Cap 1 - Magnitudes Fisicas y Vectores

Introducción a la Física Universitaria

Cantidades físicas

Unas breves palabras

Bienvenidos al curso de Introducción a la Física Universitaria, o IFU, como es conocido entre ustedes los alumnos. En este curso vamos a revisar los conceptos fundamentales de la Física que se deben ver en el colegio: posición, velocidad, aceleración, fuerza, trabajo y energía. Salvo los dos últimos, todos los conceptos son magnitudes de carácter vectorial por lo que también dedicaremos un tiempo al estudio de los vectores. Si no has llevado un buen curso de Física Física en el colegio, no te preocupes. Tu profesor te va a guiar gradualmente en el descubrimiento de los conceptos, y en su aplicación a situaciones reales. La Física está fuertemente fuertemente ligada con la Matemática. Matemática. Para este curso necesitas tener tener las siguientes habilidades matemáticas: solución de ecuaciones algebraicas de primer y segundo grado; solución de dos o tres ecuaciones lineales simultáneas; y funciones trigonométricas. Si no te acuerdas alguno de estos temas ve repasando desde ahora. La Física y la medición

La Física se ocupa de las leyes de la Naturaleza. Hace muchos años hubiéramos definido esta proposición diciendo que la Física estudia las leyes de la naturaleza que gobiernan el comportamiento de las cosas inanimadas, pero esto en la actualidad ya no es cierto. Los físicos trabajan activamente en problemas biológicos y de otros tipos en las ciencias de la vida. Se requiere conocer las leyes físicas que influyen en el comportamiento de los átomos y de las moléculas para entender los enormes agregados de moléculas que forman una minúscula célula. Por supuesto, los átomos de las moléculas y de las células dentro de los cuerpos Espectroscopia laser para para determinación de vivos deben obedecer las mismas leyes físicas que se materiales en muestras arqueológicas. aplican a las cosas inertes. Aún no se responde la Muestra del Grupo del Grupo de Óptica de la PUCP pregunta acerca de cómo pueden aplicarse estas leyes para explicar el comportamiento de los seres vivos, esto será tarea de los científicos del futuro, y serán temas de tanto interés como los grandes logros científicos del pasado. El campo de la Física está en continua expansión, de la misma manera que aumentan los intereses y conocimientos de los físicos. Cada nuevo descubrimiento en Física revela algo más que una faceta de la naturaleza hasta ahora desconocida: permite al físico entrar a un nuevo territorio no explorado de la ciencia. Como ejemplos, el origen de la energía procedente del calor del sol, no se pudo entender hasta que se descubrió la posibilidad de intercambio entre materia y energía que llamamos fusión nuclear. Tampoco pudo comprenderse la acción de los músculos en el cuerpo antes de tener suficientes conocimientos acerca del hule o caucho, de los plásticos y de los sistemas macro celulares en general. Los descubrimientos realizados por los científicos abren nuevos caminos en el desarrollo de la técnica y la tecnología y en algunos casos hasta nuevos campos de investigación. A su vez el avance de la técnica y la tecnología permite que nuevos descubrimientos científicos sean realizados, contribuyendo al conocimiento humano y al desarrollo de la ciencia. No sabemos cuál será el futuro de la Física, pero sí que será productivo responder responder muchas preguntas en las cuales actualmente se encuentran trabajando los físicos. Algunos creen que la Física, la


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Química y la Biología llegarán a ser próximamente una sola ciencia. Esperamos, y creemos firmemente, que la Física del futuro seguirá siendo una búsqueda emocionante, y que quedan pendientes descubrimientos de maravillas del Universo aún desconocidas. Medición

Una observación científica por lo general está incompleta sino se expresa de manera cuantitativa, así para obtener tal información debe hacerse la medición de una cantidad física. La medición es básica en todas las ciencias, mediante ella los científicos intercambian sus observaciones y las comunican al mundo. William Thomson (1824-1907), uno de los más famosos sabios británicos de su época y honrado con el título nobiliario de Lord Kelvin, decía que nuestro conocimiento es satisfactorio solo después de expresarlo en números. De muy joven fue contratado como ingeniero consultor por una compañía que tenía a su cargo la construcción del primer cable telefónico en el Atlántico. Thomson hizo muchas mediciones eléctricas de precisión. A menudo utilizó instrumentos que el mismo tuvo que inventar. Sus consejos fundados en sus propios experimentos, no se tomaron en cuenta, sobre todo porque los principios fundamentales no eran comprendidos con claridad o no eran aceptados por los funcionarios de la compañía. Los fracasos subsecuentes en esa obra condujeron más tarde a un análisis más cuidadoso de los puntos de vista de Thomson. Su adopción condujo a terminar con éxito el cable en 1858. Quizá esta experiencia condujo a formular su punto de vista, comentado inicialmente y que a menudo se cita: “Con frecuencia digo que al medir usted aquello de lo que está hablando, y expresarlo en números, usted sabe algo acerca de ello, pero cuando no puede expresarlo en números, su conocimiento es pobre y de una calidad poco satisfactoria; puede ser el principio del conocimiento, pero en el fondo, casi no se puede decir que haya usted penetrado a la etapa de la ciencia, cualquiera que sea el asunto que se trate” trate ” Aunque esta afirmación parezca exagerada, expresa una filosofía de investigación que el físico debe tener siempre presente. presente. Pero la expresión numérica de una propiedad propiedad física no es suficiente: suficiente: los físicos siempre buscan las relaciones que hay entre las magnitudes que miden cuando investigan un fenómeno o un proceso en particular. Estas relaciones relaciones se expresan por lo general mediante fórmulas fórmulas y ecuaciones. Pueden efectuarse mediciones solo si se tienen instrumentos apropiados y unidades. Supongamos por ejemplo que, al desear medir la altura del salón en que se encuentran leyendo, no se dispone de una regla para medir. Podría apreciar la altura y expresar su respuesta en términos de alguna unidad de longitud convencional, quizás el metro o la pulgada, pero supongamos que usted se encuentra en Alemania y ha usado el sistema métrico exclusivamente, y que la persona a la cual desea comunicar la altura conoce únicamente el sistema inglés; es evidente que no solo se requiere un instrumento para llevar a cabo la medición, sino que también se requiere una unidad de medición común. Sería conveniente que todos nos pusiéramos de acuerdo sobre unas cuantas unidades básicas para describir nuestras mediciones. La mayoría de la gente del mundo hace uso del sistema métrico de unidades en forma amplia. Es por tanto, bastante probable que en estos países finalmente prevalezca el sistema métrico.


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CANTIDADES FÍSICAS

En términos generales podemos señalar que la Física es la ciencia que pretende averiguar cómo funciona el universo y para responder a esta vasta pregunta se ha empleado la observación y la medición; la descripción de los fenómenos físicos, la formulación de una teoría que explique dichos fenómenos estudiados y pueda a su vez predecir otros fenómenos y, por último, de un conjunto de pruebas experimentales que comprueben y apoyen a esta teoría. El proceso descrito anteriormente implica que el físico realice mediciones de las cantidades que observa y esto lleva a que la Física sea conocida como "la ciencia que mide", pero ¿qué mide?, ¿qué significa medir? 1.1 MAGNITUDES FUNDAMENTALES Y DERIVADAS Magnitud

Es una propiedad que se abstrae de la naturaleza, que se puede distinguir cualitativamente y que se puede cuantificar usando un proceso llamado medición. Unidad

Es la elección de una magnitud física particular, que se toma como referencia o patrón para compararla con otras magnitudes de la misma especie. Medir Medición del grosor de un alambre de plomo usando un Pie de Rey. Laboratorio de Física de la PUCP

Es averiguar cuántas veces está contenida la unidad de medida (patrón) en la magnitud física que se esté midiendo.

Magnitudes fundamentales

Son aquellas elegidas como base para fijar las unidades y en función de las cuales se expresan las demás magnitudes. Por ejemplo, las unidades para la velocidad se expresan en función de una unidad de longitud y otra de tiempo. Muchas de las magnitudes que se estudiarán en el curso se pueden expresar en términos de tres magnitudes fundamentales: longitud, masa y tiempo. Algunas veces se emplea la fuerza como magnitud fundamental en vez de la masa. La selección de las unidades patrón para estas magnitudes fundamentales determina un sistema de unidades. El sistema más extensamente utilizado es el Sistema Internacional (SI). En este sistema, la unidad de longitud es el metro, la unidad de masa es el kilogramo y la unidad de tiempo es el segundo. Magnitud

Longitud Masa Tiempo Magnitudes derivadas

Unidad (en S.I.)

metro (m) kilogramo (kg) segundo (s)

Son aquellas que se expresan en función de las magnitudes fundamentales mediante relaciones matemáticas, por ejemplo, la velocidad, la aceleración, la fuerza, etc.


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1.2 SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES En 1960, la Conferencia General de Pesas y Medidas adopta el Sistema Internacional (SI). Este sistema es la versión moderna del Sistema Métrico Decimal. Longitud La unidad de longitud es el metro. El metro es la longitud de trayecto recorrido en el vacío por la luz durante un tiempo de 1/299 792 458 de segundo. Masa La unidad de masa es el kilogramo y se define como la masa de cilindro de aleación de platino e iridio guardado en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas en Sèvres, Francia.

Calibración de una balanza usando un juego de pesas tomadas como patrón. Laboratorio de Física de la PUCP

Tiempo La unidad de tiempo es el segundo. El segundo es la duración de 9 192 631 770 periodos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles del estado fundamental del átomo de cesio 133. Magnitudes fundamentales Nombre de la unidad

Magnitud

Símbolo

m Longitud kg Masa Kilogramo Tiempo Segundo s A Intensidad de corriente eléctrica Ampere K Temperatura termodinámica Kelvin Cantidad de sustancia Mol mol Intensidad luminosa Candelacd

Algunas magnitudes derivadas Magnitud

Superficie Volumen Velocidad Aceleración Velocidad angular

Nombre de la unidad

Símbolo

m2 m3 m/s

metro cuadrado metro cúbico metro por segundo metro por segundo cuadrado radián por segundo

m/s2 rad/s

Magnitudes derivadas adimensionales

Magnitud

Ángulo plano Ángulo sólido

Unidad

radián estereorradián

Símbolo

rad sr

Metro


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En el último cuadro se definen las unidades en las que se expresan las medidas angulares. Estas unidades no tienen dimensiones físicas propiamente. Se definen como: Radián (rad) Es la medida de un ángulo plano central, comprendido entre dos radios, que abarcan un arco de longitud igual al radio con el que ha sido trazado.

R

 Estereorradián (sr) Es el ángulo sólido (porción de espacio) que, con vértice en el centro de una esfera, abarca un área de la superficie esférica igual a la de un cuadrado que tiene por lado el radio de la esfera.

R 2 R

Notación científica

En la ciencia a menudo nos encontramos con números muy grandes o muy pequeños. En estos casos es muy conveniente utilizar la notación científica. La idea es expresar números en función de potencias de 10 como sería 2,58×10 10. Si tuviéramos que escribir este número, escribiríamos 25800000000. Es mucho más compacto y cómodo escribir en notación científica, sobre todo si nos podemos equivocar en el número de ceros que debemos colocar. El número que va a ser multiplicado por la potencia de 10 debe ser mayor o igual a uno y menor que diez. En otras palabras el número mínimo es 1 y el máximo es 9,99999999999999…. La práctica de escribir números grandes y pequeños nos ha llevado a utilizar ciertos valores con frecuencia y se les ha dado un nombre especial. En vez de escribir 10 9 Watts podemos escribir simplemente 1 GW o un gigawatt. En este caso 10 9 es equivalente al prefijo giga (G). A continuación se da una tabla con los prefijos para múltiplos y submúltiplos más usados.

Factor Prefijo Símbolo Factor Prefijo Símbolo

1012

tera

T

10-1

deci

d

109

giga

G

10-2

centi

c

106

mega

M

10-3

mili

m

103

kilo

K

10-6

micro

μ

102

hecto

H

10-9

nano

n


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1.3 CONVERSIÓN DE UNIDADES La conversión de unidades es la manera cómo podemos intercambiar información personas que usan sistemas de unidades diferentes. Esto es muy importante porque en un mundo globalizado se utiliza equipo diseñado en distintas partes del mundo. El equipo que se adquiere debe de ser compatible con el equipo que la empresa o institución ya posee. Es muy conocido el caso de la NASA de los Estados Unidos que perdió una sonda en Marte porque la compañía que lo había diseñado usó el sistema inglés y la NASA asumió que estaba en el sistema internacional. La conversión de unidades parte de una equivalencia, por ejemplo 1 m = 100 cm. Observen que el lado izquierdo de la igualdad tiene unidades de longitud, al igual que el lado derecho. Si dividimos ambos miembros de esta equivalencia por 100 cm tenemos: 1m 100 cm  1 100 cm 100 cm Observen que al dividir 100 cm entre 100 cm se cancelan las unidades y nos queda un uno SIN DIMENSIONES FÍSICAS. Entonces la fracción 1 m / 100 cm o su inversa no tienen unidades. Si deseo convertir 1200 cm a m lo que debo hacer es multiplicar 1200 cm por este factor adimensional: 1200 cm ×

1m = 12 m. 100 cm

Observa que las unidades de cm se cancelan. Ejemplos

1. Si el valor de la aceleración de la gravedad es 9,8 m/s 2 y se sabe que 1 pie = 0,3048 m, ¿cuál

será su valor en pies/s 2 ? SOLUCIÓN Tenemos el valor de la aceleración de la gravedad en m/s 2 g = 9,8 m2 s

Este valor quedará inalterado si lo multiplicamos por la unidad: a = 9,8 pero, 1 =

m × (1) s 2

1 pie y reemplazándolo en la expresión anterior: 0,3048 m 9, 8 pies m 1 pie a = 9,8 2 × = s 0,3048 m 0,3048 s 2 a = 32,2

pies s 2


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2. La velocidad del sonido es 340 m/s. Hallar dicha velocidad en km/h.

SOLUCIÓN Tenemos la velocidad del sonido en m/s: vs = 340 m/s Si multiplicamos este valor dos veces por la unidad, no va a cambiar: vs = 340 m/s × (1) × (1) pero, podemos escribir la unidad como el cociente de dos magnitudes equivalentes: 1=

3 600 s 1 km y 1= 1 000 m 1h

Reemplazando estos valores en la expresión anterior tenemos: vs = 340

3 600 s 340  3 600 km m 1 km × × = s 1000 m 1h 1 000 h vs = 1 224

km h

3. La superficie de un rectángulo mide 10 m 2. Expresar dicha superficie en cm 2.

SOLUCIÓN Primero notemos lo siguiente: “Si alguna de las unidades que se va a cambiar está elevada a cierto exponente, el factor que incluye a dicha unidad también debe estar elevado al mismo exponente”. Luego: 1 m = 100 cm (1m)2 = (100 cm) 2 1m2 = 10 000 cm2 La superficie de dicho rectángulo será 10 m 2 o equivalentemente 100 000 cm 2. 1.4 MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES 1.4.1 Magnitudes Escalares Son aquellas que para quedar completamente determinadas necesitan solo de un número y una unidad adecuada. Ejemplos

   

La masa: 3 kg La longitud: 2,5 m El tiempo: 5 h La temperatura: 23°C


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1.4.2 Magnitudes Vectoriales Son aquellas cantidades que para quedar completamente determinadas aparte del número y su unidad, necesitan adicionalmente de una dirección y un sentido. Para designar un vector usaremos una letra en negrita o una letra con una raya arriba, por ejemplo A y A representan el vector A. Ejemplos

1. La velocidad

No basta decir que un auto se mueve a 90 km/h para tener una idea completa de la forma del movimiento, se necesita saber además la dirección de dicha velocidad (por ejemplo: norte – sur) y su sentido (de sur a norte).

2. La fuerza

Se necesita no solo especificar su magnitud (intensidad de la fuerza o módulo) sino además: su dirección (si actúa en forma horizontal, vertical o inclinada) y su sentido (si actúa de derecha a izquierda, o de abajo hacia arriba, etc.)

Representación gráfica

Cada cantidad vectorial se puede representar por un segmento de recta dirigido (flecha), que le damos el nombre de "vector". Dirección Sentido Módulo donde el módulo es el tamaño o magnitud del vector, la dirección queda definida por la recta que contiene al vector y el sentido es hacia donde apunta la flecha. Si designamos el vector por A, el módulo se representa usando dos barras: A o simplemente usando la misma letra sin negritas: A. 1.4.3 Adición de vectores

Método Gráfico

 Regla del Paralelogramo

Se usa para sumar sólo dos vectores. Se trazan los vectores de manera que coincidan sus orígenes. Luego, se traza un paralelogramo que tenga a los vectores como lados. La resultante será el vector que está en la diagonal de este paralelogramo partiendo del origen común de los dos vectores. En la siguiente figura se muestra la suma o resultante R de dos vectores A y B: R=A+B B

A


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 Regla del Polígono

Se usa para sumar dos o más de dos vectores. Respetando la dirección y sentido de cada vector se ubican los vectores uno a continuación del otro, luego se traza el vector resultante que parte de la cola del primer vector hasta la cabeza del último vector. Ejemplos

1. En la siguiente figura se muestra la suma o resultante R de dos vectores A y B:

R=A+B

B

A 2. En la siguiente figura se muestra la suma o resultante R de tres vectores A, B y C:

C

R=A+B+C

B

A Método Analítico



Y

Método de descomposición rectangular

Todo vector puede ser formado por la suma de un vector horizontal más un vector vertical. Decimos que estos dos vectores son las proyecciones del vector original sobre los ejes coordenados.

A y

A 

X A x Definimos la componente A x del vector A como un número cuyo valor coincide con el módulo del vector A x y su signo es positivo si el vector A x apunta hacia el eje x positivo, y es negativo si apunta en sentido contrario. Análogamente definimos la componente A y del vector A. Es importante recordar que las componentes de un vector son cantidades escalares. Además el vector A y sus vectores componentes forman un triángulo rectángulo.

A y

A 

A x


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En este triángulo los módulos de los vectores cumplen: a) El módulo del vector | A |  A x2  A y2 b) Las componentes del vector A son: A x  A cos ; A y  A sen c) tan   A y / Ax d) Todo vector A puede representarse de la siguiente manera: A = (Ax; Ay), donde las componentes A x y Ay deben ir con sus respectivos signos. Ejemplos

Y

1. Componentes de un vector en el primer cuadrante:

Ax = 4 cos 30° = 2 3 Ay = 4 sen 30° = 2 A = (2 3 ; 2)

 A  = 4

A °

X Y

2. Componentes de un vector en el segundo cuadrante:

Bx = – 10 cos 30° = – 5 3 By = 10 sen 30° = 5 B = (– 5 3 ; 5)

 B  = 10

B 30°

Usando ésta representación se puede sumar vectores fácilmente de la siguiente manera: Para hallar la resultante de varios Y vectores se suman los vectores componente por componente. Es decir, la componente "x" de la resultante es la suma de las B y componentes "x" de los vectores, y la componente "y" de la resultante es la suma de las componentes "y" de cada vector. Del gráfico notamos que A  ( A x ; A y ) y B  ( B x ; B y ) , luego el A y vector resultante es:

R

B

A

A x

R  ( R x ; R y )  ( A x  B x ; A y  B y )

X

B x



Método Trigonométrico: Cuando se suman dos vectores usando el método del polígono, estos dos vectores y la resultante forman un triángulo. Las longitudes de los lados de este triángulo corresponden a los módulos de cada uno de los vectores, y cumplen las relaciones métricas de un triángulo: 

Ley de cosenos R  R  A 2  B 2  2 AB cos  



Ley de senos R B A   sin  sin  sin 

R

α

B

X


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1.4.4 Vector Opuesto El vector opuesto de un vector A es un vector de igual magnitud y dirección pero de sentido contrario. Vector – 1.4.5 Resta de Vectores La resta de dos vectores se define en términos de la suma de vectores y el opuesto de un vector. La regla es simple: “para restar dos vectores, se suma al vector minuendo el opuesto del vector sustraendo”. Simbolicamente: A  B  A  B  En la siguiente figura se muestra paso a paso como construir la diferencia A - B de dos vectores dados A y B. A B

B

−

A +(− B)

A B

−

A− B

B

−

A A (a) (b) (c) (d) Si la operación vectorial involucra varias restas se procede de manera similar. La operación vectorial se reduce a una suma que involucra los opuestos de los vectores sustraendo, por ejemplo: A  B  C  D  A   B   C   D  1.4.6 Multiplicación de un Vector por un Escalar El producto de un vector por un escalar es un nuevo vector que tiene la misma dirección que el vector original, su módulo es igual a la longitud del vector inicial multiplicado por el valor absoluto del escalar, y su sentido es el mismo que el vector original si el escalar es positivo y opuesto al vector original si el escalar es negativo.

2

-2 A

A

Si un vector se da en términos de sus componentes, entonces el producto de un escalar por este vector se realiza multiplicando el escalar a cada una de las componentes, simbólicamente: cA  c( Ax ; Ay )  (cAx ;cAy ) En el siguiente ejemplo se combinan las operaciones de suma, resta y multiplicación por un escalar: 2(3;-4) – (-2;3) + (6;-3)/3 = (6;-8) + (4;-6) + (2;-1) = (12;-15)


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PROBLEMAS RESUELTOS 1. En la siguiente figura se muestra un paralelogramo formado por los vectores: V 1 ; V 2 ; V 3 y V 4 , de tal manera que cumplen con la siguiente condición:

V2

V1

 V 1  =  V 3  y  V 2  =  V 4  ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas? a) V 1 + V 2 + V 3 + V 4 = 0 b) V 1 + V 2 = V 3 + V 4 c)  V 4 + V 1  =  V 2 + V 3 

V3

V4

SOLUCIÓN: a) Si analizamos la figura se observa que: V 1 = – V 3 V 2 = – V 4 por ser vectores de igual magnitud y dirección pero sentido opuesto. Estos se pueden escribir nuevamente como: V 1 + V 3 = 0 V 2 + V 4 = 0 y si sumamos estas dos expresiones: V 1 + V 2 + V 3 + V 4 = 0 (verdadera) De manera práctica, cuando los vectores están dibujados uno a continuación de otro, y forman una figura cerrada, la suma de estos vectores es nula. b) Si hallamos gráficamente la resultante de ( V 1 + V 2 ), tenemos que: V2

V1

V1  V 2

Por otro lado si hallamos la resultante de ( V 3 + V 4 ), tenemos que:

V3

+

V4

V3 V4

Observemos que ( V 1 + V 2 ) y ( V 3 + V 4 ) poseen sentidos opuestos, por lo tanto son diferentes, y la proposición (II) es falsa. c) Dibujemos en la figura mostrada los vectores ( V 4 + V 1 ) y ( V 2 + V 3 ):


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V2 V 4 + V1

V1

V 2 + V3

V3

V4

Se observa que estos vectores tienen sentidos opuestos, pero corresponden a la misma diagonal del paralelogramo por lo que:

 V 4 + V 1  =  V 2 + V 3  (verdadera) 2. Hallar el módulo de la resultante de la suma de los vectores A y B , si los módulos de cada uno de ellos son:  A  = 10 y  B  = 20. A

60° B SOLUCIÓN I Utilizamos el método de los componentes. Para esto, colocamos un par de ejes cartesianos apropiados, tal como se muestra en la figura: Y A

60°

X

B Vector

Componente x

Componente y

A

10 cos 60° = 5

10 sen 60° = 5 3

B

20

0

R

R x = 25

R y = 5 3

| R |  R x2  R y2  25 2  (5 3 ) 2  700  10 7


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SOLUCIÓN II Utilizando la ley de cosenos:

R 120° B

 R  2 =  A  2 +  B  2 – 2  A   B  cos 120°  R  = 100 400  2(10)(20)(1/ 2) | R |  700  10 7 3. El vector A tiene 2 cm. de longitud y forma con el eje x un ángulo de 60° en el primer cuadrante. El vector B tiene 2 cm. de longitud y forma un ángulo de 60° con el eje x, en el cuarto cuadrante. Encontrar gráficamente y analíticamente: Y A 60

O

X

60

B a) El vector suma A + B b) Los vectores diferencia A – B y B – A . SOLUCIÓN a) Suma A + B I. Para encontrar gráficamente la suma A + B de los dos vectores utilizamos el método del paralelogramo, trazando los segmentos QR y PR paralelos a A y B , respectivamente. La resultante será la diagonal OR, la cual es un vector de 2 cm y coincide con el eje x, como se muestra en la siguiente figura: Y P A

2 cm 60°

O

R

A +B

2 cm

B

Q

X


II.

Cantidades físicas

Para resolver el problema en forma analítica, observamos que el triángulo formado OPR es un triángulo equilátero, por lo tanto la longitud del lado OR es de 2 cm. R  A  B  (2; 0) cm

III.

Otro método analítico es por medio de las componentes de los vectores A y B , así:

Vector

Componente x

Componente y

A

A x  2 cos 60  1

A y  2 sen60  3

B

B x  2 cos 60  1

B y  2 sen60   3

R

R x  1  1  2

R y  3  3  0

R  (2; 0) cm

En la siguiente figura se muestra la resultante gráficamente: Y

X

R b) Diferencia A – B y B – A . I. Para encontrar gráficamente el vector diferencia A – B , hacemos lo siguiente, trazamos el vector – B , entonces tenemos los vectores A y – B , cuya resultante se obtiene gráficamente por el método del paralelogramo: Y R

S

3,46 cm A

– B 60°

O

X S  A B

La diagonal OR resultará ser la resultante A – B que tiene una longitud de 3,46 cm. S  (0; 3,46) cm


Cantidades físicas

Y En forma similar obtenemos el vector B – A . En este caso trazamos el vector – A , por lo que tenemos los vectores B y – A , cuya resultante es B – A , este vector tiene por longitud también 3,46 cm.

A °

O

 A

B T

T  (0; 3,46) cm

X T  B  A

P

R II.

Para resolver el problema analíticamente, observamos que se ha formado un triángulo isósceles OPR, de lados OP y PR iguales a 2 cm y ángulos iguales de 30°, por lo tanto el OPR es igual a 120°. Aplicando la ley de cosenos, el vector resultante c tendrá por módulo: c 2 = a 2 + b 2 – 2ab cos 120° c 2 = 2 2 + 2 2 – 2(2)(2)(– 0,5) c 2 = 12 c= 2 3 = 3,46 cm

R

 B C

120°

P

A O

luego: C  (0; 3,46) cm . Para el otro caso, se obtiene el vector opuesto a C. III.

Trabajando por medio de los componentes para hallar el vector los resultados de la tabla de componentes obtenida anteriormente: Vector

Componente x

Componente y

A

A x = 1

A y = 3

 B

– B x = – 1

– B y = 3

R

R = 0

R y = 2

3

= 3,46 cm.

R  (0; 3,46) cm En la siguiente figura se muestra la resultante gráficamente: Y R X Análogamente obtenemos B  A  (0;  3,46) cm

– B utilizamos


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4. Los vectores U y V son las componentes del vector AC de tal manera que éstos son paralelos a los lados del hexágono AB y AE, respectivamente, tal como se muestra en la siguiente figura: B C

A

D

F

E HEXÁGONO ABCDEF DE LADO L ¿Cuáles son los módulos de U y V ? SOLUCIÓN Analicemos primeramente los ángulos que forma el vector AC con los lados AB y AE que nos darán la dirección de los vectores U y V , respectivamente, teniendo en cuenta que el ángulo interno de un hexágono inscrito en una circunferencia es 120°: B 120°

A

C

60° 30° 120°

F

D

E Los ángulos BAC y FAE son 30° por pertenecer a un triángulo isósceles cuyo ángulo desigual es 120°. De esta manera se encuentra que el ángulo comprendido entre los vectores AB y AE es 90°, dicho de otra manera el ángulo comprendido entre U y V es 90°, como lo mostramos en la siguiente figura: U 30 60

A

C

V

U= V=

AC AC

E sen 60° ........( ) cos 60° ........( )


Cantidades físicas

La longitud del lado AC se puede hallar fácilmente observando el triángulo ABC de la figura: B L

L 30

A

30

C

AC = 2L cos 30° = L 3 Reemplazando en  y : U=L

3

.

V=L

3

.

3 2 1 2

=

=

3L 2 3L 2

5. Juan camina 5 km hacia el este. A continuación gira 60° en sentido antihorario y avanza 2 km. Luego gira 25° en sentido horario y avanza 3 km. a. ¿A qué distancia se encuentra Juan del punto de partida? ¿Qué ángulo forma el vector que va del origen de coordenadas a la ubicación final de Juan con el este? b. ¿Qué ángulo debe de girar en sentido antihorario para volver al punto de partida? SOLUCIÓN Un gráfico del movimiento de Juan nos ayuda bastante a plantear la solución del ejercicio. Consideremos que el eje X es el este y el eje Y es el norte.

N 25 °

El vector del primer tramo (rojo) es:

3 km

(5 ; 0) km El vector del segundo tramo (verde) es:

2 km 5 km

(2cos 60° ; 2 sen 60°) km

60 ° E

El vector del tercer tramo (azul) es: (3 cos 35° ; 3 sen 35°) km La suma de los tres vectores es (8,46 ; 3,45) km y el módulo de este vector es 9,14 km. Por lo tanto Juan se encuentra a 9,14 km del punto de partida. El vector que va del origen de coordenadas a la ubicación final de Juan es el vector resultante. Luego, el ángulo que forma el vector resultante con el este es 22,2°. Si Juan desea regresar al punto de partida, el vector que debe seguir debe ser (-8,46; -3,45) km. El vector para regresar forma un ángulo de 180º + 22,2° con el este. Como actualmente Juan forma un ángulo de 35° con el este, el ángulo que debe de girar para regresar al punto de partida es 180° + 22,2° - 35° = 167,21° en sentido antihorario.


Cantidades físicas

Preguntas Conceptuales

Responde las siguientes preguntas justificando tus respuestas. 1. Si se convierte el valor de una magnitud física, de un sistema de unidades a otro, ¿qué dimensiones debe tener el factor de conversión usado? De un ejemplo. 2. Dados dos vectores A y B. ¿Es posible que el módulo de la suma de dichos vectores sea menor que el módulo de cualquiera de ellos? De un ejemplo. 3. Dados dos vectores A y B. ¿Es posible que el módulo de la suma de dichos vectores sea mayor que el módulo de cualquiera de ellos? De un ejemplo. 4. Dados dos vectores A y B. ¿En qué caso se cumple que el módulo de la resultante es igual a la suma de los módulos de cada uno de los vectores? 5. ¿Es posible encontrar un vector de módulo cero cuyas componentes en el plano cartesiano sean distintas de cero? 6. ¿El módulo de un vector puede ser menor que la magnitud de sus componentes en el plano cartesiano? ¿Puede ser mayor? 7. Considere dos ejes X e Y que forman un ángulo α, y un vector A que parte del origen y se orienta a lo largo de la bisectriz del ángulo entre los ejes, ¿es posible determinar dos vectores, a lo largo de cada eje, cuya suma sea el vector A? Justifique su respuesta gráficamente. Ejercicios

1. La casa de las pastas vende una pizza de 8 pulgadas de diámetro a 20 soles. Si escoges un sector de ella que vale 5 soles, ¿cuánto mide la superficie del pedazo de pizza que escogiste? De su respuesta en cm 2. (Dato: 1pulgada = 2,54 cm) 2. Un leopardo en carrera puede alcanzar una velocidad de 100 km/h. En contraste, un caracol puede alcanzar una velocidad de 1,8 mm/s. ¿Qué fracción de la velocidad del leopardo es la velocidad del caracol? 3. ¿Cuánto debe medir el radio en (m) de una esfera que alberga una masa de 0,0060kg de Neptunio? La densidad del Neptunio es 19,5 g/cm 3 (densidad = masa/volumen y volumen = 4π radio3 / 3). 4. Un documento de texto en formato PDF, de unas 500 páginas, ocupa en promedio unos 5 Mb de memoria en el disco duro de una computadora. En supercomputadoras modernas es posible disponer de medios de almacenamiento que llegan a los 100 Tb de información (1 Tb = 10 12 b). ¿Cuántas páginas de texto se podrían almacenar en estos dispositivos? 5. En las áreas científicas, es común trabajar con números muy grandes o muy pequeños, que se escriben en la forma a  10 n , donde a es un decimal tal que 1  a  10 y n es un entero. A esta representación se le denomina notación científica. Determine cuántos segundos hay en 60 días, y escribe tu respuesta usando la notación científica.


Cantidades físicas

6. Dados los vectores A  (2; 6) , B  (2;  3) , C  (4; 2) y D  (3;  4) a) Ubique los vectores en un mismo plano cartesiano. b) Halle la resultante de los vectores. c) Determine | 2 A  3 B  C  4 D | 















7. En la siguiente figura indique cuál de los siguientes grupos de vectores (I, II o III) tiene resultante nula. Justifique adecuadamente. I.

II.

III.

8. Considerando el grupo de vectores de la siguiente figura se pide: a) Halle la resultante usando el método gráfico. b) Halle la resultante usando el método analítico. c) ¿Cuánto vale el módulo de la resultante? a

a

a

a a 9. Hallar el módulo de la resultante del conjunto de vectores mostrados en la siguiente figura. Datos: MO = OP , NO  a y  B  = 0,5 a. N A

C

B

M

O

P

10. Hallar el módulo de la resultante del conjunto de vectores mostrados en la siguiente figura. Datos: Q  QN  b y PR  RN  a .

A B C

P

R

Q


Cantidades físicas

11. En la figura se muestran tres vectores, cuyos módulos son | A |  300 , | B |  400 y | C |  500 . Además, los ángulos son   45 ,   60 y   30 . a) Determinar las componentes x e y de cada vector. b) Hallar la resultante de los tres vectores. c) Hallar el módulo de la resultante. d) Hallar el ángulo que forma la resultante con el eje x positivo. 





12. Calcular el vector resultante del siguiente sistema de vectores. a  4 , b  10 y c  3 Y c

120°

b 75° a

30°

X

13. En un cuadrado de lado L están representados los vectores A , B , C y D . Determinar el módulo de cada una de las siguientes operaciones vectoriales: a) A  B A b) A  B  C c) A  B  C  D B D d) A  B  C  D e) A  B  C  D C 14. Para el siguiente sistema de vectores, determinar cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas b a) a  b  c  d  e  g  4 g b) e  d  a a c) g  e  d  0 d) c  2d  b e d c e) b  e  d  g  a g


Cantidades físicas

Problemas

1. El volumen de sangre del cuerpo humano varía con la edad, tamaño y sexo de la persona. En promedio, el volumen es de unos 5,0 litros. Un valor representativo para la concentración de glóbulos rojos (eritrocitos) es de 5 000 000 por mm 3, y el número de glóbulos blancos (leucocitos) es de 10 000 células por mm 3. (Dato: 1 litro = 10 3 cm3) a) Estime el número de glóbulos rojos que hay en la sangre de un cuerpo humano promedio. b) Estime el número de glóbulos blancos que hay en la sangre de un cuerpo humano promedio. 2. La energía cinética de una masa en movimiento está definida como mv 2/2, donde m es la masa y v es la velocidad. Si la masa se mide en kg y la velocidad en m/s, la energía resulta en joule (J). El meteorito que exterminó a los dinosaurios hace 65 millones de años tenía 2,62×10 15 kg de masa y se estrelló contra la Tierra a una velocidad de 11,2 km/s. Actualmente, el arma de destrucción más poderosa que hay en la Tierra son las bombas de hidrógeno de 100 megatones. Un megatón es la energía de 1 millón de toneladas de dinamita, equivalente a 4,184×10 15 J. a) Determine la energía cinética del meteorito que exterminó los dinosaurios. b) Halle cuántas bombas de hidrógeno son necesarias para producir la misma cantidad de energía. 3. Un año luz es una unidad de longitud empleada en astronomía. Un año luz es la distancia que recorre la luz en un año. Se sabe que la luz se mueve a una velocidad de 299 792 kilómetros por segundo (esto significa que por cada segundo que pasa la luz recorre 299 792 km). Considere que el año tiene 365 días de 24 horas. a) La distancia entre el Sol y la estrella más próxima es de 4,22 años luz. Expresa esta distancia en kilómetros. b) En la serie de ciencia ficción Viaje a las estrellas, las naves espaciales pueden ir a una velocidad que llaman Warp 8. Dicha velocidad equivale a recorrer 22000 años luz en un año. Encuentre cuántos kilómetros se pueden recorrer a Warp 8 en una hora. 4. Cierta localidad, en la que habitan unas 400000 personas, es abastecida de agua por un lago que tiene una extensión superficial de 50 km 2 y una profundidad de 1,5 km. Cada familia de esta localidad cuenta en promedio con cuatro personas quienes usan aproximadamente unos 300 galones de agua por día. Se sabe además que un galón equivale a unos 4 litros, y que 1 litro equivale a 1000 cm 3. Asumiendo que el lago no pierde agua por evaporación y otros factores, y que un año tiene 365 días, determinar: a) El volumen de agua (en m 3) que se consume anualmente en dicha localidad. b) La profundidad (en cm) que perderá el lago anualmente. c) El número de años que el lago podrá abastecer la población. Asuma que es posible extraer solamente un 85% del volumen total de agua del lago. 5. El reloj de cuarzo, es un reloj electrónico que se caracteriza por poseer una pieza de cuarzo que realiza cierta cantidad de vibraciones a intervalos regulares de tiempo. Por ejemplo en un segundo el cuarzo realiza 32 768 vibraciones. Se define la frecuencia como el número de vibraciones por segundo y su unidad es el hertz. El cuarzo tiene una frecuencia de 32 768 hertz. Si en vez del cuarzo utilizamos un máser de hidrógeno para medir el tiempo, el reloj se atrasaría un segundo cada 100 000 años. La frecuencia del máser de hidrógeno es de 1,42041 ×10 9 hertz. Contestar las siguientes preguntas para un reloj controlado por un máser de hidrógeno: a) ¿Cuánto tiempo tarda en realizar una vibración? b) ¿Cuántas vibraciones ocurren en una hora? c) ¿Cuántas vibraciones habría realizado durante la edad estimada de la tierra: 4,6 ×10 9 años? d) ¿Cuánto tiempo (en horas) se habría atrasado en 4,6 ×10 9 años


Cantidades físicas

6. Indiana Jones parte de la ciudad A y se debe dirigir al suroeste hacia la ciudad perdida B. Luego de recorrer 5,0 km en línea recta se percata que ha seguido una dirección incorrecta (desviada un ángulo desconocido hacia el sur) y que para llegar a B debe girar 53º y viajar 1,0 km en línea recta directamente hacia el oeste. Determinar: a) La distancia separa las ciudades A y B. b) El ángulo de desviación entre la dirección correcta y la equivocada. 7. Un maratonista debe realizar la trayectoria de una competencia en cinco tramos rectos. Primero, debe dirigirse 3,0 km hacia el norte, luego debe girar 30° en sentido horario y recorrer 4,0 km. A continuación, girar 70° en sentido horario y recorrer 8,0 km. Finalmente, girar 25° en sentido antihorario y recorrer 10 km. Si la meta se encuentra a 25 km al este del punto de partida, determinar a) La distancia que debe recorrer en el último tramo. b) El ángulo que debe girar, y su sentido respectivo (horario o antihorario), para pasar del cuarto al quinto tramo. 8. Hallar la magnitud de la resultante R = a + b + c + d , si  a  = 5 m y ABCDEF son los puntos del hexágono regular mostrado. C

B a

b

A

D

c d

E

F 9. Un niño explorador parte del punto J y camina 3,5 km hasta llegar al punto K . Luego, camina 3 km y llega al punto L. Finalmente, camina 1,5 km y llega al punto M, donde se detiene. En la figura, las letras A, B, C y S representan vectores. Si el vector A es perpendicular al vector C, Determina: a) Las componentes x e y del vector S. b) El módulo del vector S. c) El ángulo .

L C B M

S J

10. En la figura se muestra la fuerza aplicada por cada una de tres personas A, B y C que se disputan un cofre lleno de oro. La persona A aplica una fuerza de módulo 80,0 N mientras que la persona B aplica una fuerza de módulo 40,0 N. Se sabe además, que la fuerza resultante aplicada por las tres personas es nula. a) Esboce un gráfico en la que muestre la suma de los tres vectores. b) Usando la ley de cósenos, determine el módulo de la fuerza aplicada por C. c) Usando la ley de senos, determine el ángulo α.

= 45°

 A

K

Y

A 50º

 C

10º

B

X


Cantidades físicas

11. En la figura, hallar el valor de  y | A | de manera que la resultante de los tres vectores mostrados sea cero. Datos: | B | = 20 y | C | = 40. (Sugerencia: utilizar el método gráfico) Y 

A

B 

20º 20º X  

C

12. Durante unas maniobras navales, un submarino ubicado en el punto P avista una fragata ubicada en el punto Q. Se determina que la distancia entre las naves es de 10 km. La fragata para escapar del submarino navega 30 km en dirección Este y se detiene en el punto R. Desde el submarino inmóvil se detecta la nueva posición de la fragata y se calcula que la dirección PR forma 15° con el anterior avistamiento, dirección PQ. Determina la nueva distancia que media entre las dos naves. Fragata

N O

E

Q

10 km

S Submarino P 13. Un ciclista se encuentra en el punto O (origen de coordenadas) y realiza el recorrido mostrado en la figura. Del punto O al punto P hay una distancia de 37 km, del punto P al punto Q hay una distancia de 65 km, del punto Q al punto R hay una distancia de 106 km y del punto R al punto S hay una distancia de 40 km. Determina: a) ¿qué distancia hay del punto S al punto O? b) ¿qué dirección (indica el ángulo respecto al eje x positivo) debe seguir el ciclista para ir del punto S al punto O?

y

Q 60°

R

45°

x

O 50°

63° S

P


Cantidades físicas

14. El gráfico muestra el recorrido seguido por un automóvil a través del centro de una ciudad. El auto parte de una cochera situada en el origen de coordenadas y luego se desplaza a lo largo de tres avenidas, pasando por el supermercado (S), el Ministerio de Trabajo (M) y la Plaza de Armas de la ciudad (P). Si la distancia que hay entre la cochera y el supermercado es de 8,0 km y es igual a la distancia que hay entre la cochera y la Plaza de Armas, determinar: a) La distancia entre el supermercado y el Ministerio. b) La distancia entre el Ministerio y la Plaza de Armas. c) El ángulo que hacen las avenidas SM y MP. 15. En la figura adjunta se muestra las maniobras que realiza un barco detectadas por medio de un radar. Inicialmente el barco se encontraba junto al radar. Luego se mueve una distancia de 5,0 km siguiendo una dirección de 40° con el Este. En seguida cambia su dirección 85° con respecto a la anterior y se mueve una distancia de 2,0 km. A continuación, vuelve a cambiar su dirección 75° con respecto a la anterior y se desplaza una distancia de 4,0 km. Finalmente, cambia su dirección 80° con la dirección anterior y se desplaza una distancia de 3,0 km. Usando el método analítico determine la distancia final que hay entre el radar y el barco y la dirección que debe seguir el barco (ángulo con respecto al Este) para retornar al punto de partida. N

E

Y M

75º 15º P

O

S X

Introducción a la Física Universitaria Respuestas a los ejercicios

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

81,07 cm2 6,48×10 -5 0,0042 m 1010 5,184  10 6 s (1; 1) ; 46,87 II y III

a) -- b) R = (–3a; 3a); c) 4,24a 5a 9. 2 10. 9a 2  4b 2 11. a) A  (300 cos 45; 300 sen45) B  (400 sen60; 400 cos 60) C  (500 cos 30;  500 sen30) b) ( 567,29; 162,13) c) 590 d) 164,05° 12. (–6,5 ; 8,3) 13. a) 2 L b) L c) 0 d) 2 2 L e) 0 14. b y e Respuestas a los problemas

1. 2. 3. 4.

5.

a) Glóbulos rojos: 2,5×10 13 b) Glóbulos blancos: 5,0×10 10 a) 1,64×1023J b) 392750 a) 3,99  1013 km b) 2,37  1013 km a) 4,38  107 m3 b) 87,6 cm c) 1455 años

Cantidades físicas


a) b) c) d) 6.

7,04  10-10 s 5,11  1012 2,06  1026 12,8 h

a) 5,66 km b) 8,1º

7.

a) 9,41 km b) 69,5º en sentido horario 8. 20 m 9. a) Sx = 5,62 km Sy = 0,62 km b) 5,65 km c) 6,3° 10. a) -- b) 105,8 N c) 30,89º 11.  = 10° ; A  34,64 12. 39,55 km 13. a) | OS |  30.31km b) 70,9º 14. a) 15,46 km b) 17,40 km c) 57,4º 15. a) 3,24 km b) 182,4º   

Cantidades físicas

Cap 1 - Magnitudes Fisicas y Vectores

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