Calcul Des Potelets Selon L_EuroCode 3

CH5 : Calcul des potelets

Calcul des potelets 1- Introduction : Les potelets sont le plus souvent des profilés en I ou H destinés à rigidifier la clôture (bardage) et résister aux efforts horizontaux du vent. Leurs caractéristiques varient en fonction de la nature nature du bardage (en maçonnerie ou en tôle ondulée) et de la hauteur de la construction. Ils sont considérés comme articulés dans les deux extrémités. Bardage (Tôle nervurée) Potelet

Lisse de bardage h Poteau

b

2- Détermination des sollicitations : Le Potelet, travaille à la flexion sous l’action de l’effort du vent provenant du bardage et des lisses, et à la compression sous l’effet de son poids propre, du poids du bardage et des lisses qui lui est associé, et de ce fait fonctionne à la flexion composé.

2.1- Evaluation des charges et surcharges : a- charges permanentes (G) : (charge concentrée) G = poids propre du potelet + poids propres des lisses + poids propre du bardage.

b- surcharge climatiques : (dans le plan de l’âme) surcharge du vent (V) : Combinaisons de charges :

1.35G + 1.5V

1


3- Principe de dimensionnement : Pour les éléments comprimés et fléchis, très élancés, on les dimensionne souvent sous la condition de la flèche.

3.1- Condition de flèche : La vérification de la flèche se fait sous le vent (non pondéré).

y La flèche autour de l’axe y :

z y

f y =

5 384

×

4

V .l l ≤ f ad = 200 E.I y V

l : longueur du potelet le plus chargé. Iy ≥

1000 V.l 3 384

×

E

On choisit la section du profilé dans les tableaux ayant au moins la valeur de I y supérieure ou égale à la valeur trouvée.

3.2. Vérification à la sécurité : Le potelet est sollicité à la flexion (due au vent) et à la compression (due à son poids propre, aux poids du de bardage et des lisses). En aucun cas, il ne supporte la toiture (il est assujetti au portique par appui glissant). Il travaille à la flexion composée. La vérification à la sécurité est donnée par les formules suivantes :

G 3.2.1. Vérification à la résistance : (poteau court)

y

Pour une section comprenant des semelles :

•

Si NSd

f

y

Min(0.25 N pl ,0.50 AW . f y / γ M 1 ) : présence d’effort normal

z

Section de classe 1 et 2 : Flexion autour de l’axe yy :

V

M y ≤ M Ry

2


⎡ 1− n ⎤ M Ry = M ply ⎢ ⎣1 − 0.5a⎥⎦ Flexion autour de l’axe zz :

G

M z ≤ M Rz

y

⎡ ⎛ n − a ⎞ ⎤ M Rz = M plz ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎣ ⎝ 1 − a ⎠ ⎥⎦ Aw = A − 2b.t f (aire de l’âme)

z

2

V

a = min( AW / A;0.5) n=

y

z

NSd N pl

N = 1.35G (1.5V ) × l 2

My =

8

N pl =

A. f y

M ply = M plz =

γ M 0

Wply . f y γ M 0

Wplz . f y γ M 0

G : poids propre des éléments supportés par le potelet ; G = poids des lisses + Poids du bardage + Poids propre du potelet

3.2.2. Vérification à la stabilité : (Poteau élancé) Si : λ max

f

0.2

NSd χ min .N pl

f

→

0.1

→

(il y a risque de flambement) (présence de l’effort normal)

Où : λ max = Max(λ y, λ z ) et χ min = Min( χ y; χ z ) La vérification à la stabilité est donnée par la formule suivante :

3


ky .M y NSd + ≤ 1.0 χ min .N pl M ply Avec :

N pl =

A. f y γ M 1

M ply =

Wply . f y

ky = 1 −

γ M 1 y.

NSd

χ y. Af y

avec ky ≤ 1.5

µ y = λ y ( 2β My − 4) +

Wply − Wely Wely

avec

y

≤ 0.9

G : poids propre des éléments supportés par le potelet ; G = Poids des lisses + Poids du bardage + Poids propre du potelet Calcul de l’élancement réduit λ max :

⎛ λ ⎞ 0.5 λ max = ⎜⎜ max ⎟⎟[ β A ] ⎝ λ 1 ⎠ 0.5

⎡E⎤ λ 1 = π ⎢ ⎥ ⎣⎢ f y ⎦⎥ λ max = Max(λ y, λ z ) λ y =

ly iy

;

λ z =

: élancement critique d’Euler : élancement maximale de l’élément.

lz ; iz

l y : longueur de flambement par rapport à l’axe yy

l z : longueur de flambement par rapport à l’axe zz i y : rayon de giration par rapport à l’axe yy

i z : rayon de giration par rapport à l’axe zz β A = 1.0 : pour les sections transversales de classe 1,2 ou3. Calcul du coefficient de réduction χ min à l’aide du Tableau 3 (voir le Tableau 5.5.2 de l’Eurocode 3) : On calcul

λ = λ max = Max(λ y ; λ z )

On lit la valeur de χ = χ min directement dans le tableau 3 en fonction de l’élancement réduit λ et de la courbe de flambement appropriée.

4


Tableau 1 Choix de la courbe de flambement correspondant à une section Type de Section limites Axe de flambement Section en I laminées h/ b f 1.2 tf

− z− z

a b

− z− z

b c

t f ≤ 100mm

− z− z

b c

t f

− z− z

d d

t f ≤ 40 mm

z

40 mmp t f ≤ 100 mm y

y

Courbe de flambement

h

h/ b ≤ 1.2 z b f

100 mm

Sections en U L T et sections pleines ,

,

Quel qu’il soit

c

Pour les autres cas : voir Tableau 5.5.3 de l’Eurocode 3.

Tableau 2 : Détermination des points de maintien Facteur Axe de flexion Points maintenus suivant la direction

β My

β Mz β MLT

−

z− z

z− z y− y

− y− y

5


Tableau 3 : Coefficients de réduction χ Courbe de flambement

λ

a

b

c

d

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0

1.0000 0.9775 0.9528 0.9243 0.8900 0.8477 0.7957 0.7339 0.6656 0.5960 0.5300 0.4703 0.4179 0.3724 0.3332 0.2994 0.2702 0.2449 0.2229 0.2036 0.1867 0.1717 0.1585 0.1467 0.1362 0.1267 0.1182 0.1105 0.1036

1.0000 0.9641 0.9261 0.8842 0.8371 0.7837 0.7245 0.6612 0.5970 0.5352 0.4781 0.4269 0.3817 0.3422 0.3079 0.2781 0.2521 0.2294 0.2095 0.1920 0.1765 0.1628 0.1506 0.1397 0.1299 0.1211 0.1132 0.1060 0.0994

1.0000 0.9491 0.8973 0.8430 0.7854 0.7247 0.6622 0.5998 0.5399 0.4842 0.4338 0.3888 0.3492 0.3145 0.2842 0.2577 0.2345 0.2141 0.1962 0.1803 0.1662 0.1537 0.1425 0.1325 0.1234 0.1153 0.1079 0.1012 0.0951

1.0000 0.9235 0.8504 0.7793 0.7100 0.6431 0.5797 0.5208 0.4671 0.4189 0.3762 0.3385 0.3055 0.2766 0.2512 0.2289 0.2093 0.1920 0.1766 0.1630 0.1508 0.1399 0.1302 0.1214 0.1134 0.1062 0.0997 0.0937 0.0882

Tableau 4. Facteur de moment uniforme équivalent β M Diagramme de moment

Facteur de moment uniforme équivalent

β M Moments d’extrémités

M1

M1

−1 ≤

β Mψ = 1.8 − 0.7

≤1

Moments dus à des charges transversales

MQ

β M ,Q = 1.3

MQ

β M ,Q = 1.4

Pour les autres cas : voir Figure 5.5.3 de l’Eurocode 3.

Si : λ LT ≥ 0.4

→

il y a risque de déversement 6


La formule de vérification est la suivante : Section de classe 1 et 2 :

kLT .M y NSd + ≤ 1.0 χ min .N pl χ LT .M ply

avec :

N pl =

A. f y γ M 1

kLT = 1 −

M pl =

et

µ LT .NSd χ z . Af y

Wpl . f y γ M 1

et kLT ≤ 1.0

µ LT = 0.15λ z .β MLT − 0.15

et

LT

≤ 0.9

β MLT est un facteur de moment uniforme équivalent pour le déversement.

⎡ λ LT ⎤ 0.5 ⎥.[β w ] ⎣ λ 1 ⎦ E Avec : λ 1 = π = 93.9ε f y λ LT = ⎢

et

ε =

235

f y

λ LT : élancement de l’élément vis-à-vis du déversement Pour les profilés laminés en I ou H

λ LT =

L / iz 2 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ L i 1 / 0.5 z (C1 ) ⎢1 + ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ 20 ⎢⎣ h/ tf ⎥⎦ ⎥ ⎣ ⎦

0.25

Calcul du coefficient de réduction pour le déversement χ LT : Calcul analytique : χ LT =

1 ϕ LT + [ϕ LT − λ LT ] 2

2

0.5

≤ 1.0

2 avec : ϕ LT = 0.5 1 + α LT (λ LT − 0.2) + λ LT

7


2 ϕ LT = 0.5 1 + α LT (λ LT − 0.2) + λ LT

χ LT =

1 2 2 ] ϕ LT + [ϕ LT − λ LT

0.5

Calcul de χ LT à l’aide du tableau 3 ( voir Tableau 5.5.2 de l’Eurocode 3). Les valeurs du coefficient de réduction χ LT pour l’élancement réduit approprié λ LT peuvent être obtenues à partir du tableau 3 , avec λ = λ LT et χ = χ LT , en utilisant :

• •

La courbe a pour les profils laminés. La courbe c pour les profils soudés.

Exemple d’application : Soit à dimensionner le potelet de la face pignon (petite face) le plus chargé de la figure ci – dessous dans le cas des deux variantes suivantes : Variante 1 : le potelet supporte en plus de son poids propre le poids du bardage (bacs acier) de 12.0 kg/m2 , le poids des isolants ainsi que le poids des lisses qui lui revient ( IPE 120). Variante 2 : le potelet supporte en plus de son poids propre le poids du bardage (brique creuse) de 120 kg/m2 , le poids des isolants ainsi que le poids des lisses qui lui revient ( IPE 200). La pression engendrée par le vent dans les deux cas est de : V = +100kg / m2 .

Traverse (ou ferme)

Potelet le plus chargé

1.5 m Lisse de bardage

2.0 m

Poteau

2.0 m 2.0 m

4.0 m

4.0 m

4.0 m

4.0 m

8


Solution 1 : (Bardage en acier) 1- Calcul des charges et surcharges revenants au potelet le plus chargé (potelet du milieu) : 1.1- Charges permanentes G : (verticale concentrée) Bardage (bac acier):………………………………………………...12 kg/m2 Poids propre de la lisse (IPE 120) : …………………………….…..10.4 kg/ml Accessoires de pose :………………………………………………...5 kg/m2 Isolants :……………………………………………………………...5 kg/m2 Poids propre du potelet : (à déterminer) Longueur de la lisse : 4m Nombre de lisses supportées par le potelet : 4 lisses Surface tributaire revenant au potelet le plus chargé : (4 × 7.5)m2 L’entre axe des potelets : 4m G = (10.4 × 4 × 4) + (12 + 5 + 5) × 4 × 7.5 = 826.4kg 1.2- Surcharges climatiques V : (horizontale suivant le plan de l’âme) Vent : ……………………………………..………………………….100kg/m2

V = 100 × 4.0 = 400 kg / ml 2- Dimensionnement du potelet : 2.1- Sous la condition de flèche : La vérification de la flèche se fait sous les charges non (non pondéré).

V = 400 kg / ml

Vn.l 4 l f y = × ≤ f ad = 384 E.I z 200 l = 7.5m: longueur du potelet le plus chargé (potelet du milieu). 5

Iy ≥

1000 V .l 3 384

×

E

=

1000 × 400 × 10

−2

× 750 3

384 × 2.1 × 10

6

= 2092.6cm4

On choisit la section du profilé dans les tableaux ayant au moins la valeur de I y supérieur ou égale à la valeur trouvée. Ce qui correspond à un profilé IPE 220 : ( I y = 2771.8cm4 ) Caractéristiques géométriques de l’IPE 220

Wel. y = 252cm3

;

Wel . z = 37.24cm3

Wpl . y = 285.4cm3

;

Wpl . z = 58.1cm3

9


I y = 2771.8cm4

;

I z = 204 . 81 cm4

i y = 9.11cm

;

i z = 2.48cm

p = 26.2kg / ml

;

2.2-

A = 33.4cm2

Vérification à la stabilité :

Le potelet est sollicité à la flexion (due au vent) et à la compression (due à son poids propre, aux poids des bacs de bardage et des lisses). En aucun cas, il ne supporte la toiture (il est assujetti au portique par appui glissant). Il travaille à la flexion composée. La vérification à la stabilité est donnée par les formules suivantes : Calcul de l’élancement réduit vis-à-vis du flambement λ max :

⎛ λ ⎞ 0.5 λ max = ⎜⎜ max ⎟⎟[ β A ] ⎝ λ 1 ⎠ avec β A = 1.0 pour les sections de classes 1,2, et 3. ⎡E⎤ λ 1 = π ⎢ ⎥ ⎣⎢ f y ⎦⎥

0.5

⎡ 2.1 × 10 6 ⎤ = π ⎢ ⎥ ⎣ 2350 ⎦

0.5

= 93.9

λ max = Max(λ y , λ z )

λ y =

λ z = λ max

ly iy

=

1.0 × 750 9.11

= 82.3

l z 200 = = 80.6 i z 2.48 = Max(λ y , λ z ) = 82.3

l y : longueur de flambement autour de l’axe yy

l z : longueur de flambement autour de l’axe zz l 0 : longueur du poteau i y : rayon de giration par rapport à l’axe yy i z : rayon de giration par rapport à l’axe zz

⎛ λ ⎞ 82.3 0.5 × 1.0 = 0.88 λ max = ⎜⎜ max ⎟⎟[ β A ] = λ 93 . 9 ⎝ 1 ⎠ λ max f 0.2 → il y a risque de flambement Calcul de l’élancement réduit vis-à-vis du déversement λ LT :

⎡ λ LT ⎤ 0.5 ⎥.[β w ] ⎣ λ 1 ⎦

λ LT = ⎢

10


Avec : λ 1 = 93.9

λ LT : élancement de l’élément vis-à-vis du déversement Pour les profils laminés en I ou H λ LT =

l z / iz 2 ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ / l i 1 0.5 z z ⎜ ⎟ ⎥ (C1 ) ⎢1 + ⎜ ⎢ 20 ⎝ h/ t f ⎠⎟ ⎥ ⎣ ⎦

0.25

=

200 / 2.48 2 ⎡ 1 ⎛ 200 / 2.48 ⎞ ⎤ 0.5 1.132 ⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎣ 20 ⎝ 22 / 0.92 ⎠ ⎥⎦

0.25

= 67.73

⎡ λ LT ⎤ 67.73 0.5 [ ] . β = × 1.0 = 0.72 ⎥ w λ 93 . 9 ⎣ 1 ⎦

λ LT = ⎢

λ LT = 0.72 f 0.4

il y a risque de déversement

→

Vérification s’il y a présence d’effort normal : Si

NSd χ min .N pl

f

0.1

→

il y a présence d’effort normal

χ min = 0.7462 (après interpolation)

G = (10.4 × 4 × 4) + (12 + 5 + 5) × 4 × 7.5 + 26.2 × 7.5 = 1023kg

NSd 1.35G 1.35 × 1023 = = = 0.026 p 0.1 χ min .N pl χ min .N pl 0.7462 × 71354.6

→

l’effort normal est négligeable

Nature de la sollicitation :

λ max ≥ 0.2 (il y a risque de flambement) λ LT ≥ 0.4 (il y a risque de déversement)

NSd χ min .N pl

p

0.1

→

pas d’effort normal

Le poteau travaille à la flexion simple avec déversement

M r = M dev = χ LT . β w.

β w = 1.0

My =

Wpl . y . f y γ M 1

= χ LT .β w.M pl . y

pour les sections de classes 1 et classes 2.

1.5Vl 2 8

=

1.5 × 400 × 7.5 2 8

= 4218.8kg.m

11


M pl . y =

Wpl . y. f y γ M 1

=

285.4 × 2350 × 10 1.1

−2

= 6097.2kgm

Calcul du coefficient de réduction pour le déversement χ LT : Calcul analytique : χ LT =

1 ϕ LT + [ϕ LT − λ LT ] 2

2

0.5

≤ 1.0

2 avec : ϕ LT = 0.5 1 + α LT (λ LT − 0.2) + λ LT

α LT = 0.21

pour les sections laminées

λ LT = 0.72

2 ] = 0.5[1 + 0.21(0.72 − 0.2) + 0.72 2 ] = 0.81 ϕ LT = 0.5[1 + α LT (λ LT − 0.2) + λ LT

χ LT =

1 2 2 ] − λ LT ϕ LT + [ϕ LT

0.5

=

1 0.81 + [0.812 − 0.72 2 ]

0.5

= .846

M r = M dev = χ LT .β w.M pl . y = 0.846 × 1.0 × 6097.2 = 5158.23kgm

M u = 4218.8kgmp M r = 5158.23kgm..................................OK

la section IPE 220 est adéquate.

12


Solution 2 : (Bardage en brique creuse) 1. Calcul des charges et surcharges revenants au potelet le plus chargé (potelet du milieu) : 1.1- Charges permanentes G : (verticale concentrée) Bardage (mur en brique):……………………………………….…....120 kg/m2 Poids propre de la lisse (IPE 200) : …………………………….…….22.4 kg/ml Isolants + Accessoires de pose :………………………………………30.0 kg/m 2 Poids propre du potelet : (à déterminer) Longueur de la lisse : 4m Nombre de lisses supportées par le potelet : 4 lisses Surface tributaire revenant au potelet le plus chargé : (4 × 7.5)m2 L’entre axe des potelets : 4m

G = (22.4 × 4 × 4) + (120 + 30) × 4 × 7.5 = 4858.4 kg 1.2- Surcharges climatiques V : (horizontale suivant le plan de l’âme) Vent : ……………………………………..………………………….100kg/m2

V = 100 × 4.0 = 400 kg / ml

2- Dimensionnement du potelet : a. Sous la condition de flèche : Même chose que la solution 1. 4 Ce qui correspond à un profilé IPE 220 : ( I y = 2771.8cm )

Caractéristiques géométriques de l’IPE 220

p = 26.2kg / ml

;

A = 33.4cm2

Vérification s’il y a présence de l’effort normal :

G = 4858.4 + 26.2 × 7.5 = 5055kg NSd = 1.35G = 1.35 × 5055 = 6824.3kg

NSd 6824.3 = = 0.128 f 0.1 0.7462 × 71354.6 χ min .N pl

→

il y a présence de l’effort normal

Le poteau travaille à la flexion composée avec le déversement et la formule de vérification est la suivante : Pour les sections de classe 1 et 2 :

13


kLT .M y NSd + ≤ 1.0 χ min .N pl χ LT .M ply avec :

NSd = 6824.3kg My = N pl = M pl =

1.5Vl 2 8

A. f y γ M 1

=

Wpl . f y γ M 1

kLT = 1 −

=

1.5 × 400 × 7.5 2

8 33.4 × 2350 1.1

=

= 4218.8kg.m

= 71354.6kg

285.4 × 2350 × 10 −2

µ LT .N χ z . Af y

1.1

= 6097.2kgm

et kLT ≤ 1.0

µ LT = 0.15λ z .β MLT − 0.15

et

LT

≤ 0.9

β MLT est un facteur de moment uniforme équivalent pour le déversement. Poutre simplement appuyée avec une charge uniformément répartie : β MLT = 1.3 (Tableau 4) On tire la valeur de χ z dans les tableaux de χ en fonction de λ z .

⎛ λ ⎞ 80.6 0.5 × 1.0 = 0.85 λ z = ⎜⎜ z ⎟⎟[β A ] = 93 . 9 λ ⎝ 1 ⎠ χ z = 0.7541 (après interpolation linéaire) µ LT = 0.15λ z .β MLT − 0.15 = 0.15 × 0.86 × 1.3 − 0.15 = 0.018 p 0.9

kLT = 1 −

µ LT .NSd χ z . Af y

= 1−

0.018 × 6559 0.7541× 33.4 × 2350

= 0.99

λ LT = 0.72 : Tableau → χ LT = 0.7957

kLT .M y 6824 .3 0.99 × 4218 .8 N + = + = 0.98 p 1.0 ………vérifiée χ min .N pl χ LT .M ply 0.7462 × 71354 .6 0.7957 × 6097

L’IPE 220 convient comme potelet.

14

Calcul Des Potelets Selon L_EuroCode 3

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