Chapitre 3 : Calcul des pannes Calcul des pannes
1. Introduction :
Les pannes sont des poutres destinées à transmettre les charges et surcharges s’appliquant sur la couverture à la traverse ou bien à la ferme. Elles sont réalisées soit en profilé (I , [ ) soit à treillis pour les portées supérieures à 6 m.
α 2. Détermination des sollicitations :
Compte tenu de la pente des versants, les pannes sont posées inclinées d’un angle ( α) et de ce fait fonctionnent en flexion déviée. G
2.1. Evaluation des charges et surcharges : a- charges permanentes (G) :
poids propre de la panne et de la couverture . charges accrochées éventuelles.
α
b- surcharges d’entretien (P) :
Dans le cas de toitures inaccessibles inaccessibles en considère considère uniquement dans les calculs, calculs, une charge d’entretien qui est égales aux poids d’un ouvrier et son assistant et qui est équivalente à deux charges concentrées de 100 kg chacune situées à 1/3 et 2/3 de la portée de la panne.
Remarque :
Par raison de simplicité on prend des fois comme charge d’entretien une charge globale de 75 kg/m2 de la surface de la couverture . N C- surcharge climatiques : C.1- surcharge de neige (N) :
par projection horizontale horizontale : N Suivant rampant : N Cos α
N Cos α
α V
C.2- surcharge du vent (V) :
perpendiculaire au versant : V α
1
Chapitre 3 : Calcul des pannes 3. Principe de dimensionnement :
z Panne y
Les pannes sont dimensionnées par le calcul pour satisfaire aux conditions suivantes : Qy
3.1. Vérification au moment ultime
y
Section de classes 1 et 2 :
Qz α
β
⎛ M y ⎞ ⎛ M z ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ M pl . y ⎟ + ⎜ M pl . z ⎟ ≤ 1.0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
α
Q z
où α et β sont des constantes qui placent en sécurité si elles sont prises égale à l’unité, mais qui peuvent prendre les valeurs suivantes : Pour les sections en I et H : α = 2 et β = 5n ≥ 1 n = N / N pl ; Dans notre cas l’effort normal N = 0 ⇒ β = 1 3.2. Vérification au cisaillement :
La vérification au cisaillement est donnée par les formules suivantes : V z≤ V pl . z V y≤ V pl . y
V pl . z
=
Avz .( f y
/ 3)
γ m
et
V pl . y
=
Avy .( f y
/ 3)
γ m
3.4. Vérification au déversement : M uy
≤ M dev
Calcul du moment ultime : Q z
= G − 1.5l ↑ (soulèvement).
M uy
=
Qz l 2
8
Calcul du moment de déversement : W pl . yy . f y M dev = χ LT . β w γ m
β w
= 1.0
pour les sections de classes 1 et classes 2. 2
Chapitre 3 : Calcul des pannes
3.5. Vérification à la flèche :
≤ f ad Q z.l 4 f = 5 . et 384 E . I y Q y.(l / 2) 4 f y = 2.05. et 384 E . I z f
z
f ad
=
l
200 l/2 f ad = 200
poutre sur deux appuis poutre sur trois appuis
Remarque :
Compte tenu de la faible inertie transversale des pannes, et dès lors que la pente des versants ( α ) atteint 8 à 10%, l’effet de la charge Qx (perpendiculaire à l’âme de la panne ) devient préjudiciable et conduit à des sections de pannes importantes, donc onéreuses. La solution consiste a réduire la portée transversale des pannes en les reliant entre elles par des liernes (tirants), situés à mi - portée. Ces liernes sont des tirants qui fonctionnent en traction.
Panne faîtières Pannes intermédiaires Ferme
Panne sablière
Ferme de rive Lierne
Ferme intermédiaire Panne
Échantignole
α
3
Chapitre 3 : Calcul des pannes 4- Exemple d’application :
Soit un portique (ferme) recevant 4 pannes par versant et une panne faîtière. L’écartement horizontal des pannes est de 2.0 m (entre axe 2.04 m). Les fermes sont espacées de 5 m, la pente du versant est de 11° (voir figure ci-dessous).
2m
2m
2m
2m
2m
2m
2m
2m
Déterminer la section optimale de la panne intermédiaire afin de résister au chargement donné ci - dessous. 2
a- charges permanentes : G (par m de la couverture)
tôle est accessoires de pose : ...............................................17 kg/m 2 ↓ poids propre de la panne : (estimé).................................. 12 kg/ml ↓ b- surcharges d’entretien : P
deux charges concentrées de 100 kg ↓chacune situées à 1/3 et 2/3 de la portée. c- surcharge climatique du vent : V (perpendiculaire au versant).
V = - 108 kg/m2 ↑ (vers le haut) (voir CH.I) d- surcharge climatique de neige : N (par projection horizontale).
N = 68 kg/m2 ↓ (voir CH.II)
4
Chapitre 3 : Calcul des pannes Solution : 1. Charges et surcharges par mètre linéaire revenant à la panne intermédiaire : 2
1.1. charges permanentes G : ( par m de la couverture).
G
G = 17×2.04 + 12 = 47 kg/ml ↓
α 1.2. surcharge climatique du vent V : (perpendiculaire au versant).
V
V = - 108 × 2.04 = - 220.32 kg/ml ↑
α 1.3. surcharge climatique de neige : N (par projection horizontale).
N = 68 cos α × 2.04 = 136.2 kg/ml ↓
N N Cos α
α 1.4. surcharges d’entretien : P
La charge uniformément repartie P due aux surcharges d’entretien est obtenue en égalisant les deux moments maximaux du à P et aux charges ponctuelles P’. Mmax = P’l/3 = pl2/8 p = 8×100/3×5 = 54 kg/ml ↓ P’ = 100 kg
L/3
P’ = 100 kg
L/3
P = 54 kg/ ml
L/3
L
M = p’. L / 3
M = p. L2 / 8
5
Chapitre 3 : Calcul des pannes 2. Combinaisons de charge les plus défavorables :
• 1.35 G + 1.5 P • 1.35 G + 1.5 N • G - 1.5 V 1. 1.35 G + 1.5 P = 1.35 × 47 + 1.5 × 54 = 144.5 kg/ml ↓ 2. 1.35 G + 1.5 N = 1.35 × 47 + 1.5 × 136.2 = 268 kg/ml ↓ 3. G - 1.5 V = 47 – 1.5 × 220.32 = - 283.5 kg/ml ↑ Les combinaisons les plus défavorables à retenir pour les calcules : Flexion déviée: Qmax = 268 kg/ml ↓ Déversement : Qmax = -283.5 kg/ml ↑ Qz = Qmax cosα = 263 kg/ml My = Qz .l2 / 8 = (263 × 5.02) / 8 = 822 kgm
z Panne y
Qy= Qmax sinα = 51.2 kg/ml Mz = Qy . (l/2)2 / 8 = (51.2 × 2.52) / 8 = 40 kgm Qy y Qz Q
α
z Qy
Qz
l
Plan z-z
l/2
l/2
Plan y-y
Remarque :
D’après le nouveau règlement (DTR), les charges climatiques ne se combinent pas avec la surcharge d’entretien.
6
Chapitre 3 : Calcul des pannes 3. Vérification à la sécurité : 3.1. Vérification au moment ultime: Calcul en plasticité : (Sections de classe 1 et 2) α
β
⎛ M y ⎞ ⎛ M z ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ M pl . y ⎟ + ⎜ M pl . z ⎟ ≤ 1.0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ où α et β sont des constantes qui placent en sécurité si elles sont prises égale à l’unité, mais qui peuvent prendre les valeurs suivantes :
• sections en I et H : avec : n = N / N pl
α =
2 et β = 5n ≥ 1
Par tâtonnement on choisit le profilé suivant IPE 100 Classe de la section :
Vérification de la semelle : bs
≤ 10ε
2es
235
ε =
f y
bs
=
2es
=
235 = 1.0 235
55 = 4.82 2 × 5.7
⇒ 4.82 < 10 …………….OK
Vérification de l’âme : ha ea ha ea
≤ 72ε =
88.6 = 21.6 4.1
⇒ 21.6 < 72 …………….OK
La section est de classe 1 Remarque :
Les profilés laminés de calibres inférieurs ou égales à l’ IPE 200 , sont généralement d’une section de classe 1.
= 34.2cm3 ; W pl . y = 39.4cm3 ; W el . y
= 5.78cm3 W pl . z = 9.1cm3
W el . z
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Chapitre 3 : Calcul des pannes
M pl . y M pl . z
39.4 × 2350 × 10−2 = = = 841.73kgm γ M 1 1.1 W pl . z f y 9.1 × 2350 × 10−2 = = = 194.4kgm γ M 1 1 .1 W pl . y f y
Remarque :
Dans notre cas, l’effort normal ( N = 0 ) ⇒ β = 1 α
β
⎛ M y ⎞ ⎛ M z ⎞ ⎛ 822 ⎞ 2 ⎛ 40 ⎞1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ M pl . y ⎟ + ⎜ M pl . z ⎟ = ⎜⎝ 841.73 ⎠⎟ + ⎜⎝ 194.4 ⎠⎟ = 1.16 f 1.0 ..……..non vérifiée ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ On augmente la section ; Soit IPE 120
= 53cm3 ; W pl . y = 60.7cm3 ; W el . y
M pl . y M pl . z
W el . z W pl . z
= 8.64cm3 = 13.6cm3
60.7 × 2350 × 10−2 = = = 1296.8kgm γ M 1 1 .1 W pl . z f 13.6 × 2350 × 10−2 = = = 290.54kgm γ M 1 1 .1 W pl . y f
α
β
⎛ M y ⎞ ⎛ M z ⎞ ⎛ 822 ⎞ 2 ⎛ 40 ⎞1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ M pl . y ⎟ + ⎜ M pl . z ⎟ = ⎜⎝ 1296.8 ⎠⎟ + ⎜⎝ 290.54 ⎠⎟ = 0.54 p 1.0 ……….vérifiée. ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3.2. Vérification au cisaillement :
La vérification au cisaillement est donnée par les formules suivantes : V z≤ V pl . z V y≤ V pl . y
V pl . z
=
Avz .( f y
IPE 120 :
/ 3)
γ m Avz
= 6.3cm2
=
Avy .( f y
et
V pl . y
; Avy
= 8.6cm2
/ 3)
γ m
8
Chapitre 3 : Calcul des pannes
263 × 5.0 = 657.5kg 2 2 V y = 0.625Q y .(l / 2) = 0.625 × 51.2 × 2.5 = 80kg V z
=
Qz l
V pl . z
=
V pl . y
=
=
Avz .( f y /
3)
γ m Avy .( f y
6.3(2350 / 3 ) = 7771kg 1.1
=
8.6(2350 / 3 ) = 10607kg 1.1
/ 3)
γ m
V z= 657.5kg V y= 80kg
=
p
p
= 7771kg...........................................OK = 10607kg............................................OK
V pl . z
V pl . y
Remarque :
Dans le cas de section symétriques en ( I ) L’effort tranchant Vz est repris par la section de l’âme (Avz), et l’effort tranchant Vy est repris par la section des deux semelles (A vy). (Avz) et (Avy) sont tirées directement des nouveaux tableaux des profilés.
Qy
Qz
l Plan z-z V z
=
Q z .l
2
l/2
l/2 Plan y-y V y
= 0.625.Q y .(l / 2)
Remarque :
Dans la plus part des cas la vérification au cisaillement est vérifiée pour les profilés laminés dès que la vérification au moment fléchissant est satisfaite. 3.3. Vérification à la flèche :
Le calcul de la flèche se fait par la combinaison de charges et surcharges de services (non pondérées). Q1
= G + N = 47 + 136.2 = 183.2kg / ml ↓ 9
Chapitre 3 : Calcul des pannes Q2
= G − V = 47 − 220.32 = −173.32kg / ml ↑ Panne
= Max(Q1 , Q2 ) = Q1 = Q1. cosα = 180kg / ml = Q1. sin α = 35kg / ml
Qmax Q z
Q y
Qy
Condition de vérification : f
Qz α
≤ f ad
avec : f ad =
Q
l
200 • Flèche verticale (suivant zz’): sur deux appuis 500 l = = 2.5cm f ad = 200 200 5 Q z .l 4 . f z = 384 E . I y 5 180 × 10−2.(500)4 . f y = = 2.19cm p f ad ………………OK. 384 2.1 × 106 × 317.8
• Flèche latérale (suivant yy’): sur trois appuis 250 = 1.25cm 200 200 4 2.05 Q y .(l / 2) f y = . E . I z 384 f ad
=
l/2
=
2.05 35 × 10−2.(250)4 . f y = ≈ 0.13cm p f ad ……………..OK. 384 2.1 × 106 × 27.65
3.4. Vérification au déversement :
Déversement = Flambement latéral + Rotation de la section transversale. Semelle supérieure : La semelle supérieure qui est comprimée sous l’action des charges verticales descendantes est susceptible de déverser. Vu quelle est fixée à la toiture il n’y a donc pas risque de déversement. Semelle inférieure : La semelle inférieure qui est comprimée sous l’action du vent de soulèvement est susceptible de déverser du moment quelle est libre tout au long de sa portée.
10
Chapitre 3 : Calcul des pannes
Calcul du moment ultime :
= G − 1.5V = −283.5kg / ml ↑ (soulèvement). Qz l 2 283.5 × 5.02 M uy = = = 886kgm 8 8 Q z
Calcul du moment de déversement : W pl . y . f y M dev = χ LT . β w γ M 1
= 1.0
β w
pour les sections de classes 1 et classes 2.
Le coefficient de réduction χ LT pour le déversement est déterminé à l’aide du tableau (annexe…..) en fonction de l’élancement réduit λ LT de l’élément vis à vis du déversement et en utilisant : • La courbe a pour les laminés courants, • La courbe c pour les profils soudés. L’élancement réduit λ LT est déterminé par la formule suivante : (annexe F à l’Eurocode, §F.2) λ LT
⎡ β .W . f ⎤ = ⎢ w pl . y y ⎥ ⎣ M cr ⎦
où : λ 1 = π λ 1 = λ 1
93.9ε
E f y
0.5
z
⎡ λ ⎤ = ⎢ LT ⎥.[ β w ]0.5 ⎣ λ 1 ⎦
= 93.9ε
avec :
ε =
et
ε =
235 f y
235
f y en N / mm 2
235 = = 1.0 f y 235
= 93.9 × 1.0 = 93.9
h
y
y
e y b
Pour les poutres à section constante et doublement symétriques (profilés laminés I et H ), Vent de soulèvement l’élancement λ LT vaut : λ LT
=
L / i z
⎡ 1 ⎛ L / i ⎞ 2 ⎤ 0.5 ⎜⎜ z ⎟⎟ ⎥ C 1 ⎢1 + ⎢⎣ 20 ⎝ h / es ⎠ ⎥⎦
IPE 120 : i z
0.25
= 1.45cm ; h = 12cm ; es = 0.63cm
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Chapitre 3 : Calcul des pannes
250 / 1.45
=
λ LT
⎡ 1 ⎛ 250 / 1.45 ⎞ 1.1320.5 ⎢1 + ⎜ ⎟ ⎢⎣ 20 ⎝ 12 / 0.63 ⎠ ⎡ λ ⎤ 108 0.5 λ LT = ⎢ LT ⎥.[β w ] = = 1.15 λ 93 . 9 ⎣ 1⎦
2 0.25
⎤ ⎥ ⎥⎦
= 108
2 = 0.5 1 + α LT (λ LT − 0.2) + λ LT = 0.5 1 + 0.21(1.15 − 0.2) + 1.152 = 1.261 1 1 χ LT = = = 0.56 0 . 5 2 2 2 2 0.5 1.261 + [1.261 − 1.15 ] ϕ LT + [ϕ LT − λ LT ]
ϕ LT
Calcul de χ LT à l’aide du tableau 5.5.2 de l’Eurocode 3.
Les valeurs du coefficient de réduction χ LT pour l’élancement réduit approprié λ LT peuvent être obtenues à partir du tableau 5.5.2 avec λ = λ LT et χ = χ LT , en utilisant :
• La courbe • La courbe
a c
pour les profils laminés. pour les profils soudés.
= 1.15 Par interpolation linéaire entre les valeurs de λ LT
f ( x) M dev
M u
= 1.1 et
λ LT
= 1.2
(1.15 − 1.1) .(0.596 − 0.530) = 0.563 (1.2 − 1.1) x2 − x1 W pl . y . f y 60.7 × 2350 × 10−2 = χ LT . β w = 0.563 × 1.0 × = 730kgm γ M 1 1.1
= f ( x1 ) −
( x − x1 )
λ LT
. f ( x1 ) − f ( x2 ) = 0.596 −
= 886kgm f M dev = 730kgm. …………….non vérifiée.
On doit augmenter la section :
= 77.3cm3 W pl . y = 88.3cm3 W el . y
Soit IPE 140
; W el . z = 12.3cm3 ; W pl . z = 19.2cm3
Calcul du moment de déversement : M dev
= χ LT . β w
W pl . y . f y
γ M 1
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Chapitre 3 : Calcul des pannes
λ LT
=
L / i z
⎡ 1 ⎛ L / i z ⎞ 2 ⎤ 0.5 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ C 1 ⎢1 + h e 20 / ⎢⎣ ⎝ s ⎠ ⎥⎦
IPE 140 : i z
0.25
= 1.65cm ; h = 14cm ; es = 0.69cm 250 / 1.65
λ LT
=
λ LT
⎡ λ ⎤ 102 = ⎢ LT ⎥.[β w ]0.5 = ≈ 1.1 λ 93 . 9 ⎣ 1⎦
⎡ 1 ⎛ 250 / 1.65 ⎞ 1.1320.5 ⎢1 + ⎜ ⎟ 20 14 / 0 . 69 ⎝ ⎠ ⎢⎣
2 0.25
⎤ ⎥ ⎥⎦
= 102
Calcul de χ LT à l’aide du tableau 5.5.2 de l’Eurocode 3.
λ LT
= 1.15
M dev
M u
= 0.596 W pl . y . f y 88.3 × 2350 × 10−2 = χ LT . β w = 0.596 × 1.0 × = 1124.3kgm γ M 1 1 .1 →
χ LT
= 886kgm p M dev = 1124.3kgm. ……………. vérifiée.
Conclusion :
z-z
Le profilé choisit IPE 140 convient pour les pannes. y-y
Qz Qy z y
l z
Mz
lierne
y My
l z
z
α l y
= l0
Panne de toiture et les différents plans de chargement
13
Chapitre 3 : Calcul des pannes 4- Calcul des liernes 4.1- Introduction :
Les liernes sont des tirants qui fonctionnent en traction. Ils sont généralement formées de barres rondes ou de petites cornières. Leur rôle principal est d’éviter la déformation latérale des pannes. Compte tenu de la faible inertie transversale des pannes, et dès lors que la pente des versants ( α ) atteint 8 à 10%, l’effet de la charge Qy (perpendiculaire à l’âme de la panne) devient préjudiciable et conduit à des sections de pannes importantes, donc onéreuses. La solution consiste a réduire la portée transversale des pannes en les reliant entre elles par des liernes (tirants), situés à mi - portée. Chaque fois que les pannes en profilés sont disposées normalement au versant, il convient de les entretoiser par un ou plusieurs cours de liernes en fer rond ou en cornière. Ces liernes, reliées entre elles au niveau du faîtage, permettent d’éviter la déformation latérale des pannes, très préjudiciable au bon aspect de la couverture. 4.2- Calcul de l’effort maximal revenant aux liernes :
La réaction R au niveau de la lierne : R = 1.25Q y × l / 2 = 1.25 × 51.2 × 2.50 = 160kg Effort de traction dans le tronçon de lierne L 1 provenant de la panne sablière : T1 =
R 160 = = 80.0kg 2 2
Qy = 51.2 kg/ml
Effort dans le tronçon L 2 : T2 = R + T1 = 160 + 80.0 = 240kg Effort dans le tronçon L 3 :
R Panne faîtière
T3 = R + T2 = 160 + 240 = 400kg
L
T4
Effort dans les diagonales L 4 : 2T 4 .sin θ = T 3 2.04 θ = arctg = 39.2° 2 .5 400 T 4 = = = 316.5kg 2 sin θ 2 sin 39.2 T 3
Ferme
L3
T4 θ
L
T3 Ferme T2
L2
L1
T1
Panne sablière
14
Chapitre 3 : Calcul des pannes Remarque :
Les liernes sont des tirants qui fonctionnent en traction et qui sont soumis à des efforts croissants, au fur et à mesure qu’ils se rapprochent du faîtage. Les efforts de traction sollicitant les liernes ne peuvent pas être attachés aux pannes faîtières, qui périraient transversalement. Ils sont donc transmis aux fermes par des tirants en diagonale (bretelles). 4.3. Dimensionnement des liernes :
Le tronçon le plus sollicité est L 3. Traction simple: N ≤ N pl
N pl
=
A. f y
γ M 1
N = T 3 A ≥
A ≥
≤
A. f y
γ M 1
T 3 .γ M 1 f y
400 × 1.1 = 0.187 2350
A = π φ2 / 4 φ ≥
: Résistance plastique de la section brute
≥ 0.187 cm2
4 × 0.187 π
= 0.49cm
soit une barre ronde de diamètre : φ = 050 cm = 5 mm. Pour des raisons pratiques et pour plus de sécurité, on opte pour une barre ronde de diamètre φ = 10 mm
5. Calcul de l’échantignolle : 5.1. Introduction :
L’échantignolle est un dispositif de fixation permettant d’attacher les pannes aux fermes. Le principal effort de résistance de l’échantignolle est le moment de renversement dû au chargement (surtout sous l’action de soulèvement du vent). 15
Chapitre 3 : Calcul des pannes 5.2. Calcul des charges revenant à l’échantignolle :
Panne b
L’excentrement « t » est limité par la condition suivante :
h
2 (b/2) ≤ t ≤ 3 (b/2) échantignolle
pour IPE 140 :
t
b = 7.3 cm et h = 14 cm 7.3≤ t ≤ 10.95 cm
R
α
soit t = 9 cm. Qz = 1.5V = 1.5×220.32 = 330.5 kg/ml R = (Qy× l/2) = (330.5× 5.0/2) = 8262.75 kg. 2R = 16525.5 kg
(échantignolle de rive)
(échantignolle intermédiaire) Qy = - 330.5 kg/ ml
Qy = - 330.5 kg/ ml
Lx = 5.0 m
Lx = 5.0 m RR
RR
R
Calcul du moment de renversement :
Mr = 2R × t = 1652.5 × 9 = 14872.5 kg.cm 5.3. Dimensionnement de l’échantignolle :
Flexion simple M ≤ M pl
M pl
=
W pl . f y
γ M 1
M = M r
≤
: Moment de résistance plastique de la section brute.
W pl . f y
γ M 1
16
Chapitre 3 : Calcul des pannes 5.4. Calcul de l’épaisseur de l’échantignolle : W pl
≥
M r .γ M 1 f y
14872.5 × 1.1 = 6.96cm2 2350 a × e2 W pl = pour les sections rectangulaires 6 W pl
e≥
a
≥
6 × W pl a
=
e
6 × 6.96 = 1.67cm 15
soit e = 20 mm Remarque :
La largeur de l’échantignolle (a = 15 cm) est calculée après avoir dimensionné la membrure supérieure de la ferme. 2L70 ×70×8 (voir calcul de la ferme). b=7+7+1 = 15 cm ; avec l’épaisseur du gousset de 10 mm.
Panne de toiture a=15 cm
e
b L’échantignolle de rive
Membrure supérieure de la Ferme de toiture ( 2L70×70×8 )
17
