Cap 16 Columnas

GOP

Columnas • Generalmente elementos elementos verticales que soportan carga axial, flexión y cortante. • Pue Pueden den hab haber er col column umnas as inc inclin linada adas. s.

Concreto Armado 1 Flexocompresión Flexocom presión - Colum olumnas nas

• La flflexi exión ó n pue puede de ser bia biaxi xial. al. • Pue Puede de hab haber er Fle Flexot xotrac racció ción n (T (Trac racció ción n + Fle Flexió xión) n) • Placas o muros de corte, caja de los ascensores, muros muros de sótano, algunas vigas aisladas (horizontales o inclinadas) que pueden estar recibiendo compresiones importantes.

Columnas • Suele suceder, suceder, sobre todo en las columnas de los últimos pisos, pisos, que la carga axial sea pequeña y en consecuencia el comportamiento del elemento estructural se aproxime más al de una viga que al de una columna. Una manera de diferenciar una columna de una viga, independientemente de su ubicación en la estructura, es por el nivel o independientemente intensidad de la carga axial que soporta. Cuando:  c Ag Pu < 0.1 f 

el elemento debería diseñarse y detallarse como un elemento en flexión simple (viga) más que como un elemento en flexocompresió flexocompresiónn (columna).

Concreto Armado

1

GOP

Clasifica Cla sificación ción de las Col Columna umnass 1) Por la ubicación d el rectangulares o cuadradas:

refuerzo . Aplicable a columnas

a) Co Colu lumn mnas as co con n re refu fuer erzo zo en do dos s ca cara ras. s. h

b

e

Concreto Armado

P

2

GOP

Clasificación de las Columnas


1) Por la ubicación del refuerzo .

2) Por la f orma y el tipo de conf inamiento o refuerzo transversal.

b) Columnas con refuerzo en las cuatro caras

h

a) Columnas con estribos : Se pueden construir casi con cualquier forma. La mayoría de las column as que utilizamos son con estribos.

b

e

P

En zonas sísmicas el espaciamiento de los estri bos suele ser más pequeño que en zonas no sísmicas. Se utiliza una mayor cantidad de estribos tanto por corte como por confinamiento.


2) Por la f orma y el tipo de conf inamiento o refuerzo transversal. b) Columnas con espirales : Se suelen emplear si es necesario una ductil idad alta y/o en presencia de cargas axiales elevadas. Muchas columnas cir culares se diseñan y construyen con estribos. Espiral P

D

e

P



3) De acuerdo a la esbeltez de la columna Importancia que

3) De acuerdo a la esbeltez de la columna

tengan los efectos de segundo orden (P - ) en la resistencia de la columna.

a) Columnas cortas : Efectos de esbeltez son despreciables.

Concreto Armado

b) Columnas largas o esbeltas: Es necesario considerar los efectos de la esbeltez en el diseño.

3

GOP

Muchas de las columnas que utilizamos en nuestro medio pueden clasificarse como “robustas” y por lo tanto los efectos de la esbeltez suelen ser despreciables. Las dimensiones de la sección transversal que empleamos suelen ser “generosas” dado que vivimos en un país sísmico y aún no utilizamos concretos de muy alta resistencia.



4) Por el grado de arriostramiento lateral. El arriostramiento lateral mide la posibilidad de desplazamiento relativo entre los extremos de la columna.

4) Por el grado de arriostramiento lateral. b) Columnas No arriostradas: pueden ser cortas o largas

a) Columnas arrio stradas: pueden ser cort as o largas

Depende del estado de cargas que se esté analizando. Cargas de gravedad o cargas laterales.

Concreto Armado

4

GOP



4) Por el grado de arriostramiento lateral.

4) Por el grado de arriostr amiento lateral.

b) Columnas No arrios tradas: Debido al empleo de elementos rígidos destinados a soportar una fracción importante de las fuerzas sísmicas, una buena parte de las columnas de nuestros edificios, trabajan como arriostradas lateralmente ante cargas de gravedad y en muchos casos, dada la gran rigidez lateral de las placas, también lo hacen para cargas laterales.

Depende del estado de cargas que se esté analizando. Cargas de gravedad o cargas laterales.


5) Columnas Compuestas. Por necesidades de resistencia. Cargas axiales altas y dimensiones de la sección transversal limitadas. Concreto con o sin acero de refuerzo adicional

Espiral

Perfil de acero

fs fs

( n  1)

A s

2

c = s fs = n fc Ast = área total de acero

Concreto Armado

Es en esencia un caso de interés teórico, en la realidad siempre existirá alguna excentricidad de la carga axial lo que conduce a la presencia de momentos flectores, aunque estos sean pequeños.

Solicitación de Compresión Pura. Esfuerzos en el concreto y en el acero bajo cargas de servicio. fs fs



A ( n  1) s 2

fc

fc

A ( n  1) s 2

n = Es/ Ec

Solicitación de Compresión Pura.

Tubo de acero

Solicitación de Compresión Pura. Esfuerzos en el concreto y en el acero bajo cargas de servicio. Criterio de la sección transformada.



Co lu mn as Co rt as s in Ex cen tr ic id ad – Res is ten ci a en Compresión

P = ( Ag – Ast ) fc + Ast fs P = ( Ag - Ast ) fc + Ast (n fc) P = fc ( Ag + (n – 1) Ast )

(A) P = fs/n ( Ag + (n – 1) Ast ) (B)

A ( n  1) s 2

Los resultados que se obtienen para el esfuerzo en el acero bajo cargas de servicio, distan mucho de los resultados obtenidos en ensayos de laboratorio, el principal responsable de estas diferencias es el creep o flujo plástico del concreto. Esta metodología puede utilizarse también para analizar elementos en tracción (tirantes) cuando se desea conocer los esfuerzos en el concreto y en el acero bajo cargas de servicio, para así verificar la posibilidad de fisuración en el concreto. La verificación es necesaria si la fisuración bajo cargas de servicio fuera una condición que controla el diseño.

5

GOP

Resistencia Nominal en Compresión (Po)


Puede obtenerse como la suma de la resistencia del concreto más la resistencia del acero.

L

Supone adherencia entre el acero y el concreto. Las deformaciones en el acero serán iguales a las del concreto que las circunda. P = Pc + Ps

Máx P = Po

Pc

Ps



Carga total que resiste la columna

Resistencia Nominal en Compresión (Po) En teoría, suponiendo que el acero tiene una plataforma de fluencia definida y que este se encuentra en fluencia cuando el concreto alcance su resistencia máxima:

Resistencia Nominal en Compresión (Po) En teoría, suponiendo que el acero tiene una plataforma de fluencia definida y que este se encuentra en fluencia cuando el concreto alcance su resistencia máxima:

Po = Ast fy + f  c ( Ag – Ast )

En la realidad:

Po = Ast fy + f  c ( Ag – Ast )

Norma: Po = Ast fy + k f  c ( Ag – Ast )

El valor de k adoptado la Norma es de 0.85 (varía entre 0.7 y 0.93). La reducción del aporte del concreto en la resistencia total se debe principalmente a:

Po = Pn = Ast fy +

Esta expresión tiene sentido cuando el acero tiene una plataforma de fluencia bien definida, en caso contrario será necesario conocer la curva real esfuerzo – deformación del acero.

• Sangrado del concreto y Consolidación. • Excentricidad de las cargas y esbeltez de la columna real. • Reducción de la resistencia del concreto por el incremento del tamaño del elemento. • Efecto de las cargas sostenidas.

Resistencia Nominal en Compresión (Po) Norma:

Pn =  [ Ast fy + 0.85 f  c ( Ag – Ast )]

 = 0.70 (columnas con estribos)  = 0.75 (columnas con espirales)


0.85 f  c ( Ag – Ast )

0.40

No hay concordancia entre la teoría y los resultados experimentales, aún en el rango elástico del concreto y el acero. Esta falta de concordancia se debe al creep o flujo plástico del concreto que hace que los esfuerzos dependan de la historia de cargas sobre el elemento, y a la contracción del concreto. Sin embargo los ensayos han demostrado que la resistencia Po es prácticamente independiente de la historia de cargas y puede evaluarse con buena aproximación mediante la ecuación anterior.

f ’c= 210

As  41 cm2

0.40

Al nivel de comportamiento elástico es muy difícil establecer como se distribuyen los esfuerzos entre el concreto y el acero.

fs

fc

0.06

Po = Pn = Ast fy +

0.85 f  c ( Ag – Ast )

Recta

Es = 2x106 kg/cm 2

Parábola

o

As=8Ø1"

Sección de la columna

fc= 180

fy = 4200

cu

c

 y = 0.0021

Concreto o = 0.002 cu = 0.003

s

Acero

600 500 400

) n o t ( a 300 g r a C

ACI Po (Ecua.16-4)

Ptotal

ACI 0.8 Po Pc

200

Ps 100 0 0.000

0.001

0.002

0.003

Defor. Longitudinal

Concreto Armado

6

GOP

Comportamiento de columnas con estribos y espirales

1 = f  c + 4.1 3

Capacidad de Deformación del Concreto


Concreto Armado



7

GOP



En una columna, la presión que ejerce el concreto sobre los estribos, debido a su expansión lateral, hace que estos se flexionen.

Concreto no confinado

(a)

(b)

Fuerzas de confinamiento

Comportamiento de columnas con estribos y espirales El efecto de confinamiento producido en el concreto por la presencia de una espiral, es bastante más marcado que para el caso de los estribos cerrados. Las espirales, debido a su forma, proveen un confinamiento continuo y producen presiones de confinamiento mayores y por ende son más eficientes. Los estribos cerrados tienen poca influencia en la resistencia, pero sí contribuyen a la ductilidad. El paso de una espiral suele estar entre 0.05 a 0.10 m, en comparación el espaciamiento máximo entre estribos que exige el código en zonas no sísmicas (digamos entre 0.25 y 0.30 m) no permite un confinamiento efectivo.


Concreto Armado


8

GOP


Formula del ACI y la Norma Peruana para las Espirales. Está basada en lograr que el segundo máximo, en el cual se ha perdido el recubrimiento y el núcleo confinado debe soportar toda la carga, debe ser por lo menos igual al primer máximo en el cual la columna está completa. Esto se logra únicamente por el efecto del estado triaxial de esfuerzos al que se encuentra sometido el concreto del núcleo.

A : Concreto simple B : Estribos C : Espir al

Formula del ACI y la Norma Peruana para las Espirales. 

 s

f´ Ag  0.45   1 c  Ac  fy

 s

D

4 Asp

 s

Formula del ACI y la Norma Peruana para las Espirales.

dc s

 f´   0.12  c   fy 

Ag = Área bruta de la columna =



 s

f´ Ag  0.45   1 c  Ac  fy

 s

d c

D

4 Asp

 s

dc s

 f´   0.12  c   fy 

d c

 D 2/ 4

Ac = Área del núcleo medida al exterior de la espiral =

 dc2/ 4

 min = 3/8”

dc = diámetro del núcleo medido al exterior de la espiral. s  2.5 cm s  7.5 cm s  1.3 veces

s = paso de la espiral (medido centro a centro) Asp = área de la barra de la espiral.

El esfuerzo de fluencia de las barras que conforman la espiral no debe considerarse mayor que 4,200 kg/cm 2.

Formula del ACI y la Norma Peruana para las Espirales. fierro 3/8 fierro 1/2

15

tamaño máximo

del agregado

Detalles del Refuerzo en Columnas- Refuerzo Longit udinal y Estribos Revisar el Capítulo 6, Detalles del Refuerzo

14 13

Paso de la Espiral

12 11

 s

10

f´ Ag  0.45   1 c  Ac  fy

9 8 7 6 0

50

100

150

200

Diametro de la Columna

Concreto Armado

9

GOP

Detalles del Refuerzo en Columnas- Refuerzo Longit udinal y Estribos

Detalles del Refuerzo en Columnas - Estribos Gancho suplementario o amarra.

Recubrimiento (al estribo) = 0.04 m

4 barras

x x 6 barras x < 15 cm

6 barras

8 barras

8 barras

12 barras

xx 12 barras

< 15 cm < 15 cm

x x 8 barras

s = Espaciamiento Libre Puede ser > 15 cm. sin requerir estribo intermedio. < 15 cm

x < 15 cm

s > 1.5 db s > 0.04 m s > 1.3 T.M Agregado

< 135º

s

10 barras

x < 15 cm

Not a: En todos los ca sos la posic ión de l os ganc hos debe alternarse en estribos consecutivos. x x 14 barras

Detalles del Refuerzo en Columnas- Refuerzo Longit udinal y Estribos Cuando hay cuantías elevadas de acero longitudinal de refuerzo, puede ser conveniente agrupar el refuerzo en lo que se denominan “barras en paquete” con esto se pueden ahorrar algunos estribos y lograr acomodar mejor el acero.

x < 15 cm

Funciones de los Estribo s en Columnas • Permiten el armado de las barras.

• Restringen el pandeo de las barras verticales en compresión. s 

16 db

s 

menor dimensión de la columna

s 

0.30 m (Eliminada en la Norma del 2009)

s  48 de

db es el diámetro de las

barras verticales

de es el diámetro del estribo

Funciones de los Estribo s en Columnas • Los estribos adecuadamente espaciados confinan el

núcleo de concreto y pueden conferir una mayor ductilidad al elemento.

Concreto Armado

10

GOP

Funciones de los Estribos en Columnas

Funciones de los Estribo s en Columnas

• Sirven de refuerzo por corte a la columna cuando Vu >  Vc.


En este caso el espaciamiento máximo entre los estribos viene controlado por las disposiciones del diseño por fuerza cortante y puede ser 0.5 d ó 0.25 d dependiendo de la intensidad de Vs.

Funciones de los Estribos en Columnas

Funciones de los Estribo s en Columnas



Puede tomarse en cuenta el incremento en la resistencia al corte que suministra el concreto por la presencia de las compresiones originadas por la carga axial.

Cuando se produzca un esfuerzo neto de tracción significativo, es necesario estimar conservadoramente el aporte del concreto Vc. Vc  0.53 f'c

(1

Nu

35 Ag

) bw d

Vc = 0 (casos de tracción axial significativa)

Vc

 0 .53

f´c

(1 

Nu

140 Ag

) b w d

Resistencia al Corte Suministrada por el Refuerzo en el Alma Vs



Vu



 Vc

Vs 

Estribos Cerrados

Av fy d

Nosirve para confinamiento. Se le considera estribo abierto

s

Espaciamiento Máximo de los Estribos

Estribos múltiples (cuatro ramas) cerrados. No sirve para confinar al concreto por tener ganchos a 90.

Av 4 ramas

Si Vs  1.1 f  c (bw d) Entonces s  0.60 m ó s  d/2 Si Vs  1.1 f  c (bwd) Entonces s  0.30 m ó s  d/4 Los estribos cerrados son obligatorios para Adicionalmente, en las zonas donde se necesita refuerzo por cortante, el espaciamiento entre ellos debe ser tal que cada grieta inclinada potencial debe ser cruzada cuando menos por un estribo

Concreto Armado

elementos que tengan responsabilidad Av Dos ramas

sísmica.

11

GOP

Confinamiento Núcleos de Placas

Tamaño Mínimo de un a Columna

Montaje, confinamiento, pandeo.

Refuerzo Máximo y Mínimo en Columnas  

La Norma no especifica dimensiones mínimas para columnas, salvo para aquellas con responsabilidad sísmica para las cuales exige un ancho mínimo de 0.25 m. Es recomendable no utilizar columnas rectangulares con un ancho menor de 0.20 m o circulares con un diámetro menor a 0.25 m. La dimensión mínima dependerá, además de los requisitos de resistencia, de la congestión de armaduras y de la posibilidad de vaciar el concreto en obra sin que se produzcan cangrejeras.

Ast

  1%

  6%

Ag

El ACI permite una cuantía máxima de hasta 8% sin embargo en elementos con responsabilidad sísmica la limita al 6%. Un limite práctico, desde el punto de vista de la congestión de acero, es limitar la cuantía en columnas con estribos al 4%. Adicionalmente se obtienen columnas más económicas si se limita la armadura entre el 1% y el 3%. Las columnas con espirales; que se suelen usar para cargas axiales grandes o cuando hay demandas altas de ductilidad; pueden llegar hasta un 5% de cuantía.

Refuerzo Máximo y Mínimo en Columnas  

Ast

  1%

800 700

  6%

600

Ag

500 400

A diferencia de las vigas o elementos en flexión simple, para los cuales el código limita la cantidad máxima de acero a una fracción de la balanceada, en las columnas no es posible evitar la falla en compresión limitando el acero en tracción ya que el tipo de falla depende de la intensidad de la carga axial. Para cargas axiales por encima de la carga que produce la falla balanceada de la sección, la falla es por compresión en el concreto, y el acero más alejado del borde comprimido no llega a la fluencia por tracción.

Concreto Armado

) n o t ( P

300 200 100 0 -100 -200 -300 0

20

40

60

80

100

120

140

M (ton-m)

12

GOP

Número Mínimo de Barras

Predimensionamiento de Columnas

El número mínimo de barras dependerá de la forma de la sección Mínimo 4 barras

Mínimo 4 barras

Rectangulares o cuadradas

3 barras

Circulares con estribos

Una barra en cada esquina

No hay reglas simples para predimensionar columnas. La capacidad de carga de una columna depende del momento flector que acompaña a la carga axial o de la excentricidad de la carga. Para valores pequeños de la excentricidad e/h

Mj Vj

M

Vi

V Mi P

1.1 Pu 0.45 ( f'c   fy )

Diagrama de Interacción P1

CM CV Sismo, viento CM CV Sismo, viento CM CV Sismo, viento

P



Columnas en L

Acciones (so lici tac ion es) en las Col umnas P

que corresponde a

cargas axiales grandes y momentos flectores bajos (columnas controladas por compresión), se puede usar como primera aproximación:

Ag Circulares con espirales

0.15

Mj P2

Diagrama de Interacción , lugar geométrico de las combinaciones de P y M que agotan la capacidad de la sección. 600

H

Braquetes

500

400

Mi

P3

n o t

300

P

1.5 D + 1.8 L

Pu, Mu, Vu

1.25 ( D + L )  S

Pu, Mu, Vu

1.25 ( D )  S

Pu, Mu ,Vu

0.9 D  S

Pu, Mu, Vu

200

4  3/4”

6 5/8”

4 3/4”

100

0 0

20

40

60

80

100

M ton-m

Diagrama de Interacción

Diagrama de Interacción Anál is is : dados f c, fy, las dimensiones y el refuerzo

longitudinal, calcular las resistencias Pn y Mn. Es claro que no existe una solución única pues, a diferencia de lo estudiado en flexión simple, el valor de Mn dependerá de la intensidad de la carga axial Pn y viceversa. 600

500

dados f c , fy, las dimensiones, Pu y Mu calcular el refuerzo longitudinal. Diseño :

Si bien es posible derivar ecuaciones que permitan, dada una geometría, una distribución de las armaduras y las solicitaciones Pu, Mu - determinar el refuerzo necesario, estas ecuaciones suelen ser bastante complejas para su aplicación “manual”. Suele ser más simple, tanto para el análisis como para el diseño, el uso de los Diagramas de Interacción, los que describen completamente la resistencia de una sección sometida a flexocompresión. 600

400

500

n o t 300 400

P

n o t 300

200

P

200

100

100

0 0

20

40

60

80

100 0

M ton-m

0

20

40

60

80

100

M ton-m

Concreto Armado

13

GOP

Diagrama de Interacción

Diagrama de Interacción - Construcción

c on st ru yen siguiendo las mismas hipótesis, (básicas y simplificadoras) utilizadas para el análisis de una sección en flexión simple: Se

• Las secciones planas permanecen planas.

• La deformación última del concreto se puede considerar cu = 0.003 • Los esfuerzos reales en la zona de compresión se pueden remplazar por el bloque rectangular equivalente de compresiones.

Se puede construir variando sucesivamente la ubicación del eje neutro “ c”. Para cada posición del eje neutro asumida (ci) se calcula por equilibrio, la resistencia nominal de la sección asociada: Pni – Mni.

• Existe perfecta adherencia entre el acero y el concreto. • El acero es elastoplástico perfecto (diagrama bilineal). • La resistencia a la tracción del concreto se desprecia .



600

La sucesión de cálculos (variaciones en la posición del eje neutro) permitirá calcular o construir el diagrama de interacción

500

400

n o t 300 P

200

100

0 0

20

40

60

80

100

M ton-m

Se conoce: f c , fy, b, h, As, A´s A´s f´s Cc

Mni

Centro de Reducción

Pni

As fs

Representa un punto (punto i) del Diagrama de Interacción

Alg unos Pu nt os No tabl es de un Diagram a de Int eracc ión

Alg unos Pu ntos Notables de un Diagram a de Int eracci ón

Punto A. Falla en compresión pura.


cu

0.85 f c A´s fy

La resistencia en compresión pura, raramente se puede alcanzar ya que siempre habrá un momento flector asociado con la carga axial, ya sea por el desalineamiento vertical de la columna, por el desalineamiento del refuerzo vertical, por la falta de uniformidad en la compactación del concreto, por la presencia de momentos desequilibrados en los nudos provenientes de las vigas, etc.

As fy

Concreto Armado

14

GOP




Po = Pn = Ast fy +

0.85 f  c ( Ag – Ast )

Valor máximo de la carga axia l de compresión:

Los códigos anteriores no limitaban la capacidad en compresión pura de la columna.

Columnas con estribos: (  = 0.7)

Fijaban una excentricidad de mínima de diseño, de tal modo que el valor mínimo del momento flector de diseño, asociado a la carga axial venía dado por Mu = Pu x 0.1 h.

Pn max = 0.8 Po Pu max =  0.8 Po Columnas con espirales: (  = 0.75)

Pn max =


0.85 Po

Pu max =  0.85 Po




Punto B

Si se desprecia la resistencia a tracción del concreto, este punto podría considerarse como el limite a partir del cual la sección se agrieta. A partir de este punto, la sección empieza a comportarse como parcialmente fisurada. cu = 0.003 ’s s



Punto C

Corresponde a una deformación nula (esfuerzo cero) en el refuerzo en tracción más alejado del borde en compresión. Hasta el Punto C los empalmes son para barras en compresión. cu = 0.003 A´s

’s

Punto D

Corresponde a un esfuerzo en el refuerzo en tracción más alejado del borde en compresión equivalente al 50% del de fluencia. Es útil para clasificar los empalmes de las armaduras longitudinales. Del punto C hasta el punto D se usan empalmes Tipo A y del punto D para abajo, se usan empalmes en tracción Tipo B o Tipo C dependiendo del porcentaje de barras que se empalmen en una misma sección cu = 0.003

As

s = 0

A´s

As

Concreto Armado

s = 0.5  y

fs =

0.5 fy

15

GOP



Punto E

Punto E – Falla Balanceada

Corresponde a lo que se denomina el punto falla b alanceada de la sección. Es un punto que se puede definir con precisión y marca el tránsito entre la falla por compresión y la falla por tracción.

cu = 0.003 'sb

0.85 f  c

A's f 'sb

ab

cb

C cb=0.85 f c ab b

Cuando la carga axial es mayor que la balanceada, la falla ocurre sin que las barras más alejadas del borde comprimido lleguen a la fluencia en tracción cuando la sección alcanza su capacidad máxima. A este tipo de falla se le denomina falla en compresión.


s =  y

As fy


Punto E

cu = 0.003 'sb

0.85 f  c cb

Punto E

A's f 'sb

Fallas en tracción

ab

c < cb

s >  y

C cb=0.85 f c ab b

s =  y

εcu cb



ε y

As fy

cb 

d  cb

εcu Es d fy  εcu Es

Falla balanceada c = cb cb

s = y cu = 0.003

Para cu = 0.003, Es = 2 x 1 06 kg/cm2 , fy= 4,200 kg/cm2 : cb = 0.5882 d


Fallas en compresión c > cb

carga axial es nula. Es aplicable todo lo estudiado para la

s <  y en tracción


Punto F

Corresponde a la falla en flexión pura es decir, cuando la

s   y

Punto G

Corresponde a la falla en tracción pura. Despreciando la resistencia del concreto en tracción:

solicitación de flexión simple. Este punto normalmente hay que obtenerlo por tanteos.

Concreto Armado

To = Ast fy

 To = 0.9 Ast fy

16

GOP

Factores de Reducci ón de Resistencia

Factores de Reducci ón de Resistencia

El valor de la carga axial donde es posible iniciar la interpolación en el valor de  se fija como:

Cuando la carga axial se aproxima a cero, el elemento se comporta como una viga y por lo tanto es razonable utilizar el mismo factor de reducción empleado para el diseño de elementos en flexión pura (vigas).

 Pn = 0.1 f  c Ag Para una columna con estribos ( = 0.7), la interpolación es:

 = 0.9 – (0.2 Pn / Ptran) donde

Centroide Plástico

Ptran = (0.1 / 0.7) f  c Ag

Centroide Plástico

Cuando la sección es asimétrica, el refuerzo es asimétrico, o ambas situaciones, podría ser conveniente usar como centro de reducción el Centroide Plástico de la sección.

700

P (ton)

600 500

40 400

Pn

A´s

61”

As As > A´s

Pb ( M+)

100

M (ton-m)

0

ó

f c = 210 kg/cm 2

fy = 4,200 kg/cm

-100

Mn+

Mn -

M +

80

200

M+

Pb ( M-)

300

1”

-200

Pb ( M + ) < Pb ( M -)

-300 -150

-100

-50

0

50

100

150

Centro de Reducción = Centroide de la Sección

Centroide Plástico

Centroide Plástico P

P

tracción

cu y As f

y A’s f

y > A’s f y As f

Compresión

40

M

M

y As f

centroide de la sección

y A’s f

y > A’s f y As f

Tracción

1” M +

80

Ycp

36.2 cm medidos desde el

borde inferior

61” 2

f c = 210 kg/cm

fy = 4,200 kg/cm

2

Es el punto donde aplicada la carga axial (sin momento flector) la sección baja paralela sin rotaciones. Se calcula como el centroide del concreto de toda la sección trabajando a 0.85 f  c y de todo el acero trabajando a fy

Concreto Armado

17

GOP

Centroide Plástico

Elección del tipo de columna

800 700 600 500

40

400 ) n o t ( P

300 200

1” M +

80

100

61”

0 -100

f c = 210 kg/cm

-200

2

-300 0

20

40

60

80

100

120

fy = 4,200 kg/cm

140

M (ton-m)

Centro de Reducción = Centroide Plástico de la Sección 36.2 cm medidos desde el borde inferior

Ycp

Construcción de los Diagramas de Interacción


Para cada posición supuesta del eje neutro ( c j) se calcula la resistencia

Otra posibilidad, consiste en ir variando la deformación en el acero de tracción más ale jado del borde en compresió n, fija ndo para ello algunos valo res típicos de s.

de la sección (Pnj – Mnj), hasta lograr describir completamente el diagrama.

Este procedimiento es totalmente equivalente al de ir variando la posición del eje neutro

Normalmente se logra variando la posició n del eje neutro.

800 700 600 500

j

400 ) n o t ( P

Ccj

300 200 100 0 -100 -200 -300 0

20

40

60

80

100

120

140

M (ton-m)

Construcción de los Diagramas de Interacción j

c j

 0 .003     d 1  0.003   ε y 

c  di  ε si     0.003



fsi

c



 Es εsi  fy

aj = 1 cj

Concreto Armado

Construcción de los Diagramas de Interacción j

Ccj

 es positivo si s1 es de compresión  es negativo si s1 es de tracción

Finalmente, será necesario escoger un centro de reducción para el cálculo de las resistencias nominales:

Deformación positiva si es de compresión Fsi = Asi fsi Ccj =

(positivo compresión)

Ccj

Pnj

n

 Ccj   Fsi i 1

Mnj

n

 Ccj  brazo   Fsi  brazoi i 1

0.85 f c x (Área comprimida)

18

GOP



Cuando se realizan cálculos manuales, no son necesarios muchos puntos del diagrama de interacción, basta con:

j

Para una colu mna con estribos: Punto 1: Compresión pura Po,  = 0.7 Punto 2: Fisuración incipiente.  = 0, 1 =0,  = 0.7 Punto 3: Falla Balanceada.

 = -1,

1 =  y ,  = 0.7

Punto 4: Inicio en el cambio del valor de  . Este punto es opcional se podría trabajar conservadoramente con  = 0.7 hasta el punto 5. Punto 5: Corresponde a la flexión pura. Requiere de varios tanteos para su determinación, basta con un punto cercano.  = 0.9

Construcción de los Diagramas de Interacción Para cálculos rápidos:

Construcción de los Diagramas de Interacción 0.40 m

0.06

M

0.28

As1 =

0.06 2 As1 = 20.4 cm

d 1 = 34 cm

As2 = 20.4 cm2

d 2 = 6 cm

2

Ast = 40.8 cm


As1 = 41”

0.06

Ast =

= 41” M

0.28

2

d 1 = 34 cm

2

d 2 = 6 cm

As2 = 20.4 cm

 = 40.8/1,600  2.55%

800

As2

As1 = 20.4 cm

41”

Columnas en Flexotracción

0.40 m

0.06

280 kg/cm2 f y = 4,200 kg/cm2 6 2 Es = 2x10 kg/cm  y = 0.0021 cu = 0.003 f c =

As2 = 41”

f c = 280 kg/cm2

700

y = 4,200 kg/cm2 f Es = 2x106 kg/cm2

600 500

 y = 0.0021 cu = 0.003

400 ) n o t ( P

300 200 100 0

2

40.8 cm  = 40.8/1,600  2.55%

-100 -200 -300

e y

304

0

20

40

60

80

100

120

140

M (ton-m)

e x

-154

Concreto Armado

19

GOP

Columnas en Flexotracción Ayudas para el Diseño de Columnas - Ábacos Existen numerosas ayudas de diseño para columnas, las más comunes se restringen a secciones cuadradas, rectangulares y circulares. Estas ayudas se presentan en la forma de tablas o gráficos los que suelen denominarse ábacos. Las tablas y ábacos del ACI correspondientes a la denominada Special Publication SP–17A del Comité 340. Tu

 To



Mu

 Mo

 1.0

Su primera publicación (SP-7) data de los finales de la década de los sesenta y estuvo basada en el Código del ACI 318-63.

Ayudas para el Diseño de Colu mnas - Ábac os La publicación SP-17A se actualiza periódicamente, sin embargo en esencia los ábacos siguen siendo los mismos, con algunas mejoras del tipo cosmético y adecuaciones a los cambios que se producen en el reglamento del ACI. Existen en el mercado numerosos programas de cálculo automático, que permiten analizar y diseñar columnas con casi cualquier forma de la sección transversal y disposición de armaduras. Algunos permiten construir inclusive los diagramas momento – curvatura para distintos valores de la carga axial para tener una idea de la ductilidad disponible.

Puntos notables de un diagrama de interacción (ACI SP17A 1990)

Sin embargo los ábacos, como los incluidos al final de este capítulo, seguirán utilizándose por un buen tiempo debido a su facilidad y rapidez en su uso.

(ACI SP-17A 1978)

Concreto Armado

ACI SP – 17A 1973

 = 0.7

m = fy / 0.85 f  c

20

GOP

ACI SP – 17A 1973

m = fy / 0.85 f  c

 = 0.7

Influencia del modelo del concreto en compresión

ACI SP – 17A 1973

Influencia de f’c

fc f ’c= 280

8  1”

0.40

Recta

2

f y = 4,200 kg/cm

8  1”

0.40

Ast = 40.8 cm2

fc= 210 Parábola

5 cm 0.40

o

2

f  c = 280 kg/cm 2 6 2 f y = 4,200 kg/cm Es = 2 x 10 kg/cm Ast = 40.8 cm2  = 2.55%

Concreto o = 0.002

cu

m = fy / 0.85 f  c

 = 0.75

6

2

Es = 2 x 10 kg/cm

 = 2.55%

6 cm

c

0.40

cu = 0.004 600 500 400

600

300

500

) n o t ( n P

400 ) n o t ( 300 n P

fc=140 fc=210 fc=280 fc=350

200 100 0 -100

200

-200

100

-300 0

0 0

10

20

30

10

40

Mn (ton-m)

Diagrama de interacción – Columnas circulares

P

D

e

P

Datos: D = 50 cm Recubr. al eje de las barras  6 2 f c = 210 kg/cm fy =4,200 Columna con espiral  = 0.75 2 As = 8 – 1” = 40.8 cm 2 Ag  1,960 cm   2.08% dc = 50 - 8 = 42 cm (diámetro del núcleo confinado) 2 Ac  1,385 cm (área del núcleo confinado) Ag / Ac  1.42

30

40

50

Diagrama de interacción – Columnas circulares Datos: D = 50 cm

Recubr. al eje de las barras  6

f c = 210 kg/cm2 fy = 4,200 P

D

Columna con espiral  = 0.75 = 8 – 1” = 40.8 cm 2 2   2.08% Ag  1,960 cm dc = 50 - 8 = 42 cm (diámetro del núcleo confinado) Ac  1,385 cm 2 (área del núcleo confinado) Ag / Ac  1.42 As

e

P

f´ 210 Ag  0.45   1 c  0.45 (1.42  1)  0.95% 4,200 Ac fy   4 Asp 4 Asp 4 x 0.71    s   7.2 cm s dc s  dc 0.95% x 42

500

 s

400 300 ) n o t ( P

20

Mn (ton-m)

200

s

100 0 -100 -200 0

10

20

30

40

Deberá utilizarse una espiral de acero corrugado de 3/8” ( fy = 4,200) con un paso a ejes de 7.5 cm y un paso libre de aproximadamente 6.5 cm.

M (ton-m)

Concreto Armado

21

GOP

Diagrama de interacción – Columnas no rectangulares 0.80

4 Ø3 /4 "

2 Ø1 "

Eje de Flexión 0.50

2Ø1"

0.06

80

2 f  c= 280 kg/cm fy =4,200 Columna con estribos  = 0.70 As = 6 – 1” + 4 – 3/4”  42 cm2 2 Ag  3,250 cm   1.3% Posición del centroide del concreto: Yi  48.1 cm (desde el borde inferior) Ys  26.9 cm (desde el borde superior)

0.25

2Ø1"

Diseño de una columna de un edificio

Datos: Recubr. al eje de las barras  6

0.06

Pu

40 cm

0.25

f c =

210 kg/cm2 kg/cm2

y = 4,200 f

Edificio de 10 pisos

1000 800 600 ) n o t ( P

Columna bajo análisis h= 3 m

400 200

Armadura en las cuatro caras.

0

g = ((80-12)/80)  0.85

-200 -400 -120 - 100 -80 -60 -40 -20

m = fy / 0.85 f’c  23.53

Usar ábacos 16-8 (g = 0.8) y 16-9 (g=0.9) 0

20

40

60

80 100 120

M (ton-m)


Diseño de una columna de un edificio Diseño de la sección inferior de la columna (primer piso)

Solicitaciones en servicio – Primer Entrepiso 7.2

2.0

CM

CV 1.0

3.6

42.5

Sismo 62.5

245

60

V = 3 . 6 t

42.5

V = 1 . 0 t

62.5 37.5

37.5

Vu = 3 5 t

Vu = 3 5 t

Combinación

Pu(ton)

Mu (t-m)

e/t

Ast (cm2)

 



1.5 D+1.8 L

476

7.2

0.019

66

2.07(*)

0.7

1.25( D+L) +S

419

68.3

0.20

92

2.86

0.7

1.25( D+L) –S

344

-56.8

0.21

53

1.66

0.7

0.9 D+S

258

65.7

0.32

48

1.50

0.7

0.9 D – S

183

-59.3

0.41

29

0.90

0.7

 

 

(*) Controla corte horizontal del Diagrama Interacción

Pu max =  0.8 Po



Solicitaciones en servicio – Ultimo Entrepiso 5.2

0.8

CM

36.3

CV 0.40

2.6

Diseño de la sección superior de la columna (último piso) 36.3

Sismo 31.3

22

4

V = 2.6 ton

V = 0.4

31.3 3.1

Vu = 22.5

3.1 Vu = 22.5

Combinación

Pu (ton)

Mu (t-m)

e/t

Ast (cm2 )

1.5 D + 1.8 L

40

9.2

0.29

-

-

0.78

1.25( D + L) + S

36

43.8

1.5

29

0.91

0.79

1.25( D + L) – S

29

-28.8

1.2

16

0.49

0.81

0.9 D + S

23

40.9

2.2

28

0.88

0.83

0.9 D – S

17

-31.6

2.3

21

0.65

0.85

(*) Es posible modificar  a partir de Pu  0.1 f’c Ag  67 ton En el último piso controla la cuantía mínima ( 1%) en consecuencia la armadura mínima será 0 . 0 1 x 4 0 x 8 0 = 3 2 c m2. Para concluir el diseño será necesario diseñar por fuerza cortante los estribos de la columna, por pandeo de barras y por confinamiento (elemento con responsabilidad sísmica).

Concreto Armado

22

GOP



Primer Piso: Ast = 92 cm2. Utiliz aremos 18  1” que proveen cerca de 92

de acero. En las esquinas se armarán paquetes de dos barras para lograr acomodar el acero. cm2

18  1”

40

  2.9 %

3/8” @ 0.30

3

Para concluir el diseño será necesario diseñar por fuerza cortante los estribos de la columna, por pandeo de barras y por confinamiento (elemento con responsabilidad sísmica).

Estribos pandeo de las barras verticales en compresión.

Ultimo Piso: Acero mínimo, Ast = 32 cm2. Utilizaremos 8  3/4” + 6 5/8”

que proveen cerca de 35cm2 de acero.

s 

16 db

s 


s 

0.30 m (Norma E.060 de1989)

s 

48 de

  1.1 % 4  3/4 ”


18  1”

40

3

3/8” @ 0.30

4  3/4 ”

Sección superior de la columna (último pi so) Combinación

Pu (ton)

Mu (t-m)

1.5 D + 1.8 L

40

9.2

1.25(D + L + S)

36

43.8

1.25( D + L – S )

29

28.8

0.9 D + 1.25 S

23

40.9

0.9 D – 1.25 S

17

31.6

Diseño por Cortante de una columna Solicitaciones en servicio – Ultimo Entrepiso 5.2 4  3/4 ”

6 5/8 ”

4  3/4 ”

0.8

CM

22

500

36.3

Sismo 31.3

4

V = 2.6 ton

400

36.3

CV 0.40

2.6

600

n o t

barras verticales

3/8”@ 0.30

3 6 5/8 ”


V = 0.4

31.3 3.1

3.1

Vu = 22.5

Vu = 22.5

300

P

200

100

0 0

20

40

60

80

100

M ton-m

Diseño de una columna por Cortante Diseño por Resistencia

Dirección longitudinal

3

Av = 4x 0.71 = 2.84 cm2 4  3/4 ”

d  74 cm

Vc

Combinación

Pu (ton)

Vu (ton)

1.25(D + L + S)

36

26.3

1.25( D + L – S )

29

18.8

0.9 D + 1.25 S

23

0.9 D – 1.25 S

17

 0 .53

f´c

(1 

Nu

140 Ag

Vc (ton)

6  5/8 ”

4 3/4 ”

Vs (ton)

s (cm)

24.6

6.34

140

24.2

-

-

24.8

23.9

5.28

167

20.2

23.6

-

-

Ecua. 15-9

Estribos pandeo de las barras verticales en compresión. s 

16 db

s 


s 

0.30 m (Norma E.060 de1989)

s 

48 de

40


barras verticales


18  1”

3

3/8” @ 0.30

) b w d

El espaciamiento máximo viene dado por d/2  37 cm

Concreto Armado

23

GOP

Diseño por capacidad Se utiliza en el diseño de un elemento estructural para evitar los modos de falla indeseables. Por ejemplo: En vigas y columnas, se evita la falla por cortante (falla fragil) antes de la falla por flexión (falla dúctil).

Diseño de una columna por Cortante


Diseño por Capacidad


Dirección longitudinal Av = 4x 0.71 = 2.84

3

cm2

6  5/8 ”

4  3/4 ”

d  74 cm


4 3/4 ”

4  3/4 ”

La armadura seleccionada para esta columna, es mayor que la estrictamente necesaria por resistencia ya que en el diseño controló el requerimiento de armadura mínima longitudinal, en consecuencia la columna tiene algo de sobreresistencia en flexión.

6 5/8 ”

4 3/4 ”

En la eventualidad de un sismo severo que demande a la estructura disipación de energía, es necesario que predominen los modos de falla dúctiles, en este caso la flexión, en caso contrario podría sobrevenir una falla frágil como las asociadas a las fallas por fuerza cortante.

600

500 400 n o t

Por lo tanto es necesario ajustar las fuerzas cortantes de diseño a un valor mayor que el proveniente del análisis estructural elástico.

300

P

200

100 0 0

20

40

60

80

100

M ton-m






3

4  3/4 ”

6  5/8 ”

4 3/4 ”

Para poder realizar el diseño por capacidad de esta columna frente a fuerzas cortantes, será necesario suponer que en los extremos de ella se desarrollan “rotulas plásticas” con una resistencia probable ( Mpr ) igual a la resistencia nominal multiplicada por el factor de sobreresistencia en flexión ( Mpr = Mn x Fsr). La Norma Peruana fija el mencionado factor en un valor unitario mientras que el ACI lo fija en 1.25. Para este ejemplo usaremos el valor propuesto por el ACI.

Concreto Armado

Dirección longitudinal 4  3/4 ”

6 5/8 ”

4 3/4 ”

Con la ayuda del diagrama de interacción nominal, para la armadura colocada (83/4”+ 65/8”) calcularemos las resistencias nominales para los diversos valores de Pu. Con las resistencias nominales se calcula Mpr = 1.25 Mn y por equilibrio de la columna, asumiendo que esta trabaja en doble curvatura, se calcula la fuerza cortante probable Vpr que utilizaremos para el diseño por cortante Vpr = 2 Mpr / h donde h = 3 m es la altura de la columna.

24

GOP






3

Av = 4x 0.71 = 2.84 cm2 4  3/4 ”

d  74 cm

6  5/8 ”

Dirección longitudinal Av = 4x 0.71 = 2.84 cm2

4 3/4 ”

d  74 cm

600

6 5/8 ”

4  3/4 ”

Pd = 22 ton

Pl = 4

Ps = 2.5

4 3/4 ”

h=3m

500

400

Combinación

n o t 300 P

200

Pu (ton)

Mn (ton-m)

Mpr (ton-m)

Vpr (ton)

Vc Ecua. 15-9 (ton)

Vs (ton)

s (cm)

1.25(D + L + S)

36

61.0

76.3

50.9

24.6

35.28

25

0.9 D – 1.25 S

17

55.8

69.8

46.5

23.6

31.11

28

100

0 0

20

40

60

80

100

M ton-m

Formas de Falla de una Columna

Ecuaciones para el Diseño de Columnas

 [OB] Fseg   [OA]

M const

Pn P

P1

e const

B A

P serv

O

Fseg



Fseg



P const

M serv

M 1

M Mn

M 1

En columnas, las ecuaciones de diseño, resultan complejas por varios motivos: por la presencia de la carga axial que acompaña al momento flector o viceversa Por la gran variedad de arreglos o disposiciones de las armaduras Por la variedad de formas de la sección transversal.

Mserv P1 Pserv



Caso más simple

Caso más simple

Pu

d ´

A´s

d

h

Incognita: As

As b

A´s = n As

n > 0

0.85 f c

0.003

Datos: b, h, d, d’,f  c, f y , Pu, e= Mu / Pu h/2

h/2

nAs

As

e

 ´s e’

c

 s

a= 1c

Cs = n As f´s Cc Ts = As fs

Excentricidad de la carga en la dirección fuerte

Concreto Armado

25

GOP



Pu

Pu

0.85 f c

0.003 nAs

h/2

h/2

e

 ´s e’

As

Pu = 

c

a= 1c

nAs

h/2

Cc

h/2

Ts = Asfs

 s

[0.85 f  c a b (d –a/ 2) + n As f´s (d – d´ )]

 a  β1 d´   fy   a 

 β d  a  fs  6,000  1   a 

f ' s  6,000 

 fy

(1)

G ( a , a 3 , As )  0

(2)

Pu a

 

Datos: b = 30 h = 60 d = 54 d’ = 6 f  c= 210 fy =4,200 Pu = 40 ton Mu = 20 ton-mt , e = Mu / Pu = 0.5 m e’ = 0.74 m A´s = n As n  0 Incognita: As

60 As=?

30

Pu

e

As=?

30

Caso

n

As

A’s

Ast

 t

c (cm)

1 2 3 4 5

0 0.25 0.50 0.75 1.00

8.63 8.09 7.75 7.50 7.33

-2.02 3.88 5.62 7.33

8.63 10.11 11.63 13.12 14.66

0.48%

20.52 18.23 16.45 15.02 13.85



k a 2  6 ,000 As [ a

0.56% 0.65% 0.73% 0.81%

Posiblemente la tercera. Ojo: Acero mínimo = 18 cm 2

(1  n)  1 (n d´  d )]

a   k a 2   d    6 ,000 n As d  d´  a  1d´   2 

f’s  fy

Pu

6´

e

Datos: b = 30 h = 60 d = 54 d’ = 6 f  c= 210 fy =4,200 Pu = 40 ton Mu = 20 ton-mt , e = Mu / Pu = 0.5 m e’ = 0.74 m A´s = n As n  0 Incognita: As

A´s

60

54

As=?

2.3 2.8 3.3 3.7 4.1

Caso

n

As

A’s

Ast

 t

c (cm)

1 2 3 4 5

0 0.25 0.50 0.75 1.00

8.63 8.09 7.75 7.50 7.33

-2.02 3.88 5.62 7.33

8.63 10.11 11.63 13.12 14.66

0.48%

20.52 18.23 16.45 15.02 13.85

0.56% 0.65% 0.73% 0.81%

s /  y ’s /  y 2.3 2.8 3.3 3.7 4.1

--0.96 -0.91 -0.86 -0.81

Los procedimientos de tanteos o aproximaciones sucesivas pueden extenderse a otras configuraciones de la armadura de refuerzo y a otras formas de la sección transversal, la única diferencia estará en el grado de complejidad de las ecuaciones el cual irá en aumento.

s /  y ’s /  y

¿Cuál de las cinco alternativas analizadas es la más aconsejable?

Concreto Armado

(2)


Datos: b = 30 h = 60 d = 54 d’ = 6 f  c= 210 fy =4,200 Pu = 40 ton Mu = 20 ton-mt , e = Mu / Pu = 0.5 m e’ = 0.74 m Incognita: As A´s = n As n  0

A´s

60

54

G ( a , a 3 , As )  0

La cara axial Pu = 40 ton es mayor que el valor por debajo del cual se puede incrementar el factor de reducción de resistencia ( 0.1 f’c Ag  38 ton), por lo tanto utilizaremos  = 0.7.

Dada la magnitud de la excentricidad y la forma rectangular de la sección, la armadura más eficiente es la concentrada en las caras extremas. En este caso la solución más económica no es la de utilizar la misma armadura en ambas caras, en consecuencia ensayaremos distintas soluciones variando la cantidad de acero en compresión (acero superior) lo que equivale a variar el parámetro n ( A’s = n As).

6´

Cc Ts = Asfs

(1)

30

54

Cs = n As f´s

a= 1c

Columnas con grandes excentricidades

Pu A´s

c

 s

Ojo con las condiciones: fs  fy

Situaciones de esta naturaleza son comunes en las columnas extremas de pórticos bajos con vigas de luces importantes o en las columnas de los pisos superiores de un edificio. e

e’

F ( a , a 2 , As )  0

Pu e´ a

Columnas con grandes excentricidades

6´

 ´s

Si definimos k = 0.85f  c b, las ecuaciones (1) y (2) tienen la siguiente forma:

se obtienen dos ecuaciones no lineales con dos incógnitas, las incógnitas son As y la profundidad del bloque de compresiones a. F ( a , a 2 , As )  0

e

As

[0.85 f  c a b + n As f´s  As fs]

Pu e’ = 

0.85 f c

0.003

Cs = n As f´s

--0.96 -0.91 -0.86 -0.81

Resulta clara, la ventaja de trabajar con los diagramas de interacción o con ábacos, salvo que se cuente con herramientas (programas para computadora) para el cálculo automático. Existen hoy en día en el mercado, un sinnúmero de estos programas, muchos son de distribución gratuita, otros vienen como subrutinas de diseño dentro de programas sofisticados para el análisis estructural y el diseño de edificios de concreto armado. Su uso sin criterio y sin haber desarrollado un sentido de la proporción de los resultados (órdenes de magnitud) el cual se adquiere con la experiencia y luego de haber resuelto varios diseños “manualmente”, puede ser peligroso. En todo caso se recomienda una cuidadosa verificación tanto de los datos de entrada como de los resultados que arroje el programa.

26

GOP

P

My Mx

Detalles de Columas (Zona Sísmica)

Concreto Armado

27

Cap 16 Columnas

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