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EXAMEN PARCIAL EN FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMATICA DE LA UNAC: Funciones de Vectoriales de Variable realDescripción completa
Descripción: Quiz 2 - Calculo III
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Descripción: Examen Parcial - Calculo III
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manual del ing Carlos Vidal
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UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI CALCULO III GUIA Práctica 02 1. Encuentre las derivadas de primer orden (a) f (x; y) = x3
4xy 2 + y 4
(b) f (x; y) = x2 y 3
3x
2
(c) f (x; y) = x sen xy 3y 3 p 2 x 1 (d) f (x; y) = 3ex y y x 2
(e) f (x; y) = 4ex=y (f) f (x; y) =
x 3 y
+ x tan y
(g) f (x; y; z) = 3x sen y + 4x3 y 2 z (h) f (x; y; z) = p 2 2 2 2 x +y +z
2. Encuentre las derivadas parciales indicadas (a) f (x; y) = x3
4xy 2 + 3y;
(b) f (x; y) = x2 y (c) f (x; y) = x4 (d) f (x; y) = e4x
@2f @2f @2f @x2 ; @y 2 ; @y@x
4x + 3 sen y;
@2f @2f @2f @x2 ; @y 2 ; @y@x
3x2 y 3 + 5y; fxx ; fxy ; fxyy p sen y 2 xy; fxx ; fxy ; fyyx
3. Encuentre el plano tangente y normal a la super…cie en el punto dado (a) z = x2 + y 2 2
x
(b) z = e
y
2
1 en los puntos, primero (2; 1; 4) y luego en (0; 2; 3) : en los puntos, primero (0; 0; 1) y luego en 1; 1; e
(c) z = sen x cos y en los puntos, primero (0; ; 0) y luego en
2;
2
:
; 1 :
3
(d) z = x 2xy en los puntos, primero ( 2; 3; 4) y luego en (1; 1; 3) : p 2 (e) z = x + y 2 en los puntos, primero ( 3; 4; 5) y luego en (8; 6; 10) : (f) z =
4x y
en los puntos, primero (1; 2; 2) y luego en ( 1; 4; 1) :
4. Determine los valores máximos y minimos que alcanza la función dada f (x; y) en la región dada R: (a) f (x; y) = x + 2y; R es el cuadrado con vértices en ( 1; 1) : (b) f (x; y) = x2 + y 2 2
2
2
2
(c) f (x; y) = x + y (d) f (x; y) = x + y
x; R es el cuadrado con vértices en ( 1; 1) : 2x; R es la región triangular con vértices en (0; 0) ; (2; 0) ; (0; 2) : x
y; R es la región triangular con vértices en (0; 0) ; (2; 0) ; (0; 2) : 1
(e) f (x; y) = 2xy; R es el disco circular x2 + y 2 2
2
(f) f (x; y) = xy ; R es el disco circular x + y
2
1: 3:
5. Determine las dimensiones x; y; z de una caja rectangular con volumen …jjo V = 1000 y área mínima total A: 6. Determine los puntos sobre la super…cie xyz = 1 más cercanos al origen. 7. Determine las dimensiones de la caja rectangular con volumen máximo que tiene un área total de su super…cie igual a 600 centímetros cuadrados. 8. Una caja rectangular sin tapa debe tener un volumen …jo de 4000 centímetros cúbicos. ¿Cuáles dimensiones minimizan el área total de su super…cie? 9. Una caja rectangular se coloca en el primer octante, con una de las esquinas en el origen y tres de sus lados sobre los tres planos de coordenadas. El vértice opuesto al origen está en el plano con ecuación x + 2y + 3z = 6: ¿Cuál es el volumen máximo posible de dicha caja?¿Cuáles son las dimensiones de esa caja? 10. Un edi…cio rectangular debe tener un volumen de 8000 pies cúbicos. Los costos anuales del aire acondicionado y la calefacción son de $2 el pie cuadrado para la parte superior, el frente y la parte posterior y $4 el pie cuadrado para las paredes de los extremos. ¿Cuáles dimensiones del edi…cio minimizan estos costos anuales? 11. Usted debe construir una caja rectangular sin tapa con materiales que cuestan $3 el pie cuadrado para el fondo y $2 el pie cuadrado para los cuatro lados. La caja debe tener un volumen de 48 pies cúbicos. ¿Cuáles dimensiones minimizarían su costo? 12. Un embalaje rectangular debe tener un volumen de 12 metros cúbicos. Su fondo cuesta el doble (por metro cuadrado) que su tapa y los cuatro lados. ¿Qué dimensiones minimizarían el costo total del embalaje?. 13. Utilice los métodos de máximos y mínimos para determinar el punto del plano 2x 3y+z = 1 más cercano al punto (3; 2; 1) origen. 14. Un cable de 120 cm de largo se corta en tres o menos piezas y cada pieza se dobla para formar un cuadrado. ¿Cómo debe hacerse esto para minimizar el área total de estos cuadrados?¿Para maximizarla? 15. Debe dividir un monton de masa con un volumen …jo V en tres o menos piezas para formar cubos. ¿Cómo debe hacer esto de modo que se minimice el área total de la super…cie de los cubos?¿Para maximizarla? 16. Considere la función f (x; y) = y
x2
y
3x2 :
(a) Muestre que fx (0; 0) = 0 = fy (0; 0) : (b) Muestre que para cada linea recta y = mx que pasa por (0; 0) ; la función f (x; mx) tiene un mínimo local en x = 0: (c) Analice los valores de f en los puntos de la parábola y = 2x2 para mostrar que f no tiene un mínimo local en (0; 0) :
2
17. Un rectángulo muy largo de una hoja de metal tiene ancho L y debe doblarse para formar un canal de desague(ver …gura). Maximice su volumen, maximizando el área de la sección transversal que se muestra en la …gura. [Sugerencia: utilice las dos variables independientes x y que se indica en la …gura].
18. Una caja rectangular sin tapa debe tener un fondo hecho con material que cuesta $3 el pie cuadrado, mientras que los lados son de un material que cuesta $1 el pie cuadrado. Si la caja debe tener un volumen total de 12 pies cúbicos, ¿Cuál es su mínimo costo posible? 19. Localice e identi…que los extremos (máximos o mínimos) de f (x; y) = x2 y sobre el cuadrado en el plano con vértices ( 1; 1) : 20. Localice e identi…que los extremos (máximos o mínimos) de g (x; y) = x4 + 4xy + y 4 : 21. ¿Cuál es el máximo volumen posible de una caja rectangular si la suma de las longitudes de sus 12 aristas es 12 metros? 22. Una caja rectangular está inscrita en el primer octante, con tres de sus lados sobre los planos de coordenadas, su vértice común en el origen y el vértice opuesto en el plano con ecuación x + 3y + 7z = 11: ¿Cuál es el máximo volumen posible de tal caja? 23. Tres lados de una caja rectangular están sobre los planos de coordenadas, y su vértice común está en el origen, el vértice opuesto está en el plano con ecuación x y z + + =1 a b c (a; b y c son constantes positivas). En términos de a; b y c; ¿Cuál es el máximo volumen posible de dicha caja? 24. Una boya debe tener la forma de un cilindro circular recto, con conos circulares rectos en uno de sus extremos, con el mismo radio que el cilindro. Determine la mínima área super…cial posible, dado que tiene un volumen …jo V: 25. Usted desea construir un acuario rectangular con un fondo de pizarra que cuesta 28 centavos la pulgada cuadrada. Sus lados serán de vidrio, que cuesta 5 centavos la pulgada cuadrada y su tapa será de acero inoxidable, que cuesta 2 centavos la pulgada cuadrada. El volumen de este acuario debe ser de 24000 pulgadas cúbicas. ¿Cuáles son las dimensiones del acuario menos caro? 26. Una ventana pentagonal, con perímetro de 24 pies, tiene la forma de un rectángulo que tiene arriba un triángulo isósceles (con base horizontal). ¿Cuáles son las dimensiones de dicha ventana que admiten más luz (debido a que su área es la mayor)?. 27. Determine el punto (x; y) del plano, para que la suma de los cuadrados de su distancia a cada uno de los puntos (0; 1) ; (0; 0) y (2; 0) es mínima. 3