Calcular Volumen de Una Botella de Yakult Por Medio de Integrales

 Calcular Volumen de una botella de Yakult por medio de Integrales.

Para calcular el volumen de una botella por medio de integrales primero tenemos que dividirla en secciones ya que no todas ellas tienen los mismos valores de radio y altura. Para medir la botella usamos una regla milimétrica y un

Y

vernier.

2.05

2.05

2.05

2.05

1.85 1.1  X 2.2

1.1

1.7

3.2

Primer Segmento Y

Y

R r

 X

 X h

2.2

Para calcular el volumen del primer segmento primero tenemos que determinar la ecuación de la recta que hace de punto a punto. Ecuación de una recta con pendiente:

 = −−

 =  + 

b= intersección con eje y

Por tanto:

 = −− + 

=>

 = − − + 

=>

 = − + 

Ahora usamos el método de discos para obtener la integral:

∫ℎ

=>

 ∫  

  = − + 

Sustituimos:

 ∫    ∫− +    ∫[−  + 2− + ]            ℎ   +  2 ℎ   +    =>

Integramos:

   2            [ 3ℎ + 2ℎ +  ]

=>

ℎ    ℎ  ℎ    [ 3ℎ + ℎ + ℎ ]0 Sustituimos valores:

2.2  1.85 1.12.21.1   1. 8 5  1. 1  = 15.36  1.   32.2 + +  2. 2 1 2.2 Segundo Segmento Y

Y

r

 X 1.1

 X h

Se realiza el mismo procedimiento que en el anterior a diferencia de que esta es una recta normal que solo está en función de su radio.

∫ℎ

=>

 ∫  

Por tanto:

 ∫   Integramos:

 

=>

 ℎℎ0

Sustituimos:

(2.051.1) = 14.52 

  = 

Tercer Segmento Y

Y

 X

 X

1.7

h

Nuevamente se vuelve a aplicar el mismo procedimiento pero ahora con la ecuación de una parábola, y = x 2

∫ℎ

=>

 ∫  

Por tanto:

 ∫ 

=>

 ∫  

Integramos:



=>

Sustituimos:

ℎ0

,7 = 8.92 

  = 

Cuarto Segmento Y

Y

 X 3.2

 X h

Para este segmento se usa la misma fórmula dada en el segmento 2 ya que también es de una recta con función del radio

 ℎℎ0

Sustituimos:

(2.053.2) = 42.24  Volumen Total Para saber el volumen total de toda la botella es necesario sumar los volúmenes de cada segmento y restarle a cada uno el grosor de la botella ya que no fue considerado a la hora de medir.

 =  +  +  +   = 15.36 .10 + 14.52 .10 + 8.92  .10 + 42.24 .10 = 80.64  Sabemos que 1 cm3 = 1 ml Por tanto:

80.64  = 80.64 

l

La botella de Yakult contiene 80 ml.