Capítulo 7: Teorias de Produção e Custo—Apêndice
CAPÍTULO 7 TEORIAS DE PRODUÇÃO E CUSTO — TRATAMENTO ALGÉBRICO EXERCÍCIOS 1. Dent Dentre re as funç funçõe ões s de produ produçã ção o a segu seguir ir,, qu quai ais s apre aprese sent ntam am rendimentos crescentes, constantes ou decrescentes de escala? a. F(K, L) = K2 L b. F(K, L) = 10K + 5L c. F(K, L) = (KL) 0,5 Os rendimentos de escala referem-se à relação existente entre nível de produção e aumentos proporcionais de todos os seus insumos. Representamos esta relação da da seguinte forma: F(λK , λL) > λF(K, F(K, L) L) implica rendimentos crescentes de escala; F(λK , λL) = λF(K, F(K, L) L) implica rendimentos constantes de escala; e F(λK , λL) < λF(K, F(K, L) L) implica rendimentos decrescentes de escala. a. Aplicando estas relações à equação F(K, F( K, L) L) = K 2L, F(λK , λL) = (λK )2 (λL) = λ3K 2L =
λ
3
F(K, F(K, L). L).
que é maior que λF(K, F(K, L); portan portanto, to, essa função função de produç produção ão apresenta rendimentos crescentes de escala. b. Aplicando a mesma técnica a F(K, F(K, L) L) = 10K 10K + + 5L 5L, F(λK , λL) = 10λK + K + 5λL = λF(K, F(K, L). L). A funç função ão de prod produç ução ão apre apresen senta ta rend rendim imen entos tos cons consta tant ntes es de escala. c. Aplicando a mesma técnica a F(K, F(K, L) = (KL (KL))0.5, F(λK , λL) = (λK λL)0.5 = (λ2)0.5 (KL) KL)0.5 = λ(KL) KL)0.5 = λF(K, F(K, L). L). Essa função de produção apresenta rendimentos constantes de escala..
2. A função de produção produção de um determinado produto é dada por Q = 100KL. Sendo o custo custo do capital capital de $120 por dia dia e o do trabalho trabalho $30 por dia, qual será o custo mínimo de produção para 1000 unidades de produto? A combinação de capital e mão-de-obra minimizadora de custos é aquela onde TMST
=
PMg L PMg K
w =
r
O prod produt uto o marg margin inal al da mãomão-de de-ob -obra ra é
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. dQ dL
= 100K
.
O prod produt uto o
Capítulo 7: Teorias de Produção e Custo—Apêndice dQ = 100 L . Portanto, a taxa marginal de marginal do capital é dK
substituição técnica é 100K K = . 100L L
Para determinar a razão ótima entre capital e mão-de-obra, considere a taxa marginal de substituição técnica igual à razão entre a remuneração da mão-de-obra e a taxa de locação do capital: K 30 = , ou L = 4K . L 120
Substitua esse valor de L na função de produção e resolva para o K que gera uma produção de 1.000 unidades: 1.000 = (100)(K )(4K ), ou K = 1,58. Como L é igual a 4K , L é igual a 6,32. Com esses níveis para os dois insumos, o custo total é: CT = wL + rK , ou CT = (30)(6,32) + (120)(1,58) = $379,20. Para verificar se K = 1,58 e L = 6,32 são os níveis minimizadores de custo dos insumos, considere pequenas mudanças em K e L. em torno de 1,58 e 6,32. Para K = 1.6 e L = 6.32, o custo total é $381,60, e para K = 1,58 e L = 6,4, o custo total é $381,6, ambos maiores do que $379,20. Logo, concluímos que os níveis calculados de K e L são aqueles que minimizam o custo.
3. Suponha que uma função de produção tenha a expressão F(K, L) = KL2 e que o custo do capital seja $10 e o do trabalho seja $15. Qual será a combinação de trabalho e capital capaz de minimizar o custo de produção para qualquer quantidade de produto? A combinação de capital e trabalho que minimiza o custo satisfaz a condição TMST
=
PMg L PMg K
O produto marginal do trabalho é do capital é
w =
dQ dL
=
r
.
2KL . O produto marginal
dQ 2 =L . dK
Para determinar a razão ótima entre capital e trabalho, iguale a taxa marginal de substituição técnica à razão entre os preços dos insumos: 2KL L
2
=
15 , ou K = 0.75L. 10
Logo, a razão capital-trabalho deve ser de 0,75 para que o custo de produzir qualquer nível de produto seja minimizado. 88
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4. Suponha que o processo de produção de agasalhos esportivos empresa Polly’s Parkas seja descrito pela função: Q = 10K 0,8(L - 40)0,2 em que Q é o número de agasalhos produzidos, K é o número horas-máquina e L é o número de horas de trabalho. Além capital e trabalho, $10 de matérias-primas são consumidos produção de cada agasalho.
da
de de na
Conhecemos a função de produção: Q = F(K,L) = 10K .8(L - 40) .2 Também sabemos que o custo de produção inclui, além dos custos do capital e do trabalho, $10 de matérias primas por unidade produzida. Logo, a função de custo total é: CT(Q) = wL + rK + 10Q
a. Minimizando o custo sujeito à função de produção, derive as demandas de K e L como função do produto ( Q), salários (w), e aluguel das máquinas ( r ). Derive a função de custo total, (custos como função de Q, r , w e da constante referente aos $10 de matéria-prima por unidade produzida). Precisamos encontrar as combinações de K e L que minimizam tal função de custo para qualquer nível de produção Q e preços dos insumos r e w. Para tanto, montamos o Lagrangeano: Φ
= wL + rK + 10Q - λ[10K .8 (L - 40) .2 - Q]
Derivando com relação a K, L, e λ, e igualando a zero: (1)
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(2)
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(3)
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As primeiras duas equações implicam: r
10λ (0,8) K
=
0, 2
−
( L
−
40) 0, 2 e w
ou
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0 ,8 10λ K (0,2)( L
=
−
40)
0, 8
−
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que pode ser reescrito da seguinte forma: K
=
4 w( L
40)
−
r
rK . 4w
e L − 40 =
Inserindo as equações acima na equação (3), obtemos soluções para K e L: 0,8
4w Q = 10 r
0, 2
( L − 40)
0,8
( L − 40)
0, 2
= 10 K
e Q
0,8
rK 4w
.
ou L =
0,8
r
Q 0,8
30,3w
+ 40 e
K =
w
0, 2
Q
0, 2
7,6r
Estes são os valores de K e L que minimizam o custo. Inserindo tais valores na função de custo total, podemos obter a função de custo em função de r,w, e Q: CT (Q) = wL + rK +10Q CT (Q) = CT (Q) =
0 ,8
wr
Q
30,3w w
0, 2
0 ,8
0 ,8
r
30,3
+ 40w +
Q
rw
0, 2
Q
0, 2
7,6r 0,8
+ 40w + r
w
+10Q
0, 2
Q
7,6
+10Q
b. Este processo requer trabalhadores qualificados que ganham $32 por hora. O valor do aluguel das máquinas é de $64 por hora. Sendo estes os preços dos fatores, qual é o custo total como função de Q? Esta tecnologia apresenta rendimentos crescentes, decrescentes ou constantes de escala? Dados os valores w = 32 e r = 64, a função de custo total pode ser escrita da seguinte forma: CT(Q)=19,2Q+1280. A função de custo médio é dada por CMe(Q) = 19,2 + 1280/Q. Para determinar o tipo de rendimentos de escala, inicialmente escolha uma combinação de insumos e calcule o nível de produção; em seguida, dobre as quantidades de todos os insumos calcule o novo nível de produção e compare com o nível original. Supondo K=50 e L=60, o nível de produção é Q 1= 10(50) 0.8(60-40)0.2 = 416.3. Para K=100 e L=120, o nível de produção passa a ser Q 2= 10(100) 0.8(120-40)0.2 = 956. Dado que Q2/Q1 > 2, a função de produção apresenta rendimentos crescentes de escala.
c. A empresa Polly’s Parkas planeja produzir 2000 unidades por semana. Com o preço dos fatores indicados acima, quantos trabalhadores eles deveriam contratar (considere 40 horas de 97
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trabalho semanal) e quantas máquinas deveriam alugar (também considere utilização de 40 horas semanais)? Quais os custos marginal e médio neste nível de produção? Dado Q = 2.000 por semana, podemos calcular as quantidades necessárias dos insumos K e L a partir das fórmulas obtidas no item (a): L
=
0,8
r
Q 0,8
30,3w
+ 40 e
K =
w
0, 2
Q
0, 2
7,6r
Logo, L = 154,9 horas de trabalho e K = 2.000/8,7 = 229,9 horas de máquina. Supondo uma semana de trabalho de 40 horas, obtemos L = 154,9/40 = 3,87 trabalhadores por semana e K = 229,9/40 = 5,74 máquinas por semana. Polly’s Parkas deveria contratar 4 trabalhadores e alugar 6 máquinas por semana. Sabemos que as funções de custo total e custo médio são dadas por: CT(Q)= 19,2Q + 1280 CMe(Q) = 19,2 + 1280/Q de modo que a função de custo marginal é CMg(Q) = d CT(Q) / d Q = 19,2. O custo marginal é constante e igual a $19,2 por agasalho e o custo médio é 19,2+1280/2000 = $19,84 por agasalho.
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