FACULTAD DE INGENIERÍA CARRERA DE INGENIERÍA CIVIL CURSO DE CALCULO II 2017-2
EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE LA INTEGRAN DEFINIDA: CALCULO DEL VOLUMEN DE UNA BOTELLA USANDO INTEGRALES INTEGRALES”
“
ALUMNA:
Laura Paola Valencia López
DOCENTE:
FECHA:
Jaime Martell Cusquipoma
Cajamarca, 08 de Noviembre de 2017
CAJAMARCA – PERÚ
PRESENTACI N
Desde que su invento el cálculo por lo general ha sido de gran ayuda en la resolución de problemas de matemática, física, química, etc. Básicamente las integrales se usan cotidianamente en el cálculo de áreas, longitudes de curvas y volúmenes de cuerpos de revolución. Pero no solamente se usa para simples cálculos matemáticos, sino que estos se relacionan con la solución de problemas diversos como en administración, en la ecología, informática, estadística, medicina, y en las distintas ramas de la ingeniería. Investigando un poco daré ejemplos de su uso en algunas de estas especialidades:
Se utilizan utilizan en administración cuando trabajan con los costos de una empresa. empresa. Al tener el costo marginal de producción de un producto, pueden obtener la fórmula del costo total a través de integrales.
En la ecología ecología de emplea para el conteo de organismos organismos y cálculo cálculo de crecimiento exponencial de bacterias y especies.
En informática informática de de utiliza en la fabricación fabricación de chips y más.
En la estadística para la propagación de incertidumbres.
Como se sabe es una herramienta muy útil y para ello se hizo una aplicación de la integral para el cálculo del volumen de una botella, cuyos pasos se encuentra desarrollado a lo largo del informe.
OBJETIVOS OBJETIVO PRINCIPAL:
Calcular el volumen de botella de yogurt Gloria de 500 ml.
OBJETIVOS ESPEFIFICOS:
Comparar los resultados teóricos con el resultado práctico en la medición del volumen.
Calcular el área superficial de la botella, centro de masa, área que será girada y longitud de arco de la botella
Aplicar el conocimiento obtenido en clases.
PROCEDIMIENTO
Identificamos cuantas funciones podría tener nuestra botella.
Separamos por tramos el contorno de la botella de acuerdo al tipo de función que describa.
Luego procedemos al cálculo del área de cada tramo que será girada para obtener el sólido de revolución y por consecuencia se obtendrá el volumen; el método que se utilizó fue “Método del disco” cuyo método se aprendió en clases.
De igual forma y de acuerdo a lo aprendido en clases se determinó el centro de masa el área superficial y la longitud de arco de cada tramo de la botella.
Para luego de obtener todos los volúmenes, se hizo una sumatoria de todos para hallar así el volumen teórico total de la botella.
Finalmente llenamos la botella de agua hasta su límite para poder medir así su volumen real (práctico).
MARCO TEÓRICO INTEGRACIÓN La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños. El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación. Es muy común en la ingeniería y en la ciencia; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución. Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.
LA INTEGRAL COMO LÍMITE DEL ÁREA: La aproximación al valor del área bajo una curva puede mejorarse tomando rectángulos de aproximación más estrechos. La idea de la integral es incrementar el número de rectángulos N hacia el infinito, tomando el límite cuando el ancho del rectángulo tiende a cero.
MÉTODO DE DISCOS PARA EL CÁLCULO DE VOLUMEN POR MEDIO DE LA INTEGRAL DEFINIDA Este método consiste en hacer rotar nuestra función sobre algún eje para obtener un sólido de revolución que pueda modelarse como la sumatoria de discos. El área transversal de los discos será el área de un circulo
, y el ancho será un
. Es
importante saber el eje de rotación, ya que dependiendo de esto se encuentra o despeja la
ecuación
en
función
de la
variable
específicamente.
Por
ejemplo
si rotáramos la función en el eje y, despejamos la función dependiendo de y. Siendo el ancho del disco
. También f(x) = r.
Definición:
CALCULO DE LA LONGITUD DE ARCO MEDIANTE LA INTEGRAL DEFINIDA La longitud del arco, de la curva f(x), comprendido entre las abscisas x = a y x = b viene dado por la integral definida:
ÁREA DE SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN USANDO LA INTEGRAL DEFINIDA: La fórmula para calcular el área de una superficie de revolución al rotar una función definida en el intervalo [a,b], alrededor del eje de las x está dada por:
Funciones que componen el contorno de la botella.
Dibujo del área a ser girada para obtener el volumen.
Separación de tramos de acuerdo al tipo de función.
Para el tramo 4 necesitamos hallar la ecuación de la curva S(x) con Excel:
X 6.8 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Y 3.25 3.05 2.95 2.85 2.8 2.75 2.8 2.85 2.9 2.95 3.1 3.25
FUNCIÓN S(x) y = 0.0145x 2 - 0.3558x + 4.9697 3.4 3.2 3 2.8 2.6 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Para el tramo 5 necesitamos hallar la ecuación de la curva t(x) con Excel:
t(x)
X
Y
18
3.25
18.5
3.25
19
3.2
19.5
3.15
20
3
20.5
2.75
21
2.2
y = -0.1881x2 + 7.025x - 62.305
3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 17.5
18
18.5
19
19.5
20
20.5
Y también la ecuación de la curva m(x) con Excel:
m(x)
X
Y
20.3
0
20.5
1.3
20.7
1.9
21
2.2
y = 6.7857x3 - 426.07x2 + 8918.3x - 62227
2.5
2
1.5
1
0.5
0 20.2 -0.5
20.4
20.6
20.8
21
21.2
21
21.5
Ahora graficamos todos los puntos en el Excel: X
Y
0
1.85
2.5
1.85
5.2
3.25
6.8
3.25
8
3.05
9
2.95
10
2.85
11
2.8
12
2.75
13
2.8
14
2.85
15
2.9
16
2.95
17
3.1
18
3.25
18.5
3.25
19
3.2
19.5
3.15
20
3
20.5
2.75
21
2.2
21
0
BOTELLA DE YOGURT GLORIA 500 ml 4 3 2 1 0 0
5
10
15
20
25
BOTELLA DE YOGURT GLORIA 500 ml 4 3 2 1 0 0
5
10
15
20
25
RESULTADOS El objetivo principal fue obtener el volumen de una botella de yogurt Gloria de 500 mL, así que se obtuvo un resultado de 516.6 3, siendo éste el volumen teórico de la botella. Para calcular el error se calculó primero el volumen práctico de la botella obteniéndose un valor de 509 3 .
CALCULO DE ERRORES: Error Absoluto = | | = |. | = . Error relativo: =
|−|
=
|.−|
= . = 1.5%
CONCLUSIONES
Si se puede calcular el volumen de la botella de yogurt Gloria de 500 ml.
Comparando los resultados teóricos con el resultado práctico en la medición del volumen se determinó que existe un error absoluto de . y un error relativo de . o . % , el cual nos da a entender que el error es mínimo.
Los conocimientos teóricos aprendidos en clases son de mucha importancia en la práctica.
