Calcul des roulements

Calcul des roulements
Généralité
Le type de roulement est choisi en fonction des différents critères cités précédemment. Ses dimensions sont obtenus à partir de la durée de vie souhaité et en vérifiant que les roulements résiste suffisamment aux charges appliqué.
Il existe 2 modes de calculs :
Calculs dynamique du roulement en mouvement
Calculs statique (vitesse de rotation faible)
Et 2 types de calculs :
Calcul de vérification : à partir de la référence du roulement choisi on calcul sa durée de vie
Calcul d'avant-projet : à partir de la durée de vie souhaité, on déterminera la référence du roulement qui convient.
Calcul d'effort extérieur
Effort extérieur appliqué au montage (1er étape)
= arbre + roulement (arbre tournant)
Montage
= logement + roulement (logement tournant)
Isoler le montage
Le couple moteur doit être égal et opposé au couple résistant
Les deux couples étant réduits sur l'axe de rotation du montage
Repérer les efforts extérieurs et leur point d'application
Calculer les torseurs des efforts extérieurs en chaque point d'application
Remarque :
Les efforts extérieurs peuvent venir
Des transmissions de puissance
Des efforts résultats directement d'un récepteur
Des efforts dus au poids des éléments du montage
Effort dû à la force centrifuge

Exemple :



Données :
Moteur asynchrone sur arbre 1 : P=15kW, N=2880tr/min
Récepteur sur arbre 4 : fonctionnement régulier sans à coup
1-2, engrenage cylindrique denture droite
3-4, engrenage conique denture droite pyramidale
Z1=25 dents
3,4 = coefficient de sécurité
Rapport de transmission
ω2ω1=12
ω4ω3=43
T1 2=Cmr1
T1 2A=R1 20=0R1 2T1 2000RA
T4 3A=R4 30=--A4 3R4 3T4 3000RB
Caractéristiques de 1 et 2 :
m=3Dp1=75mmDp2=150mmZ1=25 dentsZ2=50 dents

Caractéristiques de 3 et 4 :
m=6Dp3=76,6mmDp4=114,3mmZ3=16 dentsZ4=24 dents

T1 2=147daN R1 2=54 daN
T4 3=287daN R4 3=87daN A4 3=58daN
Effort de liaison au niveau de chaque montage (2ème étape)
Torseur statiquement transmissible
Ce sont des torseurs inconnus. Ils représentent les actions :
Du logement sur les roulements : cas de l'arbre tournant
Ou de l'arbre sur les roulements : cas du logement tournant
Un torseur de liaison est appliqué au centre de pression du roulement
Modélisation
On modélise les liaisons arbre/logement afin de connaître la composition des 2 torseurs de liaisons. La modélisation dépend de l'emplacement des arrêts axiaux définissant le positionnement de l'arbre par rapport au logement
Logiquement, un seul roulement encaisse les efforts axiaux X1=0 ou X2=0. La détermination de X1 nul se fait d'après le sens de la résultante des efforts axiaux (A) sur l'axe x.
Arrêt extérieur du palier :
A<0 X1=0 et X2=-A X2<0
A>0 X1=-A X1>0 et X2=0

Arrêt intérieur du palier
A<0 X1=0 et X2=-A X2>0
A>0 X1=-A X1<0 et X2=0

Pour les roulements à rouleaux conique, X1 et X2 sont déterminé à partir de la résultante des efforts axiaux extérieurs et des efforts axiaux induits par les charges radiales.

Exemple :
Déterminer les torseurs TI et TII si les arrêts axiaux sont à l'intérieur du palier (roulements autres qu'à contact oblique)
R1 2=R1 2y+T1 2z
R1 2=-A1 2x-R1 2y+T1 2z
A<0
Xi=0 et X2=-A (X2>0)
T1=RI=Y1+Z1MI=0 T2=RII=X2+Y2+Z2MII=0

Si on applique le P.F.S
T1 2O1=0
On applique si nécessaire la relation de changement de point de réduction
M1 2O1=M1 2A+O1AR1 2
Réduction des différents torseurs en un point
Le montage : arbre + roulements : cas de l'arbre tournant
Ou logement + roulements : cas du logement tournant
Est un équilibre statique
Ces torseurs étant exprimés en un même point

Remarque :
Le point de réduction est choisi en un des points d'application des torseurs de liaison
On prendra en pratique toujours le point O1 (centre de pression du roulement de gauche)

Exercice :
Réduction en O1 des torseurs des efforts extérieurs et des torseurs de liaison
L0=100mm
L1=50mm
L2=150mm
R2=75mm
R3=38.3

M1 2O1=M1 2A+O1AR1 2
= 0-l1*R1 2.z+l1*T1 2.y-r2*T1 2.x

M4 3O1=M4 3B+O1BR4 3
= -l2*R4 3.z-l2*T4 3.y+r3*A4 3.z+r3*T4 3.x

MIIO1=MII02+O1O2RII
=l0*Y2.z-l0*Z2.y

Fext=0 R1 2+R4 3+RI+RII=0 3 équations
Mext=0 M1 2+M4 3+MI+MII=0 3 équations

/0x :- A4 3+X2=0
/0y :R1 2+Y1+Y2=0
/0z :T1 2+T4 3 +Z1+Z2=0

/0x :- r2*T1 2+r3*T4 3 =0
/0y :-l2*T4 3 +l1*T1 2-l0*Z2=0
/0z :-l1*R1 2-l2*R4 3+r3*A4 3+l0*Y2=0

Y1= -103 daN
Z1=- 77 daN
X2=58 daN
Y2= 136 daN
Z2= -357 daN

Si roulement à contact oblique :
5 équations utilisables mais 6 inconnues car X2 et X1=0
/0x :- A4 3+X2+X1=0

Calcul des charges radiales et axiales au niveau de chaque roulement (étape 3)
Roulements autres qu'à contact oblique
La charge radiale au niveau de chaque roulement est la résultante des composantes suivant les axes y et z

Fr1=Y12+Z12 roulements de gauche
Fr2=Y22+Z22 roulements de doite

La charge axiale au niveau de chaque roulement est la valeur absolue de la composante suivant l'axe x
Fr1=128 daN
Fa1=0 daN
Fr2=381 daN
Fa2=58 daN

Roulements à contact oblique
La charge radiale au niveau de chaque roulement est la résultante des composantes suivant les axes y et z

Fr1=Y12+Z12 roulements de gauche
Fr2=Y22+Z22 roulements de doite

La charge axiale au niveau de chaque roulement ne peut être déterminée directement car elle dépend :
De la résultante des efforts axiaux extérieurs (sens et intensité)
Des efforts axiaux induits par la charge radiale
Du coefficient axial du roulement considéré
Charge axiale induite

Une charge axiale induite est définie par la formule
a=0,5*FrY
Fr : charge radiale au niveau du roulement considéré
Y : coefficient axial pris dans le cas FaFr>e

Roulements à une rangée de billes à contact oblique
Y=cste=0,57 a=0,5*Fr0,57=Fre
Roulements à rouleaux coniques
Y dépend de la référence du roulement considéré (voir catalogue général)
Détermination des charges axiale Fa1 et Fa2
Pour les roulements à billes, le coefficient est de 0,57

Pour les roulements à rouleaux conique, les coefficients Y sont définis uniquement si la référence de chaque roulement est donnée.

Pour un calcul d'avant-projet, on prendra un coefficient axial moyen pour chaque roulement de 1,4 (0,682,1) et on vérifiera les calculs lorsque la référence de chaque roulement sera déterminée en première approche (calcul par itération)

Les charges axiales Fa1 et Fa2 sont déterminées à partir du tableau suivant :
Scan page 1

Méthode à suivre :
Repérer le sens de Ka (résultante des efforts axiaux extérieur) et en déduire le cas figure 1 ou 2.
Mettre en place les nouveaux indices (A ou B) suivant la disposition des roulements (X ou O)
Comparer le rapport FrY de chacun des roulements.
Y = coefficient axial du roulement.
(Nouveaux indices)
Comparer si nécessaire Ka avec la différence des efforts axiaux induits.
Lire la valeur de FaA et FaB en face du cas sélectionné.

Exercice :
Calculer les charges axiales Fa1 et Fa2 si les roulements considérés sont à roulements coniques disposés en O.

Calcul des charges axiales :
Si les roulements considérés sont à roulement coniques disposés en O :
Y1= -102 daN Fr1=127 daN
Z1=-77 daN
Y2=135.2 daN Fr2=381 daN
Z2=-357 daN
Roulement de gauche (1) = réf 30206Y1=1.6
Roulement de gauche (2) = réf 30306 Y2=1.9

a)
I A4/3 II








FrI=127 daN FrII=381 daN
Cas figure n°2 :
Changement des indices
b)

B A


Ka



FrB=127 daN FrA=381 daN
YB=1.6 YA=1.9

c)
FrAYA=3811.6=200.5 FrBYB=1271.6=75.37
Cas 2b ou 2c
d) Ka 0.5 FrAYA-FrBYB
58 0.5 200.5-79.37
Cas 2c

FaA=0.5×FrAyA=100.25daN
FaB=100.25-58=42daN

Conclusion :
B A


Ka



FrB=127 daN FrA=381 daN
YB=1.6 YA=1.9
FaB=42daN FaA=100.25daN

Suite exercice :
Si les roulements à contact oblique à une rangée de billes disposées en O.
Y=0.57
a)
I A4/3 II







b)
B A


Ka





c)
FrBY=1270.57 FrAY=3810.57
cas 2b ou 2c
Ka 0.5 (FrAY-FrBY)
58 0.5YFrA-FrB
Cas 2c

FaA=334.21 daN
FaB=276 daN

Conclusion :
Même principe que conclusion précédente
Calcul de la charge équivalente dynamique (5ème étape)
Pour chaque roulement, la charge équivalente dynamique est une fonction de Fa et Fr qui tient compte de l'aptitude du roulement considéré à encaisser les charges axiales et radiales.
Pour un roulement soumis à une charge combinée (Fa 0 et Fr 0).
P=X Fr + Y Fa
X coeff radial
Y coeff axial
(scan 2)
Le tableau ci-dessous permet de déterminer la charge équivalente dynamique pour les types de roulements les plus courants. Pour les roulements ne figurant pas dans le tableau, consulter les catalogues.

Remarque :
Plus X est grand, plus le roulement est sensible à la charge radiale
Plus Y est grand, plus il est sensible à la charge axiale
Pour une charge radiale pure (Fa=0), P=Fr
Pour une charge axiale pure (Fr=0) , P=Y Fa (sauf pour les butées en billes)
Dans un calcul d'avant-projet, pour le cas où e et Y sont fonctions de la référence du roulement considéré, on prendra e et Y moyens correspondant et on vérifiera les calculs lorsque la référence du roulement sera déterminée en 1ère approche
E coeff expérimental
Co : charge dynamique

Calculer P si les roulements sont à rouleaux coniques (réf 30206 à gauche et 30306 à droite)
Si les roulements sont à une rangée de billes à contact oblique
Si les roulements sont à une rangée de billes (réf 6007 à gauche, réf 6307 à droite)
Calculer P si Fa= 100daN et Fr= 300 daN
Pour un roulement rigide à une rangée de bille (réf 6308)
Pour un roulement à rotule sur rouleau (réf 21307)






1er cas :

Roulement de gauche
e1=0.37
Y1=1.6
Fa1Fr1=42127=0.33 P1=Fr1=127 daN

Roulement de droite
e2=0.31
Y2=1.9
Fa2Fr2=100381=0.26 P2=Fr2=381 daN


2ème cas :

e1=1.14
Fa1Fr1=276127=2.17>e
P1=0.35Fr1+0.57Fa1
P1=201.77 daN
e2=1.14
Fa2Fr2=334381=0.87 P2=Fr=381 daN


3ème cas :
C01=1030 daN C02=1910 daN
Fa1C01=0 Fa2C02=581910=0.03
e 0.23
Fa1Fr1=0.15 P1=Fr1=127daN P2=Fr2=381daN

4ème cas :
Co=2390daN
FaFr=100300=0.33>e
FaCo=1002030=0.04
e=0.24
P=0.56*300+1.8*100=348daN

5ème cas :
e=0.27 FaFr=100300=0.3>e
Y1=2.5
Y2=3.7
P=0.67*300+3.7*100=571daN
Calcul de la durée de vie de chaque roulement (6ème étape)
Durée de vie nominale
Des roulements identiques soumis à des conditions de fonctionnement identique se détériorent après des durées de vie de fonctionnement différentes
On définit la durée de vie nominal L en million de tours qui correspond à la durée atteint ou dépassé 90% des roulements apparemment identique et fonctionnant dans les mêmes conditions
Définition : la charge de base dynamique (ou capacité dynamique) C donnée dans les catalogues est la charge correspondant à une durée nominal de 1 millions de tours
Si on trace la courbe Log (L)=f(Log(P)) on obtient pratiquement une droite de pente -k (k>0)
Si on considère un point A (logP, log (L)), la pente –k est définie par
-k=logLlogPC logL=-k*logPC
L106 tours=CdaNPdaNk
Avec k=3 si éléments roulant à billes ou k=103 si éléments roulant à rouleaux
CP est appelé rapport de charge
Durée de vie en heure
Si n est la vitesse de rotation en tr/min
Lh=Ltoursntr/min=106L60n=10660n*CPk
Cmini=P*60n*Lh1061k





Durée de vie corriger
La durée de vie nominale est établie par
Une fiabilité de 90%
Un matériau conventionnel
Des conditions de fonctionnement normal
Charges
Défaut de forme
Jeu de fonctionnement
Vitesse
Température
Lubrification
…
Pour des conditions différentes, la norme définit une durée de vie corrigée

Lna=a1*a2*a3*L
a1 = coefficient correcteur pour une fiabilité différente de 90%
Fiabilité
90
95
96
97
98
99
a1
1
0.62
0.53
0.44
0.33
0.21

a2 = coefficient correcteur en fonction de la matière
a3 = coefficient correcteur selon les conditions de fonctionnement
Calcul statique
Lorsque le roulement n'effectue que des faibles mouvements d'oscillations
Lorsque la charge est appliquée sur un roulement à l'arrêt
Lorsque le roulement tourne à très basse vitesse

Dans ce cas, la charge admissible n'est pas limitée par la fatigue de la matière mais par les déformations permanentes aux points de contact des éléments roulants et des chemins

Le calcul statique peut servir de vérification en complément du calcul dynamique
Jusqu'à la détermination de la charge axiale (Fa) et la charge radiale (Fr), le calcul statique est identique au calcul dynamique (y compris pour les roulements à contact oblique)
Charge statique équivalente P0
C'est la charge fictive qui provoque les mêmes déformations que la charge réelle
Po=X0Fr*Y0Fa
X0 = coefficient radial statique
Y0 = coefficient axial statique
Les valeurs de Y0 et X0 se trouvent dans le tableau

Charge statique de base minimum
En plus de sa capacité dynamique, chaque roulement possède une capacité statique C0 qui est la charge pour laquelle la déformation permanente totale au contact d'un chemin de roulement et l'élément roulant le plus chargé atteint 10-4 fois le diamètre de l'élément roulant.
Charge statique de base minimum : C0 s0*P0
s0 = coefficient de sécurité statique

Roulements à rouleaux coniques
Roulements à billes à contact obliques
Roulements à billes
Réf 30206
Réf 30306
Réf 7207B
Réf 7207B
Réf 6007
Réf 6307
Réf 60308
P=127 daN
P=381 daN
P=202 daN
P=381 daN
P=127 daN
P=381 daN
P=348 daN
L=157222*106tr
L=7324*106 tr
L=2388*106tr
L=355*106tr
L=1999*106tr
L=680*106tr
L=1576258*106tr
Lh=1819699 h
Lh=84768,51 h
Lh=27638 h
Lh=4108 h
Lh=23136 h
Lh=7870 h
Lh=18243726 h