REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA PARA LA EDUCACION SUPERIOR LA UNIVERSIDAD DEL ZULIA FACULTAD DE INGENIERIA MARACAIBO CICLO BASICO Cálculo III
Profesor: Pedro Colina
Maracaibo, JUNIO 2013
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METODO DE LOS MULTIPICADORES DE LAGRANGE
Este es un método que permite encontrar valores etremos, m!imos o m"nimos #maimi$ar o minimi$ar% de una &unci'n (eneral f ( x1 . x2 ,..., xn ) sometida o su)eta a al(una condici'n o restricci'n de la &orma g ( x1 , x2 ,..., xn ) = k * El método establece una ecuaci'n en &unci'n de las condiciones o restricciones que debe cumplir la &unci'n, en todo caso se resuelve una ecuaci'n vectorial llamada ecuaci'n de +a(ran(e* Considerando una restricción. ara cuando la &unci'n f ( x1 . x2 ,..., xn )
debe g ( x1 , x2 ,..., xn ) = k * +a ecuaci'n de +a(ran(e tiene la &orma f = λ ∇ g ∇
.onde
cumplir
una
restricci'n
,
es el (radiente de la &unci'n/ ∇ g : es el (radiente de la restricci'n/ λ : es una constante, el multiplicador de +a(ran(e f : ∇
Considerando dos restricciones. ara cuando la &unci'n f ( x1 . x2 ,..., xn )
debe cumplir dos restricciones g ( x1 , x2 ,..., xn ) = k h( x1 , x 2 ,..., x n ) = k la ecuaci'n de +a(ran(e se escribe f = ∇
λ ∇ g + µ ∇h ,
e debe resolver el sistema de ecuaciones dadas a través de la ecuaci'n vectorial adem!s la condici'n o condiciones &ormar!n parte de ese sistema a resolver* e pudiera establecer un procedimiento (eneral para aplicar el método el cual se puede establecer as"Identi&icar la &unci'n de donde se desea allar el valor m!imo o m"nimo, esta se llama &unci'n a optimi$ar, a la que se desea allar los valores etremos* Identi&icar la o las restricciones a cumplir por la &unci'n* allar el (radiente de la &unci'n- por e)emplo si la &unci'n es de tres variables•
• •
∇ f ( x. y. z ) = • •
• •
• •
( fx, fy , fz )
allar el (radiente de la restricci'n- ∇ g ( x. y. z ) = ( gx, gy, gz ) 4ormar la ecuaci'n vectorial- ∇ f = λ ∇ g o ∇ f = λ ∇ g + µ ∇h , para cuando a una o dos condiciones a cumplir respectivamente* 4ormar el sistema de ecuaciones que inclua las condiciones* .eterminar todos los valores , , $ 5 que satis&a(an ∇ f = λ ∇ g g ( x, y, z ) = k * 6esolver el sistema de ecuaciones, usando cualquiera de los métodos que conoce* 4ormar los puntos* Evaluar todos los puntos ( x, y, z ) del resultado anterior en la &unci'n f ( x, y , z ) * En caso de ser necesario Cálculo III
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EJEMPLOS DEL METODO DE LAGRANGE
Ejemplo 1:
78u!l es el !rea máxima que puede tener un rect!n(ulo si la lon(itud de su dia(onal es 9 Solución:
6epresente un rect!n(ulo con lados x e y , base altura respectivamente*
4
y
x
+a lon(itud de la dia(onal es 9, &")ese que se &orma un trian(ulo rect!n(ulo* Función a optimizar - maimi$ar en este caso- :rea* :rea de un rect!n(ulo- A = x.y Condición a cumplir:
x 2 + y 2
4=
:
De una manera más fácil: 16 = x 2 + y 2
;l tener identi&icadas la &unci'n la condici'n, se determinan los (radientes* ( Ax, Ay ) = ( y, x ) ∇ g = ( gx, gy ) = ( 2 x, 2 y ) ∇ A =
;s" las ecuaciones de +a(ran(e son y = λ ( 2 x ) <* #1% x = λ ( 2 y ) <** #2% x 2
+
y2
=
4 <#3%
;l resolver el sistema, una de las &ormas puede serMultiplicar la ecuaci'n #1% por x , también la ecuaci'n #2% por y, xy = λ ( 2 x 2 ) <* #9% yx = λ ( 2 y 2 ) <** #=% e i(ualan las ecuaciones #9% #=% 2 2 λ ( 2 x ) = λ ( 2 y ) ;l simpli&icar queda x 2 = y 2 / queda- y = ± x * +ue(o una variable se epresa en &unci'n de la otra se sustitue en la ecuaci'n #3%* i > 16 = x + ( x = 2 x , entonces •
2
x
= ±
2
2
8
Como estamos midiendo distancias, x solo puede tomar valores no negativos, así que se tiene un único punto que es para x 8 , la altura ! tam"i#n vale$ Cálculo III
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%sí se conclu!e que las dimensiones del rectángulo corresponden con un cuadrado de lado 8 $ &u área será: % 8 ' 8 ( Ejemplo 2:
78u!les son los valores máximos m!"imos que puede tener una la &unci'n f ( x, y ) = x + 2 y , sobre el c"rculo x + y = 1 ? 2
2
2
2
Solución:
e pide calcular los valores etremos de la &unci'n g ( x, y )
=
x
2
+
y
2
f ( x, y )
=
x
2
+
2y
2
su)eta a la restricci'n
=1
8alculamos los (radientes( 2 x,4 y ) ∇ g = ( 2 x,2 y ) f = ∇
+as ecuaciones de +a(ran(e pueden escribirse2 x
=
4 y
=
x 2
+
<
λ 2 x λ 2 y
y 2
artiendo de la ecuaci'n N@ 1 se tiene2 x = λ 2 x 2 x − λ 2 x = 0 2 x(1 − λ ) = 0
x
=
0
λ
=
1,
entonces se veri&ican estos dos valores en las otras ecuaciones*
i x) en la ec n@9 se obtiene+ue(o si
λ
=
1,
y
= ±1
en la ec n@2 se tiene !), lue(o en la ec n@3,
x = ±1
8omo consecuencia, f ( x, y ) tal ve$ tiene valores etremos en los puntos#0,1% #0,A1% #1,0% #A1,0% ;l evaluar a f ( x, y ) en esos cuatro puntos se encuentra que• • • •
f ( 0,1) = 2 f ( 0,−1) = 2 o
f (1,0 ) = 1 f ( −1,0) = 1
or consi(uiente, a dos valores m!imos en los puntos #0,1%/ #0,A1% dos valores m"nimos en los puntos- #1,0% #A1,0%* Ejemplo 3: Cálculo III
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.etermine las dimensiones de un cilindro circular recto con #olum$" máximo si el !rea de su super&icie es de 29B #unidades de lon(itud cuadradas%* Solución:
.el enunciado se saca que la &unci'n que se quiere maimi$ar, en este caso, es la &unci'n volumen del cilindro circular recto* +a epresi'n de volumen para un cilindro circular recto es !",r# = $"r% ": es la altura del cilindro r: es el radio del cilindro
+a restricci'n o la condici'n que debe cumplir la ca)a es que la super&icie de la ca)a ser! i(ual a 29B #unidades de lon(itud cuadradas%, escribimos la epresi'n de la super&icie del envase cilindro circular recto considerando el &ondo del recipiente su CtapaD* S !",r#= 2 $r% & 2 $"r = 2' $
Observe que las epresiones del volumen de la super&icie est!n dadas respecto a las mismas dos variables- " r. (eterminamos los )radientes. a# primero de la *unción a maximi+ar, la *unción olumen " = $r% r = 2 $"r
(
2
∇V ( h, r ) = π r
,2π hr
-# lue)o el )radiente de la restricción S" =2$r Sr = '$r & 2 $" ∇S ( h , r ) = ( 2π r ,4π r +
2π h )
a ecuación de a)ran)e se escri-e:
(π r 2 ,2π hr ) λ ( 2π r ,4π r + 2π h ) e &orma el si(uiente sistema de ecuaciones a partir de la i(ualaci'n de cada componente$r% = / 2$r 2 $"r = / !'$r & 2 $"# 2 $r% & 2 $"r = 2' $
0ec n 1 0ec n 2, adems de 0ec n 3
.espe)ando 5 de las ecuaciones n@ 1 n@ 2, se tiene-
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λ =
λ =
π r
2π r
=
2π hr 2π ( 2r + h )
r 2
=
hr 2r + h
;l i(ualar ambas se obtiener 2
=
hr 2r + h
r ( 2r + h ) = 2hr
( 2r + h ) = 2h h = 2r ,
se sustitue en la ecuaci'n n@ 3 se obtiene2 $r% & 2 $2rr = 2' $ 2 $r% & '$r% = 2' $ $r% = 2' $ r% = '
r = 4 2, pero solo se considera el alor positio ya 5ue r representa una distancia, as6 5ue el alor del radio r es 2, la altura "='.
4inalmente se concluye 5ue las dimensiones que producen el volumen m!imo de un cilindro circular recto para una super&icie de 29 B son : " = ' 7 r = 2 Ejemplo ':
e desea &abricar una ca)a de cart'n donde el material de los lados la tapa es de s 1Fmetro cuadrado el costo del material del &ondo es de s 3F metro cuadrado* .etermine las dimensiones que debe tener la ca)a para que su volumen sea de 2 metros cGbicos su costo sea m6nimo. Solución:
rimero dibu)amos la ca)a donde sus lados sean paralelos al sistema de re&erencia $* .el enunciado se saca que la &unci'n que se quiere minimi$ar, en este caso, es la &unci'n costo* Entonces debemos escribir la llamada &unci'n costo, veamos, a dos precios di&erentes involucrados en la &abricaci'n de la ca)a- el &ondo por un lado las paredes o lados laterales la tapa* EntoncesCosto total costo total fondo ca*a + costo total ladostapa, %demás: Costo total fondo ca*a costo unitario fondo'área de fondo Costo total ladostapa costo unitario ladostapa'área lados tapa$ %sí que se puede escri"ir el costo total de la siguiente manera: Cálculo III
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i Identi&icamosCosto total : C8. Costo unitario fondo : C*. Donde Cf - .s/m0 1rea de fondo: A*. Donde %f x'! Costo unitario ladostapa: Cl9t $ Donde Clt 2 .s/m0 1rea ladostapa: A l9t. Donde %lt x'! + 3x'z + 3!'z EntoncesC8 = C*A* & Cl9tAl9t
Escribiéndolo en &ormulas se tieneC8 = - .s/m0' x'! & 2 .s/m0 4x'! + 3x'z + 3!'z5 %sumiendo que las unidades son correspondientes: C8 = - x'! & 4x'! + 3x'z + 3!'z5 C8 = ' xy & 2x+ & 2y+
4inalmente esa es la &ormula a optimi$ar, de aqu" vamos a allar el costo m"nimo de la ca)a con esas condiciones* +a restricci'n o la condici'n que debe cumplir la ca)a es que el volumen de la ca)a ser!= xy+ = 2
.eterminamos los (radientes* C8x = ' y & 2+ C8y = 'x & 2+ C8+ = 2x & 2y ∇CT =
( 4 y + 2 z ,4 x + 2 z ,2 x + 2 y )
x= y+ y= x+ += xy ∇V =
( yz , xz , xy )
a ecuación de a)ran)e se escri-e:
( 4 y + 2 z ,4 x + 2 z , 2 x + 2 y ) λ ( yz , xz , xy )
e &orma el si(uiente sistema de ecuaciones a partir de la i(ualaci'n de cada componente' y & 2+ =/y+ 0ec n 1 'x & 2+ = /x+ 0ec n 2 2x & 2y= /xy 0ec n 3, y adems Cálculo III
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xy+ = 2
0ec n'
e resuelve el sistema de ecuaciones lineales por cualquiera de los métodos conocidos para estos casos* En particular, en este caso se multiplicara la ec n@ 1 por x , la ec n@ 2 por y , la ec n@ 3 por +. quedan as" las ecuaciones' xy & 2x+ =/xy+ 0ec n ; 'xy & 2y+ = /xy+ 0ec n 2x+ & 2y+= /xy+ 0ec n <, y aun se tiene la ec n '.
4")ese que las tres ecuaciones poseen i(ual los se(undos términos !/xy+ %& as" que los i(ualaremos a través de ellos* ;l i(ualar las ecuaciones n@ = n@ H6 x! + 3xz 6x! + 3!z, luego 3xz 3!z, entonces x = y, 0.ec n
;l i(ualar las ecuaciones n@ = n@ 6 x! + 3xz 3xz + 3!z , luego 6 x! 3!z , entonces 2x =+, 0ec n>
+ue(o se sustituen las epresiones encontradas en las ecuaciones n@ n@K en la ecuaci'n n@9, de esa manera queda una sola ecuaci'n con una sola inc'(nita que es la x. xx2x = 2, entonces 5ueda x?=1 y *inalmente se o-tiene x= 1 A"ora por las ecuaciones n y n > se o-tiene 5ue las dimensiones de la caja son: x = 1, y = 1, + = 2.
7ote que efectivamente el volumen de la ca*a es de 3 m8$ 9l costo mínimo de la ca*a a construir será: C8 = '!1#!1# & 2!1#!2# & 2!1#!2# = ' & ' & ' = 12 -ol6ares Comentario: En el costo del alor *inal de la caja, 12 -ol6ares, parece alto para la realidad, pero es 5ue se usaron alores enteros para 5ue los alores a calcular *uesen *ciles de er. ue)o se resolern ejemplos mas complicados. Ejemplo ;:
El material para el &ondo de una ca)a rectan(ular cuesta el triple por metro cuadrado que el material para los lados la tapa* .etermine la máxima capacidad #volumen% que la ca)a Cálculo III
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puede tener si la cantidad total de dinero a (astar es de H bol"vares el material del &ondo cuesta s 0*K0Fmetro cuadrado* Solución:
rimero dibu)amos una ca)a donde sus lados sean paralelos a los e)es del sistema de re&erencia $* .el enunciado se saca que la &unci'n que se quiere maimi$ar, en este caso, es la &unci'n capacidad o volumen* Entonces debemos escribir la llamada &unci'n del volumen de la ca)a de acuerdo a su epresi'n (eométrica* = xy+
;ora identi&iquemos la restricci'n- el costo &i)o de la ca)a es de H bol"vares, pero observemos que a dos precios di&erentes involucrados en la &abricaci'n de la ca)a- el &ondo por un lado las paredes o lados laterales la tapa* Escribamos la epresi'n del costo que es &i)o e i(ual a H bol"vares, entoncesCosto total .s costo total fondo ca*a + costo total ladostapa, %demás: Costo total fondo ca*a costo unitario fondo'área de fondo Costo total ladostapa costo unitario ladostapa'área lados tapa$ %sí que se puede escri"ir el costo total de la siguiente manera: i Identi&icamosCosto total : C8. Costo unitario fondo : C*. Donde Cf - .s/m0 1rea de fondo: A*. Donde %f x'! Costo unitario ladostapa: Cl9t $ Donde Clt 2 .s/m0 1rea ladostapa: A l9t. Donde %lt x'! + 3x'z + 3!'z EntoncesC8 = = C*A* & Cl9tAl9t
Escribiéndolo en &ormulas se tiene )$; .s/m0' x'! + )$- .s/m0 4x'! + 3x'z + 3!'z5 &i decimos que las unidades son correspondientes, escri"imos la expresión de manera más sencilla: )$; x'! + )$- 4x'! + 3x'z + 3!'z5 = 1.2 xy & @.x+ & @.y+ (eterminamos los )radientes. a# primero de la *unción a maximi+ar, la *unción olumen x= y+ Cálculo III
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y= x+ += xy ∇V =
( yz , xz , xy )
-# lue)o el )radiente de la restricción C8x = 1.2 y & @.+ C8y = 1.2x & @.+ C8+ = @.x & @.y ∇CT =
(1.2 y + 0.6 z ,1.2 x + 0.6 z ,0.6 x + 0.6 y )
a ecuación de a)ran)e se escri-e:
( yz , xz , xy) < (1.2 y + 0.6 z ,1.2 x + 0.6 z ,0.6 x + 0.6 y )
e &orma el si(uiente sistema de ecuaciones a partir de la i(ualaci'n de cada componentey+ = /! 1.2 y & @.+# 0ec n 1 x+ = / !1.2x & @.+# 0ec n 2 xy=/!@.x & @.2y# 0ec n 3, y adems = 1.2 xy & @.x+ & @.y+ 0ec n'
e resuelve el sistema de ecuaciones lineales por cualquiera de los métodos conocidos para estos casos* En particular, en este caso se multiplicara la ec n@ 1 por x , la ec n@ 2 por y , la ec n@ 3 por +. quedan as" las ecuaciones xy+ = / 1.2 xy & @. +x / 0ec n ; yx+ = 1.2x / y & @. y+ / 0ec n xy+ = @. x+ / & @. y+ / 0ec n <, y adems = 1.2 xy & @.x+ & @.y+ 0ec n'
4")ese que las tres ecuaciones poseen i(ual los primeros términos !xy+ %& as" que los i(ualaremos a través de ellos* ;l i(ualar las ecuaciones n@ = n@ H1.2 / xy & @.+x / = 1.2 / x y & @.y+ / @.+x / = @.y+ / x = y
;l i(ualar las ecuaciones n@ = n@ 1.2 / xy & @. +x / = @. x+ / & @. y+ / 1.2 / xy = @. y+ / 1.2 x = @. + Cálculo III
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2 x = +
e escribe la ec n@ 9 respecto de una variable = 1.2 xx & @. x2x & @. x2x = 1.2 x% & 1.2 x% & 1.2 x% = 3. x% 6 3.6
= x
2
,
x
=±
6
3.6
Como x representa una distancia se toma el valor positivo$ %sí que: x = 6 3.6 Entonces los alores de las dimensiones de la caja son:
x =
6
3.6
=
y
=
6
3.6
=
z = ( 2) 6
3.6
a capacidad total ser:
>
6
(
)
3 6 6 ( 2) 6 [ m] 3 $ ' ' 3 3. 6 3. 6 3. 6 3.6
Ejemplo :
.etermine las dimensiones de una ca)a rectan(ular con la capacidad m!ima, es decir con el m!imo volumen, si el !rea de la super&icie total ser! H9 cm* cuadrados* Solución:
rimero dibu)amos una ca)a donde sus lados sean paralelos a los e)es del sistema de re&erencia $* .el enunciado se saca que la &unci'n que se quiere maximi'a( , en este caso, es la &unci'n capacidad o volumen de una ca)a rectan(ular o de un paralelep"pedo rectan(ular* Entonces debemos escribir la llamada &unci'n del volumen de la ca)a de acuerdo a su epresi'n (eométrica* = xy+
;dem!s, se identi&ica la condici'n a cumplir o la restricci'n, dada por la super&icie que debe poseer dica ca)a, que es de H9 cm* cuadrados* Escribimos el !rea de la super&icie #%Cálculo III
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S= 2xy & 2y+ & 2x+ = ' (eterminamos los )radientes. a# primero de la *unción a maximi+ar, la *unción olumen x= y+ y= x+ += xy ∇V =
( yz , xz , xy )
-# lue)o el )radiente de la restricción Sx = 2y & 2+ Sy = 2x & 2+ S+ = 2x & 2y ∇S = ( 2 y + 2 z ,2 x + 2 z ,2 x + 2 y ) a ecuación de a)ran)e se escri-e:
( yz , xz , xy) < ( 2 y + 2 z ,2 x + 2 z ,2 x + 2 y )
e &orma el si(uiente sistema de ecuaciones a partir de la i(ualaci'n de cada componentey+ = /! 2 y & 2+# 0ec n 1 x+ = / !2x & 2+# 0ec n 2 x+ = / !2x & 2y# 0ec n 3 y adems 2xy & 2y+ & 2x+ = '0ec n'
e resuelve el sistema de ecuaciones lineales por cualquiera de los métodos conocidos para estos casos* En particular, en este caso se multiplicara la ec n@ 1 por x , la ec n@ 2 por y , la ec n@ 3 por +. quedan as" las ecuaciones xy+ = 2 /x y & 2 /x + 0ec n ; xy+ = 2 / xy & 2 /y + 0ec n xy+ =2 / x+ & 2 / y+ 0ec n<
4")ese que las tres ecuaciones poseen i(ual los primeros términos !xy+ %& as" que los i(ualaremos a través de ellos* ;l i(ualar las ecuaciones n@ = n@ H 2 /x y & 2 /x + = 2 / xy & 2 /y + 2 /x y & 2 /x + = 2 / xy & 2 /y + 2 /x + = 2 /y +, se o-tiene: x = y
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;l i(ualar las ecuaciones n@ = n@ 2 /x y & 2 /x + = 2 / x+ & 2 / y+ 2 /x y = 2 / y+ x = + ;s" que se tiene- x =y = +
&e escri"e la ecuación n?6 en función de una sola varia"le: 2xy & 2y+ & 2x+ = '0ec n', respecto de x por e*emplo, queda: 2 x
2
6 x
2
+
2 x
=
2
2
=
64
64
x 2
= 64
x
= ± 64
x =
2x
+
6
32 3
6
= ± 32
3
, por representar una distancia se toma el valor positivo, as" que-
, entonces32
x = y = z =
V = xyz =
3
32
3
y se concluye 5ue: el olumen mximo para la condición dada es:
32
3
32
3
= 3
32
, 3
3 cm .
Ejemplo <:
.etermine cual es la distancia m!s corta entre el plano cua ecuaci'n es el punto ori(en del sistema ℜ3 *
x + 2 y + 3 z = 12
Solución:
.el enunciado se obtiene que la &unci'n que se quiere minimi+ar !o-tener un alor m6nimo#, en este caso, es la &unci'n distancia entre dos puntos de ℜ3 ) 4")ese que el enunciado establece- la *is+a"cia más co(+a& eso se re&iere a la m$"o( *$ las *is+a"cias& a la m6nima *is+a"cia $"+($ *os ,u"+os& donde uno de los puntos es el ori(en el otro punto debe estar sobre la super&icie dada* e desea optimi$ar la distancia* Entonces debemos escribir la llamada &unci'n distancia !d#. d =
2
2
2
x + y + z
;dem!s, se identi&ica la condici'n a cumplir o la restricci'n, eso es que el punto debe estar contenido en el plano dado por- x + 2 y + 3 z = 12 * Una observaci'n mu importante que nos aorrar"a muco tiempo es&uer$o es que podemos traba)ar con la distancia al cuadrado, es decir la &unci'n a minimi$ar se puede escribir como- d x y z , $l alum"o *$-$(á *$mos+(a( .u$ $s+o $s ci$(+o) 2
=
2
+
2
+
2
Pa(a $llo *$-$(á +(a-a/a( co" la $cuaci0" "o(mal *$ la *is+a"cia Cálculo III
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d =
x 2 + y 2 + z 2
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($#isa( -i-lio2(a3!as para lle(ar a comprender concluir que se obtienen los mismos
valores* (eterminamos los )radientes. a# primero de la *unción a minimi+ar, la *unción distancia: dx= 2x dy= 2y d+= 2+ ∇V =
( 2 x,2 y, 2 z )
-# lue)o el )radiente de la restricción Sx = 1 Sy = 2 S+ = 3 ∇S =
(1,2,3)
a ecuación de a)ran)e se escri-e:
( 2 x, 2 y,2 z ) λ (1,2,3)
e &orma el si(uiente sistema de ecuaciones a partir de la i(ualaci'n de cada componente2 x = λ @@ec n?2 2 y = 2λ @@ec n?3 2 z = 3λ @@ec n?-, ! además x + 2 y + 3 z = 12 @@ec n?6 e resuelve el sistema de ecuaciones a partir de la i(ualaci'n de λ $ ;l i(ualar las ecuaciones n@ 1 n@ 22 y = 2( 2 x ) , ! queda: y = 2 x @ec n? A ;l i(ualar las ecuaciones n@ 1 n@ 32 z = 3( 2 x ) , ! queda: z = 3 x @ec n? &e sustitu!en las expresiones de restas dos varia"les en la ec n? 6 para que quede respecto de una varia"le$ x + 2( 2 x ) + 3( 3x ) = 12 , as" que x + 4 x + 9 x = 12 14 x = 12 6 x = 7
e obtienen los valores de los otras dos variables y =
12 7
;dem!s-
z =
18 7
*
;s" que la distancia mas corta entre el punto #0,0,0% el plano dado esCálculo III
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( 6 7 ) + (12 7 ) + (18 7 ) 2
d =
2
2
≅
10 , 29
≅
3.21
Ejemplo :
.etermine la m"nima distancia entre el ori(en la super&icie
x 2 y − z 2
+
9 = 0 *
Solución:
.el enunciado se obtiene que la &unci'n que se quiere mi"imi'a( , en este caso, es la &unci'n distancia entre dos puntos de ℜ3 & donde uno de los puntos es el ori(en el otro punto debe estar sobre la super&icie dada* e desea optimi$ar la distancia* Entonces la ecuaci'n la llamada &unci'n distancia !d#. d =
2
2
2
x + y + z
;dem!s, se identi&ica la condici'n a cumplir o la restricci'n, eso es que el punto debe estar contenido en la super&icie dada por* x y − z + 9 = 0 * Es decir, debe satis&acer la ecuaci'n de esa super&icie* 2
2
Una observaci'n mu importante que nos aorrar"a muco tiempo es&uer$o es que, de nuevo, al i(ual que en el e)emplo anterior, se puede traba)ar con la distancia al cuadrado, es decir la &unci'n a minimi$ar se puede escribir como- d x y z , $l 2
=
2
+
2
+
2
alum"o *$-$(á *$mos+(a( .u$ $s+o $s ci$(+o) Pa(a $llo *$-$(á +(a-a/a( co" la $cuaci0" "o(mal *$ la *is+a"cia d = x 2 + y 2 + z 2 1o ($#isa( -i-lio2(a3!as para lle(ar a
comprender concluir que se obtienen los mismos valores* (eterminamos los )radientes. a# primero de la *unción a minimi+ar, la *unción distancia: dx= 2x dy= 2y d+= 2+ ∇V =
( 2 x,2 y, 2 z )
-# lue)o el )radiente de la restricción Sx = 2xy Sy = x% S+ = 92+ ∇S =
2 xy , x 2 ,−2 z
a ecuación de a)ran)e se escri-e:
( 2 x, 2 y,2 z ) λ ( 2 xy , x 2 ,−2 z )
e &orma el si(uiente sistema de ecuaciones a partir de la i(ualaci'n de cada componente2 x = λ 2 xy @@ec n? 2 2 2 y = λ x @@ec n? 3 Cálculo III
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2 z = −2λ z 2
x y
−
z
2
+
9=0
@@ec n? -, ! además @@ec n? 6
e resuelve el sistema de ecuaciones, veamos como se ace en este caso.e la ecuacion n@ 1 se tiene, al acer cero de un lado2 x − 2 xyλ = 0 , 2 x(1 − yλ ) = 0 , de aquí salen dos situaciones: i$ x = 0 $ Entonces si x) , de la ec n@ 2 queda ) , ! al sustituir en ec n@ 9 se obtiene- z = ±3 * e obtienen los puntos- P -#0,0,3% P 2 - #0,0,A3%* 1
ii$
1 − λ y = 0 ,
se despe*a <, se tiene:
λ =
1 y
,
se sustitu!e en la ec n? -, se o"serva: y = −1 se sustitu!e en la ec n? 3 ! queda: 2 = x 2 ,entones x = ± 2 luego al sustituir los valores y = −1 , 2 = x 2 am"os en la ec n? 6: 2( − 1) − z + 9 = 0 que al resolver se obtiene- z = ± 7 * 2
De esta parte se Ban o"tenido los siguientes puntos: P 3 : ( 2 ,−1, 7 P 4 : 2 ,−1,− 7 P 5 : ( − 2 ,−1, 7 P 6 : ( − 2 ,−1,− 7 &eguimos analizando las opciones planteadas del sistema de ecuaciones, de la ec n? -$ 2 z = −2λ z 2 z + 2λ z = 0 2 z (1 + λ ) = 0 de
aquí tam"i#n salen dos situaciones: i$ 1 + λ = 0 , pero esta opción !a fue considerada en la parte anterior, así que no se estudiará de nuevo$ ii$ z = 0 $ .e la ec n@ 9 se obtiene- x 2 y + 9 = 0 , ** ec n? A adem!s x y = −9 , se puede comentar aqu" que y debe ser ne(ativo* i multiplico la ec n@ 1 por x , la n@ 2 por y se obtiene2 x 2 = λ 2 x 2 y así que x 2 = −λ 9 @@ec n? 2 y 2 = λ x 2 y así que 2 y 2 = −λ 9 @@ec n? ue al igualar estas dos últimas ecuaciones se o"tiene: 2 2 2 y = x @ @ 9c n? ( ue al sustituirla en la ec n? A se o"tiene: 2 y 2 y + 9 = 0 , 2 y + 9 = 0 , 2
3
y 3
= −9 2 ⇒
y=3
−9
2
Esto representa otro valor probable para y * Cálculo III
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9ntonces de
2 y 2 = x 2 ,
se o"tienen dos valores para x. 2
x
2
= 2 − 9 2 , 3
23 81
x1
=
x 2
=−
4
23 81
=
4
6
162 , de igual forma
= −6 162 ,
&e forman dos puntos posi"les más: P 7 : 6 162 ,−3 9 2 ,0
P 8 : − 6 162 ,−3 9 2 ,0 *
8on esta parte damos por terminada la bGsqueda de los puntos cr"ticos, emos obtenido oco puntos cr"ticos al anali$ar todas las posibles condiciones que se pueden dar en este caso* Finalmente vamos a Ballar las distancias para sa"er cual es la menor de todas, que es el o"*etivo del e*ercicio$ Fí*ese que la distancia a los puntos: P -#0,0,3% P - #0,0,A3%, es la mismad = ( 3) = 3 * 1
2
2
Eam"i#n la distancia a los puntos: P , P , P , P es la misma es i(ual ad = ( 2 ) + 1 + ( 7 ) = 10 %demás la distancia a los puntos P P , también es i(ual3
2
7
d =
(
6
162
)
+
5
6
2
2
2
4
(
3
9 2
)
2
≅
8
2.33
8oncluimos que la distancia m"nima del ori(en a la super&icie es i(ual a 2,33 unidades de lon(itud*
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Ejercicios propuestos y tarea a reali+ar.
1% .etermine las dimensiones de una ca)a rectan(ular de volumen 2 mL para que la suma de las lon(itudes de las aristas sea m"nima* 2% .etermine las dimensiones de una ca)a rectan(ular de volumen m!imo si la super&icie total deber! ser 220 cm* 3% e desea &abricar una ca)a donde el costo del material para los lados la tapa es de s& 1,2Fm el costo de la parte in&erior es de s& 2,9Fm* determine las dimensiones de la ca)a con volumen 2 mL* 9% El material para la &abricaci'n del &ondo de una ca)a rectan(ular cuesta el doble por cada metro cuadrado que el material para los lados la tapa* .etermine la m!ima capacidad que puede tener la ca)a si la cantidad total de dinero disponible es de s& H el material del &ondo cuesta s& 0,0 por metro cuadrado* =% .etermine cual es el punto del plano 2 x + 4 y + 6 z = 12 que es m!s cercano al ori(en 78u!l es la distancia m!s corta? H% Un tanque met!lico rectan(ular sin tapa debe contener 9,2 m de l"quido* 78u!les son las dimensiones del tanque que requieren menos material para su construcci'n? % .etermine la m"nima distancia entre el punto #1,2,0% el cono cuadr!tico x + y − z = 0 * % .etermine el volumen m!imo de una ca)a rectan(ular cerrada con caras paralelas 2
2
2
a los planos coordenados inscrita en el elipsoide de ecuaci'n-
x
2
2
2
2
+ y
2
+
z
2
3
=1
K% e desea allar los dos nGmeros positivos cua suma sea 1H donde el cuadrado del primero sumado al cubo del se(undo den el valor m!imo posible* 10%.etermine la m"nima distancia entre el punto #1,2% la par!bola y = x 2 − 3 11% El material para la &abricaci'n del &ondo la tapa de una ca)a rectan(ular cuesta el triple por cada metro cuadrado que el material para los lados* .etermine la m!ima capacidad que puede tener la ca)a si la cantidad total de dinero disponible es de s& H el material del &ondo cuesta s& 0,K0 por metro cuadrado* 12%e desea construir una pecera de secci'n rectan(ular, el &ondo de esquisto las paredes de vidrio, si el esquisto cuesta 9 veces el costo del vidrio por metro cuadrado* 8uales ser!n las dimensiones de la pecera si el volumen es 0* mL si se desea que el costo sea m"nimo* 13%Una ca)a rectan(ular cuos e)es son paralelos a los e)es de coordenadas, se inscribe en un elipsoide de ecuaci'n- 36 x + 4 y + 9 z = 36 78u!l es el maor volumen posible para la ca)a? 19%.etermine el m"nimo de la &unci'n f ( x, y, z ) = x + y + z , su)eta a la restricci'n2
2
2
2
2
2
x + 3 y − 2 z = 12
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