CANTIDAD DE MOVIMIENTO ••• IMPULSION CHOQUES
Cuando muchas capitulo enfoque
se quiere medir el movimiento mecfmico de traslaci6n de las particulas, existen formas de abordarla; la primera de ellas y tal vez la mas sencilla 10 hicimos en el de cinematica. EI analisis fue meramente descriptivo, abordandoladesde un geometrico.
Las magnitudes ffsicas (asociadas af tiempo) fueron principalmente la posici6n, velocidad y aceleraci6n. Asi, por ejemplo para un m6vil que desarrolla un MRUV. t=t
A o
-
V
..!.
t=O hC'-'-
'.
j-' "'1'-' 15' p
••
~
~
__C,UZCANQ'----------------~
Como puede notarse la descripcion es vectorial, pero no se menciona las medidas de su inercia (masa) 0 sus interacciones (fuerzas). Posteriormente en el capftulo de trabajo y energfa el movimiento mecanico de traslacion 10 mediamo's asociando masa y rapidez, asf por ejemplo:
Como puede notarse en ambos casos se mide el movimiento mecanico, asociando 0 no a su masa. Surge una interrogante (.seran las (micas formas de medirla?, iciertamente no!, existen otras formas, y ese sera motivo de estudio en este fasc1culo. Detengamonos por un momento; calculemos la energfa cinetica de una esferita de 2kg en dos situaciones y analicemos :
hwi\Q 6m1s
o
m~~
0
0
1 Ek=Zx2x6
.LbMf
2
:. Ek=36J~ La energfa cinetica de la esferita es la misma en ambas situaciones a pesar de que la direccion de la velocidad es diferente. Sin embargo el efecto que produce sobre el coche es difer~nte; en la situacion (I) queda en reposo, mientras que en la situacion (II) adquiere mvvimiento.
La energfa cinetica es un rnagnitud ffsica escalar su medida es independiente de la direccion de su velocidad. Como el efecto producido por la esferita fue diferente, entonces surge entonces la necesidad de medir el movimiento en forma vectorial, asociando su masa; esto se hara justamente en este capftulo con la denominada cantidad de movimiento.
CANTIDAD DE MOVIMIENTO • IMPULSO • CHOQUES
Tambien si recordamos en el capitulo anterior, y para el caso de la figura, el trabajo y la energia se relacionaban mediante magnitudes. Wpersona_ W lensi6n- .6.E AB
-AB
-
k
E =
Va
E kf ~
o k
..
~Jt~~~.
2· 2)
-
:t~~:!;.l:... ....
tensi6n.l";·o( = - m V -V . . - 2 "f 0.
W AB
Vf
~
A I
IB
d
En esta ecuacion las. interacciones y el movimiento estan relacionadas entre sf, en forma escalar, cosa que no nos brinda informacion precisa de la direccion de la velocidad. En este capitulo las interacciones (fuerzas 0 impulsiones) estarim relacionadas con su movimiento mecanico, todas exP\esadas en forma vectorial.
v.\ a
All., ~
La pelotita
.
Ilevaba
una direcci6n,
interactuar con I.araqueta,
al
esta modifica
su direcci6n.
EI siguiente cuadra nos i1ustra caracterfsticas analogas entre las magnitudes usadas en el capitulo de trabajo-energia y las que usaremos en este capitulo. . . '" ANALISI~:$OBRE:; f, lfEDlD~,ESCALAR . I.•..MEDIDA VECTORIAL -~
-
Transferencia 0 transmisi6n de movimiento mecanico
Trabajo Mecfmico (W)
. Medidas del movimiento mecanico de traslaci6n
Energia cinetica (Ek)
Cantidad de Movimiento(P)
Ek=~mV21
IP=mVI
Conservaci6n de:
La Energfa
-
Relaci6n
IW=f·dl
I
Trabajo - Energfa Wneto=~Ek
Impulso (I)
I I =F·T I ..
La Cantidad de Movimiento Impulso- Cantidad de Movimiento TR= AP
••
_ cuziiR
.AI!I
Q ---
CANTIDADDE M_O\ltMIENTO (fir Tambi~n denominado momentum, momentum lineal 0 fmpetu, esta magnitud ffsica es usada para medir vectorial mente el movimiento mecanico de traslacion de una particula asociada a su masa. (*) Se define; Unidad (5.1.) kgxm/s
~~
~4b (*)
Posteriormente
definiremos
~::
:~::idad
la cantidad de movimiento
de un sistema de partfculas.
Denominado tambien impulsion, esta magnitud ffsica nospermite medir la accion de un cuerpo sobre otro actuando durante cierto intervaJo de tiempo (usualmente, relativamente El resultado de la misma trae como consecuencia una modificaci6n en la pequeno). cantidad de movimiento de los cuerpos que interactUan. EI impulso del bate sobre la bola sera :
Itt:Fm' )1 I Fm : Fuerza
media
ilt : Intervalo de tiempo \
, Unidad : N-s
Si se· tiene una grafica F vs t, es posible calcular como :
I~CasliII
IIiI
I
DE LA FUERZA CONSTANTE EN EL T1EMPO.
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO - CHOQUES
rc.i~oI II I
DE LA FUERZA VARIABLE EN EL TIEMPO.
!G~MiCa I·
El valor de Fmed. (valor media de la fuerza) no implica sea la mitad de Fmax; esta mas bien es tal que multiplicado par ~t en la grafica (II), es numericamente
.
igual al area debajo de la grafica F vs t en la grafica (I).
~
Historicamente Isaac Newton no enuncio su segunda ley, tal como 10 hemos formulado en el capitulo de dinamica. Una traduccion Iibre del latfn a sus escritos en su obra magistral "Philosophiae Naturalis Principia Mathematica", es el siguiente :
(*) Newton usa el termino "movimiento" a 10 que hay conocemos como cantidad de movimiento. Es decir, si suponemas una fuerza canstante sabre una superficie lisa.
(F)
actuando
sobre un blaque recostado
III
--
~ -- C·UZCA.Q---------------~
ma:
masa inicial
V : rapidez de la partfcula C : rapidez de la luz
Durante la interacci6n bola-raqueta, la fuerza media de la raqueta sabre la bola se mide:
v.o ---~
@';I~
P.; ~
m~V F :-m
~t
~.::=----
:. I~T= 4I5.j
-
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPUL~Q"--~,~9UES
NotaL que la ecuacion expresa una dikrencia vectorial, donde la direccion de "P " coincide con la direccion de V .
:
Vo
"'"
Si no hay fuerza externa
(Fm = 0)
entonces se concluye :
III
~
-~-
~
CUZCANQ --------------------~
CANTIDAD"UfiJIOY'fMIENTCfPARA'UN 'SISJEMA"DE"PARTicULA~'D~'i"-t'i'
En ade/ante cuando reso/uamos ejercicios usaremos por comodidad /a notacion (15)para /a cantidad de mouimiento de un sistema de partfcu/as,
115==151
I
+P2+P3",+Pn
La cantidad de mouimiento de un sistema de dos puede expresarse de /a siguiente manera:
15 == ffi1V I + ffi2 (V2
15 == (ffil
- VI) + ffi3 (V 3 - VI)
+ ffi2 +ffi3)VI
+ ffi2 (V2 - VI)+
0
mas partfcu/as tambien
+ ffi2 V I
+ ffi3 VI
ffi3 (V3 - VI)
V~: Ve/ocidad
re/atiua de 2 respecto de 1.
vi :Ve/ocidad
re/atiua de 3 respecto de 1.
.•..
DE APJr.I€:ACC1ION
Pl\OBJr.EMAS
:~:Determine : :.:..:====::::;::..,:;,---------. :~:a) La cantidad de movimiento que presenEl coc h e mos tra d 0 es d e 500 kg. De termme .'. . , ·d d d .. t t' ta la esfera en el mstante que esta toIa can t 1 a e mOVlmlen 0 que presen a. .:. :~: edo el piso.
L
':' b) EI m6dulo de la cantidad de movimieny .
-
36km/h
.:.
"i.it: "",,,,,,,,,,,IP ~
B)l 000 i kgx-
A) 5 000 i kg x m
m
s
~
C) 3 000 i kg x m
D) 2500 i kgx-
s
s
to a los 2s despues que fue soltado.
::: A) -80}
B) -50}
:~:C) -70}
D) -60}
::: E) -60} .:.
m
:::RESOWCION
s
:~:Analizando segeln
MVCL
en
IAr:·
E) 2000 ikgx m s RESOLUCION Como se sabe V=36 kmIh <>10
m/s
80m
Luego:
+M
t
J at P == (500kg)(lOi
m/s) .:. Usando :
[ ji : 5 000
ikg ,';
.-.. -
] Rpla.
~
Clave : A':'
.:.
(vl = V; + 2gh] VJ = 02 + 2 x 10 x 80
Una esferita de 2 kg es dejada caer :~:Como g= 10 m/s2; entonces es facil dedudesde una altura de 80m. Consideran.:. cir que al piso lleg6 luego de t=4s; entonces de carda ::: a los 2s estara en "M" con rapidez : do que reaJiza un movimiento libre y
g = -1O}
m/s
2 :~:
VM
= 20
m/s
~
--
~
C·UZCANO -----------------~
a) La cantidad de movimiento en "B"
ra : Rpta. Clave: D ..... m-; PB =-80j kgxs b) A
105
2s su cantidad
de movimiento
sera :
.:. Una esfera de goma que se dirige hacia una :::pared, colisiona con ella y el valor de la fuer.;. za de contacto varia con el tiempo como se .:. .:. indica. Determine el impulso de la pared a
PM=m,VM
~lape'jv
PM = 2x(-201)
.:. .:. El modulo de su cantidad
:. (PM = 40 kg ~
de movimiento Rpta.
~X
:~: :~:
Clave: A':' === ..,:. PROBLEMA 3 Determine el modulo del impulso que proporciona un futbolista a un bal6n, si la fuerza media tiene un valor de SkN, durante 5ms. A) 30 B) 50 C) 70 D) 40
E) 60
:~: :~:A) -4j B) -7j ::: D) -5j E) -sj : • :;: RESOWCION ':' EI m~dulo del impulso se puede calcular see ':' gu'n la grafica (F vs t). '.'
.:. . .:.
F(kN)
CANTIDAD DE MOVIMIENTO • IMPULSO • CHOQUES
Durante el contacto, como "F" esta hacia .:. la izquierda :
.: .:..
Fm
X
f.t
= m (Vf - Vo )
Fm xO,Ol =0,2(20-0) ..
(Fm .= 400, N
1
Rpta. Clave:
.:. PROBLEMA 6
Sem. CEPREUNI
.:.
PROBLEMA 5
D
Sem. CEPREUNI ':' Una nave espacial de 2 000 kg inicia su mo-
En un juego de Beisbol el bate de 1,5 kg golpea la pelota en reposo de 0,2 kg y Ie comunica una rapidez de 20 mls. Si el contacto bate-pelota fue de 0,01 s. Determine la magnitud de la fuerza promedio actuante entre ambos. .
:;: vimiento desde el reposo y en los dos prime::: ros segundos experimenta una aceleracion .;. constante que la hace alcanzar una rapidez .:. de 10 m/s. 2.Cual es la magnitud del impul:~:so (en kN -s ) que recibe la nave, debido .:. a la expulsion de 10s gases?
A) 100 N D) 400 N
:~: ..::..
B) 200 N E) 500 N
C) 300 N
RESOLUCION
?
IIIIIII ~
.:.
B) 30
.:. D) 50
E) 60
.:. \l
\:~\.~=o
/
.:.:\ ~!)(: m
..::::::.\.("
~
~ . \
~~ AT=O.Ols
-
.:. A) 20
:~: RESOLUCION
.:.
.:•
.:. .:. .:. .:.
Durante la interaccion aparecen fuerzas .:. de accion y -reaccion, que por la 3ra. :~: ley de Newton son iguales. :~:
- EI impulso producido pelota se calcula as!:
.:.
por el bate a la .:.
~
-:-CVZCAQ .;. Luego:
1 =~p
:~:
T =m(Vr -Vo)
~:.
.:.
Fm x60=(600x4xlO-3)(500-0)
.;. Resolviendo:
Rpta.
T =2000(101-0) T =2 0001
Clave: B ~: PROBLEMA8
1=20 000 N-s :.( 1=20kN-s]
:~:Una pelota
Rpta.
----=
Sem.CEPRE UNI
de 0, I kg se rnueve
= (wi + 5}) m/s; hallar el impulso nece~ .;. sario (en N-s) para que se mueva con Clave: B·;· ~ V2 =-4Jrnls .
:~: VI
=== .;. .:.
.'. A) a 9~ ~ B) -i-O,9} Sem.CEPRE UNI .;. ' I- ~ .;. C) lOi - 9j 0) i-0,9} Un fusH automatico dispara 600 balas por :~:E ~_ 9~ minuto. Cada bala tiene una masa igual a... ) I J. 4g Y su rapidez de salida es de 500 m/s. ':' RESOWCION Hallar el valor de la fuerza media de retro- ':' ceso del fusil mientras se esta disparando. :;: Seglin la condici6n del problema : PROBLEMA7-
A) ION 0) 40 N
A
B) 20 N E) 50 N
C) 30 N
:~:_~ .;.
~
a:.
t ../.... _.~.... ,\. ~~~'j
:~:
51
Seglin la condici6n del problema y la 30 Ley :~: de Newton, los impulsos son iguales, luego : :~:
,~
RESOWCION
~
~
0-2-~OOm/.
~~~_..
- El fusil dispara 600 balas en : ~t = 1 min = 60 s
••
t~;\(2)
"f
J1l) lot
.
r-4j
:~:
:~:La impulsi~n=s:pcalcula Me
como:
.;.
.;.
.:.
'.'
- EI impulso recibido durante el retroceso :~: se calcula por : .;. .:.
T =0,1(-4}-(lOi+5}))
I =Fmx~t=~V Fm x~t = m(Vr - Vo)
·ID
con
T =O,I(-lOi-9})
CANTIDAD DE MOVIMIENTO . IMPULSO - CHOQUES
p.=(-1-0, 9J) N
:~:I) El cociente It-p / t-tl desde que fue soltado hasta un instante antes de tocar el piso, (t-t : es el intervalo de tiempo de la cafda) .
-5 )
.:.
":' II) It-pi al to car el piso (suponer que no re.;. bota). .:. ":' Considere g = 10 m/s2 . ".'
Practica CEPRE·UNI ".'
Un sistema esta farmada par tres masas: ml=O,lkg
v1=(Zi+31)m/s
;
m2 =O,Zkg
V2 =(4i+Z1)m/s
Si la cantidad de movimiento del sistema es .;.
P = 5i kg
x m/s;
determine
V3 .
:~:
A) (10i - 71) m/s
B) (i - 7 I 41) m/s
':' :;: A) 10 N ; 20 kgxm/s
B) 1 N ; 2 kgxm/s
C) (lOi - 7 I 41) m/s
D) (lOi + 1,751) m/s
:~:C) 10 N ; 10 kgxm/s
D) 1 N ; 20 kgxm/s
.:.
E) (lOi + 71) m/s
.;. E) 5 N ; 10 kgxm/s
RESOLUCION
:~:RESOWCION
.:.
Por teorfa sabemos :
':' Evaluemos Ia velocidad con la cual lIega la .;. bola al piso .
'.'
.:. P=m1V1 +m2V2+m3V3 Reemplazando
sus val ores :
5i = 0,1 x (2i +3]) + 0,2( 4i + 2])+ 0,4V3 5i = i + 0,71 + 0,4 V 3
.. [v, = [lOi-N;]
Rpta Clave: C :~:De :
.:. .:. Sem. CEPRE UNI "; . .:.
Se suelta una bola de 1 kg desde una altura .;. de 20m. Determine: ..;:..
vl =V;
+ZgH
V~ =0+ZxlOx20 VB =20 m/s~
__
AIB
~ CDZCAIfCl
-I)~_cileulo de ~
en
el tramo AB .. :. :PROBLEMA;11,
Sem. CEPRE UNI
.:.
.:. Se suelta una esfera de 2 kg desde una .: .:. altura de 5 m y al impactar con el piso • :~:recibe un impulso verticalmente hacia arri.:. ba de 36 N -5. (,Hasta que altura rebotara :~:la esfera? (g = 10 m/ s2)
Sabemos:
.
Concluimos
:~:A) 5 m
B) 4,8 m
:~:D) 3,2 m
E) 0,4 m
No~ piden evaluar la fuerza en el tramo AS; :~:RESOWCION esta com~ se sabe serfa la fuerza de grave- :~:AI soltar la esfera desde 5m de altura; esta dad. .:. lIega con velocidad VI . :. Fm =mg =lxl0
.
F
=
m
1 roo
h4-1
ilP ilt
o5m
:. -IAPI = ION
t)f. :;
IAtl
II) Ccileulo de -----.-
lAP]..--------euando
toea el piso.
~ .:. Por teorfa de cinematica : ~:
:~:
vl =)If
. ..:.:. .:
* Despues
de colisionar tiene Vf
= o.
+2gh
vf
= 02 + 2 x 10 x 5 VI = 10 mls I:
:~:
.:. Evaluamos el impulso durante el intervalo ..:.:. de tiempo que dua el contacto .
AP = 1 x (0 -
t~
,/I~,
AI' = m (V f - Vo )
r-20 1))
~
~ tF
m
( IAPI = 20 kg x m/s D
Rpta. (II)
I =AP
T =m(Vf-V
O)
CANTIDAD DE MOVIMIENTO • IMPULSO • CHOQUES
.:. RESOLUCION .:.
Todo vector hacia arrib~ positivo y hacia .:. Cuando un cueriJo desciende por un plano abajo negativo. :~:inc1inado liso. .
36=2(Vz-(-1O)) Vz
= 8 m/s~
Ctilculo de la altura que sube :
1 r'=o
1+vl =V;-2gh OZ=SZ-2xlOxh (h = 3,2
m)'
==&1
Clave: D :::
Un cuerpo de 2 kg, desciende sin rozamiento por un plano inclinado 300 respedo de la horizontal. En un determinado insta~te su veloci9ad paralela a la superficie inclinada es 10 m/s.
.:. I) ~p =?? ::: .:. ~P = m (V f - Vo) ::: = 2(25 -10) ..::..
I) Determinar la magnitud de la variaci6n ::: en su momentum linealluego de tres se- .:. ::: gundos. (en kgxm/s)
I~pl
[1L\p! = 30kgx~
]
II) tCual sera el m6dulo de la fuerza media ::: II) La fuerza que hace posible el movimiento es la componente de la fuerza de graque produce dicha variaci6n? (en N). ..::.. vedad. A) 15; 10 B) 20; 10 D) 30; 5
E) 15; 5
~-
J:·UZCAIfO
It-
~
.GmII
-
1
Fmed. ..
I=~P
= 2 x 10 x "2
F
m x~t
=
m(~V)
Fmx~t=ml~vl
(Fmed.=10~ Clave: C :~:
2x5.J2
Fm xO,05
=
.. (F
= 2~0v'2N)
m
Un proyectil de 2 kg de masa, se desplaza :~: horizontalmente con una rapidez de 5 m/s y .:. -en ~erto instante se Ie golpea con -una fuerza F cuyo impacto dura 0,05 s. Si el proyectil adquiere una velocidad perpendicular a la inicial de magnitud 5 m/s. Determine la magnitud de la fuerza media aplicada durante el impacto. A) 50.J2 N B)_lOO.J2 N
C) E)
200.J2 N 400.J2 N
300.J2 N
D)
:~: rp1U)Ii'WMN 14 2do. Ex. Parcial CEPRE UNI .:. :~:Una pelota de 0,2 kg de masa rebota con.:. tra un piso horizontal como se muestra en ::: la figura. 'Si Va = 12 m/s y Vf = 5 mis, .;. ~Cuanto es el m6dulo de la fuerza media :~:que recibi6 la pelota durante el rebote, si .:. este.dur6 0,01 s? (Desprecie fa fuerza de
.:. gravedad)
.:.
.:.
Segtin la condici6n del problema, el proyec- .:. til se desvia 900 de su direcci6n inicial man- :~: .:. teniendo su rapidez de 5 m/s. -:"' .•....
I~vl= ~I-Va + vl l~vl= J5 + l~vl= 5.J2 m/s ~ 2
1
2
52
La fuerza media que logr6 modificar la ve- :~: locidad se calcula de : .:.
.
CANTIDAD DE MOVIMI~TO - IMPULSO . CHOQUES
.:.
~
Fm=m
_
x
~t
Ccilculo de
I~vi
':'1-Pr-o-p-o-s-ic-io-'n-(-I-J
I~vl
(V)
'.'
.:. Si la fuerza resultante sobre una particula .:.
(Par tearia de vectares)
Aplicamos el teorema de Pitagoras :
I~vl= JS2 + 122
.:. Entonces esta en equilibrio: ':' - 0- ~ Reposo : V=0 a.:. ..........•.. MRU : V=cte +.+
.:.
l~vl=13m/sl_
P=mV
Reemplazando _datos : F = 0,2 m 0,01
x
13
.. (~m = 260 r:JJ
:~:Il?roposici6n I III .:.
Rpta.
=cte ~
(F)
.:. EI momentum lineal se calcula por : Clave: A':'
Senale verdadero (V) 0 falso (F) en cada :~: una de las siguientes proposiciones : :~:
P: Oepende de la velocidad;- ademas la velocidad de una particula depende dt!1 sistema de referencia-
1) Si la fuerza externa resultante sobre una .:. desde donde se mide. partfcula es cero, su momentum lifleal :~: _ (F) permanece constante. ::: IPioposici6~11II1 II) El momentum lineal es una cantidad ffsica que no depende del sistema de refe- .:. .:. Como puede notarse el producto de ambas rencia respecto del cual se mida. .:. .:. magnitudes no es vectorial si no un producIII) El momentum lineal se define como el .:. to simple. producto vectorial de la masa par la ve- ::: Las proposiciones del problema seran : locidad. :. (VFF Rpta. A) FVF B)FFF
J
0) VFF
E) VW
__
~( J:UZCAIfO --
.GD
PROBLEMA 16 (PSiS!.!
Determine la verdad (V) 0 falsedad (F) de :~: las siguientes proposiciones : .:. Las proposiciones
.:.
= PSiSt.i
=
6)
del problema seran :
:. @~J Rpta.
I) EI impulso sobre una pelota es igual a la .:. fuerza que recibe. :~: .:.
II) Una pelota de . ping - pong que choca .:. con un trailer'detenido Ie transfiere par- :~: te de su momentum aI trailer. .:. .:. F es la fuerza externa total aplicada a un III) Una granada inicialmente en reposo ad- :~:cuerpo. Si en' e! grafico de la Figura el area quiere cantidad de movimiento al explo- ';' total es de 2 N -s. Determinar!a fuerza tar en mil fragmentos. :;: media aplicada al cuerpo . A) FVF
B) FFF
D) FFV
E) VFF
.
.: •:.
F(N)
RESOLUCION
EI impulso se caJcula por :
(I =Fxt.d
:;: A) 500 N
B) 2 000 N
.:. D) 19,6 N .:.
E) 100 N
C) 1 000 N
Por tanto, Ja impulsion es una magnitud di- .:. RESOWCION ferente a la fuerza. :~:Por teona : .:.
IProposici6nl III (V)
.} EI area debajo de la curva F vs t nos mide el
Si el trailer esta detenido, entonces parte del :~:impulso, su valor en terminos de la fuerza momentum de la pelota, sirve para impul- ';' media (Fm) equivale a : sar aI trailer. :;: .:. F(N}
o .
fj;~. :
O.~02 • t(s)
,
I = F med. Si la granada esta en reposo inicialmente, y :;: esta explota en varios fragmentos; la canti- ';' '.' dad de movimiento del sistema es la mis- .:. .;.
2
(Fmed.
x
.:1t
= Fmed. x (0,102 - 0,1)
= 1 000 N]
Rpta. Clave: C
CANTIDAD DE MOVIMIENTO'·
IMPULSO - CHOQUES \
(F)
Sem. CEPRE UNI .:. IProposici6nllVI .:.
En un cierto impacto se muestra la grafica F versus el tiempo de acci6n t, de dicha fuerza. Determine 1a verdad (V) 0 falsedad (F) de las siguientes proposiciones. F(103N)
.:. La fuerza actuante va aumentando linealmente :~:hasta 10 kN (fuerza milXima) y luego disminu.:. ye linealmente hasta hacerse nu1a. :~:Las proposiciones del problema resultaran : .:.
( VFVF)
Rpta. -
Sem. CEPRE UNI
.:. Se muestra una grafica· F vs t, -en un cierto .:. impacto. Entonces: .:.
I) En t=5 ms la fuerza vale 10 kN. II) Todo el impacto tarda 10 s.
F(kN)
10
':.,
III) E1area achurada es igua1 a la magnitud .:. del impulso. :~: IV) La fuerza actuante es constante.
J----,
5
,,
' '
,
'
::
C) VFFV
::
A) VFFF
B) VVVF
D) VFVF
E) VVW
.:. I)
.:.
El contacto dur6 2 ms .
RESOLUCION En 1a grafica F vs t, podemos notar :
.:. II)
EI objeto impactado recibi6 10 N-s hacia la derecha y 5 N-s hacia la izquierda .
.:.
.:. .:. III) EI impulso neto es de 5 N-s . .:. .:. IV) El vector impulso sefiala siempre en el mismo sentido que la fuerza que 10 produce.
IProposicioilll
1
(V)
Cuand~ t=5 ms ; F=lO kN
IProposici6n In 1(F)
:~:A) VFFF .:. D) VFFV
B) FFFV E) VFW
:~:RESOWCION :~:En 1a grafica : .:. .:.
F(kN)
Cuando t=lO ms ; F=O; eso significa. Que .:. .:. e1 tiempo que dura e1 impacto es 10 ms.
10
5········~ ,
.:.
EI area debajo 1a grafica· F vs t mide e1 im- .:. pulso (numericamente).
.
~! : (f,j,
::
:
:
~
__
~.
j:UZCAIfQ ----------------~
IProposici6nI
I (V)
10 m/s La fuerza actuo durante ~t = 2 ms , que es :~:D) 40 m/s I
.:. A)
20 m/s E) 50 m/s B)
el intervaJo de tiempo que duro el contacto. :~:RESOWCION . Cuando la pelota colisiona con la pared la IProposid6nI III (F) :;: fuerza impulsiva produce un impulso cuyo Si no indican nada respecto de la direccion .:. .'. valor se evahla en la grafica F - t . del vector, entonces : aSl.lmimos positiva si .;. F(kN) esta dirigida a la derecha y negativa si esta :~: dirigida hacia la izquierda. .:. De la· grafica concluimos las fuerzas de 10 :~: N y 5 N son positivas por tanto ambas van :~: hacia la derecha. .:. IProposici6nlmi
(F)
:~:
I = area
EI impulso neto se evallia mediante el area. :~: I = area = A .:.
(lx10-Z)(10x103) 1=------
2
I=lxlO+1x5 ..
.. 1=15N-s 1_
1=50 N-s ~
I~Pr-op-o-s-ic-i-6-n~1 I-v~1 (Vf Por teorfa :
I
= F m x ~t
.:.
Por tanto la direccion del impulso es la mis- :~: ma de la fuerza. .:. (VFFV )) Rpta.
Una pelota de 1 kg de masa, choca contra una pared con una rapidez de 30 m/s. Si la fuerza de interaccion pared - pelota es la que se muestra. Determine la rapidez con la que rebota.
:~: .:. :~: .:. :~:De :
.1'
l'
-1--' I =~P
~0----------1
I =m~V
T =m(Vr-Vo) -50i = 1 x (-vri - 30i) (-50)i = (-Vr - 30)i
CANTIDAD DE MOVIMIENTO • IMPULSO • CHOQUES
Rpta.
,
Clave: B ,
En pleno disparo, una bala de 20 g sopor- ' Segun la grafica : el impulso se calcula me.: diante el area "!\'. ta una fuerza F(t)=400-(4/3)xl0St , :~: 3 I = A = 400 x 3 x 10mientras se encuentra en el canon de la pis- .;. 2 tola. Grafique F vs t y de la grafica calcule :~: Rpta (1) el modulo del impulso y el tiempo que per- :~: manecio la bala en el canon. (F en newton .;. Clave: A y t en segundos). :~:
:. (1=0,6 N-s)j
A) 0,6 N-s ; 3 ms
B) 0,6 N-s;
6 ms
C) 1,2 N-s ; 3 ms E) 6 N-s ; 6 ms RESOWCION
D) 1,2 N-s ; 6 ms
:~:..,;;P..,;;Ro;;,;O;;;,;B;;;L;;;E;;;-MA;;;;;.;;.;2;;,;;2;.o...
_
';' Una bola de billar de 1 kg, es golpeada si'.' .;. multaneamente por dos tacos, de tal mane:~:ra que adquiere 200 J de energfa cinetica.
La fuerza que soporta la bala, tiene par gra- :~:Calcular el valor del impulso recibido por la fica : .;. bola. F(N) :~: A) 5 N-s B) 10 N-s C) 20 N-s :~:D) 40 N-s
400
E) 400 N-s
';' RESOWCION
'.'
:~:Seglin la condicion del problema :.
(F(t)=400-~xI0St
* *
Si t=O Si F = 0
=:} =:}
)
F=400 t=3 x 10-3
:;: AI inicio Ileva velocidad inicial Va' por tan- . .;. to tiene energia cinetica :
.;.
1
Podemos notar ademas, cuando la fuerza .;. es nula (t = 3 xlO-3s) la bala sale del ca- :'.~: fl6n; por tanto el tiempo de permanencia :;: fue : +
(At=3~10-3s=3ms»
Rpta. (II)
:~:
2
EK = - mVI a 2 1 2 200 = '2 x Ix VI "
7l
VI=20
..•..
~
~
CUZCAIIO ----------------~
.;. EI bloque se mueve por el piso con acelera.:. .:. cion constante :
I =~p
T = m_(V f - V
0 )
Vo = 0 Rapidez antes del impulso. .:. Par dinamica
.:-------
Luego:
1=lx(20-0)kgx-
m
FR
s
f=ma
[lkg m/s< > IN-s]
Como:
.. [I=20N-sj
=ma
WN = ma :~:
Ilmg=ma
Clave: C :~:
0,3xlO = a
Rpta
..
a
= 3 m/s2
~
Un bloque cuya masa es 1 kg inicia un mo- :;: Por teoria de Cinematica vimiento rectiHneo impulsado por el golpe ::. -----------
de una barra.
Si el coeficiente cinetico de :~:Tramo AB (MRUV)
fricci6n es 0,3 y el bloque se detiene despues de recorrer 6 m, LCual es la magnitud del impulso recibido por el bloque? (en kgxm/s)
k-6m~ A) 3
B) 4
OJ 6
E) 8
C) 5
De :
.:.
vi = vf - 2 x a x d 02 = vf - 2 x 3 x 6 VI = 6 m/s I.
.:. Calculo del impulso con que se golpea .:. .:. al bloque.
:~:* AI .:. .:.
inicio el bloque esta en reposo (Vo = 0); luego del impuiso el bloque
.:.
adquiere una rapidez:
.:.
~soLua6N Suponiendo hasta "B".
:~: .:. :~: .:.
Vf = VI = 6 m/s
~
que el bloque se mueve de "P\' :;: .:.
~o
:- .. -----.
·:· ..: TH=o.3
·
.
A ~d=6m~
I =~p
T = m(Vf
-
Vo)
II-
cuifr-•••
A) 6
N-s;
30 N
B) 12 N-s
; 60 N
AIII .:. '.PROBLEMA26'
Sem.CEPRE UNl
.:.•
:~:Una bola de masa m=1 kg Ie transmite pOT
C) 0,6 N-s 3 N D) 2 N-s 10 N E) 6 N-s 12 N RESOWCION
.:. fricci6n un impulso 1=10 1 N - mal bIer .:. que de masa M=10 kg inicialmente en re:~:poso, como indica la figura. Si durante la .:. transmisi6n del impulso "M" se desplaza .:. 0,5 rn, GCUanto tiempo estuvieron en conSeg(ln la condici6n del problema; si se des- .:. tacto ambos cuerpos? r-" plaza sobre la superficie lisa, entonces su :~: rapidez es constante. :~: .......•......... ...-
'~Je!iF'
.:.
el'tInnaCtb.
j.l.=o
:~: :~:A) 0,5 s .:. D) 2 s
Despues del impacto
7" B) 1 s E) 10 s
:~:RESOWCION V2
=
4m 2s
=>
Calculo del Impulso
V2
= 2 m/s ~
(en la colisi6n)
.
.:
.:."Graficando el movimiento del bloqueo du:~:rante la impulsion.
1 =AP I=m(Vr-Vo) 1=1(-21-41)
1 =AP .
1=-61 N-s
.. (1=6 N-s] Calculo de Fm
6 =Fm xO,2
(F =30N) m
=-="
I=M(Vr-Vo) 101=1O(Vr-0)
Rpta (l)
V f=
1m/s
V f=
1 m/sl
':' Como no precisan datos adicionales respec:;: to de como varia la fuerza de reaccion en el .:. tiempo aproximaremos suponiendo que el :~:movimiento realizado sera debido a la fuer.:. za de rozamiento, por tanto el movimiento Clave: A .:. sera un MRUV .:.
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO . CHOQUES
d=Vprom. x Llt d=(
Vf; Vo JLlt
05= (1+0) Llt , . 2
.. (t.t = 1~
Rpta.
Clave: B :~: .:. Sem. CEPRE UNI .:.
lPUBLEMA,fT
Un jugador se encuentra a tiro de gol e im- :~:Calculo de .:.
pulsa el balon de 2 kg can una rapidez de 50 m/s. Si el arquero logra desviarlo sin cambiar su rapidez, tal como muestra, determine la magnitud (en kN) de la fuerza p~omedio que ejerce el arquero sabre el balon~ el tiempo de interaccion fue Jill s. .•.•.•.......
.:. :~: .:. :~: ';' :;:
~
I~ (Par teorfa de vectores)
Uf~~V=VCVO .
.:.
143
v;,
37'° :'
...........
'
".
';' Usando Ley de cosenos : '.'
:~: !LlV!=J502 +502 -~x50x50xcos37° .:.
:~:Si cos37°=4/5
IIIVi = lOJill
A) 20N
B)
C) 30N
D)
E)
lOJill
20J2 30J2
m/s ~
N
Fm x Jill = 2 x lOJill
N
:. ( Fm = 20 N)
N
"'=====6'
Rpta.
Clave: A
RESOLUCION
£PROBI£~2li1 Sem. CEPRE UNI Cuando el balon impacta sabre las man as .:. .:.•.•..• ---=====""'-------.=;.:;.;;;;;...;;= del golero, se produce una impulsion.
:~:Una bolita se lanza desde el piso can una
III
---
~
4DI.
C,UZCAIf'Q -----------------
velacidad de 10 m/s y bajo un angulo con la horizontal de 370, A1l1egar nuevamente al piso rebota con una velocidad de 8 m/s y baja un angula con la horizontal de 300. el choque con el piso dura 0,02 s y la masa de la bolita es 0,1 kg. Determine la magnitud del impulso entregado por el piso a la bolita.
.:. El cambio de velocidad se evalua por : :~: tN=Vr-Vo
:~: ~V = (4-/3 + .:. :~: .:. Calculo del impulso :
A) 1 N-s
B) 2,006
N -s
.:.
I =~p
C) 1,006 N-s
D) 2,012 N-s
.:.
l=ml~VI
.:.
si:~:
!1V = (4,-/3 ; 4) - (8 ; - 6)
8F 10]1_
.:. .:.
E) 10,06 N-s
:~:
RESOWCION
.:.
.:.
~8)2 + 102
I = 0,lx~(4-/3
La bolita realiza un movimiento parab6lico. :~:Evaluando y recordando Cuando lIega al piso 10 hace con la misma .:. m 1 kg-=lNxs rapidez de lanzamiento. (10 m/s) :~: s Graficamos el intervalo de tiempo en con-' :~: tacto con el piso. ..::..
:
:. [1=1,0057 N-s ]
:~: PROBLEMA: 29 .:.
.:. El bloque de 20 kg inicialmente en' reposo .:.:. . esta sometido a fuerzas horizontales de IN .:. en el ler. segundo, 2N en el 2do. segundo, .:. .:. 3N en el 3er. segundo y as! sucesivamente .:.:. . hasta nN en el enesimo segundo. Hallar la .:. velocidad final del bloque .
.:.
r
0°
va
=-6]+8i
Va = (8i - 6]) m/s Vr= (4-/3i+ 4]) m/s
:~:A) n(n+l)/20
B) n(n-l)/20
:~:C) n(n+l)/40
D) n(n+l)/80
.:.
.:. E) n(n-l)/40 .:.
:~:RESOWCION :~:La fuerza sobre el bloque va aumentando .:. en cada segundo :
.:.
CANTIDAD DE MOVIMIENTO • IMPULSO • CHOQUES
"-
--F=lN
F=2N
F=3N
Haciendo su grMico F vs t;obt~nemos
:
.:. Se deja caer una piedra desde 10 alto de un .:. .:. edificio. GCual es la grMica que representa .:. mejor el impulso debido a la fuerza .:. .:. gravitatoria? (Desprecie toda fricci6n del :~:airel.
F(N)
.:. Cuando la piedra es liberada, esta empieza .:. .:. a descender debido a la fuerza gravitatoria, .:. .:. la cual es constante en el tiempo .
*
.:.
EI area se calcula suman do las areas de .:. .:. los rectangulos en cada s~gundo. .:.
A =,lxl+ Ix 2+ lx3+ lx4 + ...+ lxn A=n(n+l) 2
.:.
.:. .:. .:.:.
.:.:. .:.
.:.
T =m(Vf-V
.:.
O)
.:. .:. .:.:.
n(n+l) -20(V -0)' 2
f
o
.:. ffil
Vf = 40 (0 + 1)--; I ._~.,. --- - -..:. ...
_~
Rpta,
Clave: C':' ---_.:.
inVo=o
ff
g
.'. ~tt~; ",
ffrms
1
~t)
fg
•...•
~
__
PQZCAIIQ ----------------~ .;. La fuerza "F" varia en el tiempo :
El impulso se calcula : I=A=mg
:~:
t
(I = (~g) t)
F(N)
:~:
Podemos notar que el valor del impulso au- .;. menta a medida que pasa el tiempo. La :~: gnlfica I vs t sera : .:. .:.
JzL.
I =~p .:.
Area=ml~VI
Clave: A·:·
( 4 ; 2 )2 = m (VB - VA)
.:.
Sobre una masa de 3 kg inicialmente en reposo acrua una fuerza la cual varfa con el transcurso del tiempo como se muestra en la figura: Determine el trabajo realizado por la fuerza al cabo de 4s que demora su ac-
6 = 3(VB -0) :~: .;. VB=2m/s ~ :~: ':' Calculo del trabajo de "A" hasta "B" '.' .;. Sabemos: .:.
M:K = wIs EKB 1
-
EKA = wIs 2
2mVB-O=WAB 1
-x3x2 2 , A) 3J
B) 5J
D) 8J
E) 12J
2
F
F
=W.o
.-=
:. ( wis = 6J
RESOWCION
J
Rpta. Clave: C
.:.
.:. PROBLEMA 32
~-----: ~_ ... -:L .
VA=O
6t=4s
~--
1m: I 1
BOI::
VB
L.lmi
I
.! A
I
Uil
I
.
I
I'
E
am' 8
.;. Una pelota de 0,5 kg, inflada con cierto gas; .:. .;. se encuentra inicialmente en reposo. Un nino :~:Ie aplica un puntapiecuya fuerza varia en el .;. tiempo tal como indica la grafica y 0,8 s
.:.
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO - CHOQUES \
despues la pelota se mueve con una rapidez de 20 m/§. Determine la fuerza maxima aplicada al cuerpo.
.:. ::: .: .:..
ITI =0,5x20 O,8x Fmax A) 10 N
B) 12,5 N E) 50 N
D) 25 N
C) 20 N
RESOLUCION
2
.:.
.:. .: .:..
F(N)
*
'
Sem. CEPRE UNI
::: Sobre una partfcula de 100 g inicialmente .:. en reposo, acrua una fuerza cuyas compo~: • nentes cartesian as , Fx y Fy' tienen el com: portamiento que se muestra en la figura. .:. Determine la velocidad final del cuerpo in::: mediatamente despues que deja de actuar .:.
I = Area = 0,8xFmax 2
0 5x 20
:
Cuando el nino aplica el puntapie; la fuerza .:. que acrua sobre la pelota varia en dos pe- ::: riodos : uno de deformaci6n y otro de recu- .:. ... iP1ibB~33 peraci6n. Seglin el grafico : .F - t, la fuerza maxima ocurre a los 0,4 s. Por teoria el impulso producido por la fuerza; 10 calculamos determinando el area debajo la grafica.
_
E
.~ ::: A) (lOi +
l)m/ s
~: C) (2i+101)m/s .:.
::: E) (i+21)m/s .:.
B) (lOi +
21)m/ s
D) 10(1+ l)m/s
.•...
~
--~
C'UZCANQ ----------------~
.:. tud (en N-s) del impulso que recibi6 la ma:~:dera y la masa (en g) de la bala . .:.
F
.:.
: "J/
:,~_._______ Fy
F = (Fx
;
Fy)
AI inieio, la masa tiene Vo = 0 Por teoria : I =~P :~:A) 260 ; 13 Fx~t=m~V
.:.
B) 0,52 ; 2,6 3
D) 260 x 10-3
(. C) 260x 10 ; 1,3
(Fi<; Fy)~t=m(Vf-VO)
;
:~ E) 0,52 ; 1 300 (. RESOWCION :~:SegUn el problema :
(Fx~t; Fy~t)=m(Vf-VO)
.:. .:. .:.
((Ix; Iy)=m(Vf-Vo))
~
6t
~
/'
Sabemos que al evaluar elarea debajo la :~: grafica F - t estamos midiendo el impulso, .:. luego: : Ix = 10 x 0, 1 = 1 Iy
= (0,lx4) 2
__02 '
(area del rectangulo)
:~: La
l' ~ fuerza de oposici6n "F" varia con el tiem-
';' po, segUn : (area del triangulo)
:;:
F(N)
.:.
Reemplazando
sus valores :
.:.
.:.
(1; O,2)=0,1(Vf-0)
Vf= (10; 2)
... ( Vf=(lOi+2J)mlS)
1,3
Rpta.
:~:
Clave: B':' ===..,:.
Una bala que se mueve con una rapidez de 600 mis, ineide y penetra en un bloque de madera, el eualle ofreee una fuerza de oposici6n "F" que varia con el tiempo segun se indica en la grafica. Si la bala sale con una rapidez de 400 m/s. Determine la magni-
2
1--2,..--..t-2--1
4
terns)
"EI area debajo la grcifiea nos mide el impulso".
:~: 1= 2x100 + (100+60) x2 .:' 2 2 :~: 1=260 N -ms ';' ',' ':' (1=260xlO~3 Rpta (I) :~: ' ,
N-s)
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO - CHOQUES
.:. E~ta fuerza realiza un trabajo; 10 eual haee .:. cambiar la energfa cinetica del bloque. La impulsion de la fuerza "F" modifieo la .:. eantidad de movimiento de la bala. ::: I =~p
ITI = mlV Vol f
260
x
10-3
-
= m ~400 - 600/
.:. En el grafteo F - x : .:.
m=1,3xlO-3kg
.. (m
= 1:3 g
1
Rpta (II)
:~:
Clave: D·:·
.:.
PROBLEMA 35·
Sem. CEPRE UNI :::
Un bloque de 6 kg es desplazado horizontalmente sobre un piso liso horizontal mediante una fuerza tambien horizontal que varia con "x", seglin se ilustra en la grafica. Determine la cantidad de movimiento (en N-s) en la posicion x= 12 m, si el bloque parti6 desde x=O con una velocidad de 2i m/s.
:;: .; ...'. .:. :;: ..::.. .:. Tramo AB
.:. .:. -----
M:K =W%s
F(N)
10
-------------i
EKB
-
EKA = area neta
21mV,f2 -21mVo2 =A1
-A2 +A3
.:.
.:. ~ x 6 x Vf2 .:. 2
.:.
A)
D)
5,/6 i 10 i
B) E)
,/6i 10,/6 i
- ~
2
x 6 x 22 = 3 x 2 - 4 x 7 + 6 x 10
.:. La cantidad de movimiento en x= 12 se eal:;: cula par : Pf=mVf' .:.
EI bloque es desplazada desde x=O hasta .:. x= 12 mediante una fuerza variable. .:. .:.
-6!J° ~
P-f-
-1
3
P=mV P=mV Rpta.
.:. Clave: E :~:
P = 10x65 kgxm/s :.' (P=650
,N3
Rpta. Clave:
PROBLEMA
E
36,
La velocidad media de una particula (m=10 kg) en 10 s de movimiento es igual a su velocidad instantanea. Calcular la magnitud de su cantidad de movimiento en el 5to segundo. Si se desplaz6 130 m en los 2 segundos iniciales, en forma rectilfnea. A) 550 N-s B) 560 N-s
:~: La argolla de la figura se ,suelta desde A y .:. .:. .:. cae debido a su peso de 5N a 10 largo del :~:aro verticalliso. Calcule la cantidad de mo-
C) 250 N-s
.:.
D) 350 N-s
.:. vimiento en B. :~: ? .:.
(g = 10 m/s2) y A
.:.
E) 650 N-s
.:.
RESOLUCION
.:.
.:.
Si la velocidad media entre dos puntos es .: .... igual a la velocidad instantanea, entonces .:. se trata de un M.R.U. :~:A)
B) 2i N-s D) -2i N-s
.:. .:. C) :~: E)
(-V2 )N-s
:~:RESOWCION :~:Evaluemos la velocidad en B : La rapidez constante con la cual se mueve ..::.. es :
?
v=i=
130 =65 t
V
= 65
2 m/s 1_
Luego : :~: En el 5to segundo tiene la misma veloci- .:. , :~: . dad, por 10 tanto :
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO - CHOQUES
Como no hay rozamiento; por conservacion de la energfa mecanica :
mg
EMA
= EMB
EpA
= EKB
.:. RESOLUCION
:~:En el movimiento parab6lico realizado des.:. componemos la velocidad inicial. .:.
.:. Por teorfa, la rapidez de salida es la misma .:. .:. con la que llega.
(2R) =.! x mV~ 2
VB =.J4xlOxO,1 VB
= 2 m/s ~
La cantidad de movimiento en "B" sera :
Rpta.
.:. Clave: C :~:
PROBLEMA 38
Sem. CEPREUNI .:.
.:. Nos piden el impulso desde A hasta B. Un proyectil de 1 kg se lanza con una rapi- .:. dez de 5 m/s formando un angulo de 53°. :~: T = AP Calcule el impulso de la fuerza gravitatoria :~: desde que el proyectil aIcanza su altura .:. maxima hasta que Begue riuevamente al:~: piso. Oesprecie resistencia del aire (dar res- .:. . .:. puesta en umdades kg· m/s) .:. .•:.
T = m (VB - VA) T =1 (3i -
4] - 3i) m I =-4j kgx-~ s A
.) Luego, su m6dulo sera : .:.
y
-----
:. ~=4k9~]
Rpta. Clave: B
.:.
A) 5 0)2
B)4 E) 1
.:. Una esferita de 1 kg de masa es soltada en .:. el extremo A de una superficie semicilfndrica .:.
~
~
---- J:·UZCANQ ----------------~ lisa de radio R= 1 m, tal como muestra la .:. figura. Determine el impulso (en N-s) sobre ':' la esfera al ir de B hacia C. (g = 10 m/s2) A
1m
"""'A"" ~~.~~::~'-'-' 7°'
....;-...
i i
~>.
B'
J!j
C
:
A)
2.J7·
B)
3.J7
D)
s.J7
E)
J26
:~:
'Usando el nivel de referencia "NR2
v
:~:
~
+EpA = EKe + ~
.:.
.:.
.:.
1 2
O+mg h2 =-mVc
.:.
2
+0
10xO 6 =~V2 , 2
2J3m/s ~.
Vc =
RESOLUCION
Para calcular el impulso es necesario calcu- '.'':' lar las velocidades en Bye. .:.
.:.
(N.R: Nivel de referencia)
':'
.:.
••/~" VB
Vc
••'://'
····Ii
*
hI =0,8 m
*
h2 =0,6 m
Por principio de conservaci6n de la energfa ::: mecanica. .;. I) EMA
= EMB
Tomando de referencia "NRI ~
?S;;' , ,/.
:'!1iJ.
'.
,/
•
~Ih
.•.
.
"f?' C'
............. "
"
tl
+EpA =EKB + ~ 1 2 O+mghl ='2mVs lOxO,8 VB
=
V~
2 .
= 4 m/s~
.:. .:. .:. .:. .:. .:. .:.
l~vl=~(2J3t +4
2
I~vl=4.J7
m/sL
"
--
.. -~ CANTIDAD DE MOVIMIENTO • IMPULSO • CHOQUES
I=m!LlVI
*
I = 1 x 4J7 kg
x
mls
( 1=4J] N-s ]]
.•..•."""""''''''''''..••••..,..,.,..,...,g..
\70=(22 ;-4)mls
= (-400 ; 120)N ilt = 3xlO-3s
- Fmed.
Rpta.
:~:
':'"
m=0,06 kg I ---I-
Clave: C.:.
:~:Calculo de impulso Sem. CEPRE UNI .:. :.
.
Una pelota de tenis de 0,6 N tiene una velo- .:. T = (-400 ; 120) x 3 x 10-3 cidad V = (22i - 41) m/s antes de ser gol- :~: peada por una raqueta, la eual apliea una: [ ]' fuerza F=(-400i+1201)N. Eltiempode :~: :.I=(-1,2;O,36)N-s Rpta. (I) eontaeto es de 3 ms. .;. C 'I I d I .'. a cu 0 eave _ I) (.Que eomponentes "x", "y" tiene el lm- .;. pulso de la fuerza aplicada a la pelota ';' De : I = ilP '.' de tenis? (en N-s). .:.
Ioc id ad fimaI
.:.
II) (.Que eomponentes naI? (en mls).
tiene la veloeidad fi- .:.
A) (1,2; -0,36) ; (2; 10) B) (1,2; -0,36) ; (-2; -10) C) (-1,2; 0,36); (42; 10)
:::Reemplazando sus valores : :~ .:. :::
(-1,2;
0,36) = 0,06(\7f -(22 ; - 4)) (-20; 6)= Vf-(22; -4)
.:.
D) (-1,2.; 36) ; ~2;~) E) (-1,2,0,36) , (2,2)
::: .:.
~'.
-------
(~f= (2; 2) m/s] ••••••• ••••••• """""" ••••••• ~
Rpta. (II)
Clave: E
.:.
RESOWCION Esbozando el grafico :
~
.:.
.:. EI tubo Iiso mostrado ::: ra-bola de ecuaci6n .:. plano vertical. Una ::: B y sale por A con
tiene la forma de pay = x2, ubic?do en el masa ~'m" ingresa por VA = 3..[5 (i + 21) m/s.
::: Si el impulso recibido es J65 N x s. ::: eule
el valor
(en
kg)
de
la
('Calmasa?
::: (g = 10 mls2)
III
VIm)! 0-.: ,:·<_.__.
L
:
1
A) 1 kg
B) 5 kg
D) 0,2 kg
E) 0,5 kg
~ X(m)
.:. .:. .:. .:. .:. .:. .:. .:. .:. .:. .:. .:. .:. .:. .:. .:.
I =~p I =m~V T =m(VA -VB) T ='m((3../5 ; 6../5)- (7../5 ; 0)) T = m (-4../5 ; 6../5) I = m~(-4../5)2 + (6../5t 1= mxZ../5 x13 ..[65 = m x 2../5 x.J13
.. (m = 0,5 kg]
Rpta.
Clave: E .:.
si
y
= x2
X
=1
==>
y=l m
.. [h=lm] Ademas:
VA= (3../5 ; 6../5)
mls
VA=~(3../5)2 +(6../5)2 VA
= 15
~
y
m/s~
Par canservacion de la EMs
.:. Una masa de 100 g realiza un movimiento .:. .:. circunferencial con una frecuencia de 4Hz. ::: Conociendo que en t=O s. La masa esta .:. pasando ppr el punta A de la figura en senti::: do antihorario, determine el impulso que ac';' ilia sobre la masa durante los 1/16 s iniciales. '.' .:. ~Que fuerza media ejerce el impulso? ::: Dar respuesta en kg ~ y N, respectivamen.:. te.
EM
= EMA
2 121B . -mV =-mVA +mgh 2 2 2
2
.
VB = 15 + lOx1 2 2 VB = 7../5 m/s~
(i + 1) ; - 12,8n (i + 1) :~:B) 0~8n(i + 1) ; 12,8n(i + 1) ::: A) -0, 8n
CANTIDAD DE MOVIMIENTO • IMPULSO • CHOQUES
C) -0, 41t(i + J) ; -6,41t(i+ D) 0,41t(i+J);
J)
6,41t(i+J)
E) -0,81t(i+ J) ; 12,81t(i+ J) .:.
RESOLUCION .;. . . La partfcula realiza un M.C.U (f=4 Hz); su :~: rapidez lineal se calcula por : .;. .:. .;. PROBLEMA 43
Rpta. (II)
Clave: A
.:.
.;. La posicion de una partfcula de 3 kg que se .;. mueve sobre una recta esta dad a por :
V = 81t m/s ~ Si f=4Hz, entonces
T=~=
%s
:::
X(l)
= (3t2
-
9t + 12) m
Luego : en 1/16 s habra recorrido 1/4 del :~:Calcule la magnitud (en N-s) del impulso arco de circunferencia. .;. que recibe desde que inicia su movimiento y .;. hasta el instante en que haya ejecutado un :;: desplazamiento cera. B) 46 C) 50 ~ A) 42 .:.
~ D) 54
E) 58
:;:RESOWCION .:. .;. Recordando cinematica : .;. Si la ecuacion del movimiento de una parti.:. .;. cula es : X(t) == 3t2 9t + 12 x(t) == 12 - 9t + 3t2 EI cambio de velocidad entre ''/\' y "B" es: .;. :~:Haciendo analogia con : I:N=VB-VA .;. V 1 2 .;. X(t) == Xo + ot + at
L1v==(-vi-VJ) L1V == -81t
.:.
(i+J)
l
Ccilculo del impulso I ==L1P I=
mL1V
I == (10-1)[
-81t(i+J)]
.. (I ~ -O,81t(i
+ j)kg
:
I
2
.GmI!
••...•cu~ Nos piden evaluar el impulso desde que inicia el movimiento (en X= 12 m) hasta cuando vuelve a pasar por el mismo pun to. (Equivalente a decir que su desplazamiento es nulo). I i1P Luego : = I = mi1V
"I=m(Vf-V
O)
.;. si F=O => t=4 .;. si t = 10 => F=6 :;: .;. II) Para 10:-:;t < 12 ; F=6 :;: III) Para 12:-:;t < tf .;. .;. El valor de "F" ira disminuyeno desde F=6 ..;.: hasta F=O .
. .;. Entonces .:.
:
•;. F(N)
r = 3 x ( 9i- (-9i)) A
I =54i kgx-
m 5
I = 54kg
x
:. ( 1=54 N-s
m/s
J
Rpta.
.:.
.;. Clave: D·;·
.
.:
.;. Por dato .: Sem. CEPRE UNI .~
'.' Por teorfa, el impulso se determina calcu~obre un bloque acrua una fuerza F (en N) ~: lando el area debajo la curva F - t . :;:
-AI + A2 + A3 + A4 = I
si 0 :-:;t < 10 si 1O:-:;t<12
:;: .;.
4 x4 6 x 6 --2-+-2-+
si 12:-:;t < tf
.;.
variable en el tiemyo "t" (en 5) 5egUn : {t - 4 F= 6 f
Si luego de 12 5 la fuerza Iinealmente hasta anularse, y do que el impulso resultante es determine el valor de "f" (en t=17,0 s.
A)1 0)4
B)2 E)5
.:.
2 6 6 x (tf -12) _ 40 x + 2
Resolviendo:
di5minuye :~ tf = 18 consideran- .;. EI valor de "f" cuando t= 17 5 5e calcula en de 40 N - 5, :;: la recta desde 12::;;t < 18 . N) cuando .;. F(N) :;:
C)3
: ~ .:.
.
RESOWCION
.;;•.
Para realizar la grafica F vs t establecemos ~ 105 puntos crftic05 en 105interval os de tiem- :~ po mencionad05. :;: Por semejanza de triangul05:
:. (f = iN )
I) Para 0:-:;t < 10 ; F =J - 4 si t=O
=>
F=-4
.
6 f
6 = 1: . Rpta. Clave: A
CANTIDAD DE MOVIMIENTO • IMPULSO . CHOQUES
CENTRO DE MASA Tambien conocida como el centro de inercia. EI centro de masa de un sistema de partfculas, nos indica la ubicacion dellugar 0 punto definido respecto de un sistema de coord en adas; donde en forma real 0 hipotetica se situa la masa del sistema, que a su vez esta relacionada con parametros como su posicion, velocidad, aceleracion, etc. Para entender mejor definamos un sistema de partfculas discretas.
La posicion del centro de masa
(7CM)
se definira :
n
2: miri
_ i=1 rCM --n--
Imi
;=1
~celeraci6n del centro de masa
(itCM)
Suponiendo que cada partfcula presenta cierta aceleraci6n, entonces para el sistema se define :
La cantidad de movimiento del sistema de partfculas, es la misma de la cantidad de movimiento de su centro de masa.
IpCM=p;]1
I~CM=P~brt~t~·+pJJ Si en un sistema aislado de particulas no aciUanfuerzas ex:ternas, entonces se cumple :
It!tM2?c§~1 Si en un sistema aislado de partfculas no actuan fuerzas externas e individuales su VCM
= 0;
entonces se cumple :
Las propiedades anteriores las usaremos con frecuencia, establecida el principio de conservaci6n de la cantidad de movimiento.
CANTIDAD
DE MOVIMIENTO
- IMPULSO - CHOQUES
PROBLElMAS DE AP~leACION PROBLEMA
Sem.
45
CEPRE UNI .:.
tienen su centro de masa ubicado en :
61)
D os parhcu :~: I' = (4i + m 'I as d e masas m1 = 2 k g y .:. m2 =3 kg estan en 105 puntos (0;1) y ::: Determinar las masas de las partfculas si la (-1 ; 0) respectivamente,
Hallar la posi- .;. sum a de ambas es 6 kg.
cion del centro de masa. A) (-3/5; 2/5) B) (3/5; C) (3/5; E) (-1/2;
-2/5) 1/2)
2/5)
D)(O; 0)
:~:A) m1 = 1 kg ; m2 = 5 kg .:. .:. B) m1 = 2 kg ; m2 = 4 kg .:. :~:C) m1 = 2,5 kg ; m2 = 3,5 kg
RESOLUCION
:~:D) m1 = 3 kg ; m2 = 3 kg
Datos :
.:. E) m1 = 5 kg ; m2 = 1 kg
.:.
,~ 'Masa
'
c
.:-
'Posicion
2kg
:~:RESOWCION
(0; 1)
, ~kg
.
:~:De la relacion anterior:
(-1; 0)
De la relacion : rCM
Reemplazando _ r
-
=
mlrl +m2r2 ml +m2
datos : 2x(0;
1)+3(-1;
2+3
CM -
_ rCM
(4; 6)= ml(2;2)~m2(5;8)
0)
(0; 2)+(-3; =
(24; 36) = (2m1 ; 2ml)+ (5m2; 8m2)
0)
5
- = (3-5; ~2J' reM
(24; 36) = (2m1 ; 5m2; 2ml + 8m2)
y
Rpta. Cl
ave..
.:. o
.:.
Sem.
CEPRE UNI .:.
Dos partfculas ubicadas en :
.:.
:~: .:-
1'1=(2i+21)m
y
1'2=(5i+81)m
:~:
=r
I
.:. A':' 19ualando componentes
:
2ml+5m2=24 2ml + 8m2 = 36 ------3m2 = 12 ?
m~
= 41
IDI
2mI +Sx4 ml
mt = m2
= 24 =2 ~
2 kg
=4kg
"====~
mIl'! = m(O ; 0) m2r2 = mea ; 0) Sem. CEPRE UNI .;. ...
m3r3
= m(2a ; 0) = m(O ; a)
Encontrar la posicion del centro de masa :~: m4r4 del sistema mostrado. Todas las masas son .;. msrs = m(a; a) identicas. :~: m6r6 = m(2a ; a) 2a
a
·
. ------~------~ .. , ·· ..
= m(O;
m9r9::::::m(2a ; 2a) .:.
.;. Luego: .:.
_
1) a(i + 1)
m(9a ; 9a) t~(a; reM = 9m -
(i + 1)
B)
C)
D) 2a(i+
2a)
msrs = mea ; 2a)
,,
A) 3a(i+
E) (9a/8)(i+
m7r7
------(>------€1) , .
t~
a)
1)
1)
RESOWCION
1~i't1td~JJ
:~:
Podemos notar que la distribucion de las 9 partfculas denota simetria respecto de la bisectriz deXOY; ademas que las masas son identicas.
.; .:.. .;. :~:EI centro de masa del sistema de partfculas .;. que se muestra en la figura, formado por :
Por tanto la ubicacion del centro de masa :~: ml = 2 kg ; m2 = 6 kg ; m3 = 2 kg y el del sistema estara en su centro geometrico, :~:C.M. se encuentra localizado en el punes decir en: (a, a). :~:to (2 ; 2) . .;. ('Cual es la distancia (en em) desde la posi:~:cion de m4 hasta el eje Y? (C.M : centro de :~:masa).
(10+5)x2=ax5+2 4
-----------------------0 ____________ Qm3
m1
::
0_-----2
:
I
, ,•,
::
:
:
..
m.a
a=5,6~
.:.
i
.:. En el grafico inicial podemos notar que la :~:distancia desde la posicion de m4 hasta el .:. eje Y sera :
:
" " "I.,
.:.
..
I
(a=5,6cm)1 ___ =!J
Rpta. Clave: B
A)4cm
B) 5,6 cm
D) 5,4 cm
E) 6m
:~:PROBLEMA 49
RESOWCI0N Datos: masas (m) ml
= 2 kg
1\=(-2;2) rz=(O;O) 1'3=(3;3) r4=(a;4)
mz =6 kg m3
= 2 kg
m4=m
*
Lm
(r)
posicion
*
=10+m
rCM
= (2;
:~:Se tienen 4 partfculas de masas iguales ';' a m. Dispuestas sobre la recta y=2x tal '.' .:. como muestra la figura. Halle la posicion :~:del centro de masa.
2)
De la relacion :
-
_mlrl+mZrZ+m3r3+m4r4 Lm
rCM -
:~:A) (3 1+ 5 .:.
(2; 2)= 2(-2;
2)+6(0;
0)+2(3; 10+m
3)+m(a;
::: C) .:.
Luego:
-------r-
(1O+m)(2; 2)=(am+2; Igualando
Tcomponentes
10 +4m)
:
(1O+m)x2=10+4m 20+ 2m = 1O+4m m=~
4)
1)
B) (2,51+ 2,51)
(21+41)
:~:E) (3 1+ 6
D) (2,51+51)
1)
.:.RESOWCI0N .:.
:~:IMetodol
I
I
:~:La recta donde estan ubicadas las partfcu.:. las tiene por ecuacion: y=2x .:.
.:. Luego, tabulando .:.
:
CITIIITIIIJ ~
....•
~ II-
C·UZCANO ----------------~
.
.:.:. Hallese la posicion del centro de masa para
.:. el sistema dado, si : :~:
' m1 = 2m2 = m3 = 4m4 = 4ms
.
.:.
Z(m)
.:
_
.:.
(1;2)+(2;4)+(3;6)+(4;8)
.:.
'4
rCM =
- _(10;20J 4
.:. :.
.~
.:.
rCM -
---"--------.,
:. (rCM = (2,5l
.:.
+ 5i)m)
Rpta.
:~:A) (5/61+ 2/3J + 1/3k)m
IMeto~611I·1-..- ...=-
:~:B)
(5/61+2/3J+1/2k)m
k) m :~:D) (2/51 + 2/3 J + k) m :~:E) (wi + 8J +• 6k) m .'.
El C.M para dos partfculas identicas, se de- :~:C) (2/31 + 51 6J + fine en un punta equidistante a ambas.
O···············~~~·······_--------O t---d I d-----l
.:. RESOWCION Como puede notarse el sistema presenta si- .;. Para ubicar la posicion del C.M. del sistemetria. Tomando las masas dos ados es :~:ma, primeramente ubiquemos la posicion faci! de deducir': .:. de cada masa : .:.
m
m
C.M.
m
m
0-------0-------·-------0--- ..·--0 I--d-+-d/2-+-d/2-f-d ----i
Es decir en la figura esta corresponde a : VIm)
';' los datos : ... De _----.:. .:. .:. .:. .:.
.:. .:.
.:. .:. :. : :. .:. .:. .:.
... .
1
2t3
4
2.5
(rCM =(2,5
;5)1} Rpta.
~==-~ Clave:
.:.
D':' ~~~"'".:.
Si
ms =m=>m4 =m m2=2m Masa
(1!',) . 1.
4m
2.
2m
(O;0;6m)
3.
4m
(8m;0;0)
4.
m
(2m;4m;0)
m
(0;0
;0)
_ (10m ; 8m ; 6m) rCM= 12m rCM
=
)'1'\
(10 ; 8 ; 6) 12)'1'\
(5~ 2~ 1~) -i+-j+-k
6 . 3
2
:~:Dos partfculas forman un sistema aislado y .:. se encuentran en las posiciones mostradas :~:en el grafico. Halle la posicion del centro .:. .:. de masa al cabo de 10 s. Considere que las .:. masas son iguales. .:.
m .:.
Clave: B·:·
Una partfcula de 5 kg tiene una velocidad :~: VI = (2i -
31) m/s,
otra partfcula de 3 kg :~:
tiene velocidad V2 = (lOi-51) m/s. En- :~:A) (5,5i+1O,51)m cuentre la velocidad del centro de masa. .:. '.::'.C') (l1i+2{J')m A) ( 7i-4,25j m/s B) (~~) 5i-4j m/s ~~) C)
(3i+5,251) m/s
E) (8i - 3,751)
D) (5i-3,751)
m/s
B)
(5i+101)m
D)
(21i+ll1)m
:~:E) (1O,5i+5,51)m
m Is
:~:RESOWCION ':' Evaluemos primeramente la posicion RESOWCION :;:cada partfcula en t= 10 s. La velocidad del centro de masa del siste- .:. ::.:I Mavil I A I ma de dos partfculas se calcula de : :~:Si : V = 1 m/s -V m1V1 +m2V2 CM = :~: d=lOm~ m1 +m2 .. La posicion de "pt sera : Reemplazando sus datos : TA = i + lOi = lli ~ , V _5x(2;-3)+3(1O;-5) CM -
5+3
VCM= (10 ;-15)+(30
:~: I Mavin ;-15)
8 V-(40 CM
=
(VCM = (Si-3,7SJ)
.:.
.:.
:~:
m/S)
:::::azm~:n:t:uz_~_
I
.:. Si : V=2 m/s ; el) t= 10 s recorre : .:.
;-30) 8
B
d = 2 x 10 = 20 m :. Su posicion sera:
TB= 21
1 1_
:~:La posicion del centro de masa sera : :~: mATA+mBTB Clave: D·:· rCM= mA + mB .:.
de
Masa
,
ml=2 kg
(4; 3) m/s
m2=2 kg
(6; 1) m/s
m3=2 kg
(2; 2) m/s
(rf = ra rl = (-2
+
Vt)
; 0) + (4; 3) x 2
Las pamculas que se muestran en el siste- :~: ma tienenmasa 2 kg y parten en t=O s' de ':' '.' las posiciones mostradas con velocidades : .:. *
rl=(6;6)m~
VI = (4 i+ 3 j) m/s , V2 = (6 1+ j) m/s , :::
1'2 =(12; 2) m~
y
V 3 = (2 1+ 2 j)
:~: *
m/s.
Ve16Cidad
1'2 =(0; 0)+(6;
r3 =(4;
0)+(2;
1)x2
2)x2
r3 = (8; 4) m~ Determine la-posicion (en m) del centro de ::: masa del sistema en t=2s. .;. .:. La posicion del centro de masa en el instan..:. :. te t=2s es ..
_ A) (121+3
r
J)
C) (26/3)1+4
B) (261-4 j
CM -
j)
_
D) (16/3)1+4/3j
2(6; 6)+2(12; 2)+2(8; 2+2+2
- ------~-~-~
rCM:;:
4)
(26; 12) 3
E) (17/3)1 Rpta.
RESOLUCION
Clave: C
Seg(ln el problema : y .:.
.:. Tres partfculas cuyas masas son m, 2m y :;: 3m se mueven en el plano X - Y con velo.:. cidades constantes. En t=O sus posiciones ::: son las indicadas en la figura. Encuentre la .;. velocidad del centro de masa (en m/s).
.:.
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO - CHOQUES
:::'PROBLEMA 55'~
::: Dos esferas se mueven sobre una superficie .:.:. . horizontallisa y en un instante deterrninado .:. estan dispuestas como se muestra en.la fi:~:gura. Hallar los vectores posicion y veJoci.:. dad del centro de masa 3 segundos despues :~:de producido eJ choque. (Considere a /as ';' esferas como un sistema ais/ado) '.' .
X(m)
A) (4i+3J) m/s
B) (4i-3J) m/s
C) (8i-6J) m/s
.:.
Y(m)
.:. .:.
lkg ... 4m/s
D) (4,8i+3,6J) m/s :~:
,
+2m/s
E) (24i + 18J) mls
-4
~._
RESOWCION
3kg
De los datos del problema :
(lli-4,5J)m
; (i-1,5J) m/s
B) (lli+4,5J)m
; (i+l,5J) m/s
:~~;~v:~::~~~i:~: : A)
m2=2m
V2=(7;O)m/s
:~:C) (lli+4,5J)m;
1113=3m
V3= (2; 5) m/s
~:D) (4,5i - 6J)m ; (i + 1,5J) m/s
(l,si-J)
~ velocidad del centro de ~asa se calcu--:~:E) t4,5i-llJ)m a :
VCM = mi VI + m2V2 + m3V3 .
ml + m2 + m3 '
= m(4 ;-3)+2m(7;
'VCM
~
0)+3m(2; m+2m+3m
-
VCM:: (4; 3)+(14; 0)+(6; 15) VCM = (24;
6 18)
; (i+1,5J) m/s
.) RESOWCION :~:Si las dos masas estan dentro de un sistem~ :: aislado, entonces la cantidad de movimien.:. to del sistema (0 de su centro de masa) se 5) ..:. .:. conserva. La velocidad de su centro de :~:masa se mantiene constante y se calcula ~:por: .:. .
:~:
6 .
~
V
.)
.. (VCM = (4~:~)m/S]
m/s
Rpta.
:~:
Clave: A :~:
_lx4i+3xZJ 1+3
CM -
(
~ (Velocidad en
yCM = (i + 1,SJ) m/s~ todo instante) . G~
_ ••
=-~""' Rpta. (II)
__
~
~
C·UZCAIfQ ----------------~ ---~Hofq.En la figura original podemos notar foci/mente que a los dos segundos de iniciado el movimiento las partfculas colisionan; aLin as! instante.
P sist.
= cte
Masa
en todo
Velocidad
ml=4 kg
Vl=(4;
2t) m/s
m2=6m
V2=(2t; -8) m/s
La posicion inicial del centro de masas se :~:La velocidad del centra de masa en cualcalcula par : .:. quier instante sera : rCMo
rCMo
.:. .•:. .:. .: .:. .:. .:. .: :.
_ mlrl + m2rZ ml +mz _lxO+3x(8
.
;-4)
. .
1+3
.
.:
.. (fCMo =(6;-3)m]
.:.
V CM= _m_I_V_I_+_m_Z V_z mi +mz
v _ 4 (4 ; 2t) + 6 (2t CM-
V
_
;- 8 )
4+6 (16+12t;
8t-48)
10
CM -
La posicion del C.M. 3 segundos despues .:. En t=.4s sera : de la colision, significa 3+2=S segundos des- :~: V _(16+12x4;8x4-48) pues de iniciado el movimiento. ..:.:. CM10' VCM= (6,4; rCMf=(6 ;-3)+(1;
1,S)xS
Resolviendo : :.
(fCMf
:~: ..
= (Hi + 4~5j).:JJ Rpta
(1)
-1,6)
(~CM = (6,4i -1,6j) mlS] Rpta. Clave: D
:~:
Clave: B :;: .:. PROBLEMA
57.
Sem. CEPRE UNI .:.
En el instante (t=O) una partfcula de masa !!II = 4)
E) (1,91 + 2,83)
~
B) (1,81-2,6]) D) (6,41-1,63)
.
.:. Tres partfculas m 1 = 2 kg, m z = S kg y ':' m3 = S kg se encuentran en movimiento. :;: se encuentra en calda libre y mz tiene :~: m3 aceleracion de (21 + 43) m/sz. Hallese la ::: .;. aceleracion (en m/sz) de mI, si se sabe que .:. la aceleracion del centro de masa del con::: junto de partfculas es cera. :~:A) 101- S]
B) S1-IS]
.:. C) 101- 6] .:.
D) 151- S]
.:. E) -S[+ 15j .:.
CANTIDAD DE MOVIMIENTO • IMPULSO • CHOQUES
RESOWCION De los datos del problema :
:~:locidad de (-8i + 20] ) m/ s. Determine la .;. velocidad del centro de masa 2s despues del ';' disparo.
Y(m)
:~:A) (2,8i+2])m/s
B) (-2,8i-2])m/s
:~:C) (1,4i-])m/s
D) (-1,4i+])m/s
:~:E) (-2,8i+16])m/s :~:RESOWCION
.
.:
.;. Seglin la condici6n del problema : .:.
~. 'fMasa ffil=2
-;0...
kg
ffi2=5 kg ffi3=5kg
Vt
Aaieraci6n
... t./
·.....~Ojt
?? (2; 4) m/s2
I'
:;:'\:-----
----~'~~
-8r
(0 ; -10) m/s2
15~/~~
om,
sf
100m
:~:Datos: (0; 0)= 2al +5(2;
(0; 0)=2al
+(10;
m1 = 2 kg
4)+5(0; 2+5+5
-10)
m2
Ambas partfculas Ilevan la misma aceleracion :
-30)
al=(-5;15) ..
( al
~
A
.;.
= (-51 + 151) m/s2
a=g=-lOj
m
-
_:.
52
]
Rpta. :~:Calculo de la5 velocidade5 de la5 particula5 Clave: E';' en t=25. -
PROBLEMA 58
=3 kg
:~:De:
[-V-f-=-V-O-+-a-t)
Sem. CEPREUNI .:.
Desde 10 alto de una torre de 100 m de al- :~: M-o-'vt-'I-/I-I -I
tura, 5e disparan 5imultaneamente do5 par- :~: tfculas una de 2 kg con una velocidad de .:. (5i+151 )m/5
y otra de 3 kg con una ve- :~: .:.
V1 = (5i+15])+
(-101)
V1 = (5i-15]) = (5
x
2
;- 5) m/5L
~
~
_pUZCA ••
----------------~
IM6vul21 Vz = (-8i + 201) + (-101)(2) Vz =(-81)=(-8; 0) ITl/s~
= PI + Pz
PCM
.:.
.:. Reemplazando .:.
sus datos :
La velocidad del centro de masa se calcula :~: por:
~
,......--~=--'""""":=-"'
= 2(5 ;-5)+3(-8;
VCM
.:.
0)
2+3 = (-14;
VCM
______
.: . PROBLEMA60 .:.
-10) 5_____
= (-2,81 :-2j)
:~:
:~:Una partfcula
m/S)) Rpta.
:~:raci6n
Sem.CEPRE UNI
de 2 kg tiene una ac;re-
al = (3t i - 3 1) m/sZ y otra parti-
:~:cula de 3_kg se Amueve con velocidad -...."""'",...""""="""'''''''''''''''''''''''''~Clave: B·;' constante VZ = (2 i) m/s. Encuentre la ace...:'' leraci6n del centro de masa del sistema en ~. . . .:. t=2s PROBLEMA59 Sem.CEPRE UNI.:. . La cantidad de movimiento del C.M. de dos :;: A) (1,2 i - 0,6 j) m/sz particulas antes de irripactar es .~.B) (2,4 i-I, 2 1) m/sZ :.
( VCM
A
A
PCM = (5J + 121) N x s. Si despues del cho- :~:C) (4,8 i - 2,4 ]) m/sz que la c~ntidad~ de ~ovimiento
de u~a de :~:D) (2,4 i -0,8])
m/sz
Nxs. Determmela.:. E) (24i-16':)m/sz ellases PI=(31+4J) cantidad de movimiento de la otra. (Consi- .:. ' , J dere al sistema de partfculas como un siste- v';' RESOWCION _ ma aislado). .:. Seg(In leis datos del problema, podemos noA)
(i + 1) N - s
C) (2i+8]) N-s (A A) E) 5i+8j N -s
B) (3i + 41) N - s
:~:tar que la partfcula de 3 kg se mueve con
D) (5i+12}) N-s
:~:v~!ocidad constante; por tanto su acelera. CIon es nula. .:. .:. Luego: .:.
RESOWCION Teoria: En un sistema ais/ado /a cantidad de movimiento de/ centro de masa se conser-
va.
(-p-s-;st-. ----P-C-/1-=-P-I
..-+-P-n-) -+-P-z-+-.-
Masa
Aceleraci6n
ml=2 kg
a1=(3t ;-3) mlsz
mz=3 kg
az=(O ; 0) mlsz
.:. La aceleraci6n del centro de masa se calcu.:. la: .:.
CANTIDAD DE MOVIMIENJ:0 - IMPULSO - CHOQUES
.:. Ademas del dato : •
-1· V2
.:. .:.
_ 2(3t ;-3)+3xO aCM= . 2+3
:~ .:.
aCM= ~ (3d - 31) m/s
:::
.:.
En t=2s sera:
:: En (l) :
.~
aCM= ~ ( 3 x 21- 3) m/s
~:
----------
.. (it = (2,4 i-1,2 j) m/~ CM
.......~
Rpta.
-e-.:- .
3kg
=50
("CM = 30 i m/s)
~
Rpta .
Clave: C
.:.
PRO.~ Sem. CEPRE UNI . , En el sistema se muestran dos parhculas . ..~ de 2 kg y 3 kg de masa. 51 I~ velocldad relativa de 1 respecto de 2 es 50i m/s. Determine la velocidad del- centro- de masa (-). VCM asumlendo que VCM= 3V2· ~
i
i V2 = 10 i m/s ~
6V2 - V2
: ~~~~~.
Clave: B ·:·PROBLEMA
2kg
= 50
62.
Sem. CEPRE UNI
~: La figura muestra la posicion en t=O s de : dos particulas con masas ml = 1 kg , ~. m2 = 2 kg que se estan moviendo a 10 lar.:. d I . X 5' I .. , d I 't d go e e]e . I a pOSICIOne cen ro e -:-masa en cualquier instante posterior "t" ::: esta dad a por xCM= 0,333 + 0,667 t (m ) : .:. : h a IIar Ia ve I'd OCIa d d e I C .M . y Ia separa; cion inicial (d) de las partfculas (en m/s y .:. "m" respectivamente).
.
~
mt
.:.
A} wi m/s D} 401m/s
B} 20i m/s E} 501m/s
C}
30i m/s
RESOWCION
Segtin los datos del problema :
... ~O ~ ~=2kg
n~.m
m:z=3kg
~.
.
:. .:. :. .: :.
8
. . .
I
d
.:. A} 0,667 ; 0,333 ::: C} 0,667 ; 0,5 :~ E} 0,333 ; 0,48
X
•
B} 0,333 ; 0,5 D} 0,667 ; 1,0
:::RESOWCION
::: Las masas m1
y
m2 !levan velocidades VI
.;. y V2·
.EfI
~
--
~
C,UZCAN!I ----------------~
Pew la posicion del centro de masa a medi- .:. Ai (4/9 , 4/9) £ da que pasa el tiempo esta dada por : :~:C) (2/9 ,2/9) £ =?,333+0,667t
xCM
... (I) :~: E) (1/9,1/9)
B) (2/3,2/3)
£
D) (3/2,3/2)£
£
.:. we1 0. N .:. RESO
Es decir : = xCMo
xCM
+ VCM
x
t
... (II) .:.
.:. 19ualando terrninos en (I) y (II); concJuimos: :::
-------
:. (VCM = 0,667
m/S] Rpta ([)
El eM. de una lamina triangular homogenea esta en su baricentro (G).
:~:
Ademas, si : xCM a
=
0,333 m (Posicion
iniciat del·:·
centro de masa)
..::.• En el ~, se cumplen las relaciones de 10s segmentos indicados .
.:.
.:. Ubi cando los C.M. de los triangulos rectan.:. gulos .
.:.
.. (d ""0:5 m)
Rpta. (II) .:.
Clave: C·:·
La lamina cuadrada de lado " £ " y espesor "e" pequeno, esta farmado por dos mitades triangulares iguales A y B. Conociendo que las densidades se relacionan - segun
.: ..•. .:. ::: .:.
..
'
PA = 2PB' <.Desde donde se debe suspen- .:.
* r
.:. *
der esta lamina para que quede en posicion .:. horizontal? Y(m)
B
=(4£6' . 4£) 6
.:. ::: Las masas de cada placa esta~ relaciona-
.:. dos par :
.:.
.:. :~:
~
~.
mA _ PAxvolA _ (2PB)xareaxe mB - PB xvolB - (PB)xareaxe
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO . CHOQUES
EI lugar desde donde se de be suspender la .:. Para un bloque cubico : planeha y permaneee en equilibrio, es en Stl ::: v centro de masa (C.M.) luego : .;.
11
5cm
fCM
= 2mB
(¥ ;
....
,~
¥]+mB(T;
,
.
'
~)
2mB+mB
.> Ubiquemos
ahora la posicion del C.M. en ~: los ejes X e Y
Resolviendo :
rCM=(~;~)l
.> .:.
y
Para mayor facilidad,
dividimos el conjunto en tres bloques .
.:. Sem. CEPRE UNI ,.
PROBLEMA 64,
Un nino dispone de bloques eu.bicos de 5 em de arista heehos del mismo material formando la figura que se muestra, sobre el piso horizontal. Deternine la posicion del cen-
:~: ~: Luego :
tro de masa del eonjunto de bloques.
.:. .;. -rl - - ,
y
~: .>
.:.
.:.
...... -
.
_(52' .15)' - -(10' 5)2 ' - -(425' 5)2 ,r2 -
,-
. r3 -
,,-
.;. Las masas senin :
.
.:.
.:.
.
.;
..... ...1
X
I
_ ml
= 6m
; m2
=:=
2m
m3
= 5m
X
A) (14; 18,3; 5) em
(16; 8,3 ; 3) em C) (19; 9,2 ; 2,5) em D) (19; 8,3 ; 2,5) em B)
E) (19; 18,3; 2,5) em
.:.
.:. r = (247,5;13107,5) =(190' 83) .:. eM '-J.-,J , .....;.....
rx ry .. Finalmente la posicion del centro de masa .:. Podemos observar que 10s ladrillos estan eo- .:. .'. en los ejes X, Y, Z es : loeados en hilera; por tanto la posicion del.;. Rpta. centro 'de masa en la direecion (eje Z) que- ::: .. (reM = (19 ; 8,3 ; 2,5) Clave: D darfa definido en Z = ~ em = 2,5 em . :~:
RESOLUCION
.:.
em)
~ II-
~
C,UZCAIfCl ----------------~
CONS,ERVACION EN LA C'ANTIDAD DE MOVIMIENTO Para camprender este principio observemos 10 que ocurre en la siguiente situaci6n a modo de lectura. EI muchacho de la figura tiene una masa de 50 kg, ademas de una "frondosa cabellera". A su costado una joven fuerte y robusta capaz de levantar cargas pesadas de hasta 200 kg.
Es facH deducir que el valor de la fuerza de gravedad del muchacho sera (si g= 10 m/ s2 )
Fg
= SOON
Surge la siguiente interrogante : Si el muchacho fuera tirado de 105 cabellos, mediante LPodria ser levantado? Veamos:
I
@
una fuerza vertical de 600N.
La joven cage de los cabellos al muchacho usando 105 600N que se necesita luego como esta fuerza es mayor que Fg=500 N, entonces :
Ahora el muchacho hace el experimento de jalarse m6dulo de la fuerza. Ocurre que :
Realizado estos experimentos,
105
cabellos usando el mismo
surge la pregunta:
iPorque el muchacho puede ser levantado en un caso y en otro no? Para el analisis de estas interrogantes son relevantes extern as e -internas.
105
conceptos de sistema fisico, fuerzas
-
Ed(torial Cuzcano
.
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO • CHOQUES
_-_.1~.g
,/
,~/.+..... -.
.. ,-J-\ ,, ,
G
. \.
.. ,
, ~,- ./
f '··'
. sistema ··· . . FN
.
..·---r:~OON ,,/~'-. ,,, ,
,-J-\
..
'\. .,
,
. - .: sistema ···i~ljH.-./
+ mg=500N
Se denomina as! a aquella regIOn que se encierra en forma real 0 hipotetica, sobre un conjunto de partfculas; cuando se realiza cierto analisis respecto de sus interacciones.
Un sistema mecanico es aislado cl.;'ando sobre el conjunto de partfculas, s610 estan actuando fuerzas internas.
En la termodinamica, en un sistema aislado ademas que no hay presencia de fuerzas externas, no hay transferencia de masa ni de energia, del medio exterior al sistema 0 viceversa.
Sistema termodinamico aislado
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPUlSO
qJ Una esferita es impulsada,
- CHOQUES
para moverse en una superficie horizontal Iisa.
AI ser la superficie Iisa no actUan fuerzas en direccion horizontal, luego su velocidad sera constante (principio de inercia)
'Inicro.
'01 Dos
esferitas de masas iguales estan unidas mediante un resorte, el cual inicialmente es comprimido y Iiberado sobre una superficie horizontal Iisa.
~mK
m~
=~;
IDici~, .....
.......
.~ \.... . ., /V=O ,
....
m
".
..........
.. /'
._..__ ... (" sistema,
/ ..~..
.....~---.. -+_ , , m" m .... .... ... ....
V=O\
_._-_....................
/~~\
..
_-.-.------.--.-....-..-~
-- --Fe
Fe
····V··· -
-..•...•.............•....... -_ ........•..
m/
....
....
.)
~
~
__ CUZCAN. ------------------~
U¥Hlf4~ Cuando se conserva su cantidad de movimiento, fa velocidad de su centro de masas permanece constante.
(Relaci6n : Impulso - Cantidad de movimiento) La cantidad de movimiento no se conserva, si actUa una fuerza extern a resultante en el sistema. En este caso el cambio de la cantidad de movimiento esta relacionado con el impulso de la fuerza externa.
Una aplicacion de este principio serfa :
*
Un bloque de masa "m" reposa sobre el piso liso. Se aplica luego una fuerza extema "F", entonces :
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO - CHOQUES
NOTAS FINALES Analisis en particulas
qUE: se desintegran
:
Como las fuerzas que hacen posible esto son internas, entonces :
*
La trayectoria de su C.M. no cambia.
£::;..... It-
~
J:,UZCAIfQ ----------------~
~lfl8P.~~ Una persona de masa "m" esta parada sobre un tabl6n de masa "M"; esta a su vez reposa en un piso horizontalliso. La persona empieza a caminar avanzando de un extremo a otro. Diga usted si se conserva 0 n6 la cantidad de movimiento y cualley ffsica debe usarse en uno u otro caso si : I)
EI sistema a considerar es 5610 la persona.
II) EI sistema a considerar es 5610 el tab16n. III) Si el sistema a considerar es la persona y el tabl6n.
Si la persona empieza a caminar sobre el tabl6n, es porque implfcitamente existe fricci6n entre 105zapatos de la persona y el tab16n, luego esa fuerza de fricci6n hara que la persona y tabl6n se muevan.
mg~
~ f
t
Nt
______ el: ::::I. N:1
h.
tN2. m91·--·..
=t
,/t~'~
,
f f-= ..:..+-\
Nt': •.•....•... ~.. _-_ .... '
Vf
. ! sistema ,f---/
Se puede observar, que existen fuerzas externas tanto en la horizontal Gamo en la vertical, pero en esta ultima las fuezas se anulan.
-
,
CANTIDAD DE MOVIMIENTO
·IMPUlSO·
CHOQUES
~1
~.eee_e.e
L
* Se puede
<.
observar que existen Juerzas externas actuando sobre el sistema.
.e.e••_.e.:;;:.
•
::=E-
e---t-·e ••e
\'~ee
N2
g
sistema
Concluimos
Mgt
e-
....
.... ./
Vf T
~
t
••••••
mg
".
Vf
~
m
*
Como puede observarse s610 hay Juerzas externas en direcci6n vertical .
*
Las Juerzas ,de fricci6n se convierte para este caso en una Juerza interna.
\. \ •
: •
.:
....
'\
... ···.eeee ~~.
La ecuaci6n a usar debe ser:
sh.tema
Po (horizontal) = Pf(horizontal)
O=MVf
..J:L
P
+MVf
T
...~ La pregunta de rigor seria : iy que hay de la conservacion de la cantidad de movimiento en direccion vertical? Bueno al existir Juerzas extemas, nuestra teoria nos dice no deberfa cumplir con la conservacion de la cantidad de movimiento; sin embargo debido a que la Tierra practicamente la consideramos inmovil, asumimos que en la vertical la sumatoria de Juerzas es cero. Luego:
.
Si
~
[J£v ~ eLl
Entonces :
_________
Am!!
·paQB,Jr.EJ~S DE .:.
Un muchacho de 60 kg esta subido sobre un cochecito de 40 kg en reposo, repentinamente lanza en direcci6n horizontal una pie-
_:_ -;-.-:- Asignando
dra de 1 kg con rapidez de 2rn1s respecto de tierra. GCalcular la, rapidez con que retrocede el cochecito?
:~:dad : .:.:. -:.
un signa a
105
vectores veloci-
V2 = 0,02 m/s
.. (V = 2 cm/s ] Rpta. 2
Clave: B
A) 1 crnls
B) 2 cm/s
C) 20 crnls
D) 2 m/s
E) 0,02 cm/s RESOWCION Todo el sistema: muchacho-coche-piedra; esta inicial.mente en reposo.
-:.:. Un hombre de 70 kg de masa y un mucha.:. cho de 35 kg se encuentran sobre un piso de .:. _:_hielo si despu€s de impulsarse mutuamente .:- el hombre se aleja a 0,3 m/s respecto del :~:hielo. GQue distancia (en m) 105 separara al :~:cabo de t=5s?
Si el muchacho impulsa la piedra con rapi- -:- A) 1,5 dez horizontal, entonces la piedra (por 3ra :~:D) 6,0 Ley de Newton) impulsa al muchacho direcci6n opuesta.
B) 3,0 E) 7,5
en :~:RESOWCION -:. .:. El analisis es similar al problema anterior . En todo caso la cantidad de movimiento del -:- Graficamos las situaciones inicial y final. .:. sistema en la horizontal, se conserva. .:_
CANTIDAD
DE MOVIMIENTO
- IMPULSO - CHOQUES
.:.RESOWCI0N ::: Graficamos las situaciones inicial y final : Por conservacion de la cantidad de movi- .:..~ miento y asignando un signo a la direccion <-
-----
H
de la velOci~~)
.......---
;
Entonces :
:
v~
(.
~
~:
~$:;~
m 70k
m
•
~
g===~~====~===~=~ ~ ~~=~=~=~*~
(.
Po = Pf .. 0=m(-Vd+MV2
°=
V1
=
Si tomamos como sistema el conjunto .~ (. masas "M +m", notamos no hay fuerzas
de en I h I I d d d ~ a orizonta; por tanto a canti a e mo: vimiento en esa direccion se conserva. 0)
-35 VI + 70 x 0,3
(.
0,6 m/s ~
~
VI;
V2
respedo del agua.
Ambos realizan un M.R.U. por tanto la dis- ~: Dato : \I~ = 10 tancia que avanzan se calcula de : :
La distancia de separacion en t=5 s sera: x=d1 +d2 x=0,3x5
im/s
: Luego: (.
(Velocidad relativa de la persona respedo de la barcaza)
::: Usando la forma (II) de la ecuacion de con.:. servacion de movimiento de un sistema. (0
+ 0,6x 5
.. (x = 4,5 m )
-
Rpta. (.
-1
0=mV2
Clave: C (. 0=70(10
!'irROBISMA;'61
: Velocidades absolutas
0)
..:. Sem .. CEPRE UNI .:.
Un joven de 70 kg que se encuentra sobre una barcaza de 350 kg y que esta en reposo sobre el agua, empieza a correr a 10 m/s respecto de ella. Despreciando la friccion entre la barcaza y el agua. leua} es la rapi-
V2 = -1,67
-
+(m+M)V2 i)+ (70 +350)\12
i
::: .. [V2=1,67m1s) :::
.:. ::: ·:·Y-=P=""R=-=O=B~LE""'-"=~M4"'·68
Sem. CEPRE UNI
dez de la barcaza respecto del agua mien- :~:Un perro reposa sobre un carrito. La masa tras el muchacho esta corriendo? :;: del €arrito es el doble de la del perro. Si el A) 1,67 m/s C) 1,167 m/s E) 0,6 m/s
B) 0,67 m/s D) 0,86 m/s
:::conjunto entra a una pista lisa con rapidez :::v. iCual sera la nueva rapidez del carrito .:. cuando el perro empieza a correr con un .:.
.,...
~
--
CUZCANQ ----------------~
velocidad V/2 respecto del carrito y en el .:. direccion de 370 sobre la horizontal, determismo sentido en que este se mueve? ~: minar la rapidez de la balsa inmediatamenA) (2/S)V B) (S/6)V .:. te despues que el pato la abandona. C) (6/S)V 0) (3/S)V ::: A) 8 m/s B) 1,84 m/s .:.
E) (S/3)V
.:. C) 18,4 m/s
RESOWCION Graficamos las situaciones inicial y final:
::: E) 2,24 m/s .:. .:. RESOWCION ::: Segun el problema las situaciones inicial y .:. final son :
:~ -
,
Vi
0) 22,4 m/s
.:.
~-~~.:. _~.
,
~
.•.
V2
.:.
-2S- ~.:. .:.
biicio
Final
"J" :,
~~ \(, =2m1s
~
, :0.6
. m _ 37° .D' Similar al problema anterior. La cantidad :;:. ~ . -- -O:8-_~=?? de movimiento del sistema se conserva. .:. ~ ~ ::: =~-:E=3===========E=~==~=~:i:=E=~= -1 V~ .:.
V2 =-1 2
:::======================~===~==========E===3=====
~
.
Usando la 2da forma de la ecuacion de la .:. cantidad de movimiento de un sistema. : Si tomamos como sistema : balsa +pato; 0) notamos que no existen fuerzas extemas en .) .:. la horizontal, por tanto la cantidad de mo':' vimiento se conserva en esa direccion. '.'
(M+m)Vo
=MV2 +mxV1H
(10 + 2)x 21 = lOx
\/2 + 2xO,81
V2 = 2,24
1m/s
.:. Luego: Clave: B :::
.. ( V2
= 2,24
m/s )) Rpta. Clave: E
Un pato de 2 kg parado sobre una balsa de 10' kg se mueve Uunto a la balsa) con una rapidez de 2 m/s. Si el pato repentinamente se eleva con una rapidez de 1 m/s con una .
::: .;. Un muchacho esta sobre sus patines con un ::: ladrillo en reposo, lanza el ladrillo tal como .:. v muestra la figura. Oetermfnese la rapidez
del muchacho despues del disparo. Las .:. Asignando un signo a los vectores velocimasas del muchacho, 10s patines, el ladrillo :~:dad, entonces : son respectivamente 55 kg ; 5 kg ; 10 kg. .:..:.
0= (55 +5)(VM)+ lOx (41)
Rpta. Clave: B
B) -0,67 C) 0,671 m/s
1 m/s
D) 1,51 m/s
E) -1,5 1 m/s _ RESOLUCION En la figura podemos
.:. .:. Juan (70 kg) se encuentra en la popa de un ':' bote (150 kg) el cual se esta . moviendo a v .:. raz6n de -5 1 m/s.
Juan se lanza al agua
21)
m/s respecto del :~:con una velocidad (51.:. notar que sobre el ::: bote. i,Con que velocidad se movera el bote
sistema : muchacho - ladrillo no existen fuerzas externas en la direcci6n horizontal; por tanto en dicha direcci6n se conserva la cantidad de movi~ien-
.;. inmediatamente :~:A) -7,31 m/s .:. C) 6,61 m/s :;: E) -1,51 m/s
despues que se lanz6 Juan? B) -5,61 m/s D) 1,51 m/s
.:.
.:. RESOWCION .:. Para el calculo s610 nos interesan las '.'. G ra f'Icamos I't' , mlcla ... I y f'ma,1 sea Sl uaClOn velocidades horizontales; justamente la .:. , Ia con d'lClon ., d e I pro bl ema. . .:. gun . velocidad horizontal delladrillo (en su mo- .:. vimiento parab6lico) es VH = 4 im/s. :;:
(A
5i-2j
A) m -
s :;: Si tomamos como sistema : (M + m), po.:. demos notar que no existen fuerzas exter.:. .;. nas en la direcci6n horizontal; Por tanto la .:. cantidad de movimiento en esa direcci6n se .:. .:. conserva.
--
-- J:,UZCANCl----------------~ ~.
La velocidad de Juan en la horizontal res- .:. A) 51,1 B) 511 pecto del agua sera : .:. E) ED. .:. D) 500 -JH .:. RESOWCION .:. VB = V JH - VB .:. Inicialmente, el cohete de masa M se movfa .:. .:. con rapidez V; luego expulsa una masa urn" .:. .:. de gas; quedando como masa del cohete :
VJH =51+ VB
.:. (M-m) . .:. ':'Graficando ambas condiciones :
En la figura :
'.'
.:. .: .:. .:. .:. .:.
-------------
.
1) = 150\1B +70(5
(150+70)(-5 -11001
1+\1B)
= 3501 + 220VB -145
-VB=--
22
.. (VB =-6,~
~v
M ..
(M-m)
.:. .:. .:. .:.
,
c.:::~ m~~
.:.
A
.:.
.
i
~=50V
-:
.:. Rpta.
.:. Por conservaci6n .:. miento:
de lacantidad
de movi-
Po =Pf
~
MV Notar que en el calculo, no se ha tornado en cuenta la velocidad vertical :
(-21)
~v ••m::lv
= (M - m) x 1,1V + m (-SOV) M = 51,1 m 0,1
m/s.
M m
-=511 I 'r'l"l
Un estudiante en tierra mira el movimiento de un cohete de masa M y rapidez V. Observa luego que el cohete expulsa una masa "m" de gas con velocidad j.l. = -50 V y la velocidad del cohete aument6 en 10%. Evahie el cociente M/m (desprecieel eJecto de la gravedad).
.:. :;: :;: .:. :;: .:. :;:
flAf"
Para simplijicar la solucion hemos considerado: - Velocidades hacia arriba como positivas. - Velocidades hacia abajo como negativas.'
CANTIDAD DE MOVIMIENTO . IMPULSO - CHOQUES Sem. CEPRE UNI .;. Por conservacion .'
.
de la cantidad de movi-
.:. miento. Un cohete balfstico de masa M, de dos eta- .;. pas, se eleva en la direccion dad a por : .;.
.:.
d =[(3/5)1+(4/5)J] Cuando alcanza los 20 km de altura con .;. 104(°,61+0,8 rapidez 104 m/s . Desprende el tanque de :~: combustible de 0,1 M de masa con veloci- :~:
1
dad V T = -6 x 103 mis, determine la velo- :~: cidad (en mls) que alcanza la segunda eta- .;. pa luego de desprender el tanque. :~:
J)
J)=0,9VI +0,lx(-6x103
60001+ (8 000+600)J = 0,9VI
:.(V,.~
1 =
(0,67 i+ 0,95 j)xI04 m/s •.
~
)IRpta.
{J
Clave: B
A)
(0,671+0,82
J)x104
:~:
B)
(0,671+0,95
J)x104
:~:
C) (0,671+0,82
1)x103
Un bloque de madera de masa M=3,99 kg ::: se en.~uentra en reposo sobre una superficie .;. horizontallisa cuando es alcanzado por una
.:.
.Roill~EMA:W4
.;.
. D) (0,67 1+ 0,95 J) x103
:~:
E) (0,67 1+ 0,38 J) x104 RESOLVCION
bala de 109 de masa, con rapidez VI , como :~:se muestra en la figura. Despues de que la .;. bala se ha incrustado en el bloque, este se Por teorra de vectores, podemos notar faci!- .;. desliza hacia la derecha con una rapidez V. . , V1 / v.2 . 2 mente que: d = (3- i + -4 j es un vector uni- .;. Encuen tr e Ia re I'aClon 5 5 v tario, pues su modulo va e 1. .;. A) 40 '.. A
Luego : la direccion la velocidad.
A
A
d,
J
.;.
0,
sera la direccion de :~:B) 80 .;. C) 400
Graficando las situaciones inicial y final:
v
.;. 0)·800
,
'. ------- .60t
:~:E) 461,8 .:.
.;. RESOWCION .:. :~:Graficando las situaciones inicial y final. .;. ~ r;l'ln~~
~:i~~'~ .:.
.••. :
.;."t'fl -----:~ .;..:. "t .
~
..-
~
P,UZCAItO ---------------
Datos:
M=3,99 kg m=O,OI
kg
Si tomamos como sistema a "M+m", y no existiendo fuerzas extern as en la horizontal; la cantidad de movimiento. En la horizontal se conserva antes y despues de la coli-
.•••~ .:. RESOWCION :~:Segtin el problema : .:. :~: ':' '.' .:.
.:.
.:. Similar al problema anterior, tomando .:. como sistema al conjunto : "M+m" .. La ':' cantidad de movimiento se conserva (en fa '.' .:.
V
m x ~ + M x 0= (M + m) V2 2
.:. direccion .:.
horizontal)
Po = Pf
0,OlV1 = (3,99+0,01)V2
2
mV
OH
+0=(M+m)V2 mV1 = (M + m)V2
5xlO
=
(15 +5)V2
.. (V2 = 2,5 m/S) En la figura el proyectil de 5 kg tiene .:. una velocidad inicial horizontal de mo- :~: PROBLEMA 76
Rpta.
Sem. CEPRE UNI
dulo 10 m/s y cae sobre el m6vil de :~:Un microbus de 2 500 kg que viaja a 15 kg inicialmente en reposo. Hallar la ;.: 36 km/h es chocado por la parte posterior rapidez final del conjunto una vez ad- .:. por un camion de 4 500 kg que va a herido
el proyectil
al bloque.
~~...............
:~:54 km/h.
Si el choque dura 0,5
.:.
06 .
.:. C) 16 050 N
B) 2,5 m/s
C) 3,75 m/s
D) 0,5 m/s
E) 0,25 m/s
tiempo
:~:durante el cual el camion y el microbus se .;. mueven juntos, cual fue la magnitud de la :~:fuerza media de impacto entre 105 vehfcu.:.I ?
.:. A) ON .:. A) 5 m/s
5,
B) 13 020 N D) 18 030 N
.:.
.:. E) 116 050 N .:. RESOWCION :~:Por factor de conversion sabemos :
CANTIDAD
36 kmlh < > 10 m/s
DE MOVIMIENTO
-)MPULSO
- CHOQUES
.:. r---------------~
54 km/h < > 15 m/s
.:. Segun la condici6n del problema, gra- .:. ficamos instantes antes y despues de la co- ::: lisi6n. .;.
La Juerza con fa cuaf el microbus impufsa al carnian es : F21 =-Fl2
.:.
F21 =F12
-
~=15m1s
F21 = 16050 N
'-----------------
.:. .:.
.
.:
.:. Dos partfculas A y B se mueven a 10 largo ::: del eje X con cantidades de movimiento P A
m2 = 2500 kg
.•V (-) Por conservacion miento. .
4 500x15+2
y
PB (p B = -P A 12) .
Si inmediatamente .;. despues de ocurrida la colisi6n la partfcula .:. A queda en reposo. Determine el impulso ~:que la partfcula "!t' Ie comunica a B y vice:~:y
ml =4 500 kg V( +l.
de la cantidad de movi- :~:versa~ .:. A) 2P A
2P A
B)
::: C)
PA/2; -PAI2
D)
::: E)
-P A ; PA / 2
.:.
500xlO=(4
500+2 500)Vf
~:
; -
PA; -PA PA; -2PA
RESOWCION
(p
::: Seglin la condicion B = -PA 12); B y A .:. d· . .:. se mueven en lreCClOnesopuestas. , .:. Graficando : Calculo de la juerza de lmpacto entre .~ Vf = 13 21 m/s I , I-
los vehiculos
~:
La fuerza media con que el camion (1) 10- ::: gro modificar la velocidad del microbus (2) .:. .:. se evalua de :
.:.
Tl2=F12x~t=m2(~V2)
.. (Fl2. .m
A
::: * Si V~ =
.:.*
.:.
.:.
Rpta. :~: Clave: C·:'
---_.:.
L
-....[-o------------O:=.=_
:~:
(13,21-10)
= 16 050 N]
~
.:.
Fl2: Fuerza de 1 hacia 2 F12x 0,5 = 2500
Antes
----f}-------~f)-.--
B
A
a ; implica
B
P~ = 0
Por conservacion de la cantidad de movimiento . Po =Pf
PA +PB =P~ +p~
.....
~
--
CUZCARO ----------------~ -
PA
PA -2=0+PB -,
-,
PA
PB=2
:~:A) .:.
(mV/2)(-v'3
:~:B) .:.
(mV/2)(v'3
:~:C) .:. :~: D) .:. :~: E)
1- J)
1- J)
(mV/2)(-v'3 1+ J) (mV)(-v'3 1+ J) (2mV)(-v'3 1+ J)
:~:RESOWCION
IAB=~-[-P2AJ
:. [lAB =PA)
Rpta (I)
:~:Podemos notar rapidamente que las dos par.:. tfculas mostradas lIevan igual modulo de su .:. .:. cantidad de movimiento.
Por tercera ley de Newton :
IAB=-IAB
.. [!AB
=-PA]
Rpta. (II)
:~:Si graficamos 105 dos vectores .:. estas hacen entre sf 1200.
.:.
.:. La gran'ada se desintegra debido a fuerzas Clave: B :~:intemas entonces la cantidad de movimien.:. to del sistema se conserva.
PROBLEMA'78 ---------------_
Sem. CEPRE UNI .:.
Una granada ubicada en el origen de coordenadas, explota en tres fragmentos iguales. La figura muestra la salida de dos de ellos. Determine el vector cantidad de movimiento del tercer fragmento (en terminos de "m" y "V"). y
PI Y Pz;
..• Inicialmente la cantidad de movimiento es
:~:nula, entonces : .:. :~: :~: .:.
:~: ~
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO - CHOQUES
.:. A) 2,65 x 105 m/s :~:C) 8,48 x 108 m/s
B) 2,65 x 106 m/s D) 8,48x107
m/s
~: E) 2,65 x 104 m/s .:.RESOWCION :~:El nucleo del atomo que tiene por masa to';' tal: '.'
':' Emite una 'porcion de masa : -:'
x 10-27
::
ml = 6,6
~:
VI =1,5x107
kg
y rapidez
m/s
::: La parte restante tiene masa :
.,. :
.
y rapidez:
V2
?
PJ;>A PA P3 =--v3 i+- j
2
2
AI no existir fuerzas extemas la cantidad de :;: movimiento se conserva; ademas la direc~: cion de la velocidad V 1- es opuesta a V 2 • :: Luego: ,;.
.,. Po =Pf
,;. 0 = mI V 1 + m2 V 2 .:.
::: 0=6,6x10-27 x1,5x107 +3,734x10-25 x(-V2)
V2 = 2,65xlO
sm s
Rpta.
Sem. CEPRE UNI :~:
EI nucleo de cierto atomo radiactivo tiekg ne una masa de 3,8 x 10-25 y esta en reposo. Repentinamente emite una particula de masa 6,6xlO-27kg y rapidez 7 . 1,5 x 10 m Is. Encuentrese la rapidezde retroceso del nucleo.
:~: PROBLEMA 80
Sem, CEPRE UNI
::: Un cuerpo descansa sobre una mesa pulida ::: y se Ie apliea una fuerza durante un interva';' 10 de lO-4s de tal manera que el cuerpo se y ':. divide en dos partes de masas de 0,3 kg y :~:0,5 kg ias cuales sa/en en direcciones per-
__
~ CUZCAII.
- pendiculares entre si con rapidez de S m/s y .;. Catcuto de ta juerza media (F m ) 2 m/s respectivamente. Calcular la fuerza .;. aplicada. :~: A) 2m
kN
B) sm
C) 6m
kN
0) 10m
E) o,sm
kN
:~:
kN
kN·
:~: :~:
Fm x10-4=(o,sm
-0)
Fm=SOOOmN Segtin la condici6n del problema : t=10~s
~
~
t~:7:
VI
,,·:u--E-m __uu P.,=O
:~:
~
ml =0,3 kg m2=0,5 kg VI =5 m/s V2 =2 m/s
=mlVI =0,3x5=1,S
PI
P =
V
.. (Fm=Sv'i3kN ]) Rpta.
v
= 0 5 x 2 = 1, 0
Clave: B
.;. Un objeto de S kg que se encuentra en repo-
:~:so estalla en tres fragmentos, uno de 1 kS : sale despedido con una rapidez de 6 m/s -lo y el segundo de 2 kg con una rapidez de : 4 m/s sale despedido en una direcci6n per-lo pendicular al primero. iCuaI sera la rapidez ..) -lo del tercer fragmento? :~:A) 1 m/s B) 2 m/s : 0) 2,5 m/s E) 5 m/s ~.RESOWCION
~: Cuando el objeto estalla se debe a las fuer-
.'. ~~zas intemas, por tanto toman d'0 como 515La cantidad de movimiento del centro .;. tema dicho objeto; la cantidad de movimiende masa se conserva, luego : la canti- :~ to se conserva. dad de movimiento final sera : ~. L .~ uego: 2
m2 2
'
.~ .:. .:. .:.
IDIcki
~. .:.
Pf = J1,52 + 12 Pf =0,5m
kg
7l
.:. .:. .:.
~.
\l,=o
~
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO • CHOQUES
T
r
Los tres vectores forman un polfgono cerra- .:. .:. do.
443m
1
.:. A) 4 :~:D) .:.
4../3/3
B) 4/3 E)
2../3/3
.:.
.:. De modo similar al problema anterior, la .:. cantidad de movimiento del sistema perrna.:. .:. nece constante.
Por geometrfa elemental :
P3 = 10
/:
:~:' = 10
2xV3
~ m='"
:. (V = 5 m)
.:.
3
-~
.:. Clave: E :~:
PROBLElotA 8'
S=. CEPRE UNI:
Una granada de 4 kg se desliza sobre una superficie horizontal Iisa con una rapidez de 5 m/s y cuando se encuentra a 4 m de la pared explota en 2 fragmentos que tambien se deslizan por la superficie horizontal. Uno de
105
fragmentos
de masa
:~: .:. :~ ':' '.' .:. :~: .:.
mA Y .:.
el otro de masa mB Began simultaneamente a la pared como se muestra en la figura;' determine mA / mB .
.:.
.:. ..::.. .:.
Y"
/ •••
Jtm
A......Y=:=_~~~-------,(~1~?~ __4_m -
iPr---
t...r,~O"
~
4i3 m
m~ .
...~
\Ii...... ~
1
--
~ CUZCANo. ----------------~
~ :~:A) (-1,81-2,4}); ::: B) (-.1,81-2,43)
(121 + 16}) ; (91+12}) ; (ls1+203)
; (-91-1~3)
(ls1+203);
(-91-123)
:~:C) (-1,81-2,43); .:.
:~:0) (-1,81 - 2,43) ; (ls1 + 203) ; (91 + 123) Podemos notar :
::: E) (-4,S1 + 2,43);
(-I,S1 - 203) -; (91 + 123)
h =: mAVAsen37°= mBVBsen600 VB ---x-mA
_
mB
-
VA
:~:RESOWCION
../3/2
:~:Seg(in la condicion del problema :
3/S
y(mJ Las partfculas llegan simultaneamente pared, entonces : d
t=-
=>
V Reemplazando
8
VA
VB
a la .:. :~:
~-
~~-~?-~-=·-~-;-·i~'
(II) en (I) :
mA
../3xs
8 -.-=-x-mB
S
-=-
S
2x3
.. [m. = 4,/3 r
*
Rplo.
3
ma
* Clave: D :~:
* *
Sem. CEPRE UNI :~: Por conservacion
.'. miento. Una granada de 800 g se encuentra en re- .;. poso en el origen de coordenadas, explota :~: en dos fragmentos. Uno de ellos de 300 g':' sale expulsado con terminar
V2Y
m,r/·/
V 1 = (31 + 43) ~/s
, de- :~:
las r:>0siciones de cada uJ1.o :~:
de los fragmentos S segundos despues de la :~: explosion. Oar respuesta en m/s y "m" res- .:. pectivamente. :~:
m1 =300 gr
V1=(3,4)m/s m2 =SOO gr V2 =?? de la cantidad de movi-
•
'
<
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO . CHOQUES
La posicion de la particula luego de 5 segundos se calcula por :
El 60% de la masa que se fragmenta saldra con velocidad : VI = 120% V
r=Vxt
1'1
_
Para hacer la solucion menos tediosa, imaginemos un nuevo sistema de coordenadas X' Y' donde inicialmente la granada se mueva en el eje X
= (3; 4)x5 = (15; 20)
.. [it =(15i+20J)m]
VI = 300 m/s 1_
=>
I •
Rpta. (2)
y'
:'
~~
J5::s::::m
:180
O,6"!...
/*'_
2
240
,;.;",
r2=(~; :. (i
d
~?~__
¥}5=(-9;
= (-9i-12J)m]
.' 37·
-12) Rpta. (3)
Clave: C
Una granada se mueve sobre una superficie horizontal XY lisa con velocidad
V ~ (240 l+ 70
j)
m/s, explota en dos frag-
mentos; el 60% de la masa sale con una rapidez 20% mayor desviimdose-37° de la velocidad inicial. Calcule aproxirriadamente la rapidez (en m/s) del otro fragmento. A) 125
B) 278
D) 405
E) 512
RESOLUCION La granada inidalmente
y =X240
,m'(250; 0) se mueve con :
; 70)" m/s
V = J2402 + 702 ,
V '= 250 m/s
:::::}' i
Por conservacion de la cantidad de movimiento antes y despues de la explosion.
L
= 0,6
. V2 = (106; .
,m'(240; 180) + 0,4,m' (~2)
-108) 0,4
=
(265;
V2 = ~2652 + (270)2 .' ,
:. (V2=318,3m/s]
Rpta.
_ 270)
~
.~
__
C·UZCAN~ ----------------~
PROBLEMA
85
Un prayectil es disparado con una velocidad de m6dulo 25 m/s que forma un angu10 de 370 con Ia horizontal. En el punto mas alto de la trayectoria, explota en dos fragmentos iguales uno de los cuales inicia su movimiento verticalmente en carda libre. Calcular Ia distancia del punto de lanzamiento al punta donde choca el fragmento que no sigue la trayectoria vertical. A) 90 m B) 60 m C) 30 m D) 15 m
E) 45 m
cesariamente Ia otra mitad del fragmento, deberfa de caer en "D", para que el centro ';' de masas de los dos fragmentos se ubique ',' .;. en "C". :~: ';' Por teoria del movimiento parab6lico :;: (Tramo AB) ':' ',' En la v~rtical : (MVCL) ,;, * (VI = Vi :~: :~: 0=15-10xt ,;. -:. t = 1,5 :> ~ ,;. .:.:.. En la horizontal : (MRU)
-gt]
.:. EI proyectil que tiene una rapidez inicial de .'.
tira de 25 m/s; describe una trayectoria ::: parab6lica; hasta el punta mas alto, donde .;. se fragmenta en dos pedazos iguales. :~:
d = 30 m 1_
Comolas fuerzas que hicieran posible la fragmentaci6n son intern3.s; entonces la trayectoria que sigue su centro de masa es la misma que seguirfa el prayectil si esta no se
:~:Luego, la distancia pedida sera: :~: Rpta. .;. Clave·; A :~:
fragmentara.
.:.
.;. PROBLEMA 86 La grafica que describe este movimiento es : .;. ~::Un proyectil de 10 kg se prepara para salir
:~:con una velocidad de (30i + 40]) m/s. Jus,;. to en el instante de salida se fragment3. en ,;. dos partes iguales, uno de ellos con veloci.:. :~:dad (64i + 48]) m/s y todo el conjunto bajo .;. la influencia de la gravedad t.~rresk~ . .:. 2.Que distancia horizontal alcanza el otro Haciendo uso de la geometrfa, es facil cal- :~:fragmento antes de impactar con el suelo? A -, cular la" componentes de la velocidad im- .;. B) lnr. .;. A) 61 , 2 m <.~,'~ Tn '---} ~~2 ,;)r· m cial (Va)'
.;, .:. D) 24,2 m
E) 25,6 Tn
La. trayectoria del centro de masa intercep- ';' RESOLUCION ta a la horizontal en "C". ';: EI prayectil se preparClb;:; p:m·'. salir con vcSi la mitad del fragmento cay6 en "E"; ne-~: locidad
Va
= (30 ; 40) -;rJr;; en ese instante
CANTIDAD DE MOVIMIENTO
debido a fuerzas intemas, se fragmenta en dos porciones iguales. Por la teorfa del Momentum esta se conservara; luego; instantes antes ~ despues de la fragmentaci6n :
m
( 30i+40j A) =-2m (~64i+48j~) +-2 mV2 ~ V-
(4
32)
2=-;
I mSI
:~:gfa almacenaha .:. te.
Esta sera la velocidad del otro fragmento. Calculo del avance horizontal segundo fragmento;
.;. .:.
1-1=0
de este :~: .;.
8
.;. V,i=32m/s
•••.• ;.
.
",,#
.'
'.
.
48fml~
"j/ \\=4m/s\
el resorte
64tm/s'
.:•
A'
inicialmen-
B
~R-rP
0,12J
B)
D) 0,30J
E)
.;.A)
=--
4m/s ~ .••~..... ~........
~'*~ - "'
.;. -PROBLEMA 87 Sem. CEPRE UNI ':' ----------------:;: La masa del bloque A de la figura es de ::: 3 kg y la omasa del bloque B es de 2 kg. .;. Si se les obliga aproximarse compri':' miendo el resorte entre ellos y luego se '.' .;. les Iibera. EI bloque "B" adquiere una :";:rapidez de 0,3 mis, cuando el resorte lQue ener.;. no presenta deformaci6n. ';'?
------t
- IMPULSO - CHOQUES
0,15J 0,32J
C)
0,16J
.;. RESOWCION:~:Las situaciones inicial y final son las mos:;: tradas en la figura.
VA +-
K
"a=O.3m/s -
~MOOOOOOOOOOj)8
.
,
.:
De:
(V f = Vi + gt)
.;. Sobre el sistema no aduan .: .;. nas, entonces :
.
fuerzas exter-
(Ecuaci6n Vectorial)
-32 = 32 + (-10)t t
= 6,4
En la horizontal:
s ~ - (Tiempo en movimiento)
(M.R.U)
.:.
(d = V xt)
:~:
d =4x6,4
.:
0= 3( -V A)+ 2(+0,3) VA = 0,2 m/s ~
H
:~:No existe fricci6n por tanto :
.
•;.
_. (d=25,~
EMo
= EMf
...•
~
-- CUZCAIfCl----------------~ 1
2
1
Epe =-mAVA +-mBVB 2 2 o
1
Epeo =2x3x(0,2)
. . [Epeo
= 0,15 J)
2
o =Mx(-Vc)+
2
1
+2(2)x(0,3)
Rpta.
mVb
Vc =~x300 1200
2
Vc =2,5 mls~
:~:Por conservaci6n de la Energia Mecanica ~ ",Final Clave: B .:.
---_.:.. :.
PROBI.EMNo88
Sem. CEPRE UNI ';'
Un cafl6n de 1 200 kg dispara una bala de 10 kg con una rapidez de 300 mis, seg(in la figura mostrada. . Oeterminar la maxima compresion del resorte. K=7 500 N/m y el resorte estes."sin deformar.
~=2'5m1S
K
~
-
,=0
:~: ~~; . :~: . X~ .:. Si el resorte- es comprimido al maximo en:~:tonces en ese instante el tanque se d~tiene. .:. EMo = EMf 0
~
0
0
.:.
~
=EKo =Epf + ~
0+..!.xMV2 =..!.Kx2 +0 A) 1 m
..B) 2 m
0) 4 m
E) 5 m
2
<.
C) 3 m .
.:.
0
<.
x=V
.:. .:.
RESOWCION Cuando la bala sale del cafl6n, por impulsion el cation retrocede, esa velocidad hace que tenga energfa cinetica que servinl para deformar el resorte: Por conservacion
de la Cantidad
.:. :~: .:. ~: .: .:..
2
{M
°VK
x= 25 )1200 . ' 7500
:.( x=lm)
Rpta. Clave: A
de .:. PROBLEMA 89
Sem. CEPRE UNI
.:.
Movimiento.
.:. Una masita de 1 kg se abandona
En el instante en que la bala del canon.
:~:te superior de un bloque de masa.M=2 kg .:.en reposo. Hallar la velocidad de la masita, :~:cuando abandon a la superficie cilfndrica de
1 --'t
:oofoooo~
*
m~
--
:~:~d~O
;:0,3
m.
m
AI inicio la bala y el canon estaban dete- :~:B) 2 mls nidos. Po = Pf
:~:C) 4 m/s 0) .J3 m/s .:.:.. .:. E) .:.
J6
m/s
J.L=0
~
en la par-
CANTIDAD
Si tomamos como sistema las masas "M" y "m"; podemos notar que no existen fuerzas externas en la horizontal.
DE MOVIMIENTO - IMPULSO - CHOQUES
.:.
.:. Una plataforma se encuentra en reposo so.:. bre una pista de hielo completamente lisa. .:. .:. Sobre la plataforma se encuentra un carrito Cuando la masita "m" desciende; la super- .:. que luego de encender su motor parte del ficie cilfndrica empieza a moverse horizon- ..:.:. reposo con una aceleraci6n constante de talmente. :~:0,5 m I s2 relativa a la plataforma. Halla la -Inicio Final· .:. velocidad del carrito respecto de la pista de .:. .:. hielo en t=2s .
e~__ ·F?m2=;4k9 .ml =lkg
Por conservacion de la cantidad de mo- :~:A) +0,1 m/s /' vimiento en la horizontal : . :~:. C) -0,4 ml s POH
.:. E) 1,0 m/s .:.
= PfH
.:. RESOWCION .:.
0=M(-V2)+mVI
.:. Si el carrito se mueve sobre la plataforma, .;. ... es porque existe rozamiento entre sus super.:. ficies, luego si el carrito avanza a ·Ia dere.:. .:. cha, la plataforma 10 hara a la izquierda .:. (principio de acci6n y reacci6n) .
o = -2V2 + 1 x VI => V2 =
~Il
Por conservaci6n EMo
Epo +
de la energfa mecanica
= EMf
yt = ~
121 mgR=-mVI
2
+ EKf
.:.
.:. Tomando como sistema aI conjunto de ma:~:sas ml y m2; la fuerza de fricci6n sera .:.:'. una fuerza interna, por tanto se conserva la .:. cantidad de movimiento del sistema .
.:. +-MV2
1
2
1x10xO,3=-x1xVI2+-x2x 222 Resolviendo : VI2 =4 ..
B) -0,8 m/s2 D) +0,8 m/s
(~~ ~2 ~
.:. Como ademas acrua una fuerza constante .:. entonces su aceleraci6n sera tambien cons-
2
1 (V J2 --l
.:. tante. .:. .:.
.:. Calculo de la velocidad del carrito res.:.pecto de la plataforma en t=2 s .:.
:~:De:
)j
(Vf
=
Vo +
at)
Vf =0+0,5x2 Clave: B :~:
Vf
= 1 m/s~
:;: A) 11 m/s ; 8,4 m/s :;: B) 10 m/s ; 8,4 m/s :;: C) 10 m/s ; 6,4 m/s .:. D) 11 m/s ; 5,4 m/s
.
.:
.:. E) 10 m/s ; 8 m/s .:.
Po =Pf
.:. RESOLUCION :;: Si el gato se impulsa perpendicular respecto :;: de la direcci6n del m6vil (1), entonces res.:. pecto de tierra llevara por inercia ademas .:. .:. de la velocidad relativa, la velocidad del .:. m6vil (1) .
0=m1V1 +m2V2 De la expresi6n (I) : 0=m1V1 +m2(V1-i)
.:.
.:. En una vista de planta, mientras el gato esta .:. .:. cruzando se vera que el m6vil 1 tambj(~n :;: tiene movimiento transversal
:.
[
-VI = +0,8 m..
:
]1
Rpta,
m!s,j
:;:
-==-
r:ltr'?1'f');..".",...";.....,j=50~$g,,,..,·
.:.
Clave: D :;:
5kgkv.
.:.
y rapidez
10 m/s; y el m6vil 2 tiene 20 kg y rapidez 8 m/s. Cuando
masa estan muy cerca uno del otro un gato de 5 kg impulsandose transversalmente '. d e I mOVI . 'II sa I· r~specto d e Ia d'lreCClOn ta haciu el m6vil 2.
En la situaci6n
1--- "1x=??
==112);4~ak(. I-
Sem. CEPRE UNI :;:
En la figura el m6vil 1 tiene masa 50 kg :;:
1y ) .
\llG
.:.
IPROBLEMA9i~
t%
(V
* V?:
~=8m1s
Velocidad del gato respecto del movi/l,
.:. C'I r dfi na I d e I .moVi "1 (1) '.. a cu I0 d e ra ve I·d OCI a
~:.--------------:;: Analicemos instantes antes y despues que ::: el gato se desprende del m6v~1~1).
.:. . final, :::
determine las rapideces que presentaran los m6viles 1 y 2 respectivamente, en la direcci6n en que se movfan ini-
:~:' .;. . :;:
cialmente.
:;:
Antes
~Despues, --~=IOmls----!.
=:1
;:
v
1-:j(I~";= J ~,
v,
~@~ ~~G
,
,
CANTIDAD DE MOVIMIENTO -IMPULSO - CHOQUES
Recordemos que la pregunta en cuestion son las rapideces de los moviles al final. Entonces evaluamos sus movimientos en la horiw~~.
.;. mediante un resorte de con stante de elas:~:ticidad igual a 2 400 N/m y longitud na.;. tural de 3,5 m. Si los bloques parten del •.;. reposo en la posicion mostrada, calcula'r :~:la velocidad de cad a bloque en (m/s) en .;. el instante en que se encuentran alineaalas correde:~:dos y perpendicularmente
Po=: Pf (ml +mG)V1 =mlV~x +mGV1 ml V1 = ml V~x
.. (~~x_~_
_~1.
=-~,~_~~J
Rpta. (I)
Calculo de la velocidadfinal del movil ----------------
(2):
.:. .:.
Analizando instantes antes y despues que el ';' gato logro alcanzar el movil (2). :;: .':'
VA
:~:B)
V A = 20 i
VB =-40 i
::>C)
i V A = 40 i V A = -20 i
VB
,':' A)
~~"'"\
'G
V1=10mls
v1G
-
V~=??
V2=8m1s _
::: D) .:.
.:. E) .:.
= 20
i
VA =40
= 20 i
_
A
VB =-20 _
i A
; VB=40i
RESOWCION Par conservacion de la cantidad de movi- ';' '.' miento en la horizontal. .:. Graficando las sitUaciones inicial y final del :~:problema : Po =Pf mG V1 + m2 V2 = (mG + m2)V~x 5 x 10 + 20
x
8 = (5 + 20) V ~x
:. (v~x =8,4m1s]: _
3m!
Rpta. (II)
,_ .==!J
...... b
. 4m
•
mBd~
mB
Sem. CEPRE UNI :;: S·1 Ia Iongl't u d na tu ra I dIrt .;. e reso e es L =,3 5 dos bloques A y B de .;. m, entonces : .:.
La figura muestra masas 4 kg y 2kg respectivamente, que se encuentran sobre sus correderas lisas y paralelas en un plano horiwntal, unidos
.;. ..;:.. .;.
~ C·UZCANQ
_
Ademas:
MJ!IIIII!III ----------------~
K=2 400 Nlm
.;. rando que cambiara la luz del semMoro. El
No existiendo fuerzas extern as en la direcci6n horizontal y tomando como sistema las masas A, B y el resorte. Por conservacion de la cantidad de movimiento, en la horizontal :
:~:auto pequeno es impulsado hacia el cruce.;. ro con una rapidez de 12 mls y el auto pe:~:queno es impulsado hacia el crucero con ':' una rapidez de 12 m/s y el auto grande si'.' .:. gue detras con una rapidez V. Hallar la ra.:.:. pidez del centro de masa despues de la coli.;. si6n. La masa de Cadillac con su conduc.:.:. tor es 3 veces mayor que la masa de :~:Volswagen con su conductor . .;. A) 3 mls
.
.:
.:. D) 12 m/s
E) 4 mls
.:.
Por conservacion nica :
.:. RESOWCION de la energia meca- .:. .:. EI movimiento realizado por el CadiiIac .:. .:. (ml) y volswagen (m2) antes y despues ':'. de la colisi6n es :
.
.:
.•:.:. 2400(1,52
-0,52)=4VA
+2V~
___
~I_
A
:~: --...~ .:.
2400 = 2V; + V~I
v2=o
Vl~s
~
m
....Y.-
~s
~'-"'(---o("." & ,r-(~
m
... (II) .:.
.:. La cantidad de movimiento del sistema se
Reemplazando (I) en (II) y resolviendo, sus ':' conserva, asimismo la velocidad del centro rapideces seran : :;: de masas, por 10 que debe cumplir : VA=20mls~ :~: PCM=Po=Pr
. I VB = 40 m/s I_ Sus velocidades seran : Am VA =20is Am VB =-40iS
.:.Entonces : .:•
.:.
.;.
PCM = Po mtotalx VCM= (3m)V1 + mJK.
Rpta.
.:.
.:.
(3m +m)VCM = (3m)(12
i)
Clave: B :~: PROBLEMA
93
.:. Sem. CEPRE UNI .:.
Un Cadillac a 12 m/s golpea la parte trasera :~: de un Volswa~en que se encontraba espe- :~:
~ ~
:. ( .~ eM
= 9 m1~
Rpta. Clave: C
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO - CHOQUES
PROBLEMA 94
Sem. CEPREUNI .:. bre la mesa Iisa. Determine la aceleraci6n
La figura muestra el instante en que se suel- :~:del C.M. del sistema en el instante en que tan los bloques sujetos alas fuerzas indica- :~:sobre una de las partfculas se ejerce una das. Si en estas condiciones el resorte esta .:. fuerza de 50 N, como muestra la figura .
.:.
comprimido 3 cm, determine la aceleraci6n de su centro de masas.
.:.
.:. .:. .:.
.:. .:. .:. .:. .:.
.:. .:.
(i +..J3 3) m/s2 5 (i +..J3 3) m/s2 2,5 (..J3 i+ 3) m/s2
:~:A) 2,5
C) 30 im/s E) ED.
.:.
:~ B)
RESOLUCION Para
X
:~:C)
la situaci6n de la figura, podemos no- :~:D)
tar que hay una fuerz~ resultante en el siste- :~:E) ma conformado por los bloques y el resorte. <.
(..J3 i + 1) m/s2 5 (..J3 i + 3) m/s2
:~:RESOWCION :~:Si la fuerza "F" ejerce una acci6n sobre una ':' de las masas, evaluamos la aceleraci6n ins'.' .:. tantanea de cada una de las partfculas.
.:.
Por la 2da Ley de Newton : FR a=--
-
=> aCM=--
.mtotal
FR
mtotal
_ (500-200)i aCM= (5+3)
.:. Del D.C.L. alas parliculas :
.:. .:. .:. .:. .:. .:. .:.
(2) ~m
.:. ..
( aCM
= 37,5
im/s2]
Rpta.
Clave:
~F
.:. .:. .:. A .:.
-- 30° --...... ___.
m (1)
* (Fe=Kx) Sem. CEPREUNI .:. L
I .. . t t' d I . .:. a ace eraClOn InS an anea e as partlcuDos partfculas de igual masa m=5 kg estan ::: las so~: _ conectadas mediante un resorte de masa in- .;. a = F + Fe .:. 1 sign ificante , y se encuentran en reposo so- .:. illl
l
J
~
.G!II
La aceleracion del centro de masa se calcu- .;. la de : .;. A) 4 m I s2 .:.
.;. B) 4 m/s2 .:
4,5 m/s2
.;. C) 2 m/s2 .:
4,5 m/s2
.;. .:. D) 2 m/s2
5 m/s2
.
.
::: E) 0,4 m/s2
.aCM~
Descomponiendo
0,4 m/s2
4 m/s2
=~I la fuerza F .
Luego: aCM
25J3 i +25 } = --2-x-5--
*. m=l kg * M=4kg * . g=10 m/s2 .;. * Analizando al bloque : 'Clave: C';'... -
Una fuerza horizontal F=20N se aplica a';' una plataforma que se mueve sobre una su- :;: perficie horizontal lisa. Sobre la plataforma ::: resbala un bloque, siendo el coeficiente de .;.
N1 =mg=lxlO N1=101. En la horizontal
(IF v
= mal
friccion cinetica 1.1. = 0,2. Determine la ace- ::: leracion del centro de masa del sistema y la ::: aceleracion de la plataforma respectivamen- .;. te.
(g = 10 m/s2)
:~:
I.l.mg =mal al
= 0,2xlO
l
al = 2 m/s2
CANTIDAD DE MOVIMIENTO • IMPULSO • CHOQUES
* Analizando la plataforma : En la horizontal
:~:A)
Cl:FH
= mal F -f =Ma2.
.:. C)
x
:. (a2
i-2 ]) m
'::,RESOLUCION
'.'
1 x 10 = 4 x a2
= 4,5m/s2 J
D
~ 4 +2 m 4i+6i)m
:~:E) 4/3
F - fJ.lTIg= Ma2 20 - 0,2
1
Rpta. (lI)
.:. Nos dicen que los bloques se mueven sobre .:. .:. correderas Iisas. .:.iQue juerzas provocan movimiento en .:. .:. los bloques?
La aceleracion del centro de masa se calcu:~:Si notamos, es la fuerza elastica quien heice la por : .:. posible que los bloques adquieran energia _ mal + M a2 aCM = m+M :~:cinetica. Pero lei fuerza elastica: iEs una Asignando un signa al vector aceleracion : :~:fuerza internal dentro del sistema: mA, mB :~:y resorte. Por tanto por teoria sabemos : ~
(+)
--!-
H
aCM = 1x2+4x4,5 1+4 .. ( aCM
= 4 m/s2
Ji
=4 Rpta (l)
.:. .:. Si sobre este sistema aislado no actuan .:. Juerzas extern as en la horizontal y el sis.:; tema estaba inicialmente Em reposo en.:..:. tonces su centro de masa no cambia de .:. .:.
posicion.
.:. Evaluemos la posicion del CM. en el insClave: B .;. tante inicial, que sera la misma en todo ins:~:tante. y .:.
La figura muestra dos bloques A y B.:. (mA = 2mB) que se encuentran sobre sus .:. .:. correderas Iisas y paralelas en un plano ho- .:. rizontal, unidos mediante un resorte de cons- .:. .:. tante de elasticidad K y longitud natural La. .:. Si los bloques parten del reposo en la posi- .:. cion mostrada, determinar la posicion del·:·.:. centro de masa (en metros) cuando los blo- .:. ques se encuentran alineados perpendicu- .:. .:. larmente alas correderas.
_ rCM
_ rCM
=
2m(0;
3)+ m(4 ; Q) 2m+m
(4; 6)
=---
(r CM ~
3
(~
i+ 2j
)m )
Rpta. Clave: B
••.....
~ _·.CUZCAN~ ----------------~
CH:OClUES, 0 CQLISIONES. Este fenomeno ffsico consiste en la interaccion entre dos breves interval os de tiempb.
.0
mas partlculas y que duran
Durante la colision las fuerzas impulsivas son de gran magnitud y entre 10s cuerpos partlculas se producen intercambios de cantidad de movimiento y energfa. Veamos el caso de la colision de dos bolas de jebe y supongamos mueven como se indica. Inmediantamente antes de la colls!on
Durante la colisi6n los cuerpos pasan por dos perfodos: el deformacion y el de recuperadon. Las fuerzas impulsivas varian en el tiempo. La grafica de la fuerza vs tiempo que habrfa actuado sobre la esfera 2 serfa :
0
luego de la colision se
Inmediantamente despues de la colision
Usualmente se usa el termino de valor medio de la fuerza (Fmed)' esta asume como una fuerza de valor constante que habria actuado en ese intervalo de tiempo para producir el mismo impulso.
r:-FmedX
F(Nlt
-,-e
L1t = ~ea
... (II)
.,
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO • CHOQUES'.
JIPOS DE COLISIONES 1 . De acuerdo a la ubicaci6n de sus centros de masa (CM.) respecto de la linea de choque, en e! momenta de la colisi6n. ~
~
r
:Plano de choque
......... "
Linea de choque
;
c:::... C.M:z
luego ae'lo cali~i6n,10$(Uerpos're07izim inO~giiento de trasladOny ratoci6n.·De acuerdo a la direcci6n de sus velocidades antes y despues de la colisi6n. ".:.,,;
'.
~
~
..... \/'''-'.-=/ }"'T..... ~ ~ C.M}
(W) .)
C.
r
~)i
Linea de
••
...-/
'~
~e ~~--=,'-'\ • ,..•••.•••
=p..":
P ••
..
•••
/
ft;-·
............... ~
C.M2
•
Ilnea de ~que
_-_
.
~l .. ~.. _ -·l~ I''\.. \
! :
'o/l
~
*
* Como puede nororse 10 direcci6n que siguel] sus , movimientos se encuentru en 10 Irnea de choque.
3)
De acuerdo al numero de dimensiones partfculas : a) Choques unidimensionales
/~
. -'\~
movimientos ante$ Y despue~, del cHoque slguen difecentes'direcciones. ' . .
SUS
en el amilisis del movimiento
b) Choques bidimensionales T'f'\'
\
de,las ~
c)Choques tridimensio!Ies
U.'h'
Como puede notarse un choque central es prckticamente directo y tambien corresponderia al choque unidimiensional.
~
~
~
J:·UZCANQ ----------------~
Algunas veces durante la colision, parte de la energfa cinetica del sistema se transform a a otras formas de energfa; consecuentemente la impulsion en los perfoclos de deformacion y recuperacion no son los mismos. El coeficiente de restitucion relaciona los impulsos de las fuerzas impulsivas en los perfodos de recuperacion y deformacion. Se sabe de la gratica F vs t, durante la colision : F
~
AI: Impulso en el perfodo de deformacion. A2 : Impulso en el perfodo de recuperacion.
~ ~
Desarrollando los valores de los impulsos, 'se obtiene una relacion de velocidades relativas antes y despues de la colision medidas en la direccion de la lfnea de choque :
ill
.9~0IlUude~
. Los va/ores de "e" varian entre 0:0;; e:O;;1
Como una cuestion practica, podemos asociar un signa a /a direccion de /a ve/ocidad y ca/cu/ar :
I' ~ _ .
-(112-111) -jI21
e= (V2-V1)
(*) Entendamos que la division simple
= V21
...
(*)
de vectores no esta definida, por eso solo para efectos. practicos
asociaremos un signo a los vectores en la division mencionada. ~2 1: Velocidad relativa (despues del choque) del movil 2 respecto del movill.
V21:
Velocidad relativa (antes del choque) del m6vil 2 respecto del m6vill.
CANTIDAD DE MOVIMIENTO • IMPULSO • CHOQUES
Los casos que se indican, nos muestran las situaciones antes y despues de una colisi6n. Determine el coeficiente de restituci6n. &Ejercicio
1
- 'f=8m/s
~=4m/s
-
~
---
-C"\ ~'""--
Resolucion Asignando a la velocidad signa positivo a la derecha y negativo a la izquierda.
e= -(II2-II1)= -(6-(-2))=~
(V2 - VI)
[e=n
(-4
-8)
12
R~
'B..EJerdcio @
- -
~-------
~
j
-.
~
--
~
j:·UZCANCl ----------------~
&Ejercicio
® 00rt;:~
-
V1=6m/s
t=~Ftp"'i~
?Despues;
V2=O
J.12=6m/s _
J.11=O
---i)-------
~~------------~
.. (e_= 1)
.' % v. _=~;:i'" ~= --~ ~:.-
~i}-
Rpta .
.' ~~ ~
~= --vfII=-
. =~ __ .. -:...,----
CANTIDAD DE MOVIMIENTO • IMPULSO - CHOQUES
-
-.~~
~
v.
2.EJ~..00
~~
Luego de la colision los cuerpos quedan adheridos. cion de energfa. :;}
...~
...
~,.
._
::;;~-
~-
~
-~
.
~Tv~~
Se produce la maxima disipa-
_ ..
~
~.
__ ,:UZCAN" ----------------~
Si una esfera colisiona frontal y elasticamente (e= 1) can otra identica enreposo. Entonces, esta ultima adquiere la cantidad de movimiento y energfa cinetica del prim era.
-~ii'
--:-i
v
v
B
A
~qjtfG~ Supongamos que las veJocidades de las esferas antes y despues de la colis ion. son:
a) Par conservacion de la cantidad de
--~iA~'~ ill
De (I) y (II) :
movimiento. il1+ilz=V}
-
Po =Pf
ilz -ill = V
2ilz
=m~l +~z
mxVl +mt. V
=~l
ilz =VI_
+~z~
b) Par relacion de coeficiente de restitucion (e=l). De:
-
,!7
~z - ~l = e (V 1 - .,v Z
~z -
~l
= 1x V ~
= 2V
)
...
(II)
+
il2
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO • CHOQUES"-
=1!-.i~{il~AP::{1ID t Si una esfera colisiona frontal e inelasticamente (0 < e < 1) fon otra identica en repo~. Entonces, las velocidades de las esferas finalmente son :
~t~'
IDo..altte!
fDespft~
-~l
i,
ii2
~DeniOSttaciOn Haciendo el mismo analisis de la situaci6n anterior.
- fil
Po =Pf
mVl
+
mt
= mD:l + D:2
D:l + D:2 = V ~ b) De la relaci6n de coeficiente de restituci6n.
ii2
I
~
--
MJ!W!III
J:,UZCANo. ----------------~
.-.,J.!.8JmlEoki.::j 1lliJI: Si una pelota colisiona frontalmente con rapidez Va' contra una pared en forma inelastica (0 < e < 1), La rapidez con que sale despu€s de la colisi6n es :
'----------4, ------,
,'~
~()------
III
Si suponemos que luego de la colisi6n la pared practicamente ces:
no se ha movido, enton-
112=0
J--- :;~ ~2 -~l
=e(Vl
-
V2)
0-111 =e(-Vl -0) III
= eVl
Lqqd.
I ~,~
~-;..----------
'- __ mmm____
~Si
la fuerza media que se produce durante la colisi6n es mucho mayor que la fuerza de gravedad. Entonces :
:::::Q)
~l
m
, _EaQpIEDAri..,:.; -~'~UiS{j): ~ ~ Si una pelotita colisiona ine"~sticamente con una superficie horizontal lisa, de la forma como se indica, entonces : el coeficiente de restituci6n se calcula par :
~OSti'dCi6n
.•
Descomponemos las velocidades antes y despues de la colisi6n, en la direcci6n de la Ifnea de choque y perpendicular a ella.
~..~f\~ '~
~'
v,cosa',
~'/'
-'fP'0!
1 'lIIIIIIllllllllllllllmmm;:%:>llmi
a)
Si no existe rozamiento, cambia, es decir :
entonces la componente VI cosa
horizontal de la velocidad no
= III cos~
VI III
cos~ cosa
-=-b) La componente
de la velocidad inicial en la vertical; cambia debido al coeficiente de
restituci6n. IIIIIII
(t": ~.w~·i .
Illsen~
= eVlsena
III sen~ e=-x-VI sena
i cosa sen~ e=--x-·-cos~ sena
j),-
_
~ CUZCAN~
~ ----------------~
DE PROBLEMA 98 Sem. UNI ':' ----------------Una esfera de 1 kg can una velocidad de ':' CEPRE
'.'
4 im/s realiza una colisi6n elastica frontal can otra esfera estacionaria identica en sus dimensiones. 2.A que distancia de la primera esfera, se encuentra la segunda esfera; 3s despues de la colisi6n? A) 6m
B) 10 m
D) 24m
E) 8m
:;: .:. :~: ':' :;: .:.
.. (d
= 12
.:.
.:.
.:. Dos pelotas de igual masa moviendose can :~:rapidez de 3 mis, chocan de frente. En.:. cuentrese la rapidez de cada una despues .:. .:. de la colisi6n (en m/s) .
R~
.:. I) Si quedan juntas .
.:.
Despues de fa colision ; 3s J.Ll=O~
J.L2=4m/s "X'R'f
~d-
Rpta.
:~:,PROBLEMA 99
RESOLUCION
mrZ;l.v:
=1
~Q~
.:. .:. .:. .:. .:. .:.
.:.
.:. .:.
I)
III
= 112 = 0
II)
III
= 112 = 0
III) I) C) I)
III
= 112 = 0
III
= 112 = 1,5
II)
III
= 112 = 3
III)
III
= 112 = 0,9
CANTIDAD DE MOVIMIE:NTO - IMPULSO - CHOQUES
I) ~l ==~z ==0
0)
II)
~l
::: a) Por conservacion de .:.
==~z ==3
Ill) ~l ==~z ==0 E)
P
.:.
Po ==PI
:~:
mVI + mVz ==mill + mllz
I) ~l ==~z ==3
3 i-3i==1l1
+ilz
II) ~l ==~z ==0
ill + ilz ==0
Ill) ~l ==~z ==2,7 RESOLUCION
.:.
k¢~~'d.'11 I
ilz~ill
.:..:.
i - (-3 i))
ilz - ill ==1x ( 3.
Esbozando una grMica antes y despues de .:. .:. la colision plastica. .:.
ilz - ill == 6 i
--
V2=3m/s
~=3m/s
Por conservacion miento.
Ilz
==
3 i m/s
ill == -3 i m/s
de la cantidad de movi- .:. Los modulos de sus velocidades ::: seran :
Po
m
==e(VI-Vz)
==
PI
(~1= ~2= 3 m/~]RPta. ~~':
:~::.
(3 i) + m (-3 i) == 2m Vr
0
rapideces
(II)
:~:It~{[ill]
Significa que las pelotas se detienen; enton- ':'. . •. ces : .:. Graficamos instantes antes y despues de la colision inelastica (e=O,9)
[-----lli
. '~l=
~~.~
OJ
:::
Rpta (I)
:::
~~~~el~ condicion esbozamos el grMico si- :~:
rQes"p'u~
1FAn1'&1
'r
::;;:!
~=3m/s
~
~l
~
@~
.-;Sj
i~,
I~ ~L
:~:a) Por conseivacion de P .
- I~ - - ::;;:tt, 3m/s
m;.ta,
~
.:. .:. .:. .:. .:.
Po ==Pr ,m'VI + ,m'V2=,m'1l1 '+ ,m'ilz
~"
MI!II!R
~ CUZCA.Q---------------~ 3 i + (-3 i) == ill + il2
°
b)
== ill
... (1)
+ il2
~. Par conservaci6n de la cantidad de movi:~:miento en el sistema :
Si el choque es inelastico (e==O,9);en- :~ tonces : .:. ~. il2-ill
==e(VI-V2)
il2 - ill ==
0,9 (3 1- (-3
il2 - ill == 5,4
1))
ill == 0
1
0 mI:J
.. (ill = i
De (I) y (II) ;
Rpta.
Clave: E
.
.:
.;. PROBUMA.',101,
Sem. CEPRE UNI
.;.
.. (J.lI ==J.l2 = 2,7 mlS)
.;. Sobre una mesa horizontal Iisa se en:~ cuentran dos esf~ras juntas en reposo y Rpta. (III) .;. una tercera va al encuentro de ellas. Si Cl '·A :~:las velocidades despues del choque son ave. ~: ill ==(2 1- 0,5 3) m/s , il2 ==(1 + 4 3) mls
Sem. CEPRE UNI":~ y il3 ==(3
fpa"OB~Oi
, "" " . Una p.?-rhcula A de masa m y velocldad 2i mls va al encuentro de una partfcula B de masa 2m y ~n reposo. Si despues de la colisi6n eAntre A y B; B adquiere la velocidad i mis, determine la velocidad de A.
51 m/s ::) 1 m/s
B)
A)
D)
1- 3 3)
~. de la esfera que se estaba moviendo, antes ~. del choque. :; .:. :~ .:' ~, .:.
.
:. .:.
21 m/s (1/2) m/s
.;.
(antes del choque)
. .
--------·X
.: :.
:.~ 0 i m/s
3)
mls
3) (10 1- 0,5 3) (13i-1,5 3)
mls
:~:A) (10 1- 2,5 RESOWCION .:' Graf·leand0 Ias Sl 'tu'aClones an t es y despues ' ';' '.' B) (101 -1,5
de la colisi6n.
:~:C)
~DeSpues, _
Vt=2tmls
v=o
~~------G'-' ~--A A B
:~:D)
~
mis, hallar la velocidad
-
::;:~ B
Ami
m/s mls
.:'
8:~E) (131-2,53) •
'.'
.
m/s
CANTIDAD DE MOVIMIENTO • IMPULSO - CHOQUES
.:. A) 1,67 mls
B) 2,67 mls
Las situaciones antes y despues del choque :~:C) 1,33 mls segun el problema serim : :~:E) 2 mls
D) 0,67 mls
RESOLUCION
.:. RESOLUCION .:.
';' Inicialmente el cai-rito '.' .:. estan detenidos .
.:.
~L'
3i'
ma -3j'
Por conservacion miento.
.:. EI bloque inicia su movimiento con rapidez :~:de 2 m/s; como no existe rozamiento, en.:. tonces el carro seguira en reposo y el bloque :~: se movera a velocidad constante. .:.
de la cantidad de movi- .:.
.:.
Po =Pf ml Vl
= ml~l + m2~2 + m3~3
Resolviendo :
.. (VI
=
(13 i-1,Sj)
mlsJ Rpta.
:~:Cuando el bloque llega al extremo de la pa';' red del. carrito; se produce la colision elasti...• .:. ca, entonces cada uno de ellos tendran ye:~:locidades ~l e ~2 constantes, respecto de .:. tierra .
.:.
\\=2m1s
.:.
Un bloque de masa 2m se encuentra dentro de un carrito de masa "m", inicialmente en reposo, tal como indica la figura. Si el bloque parte del centro del carrito con una rapidez de 2 m/s. Halle la rapidez del carrito despues de la primera colision elastica con el bloque. Ignore todo efecto de friccion.
~=o
UiJ:m
.:. ';' I) Por conservacion de P '.' --------.:. :~: :~: .:. :~:Asumimos un signa a sus vectores veloci.:. dad: .:.
.:. Luego ; .:.
II'-
.I.If!I!
J:'U~
II) 5i el choque es elastico (e=l). il2 - ill = e (VI 112 - III
ml (V) + m2 (-V) = ml
-1:.)
V(ml-m2)=m21l2
= 1x 2
Resolviendo (1) y (II) : 2 III =-
3
.:. .:.
.:.
8 Ilz =3
...... =====~
... -(1)
... (II) :~:5i el choque es perfectamente .:. e=l il2 -ill =e
.:. .:. .:. .:. .:.
Luego :.
.. [~=2,67.~s
0 + m2 (1l2)
x
' Rpta.
elastico.
(Vl-V2)
Ilz = l(V -(-V)) ... (II)
Ilz = 2V
.:.
.:.Reemplazando
(II) en (1):
Clave: B :~: .:. Sem. CEPRE UNI .:. Resolviendo :
Dos esferas perfectamente elasticas van al .:. encuentro con igual rapidez y despues del :~: choque una de ellas queda en reposo. <.En :' '.' que relaci6n estanln sus masas? .:. A) 2/1
B) 3/1
C) 4/1
D) 5/1 E) 6/1 . RESOWCION 5eglin la condici6n del problema, la grafica que identifica el movimiento de las esferas, antes y despues de la colisi6n sera :
-V1=V
'i';;~' ,
.:.
:.
(E _1
m2
.:. fPaoiLEMAF
()
=-
1.
'3
Rpta
Sem. CEPRE UNI
:~:Los cuerpos mostrados en la figura, reali:~:zan un choque perfectamente inelastico sa::: liendo luego con una rapidez de 0,25 im/ s . .;. Determine la relaci6n ml / m2 : :~:
:~:A) 2/3 .:. D) .5/3 .:.
B)"3/4 E) 3/5
:~:RESOWCION ;,: Esboza'ndo el grMico del movimiento de 10s .:. cuerpos antes y despues de la colisi6n .
.:..
.-
\i=O.25m1s
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO • CHOQUES
Por conservacion miento.
de la cantidad de movi- .:.
Po =Pf
.:.
mV1 + mV2 = (M + m)p: Po =Pf
m1V1 +m2V2 =(ml +,m2)Vf Asignando un signa a la direccion del vector .:. velocidad. ' :~:
. 8xO,5
+i
x(-1,5)
.. (~ = 0,44
m1 (+4) + m2 (-6) = (ml + m2)0,25
._-
=( +i}~ 8
m/s) .-
Rpta.
",!)
3,75 m1 = 6,25 m2 .:. PROBLEMA 106·
Rpta.
v
.:. Entre las masas de la figura se produce un ' Clave: D :~: choque perfectamente inelastico. Calcule Sem. CEPRE UNI
Un pez de 8 kg esta nadando a 0,5 m/s hacia la derecha. Se traga otro pez de 1/4 de kg que nada hacia el a 1,5 m/s hacia la izquierda. ('Cual es la rapidez del pez mas
:~:la fraccion (en %) de la energia cinetica del .:. sistema que se disipa en forma de calor. v ' :~: ~ ", 2V .~. V .:. --- ~~_._-----~--.:. :~:A) 33,3 % B) 66,67 % C) 14,8 %
grande inmediatamente despues de su co- ':' D) 74 % E) 7,4 % mida? :;: RESOWCION B) 0,34 m/s . :~:En el choque perfectamente A) 0,44 m/s C) 0,48
D) 0,92 m/s
:~:conserva la cantidad de movimiento del sis-
E) 0,5 m/s
.':' tema .
.:.
RESOLUCION .:. La colision realizada por los peces es practi- :~: camente plastica, graficamos : IDido j
inelastico se
Final
::: ~ "
~tes
. Despues
3
2.V n~..
..
=:.d:>-J: ..:.
.:.
.:. Asignado un signa a la direccion de la velo:~:cidad. 2m· 2V + mV = 3mll
Por conservacion de la cantidad de movi- .:. miento en el sistema. :~:
~ [~=~v]
.;.
Calculo de la energia disipada 1
Z
EK =-x2m(2V) o 2 EKo
= 4,5
Z
+-xmV 2
25
=6mV
Z
::: A) 0,13
M
B) 0,13 MV m
.:.
.;. MV .;.C)0,5-
mVzl_
.;. .:.
J
EKf =~x3mx(%v EKf
1
mV
.
mV
D)0,5V
m
•;. E) 1,86 MV/m .:.
.;. RESOWCION
.:.
.;. Dato del problema: .:.
~
(Para la bala)
:;: Si pierde el 75% de su EKo' entonces : .:.'
Q=EKo -EKf Q =4 ,5mV2
_
25 mVz 6 V
111= -l
Q=l.mVz 3 ~
2
V
III =-
Finalmente : eI porcentaje de energfa disi- ::: pada en forma de calor es : .;.
%
Q
EdisiPada
= --
EKo
x
100 =
1/3
-
4,5
x
100
2
';' Calculo de la rapidez del bloque
'.' -------------::: Analizando instantes antes y despues que Iq. .;. bala perfora el bloque. jDesptibi"
Clave: E :;:
---
II_=?? r-" ..
~=V .;.
Sem. CEPRE UNI .;. __ ~ .;. m
_
La figura muestra un proyectil de masa "m" .;. que se mueve con una velocidad V, hacia :;: Por conservacion un bloque de masa M, en reposo. Si la bala ';' miento.
de la cantidad de movi-
perfora al bloque perdiendo el 75% de su ';' energfa cinetica, determine la rapidez del :;: .;. bloque despues que la bala 10 atraveso.
= Pf
'.'
.:.
Po
m V 1 = mill + Milz
.;.-Asignamos a cada vector velocidad un sig.:. .;. no. V mV = mx-+Mllz
2
CANTIOAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO . CHOQUES
.:. Ccilculo de la cantidad de calor des- .. :~:prendido durante la colisi6n.
£i( )v .. [~2= ii ~2
=
1- ~
0,5
V)
Sem. CEPRE UNI :~:
Se tienen dos partfculas cuyas masas son 4 :~: g y 2g cuyas velocidades son 2 i m/s e·:· * * i m/s, respedivamente. Despues de coli- :;: sionar la partfcula de rI;asa 2g tiene una .:. velocidad de 2 i m/s; determine la canti- :;: dad de calor desprendido en la colision. :~: A) 0,3 mJ
B) 0,4 mJ
D) 5 mJ
E) 2 mJ
C) 0,5 mJ
:~:
EKf
ml~i + .! m2~~ =.! 2 2 1 (3 )2 1 2 EKf ="2 (2m) x"2 + "2x m x 2
EKf = 4,25 m~
:~:Luego : Q=EKo -EKf
RESOLUCION : Esbocemos un grafico antes y despues de la .:. '.' colision. .:.
Q = (4,5 -4,25)m Q = 0,25 x 2 x 10-3 J
:. ( ~ = 0,5 mJ JJ -
•
V. =2f
~=f'
~
--'-
ill .j---'''-
--
il2=2t --
:~: .:.
Rpta. Clave: C
----.--~0--1..__ ~--~-------~--:.:: ,r .
Data :
.:.
5tR~BLEMA'109
:~:Un cuerpo con energfa cinetica Eo produce
*
m=2g=2
Por conservacion miento.
x 10-3 kg
.:. un choque perfedamente inelastico con un :~:segundo cuerpo de igual masa e inicialmen-
de la cantidad de movi- ::: te en reposo. La energfa cinetica del con.;. junto despues del choque es :
(2m)(2 i)+m(i)=
2mill +m(2 i)
- =~i1
~l~
:~:RESOLUCION :~:Esbozamos la grafica instantes antes y des.:. pues de la colision plastica .
.:-
.....
~
--
PUZCAIIQ -----------------~ (. A) 0,5
B) 0,6
:;: D) 0,8
E) 0,9
.:. RESOWCION :~ Las masas de las particulas son de 2 kg; : conodendo la energia cinetica, determina.) mos su rapidez.
.
(
.
~
)
:
Por conservacion de P .
.)
Po = Pf
~
Vl=6m/s
0)
<-
i]
.)
*
9 =-x2xlll 1 2
*
1 25=-x2xllz 2
.)
z
~
III = 3 m/s
.) 0)
La' energia cinetica final se calcula por :
.)
<-
Ef
z
1 36=2x2xVl
: *
mVl=2mxll
[Il=
~
<-
z
~
Ilz = 5 m/s
.)
=21x 2mxll z
.:. EI movimiento realizado poT la particula se0) ria : .)
Ef
1
=-x2mx-l 2
1 Ef =-xmxVl
2
.. (E
f
=
~o)
f,paliiii.EMA'l1o Dos
particulas
VZ
.) .)
4
0)
.)
z 1 x2
~=5"".
-
i;;aa,
Rpta.
Sem. CEPRE UNI :;: de
~=6"".
(.. 7.5' .:. 0)
masas
iguales
ml = mz = 2kg se desplazan sobre la misma recta; ambos una al encuentro de la la energia otra, y antes del choque 36 J y la rapidez de cinetica de m1 es mz es de 4 m/s. Si luego del choque fron-
m· (6
i) + m (-4 i) = m~l
+ m~z
:;: .:. ~l + ~z = 2 i~ ... (I) :;: .:. Seglin la grafica (despues de Ie colisi6nl, la .:. .:. (mica forma como cumpliriala condidon .'. (l) seria : .;.
tallas energfas de m1 y mz son 9J y 25J; :;: respectivamente, determfnese eJ coefidente :;: de restitucion entre ambas. .:.
~l
=-3
i m!s~
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO - CHOQUES
EI coeficiente de restituci6n se calcula de:
-
.;. Esbozando un grafico, instantes antes y des:~:pues de la colisi6n.
il2 - ill = e (V I - V2) 5 i - (-3 i) = e (6 i - (-4 i)) 8 i=(e.l0)
i
8=exlO
.. (e=0,8] ::sa
.:.
l?pta.
~
_~
Clave: D :~:
Un bloque A de 2 kg se mueve con veloci- :::
j)
dad V I = (7 i + 24 m Is, impacta frontal ~~: y elasticamente con otro B que inicialmente .;. estaba en reposo. .;.
*
ml = 2 kg Determine la masa y rapidez del bloque B, .;. ' .;.En la direccion inclinada_ si despues del choque el bloque A se mueve .;. .:.
con ill = (-7 I 5 i - 241 5j) m/s . A) 3 kg ; 10 m/s
B) 2 kg ; 30 m/s
C) 3 kg ; 20 m/s
D) 2 kg ; 20 m/s
E) 1 kg ; 60
m/s
RESOLUCION
:~:Por conserv~ci6n de
P:'
.;.
-:-
.;.
.:. .;. :~:
2 x 25 + 0 = 2 x (-5) + m x Ilz
De los datos del problema podemos notar :~: .;. mll2 = 60 .~ (bloque A). :~:Del coeficiente de restituci6n (e = 1) : A)
VI
.:.
=(7,24)m/s
.;.
ill =--.!(7,24) 5
r:-v:1
m/s \
.:.
.:.
.;.
il2-ill=e{VI-Vz) Ilz-(-5)=lx(25-0)
:~:Resolviendo :
:.~
Ilz = 20
Sus m6dulos se calculan como :
VI
= .J72 + 242 = 25 m/s
III
= 5 m/s
VI ..
m2 = 112 ~
3 kg
... (II)
I
20 m/s ~
l?pta .. Clave: C
~
~
~
C,UZCANQ ----------------~ Sem. CEPRE UNI .:. .:.
Un moviLde 4 kg se desplaza hacia la derecha con rapidez de 3 m/s y choca con otro movil de masa 6 kg que se mueve tambien hacia la derecha con rapidez de 2 m/s. Despues del choque el movil de 4 kg se mueve a 2,1 m/s. Determine el coeficiente de restituA) 0,2
B) 0,3
D) 0,5
E) 0,6
RESOLUCION Esbozamos el movimiento, realizado por moviles antes y despues de la colision.
-i ~ V1=3m/s
4kg
105
_12,6 1 - 2,1 11
.:. :~: :~: .:. :~: .:.
I'3 i - 2 'Ii
e-
.. Ce=~,~
.:.
';' Los centros de las esferas iguales se mueven '.' .:. en la misma direccion sobre la misma rec.:. .:. ta. La velocidad de una de ellas despues .:. del choque tiene igual magnitud, pero direc:~: cion contrario de la que tenia antes el mis:~:mo. Determine la relacion de rapideces VI .:. y V2 antes del choqu~ (coeficiente de resti.:. .:. tucion : £) :~:A)
(E + 1) I (£ + 3)
B)
(£-1)/(£+
(£+1)/(£-3)
D)
(£-1)/(£-3)
~§i,~ -~iL:~:
V2=2m/s
~1=2.1m1s
~
C)
6kg
Por conservacion miento.
4kg'
6kg
3)
:~:E)(£+1)/3£
de la cantidad de movi- ';' RESOWCION :;: Segun el problema : (Antes y despues de la :~:colision)
~
4 x (3 i) + 6 (2 1) = 4 ( 2,1
15,61=6 ~2 =
2,6
~
~j.
i) + 6 ~2
Jll=\,\
mJir=
.:.
JIz
i~
.;. Por conservacion de P: Po =Pf mVI +mV2 =m~1 +m~2
1~2- ~Il
e=IVI-V2
1
V(--7)
(+)
V(~)
(-)
CANTIDAD DE MOVIMIENTO • IMPULSO • CHOQUES
·:. A) 0,4 ; 72 J
B) 0,6; 75 J D) 0,2 ; 192 J
... (I) :~:C) 0,4 ;62 J .:. E) 0 ; 85,7 J En el choque inelastico, relacionamos el co- .:. RESOWCION eficiente de restitucion (e) .:~:
Segun la condicion del problema el movi:~:miento de los cuerpos antes y despues de la ... (II) .:. colision es : .:.
Reemplazando
(I) en (II) :
(2VI +V2)
-
(-VI)
= e(VI - V2)
3VI + V2 = e(VI - V2)
.:.
~=4m/s
.+.
----.....--
:
12kg
:;: t~
~=6m/s
1-11= 2m/s
---..
~
J.12
-
2kg
~~Im.[J[J~Sm~m .. ~[]LH
Dividiendo +V2 a toda la expresion : 3 VI + 1 = e( VI -1 V2 V2
J
Po =Pf
.
12.x 41 + 2 x (-'-61)= 12 x 21+ 2 x D:2
Resolviendo :
i12 = 61 m/s P-2
= 6 m/s ~
Clave: C :~: ~:.Calculo del coeficlente de restitucion (e) : .:.
---------------
Sem. CEPRE UNI :~: .:. Dos cuerpos cilfndricos : A(12 kg) y B(2 kg) :~:
se desplazan con velocidades
D:2 - D:I = e (\1I - \12)
61- 21 = e (41 - (-61))
VI = 4 m/s y .:.
V2 = 6 m/s , respectivamente, sobre un eje horizontal que no ~resenta rozan;iento, c~~o se muestra en la flgura. Despues de colIslonar, el cuerpo A se mueve a 2 m/s mante. did" . • . .. lOt . I e ermme e men 0 a IreCClOnImCIa. coeficiente de restitucion y la energia calorifica desprendida como consecuencia del choque.
:~:Luego : :~: [e 0 R to. (I) .:. .' s= p .:. , " .:. Calculo de energra calorifica ... d'd .;. ,a (Q) .. .:. * AI inicio : :~: E 1 V2 1 V2 .:. Ko ='2ml I +'2m2 2
= 4)
_ despren-
.:.
121
EK =-x12x4 o 2
+-x2x6
2
2
EKo =132 J
lID
:~:D) 100 i EKr =
1
2
2" mllll
1 EKr =-x12x2 2
1 2 + 2" m2112 2
1 +-x2x6
:;: E) -100
i
-170 -170
i i
2
2
EKr =60 J Luego:
.:.
ml Voi+m2 (-2Vo)i = - 40 i
Clave: A·:·
.:.
(m1Vo -2m2Vo)i Las esferitas de la figura se aproximan so- :~: bre la misma recta. Bajo las condiciones .:. ilustradas en la figura "a" el sistema tiene una cantidad de movimiento. de -401 kg m/s, y bajo las condiciones de la 1 f igura "b'' la cantidad de movimiento de sistema seria de lOi kg m/s. Asumiendo m1 + m2 = 0,5 kg y que el coeficiente de
=-40
m1Vo -2m2Vo=-401 "'-1
:~: :;: .:.
r
... (I)
O....,·a,....s-o"T'-b.,J
=::;:~_._
..•.. ~~
mt
~
.:.
.:. ..... '.' .:.
i
PSiS!.
=10
i
2 ml V01~ m2. V01~= 10 ~1
restitucion es e = 1 12; determine para el :~: caso "a" las velocidades de la esferita (1) ';' '.' antes y despues de la colision respectivamen- .:. Restando las expresiones (I) - 2 x (II) : te (en m/s).
.
:~:
-3m1Vo
= -60
.:. Oividiendo estas expresiones, obtenemos .:.
•:.
A) -2001 B) 200 i C)
100 i
i 130 i -130 i -170
.:. .:.
ml
2
m2
3
-=-
.:. Oato del problema : .:.
'.'
m1 +m2 =0,5 kg
: .
CANTIDAD DE MOVIMIENTO • IMPULSO • CHOQUES
Reemplazando
ml
= 0,2 kg
m2
= 0,3kg
.:. Las velocidades de la esferita (I) antes y des':' pues de la colision seran : -.,----:----- .....•. VI = 100 i m/s
i m/s
[II = -170
en (III) :
-
Rpta, Clave: D
9'
. Va =100m/s~ .:.
Ccilculo de la velocidad de la esferita (I) -;. La figura muestra tres canicas 1, 2 y 3 iden- antes y despues de la colision. :~:ticas en 'masa y alirreadas; de modo que 1 Analizando esos instantes. ':' lIeva rapidez "V", 2 y 3 . estan en reposo. 5i y .;. todos los choques tienen coeficiente de res:~:titucion 0,5. Determine la magnitud de la Iii -:' velocidad de la particula 3 apenas inicia su -.' .:. movimiento. ~
o~········o~ -:. :~:
0
'\lIIIIIIIIIl~lIIIIIl!P:fIllllll'lIIIIIl!V_,
.;.
(1)
.:.
:~:A) (3/4) V (0,2 x 100 - 0,3x 200)i = 0, 2ill + 0,3ilz .;. ~ .;. C) (9/16) V 2ill +3ilz =400 i ~ ... (IV) (1/16) V
(2)
(3)
B) (3/8) V D) (1/4) V
:~:,E)
De la relacion de coeficiente de restitu- ':' RESOWCION '.' cion : + ilz - ill = e (\7 I -
\7 z )
ilz -ill = 0,5 (Va -(-2Va))
Teoria (Ver Propiedad II)
Choque inelastico frontal entre 2 esferas identicas.
[Iz - [II = 0,5 (3 x 100) i ~=o
[Iz - [II = 150 i ~
i Resolviendo de (IV) y (V) : [II = -170
i m/s ~
~l =
VI (I-e) 2
V ~z =-.l(l+e) 2
__
--
CUZCANQ ~
4&Ili1I:iI
En el problema :
-V
0. (3)
a)
.;. camente con una esfera (2) identica a la .;. primera que se encuentra en reposo, deter.:. .;. mine la velocidad de la esfera (2) inmedia.;. tamente despues del choque .
.:.
Cuando colisiona la esfera (1) con (2), ':' .~ la segunda esfera sale con la siguiente .;. rapidez : . :;:
v2 = V2 (1 +e)
... (I) :~:A) ~i m/s B) 3i m/s ? . . :;:D) i/2 m/s E) 0 m/s b) Cuando colisiona la esfera (2) con (3), la .:. RESOWCI0N tercera esfera sale con una rapidez : :;: V ~. Teoria: V3 = ; (I-+:e) ~: Choque inelastico de una esfera con la Ree!llplazando
(I) :
VI·:· V, =~ (1+e))~2(1+e) V3 = 22 1 + Reemplazando
.
I
:;:
pared (Vista de planta)
.
~
IRL~;:
.:,:-
e~:
datos e=O,5 :
"I
:;: .:.
~ (Ill =
eVd
~
~ Si hubieran Un" esferas alineadas, la rapidez de la enesima esfem serla :
La esfera (1) choca inelasticamente la pared e=O,2.
con
La velocidad con que retorn~ sera :
Vn=V(~J-l ~.+i..-----~~;_· ~ (1)
III =(O,2x10) Una esfera (1) que viaja con una velocidad .;.
VI = (-10 i) m/s
il
III ::d2 i .m/s
choca inelasticamente con :~: una pared rfgida de coeficiente de restitu- .;. II) Choque elastico de la esfera (1) con la esfera (2). cion e=O,2. Si aI rebotar (1) choca elasti- .:. .
y
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO - CHOQUES
Por teoria :
~t~
.:. .:. .:. .:. .:. .:. .:. .:. .:.
--%1' ~
Il2
-=~ ~d
(1)
(2)
112 = 0 Finalmente
(1)
(2)
113 = III
:
.:.
:. [~= 2 i2~1 Rpta.
~: vf
~1~
Clave: A .:.
LPROBLE@fiS
Vi - 2 gh
Sem. CEPRE UNI :~:De (I) y (II) :
Una esfera de 1 kg se suelta desde una altu- :~: ra de 2m, choca contra el piso y rebota has- .:. o
-2xgxh
EHJfh V: e
.:.
=
=
Vii
0
De los datos del problema : ta una altura de 1m. Si la misma esfera se suelta de una altura de4 m, Ghasta que .:. .:. RGaso I I I altura rebota? .:. ---A) 1 m B) 2 m 0
D) 4 m
:~:
E) 5 m
RESOLUCION Teoria:
.:.
(Ver Prapiedad III)
Esfera saltada desde una altura H gra elevarse hasta una altura h.
y
la-
Vb e=V
:. (V = eV) 1
.:. 19ualando estas expresiones : ::: .:.
:. ( y
=
~_0J)
:~:Una pelota es soltada desde una altura H y ':' en eloquinto rebote la pelota sube hasta una :;: altura de 5e4 em. Determine la rapidez con :~:la que rebot6 la tercera vez . .:. (e : coeficiente .de restituci6n)
.:.
:~: Vi : rapidez despues de 1° colision. e : coeficiente de restitucion
(g=10m/s2)
':' A) 1 m/s '.. .:. D)20 m/s .:.
B) 2 m/s E) 10 m/s
C) 10 m/s
lID
RESOLUCI0N .~ La rapidez con la eual rebot6 la tereera vez Esbozando el movimiento realizado por la ::: habrfa sido : pelota para "n" rebotes. .;. V 3 = e3 . V .:.
~
I
,
v=o
tS"~~ ','
H
t~
A,~ t~
V3=e
3-3
xe
:. CV3 = 1 m/£]
I
Rpta.
h
Clave: A
I::::~:~
I~,:;,;,J
V
La'd I I /. rapl ez con que sa e para e eneslmo reb t t rt' d I . f"1 o e, pue d e d e d UClrse aCl men e a pa Ir e It bl t . resu a d 0 d e I-pro ema an enor.
.;. Una esferita se suelta de una altura de 10 m .:. . . . .;. respeeto de una superflele honzontal y re... : bota alcanzando una altura maxima de '.' .;. 8,1 m. Determine el poreentaje de energia :::'meeaniea que tiene la esfera cuando rebota Vn : rapidez de la pelata en el enesima rebate. :::por 2da vez respedo de la energia meeani.;. ea que tenia al inicio del movimiento. ::: A) 61,61 % B) 62,61 % C) 63,61 % ::: D) 64,61 %
E) 65,61 %
:::RESOLUCI0N De:
(vl = V
j2
-
2gh )
Recordando
Partfcula saltada desde una altura H y lagra elevarse "h" despues de la calision.
O=V; -2xgh e2n V2 h=_nV2 =--_ 2g 2g h n
En el problema
:
I
0:., vl=o
e2n V2 =-2g
'2'V=O
,
:
Por dato en el quinto rebote sube ,
11/1111
,'.
Ii.:;';)
5e4 em <> 5e4 x 1O-2m V
de (I) : Sx2 e hs=--xV 2x10
En el rebate se cumple : 2
=5e
4
x10
-2
I h
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO • CHOQUES
Segun la condici6n del problema y en el pn- .:. ra alcanzada par la esferita luego del segunmer rebote, se cumpllra : :~:do rebote. e=
[h
=
[8,1=091
fH VlO ~
.:.
~~-\
La velocidad de salida en el primer rebote .:. es :
,, ,,
·· ·
v
VI = eV~
,, ,, ,, ,
La velocidad con la cual sale despues del :~: segundo rebote es :
,, ,, ,
... , ,,, ,, ,,
J. : ·:i.t
I
V2 =e2V~ Luego :
:~:A) 5,25 m
Tomando como referencia en nivel del piso; la relaci6n de energias mecaniCas despues del segundo rebote y antes del primer rebote; seran :
B) 3,02 m
:~:C) 2,048 m .:. E) 4 096 . .:. , m .:~:RESOWCION
0) 1,024 m
.
.:
.:. Evaluemos la rapidez con la cual impacta ~: la esferita con el piso, la primera vez .
.:.
.:. * Expresado en porcentaje sera : EM2 % = (0,9)4 EMo
E -.-%=65,61% EMo M2
Vo=Mmls+
100
x
Tomando como nivel de referencia el piso:
i
--T---Oj
1' . Rpta.
. H=14•5m
.i.
--------------l~-~--~---~~i
.:. Sem. CEPRE UNI .:.
En la figura se muestra una esferita la cual es lanzada desde una altura de 4,5 m respedo del piso, con una rapidez de m/s verticalmente hacia arriba. La esferita rebota en el piso y si el coeficiente de restituci6n es igual a 0,8; determine la altu-
M
.:. Por conservaci6n de la EM' .:. :~: ..::.. .:. :~: .:.
.:.
N.R.
....
~
-
CUZCAIIQ ----------------~ 10 V2 -+lOx45=2 ' 2
.;._Una pelotita colis ion a inelasticamente so'.' .:. bre una superficie rugosa de coeficiente de 10 m/s ) .:. .:. rozamiento "~" como se indica. Hallar el De modo identico aI problema anterior: .:. coeficiente de restitudon durante la colision . .:. (Considere la fuerza de gravedadmuy peEn el primer rebote, la rapidez de salida :~:quefia comparada con las fuerzas impulsivas de la esferita sera : :~:y que la fricdon es la minima necesaria para .:. evitar el deslizamiento de la pelota).
:. (V =
En el segundo rebote sera : .
.:.
.:.
Vz =ezV~
.;. .;.
Para evaluar la altura alcanzada en el se- .:. gundo rebote aplicamos el principio de con- :~ servacion de la EM' . .:.
tana+~ tan/3- ~
tana-~ B) e = tan /3+ II
.:.
ctg a -ll
.:.
ctg /3+ ~
ctg a+ ~ D) e = ctg /3-11
.:. A) e=---
.:.
.:. C) e=
.
~:
.:. E) e = tan 13 .;. tan a .;.
.;. Cuando ~a pelotita colisiona con el piso la .:. .:. fuerza de impulsion se origina por la resul.:. tante de la fuerza de rozamiento y la fuerza .:. .:. de reaccion normal.
EMo = EMf EKo +
r::
1
=Epf + ~
2mVz =mgh h=
.:. Supondremos que la fuerza de gravedad es .:. .:. muy pequefia comparada con la fuerza de .:. reaccion normal.
z
2
vi = (eZV) 2g
.:. Si hacemos el D.C.L. ala pelotita en el mo;:. mento de la colision, notaremos :
2g
.:-
(0,82 xlO)z
h=---2xlO
:. ( ~ = 2, o'!!.~Rpta.
.:.
:~:
Clave: C :~:
CANTIDAD DE MOVIMIENTO • IMPULSO • CHOQUES
*
En la horizontal : la fuerza de friccion modifico la componente de la velocidad en esa direccion. Por la condicion del problema esta debe ser la fuerza de rozamiento estatica maximo.
.:. De (I) y (II) : :;: VI cos a - V2 cas ~ :;: Il = V2 sen ~ + VI sen a .:. D . d .'. espeJan 0 : .;. .:. V2 = cos a -Il sena :;: VI cas~ + Il sen~
... (III)
';' Por t~oria del coeficiente de restitucion : '.' Pero como N> >mg, entonces "N" sera la .:. V2sen~ impulsiva en esta direccion. :;: e = Visena Ubicando. las velocidades de la colision. ....;~
antes y despues :;: De (III) : .:. . .:. (cos a -Il sena) senp e = -(c-o-s-P-+-Il-se-n-p-) x -se-n-a
yr
u
'{sena~. VIcosa ..~.
.LJV2seDP~t1 V2_cos/l
.:. :~:
:!-...L .:.
\ . N(f=~ ,
cos a - Il sena
!-t :~:
Por teoria de impulsion:
e = (cos~s::asenp
:;:
. senp
[I =Fx~tl ..
.:. De la condicion del problema se deduce que .:. la fuetza de rozamiento sera la estatica ',' ';' maxima
(f=JlN)
:;: .:.
(JlN x ~t)( -i) = m x (V2 cosp - VI cosa)i
:;:
J
ctga-Il e= ctg ~+Il ~
!
Si en 1a co1isi6n fueran datos: e, e!>Y Il
0
,
0rmal
i jif ".
0
......a-kt/
jIir'
../.!..
"'p
e=
Nx~t=m~Vv (N x ~t)] = m(Vzsenp] - (-VIsena])) N x M = m(V2sen~ + Visena)
... (II)
(tane -Il) . (tane!> + Il)
L"
-
Si la bola estuvo en contacto con el piso ':' Se lanza una partfcula con un angulo de '.' durante 0,1 s, determine el modulo de la .:. incidencia de 45° s0'2!e una superficie heri.:. .:. zontal cuyo coeficiente de friccion minima fuerza de friccion constante. (m = 1 kg) .:. que evita el deslizamiento durante la coli-
/
~=(21+3j)m/s
~. ~~ ~=(41'-3j)m/s
X,
.J
.:.
.:. sion es 2/9. Caleular el angulo e de rebote, ::: si el coeficiente de restitucion es 0,8.
f
~~
............... /// .. A) 10 iN
B) 20 iN
0) -20 iN
E) -2 iN
.:.
RESOLUCION
.:. A) 30°
B) 37°
Hacemos O.c.L. a la bola, cuando esta se ::: 0) 60°
E) 45°
encuentra en contacto con el piso.
:::.RESOWCION
I
.
~
~
~ 3j
-3j
41'
~
•..•..
..
•••
2'"I
·r···.··./f
N
: Segun ]a mndicion d,1 pmbl,ma. .:. ::: .:.
'>.. J:l
•:.
••••••••
---:J
:::
:~:
.";
.' .. ,ftt;
•
'
~/
0
Nt.
JQ
f
Podemos notar en los triangulos de veloci- ';' '.'
dades; la velocidad horizontal disminuyo, esto fue debido a la friccion.
::. Por teoria : si el piso es rugosa y el coeficien::: te de restitucion es "e". tan a -l-l e=---tane+l-l
f x 0, 1 = 1 x (2i - 4i) .. ( f = (-20 ~)~;
Rpta.
.:.
08= ,
tan45°-2/9 tane+2/9
.:. .:.
Clave: D·:·
tane+ 2/9 = _1-_2_/_9 . 0,8
CANTIDAD DE MOVIMIENTO • IMPULSO • CHOQUES
tan8=0,75
:~:D) ~A=(91+1,4j-0,9k)xl0-3
.. (~::::37~1Rpta.
:~:
~B=(281+4,3j-2,8k)xl0-3
Clave: B :~: ---.:. E) iIA PROBLEMA
125
;
=
(' ~ ~ ~) 0,032 i+O,123 j-O,S k
~B =(0,03
Sem. CEPRE UNI :~: .:.
1+0,02 j-O,OOI k)
Las naves A y N quisieron acoplarse el :~:RESOWCION 15/07/75. Si el primer intento no tuvo exito :~:Para simplificar la soluci6n, consideraremos y el coeficiente de restituci6n del imp acto ::: a las naves como partfculas que realizan un resultante fue e=O,95. .;. choque inelastico. lCuales fueron las velocidades de los 2 ve- :~:Graficamos instantes antes y despues de la hfculos despues del impacto, (en m/s)? :~:colisi6n elastica. Datos : VB =
:~:Antes
0
V A = (0,2
V.
"a=o
::: ~O-----------"_--O .;.
kg
= 6,6xl03
IDA
IDB
Usando los datos del problema . .:. .:. .:. Por conservaci6n :~:miento.
kg
.:.
.:. X
----~----------
-:. .:. .:. .:. .:.
.:.
.:. .:. .:. .:. .:. .:. .:.
A) ~A = (0,03 1+ 0,234 j - 0, 2 k)
~B = (0,24 1+ 0,003 j - 0, 2 k) ~A =(0,9 1+0,14 j-0,09
de la cantidad de movi-
Po =Pf
-:.
B)
'b~pues
':'. ~
1+ 0,03 j - 0,02 k) m/s
mA =18x103 mB
.:.
(respecto de XYZ)
.
mAV A + 0 = mA~A + mB~B mB f..lA+-f..lB mA
-
6,6_
f..lA+-f..lB= 18
=VA
VA
I,L V f..lA+3'f..lB = A
.:.
k)
.:. Si el choque es inelastico (e=0,95) P:B= - (0,28 1+ 0,43 j - 0,28 k) C) ~A =(0,09
1+0,0145
j-0,09
k)
~B = (0,28 1+ 0,043 j - 0,028 k)
.:.
... (I)
~
--
MlW!II
C,UZCANO ----------------~ (1)+ (II) :
De
.;. La colision fue perfectamente .:. .:. tonces :
~B( 1+ 131)= 1,95\1A = 1,427(0,2 i+0,03 j -0,02
i1B
elastica, en-
mV1 + 0 = (m + 300)V2
k)
mx15=(m+300)xV2 JIB = (0,28
i+ 0,043 j - 0, 028
k) m
,
Rpta.(l)
5
:~: .;.
'"
Despues de la colision elastica el automovil Y el muro se desplazaron una distancia "d".
~1~ ~A ~/t .;.
:;:~~
g
v=%!-
f
8
~~M
i
·:·ijii!:~~
~A
=(0,09i+o,0145J-O,009k)m
__
_
_
.
_
Rpta.(H) _5
(I)
:~:
A
.;.
N ~-----d=9m-----
Clave: C .;.
it
.:.,
.;. Por relacion entre trabajo y energfa mecani-
.:. Sem. CEPRE UNI .;. ca . .:.
Un auto que viaja a 54 kmlh se incrusta en :~: un muro de proteccion de 300 kg y poste- .;. riormente el auto y el muro recorren una. :~: distancia de 9 m hasta que se detienen .. ;. Calcular la masa (en kg) del auto si el coefi- :~: ciente de friccion cinetica entre el auto y la :~: pista es Jlk = 0,2 . .;. .:.
A) 200
B) 300
D) 500
E) 600
C) 400
v.:. .;.
M:M=W~C ~
-EKA
1 2
2
1
2
--MV2
= -JlxN xd
-MV2 = JlxMgxd 2
vi = 2 x 0, 2 x 10 x 9 V2
Despues de la colisi6n
=-fxd
= 6 m/s~
.:.
.;.
mx15=(m+300)x6 ,:. (m=200kg)1
Rpta . . Clave: A
CANTIDAD DE MOVIMIENTO • IMPULSO . CHOQUES
Dos autom6viles chocan perpendicularmente en una intersecci6n. Los autos A (m = 1 200 kg) y B (m = 1 500 kg) quedan unidos despues del choque y deslizan (Ilk = 0,2) juntos hasta a1canzar 100 m segun se i1ustra en la figura. Determine las rapideces de A y B inmediatamente antes de chocar.
di
... 100m ••.. : 53° •.•••·•
...~ ....
....~C.... ....
p.
..~
\~B
A) VA=16m/s
VB=12 m/s
B) VA =12 m/s
VB=16 m/s
C) VA =20 m/s
VB=20 m/s
D) VA
= 27
E) VA
= 28,8
m/s m/s
::: .:. :~: ';' :;: :~: .:. .: .:.. :::Por relacion entre Wy .:. .:. .:. .:. .:. .:. .:. .:. .:. .:. .:. .:~ .:. .:. .:. .:.
&:M=W~e ~
-EKe =-fxd --!,MVi 2
=-Jlx,Mgxd
vi = 2(0,2xl0xlOO) V2 = 20 m/s ~
:~:Ahora, analicemos antes de la colisi6n e ins.:. tantes despues de la colisi6n.
VB=28,8 m/s VB=27 m/s .:.
RESOWCION Analizamos primeramente 10 ocurrido instantes despues de la colisi6n hasta que finalmente se detiene :
EM
.:. ::: :~: .:.
~ II-
~
C·UZCANQ ----------------~
(12oovAi+1500
VBJ)=2
700
(1200 VA ; 1500 VB) = 2700
\}2
I ··· :
.
~=o
(12; 16) .:.
.:.
. ..
, ,
R=l"smj
./
____ ~¥.:::~:~~~?ef.
VA
-
= 27~
~
1 500 VB = 2 700
x
16
VB=2~ :. ( VA = 27 m/s :. ( VB = 28,8
1
m/s]
.:.
Rpta.
~. Clave: D :~:
PROBLEMA 128
.:.
Sem. CEPRE UNI .:. .:.
VI2 = 2x lOx 1,8
EI costal ''P:.' de 2kg se suelta desde el repo- :~: VI = 6 m/s ~ / e impacta contra la caja "B" .:. so en e = 00 o. . . .:. Analicemos ahora instantes antes y despues de 4 k~; c~~ndo e = 90 . 51 el. coeficlent~ ':' de la colisi6n inelastica entre el costal ''P:.' y de restituclon es e=0,5; determme la rapl- :;: el bloque "B". dez (en m/s) de la caja instantes despues del.:. impacto. .:.
.:.
A) 1 m/s D) 4 m/s
B) 2 m/s E) 5 m/s
C) 3 m/s
RESOLUCION Analicemos el movimiento del costal desde que fue soltado, 'hasta instantes antes que colisione con "B".
.:. Por conservaci6n de la cantidad de movi:~:miento al sistema : costal - bloque .:. .:.
.:.
';' '.' .:. :~:Asignando .:. dad.
.:.
un signa a cada vector veloci-
2(-6) + III -
°= 2
x
(Ill ) +
2112 = -6
4 (-112)
L
Dato del problema:
...
(I)
.:. hasta instantes antes de colisionar con el :~:otro cuerpo.
e=0,5
il2 - ill = e (V 1 - V 2) -ilz - ill = 0,5(-6 - 0)
III
=
. 1 z 1 EKA =2"mVA =2"x2x1O
°
Ilz =3
:.
EKA =looJ
[ 112 = 3 m!SIl] '-'-..;1-,
Sem. CEPRE UNI :~:
Un cuerpo de 2 kg es lanzado con una velo- :~: cidad de 10i m sobre una superficie rugo- :~: 5
sa de 3,6 m de longitud y de Ilk = 0,5; al final de esta se encuentra con otro cuerpo de 1 kg en reposo. Calcular las rapideces de ambos cuerpos despues del choque elastico, si la superficie sobre la cual se desplazaron finalmente es Iisa. A) 1,67 m/s ; 10,67 m/s
~
~
= -fxd
= -llxN xd = -Ilx mgxd
f
WAB = -Ilmgxd
=-D,5x2x1Ox3,6
wk = -36J
';' Por tanto en el punta "B" lIegara con ener:;: gfa cinetica : .:. :~: ';' '.' .:.
B) 3,67 m/s ; 12,67 m/s C) 2,67 m/s ; 10,67 m/s D) 3,33 m/s ; 8,53 m/s 112
1 z 2"x2x VB = 64
= 5,33 m/s
RESOWCION
=100
:~:En el trayecto AB pierde energfa cinetica deRP ta. .:. bido a la fricci6n, Luego : Clave: C':'
:~: w/,s
E) III =
Z
.:.
Analicemos el movimiento del cuerpo por .:. la superficie rugosa desde que es lanzado :~:
:. [VB =
8:]
~
--
~
C·UZCANG ----------------~
Cuando el cuerpo llega a B colisiona con .;. choca elasticamente con mz = 20 9 iCon otro cuerpo en forma elastica. :~:que rapidez inicia ml su retroceso?
.
.:
.:. Por conservaci6n de la cantidad de movi- .;. miento al sistema. :~: .:. Po =Pf
.;. .:.
mVI +MVz =mi:i1 +Mi:iz
A)
M/5
0) 2M/15
.:. C) MIl5 .:. E)
2M/5
B)
2J15/3 ~
Asignando un signa a la direcci6n del vector ::: velocidad. .:. RESOWCION .:.
~
.:. Analizamos a la masa pendular "ml " des::: de que es soltada hasta que liege a su punto .:. mas bajo.
L1 .
Ademas, en el choque elastico (e= 1)
(i:iz-i:il)=e(V1-V2)
ml
/-Lz - /-LI
= 1 x (8 -
T'
0)
h
1
v.=o 0
. .:. Por conservaci6n .:
III
= 2,67 m/s l 11
i
•
VI
de la energfa mecanica.
.:. .:.
mgh1
Clave: C :~: => Sem. CEPRE UNI :~: Reemplazando La figura muestra dos masas una de las cua- :~: les es la masa pendular y la otra descansa .: .:.. sobre una mesa Iisa. La masa ml = 10 g.:. se deja caer desde hI = 3 cm de altura y :~:
llJ:2
~~---~:~-~
EMO
- I Rpta.
Ilz = 10,67 m/s I
1
= EMf
1
z
='2mV1
(VI =~) datos :
VI =~2xlOx3xlO-Z VI =M/5
m1s~
l:;A:NTlDAD
DE MOVIMIENTO
• IMPULSO
- CHOQUES
AnaHzamos ahara, instantes antes y despu€s .:. IPBOBLED"f131! de la eolision elastica. . .:. :~:Las esferitas de la figura ehaean elastica-
J
:~:mente en el punta A, si : £1 = 10 em ; ~ 1 .:. m1 = 0,2 kg; mz =0,2 kg ; casal ="2 y .:. 1 ~cas az = "6' Determinar la langitud £ z . il2 :~:
ill'
..,:-
~=O
---.• -G-----·
---6=~-~--
-
--~
:~: .:.
A', •,
'.m..z
... (I) .:. .:. A) 2 em
B) 4 em
: D) 6.em
E) 8 em
Del eaeficiente de restitucion :
.)
=e(V1-VZ)
~Z-~l
.:.RESOWCION .:.
::: Analizanda a la esferita ml desde que es .;. Iiberada hasta que lIega a A.
De (I) y (II) :
21lz - III = Ilz + III Ilz = 2111
V III =.....l
3 III
J151
= 15 m/s
Rpta. Clave:
C :~:
~
--
MMI!lJIII
C·UZCANG ----------------~ .;. Por geometria elemental : h2
EMB =EMA
=f2 -
f2
COS 0.2
Entonces : EpB =EKA mghl
z 1 I = -,-mV 2
.;. Por conservacion de la energia mecanica : .:.
VI
= J2g
VI
= J 2 x 10 x 5x 10-2
EMA
hI
=EMC
!;ri'!1~ =. ;ri'ghz 2
3
:. ( £2
\!z=o - ~~-----@---_.
=
63
Rpta. Clave:
D
Para la condicion mostrada, se sabe por teo- ::: ria (propiedad L pag. 98); luego de la coli- .;. PROBLEMA 132 sian: .;. .:. La grafica corresponde al movimiento de .:. .:. una pelota que rebota elasticamente sobre .:. una mesa. Determinar el modulo de su can.:. .:. tidad de movimiento y su energia cinetica ':' despues del enesimo rebote. (masa de la '.'
.:. pelota 0,5 kg) .:. .:. .:. V(m!s) .:. .:. .:. .:. .:.
.:. .:. .:.
.:.
.:. .:. .:.
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO - CHOQUES
A) 20 N - s
100 J
B) 10 N -s
100 J
C) 20 N -s
50 J
0) lON-s
200J
.;. Respecto a la conservaci6n de la cantidad :~:de movimiento, sefiale la verdad (V) 0 false.,':' dad (F) de las siguientes proposidones.
E) 50 N - s ; 200 J
.:.;. . I) No se conserva
RESOWCION
.;.
Ffsicamente, el movimiento realizado por la partfcula es : (considerando positiva la velocidad dirigida hada arriba).
.; .:.. .;. II) Es imposible hacer un experimento en .:. .;. un piso horizontalliso, donde se conserve la cantidad de movimiento en esa direcd6n; debido a que la gravedad terrestre es una fuerza externa.
* .
,..-.....
~""",
I
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t
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j
':t':
..L
,f)::! ~ ••
la cantidad de movimiento de un ladrilJo cuando este desli-
:~:III) Es un sistema donde se conserva el momentum total no necesariamente se .:.:. . .;. conserva la energfa cinetica .
.:.
·;·A)VW
B) VFF
:~:C) WF
0) VFV
:~:E) FFF La rapidez antes y despues de la coli- .;. si6n es la misma. :~:RESOWCION
:~:IP-ropos~n I]] (V)
En el enesimo rebote : a)
':' Si hacemos O.C.L. alladrillo, deslizando en '.' .;. un piso rugoso.
P=mV P=0,5x20j
.:.
...
N -s
P=lOj
,~
--E
.. (P~lON-s]
~-=.
Slstema7:"~
b)
EK
1
=ZmV
2
1 EK =ZxO,5x20 EK =100J
.. (=~2..00J]
2
"f" : es una Juerza externa desequiIibrante, par tanto la cantidad de movimiento no se conserva.
:~: I Proposicion In 1(F) Rpta .. (II) :~:Hacemos O.c.L. al ladrillo en una superfiClave: B';' de lisa.
~
-
MJI!W!I.'I
C'UZCA.~ -----------------~ centro de masa comun cuando lIegan a la estacion.
*
En la horizontal: No hay fuerzas externas por tanto la cantidad de movimiento en esa direccion si se conserva.
= de
A)
(3,331+ 33,31) m/s
En la vertical : Hay fuerzas externas, aunque se anulan.
B)
(-3,331+33,31)
C)
-301 m/s
D)
301 m/s
E)
301 m/s
PH
*
IProposicffin
111I
I
Recordar por teorfa :
RESOWCION
- En una colision elastica se conserva la cantidad de movimiento y su energfa mecanica. -
En una colision plastica (totalmente inelastica) la cantidad de movimiento se conserva, mas no la energfa cinetica.
(E Las proposiciones
Kf
<
E
Ko )
del problema seran :
( VFV
m/s ,
l Rpta.
Los cuerpos en analisis estan en el espacio; por tanto consideraremos que estos no se encuentran afectados por el campo gravitatorio. Significa entonces que sus velocidades deben de ser constantes. Segun la condicion del problema, la colision entre la persona (A) y el elemento estructuraJ "B" debe ser plastica.
En la figura la velocidad del astronauta "A" de 100 kg es (401+301) m/s. La velocidad del elemento estructural "8" de 200 kg es (-20 1+30 1) m/s. Cuando se aproximan uno al otro el astronauta se sujeta del elemento estructural y permanece junto a el. Determine la velocidad (en m/s) de su
* Vf=VCM
*
mA
=100 kg
CANTIDAD DE MOVIMIENTO . IMPULSO - CHOQUES
*
~€ti- 1-1P~
V A = (40 ;, 30) m / s (A)
* mB = 200 kg * VB = (-20; 30) m/s
v: v:'
~i:;::~~
(B)
sera la uelocidad con la cual lIeguen .:. a la estacion. :~:A) 6 im/s
im/s E) -12 im/s B) -6
:~:D) 12 im/s mAVA + mBVB = (mA + mB)Vf 30) = (100+ 2oo)VCM
100(40; 30)+200(-20;
C) -8
im/s
';' RESOWCION :i: Seglin la figura A:
...
_------
:~:
.:.
VCM =
.. (V
CM
(0,90)
3
= 30 j
= 90 j
:~:
3
~s]
.:.
Rpta.
:~:
*
VI = 4i m/s
Clave: D :~:
*
VCM
(3m)VCM Recuerde la teorfa, si se'conserua la cantidad de mouimiento; entonces en el choque plastico cumple :
(3)( -~x(4i)
2
=-'3x4i
-
= mV1 + mV2 + mV3 )=4i+
V2 + V3
V2+V3=-12i
... (1)
:~:Analizando el choque plastico entre .:. m2 iiiiiii __
••••• iioiiiio
ioiiiioi
-m
VI = 4i -. s
MS-
S••e•.m.,._C ••E••P••R••E••.•• U••N•.1 :~:
La figura A muestra tres esferas identicas en movimiento tal que la velocidad del cen-V 2-V m tro de masa es CM ='--3 I Y s -
y
:~: :~: .'. .:. .
2m. V' .•..•.....
v
Un instante posterior m3 cho- .:;
ca plasticamente
v
con m2 y el conjunto
:~:
(m2 y m3) se mueve con rapidez V' como .:. se muestra en la figura B. Halle la rapidez :~: V'. .:. .:.
Po =Pf mV2 + mV3 = 2mV' V'= V2+V3 2
,:
~
C·UZCA ••
.4!11.
----------------
De (I) :
\1,=(-121)
P:2- P:l = e (\:\ -
2
:. ( V' = -6 i
m/S]
\12 )
P:2- P:l = 1 x (\1 - 0) Rpta.
... (II) .:. Resolviendo de (I) y (II) :
Sem. CEPRE UNI :~: .:;
Una particula
A de masa 1 kg que tiene .:.
una velocidad de tal y elasticamente
(41- 31)
m/s choca fron- :~: con otra masa de 2 kg .:.
( P:l = -2V/3)
( P:2
= V/3 )
61)
m. :~: en reposo en la posicion r = (-81Determine la posicion de la primera partfcu- .;. la 3s despues del impacto. .:.
.:.
A)
161m
C) (-16 E)
1)
B) 161m m
D)
Notar que la partfcula luego de 10 colisi6n.
"1" retrocede
(-8I)m
(-161) m
RESOWCION Para hacer mas practica su resolucion analizemos la colision elastica entre dos partfculas de masas "m" y 2m.
V1=V
~@
V2=O
j
.:. .:. .:.
.:.
.:. HaciendC> una analogfa con 10 resuelto an.:. teriormente, diremos que la masa ml, lue:~:go de la colision invierte la direccion de su .:. velocidad .
.:. Po =Pf
.:. Esta velocidad de retroceso sera : .:.
m V = mp:l + 2mP:2 (~i+2jlm/sl P:l=3~
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO - CHOQUES
La posicion inicial en ese instante por dato .:. II) Si: .:es: .:. rj = (-8i m .:.
61)
-:-
La posicion final tres segundos despues del .:. impacto sera : :~:
Tf
= Tj +)Il t
Tf=(-8 ;-6)+( -~ ; 2}3 Tf = (-8 ; -
6):- (-8 ; 6)
Tf =(-16,
O)m
.. (Tf = -16
i:J
PROBLEMA 137!
.:. Resolviendo de (1) y (II) :
.:.
~~\
/12=-
Rpta.
Clave: A :~:Para el caso del problema : esbozando el .:. grafico del movimiento de las partfculas y a Sem. CEPREUNI :~:partir de los resultados anteriores.
Una partfcula de 1 kg que se mueve con :~: una velocidad (4i + 41) m / s choca frontal :~: e inelasticamente (e=6,5), con otra partf- .:. cula de 2 kg de masa en reposo en el origen de coordenadas. Hallese el desplazamiento (en m) de la partfcula de 2 kg, 6s despues del impacto. . A) 12(i+l) B) 6(i+l) C) 2(i+l) D) 24
(i + 1)
E) 8
(i + 1)
. Antes
-4.... . -".'
';' :;: .:. :~:.... :~: ~
:~:
,,:T"
~
~ 2
VI
V.=0
..~@
@-
__
ill
~
il:z
-@-..
..~'V~
.....,..
1
.ft~\~o.
RESOLUCION :~: .:. De modo identico. al problema anterior y de- ~ terminemos sus velocidades luego de la co- .:. Diremos : lision. :~: _
2
Si:
VI
=(41+41)
_ V (41+41) /12=_1 =--2
2
)I2 = (21 + 21)
L
.:. EI desplazamiento de la partfcula de 2 kg :~:luego de 6 segundos de la colision sera : .:. d="2,t .:. t"
:~: -:.
:~:
d = (2i + 21)·6
.. d=12(i+j)m
Rpta. Clave: A
II-
~a!a
c.u~c
MI~SCELANEA. Un cuerpo de masa "m" choca con rapidez V contra un cuerpo de ·masa "M" en reposo, el valor de la fuerza que surge durante la interacci6n de los cuerpos, crece I1nealmente durante el tiempo "t" desde cero hasta un valor Fo' disminuyendo despues linealmente hasta hacerse nul a en ese mismo tiempo "t" . Determinese las rapideces de los cuerpos despues de la interacci6n considerando que el choque fue central.
';' '.' .:. :~: ..::-. .:. :~: .:. ';' :;: .:. :~:Calculo de las velocidades
finales:
.:.
A) Fot/MFot/m
.:. a) Si analizamos al cuerpo 2, diremos : .:-
B) Fot/M
V+Fot/m
C) V + Fot/M
:~: .:.
; V -Fot/m
Dt Fot/M
V -Fot/m
E) Fot/M
-Fot/m
.:.
.:.
ffsicamente el fen6meno
de la :~: .:. .:.
V ----.. (1)
l
.:.
Pf=Po +
~€)
+
.:.
RESOLUCION Esbozando colisi6n.
Pf=I12
~ =??
III
1!2 ~ =?? ....';'
00. ~~ ~Q :~:
+m1J.1=+mV
121
+(_ ;2t) Fo
~y.':'.o .. (2)
(1)
(2)
.:.
·~V
.. ~
Fat
Rpta. (II)
Seglin el problema durante la colisi6n. Clave: D
(F12 = F21 = F) .. _.~
... ~
:~: PROBLEMA. 139
Sem. CEPRE UNI
.:. Una pelota fue liberada en el punta A; La fuerza impulsiva "F" varia seglin la grafi- ';' '.' colisiona con el piso y la fuerza impulsiva ca. ~
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO - CHOQUES
varia segun el grafico cidjunto. Si la pelota es de 1 kg. LCuantC'len~rgia disminuy6 producto de la colisi6n. (Considerar la fuerza impulsiva mucho mayor que la gravitacional _ yg=lOm/s2).
Ai T 1
.;. :~: ';', :~:
e
=
Fax t __ 2_/_ Fax 3t 2
:~:
F(kN) Por propiedad
i
: instantes antes y des-
pues de la colisi6n, cumple :
2m
A) 20 J
B) 40 J
D) 80J
E) 100 J
C) 60J
RESOWCI0N Empecemos analizando el grafico F vs 1. .:.
o
I: Impulso
1.
.;. Para saber cuanto vari6 laenergia cinetica ::: antes y desp,ues de lacolisi6n es necesario .;. calcular dichas rapideces.
.;. Ccilculo de Vt .:.
e : Coeficiente de restituci6n
I(Fuerzas en el p~~OdO) de recuperaClon.
e=-------I(Fuerzas en el penOdO) de deformaci6n.
(EMA =EMB] 1 .
mgh=2mV1
2
·-Im
__cuifu..
AI1i!!I
. 1
fK = (0,02 t)mg
212
M: =-mV1 --mV2 2 2 M: = ~x .. (AE
fK=(O,02t)(8xlO)
1x( 180-1:°)
= 80J)
fK=1,6t~
Rpta. Cl
ave:
::: La fuerza de rozamiento va incrementandose ::: en forma lineal a medida que transcurre el D';' tiempo. .;.
.
.;. Hacienda.. una grafica
.:. Sem. CEPRE UNI .;•
f
t :
VB
.:.
Un bloque de 8 kg es lanzado con Vo = 10 m/s sobre una superficie horizontal cuyo coeficiente de friccion es Ilk = 0,02t; donde "t" esta expresado en segundos. GQue potencia desarrolla la fuerza de friccion para detener el bloque?
(g = 10 m/s2) A) lOW
B) 20 W
D) -40W
E) -20 W
':' :;: ::: .;. ::: .;. ~:
C) 40 W
.:.
..;..;:.. Por teoria
RESOWCION SegUn la condicion del problema :
:
Area = PI -Po -(1,6 t)(t) = 0 _ mV
2
0
1,6xt2 Si hacemos el D.C.L. aI bloque durante su ::: movimif'ntO, notamos : .;:..
.
nr.tl
.. ~-
=8x10
2
t:dOs~
CANTIDAD
La paten cia desarrollada friccion se calcula asf :
par la fuerza de .:. A) .:. .;. D) .:.
wk
pf:
DE MOVIMIENTO
- IMPUlSO
J3 V
B)
J3 V/4
2V1J3
E)
V/J3
C)
- CHOQUES
J3 V/2
.:. RESOWCION
t
:~:Analizando instantes antes y despues de la Pero la friccion hizo que el cuerpo cambie :~:colision elastica. su energfa cinetica, entonces : 1*paa pI :
wk : L\E .9<:;- E K :
t
i
pI:
-
E
Ko:
t
111 ~
Ko il11Sen30" 30° . - --------JP
t
1 --mV
2
1J1cosO
2 0
' t
-l.x8x 102
pl:_2
_
10
.:. Par principia de la conservadon :~:dad de movimiento,
pi =-40W
de la canti-
•.:. ;;::C;;;;;;la;;;:v;;;;:e;;;;;;:;;;;:D:;;;
.:.
.:.
~
C,;;,E;;,;P;,,;R,;,;;E;;.;UN;;,;,;,;I .:. n d .:. rO emos
m mV = mill + -Ilz : de
2
d d e mOVl. no t ar que Ia can t'd 1 a Una partlcula de masa "rn" que se mueve :~:rniento (inidal) solo tiene cornponente horicon rapidez V, choca ehisticamente con otra .:. zontal; es decir al final las cantidades de partfcula en reposa, cuya masa es rn/2, y es :~:rnovimiento vertical deben anularse : '-..:;;;;;o::;,;::;==.~,;.:.,_....;;;;S;;;em;;;;,;.,'
-
despedida par ella formando un cingula de ':' '.' 300 can la direcci6n inicial de su -movimien- .:. to. iCon que rapidez empezara a moverse :~: Ja segunda partkula? ..::..
~~:~
ft';--
~()--Y-----.@ ¢> --------------------11--m
~
ml1", ~-'"
__
~ C·UZCANO
~ Am:II
Ademas cumple el principio de conservaci6n de la energia mecanica.
... (III)
Resolviendo de (Ij, (II) y (III) se obtiene :
.;. RESOLUCION :~:Segun la condici6n del problema, la bala .;. consigue incrustarse en el bloque, la mini.:. .;. ma velocidad para conseguir dar una vuel.;. ta, seria para el caso en que en el punto .:. .;. mas alto el conjunto se mueva s610por inercia .:. .;. (10 que equivale a decir que la tension en la ..;.:. cuerda sea nula) . .;. Analizando instantes antes y ?eSPUeS de la :~:colisi6n plastica entre m y M.
e = 30° ~l
= ~2
1
x-
2
Luego en (III) :
• ~+~ .:. Por conservaci6n de la cantidad de movi.:. .;. miento :
~l
4:'~
Que rapidez minima llevaba la bala, si lue- ';' v go de incrustarse en el bloque M; consigui6 .;. dar una vuelta alrededor del punto "0". :~: .:. .:. Por conservaci6n de la energia, analizando .;. el punto mas bajo y el mas alto. ~
--Y.-
~1
..
/,//'
----~EB>_----m
A) m JSgR V
B) (
m ) JSgR M+m N.R.
C) (M + m) JSgR m
M-m f0=n E) M+m v3gR
Dj (M+m) J3gR m
......
--~-------->~
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO • CHOQUES
.;. "V" sera la minima velocidad y reempla.;. zando L por R, obtenemos : .:.
~l~ (v=~x~J J..l2=J..li + 4gR 1_
c
•••
(II)
Ah
d' ,. . ora ana I· lcemos por mamlca Clrcunferencial la rapidez en el punto mas alto. .
:::PROBLEMA 143]
Rpta.
Sem. CEPRE UNI
.;. Un bloque de masa "m", colisiona en for.;. , . . , . .;. ma elastica con otro bloque Identlco como .;. se muestra en la figura. Despreciando toda :: fricci6n calcule la maxima deformaci6n que :~:sufre el resorte .
-
•;.
V
.;.
o De la 2da Ley de Newton : :LFrad
=
:~:A) V,Jm/K .'. .;. C) V,J2K/m
mTa cp
T + mTg = mT ~ Para la condici6n
L
de minima
~1~E) velocidad
T=O. Luego : .....v": Y'Tg
,.,./
Ilf
Reemplazando
2V,Jm/K
.;. RESOWCION :~:Antes de analizar la deformaci6n producida :~:en el resorte, analicemos que ocurre instantes antes y despues de la colisi6n elastica.
.; . .:.
... (III)
en (II) :
D) V,J2m/K
.;.
= Y'T R
J..li=~
B) V~m/(2K)
.:. .:. .:. .:. .:. .:. .:. .:.
Antes
V
v=o
:~:Durante este breve intervalo de tiempo la .;. fuerza elastica es nula. Luego se deduce a :~:partir de la propiedad I(pag. 98); se conclu.;. ye: .JSgR
=
m
xV
.:.
(M+m)
lID
~
--
~
CUZCAN. ----------------~
Una vez que el bloque unido al resorte recibe la colisi6n, el resorte ira deformandose progresivamente, del mismo modo que el otro bloque atado al resorte ira aumentando su rapidez. la maxima deformaci6n ocurrira cuando ambos bloques (unidos por el resorte) tengan igual rapidez; esto porque luego de ese instante en que la velocidad relativa es nula; el bloque que inicialmente recibi6 el impacto ira disminuyendo su rapidez y el otro ira aumentando, por 10 que el resorte ahora ira descomprimiendose.
.:. PROBLEMA 144 .:. ::: Una bola fue lanzada con cierta rapidez .:. inicial Vo y realiza los movimientos ::: parab6licos que se indica, debido al co';' eficiente de restituci6n bola-piso (e). Eva:;: hie la distancia horizontal (d) desde que ';' fue lanzado hasta que deja de rebotar. :;: Desprecie fricci6n y g : aceleraci6n de la .:. gravedad. ::: .:. .:. .... -.... .'-.
-lv............
.:.
. .
~
.:. .$............., En el grafico :
:~: Despues
:~:
~
~
.:.
.:.
.'
'i
I
A
V2sene ) g(l-e)
"'(.
:~:E) g(l-e)
mV = (m + m)ll
:;:RESOWCION
I
V2sen2e D) g(l-e)
:;: Para la soluci6n de este problema recorde.:.
EMo = EMf 12121212 -mV =-mll 2 2"" Reemplazando mV2
+-mll 2
(I) =
2m(~
J
+-Kx 2
< ••
m"".
+ Kx~ax.
Resolvienclo : .. [-: xm-. ax-=-V
t
m;-2i<-j
.
V2sen2e B) g(l+e)
Po =Pf
II= V / 2 ~ ... (I)
:
"
d
:;:. eV2sen2e .:. C) g(l-e) de la cantidad de movi- .':' :~: V2sen2e
Por conservaci6n miento :
.
Rpro Clave: B':'
.:.
2V
2(V sen e)
g
g
= __ v = ----
(d = (V cos e)
(Tiempo
t)
de
vuelo)
(Alcanze horizontal)
·> Los intervalos de tiempo s!'!calculan :
:~ {.
2V t1 -= - sen9 g
2e t2 =-Vsen9
0_
g
.> .:. En (I) : .:.
*
[2Vsene (2Vsena} (2vsene}2 + ...] -+ --
Si no e'xiste rozamiento es faeil concluir . que la componente horIZontal de la velocidad no cambia.
-;' '.' d=Vcose --+ .:. 9 :;~
La componente vertical de la veiocidad inicial de elevaei6n se modifica debido a que existe el coeficiente de restitueion, cada vez que la bola colisiona con el pisoo
.:. d = ---cas 2V sen9 ~. 9 + e + e 2 + e 3 +... )J- ... (II) ~: g ,, x . -:. .:. La suma limite se evalua : .:.
\
*
2e2 , t3 -Vsen9 = g
•
Es decir: (desco'Tlponiendo sus velocidades,
;.:
al inicio).
.:.
2
9
9
[rJ
x = 1 + e (1 + e + e2 + ...) = 1 + e (X)
.:. .:.
X=l+e(X)
.:.
x=_J._ 1
l-e
d
= 2V sen9cos9 = V sen29 2
g (1d2 = V cos 9
x t2
d3 =Vcos9
x t3
e)
g (1-
e)
.:.
Luego: d
2
= d1 + d2 + d3 + ...
d = V cos9(t1 + t2 + t3 + ... )
.:. .PROBLEMA
145
Sem. CEPRE UNI
:~:Un muchacho de 75 kg y una chica de ';' 60 kg permanecen de pie sin moverse '.' .:. en los extremos de una tabla de 16 m :~:de longitud y 25 kg de masa, que se -;' encuentra en reposo sobre una superfieie '.' .:. horizontal. Si intercatnbian posiciones A
pasa a B y B pasa a la 'posici6n original de A, que distanda (en m) se mueve la tabla. A) 1,5 B) 11,6 C) 1,8
.::~: -:.:.
D) 2,2
-:.:. Desarrollando
E) 0,8
:
15L 15xJ6
x=--=--160
IM~t~~il II Siel muehaeho y la ehiea empiezan a eaminar en direeciones opuestas, entonees debido a la fried6n entre los pies y el tabl6n; tambien el tabl6n se movera. Como la masa del muehaeho es mayor que la de la ehica entonees el tabl6n se habra desplazado
m]
=
:~: Rpta. .. ( x 1,5 -;---:-:- Il\Ietoaojn I -:::: AI no existir fuerzas externas en la h9rizon-:- tal, la eantidad de movimiento se eonserva
en diree<:i6n opuesta al movi- ::: en esa direeei6n.
miento del muehaeho.
160
:::
Luego:
Po = P f
::: O=IT\(VI-VT)+Inz(VrVT)+IT\VT+InzVT+MJT .:.
:~: O=IT\(V1-VT)+Inz(V2-VT)+(IT\ I--x--+---el------r--XI
e2-----~
-:.:.
'----y-'
~
+ffi.z+ffi.3)VT ...(a)
Veloddad relativa del muehaeho respecto del tabl6n.
Como no hay fuerzas externas en la hori- ::: zontal; en el /sistema la eantidad de movi- ::: ** Veloddad relativa de la ehica respeeto del tabl6n. miento en esa direeei6n se eonserva. -:-
Respecto del tabl6n, el muehaeho y la ehi-:.:. _:_ea en total avanzaron una longitud 'T.'. Po =Pf O=m1V1 +m2V2 +MVT
J
En la figura se eono-een los desplazamien- -;. ( L (L tos; y tomando velocidades medias; obte-- :~: 0 = 75 +t' + 60 -t'
J
-
+ (75 + 60 + 25)f
CANTIDAD
DE MOVIMIENTO
- IMPULSO
- CHOQUES
':' ..• En la vertical (MVCL)
_----
15L 15x16 X=--=--160 160 :. ( x:;:;:
1,5 m
];
:~:EI tiempo de vuelo se ca1cula : V t = 2· ~sen15° g
Rpta. Clave: A :~:En la horizontal
MRU)
.:. Sem. CEPRE UNI .:.
Se dispara una pequena esfera de jebe de :~: 2 kg con un angulo de elevaci6n de 15° .:. experimentando un a1cance de 500 m, si luego del impacto con tierra rebota con una velocidad cuyo m6dulo es de 100 m/s forman do un angulo de 15° con la horizontal. Determine el m6dulo de la variaci6n de la cantidad de movimiento en el punto P (en kg· mls). g = 10 m/s2
A) 100(J6
--./2)
C) 200(2-vf3)
B) 200~ J6 D) 100(2+./3)
E) 200(~2-./3)
......... ~? .
V2
':' RId I '.' eemp azan 0 va ores, : .:. V; 1 :~: 500=-·:~: 10 2 .:. ':' Analizando en "P" '.' .:. w:.
-./2 Como puede notarse el choque es elastico . ..:. :. ·:·La variaci6n en la cantidad de movimiento ';' se ca1cula as! : '.'
RESOLUCION
V2-
d = ~ . 2sen15° cos 15° = ~ . sen300 g g
.-puifu..
~---.Gm!I
I~VI2 = 10(i + 1002 + 2x 100 x 100x cos150°
:~: * EI bloque "!\' tiene una energfa :
.:.
I~vl= 100~2 -../3
,
1
2
EKA = "2mAIlA
1
I~pl= 2 x 100~2 -../3 .. (l~pl= 200( ~2 - 13))
IlA = 2·m/s ~ Rpta.
*
:1:
Clave: E·:·
.:.
PROBLEMA 147
EI bloque "B" tiene una energfa : , 1 2' EKB = "2mBIlB
.:. .:.
27
4
Sem.CEPRE UNI :~:
Dos bloqties de igual masa se desplazan :~: sobre una mesa horizontal lisa, el blo- .:. , que A de 1,5 kg tiene 48J de energfa y el bloque B se mueve hacia A con una rapidez de 3 m/s. Si despues de impactar frontal mente la energfa de los bloques A y B es 3J y 2: J , respectivamente; coeficiente de restitucion. A),l/11 B) 1/9 D) 1/5
C) 1/2
E) 1/3
RESOLUCION
~
:~:Esbozando
. VA =8 m/sl. ,
IlB = 3 m/s ~ el grafteo
:
--
----
~A=2nVs
:~:VA ~S
Halle el :~:
2
,Despulls del choq~e
~
~B=3nVs
:~:* .:.
Una posibilidad de choque frontal es el indicado .
.:.
Luego el coeficiente de restitucion sera :
.:. .:. .:.
e
Si el bloque ''/\' antes del impacto tiene 48J :~: de energfa, entonces : .:.
1 2 48=-x1,5xVA 2 -
1
= "2x 1,5 x IlB
.:. :~:
.:.
1 2 EKA =-mAVA 2
2
3 = "2 x 1,5 x IlA
.:. .:.
.:. .:. .:. .:. .:. .:.
.:. .:. .:. .:. .:. .:.
~-
*
= I iIB -
e=
VA 5
-
-
iIA 1= 13 (-2)1 VB 8 - (-3)
l1l
Otra posibilidad de realizado el choque frontal serfa : Despues"
Antes
-- --- -8nVs
3nVs
~A=2nVs
----
~B=3nVs
CANTIDAD DE MOVIMIENTO . IMPULSO . CHOQUES
e
p
=
10: =~:I= 18~(:3)1
t= 111)
..:.
Clave: A _:_
=~I
~~ ... (1) La bala de masa, me y velocidad Ve, se :~: incrusta en un bloque de mas a 4me que -:esta unido a un resorte ingravido de cons- -:- b) Luego del choque plastico la energfa metante elastica K, este bloque esta sujeto a:;: canica del sistema se conserva. un coche de masa 7me. Despn~ciando todo -:-. '.., ,., rozamiento, halle la maxima deformaci6n :;: Analtzando desde la sltuaclOn lnICIaIen que "x" (en m) del resorte, considere me = 30'g, -:. el conjunto bloque-bala inicia su movimien:~:to hasta que el sistema : bloque - bala K = 35 N/m y Ve = 20 mls . .:. coche tengan igual velocidad.
A) 1/5
B) 1/4
D) 1/2
E) 1
.:.
.:. Tambien la cantidad de movimiento se con:~:serva : Cuando la bala se incrusta en el bloque .:. el conjunto tiene cantidad de movimien- -:.:. to, la que hara que el resorte se deforme; .:. esta a su vez provocara movimiento en el -;-.' coche. ~ Vf sl!:. .:. = 12 La maxima deformaci6n ocurrira cuando el .:conjunto bloque-bala y el coche tengan igual :~:De (I) : velocidad. .:V RESOLUCION
a) Por conservaci6n
de la cantidad de mo- :;: vimiento; instantes antes y despues de .:. la colisi6n plastica. :~:Reemplazando
Vf
=
1~
l
(I) y (III) en (II) :
~
...
II-
~
J:·1JZCANQ ----------------~
7x30xlO-3x202
=
35x2
60
'r::D :'LD'
Rpta.
.:-
.:. Consideremos que la fuerza actua paralelo .:. aL plano horizontal. Clave: A':'
.:. Sem. CEPRE UNI .:.
.:.
Sobre un bloque actua una fuerza F(en N) .:. EI impulso resultante, en la figura esta defivariable en el tiempo t (en s), segun ::~: nida por el area debajo la grafica.
F=
j
t-4 6 f
Si 0~t<10 silO~t<12 si 12 ~ t
Si luego de 12s la fuerza disminuye linealmente hasta anularse y, considerando que el impulso resultante es 40 N-s; determine el valor de f (en N) cuando t=17,0 s. A) ION B) 6N C) IN 0) 9N E) 5N
40=Cf
-~+2}6_ 4;4
.:. :~: tf = 18 .:. Resolviendo: ':' '.' EI valor de~"fn en t= 17 sera: .:. F(N) : .: .:..
Reconstruimos la grafica F vs t, notamos :~: que entre t=O y t= 10 la grafica correspon- :~: de a una recta cuyas coordenadas seran: .:. .:.
Si : t = 0 => F=O - 4 =-4 Si:
t=10
=> F=10-4=6
Como los demas tram os son de fuerzas cons- .:. tantes, esta sera : :~:
6 6
1
.. (f = IN )j
Rpta. Clave: C
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO - CHOQUES
PROBLEMA
150
Ex. de Admision UNI ::: Por conservacion
La masa um" de un pendulo simple choca eiasticamente con el bloque de masa 3m, en reposo sobre la superficie Iisa mostrada y ubicada en el punta mas abajo de la trayectoria del pendulo. 5i soltamos la masa um" desde una altura H respecto de la superfi-
::: nlca : .:.
de ta energra meca-
EMA = EMB
::
Ep9A = EKB 1 z mgH = "2 mVI
::: .~ ::
cie horizontal, (.que porcentaje de la energia .:. mecanica inicial del pendulo se transfiere al :::
f0.::U
VI
=" 2gH ~
... (a)
b!oque en la colisi6n y hasta que altura He- ::: Analizamos ahora instantes antes y despues ga el pendulo despues de la colisi6n? de la colisi6n elastica . ..:. :. .~ .:.
Despues
~: *
Asumimos que despues de la colisi6n las direcciones son las indicadas
.:.
Durante
.Antes
.:.
A) 50%; H/2
B) 75% ; H/4
C) 66%; H/3
D) 75%; H/2
.:. Por conservacion .:..:. vimiento
de ta cantidad de mo-
:
Po =Pf
E) 25%; H/4
.;. mV1 + 0 = mlll + 3mllz RESOWCION .:. Analizamos el movimiento de la esferita ';' Asociando un signa a los vectores velocidesde que es soltado hasta instantes antes :~ dad, resultara : .
de colisionar con el bloque.
:;:
m (-VI) = m (~1)+ 3m (-Ilz)
.:. Como la colisi6n es elastica cum pie :
.:.
~
,~
PUZCANQ ----------------~
II-
Resolviendo de (I) y (II) :
1 -mill 2
III = VI /21_ 112 = VI!
%x(i
21.
.:. Reemplazando La energia transferida al bloque se cal- .:. cula asi : - La esferita tiene una energfa cinetica:
EK -
0
4
m
vt'
:~: .:.
2
J
= mgh =gh
de "a" :
-21x [J22gh )2 = gh
.:.
:
R",olviendo,
[h ~ ~ ]
El bloque luego de la colisi6n tiene una ::: .:.
E
,1
=-(3m)1l2 K 2
2
(1 E'K = 75%
vf
1 =-x3mx-=2 4
"2 mVf
3(1 2) ':' PROBLEMA 151 -mVl -.4 2 . -:- La figura muestra dos partfculas antes de .:.
)
.:- que se produzca el choque entre ellas. Si ::: ~l es la velocidad de la partkula de masa
,-,:::--_--, --,--::-:::-:::---:---:__ --;---... :- mI' Oespues del imp acto, indique la verSe concluye que ef 75% de fa energfa I ::: dad falsedad (F) de las siguientes proposique llevaba fa esfera, fue transferida af ciones : bfoque. ::: (e : coeficiente de restitlu;ion)
J':-
°
.:.
.
Para calcular la altura a que subira la esfe- .:rita procedemos en el trayecto BA :::
.
.:
.:_ I) Si e= 1 y ml
!2
reposo
m2~
liso
* m2 => III = V
::: II) Si e = 0 => III = 0
.
.:
.:_ III) Si ml = m2 y 0 < e < 1 => III = V
-. . >.. : T .... A h
--
~Q-""":"":"~: ~1
~
.:.
-:- A) VVV
B) WF
.:- C) VFV
0) VFF
.:.
.:- E) FFF -:-RESOWCION .:. ::: Analizando las situaciones antes y despues -:- de la colisi6n :
.;I Caso .:. -Y-
.E!-
v=o
~fl ~ Por conservacion miento :
11111(F)
~~
.:.
III
=(,m -e,mJ'V=(~)V l' 2,m
2
de la cantidad de movi- -::~:
Po =Pf ... (I)
mlV=mllll+m21l2
Del dato del coeficiente de restitucion :
JK)
li2-iiI = e(Vl-
.:.
-:- PROBLEMA 152 Resolviendo de (I) y (II) am1logo alas pro;- :~:Un bloque Bl con masa igual a 1,0 kg Y piedades dadas en las colisiones : :~:velocidad de 8,0 mis, colisiona con un blo[ que identico B2, inicialmente en reposo. / "I = ml -e·m2 V •... -:- Despues de la colision ambos quedan peJ + -:ml m2 :~:gados y suben la rampa hasta comprimir el Analizando los casas particulares : .:. resorte M en 0,10 m, seg(ln muestra la figu.:. _:_ra. Despreciando los efectos por rozamienICasoW (F) -:- to y considerando g = 10 mls2, h=0,50 m, .:. Si: e=l /\ ml:F m2 -;e = 300. <'Cuill es el valor de la constante .:. _:_del resorte en N/m? III = (.ml - m2 Jv ml + m2
l
Como se puede notar solo cumple que : III
=V
si:
m2
Si e=O entonces : 11 - ( 1
Si:
III
:.
-l ml + m2 =0
ml
=>
ml
=0
Jv = 0 I.
Resulta absurdo.
-:.:. A) 1 000
B) 1 100
.:- D) 1300
E) 2400
.:. -;- RESOWCION
C) 1 200
.:. .:. Analizando descle antes de la coIision has.~ ta la situacion final en que ambos quedan .:. -:- adheridos.
~
MJ!!JIII!IlI
.....- C,UZCANCl ----------------~ Por conservaci6n miento.
de la cantidad de movi- .:. Resolviendo: .'. .;.
(K l:~~~/mJ =
Rpta. Clave: C
-~; Para la situacion del problema hemos supuesto que "h" es la altura a que se eleva el CM. del sistema, cosa que no es cierto. EI problema presenta esta ambiguedad porque solo dan las dimensiones de la longitud del bloque mas no :~: sus otras dimensiones.
Po =Pf 1 x 8 = (1 + 1) . J.! J.!:;=
4 m/sl
Considerando ambos bloques como uno s610 :~: de masa : M=2kg, y que inicialmente esta en la superficie horizontal, esta cuando sub a . por la rampa comprimira al resorte; consi. ., .. derando que conslgulo compnmlr al resorte como maximo en 0)0 m, entonces por con., , ',. servaclon de la energla mecamca.
::: ll'RoBaMA---YS3~-Sem. CEPRE UNI .:. Elf' tr· t f d .:. n a 19ura se mues a un SIS ema orma 0 .:.. d 'I d 2 k .'. por os parhcu as e masas m1 = g y : ' :;: m2 = 3 kdg'2 Sil(a50ve )ocid/adrelat~dvadedI I m s y consl eran 0 .:. respecto e es .:. -V 3-V d . I I'd d( .:. que CM= 2' etermme -.il ve OCI a en .:. m/s) del centro de masa (V CM) del siste-
J
.:. .:. ma .
.:. .:. A) 30 i
. B) 40 1
.:. D) 60 1
E) 701
.:. .:.
C) 50 1
.:. RESOWCION .:. :~:Par la condidon del problema ~(M)(V)2
1 '2x2x4
= (M)gxh+~ 2'
·Kx2
1
=2xl0x(0,5)+'2.K.(0,1)
-1
V2 =50 2
~ I
.:.
\11-\12=5011-
.:. b)
VGM=3V2
:~:
:
CANTIDAD
Pero:
VCM= m1V1 +m2V2 m1 +m2
DE MOVIMIENTO
- IMPULSO - CHOQUES
.:.
... (a)
.:. Mientras el bloque desciende por el plano, :~:las fuerzas de interaccion haran que el pla.:. no avance a la derecha y el bloquecito a la .:.:. izquierda.
3V = 2xV1 +3V2 (2+3) 2 15V2 = 2V1 + 3V2 12V2 =2V1 VI =6V2
l-
De (I) y (II), resolviendo : _
V2
VI
A
= 10 i = 60 i
:~: ~F.ib'il::g
La velocidad del centro de masas del siste- .:. ..:. ma se calcula segtin (a) 0
V
.:.
_
2 x 60i + 3 x lOi eM 2+3 .;. Notar que cuando el bloque llega al punto '..
l! que
Clave: A :~:inferior tiene una velocidad
es la ve-
Sem. CEPRE UNI ::: locidad relativa del bloquecito respecto del
En la figura se muestra un plano inc1inado de masa "M"y un bloque de masa "m", Si no existe rozamiento entre las superficies en contacto. Determine el modulo de la velocidad del centro de
.:. plano. .:. La velocidad resultante en el bJoquecito es ::: la suma vectorial : .:. :~ :;: * 112= 11: Velocidad relatiua de 1 respecto de 2,
masa de! sistema, cuando "m" lIegue al extremo inferior del plano, si el bloque parte del reposo en el punta lOA".
.~ .:. ..::•.
I
..:.
....
"
,'a
..:.
o
.:. a) :~: .:. .:. .:. ~eccion
Si tomamos como sistema bloquecitoplano inclinado, notamos que no actUan fuerzas extern as en la horizontal; por tanto la ~antidad de movimiento en esa dise conserva.
0
~
--
M'J!W!III
J:UZCAK. ----------------~
Asociando un signa a dad, se obtiene :
105
vectores veloci- :~: .:. .:.
a = M~2 + m( -(~coso:
- ~2)) ... (I)
(m~cosa=(M+m)~2)
-:.
b) Por conservacion de la energia en el sis- .:. tema bloque-plano
J 2
mgh=-m~l
ii1Clinado.
2
1
+-M~2
2
2
:~:Para calcular la velocidad -:-masas, razonamos· : .:.
del centro de
.:. En el sistema no actUan fuerzas externas ho:~:rizontales; por tanto la velocidad de su cen.:. tro de masas en esa direccion no se modifi.:. .:. ca . .:. Luego la velocidad de su centro de masas .:. .:. solamente 10 evaluaremos en la vertical. .:. Para la 'situation final. .:.
-------Iv
2mgh = (M + m)~~ + m~2 - 2m~ ~2 cosa
1= m~ena+ CM (M+m)
a
v. _
msena
2(M+m)gh
CM -
(M +m)
(M +msen2a)
.:.
.:.
2gh (M+rn)(M+rnsen2a) Rpta.
