3.4 Ejemplo Losa Nervada.
1. Diseñ Diseñe e la losa losa maciz maciza a mostr mostrada ada,, reali realizan zando do todos todos los los chequ chequeos eos necesarios. Dimensione la altura de la losa utilizando los criterios de resistencia y de rigidez. El acabado de piso es de granito y la losa llevará friso liso en su cara inferior. Datos: 1.)Carga Viva: Qcv = 300 Kg/m2. 2.)Carga Muerta: Qtab=150Kg/m2., γconcreto=2.500 Kg/m3.,
γgranito=2.200 Kg/m3., γfriso=1.700 Kg/m3., γsobrepiso=2.150,00Kg/m3., Materiales: Concreto, f’c =250 kg/cm2., Acero, fy = 4.200 kg/cm2.
1
4,50
2
3
5,50
1,20
h 0,30 Tip.
q (kg/ml.)
Resolución: 1. Estimación de carga de servicio. Utilizando el criterio de rigidez, se obtiene un valor del espesor de la losa (altura h de la sección) de la tabla 9.5.1: Para 1 extremo continuo (tramo1-2): ≈
25
cm .
min h min
l =
18,5
=
450 = 24,32 cm. 18,5
Para 2 extremos continuos (tramo 2-3):
h min
l =
21
=
550 21
=
26,19 cm.
30 cm .
≈
Para el voladizo:
h min
l =
8
=
120 = 15,00 cm. 8
Se adopta el espesor de 25 cm., lo que significa que deberá efectuarse el chequeo de deflexiones en el tramo 2-3. Con h = 25 cm, se calcula el peso propio de la sección de la losa incluyendo el peso de los bloques piñata (5Und./ml): qpp
=
2.500 x[ 0,05 x0,50 + 0,20 x0,10] + 5 x8,00 = 152,50 Kg/ml.
El peso propio de la losa puede obtenerse directamente de la tabla 4.3 de la Norma 2002-88, página 26: Qpp = 315 kg/m2. qpp = 315 x 0,50 = 157,50 Kg-ml. (Valor que se adopta en este ejemplo)
Las demás cargas muertas son:
qsobrepiso = 2.150,00 x 0,05 x 0,50 = 53,75 kg/ml. qgranito = 2.200,00 x 0,02 x 0,50 = 22,00 kg/ml. qfriso = 1.700,00 x 0,02 x 0,50 = 17,00 kg/ml. qtabiquería = 150 x 0,50 = 75,00 kg/ml. Total: qCM = 325,25 kg/ml. Para la carga viva se calcula:
qCV = 300,00 x 0,50 = 150,00 kg/ml.
La carga total de servicio es: qserv. = 325,25 + 150,00 = 475,25 kg/ml. El Factor de Mayoración FM se calcula entonces: FM =
1,4 x325,25 + 1,7 x150 = 1,495 ≈ 1,50 475,25
Como qCV < qCM , no se requiere hacer el movimiento de carga
viva. Se procede al cálculo de la losa: (con qserv.= 480,00 kg/ml.)
1
2
4,50
3
5,50
1,20
h 0,30 Tip.
q = 480 kg/ml.
M0 Visos 1.080
1.450 1.080 1.320
Vhip
+322
-322
346 1.320 576
+201
-201 0
Vtot 758 1.402 1.521 X 1,58 M+ 599 R 1.516 5.846
1.119 576 3,17 . 960 3.390 (1 ml. de viga= 2
nervios)
As As+
0,73*
2,54 1,09
0,73* 1,76
Con el momento más desfavorable (en el apoyo 2, en este caso), se calcula la altura de la sección por el criterio de resistencia. Para este cálculo se utiliza el M- en la cara del apoyo y k = 0,2125, que corresponde al valor de cuantía máxima: M ( x) = 758 x 4,35 − 480 x 4,35
d =
1,50 x1.245 250 x0,10 x0,2125
y la altura h de la sección es:
=
2
2
= −
1.244,10kg .m
18,75cm. ≈ 19cm. ,
h = 19 + 3 = 22 cm. ≈ 25 cm.
Esto confirma el valor adoptado para el espesor de la losa, h = 25 cm. Se procede al cálculo de los aceros de refuerzo en las secciones críticas: En la sección del apoyo extremo (eje 1) se utiliza el momento por norma: M- = (q x l n 2)/24 ; ln = 4,50 – (2 x 0,15) = 4,20 m.
M- = 353 kg.m., Mu = 1,50 x 353 = 530 kg.m. Con este valor se procede al cálculo del refuerzo en 1: k =
530 250 x0,10 x 22 2
=
0,0438 , para el cual se obtienen los valores
correspondientes de ω = 0,0502 y ju = 0,9704. Con ju se calcula el área de acero As: As =
530 = 0,66 cm 2. 0,9 x 4.200 x0,9704 x0,22
As min
=
14 x10 x 22 = 0,73cm2. 4200
por lo tanto se coloca el refuerzo para cumplir con el acero mínimo. Se especifica: 1Ø1/2” (1,27 cm2.) por nervio. Por ser M- el refuerzo debe colocarse en la parte superior de la sección, en la zona a tracción. 1Ø1/2” M-
c = jud
b = 10 cm.
En el Apoyo 2: M -u = 1,50 x 1.245 = 1.868 kg.m, para el cual se calcula As = 2,54 cm2 . Para esta cantidad de refuerzo puede utilizarse 2Ø1/2” (2,54 cm2.) centrados en el nervio ó como alternativa, se puede utilizar 1Ø1/2”@ 25 cm. repartidos en la loseta superior. La segunda alternativa es equivalente a la primera en área de acero y algunos autores la recomiendan por estar mas uniforme en la sección. Es importante destacar que el diseño se realiza con el momento en la cara de la viga (1.245 kg.m), justo donde la sección de la losa comienza a trabajar como tal. Esto produce una reducción en la cantidad de refuerzo en la sección, si se compara con el valor que resultaría de utilizar el momento en el eje del apoyo (1450 kg.m). En el Apoyo 3: M -u = 1,50 x 346 = 519 kg.m, para el cual se calcula As = 0,64 cm2. Se especifica acero mínimo, igual que en la sección del apoyo 1: 1Ø1/2” (1,27 cm2.) por nervio.
Para el momento en el tramo 1-2: M +u = 1,50 x 599 = 899 kg.m. k =
899 250 x0,50 x 22 2
=
0,0149 , para el cual se obtienen los valores
correspondientes de ω = 0,0167 y ju = 0,9902. Con ju se calcula el área de acero As: As =
899 = 1,09 cm2. 0,9 x 4.200 x0,9902 x0,22
Se especifica 1Ø1/2” (1,27 cm2.) por nervio. Por ser M+ el refuerzo debe colocarse en la parte inferior de la sección que es la zona a tracción, centrado en el nervio. M+
b = 50 cm.
c = jud
1Ø1/2” Para el momento en el tramo 2-3: M +u = 1,50 x 960 = 1.440 kg.m. k =
1746 250 x0,50 x 22 2
=
0,0238 , para el cual se obtienen los valores
correspondientes de ω = 0,0269 y ju = 0,9841. Con ju se calcula el área de acero As: As =
1.440 = 1,76 cm 2. 0,9 x 4.200 x0,9841 x0,22
Se especifica: 1Ø1/2” + 1Ø3/8” (1,98 cm2.) por nervio, centrados. en el nervio. M+
b = 50 cm.
c = jud
1Ø1/2” + 1Ø3/8” El chequeo de los macizados por corte se hace cada cara de todos los apoyos.
En el apoyo 2: En el lado derecho s tiene el valor mas desfavorable V = 1.584 Kg. Se obtiene el corte mayorado Vu = 1,50 x 1.584 = 2.376 Kg. El corte resistente de la sección es:
Vn = 1,10 x Ø x Vc = 1,10 x 0,85 x 0,53 x √ 250 x 10x 22 = 1.723,77 Kg. La longitud del macizado se calcula mediante la expresión: x macizado =
l macizado = x −
2.376 − 1.723,77 1,5 x 480
b viga
2
=
=
0,906 ≈ 0,91m.
0,91 − 0,15 = 0,76m. ≈ 80cm.
Hacia el lado izquierdo del mismo apoyo 2, se obtienen los valores:
V = 1.402 Kg., Vu = 2.103 Kg., x macizado = 0,53 m. y l macizado = 0,38 m. ≈ 40 cm. En el apoyo 3, lado izquierdo, se tiene: V = 1.056 Kg., Vu = 1.584 Kg. El corte resistente es mayor que el corte actuante mayorado, 1.723,77 Kg. > 1.584 Kg., lo que significa que la losa no requiere macizado por cálculo. Se especifica el macizado mínimo de 20 cm. El mismo macizado se especifica para las demás secciones, por tener valores de corte menores. 1
2
4,50
0,20
0,40
3
5,50
0,80
0,20
1,20
0,20
En este ejemplo se aprecia que el macizado en el lado derecho del apoyo 2 resulta ser bastante grande. Pudiera considerarse la posibilidad de aumentar el espesor de la losa a 30 cm. Esto produciría un ligero aumento en la carga de servicio, ya que aumenta el peso propio de la losa, pero se aumentaría la capacidad resistente de la sección y se reduce la longitud de macizado. También permitiría una reducción en el refuerzo del apoyo central. Se deja planteada la idea para que sea resuelta por el lector. Para el refuerzo por retracción y Δ T se tiene:
Smax. ≤ { 5h ó 45cm. El valor mas desfavorable (el menor) es: 5h = 5 x 5 = 25 cm. Por lo cual se especifica: 1Ø3/8”@ 25 cm. Se coloca en el sentido perpendicular al refuerzo principal. Mas As ret = 0,0018 x100 x5 = 0,90cm 2. ,
práctico es colocar malla electro soldada, que proporciona refuerzo en los dos sentidos. Para finalizar, esquemáticamente se muestra la colocación del refuerzo principal en la losa: 1
2
4,50
1Ø1/2"
3
5,50
2Ø1/2"
1,20
1Ø1/2"
1Ø1/2"
1Ø1/2" + 1Ø3/8"
Distribución del Refuerzo. 1
4,50
2
5,50
3
1,20
h 0,30 Tip.
q (kg/ml.)
Resolución: Se procede al cálculo de la losa: (con qserv.= 480,00 kg/ml.; FM = 1,50)
1
2
4,50
3
5,50
1,20
h 0,30 Tip.
q = 480 kg/ml.
M0 Visos 1.080
1.450 1.080 1.320
Vhip
+322
-322
346 1.320 576
+201
Vtot 758 1.402 1.521 X 1,58 M+ 599 R 1.516 5.846
-201 0 1.119 576 3,17 . 960 3.390 (1 ml. de viga= 2
nervios)
As As+
0,73*
2,54 1,09
0,73* 1,76
As min
=
14 x10 x 22 = 0,73cm2. 4200 1Ø1/2”
Secciones Diseñadas:
M-
Sección en Apoyos 1 y 3 c = jud
b = 10 cm. 2 x 1/2"
M-
Sección en Apoyo 2 c = jud
b = 10 cm. M+
b = 50 cm.
c = jud
Sección en Tramo 1-2
1Ø1/2” M+
b = 50 cm.
c = jud
Sección en Tramo 2-3
1Ø1/2” + 1Ø3/8” Esquemáticamente se muestra la colocación del refuerzo principal en la losa: 1
4,50
1Ø1/2"
2
5,50
2Ø1/2"
3
1,20
1Ø1/2"
1Ø1/2"
1Ø1/2" + 1Ø3/8"
Comenzando por el diseño del refuerzo por M- en los apoyos, se tiene en el apoyo 1: Debido a que se utilizó un valor de momento normativo para el diseño del refuerzo del apoyo extremo, se desconoce el diagrama real de momento en la zona del mismo, por lo cual se utiliza el valor empírico L/4 para dimensionar la cabilla en ese apoyo. lhor = 450/4 = 112,50 ≈ 115 cm. Se dimensiona el segmento vertical del gancho estándar de 90 0 utilizando el valor 16Ø. Lvert = 16 x1,27 = 20,32 ≈ 25 cm. La longitud de desarrollo horizontal, l dh, se calcula a partir de la expresión: ldh 0,075 (Fy =
/ Fc)db = 0,075 x
4200 x1,00 x1,00 x1,00 250
x 1,27 = 25,30cm.
Comparando el valor calculado (requerido) con la longitud de anclaje proporcionada:
ldh
27,00 cm. ≥ 25,30 cm. proporcionada ≥ ldh calculada OK
En el apoyo 2: Alternativa A: Se coloca todo el refuerzo igual, prolongándose más allá del Punto de Inflexión. La distancia de terminación de las barras será la mayor de d, 12Ø ó ln/16 más allá del PI, para garantizar su correcto anclaje:
d, 12D ó ln/16
PI
2 1,34
1,17
0,27
PI
d = 22 cm. 12Ø = 12 x 1,27 = 15,24 cm. ln/16 = 420/16 = 26,25 cm. lado izq. ln/16 = 520/16 = 32,50 cm. lado der.
d, 12D ó ln/16 0,33
h = 25 cm.
1,65
3,20 2Ø1/2" x 3,20 m.
Se toma el mayor de los 3 valores obtenidos, hacia cada lado. l anclaje = 0,27 m. lado izq. l anclaje = 0,33 m. lado izq. longitud total de las barras: l = 3,11 m. ≈ 3,20 m.
Como la barra tiene dimensiones diferentes hacia los 2 tramos, se debe acotar la distancia de ubicación de la cabilla, en este caso la cabilla se coloca a 1,65 m. hacia la izquierda del eje 2. Para simplificar, se puede especificar la barra de 3,30 m. y se coloca centrada sobre el apoyo. Alternativa B: Para racionalizar el uso del refuerzo, se corta una barra de refuerzo donde no se requiera para resistir flexión, según el diagrama de momento flector. La otra barra de refuerzo se prolonga igual que en la alternativa anterior. El refuerzo que se corta (compuesto por la llamada barra b, para simplificar) se especifica como 1Ø1/2” y proporciona un área de 1,27 cm2. El refuerzo que se prolonga (barra a) es exactamente igual a las barras de la alternativa A. Se calcula el Mu de la sección como queda sin el refuerzo compuesto por la barra b, es decir, reforzado solo con la barra a,
1.521
758 V
+
576
+
+
_
_ 1,58
3,17
1.119
1.402
1.164 1,34 1,17
599
0,33 +
+
M
_ 353
696
_
696
346
1.450 0,63 0,57
Fig. 4.14 Diagramas de Corte y de Momento con Valores y Dimensiones de Corte de Refuerzo.
Procedimiento:
Con Asbarra a = 1,27 cm2:
Mu
=
a
=
AsxFy
0,85 xf ' cxb
0,9 x As x Fy x (d − a 2 ) = 0,9 x1,27 x 4.200 x(22 −
=
1,27 x4.200 = 2,51cm. 0,85 x 250 x10
2,51 1 = 995,89 kgm. ) x 2 100
480( x 2 ) Con la ecuación de Momento para el tramo 1-2: M ( x) = 758( x) − , 2 igualando la ecuación al valor de momento calculado, sin mayorar, con su signo: M ( x) =
995,89 = 663,92 kg .m , se despeja el valor de x, que nos 1,50
indica la ubicación del momento, medido desde el apoyo 1, hacia la izquierda:
480( x 2 ) M ( x) = 758( x) − 2
= −
663,82 kg .m ⇒ x = 3,87 m.
La distancia desde el eje 2 hasta el punto teórico de corte de la barra b, hacia el lado izquierdo es: 4,50 – 3,87 = 0,63 m. A partir de este punto, por Norma se extiende la barra una distancia adicional d ó 12Ø, la que sea mayor, como longitud de anclaje.
Con
la
ecuación
M ( x) = 1.521( x) −
de
Momento
para
el
tramo
2-3:
2
480( x ) − 1.450 , igualando la ecuación al valor de momento 2
calculado, sin mayorar, con su signo, se despeja el valor de x, que nos indica la ubicación del momento, medido desde el apoyo 1, hacia la derecha: M ( x) = 1.521( x) −
480( x 2 )
−
2
1.450 = − 663,92 kg .m ⇒ x = 0,57 m.
La distancia desde el eje 2 hasta el punto teórico de corte de la barra b, hacia el lado derecho es: 0,57 m. A partir de este punto, por Norma se extiende la barra una distancia adicional d ó 12Ø, la que sea mayor, como longitud de anclaje.
El conjunto de las barras a y b conforman el refuerzo total, 2Ø1/2” sobre el apoyo, que es donde se requiere. Las barras se colocan en una sola capa en la losa, pero se representan por separado en el despiece para efectos de su correcta especificación. En el despiece se han dimensionado ambas barras para ser colocadas centradas en el apoyo.
d, 12D ó ln/16 PI barra a
2 1,34
PI d, 12D ó ln/16
1,17
0,27
0,33
Anclaje adicional en barra b: d = 22 cm. (Valor mas desfavorable) 12Ø = 15,24 cm. ≈16 cm. h = 25 cm.
barra b
0,63
0,22
0,57
0,22
3,30 1Ø1/2" x 3,30 m.
1,80
La longitud de la barra b queda entonces: (0,22+0,63) + (0,57+0,22) =1,64 m. y se redondea a 1,80m. para colocarla centrada sobre el apoyo.
1Ø1/2" x 1,80 m.
En el apoyo 3: Se coloca el refuerzo prolongándose más allá del Punto de Inflexión por el lado izquierdo del apoyo y hasta el extremo del volado (menos el recubrimiento neto r n), por el lado derecho. La distancia de terminación
de las barras, más allá del PI, será la mayor de d, 12Ø ó ln/16, para garantizar su correcto anclaje:
2 d, 12D ó ln/16 0,33
PI
(1,20 - 0,03) = 1,17
rn = 0,03
0,33
h = 25 cm.
d = 22 cm. 12Ø = 12 x 1,27 = 15,24 cm. ln/16 = 520/16 = 32,50 cm. lado izq.
Se toma el mayor de los 3 valores l anclaje = 0,33 m. lado izq. longitud total de las barras: l = 1,83 m. ≈ 1,90 m.
1,90 1Ø1/2" x 1,90 m.
En cuanto al refuerzo por Momento Positivo, se coloca una barra de 1/2” a todo lo largo de los dos tramos, anclándose en los apoyos extremos, tal como lo requiere la Norma ACI en su Artículo 7.13.2.1 (ver Cap. 3). Con esta barra se satisface el refuerzo requerido del tramo 1-2 y parcialmente el refuerzo del tramo 2-3. Para completar el refuerzo requerido en el tramo 2-3, se coloca una barra de 3/8”. La segunda barra no necesita los ganchos en los extremos, dejándose el anclaje recto la, más allá del eje. Como el refuerzo se ancla mediante ganchos en los apoyos extremos, no necesita verificarse la Expresión 12.2. Los ganchos se dimensionan según el Art. 7.1 de la Norma, que se refiere a Ganchos Estándar, y las barras deben anclarse completamente en los apoyos extremos, de la misma forma que el refuerzo de la cara superior (refuerzo por Momento Negativo). El despiece del refuerzo As + se indica en la figura siguiente. En ocasiones, como se verá en el Capítulo siguiente (Cap. 5), se prolonga todo o parte del refuerzo por momento positivo del tramo hasta el extremo del volado. Esto se hace para ayudar a prevenir o reducir la deflexión en el volado. Todo el refuerzo mostrado en el despiece (por Momentos Negativo y Positivo) se repite en cada uno de los nervios de la losa.
1
0,25
4,50
2
5,50
10,20
1Ø1/2" x 10,70 m.
3
1,20
0,25 5,70
1Ø3/8" x 5,70 m.
