LOSAS
Son sistemas estructurales en la que una de sus dimensiones es mucho menor que sus otras dos y reciben cargas predominantemente en la dirección perpendicular a su plano. Las Las losa losass plana planass son las mas comune comuness en edifi edifici cios. os. Por Por la forma forma de trab trabaj ajoo de sus elementos, elementos, esto es, la forma en que llevan la carga a sus apoyos, podemos podemos clasificar clasificar las losas en: cáscaras cáscaras o membranas membranas y en losas planas. Las losas planas planas llevan la carga carga a sus apoyo apoyoss por por trab trabaj ajoo a flex flexió iónn y cort cortan ante te de sus sus elem element entos os const constit ituti utivo vos, s, en ella ellass es importante importante la rigidez rigidez a flexión que depende directam directamente ente de la altura de la losa. En las losas cáscaras la rigidez a flexión es pequeña debido a su poco espesor y el trabajo de ella se realiza por medio esfuerzos axiales de tracción y de compresión combinada o no con esfuerzas de flexión o corte. El presente curso se encargará del estudio de las losas planas en concreto reforzado. Las losas planas pueden estar apoyadas sobre vigas, muros de mampostería, muros de concret concreto, o, column columnas, as, elemen elementos tos de ace acero ro estruct estructural ural o apoyada apoyadass direct directame amente nte sobre sobre el terreno. De acuerdo con su tipo de apoyo se pueden dar los siguientes tipos de losas: 1. Losa Losa apoyada apoyada sobre sobre vigas vigas en dos dos de sus sus lados lados opuesto opuestos. s. 2. Losa Losa apoyada apoyada sobre sobre muros muros en dos dos lados lados opuest opuestos os 3. Losa Losa apoyada apoyada sobre sobre cuatro cuatro viga vigass en sus sus bordes bordes 4. Losa Losa apoyada apoyada sobre sobre cuatro cuatro muros muros en sus sus bordes bordes 5. Losa apoyada sobre columnas columnas directa directamente mente (placa plana) 6. Losa Losa reticul reticular ar apoyada apoyada sobre sobre columna columnass directam directament entee 7. Losa Losa apo apoya yada da sobr sobree el ter terren renoo Los tipos de losas 1 y 2 trabajan en una sola dirección transmitiendo la carga en la dirección dirección perpendicular perpendicular a los apoyos, los otros tipos de losa trabajan trasmitiendo trasmitiendo su carga en dos direcciones perpendiculares entre sí, siempre y cuando, la relación de luces sea menor que 2 (Ll/Lc<2) y en el caso de losas nervadas, se coloquen nervios en sus dos direcciones perpendiculares. (C.13.1.4 NSR-98). Por qué la relación de luces determina el sentido de trabajo de la losa? De acuerdo con su constitución se pueden clasificar en: 1. Losas osas maci maciza zass 2. Losa Losass alig aliger erad adas as 3. Losa Losass combi combina nada das: s: Stee Steell Deck Deck Las losas aligeradas son aquellas que forman vacíos en un patrón rectilíneo que aligera la carga muerta debido al peso propio. Estas losas son mas eficientes que las losas macizas ya que permiten tener espesores mayores sin aumentar el volumen volumen de concreto concreto con respecto respecto a una losa maciza. Podríamos decir que, ante una carga normal de vivienda o oficinas, las losas macizas son eficientes para luces pequeñas, las aligeradas en una dirección son económicas en luces intermedias, 3 a 6m, y las aligeradas en dos direcciones resultan ser mas económicas para luces grandes.
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Tipos de aligerantes: Ladrillo: puede ser combinando tipos de ladrillos según sus dimensiones. (el ladrillo sencillo de 10x20x40 pesa 70N y el ladrillo tolete de 20x15x40 pesa 100N). Porón: puede ser de fibra de vidrio o de icopor. Este aligerante no permanece en la losa una vez construida y por eso es recuperable y reutilizable. Madera: Se utiliza en casetones, cajones de madera que pueden quedar embebidos en la losa o pueden ser recuperables para reutilizar o no. Bloque de concreto Formaleta metálica removible Secciones típicas de losas según su aligerante: CARGAS DE DISEÑO DE LOSAS
Para el diseño se puede decir que las cargas actúan en forma uniformemente distribuida sobre la totalidad del panel, como una carga típica por m² de losa, la cual se utiliza para todos los paneles y en todos los pisos que contengan sección de losa típica. Si se presentaran cargas concentradas grandes estas requieren apoyos adicionales y deben ser consideradas por aparte de la carga distribuida. Para losas y cargas normales, las pequeñas cargas concentradas que se presenten, se distribuyen automáticamente en toda la losa por medio del refuerzo de repartición en caso de losas en una dirección y por el efecto de trabajo en dos direcciones en losas bidireccionales. Cargas de diseño (titulo B) W propio: se refiere al peso propio de la losa. Losa maciza: el peso propio se determina multiplicando el espesor por el peso especifico del concreto Losa aligerada: se encuentra el peso por m2 de todos los elementos constitutivos W loseta superior+Wnervios+Wcasetón o aligerante usado+Wtorta o loseta inferior en caso de tenerla. W acabados: se refiere al peso de las baldosas, morteros de nivelación, impermeabilzación o cualquier otro tipo de acabado que se le de al piso. (Capitulo B.3.6, NSR98) W divisiones o particiones: se refiere al peso de los muros, revoques o enchapes y cualquier otro elemento usado para división de espacios. (Capitulo B.3.4.2, NSR98) W viva: se refiere a la carga debido al uso de la edificación. (Capitulo B.4, NSR98) W otras: cualquier otra carga diferente a las anteriores. (Capitulo B.3.7, NSR98) LOSAS EN UNA DIRECCIÓN:
Pueden ser macizas o aligeradas. Recordando que la curva elástica es función de los momentos y los momentos a su vez son función de la carga, podemos concluir que la curvatura de una losa plantea la forma en que la carga se transmite a los apoyos, ya sea trabajando en una o dos direcciones. Si los apoyos de la losa constituyen muros o vigas en dos lados opuestos, la curva elástica será en el sentido perpendicular a estos apoyos y por ende la carga viaja en este sentido.
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Sentido en que viaja la carga
Curva elástica Haga el ensayo con una hoja de papel y verificará que la curvatura es en el sentido perpendicular a los apoyos, concluyendo que la losa transmite la totalidad de la carga en el sentido perpendicular de los apoyos. Si dividimos la losa en franjas de un metro de ancho en la misma dirección de los apoyos podemos verificar que la curva elástica de todas las franjas es igual, por lo tanto los momentos internos son iguales en todo el ancho de la losa e iguales al momento de diseño de esa franja de un metro de ancho. Este hecho permite simplificar el análisis y diseño ya que se puede diseñar una viga equivalente a una porción de losa de ancho igual a un metro y copiando este diseño en todo el ancho de la losa. La franja de diseño trabaja como una viga independiente con una carga w igual a 1mxW, una altura h igual al espesor de la losa y un ancho igual a 1m.. En el caso de tener losas aligeradas también se puede considerar una franja de un metro de ancho y después se hace la proporción de cuantos nervios caben en ese ancho, o considerar desde el principio el ancho aferente que le toca a cada nervio. Para simplificar el diseño y la construcción los casetones y porones se colocan aproximadamente a distancias de 1m. En el caso de ladrillos o bloques de concreto, la distancia entre nervios la da el ancho del aligerante. Distribución de losas en una dirección: La norma NSR-98 da unas pautas para la correcta distribución de nervios en losas aligeradas. Ver C.13.2.2 Losas con nervaduras o aligeradas. Cómo funciona una losa cuando una carga puntual actúa solo sobre un nervio? Está este nervio diseñado para recibir esa carga puntual?. DISEÑO: Cuando diseñamos un elemento debemos pensar en el cuando deja de ser útil ese elemento. Se puede decir que deja de ser útil cuando falle por resistencia, (se quiebre, se rompa, etc) o cuando se deforme demasiado, tanto que afecte sicológicamente a los usuarios y no les de la sensación de seguridad. Cuando la falla es por deflexiones excesivas se dice que falló para condiciones de servicio, aunque no presenta una rotura visual ya no se puede usar y cuando la falla es por fractura real del elemento se dice que es para condiciones de resistencia. 1. Las condiciones de servicio se controlan especificando una rigidez adecuada de losa. (a mayor espesor menores los desplazamientos). La norma fija una altura mínima de losa para no tener que verificar deflexiones. C.9.5.2. Tablas C.9.1(a) y C.9.1(b) Si colocamos espesores menores que los estipulados por la norma se deben calcular las deflexiones y controlarlas con las deflexiones máximas permitidas . C9.5.2.5. Tabla C.9-2. 2. Condiciones de resistencia: La falla se puede presentar por flexión y por cortante.
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Por flexión: Los momentos se presentan en el sentido perpendicular a los apoyos por lo tanto el refuerzo principal va en ese sentido. Se controla que el refuerzo nunca sobrepase del limite máximo de 0,75.ρ b. ρ b
= 0,85 , β 1.
f ' c
ε u
.
fy ε u +ε y Para f ' c = 21 MPa y fy 0,75 * ρ b = 0,016
= 420
MPa
,
β 1 = 0,85
,
ρ b
= 0.0214
y
Como se calcula el refuerzo? Mu
φ Mn
=
φ . ρ . fy .b.d 2 .(1 −0,59 .ρ .
=
fy f ' c
)
Cuanto vale el .ρ min?. Ver C10.5 y especialmente C.10.5.4 de la NSR-98. Se aconseja no colocar refuerzo cercano al valor máximo ya que esta cantidad de refuerzo no daría economía. Se recomienda tener una cuantía entre 0.004 a 0.008, este parámetro también controla el espesor de la losa. Calculo de cantidad de barras en losas macizas: Debido a que los momentos de diseño se calcularon por metro de ancho, el calculo del refuerzo se hace considerando este mismo ancho por lo tanto la cantidad As hallada es por m de ancho. Repartición del refuerzo: Supongamos que tenemos un momento tal que la cuantía necesaría es .ρ =0,004 y la altura de la losa es de h=15 cm entonces: d efectivo
= h − recubrimie
nto
=15 cm − 2,5cm =12 ,5cm
ver recubrimientos mínimos en C.7.7 cm² en un metro de ancho de losa Si se colocan varillas No. 5, As=2cm2, entonces su separación se calcula haciendo una regla de tres: Si 5 cm2 se deben colocar en 1 m de ancho, 2 cm2 cada cuanto se deben colocar, S,? As
S
= 0,004
* 12 ,5 * 100
area var illa =
As = 5
2cm =
As requerido 5cm
2 =
2
0,40m
m
Se debe comparar con la separación máxima permitida de C.10.5.4 . S max = 3 veces el espesor de la losa. Refuerzo perpendicular al refuerzo principal: Se coloca refuerzo por retracción de fraguado y temperatura en la otra dirección. C.7.12 Para losas aligeradas se colocan nervios de repartición como se mencionó anteriormente. LOSAS ALIGERADAS: Peso propio: se realiza para una porción representativa de la losa y este valor se utiliza como carga por metro cuadrado. Se presenta un ejemplo de una losa diseñada en una dirección aligerada y otra maciza. Tarea: programar la ecuación del calculo de acero en miembros sometidos a flexión. En su defecto aprender a manejar ayudas de diseño.
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Preguntas: Se quiere modificar una losa ya construida. La losa es aligerada y trabaja en una sola dirección. Desean quitarle un panel de extremo, usted que aconsejaría para hacer este trabajo? A otra losa le desean abrir un hueco para darle espacio a unas escaleras. El espacio es en un panel central y la losa es aligerada en una dirección. Como se plantearía la reforma de tal manera que se afecte lo menos posible el comportamiento de la losa? LOSAS EN DOS DIRECCIONES: Se distinguen dos comportamientos según el tipo de apoyo: 1. Apoyada en bordes rígidos como muros o vigas rígidas 2. Apoyada en vigas flexibles que se deforman parejo con la losa o apoyada directamente sobre las columnas. Al igual que las losas que trabajan en una dirección la curvatura que toma la losa muestra como está trabajando. Si tomamos una hoja de papel y la apoyamos en sus cuatro bordes nos damos cuenta que el se deforma como plato, con una curvatura máxima en las dos direcciones en el centro y curvaturas contrarias o nulas en sus extremos. Esta deformada muestra que las cargas se transmiten en ambos sentidos. Ecuación diferencial de equilibrio de una losa: d 2 M x
Sabemos que
dx 2
=
Ecuación de flexión
ω
Franja que se tuerce en las esquinas Franja que se flecta Para losas en dos direcciones los momentos no solo se presentarán en x sino en y y también momentos torsores en los extremos debido a que las franjas laterales no solo se flectan sino que también rotan en su propio eje. Por lo tanto la carga w se reparte en todos estos efectos: 2
∂ M x ∂ x
2
2
+
2
∂ My ∂ y
−2
2
∂ Mxy ∂ x.∂ y
= −w
Esta ecuación indica que la totalidad de la carga se repartiría en cada uno de los efectos. Haciendo una simplificación con respecto a los momentos de torsión (solo considerando las franjas centrales) podemos encontrar una relación de Mx y My si igualamos ∆ en el centro. Por compatibilidad de deformaciones. ∆a = ∆b ∆a =
∆a ∆b
=
5.w. La
4
384 . E . I
wa . La
4
wb. Lb
4
=1
∆b =
5.w. Lb
4
384 . E . I
wa wb
Lb
4
La
4
=
La relación de cargas depende de la relación de luces elevado a la 4.
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Si tenemos una losa donde La=2.Lb , por ejemplo 4 y 8m, la relación de cargas en ambos sentidos sería de 0,0625. Esto quiere decir que la carga del sentido largo es solo el 6.3% de la carga que viaja en la dirección corta, por eso se considera que una losa con esa relación de luces, aunque tenga apoyos en ambos sentidos, solo trabaja en una dirección. Usted cree que una losa en dos direcciones presenta menores deflexiones que una losa en una dirección, explique? Según su respuesta se podrían usar losas mas esbeltas? Consecuencias de la simplificación de no tomar en cuenta los efectos de torsión: -Diseño conservador a flexión ya que no se tiene en cuenta el trabajo de los momentos torsores. -Los efectos de torsión se deben tener en cuenta para el refuerzo. (en esquinas su efecto es grande). - Los momentos en las franjas no centrales son menores que los del centro por lo tanto estaríamos sobrediseñando la losa en estos puntos.. En el caso de tener una losa cuadrada los momentos máximos en el centro estarían dados por : w M = 2
2
. L
=
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w. L2 16
2
= 0,0625 w.l
Por estudios hechos con la teoría de la elasticidad se ha comprobado que este valor es menor. (redistribución inelástica) M max
=
0,048 w.L2
con esto podemos concluir que el diseño es complicado y requiere un estudio mas profundo por ejemplo hacer uso de elementos finitos. Las normas han determinado que se pueden utilizar métodos simplificados de diseño. Para el caso de losas con bordes rígidos los métodos consisten en determinar los momentos de diseño en cada dirección por medio de coeficientes o por medio de analogías con comportamiento en una dirección. Uno de los métodos aprobados por la norma es el método de los coeficientes del ACI. C.13.9 Este método solo es valido para losas apoyadas sobre vigas rígidas o muros. Que pasa con las losas apoyadas sobre vigas no rígidas o directamente sobre columnas (losas plana, reticulares sin vigas de borde o con vigas flexibles)? En el caso de que la losa esté apoyada sobre vigas flexibles o no tenga vigas su forma deformada será semejante a la de un pañuelo cuando se sostiene de sus cuatro extremos. Los bordes (en este caso vigas flexibles) se deforman de la misma manera que hace el centro de la losa pero en una proporción menor. La solución para este tipo de losas es aun mas complicado ya que se debe incluir en la distribución de la carga la rigideces relativas de las vigas de borde y de la placa en la misma dirección de la viga. Para su análisis se debe considerar que la carga en cada sentido se distribuye en la viga de ese sentido y la losa. esa distribución obedece a la relación de rigideces entre viga y losa.
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En este caso el 100% de la carga viaja en cada sentido, ya que la viga toma la carga de su propio sentido mas la que transmiten los nervios del otro sentido. Se concluye que para estas losas el 100% de la carga es trasmitida en cada dirección. Para el análisis de este tipo de losas se tendría que realizar un análisis elástico que tenga en cuenta las longitudes relativas de las luces en paneles adyacentes, la distribución de las cargas y la rigidez relativa de las vigas de apoyo, si existen, y de las columnas. Como alternativa se permiten métodos empíricos de diseño como son el Método directo y el Método del pórtico equivalente, o métodos de análisis al limite o plásticos como son la teoría de las líneas de fluencia (análisis al limite superior) y el método de las franjas (método al limite inferior basado en el equilibrio de toda la losa). METODO DE LOS COEFICIENTES PARA EL CALCULO DE LOSAS EN DOS DIRECCIONES APOYADAS SOBRE MUROS O VIGAS RIGIDAS: Se debe determinar si la viga de apoyo es rígida o no para saber si utilizamos el método. Para esto utilizamos el coeficiente α . α =
Ecb . Ib
Ecs . Is donde: Ecb Ecs
modulo de elasticidad de la viga = modulo de elasticidad de la losa Ib = inercia bruta de la viga
Is
=
h =
3
* ancho de la losa limitado lateralmente por ejes centrales entre paneles
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adyacentes. Si α .>0,50 se puede considerar que la viga es muy rígida con respecto a la losa y que no se deforma al aplicar la carga. El método de los coeficientes consiste en encontrar los momentos en cada dirección en las franjas centrales de la losa por medio de unos coeficientes que dependen del tipo de apoyo en los extremos (continúo o libre) y de la relación de luces de los paneles. Una vez tenidos los momentos centrales se pueden hallar los momentos de las franjas laterales como una variación de los momentos máximo centrales hasta una valor de 1/3 de estos momentos en el extremo. Para efectos de diseño en esta franja se puede tomar el promedio a sea 2/3 de los momentos máximos centrales. Los momentos centrales están dados por: Ma
=
Ca .w.La
2
Mb
=
Cb .w.Lb
2
Los coeficientes Ca y Cb están dados en las tablas C13.5 a C.13.8. La carga w corresponde a : wl carga viva por unidad de área de losa wd carga muerta wu carga última. La y Lb corresponden a la luz libre en cada dirección. =
=
=
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Se tienen tablas para momentos negativos en el caso de tener paneles con bordes continuos y tablas de momento positivo, tanto para carga viva y muerta, y tabla para encontrar el % de carga que viaja en cada dirección para efectos de cortante y carga en los apoyos. Para el efecto de encontrar los puntos de corte de refuerzo se utilizan las magnitudes l/3 en caso de refuerzo a momento negativo y l/8 para parte del refuerzo inferior al aproximarse a un apoyo, la otra parte se debe anclar al menos 15cm en el apoyo. El espaciamiento máximo del refuerzo será de 2h. LOSAS EN DOS DIRECCIONES APOYADAS COLUMNAS O SOBRE VIGAS FLEXIBLES:
DIRECTAMENTE
SOBRE
Este tipo de losas es el que vimos como reticular o waffle, para su análisis se cuentan con métodos elásticos o semielásticos y métodos plásticos. Los métodos elásticos permitidos por la norma son el método directo de diseño y el método del pórtico equivalente. El método directo de diseño tiene condiciones para su uso, como regularidad de los paneles y de la carga aplicada. Este método consiste en repartir el momento estático Mo dirección de
l 1
=
w.l 2 .l 1 8
2
(momento en la
) en momentos negativos y positivos en la luz: Mu
−
Mu
+
= 0,65 .Mo =
0,35 .Mo
y estos a su vez se distribuyen en momentos en la franja de columnas y en la franja central de acuerdo con unos coeficientes dados en tablas. El método del pórtico equivalente constituye un método mediante un análisis elásticos. El método consiste en dividir la losa en pórticos continuos en ambos sentidos, constituidos por columnas y vigas anchas. Se analiza cada pórtico considerando la rigidez variable de la viga ancha ( en zonas cercanas a columnas es mas rígida o en zonas centrales es menos rígida) , la rigidez a torsión de las vigas para sumar a la rigidez de las columnas. Una vez analizados los pórticos se reparten los momentos entre franjas de columnas y franjas de losa central. Para cada uno de los métodos se debe verificar cortante en la losa. En vista de que no hay vigas, el efecto del cortante puede ser como viga ancha o como punzonamiento de la columna sobre la losa. (este concepto se aclara aún mas cuando se vean fundaciones). Métodos de diseño plástico: El diseño plástico asume que la losa se sale del rango elástico y que se generan redistribuciones de momentos. Método de la líneas de fluencia: Es una teoría plástica fácil de aplicar a formas y condiciones de frontera irregulares. El método consiste en determinar las líneas de fluencia en la losa o sea aquellos puntos donde se presentan rótulas plásticas y determinar la carga máxima permitida antes de presentarse el colapso. Este método constituye un método de frontera superior, o sea, una carga mayor que la determinada produce la falla, aunque una carga menor también
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produciría la falla si no se conocen bien las líneas de fluencia que producen un mecanismo de colapso. Método de las franjas: A diferencia del anterior, este método es de límite inferior. Esto quiere decir que la carga de diseño no es la carga de falla, la carga de diseño es aquella en la cual se alcanza el límite elástico en algún punto de la losa. Para este método ningún momento excede el límite de fluencia en ninguno de los puntos y se satisfacen las ecuaciones de equilibrio. El método consiste en determinar como se reparte la carga en dos sentidos perpendiculares de tal manera que no se presente fluencia en ninguno de los puntos o que si se presenta sea al mismo tiempo en todos los puntos. El refuerzo que se coloca obedece a esta ley. Se parte de la ecuación de equilibrio de losas en la cual se desprecian los efectos por torsión y se trazan posibles formas de repartición de la carga en cada una de las direcciones X y Y.
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