Phys.
J.
iii
France
(1992)
2
859-870
1992,
MAY
859
PAGE
Clmsification Phi,.u<..I
Ab.
41, lo
Sur
calcul
le N.
('. *),
Sadowski
( Ii
Ddpartement
(2j
Electrique de d'Electrotechnique
E-N-S-E-E-I-H-T-,
2
Ddpartement
(Rej,u le
Rdsumd.
mdthode,
bases
rdpartitions
In
Abstract.
global
un
paper
the
thi~
31071
Toulouse
?~
iioi£>Jlibie
de
ainsi code
/99/.
a<.<.£>ptd le
de
dan~
la
dldments
and
present
de
globale
que la force calcul par
authors
dispositif
l'expression
mdthodes
densitd
de
force
obtenues
h
l'aide
sont
de
permettant
chaque rappeldes. Les chaque mdthode Pour
finis.
different
methods
method,
the
using
the the
up densities set
to
force
of finite
a
calculate
to
bases
distribution
The
compared
are
Brdsil
J992)
jafii
/7
dlectromagndtique.
compare For each recalled.
Santa-Catarina,
diffdrentes
comparent
et un
acting on an electromagnetic device. expressions giving the force densities are the global force obtained by each method
as
(3)
Bastos
France
Florianopolis,
prdsentent
auteurs
Cedex
de
l'Universitd
s'exergant
force
de
utilisant
J. P. A.
et
Santa-Catarina. Brdsil de Florianopolis. N°847, Industrielle, CNRS d'Electronique URA
force
different well
en
(2)
l'Universitd
l'dtablissement
de
densitds
des
compardes
sont
(es
globale
Lajoie-Mazenc
M.
et
de
i'di>i.
article
cet
force
la
(es
Electrique
/99/,
Dans
calculer
de
Camichel,
rue
Gdnie
/m/(et
?4
(2),
Le&vre
Y.
G6nie
Laboratoire
(~j
magn4tiques
forces
des
element
as
code.
Introduction.
1.
conception numdriques de
La
diffdrences
grandeur efforts, dtd
ont
Dans
Les
importante pour l'Etude du plusieurs mdthodes peuvent publids it y a ddjh quelques article, ensuite,
cet
tant
Diff4rentes
Les
structures
des
finies.
comparons mdthodes
2.
dlectromagndtiques fait de plus en plus appel h des finis ou la mdthode champs basds sur la mdthode des dldments efforts magndtiques exercds mobiles constituent )es parties sur
des Calcul
en
nous sur ce
relatives
(*)
h
exemple
un
qui
de
calcul
dquivalentes soit sources Aprds quelques rappels ces
Actuellement
deux
au
dtre
concerne
la
de
la
[5]
prdsenter
simple,
les
rdpartition
force
de
employdes
anndes
d'abord
allons
formulations
mdthodes
fonctionnement
et
des
et
plus )es
travaux
rdcemment
diffdrentes
rdsultats des
densitds
de
recherche
obtenus de
force
ddmarches.
L-E-E-1-
la
ce
sur
des une ces
sujet
[1-4]. formulations h
force
utilisdes.
l'aide que
de
chacune force
la
Nous des
globale.
dlectromagndtique.
dlectromagndtique soft basdes sent sur l'dnergie de magndtique. sur prdliminaires successivement prdsenterons nous
de
ddterminer
Pour
structures.
ces
codes
l'introduction
ddrivation
(es
formulations
de
860
JOURNAL
PRLLIMINAIRES.
2.I
En
magndtique
induction
B
point
tout
d'une
N°
III
magndtique
structure
champ
vecteur
au
PHYSIQUE
DE
magndtique
H
par
relier
peut
on
le
vecteur
:
f'(H).
B
ii)
=
I' ddpend
fonction
La
l'espace
Dans
des
vide,
propridtds
)es
physiques H
vecteurs
B
et
du
milieu.
relids
sent
5
relation
la
par
~
(2)
H =
Ho
oh
Dans H
magndtique
magndtique
milieu
un
devient
B
et
permdabilitd
la
est
vu
du
vide.
isotrope
sans
aimantation
la
permanenie,
relation
entre
:
B
H =
P
(3) sort
B
H
encore
=
vo
oh
et
v
reprdsentent
v,
respectivement
vr
permdabilitd
la
absolue
et
permdabilitd
la
relative
du
milieu. tenir
Pour
de
compte
d'aimantation
induiie
la
M
prdsence ddfini
matdriau
du la
par
relation
vecteur
un
intensitd
:
~
M
introduire
aussi
peut
on
(4a)
H
=
Ho Par
la
(3)
et
suite, (4a)
pour on
peut
simplifier, exprimer
le
M
vecteur
l'aimantation
sera
appeld
soft
en
(v,
M =
soft
en
fonction
de
l'induction
seule
par
i
Les
v~, et
conditions ne
(Fig, la
de
comportant
pas obtenues
sent
de
conservation
d'un passage de courants dcrivant en
la
conservation
=
~
en
utilisant
(es
(4a)
relations
~'~ Mii
~~~ "
h
de la du
champ
d'aimantation
et
v
milieu
autre
un
composante
2
normale
induite
permdabilitd
de de
l'induction
:
B, ~~~
~
"
i
donne,
(4c)
Hi1
H? qui
(4b)
permdabilitd rdels,
tangentielle B~
ce
relations relation
Ho
de
surfaciques la
(es la
par
~
milieu
composante
seul
relation
la
vr
Mj,
utilisant
En
champ
du
H
(1-
M=
aimantation.
fonction
et
(2)
relatives
~'~ (Bi<-B21).
aux
milieux
et
2
(6)
N° 5
SUR
LE
CALCUL
DES
MAGNETIQUES
FORCES
%
~g ~._~,_
j k
.'~
~i0
1--
tit'l'i'
861
862
JOURNAL
Compte
des
relations
fonction
du
ienu
exprimde
en
(4b)
par
Jv= Pour
milieu homogdne Equivalent :
un
courant
(8),
et
champ
plus
si
milieu
le
comporte
ne
(v,
=
de
pas
rdel,
courant
la
pour
dire
volumique
densitd
H,.
rot
volumique de courant dquivalente est donc surfacique J; La figure 2 illustre l'Equivalence,
dans
(12) le
nulle
rotationnel seule
et
champ
du
subsiste
et
pour
nut.
e~t
densitd
la
particulier
cas
ce
de
de
La
courant
systdme
un
h
dimensions.
Pour
dvaluer
moyenne et
Compte
l'extdrieur
B~ h
D'aprds
de
oh k est
le
donndes plus passage densitd la surfacique
haut
(6)
et
de
force
:
par
(5],
1959
en
surface
h la
tangent
Carpenter
S
S
et
par
l'intdrieur
h
crdde
agate
des
de
h
la
cette
relations
lB2+Bj)
point
au
dtudide
forces
est
l13)
[6]
(Fig. 2). Cette mdthode reprise rdcemment et
sur
la
considdrd
Lakehal
a
par
[2, 3].
Kabashima La
unitaire
vecteur
prdsentde
de
l'induction
Bj
f,=)(B21-Bii)kA did
surfacique B,
densitd
[2]
l'induction
surface
de
suivante
la
de
compte
de la
conditions
des
tenu
tenir
dquivalente.
courant
l'expression
obtient
on
de
donc
de
l'induction
entre
(10)
suffit
it
surfacique
[5, 6].
surface
force
la
densitd
la
par
(9)
Equivalent peut
courani
(ll)
finalement
obtient
on
densitd
deux
de
I)rotHj+gradv~AHj.
(v,-
J,. De
N° 5
volumique
densiid
la
III
:
lindaire,
et
PHYSIQUE
DE
globale
force
obtenue
est
en
intdgrant
expression
cette
surface
S
le
entourant
milieu.
s
)
Ml
A
I
is)
fi
#o
~
~
#o
MI
O
Fig.
Distribution
2.
[Current
2.2.2
dquivalente
courants
equivalent
distribution
Chat.ges
de
magndtiques
to
surface
avec
S
une
limitant
distribution le
milieu,
Dans
densitd
p~
de
=
po
M,
homogkne
de
permdabilitd
medium.
formulation
[5] le
milieu
contenant
une
magndtique distribution
M,
charges
n.
magndtique
amagndtique agate h :
div
po
=
surfacique agate h : p~
cette
milieu
un
p~
combinde
magnetic
dquivalentes. par de
milieu
un
homogeneous
a
permdabilitd v est remplacd volumique de charges magndtiques
de
la
h
(14)
magndtiques
de
densitd
p~
rdpartie
sur
(15)
N° 5
SUR
Avec
distributions
ces
inchangd, le systkme
reste
dans
Cette
que
rdel
[5].
formulation
volumique
distribution
une
force
de
densitd
de
f~
( H, ddsigne
Compte
~'exprime
=
la
sur
j14)
relations
des
tenu
l'induction
magndtique
champ
le
~~
~'
p~
H~
la
1
S
volumique
densitd
Bj
div
=
l'induction
de
f~
et
une
milieu.
du
charge
de
fonciion
en
B,
grad
+
vr
divergence
densitd
de
existant
de
par
p~
La
force
celle
(16)
surface
(4c)
et
de
systkme
le
tout
de
:
~
ok
863
dquivalentes, le ihamp magndtique H dans l'induction B, h l'intdrieur du milieu est diff6rente
donne
surfacique
distribution
MAGN#TIQUES
FORCES
DES
charges
de
alors
CALCUL
LE
nulle,
dtant
p~
(17a)
vr
obtieni
on
:
Bj
grad
=
(17b)
v, Donc
subsiste
et
figure
La
homogdne
milieu
un pour seule
nulle
3
la
illustre
lindaire
et
la
surfacique l'dquivalence, dans densitd
volumique
densitd
de
charge.
ce
cas
particulier
pour
et
dquivalentes
charges
de
systdme
un
h
est
deux
dimensions.
Q
~
fi
~
Ps
Po
Ml
I
de
permdabilitd
de
force
~
~
~°
Mi
)
fi
j~~
+
Fig.
Distribution
3.
(Charge
Pour
(valuer
entre
force,
la
le
[5, 6]. relations
il
to
h
un
homogeneous
a
Suffit
surfacique
distribution
la
par
equivalent
distribution
6quivalente
charges
de
donc
champ H~ h l'extdrieur de Compte tenu des conditions (15) et (16), obtient on
Le
compte
champ H, S
surface
la
de
passage
pour
et
du
homogkne
medium.
magnetic
tenir
de
charges.
de
magndtique
milieu
la
de
densitd la
sur
surface
champ H, champ d'un
le
l'expression
de
h
Surfacique S est dgal l'intdrieur
milieu densitd
la
h
h la
de un
cette
autre
moyenne surface
(6)
surfacique
crdde
de
et
des
force
f~
f, Cette La
mdthode
force
a
dtd
globale
est
jv0lH2n
"
prdsentde
par
obtenue
en
~Hln)lH2
Carpenter [5], intdgrant cette
+
Hll
dtudide
par
densitd
Sur
('8) Lakehal la
surface
[6]. S du
milieu.
JOURNAL
864
2.2.3
distt.ibutions
Autt.es
distributions
charges
de
sources
magndtiques
combinaison
de
et
d'une
distribution
de
P~ et
distribution
une
de
de
[5]
d'autre;
distributions
des
plus intdressantes dgale h : p,
des
densitd
de la
est
n.B~
~
Surfaciques
courants
en
courants.
Carpenter
combinant
Une
surfaciques
charges
de
N° 5
D'aprds
ddduites
dtre
peuvent
distributions
des
III
dquiiJalentes.
soul.<.es
dquivalentes
PHYSIQUE
DE
de
(19)
J, agate
densitd
J,=
h
:
nAB~.
(20)
Ho
Avec
du
Les
dquivalentes le champ et l'induction inchangds restent uniformdment magndtique oh its sent nuts [5]. surfaciques, dquivalentes dtant uniquement des cette sources distribution surfacique de force de densitd f~
distributions
ces
l'int£rieur
sources
uniquement
une
f~
B, qui
l'induction
est
qui
l'intdrieur
sauf h
partout
milieu
la
sur
nulle
est
Systdme rdel [5, 6]. force appliqude sur
+
n
surface
Lorsqu'on
ddveloppe
la
du
surface
f,
l'extdrieur
agate h Bi qui
l'expression
(21),
h
milieu
est
la
moyenne obtient
on
l'induction
entre
inchang£e
reste
au
surfacique
densitd
la
h
rapport
par
de
:
j El
B~) B~
(n
=
(21)
PO
milieu
du
donne
AB~
A-
PO
l'induction
et
B~
B~
B~)-
(n.
=
mdthode
(22)
n
PO
Cette
mdthode
La
force
S du
milieu.
Une
(22)
identique
Rappelons utilisant
h
cette
que
surface
une
Carpenter [5] intdgrant en
par obtenue
est
importante
remarque est
prdsentde
dtd
a
globale
dtd
a
celle
consiste
quelconque
cette
par densitd
calculer
h
entourant
la
force
systdme
ce
sur
force
de
de
dans
un
surface
l'expression
:
de
tenseur
Maxwell.
magndtique
systbme
un
la
sur
calcul
ce
du
passant
et
[6].
Lakehal
par Carpenter [5] h propos obtiendrait la mdthode avec
faite l'on
que mdthode
dtudide
et
en
homogdne
milieu
[71.
2.3
BAStE
FORMULATION
magndtique
suR
ddformable
non
LA
peut
DtRivtE
d'un
cours
&x
de
ce
d'dnergie variation
la
force
dans
d£placement ddplacement. Si &W,
de
tars
d'un
permdabilitd
la
direction
virtuel le
milieu
&p
par
la
flux
relation
rapport
et
ne
constant,
suivante
=
2
entre
effectud
comporte peut
[8, 9]
l~ &pH~dc
&W
globale
force
l'expression
sur
suivante
milieu
un
[5]
:
(23)
le
isotrope h
de
direction
cette
est
La
l'aide
=
comme
x
dans
ddplacement
h
~~~'
F, qui exprime
L.tNERGIE.
DE
calculde
Etre
Etre
la
variation
h
flux
pas
de
exprimde
de
l'dnergie
constant
courant, en
et
la
fonction
au
le
pas
variation de
la
:
(24)
N° 5
oh
SUR
V
&p
volume
le
est
Etre
peut
due
de
Si
lequel
sur
l'inhomogdnditd
ndglige permdabilitd &p
milieu.
milieu
du h
variation
la
on
force
la
relation
cette
dtudid. de
Pour
un
et
ce
volume,
valable
si
que
volume
contenu
la
permdabilitd
oh
courant sur
.;
n'est
~~
un
De
la
force
manibre
mdme
globale
on
Sur
ce
volume
varie
=
par
continue
dans
isotrope,
relation
ne
F,
force
dans
domaine
le
comportant pas direction la
:
(26)
dc.
hi
la
de
s'exprimer
1~22 grad
F
la
par
composantes
donc
fagon
de
ddformable, continue, la
donnde
2
(es
par le variation
(25)
~ H~
peut
la
&.i
non
est
=
obtenir
peut
donnde
est
perrndabilitd subies
a,;
fagon
de
(25),
et
F,
La
=
milieu
varie
O-v
de
mdcaniques mdcaniques,
contraintes
aux
865
variation
La
contraintes
suivant
perm£abilitd
la
dans
(23) (24)
selon
iux
due
&,;
&v
calculde.
est
et
permdabilitd
ddplacement
MAGN#TIQUES
FORCES
milieu
du
de
d'un
lors
DES
CALCUL
LE
force
par
(es
dans
directions.
autres
relation
la
(27)
dc
v
1,
Comme
milieu
le
applicable volumique
h
ne
volume
tout
prdsente pas V. Lorsque
discontinuitd
de
fait
l'on
permdabilit£
la
de
tendre
volume
ce
vers
relation
cette
zdro,
obtient
on
la
est
force
:
~2 f~
Si le
volume
h la
relation
V
est
(28) la
parcouru force
par
des
de
courants
volumique
grad
=
est
alors
(28)
v
volumique J~
densit£ donnde
par
il faut
relation
la
rajouter
un
tenure
:
~2 fv
j grad
=
p
+
J~
(29)
(vH ).
A
Lorsqu'on calculer la force V entourd volume veut sur un perm£abilit£ est discontinue distribution volumique de force cette rajouter la force qui s'exerce surfaces discontinuitd. )es de sur
surface
une
insuffisante. Pour
Sfi
_+
Se
par est
II
calculer
S faut cette
v
Se-
=
~
@
b)
V
S
a)
~
~
Se-
~ c)
Fig.
4.
jfictious
Volume volume
fictif
(V~)
for
(V~) the
pour
ie
calculation
calcul of
des
force
densitds
densities
de
force from
par the
la
energy
ddrivde
de
derivation
l'dnergie. method.
oh
la
donc
force
866
JOURNAL
[5, 8, 9]
auteurs
volume
un
s'exerce volume
forrne
de
force
sur
fictif
Supposent
que
permdabilit£
off la
f~= Pour
obtenir
alors
calculde
n+
et
force
la
Les
n~
la
I(
2.4
dante
Surface
varie
de
N° 5
h la
surface
la
(BH
confondue
tendre
f~=
((n.B~)H~- 2 (B~H~)n)
sur
S~
vers
disposons
Nous force
l'expression
((n.Bj)H,
de
donc
est
sont
(31)
ds
n
2
obtient
on
2
formulations
quatre
magndtique
milieu
un
(BH
H
L'intdgrale respectives
n+
avec
zdro
fait
de
(nB
ds
n
zdro.
vers
normales
se
S~ et
surface
V~ les
et
dtant
2
(30)
l'dpaisseur du volume S~~ (Fig. 4c) dont opposdes on obtient :
S~+
H
(BH)n.
+
CoNcLusloN.
distribution
cette
(n.B)Htendre
n~
et
(nB
=
normale
Lorsqu'on surfacique :
n+
normales
se
dtant
S~ on fait des Surfaces
sur
long
le
Fs~
n
III
possdde une dpaisseur non nulle et forme fagon continue. Pour ddterrniner, la force qui partie (Fig. 4a) il faut intdgrer l'expression de Surface (29) Sur un cette Sur une S~ fictif V~ (Fig. 4b). Ces l'expression (29) Etre mise la montrent auteurs peut que sous la divergence d'un thdordme de la divergence Le alors de calculer la tenseur. permet ddlimitant la surface Suivante : V~ en intdgrant, V~ l'expression sur
certains ainsi
PHYSIQUE
DE
la
et
de
de
force
(B,Hj)n) diffdrentes
magndtique
force
densitd
la
(32)
calculer
pour
globale
la
correspon-
:
la
mdthode
des
la
mdthode
des
la
mdthode
des
la
mdthode
de
Dans
le
toutes
et
relatives
h
Tableau
I.
la
ces
des
the
Mdthodes
charge~ ~~~~~~~
~~~~~~~
de
~~~~~~l~~~~
iquivaientes ~~
~~~~~~~~
~~ ~~~~~~~~~
sont
Surface
(5)
~0(1 i
placds
sommes
et
seulement
(7) les
donndes
sur
densitds
le
d'un
I
de
magndtique lindaire force surfacique.
de
densitds
ces
de
forces
tableau1.
sarfaciques
de
forces.
Composante
j
H2
) H2
t
n
H2 H2 n
@
~lo
t
normale
0( RI
Ii
Hit
i
j
Hi n
v0(H~n ~li~t)
~0~i2n ~i2t
~
densitds
expressions
tangentielle
Vr
milieu
des
densities]
force
Composanie
Po
nous
apparaitre
dijfidrentes
des
different
nous
font passage
mdthodes
Expressions of
oh
mdthodes
relations
des chacune
[Expressions
~°°~~~~~~
ddrivde
Equivalents (13) magndtiques dquivalentes (18) surfaciques (22) ; et courants de l'dnergie (32).
hypothdses
des
cadre
homogdne, Compte tenu
courants
charges charges
~~
l1~
l1 ~~~
~
~~~
~~
~~
N°
5
SUR
tableau
Ce
celui
est
rdcemment
la
avec
Comparaison
3.
des
diffdrentes
des
Carpenter
diffdrences
mdthodes
en
1959
j5]
des
forces
que
et
867
ii 0]
MUller
plu;
utilisd
a
finies.
de
calcul
magndtiques.
prdsentdes nous choisi le systbme diffdrentes mdthodes avons simple composd d'une pidce en matdriau magndtique attirde par un reprdsentd sur la figure 5a. La rdsolution du champ magndtique a dtd permanent EFCAD basd mdthode des dldments h l'aide du logiciel de calcul des champs la sur
pouvoir
Pour
prdsentait
que mdthode
MAGNETIQUES
FORCES
DES
CALCUL
LE
aimant
effectude
(es
comparer relativement
magndtique
[11, 12].
finis
figure
La
long
5
reprdsentdes
diffdrentes
(es
montre
magndtique
matdriau
du
distributions
surfaciques
densitds
des
des
chacune
avec
mdthodes.
quatre
Ces
force
de
densitds
le
obtenues
force
de
sont
y
proportionnelle h la densitd. dont la longueur est formulation rdpartition de la densitd de force chaque donne une diffdrente, la plus particulidre dtant celle obtenue dquivalents. (es courants avec rdsultat s'exerce la pidce en A partir de ce premier calculer la force globale qui peut on sur matdriau magndtique. Ce calcul de la force globale se fait par intdgration des expressions (10), (16) ou (20). Dans le code de calcul pour obtenir la force globale, l'intdgration est faite par addition fer-air. forces agissant sur le c6td des dldments qui sont placds sur l'interface Pour des qui font cela on utilise les expressions donndes dans le I intervenir (es tableau composantes l'air au voisinage de la surface normale dans Hi et tangentielle H~j du champ Hi calculdes (S). La mdthode des dldments formulation finis utilisde dtant la basde potentiel vecteur sur en la l'induction l'interface. seule continuitd de la normale B~ de assurde composante est sur On
des
par
peut
vecteurs
remarquer
que
~
Pour
l'erreur,
minimiser
tangentielle H~ serrd
de
finesses
tester
6
(Fig. 6D),
finesse
Sur
)es
avec
(es en
l'on
n'assure
est
ndcessaire
continuitd de la pas la d'utiliser maillage un
composante suffisamment
[13].
formulations,
cette
sur
comme
obtenu
courants
Lorsque
le
calcul
fait
did
a
plusieurs
pour
maillages
de
Equivalents maillage est
(Fig. 6A) affind
donne, dernier
ee
avec
maillage
un
tend
rdsultat
(fiche, les
vers
un
rdsultats
que
la
formulation
avec
(es
dquivalents
courants
est
trds
sensible
h la
dgalement reprdsentd le rdsultat le obtenu de tenseur avons avec d'intdgration passant au milieu de l'entrefer (Fig. 6E). On vdrifie l'avons ddjh signald au paragraphe 2.2.3, que ce rdsultat est identique h mdthode basde la combinaison de charges et de surfaciques courants sur nous
surface
une
nous avec
le
formulations.
autres
ddduire
maillage. figure 6
du
Maxwell
dds
ii
obtenus. Les formulations h partir de la ddrivde de l'dnergie dquivalentes (Fig. 68) et celle qui combine charges et courants donnent, quel que soil le maillage, des rdsultats irks voisins. Par contre,
diffdrent.
par
peut
celui
que
charges
)es
avec
Irks
donnds
bien,
fait
rdsultats
)es
montre
formulation
rdsultat
On
sur
l'interface,
quatre
surfaciques (Fig. 6C) la
au
interface
cette
(es
due
diffdrentes.
figure
La
de
niveau
au
Afin
champ
du
la
suffisamment est que le maillage Les calculs compldmentaires que
globale obtenue par qu'h chaque bien
le
tenseur
surface
de
serrd. avons
nous
Maxwell
d'intdgration
effectuds
ddpend trds corresponde
ont
peu une
de
montrd
la
la
d'intdgration
que surface
distribution
de
valeur
densitd
la
de
la
force
choisie, de
force
diffdrente.
4.
Conclusions.
Nous surface
avons
d'un
tout
milieu
rappeld (es magndtique sans
d'abord
diffdrentes aimantation
formulations
permanente,
de
la
densitd
disponibles
dans
de
la
force
h
littdrature.
la
868
JOURNAL
DE
PHYSIQUE
N° 5
III
magndtique
Pikce
Aimant
b
c
d
Fig. par
de,
equivalent method.)
d)
forces
[Magnetic iuethod.
des
mdthode
dquivalente~, tion
magndtique
Structure
5.
la
structure
c)
courants
Distribution par
e
la
analysed
Distribution
superficial
de~
mdthode
of current
analysde, a) Carte du champ magndtique. h) Di,tribution Equivalents. c)Di~tribution forces mdthode des la par forces mdthode ~urfacique~. la des charge~ et courant~ par l'6nergie. de la ddrivde de
cie~
de~ eJ
jot.ces
charges Di~trihu-
Magnetic field plot. h) Di~tnbution oi force~ hy the equivalent current by the equivalent charge method, d) Di~tribution of forces by the method, Di~tribution of force~ by the and charge derivation e) energy
a)
forces
SUR
N° 5
LE
DES
CALCUL
MAGNETIQUES
FORCES
869
(NJ
Force
3000
d'£laments
Nomnre
Fig. 6. dquivalents. dquivalents. (Global charge E)
B) D)
Mdthode
Mdthode
force
Ce;
stres~
Nou;
la
de :
parmi qui
rdelle
of
mesh
superficial
formulations
ont
dldmentaire,
h
de
II la
monird
densitd
C) E)
elements.
charge
ensuite
partir
du
les
and
maillage. A) Mdthode charge~ et courants
de
Mdthode Mdthode
du
method.
current
D) Energy
method.
courant;
surfaciques
Maxwell.
de
tenseur
A) Equivalent current
des
des
dtd
utilisdcs
champ
pour
calculd
au
calculer
(es
moyen
d'une
[2j,
densitd
il
sur
de
le
pas ne
On
est
formulations
[es donc
B)
Equivalent
derivation
l'orces
conduisent
method.
mises
en
discrdtisation
jeu par
nous
force
h
rdpartitions
des
poser la question fournisse densitd la de
amend
naturellement
h
se
analysde; en est-il une qui magndtique ? Les rdsultats que nous prdsentds avons de certaines conviction; affichdes dans les conclure et, malgrd thdoriquement le probldme du semble rdsoudre pas possible de magndtique faire appel h une reprdsentation du matdriau sans
formulations
quatre
absolument et
routes
que
force.
de
s'exerce
permettent
rdfdrences calcul
numher
d'dldments
nombre
dquivalentes. de l'dnergie.
method.
ainsi
avons
suivante
ne
ddrivde
la
du
finis.
diffdrentes
force
de
tensor
dispositif
dldments
fonction
charges
C) Equivalent
diiidrentes un
en
des
the
ie/.st<.<
method.
Maxwell
dans
globale
Force
matdriau
plus prdcise. En ce qui le calcul de la force globale, trots des formulations analysde~ conduisent concerne pratiquement au mdme rdsultat [es formulations basdes [es magndtiques charges sont ce sur dquivalente;, combinaison Surfaciques et la ddrivde de charges et de de courants une l'dnergie. La quatrikme mdthode, basde Equivalents, ne conduit h la mtme force (es courants sur globale qu avec des maillages irks serrd~. II foul d'ailleurs distribution elle donne noter une qu de
densitd
de
force
irks
diffdrente
de
celles
obtenue~
dgalement rappeld que l'expression de avons surfaciques Equivalents s identifie charges et courants Maxwell d'intdgration est voisine lorsque la surface Nous
avec
la
h de
[es
densitd celle la
mdthodes.
autres
de
obtenue
surface
force en
du
obtenue
utilisant
matdriau
h
le
partir
des
tenseur
de
magndtique.
JOURNAL
870
Nous pour choisie
calcul
de
la
pour
le
de
tenseur
tout
couramment
mdme
le
de
l'entrefer
dans
rdsultat surface
la
Maxwell.
facilitd
de
mise
mdthode
basde
calcul
le
le
sur
la
de
Maxwell, [I1, 12].
de
tenseur
globale
force
qu'elle
satisfaisants
rdsultats
des
et
«uvre
en
justifid que cette dans la pratique, pour
h fait
utilisde
pratiquement
position
la
soft
que
N° 5
III
donnent
mdthodes
quelle
de
relative
sa
deux
le~
que
globale,
force
intdgrer
Aussi, en raison fournit, il apparait trds
vdrifid
alors
avons
le
PHYSIQUE
DE
soit
Bibliographie II
G.,
REYNE
G.,
MEUNIER
(2]
KABASHIMA
j3]
Mag KABASHIMA T.,
T.,
COMPEL
gndtique, (5j
CARPENTER
Thkse
J.,
C.
Monogi. [6]
342
M.,
LAKEHAL
Thkse
de
of and
234-3767.
magnetizing
u;ing
calculation
Currents,
IEEE
Applications
Y.,
of
FEM
the
rotating
to
machines,
de 3C
19-28. h
dldments
As-sciences
Magndtostatique
j7]
DURAND
[8]
H., MELCHtER Motion (John Wiley and Thdorie de STRATTON J. A., MULLER W., Comparison of
[9] [10]
behaviour
experimental
et
Docteur
(1959)
Docteur
E.,
(1988)
24
Force
mechanical
and
theoretical,
d'origine vibratoires dlectromaexpdrimentale de~ ph6nombnes Grenoble (1987). Cycle, INPG, magnetized iron parts, IEEE methods forces Surface-integral of calculating on thdorique
Moddles
de
WooDsoN
T.,
forces the
on
24
Analyse
G.,
REYNE
Mag.
Tt.arts
GoTo
results
and
(1988) 451-454. Y., OHTO M., UEDA NosE 155-158. suppl. A 9 (1990)
Tians.
[4j
IEEE
Magnetic
E.,
EuxiBiE
Pre;entation
A.,
KAWARA
F.,
J.
IMHOFF
ferromagnetic materials. numerical approaches,
localisds et
des
EPFL
Paris,
(Masson, R.,
dldments
finis
dlectromdcanique,
en
(1985).
Lausanne
1968).
dynamics,
Electromechanical
J.
H.
mdthode
et
techniques,
1968). l'dlectromagndtisme
Part
II
:
Fields,
Forces
and
Sons,
different
methods
(Dunod,
of
1961).
Paris, calculation
force
IEEE
;
Trans.
Mag.
26
(1990)
1058-1061.
[III
SADowsKi
N.,
Southampton, (12j
SADowsKi
N.,
l1
juillet
TARNHUVUD IEEE
BAsTos
axisymmetric electromagnet (18-20 septembre 1991).
an
Angleterre
LAioiE-MAzENC
Y.,
Machines
M.,
LAJOIE-MAzENC
in
forces
LEFEVRE
Electrical
II 3]
Y.,
LEFtVRE
electromagnetic
while
Considering
M., the
CRos
J.,
J.
P.
A.,
Calculation
with
conductive
solid
Finite
Element
Torque
COMPUMAG,
Movement,
of
palls,
transient
ISEF'91,
Calculation
Sorrento,
Italie
in
(7-
1991). T.,
Tians.
K.,
REICHERT
Magii.
24
Accuracy
(1988).
problem~ of
force
and
torque
calculation
in
FE-systems-
