UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILE INSTITUTO DE CIENCIA Y TECNOLOGIA DE LOS ALIMENTOS / ASIGNATURA : Ingeniería de Procesos III (ITCL 234) PROFESOR : Elton F. Morales Blancas UNIDAD 5: CALENTAMIENTO Y ENFRIAMIENTO DE ALIMENTOS :
Guía de Problemas Resueltos (Versión Alfa2)
1) Se están escaldando arvejas verdes por inmersión en agua caliente a 90ºC Se utiliza a la Peroxidasa como enzima indicador del proceso de escaldado , y se estima que es inactivada totalmente a 70ºC. El radio R promedio de las arvejas verdes es 4.8 mm..El coeficiente superfic superficial ial de de transfer transferenc encia ia de calo calorr es estim estimado ado en 600W/ 600W/m2 K. La tempe temperatu ratura ra inici inicial al del del producto es 25ºC. a) ¿Cuánto tiempo se requiere para que se complete el escaldado de las arvejas verdes? b) Si el radio de la arveja mas grande es de 6.3 mm , ¿el proceso de escaldado habrá inactivado totalmente a al peroxidasa de este producto? c) ¿Cuál es la temperatura superficial y a una distancia de R/3 desde la superficie para los casos a) y b)? Composición proximal: Humedad: 76% Proteínas: 5.9% Lípidos: 0.6% ENN: 13.8% Fibra: 2.8% Cenizas: 0.9% SOLUCIÓN: Cálculo de las propiedades termofísicas de las arvejas verdes basándose en el modelo de composición proximal. Estas se consideran constantes para todo el rango de calentamiento. Se asume que todas las arvejas tienen la misma forma esférica. Cálculo de la densidad promedio: (25º C ) = 1078.5Kg / m3 3 ρ (70º C ) = 1061.0 Kg / m ρ
−
ρ
= 1070.25Kg / m3
Cálculo del calor específico promedio: C P ( 25º C ) = 3590.2 J / KgK C P (70º C ) = 3619.1 J / KgK −
C P = 3604.65 J / KgK
Cálculo de la conductividad térmica promedio: K ( 25º C ) = 0.542W / m º C K (70º C ) = 0.591W / mº C −
K = 0.5665W / mº C
Geometría 1D: Esfera
Solución parte a): Cálculo del Número de Biott N BI : N BIOT =
hL
(1.1)
K
donde: h =600W/mK k =0.5665W/mºC ∗
L = R / 3 =
0.0048m = 0.0016m 3
Reemplazando en la ecuación (1.1) se tiene: N BIOT =
600W / m 2 K ∗ 0.0016m = 1.695 0.5665W / mK
Como 0.1< Como 0.1< N BIOT <40 <40 la la resi resist stenc encia ia tant tantoo int intern ernaa com comoo ext extern ernaa se se con consi sider deraa apre apreci ciab able le,, por por lo lo tanto se aplica solución gráfica, ya sea por cartas de Heissler o Gourney. Cálculo de la temperatura adimensional para el caso de una esfera: Y =
T F (0, t ) − T ∞ T I − T ∞
(1.2)
Siendo T F (0, t ) la temperatura final en el centro de la arveja, T I la temperatura inicial, y T ∞ la temperatura del medio, se reemplaza en la ecuación (1.2):
y =
(70 − 90)º C = 0.308 (25 − 90)º C
Números adimensionales: 1 Bi`
K
=
(1.3)
hr 0
Conociendo el diámetro promedio de las arvejas y sustituyendo en la ecuación (1.3), se tiene: 1 Bi`
=
0.5665W / mK = 0.197 600W / m 2 K ∗ 0.048m
Obtención de F 0 `, a partir de la temperatura adimensional (Y) y (1/Bi`), utilizando la gráfica de Heissler: F 0 `=
α ∗ t 2
r
= 0.31
(1.4)
El valor de α corresponde a la difusividad térmica, la que se calcula aplicando la ecuación: α
=
k C P ∗ ρ
(1.5)
Reemplazando los valores se tiene: α
=
0.5665W / mK = 1.468 ∗ 10− 7 m 2 / s 3 3604.65 J / KgK ∗ 1070.25Kg / m
Así, el valor F 0 ` obtenido de la gráfica nos permite despajar nuestra incógnita t, que corresponde al tiempo a partir de la ecuación (1.4): 1.468 ∗ 10−7 m 2 / s ∗ t F 0 `= 0.268 = ⇒ t = 42s (0.0048m) 2
Respuesta: El tiempo requerido para que se complete el proceso de escaldado de las arvejas verdes de radio R promedio 4.8 mm es de 42s. Solución parte b): Números adimensionales:
Si el radio R promedio de la arveja más grande es 6.3mm, entonces reemplazando en las ecuaciones (1.3) y (1.4) tenemos que: 1.468 ∗ 10−7 m 2 / s ∗ 42 s F 0 `= = 0.155 (0.0063m) 2 1 Bi`
=
0.5665W / mK = 0.15 600W / m 2 K ∗ 0.0063m
Con estos valores se busca en cartas de Heissler la temperatura adimensional: Y =
T F (0, t ) − T ∞ T I − T ∞
= 0.58
(1.6)
Ahora se puede despejar la incógnita T F ( 0,t ) , que corresponde a la temperatura final en el centro de la arveja, a partir de la ecuación (1.6): (T F (0, t ) − 90)º C = 0.58 ⇒ T F = 52.3º C (25 − 90)º C
Respuesta: Si el radio de la arveja mas grande es 6.3mm, el proceso de escaldado no habrá inactivado totalmente a la enzima , ya que no se alcanzan los 70ºC en el centro del producto, temperatura estimada para que el proceso sea de inactivación total. Solución parte c: Cálculo de la temperatura superficial y a una distancia R/3 de la superficie para el caso a): *En la superficie, r = 0.0048m ⎡ T F (r , t ) − T ∞ ⎤ ⎢ ⎥= T T − ⎣ I ∞ ⎦
⎡ T (r , t ) − T ∞ ⎤ ⎡ T (0, t ) − T ∞ ⎤ ⎢ ⎥∗⎢ ⎥ T ( 0 , t ) T − I − T ∞ ⎦ ⎣ T ∞ ⎣ ⎦ ⇓ ⇓
Adicional
(1.7)
Heissler
-Conociendo el valor de la temperatura adimensional de la gráfica de Heissler Y = 0.308 -Se debe obtener el valor de Y a partir de la gráfica adicional, para ello se calculan las siguientes relaciones adimensionales: K h ∗ r 0
=
0.5665W / mK = 0.197 600W / m2 K ∗ 0.0048m
(1.8)
r r 0
=
0.0048m = 1 0.0048m
(1.9)
Con las ecuaciones (1.8) y (1.9) obtenemos que: Y=0.2 Reemplazando en la ecuación (1.7): ⎡ T F (r , t ) − T ∞ ⎤ ⎢ ⎥ = 0.2 * 0.308 T T − ∞ 1 ⎣ ⎦ ⎡ (T F (r , t ) − 90)º C ⎤ ⎢ ⎥ = 0.0616 ⎣ (25 − 90)º C ⎦
Entonces, T F (r , t ) = 85.996º C
Respuesta: La temperatura en la superficie de las arvejas para el caso a) es de 85.996ºC. *A una distancia R/3 desde la superficie para el caso a): r = r 0 −
r 0
= 0.0032m 3 r = 0.0032m r 0 = 0.0048m ⎡ T F (r / 3, t ) − T ∞ ⎤ ⎡ T (r / 3, t ) − T ∞ ⎤ ⎡ T (0, t ) − T ∞ ⎤ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥∗⎢ T − T T ( 0 , t ) − T T − T ∞ ∞ ⎦ ⎣ ∞ ⎣ 1 ⎦ ⎣ 0 ⎦ ⇓ ⇓
Adicional
(1.10)
Heissler
-Conociendo el valor de la temperatura adimensional de la gráfica de Heissler Y=0.308. -Se debe obtener el valor de Y a partir de la gráfica adicional, para ello se calculan las relaciones adimensionales (1.8) y (1.9): K h ∗ r 0 r r 0
=
=
0.5665W / mK = 0.197 600W / m 2 K ∗ 0.0048m
0.0032m = 0.667 0.0048m
Se tiene que: Y=0.53 Así entonces, reemplazando en la ecuación (1.10) tenemos que: ⎡ T F (r / 3, t ) − T ∞ ⎤ ⎢ ⎥ = 0.53 ∗ 0.308 T − T ∞ I ⎣ ⎦
(T F (r / 3, t ) − 90)º C = 0.1694 (25 − 90)º C Despejando la temperatura final se tiene: T F ( r / 3, t ) =
79.39º C
Respuesta: La temperatura a una distancia R/3 de la superficie de las arvejas para el caso a) es de 79.39ºC Cálculo de la temperatura superficial y a una distancia R/3 de la superficie para el caso b): *En la superficie, R=0.0063m ⎡ T F (r , t ) − T ∞ ⎤ ⎡ T (r , t ) − T ∞ ⎤ ⎡ T (0, t ) − T ∞ ⎤ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥∗⎢ ⎣ T 1 − T ∞ ⎦ ⎣ T (0, t ) − T ∞ ⎦ ⎣ T 0 − T ∞ ⎦ ⇓ ⇓
Adicional
(1.11)
Heissler
-Conociendo el valor de la temperatura adimensional de la grafica de Heissler Y=0.5 -Se debe obtener el valor de Y a partir de la gráfica adicional, para ello se calculan las relaciones adimensionales (1.8) y (1.9): K h ∗ r 0 r r 0
=
=
0.5665W / mK = 0.15 600W / m2 K ∗ 0.0063m
0.0063m =1 0.0063m
Se obtiene; Y = 0.16 Así entonces reemplazamos en la ecuación (1.11) y tenemos que:
⎡ T F (r , t ) − T ∞ ⎤ ⎢ ⎥ = 0.16 ∗ 0.5 T − T ∞ ⎣ 1 ⎦
(T (r , t ) − 90)º C = 0.08 (25 − 90)º C Despejando entonces la temperatura final, T F = 84.8º C
Respuesta: La temperatura en la superficie de las arvejas para el caso b) es de 84.8ºC *A una distancia R/3 para el caso b): r = r 0 −
r 0
= 0.0042m 3 r = 0.0042m r 0 = 0.0063m ⎡ T F (r / 3, t ) − T ∞ ⎤ ⎡ T (r / 3, t ) − T ∞ ⎤ ⎡ T (0, t ) − T ∞ ⎤ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥∗⎢ − − − T T T ( 0 , t ) T T T ∞ ∞ ⎦ ⎣ ∞ ⎣ 1 ⎦ ⎣ 0 ⎦ ⇓ ⇓
Adicional
(1.12)
Heissler
-Conociendo el valor de la temperatura adimensional de la grafica de Heissler Y=0.5 -Se debe obtener el valor de Y a partir de la gráfica adicional, para ello se calculan las relaciones adimensionales (1.8) y (1.9): K h ∗ r 0 r r 0
=
=
0.5665W / mK = 0.15 600W / m 2 K ∗ 0.0063m
0.0042m = 0.667 0.0063m
Y =0.53 Así entonces reemplazamos en (1.12): ⎡ T F (r / 3, t ) − T ∞ ⎤ ⎢ ⎥ = 0.53 ∗ 0.5 T − T ∞ ⎣ 1 ⎦
y obtenemos que: (T F (r / 3, t ) − 90)º C = 0.265 (25 − 90)º C Despejando la temperatura final se tiene que: T F ( r / 3, t ) =
72.78º C
Respuesta: La temperatura a una distancia R/3 de la superficie de las arvejas para el caso b) es de 72.78ºC.
2) Una planta procesadora de espárragos blancos necesita calcular el tiempo de enfriamiento de turiones de 10 cm de longitud y 2 cm de diámetro. La planta cuenta con un sistema de enfriamiento con agua fría (HIDROCOOLER) a una temperatura variable. El sistema de refrigeración del Hidrocooler permite regular la temperatura del agua entre 0º y 10º C. Además el producto no puede permanecer mas de 12 minutos a l5 acción del agua, ya que de lo contrario la pérdida de nutrientes y sólidos solubles es elevada. Se estimó que el coeficiente convectivo es en promedio 60 W/m2-K. a) ¿Cúal debería ser la temperatura inicial del producto y la temperatura del agua para que se cumpla el requisito tecnológico citado líneas arriba, si la temperatura ideal de almacenamiento refrigerado del espárrago blanco es 5ºC?. b) Si la cinta transportadora tiene 20m de largo por 2m de ancho; y además su velocidad se puede regular de 1 cm/s a 20 cm/s. ¿Cuáles serían las condiciones de funcionamiento de la cinta del hidrocooler?. Determine también la capacidad física de la instalación en Kg/hr. c) Determine las condiciones de instalación del túnel de hidroenfriado descrito en b) para procesar 5000 Kg/hr de kiwi de 5 cm de diámetro en promedio. La temperatura inicial es 20ºC y se desea enfriarlo hasta 6ºC. Utilice el mismo valor de h de a) d) Determine los requerimientos de refrigeración en KW para el enfriamiento de los espárragos y kiwi. Espárrago blanco:
Kiwi:
Humedad = 91.7% Proteínas = 2.5% Lípidos = 0.2% E.N.N = 4.3% Fibra = 0.7% Cenizas = 0.6%
Humedad = 79.7% Densidad = 1050 Kg/m3
SOLUCIÓN: Cálculo de las propiedades termofísicas de espárragos blancos basándose en el modelo de composición proximal. Estas se consideran constantes para todo el rango de calentamiento . Cálculo de la densidad promedio: 3 ρ (5º C ) = 1025.2 Kg / m 3 ρ (10º C ) = 1024.9 Kg / m − 3 ρ = 1025.05 Kg / m Cálculo de la conductividad térmica promedio: K (5º C ) = 0.558W / mK K (10º C ) = 0.566W / mK −
K = 0.562W / mK
Cálculo del calor específico promedio: Cp (5º C ) = 3970.2 Kg / m 3 Cp (10º C ) = 3970.2 Kg / m 3 −
C P = 3970.55 J / KgK
Geometría: H/D = 10/2 = 5, por lo tanto es un cilindro corto ya que los valores entre 1
⎡Cilindro ⎤ ⎡ Plancha ⎤ ⎡Cilindro ⎤ =⎢ ⎥ * ⎢inf inita, Y ⎥ ⎢corto, Y ⎥ R inito Y inf , C ⎦ R P ⎦ H = 2 L ⎣ ⎦ H = 2 L ⎣ ⎣
⎡ T (0,0, t ) − T ∞ ⎤ ⎡ T (r = 0, t ) − T ∞ ⎤ ⎡ T ( z = 0, t ) − T ∞ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ *⎢ ⎥ R T T T T T T − − − 0 0 0 ∞ ∞ ∞ ⎣ ⎦ H ⎣ ⎦ R ⎣ ⎦ H = 2 L
(2.1)
Se debe elegir tanto la temperatura inicial como la del agua (medio), en este caso tomaremos, por ejemplo: 10ºC y 0ºC. Posteriormente se debe calcular el tiempo necesario para que la temperatura en el centro del espárrago cambie desde su temperatura inicial (10ºC) hasta la temperatura de almacenamiento refrigerado (5ºC). Si el tiempo calculado es inferior a 12 min. entonces las temperaturas elegidas ( T 0 y T ∞ ) son adecuadas , ya que el alimento al término del proceso de enfriamiento no ha permanecido en el agua por mas de 12 min. De lo contrario se debe probar con otras temperaturas. Plancha infinita ∞ : Cálculo del Número de Biott N BI : N BIOT =
Siendo: 2
h = 60W/m
K
hL* K
K = 0.562W/mK * L = 0.1m
Reemplazando en la ecuación (2.1), se tiene: 60W / m 2 K ∗ 0.1m N BIOT = = 10.676 0.562W / mK Como 0.1< N BIOT <40 la resistencia tanto interna como externa se considera apreciable, por lo tanto se aplica solución gráfica, ya sea por cartas de Heissler o Gourney. ⎡ T ( z = 0, t ) − T ∞ ⎤ ⎥ T 0 − T ∞ ⎣ ⎦
Calculo de Yp = ⎢
Con los siguientes números adimensionales: 1 BI `
=
K hL
(2.2)
Conociendo L = e/2=0.05m, se sustituye en la ecuación (2.2): 1 BI `
=
F 0 `=
K hL
0.562W / mK = 0.187 60W / m 2 K ∗ 0.05m
=
α ∗ t 2 r 0
(2.3)
El valor α corresponde a la difusividad térmica, la que se calcula aplicando la ecuación (2.4) α
=
K ρ ∗ c p
(2.4)
Reemplazando:
α
=
K ρ ∗ c p
0.562 =
1025.05
Kg m3
W mK
∗ 3970.55
J KgK
Por lo tanto, de la ecuación (2.3) se tiene:
= 1.38 ∗ 10 −7 s
1.38 *10 −7 s ∗ t F 0 `= = 5.52 *10 −5 t 2 (0.05m) Se determinará la temperatura adimensional Yp cilindro infinito ∞ : Cálculo del Número de Biott N BI : N BIOT =
hL* K
Siendo: 2
h =60W/m K K =0.562W/mK * -3 L = 5* 10 m
Reemplazando en la ecuación (2.1), se tiene: 60W / m 2 K ∗ 5 *10 −3 m N BIOT = = 0.534 0.562W / mK Como 0.1< N BIOT <40 la resistencia tanto interna como externa se considera apreciable, por lo tanto se aplica solución gráfica, ya sea por cartas de Heissler o Gourney ⎡ T (r = 0, t ) − T ∞ ⎤ ⎥ T 0 − T ∞ ⎣ ⎦ R
Cálculo de Y C = ⎢
Con los siguientes números adimensionales: Conociendo r =0.01m y reemplazando en la ecuación (2.2) y (2.3) y con anteriormente se tiene: 1 BI `
=
K hL
0.562 =
α ∗ t F 0 = = 2 r 0
`
60
W 2
m K
W mK
= 0.937
∗ 0.01m
1.38 *10 −7 s ∗ t = 1.38 *10 −3 t 2 (0.01m)
α
calculado
Se determinará la temperatura adimensional Yc Cálculo de la temperatura adimensional para un cilindro corto: Y =
T F ( 0,t ) − T ∞ T I − T ∞
(2.5)
Reemplazando se tiene: (5 − 0)º C = 0.5 (10 − 0)º C
y =
Conociendo el valor de la temperatura adimensional (Y =0.5) y conociendo los valores de las relaciones adimensionales:
Cilindro infinito
Tiempo ,t (s)
1 Bi `
1
= 0.937
F 0 `= 1.38 ∗ 10 − t 3
300 390
Plancha infinita
F 0 `= 0.41
Y =0.6 Y = 0.5
F 0 `= 0.5382
Bi `
= 0.187
Cilindro corto Yp * Yc =Y
−5
F 0 `= 5.52 ∗ 10 t F 0 `= 0.017 F 0 = `
0.0215
Y =1 Y =1
0.6 ≠ 0.5 0.5 = 0.5
Respuesta: Con una temperatura inicial de 10ºC y una temperatura del medio de 0ºC se cumple el requisito y el producto permanece menos de 12 min . en el agua. Ya que el tiempo calculado es de 390s Solución b): Largo = 20m Ancho = 2m Velocidad = 1
cm s
≤ v ≤ 20
cm s
Tiempo = 390s Conocemos la ecuación: v =
L t
reemplazando, se tiene: v=
2000cm cm = 5.128 390s s
(2.6)
Cálculo del área de la cinta transportadora: Ac = l arg o * ancho 2
Ac = 20 * 2 = 40m = 400.000cm
2
Área de un espárrago: A = 2π rH = 62.83cm 2
Luego se debe calcular la cantidad de espárragos que caben en la cinta: 1espárrago → 62.83cm 2 } x = 6366.4 ≈ 6366 espárragos. 2 xespárrago → 400.000cm Ahora se calcula la masa de cada espárrago, como sigue: volumen = π r 2 H = 3.14 ∗ 10 −5 m 3 −
ρ =
1025.05
Kg m3
Se tiene: ρ =
m v
→ m = ρ ∗ v = 0.032 Kg
Si multiplicamos la masa de cada espárrago por la cantidad de éstos, se tiene: masa total de espárragos = 0.032Kg∗ 6366 espárragos = 203.71 Kg Luego: Capacidad física de la cinta =
203.71Kg Kg = 1880.42 390s h
Respuesta: La cinta Hidrocooler funciona a una velocidad de 5.128 cm/s. La capacidad física de la instalación es de 1880.42Kg/h.
Solución c): Datos: ⋅
m = 5000Kg/h
D = 5 cm T i = 20ºC T f = 6ºC T ∞ = 0ºC (se utiliza la T ∞ calculada en a)) h = 60W/Mk
Cálculo de las propiedades termofísicas basándose en el modelo de composición binaria. Estas se consideran constantes para todo el rango de calentamiento. Cálculo de la densidad promedio: 3 ρ ( 20º C ) = 1050 Kg / m 3 ρ (6º C ) = 1051.5 Kg / m −
ρ
= 1050.75Kg / m 3
Cálculo de la conductividad térmica promedio: K ( 20º C ) = 0.541W / mK K (6º C ) = 0.52W / mK −
K = 0.5305W / mK
Cálculo del calor específico promedio: Cp ( 20º C ) = 3676.8 J / KgK Cp (6º C ) = 3691.5 J / KgK −
Cp = 3684.15 J / KgK
Cálculo del número de Biot:
N BIOT =
hL K
60 =
W 2
m K
∗ 8.3 ∗ 10 −3 m
0.5305
W
= 0.942
mK
Como 0.1< N BIOT <40 la resistencia tanto interna como externa se considera apreciable, por lo tanto se aplica solución gráfica, ya sea por cartas de Heissler o Gourney. Cálculo de la temperatura adimensional para el caso de una esfera: Y =
T F (0, t ) − T ∞ T I − T ∞
Siendo TF la temperatura final en el centro del producto, TI la temperatura inicial, y T ∞ la temperatura del medio, todos valores conocidos, se reemplaza en la ecuación:
Y =
(6 − 0)º C = 0.3 (20 − 0)º C
Números adimensionales: 1 BI `
=
K hL
0.5305 =
60
W m 2 K
W mK
= 0.354
∗ 0.025m
Obtención de F 0 `, a partir de la temperatura adimensional (Y) y (1/Biot`), utilizando la gráfica de Heissler: F 0 `=
α ∗ t = 2 r 0
2.192 ∗ 10 − 4 t
El valor de α corresponde a la difusividad térmica, la que se calcula aplicando la siguiente ecuación:
α
=
K ρ ∗ c p
0.5305 =
1050,75
Kg m3
W mK
∗ 3684.15
J
= 1.37 ∗ 10 −7 s
KgK
De esta manera, el valor de F 0 ` obtenido de la gráfica nos permite despejar nuestra incógnita t, que corresponde al tiempo: Entonces: α ∗ t F 0 = = 2 r 0
`
1.37 *10 −7 s ∗ t 0.37 = = 2.192 * 10 −4 t 2 (0.025m)
t =1687,96s. Cálculo de la velocidad de la cinta: Conocemos la ecuación: v =
L t
Reemplazando, se tiene: v=
2000cm cm = 1.185 1687.96s s
Cálculo de la capacidad física de la instalación en Kg/h: Cálculo del área de la cinta transportadora: Ac = l arg o * ancho 2
Ac = 20 * 2 = 40m = 400.000cm
2
Cálculo de área de 1 kiwi: A = 4π r 2 = 78.54cm 2
Luego se debe calcular la cantidad de producto que cabe en la cinta: 1kiwi → 78.54cm 2 } x = 5092.95 kiwis. 2 xkiwi → 400.000cm Ahora se calcula la masa de cada kiwi, como sigue: Volumen =
4 3 −5 3 π r = 6.545 ∗ 10 m 3
Densidad = 1050.15
ρ
=
m v
Kg m3
→ m = v * ρ = m = 0.0688Kg
Si multiplicamos la masa de cada kiwi por la cantidad total de éstos, se tiene: masa total de kiwis = 0.0688Kg ∗ 5092.95 = 350.395Kg Luego: Capacidad física de la cinta =
350.395Kg Kg = 747.11 0.469h h
No se pueden procesar los 5000 Kg/h de kiwis de 5 cm de diámetro promedio, porque la capacidad física de la cinta es de solo 747.11 Kg/h.
Solución d): De foodproperty se obtiene entalpía tanto para los espárragos (composición proximal), como para los kiwis (composición binaria) a)Espárrago: h(5º C ) = 19851 J / Kg h(10º C ) = 39709 J / Kg
•
m = 1880.42 Kg / h
Se tiene la siguiente ecuación: •
CR = m ∆h CR = 1880.42
Kg
(39709 − 19851)
h
CR = 37.34 ∗ 10
J
6
hr
∗ 2.78 ∗ 10 −7
J Kg
KWh J
CR = 10.381KW
Respuesta: Los requerimientos de refrigeración para el enfriamiento de espárragos son de 10.381KW. b) Kiwi: h(6º C ) = 22149 J / Kg h( 20º C ) = 73536 J / Kg •
m = 747.11Kg / h
Se tiene la siguiente ecuación: •
CR = m ∆h CR = 747.11
Kg h
(73536 − 22149)
CR = 38.392 ∗ 10 6
J hr
∗ 2.78 ∗ 10 −7
J Kg
KWh J
CR = 10.673KW
Respuesta: Los requerimientos de refrigeración para el enfriamiento de los kiwis son de 10.673 kW
3) Se quiere diseñar un escaldador continuo para procesar cortes de zanahoria de 1cm de largo por 6cm de radio. Se piensa utilizar agua caliente a 90ºC. La enzima Peroxidasa será utilizada como índice de eficiencia de escaldado, estimándose que es totalmente desactivada a 70ºC. El coeficiente superficial de transferencia de calor se estima igual a 450W/m2K. La temperatura inicial del producto es 20ºC. a) Calcule el tiempo de escaldado de los cortes de zanahoria. b) Si la velocidad de la cinta es 0.01m/s y el ancho de la misma es 90cm, determinar la capacidad física de la instalación en Kg/hr. c) Si las características sensoriales del producto se alteran negativamente al sobrepasar los 80ºC durante 2 minutos, ¿el tiempo calculado en a) es el adecuado para la óptima calidad del producto?. Si no es así ¿qué haría usted al respecto para que el proceso sea viable?, y ¿cuál sería el tiempo o las nuevas condiciones operacionales que sugeriría usted? Composición proximal: Humedad: 89% Proteínas. 0.9% Lípidos:0.5% ENN:8.1% Fibra:0.7% Cenizas:0.8% SOLUCIÓN: Cálculo de las propiedades termofísicas de los cortes de zanahoria basándose en el modelo de composición proximal. Estás se consideran constantes para todo el rango de calentamiento. Cálculo de la densidad promedio: (20º C ) = 1035.6 Kg / m3 3 ρ (70º C ) = 1018.6 Kg / m ρ
−
ρ
= 1027.1Kg / m3
Cálculo del calor específico promedio. C P (20º C ) = 3896.1 J / KgK C P (70º C ) = 3921.7 J / KgK −
C P = 3908.9 JKg / K
Cálculo de la conductividad térmica promedio: K ( 20º C ) = 0.575W / mº C K (70º C ) = 0.632W / mº C
−
K =
0.6035W / mº C
Geometría 2D: H/D H/D=1/12=0.08, como H/D<1/6 se trata de una plancha infinita.
Solución parte a): Cálculo del Número de Biott N BI : N BI =
h * L* K
(2.1)
Siendo: h = 450W/m2K K = 0.6035W/mºC * L = e =0.01m Reemplazando en la ecuación (2.1), se tiene: 450W / m 2 K * 0.01m N BI = = 7.457 0.6035W / mº C Se trata del caso de transferencia de calor con resistencia interna y externa apreciable, por lo tanto se aplica la solución gráfica, ya sea por las cartas de Heissler o Gourney. Cálculo de la temperatura adimensional para el caso de una plancha infinita: Y =
T F (0, t ) − T ∞ T I − T ∞
(2.2)
Siendo T F (0,t) la temperatura final en el centro de la plancha, T I la temperatura inicial, y T ∞ la temperatura del medio, todos valores conocidos, se reemplaza en la ecuación (2.2): Y =
(70 − 90)º C = 0.29 (20 − 90)º C
Números adimensionales: 1 Bi
`
=
K h ∗ L
Conociendo, el radio de los cortes de zanahoria, se sustituye en la ecuación (2.3): 1 Bi
`
=
0.6035W / mK = 0.268 450W / m 2 K ∗ 0.005m
(2.3)
Obtención de F0`, a partir de la temperatura adimensional (Y) y de (1/Bi`), utilizando gráfica de Heissler: `
F 0 =
α ∗ t = 2
r
0.9
(2.4)
El valor de α corresponde a la difusividad térmica, la que se calcula aplicando la ecuación (2.5): α
=
α
K
=
C P ∗ ρ
(2.5)
0.6035W / mK = 1.5 ∗ 10− 7 m 2 / s 3 3908.9 J / KgK ∗ 1027.1Kg / m
De esta manera. el valor F0` obtenido de la gráfica nos permite despejar nuestra incógnita t, que corresponde al tiempo, a partir de la ecuación (2.4): 1.5 ∗ 10−7 m 2 7 s ∗ t F 0 = 0.9 = (0.005m) 2 `
despejando :
t =150s = 0.0416hr ≈ 0.042hr
Respuesta: El tiempo requerido para que se complete el proceso de escaldado de los cortes de zanahoria de 1cm de largo y de radio 6 cm es de 150s.
Solución parte b): Cálculo del área de la cinta transportadora: Conocemos la ecuación
v =
L t
(2.6)
Con la que calculamos velocidad como una función del tiempo; en este caso es posible calcular el valor de L (largo de la cinta), ya que la velocidad v y el tiempo t es conocido: 0.01m / s = L =1.5m
L
150s
Así entonces es posible calcular el área de la cinta transportadora, aplicando la siguiente relación: AC = l arg o ∗ ancho AC =1.5m*0.9m
=1.35m2
Área de 1 corte de zanahoria: Area = diametro * diámetro
donde: diámetro =0.12m Área =0.0144m2 Por lo tanto el número de cortes de zanahoria que caben en la cinta es:
1corte → 0.0144m2 xcortes → 1.35m 2 x =93.75 cortes. Cálculo de la masa de 1 corte de zanahoria: Sabemos que la densidad es igual a : ρ
=
m v
(2.7)
Por lo que conociendo el volumen que ocupa 1 corte de zanahoria, es posible despejar el valor de m a partir de la ecuación (2.7), así entonces el volumen de 1 corte de zanahoria es igual a : V = π ∗ r 2 ∗ h V = π ∗ 0.06 m ∗ 0.01m = 1.131 * 10− m 2
2
4
3
Así despejamos la masa de 1 corte de zanahoria: m = V ∗ ρ
m = 1.131*10-4m3*1027.1Kg/m3= 0.116 Kg Capacidad del escaldador: Se aplica la siguiente relación: capacidad = n º cortes ∗
m t
capacidad = 93.75cortes ∗
0.116 Kg Kg = 258.93 0.042hr hr
Respuesta: La capacidad física de la instalación, para una cinta transportadora de ancho 90cm y que opera a una velocidad de 0.01m/s es 258.93 Kg/hr
Solución parte c): Cálculo de la temperatura en la superficie de cortes de zanahoria ya que se está evaluando las características sensoriales del producto al término del proceso de escaldado: ⎡ T F (r , t ) − T ∞ ⎤ ⎡ T (r , t ) − T ∞ ⎤ ⎡ T (o, t ) − T ∞ ⎤ ⎢ ⎥=⎢ ⎥∗⎢ ⎥ T T T ( 0 , t ) T − − I − T ∞ ⎦ ⎣ T ∞ ⎣ I ∞ ⎦ ⎣ ⎦
(2.8)
Números adimensionales: 1 Bi
=
`
K h ∗ L
(2.9)
Conociendo, el radio de los cortes de zanahoria, se sustituye en la ecuación (2.9): 1 Bi `
=
`
F 0 =
0.5905W / mK = 0.268 450W / m 2 K ∗ 0.005m α ∗ t 2
r
(2.10)
El valor de α corresponde a la difusividad térmica, la que se calcula aplicando la ecuación (2.5): α
α
=
=
K C P ∗ ρ
0.6035W / mK = 1.5 ∗ 10− 7 m 2 / s 3 3908.9 J / KgK ∗ 1027.1Kg / m
Luego F 0 ` se calcula para t =150minutos (tiempo requerido para que se complete el escaldado de las arvejas verdes): 1.5 ∗ 10−7 m 2 7 s ∗ 150 s F 0 = = 0.9 (0.005m) 2 `
De gráfica de Heissler se obtiene: Y=0.29 Se debe obtener el valor de Y a partir de la gráfica adicional, para ello se calculan las siguientes relaciones adimensionales: 1 Bi `
x L
=
=
0.5905W / mK = 0.268 450W / m 2 K ∗ 0.005m 0.005m = 1 0.005m
(2.11)
(2.12)
Con (2.9) y (2.12) se obtiene: Y=0.3 Reemplazando en la ecuación (2.8): ⎡ T F (r , t ) − T ∞ ⎤ ⎢ ⎥ = 0.3 * 0.29 T T − ⎣ I ∞ ⎦
(T F (r , t ) − 90) = 0.087 (20 − 90) T F (o, t ) = 83.91º C
Respuesta: Al final de el proceso de escaldado la temperatura en la superficie del producto es de 83.91ºC. Para saber si el producto estuvo expuesto a 80ºC por mas de 2 minutos al tiempo calculado en a) le resto 120s y calculo la temperatura en la superficie del alimento en este instante. Si mi temperatura es inferior a 80ºC puedo decir entonces que mi tiempo calculado en a) es el adecuado para la óptima calidad del producto. Se tiene: ⎡ T F (r , t ) − T ∞ ⎤ ⎡ T (r , t ) − T ∞ ⎤ ⎡ T (0, t ) − T ∞ ⎤ ⎢ ⎥=⎢ ⎥∗⎢ ⎥ ⎣ T I − T ∞ ⎦ ⎣ T (o, t ) − T ∞ ⎦ ⎣ T I − T ∞ ⎦
Números adimensionales: Conociendo, el radio de los cortes de zanahoria, Se sustituye en la ecuación (2.9):
2.13)
1 Bi `
`
=
F 0 =
0.5905W / mK = 0.268 450W / m 2 K ∗ 0.005m α ∗ t 2
r
El valor de α corresponde a la difusividad térmica,la que se calcula aplicando la ecuación (2.5): α
=
0.6035W / mK = 1.5 ∗ 10− 7 m 2 / s 3 3908.9 J / KgK ∗ 1027.1Kg / m
Luego F 0 ` se calcula para t =30s (tiempo requerido para que se complete el escaldado de las arvejas verdes): 1.5 ∗ 10−7 m 2 7 s ∗ 30s F 0 = = 0.18 (0.005m) 2 `
De gráfica de Heissler se obtiene: Y=0.98 Se debe obtener el valor de Y a partir de la gráfica adicional, para ello se calculan las siguientes relaciones adimensionales: 1 Bi x L
=
`
=
0.5905W / mK = 0.268 450W / m 2 K ∗ 0.005m
0.005m =1 0.005m
Con (2.9) y (2.12) se obtiene: Y=0.3 Reemplazando en la ecuación (2.8): ⎡ T F (r , t ) − T ∞ ⎤ ⎢ ⎥ = 0.3 * 0.98 T T − I ∞ ⎣ ⎦
(T F (r , t ) − 90) = 0.294 (20 − 90) T F (r , t ) =
69.42º C
Respuesta: El tiempo calculado en a) es el adecuado para la óptima calidad del producto, debido a que desde que el alimento alcanza 80ºC en la superficie el tiempo transcurrido hasta el final del proceso es inferior a 2 minutos.
