laboratorio).

3 setiembre 12



150

75


3 setiembre 12

Diseño del refuerzo de cortante • Por lo tanto, el ACI recomienda que la resistencia nominal de cortante para losas en dos direcciones con refuerzo de estribos sea:

Vn  Vc  Vs Vc  2 f cbo d 3 setiembre 12


151

Diseño del refuerzo de cortante • ACI supone que grietas de punzonamiento tienen la geometría mostrada. • Se requiere que la distancia desde la cara de la columna a la primera línea de estribos no exceda d/2. • Lo mismo aplica para los estribos subsiguientes.

3 setiembre 12



152

76


3 setiembre 12

Diseño del refuerzo de cortante • La resistencia de cortante provista por el refuerzo tipo estribo es Vs  Av f yt

d s

• Av es la suma de las áreas de toda la línea periférica de estribos a lo largo del perímetro de la columna y fyt es la resistencia de los estribos. • Además, para estos casos Vn  6 f cbo d 3 setiembre 12


153

Diseño del refuerzo de cortante Pernos con cabeza para cortante

• El ACI recomienda que la resistencia nominal de cortante para losas en dos direcciones con refuerzo de pernos con cabeza para cortante sea:

Vn  Vc  Vs  8 f cbo d Vc  3 f cbo d 3 setiembre 12



154

77


3 setiembre 12

Diseño del refuerzo de cortante Pernos con cabeza para cortante

• Se requiere que la distancia desde la cara de la columna a la primera línea de estribos no exceda d/2. • Segun 11.11.5 se puede usar hasta 3d/4 para las cabezas subsiguientes si

Vu   6 f cbo d 3 setiembre 12


155

Ejemplo 10‐12 Diseño de una junta losa‐columna interior con refuerzo con cabeza de cortante

3 setiembre 12



156

78


3 setiembre 12

Figura 10‐72 Sección crítica de cortante de ocho lados.

Losas en dos direcciones

TRANSFERENCIA DE CORTANTE Y MOMENTO COMBINADOS 3 setiembre 12



158

79


3 setiembre 12

Unión losa‐columna sujeta a cortante y momento Involucra flexión, cortante y torsión en la porción de la losa adherida a la columna. Dependiendo de las resistenicas relativas en estos tres modos, las fallas pueden tomar varias formas. Se revisan los métodos disponibles para diseño.

3 setiembre 12


159

Unión losa‐columna sujeta a cortante y momento Caso particular de columna de borde

3 setiembre 12



160

80


3 setiembre 12

Unión losa‐columna sujeta a cortante y momento Involucra flexión, cortante y torsión en la porción de la losa adherida a la columna. Dependiendo de las resistenicas relativas en estos tres modos, las fallas pueden tomar varias formas. Se revisan los métodos disponibles para diseño. Método de Viga Considera franjas de viga y segmentos de losa adyacentes sujetos a momento, cortante y torsión que fallan cuando los esfuerzos combinados corresponden a uno o varios modos de falla. Conceptual y no se aplica en la práctica.

3 setiembre 12


161

Unión losa‐columna sujeta a cortante y momento Involucra flexión, cortante y torsión en la porción de la losa adherida a la columna. Dependiendo de las resistenicas relativas en estos tres modos, las fallas pueden tomar varias formas. Se revisan los métodos disponibles para diseño. Método Jc (Comentario ACI) Método tradicional de ACI usado para calcular el esfuerzo cortante máximo en la sección crítica alrededor de la columna para las conexiones losa‐ columna.

3 setiembre 12



162

81


3 setiembre 12

Método Jc (Comentario ACI) • Esfuerzo cortante máximo en la sección crítica alrededor de la columna para conexión losa‐columna que transfiere ambos, cortante y momento dado por • Ec. 10‐30:

vu 

Vu  v M u c  bo d Jc

• bo es la longitud del perímetro crítico de cortante • d es el peralte efectivo de la losa • Jc es un momento polar de inercia efectivo por definir 3 setiembre 12


163

Método Jc (Comentario ACI) • Vu es el cortante último (factorizado) transferido de la losa a la columna. Actúa en el centroide de la sección crítica de cortante. • Mu es el momento último (factorizado) transferido en la conexión • c es la distancia del centroide del perímetro crítico al borde del perímetro donde el esfuerzo vu está siendo calculado. • ϒv es la fracción del momento que es transferida por esfuerzos de cortante en la sección crítica  v  1  f 3 setiembre 12



164

82


3 setiembre 12

Método Jc (Comentario ACI) • ϒf es la fracción del momento que es transferida por flexión directa. El refuerzo ya diseñado para flexión en esta región puede ser usado para satisfacer en todo o en parte este requisito de resistencia • Para losas sin refuerzo de cortante vu debe cumplir con 10‐24, 10‐25 o 10‐26.

3 setiembre 12


165

Esfuerzos de cortante debidos a Vu se suman a los esfuerzos de cortante debidos a Mu en la misma sección.

Figura 10‐73 Esfuerzos de cortante para transferencia de cortante y momento.


83


3 setiembre 12

Esfuerzos de cortante debidos a Vu se suman a los esfuerzos de cortante debidos a Mu en la misma sección.

Figura 10‐74 Esfuerzos de cortante debidos a transferencia de cortante y momento en una columna de borde

Cálculo de Jc • Ancho de transferencia – Según 13.5.3.2 de la norma ACI se debe proveer suficiente refuerzo en la losa para acarrear la fracción de momento a transferir, ϒf Mu. – Se define como la suma del ancho de columna c2 más 1.5 veces el espesor de la losa o del ábaco.

3 setiembre 12



168

84


3 setiembre 12

Restricción del cap 21 para caso de borde de losa sin viga. (usar siempre)

Figura 10‐75 Definición de ancho de transferencia en conexiones losa‐columna.

Refuerzo de la losa que no esté anclado en la columna no será efectivo para transferir momentos a la columna.

Figura 10‐76 Deformaciones unitarias medidas en barras adyacentes a una columna de borde a la falla.


85


3 setiembre 12

• La sección 13.5.3.2 de la norma ACI define la fracción de momento transferida por flexión (Ec. 10‐32):

f 

1 1   2 3 b1 b2

• ϒf = 1 para losa apoyada en muro y ϒf = 0 para losa en borde de muro 3 setiembre 12


171

Para columna cuadrada ϒf = 0.60 y ϒv = 0.40.

Figura 10‐77 Perímetros críticos de cortante para flexión a lo largo de los ejes indicados.


86


3 setiembre 12

Cota inferior para cortante y momento combinados

Figura 10‐78 Interacción entre cortante y momento en columnas de borde.

ACI 318 13.5.3.3 • Se puede incrementar ϒf de 0.6 hasta 1.0 si Vu en la conexión es menor que 0.75φVc. Para conexiones esquineras si es menor que 0.50φVc. • Se permite un incremento en ϒf de 25% en conexiones internas cuando Vu es menor o igual que 0.40φVc

3 setiembre 12



174

87


3 setiembre 12

Propiedades del perímetro de cortante • Propiedades de los perímetros críticos de cortante en conexiones losa‐columna – Método del Comentario de la norma ACI – Usa la ecuación (10‐30) y subdivide el perímetro en

3 setiembre 12


175

Propiedades del perímetro de cortante • Jc, el momento polar de inercia efectivo del perímetro en la conexión se usa para tomar en cuenta torsión y cortante en sus caras. – Usa dos, tres o cuatro lados individuales que luego se suman

3 setiembre 12



176

88


3 setiembre 12

Momento polar de inercia, Jc, para un lado aislado de un perímetro crítico de cortante • El momento polar está dado por

J c   I x  I y   Ax 2  bd 3 db3  2 Jc       bd  x 12   12 3 setiembre 12


177

Figura 10‐79 Rectángulo considerado en el cálculo del momento polar de inercia de un lado.


89


3 setiembre 12

Propiedades de una sección rectangular cerrada crítica en cortante • El centroide del perímetro crítico pasa por el centroide de los lados DA y CB. • El cálculo es similar al caso de un lado más los términos para los lados paralelos J c  J c  alrededor de eje x para caras AD y BC   Ax 2  caras AB y CD 

 b d 3 db3  b  J c  2  1  1   2  b2 d   1  12  2  12

3 setiembre 12

2


179

Propiedades de una sección rectangular cerrada crítica en cortante • donde

b1  c1  2  d 2 

• b1 = longitud de los lados del perímetro de cortante perpendicular al eje de flexión

b2  c2  2  d 2  • b2 = longitud de los lados del perímetro de cortante perpendicular al eje de flexión • c1 ancho de columna perpendicular al eje de flexión • c2 ancho de columna paralelo al eje de flexión 3 setiembre 12



180

90


3 setiembre 12

Propiedades de una sección de borde

3 setiembre 12


181

Propiedades de una sección esquinera

3 setiembre 12



182

91


3 setiembre 12

Columnas circulares: Para cálculos de cortante y momento combinados, el comité 426 del ACI-ASCE recomienda que el perímetro de cortante de columnas circulares se base en el de una columna cuadrada con el mismo centroide y con la misma longitud de perímetro. En este caso, la columna cuadrada equivalente tendrá lados de longitud

c   d c 2  0.886d c

Figura 10‐80 Perímetros críticos para transferencia de momentos y cortante en columnas circulares.

Patrones de carga para esfuerzo cortante máximo debido a transferencia de cortante y momento combinados • Para columnas interiores – El esfuerzo cortante máximo ocurre generalmente cuando todos los paneles del piso o techo que rodean una columna son cargados con las cargas muerta y viva factorizadas. Sin embargo, si dos paneles adyacentes tienen longitudes significativamente diferentes, un segundo caso de carga en donde solo el panel con la luz más larga adyacente es cargado con la carga viva factorizada completa debe ser considerado. Este caso de carga producirá una transferencia de momento mayor, pero una fuerza de cortante menor.

• Para columnas de borde 3 setiembre 12



184

92


3 setiembre 12

Patrones de carga para esfuerzo cortante máximo debido a transferencia de cortante y momento combinados – (a) Para el caso de momentos que actúan alrededor de un eje paralelo al borde, la carga critica para esfuerzo cortante máximo ocurre con las cargas muerta y viva factorizadas actuando simultáneamente en ambos paneles de borde adyacentes a la columna. (b) Para el caso de momentos que actúan alrededor de un eje perpendicular al borde, podría ser necesario considerar dos casos. Para un caso, se deben aplicar cargas muerta y viva factorizadas a ambos paneles adyacentes. Ese caso producirá la fuerza cortante máxima, pero un momento de transferencia menor. Para el otro caso, solo se debe aplicar carga viva factorizada al panel mas largo de los dos adyacentes. Este caso producirá un momento de transferencia mayor, pero una fuerza de cortante menor. 3 setiembre 12


185

Patrones de carga para esfuerzo cortante máximo debido a transferencia de cortante y momento combinados • Para columnas esquineras – El esfuerzo cortante máximo ocurre normalmente debido al caso de carga donde se aplican cargas muerta y viva factorizadas a todos los paneles del sistema de piso.

3 setiembre 12



186

93


3 setiembre 12

Cálculo del momento alrededor del centroide del perímetro de cortante • La distribución de esfuerzos calculada con la ecuación (10‐30) e ilustrada en la figura 10‐74 supone que Vu actua a través del centroide del perímetro de cortante y que Mu actúa alrededor del eje centroidal de este perímetro.

3 setiembre 12


187

Cálculo del momento alrededor del centroide del perímetro de cortante • Cuando se usa software de análisis estructural, los valores de Vu y Mu pueden ser calculados ya sea en un punto nodal ubicado en el centroide de la columna o en la cara de la columna sobre la que se apoya la losa.

3 setiembre 12



188

94


3 setiembre 12

Cálculo del momento alrededor del centroide del perímetro de cortante • Para el método de diseño directo, Vu y Mu se calculan normalmente en la cara de la columna.

3 setiembre 12


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Cálculo del momento alrededor del centroide del perímetro de cortante • Después de determinar el centroide del perímetro cortante, se puede usar el equilibrio de un diagrama de cuerpo libre para determinar los valores para Vu y Mu que actúan en el centroide. La figura 10‐81a representa el caso de una columna exterior con el cortante y el momento calculados inicialmente como actuando en la cara de la columna que soporta la losa. 3 setiembre 12



190

95


3 setiembre 12

Figura 10‐81 Cálculo de momento y de cortante de transferencia en el centroide de un perímetro crítico.

Ejemplo 10–13 Revisión de transferencia de cortante y momento combinados en una columna de borde.

3 setiembre 12



192

96


3 setiembre 12

Figura 10‐82 Unión losa‐columna para el Ejemplo 10‐13.

Figura 10‐83 Abacos.


97


3 setiembre 12

Figura 10‐84 Capiteles y topes de cortante para incremento de la resistencia a cortante en conexiones losa‐columna.

Figura 10‐85 Puntos de corte mínimos para losas sin vigas. (Sección 13.3.8.1 de ACI 318S‐08.)


98


3 setiembre 12

Figura 10‐86 Ancho efectivo para transferencia de momentos en columnas exteriores.

Figura 10‐87 Planta de entrepiso de placa plana para Ejemplo 10‐14.


99


3 setiembre 12

Figura 10‐88 División de losa en franjas para diseño en Ejemplo 10‐14.

Figura 10‐89 Perímetros críticos de cortante iniciales y áreas tributarias para columnas B1 y B2.


100


3 setiembre 12

Table 13‐9

Table 13‐10


101


3 setiembre 12

Table 13‐11

Table 13‐12


102


3 setiembre 12

Table 13‐13

Table 13‐13 Continued


103


3 setiembre 12

Figura 10‐90 Distribución de barras en una losa para el Ejemplo 10‐14.

Figura 10‐91 Diagrama esquemático del refuerzo en las franjas este‐oeste para Ejemplo 13‐14.


104


3 setiembre 12

Table 13‐14



105


3 setiembre 12

Figura 10‐92 Diagrama esquemático del refuerzo en las franjas norte‐sur para el Ejemplo 10‐14.

Figura 10‐93 Perímetros críticos de cortante finales para columnas B1 y B2—Ejemplo 10‐14.


106


3 setiembre 12

Figura 10‐94 Perímetros críticos de cortante y área tributaria para columna A1—Ejemplo 10‐14.

Figura 10‐95 Areas tributarias para el cálculo de cortante en vigas soportando losas en dos direcciones.


107


3 setiembre 12

Figura 10‐96 Perímetros de cortante en losas con vigas.

Figura 10‐97 Planta de una losa con vigas en dos direcciones para el Ejemplo 10‐15.


108


3 setiembre 12

Figura 10‐98 Secciones transversales de vigas para Ejemplo 10‐15.

Table 13‐15


109


3 setiembre 12

Table 13‐16

Figura 10‐99 Pórtico usado para el análisis de losa en dos direcciones en el Ejemplo 10‐15.


110


3 setiembre 12

Table 13‐17

Table 13‐18


111


3 setiembre 12


Figura 10‐100 Momentos en franjas de losa en el eje B para Ejemplo 10‐15.


112


3 setiembre 12

Figura 10‐101 Cortante factorizado en viga de borde para el Ejemplo 10‐15.

Figura 10‐102 Superposición de franja de deflexiones de franja de columna y de franja central.


113


3 setiembre 12

Figura 10‐103 Uso de tendones en banda in una dirección y tendones distribuidos en la otra dirección. (Fotografía de Kenneth Bondy)

Figura 10‐104 Uso de fuerza de preesforzado excéntrica para contrarrestar el momento debido a las fuerzas actuantes.


114


3 setiembre 12

Figura 10‐105 Uso de perfil de tendón colgado parabolicamente para balancear el efecto de carga gravitacional distribuida.

Figura P10‐1


115


3 setiembre 12

Figura P10‐3

Figura P10‐7


116


3 setiembre 12

Análisis elástico de losas

3 setiembre 12


233

Análisis de línea de fluencia

3 setiembre 12



234

117


3 setiembre 12


3 setiembre 12


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