FACULTAD DE INGENIERÍA E.A.P.INGENIERIA DE SISTEMAS E INFORMATICA DOCENTE
: Antenor Mariños
TEMA
: Campo Magnético
INTEGRANTES: ASMAT VELAZQUEZ DESIRE BLAS REYES EMERSON CARMONA CHAVEZ EVELYN IZAGUIRRE GALLOSO ALMENDRA FLORES SOLIS EDWIN COTRINA ALVITRES RICHARD LLONTOP HENRY LLUEN CHIRINOS VICTOR MIÑANO ROSAS KRISS MIÑANO VALVERDE YOMIRA ZARATE ALBERT
CICLO
:
III
NUEVO CHIMBOTE Julio-2013
CONTENIDOS Parte I
I.
II.
III. IV.
V. VI. VII. VIII.
FUERZA MAGNÉTICA SOBRE UNA CARGA EN MOVIMIENTO. FUERZA SOBRE UN CONDUCTOR CON CORRIENTE
LEY DE AMPERE , LEY DE BEST-SOVERT FUERZA ENTRE CONDUCTORES PARALELOS
EL SOLENOIDE EJEMPLOS APLICATIVOS Parte II INDUCCION ELECTROMAGNETISMO Parte III CIRCUITOS RC-RL-RLC
PARTE I
CAMPO MAGNÉTICO: Definición de Campo y fuerzas magnéticas Una carga eléctrica está rodeada por un campo eléctrico. Además de contener un campo eléctrico, el espacio que rodea a cualquier carga eléctrica en movimiento, también contiene un campo magnético. También cualquier sustancia magnética que forma parte de un imán permanente está rodeada de un campo magnético. Históricamente el símbolo ⃗ ha sido utilizado para representar el campo magnético. La dirección del campo magnético ⃗ en cualquier sitio es la dirección a la cual apunta la aguja de una brújula colocada en dicha posición. Igual que en el caso del campo eléctrico, es posible representar el campo magnético gráficamente utilizando líneas de campo magnético. La figura siguiente muestra cómo pueden trazarse las líneas del campo magnético de un imán de barra con ayuda de una brújula. Observe que las líneas de campo magnético en el exterior del imán apuntan alejándose del polo norte y hacia el polo sur.
I.
FUERZA MAGNETICA SOBRE UNA CARGA EN MOVIMIENTO
Propiedades de la fuerza magnética sobre una carga que se mueve en un campo magnético Es posible definir un campo magnético ⃗ en algún punto en el espacio en función de la fuerza magnética ⃗⃗⃗⃗ que ejerce el campo sobre una partícula con carga que se mueve con una velocidad, ⃗⃗⃗ misma que se identifica como el objeto de prueba. Por ahora, suponga que no existen ni campo eléctrico ni campo gravitacional en la ubicación del objeto de prueba. Los experimentos efectuados en diferentes partículas con carga que se mueven en un campo magnético, dan los siguientes resultados: • La magnitud de la fuerza magnética ejercida sobre la partícula es proporcional a la carga y a la rapidez de dicha partícula. • Cuando una partícula con carga se mueve paralela al vector de campo magnético, la fuerza magnética que actúa sobre ella es igual a cero. • Cuando el vector de velocidad de la partícula forma un ángulo con el campo magnético, la fuerza ⃗ ⃗⃗⃗⃗ magnética actúa en dirección perpendicular tanto a como a ; es perpendicular al plano formado por y ⃗ .
• La fuerza magnética ejercida dirección opuesta a la dirección de la una carga negativa que se mueva en la
sobre una carga positiva tiene fuerza magnética ejercida sobre misma dirección.
• La magnitud de la fuerza magnética que se ejerce sobre una partícula en movimiento es proporcional a donde es el ángulo que el vector de velocidad de la partícula forma con la dirección de ⃗
,
Expresión vectorial de la fuerza magnética que se ejerce sobre una partícula con carga en movimiento en un campo magnético La fuerza magnética se describe como: ⃗⃗⃗⃗
⃗
Que por definición del producto vectorial es perpendicular tanto a como a ⃗ . Esta ecuación es una definición operacional del campo magnético en algún punto en el espacio. Esto es, el campo magnético está definido en función de la fuerza que actúa sobre una partícula con carga en movimiento. ⃗ y la dirección de ⃗⃗⃗⃗ Existen dos reglas de la mano derecha para determinar la dirección del producto cruz . Esto consiste en Dirigir los cuatro dedos de su mano derecha a lo largo de la dirección de , manteniendo la palma de la mano de cara a ⃗ , y cerrar los dedos hacia ⃗ . El pulgar extendido, que forma un ángulo recto con ⃗ . los dedos, apunta en la dirección de ⃗ queda en la dirección del pulgar si q es positiva y en la dirección opuesta si , es Ya que ⃗⃗⃗⃗ negativa. La otra regla muestra una regla alterna. En este caso el pulgar apunta en la dirección de y los dedos extendidos en la dirección de ⃗ Ahora la fuerza que se ejerce sobre una carga positiva se extiende hacia afuera desde la palma de la mano. La ventaja ⃗⃗⃗⃗ de esta regla es que la fuerza sobre la carga está en la dirección en que se debería empujar con la mano, es decir, hacia afuera de la palma. La fuerza ejercida sobre una carga negativa está en la dirección opuesta. Utilice libremente cualquiera de estas dos reglas.
Magnitud de la fuerza magnética ejercida sobre una partícula con carga que se mueve en un campo magnético La magnitud de la fuerza magnética sobre una partícula cargada es:
⃗ . Por esta expresión puede que Donde es el ángulo menor entre sea igual a cero cuando es paralela o antiparalela a ⃗ ( o 180°) y es máxima cuando es perpendicular a⃗ ( ). Existen varias diferencias de importancia entre las fuerzas eléctrica y magnética: El vector fuerza eléctrica actúa a lo largo de la dirección del campo eléctrico, en tanto que el vector fuerza magnética actúa perpendicularmente al campo magnético. La fuerza eléctrica actúa sobre una partícula con carga sin importar si ésta se encuentra en movimiento, en tanto que la fuerza magnética actúa sobre una partícula con carga sólo cuando está en movimiento. La fuerza eléctrica efectúa trabajo al desplazar una partícula con carga, en tanto que la fuerza magnética asociada con un campo magnético estable no efectúa trabajo cuando se desplaza una partícula, debido a que la fuerza es perpendicular al desplazamiento. Con base en este último enunciado y también con el teorema trabajo-energía cinética, se concluye que la energía cinética de una partícula con carga que se mueve a través de un campo magnético no puede ser modificada por el campo magnético solo.
I.
Fuerza magnética sobre un conductor con corriente
Una corriente eléctrica es un conjunto de cargas en movimiento. Conocida ya la fuerza que el campo B ejerce sobre una única carga, calculamos ahora la fuerza sobre un conductor por el que circula una corriente. Fuerza sobre un conductor rectilíneo Imaginemos un conductor rectilíneo de sección A por el que circula una corriente eléctrica I. La fuerza a la que se ve sometido cuando se encuentra en un campo B uniforme será la suma de la fuerza sobre todas las cargas. Si n es el número de cargas q por unidad de volumen, y vd la velocidad de desplazamiento de las mismas, el número de cargas en un elemento de volumen de longitud l es:
Por lo que la fuerza total se calculará multiplicando el número de cargas por la fuerza ejercida sobre cada una de ellas:
Definimos el vector l como un vector de módulo la longitud del conductor y dirección y sentido el que indica la intensidad de corriente. Recordando la expresión de la intensidad I podemos escribir la fuerza como:
Por las propiedades del producto vectorial se deduce que: Cuando el campo B es paralelo al conductor, la fuerza magnética ejercida sobre el conductor es nula. . Fuerza sobre un conductor de forma arbitraria Si el conductor tiene sección constante pero una forma arbitraria y el campo no es uniforme, la fuerza se calcula mediante la integral, tomando un elemento diferencial de corriente según el sentido de la intensidad:
Aunque el conductor no sea rectilíneo, si el campo B es uniforme la expresión anterior se simplifica ya que se puede sacar B fuera de la integral. Entonces, según se aprecia en el dibujo, la fuerza total que B ejerce sobre el conductor de longitud lno rectilíneo es la misma que ejercería en caso de que el conductor fuera rectilíneo y uniera los puntos inicial (a) y final (b) del conductor (l´).
1. Un alambre doblado en un semicírculo de radio R forma un circuito cerrado y transporta una corriente I. El alambre yace en el plano xy y un campo magnético uniforme se dirige a lo largo del eje y positivo, como en la figura. Encuentre la magnitud y dirección de la fuerza magnética que actúa sobre la porción recta del alambre y sobre la porción curva.
Note que ∫
es perpendicular a ⃗ en todas partes en la porción recta del alambre. Use la ecuación ⃗⃗⃗⃗ ⃗ para encontrar la fuerza sobre esta porción: ⃗⃗⃗
⃗
∫
̂
∫
̂
Para hallar la fuerza magnética sobre la parte curva, primero escriba una expresión para la fuerza magnética sobre el elemento en la figura ⃗⃗⃗ ⃗ ̂ 1) A partir de la geometría en la figura, escriba una expresión para
⃗⃗⃗
:
2) Sustituya la ecuación (2) en la ecuación (1) e integre través del ángulo ⃗⃗⃗
̂
∫ (
II.
̂
∫ )̂
desde 0 a .
(
)̂
] ̂
[ ̂
Ley de Ampere
La ley de Ampére tiene una analogía con el teorema de Gauss aplicado al campo eléctrico. De la misma forma que el teorema de Gauss es útil para el cálculo del campo eléctrico creado por determinadas distribuciones de carga, la ley de Ampére también es útil para el cálculo de campos magnéticos creados por determinadas distribuciones de corriente. La ley de Ampére dice: "La circulación de un campo magnético a lo largo de una línea cerrada es igual al producto de intensidad neta que atraviesa el área limitada por la trayectoria". Que podemos expresar tal y como se muestra en la Ecuación 1.
por la
Tenemos que tener en cuenta que esto se cumple siempre y cuando las corrientes sean continuas, es decir, que no comiencen o terminen en algún punto finito. APLICACIONES DE LA LEY DE AMPERE APLICADA A UNA CORRIENTE RECILINEA Para calcular el valor del campo B en un punto P a una distancia r de un conductor Figura 2 seguiremos los siguientes pasos.
Figura 2 Primero escogeremos una línea cerrada que pase por P, dicha línea ha de ser tal que el cálculo de la circulación sea sencillo. En este caso se ha escogido una circunferencia de radio r con centro en el conductor, por lo cual todos los puntos del contorno están a la misma distancia que el punto P del conductor, y el valor de B toma el mismo valor en dicho contorno coincidiendo su dirección con el de dl. Una vez escogida la línea calculamos la circulación del campo a lo largo de la línea escogida (Ecuación 2).
(2) Si ahora aplicamos la ley de Ampére (Ecuación 1). e igualamos tenemos:
(3) Si se escogiese una circunferencia de radio r y una una línea cerrada cualquiera, el resultado sería el mismo pero los cálculos se complicarían innecesariamente.
Aplicada a un toroide Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radio r , cuyo centro está en el eje del toroide, y situada en su plano meridiano. De esta forma el campo magnético B es tangente a la circunferencia de radio r y tiene el mismo módulo en todos los puntos de dicha circunferencia. Aplicaremos la ley de Ampére y calcularemos la intensidad para los siguientes valores de r: • Fuera del núcleo con r < ri • En el interior del núcleo ri < r < re • Fuera del núcleo con r > re Fuera del núcleo con r < ri
Figura 5 Como se puede observar en este caso la intensidad que atraviesa la circunferencia de radio r es cero por lo tanto aplicando Ampere:
(7) En el interior del núcleo ri < r < re
Figura 6 Cada espira del toroide atraviesa una vez el camino cerrado (la circunferencia de color rojo de la figura siguiente) la intensidad será N·I, siendo N el número de espiras e I la intensidad que circula por cada espira, con lo cual:
(8)
Fuera del núcleo: r > re
Figura 7 Cada espira del toroide atraviesa dos veces el camino cerrado (circunferencia roja de la figura) transportando intensidades de sentidos opuestos. La intensidad neta es N·I-N·I = 0, y B = 0 en todos los puntos del camino cerrado. Por lo tanto:
(9) De los cálculos anteriores se deduce que el campo magnético generado por un toroide queda confinado en el interior del mismo.
III.
Ley de Best –Sovert La ley de Biot-Savart, relaciona los campos magnéticos con las corrientes que los crean. De una manera similar a como la ley de Coulomb relaciona los campos eléctricos con las cargas puntuales que las crean. La obtención del campo magnético resultante de una distribución de corrientes, implica un producto vectorial, y cuando la distancia desde la corriente al punto del campo está variando continuamente, se convierte inherentemente en un problema de cálculo diferencial.
En 1820 el físico Jean Biot dedujo una ecuación que permite calcular el campo magnético B creado por un circuito de formas cualesquiera recorrido por una corriente de intensidad i. IV. B es el vector campo magnético existente en un punto P del espacio, ut es un vector unitario cuya dirección es tangente al circuito y que nos indica el sentido de la corriente en la posición donde se encuentra el elemento dl. ur es un vector unitario que señala la posición del punto P respecto del elemento de corriente, m0/4pi = 10-7 en el Sistema Internacional de Unidades. Campo magnético producido por una corriente rectilínea Utilizamos la ley de Biot para calcular el campo magnético B producido por un conductor rectilíneo indefinido por el que circula una corriente de intensidad i. El campo magnético B producido por el hilo rectilíneo en el punto P tiene una dirección que es perpendicular al plano formado por la corriente rectilínea y el punto P, y sentido el que resulta de la aplicación de la regla del sacacorchos al producto vectorial utx ur Para calcular el módulo de dicho campo es necesario realizar una integración.
La dirección del campo magnético se dibuja perpendicular al plano determinado por la corriente rectilínea y el punto, y el sentido se determina por la regla del sacacorchos Contribución de un Elemento de Corriente al Campo Magnético
Cada elemento de corriente infinitesimal, realiza una contribución al campo magnético en el punto P que es perpendicular al elemento de corriente, y perpendicular al radio-vector que va desde el elemento de corriente al punto P del campo.
Aplicaciones de la Ley Biot-Savart En el gráfico siguiente se ilustran algunos ejemplos de geometrías, donde se puede usar convenientemente la ley de Biot-Savart, para el cálculo del campo magnético resultante de una distribución de corriente eléctrica.
A
B Campo Magnético en el Eje del Bucle de Corriente La aplicación de la ley de Biot-Savart sobre la línea central de un bucle de corriente, implica la integración de la componente z.
La simetría es tal que, todos los términos en esta ecuación son constantes, excepto el elemento de distancia dL, que cuando se integra, da exactamente la circunferencia del círculo. Entonces, el campo magnético es
Campo en el Centro de un Bucle de Corriente La forma del campo magnético de un elemento de corriente en la ley
de Biot-Savart viene a ser
que en este caso se simplifica bastante porque el ángulo = 90 ° para todos los puntos a lo largo del trayecto, y la distancia al punto del campo es constante. La integral viene a ser
IV. Fuerza entre conductores paralelos: Anteriormente vimos que cuando un alambre de longitud L por el cual circula una corriente I se encuentra en un campo magnético sufre la acción de una fuerza F = I L× B .
Si tenemos dos alambres rectos paralelos por los cuales circulan corrientes 1 I e 2 I respectivamente como se muestra en la figura, separados una distancia d .
Debido a la corriente i a la distancia d se forma un campo magnético Produciendo sobre el alambre por el que circula una 1).
fuerza
(dirigida hacia el alambre
Reemplazando el valor de B1
De igual modo encontramos el valor de F1.
(Dirigida hacia el Si las corrientes son repulsión.
alambre 2) Por supuesto se cumple el principio de acción y reacción. en sentidos opuestos la fuerza entre los alambres es de
Ya que la corriente en un conductor genera su propio campo magnético, es fácil entender que dos conductores que transportan una corriente ejercen fuerzas magnéticas entre sí. Estas fuerzas se utilizan como base para definir el ampere y el coulomb. Imagine dos alambres largos, rectos, paralelos, separados por una distancia a y que llevan corrientes I1 e I2 en la misma dirección, como se muestra en la fi gura 30.8. Es posible
Figura 30.8
Dos alambres paralelos que transportan cada uno una corriente estable y ejercen una fuerza magnética uno sobre el otro. El campo B2 debido a la corriente en el alambre 2 ejerce una fuerza magnética sobre el alambre 1. La fuerza es de atracción si las corrientes son paralelas (como se muestra) y de repulsión si las corrientes son antiparalelas. Determinar la fuerza ejercida sobre un alambre debido al campo magnético desplegado por el otro alambre. El alambre 2, que lleva una corriente I2 y se identifica arbitrariamente como alambre fuente, crea un campo
magnético B2 en la ubicación del alambre 1, el alambre de prueba. La dirección de B2 es perpendicular al alambre 1, como se muestra en la figura 30.8. De acuerdo con la ecuación 29.10, la fuerza magnética en un tramo de longitud L del alambre 1 es En vista de que en este caso L es perpendicular a B2, la magnitud de F1 es F1L1B2. Ya que la magnitud de B2 está dada por la ecuación 30.5,
La dirección de F1 es hacia el alambre 2, debido a que L x B2 va en esa dirección. Si se calcula el campo establecido por el alambre 1 sobre el alambre 2, se encontrará que la fuerza F2 que actúa sobre el alambre 2 es de igual magnitud y de dirección opuesta a F1. Esto es lo que se esperaba, ya que la tercera ley de Newton debe cumplirse. Cuando las corrientes se encuentran en direcciones opuestas (esto es, cuando en la fi gura 30.8 se invierte una de las corrientes), las fuerzas se invierten y los alambres se repelen. En consecuencia, conductores paralelos que llevan corrientes en una misma dirección se atraen, y conductores paralelos que llevan corrientes en direcciones opuestas se repelen. Debido a que es igual la magnitud de las fuerzas en ambos alambres, simplemente se señala la magnitud de la fuerza magnética entre alambres como FB. Puede volver a escribir esta magnitud en función de la fuerza por unidad de longitud:
La fuerza entre dos alambres paralelos es utilizada para definir el ampere de esta manera: Cuando 2 x N/m es la magnitud de la fuerza por unidad de longitud presente entre dos alambres largos y paralelos que llevan corrientes idénticas y están separados 1 m, se define la corriente en cada alambre como 1 A. El valor 2 x N/m se obtiene a partir de la ecuación 30.12 con I1 = I2 =1 A y a =1 m. Puesto que esta definición se basa en una fuerza, puede utilizarse una medición mecánica para estandarizar al ampere. Por ejemplo, el National Institute of Standards and Technology utiliza un instrumento llamado balanza de corriente para mediciones básicas de corriente. Los resultados son utilizados para estandarizar otros instrumentos más convencionales, como los amperímetros. La unidad del SI de carga, el coulomb, se define en función del ampere: cuando un conductor lleva una corriente estable de 1 A, la cantidad de carga que fluye a través de la sección transversal del conductor durante 1 s es 1 C. En la deducción de las ecuaciones 30.11 y 30.12, se supone que ambos alambres son largos, en comparación con la distancia que los separa. De hecho, sólo un alambre necesita ser largo. Las ecuaciones describen con precisión las fuerzas que un alambre largo y un alambre recto paralelo de longitud limitada L ejercen uno sobre el otro.
V.
El solenoide Un solenoide es cualquier dispositivo físico capaz de crear un campo magnético sumamente uniforme e intenso en su interior, y muy débil en el exterior. Un ejemplo teórico es el de una bobina de hilo conductor aislado y enrollado helicoidalmente, de longitud infinita. En ese caso ideal el campo magnético sería uniforme en su interior y, como consecuencia, fuera sería nulo. En la práctica, una aproximación real a un solenoide es un alambre aislado, de longitud finita, enrollado en forma de hélice (bobina) o un número de espirales con un paso acorde a las necesidades, por el que circula una corriente eléctrica. Cuando esto sucede, se genera un campo magnético dentro de la bobina tanto más uniforme cuanto más larga sea la bobina. La bobina con un núcleo apropiado, se convierte en un electroimán. Se utiliza en gran medida para generar un campo magnético uniforme. Se puede calcular el módulo del campo magnético en el tercio medio del solenoide según la ecuación: Donde:
permeabilidad magnética. m: N: número de espiras del solenoide. i: corriente que circula. L: longitud total del solenoide.
Mientras que el campo magnético en los extremos de este puede aproximarse como: Un solenoide es definido como una bobina de forma cilíndrica que cuenta con un hilo de material conductor enrollada sobre si a fin de que, con el paso de la corriente eléctrica, se genere un intenso campo eléctrico. Cuando este campo magnético aparece comienza a operar como un imán. La función principal de un solenoide es activar una válvula que lleva su mismo nombre, la válvula solenoide. Esta válvula opera de acuerdo a los pulsos eléctricos de su apertura y de su cierre. Por lo general, este tipo de dispositivo se puede programar según ciertos horarios y dentro de sus usos más comunes se encuentran los sistemas de regulación hidráulica y neumática. Dentro de este último campo, es frecuente utilizarlo para permitir el flujo o realizar la detención de corrientes de alto amperaje en los motores de arranque. Debido a su funcionamiento, es posible encontrar solenoides en varias partes de un motor, no sólo en el motor de arranque. Para hacer que uno de estos dispositivos cumpla sus funciones, es necesario aplica corriente positiva a uno de sus terminales. Se aplican cargas positivas y no negativas ya que esta última está aplicada en el momento en que se instala, en la tierra. En el único caso en que este principio no es aplicable, es para los motores de arranque. Estos motores son controlados por un interruptor, o switch, que impide que el vehículo comience a movilizarse a menos que éste se encuentre en neutro o en parking. Este interruptor está ubicado en la transmisión del vehículo y está conectado eléctricamente a fin de que se mueva junto al movimiento de la palanca de cambios. Es importante mencionar que existen varios tipos de solenoide, por lo que es lógico que su instalación y conexión también varíe. No obstante, ya se trate de un solenoide u otro, y se le den usos diferentes, todos ellos operan bajo el mismo principio explicado con anterioridad. - TIPOS DE SOLENOIDES: Un solenoide es algo muy sencillo, una espiral de alambre conductor, por la cual circula corriente eléctrica, lo que genera un campo magnético (tenemos con esto un electroimán, con múltiples aplicaciones). En cuanto a lo que te interesa, tienes diversas presentaciones dependiendo de la aplicación que te interese (más que tipos de solenoides te diría que son aplicaciones del mismo). Los más comunes son: - El solenoide rotario, montado en un eje dentro de un sistema fijo de imanes; al pasar corriente por el solenoide, se genera un campo magnético que interactúa con aquel ya presente creado por los imanes, haciendo girar al solenoide. Por ejemplo es lo que usan los discos duros de tu computadora en estos momentos (siempre y cuando no sean de memoria flash, en cuyo caso no hay piezas móviles). - Solenoide electromecánico, montado sobre una armadura de acero o hierro, de tal manera que este puede desplazarse del centro alterando su inductancia y de esta manera sus propiedades electromagnéticas, lo que es útil para controlar los mecanismos en impresoras de matriz de punto, e inyectores de combustible. - Válvulas neumáticas solenoides, en donde el solenoide sirve de actuador, montado sobre un núcleo móvil que canaliza aire a diferentes canales; es el equivalente pneumático de un transistor. - El solenoide de partida en un automóvil, que se encuentra sobre el motor de partida, responsable de hacer el contacto que lleva la corriente entregada por la batería para que el motor de partida pueda encender el motor del automóvil. Existen dos categorías principales de solenoides: Solenoides giratorios: Proporcionan una carrera rotacional que se mide en grados. Algunos son unidireccionales y otros son bidireccionales. La mayor parte tienen un retorno a resorte para devolver la armadura (parte móvil) a la posición inicial. Los solenoides giratorios con frecuencia se usan cuando el tamaño paquete es de la mayor importancia y el trabajo que desempeñan se distribuye de manera más eficaz en toda su carrera. Los solenoides giratorios tienen un fuerza/par de arranque mayor que la de los solenoides lineales. Son más resistentes al impacto. Los solenoides
giratorios también ofrecen vida útil más larga (en número de actuaciones) que los solenoides lineales. Una de las aplicaciones más comunes que ayuda a ilustrar la función de un solenoide giratorio es abrir y cerrar un obturador láser. Los solenoides giratorios tienen aplicaciones en máquinas herramientas, rayos láser, procesamiento fotográfico, almacenamiento de medios, aparatos médicos, clasificadores, cierres de puertas contra incendios, y máquinas postales, etc.
Solenoides lineales: Proporcionan una carrera lineal normalmente menor de una pulgada en cualquier dirección. Al igual que los giratorios, algunos solenoides lineales son unidireccionales y algunos son bidireccionales. Los solenoides lineales normalmente se clasifican como de tirar (la ruta electromagnética tira de un émbolo hacia el cuerpo del solenoide) o de tipo de empujar en el cual el émbolo / eje se empuja hacia afuera de la caja. Muchos tienen un retorno a resorte para devolver el émbolo o émbolo y eje a la posición inicial. Los solenoides lineales son dispositivos menos complejos y son significativamente menos costosos que los productos giratorios. También ofrecen menos ciclos de vida útil y a veces tienden a ser más grandes. Los solenoides lineales tienen aplicaciones en electrodomésticos, máquinas vendedoras, seguros de puerta, cambiadores de monedas, disyuntores de circuito, bombas, aparatos médicos, transmisiones automotrices y máquinas postales, por nombrar sólo unas cuantas.
VI.
EJEMPLOS APLICATIVOS
1. FUERZA MAGNETICA SOBRE UNA CARGA EN MOVIMIENTO Electrón que se mueve en un campo magnético Un electrón en un cinescopio de una televisión se mueve hacia el frente del cinescopio con una rapidez de 8.0 x 106 m/s a lo largo del eje x (figura 29.5). Rodeando el cuello del tubo hay bobinas de alambre que crean un campo magnético de 0.025 T de magnitud, dirigidos en un ángulo de 60° con el eje x y se encuentran en el plano x y. Calcule la fuerza magnética sobre el electrón. SOLUCIÓN Conceptualizar Recuerde que la fuerza magnética sobre una partícula con carga es perpendicular al plano formado por los vectores velocidad y campo magnético. Use la regla de la mano derecha en la figura 29.4 para convencerse de que la dirección de la fuerza sobre el electrón es hacia abajo en la figura 29.5.
2. .FUERZA MAGNETICA SOBRE UN CONDUCTOR CON CORRIENTE Un alambre conduce una corriente estable de 2,40 A. una sección recta del alambre mide 0.750 m de largo y se encuentra a lo largo del eje x dentro de un campo magnético uniforme de la magnitud B=1,60 T en la dirección z positiva. Si la corriente está en la dirección +x, ¿Cuál es la fuerza magnética sobre la sección de alambre?
(
)(
)(
)
3. EJERCICIO CON LEY DE AMPERE, LEY DE BEST-SOVERT Una espira cuadrada de lado a, lleva una corriente I como en la figura 9.3. Encontrar el campo magnético en el centro de la espira.
Figura 1 De acuerdo como está circulando la corriente en la figura y la regla de la mano derecha, el campo magnético entra al plano del papel. Dirección que es en
de acuerdo al sistema de coordenadas de la figura.
El campo producido por uno de los alambres se halla usando la ecuación
. Se hace
, por lo que el campo es
4. FUERZA ENTRE CONDUCTORES PARALELOS Dos conductores rectos y paralelos están separados por 20 cm. Por ellos circulan sendas corrientes de 5 A y 4 A. Calcula la fuerza por unidad de longitud que actuará sobre cada conductor en los siguientes casos: a) Cuando ambas corrientes tienen el mismo sentido La expresión de la fuerza magnética entre ambos conductores es:
Esta fuerza será atractiva, pues ambas corrientes tienen el mismo sentido. b) Cuando ambas corrientes tienen sentido contrario La fuerza será la misma que el caso anterior
Con la diferencia que en este caso la fuerza será repulsiva, por tratarse de corrientes con distinto sentido. El alambre de la figura 5.6. forma un ángulo de 30° con respecto al campo B de 0.2. Si la longitud del alambre es 8 cm y la corriente que pasa por él es de 4A, determínese la magnitud y dirección de la fuerza resultante sobre el alambre. Figura Ejemplo:
Solución Al sustituir directamente en la ecuación se obtiene
La dirección de la fuerza es hacia arriba como se indica en la figura del ejemplo Si se invirtiera el sentido de la corriente, la fuerza actuaría hacia abajo.
5. Ejercicio con Solenoide: **Un solenoide de 30 cm de longitud consta de 1.000 espiras. Hallar el valor de campo magnético en el interior de la bobina, si la intensidad de corriente es de 2 A. El diámetro de la bobina se considera pequeño en comparación con su longitud. Una bobina o solenoide es una sucesión de espiras alineadas. Constituye un dispositivo excelente para generar campos magnéticos potentes y uniformes (en su interior). El campo, justamente en su interior, se calcula con la siguiente expresión: Solución:
B = 4π k' i n Donde n es el cociente entre el número de espiras, N, y la longitud de la bobina, L. En nuestro caso, en el que tenemos N = 1000 espiras y L = 0,3 m.
n = 1.000 / 0,3 m = 3.333 m-1 Por lo tanto: B = 4π 10-7TmA-1 . 2 A . 3.333 m-1 Valor de la constante de Biot-Savart: k'=10-7Tm/A
B = 8,38 x 10-3 T
Un campo más de cien veces más potente que el campo magnético terrestre metido en un dispositivo pequeñito. Si en el interior se coloca una pieza cilíndrica ferromagnética (un núcleo) el campo puede crecer todavía otras cien veces más. Tal dispositivo (bobina más núcleo) se denomina electroimán.
Parte II
INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
I.
DEFINICIÓN.
II. LEY DE FARADAY III. LEY DE LENZ. IV. INDUCCIÓN MUTUA. V.
AUTOINDUCCIÓN
VI. GENERADORES Y MOTORES.
LA INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
La inducción electromagnética es la producción de corrientes eléctricas por campos magnéticos variables con el tiempo. El descubrimiento por Faraday y Henry de este fenómeno introdujo una cierta simetría en el mundo del electromagnetismo. Maxwell consiguió reunir en una sola teoría los conocimientos básicos sobre la electricidad y el magnetismo. Su teoría electromagnética predijo, antes de ser observadas experimentalmente, la existencia de ondas electromagnéticas. Hertz comprobó su existencia e inició para la humanidad la era de las telecomunicaciones. El descubrimiento, debido a Oersted, de que una corriente eléctrica produce un campo magnético estimuló la imaginación de los físicos de la época y multiplicó el número de experimentos en busca de relaciones nuevas entre la electricidad y el magnetismo. En ese ambiente científico pronto surgiría la idea inversa de producir corrientes eléctricas mediante campos magnéticos. Algunos físicos famosos y otros menos conocidos estuvieron cerca de
demostrar experimentalmente que también la naturaleza apostaba por tan atractiva idea. Pero fue Faraday el primero en precisar en qué condiciones podía ser observado semejante fenómeno. A las corrientes eléctricas producidas mediante campos magnéticos Faraday las llamó corrientes inducidas. Desde entonces al fenómeno consistente en generar campos eléctricos a partir de campos magnéticos variables se denomina inducción
electromagnética. La inducción electromagnética constituye una pieza destacada en ese sistema de relaciones mutuas entre electricidad y magnetismo que se conoce con el nombre de electromagnetismo. Pero, además, se han desarrollado un sin número de aplicaciones prácticas de este fenómeno físico. El transformador que se emplea para conectar una calculadora a la red, la dinamo de una bicicleta o el alternador de una gran central hidroeléctrica son sólo algunos ejemplos que muestran la deuda que la sociedad actual tiene contraída con ese modesto encuadernador convertido, más tarde, en físico experimental que fue Michael Faraday. Cuando movemos un imán permanente por el interior de las espiras de una bobina solenoide (A), formada por espiras de alambre de cobre, se genera de inmediato una fuerza electromotriz (FEM), es decir, aparece una corriente eléctrica fluyendo por las espiras de la bobina, producida por la "inducción magnética" del imán en movimiento. Si al circuito de esa bobina (A) le conectamos una segunda bobina (B) a modo de carga eléctrica, la corriente al circular por esta otra bobina crea a su alrededor un "campo electromagnético", capaz de inducir, a su vez, corriente eléctrica en una tercera bobina.
Por ejemplo, si colocamos una tercera bobina solenoide (C) junto a la bobina (B), sin que exista entre ambas ningún tipo de conexión ni física, ni eléctrica y conectemos al circuito de esta última un galvanómetro (G), observaremos que cuando movemos el imán por el interior de (A), la aguja del galvanómetro se moverá indicando que por las espiras de (C), fluye corriente eléctrica provocada, en este caso, por la "inducción electromagnética" que produce la bobina (B). Es decir, que el "campo magnético" del imán en movimiento produce "inducción magnética" en el enrollado de la bobina (B), mientras que el "campo electromagnético" que crea la corriente eléctrica que fluye por el enrollado de esa segunda bobina produce "inducción electromagnética" en una tercera bobina.
Una carga eléctrica crea un campo eléctrico. Una carga eléctrica en movimiento cra además un campo magnético. Para expresar la existencia de dos campos, diremos que la corriente eléctrica crea un campo electromagnético. El electromagnetismo estudia las relaciones entre corrientes eléctricas y fenómenos magnéticos. La similitud que existe entre el comportamiento de los imanes y las cargas eléctricas sugiere la posibilidad de que exista una relación de los fenómenos eléctricos y magnéticos. En 1820 el físico y químico Hans Christian Oersted, consiguió demostrar la relación existente entre ellos, así que realizo una práctica. De esta experiencia llego a una conclusión evidente: un conductor por el que circula una corriente eléctrica crea un campo magnético. Oersted comprobó también que cuanto mas grande era la intensidad de corriente, mayor era la velocidad de desviación de la aguja imantada, y el conductor, para un valor de intensidad constante, mayor era la desviación experimentada por la aguja.
Flujo Magnético: Las corrientes eléctricas producen efectos magnéticos. Una corriente eléctrica
produce un
campo magnético Una pregunta que surge en forma natural es si es posible que algún fenómeno magnético produzca también un fenómeno eléctrico. Faraday (1831) descubrió que los efectos buscados aparecen como consecuencia de la variación temporal de los campos magnéticos. Antes de discutir los resultados de Faraday, definamos el concepto de flujo magnético.
Es el flujo magnético que atraviesa una superficie S. El flujo magnético tiene varias propiedades interesantes, El flujo a través de una superficie cerrada cualquiera es siempre cero. Debido a lo anterior, el flujo a través de una superficie S abierta no depende de su forma, sino sólo de la curva que lo limita. El hecho anterior puede hacerse explícito. Experimento de Faraday:
En el experimento de Faraday, al cerrar el interruptor en el circuito 'primario', se produce una corriente en el secundario. Al cabo de un tiempo, la corriente cesa. Si entonces se abre el interruptor, vuelve a aparecer corriente en el secundario, la cual nuevamente cesa al cabo de un tiempo breve. Es importante recalcar que los circuitos primario y secundario se hallan físicamente separados (no hay contacto eléctrico entre ellos). Los resultados del experimento de Faraday (y muchos otros) se pueden entender en términos de una nueva ley experimental, que se conoce como la ley de Faraday-Lenz: La variación temporal del flujo magnético enlazado por un circuito, induce en éste una 'fem'
Ley de Lenz: El sentido de la 'fem' inducida es tal que siempre tiende a oponerse a la variación del flujo magnético (lo cual explica el signo (-)). La variación temporal del flujo magnético enlazado por un circuito puede deberse a varias causas, entre las cuales se puede mencionar:
Variación temporal de, El circuito se mueve. El circuito se deforma. Por supuesto, una combinación de las causas anteriores también producirá variación del flujo. Observemos también que la Ley de Faraday es una ley experimental, que no puede deducirse,-en su forma general, de ningún otro hecho previamente conocido. Recordemos ahora que la 'fem' de un circuito C se define como, en que este campo eléctrico electrostático. Sentido de corrientes inducidas:
no es un campo
Aunque la ley de Faraday-Henry, a través de su signo negativo, establece una diferencia entre las corrientes inducidas por un aumento del flujo magnético y las que resultan de una disminución de dicha magnitud, no explica este fenómeno. Lenz (1904-1965), un físico alemán que investigó el electromagnetismo en Rusia al mismo
tiempo que Faraday y Henry, propuso la siguiente explicación del sentido de circulación de las corrientes inducidas que se conoce como ley de Lenz: Las corrientes que se inducen en un circuito se producen en un sentido tal que con sus efectos magnéticos tienden a oponerse a la causa que las originó. Así, cuando el polo norte de un imán se aproxima a una espira, la corriente inducida circulará en un sentido tal que la cara enfrentada al polo norte del imán sea también Norte, con lo que ejercerá una acción magnética repulsiva sobre el imán, la cual es preciso vencer para que se siga manteniendo el fenómeno de la inducción. Inversamente, si el polo norte del imán se aleja de la espira, la corriente inducida ha de ser tal que genere un polo Sur que se oponga a la separación de ambos. Sólo manteniendo el movimiento relativo entre espira e imán persistirán las corrientes inducidas, de modo que si se detiene el proceso de acercamiento o de separación cesarían aquéllas y, por tanto, la fuerza magnética entre el imán y la espira desaparecería. La ley de Lenz, que explica el sentido de las corrientes inducidas, puede ser a su vez explicada por un principio más general, el principio de la conservación de la energía. La producción de una corriente eléctrica requiere un consumo de energía y la acción de una fuerza desplazando su punto de aplicación supone la realización de un trabajo. En los fenómenos de inducción electromagnética es el trabajo realizado en contra de las fuerzas magnéticas que aparecen entre espira e imán el que suministra la energía necesaria para mantener la corriente inducida. Si no hay desplazamiento, el trabajo es nulo, no se transfiere energía al sistema y las corrientes inducidas no pueden aparecer. Análogamente, si éstas no se opusieran a la acción magnética del imán, no habría trabajo exterior, ni por tanto cesión de energía al sistema. Producción de una corriente alterna: La corriente alterna se caracteriza porque su sentido cambia alternativamente con el tiempo. Ello es debido a que el generador que la produce invierte periódicamente sus dos polos eléctricos, convirtiendo el positivo en negativo y viceversa, muchas veces por segundo. La ley de Faraday-Henry establece que se induce una fuerza electromotriz (f.e.m.) ð en un circuito eléctrico siempre que varíe el flujo magnético ð que lo atraviesa. Pero de acuerdo con la definición de flujo magnético (ecuación 12.1), éste puede variar porque varíe el área S limitada por el conductor, porque varíe la intensidad del campo magnético B o porque varíe la orientación entre ambos dada por el ángulo . En las primeras experiencias de Faraday las corrientes inducidas se conseguían variando el campo magnético B; no obstante, es posible provocar el fenómeno de la inducción sin desplazar el imán ni modificar la corriente que pasa por la bobina, haciendo girar ésta en torno a un eje dentro del campo magnético debido a un imán. En tal caso el flujo magnético varía porque varía el ángulo Utilizando el tipo de razonamiento de Faraday, podría decirse que la bobina al rotar corta las líneas de fuerza del campo magnético del imán y ello da lugar a la corriente inducida. En una bobina de una sola espira la fuerza electromotriz media que se induce durante un cuarto devuelta al girar la bobina desde la posición paralela = 90º) a la posición perpendicular ( = 0º) puede calcularse a partir de la ley de Faraday-Henry, en la forma:
Como el flujo ð inicial es cero (cos 90º = 0) y el final es B · S (cos 0º = 1), la variación ðð o diferencia entre ambos es igual al producto B · S. Considerando el instante inicial igual a cero, resulta ðt = t · 0 = t, siendo t el tiempo correspondiente al instante final después de un cuarto de vuelta. De este modo se obtiene el resultado anterior. Si se hace rotar la espira uniformemente, ese movimiento de rotación periódico da lugar a una variación también periódica del flujo magnético o, en otros términos, la cantidad de líneas de fuerza que es cortada por la espira en cada segundo toma valores iguales a intervalos iguales de tiempo. La f.e.m. inducida en la espira varía entonces periódicamente con la orientación y con el tiempo, pasando de ser positiva a ser negativa, y viceversa, de una forma alternativa. Se ha generado una f.e.m. alterna cuya representación gráfica, en función del tiempo, tiene la forma de una línea sinusoidal. Coeficiente de autoinducción e inducción mutua: La idea es que un circuito interactúa con sí mismo y con sus vecinos, como consecuencia directa de la ley de Faraday-Lenz. Los coeficientes de autoinducción e inducción mutua son una medida de esta interacción o 'acoplamiento' inductivo. Para definir los coeficientes, consideremos dos circuitos c1 y c2, por los cuales circulan corrientes I1 e I2, respectivamente -ver dibujoCoeficientes de autoinducción e inducción mutua.
Otras aplicaciones de electromagnetismo: Trenes de levitación magnética. Estos trenes no se mueven en contacto con los rieles, sino que van "flotando" a unos centímetros sobre ellos debido a una fuerza de repulsión electromagnética. Esta fuerza es producida por la corriente eléctrica que circula por unos electroimanes ubicados en la vía de un tren, y es capaz de soportar el peso del tren completo y elevarlo. Timbres. Al pulsar el interruptor de un timbre, una corriente eléctrica circula por un electroimán creado por un campo magnético que atrae a un pequeño martillo golpea una campanilla interrumpiendo el circuito, lo que hace que el campo magnético desaparezca y la barra vuelva a su posición. Este proceso se repite rápidamente y se produce el sonido característico del timbre. Motor eléctrico. Un motor eléctrico sirve para transformar electricidad en movimiento. Consta de dos partes básicas: un rotor y un estator. El rotor es la parte móvil y esta formado por varias bobinas. El estator es un imán fijo entre cuyos polos se ubica la bobina. Su funcionamiento se basa en que al pasar la corriente por las bobinas, ubicadas entre los polos del imán, se produce un movimiento de giro que se mantiene constante, mediante un conmutador, generándose una corriente alterna. Transformador. Es un dispositivo que permite aumentar o disminuir el voltaje de una corriente alterna. Esta formado por dos bobinas enrolladas en torno a un núcleo o marco de hierro. Por la bobina llamada primario circula la corriente cuyo voltaje se desea transformar, produciendo un campo magnético variable en el núcleo del hierro. Esto induce una corriente alterna en la otra bobina, llamada secundario, desde donde la corriente sale transformada. Si el numero de espiras del primario es menor que el del secundario, el voltaje de la corriente aumenta, mientras que, si es superior, el voltaje disminuye.
PARTE III Circuitos RC (Corriente Continua) Transitorios en los circuitos RC Los circuitos RC son los formados por elementos resistivos y capacitivos. En esta sección vamos a analizar el comportamiento de estos circuitos en corriente continua durante el período transitorio.
Carga del capacitor Cuando se conecta la alimentación en un circuito RC (y en otros tipos también) existe un período de tiempo durante el cual se producen variaciones en las corrientes y tensiones. A este período se lo llama régimen transitorio. Luego de un tiempo correspondiente a 5 constantes de tiempo, el circuito adquiere sus características definitivas, período conocido como régimen estable. La constante de tiempo en un circuito RC se calcula como: R C
Al cerrar el circuito, en un primer momento no hay cargas en las placas del capacitor. Las primeras cargas se ubican en las placas con facilidad por lo que la corriente es máxima (el capacitor funciona como un conductor). Por la misma razón no hay diferencia de potencial entre los bornes del capacitor (como no la hay en un conductor). A medida que van acumulándose más cargas, las mismas encuentran mayor dificultad debido a que son del mismo signo y se repelen. Por lo tanto la corriente cada vez es menor y aumenta la diferencia de potencial entre los bornes del capacitor. Llega un momento que el capacitor casi del todo cargado y no hay prácticamente corriente que circule a través del mismo, comportándose como un circuito abierto. Por lo tanto la tensión entre los bornes del capacitor es máxima.
Valores durante la carga en un circuito RC Valores de carga, tensión y corriente
Carga en el capacitor en función del tiempo:
Corriente en el circuito en función del tiempo:
Tensión sobre la resistencia en función del tiempo:
Tensión sobre el capacitor en función del tiempo:
Gráficos Carga en el capacitor
Tensión en el capacitor
Descarga del capacitor
Intensidad en el circuito
Cuando se conecta un capacitor cargado a una resistencia, este se descarga a través de la misma de una manera similar a la carga, es decir que tampoco se realiza de manera lineal. Al principio se descargará más rápido y luego con menor velocidad.
Valores durante la carga en un circuito RC
Carga en el capacitor en función del tiempo:
Corriente en función del tiempo:
Tensión sobre la resistencia en función del tiempo:
Tensión sobre el capacitor en función del tiempo:
Gráficos durante la descarga
Carga en el capacitor
Tensión en el capacitor
Intensidad en el capacitor
Circuitos RL (Corriente Continua)
Autoinducción En un circuito existe una corriente que produce un campo magnético ligado al propio circuito y que varía cuando lo hace la intensidad. Por tanto, cualquier circuito en el que exista una corriente variable producirá una fem inducida que denominaremos fuerza electromotriz autoinducida.
Supongamos un solenoide de N espiras, de longitud l y de sección S recorrido por una corriente de intensidad i. 1.- El campo magnético producido por la corriente que recorre el solenoide suponemos que es uniforme y paralelo a su eje, cuyo valor hemos obtenido aplicando la ley de Ampère.
2.-Este campo atraviesa las espiras el solenoide, el flujo de dicho campo a través de todas las espiras del solenoide se denomina flujo propio.
3.-Se denomina coeficiente de autoinducción L al cociente entre el flujo propio F y la intensidad i.
Del mismo modo que la capacidad, el coeficiente de autoinducción solamente depende de la geometría del circuito y de las propiedades magnéticas de la sustancia que se coloque en el interior del solenoide. La autoinducción de un solenoide de dimensiones dadas es mucho mayor si tiene un núcleo de hierro que si se encuentra en el vacío La unidad de medida de la autoinducción se llama henrio, abreviadamente H, en honor a Joseph Henry. Los submúltiplos del Henrio, son: 1 milihenrio: 1mH = 10-3 H 1 microhenrio: 1µH = 10-6 H
F.E.M. Autoinducida
Cuando la intensidad de la corriente i cambia con el tiempo, se induce una f.e.m. en el propio circuito que se opone a los cambios de flujo, es decir de intensidad. La fem Autoinducida VL siempre actúa en el sentido que se opone a la variación de corriente.
VL = - L (di / dt) o lo que es lo mismo: VL = - L (∆i / ∆t) Establecimiento de una corriente en un circuito Cuando se aplica una fem V0 a un circuito cerrando un interruptor, la corriente no alcanza instantáneamente el valor V0/R dado por la ley de Ohm, sino que tarda un cierto tiempo, teóricamente infinito, en la práctica, un intervalo de tiempo que depende de la resistencia. La razón de este comportamiento hay que buscarla en el papel jugado por la autoinducción L que genera una fem que se opone al incremento de corriente.
En la figura, se muestra un circuito formado por una batería, una resistencia y una autoinducción. Se conecta la batería y la intensidad i aumenta con el tiempo. Para formular la ecuación del circuito sustituimos la autoinducción por una fem equivalente. Medimos la diferencia de potencial entre los extremos de cada uno de los tres elementos que forman el circuito. Se cumplirá que:
Integrando, hallamos la expresión de i en función del tiempo con las condiciones iniciales t=0, i=0.
o lo que es lo mismo: i
= Vo / R (1 – e – ד/t )
Si R/L es grande, como sucede en la mayor parte de los casos prácticos, la intensidad de la corriente alcanza su valor máximo constante V0/R muy rápidamente.
Caída de la corriente en un circuito Si se ha establecido la corriente máxima en el circuito y desconectamos la batería, la corriente no alcanza el valor cero de forma instantánea, sino que tarda cierto tiempo en desaparecer del circuito. De nuevo, la razón de este comportamiento hay que buscarla en el papel jugado por la autoinducción L en la que se genera una fem que se opone a la disminución de corriente.
Para formular la ecuación del circuito sustituimos la autoinducción por una fem equivalente. Medimos la diferencia de potencial entre los extremos de cada uno de los dos elementos que forman el circuito. Se ha de tener en cuenta, que i disminuye con el tiempo por lo que su derivada di/dt<0 es negativa.
Vab+Vba=0
Integrando, hallamos la expresión de i en función del tiempo con las condiciones iniciales t=0, i=i0.
La corriente disminuye exponencialmente con el tiempo. En la mayor parte de los casos, R/L es grande, por lo que la corriente desaparece muy rápidamente. Energía del campo magnético Hemos visto que para mantener una corriente en un circuito es necesario suministrar energía. La energía suministrada por la batería en la unidad de tiempo es V0· i. Esta energía se disipa, en la resistencia por efecto Joule y se acumula en la autoinducción en forma de energía magnética. De la ecuación del circuito.
iR=V0+VL Multiplicando ambos miembros por la intensidad i.
El término R·i2 es la energía por unidad de tiempo disipada en la resistencia. El primer término V0·i es la energía suministrada por la batería. El último término, es la energía por unidad de tiempo que se necesita para establecer la corriente en la autoinducción o su campo magnético asociado.
Simplificando dt e integrando entre 0 e i, obtenemos:
Esta es la energía acumulada en forma de campo magnético, cuando circula por la bobina una corriente de intensidad i.
CIRCUITO RLC ¿En qué consiste un circuito RLC? Un circuito RLC se compone de los elementos pasivos: resistencia, bobina y condensador. R
C
Fuente de alimentación
L Figura 1: Circuito RLC. Las líneas que unen los distintos elementos se consideran ideales (sin resistividad, inductancia
ni capacidad). La resistencia representa la oposición al paso de corriente, la bobina el retardo en el cambio de intensidad y el condensador la acumulación de carga. Veremos el caso más sencillo, el circuito RLC en corriente continua, es decir, conectado a una fuente que proporciona al circuito una tensión constante en el tiempo. Antes de analizar la corriente que circula por él, veamos algunas características de estos elementos que nos ayudarán en la resolución.
- Resistencia: Todos los elementos del circuito que es oponen al paso de corriente y donde se disipa energía por efecto Joule y su valor depende de su geometría y de la resistividad ρ (ecuación 1).
l· s
(1)
V I ·R
(2)
R Donde
l es la longitud, s la sección.
V representa la caída de potencial en la resistencia debido al paso de corriente.
V V2 P V ·I V ·( ) R R
(3)
La ecuación (3) representa la potencia disipada en la resistencia en función de la caída de potencial en la misma. Observamos que su valor nunca podrá ser 0, ya que eso equivaldría a una potencia infinita.
- Bobina: Todos los elementos del circuito en los que se acumula y cede energía en forma de campo magnético. El potencial inducido en la bobina, por la Ley de Lenz, viene dado por la expresión:
V N
d dI L dt dt
Con N el número de vueltas de la bobina, Ф el flujo que la atraviesa y L la autoinductancia.Cualquier cambio en el flujo (o sea, en la intensidad) establecerá un voltaje que podrá retardar (que no evitar) el cambio en la intensidad.
(4)
P V ·I LI
dI d 1 LI 2 2 dt dt
(5)
La ecuación (5) representa la potencia absorbida o cedida por la bobina. Como podemos observar, este elemento no permite un cambio instantáneo (tiempo cero) finito en la intensidad, ya que si esto ocurriese tendríamos un potencial infinito y eso es imposible.
Condensador: Todos los elementos del circuito donde se almacena y cede energía en forma de campo eléctrico. Se produce una acumulación de cargas en sus placas dando lugar a una diferencia de potencial entre ellas. Se caracteriza (como los resistores por la resistencia R y la bobina por la autoinductancia L) por la capacidad C, la relación entre la carga acumulada y el potencial entre sus placas:
C
V
De (6) se deriva:
Q V
(6)
Idt
(7)
C
Donde Q es la carga acumulada en las placas y V el potencial entre ellas. La potencia de este elemento viene como:
P V ·I V ·C
dV d 1 CV 2 2 dt dt
(8)
Donde I se obtiene de la forma diferencial de C=dQ/dV y sabiendo que I=dQ/dt. De forma análoga a los casos anteriores se extrae que en este elemento no puede haber cambios instantáneos de voltaje, ya que eso llevaría como consecuencia un potencial infinito.
¿Cómo resolver un circuito RLC? A estos circuitos también se les llama circuitos de segundo orden, ya que la ecuación que resulta al aplicar las leyes de Kirchoff es una ecuación diferencial de segundo
orden. Supongamos un circuito como el de la figura 1 al que conectamos una batería que suministra un voltaje continuo Vb. La segunda Ley de Kirchoff dice lo siguiente: "La suma de voltajes en una malla cerrada es igual a cero."
Por lo tanto, aplicado a nuestro circuito obtenemos lo siguiente.
Vb VR VL VC 0
(8)
Sustituyendo ahora las ecuaciones (2), (4) y (7) en la (8) obtenemos:
Vb RI L
dI 1 Idt dt C
(9)
Que es una ecuación integro-diferencial. Para resolverla derivaremos consiguiendo la ecuación diferencial de segundo orden de la que hablábamos.
0L
d 2I dI 1 R I 2 dt C dt
(10)
El término dVb/dt ha desaparecido ya que como considerábamos que se trata de una fuente de voltaje constante, la derivada es nula. Para resolver esta ecuación diferencial homogénea de 2º orden procedemos calculando las raíces para obtener una solución del tipo:
I (t ) K1e s1t K 2 e s2t
(11)
Las raíces correspondientes a la ecuación (10) son:
s2
R 1 R s 0s L LC 2L
Si llamamos α=R/2L (constante de amortiguación),
soluciones nos quedarán:
0
R 2L 1 LC 2
1 LC
y sustituimos en (11) las
s1 2 0
2
s 2 2 0
2
(12.1)
(12.2)
Sólo queda saber qué valen las constantes K1 y K2. En el instante t=0, I=0, y eso nos lleva a que 0= K1+K2 es decir, que K2=-K1.
I (t ) K 1 (e s1t e s2t )
Ahora, dependiendo de las magnitudes de α y ωo la solución será de una manera u otra.
i) Si α > ωo: Las soluciones serán reales, distintas y de signo negativo. Sabemos que la caída de potencial en el circuito era como en la ecuación (8), que en el instante t=0 el condensador no permite un cambio brusco de voltaje (por lo que V c=0) y la bobina no permite un cambio brusco en la intensidad, y en la resistencia es cero (V=I·R). Por lo tanto el único elemento en el que hay caída de potencial es en la bobina. Con estas condiciones la ecuación (8) se simplifica en la (13).
Vb L
dI dt
LK 1 ( s1 s 2 ) t 0
Haciendo uso de la relación trigonométrica senhx
K1
Vb L( s1 s 2 )
e x ex la solución final se dice 2
sobreamortiguada, y queda como:
I (t )
Vb L o 2
e t senh( 2 0 t ) 2
2
(13)
I(t)
t
Figura 2: Representación de Intensidad frente al tiempo. En este caso es sobreamortiguada.
ii) Si α = ωo: Las soluciones serán reales, iguales y de signo negativo también. Para esta condición, las soluciones a la ecuación diferencial son:
I (t ) ( K1 K 2 t )e t Hallamos las constantes siguiendo el mismo razonamiento que en el apartado anterior. En t=0, -αt
I=0, por lo tanto eso nos lleva a que K1=0. La solución será I(t) = K2·t·e .
Vb L
dI dt
L K 2 e t K 2 te t t 0
t 0
LK 2
Y la solución en este caso se dice críticamente amortiguada:
I (t )
Vb ·t t e L
K2
Vb L
(14)
I(t)
t
Figura 3: Representación de la intensidad frente al tiempo. Ahora se dice críticamente amortiguada.
iii) Si α < ωo: Las soluciones serán imaginarias complementarias y por lo tanto las soluciones son de la forma:
2 2 I (t ) e t K1 sen( 2 0 t ) K 2 cos( 2 0 t )
Análogamente, para t=0, I=0, K2=0 y la expresión será
I (t ) K1e t sen( 2 o t ) . 2
Derivando ésta con el tiempo obtenemos:
Vb L
dI dt
t 0
2 2 2 L K 1e t sen ( 2 o ·t ) K 1e t · 2 o ·cos( 2 o ·t ) t 0
Vb LK1 2 o
2
K1
Vb L· 0 2
La solución en este caso se dice subamortiguada.
I (t )
Vb ·e t L 0 2
sen ( 2 0 ·t ) 2
2
2
(16)
I(t)
t
Figura 4: Representación de la Intensidad frente al tiempo. En este caso es subamortiguada.
En los tres casos observamos, como cabría esperar, un rápido aumento en la intensidad al conectar el circuito. En las dos primeras, en instantes posteriores al conectar el circuito, se ve una rápida caída en la intensidad tendiendo a cero, debido al coeficiente de amortiguamiento. Dependiendo de las relaciones entre R, L y C esa bajada será más rápida o menos. En el último caso apreciamos un cambio en el signo de la intensidad y también un atenuación a medida que pasa el tiempo. La relación entre los valores de R, L y C es tal que hay un desfase entre la intensidad que pasa por la bobina y la que pasa por el condensador, haciendo por lo tanto que la polaridad de ésta cambie.
Conclusión: En la investigación de este trabajo "electromagnetismo" me di cuenta que muchos aparatos eléctricos que incluso tenemos en la casa funcionan gracias a este fenómeno que ha sido tan estudiado por tantos años y que cada vez se presentan nuevos avances en la tecnología, en las comunicaciones gracias al electromagnetismo. En este trabajo me pude dar cuenta lo que significa el fenómeno de electromagnetismo, sus usos, su historia y los científicos que lo han estudiado por años. Se puede apreciar como dos fenómenos como la electricidad y el magnetismo se unen formando el centro de nuestra investigación, como un simple sonido del timbre de nuestra casa puede contener la ciencia estudiada, lo que significa que donde miremos la física va ha estar ahí con alguno de sus múltiples fenómenos. La vida en la tierra entorna a la física, esta es la que nos explica los diferentes fenómenos que suceden a nuestro alrededor. La autoinductancia es independiente del voltaje o la intensidad de corriente. Está determinada por la geometría de la bobina y las propiedades magnéticas del núcleo.
La inducción ocurre solamente cuando el conductor se mueve en ángulo recto con respecto a la dirección del campo magnético. Este movimiento es necesario para que se produzca la inducción, pero es un movimiento relativo entre el conductor y el campo magnético. De esta forma, un campo magnético en expansión y compresión puede crearse con una corriente a través de un cable o un electroimán. Dado que la corriente del electroimán aumenta y se reduce, su campo magnético se expande y se comprime (las líneas de fuerza se mueven hacia adelante y hacia atrás). El campo en movimiento puede inducir una corriente en un hilo fijo cercano. Para producir un flujo de corriente en cualquier circuito eléctrico es necesaria una fuente de fuerza electromotriz. Cuando se hace oscilar un conductor en un campo magnético, el flujo de corriente en el conductor cambia de sentido tantas veces como lo hace el movimiento físico del conductor.
