132977335-calcul-des-structures-ma©talliques-selon-l-eurocode-3

62

1,·

6.3

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

- pour les boulons HR, l' Eurocode 3 à la précédente norme NF P.22460 ( 1 boulon 20, classe 10.9, coefficient de frottement des pièces J.1. = 0,30).

A. BOULONS NON PRÉCONTRAINTS

Les assemblages

Norme NF P. 22460: Q = 1,1 Pv. J.1. Q =58 kN

Eurocode 3 moins favorable de 30 %.

En traction Eurocode 3:

FT= 0,9fub. As 11 ,50 FT= 73 kN

(Jrat·A. N=-1,25

Norme NF P.22430 :

N=59 kN

Eurocode plus favorable de 25 % .

Au cisaillement Fv =0,6 -fub. As /1,25 Fv= 59 kN

Eurocode 3:

Gred · As

NormeNFP.22430:

,,

Q=-1,54

1

Q=48kN

Eurocode 3 plus favorable de 20 %. B. BOULONS

HR PRÉCONTRAINTS

En traction Eurocode 3:

1

i'' '

Le soudage implique donc :

- l'existence d'une source de chaleur suffisante pour obtenir la fusion du matériau. Elle peut être d' origine électrique (résistance, arc, plasma), chimique (combustion de gaz), mécanique (friction) ; - une aptitude du matériau à être soudé, appelée soudabilité. La soudabilité à haute température dépend des qualités propres du matériau, mais également de divers paramètres liruitatifs, tels que : • les modifications de la structure physico-chimique du matériau, • l'apparition de fissurations et de criques au refroidissement, • l'apparition de déformations géométriques dues aux effets de dilatation et retrait, • la naissance de contraintes internes, • etc., qui nécessitent donc de prendre une série de précautions sur lesquelles nous reviendrons plus loin.

Fp = 0,7 fub .As Fp= 172kN

- il assure la continuité de matière, et, de ce fait, garantit une bonne transmission des sollicitations ; - il dispense de pièces secondaires (goussets, attaches, etc.) ;

Norme NF P. 22460: Pv = 0,8. As. Geb Pv=175kN

- il est de moindre encombrement et plus esthétique que le boulonnage.

Règlements équivalents

En revanche, il présente divers inconvénients :

Eurocode 3:

!

Le soudage est un procédé qui permet d' assembler des pièces par liaison intime de la matière, obtenue par fusion ou plastification.

Le soudage présente, par rapport au boulonnage, plusieurs avantages :

- le métal de base doit être soudable ;

Au glissement

..

2.3. LES ASSEMBLAGES SOUDÉS

le contrôle des soudures est nécessaire et onéreux ; Fs = ks m J.1. Fp /1,25 Fs= 42 kN

- le contrôle des soudeurs est aléatoire ; - le soudage exige une main-d'œuvre qualifiée et un matériel spécifique.

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES METALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

2.3.1. LES PROCÉDÉS DE SOUDAGE PROCÉDÉ PAR PRESSION Les pièces chauffées jusqu'à l'état plastique sont assemblées par pression simple ou martelage (forgeage). Procédé artisanal et marginal. PROCÉDÉ PAR RÉSISTANCE ÉLECTRIQUE Les pièces sont superposées et placées entre deux électrodes-presse, qui réalisent des soudures par points. Procédé utilisable pour des tôles fines seulement. PROCÉDÉ PAR FRICTION Ce procédé permet de rabouter deux pièces, dont une au moins est de révolution. La rotation rapide d' une pièce, appliquée sur l'autre, plastifie le métal, qui flue. Ce procédé nécessite cependant un usinage ultérieur pour ébavurer les bourrelets. PROCÉDÉ CHIMIQUE AU CHALUMEAU OXYACÉTYLÉNIQUE Il utilise la combustion d'oxygène et d'acétylène (stockés en bouteilles métalliques), à une température d'en viron 3 000 °C, le métal d'apport étant fourni par des baguettes d'acier fusibles. Très utilisé en chaudronnerie et en serrurerie, car peu onéreux et très maniable, ce procédé est pourtant peu utilisé en construction métallique, car il est plus onéreux que les procédés à l'arc pour des sections d'acier épaisses. PROCÉDÉ AU LASER Dans ce procédé, le laser émet un faisceau de photons et une lentille focalise 1' effet thennique du rayonnement sur un point très concentré (quelques microns). Il existe deux types de lasers : le laser de pu issance, qui extrait ses photons d' un mélange gazeux (gaz carbonique, azote, hélium) et le laser à impulsion d'un mélange solide, le YAG (grenat d'yttrium dopé au néodyme) . D' une très grande précision, ce procédé est surtout utilisé en mécanique de précision et en horlogerie.

Les assemblages

PROCÉDÉ À L'ARC AU PLASMA Un arc électrique est établi entre une électrode in.flusible en tungstène et les pièces. Une torche injecte de l'argon, qui, fortement ionisé par l'arc (état plasma), acquiert une grande vitesse. L'énergie thermique pro vient de l'arc, de l'énergie cinétique des atomes et de la recombinaison ions-électrons, et permet d'atteindre une température de 15 000 °C. Ce procédé est encore peu utili sé en construction métallique, du fait de son coût. PROCÉDÉS À L'ARC ÉLECTRIQUE Ce sont les procédés les plus couramment utilisés en construction métallique. Les électrodes peuvent être fusibles ou non.

Procédé à électrode non fusible (TIG) L'arc est produit entre une électrode de tungstène non fu sible et les pièces, sous jet d' argon, qui est un gaz inerte (d'où l' appellation de procédé TIG : tungsten inert gaz). Le métal d'apport est obtenu par fu sion d'une baguette indépendante. En atelier, ce procédé est semi-automatique ou automatique.

Procédés à électrodes fusibles Un arc électrique est créé entre une électrode fu sible (cathode) et les pièces à souder (anode), grâce à un générateur de courant, alternatif ou continu, de faible voltage, mais de fort ampérage (de 50 à 600 ampères) . L'arc est produit par la cathode, qui émet des électrons, bombardés sur l'anode à grande vitesse, provoquant l'ionisation des molécules sous le choc et donc une forte élévation de température, qui entraîne la fusion à la fois de la cathode (électrode) et de l'anode (zone de liaison des pièces à assembler). Les particules fondues de la cathode sont projetées sur l' anode, au travers de l'arc, et se déposent Il suffit alors de déplacer la cathode le long du joint d'assemblage pour constituer un cordon continu de soudure. Ce déplacement peut être manuel (sur chantier), semi-automatique ou automatique (en usine). Parmi les procédés à électrodes fusibles, le procédé qui reste le plus employé est celui à électrodes enrobées.

-Électrodes enrobées PROCÉDÉ PAR BOMBARDEMENT ÉLECTRONIQUE Le bombardement électronique provoque la fusion du métal par conversion de l'énergie cinétique des électron s en énergie thermique. Un canon à électrons (cathode en tungstène) bombarde les électrons, qui sont accélérés par un champ électrique ; puis un champ magnétique fait converger le faisceau en un point. Cette opération, réalisée sous vide, est de grande précision, et utilisée surtout en nucléaire et en aéronautique.

Les électrodes sont enrobées d'une gaine réfractaire. Lors de la fusion, cet enrobage donne naissance à un laitier, qui permet : • de ralentir le refroidissement de l'acier, donc d'éviter un phénomène de trempe et par là même d'éviter de rendre 1'acier cassant ; • de protéger l'acier contre l' absorption néfaste de l'oxygène et de l'azote atmosphériques, qui le rendrait fragile ; • d'améliorer la nature du métal d'apport, par inclusion d'éléments réducteurs;

67

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

• de créer une torche de gaz incandescent, qui canalise les particules de métal fondu et les accélère (accélération supérieure à celle de la pesanteur g), ce qui autorise les soudures verticalement, de bas en haut et en plafond ; • de stabiliser l'arc électrique, grâce à l'inclusion de sels à faible tension d'ionisation, permettant ainsi d'utiliser une source de courant alternatif.

li existe parallèlement, des procédés à électrodes nues (non enrobées). - Électrodes nues Les électrodes à fil nu, qui étaient utilisées à la naissance du soudage électrique, présentaient alors tous les inconvénients énumérés précédemment, que l' enrobage permet de supprimer (notanunent la nécessité d'utiliser une source de courant continu). Mais le développement de techniques récentes, qui consistent à noyer l'arc électrique dans un jet de gaz, permettent de s'affranchir des divers inconvénients précités, tout en gardant des électrodes nues. Ces procédés tendent à se développer rapidement aujourd'hui. li s'agit notamment: • du procédé MIG (métal inert gaz), qui consiste à utiliser une électrode en atmosphère protectrice (dans un gaz inerte, en principe de l'argon) ;

Les assemblages

Puissance (KW/cm 2)

Puissances comparées des divers procédés de soudage

Laser solide Y AG

200 000 100 000

-

10000

-

Aéronautique

Nucléaire Laser C02 Faisceau électronique

1000

100

-

10

-

Offshore Arc plasma

Arc électrique Énergie solaire concentrée

0, 1

Les procédés de faible puissance sont utilisés en construction métallique, car ils sont peu onéreux. En outre, leur précision et le degré de finition obtenu sont bien suffisants. Parmi ces procédés à faible puissance, les procédés TIG et MAG se développent actuellement, au détriment des procédés à électrodes enrobées, du fait de leur plus grande vitesse d'exécution et de leur industrialisation (fonctionnement automatique en usine).

Constructions métalliques

Chalumeau

• du procédé MAG (metal active gaz), qui utilise du gaz carbonique en remplacement de l'argon, le gaz carbonique n'étant pas inerte puisqu'il se décompose. En résumé, plus un procédé est de puissance élevée, plus la pénétration des aciers est forte, plus la température est élevée et plus le faisceau énergétique est concentré (grande précision et faibles déformations, car les zones très chaudes sont très localisées).

j

-Figure 36-

2.3.2. DISPOSITIONS CONSTRUCTIVES SOUDURES BOUT À BOUT Jusqu'à des épaisseurs de pièces de 5 à 6 mm, les soudures peuvent être effectuées sur des pièces non chanfreinées, affranchies d'équerre (figure 37-A). Au-delà de 6 mm, il faut réaliser des chanfreins sur les rives d'assemblage, le talon t C devant être inférieur à la plus petite des deux valeurs : 3 mm ou - 5

Les chanfreins en V (figure 37-B) et en U (f1gure 37-C) permettent de souder sans retourner la pièce, mais donnent lieu, lors du refroidissement, à des déformations angulaires fortes . Le chanfrein en U est plus onéreux, du fait de l'usinage. Les chanfreins en double U (figure 37-D) ou en d·o~ble V (figure 37-E), symétriques, éliminent les phénomènes de déformations ou de contraintes internes, si les cordons sont exécutés simultanément sur les deux faces, par tronçons alternés. En outre, ils permettent une économie sur le métal d'apport et sur le temps de maind'œuvre (nombre de passes).

68

Les assemblages

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Les chanfreins en K (figure 37-F) constituent une solution intermédiaire.

SoUDURES DE

T

B

t<;;12mm

t<;;25mm

t> 25 mm

-Figure 39-

E

"

'~

PRÉCAUTIONS CONSTRUCTIVES

so• 40 /

[{"

F

r7 [

'•12à40

(~)(.----lep

Le soudage de l'acier exige des températures élevées qui vont provoquer une dilatation locale des pièces. Lors du refroidissement de la zone du cordon de soudure, le retrait va:

- soit provoquer des déformations dans les pièces, si ces dernières sont librement dilatables (figure 40) ;

-Figure 37-

- soit générer des contraintes internes dans les pièces, si ces dernières sont bridées (figure 41 ).

SOUDURES D'ANGLE

Dans le premier cas, pour remédier aux déformations, il est possible':

Les cordons peuvent être plats et/ou bombés.

1

•

- soit de donner aux pièces des prédéformations initiales inverses, qui compenseront les déformations de retrait ; - soit de redresser les pièces à froid, sous presse ; - soit d'effectuer les cordons par tronçons discontinus et espacés dans le temps; - soit de préchauffer les pièces pour éviter un refroidissement brusque. Dans le second cas (pièces bridées), pour limiter les contraintes internes, il est possible:

-Figure 38-

- soit d'assouplir le bridage, ce qui autorisera de faibles déformations, acceptables; - soit de postchauffer les pièces. Quelques autres précautions élémentaires doivent être prises : - éviter l'assemblage de pièces de trop grande différence d'épaisseurs, car il y a risque de déformation de la pièce la plus mince et risque de fissuration du cordon de soudure au refroidissement ; éviter les assemblages par soudure pour des pièces d'épaisseur supérieure à 30 mm ;

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Les assemblages

- réaliser des cordons de diamètre supérieur à 4 mm (a ~ 4 mm) et de longueur supérieure à 50 mm (1 >50 mm ou 10 a);

2.3.3 CALCUL DES CORDONS DE SOUDURE

- veiller à une bonne corrélation entre l'épaisseur du cordon et l'épaisseur de la plus faible des pièces à assembler (figure 42).

Les soudures bout à bout ne se calculent pas. On admet qu'il y a continuité de matière, donc continuité des pièces, aux deux conditions toutefois, que l'épaisseur de la soudure soit au moins égale à l'épaisseur de la plus faible des pièces assemblées et que le métal d'apport ait des caractéristiques mécaniques au moins égales à celle du métal de base.

Après refroidissement

À chaud

c

/

\

-v

J

Les méthodes de calcul qui vont suivre s'appliquent donc aux soudures d'angle.

NOTATIONS

a

/

épaisseur utile ou gorge, distance minimale de la racine à la surface du cordon (figure 43) ; longueur utile du cordon ;

N

-Figure 40-

composantes de la contrainte moyenne rapportée à la section de gorge du cordon, af. Soit:

Contraintes longitudinales

l'

effort pondéré appliqué à chaque cordon, supposé centré au milieu de la longueur du cordon ;

___...._----

Pièces bridées

composante dans le plan de la section parallèle à l'axe longitudinal du cordon.

Contraintes longitudinales

/~

composante perpendiculaire à la section ; composante dans le plan de la section perpendiculaire à l'axe longitudinal du cordon ;

Contraintes transversales

-""---..

-""---.. /

cr

-Figure 41 -

t (mm)

a (mm)

4

6 · 7

8

10

12

14

16 18

3

4

6

7

8

10

11

5

13

-Figure 43-

RÉGLEMENTATIONS

Les méthodes de calcul suivantes sont définies par l'Éurocode 3 (chapitre 6.6. et annexe M), qui se substitue à la norme NF P. 22470. -Figure 42-

72

73

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Les assemblages

FORMULE FONDAMENTALE

Nous allons établir ci-après des formules de calcul pour des cordons reliant:

Elle est donnée par l'annexe M à l' Eurocode 3 et elle exprime que les composantes de la contrainte moyenne rapportée à la section de gorge du cordon de soudure doivent satisfaire à la condition :

- soit des pièces orthogonales, - soit des pièces obliques.

Cordons reliant des pièces orthogonales Les cordons peuvent être frontaux, latéraux, obliques. avec des coefficients ~w et YMW variables selon la nuance d ' acier: Nuances d'acier fy

fu

235 MPa 275 MPa 355 MPa

360 MPa 430 MPa 510 MPa

YMw

~w

~w-YMw

1,25 1,30 1,35

0,80 0,85 0,90

1,00 1,10 1,20

Cordons frontaw:

N --"r-~---':c==;::::===3-- N 1 2

.

N/2

-Figure 45d'où cr= Nn = Nf2 ai. f 2ai. f

f2 , NJ. Nf2 NJ. =N-, doù1:J. = - - = - 2

N;;

=0

ai. f

2ai. f

, d'où 1: 11 = 0

La formule fondamentale s'écrit :

-Figure 44-

soit:

74

75

Les assemblages

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES METALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

D 'où

- Cordons latéraux

2 a. """>R NV3-sin a· ._, - 1-'w · Y Mw ____;_........:.. __ fu

N

Cordons reliant des pièces obliques N---E==~~~=====r~N

e désignant l'angle d'une des faces d'assemblage avec la perpendiculaire à l'autre face, on distingue de la même façon des cordons frontaux, latéraux et obliques. / /

1

~ _!_4& / .r:._t . /

-Figure 46 et

a='t_j_ =0

't 11

cr

N =-a I.l

D'où:

- Cordons obliques

-Figure 48- Cordons frontaux

• Pour l'angle obtus :

a

=....!!._cos(!!.-~) a'Ll

-Figure 47-

a ='t

N. sin a. i

f2 a 'Li

't _ N . cos a. ia I.l

't _j_ = ....!!._ sin a'Ll 'til

=0

4

2

(n -~) 4

2

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

d'où:

Les assemblages

Assemblage de pièces fléchies "" " > a · L..t-

R

fJw ·

y Mw

Nh- sin e

(cordons entre âme et semelles d'une poutre reconstituée) t,

fu

1

• Pour l'angle aigu : Un calcul analogue conduit à :

a. :Ee;::

Pw. y Mw Nh +sine

y- ·-·- · - -

-- ·- -·- d - ·- h ---Y

fu

- Cordons latéraux: De la même façon que pour des pièces orthogonales, on vérifie quel que soit 1'angle, obtus ou aigu, que :

""1.. ,._~b--4...~1

=t' t,

1

-Figure 49a · :ER;::

Pw· YMw N f3 fu

_ Soit V l'effort tranchant, I.J.le moment statique d'une semelle par rapport à y et 1 le moment d'inertie de la section complète par rapport à y. - Considérons l'attache d'une semelle sur l'âme (soit deux cordons) :

- Cordons obliques Dans le cas de cordons obliques, faisant un angle a avec la direction de l'effort, on établit:

VI.J. 2al

et

'CII = - -

• Pour un angle obtus : La formule fondamentale :

..- o > a · L.<._

A

!Jw ·

y

Mw

Nh - (1 + sin 8) . sin2 a fu

• Pour un angle aigu : s'écrit alors : """ a . ._,< ;::

A

1-'w .

YMw ::...N-'V'-'3_ -----'-'(l'---s::..::in:::.....::.e)' -.'-'s:..:cin"-2-a=-fu

Pw VI.J.

{3

~ _J_

2a1

YMw

Formule enveloppe

(1)

ou Il existe une formule enveloppe, qui dispense de tous les calculs précédents, qui place en sécurité, quelle que soit l'orientation de l'effort et du cordon de soudure:

- Si on limite le moment d'inertie de la section au moment des deux semelles, sans tenir compte de 1' âme, ce qui place en sécurité, ori a,: 1= 2 b

78

t(îJ

et

d I.J.=bj2

79

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

donc:

S'agissant d' un cordon frontal, il faut vérifier que :

, . fu V . fu · d ~ - Ecnvons que 1: 11 5. - , avec 1: 11 == - , soit : V 5. - - {3 dtw f3

a'I.f. fu

(2)

L'épaisseur utile du cordon de soudure s'écrit finalement, en combinant les relations (1) et (2): a:?.

Les assemblages

N5.----= YMw· ~w {2

a==5mm z:.e== 4 x 80 == 320 mm

avec

~w YMw {3 fu · d tw

'YMw.

.---

2 dfu

~w =

1

fu== 360 MPa

f3

D'où l'on tire : N 5. 400 kN

Soit :

11 convient cependant de vérifier la contrainte de traction dans le tube. N 400 3 cr==-==-- x 10 == 267 MPa > fy == 235 A 1 500

La pièce périra avant la soudure. Il convient donc de limiter l'effort N à :

2.3.4. EXEMPLES D'APPLICATION Exemple 1 : attache d 'un tube sur une platine

N 5. A . /y = 1 500 x 23,5 x 10-2 = 352 kN

Exemple 2 : attaches de deux cornières sur un gousset. 1_ 1

N

D -Figure 50-

Soit un tube 80 x 80 x 5, soudé sur une platine par un cordon périrnétrique d' épaisseur a= 5 mm. Quel effort axial pondéré N peut-il supporter? Acier S.235.

-Figure 51-

80

81

Les assemblages

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

- Soient deux cornières 80 x 80 x 8, soudées sur un gousset par des cordons

Calculer les cordons de soudure.

d'épaisseur a= 4 mm. - L'effort de traction pondéré N appliqué sur l'axe neutre vaut N = 40 000 daN

- d'= 23

N

mm et d" =57 mm.

- Acier S.235. Calculer la longueur des cordons de soudure.

s

Dans l'idéal, il faut que le centre de gravité des cordons de soudure soit situé sur l'axe neutre des cornières ZZ'. Dans ce cas, leurs moments statiques sont égaux :

F rr--

-__,:

1

~

f'd' =R"d". Par ailleurs, il faut vérifier que :

A

~w . 'Y Mw Nf3

ri '2

avec Le= 2 (R'+ R")

E

c

/

Coupe SS

~~ 1

a fu

1

Du fait de l'égalité des moments statiques,

r

=

r . !!.:.._et u d"

=

H' (1 + .E.:._J 2 (1 + ~J d"

=

R"

-Figure 52-

d'

- Attache diagonale 1 gousset • Effort dans le cordon AB :

D'où:

R' '2

~w ·'Y Mw· N . f3 2afu(1 +

R" '2

~J

400 17 cm

( d"J

270kN

• Effort dans le cordon CD :

d"

~w · 'Y Mw · N · f3

x 81

120

400 ?cm

2 aJ;, 1 +---;;;-

x 39

130 kN

120

il faut vérifier : I.R '2

~w 'Y Mw N f3 a fu

Exemple 3 : attache d'une diagonale de treillis sur un gousset Soit une diagonale de treillis, constituée d'une double cornière L 120 x 80 x 10, reprenant un effort de traction pondéré N = 800 kN (soit 400 kN pour chacune des cornières).

• Cordon AB: adoptons, par exemple, a = 7 mm

RAB -;:: __2_7_:_0__:_{3_::3__ 7 x 360 x I0-3

190 mm

• Cordon CD:

Dimensions du gousset :

adoptons a = 5 mm

OE=OG=50mm EF=400mm GH=250mm épaisseur : t = 14 mm

RCD '2 _ __:1:..:.3..::.0__:D_:3~_ 5 x 360 x I0-3

82

l30mm

83

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

- Attache gousset/membrures

'!

Si R et S sont les centres d'inertie des cordons EF et GH, 1' effort N se répartit dans les cordons selon :

CHAPITRE 3

LES PHÉNO M È N ES D' INS TA BILIT É ÉLASTI Q U E E

G

s

H

-Figure 53-

800 x 160

3.1. ORIGINE DES PHÉNOMÈNES D'INSTABILITÉ ÉLASTIQUE

474kN

270 800 x 110

Le calcul d'une structure exige que, sous toutes les combinaisons d'actions possibles, définies réglementairement, la stabilité statique soit assurée,

326kN

270 Les cordons doivent vérifier :

- qu'individuellement au niveau de chaque élément.

2a ~w _ . 'Y..:..c:._:..._ Mw N_ V3_- _ sin_ a:;>: _ _

Les actions développent diverses sollicitations, qui génèrent des contraintes au sein du matériau et des déformations des éléments.

fu· 'Lf

soit:

Il s' agit donc, afin de garantir le degré de sécurité souhaité ou souhaitable, de véri-

• Cordons EF : a 1 = 34° Sin a 1 = 0,56 Ii = 2 EF = 800 mm (0,56) 2

> 474-./3 a1 360 x 10- 3 x 800

fier que les contraintes et les déformations restent en deçà des limites admissibles. Deux cas de figure se présentent : - Le cas des petites déformations

2,7 mm

• Cordons GH : a2 =56 o Sin a2 = 0,83 'Lf = 2 GH = 500 mm

a > 326 V3 - (0,83)2 2360 x lQ-3 x 800 Nous adopterons

a1

- tant globalement, au niveau de la structure

Tant que l'on reste dans le domaine des petites déformations, on admet que les sollicitations ne varient pas (ou peu) sous l'effet des déformations, ce qui conduit simplement à vérifier que les contraintes restent inférieures à la contrainte de ruine. - Le cas des grandes déformations

Dans ce cas, les déformations modifient considérablement les sollicitations qui les ont initiées et nécessitent des calculs spécifiques. 2,8 mm

=a2 =4 mm.

L'apparition de déformations importantes dans certai.De~ pièces peut survenir: • dans le domaine élastique, lorsque la corrélation linéaire efforts/déformations n'est plus vérifiée, les déformations augmentant plus vite que les efforts appliqués; • dans le domaine élasto-plastique, lorsqu'il y a écoulement plastique.

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES METALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Les phénomènes d'instabilité élastique

Les grandes déformations affectent les zones comprimées des pièces, qui peuvent présenter trois types de comportements caractéristiques, dénommés phénomènes d'instabilité, qui sont :

D'après la loi fondamentale de la flexion, issue de la résistance des matériaux, le moment fléchissant s'écrit: 2

• le flambement, qui affecte les barres simplement comprimées (flambement simple) ou comprimées et fléchies (flambement flexion) , qui est très dangereux, • le déversement, qui affecte les semelles comprimées des pièces fléchies, • le voilement, qui affecte les âmes des pièces fléchies. L' étude des phénomènes d'instabilité élastique est particulièrement importante en construction métallique, car ils sont très fréquents du fait de l' utilisation d'éléments minces et de grand élancement.

M=-E/ Y d~ d2 y Or M= Ny, donc: El--+ NY= O. ' d~

En posant o.= ·

fN,

'VEi

on obtient l'équation de l'élastique:

Nous nous proposons donc d'examiner successivement les trois principaux phénomènes d'instabilité (flambement, déversement, voilement), sous leurs aspects théoriques, expérimentaux et réglementaires.

3.2. LE FLAMBEMENT

z

3.2.l.ASPECT THÉORIQUE DU FLAMBEMENT

3.2.1.1. LE FLAMBEMENT SIMPLE A. Poutre bi-articulée Le flambement simple affecte les pièces soumises à la compression simple. Son étude est due à EULER.

-Figure 54-

La théorie d'Euler est fondée:

d2 y 2 --+O.Y=O d~

- sur une poutre droite, bi-articulée à ses extrémités, - soumise à un effort normal de compression centré N, appliqué dans l'axe Ox,

équation différentielle du second ordre, dont la solution générale est de la forme:

- dont les dimensions transversales sont faibles en regard de la longueur (grand élancement), - dont les inerties sont maximale dans le plan zOx et minimale dans le plan yOx (voir figure 54). Lorsque N croît, à partir de zéro, l'état d'équilibre rectiligne initial évolue vers un état curviligne fléchi.

86

Y= A sin

o.x + B cos o.x

La résolution de cette équation s'opère grâce aux conditio~s aux limites : • pour x= 0,

Y (0) = 0,

B=0

• pour x= Ro,

Y (Ro) = 0,

A sin o. Ro = 0

87

Les phénomènes d'instabilité élastique

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Deux cas sont alors possibles :

cr (MPa)

- Si sin a fa~ 0, A = 0 et Y (x) = 0 quel que soit x. Dans ce cas, seul l'équilibre rectiligne est possible. - Si sin a fa= 0, a fa = k n Soit: d'où:

cr 9 = 235 r - - - \

a=~:=~ N= kz n2 El p2

a

- Si k = 0, N = 0 et la poutre est rectiligne. Pour qu'elle reste fléchie, il faut que k soit au moins égal à 1, ce qui conduit à la valeur minimale deN, correspondant à un équilibre fléchi de la poutre, qui vaut:

-Figure 55- lorsque crK >cre aucun risque de flambement n'est à craindre et la ruine survient pour cr = cr•. - lorsque crK < cre, il y a ruine par flambement dès lors que cr = cr K.

À la limite de bifurcation d'équilibre, pour laquelle crK = cr., correspond un élancement critique ÂK- Dans Je cas d'un poteau bi-articulé en acier E.235, l'élancement critique vaut :

NK =force critique d' Euler. À la force critique d'Euler NK correspond une contrainte critique crK= NK, A étant A la section droite de la poutre, qui s'écrit encore:

210 000 235

=93

B. Poutre encastrée en pied et articulée en tête La ligne d'action deN tend à se déplacer dans la section d'encastrement et génère une réaction transversale P, la ligne d'action passe par A, point d'inflexion de la déformée.

avec i =

{f ,

rayon de giration minimal, correspondant à l'inertie l minimale et à f

J'élancement maximal  = ~. d'où finalement :

~ L___fJ

L'équation de la déformée s'écrit: d2 y El--=- M=- NY+ P}( dx 2 et a pour solution, en posant a = - {N:

vEi

·p

Y= A sin ax + B cos ax + - ,x

N

88

.

Les phénomènes d'instabilité élastique

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

C. Poutre bi-encastrée

N

L'équation différentielle est : y

y

L'expression du moment est de la forme:

M=-Ny+ Cx+D

fo

Par conséquent :

j"0~

et par intégration, il vient :

y =A cos ax + B sin ax + Cx + D

x -Figure 56-

La résolution s'effectue grâce aux conditions aux limites:

Y (0)

= 0, soit B = 0

Y(.t0 )

= 0, soit A sin a .e0 +

!... .e0 = 0 N

Y' (f0) = 0, soit A a cos a .e0 + !...= 0 N D'où l'on tire l'équation transcendante tg a .e0 =a .e0 , qui a pour plus petite racine a.e0 = 4,5. Soit :

-Figure 57-

Les conditions aux limites sont les suivantes : d'où: A+ D= 0

Ce qui montre, en se référant à la formule d'Euler pour une poutre bi-articulée, que:

2 1 . R0 fi - = - , SOltfK=--=0,7 fo p p 2 0 K

90

y (0) =y (.t0) = 0 , y (O)=y'(fo) =0

soit

l

Ba .e0 + C= 0

· Acosa.t0 +Bsina.e0 ,+Cf 0 +D=O

A a sin a .e0 + Ba cos a .e0 + C .e0 = 0

91

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES METALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Les phénomènes d'instabilité élastique

La déformation ne sera pas nulle si le système obtenu en éliminant C et D a une solution différente de zéro :

Conditions d'appuis

m

A (1- cos a fo) + B (a fo- sin a fo) = 0 A sin

• Sans déplacements des extrémités

a fo + B (1 - cos a fo) = 0

c'est-à-dire si: (1 -cos a fo) 2 (a fo - sin a fo) sin a fo

=0 ;

soit en développant :

~

_ ...---

1 - 2 cos a fo + cos 2 a fo - a fo sin a fo + sin 2 a fo = 0 ou:

N-

N-~

2 (1 - cos a fo) = a fo sin a fo

~ encastrement

~-----'.e..,..K::~~~T~:r--=-...,~

La plus petite racine non nulle de cette équation est :

fK

=r=

parfait

2

0,7 f 0

4

0,5 f 0

a fo = 2n.

> 0,7 f 0

La force critique d'Euler est donc égale à :

• Avec liberté de déplacements aux extrémités

D'une manière générale, selon les conditions aux appuis, la force critique d'Euler vaut:

N-

------

fo étant la longueur réelle de la barre. En introduisant la longueur de flambement fK, elle s'écrit alors :

1

2f0

1

fo

m
~

>2f0

-Figure 58-

avec~

3.2.1.2. Des calculs analogues à ceux que nous avons effectués pour une poutre bi-articulée ou encastrée/articulée, conduisent à des valeurs de rn et de f K, récapitulées ci-après (Figure 58) :

4

LE FLAMBEMENT FLEXION

Il s'agit, dans ce cas, d'une poutre idéale rectiligne, .soumise simultanément à un effort normal Net à un moment fléchissant Mo. · En comparaison au flambement simple, il y a dans ce cas une amplification de la déformée et donc des contraintes de flexion et de compression.

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Si Mo (x) est Je moment fléchissant initial, le moment fléchissant total dans la poutre, comprimée et fléchie, vaut :

M (x)= Mo (x)+ Ny La déformée a pour équation:

Les phénomènes d'instabilité élastique

- si a ~x~ R.

Q R.-x y (x)= C cos a x+ D sin a x+ - a - N R. Les coefficients A, B, C, D sont déterminés en écrivant que : A=O;

Pour des fonctions simples de Mo (x), l'intégration est possible.

Q sin a (R.- a) B=--; aN sin aR. C=-D tg aR.;

Considérons les deux cas les plus courants de moments : • moment sous charge concentrée transversale, • moment sous charge uniformément répartie transversale.

Q sin a a

aN tg aR.

- si 0 ~x~a:

t~ ·······t ··

~-r L ....... .......L.,_ y tN -Figure

si

x~

aN

59-

si a~ x~ .e:

Q sin a a . Q R.- x y(x)=- - - - - - s m a (f -x) + - a - aN sin aR. N R. R. R. pour x=- et a=-

2 u

2

=a2R.-~{f=~H;

l-a

QR.3 3 (tg u- u) 48 E~

R.-x

Il (x) = Q, - R.

a(R.-

Q sin a) . Q R.- a y(x)=--smax+-x-a N sin aR. N R.

a Il (x)= Q "' R.

x~ a

.

Finalement:

A. Sous charge concentrée Q

Nous avons : si

Q

D = - - - - - = > C=--- sm aa

Ymax

QR.

taU

4

u

u3

=--"-

L'intégrale générale a pour expression: - si 0

~x:;;

B. Sous charge uniformément répartie q

a

Q R.-a y (x)= A cos a x+ B sin a x+ - x - N R.

94

aR. En posant : u = - ; il vient : 2

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Les phénomènes d'instabilite elastique

3.2. 1.3.

INFLUENCE DE L'EFFORT TRANCHANT SUR LE FLAMBEMENT DES PlÈCES

y(x) La sollicitation d'effort tranchant, généralement présente dans les pièces fléchies de

la pratique, entraîne des déformations dont nous n'avons pas tenu compte jusqu'à présent. En fait, la présence d' un effort tranchant ne modifie d' une manière sensible la charge critique que dans les poutres à treillis.

!. La flèche maximale pour=- s'écrit: 2

Reprenons Je cas simple de la poutre d'Euler bi-articulée, sollicitée en compression simple.

_ 5 q!.4 24 (1 -cos u)- 12 u 2 cos u

Ymax - 384 Elz

Ymax

=q!.2 8

5 u4 cos u

Nous avions :

2 (cos u- 1) u 2 cos u

M=Ny et V= dM =Ndy

dx Les résultats, pour les cas usuels, sont rassemblés dans le tableau ci-après, dans a!. lequel t = -

L'équation de la déformée s' écrit, en prenant en compte les déformations engendrées par J'effort tranchant :

2 Gond. aux appuis

..!!:.._[~]

2 Cas de charges

M0 max. pour

Z=:f_ 2

Mmax. pour

Coefficient d'amplification des moments :

Z=-!.2

Mmax r=-M max

dx

d y =- M + dx2 El dx GA 1

d2 y

Ny

N

--=--+-dx2 El GAl

0

d2 y dx2

q •Q)

:;

"

'E

'l'

ëii

~ f-e

!.

~

f.2 q-r

f.2 q8

8

~

t2

(cos1 t- 1)

soit:

d2y dx 2

[1-_!!__J+ N y =O GA 1

El

0

~

Posons:

oi

oir

!_2

f.2 r q-

4

4

N

~2

.1_ tg 1

t

q

·~

~..~ t t t t t t t l ~

(ii

""'c

'!' ëii

q24

24

3

3

/sin 21-

0

T4N

L'équation devient :

2f2 Elle est analogue à l'équation différentielle du § 3.2.1.1. précédent, et se résout de la même façon .

oi

oi r

8

8

.1_ tg 1

t

'El, est réduite en raison de La force critique de flambement, qui valait NK = 1t2 -. -

p

-Figure

96

60-

K

l'influence de l'effort tranchant et devient:

97

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Les phénomènes d'instabilité élastique

Si la diminution est faible pour les poutres à âme pleine, et négligeable, elle est, au contraire, sensible pour les poutres triangulées.

3.2.2. ASPECT EXPÉRIMENTAL DU FLAMBEMENT ou: L'expérimentation en laboratoire, effectuée sur des poutrelles laminées courantes, soumises à des efforts de compression progressivement croissants, montre que la ruine des pièces se manifeste de deux façons différentes, selon l'élancement des pièces.

At étant la section réduite à l'effort tranchant.

-

- Pour les pièces de faible élancement (forte section, faible hauteur, À < 20), la roine se manifeste par 1' affaissement des membrures, sous la contrainte cr, approximativement.

Si At est très grande:

- Pour les pièces de grand élancement (À> 100), la ruine intervient pour une contrainte d'affaissement cr5 (inférieure à la limite élastique Œe et à la contrainte d'Euler ŒK), pour laquelle on observe une augmentation brutale des déformations, avec l'apparition de zones plastifiées, suivie d' un effondrement. En outre, la courbe contraintes/déformations n'est pas linéaire.

- Si, au contraire 1 est très grand :

dzy[~-...!!_J=o dx2

GAl

ce qui est vérifié pour

...!!_ = 1, c'est-à-dire que la force critique de flambement GA 1

d'effort tranchant est :

L'affaissement a lieu pour une contrainte crs inférieure à ŒK- La contrainte d'Euler représente en fait une borne supérieure, que l'on ne peut atteindre, du fait que la théorie d'Euler prend en compte une barre idéale, parfaitement rectiligne et soumise à un effort de compression N parfaitement centré au centre de gravité de la section et appliqué suivant l'axe moyen, ce qui n'estjamais le cas dans la réalité. En effet: 1. les pièces, après leur traitement en laminoir et leurs diverses manutentions et transports, ne sont pas rigoureusement rectilignes (défauts de rectitude);

N"K=GA1

En général, on a :

2. leurs inerties ne sont pas constantes (tolérances de laminage) ; 3. les efforts normaux de compression et les appuis ne sont jamais rigoureusement centrés (défauts de centrage); 4. les poteaux, sur chantier, ne sont jamais parfaitement verticaux (tolérances de montage) ;

C'est-à-dire:

5. enf1.11, le module d'élasticité Ede l'acier n'est pas vraiment constant, du fait des contraintes résiduelles de laminage (défauts d'homogénéité). Ces cinq types de défauts, plus ou moins prononcés, mais réels et inévitables, contribuent à affaiblir les éléments, en raison des m_orri.ents de flexion parasites qu'ils créent, qui majorent considérablement la contrainte.

ou encore :

1

1

1

NK

N'K

N"K

-=--+--

98

Les défauts de rectitude (défauts 1 et 2) et les défauts de centrage (défauts 3, 4 et 5) réduisent la force portante de la barre, et justifient des calculs spécifiques.

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

3.2.2.1.

Les phénomènes d'instabilité élastique

PRISE EN COMPTE DES DÉFAUTS DE RECTITUDE.

2

d ____!'. +a dx2

Considérons une poutre dotée d'une courbure initiale Yo = f(x) et chargée centriquement (figure 61).

1

y= Dsin

y

~ a

(1)

La solution générale de cette équation est de la forme :

N

Yo

2(y+ a sm. 1t XJ = 0 e

x

-e

x

1t

e

Les dérivées sont :

2

=D~cos~

dy dx

f

v

e

2

cj__J_

e

2

=- D~ sin

dx2

1t

{2

x

e

L'équation (1) devient alors:

x

.

1tX

sm T -Figure 61-

Dans une section courante z, Je moment fléchissant vaut M (x) = N (y + Yo)

(a a

2

2

1t

2]

+ D a - D {ï = 0

d'où l'on tire:

L'équation de la déformée s'écrit:

D=--a__

d2 y E l - = - M=- N(y+ y0) dx 2 La flèche additionnelle y prise par la poutre vaut donc :

D'où :

. 1t x asm-

e

La déformée de la poutre, à vide, s'exprime par Je développement en série de sinus suivante : Yo

sin

1t

x

=al--e-+~

. 2 1t x sm -e-+ ...

qui, en première approximation (les autres termes étant négligeables), se résume à: . 1t x Yo =a SIO - .

e

. Soit:

e

Elle est maximale à 1' abscisse x=-. 2 soit :

a

Ymax =f=--- 2 _n_ _ l Cf.2 {2

(2)

') CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Les phénomènes d 'instabilité élastique

2

Compte tenu que o: 2 = Net NK = 7t El, (2) s'écritencore:

El

(1.

f=-aNK --1

3.2.2.2.

N

PRISE EN COMPTE DES DÉFAUTS DE CENTRAGE

Considérons cette fois-ci une poutre rectiligne, chargée d'une force normale N, parallèle à son axe moyen, mais excentrée de e (Figure 62).

Les déformations croissent hyperboliquement avec N.

La flèche totale}; (flèche initiale+ flèche additionnelle) vaut donc:

fr =a+ f= __a_

N

(3)

y

1 - !'!___

NK • lorsque N = 0,

.t; =a (état initial)

• lorsqueN---7NK,

j;---?oo (étatderuine)

y

1\

x

.e 2

e

f

La contrainte maximale, caractérisant 1' état de ruine, est obtenue pour :

N Nfv cr.=-+--

A

1/

l

x

l p . . . . Compte tenu que c = - = -, z étant le rayon de g1rab.on etc la distance du centre vA v

-Figure

de gravité de la section à la frontière du noyau central, on a :

62-

2

- Équation de la déformée: d y+ o: 2 y= 0 dx2 (4)

- Solution générale : Y= A sin a: x+ B cos a: x - Conditions aux lirrùtes : _cr __ = coefficient d'amplification de la flèche initiale O"K - cr ( 1+

l

y (0) = e, soit B = e

1 - cos 0: .e y (.f) = e, soit A = e - - - sin a: .e

~_cr__î=coefficient d 'amplification de la contrainte. ccrrcr)

N La charge de ruine N est obtenue par la relation (4), en portant cr= - et A 2

crK = 7t E. On obtient l'équation suivante du second degré, qui donne N:

;..2

102

1 D'où y = e [cos a: x+ sin a: x----.c_o_s_o:_.el sm a: .e

.e

Flèche totale maximale, pour x=2

103

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

e + f= e[cos a: -e + sin a: e 1 2

2

e]

cos a:

sin

0:

Les phénomènes d'instabilité élastique

cr,='A!..[!+

e

e a:

l

e

C. COS-

2 or: cos

.

sm

e= 1 -

0:

e

a:

2 sin22

1 -cos a: sin

2

0:

e

2

~= ·vJN_ Eï A

2

soit enfm:

cre

o: e

cos

?:.. {N

·v EA" A

2

1 =AN[ 1 + ce cos ~ {fi

l

(6)

tg2

e

La charge de ruine N peut être obtenue par résolution de l'équation (6); Cependant, plus simplement, tant que N reste faible vis-à-vis de NK (petites déformations), on peut admettre avec une précision suffisante, a: étant faible, que :

La flèche totale vaut alors :

e

e + sin -a: e . tg -a: eJ= - e 2 2 2 o: e

e + f= e cos -a:

[

~ = cos

o:e -o:e e= 2 sin -cos

0:

2

d'où:

Or, cos

e

a: o:2 e2 cos-=1---

cos2

2

soit:

8

L'équation (5) s'écrit alors: /=e[--s-1] cos-

(5)

2

f=e[

1

0:2 (2.

1--8

• Lorsque N = 0, f = 0 (état initial) • Lorsque N ~ NK, f ~ oo (état de ruine) fvarie hyperboliquement en fonction deN et a pour asymptote horizontale NK.

En portant o: 2 = N , on obtient finalement : El

Le moment fléchissant maximal vaut : (7)

Mf = N (e + /J = __!:!_:__!__

a,e

COS-

2 La contrainte maximale, caractérisant l'état de ruine, est obtenue pour

cre = l'_!_+ N-....:...(e_+....:/J~v A

3.2.3. ASPECT RÉGLEMENTAIRE DU FLAMBEMENT

I

·2

qüi s'écrit encore, en portant c =:._ etftir~e de la relation (5):

v

104

La théorie d'Euler, établie pour des structures idéales, est très insuffisante, en regard des imperfections de centrage, de rectitude, de verticalité et de la présence de contraintes résiduelles.

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Les phénomènes d'instabilité élastique

Il est donc nécessaire de prendre en compte ces imperfections ou leurs effets. Les règlements ont notanunent défirù un facteur d'imperfection a

3.2.3.1.

VÉRIFICATION SELON L'ADDITIF

80 (CHAP. 5.3) ,rn

,c

A. Flambement simple

·~ ljJ 1

La sollicitation N de compression, pondérée, doit satisfaire à :

~ ~

1

... l

1,0

~

.,::• ,

:1

0,9

:

i

avec :

NP= effet normal de plastification, qui vaut pour une section d'aire A : NP= A. cr,

1

Courbe européennes de flambement

1 1 1 \ 1 1

0,8

ko = coefficient fonction du plus grand des élancements réduits Â.x et Â.y , 0,7

défirùs par :

0,6

avec Â.r= 1t

{E

~-;_

0,5

(élancement eulérien). 0,4

'' 0,3

Dans le cas de l' acier S.235, on a : Â.r=1t

y

21 000 = 93 24

·t]JÂ.

0,2

SOit À.=-

93

Les valeurs de ko sont obtenues directement par lecture des tableaux A, B ou C de l'Additif 80 (chapitre 5.3.), les poutres en 1 relevant du tableau B.

0,1

0

0

0,2

0,4

0 ,6

0,8

1 ,0

1,2

Parallèlement, la Convention Européenne de la Construction M étallique (C.E.C.M.) avait établi des courbes européennes de flambement, non dimensionnelles, en fonc-Fig ure

tion des variables Net À., avec :

106

63 -

1,4

1 ,6

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Les phénomènes d'instabilité élastique

Remarquons que dans l'additif 80, la contrainte de ruine par flambement crK est obtenue pour k 0

Soit: k 0

(JK -

-

N

Cmx et Cmy étant des coefficients donnés par le tableau VI de l'Additif 80, qui sont fonction du mode de chargement et d'appui. Leurs valeurs étant très proches de 1, on peut par simplification, adopter Cm= 1, ce qui place en sécurité.

= 1.

NP

NOTA = 1, d'où

cr.

La vérification au flambement, selon l'Additif 80, peut très bien être utilisée dans le

seul domaine élastique. ll suffit alors de remplacer, dans la relation ( ll ), le moment de plastification par le moment résistant élastique, soit :

Les valeurs de N lues sur les courbes européennes a, b, c, sont donc égales à l' inverse des valeurs de ko lues dans les tableaux A, B, C de l' Additif 80. Les deux méthodes de vérification au flambement sont donc analogues.

B. Flambement flexion

3.2.3.2.

- La vérification n'est à faire que si:

A. Flambement simple (Eurocode § 5.5.1.)

À

> 0,2 et k 0

-

N

> 0,1

NP

VÉRIFICATION SELON L'EUROCODE

3

Le risque de flambement n'est à considérer que si À > 0,2 En ce cas, la sollicitation N de compression simple doit satisfaire à :

- Les sollicitations sous charges pondérées doivent satisfaire à la condition suivante :

NS. X . ~A . A. -

!y

'Y Ml où ~A

=1

pour les sections transversales de Classe 1, 2 ou 3 ~A = Aeff 1 A pour les sections transversales de Classe 4 et x est le coefficient de réduction pour le mode de flambement à considérer.

avec:

Mmx et M,y = moments de flexion maximaux par rapport aux axes de plus forte et de plus faible inerties.

Pour les éléments à section transversale constante, sollicités en compression axiale

ko=

coefficient donné par tableaux, en fonction de À .

constante, la valeur de X pour l'élancement réduit À, peut être déterminée par la formule:

kv=

coefficient de déversement, calculé comme indiqué au paragraphe 5,22 de l'additif 80 (et explicité plus loin au chapitre 3.3.3.2. de cet ouvrage), en supposant que le moment de flexion est constant le long de la barre.

x !)>

+ [ !)>

2

~]0,5 -À

mais

x S.

où !)>

= 0,5 [1 +a

a est un facteur d'imperfection

ci- 0,2) + ~]

1

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Les phénomènes d'instabilité élastique

À est l' élancement pour le mode de flambement à considérer

Coefficients de réduction

-

Â.

Ncr est l'effort axial critique élastique pour le mode de flambement approprié. Le facteur d'imperfection a correspondant à la courbe appropriée de flambement vaut: Courbe de flambement Facteur d'imperfection ex

Les courbes de flambem ent sont les courbes donnant le coefficient de rédu ction en fonction de l'élancement réduit I

x

x1

0 ,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2 ,9 3,0

a

Valeurs de x pour la courbe de flambement b c

1,0000 0,9775 0,9528 0,9243 0,8900 0,8477 0,7957 0,7339 0,6656 0,5960 0,5300 0,4703 0,4179 0,3724 0,3332 0,2994 0,2702 0,2449 0,2229 0,2036 0,1867 0,1717 0,1585 0,1467 0,1362 0,1267 0,1182 0,1105 0,1036

1,0000 0,9641 0,9261 0,8842 0,8371 0,7837 0,7245 0 ,6612 0,5970 0,5352 0,4781 0,4269 0,3817 0,3422 0,3079 0,2781 0,2521 0 ,2294 0,2095 0,1920 0,1765 0,1628 0,1506 0,1397 0,1299 0,1211 0,1132 0 ,1060 0,0994

0,5 .. .... , ... ... , .. - Tobleou 65 -

0,4

------·- ·- - - -~

0,3 0,2

. ::::: : ::: :::.~:. ::::::t,, ::::: :~..... · . ··-~,...... ,...... · ·- · ··j·

0.2

0

· ··---:··· ·- +····-:·-- ···:·· ··+· · ·-~------f·· ·· ·-~---··+·· ·· · 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1 ,2

1 ,4

1,6

1,8

2 I

-Figure 64-

Plus simplement et plus rapidement, x peut être obtenu en fonction de l' élancement réduit À, au moyen du tableau 65 suivant:

llO

1,0000 0,9491 0,8973 0,8430 0,7854 0,7247 0,6622 0,5998 0,5399 0,4842 0,4338 0,3888 0,3492 0,3145 0,2842 0,2577 0,2345 0,2141 0,1962 0,1803 0,1662 0,1537 0,1425 0,1325 0,1234 0,1153 0,1079 0,1012 0,0951

d

1,0000 0,9235 0,8504 0,7793 0,7100 0,6431 0,5797 0,5208 0,4671 0,4189 0,3762 0,3385 0,3055 0,2766 0,2512 0,2289 0,2093 0,1920 0,1766 0,1630 0,1508 0,1399 0,1302 0,1214 0,1134 0,1062 0,0997 0,0937 0,0882

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

_ Sections de classes 1 et 2 :

Choix de la courbe de flambement correspondant à une section Section

axe de flambement

Courbe de flambement

hlb>1,2: trS 40 mm

y-y z-z

a b

40 mm< lr S 100 mm

y-y z-z

b

hlb$1,2 : trs 100 mm

y-y z-z

b

Ir> 100 mm

y-y z-z

d d

1rS40 mm

y-y z-z

b

Limites

Sections en I laminées

rif

,~I-Y UJ

Les phénomènes d'instabilité élastique

c

ky .

N My kz . Mz ----+---+---~

Mpf;y

1

Mptz.

avec:

c avec

ky~

1,5

Sections en I soudées

1z

z

Y-IYY-t!y fr

llr

lz

Ir> 40 mm

avec Jl.y

~

0,9

c

y-y z-z

d

c

lz

Sections creuses

0 DD E-B ; Caissons soudés

L~J

w

Laminées à chaud

quel qu'il soit

a

formées à froid - en utilisant fyb ")

quel qu'il soit

b

formées à froid -en utilisant fyb ")

quel qu'il soit

c

Xrn.in est la plus petite des valeurs de Xy et Xz

quel qu'il soit

b

où Xy et Xz sont les coefficients de réduction définis précéde=ent

d'une manière générale (sauf ci-dessous) Soudures épaisses et

et ~My et ~Mz sont les facteurs de moment uniforme équivalent pour le flambement par flexion ; voir tableau 67.

bi fr<30 mm hl fw< 30 mm

Sections en U, L, T et sections pleines

y-y z-z

c c

quel qu'il soit

c

Si le déversement représente un mode potentiel de ruine, il faut également vérifier:

-[· =~TB~ ·Voir 5.5.1.4 (4) et figure 5.5.2 de I'Eurocode 3. (L'axe de flambement est perpendiculaire au plan de flexion) .

- Tableau 66-

avec :

Xz

B. Flambement flexion (Eurocode § 5.5.4.) Les éléments sollicités simultanément en flexion et en compression axiale, doivent satisfaire à diverses conditions, selon la classe de leur section transversale.

J.l.LTN kLT=i--Afy

J.l.LT =0,15 Àz~MLT- 0,15 ~MLTest

avec J.l.LT~ 0,9·

un facteur de moment uniforme équivalent pour le déversement.

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Les phénomènes d'instabilité élastique

- Sections de classe 3 : Les formules établies pour les sections 1 et 2, que ce soit avec ou sans risque de déversement, restent valables à la condition de remplacer Mpe = Wpe . !y par Mee= Wee -!y

Facteurs de moment uniforme équivalent Facteurs de moment uniforme équivalent ~m

Diagramme de moment Moments d'extrémités

- Sections de classe 4 : ~M,'I' = 1,8- 0,7

Les formules deviennent, en introduisant les sections et modules efficaces :

N -------+

ky . My + Ne Ny

!y

Xmin · Aeff · - YMI

+

k2

•

M2

+ Ne Nz

:::; 1

fz

!y

Weff.y--

Weff_z--

YM!

YM!

Moments dus

a des charges latérales ~M.o= 1,3

Si le déversement représente un mode potentiel de ruine, il faut également vérifier:

PM.o= 1,4

a

Moments dus des charges latérales plus des moments d'extrémités

Les facteurs de moment uniforme équivalent ~My• ~Mz et ~MLT doivent être calculés d'après la figure 5.5.3. en fonction de l'allure du diagramme des moments fléchi ssants entre points de maintien à déterminer comme suit (cf figure 67 page suivante): facteur

axe de flexion

~My ~Mz ~MLT

y-y

z-z

z-z

y-y y-y

y-y

points maintenus suivant la direction

Mo= 1 max Ml

dû aux charges latérales seulement

pour diagramme de moment sans changement de signe

6 M

{lmaxMI~

= 1max M 1+ 1 min M 1

t

pour diagramme de moment avec changement de signe

-Figure 67 1

-1

115

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

C. Longueurs de flambement

Les phénomènes d'instabilité élastique

-Fi ure

La longueur de flambement f.k d'un élément peut être déterminée, en fonction de sa longueur nominale f.o, à partir de l'annexeE de l' Eurocode 3, dont nous résumons l'essentiel ci-après.

Articulé

69-

t

11t

1 ,0 0,9 0,8

Il convient de calculer les facteurs de distribution de rigidité 11t et 11 2 , respectivement en tête et en pied du poteau qui valent :

0,7 0,6

11t 0,5 0,4

avec :

Kc =rigidité (ou raideur) du poteau concerné= 1

0,3

f.o

0,2

Kt et K2 =rigidité des poteaux adjacents

0,1

Kij = rigidité des poutres associées au nœud considéré

Articulé --~

f. Après quoi, on détermine le rapport _!S. à partir des deux tableaux suivants, en foncf.o

Encastré

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

112

tion de 111 et 112 selon que la structure se situe dans un mode à nœuds fixes ou variables.

K1 /

K11

Facteur de distribution 11 1

.J'

Poteau à vérifier -~

K12

Kc

K21

K22 ~ '-- Facteur de distribution 11 2

K2

Facteurs de distribution d
Kc+K, 111= Kc+K,+K11+K12

Kc+K2 112 = Kc + K2 + J<2, + K22

-Figure 68-

116

0,0 ~::........C.......è>__.:.__~-..!...1.~....'-.-'--->....~--'...i..._~-Encastré 0,0 0,1

117

Articulé --~

112

Les phénomènes d'instabiliré élastique

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES METALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

D. Flambement des pièces triangulées Nous nous limiterons ici au cas (le plus courant) du poteau constitué de deux membrures parallèles identiques [IPE, UAP, cornières ou éventuellement treillis], reliées transversalement par deux plans triangulés de treillis uniformes, attachés par boulonnage ou soudage. - Longueurs de flambement

• d'abord, le flambement d'un tronçon de membrure, dans le plan du treillis. La longueur de flambement à adopter est la distance entre nœuds du treillis : ek = a • ensuite, le flambement du poteau composé, sur sa hauteur totale, tout conune un poteau classique de section pleine.

V.d

Nd=nh0

d, n et ho étant donnés sur le tableau suivant.

Éléments comprimés à treillis

-Figure 71 -

Ni

Treillis

:T

- Moments d 'inertie deflexion

Les treillis ne sont pas pris en compte dans la détermination des inerties, qui se réduisent aux inerties de membrures. Inertie principale : leffy = 2 . ly . rrumma . . 1e: leff . z = 1 h 2 . A + 2lz ln ert1e 0 1

2

ho ly et lz

lls sont maximaux aux extrémités du poteau. L'effort Nd dans une diagonale de treillis vaut :

avec:

li convient de vérifier :

avec: AJ

_ Efforts dans les treillis

Sv

T 1

rl

a

=aire de la section transversale d' une membrure = distance entre centres de gravité des membrures. =inerties propres d'une membrure par rapport à son centre de gravité.

Ta

+

- Efforts dans les membrures à mi-hauteur

a _i_

L'effort axial Nf dans chaque membrure vaut: N M 0=-+-

2

ho

avec

Ta

e

_i_

500 NK =

Sv

1tEAdah0 2

d3~ + ~:~~

11:2 E Jeff f_2

= rigidité

au cisaillement du treillis (effort tranchant requis pour produire une déformation unitaire de cisaillement). Voir valeurs dans tableau suivant.

118

1

iz

n est le nombre de plans de treillis Ad et Av sont données pour un seul plan

119

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Les phénomènes d'instabilité élastique

3.2.4. EXEMPLES D'APPLICATION

L' Eurocode 3 apparaît donc comme plus contraignant que l'additif 80 (de l'ordre de 20 %, dans ce cas précis). Cela s'explique:

Exemple 1 :flambement d'un poteau en compression simple centrée

- par la prise en compte du facteur partiel de sécurité 'YMI, pris égal à 1,10 pour tous calculs d'instabilité.

Quelle charge maximale N de compression peut supporter un poteau de 8 mètres de hauteur, encastré en tête et en pied, selon les deux plans, et constitué d'un HEB 200. Acier S.235

- par la géométrie de la section (pour un HEB ici, h 1 b < 1,2 et on passe de la courbe de flambement b à la courbe c).

lo

Exemple 2 : flambement d'un poteau comprimé et fléchi, sans risque de déversement

- Longueur de flambement : lK =- = 4 m

2 - élancement maximal : Àz =

400

Vérifier la stabilité d'un poteau IPE 220 de 6 mètres de hauteur, soumis à une charge normale de compression N = 100 kN et à une charge transversale linéique q = 2 kN/rnl, appliquée dans le plan yOx. Le poteau est biencastré dans le plan yOx et biarticulé dans le plan zOx. Acier S.235.

= 79

5,07

-

79

- élancement réduit : À = - = 0 86 z 93 ,

x

x

- effort normal de plastification :

~N

Npt =A .!y= 78,1 x 23,5 = 1 835 kN - Selon l'Additif 80 Pour Àz = 0,85, le tableau B (§ 5. 31) donne ko = 1,44 Donc:

- Selon l'Eurocode 3 Pour À.z = 0,85, on obtient un coefficient de réduction

x = 0,63 (courbe c) et il

-Figure 72 -

faut vérifier que : N

_ _N_ _ :51

Npt

Npe

=100 kN =A . .fy = 33,4 x 23,5 = 785 kN

Wdz = 37,3 cm3

Xmin · - -

'Y Ml

Wpez = 57,4 cm3

'YMi = 1, 10

qe1

Section de classe 1

Mz

Npt =A .fy = 1 835 kN

Mpez = Wplz .fy = 57,4 x 23,5 x I0- 2 = 13,5 kNm

=-=6kNm 12

d'où: N :5 0,63 x 1 8351 1,10 = 1 051 kN

120

121

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

= lKy

"-y

= 600

= 66

et

"-y =0,71

300 =-=-=121 et 2,48 iz

"-z= 1,30

iy

9,11

ll<:t.

"-z

Les phénomènes d'instabilité élastique .

soit: 100 +1,35-6-~l 0,427 x 785 13,5 1, 10 1,10 0,33 + 0,66 = 0,99::; 1

- Selon l'Additif 80

"-z ==

l ,30, soit k 0

Ce second exemple prouve, une nouvelle fois, que l' Eurocode 3 est plus exigeant que l'Additif 80 (d'environ 15 % ici).

=2,33

Exemple 3 :flambement d'un poteau de portique comprimé et fléchi Vérifier la stabilité du poteau de portique AB (IPE 400, h = 7 rn), sachant que la tra· verse associée (IPE 400, l = 20 rn) supporte une charge uniformément répartie q = 10 kN/rrù. Acier S.235.

Mz Il faut vérifier : ko - N + k Fz -~ 1 Npe Mpb.

La structure est à nœuds déplaçables.

. 100 6 Soit: 2,33- + 1,27 - 785 13,5

Dans le plan du portique (x A z), le poteau AB est articulé en pied et encastré élastique en tête.

ou : 0,30 + 0,56 = 0,86

~

1

Dans le plan perpendiculaile (x A y), le poteau est encastré en pied et articulé en tête.

Le poteau est stable au flambement.

q

Selon I'Eurocode 3

Section de classe l

Xy = 0,84 (courbe a) Xz = 0,427 (courbe b) llz = ~ (2 ~M

-

4) +

W o.-W

z

Il

,...z

P<-<-

wefz

efz

= 1,30 (2 x 1,30-4) + 57 •4 - 37 •3 37,3

~ = l _ llz · N = 1 + 1,28 X 100 _ 1 35 Xz Npe 0,427 x 785 '

N

Mz

Npe Xmin · - -

Mpb.

YMt

YMt

t:

y

~----'-l--=. :. . c. _=-~

0

20 m

-Figure 73-

Il faut vérifier que : ----+kz--~

1 28 '

1

ql N=-= lOOkN M 8 2

q {3 4 (2 h + 3 l)

Npe =A .fy = 84,5 x 23,5 = 1 986 kN Weey = 1 160 cm 3

123

=270kNm

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Wpey = 1 308 cm 3 My =M8 =270kNm Mpey = Wpey -!y= 1 308 x 23,5 x IQ-2 = 307 kNm

Les phénomènes d'instabilité élastique

23 120 Soit: 111

- Selon l'Additif 80

23 120 20

re

K8 = - re+ r5

7

0,66

23 120 + 1,5 x 23 120 7 20

0,26

23 120 + 23 120 20 7

RKy = 2,9 R0 = 20,30 rn RKz = 0,7 R0 = 4,90 rn

Dans le plan x A z : Section de classe 1 1,35 + 1,92 K8

. R0 = 2,5 R0 = 17,50 rn

0,04 + K8 Dans le plan x A y : fkz o "-y

= RKy = 1 750 iy , 16 5

=0,7 fo = 4,90 m

= 106

d'où /..Y= 1,14

RKz

490 À = - = - = 124 d'où Àz = 1,33 z iz 3,95 ~ =

2,41 et kFy

1,07

Â.y = Â. 4

2 030 = 123 d'où /..Y= 1,32 16,5 490 = 124 d'où Àz = 1,33 3,95

Les coefficients de réduction correspondants sont :

Xy = 0,45 (selon courbe a) Xz = 0,41 (selon courbe b) ~M=

1,8 (car 'l'= 0)

lly = 1,32 (2 x 1,8 - 4) + 1 308 - 1 160 1 160 ky = l + 0,40 x lOO 0,45 x 1 986

n reste à vérifier que : 2,41

~+

1,07

1 986

270

0,40

l,04 5

n faut vérifier que : ~

lOO + 1,045 270 ~ 1, soit 0,14 + 1,01 = 1,15 ~ 1 0 41 x 1 986 307 ' 1,10 1,10

1

307

Soit: 0,12 + 0,94= 1,06 ~ 1

Si le poteau était à la limite de l' acceptabilité, selon l'Additif 80, il apparaît sousdimensionné, selon l' Eurocode 3, qui apparaît une nouvelle fois plus pénalisant.

- Selon l'Eurocode 3

112 = 1 (articulation) Kc 1 - - - . , avec K12 = 1,5 -du fait de la double courbure de la traverse. R Kc+ K12 (Cf tableau E.l 1 Annexe 1 de l' Eurocode)

Exemple 4 :flambement d'un poteau à treillis Vérifier la stabilité d'un poteau constitué de deux membrures parallèles identiques [UAP 200], reliées transversalement par deux plans trürng~lés de treillis [cornières L 40 x 40 x 3], soumis à une charge de compression N = 1 000 kN. Ce poteau, de 6 mètres de hauteur, sert de palée provisoire d'étaiement à un ouvrage en béton. ll est donc à considérer comme articulé, tant en tête qu'en pied. Acier S.235.

124

125

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Les phénomènes d'instabilité élastique

- Membrures : 1t

UAP200 A= 32 cm2 a= 1 rn ho= 0,50 rn

x 21 000 x 4,68 x 100 x 50 2 2 x 70 3

114 000 kN

R. = - = 1,2 cm 500

- Treillis:

M

= Ne _ ____::_____ 0

1-!!.__N NK Sv

L40x40x3 Ad= 2,34 cm2 d= 0,70 rn

M

= 1000 x 1,2 x 10- 2

=13 kNm 1 - 1 000 - __!__Q_Q_Q_ 23530 114000

!z

- (-i-l-~r

N 2

M

=-+-

ji~A

h0

= 1 000 + ~=526 kN 2 0,50 B. Efforts dans les treillis V. d 1t M . Nd= - - avec V=--. Smt :

nflo

Nd

-Figure 74-

A. Ejfo11s dans les membrures à mi-hauteur 2

Jeff. z = 2 ~z

Ah0

.

+

32 x 50 2 2

40 340 cm4

NKz

sv

2

x= 0,77 (courbe c)

YMi

x 21 000 x 40 340 600 2

1t

À= 0,62 d'où X Npe

1t E Jeff ---(2. 1t

Npe =A . /y = 2,34 x 23,5 = 55 kN

Né--

2

NKz

C. Vérification flambement treillis

R.K 70 À=-=-=57,4 i 1,22

+2

Jeff z = 2 x 169,7

R.

x 13 x 0,7 = 5 kN 2 x 6 x 0,5

1t

23 530 kN

2

5 kN ::; 0,7 7 x 55 1,10

38,5 kN (vérifié)

D. Vérification flambement élément de membrure

EAdah0

ekz =a= 1 rn

2 d3

126

127

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

100 Àz = - =43,5 2,3

Àz=0,47

Les phénomènes d'instabilité élastique

PHOTOGRAPHŒS DE POTEAUX RUINÉS PAR FLAMBEMENT

X= 0,86 (courbe c)

X Npt

Nf~--

'YMJ 526 kN

~ 0,86 x

23 5 • = 588 kN (vérifié)

32 x

1,10

E. Vérificationjlambe~r:.em poteau sur toute sa hauteur

4ft. z

= 40 340 cm4

leff . y

=foy= 3 892 cm4 = .

n-

'V2A

N

d'où : iz = 25,1 cm, iy = 7,8 cm

=

600 = 28 25,1

=

600 = 77 7,8

Àz = 0,30

-Photo 1Ày = 0,82

= 2 N1= 1 052 kN = 2 A . ~~ = 2 x 32 x 23,5 = 1 504 kN

Xy

= 0,65 (wurbe c)

N

~

Npt Xy . - -

'Y Ml 1 052 kN

~

0,65

>~

1 504 = 890 kN 1,10

Le poteau n'est pas stable. Il convient de remplacer les UAP 200 par des UAP 220.

-Photo 2-

128

129

Les phénomènes d'instabilité élastique

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

3.3 LE DÉVERSEMENT

Le déversement des pièces fléchies est le second phénomène d'instabilité élastique, après le flambement, avec lequel il présente une analogie certaine. Avant de justifier sa validité sur le plan théorique, nous allons mettre en évidence ce phénomène sur le plan expérimental.

3.3.l.ASPECT EXPÉRIMENTAL DU DÉVERSEMENT Considérons une poutre nùnce (fer plat), dont les appuis sont encastrés vis-à-vis de la torsion et quelconques vis-à-vis de la flexion (figure 75) IZ

-Photo 3-

->f+c.!? i"""ili""

IY

-

G~-.-~

EJ

-Figure 75-

h = 320 mm b=8 mm

l=5m Acier S.235. Appliquons une charge concentrée verticale Fen son centre de gravité G. L'essai, réalisé sous presse en laboratoire, montre que la poutre s' effondre brutalement sous une charge F K = 5,2 kN (figure 76). .

-Photo 4-

130

131

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Les phénomènes d'instabilité élastique

3.3.2 ASPECT THÉORIQUE DU DÉVERSEMENT 3.3.2.1.

SECTION RECTANGULAIRE (POUTRE SANS AILES)

Reprenons la poutre de la figure 75, dont les extrémités sont encastrées vis-à-vis de la torsion et quelconques vis-à-vis de la flexion (verticale et transversale). Nous avons vu, expérimentalement, que l'application d'un moment de flexion simple vertical Mo se transformait en une superposition d'un moment de flexion déviée et d'un moment de torsion. Autrement dit, le moment Mo se projette : -Figure

76- sur l'axe des y en flexion transversale,

À l'instant de l'effondrement, le moment vertical maximal, en milieu de travée, vaut: - sur 1' axe des z en flexion verticale, FKI! gf!2 Mf=--+-

4

8

(g =poids propre poutre)

Mf= 520 x 5 + 7 850 x 0,008 x 0,32 x 52 4 8

- sur l'axe des x en torsion. 7 , 13 kNm

Considérons, figure 77, un élément GG 1 = dx de l'axe de la poutre non déformée. La section tourne de l'angle~ et GG 1 vient en G'G' 1.

ce qui correspond à une contrainte de flexion :

1

z

1

x

z

1

z2

qui est très nettement inférieure à la contrainte limite d'élasticité/y= 235 MPa y2

On constate donc, que pour une faible valeur de la contrainte de flexion, la poutre prend brutalement une flèche latérale, qui provoque la rotation de la poutre et par suite sa ruine, alors que nous sommes encore loin de la limite élastique. Ce phénomène d'instabilité élastique se produit, d'une façon générale, lorsqu'une poutre fléchie présente une faible inertie à la flexion transversale et à la torsion. La partie supérieure de la poutre, comprimée, flambe latéralement et il existe une valeur critique du moment de flexion (selon le plan de plus grande raideur), comme il existe un effort normal critique provoquant le flambement pour une barre comprimée, pour lequel la poutre. fléchit dans le plan de sa plus faible raideur et entre en torsion.

y

G (ù

G,

IGo

x

G'ro G'co1 -Figure 77-

Le passage de GG 1 = dx à G'G' 1 = dx + d (dx) s'opère par trois mouvements simultanés (figure 78) : - un déplacement vertical (v) dans le plan de symétrie zGx (rotation a autour de

La flexion n'est alors plus plane, mais déviée, et s'accompagne d'une torsion et d'un gauchissement de la section (bimoment).

Gy). - un déplacement transversal (vv) dans le plan de symétrie y G' x 1 (rotation autour de Gz,), - une rotation~ autour de G'x.

132

133

Cû

Les phénomènes d'instabilité élastique

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Différencions l'équation (3). ll vient : (4)

D'où nous tirons :

que nous portons dans l' équation (2), qui devient :

-Figure 78-

Nous pouvons alors écrire le tableau suivant des cosinus directeurs:

œ

Gy

1:

G'y

_ , IU+du G'z V+dv W+dw G'x

G'G'1

Gz

soit:

(5)

Gx

1

~

dw - dx

-~

1

dv dx

dw dx

dv dx

1

qui est l'équation différentielle classique du déversement. Posons Ely = Ry et G lx= Rx. On obtient :

avec cos ~ = 1 et sin ~ =~. car ~ est très faible.

(6)

En écrivant: lz =moment d'inertie de flexion autour de Gz

Les solutions de cette équation différentielle sont de la forme :

ly =moment d'inertie de flexion autour de Gy ~=A cos Kx + B sin Kx avec K =

lx= moment d'inertie de torsion autour de Gx

Mo

--====-

,jRY. ~

Les équations classiques des moments en fonction des moments d'inertie s'écrivent: d2 v

E~-=-Mo =-M0

d:?

z

ce qui revient à considérer le déversement comme un flambement latéral. (1)

- Conditions au.x limites :

2

d w E iy d ;(2 =- Moy =- Mo~ d~ dw Glx dx =- Mox =- Mo dx

1.34

(2)

pour x= 0,

~

= 0, A = O.

pour x= 1, ~ = 0, B sin • Si B = 0,

~

Ke =O.

= 0 quel que soit x et il n'y a aucun risque de déversement

(3)

1.35

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES METALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

• Si B ~ 0, sin KR.

=0, soit KR. =1t,

K =~ f.

Mo

d ' où l'on tire l'expres-

) RY. R_.

Les phénomènes d'instabilité élastique

crK=

2 x 21 000 x 302

315 MPa > fy = 235 MPa

3 000 x 400

n n'y a aucun risque de déversement.

sion du moment critique de déversement :

(7)

- Pour une section rectangulaire (figure 79) : h

En revanche, la même poutre, mais de portée 8 mètres, déversera pour une contrainte critique de flexion : 3 crK= 31,5 x -= 118 MPa 8

3.3.2.2.SECTION EN l,

V=-

2


SYMÉTRIQUE

Le déplacement horizontal de l'aile du 1 vaut (figure 80) :

w =!!_ 2 . SOit :

1t

he 3

.e

6

. sin~=!!_.~ 2

Soit la le moment d' inertie d'une aile par rapport à Gz

.r,::;-;::;

M0 = - - - v EG

z i 1

+

w-4

h/2

Th/2 ·-·-·-·--F--~ lm

_!_ 1

~-w -Figure 79 -Figure 80-

La contrainte critique de déversement vaut :

v

1t

La rigidité de flexion transversale d'une aile vaut: D =Ela

e 3 ,r-;:;;::;

crK=Mo - = - - vEG ly

Effort tranchant dans l'aile supérieure :

f. h

qui s'écrit encore, compte tenu que G = 0,4 E: ·

~ ~

(8)

Effort tranchant dans l'aile inférieure : htf3~

Application numirique : Soit un fer plat, f. = 3 rn, section 400 x 30 mm.

136

T-=+D-' 2 d x3

137

y

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES METALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Les phénomènes d'instabilité élastique

Ces deux efforts créent un couple et l' équation (3) de torsion s'écrit:

L'équation (4) devient :

De même, l' équation (5) devient : -Figure 81 -

Et l'équation (9), dont (5) est le cas particulier lorsque V= 0, s'écrit alors: d4

p

d2

p [

q.

za] P=O

V - - + - + W+-dx4

En posant :

d~

(10)

Rx

La résolution d'une telle équation différentielle du 4e ordre est complexe et fastidieuse. C'est pourquoi, dans la pratique, on utilise des méthodes de calcul plus simples (détermination d ' un moment critique de déverseme nt, défini par l'Additif 80 ou l' Eurocode 3).

on obtient l'équation finale : (9)

- Incidence du niveau d'application des charges

Les équations précédentes supposaient les charges appliquées au niveau du centre de gravité de la poutre.

3.3.3. ASPECT RÉGLEMENTAIRE DU DÉVERSEMENT Les vérifications réglementaires du déversement des pièces fléchies sont définies : • par l' additif 80 (chap. 5.2.) • par l' Eurocode 3 (chap. 5.5.2)

Considérons maintenant (figure 81) une poutre sollicitée par une charge uniformément répartie q, appliquée en un point d'ordonnée Za·

Les deux méthodes so nt très proches et donnent des résultats similaires.

Il se développe un couple de moment q. dz. w, avec w =- p . Za·

Elles s'appliquent aux éléments à section constante, fléchis par rapport à l'axe de forte inertie.

L'équation : dMo J2 w - - =-Mo-dx dx2

s'écrit alors : dMo

J2 w

--=-M0 --q~. z dx dx2 a

3.3.3.1.VÉRIFICATION SELON L'ADDITIF

80 (CHAP. 5.2.)

On doit vérifier que le moment de flexion maximal pondéré Mjdans une pièce, est inférieur au moment ultime de déversement. Si Mp est le moment de plastification de la section, il faut donc que :

139

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

avec:

Les phénomènes d'instabilité élastique

3.3.3.2.

VÉRIFICATION SELON L'EUROCODE

3 (CHAPITRE 5.5.2.)

Le moment de flexion maximal MJ doit être inférieur au moment ultime de déversement:

n=2

pour les profilés laminés

n = 1,5

pour les profilés reconstitués.

avec: pour les sections de Classe 1 ou 2 ~w = 1 ~w = Wee .y! Wpe. y pour les sections de Classe 3 ~w= Weff . y!Wpe.y pour les sections de Classe 4

et :

XLT est le coefficient de réduction pour Je déversement, qui est fonction de 1' élan-

cement réduit 'J...LT de J'élément vis-à-vis du déversement et qui a pour valeur:

1; = 1

pour les sections en 1 ;

h* =

distance entre les centres de gravité des semelles ;

1 XLT

Ct et C2 =coefficients dépendant des conditions d'appuis et du mode de charge ment; longueur de déversement, généralement égale à la longueur de flambement, dans le plan perpendiculaire au plan de flexion, de la membrure comprimée de la poutre ;

TJ=

rapport de la distance entre le centre de gravité de la section et le point d'application de la charge, à la roi -hauteur du profilé (- 1 < TJ < +1) ;

TJ < 0

si la charge est dirigée vers Je centre de gravité de la section à partir de son point d'application ;

TJ>O

dans Je cas contraire.

Le maintien latéral aux extrémités doit être assuré par des éléments et dispositifs de fixation opposant une rigidité suffisante et possédant une résistance adéquate. Ces derniers doivent:

:-2l0,5

[ 2
. < 1 mais XLT-

où
aLT(~LT- 0,2) + ~~

et aLT = 0,21 pour les profils laminés aLT = 0,49 pour les sections soudées

Calcul de l'élancement

'J...LT (annexe F à l' Eurocode, § F. 2)

L'élancement réduit 'J...LT a pour valeur :

- résister à un effort égal à 2 % de 1' effort axial de compression existant dans les semelles comprimées au niveau des sections maintenues, cet effort étant transmis par ces semelles perpendiculairement au plan de J'âme des éléments. - opposer une rigidité suffisante au déplacement latéral et à la rotation dans Je plan perpendiculaire au plan de flexion pour justifier Je choix de J'élancement réduit

où

=

E]o,s [ = 93,9

'J... 1 1t -.;;

'J...LT retenu.

J; [

05

E = 235] •

E

r en N/mm' 2J VY

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Les phénomènes d'instabilité élastique

et Mer= moment critique élastique de déversement. Le moment critique élastique de déversement Mer doit être calculé avec les caracteristiques de la section brute. Pour les sections de Classe 4, le calcul de Mer sera fait sans considérer l'inertie de torsion uniforme de l' élément (It = 0). Les valeurs du coefficient XLT peuvent être obtenues à partir du tableau des coefficients de réduction de flambement (qui figure ci-avant au § 3.2.3.2.), en faisant

i

= J:.LT et X= XLT, et en utilisant :

2~ Za

coordonnée du point d'application de la charge;

Zs

coordonnée du centre de cisaillement.

Les facteurs de longueur de flambement k et kw varient de 0,5 pour une fixation parfaite à 1,0 pour des appuis simples, avec 0,7 pour une extrémité encastrée et l'autre simplement appuyée.

• pour les profils laminés, la courbe a (a= 0,21) • pour les profils soudés, la courbe c (a =0,49).

Le facteur k concerne la rotation de l'extrémité en plan. Il est analogue au rapport

Enfin, lorsque Â.LT $ 0,4, il est inutile de prendre en compte le déversement.

R. 1 L d'un élément comprimé.

Pour les poutres à section transversale constante et doublement symétriques, notamment les séries de profils laminés let H , 1' élancement Îo.LT peut être déterminé par la formule suivante approximative, qui place en sécurité :

Le facteur kw concerne le gauchissement d'extrémité. À moins d:a~oir p~is des mesures spéciales d'encastrement vis-à-vis du gauchissement, kw dmt etre pns égal à 1,0.

L

G=--E2 (1 + v) moment d'inertie de torsion ;

(h-1]

2

lw

facteur de gauchissement

=~ -

-

2

moment d'inertie de flexion suivant l'axe de faible inertie; longueur de la poutre entre points latéralement maintenus.

Calcul du moment critique élastique Mer (annexe F à l' Eu rocade,§ F.

1)

Pour une poutre à section transversale constante, le moment critique élastique de déversement est donné par la formule générale :

Poutres à section transversale constante mono-symétrique et à semelles inégales Pour une section en là semelles inégales : lw= ~j(1- ~f) lz h,2 où

fe 'ie+fr

~f=-où:

C1, Cz et C3 facteurs dépendant des conditions de charge et d'encastrement, donnés dans les tableaux (annexe F) ; ketkw facteurs de longueur effective. Zg

= Za- Zs

moment d'inertie de flexion de la semel_le comprimée suivant l'axe de faible inertie de la section ;

ft et hs =

142

moment d'inertie de flexion de la semelle tendue suivant l' axe de faible inertie de la section ; distance entre les centres de cisaillement des semelles.

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Les phénomènes d'instabilité élastique

Poutres à section transversale constante et doublement symétrique

r.

Puisque Zj = 0 pour les sections transversales doublement symétriques, alors :

40 m PAS 1 500

·1

z 1

, ~~ !}---Y Dans le cas de chargement par moments d'extrémité (C2 = 0) ou de charges transversales appliquées au centre de cisaillement (zg = 0), la formule devient :

2

E~

G~]

_ n - [(-k J2 -J..v + -(kâ Mer-Cl -2 (kL ) k w lz n 2 E~

L_l_l

112

- Fig ure

82 -

- Section transversale : A =h lw + 2 b lj= 533 cm2 .

Lorsque k =ky, =1,0 (pas d'encastrement aux extrémités): Mer= Cl 7t2

E~ [lw+ L2 G~]l/2

L2

lz

n2E~

- Inerties de flexion : b

1y =

!? -

(b- fw) h 3

= 2 063 620 cm4

12

2t b3 +h? '! w =42 707 cm4 12

3.3 .4. EXEMPLES D'APPLICATION Exemple 1 :déversement d'une poutre au levage, sous son seul poids propre

- Inertie de torsion : 1

3

3

4

1 = - (h t + 2 b t ) = 1 867 cm l 3 w 7

- Facteur de gauchissement : Une passerelle pour piétons, de 40 mètres de portée, est constituée de poutres PRS 1500 (acier S.235). La mise en place de ces poutres a lieu par levage à la grue, au moyen d'élingues verticales, disposées aux deux extrémités des poutres. Le coefficient de majoration dynamique sera pris égal à 1,3 (pour tenir compte des a-coups de levage, des oscillations dues au vent et des difficultés de coordination des deux grutiers). Les poutres risquent-elles, sous leur seul poids propre, de déverser lors du levage ? - Caractéristiques géométriques du PRS :

1

·1

H = 1500 mm h 1420mm b 400mm 15mm 40mm

- Moment statique

ily = b 't

(H-1J -

2

2

+

h = 15 460 cm3 t.,-g

- Modtùe de résistance élastique : 2~ 3 W eey = - = 27 515 cm H - MuJu.lc Je résistance plastique :

Wpey = 2 ily = 30 920 cm3

145

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

- Poids propre poutre :

Les phénomènes d'instabilité élastique

• L'élancement sera calculé avec Weey car la section du PRS est de classe 3, du fait du fort élancement de son âme (h 1 lw = 95).

g=pA=4,18kN/ml - Moment maximal de flexion , à mi-portée, non pondéré, mais affecté du coefficient dynamique :

-

Â.Lr=

~efy·/y --- = MCT

27 515 x 23,5 = 2,37 1 150 x 102

gl2

Mt= 1,30- = 1 087 kNm

D'où XLT= 0,146 (courbe c car PRS)

8

Il faut vérifier que :

- Selon l'Additif 80 c1 = 1,13

Mt$ XLT · Weey ·/y 1'YMl 1 087 ~ 0,146 x 27 515 x 23,5 x lQ-2 1 1,10

C2= 0,46

1 087

~

858 kNm

~=1

La poutre n'est pas stable au déversement (alors qu'elle l'était selon l' Additif 80,

11 = 0

qui ressort une nouvelle fois moins contraignant).

D'où l'on tire:

Pour pallier à cela, nous pouvons :

Mv= , 13 1

2

1t

6

x 2,1 x 10 x 42 707 x 146 2x4

1 + 1 867 x 81

(2 x 4 000 42 707 x 210 1t x 146

ooo2

J2

Mv= 1 150 kNm Mpey = Wpe .fy = 30 920 x 23,5 x lQ-2 = 7 266 kNm

1 1 kd=-:--;-r======-=0,15 1,5 [7 266]1,5 6,57 1+ - 1 150

- soit poser les poutres par deux (poutres jumelées, provisoirement entretoisées) ; - soit positionner les élingues de levage aux quarts de la portée (chacune à 10 rn de l'extrémité). Dans ce cas, le moment de flexion en milieu de travée sera nul. Ce seront les encorbellements qui risqueront alors de déverser. En reprenant les calculs, cette fois-ci pour des poutres en console, on vérifie qu ' il n'y a aucun risque de déversement.

Exemple 2 : poutre de palan

Il faut vérifier que Mt$ kv. Mpe. soit 1 087 $0,15 x 7 266 = 1 090 kNm.

Une poutre HEA 400 de 6 mètres de portée, encastrée à ses deux extrémités en regard de la torsion et de la flexion , supporte en son centre de gravité un palan. Quelle charge maximale Q peut supporter la poutre sans déverser?

Vérifié, mais limite. - Moment dG au poids propre :

- Selon l' Eurocode 3

Ml= g ;.2 = 1,25 x 62 = 1,88 kNm 24 24

kw=1

k=l

Cl=1,132 C2=0,459 C3=0,525

- Moment dù à la charge Q :

poutre doublement symétrique, donc Zg = 0 et Zj = 0 poutre chargée au niveau de son centre de gravité, donc Za = 0 • D'où le moment critique:

M

=l CT

'

132

1t

2

6

x 2,1 x 10 x 42 707 4

2 146] + 4 [ 2

ooo2

ooo2 x 0,4 x 1t

Qx 6

8

8

2

- Moment total pondéré : 1 867

x 42 707

Mer= 1 150 kNm (à noter que la valeur de Mer est identique à la valeur de Mv précédemment établie).

146

QR

M2 =-=--=0,75 QkNm

Mt= (1,35 x 1,88) + (1,50 x 0,75 Q) Mt= 2,54 + 1,125 Q kNm

- Moment plastique : Mpey = Wpe .fy = 602 kNm

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES METALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

- Profil HEA 400 :

Les phénomènes d'instabilité élastique

Vérifier la stabilité des fermes au déversement sous l'effet du vent.

fv = R.rf2 = 3 rn

_ Charges appliquées sur une ferme :

lz = 8 564 cm4

couverture+ pannes: 0,2 x 10 poids propre ferme (IPE 600)

11 = 191 cm4

kN/rnl 1,22 kN/ml

2

3,22 kN/rnl

Selon l'Additif 80 C 1 =0,94 C2 =0,71 TJ=O /;=1

• soulèvement vent:- 1,2 x 10

= - 12,0

kN/ml

_ Combinaison des charges :

D'où l'on tire: Mv=3810kNm kv = 0,99

We + G = (- 12,0 x 1,75) + 3,22 =- 17,8 kN/rnl 1,50 Wn + 1,35 G = (- 12,0 x 1,5) + (3,22 x 1,35) =- 13,7 kN/rnl

li faut vérifier que Mt'5. kv. Mpt

Soit: 2,54 + 1,125 Q-:;_ 0,99 x 602 Q-:;_ 528 kN

Moment maximal a mi-portée : Mt

17,8x15 2

500kNm

8 - Selon l'additif 80

- Selon l'Eurocode 3 k = 0,5 (poutre biencastrée) C,=0,938 Za=O C2 = 0,715 zg = 0

c3 =4,8oo

Zj

=o

R.K:R.0 /2=7,50m C 1 = 0,97 C2 = 0,30 11 = Ç= 1 D'où Mv = 489 kNm Mpty = 3 520 x 235 x 10·3 = 845 kNm

d'où l'on tire: Mer= 2 400 kNm ·

D'où kv = 0,50

Section de classe 1, donc :

li faut vérifier que Mt'5. kv. Mpt

/v --;:;;

ÀLT= .

XLT

{M;;; =

·v~ 24oO = 0,50

soit : 500 '5. 0,50 x 845 = 423 kNm (non vérifié).

A

= 0,924 (courbe a, car laminé)

Il faut vérifier : Mt '5. XLT. Mpt 1YM! soit: 2,54 + 1,125 Q '5. 0,924 x 6021 1,10 Q'5.447kN (résultat inférieur de 18 % par rapport à l'Additif 80)

Exemple 3 :poutre-ferme de toiture La structure métallique d'un entrepôt est constituée de fermes IPE 600, de 15 mètres de portée, articulées sur les poteaux dans le plan des portiques, mais encastrées dans le plan perpendiculaire. Ces fermes, à entraxe de 10 mètres, supportent des pannes et une couverture en bacs acier, qui représentent une charge moyenne de 0,2 kNfm2.

- Selon l'Eurocode 3 k= 0,5

c 1 = 0,712 c2 = 0,652 c3 = 1,070 = coordonnées du point d'application des charges par rapport au centre de gravité, soit Za = 300 mm. Zs = coordonnées du centre de cisaillement ; ici Zs = 0, car la section est doublement symétrique. Pour la même raison Zj = 0 Zg =-300 mm Za

On calcule alors Mer= 496 kNm Section de classe 1, donc À

= (M;; = . (845 = 1,30 LT v~ /V4% 0"

La pression de soulèvement de la toiture par le vent est de- 1,2 kNfm2.

149

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

XLT = 0,47 (courbe a, car laminé)

Les phénomènes d'instabilité élastique

_ Vérification en compression :

n faut vérifier que :

1! 180 À.=-=-= 117 i 1,54

Mf<;; XLT · Mpey 1 YM! Soit :

500

<.:;,

À.= 1,25 0,41

0,47 x 845/1,10 = 361 kNm

x=

(condition inférieure de 17% par rapport à l'Additif 80). Le moment de flexion MJ est nettement supérieur au moment résistant de déversement. Plutôt que d'opter pour un profil supérieur de poutre-ferme, il est plus économique et plus judicieux de conserver le profil IPE 600 et de le stabiliser en disposant des entretoises pour assurer le maintien latéral de la semelle inférieure comprimée de la ferme , dimensionnées pour pouvoir résister à 2% de l'effort de compression admissible dans la semelle. Soit ici : - aire semelle comprimée : b l_j = 22

Il faut vérifier que : _N __

<.:;,

1

Npe

x.YMt

__2 _o__ 69 1 0 41 x • '

- 0,78

<.:;,

1

1,10

x 1,9 = 41,8 cm2

- effort de compression admissible : N = b t.f·fy = 41,8 x 23,5 = 982 kN

- les entretoises doivent être dimensionnées pour reprendre 2 % de N, soit 20 kN, en traction comme en compression, selon que le déversement se développe à gauche ou à droite.

-Figure 83-

Adoptons pour les entretoises une conùère de section 50 x 50 x 3, de 1,80 m de longueur. - Vérification en traction :

N 20 000 cr=-=--= 68 MPa
3.3.5. LES DANGERS DU DÉVERSEMENT Dans la pratique, les entreprises et bureaux d'études sont très avertis des dangers du flambement, et chaque pièce comprimée est calculée en conséquence. En revanche, concernant les pièces fléchies, les calculs très souvent se_ limi~ent à un s1mple dimensionnement en flexion (simple ou déviée), sans vénficauon du nsque de déversement. Cela s' explique par le fait que tout calculateur perçoit bien (consciemment ou non) le risque de flambement (un poteau qui s'effondre entraîne le restant de la structur~ au sol), alors qu'il "apprécie" mal le risque de déversement (une poutrelle qUJ déverse se vrille, mais reste en place, du fait de ses liaisons avec d'autres éléments, pense-t-on généralement). En fait, les désordres provoqués par le déversement peuvent être légers (~outres déformées, bacs acier déchirés), mais également graves (effondrements partiels ou totaux). Actuellement, il semble que de tels désordres aient tendance à se mu~tiplier, avec le développement sur le marché des profilés minces (tôles pliées, de fa~_ble éprusseur), qui tendent à supplanter les profilés laminés habituels pour ce qUJ concerne les pannes, les lisses et certaines poutres. Ces profilés minces, de sections diverses (Zeds, 1_1, Omégas ... ), sont p~us lége~s, et donc plus économiques, que les laminés usuels (IPE par exemple). Mrus ce grun de

150

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Les phénomènes d'instabilité élastique

poids est obtenu au détriment de l'inertie, principalement de l'inertie transversale La faible rigidité de torsion est ainsi à l'origine de nombreux incidents, en parti cu~ lier lors de chutes de neige abondantes.

3.4. LE VOILEMENT

Très répandus dans les pays anglo-saxons, ces profils minces (épaisseur courante de 2 mm contre 4 à 5 mm pour les laminés correspondants) sont appelés à se développer vnusemblablement dans les prochaines années en France. Tout concepteur ou calculateur se doit de vérifier systématiquement leur stabilité au déversement. (Sections de classe 4). Pour conclure et sensibiliser le lecteur aux risques encourus, nous publions ci-dessous la photographie d'un bâtiment qui s'est effondré en totalité sous une charcre de neige minime (40 daN/m2), du fait du déversement des poutres de portiques (O~égas en tôle pliée), qui, en basculant, ont entraîné toute la structure au sol. Le constructeur avait dimensionné ces poutres de portiques en flex.ion simple, sur la base de !y= 235 MPa, alors que le déversement généralisé s'est produit pour une contrainte nettement plus faible, d' environ 70 MPa.

3.4.1. ASPECT EXPÉRIMENTAL DU VOIT...,EMENT Si l'on soumet une plaque rectangulaire à une compression uniforme sur deux côtés opposés, parallèlement à son plan moyen, on observe que la plaque, au-delà d'une certaine charge, se déforme transversalement.

n s'agit du phénomène de voilement, qui se manifeste par des ondulations, qui ne sont pas sans rappeler le phénomène de flambement pour des pièces à une dimension, à la différence près que le voilement se développe plus progressivement, les grandes déformations n'apparaissant pas brutalement et ne conduisant généralement pas à la ruine de la pièce. Le phénomène de voilement peut également apparaître sous un effort de cisaillement simple. li est, dans ce cas, attaché à la diagonale comprimée. Les âmes des poutres utilisées en construction métallique sont généralement minces et donc susceptibles de se voiler sous des efforts de compression ou de cisaillement excessifs. Les essais montrent que les déformations des âmes de poutres par voilement se traduisent non pas par des ondulations régulières (conune pour une plaque mince libre), mais par des cloques et des boursouflures (zones d'acier plastifiées), localisées dans les zones surcomprimées, comme le montre la figure 84.

!

lill

-Figure 84-

-Photo 5-

Les essais montrent également que les âmes, bien que voilées, résistent encore à des efforts additionnels. Autrement dit, le voilement ne conduit pas à une ruine rapide et brutale des pièces, ce qui en fait un phénomène fmalement peu dangereux . Pour éviter le voilement des âmes des poutres, deux moye.ns sont possibles : - soit augmenter l'épaisseur de l'âme, - soit disposer des raidisseurs d'âme, judicieusement positionnés. Le choix est dicté, cas par cas, par une comparaison des coûts.

152

153

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Les phénomènes d'instabilité élastique

3.4.2. ASPECT THÉORIQUE DU VOILEMENT

- =Vrz;; ~ ~=

La théorie du voilement consiste généralement à utiliser la méthode énergétique de Timosherrko, qui détermine une contrainte critique, obtenue dès lors que Je travail des forces extérieures appliquées atteint Je niveau de potentiel interne de la plaque sollicitée.

"-w

37,4 e Jk;,

avec: L'expérience montre cependant que cette théorie est insuffisante, car les contraintes critiques calculées ne correspondent que rarement aux contraintes de ruine expérimentales. Cela s'explique, entre autres, par les effets de membrane, à savoir des tractions stabilisatrices générées par les déformations transversales, que la théorie ne prend pas en compte. Nous ne développerons donc pas ici les calculs théoriques du voilement : d' une part, en raison de leur longueur et de leur grande complexité, - d'autre part, parce que les profilés laminés normalisés (IPE, HEA ... ) sont peu ou pas sensibles au voilement ; leurs âmes étant surdimensionnées.

= résistance critique élastique au voilement par cisaillement. =coefficient de voilement par cisaillement.

'ter

k, Pour

"-w

> 0,8 , on obtient :

_ dans le cas de raidisseurs transversaux :

d 1 lw > 30 e

Jk;,

_ dans le cas où il n'y a pas de raidisseurs transversaux intermédiaires, on prendra k-c = 5,34 (valeur qui place en sécurité), d'où d 1 tw > 30 e Ys,34

=69 e

En revanche, les âmes des profilés reconstirués soudés sont très sensibles au voilement. Il s' agit des poutres ou caissons d'ouvrages d ' art, des parois de réservoirs, de silos ...

NOTA : D est facile de vérifier, dans les catalogues donnant les caractéristiques géométriques des profilés laminés normalisés, que pour tous les profils IPE, HEA, HEB et HEM (h = 600 mm maxi.), qui constiruent l'essentiel des profils utilisés en bâtiment, on a bien d 1 tw < 69 e, ce qui signifie qu'une vérification au voilement n'est pas nécessaire.

3.4.3. ASPECT RÉGLEMENTAIRE DU VOILEMENT

Elle Je sera, par contre, pour tous les profilés reconstitués soudés (P.R.S.).

La résistance au voilement par cisaillement des âmes de poutres est définie au chapitre 5.6. de l' Eurocode 3. EUe dépend du rapport hauteur-épaisseur d 1 lw ainsi que de l'espacement des éventuels raidisseurs d' âme intermédiaires.

3.4.3.2. MÉTHODES DE CALCUL

3.4.3.1.

CRITÈRES DE VÉRIFICATION

La résistance au voilement par cisaillement doit être vérifiée lorsque Je rapport d 1 lw de l'âme vaut : d 1 lw> 69 e

d 1 tw > 30 e

pour des âmes sans raidisseurs (exceptés ceux sur appuis)

Jk;,

pour des âmes comportant des raidisseurs transversaux intermédiaires.

Ces bornes sont fixées par le § 5.6.3.2. de J'Eurocode 3, qui déflDit J'élancement

"-w

de l'âme:

154

Deux méthodes de calcul sont possibles : - la méthode post-critique simple (voir ci-après § 3.4.3.3.), qui peut être utilisée dans tous les cas, que les âmes comportent ou non des raidisseurs transversaux intermédiaires, à condition qu'il existe des raidisseurs transversaux aux appuis; - la méthode du champ diagonal de traction (voir ci-après § 3.4.3.4.), qui peut être utilisée lorsque les âmes comportent des raidisseurs transversaux intermédiaires, à condition que : 1 S.a/d$.3 d étant la hauteur d'âme entre semelles; a étant 1' écartement, entre nus intérieurs, des raidisseurs.

Lorsque a 1 d > 3, J'inclinaison du champ diagonal de traction est telle, que cette méthode place très largement en sécurité. La première méthode sera alors préférable.

155

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Les phénomènes d'instabilité élastique

3.4.3.3. MÉTHODE POST-CRITIQUE SIMPLE

=~

't

A. Cisaillement pur(§ 5.6.3. Eurocode 3)

o-

li faut vérifier que l'effort tranchant de calcul est inférieur à l'effort tranchant résistant, soit V:<=; Vba

2 ['~]2

1t E 12 (1 - v2 )

d

d'où l'on tire:

avec:

'tba

étant la contrainte moyenne (dite post-critique simple) de cisaillement, qui est En posant:

fonction de l'élancement de 1' âme À.w et qui vaut :

E == 210 000 MPa v== 0,3 (coeff. Poisson)

-

~ba

(1- 0,625 (),w_ 0,8)]

b.J3

f. == 235 MPa y

!':2

on obtient d S .235 S.275

S .355

136

159

205

102

119

154

lw

À. ==----== w

37,4!':~

·············· ··· ·· · ·· '··· · ··· ·· ··

kr

-r----------~o~.s~---1~.~2----------~2~Àw

étant le coefficient de voilement par cisaillement, qui vaut : Raidisseurs transversaux intermédiaires

k,

k, = 5,34

Sans a l d<1

-Figure 85 -

Valeurs de

Avec a l d?.1

k,= 4 + 5,34 (a / cf)2 4 -2 (a 1 cf)

1<,=5,34+ -

Calcul de l'élancement À.w de l'âme.

B. Interaction entre effort tranchant, moment fléchissant et effort axial(§ 5.6.7.2. Eurocode 3)

étant la contrainte critique élastique au voilement par cisaillement, qui a pour valeur:

'ter

156

À condition que les semelles puissent résister à la totalité _des valeurs de calcul du moment fléchissant et de l'effort axial dans l'élément; il n' est pas nécessaire de réduire la résistance de calcul de l'âme au cisaillement pour tenir compte de ces efforts.

157

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Les sections transversales sont considérées comme satisfaisantes, c'est-à-dire ne nécessitant pas une détermination de l'influence de l'effort tranchant V sur le moment résistant de calcul, si les deux conditions suivantes sont remplies : M$Mt

Les phénomènes d'instabilité élastique

Nt =A . /y= effort axial plastique M

0

f

et N1 se rapportant à la section composée des seules semelles.

Enfm:

et V$ Vba avec: Mt= moment résistant plastique de calcul de la section constituée des semelles seules.

_ Si V$ 0,5 Vba• il n' est pas nécessaire de réduire la résistance de calcul de la section transversale au moment fléchissant et à 1' effort axial, pour tenir compte de l'effort tranchant. - Si V> 0,5 Vba· il faut vérifier :

MS Mf+


qui est la formule du tronçon de courbe AB sur la figure 88 ci-après, qui illustre l'interaction entre effort tranchant et moment fléchissant. (En présence d' un effort axial N en sus, il y a lieu de remplacer Mpl par le moment réduit de résistance plastique MN, défini par le§ 5.4.8. de l'Eurocode 3).

v -Figure 86A

Vba r-------------~,

Vba = résistance de calcul de l'âme au voilement par cisaillement.

G)

Mpe =moment plastique résistant de calcul de la section totale (semelle+ âme) 0,5 Vba

·-- - -- - ----·-------

t __

_ __

8

_ _;___J...__

_..

M

0

-Figure 88-

-Figure 87En présence d' un effort axial N, le moment Mt devra être réduit en conséquence et sera détenn.iné par :

3.4.3.4.

MÉTHODE DU CHAMP DIAGONAL DE TRACTION

A. Cisaillement pur(§ 5.6.4. Eurocode 3) Il faut vérifier que 1' effort tranchant de calcul est inférieur à l'effort tranchant résistant, soit V$ Vbb· En phase élastique, la contrainte de cisaillement est uruforrne dans le panneau

avec:

'tbb

d'âme, et l'effort tranchant résistant est Vbb = d fw ---

0

M =moment Mt en l'absence deN 1

'Y MI

158

159

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

'tbb

étant la contrainte de cisaillement qui est fonction de l'élancement de l'âme À.w

et qui vaut (voir figure 89) : 0,8 S Iw < 1,25 ~bb

[1 -0,8

Les phénomènes d'instabilité élastique

Cette contrainte de membrane C5bb est constante dans le champ diagonal de traction plastifié, de largeur g et d'inclinaison q,. Les contraintes principales, après projection sur les axes principaux u et v, valent (grâce au cercle de Mohr). CJ 11

- 0,8)] b t'·w..[3

= C5bb + 'tbb . sin 2

'tv

= - 'tbb . sin 2

1:11 v

= 'tbb .

COS

2

Le critère de Yon Mises s'écrit:

0: + ~-

'·" · ···· · · · · ···•

i~

+-----------~------~---------4- Àw

0,8

1,25

-Figure 89-

En continuant la mise en charge du panneau d ' âme, au-delà de la limite élastique, la diagonale comprimée du panneau, qui est saturée, ne peut supporter aucune augmentation de sa contrainte de compression. Apparaît alors une contrainte de membrane, qui déforme les semelles de la poutre vers 1' intérieur du panneau et qui plastifie l'âme (voir figure 90 ci-après).

(Ju(Jv

+ 3-r;~v =f.}

d'où l'on tire:

Le champ diagonal de traction a une largeur g, qui vaut (cf fig. 90). g =(d cos q,- a sin)+ Sc sin+ S, sin g = d cos - (a - Sc- S,) sin Cette diagonale de largeur g permet d'accepter un effort tranchant additionnel du fait de la plastification de cette portion d'âme, qui vaut : /),. vbb

=g

fw (Jbb

sin

q,

Et 1' effort tranchant résistant global sera :

--~~------------~ [ d tw 1: bb + 0,9 g t, cr bb sin q,] 'Y Ml l' Eurocode 3 ayant introduit un coefficient de sécurité de 0,9.

e = arc tan -d a avec:

q, = -e

pour s = 0

2

q, = e -Figure

90-

pour s = a

q, = ~ 3

pour les autres cas

e q, < e

et - < 2

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Les phénomènes d'instabilité élastique

de la section constituée des semelles seules Mf est épuisée par le moment fléchissant M. Pour une section symétrique, sans effort axial, $ = ~ et Sc = St = O. 2 Si V$ 05 Vbw· il n'est pas nécessaire de réduire la résistance de calcul de la section transversale au moment fléchissant et à l'effort axial, pour prendre en compte l'effort tranchant. - Si 0,5 Vbw < V< Vbw• il faut vérifter que :

M< Mr+lM,,- M+-Figure 91-

Sc et S1 sont les longueurs d'ancrage du champ diagonal de traction le long des semelles, comprimées et tendues, obtenues par la formule :

[~.:

-1

n

(En cas d'effort axial N, en sus, il faut remplacer Mpe par MN). qui est l'équation de l'arc de parabole BC (figure 92 ci dessous). - Si V> Vbw, il faut vérifier que V$ Vbb·

0 < s
Vbb est obtenu par la formule explicitée au paragraphe précédent, qui correspond à J'équation du tronçon de courbe AB.

avec:

v

MN= moment de résistance plastique réduit de la semelle considérée, qui vaut :

v --- --- -------- ·

.' .

où b et fJ sont la largeur et l'épaisseur de la semelle considérée.

.

...

---------------i--------1-- -------------re

B. Interaction entre effort tranchant moment fléchissant et effort axial (§ 5.6.7.3. Eurocode 3) Les sections transversales sont considérées comme satisfaisantes, c'est-à-dire ne nécessitant pas une détermination de l'irtfluence de l'effort tranchant sur le moment résistant de calcul, si les deux conditions suivantes sont remplies : M:o;;MJ V:-:; Vbw

avec: MJ=

-Figure 92Diagramme interaction entre effort tranchant el moment fléchissant

3.4.3.5.

VÉRIFICATION DES RAIDISSEURS TRANSVERSAUX INTERMÉDIAIRES(§ 5.6.5 et 5.7.6. de l' Eurocode 3)

moment résistant plastique de calcul de la section constituée des semelles seules ;

Vbw = résistance de l'âme seule au voilement par cisaillement, qui est la valeur particulière de vbb· défmie précédemment, obtenue lorsque la résistance

162

Quelle que soit la méthode utilisée (post-critique simple ou champ diagonal de traction), il convient de vérifter la résistance des raidisseurs transversaux.

IÎ CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

L'effort de compression N 5 dans un raidisseur vaut:

Les phénomènes d'instabilité élastique

_ Soit des charges appliquées sur une semelle et reprises par cisaillement dans l'âme (figure A).

INs = V- d . lw . 'r:bb 1

En ce cas, il faut vérifier les modes de ruine 1 et 2. Il faut retenir la plus petite des valeurs de -r:bb obtenues pour les deux panneaux adjacents au raidisseur. ll y a lieu ensuite de vérifier la résistance du raidisseur au flambement en respectant trois conditions :

_ Soit des charges appliquées sur une semelle et transmises, au travers de l'âme, directement à l'autre semelle (figure B). En ce cas, il faut vérifier les modes de ruine 1 et 3.

- il convient d' inclure dans la section transversale efficace du raidisseur une largeur d'âme de 15 e. tw de part et d'autre du raidisseur.

CJ

0

CJ

====~====

CJ

CJ

-Figure 94-Figure 93 -

La longueur d'appui rigide Ss sur une semelle est la distance sur laquelle la charge appliquée est répartie effectivement.

- la vérification au flambement s'effectue en utilisant la courbe de flambement C et une longueur de flambement f ~ 0,75 d. - afin de présenter une rigidité suffisante, le raidisseur doit avoir une inertie minimale 15 , telle que : Si!:!:<

d

Si!:!:~ d

f2, /5 ~ f2,

r+ '

t3

1,5 d3 ..:::._

'

''

a2

H- ~/ 'H~ /

15 ~ 0,75 dt~

1

/

'

1

/

Ss

3.4.3.6.

RÉSISTANCE DES ÂMES AUx CHARGES 1RANSVERSALES

(§ 5 .7. Eurocode 3) La ruine d'une âme non raidie, soumise à des charges transversales, peut survenir selon trois modes : - mode 1 :écrasement de l'âme, à proximité de la semelle. mode 2: enfoncement local de l'âme sous forme de voilement localisé. - mode 3: voilement de l' âme sur la plus grande partie de sa hauteur. Quant aux modes d'application des charges transversales, on distingue :

'

-Figure 95-

Mode 1: résistance à l'écrasement Ry

' '

Les phénomènes d'instabilité élastique

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

3.4.4. EXEMPLE D'APPLICATION

avec:

Soit un PRS 1500, comportant des raidisseurs intermédiaires. Vérifier la résistance au voilement d'un panneau d' âme, soumis aux sollicitations suivantes : où :

N= 700 kN

bt= largeur semelle(< 25 lj)

V= 1 500 kN

cr1= contrainte longirudinale dans la semelle.

M=4000kNm Acier :fy = 235 MPa

Mode 2: résistance à l'enfoncement local RA

Longueur du panneau d'âme: a= 2,84 rn Caractéristiques géométriques de la section :

h = 1 500 mm A = 533 cm2 At = 160 cm2 d 1 420 mm a = 2840mm

avec: S5 =longueur de l'appui rigide

élancement âme :

400 mm 40 mm 15 mm 2

b1 lw

a 1d =

"-w =-d = 95 tw

Mode 3 : résistance au voilement RB

ftM

Elle est déterminée en érudiant le flambement de l'âme considérée comme un élément virtuel comprimé, ayant une largeur efficace bef! qui vaut :

F=

b=~ eff s

yt

M~

1.,.

- f..c--i: N

,---1

0 C\J

N

Il

•1

-t-l\--+t ~

Ss

mo

-t-{-,~~-+ =[f12 + SlJ 112

beH= h

b8 H

-Figure

96-

"b

1c

vt

I

a= 2 840 -

•

'

Semelle [tableau 5.3.1. (3) Eurocode 3]

40

=5< 9e=9

~

.,. 0 C\J

40t

1. CLASSE DE LA SECTION

tf

f 1

- Figure

~ = 200

r-

Classe 1

97-

f-c___1QQ___~

Les phénomènes d'instabilité élastique

CONCEPTI<;lN ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALL,IOUES SELON L'EUROCODE 3

- Âme [tableau 5.3.1.(1) Eurocode 3]

D'où:

d 1420 - = - - = 95 < 124 E = 124 ~ Classe 3 tw 15

'tba = [ 1- 0,625

CÎw- 0,8)] ~

-rba = 119 MPa

- Semelle comprimée : classe 1 }

- Âme de classe 3

~ Section de classe 3

=d.

15 x 119 x 10- 3

t.v 'ba= 1 420 x

vba =2534kN

- Coefficient partiel de sécurité 'YMO= 1,0.

2.

v ba

La pourre étant soumise à rrois sollicitations simultanées M, N et V, il y a lieu de prendre en compte les critères d'interaction entre ces trois sollicitations. Ce qui impose de calculer Mf

CRITÈRE DE VÉRIFICATION DU VOILEMENT

Pour des âmes comportant des raidisseurs intermédiaires, la résistance au voilement est à vérifier lorsque :

B. Calcul de Mf 0

Mf = Wpt . !y. avec Wpf = bf .

M 0 = 23 360 x 235 x 10- 3 = 5 490 kNm f Nf = 2 ~.!y = 2 x 160 x 235 x 10- 1 = 7 520 kN

::.= 2;::; 1,

Dans narre cas,

d

4 k, = 5,34 + - - = 6,34

soit:

(~Y

!!_ = 95 > 30 v6,34 = 75,5

soit:

1(h- 1) = 23 360 cm3

Mf = MJ [ 1 -

l

~

= 4 980 kNm

C. Critères d'interaction

tw

et

M= 4 000 kNm< Mf= 4 980 kNm 0,5 Vba = 1 267 kN < V= 1 500 kN < Vba = 2 534 kN

n y a donc lieu de prendre en compte l'interaction des sollicitations.

Donc la vérification s'impose.

n faut vérifier que :

3.

VÉRIFICATION DE LA RÉSISTANCE DE L'ÂME AU VOILEMENT

PAR LA MÉTHODE POST-CRITIQUE SIMPLE

A. Calcul de V ba

avec Mpl réduit à MN, du fait deN[§ 5.4.8.2. Eurocode 3], sauf si CJx
d

tw À.w

Soit :

37,4E~

avec ici ". = 6,34

95

À.w

37,4

v6,34

= 1,0 < 1,2

168

wpe

=2~=2 [~(h~1J +t.v ~1

wP1

= 30 920 cm3

crx

= !!!_ = 129 MPa wpt

169


MPa

Les phénomènes d'instabilité élastique

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Donc:

MN =12,03 kNm MN= Mp e = Wpe . f y = 7 266 kNm M:::; 4 980 + (7 266 _ 4 980) [ 1 _ (

2

:00

~ ~3

r

1

'tbb = [ 1 - 0,8

J

'tbb =[1-0,8 (1-0,8) ]

M = 4 000 kNm:::; 7188 kNm. Vérifié crbb

Représentation graphique

v , __ _ _ _ _ _ _...._

vb:: ::::; ··························-r 2

114 MPa

MPa

D'où

=2,534

235 {3=

=,)fy _'t~b [3 _ (1,5 sin 2 $)2]- 1,5. 'tbb. sin 2$

crbb = 62

(kN) Vba

-"w- 0,8)] {3 !y O

2S =c sin $

Œ:N - --

=76 cm

tw. crbb

B. Calcul de St

M;

~

· · · · ----- --------- - -- - - · ---(·- -· ~--- · --- -·--

Effort longitudinal Nf dans la semelle tendue :

M

N

Nf = _ _ - - = 2 390 kN h2

:r

MN =22,5 kNm

s(

+--------t>--.....__ _..__ _.. M (kNm)

0

M=4 000 -Figure

4.

= 104 cm

Mpt = 7 266

C. Calcul de g

98-

VÉRIFICATION PAR LA SECONDE MÉTHODE, DITE DU CHAMP DIAGONAL DE TRACTION

g = d cos $ -(a -Sc - S1) sin $ g = 104 cm

D. Effort tranchant Vbb vbb = d. lw. 'tbb + 0,9 g . lw. (Jbb sin

A. Calcul de Sc

vbb = 2 690 kN

Effort longitudinal Nf dans la semelle comprimée :

M

On vérifie bien que V= 1 500 kN < Vbb = 2 690 kN

N

Nf =--+-=3090kN h2

:r

MN = 0,25

b~. !y

[12

[_!i_] b r_r. !y

2 ]

MN = o,25 x 40 x 4 x 2 350 [1- ( .

309 000 2 ] ] 376 000

l71

$

CHAPITRE 4

BASES DE CALCULS DU NOUVEAU RÈGLEMENT EUROCODE3

4.1. NOTIONS DE SÉCURITÉ

Tout calcul de dimensionnement ou de vérification de structure repose sur de nombreuses hypothèses mathématiques ou physiques, généralement modélisées, et parfaitement théoriques. Ces hypothèses correspondent assez mal à la réalité, du fait du grand nombre d' imprécisions, d'imperfections, voire d'erreurs, qui affectent les calculs, la fabrication, le montage et l'utilisation des structures concernées, et qui présentent un caractère très variable et parfaitement aléatoire. Cet ensemble d'imprécisions et d' imperfections peuvent affecter :

LA CONCEPTION D'UNE STRUCTURE - Sous-estimation des charges, permanentes mais surtout variables, - conditions de liaison aux nœuds erronées (assimilées à des encastrements ou des articulations parfaits, pour des raisons de modélisation de méthodes de calculs, alors qu ' en réalité un nœud n'est que partiellement encastré ou articulé), - assemblages mal conçus (les notions de rigidité et de capacité de rotation sont souvent mal perçues ou purement éludées), effets dus à la dilatation des aciers non pris en compte,, - déformations excessives à l'état-limite de service (flèchesf, rotations 9, déplacements .::l), - etc.

i

.." ·,

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

LA FABRICATION DES ÉLÉMENTS - La limite élastique_f), d'un acier n'est pas précisément déterminée, - les contraintes résiduelles de laminage, que 1' on connaît mal, faussent les calculs des contraintes résultantes, - le module d'élasticité de l'acierE n'est pas constant dans une section, - l'acier n'est pas, comme on le considère en résistance des matériaux, un matériau parfaitement élastique, homogène et isotrope, - les tolérances de laminage sont importantes et perrurbent les calculs d'inerties et de contraintes de 15 %, très facilement (cf chapitre 1.4.).

Bases de calculs du nouveau règlement Eurocode 3

Considérant enfin, contrairement aux hypothèses de la R.D.M., que les charges ne sont jamais centrées, que les poteaux ne sont que rarement verticau x, que les poutres sont également rarement rectilignes, que les sollicitations ne sont pas nécessairement confinées dans les plans principaux d'inertie, nous pouvons être certains, que pendant sa durée de vie, un ouvrage sera soumis à des sollicitations supérieures à celles prises en compte dans les calculs. De ce fait, pour assurer la sécurité d' une construction, deux démarches sont possibles: - la première, qui est un calcul aux "contraintes admissibles", dans lequel il s'agit de vérifier que la contrainte en service reste inférieure à une fraction de la contrainte ultime du matériau. ll s'agit d' une méthode de calcul de type "déterministe", qui suppose les paramètres de calculs connus, donc non aléatoires.

LA TRANSFORMATION DES PIÈCES en usine, du fait d'erreurs sur les plans d'exécution ou en atelier, de cotations erronées, d'oublis de raidisseurs, de perçages trop importants, de soudures défectueuses, etc.

- la seconde, qui est un calcul aux "états-limites", dans lequel il faut vérifier que la contrainte en service, majorée (ou pondérée), reste inférieure à la contrainte ultime du matériau. ll s'agit cette fois d' une méthode de calcul de type "probabiliste", qui introduit des coefficients de pondération variables, donc aléatoires.

LE MONTAGE SUR SITE - Les modes de calculs prennent en compte les structures en phase définitive, et rarement en phase de montage, ce qui peut conduire à des problèmes divers : déversement de poutres au levage, effondrement du fait de contreventements provisoires oubliés ... - serrage de boulons incorrect (notamment de boulons HR), diamètre et nuance d'acier des boulons non conformes, coefficient de frottement des platines Jl insuffisant, etc.

ll semble, que la tendance actuelle et à venir des règlements et normes en cours d' élaboration, aille vers des méthodes de calculs "semi-probabilistes" , ce qui est le cas pour l' Eurocode 3.

ÉTATS-LIMITES Un état-limite est un état particulier, au delà duquel une structure ne satisfait plus aux exigences pour lesquelles elle a été conçue et dimensionnée. On distingue deux types d'états-limites:

L'EXPLOITATION PAR LE MAÎTRE D'OUVRAGE peut s'avérer néfaste - modification de destination des locaux, d'où charges bien supérieures sur les planchers, - adjonction de charges initialement non prévues : palans, etc. - absence de maintenance et d'entretien (corrosion des aciers, oxydation, perte de section résistante).

174

- l'État-Limite de Service (É.L.S.), qui correspond à l'utilisation courante et quotidienne de l'ouvrage et qui limite les déformations de la structure, afin d' éviter des désordres secondaires et garantir la pérennité de l'ouvrage (limitation des flèches, de la fissuration du béton ... ) ; - l'État-Limite Ultime (É.L.U.), qui correspond à un cas de charge exceptionnel, ultime (par exemple : neige trentenaire, crue centenaire... ), pour lequel la stabilité de l'ouvrage doit être garantie, bien qu'étant à la limite de la ruine. Un É.L.U. est atteint lorsque l'on constate une perte d'équilibre, une instabilité de forme, une rupture d'élément, une déformation plastique exagérée, etc.

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

4.2. ACTIONS ET COMBINAISONS D'ACTIONS

Bases de calculs du nouveau règlement Eurocode 3

COMBINAISONS D 'ACTIONS À L'É.L.S.

Les actions agissant sur une structure sont de trois types :

Elles serven t exclusivement pour le calcul ou la vérificatio n des déformations (flèches et déplacements).

- les actions permanentes G

Les combinaisons d'actions sont :

• • • •

poids propres, action de la précontrainte, déplacement différentiel des appuis, déformation imposée à la construction ;

- les actions variables Q • • • •

charges d'exploitation, action du vent, action de la neige, action des gradients thermiques ;

- avec une action variable : G+Q _ avec plusieurs actions variables: G + 0,9 :E Q;

VALEURS LTh1ITES DES DÉFORMATIONS

- les actions accidentelles A • explosions, • chocs de véhicules. (Ce dernier type d'actions est rarement pris en compte ; uniquement s' il est spécifié sur le cahier des charges du marché de consultation).

COMBINAISONS D'ACTIONS À L'É.L.U. - Les charges d' exploitation peu vent être estimées avec la norme N.F. P 06.001. - Les charges de neige so nt définies par le D.T.U. 06.002 (règles N.84). - Les charges de vent sont définies par le D.T.U. 06.006 (règles NV 65). - Action des gradients thermiques : variation relative de longueur de - 4. 10- 4 à + 3. I0-4. Les combinaisons d'actions sont :

Les valeurs limites des déformations des structures métalliques ne sont pas imposées réglementairement et brutalement, car elles dépe ndent de di vers critères , propres à chaque construction (l'installation de ponts roulants, d'ascenseurs, de faç ades vitrées, etc., exigera des déformations très limitées et une grande rigidité des struc tures, afin de garantir le bon fonctionnement desdites installations. En revanche, un simple entrepôt tolérera des déformations nettement plus importantes). Les choix incombent donc au x concepteurs, aux maîtres d'ouvrage ou aux utilisateurs finaux, qui so nt censés connaître les contraintes diverses affectant tant la construction proprement dite que so n utilisation ou sa destination finale. Si ces choix n'ont pas été exprimés au niveau des cahiers des charges, le règlement Eurocode 3 recommande des limites, qui sont les suivantes, et qui restent approximatives: - toitures en général :f < R. 1200, - planchers en général : f < .R. 1 250, planchers supportant des poteaux :f < .R. /400, - poteaux de portiques en général : !<:. < .R. 1 300, - poteaux de portiques avec pont roulant : !<:. < .R. 1 500.

- avec une action variable : 1,35 G max+ G min+ 1,50 Q avec G max Gmin

Q

= action permanente défavorable = action permanente favorable = action variable défavorable

- avec plusieurs actions variables : 1,35 G max + G min + 1,35 :E Q;

176

EFFETS DYNAMIQUES 1

Les effets dynamiques à prendre en compte à l'État-limite de service doivent vérifier que les fréqu ences (ou périodes) propres des structures so nt suffisamment différentes de celles de la source d'excitation, afin de se prémunir co ntre tout phénomène de mise en résonance.

177

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Il s'agit donc de calculer la fréquence propref(en cycle par seconde) ou la période propreT (en seconde) de la structure et de vérifier qu'elle(s) reste( nt) inférieure(s) à certaines bornes : - pour les planchers courants de logements, de bureaux ... :

!> 3 cycles 1 seconde (ou N > 0,3 seconde) ce qui est vérifié si la flèche instanta-

Bases de calculs du nouveau règlement Eurocode 3

6

~ 4 M

née du plancher reste inférieure à 28 mm[{;< 28 mm]. 1

née du plancher reste inférieure à 10 mm[{;< 10 mm].

·~voilement j local

Voir chapitre 6.6 ci-après, pour le calcul des fréquences propres d' oscillation des structures.

L

Mpt

2

4.3. CLASSIFICATION

DES SECTIONS TRANSVERSALES 3

Mpt Mee

-

élancements des parois, résistance de calcul, capacité de rotation plastique, risque de voilement local, etc.

Quatre classes de sections ont été définies, allant de la section 1 (la plus performante) à la section 4 (la plus fragile), soit : - classe 1 : sections transversales pouvant atteindre leur résistance plastique, sans risque de voilement local, et possédant une capacité de rotation importante pour former une rotule plastique. - classe 2 : sections transversales pouvant atteindre leur résistance plastique, sans risque de voilement local, mais avec une capacité de rotation limitée. - classe 3 : sections transversales pouvant atteindre leur résistance élastique en fibre extrême, mais non leur résistance plastique, du fait des risques de voilement local. classe 4 : sections transversales ne pouvant atteindre leur résistance élastique, du fait des risques de voilement local. (voir tableau synthétique 99 page suivante.)

cP'r

e 01lement local

cP'r

17(:" Vo:~~t'

4

M

·: : ::rvo;~c~~nt

v

Importante

Limitée

Élastique sur section complète

!'r

8

Mpt Met

~

Capacité de rotation plastique

Plastique sur section complète

~8

M

L' Eurocode 3 a instauré une classification des sections transversales, en fonction de critères divers :

~

Plastique sur section complète

M Mpe

~ Résistance de calcul

Modèle de comportement

Classe

- pour les planchers moins courants de gymnases, discothèques ...

!> 5 cycles 1 seconde (ou N > 0,2 seconde) ce qui est vérifié si la flèche instanta-

ip

"'

Aucune

Élastique sur section efficace

l'y

e

Aucune

- Tab/eau 99 - Les différentes parois comprimées d'une section transversale (âme ou semelle) sont souvent de classes différentes. La classe de la section sera, en ç_e cas, la classe la plus haute (la plus défavorable) . - Le fait de déterminer la classe d'une section permet de choisir la méthode de calculs (analyse plastique ou élastique). - La classification peut être établie en fonction des élancements limites des parois. Les tableaux lOO et 101, qui suivent, défmissent les classes 1, 2 et 3. Les parois présentant unélancement supérieur à l'élancement limite de la classe 3 sont naturellement de classe 4. - Enfm, pour les proflls laminés courants (! ou H), sollicités soit en compression seule, soit en flexion simple, les tableaux 102 à 107 suivants donnent directement les classes.

179

Bases de calculs du nouveau règlement Eurocode 3

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Rapports largeur-épaisseur maximaux pour parois comprimées

Rapports largeur-épaisseur maximaux pour parois comprimées

Âmes : (parois internes perpendiculaires à l'axe de flexion)

Parois internes de semelles : (parois internes parallèles à l'axe de flexion)

]---JI-- -4E--4J}-,,~~;oo cf'rr illT cÊm d= h- 31

Classe

Âme fléchie

Distribution de contraintes dans la paroi (compression positive)

il

1

[1= l1= lw]

Classe

Âme comprimée Âme en flexion composée

_1 d

h

dh

fy

'·___'__ ~-tlF' -j1 sn~

":~,,

~

fy

h

__lt

+

Distribution de contraintes dans la paroi et sur la hauteur de la section (compression positive)

dl lw$ 33 E

Quand a> 0 ,5 : d 1 lw$ 456 E 1 (13 a- 1) d l lw:S38e d 1 lw S 41 ,5 E 1 a

/-d~ ~~f jd/2

h

fy4

on -

3

dllwS124E

fy(N/mm 2 )

1

t::L

-

+

Autres

bit,

bit,

Sections creuses laminées

(b- 31,) 1 l1 S 38 E

(b-3t1)1t1 s42e

Autres

bit,

bit,

:533 E

$38 E

fy

~ '•'•

,,'•

::., ,,

'• ~·--

::'• '•

----:---- --~·'•

~?

+ -

S42E

·==::: -

n

1~:::::: Ji

+

Sections creuses laminées

(b- 31,) 1 Il $42 E

Autres

bit,

S 42 E

fy

,,' '' :' ''

275 0,92

355

E = -,/235/ fy

$42E

::.~

'

' '' ' ' '

'' '' -

' ~ =·

+

(b- 311) 1 l1 $ 42 E

- Tableau l 00- A(Tableau 5.3. 1. de I'Eurocode 3)

b i t,

:S42E

fy(N/mm 2 )

235

275

355

E

1

0,92

0,81

1

0,81 1

180

------------~·

3

235

E

~·--

- +

!--!

'•

(b- 311) 1 l1 S 42 E

Distribution de contraintes dans la paroi et sur la hauteur de la section (compression positive)

Quand 'V >-1: d 1 lw$ 42 el (0,67 + 0,33 'V) d 1 lw S 62 E (1 -'V) ~

= -,/235/ fy

'' '' ' ' ·==:::

'•

'•'• •,'• •,•,

(b- 311) 1 l1 S 33 E

fy

d l lw$ 42 E

,,,,'• ,, ,,

,---r-

'•'•

+

.,~n

= ,,,,

: : : :

'•'•'•

Sections creuses laminées

Quand 'V ,.:; - 1 :

E

'•

'•

.,'• .,,, ,,

fy

~--~

2

Quand a< 0,5 :

Distribution de contraintes dans la paroi (compression positive)

+

fy

1

dl lwS36ela

dl lw:S83E

-.,'• ='• ~·-- --:------ --~·

Quand a< 0,5 :

2

Section comprimée

Section fléchie

fy

Quand a> 0,5 : dl lw$ 396 el (13 a-1)

d l lw:S72E

Type

-Tableau 100- B(Tableau 5.3. 1. de I'Eurocode 3)

Bases de calculs du nouveau règlement Eurocode 3

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Parois internes comprimées

Rapports largeur-épaisseur maximaux pour parois comprimées

Distribution de contraintes (compression positive)

Parois internes de semelles en console :

:f E !' Sections laminées

Classe

Type de section

Distribution de contraintes dans la paroi (compression positive)

be2

bord tendu

~~..j

\

Laminées Soudées

Distribution de contraintes dans la paroi (compression positive)

c

:1:

+

-

\

10 E

cl t15 a

!r-e1

-10.

9E

cl t15 a

11

-10.

11 E

a 10 cl t,s a clt,5

c/11 510E

:1

10

cl t15 a

-10.

c ft<~ 1- a -.!O.

:~~

!r-e1

:~~ !r~

-fÇ

Laminées

c/t1 515E

cl t1 523E

Soudées

c/t1 514E

clt1 521 E-[Ç

Pour ka voir tableau 5.3.3 f.

fy(N/mm 2)

235

f.

1

= -,/2351 fy

1

1

0,92 1

-Tableau 1OQ- C(Tableau 5.3. 1. de I'Eurocode 3)

182

275

355 0,81

1

b

f-b~-j

-

bell= pb 2 bell b.,=-5-\jl

b~

1

a 9 cl t,s a

cl t,s

c/t1 511E

~~

c

1

cl t1 59E

cr,~cr2

\

:1:

Soudées

=0,5 bell

0 51j1< 1:

bord comprimé

!~1 c/t1 510E

bell= pb b81 = 0,5 bell

f-.-b~:j

b

Sections soudées

~~

Laminées

111111111 cr

t-be1-~

:~~ ---~+ ---~+ -

1

3

cr,lllllllll

\ji=+ 1: 2

Paroi en flexion composée

Paroi comprimée

"

2

f'

~

Largeur efficace be 11 de la partie comprimée de paroi

+~

be

f-.

\ji< 0:

cr,~

+ b~ +'"
1~·'r

1V =

cr cr 2

1

1

Coefficient de voilement

Ka

beii=Pbc= p bi (1 -1jf) 2

~

b +1

1>1j1>0

0

4,0

~

7,81

1,05 +

= b 811 - b 81

b 01 = 0,4 bell b~ = 0,6

-1

0>\jl>-1 7,81- 6,29\jl + 9,78

1jl

Alternativement, pour 1 ;;, 1V;;,- 1 : Ka=

bell

r

-1>\jl>-2

23,9 5,98 (1 -1j1) 2

16 [(1 + 1j1) 2 + 0,112 (1 -1j1) 2 ] 0 ·5 + (1 + o/)

-Tableau 101-A(Tobleau 5.3.2 de /'Eurocode 3)

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Bases de calculs du nouveau règlement Eurocode 3

Parois comprimées en console

Acier : fy =235 MPa

Distribution de contraintes (compression positive)

Largeur efficace beff de la partie comprimée de paroi

Type de laminé

Référence du profil

Classes de sections Compression seule

Flexion seule 1

1 >IV" 0:

PA

IV
Coefficient de voilement K,

+1

0

0,43

0,57

IPEA 0,85

0,57- 0,21 IV+ 0,07 ~

r-~-1

(Jl~ ~~LU~LLLU ------------~ t-------=--c

(J2

_j

IV
IPE

Coefficient de voilement K,

+1

1 >IV> 0

0,43

0 578 ' IV+ 0,34

0

1,70 1,7-51V+ 17,1

- Tobleou 101-8(Tobleou 5. 3.3. de I'Eurocode

-1

O>IV>-1

3)

~

23,8

80

1

1

100

1

1

120

1

1

140

1

1

160

1

1

180

2

1

200

2

1

220

2

1

240

2

1

270

3

1

300

3

1

330

3

1

360

4

1

400

4

1

450

4

1

500

4

1

550

4

1

600

4

1

80 à 240

1

1

270

2

1

300

2

1

330

2

1

360

2

1

400

3

1

450

3

1

500

3

1

550

4

1

600

4

1

- Fig ure 102 -

185

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Bases de calculs du nouveau règlement Eurocode 3

Acier: fy = 235 MPa

Acier : fy = 275 MPa

Type de laminé

Référence du profil

Classes de sections

Type de laminé

Référence du profil

Compression seule

Flexion seule

80

1

1

100

1

1

1

1

140

1

1

160

2

1

1

180

2

1

2

1

200

3

1

100 à 600

1

1

220

3

1

100 à 600

1

1

240

3

1

270

4

1

300

4

1

Compression seule

Flexion seule

100 à 240

1

1

260

2

2

280

2

2

120

300

2

2

320 à 500

1

1

550

2

600 HEB HEM

HEA

Classes de sections

PA

IPEA

IPE

330

4

1

360

4

1

400

4

1

450

4

1

500

4

1

550

4

1

600

4

1

80 à 220

1

1

240

2

1

270

2

1

300

2

1

330

3

1

360

3

1

400

3

1

450

4

1

500

4

1

550

4

1

600

4

1

- Tob/eau 103 -

- Tableau /04 -

186

187

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Bases de calculs du nouveau règlement Eurocode 3

Acier : fy = 275 MPa

Acier: fy = 335 MPa

Type de laminé

HEA

HEB HEM

Référence du profil

Classes de sections Compression seule

Flexion seule

Type de laminé

Classes de sections

Référence du profil

Compression seule

Flexion seule 1

100

1

1

100

1

120

1

1

120

1

1

140

1

1

140

2

1

PA

160

1

1

160

3

1

180

2

2

180

3

1

200

2

2

200

4

1

220

2

2

220

4

1

240

2

2

240

4

1

260

3

3

270

4

1

300

4

2

330

4

1

280

3

3

300

3

3

320

2

2

360

4

1

340

1

1

400

4

1

360

1

1

450

4

1

400

1

1

500

4

1

IPEA

450

1

1

550

4

1

500

2

1

600

4

1

550

2

1

80 à 160

1

1

600

3

1

180

2

1

100 à 550

1

1

200

2

1

600

2

1

220

2

1

100à600

1

1

IPE

240 270 300 à 600

-Tableau 105-

188

-

2

1

3

1

4

1

-Tableau 106 -

Bases de calculs du nouveau règlement Eurocode 3

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

CARACTÉRISTIQUES DES SECTIONS TRANSVERSALES

Acier : fy = 335 MPa Type de laminé

HEA

HEB

HEM

Référence du profil

Classes de sections Compression seule

Flexion seule

100

1

1

120

1

1

140

2

2

160

2

2

180 à 340

3

3

360

2

2

400

2

1

450

2

1

500

3

1

550

4

1

600

4

1

100 à 450

1

1

500

2

1

550

2

1

600

3

1

100 à 600

1

1

SECflON BRUTE Les caractéristiques de la section brute sont déterminées en utilisant les dimensio-ns nominales sans déduction des trous éventuels.

AIRE NETTE L'aire nette (Ane 1) d' une section transversale est égale à son aire brute diminuée des aires des trous.

FACTEURS PARTIELS DE SÉCURITÉ Les résistances de calcul sont affectées d' un facteur partiel de sécurité 'YM dont les valeurs sont les suivantes : CALCUL DES SECTIONS TRANSVERSALES - sections brutes de classe 1, 2 ou 3: 'YMO = 1 (ou 1,1 s'il s' agit d' aciers non agréés) - sections brutes de classe 4 : 'YM1 = 1,1 - sections nettes au droit des trous : YM2 = 1,25 CALCUL DES PIÈCES À L'INSTABILITÉ ÉLASTIQUE - flambement - déversement - voilement

} 'YMI

= 1,1

CALCUL DES ASSEMBLAGES - assemblages par boulons non précontraints : • sollicités au cisaillement : 'YMB = 1,25 • sollicités à la traction : 'YMB = 1,50 -Tableau 107-

assemblages par boulons précontraints :

• à l'É.L.U: trous à la tolérance normale: 'YMS = 1,25 trous oblongs : 'YMS = 1,40

190

191

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

à l' É.L.S. :

Bases de calculs du nouveau règlement Eurocode 3

4.4.3. MOMENT FLÉCIITSSANT (M)

trous à la tolérance normale : 'YMS= 1,10 En l'absence d' effort tranchant, le moment fléchissant M dans chaque section transversale doit rester inférieur au moment résistant, soit :

- assemblages par soudures : • acier S.235: 'YMw = 1,25 • acier S.275 : 'YMw= 1,30 • acier S.355 : 'YMw= 1,35

M 5. MR, avec :

- pour les sections de classe 1 ou 2 : MR = Mpe =Wp t· ! y 1 'YMO (moment résistant plastique)

4.4. RÉSISTANCE DES SECTIONS TRANSVERSALES

- pour les sections de classe 3 : MR =Mel= Wee .fy 1'YMO (moment résistant élastique) - pour les sections de classe 4 : MR =Mo =We.ff.fy hM! (moment résistant au voilement local)

4.4.1. EFFORT AXIAL DE TRACTION (N) Dans un élément sollicité en traction axiale, 1'effort de traction N dans chaque section transversale doit rester inférieur à l'effort résistant de traction, soit: N5. NR =min [Npe ; Nu; Nnetl

avec: (résistance plastique de la section brute) Npe =A . /y 1'YMo Nu= 0,9. Anet.fu 1'YM2 (résistance ultime de la section nette au droit des trous de fixation) (résistance plastique de la section nette pour les assemblages par boulons précontraints à l'É.L.U.)

4.4.4.EFFORT TRANCHANT (V) L'effort tranchant V dans chaque section transversale doit rester inférieur à 1' effort tranchant résistant, soit :

où Av est l' aire de cisaillement, qui peut être déterminée co=e suit (pour un effort parallèle à l' âme) : - profils larrùnés 1 ou H : Av= A- 2 b lj+ (lw + 2r) lj

- profùs larrùnés 1_1 :

4.4.2. EFFORT AXIAL DE COMPRESSION (N)

Av= A- 2 b lj+ (tw + r)

lJ

- profils reconstitués sondés 1 ou H: Dans un élément sollicité en compression axiale, l'effort de compression N dans chaque section transversale doit rester inférieur à 1' effort résistant de compression, soit: N 5. NR, avec :

Pour les sections de classe 1, 2 ou 3 : NR = Npt =A -!y 1 'YMO (résistance plastique de la section brute) Pour les sections de classe 4 : NR =No= Ae.ff·fy 1 Yvtl (résistance de calcul de la section brute au voilement local) où Ae.ff= aire efficace de la section.

Av = (h- 2lj)

lw

4.4.5. MOMENT FLÉCIITSSANT + EFFORT TRANCHANT (M + V) Le moment résistant plastique d'une section de cisaillement.

tran sve~ ale

est réduit par la présence

Si l'effort tranchant est faible, cette réduction est négligeable (et compensée par l'écrouissage du matériau).

193

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

En revanche, dès lors que l'effort tranchant dépasse la moitié de l'effort tranchant plastique résistant, il faut prendre en compte son interaction sur le moment résistant plastique. Soit : si V~ 0,5 Vpe, M ~ MR si V> 0,5 Vpt• M ~ Mv

Bases de calculs du nouveau règlement Eurocode 3

4.4.6 . MOMENT FLÉCHISSANT + EFFORT AXIAL (M+N) SECTIONS DE CLASSES

avec:

MR = moment résistant plastique tel que défini au§ 4.4.3. Mv = moment résistant plastique réduit du fait de l'effort tranchant, déterminé en utilisant une limite d'élasticité réduitef,ed pour l'aire de cisaillement seule, soit :

1 ET 2

Pour les sections de classes 1 et 2, il faut vérifier, en l'absence d' effort tranchant, que le moment fléchissant M reste inférieur au moment résistant plastique MN réduit du fait de l'effort axial, soit:

- pour un plat : avec:

Pour les sections transversales à semelles égales et fléchies suivant l'axe de forte inertie, on obtient :

Mpe

avec Mv =module de résistance plastique de l'aire de cisaillement Av.

Mv =[Wpe-

p~]

Npe

- pour une section comportant des semelles :

• siN~ min [0,25 Npe; 0,50 Aw .fy 1YMo], alors MN= Mpe • siN> min [0,25 Npt; 0,50 Aw .fy 1 YMo], Aw =A- 2 b !tétant l' aire de l'âme, il faut distinguer 3 cas :

~

Ay = htw et Wv = 4 = 4 fw Soit:

J2 < 1

M- + ( N-

Mv = [Wpe -/y- Wv -fy + Wv -fredJ IYMO Mv = [Wpe- Wv .p] -fy 1 YMO

ht~

et le critère devient :

a) flexion autour de l'axe yy :

!y

1- _!!___

4 fw YMo

M -M Ny -

qui peut se représenter graphiquement comme ci-dessous :

ply

Npe 1 - 0,5 a

avec a= min [Aw 1A ; 0,5]

Mv

Mpe -------------··;---MR ~----~------··~

Msemslfes

---------- ---· · -- ·· ·

.1. • •• • •• · · · - - •• • · · -- --

v

+------~----------L..--

0,5

- Figure

1,0

108 -

194

Vpf

+--_;___-----~~ a/2 - Figure 109 -

1.0

N

Npe

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

b) flexion au tour de l'axe zz

:

Bases de calculs du nouveau règlement Eurocode 3

SECTIONS DE CLASSE 4 Les sections de classe 4 sont considérées comme satisfaisantes, si la contrainte longitudinale maximale Œx, calculée en utilisant les largeurs efficaces des parois comprimées, vérifie la condition :

avec a= min [A.,JA ; 0,5] ce qui s'écrit encore :

avec: Aeff

= aire de la section transversale supposée soumise à une compression uniforme (M = 0) ;

Weff

- Figure 1 10 -

= module de résistance de la section efficace, la section transversale étant

supposée soumise uniquement à un moment fléchissant suivant l'axe concerné (N = 0) ;

+-------'-----------.:L__;,..._ Ns a 1,0 Npf

e

= décalage de 1' axe neutre concerné, la section transversale étant supposée soumise à une compression uniforme (M = 0).

c) flexion biaxiale :

]~
_Y_+ M M ]a. [_z_ [ MNy MNz

les exposants a et ~ valant, pour des sections en 1 etH :

a= 2 et ~ = 5 !!___ avec ~ ;::> 1 Npf

4.4.7. MOMENT FLÉCHISSANT+ EFFORT AXIAL +EFFORT TRANCHANT (M + V+ N) Lorsque l'effort tranchant dépasse la moitié de l'effort tranchant résistant plastique, il faut prendre en compte son effet, ainsi que celui de l'effort axial, pour calculer le

moment résistant plastique réduit. SECTIONS DE CLASSE

3

Si V::; 0,5 Vpe

~

critères du paragraphe 4.4.6. à vérifier.

Si V> 0,5 Vpe

~

la résistance de calcul de la section transversale aux combinaisons de moment et effort axial doit être calculée en utilisant une limite d'élasticité réduite fred pour l'aire de cisaillement Av·

Les sections de classe 3 sont considérées comme satisfaisantes, si la contrainte longitudinale maximale Œx vérifie la condition :

ce qui s'écrit encore :

avec:

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

4.5. ORGANIGRAMMES RÉCAPITULATIFS DE CALCULS

Bases de calculs du nouveau règlement Eurocode 3

Effort axial de comp ression N

(5.4.4)

Les organigrammes qui suivent ont été établis pour les principaux cas de sollicitations (à l'exclusion de la torsion), conformément aux prescriptions de l' Eurocode 3, chapitre 5.4., intitulé "résistance des sections transversales". Les numéros des di vers paragraphes sont notés en référence (entre parenthèses). Les 7 sollicitations analysées, simples ou multiples, sont les suivantes : - effort axial de traction (N) - effort axial de compression (N) - flexion simple (moment M) - effort tranchant (V) - flexion simple + Effort tranchant (M + V) - flexion composée (M + N) - flexion déviée (ou biaxiale) seule ou composée (My+ Mz + N). - Figure 1 12 Effort axial de traction N

(5.4.3)

Flexion simple (moment M)

- Figure l l 1 - Figure 1 13·A -

198

199

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Bases de calculs du nouveau règlement Eurocode 3

Flexion composée seule (M + N)

Effort tranchant V (5.4.6)

- Figure 1 13-8 Flexion simple + effort tranchant

Section de classes 1 et 2 Classe 3 Classe 4

Section de classe 1 et 2

~"= 1

Section de classe 3 MNy = Mpey

Section de classe 4

Classes

1et2

M-M Nz- pez [

Classe

3 Classe 4

- Figure 1 15 -

-Figure 114-

200

l_l.=..Œ_l b- 0 ·5
1-(n-a )'] 1 _a

·'

Bases de calculs du nouveau règlement Eurocode 3

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

qui ne concerne que quelques rares constructions. D ne mérite donc pas qu'on s'y attarde davantage ici.

Flexion déviée (ou biaxiale) seule (N = 0) ou composée (N "# 0)

Nous préciserons seulement que les calculs de résistance à la fatigue d'éléments de strUctures, soumis à des sollicitations répétées, alternées et cycliques, consistent à établir un diagramme d'endurance, qui détermine les valeurs limites vers lesquelles tendent les amplitudes de contraintes ~cr, lorsque le nombre de cycles N devient très grand. cr

Cycle de contrainte

---

------~~1

. . ....

' Classes 1 et 2 [My]"+[ Mz MNy MNz

Classe

4

L - - - + - - - - --

r

~1

My Mz Classe - N - +--+ -A · fy Mely Metz 3

~î'MO

_N_+ My+N. ey+Mz+ N. ez Ae/f·fy

Meffy

O"max

.. .. ......... .. .

Meffz

~'l'Ml

Classes 1 et 2

[:;J\[::J~ ~1

Classe 3

--+ - -

My

Mz

Me ty

Metz

_L- - - - - - - . - T e m p s

- Figure 1 17 -

~a = Œmax - Œmin =étendue de la contrainte nominale

~î'MO

Classe My+N.ey+Mz+N.ez ~Î'M1 Merry Meffz 4

-Figure 116-

ô cr (MPa)

400

350 300

4.6. RÉSISTANCE À LA FATIGUE

250 zoo+---~-~--.---.--.--~ N (cycles)

La vérification à la fatigue n'est pas requise pour les ossatures de bâtiments, à l'exception des structures soumises à des fluctuations répétées de contraintes : - structures supportant des dispositifs de levage et/ou des charges roulantes, - structures sollicitées par des cycles répét.és de contraintes dus à des vibrations diverses, engendrées par des machines ou des hommes, - structures soumises à des oscillations dues au vent. Le chapitre 9 de l' Eurocode 3 traite du phénomène de fatigue, d' une façon très générale, car il s'agit d'un phénomène très ctifficile à appréhender, mal maîtrisé et

202

104

105

106

107

108

- Fig ure 1 18 -

109

CHAPITRE 5

DIMENSIONNEMENT DES POUTRES FLÉCHIES

Les poutres flédùes sont sollicitées par un moment fléchissant M et un effort tranchant V. Le moment fléclùssant développe des contraintes dans le matériau, dont la réparti-

tion est bi-triangulaire, tant que l'on reste dans le domaine élastique du diagramme contraintes 1 déformations.

A.N.E.- · V;

- Figure 1 19 -

Les contraintes développées sur les fibres extrêmes, par rapport à 1' axe neutre élastique (A.N.E.) qui passe par G, sont: (J

s

ou:

Mv 5

Mvi

= - - et
M

crs=--

wds

et

M

G;=--

weti

Wee étant les modules de résistance élastique de la section considérée.

Un bon dimensionnement a pour but d' optirrùser le ratio, "mertie 1 prix". Or le prix étant directement proportionnel au poids d'acier, il faut mininùser la conso=ation d'acier et maximiser l'inertie, ce que l'on obtient en positionnant la matière le plus loin possible de l'axe neutre.

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

On reste cependant limité sur ce dernier point par des exigences d' esthétique, de confort ou d'exploitation (hauteur des poutres limitées par le gabarit sous-jacem à ménager). On peut donc chercher à établir la peifonnance ou le rendement d'une section, pour une hauteur donnée, en fonction de la répartition de matière adoptée. La section en l est naturellement la section la meilleure, du fait que la matière est éloignée de l'axe neutre.

Dimensionnement des poutres fléchies

Vérifions-le sur un IPE 200, par exemple: A= 28,5 cm2 h =20 cm 0,33 Ah= 188 cm3 !..= 194 cm3 v Les profils laminés ne sont donc pas particulièrement performants. Cela s'explique ar Je fait qu' ils possèdent une âme très nettement sur
PERFORMANCE D'UNE SECTION Comparons une section rectangulaire et une section en/, idéale (c'est-à-dire présentant une âme infiniment mince), qui ont la même aire (donc le même poids, et a priori le même prix) et la même hauteur. A

eG

T

bh =A b h3 l 12 bh2 l =-=0,16Ah v 6

h

....!_

RENDEMENT D'UNE SECTION Le rendement géométrique d'une section est :

- Pour la section en l idéale, on a : Ah 2 h l = - et v s =v·=1 2 4

~-b---1 A/2

h2

A-

T l =2î(îJ

• G

h

=A~

!_ = 0,50A h v

4 d'où p=--=1 h2

A4

C'est le rendement maximal, théorique bien sûr. Pour la section rectangulaire : bh 3 12

A/2

/ =-

A=bh

V

s

h 2

=V· = 1

- Figure 120 -

La section en l "idéale" ressort 3 fois plus performante que la section rectangulaire de référence.

1 d'où: p = 3

Pour un profil laminé IPE 200 : Les profils laminés courants ont une performance intermédiaire, qui correspond à la

I= 1. 943 cm4

moyenne entre les sections rectangulaires et I idéal, soit: !..= 0,33 Ah= Ah v 3

A= 28,5 cm2 vs= v;= 10 cm

206

207

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Dimensionnement des poutres fléchies

2 d'où : p =- (rendement intermédiaire, analogue à la performance). 3 En posant Vi= h- Vs, on obtient fmalement :

5.1. DIMENSIONNEMENT DES POUTRES EN CALCUL ÉLASTIQUE (P.R.S.)

vs=~ ( 1\ + d~w J ce qui nous donne la position de G et de l'axe neutre. _ Moment d'Inertie (par rapport à l' A.N.E.):

Il s'agit généralement des poutres élancées (poutres de grande portée en bâtiment ou poutres de ponts) ou bien de poutres plus massives, dimensionnées par un calcul de flèche, pour lesquelles donc un calcul en plasticité serait superflu (pannes de toiture de bâtiment, par exemple). TI s'agit donc, pour un moment donné (c'es t-à-dire pour une portée et des conditions de charge bien définies), de détenniner une section optimale (c'est-à-dire poids minimal et modules de résistance maximaux). Soit :

l=f\(vs-~T +f\(vi-~T +d~(vi-~-~J + f\~+~f+twcP ce qui donne, tous calculs faits, en négligeant !Ji et Ifs vis-à-vis de h et en considérant donc que d ~ h :

--?- + 1\J-vs. h (htw 2 + 1\J

l = h2 ( ht

SECTION DES SEMELLES As et Ai seront minimales lorsque les contraintes sur les fibres extrêmes auront atteint les limites admissibles. V;

~

,___a_;__,

--~---'~

- Figure 12 1 -

- section totale : !2 =As +Ai+ d lw

[ -

M

- position de l'axe neutre élastique:

.

.

- h


l' expression de l'inertie, d'où l'on tire après résolution:

écrivons 1' équilibre des moments statiques par rapport à cet axe neutre.

A (v-1sJ+(vs-1Y _ , =A · s s 2 2 "W ·~

.

l h En portant - = =---=- dans vs =-
(V·-t_J+(vi-~)2.1 2 2 w '

En négligeant lji et Ifs• qui sont faibles en regard de Vs , V; eth, on obtient :

208

M - -htw [ 2 A; =--=-

crs] =-

h~; h~w ~il'

( A=--- 2 -s 6

has

crs

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Dans ces formules, le premier terme représente la section que devrait avoir chaque membrure, si l'âme était infiniment mince. Chacune serait e n effet soumise à 1' effort normal ± M 1h. Le second terme représente la collaboration de l'âme à la résistance de la section à la flexion.

CAS PARTICULIER : SECTION SYMÉTRIQUE À SEMELLES ÉGALES

Dimensionnement des poutres fléchies

VÉRIFICATION DE LA FLÈCHE Les calculs de dimensio nnement et de résistance précédents ont été conduits à I'É.L. U.

n convient de vérifier maintenant,

à l'É.L.S., que les déformations restent adrnis-

sibles et notamment que la flèche de la poutre reste inférieure à -

.e

.e

, ... wo , 400

'

selon que la poutre appartient à une toiture, à un plancher recevant ou non des poteaux, etc. D'où : APPLICATION NUMÉRIQUE

M h. t, A;=A;=--h. !y 6

2M h . !y

2

Q = -- + -h.

Déterminer la section d'un profilé P.R.S., de 50 rn de portée, isostatique, en acier S.355, recevant une surcharge de 50 k.N/ml. Pour des raisons de corrosion, l'épaisseur de l'âme sera f w = 20 mm.

t,

3 Pour limiter les déformations, adoptons un élancement classique de 1125. Ce qui

.e

détermine la hauteur de la poutre : h = - = 2 m. 25

SECTION DE L'ÂME

L' élancement de l'âme vaut h 1 tw = !00. La section est donc de classe 3 et les calculs doivent être conduits en élasticité. Soit:

L 'effort tranchant doit rester inférieur à l'effort tranchant résistant, soit:

8

M =( 106Q +75)x312,5k.Nm 2M 2 Q = - - + - h . tw

f3

V$ VR = A.v .

YMo ou

h. !y

vf3

Compte tenu que les élancements admissibles courants des poutres sont:

1

25

20

la hauteur h est fixée en fonction de la portée . .., =A.v d' ametw ·w h

.e, d'où

d' où l'on tire : Q = 1 022 cm2

o- 4 = 8 k.N/ml

• Le poids propre de la poutre vaut : g = 1 022 x 78,5 x 1 • Section de l' âme : ah = 400 cm2 • Section de chaque semelle : A= 31 1 cm 2

h 1 < - < -,

.e

3

Q = 2(106Q +75)x 312,5 +~X0,02x2 2 x 355 x 103 3

A.v~ - - · YMo fy

-

502

M = [1,35 Q x 78,5 + 1,50 x 50) x -

!y

l'on tire aussitôt l'épaisseur

En adoptant (par exemple) une largeur de semelle b telle que b respond à un profil très performant, on obtient :

b = 500 mm A

3 11

1= b =50 =6,2 cm

= h 1 4 , ce qui cor-

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCOOE

La section du PRS est donc fixée : h b lw

lt

Oimensionnement des poutres fléchies

3

5.2. DIMENSIONNEMENT DES POUTRES

2 000 nun 500 nun 20 nun 62 mm

EN CALCUL PLASTIQUE (LAMINÉS)

VÉRIFICATION DE L'EFFORT TRANCHANT

Les profL!és laminés sont généralement des sections compactes dont la plastification totale est possible, leurs âmes étant surdimensionnées, donc non sujettes au risque de voilement local. Considérons une poutre isostatique soumise à une charge uniformément répartie q.

v v

=[1,35 x 6,9 + 1,50 x 50] 50 2 =2 107 kN

_i_ VR = Vpe =<\v

La section médiane, la plus sollicitée, est soumise à un moment égal à g P 1 8 (voir figure 122 A/BIC) Dans un premier temps, la répartition des contraintes normales est linéaire (hypothèses de Navier-Bemouilli). Nous sommes dans la phase élastique du comportement du matériau.

f3 Yuo

VR=400 x 355x IO-I =8200kN

f3

q

l lll!l ! l !llllllllll!l l llllllllllll

V< 0,5 VR, donc il n'y a pas d'interaction entre l'effort tranchant V et le moment fléchissant M .

Le~ problèmes de voilement local et de détemùnation de raidisseurs d'âme restent à vénfler.

MOMENT D'INERTIE

-Figure ]22-ALorsque les contraintes sur les fibres extrêmes atteignent ·1a limite élastique /y. le moment fléchissant sollicitant la section médiane est égal au moment élastique Mee. Si on augmente la charge, les contraintes ne sont plus proportionnelles aux déformations. Les fibres extrêmes se plastifient.

I J - -·-

q llllllllllllll ! llllllllllll\1111111

Tous calculs faits, 1 = 0,075 m4

L

VÉRIFICATION DE LA FLÈCHE

I

M<~eQ;

- -{2J - ~ - -

:

\_ Zones plastifiées

M> Mee

f

y

! ~~nes

\~ifiées -

fy

-Figure 122-8-

!=

5

(g + q) f4

l

<-=25 cm 384 El 200 j- 5 0,569 x 5 0004 384 21 000 x 75 x I05

!= 29 cm> Ï= 25 cm La condition de flèche est à la limite de l'inadmissibilité.

On peut augmenter la charge jusqu'à ce que la section médiane soit entièrement plastifiée. C'est-à-dire que le moment fléchissant soit égal au moment plastique Mpt· La courbure de la poutre est très importante dans la zone centrale de la poutre qui est plastifiée. On admet qu'il se forme, dans la section )Jlédiane, une rotule plastique (ou articulation). La poutre se comporte comme deux éléments rigides reliés par une articulation. On dit qu' il y a plastification totale.

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE

'1

J: '' ' ' ' ''''''''~'''''''''''''']

Dimensionnement des poutres fléchies

3

I M~~0,:'

\ _ Zones plastifiées

- Figure 122-c -

n se forme alors une rotule plastique à chaque encastrement. L'apparition de rotule plastique n'est possible que s'il n'y a aucun phénomène de voilement local. Si la capacité de rotation des sections A et C est importante on peut encore augmenter la charge. L'accroissement de charge!!. q est repris par la poutre qui a un comportement bi-articulé après plastification des sections d'encastrement. On dit que les sections A et C sont épuisées et travaillent comme des articulations pour ce supplément de charge. La poutre devient isostatique.

Il s'agit dès lors de vérifier que: M :<:; Mpe == Wpe . fy M étant connu etfy donné, l'inconnue est toujours Wpe et il faut donc vérifier que:

A

Il 1111111111111111111111111111111

C

B

Mpl Wpe~­

!y

!!.M

- Figure 124 Phase plastique

MÉCANISME DE RUlNE- ROTULE PLASTIQUE

Ce nouveau fonctionnement reste possible jusqu'à ce que la section médiane soit complètement plastifiée. On a alors : Considérons une poutre bi-encastrée d'inertie constante, soumise à une charge uniformément répartie q. Dans un premier temps , la poutre a un comportement élastique. On peut écrire : Moment à l'encastrement MA== Mc==- q. R_2 1 12 Moment à mi-portée Ms== q.

e2 124

1 MA 1 == 1 Mc 1 == 1 Mpe 1 ==

Ms== Mpe == q. R- 2

q.

f2 1 12

124 +!!. q. e2 18

L'apparition d'une rotule plastique en B transforme la structure en mécanisme de ruine. Le système est instable et s'effondre.

q

B

11111111111 1 1111111111 l il l 11 I l 1 Il

A

B

e

f-oc

MA~

~

- Figure 125 Mécanisme de ruine

C

/]Mc ~

La charge de rupture vaut: q,.==q+t!.q== !6Mpelf 2 == 1,33q

La poutre, initialement hyperstatique, a successivement épuisé toutes ses possibili-Figure 123Phase élastique

tés de résistance jusqu'à se transformer en mécanisme. Ce phénomène est appelé l'adaptation plastique.

Si on augmente la charge, les sections d'encastrement, les plus sollicitées, vont se plastifier en premier. On atteint dans ces sections le moment plastique Mpe· 1 MA 1 == 1 Mc 1 == 1 Mpe 1 ==

Ms== Mpe 12 == q.

q.

f2 1 12

f2 124

214

215

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE

Dimensionnement des poutres fléchies

3

REDISTRIBUTION DES EFFORTS DANS LES STRUCTURES HYPERSTATIQUES

Classe 1 : les sections de classe 1 peuvent former une rotule plastique et ont une capacité de rotation importante.

L'exemple de la poutre bi-encastrée montre bien la redistribution du moment fléchissant après plastification des sections d'encastrement (formation de rotules plastiques). Cette redistribution n'est possible que si les éléments de la structure et le matériau le permettent.

Classe 2 : les sections de classe 2 peuvent former une rotule plastique mais avec une capacité de rotation limitée.

M'tt v:"""'

M

Md .•. . .. ... .....

Le calcul plastique des sollicitations n'est possible que si les conditions suivantes sont remplies :

A

loo:l

Classe 2

Classe 1

DUCTI!.JTÉ DU MATÉRIAU -Figure 127 -

L'acier doit être suffisamment ductile afin de permettre la formation de rotules plastiques (allongements plastiques importants).

B.

CAPACITÉ DE ROTATION

Les éléments plastifiés doivent être capables de supporter la rotation des rotules plastiques.

Classe 3 : les sections de classe 3 ne peuvent pas former de rotule plastique. Le moment fléchissant les sollicitant peut atteindre le moment élastique Met mais le voilement local est susceptible d'empêcher le développement du moment plastique Mpe· Classe 4 : les sections de classe 4 ne peuvent pas former de rotule plastique. Le voilement local est susceptible d'empêcher le développement du moment élastique Mee ·

M "tl ç-v~l'm'"'

C. ABSENCE D'INSTABILITÉ La plastification des sections n'est possible qu ' en l' absence de tout phénomène d'instabilité (voilement local, déversement). La figure suivante illustre la capacité de rotation des différentes classes de sections. Elle montre la résistance et la capacité de rotation qui peuvent être atteintes avant apparition du phénomène de voilement local. Tout risque de déversement est supposé empêché. La classification des sections est définie au chapitre 4.3.

M

Mee ··· ·· /

· ·· ·

local

8 Classe 4

Classe 3

-Figure 128-

CLASSES DE SECTIONS ET RÉSISTANCE ULTIME Comme nous l' avons vu précédemment la classification des sections permet de préjuger de leur comportement et de leur résistance. Le tableau suivant indique, po~ chaque classe, la méthode d'analyse que l' on peut utiliser pour le calcul des sollicitations et pour le calcul de la résistance ultime. (Cf tableau page suivante).

.. .. [ . Classe 2

Cla~e3 Classe 4

L-----~----~------~--------

>2

- Figure 126 -

216

>4

4>; pe

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Classe Capacité de rotation

Calcul des sollicitations

Résistance de calcul

1

Importante

Plastique

Plastique

2

Limitée

Plastique si justification par essai

Plastique

3

Nulle

Élastique

Élastique sur section complète

4

Nulle

Élastique

Élastique sur section efficace

Dimensionnement des poutres fléchies

La section globale étant de classe 1, le calcul peut être mené en plasticité.

Wpe = 1.308 cm3 MR = Mpe = Wpe .fy = 307 kNm SECTIONS DE CLASSE

3

Le moment résistant de la section est égal au moment élastique Mee·

EXEMPLES DE DllvŒNSIONNEMENTS SECTIONS DE CLASSES

1 ET 2

- Figure 130 -

MR =Mee= Wet -fy 1 YMO

Le moment résistant de la section est égal au moment plastique Mpt-

Soit un PRS fléchi selon son plan principal d'inertie. La nuance d'acier est S.355. é =

b h

=

360 rrun 22mm 10 mm

• Semelle comprimée :

c

Soit un IPE 400, fl échi selon son plan principal d' inertie. Acier S.235.

ct= 13,5 mm

= 175 rrun = 22 rrun 9e 7,3
t1

=

Donc la semelle est de classe 2

tw = 8,6 mm

• Âme fléchie :

• Semelle comprimée : c = 180 1 2 =90 mm = 13,5 mm c 1 = 6,67 < 10 é = 10

ct

= 0,81

= 1.000 mm

- Figure 129 -

MR=Mp e= Wpe ·fyiYMO YMo= 1

b = 180 mm d = 33 1 mm

·v~ {235 ill

d = 940mm tw = 10 mm 83 e = 67 < d 1 tw = 94 < 124 e = lOO

ct

Donc l'âme est de classe 3.

Donc la semelle est de classe I

La section globale est donc de classe 3 et le calcul sera conduit en élasticité.

• Âme fléchie : d =33lmm tw = 8,6 mm d 1tw = 38,5 < 72 é = 72

Wee = 9.060 cm 3 MR =Mee= Wd .fy = 3 216 kNm

Donc 1' âme est de classe 1 .

218

219

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

SECTIONS DE CLASSE

4

Le moment résistant de la section est égal au moment élastique réduit calculé avec la section réduite, dite "efficace". MR=Meff.fyi'YMI 'YMi = 1, 10

-=~

!

_._/

~

Part1es négligées

- - - · - -·-

L_____/

~

Dimensionnement des poutres fléchies

c) À partir de la valeur de 'V précédemment établie, on calcul l'élancement de l'âme, ce qui permet d'obtenir les largeurs efficaces d'fune [Tableau 5.3.2. de l' Eurocode, reproduit ci-avant page 183].

-f=I'V

- Figure 134 -

- Figure 13 1 -

La procédure particulière de calculs mérite d'être détaillée, car les sections de classe 4 sont des sections "à risque", qui exigent d'être particulièrement examinées.

Procédure de calculs des sections de classe 4 sollicitées en flexion simple

d) On calcule la position du nouveau centre de gravité de la section efficace, qui nous permet de calculer ensuite les modules de résistance élastique Weff de la section efficace complète composée de : • la section efficace de la semelle comprimée, • la section brute de la semelle tendue, • la section efficace de l'âme.

À partir du plus petit Weffi on établit MR =Weff .fy 1'YMl

a) On calcule l'élancement des ailes de la semelle comprimée, ce qui permet d' obtenir la section efficace de la semelle en compression pure (Tableau 5.3.3. de l' Eurocode, reproduit ci-avant page 184]. La semelle tendue reste, bien sûr, efficace dans la totalité de sa section.

- Figure 135 -

-Figure 132-

b) Considérant une section composée de la section efficace de la semelle comprimée et des sections brutes de la semelle tendue et de l'âme, on détermine la position du centre de gravité et on en déduit le rapport algébrique 'V de la contrainte dans la fibre extrême tendue de l'âme à celle de la fibre extrême comprimée de l'âme, avec un diagramme linéaire de contraintes.

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Application numérique Soit un PRS, fléchi selon son plan principal d' inertie et ayant pour dimensions : h = 1 200 mm lw = 10 mm b = 320 mm IJ= 10 mm Acier S.355, donc ê = 0,81

ka= 7,81-6,29 \jf + 9,78 \jf2 = 10,3

~

=

1

vi 57,6 et \jf= - =----0,92 vs 62,4

'V=- 0,92 d'où l'on tire :

\ji=+ 1 d'où ka= 0,43

p

Vs= h 12 +x= 62,4 cm vi = h 1 2 -x= 57,6 cm

c) âmefléchie

a) Semelle comprimée

Â.

Dimensionnement des poutres fléchies

,..-

28,4 ê,.; k(j

=

10 .~ 28,4 x 0,81 x v 0,43

1 180

b

155

= 1' 02

-Â.P > 0,673 d'où p = ti -0 22) \."-p ' Â.2 p

Â. =

1

P

284ed '

= cr

10 = 1,60 28,4 x 0,8lx3,21

- (1,60- 0,22) -0 54

P-

1,62

- '

Soit: p = 0,77

d 118 b ..-= pb = p- = 0,54 x = 320 mm eJJ c 2 2

et b,JF pc= 0,77 x 155 = 120 mm

bel= 0,4 bef!= 130 mm be2 = 0,6 bef!= 190 mm

Y'-· -~

10

• - -

u•__ G_g• -

-

i- - --------_t -- -- fu ___l' -~-- · -s9o-- · -

10

- Figure l 36 -

cr;

b) Calcul de \jf en fonction de x

La position du nouveau centre de gravité G 1 est obtenue en posant l'égalité des moments statiques des sections de part et d'autre de v'v. 2 2 25 (59,5 +x) + <59 + x) = <59 - x) + 32 (59,5 -x) 2 2

D'où l'on tire: x = 2,4 cm

- Figure l 37 d ) Module de résistance efficace Weff

Position du nouveau centre de gravité G2 : (19+d 25 (59,5 + e) + 13 (52,5 + e) + _;___ _ 2 D'où on tire: e = 8,7 cm

' 2 32 (59,5 - e) + (59 - e) 2

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

- Calcul de l'inertie efficace Jeff par rapport à l'axe u : leff= 25 (59,5 + 8,7) 2 + 32 (59,5- 8,7) 2 + 13 (46 + 8,7 + 6,5)2 + 78 +

X

10,32

13 3 + 78 3 + 25 + 32

CHAPITRE 6

12 Ieff= 295 560 cm4

d 2

v5 =-+e=59 + 8,7 =67,7 cm V;=

d 2"e =59- 8,7 = 50,3 cm

W eff minimal =

CONCEPTION ET CALCUL

DES B ÂTIMENTS MÉTALL IQUES

295 560 = 4 366 cm3 67,7

Le moment résistant est finalement :

MR= We[f·fyfyMI MR = 4 366 x 355 x JO- 3 1 1,10 MR= 1410kNm

Les bâtiments métalliques peuvent être de conceptions fort différentes, selon l'application à laquelle ils sont destinés, les contraintes d'exploitation, les contraintes d'environnement, les exigences architecturales, les habitudes des constructeurs, etc.

NOTA:

Nous ne retiendrons que les solutions technologiques les plus couramment utilisées et nous effectuerons les calculs de dimensionnement et de vérification des bâtiments, élément par élément, successivement et dans le sens logique de descente des charges (couvertures, pannes, fermes, poteaux, contreventements, etc.).

Avant l'instauration de l'Eurocode 3, ce PRS aurait été dimensionné en calcul élastique sur la section brute (c'est-à-dire comme une section de classe 3), ce qui aurait conduit au résultat suivant:

La méthodologie des calculs sera la suivante :

- Inertie brute : I = 360 000 cm4 Module de résistance : Wet = 6 000 cm3 - Moment résistant élastique :

MR = Wee .fy IYMO = 2 130 kNm L' Eurocode 3 apporte donc pour ce type de section de classe 4, une minoration, donc une sécurité de 50 %ce qui peut paraître, au premier abord, exagéré ; mais qui en fait ne l'est pas, compte tenu de la très grande instabilité de ce type de section et du nombre de sinistres dont elles sont à l'origine.

- repérage des diverses actions possibles et calculs des combinaisons d'actions les plus défavorables, - calcul des sollicitations correspondantes (efforts normaux et tranchants, moments de flexion simple ou déviée, moments de torsion éventuels), - vérification des résistances des pièces (calcul des contraintes), - vérification des stabilités de forme (déformations, flèches, déplacements).

6.1. CALCUL DES COUVERTURES ET DES BARDAGES

6.1.1 CALCUL DES COUVERTURES Les couvertures équipant la grande majorité des bâtiments métalliques, sont de deux types: - les couvertures en plaques ondulées d'amiante-ciment, destinées généralement aux constructions de bas de gamme (hangars agricoles, dépôts ... ) ;

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

- les couvertures eu bacs acier nervurés (éveutuellemeut aluminium), plus onéreuses, mais présentant de multiples avantages, qui font que ce mode de couverture est le plus répandu.

Conception et calcul des bâtiments métalliques

LES COUVERTURES EN BACS ACIER NERVURÉS

n s'agit de bacs nervurés, en acier galvanisé, généralement vrélaqués, et de grandes dimensions :

Ces produits étant entièrement standardisés, ou ne les calcule plus. Les fabricants ont calculé une fois pour toutes les différents profils et out récapitulé les résultats dans des tableaux ou sur des abaques. La détermination du profil recherché adéquat se fait donc par simple lecture.

- largeur = 1 rn environ ; - longueur jusqu'à 12 rn couramment; - épaisseurs courantes: 75/100 et 10110 mm.

LES COUVERTURES EN AMIANTE-CIMENT Les plaques ondulées en amiante-ciment ont pour avantages principaux : - une bonne résistance au vieillissement, du fait de leur insensibilité à l'humidité; - leur incombustibilité ; - une grande stabilité dimensionnelle (dilatation et flèches minimes) ;

En revanche, elles nécessitent : - une pente minimale de toiture de 9%; - 1' adjonction de cordons d'étanchéité dans tous les cas, pour pente inférieure à 16% ; - un recouvrement de plaques de 20 cm ; - un entraxe de pannes faible, de 1,00 rn à 1,38 m maximum (à l'exception des maxi-plaques qui vont à 2,25 rn). Enfin, leur aspect architectural est médiocre, leur poids élevé (18 daN/m2) et leur résistance aux chocs limitée (risque de rupture brutale). Les plaques standards les plus courantes figurent daus le tableau suivant, et conviennent pour toutes régions de neige, jusqu'à 900 mètres d'altitude. Couuaissant le site de construction, on calcule la surcharge de neige extrême Se et on en déduit le type de plaque à utiliser, ce qui détermine alors l' entraxe des pannes. Longueur nominale Nombre Portée des plaques Surcharge admissible des plaquas (m) d'appuis (= entraxe pannes) (daN/m 2)

Format spécial

La portée des bacs (continus ou non), qui détermine 1' entraxe des pannes, est obtenue: - en fonction des charges sollicitant les bacs (charges climatiques, charges de montage, isolation, étanchéité ... ) ;

- un coût modique.

Formats courants

Les bacs de faible longueur peuvent porter sur 2 pannes (calcul isostatique). Mais la plupart du temps, les bacs sont utilisés en grande longueur (économie de temps et de main-d'œuvre à la pose) et portent, de ce fait, sur 3 ou 4 appuis. Ils sont alors calculés en continuité et présentent des flèches réduites.

1,52 2,50 1,25

2 3 2

1,38 1,18 1,11

308 425 480

2,50

2

2,25

308

en fonction du profil des bacs. Les fabricants proposent divers profils, correspondant à divers moments d'inertie (variables en fonction de l'épaisseur de la tôle, du pas des nervures et de la hauteur des ondes). Tous les bacs sont dimensionnés pour présenter une flèche maximale inférieure à 11200 de leur portée, et pour supporter une charge minimale de 100 daN/m2 , qui correspond au poids de deux hommes et de leurs matériels (eutretieu ou travaux sur la toiture). Les bacs peuvent être posés tels quels, en couverture sèche (si p > 5 %) ou bien recevoir une étanchéité, généralement multicouches. Les pentes, modes de fixation et recouvrements sont, bien sûr, réglementés (fixations par boulons-crochets ou vis autotaraudeuses). Leur grande rapidité de pose et leur faible poids (environ 10 daN/m 2) en font un mode de couverture particulièrement adapté aux constructions industrielles métalliques. Le choix d'un profil de bacs s'effectue par simple lecture des tableaux proposés par les fabricants, en fonction des charges à supporter et des portées (continues ou non), selon le modèle ci-dessous. La fiche technique, page suivante, permet de choisir le txPe et la portée du bac en fonction des surcharges de neige.

Ce type de couverture est réglementé par le D.T.U. 40.31.

227

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Conception et calcul des bâtiments métalliques

Bande de solin

Profil

Critère Flèche

Épaisseur

Poids kg/m 2

Nombre d'appuis

Portée(en m) pour une charge (daN/m 2) de :

Rive con !Te mur 112 faitièro à boudin

100 115 125 150 175 200 250 0,75

6,74

2 3

2,45 2,35 2,30 2,15 2,05 1,95 1,80 2,95 2,80 2,70 2,50 2,35 2,20 1,95

f. 11200

1,00

8,99

2 3

2,70 2,60 2,55 2,40 2,25 2,15 2,00 3,25 3,10 3,00 2,80 2,70 2,50 2,25

0,75

6,74

2 3

2,15 2,05 2,00 1,85 1,70 1,65 1,50 2,60 2,45 2,35 2,20 2,05 1,95 1,80

1,00

8,99

2 3

2,35 2,25 2,20 2,05 1,95 1,85 1,70 2,95 2,80 2,70 2,50 2,30 2,20 2,00

Plein

Bande de rive

Embout Failière ven~tée

f. 1/300

Capot d'aération (chatière)

Appareils série Lumidomo-

Fumlm;;~t-

Fumldonc

Chevêtre

-Figure 138-

- Figure 139 Couverture Boes Acier el Accessoires (Documenlolion Sol/oc)

6.1.2. CALCUL DES BARDAGES Les bardages, dont la fonction est le remplissage des façades, sont généralement réalisés en bacs acier (éventuellement en plaques fibro-ci.Jp.ent, si la couverture est ainsi réalisée). Constitués d'un simple parement de tôle nervurée, ils sont dits : simple peau. Constitués de deux parements, ils sont dits "double-peau". Dans ce dernier cas, les deux parements peuvent être posés à nervures croisées (avec isolation intercalaire, en

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Conception et calcul des bâtiments métalliques

laine de verre par exemple) ou à nervures parallèles (avec isolation par mousse rigide de polyuréthane injectée, qui solidarise les deux parements).

rive

Bardage simple peau

Bardage double peau

- Figure 140 -

Selon les cas, les rigidités des panneaux sont très différentes, et donc leurs portées également. Les tableaux de calculs donnés par les fabricants sont donc différents pour chaque type de bardage, et sel0n que le bâtiment est ouvert ou fermé. Les portées admissibles des bacs de bardage nécessitent des ossatures secondaires pour les porter, constituées soit par des lisses horizontales, soi t par des potelets verticaux, qui transmettent les efforts du vent à la structure. La conception, le profil et le calcul d'un bac de bardage sont analogues à ceux d'un bac de couverture. EXEMPLE DE DIMENSIONNEMENT D'UN BARDAGE SIMPLE-PEAU

Charges admissibles en daNfm2

.z::

:x

....

.z::

:x

Dépression

Pression

Portée

Dépression

Pression

épaisseurs en mm

épaisseurs en mm

(m)

épaisseurs en mm

épaisseurs en mm

0,75 228 170 131 104 86 71 60

0,63 268 185 132 106 87 73

0,75 201 153 .10 24 68 55 46

0,75

0,63 197 143 102 80 64 52

1,60 1,80 2,00 2,20 2,40 2,60 2,80 3,00 3,20 3,40 3,60

182 146 11 9 100 85 73 63 53 46

0,63 193 157 129 107 91 78 66 57 49 43

0,75 188 157 134 116 102 89 77 67 59 52

0,63 174 141 120 108 98 89 80 71 63 56

- Figure 14 1 -

2.31

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

6.2. CALCUL DES PANNES 6.2.1. ASPECTS TECHNOLOGIQUES

Conception et calcul des bi§timents métalliques

charge t perpendiculaire à l'âme, qu'il convient de bien prendre en compte, afin d'éviter tout risque de déversement latéral;

_ à une charge oblique W, due au vent (pression ou succion), appliquée perpendiculairement au versant, donc parallèlement à l'âme de la panne.

n conviendra donc de calculer, lors du dimensionnement d'un profil de panne, deux Les pannes, qui ont pour fonction de supporter la couverture, sont disposées parallèlement à la ligne de faîtage, dans le plan des versants.

moments de flexion distincts, selon les deux plans principaux d'inertie du profù.

Disposées à entraxes constants, elles sont jumelées au faîtage (pannes faîtières) et peuvent être renforcées en rives pour reprendre des efforts horizontaux dus au vent (pannes sablières). Leur portée correspond à l'enrraxe des fermes (travées) et leur entraxe est déterminé par la portée adrrùssible des bacs de couverture. Dans la majorité des cas, les pannes sont constituées de poutrelles laminées IPE, leur poids moyen ramené au m2 de toiture oscillant aux alentours de 5 à 7 daNfm2 Elles peuvent être également réalisées en profùés minces (tôles pliées à froid), en section de Z, U ou 2:. Les pannes sont posées sur les fermes et assemblées par boulonnage. Les appuis sont considérés libres et articulés. Pour éviter leur glissement à la pose ou leur basculement, du fait de la pente des versants, elles sont assemblées aux fermes par l'intermédiaire de pièces en équerre (échantignoles), selon la figure ci-dessous.

- Figure 143 -

6.2.3 PRINCIPE DE DIMENSIONNEMENT Les pannes sont dimensionnées par le calcul pour satisfaire simultanément : - aux conditions de résistance, - aux conditions de flèche.

-Figure 142 CONDITIONS DE RÉSISTANCE

6.2.2 DÉTERMINATION DES SOLLICITATIONS Compte tenu de la pente des versants, donnée par la pente des fermes ou traverses de portiques, les pannes sont posées inclinées d ' un angle a et, de ce fait , fonctionnent en flexion déviée. Les pannes sont en effet sownises :

- à des charges verticales (poids propre de la panne et du complexe de couverture, neige, charges accrochées éventuelles), dont la résultante, ramenée en charge linéique, n, se décompose en une charge f parallèle à l'âme de la panne et une .

232

ll suffit de vérifier, après avoir calculé le moment de flexion Mx dû aux charges/ et w et le moment de flexion My, dû aux charges t, que les contraintes de flexion of, et ofy, correspondant à ces moments, satisfont à :

of,+ ofy
CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Conception et calcul des bâtiments métalliques

liernes sont des tirants, qui fonctionnent en traction et qui sont soumis à des efforts croissants, au fur et à mesure qu ' ils se rapprochent du faîtage.

C'est pourquoi, lorsqu'un proft.l de panne a été déterminé par la condition de résistance et que la condition de flèche n'est pas vérifiée, deux solutions sont possibles:

Les efforts de traction sollicitant les liernes ne peuvent pas être attachés aux pannes faîtières, qui périraient transversalement. ils sont donc transmis aux portiques par des tirants en diagonale (schéma ci-dessous).

_ soit adopter une section de panne supérieure, mais on augmente nettement le poids d'acier, donc le coût, - soit conserver la section initialement calculée, et doubler sa longueur. Dans ce cas, la panne ne porte plus sur deux appuis et n'est plus isostatique. Elle porte sur trois appuis en continuité, et la flèche initiale se trouve ainsi réduite à plus de 60 % et devient admissible, cela sans changer la condition de résistance puisque dans les deux cas, le moment maximal reste égal à p . P 1 8, au signe près (voir diagrammes dans le tableau ci-après). Cette seconde solution est économique, puisqu'elle n'augmente pas la co nsommation d'acier. Elle n' est cependant possible que si la longueur des pannes ne dépasse pas une dizaine de mètres (risques de torsion et de déversement à la pose) et elle nécessite de disposer les joints de pannes en quinconce sur les portiques, du fait des valeurs différentes des réaction d' appui.

6.2.4. MÉTHODES DE CALCUL DES PANNES EN FLEXION DÉVIÉE L

r---

CALCUL EN ÉLASTICITÉ (SECTIONS DE CLASSE

lierne

LI- - --L- entretoise faîtière

-

3)

Après avoir déterminé les moments de flexion maximaux selon les deux plans principaux d' inertie de la panne, on obtient les contraintes de flexion correspondantes crfy et crfz selon :

et on vérifie que :

1

~

Par ailleurs, on doit vérifier la condition de flèche :

1

-Figure 144 -

f-5, 1/200

En cas d'effort axial N, il faut vérifier que : CONDITIONS DE FLÈCHE

_!!_ + __ + __z_ < J[MJ (A .fyd )[ wyM .fyd wz .fz.d . Y_

Les pannes ne doivent pas, réglementairement, présenter de flèche supérieure au l/200 de leur portée, sous l'application des charges maximales, mais non pondérées, afin d'éviter tout désordre éventuel au niveau de la couverture et de l'étanchéité. Cette condition de flèche est une exigence, qui est très souvent déterminante dans le dirnensionnement des pannes, car plus défavorable que la condition de résistance.

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

CALCUL EN PLASTICITÉ (SECTIONS DE CLASSES

Conception et calcul des Mtiments métalliques

1 ET 2) 1. Sollicitations dans le plan d'inertie maximale

S'agissant de flexion déviée (biaxiale), il faut vérifier que : 0,5pf __ MY_

( Mpl.y

Ja + (__ Mz_Jp< 1 _ Mpt.z

Réactions d'appuis

t LS

- section en l et H : 0:=2 ~=Sn~!

Moment de flexion maximum

tt

'\1111111\

t

z:,

C.LS

e

~

où a et ~ sont des constantes qui placent en sécurité si elles sont prises égales à l'unité, mais qui peuvent prendre les valeurs suivantes :

0,5 pf 0,375 pf

0,5 pf 0,5 pf

p

Flèches maximum

- profùs creux rectangulaires a=~= 1,66/(1-1,13 n2)::;6 avec n = N 1 Npl

~~ Mmax -

~ 2

5

fo= 384

~

pt4

_ + __Y_+ __z_
(SECTIONS DE CLASSE

4)

Le développement actuel des profùs minces en tôle pliée, utilisés en pannes, exige une vigilance particulière au niveau des calculs, du fait de leur instabilité. il convient notamment de vérifier : la stabilité au déversement, auquel ces profùs sont très sensibles (pose quasi systématique de liernes) ; - la stabilité au voilement des âmes.

pf2 Mmax=- -8-

~~ M=~pf2 128

~l'>~ y

= .!.._ El

e' 8

rf3x-

px"J

pb?+ 16 24

48

8

e, SOit.

t. _ 2,o5 ~ =0 4 1f. < _e_ 0 0 -

384

El

'

2. Sollicitations dans le plan d 'inertie minimale

p' Panne sans lierne

~ e

Panne avec une lierne à mi-portée

Panne avec deux lie mes aux tiers de la portée

p' f2 Mmax=-8

~

L

~!)'C? r- ·1· ·1 f /2

CAS PARTICULIER DES PANNES EN T6LE PLIÉE

t

z:,

....]

Ymax pour x= 3-

Les pannes soumises à un effort N sont les pannes adjacentes à un pignon (situées en travée de rive) ou des pannes formant montants des poutres au vent, qui transmettent des efforts normaux dus aux efforts du vent sur les pignons de bâtiment.

(NptN)(MJ(MJ Mpt.y Mpl .z

t

Q,

e

El< 200

0,375 pf

l'>

e

+----f...-3

La majorité des pannes ne sont soumises à aucun effort normal N. Dans ce cas, N=OetP= 1.

On peut également utiliser un autre critère de vérification des pannes en flexion biaxiale (avec ou sans effort axial N), qui procure une sécurité supérieure et qui est le suivant:

t

{<;

~

8

- tubes circulaires : a=2 P=2

1,25 pf

p' f2 Mmax.=-32

f/2

lJ.C?{}<ç:::;>-0-c::::;;z:, r-fl3.,1,.fl3+fl3..j

- Figure 145 -

p' f2 Mmax.=-n

200

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Le critère de vérification devient :

Conception et calcul des bâtiments métalliques

P = 1,35 G + 1,50 Q P = 1,35 (14 +6) + 1,50 x 34 = 78 daN/m2

Les bacs acier de couverture étant posés en continuité, la charge linéique maximale sur les pannes, du fait de la réaction hyperstatique est : p = 1,25 x 78 x 2,50 = 244 daN/ml

où

Aeff

est 1' aire de la section efficace de la section transversale déterminée en supposant cette dernière soumise à la compression seule,

Weff

est le module élastique de la section efficace de la section transversale déterminée en supposant cette dernière soumise à la flexion seule (dans le plan principal concerné),

e

décalage du centre de gravité de la section efftcace par rapport à celui de la section transversale brute, dans le cas de la compression seule (e = 0 si la section transversale brute est bissymétrique).

YMl

coefficient partiel de sécurité sur la résistance pris égal à 1, 1.

Le moment maximal à mi-portée des pannes vaut, à l'É.L.U. : pR2 2 M=-=2,44x8 =19,5kNm 8 8

S'agissant d'une section de classe 1, le calcul en plasticité est admis. M ~ Mpey = Wpey .fy 1 YMO

avec YMO = 1

19,5 x 103 = 83 cm3 235

Soit: (Cf chapitre 5.2.) ce qui correspond à un IPE 140.

- Vérification de la condition de flèche à l'E.L.S.

6.2.5. EXEMPLES D'APPLICATION EXEMPLE

1 : FLEXION

n faut vérifter : f = - 5 384

f4 f --~ El 100

Po·

SIMPLE Po étant la charge globale"sèche", c'est-à-dire non pondérée, soit:

Dimensionner des pannes de couverture de 8 rn de portée, posées à un entraxe de 2,50 rn, sachant qu ' elles sont soumises aux charges suivantes:

PO= 1,25 (14 + 6 + 34) x 2,50 = 169 daN/ml

- charges permanentes : ·c = 14 daNfm2

ou encore:

- charges variables : Q = 34 daN/m 2 Pente du versant = 3 %

1'2 200 - 5-pf3 384 E

Acier des pannes= S.235

/'2 1 000 x 1,69 x 8003 = 1 070 cm4

384 x 2,1 x 106 La pente du versant est très faible et peut être assimilée à une pente nulle. Le calcul sera donc conduit en flexion simple sous My (avec Mz = 0). Les liernes sont ici inutiles et les pannes seront calculées en travée indépendante, isostatiques sur deux portiques (des pannes de 16 mètres, sur trois' appuis, n'étant pas concevables, même avec rabou tage par éclisses). Le poids propre des pannes est généralement estimé à 6 daNfm2 , ce qui conduit à une charge totale pondérée de :

ce qui correspond à un IPE 180 - Calcul en élasticité

Wee Y '2 M = 83 cm3

!y

ce qui correspond à un IPE 160.

239

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

- Conclusion :

Conception et calcul des bâtiments métalliques

Soit :

• calcul plastique (à l'É.L.U.) : IPE 140 • calcul élastique (à l'É.L.U.): IPE 160 • vérification flèche (à l'É.L.S.): IPE 180 C'est bien sûr la condition no 3 qui est la plus contraignante et qui dimensionnera les pannes : IPE 180. (D est bon de souligner que c'est souvent la condition de flèche qui dimensionne le profil des pannes, et que les calculs en plasticité sont généralement superflus). EXEMPLE

2 : FLEXION DÉVIÉE (OU BIAXIALE)

Soit un portique recevant cinq pannes par versant, de 5 mètres de portée, posées à un entraxe de 4 mètres. La pente du versant estp =tg a= 10 %. Les charges sont: - couverture bacs acier (posés en continuité sur trois appuis), isolation et étanchéité multicouche = 26 daN/m2 - sous-plafond suspendu = 4 daN/m2

A. Calcul en élasticité - Charges permanentes : Le poids propre des pannes étant estimé à 6 daN/m2, on a : G = 6 + 24 + 4 = 36 daN/m2

- Charges variables : Sn = 45 daN/m2 Wn = 60 daN/m2

Se = 75 daN/m2 We = 105 daN/m2

- Combinaisons d'actions: 1,35 G + 1,50 Sn= (1,35 x 36) + (1,50 x 45 x cos a)= 115 daN/m2 G +Se= 36 + 75 = Ill daN/m2 G- We = 36- 105 =- 69 daN/m2

La première combinaison est la plus défavorable. La charge maximale sur les pannes, compte tenu de la continuité des bacs acier, vaut :

- vent normal (soulèvement) Wn = 60 daN/m2

n = 1,25 x 115 x 4 = 575 daN/ml La décomposition den selon les deux axes zz' et yy ' conduit à (figure 146) :

Dimensionner les pannes courantes sous sollicitation de flexion déviée. Acier 5.235.

f= n cos a= 570 daN/rrù

Le problème étant de déterminer la section des pannes, la classe de la section est bien sûr inconnue, ce qui ne permet pas de préjuger si l'on peut conduire les calculs en plasticité (classes l et 2) ou en élasticité (classe 3).

t = n sin a= 57 daN/ml

\Z

Un calculateur, tant soit peu expérimenté, sait que les profùs de pannes, pour un cas courant comme celui-ci, dépassent rarement le calibre IPE 200. Il s'agit donc d' une section de classe l, sous les sollicitations envisagées, autorisant

la plastification de l'acier. Cependant, beaucoup de concepteurs, de calculateurs et de maîtres d'ouvrage choisissent délibérément un calcul de pannes en élasticité, afin de se ménager une sécurité accrue. Les pannes sont en effet des profùs très souples, donc très déformables, qui sont à l' origine de nombreux désordres de couverture [notamment sous accumulation ou charges de neige exceptionnelles], tels que déchirures de bacs, arrachement d'étanchéité ... Nous allons donc examiner les deux types de calculs. Nous ne parlerons pas des sections de classe 4, qui concernent les profils minces en tôle pliée à froid , qui sont particulièrement instables et qui sont à déconseiller.

- Figure 146 -

1. Pannes isostatiques, sans liernes

fl2 M =-=17,8kNm y

8

tf2

M,= S = l,ï~ kNm

240

241

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Par tâtonnement successifs, on détermine le profil minimal nécessaire, qui est ici un IPE 180, pour lequel: Weey = 146 cm3 et Weez = 22,2 cm 3

Conception et calcul des bâtiments métalliques

_ Calcul des liernes :

Les contraintes de flexion sont :

Faîtière

cr - 17,8 x 103 = 122 MPa

1)<>( : ·--,

146

y

i

cr = 1,78 x 103 = 80 MPa z

22,2

T•

T3

cr= cry + crz = 202 MPa < fy

= 235 MPa

L3
::J

0"

:;: 0

Q_

2. Pannes continues sur trois appuis, sans liernes : mêmes valeurs que ci-dessus.

'-2

3. Pannes isostatiques avec une lierne à mi-portée L,

t(~)2

j(2 2 M y =8- = 17 ' 8 kNm et M l = - 8-

= 0 ,5 kNm

Sablière

- Fi9ure

ce qui conduit à un IPE 160.

147-

- Effort de traction dans le tronçon de lierne L,, provenant de la panne sablière : 4. Pannes continues sur trois appuis, avec une lierne à mi-portée :

e

t T 1 = 1,25 --= 156 daN 22

mêmes valeurs que pour le cas 3.

- Vérification des conditions de flèche Pour le calcul des flèches, les charges (non pondérées) à prendre en compte sont si 1' entraxe des pannes est d :

- Effort dans le tronçon

~

:

f= 1,25 (G +Sn cos a) d cos a= 400 daN/nù t = 1,25 (G +Sn cos a) d sin a= 40 daN/ml

- Effort dans le tronçon L3 :

li s'agit de vérifier, dans tous les cas, que [_ < - 1- . Soit : e 200 Cas

Flèche suivant zz'

Flèche suivant yy' (")

Profil retenu

!f _...!._

IPE 180

T4 =460 daN

IPE 180

L'effort maximal étant de 780 daN, le système de liernes aura pour section:

1

!J.. _ _§_~_J.... e -384 Efx- 440

!z.__§_

2

!t

[a _ _!_

3

!t.2... l -440

4

e x 0 .4

!t

__1_ 1

-1 ooo

e -384 Et

e -2oo

__1_ ooo

- Effort dans les diagonales L4 :

A= 780 1 23,5 = 33,2 mm2 (soit tige <)l 8).

!2.x041~ ...!....

500

IPE 160

!2.e x0,41=soo 1

IPE 160

l

e x 0 •41 -1

_200

'

~

r) : La !lèche transversale selon yY est en réalité nulle, car gênée par le plan de couverture , qui est vissé sur les pannes at tient lieu de plan de contreventement transversal

242

D est évident, que les solutions 3 et 4, avec liernes, ~orit plus économiques (gain de 5 à 8 %en général).

Conception et calcul des bâtiments métalliques

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCOOE 3

B. Calcul en plasticité _M _ Y_

[ M pi . y

EXEMPLE

Vérifier la résistance d'une panne IPE 240 (acier 5.235), située dans une travée de rive (poutre au vent) et soumise aux sollicitations simultanées suivantes :

-

Dans notre cas, sans effort normal , on a N = 0,

a. = 2 et ~ =

1. Soit :

- Cas 1 et 2:

(effort normal de compression engendré par la poussée du vent sur le bardage).

=39,lcm 2 =A .fy = 920 kN Wpi y = 366 cm3 Wpe z = 73 cm 3

A

Npe

J

( :~sr +C·: ~ 1 8

0,38 + 0,30 = 0,68 ~ 1

- Critère d'interaction de l'effort axial Aw =A-2btt= 15,6cm2 Aw ·fy = 366 kN N >min [0,25 Npe; 0,50 An . f y] N= 300 >min [ 230 kN; 183 kN] L'interaction de l'effort axial est à prendre en compte et il faut donc vérifier que:

- Cas 3 et 4:

My= 17,8 kNm

Mz = 0,5 kNm

Un profil IPE 140 est suffisant:

x 235 x 10-3 = 24 kNm

+ (~Jp < 1 (.!!.z_Jo. MNy MNz

Mpe z = 19,0 x 235 x 10-3 = 4,5 kNm

c:~8r + (~:~J ~ 0,72 + 0,11 = 0,83

~

1

avec

a.

=2

1

- Vérification des conditions de flèche : Cas 1 2 3 4

(moments de flexion engendrés par le poids propre et la neige).

La section est de classe 1, donc le calcul en plasticité est admis.

Mpe z = 25,8 x 235 x 10-3 = 6 kNm 1

}

Mz=llkNm

Mpi y= 123,8 x 235 x 10-3 = 29 kNm

Mp e y= 88,4

N = 300 kN My=50kNm

My= 17,8kNm M,= 1,78 kNm Un profil IPE 160 est suffisant :

Soit:

FLEXION COMPOSÉE DÉVIÉE

(ou flexion composée biaxiale)

Jo. + [__ Mz_Jp < 1 M pi . z

3:

Profil IPE IPE IPE IPE

a vérifier 160 160 140 140

N 300 et ~ = 5 . =5.= 1,63 Npe 920

- Calcul de MNy -

f

e

1/300 1/650 1/300 1/650

l

selon zz' 1

<-

200

Le calcul en plasticité permet de réduire la section des pannes. Dans notre cas, le fait de passer des profils IPE 180 et 160 à des profils IPE 160 et 140, apporte un gain d'acier d'environ 1 daN/m2 sur le poids des pannes, soit une économie globale d'environ 5 %sur le coût de la charpente.

1 - _!!__ Npe M -M Ny- pfyl-0,5a avec a = Min [Aw 1 A ; 0,50] Awf A= 15,6/39,1 =0,4 Donc a= 0,4 Mpey= Wply·fyi'YMO Mpe y = 366 x 235 x 10- 3f1 ,0 = 86 kNm

MNy

=86

1-300 920 1-0,5 x 0,4

72 kNm

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

- Calcul de MNz :

Conception et calcul des bâtiments métalliques

§ 12 : vérifier le critère

N

M

M

Npe

Mpey

Mpez

-+--Y-+_z_:5 1 300 + 50 + .!.!. :5 1 920 86 17

Mpe z = Wpe z ·f/YMO Mpe z = 73 x 235 x lQ-3/1,0 = 17 kNm

On voit bien que les deux critères 'simplificateurs placent beaucoup trop en sécurité (respectivement + 38 % et+ 61 %) et deviennent absurdes .

2

300 - 0 4] ]

MNz =17 [ 1- [

9 0

~ - O,~

0,33 + 0,58 + 0,65 = 1,56 > 1

=17,3 kNm

Or, il faut que MN :5 Mpe• donc MNz = 17 kNm - Vérification de la résistance de la panne :

En effet, pour vérifier le dernier, il faudrait adopter une panne de profil IPE 300, pour laquelle : 53,8 cm2 Wpe y = 628 cm 3 Wpez = 124 cm 3

A

(~~r + c~ r63 :51

ce qui conduit à :

0,48 + 0,49 = 0,97 :5 1 vérifié

Mais le choix d'un IPE 300 (poids= 42,2 kg/ml) au lieu d'un IPE 240 (poids= 30,7 kg/ml), conduit à un surcoût inutile et aberrant de (42,2- 30,7) 130,7 = 37 %.

0,25 + 0,34 + 0,38 = 0,96 :5 1

La panne IPE 240 est acceptable.

Il faut donc éviter ces "recettes faciles" du règlement, qui pourtant en est truffé.

NOTA: L' Eurocode 3 propose systématiquement, dans chaque chapitre, des formules ou des critères de vérification, qui paraissent séduisants, car : - les calculs sont raccourcis et il y a gain de temps,

6.3. CALCUL DES PORTIQUES AVEC TRAVERSES À ÂME PLEINE

- ils sont simples d'emploi, - ils placent en sécurité.

6 .3 .1. CONCEPTION TECHNOLOGIQUE

En revanche , ils sont assez grossiers, très approximatifs et surdimensionnent les sections, ce qui conduit à des solutions onéreuses, donc à rejeter. Vérifions-le brièvement dans le présent exemple de calculs. L' Eurocode 3 propose ici deux critères simplificateurs (chapitre 5.4.8.1., § Il et 12) : - § Il : prendre

G~

Leur conception technologique est variable, en fonction notamment :

o: = ~ = 1

r c~ r +

Les portiques, qui constituent l'ossature principale des bâtiments, sont composés de fermes (ou traverses) , qui supportent les pannes, et de poteaux, qui supportent les fermes.

- de leur portée,

= 1,34 > ,

- du schéma statique retenu pour la structure (qui dépend de la nature du sol, de l'existence ou non de ponts roulants, de la nature des équipements secondaires, etc.),

246

247

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

- des pratiques ou des systèmes de fabrication des constructeurs. Les portiques à âme pleine peuvent être constitués : - soit de proftls à inertie constante, généralement des poutrelles IPE (figure A), - soit comporter, en sus, des renforts au niveau des moments maximaux : jarrets aux appuis sur poteaux et clés de faîtage en milieu de travée (figure B), - soit de profils à inertie variable, reconstitués soudés, PRS (figure C).

y 1

Conception et calcul des biitiments métalliques

Les profils à inertie constante, avec renforts dans les zones les plus sollicitées, sont les plus couramment utilisés. Cependant, pour les grandes portées, les PRS à inertie variable sont préférables, car ils permettent d'ajuster les sections aux sollicitations, alors que les laminés normalisés n'autorisent pas cette précision, du fait de la discontinuité des sections normalisées et de leur épaisseur d'âme généralement surabondante, qui grève le poids, donc le coût. En comparaison des pièces à treillis, les portiques à âme pleine ont les avantages : - d'être moins onéreux (sauf pour de très grandes portées), - d'être moins encombrants (transport et manutention facilités, volume intérieur de bâtiment moindre, donc économie de chauffage, etc.), - d'être plus esthétiques, - d'être plus simples (assemblages simples par platines et boulons HR, entretien et peinture moindres, etc.).

A

SCHÉMAS STATIQUES Les principaux schémas statiques peuvent être regroupés en deux catégories : - pieds de poteaux articulés - pieds de poteaux encastrés.

8

ils sont récapitulés dans le tableau ci-après. il faut bien savoir que plus les structures sont de degré d'hyperstaticité élevé, plus elles sont stables, rigides et indéformables, mais plus leur coût est élevé (poids d' acier supérieur et temps de main-d'œuvre supérieur, tant en fabrication qu'au montage). On peut donc se contenter de structures isostatiques (A3 et El), sauf dans les cas où des exigences particulières imposent des structures rigides, ne tolérant que de très faibles déformations (ponts roulants, façades vitrées, problèmes de vibration ... ). Le schéma A4 reste le plus utilisé de tous.

-Figure 148 -

248

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Conception et calcul des bàtiments métalliques

Schémas statiques des portiques

Détails de liaisons :poteaux et traverses Encastrement poteau 1 traverse

Degrés de stabilité (croissants des indices 1

Schémas

en

•Q)

:; u

·-e

<1l

x

::::1

<1l

Q)

ëc. Q)

-a en -a Q)

ë:

en

-~

ûi <1l

u

c

Q)

x

::::1

<1l

Q)

ëc. Q)

-a en -a Q)

ë:

r:--r r:--r

~

r:--r

HypM•>ioaé} Instabilité

Hypostaticité de degré 1

Faîtage traverse lsostaticité

Hyperstaticité de degré 1 Pied de poteau articulé

Pied de poteau encastré

lsostaticité

~

Hyperstaticité de degré 1

~

Hyperstaticité de degré 2

~

Hyperstaticité de degré 3

,.

4)

de degré 2

~ ,..

à

0

-Tableau 149- Figure 150 -

250

251

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

6.3.2 CALCUL DES SOLLICITATIONS

Conception et calcul des batiments métalliques

Coefficient de rigidité de l'encastrement en B et D : .e

La détennination des sollicitations globales affectant les portiques exige un calcul par étapes de toutes les sollicitations élémentaires, engendrées par les diverses actions : charges permanentes, charges d'exploitation, neige, vent sur longpan, vent sur pignon, vent au soulèvement. .. Il s'agira ensuite de repérer les combinaisons d'actions les plus défavorables , pour déterminer les sections des profils des pièces.

cos a.=- sin a= l

2S

s

Nous allons exprimer le déplacement horizontal 1'>. de la structure, engendré par l'effort horizontal HA, selon le théorème de Castigliano, et écrire qu'il est nul, du fait de la symétrie de la structure et des charges. Soit :

Nous allons effectuer le calcul détaillé d'une sollicitation élémentaire: sollicitations sous charges verticales (charges permanentes ou neige). Les autres sollicitations étant déterminées par la même méthode, nous n'en effectuerons pas les calculs.

1'>.

=f

MdM ds=O EldH

ABCDE

Nous donnerons les résultats finaux regroupés dans un tableau, sous forme de formulaire. CALCUL DES SOLLICITATIONS SOUS CHARGES VERTICALES

Déplacement 11[ sur le tronçon AB : En un point du poteau AB, d'ordonnée y, le moment vaut : M = H . y, soit :

(CHARGES PERMANENTES OU NEIGE)

dM =y et 1'>.1 =f dH

Soit q la charge Linéique sur la traverse. Les moments et réactions d'appui verticales et horizontales sont représentés sur la figure ci-dessous. y

1'>.1 =

-'-f

h

Elm

h

Hy . y . dy Elm

0

Hy 2 dy= _1_ . Hh3 Elm 3

0

q

Déplacement l12 sur le tronçon BC:

~

-------------------------------E ~

h

·LE ~ Figure 151 -

1

En un point de la traverse BC, situé à une abscisse x, le moment vaut : x 2 cos2 a. M = H (h +x sin a.) + q Vx cos a. 2

dM . . -=h+xsma. etl'>. 2 s'écntalors : dH

1

1'>.2 = -

EI,

f

s[

H(h+xsin a.) +x2 qcos2 - - a. - Vx cos a.] (h +x sin a.) dx 2

0

qui s'écrit encore, tous calculs faits , et en posant sin a.= f 1 set cos a.= .e 1 (2 s):

253

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Conception et calcul des batiments métalliquas

Déplacement total b. En écrivant que b. = !J. 1 + !J.2

=0, on en tire :

• Cas de charge A (charges permanentes G ou neigeS)

qui se réduit à l'expression suivante, en introduisant le coefficient de rigidité de l'encastrement K : H

qf2

8h+5j

32 h 2 (k

+ 3) + f(3h + !J

D'où l'on tire:

-H _qf2 HA- E- 32

MB=MD=-Hh

qf2 Mc=--H(h+ !J

8

qf VA= VE=-

Ma= Mo=-Hh

Mc=

8h+5f

fr2 (k+3) + f(3

=H h+ f)

qf2

S- H(h+ f)

2

• Cas de charge B (Vent Wau soulèvement)

AUTRES SOLLICITATIONS Une même démarche de calculs conduit à la détermination des autres sollicitations élémentaires. Les diagrammes qui suivent, représentent les principaux cas de figure.

A HA-

6!-VA------------------y

H-H-_qf2 A- E32 Ma= Mo=+ Hh

qf2 . Mc=- + H (h + f) 8

- Figure 152 -

254

8h+5f

fr2 (k+ 3) + f (3 h + f)

=H

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES METALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Conception et calcul des bâtiments métalliques

• Cas de charge C (Vent horizontal W- Pression)

• Cas de charge E (Vent horizontal W- Succion)

H _ E-

Ma =

q li-

5 kh + 6 (2 h + f) 16 tf- (k + 3) + f (3 h + f)

q/i-

2

H __ E-

Ma=-

- HE. h

• Cas de charge D (Vent horizontal W- Succion)

q li-

5 kh + 6 (2 h + f) 16 tf-(k+3)+f(3h+f)

qli-

2

• Cas de charge F (Effort transversal de pont roulant)

------------------------~~~HE

LE H _ A-

q li-

5 kh + 6 ( 2h + f) 16 tf-(k+3)+ f(3h+ f)

qli-

Mc=-4 +HA (h + f)

-Figure 153 -

+HE. h

- Figure ]54 -

257

Conception et calcul des blitiments métalliques

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Notas sur approximations de calculs • Cas de charge G (Effort vertical de pont roulant)

a) efforts du vent sur les versants

q

- Figure 156 -

f- c VA=P -fHA=HE=3PC k(fi2-il)+h(2h+f) 4h fi2 (k + 3) + f (3 h + f)

Les sollicitations engendrées par les efforts du vent sur les versants sont très faibles en comparaison des sollicitations dues au vent sur les façades (de l'ordre de 1 %). Elles sont donc négligées dans les calculs. H

b) efforts du vent au soulèvement MP1 =- H. a MP2 =P . C-H.

a

Ma= P . C-H. h

Mc=

PC

2

- Figure 157-

-H(h+f)

Les efforts dus au vent ascensionnel agissent perpendiculairement aux versants de la toiture (figure A). Par souci de simplification des calculs, on admet que ces efforts sont dirigés verticalement (figure B) ce qui conduit à une erreur négligeable (< 2 %).

M0 =- Hh

c) efforts transmis par les pannes

Les efforts transmis par les pannes au x traverses, sont des efforts ponctuels, qui sont en fait, dans les calculs des traverses, convertis en charges uniformément réparties. L'erreur résultant de cette simplification est, là encore, négligeable (de l'ordre de 0,5 %), et conduit à surestimer légèrement les moments d'encastrement en B et D. d) rigidité de l'encastrement en B et D

- Figure 155 -

258

Pour conduire les calculs des portiques manuellement, on est amené à considérer que les inerties du poteau et de la traverse sont identiques : I m = 11• Le coefficient de rigidité de l'encastrement k = Um 1 S). (h 1 m) se réduit donc à k = h 1 S.

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Cette simplification, qui se justifie par la présence de jarrets aux encastrements conduit à majorer légèrement le moment en C et à minorer les moments en B et Elle se compense sensiblement avec la simplification précédente, effecruée sur le calcul des pannes, qui agit en sens contraire.

D:

Conception et calcul des batiments métalliques

Déterminer la section des traverses. CALCUL DES ACTIONS - charges permanentes (poids propre de la traverse estimé àlO daN/m2) : G = (25 + 10)

6 .3.3. DIMENSIONNEMENT DE LA TRAVERSE EN RÉSISTANCE À LA FLEXION

x 6 = 210 daN/ml

- neige normale :

Sn = 45

X

6 = 270 daN/ml

- vent normal :

À partir des formules et des diagrammes précédents, on calcule les moments résultants correspondant aux combinaisons d'actions les plus défavorables et on en déduit les inerties minimales des profils utilisés en traverses. Appliquons les calculs sur un exemple : Soit un bâtiment fermé, constirué de portiques articulés en pied dans le plan des portiques et encastrés en pied dans le plan des longpans. Les portiques, espacés tous les 6 mètres, sont soumis aux actions suivantes :

Wn = 70 (Ce- Ci)

oS

Trois cas de vent sont à envisager :

Vent 1 (vent sur longpan avec surpression intérieure)

~

- charges permanentes (complexes de couverture, pannes IPE 180, divers) : G = 25 daN/m2 - neige normale (région 2) : S, = 45 daNfm2 - vent normal (région 2) W, = 70 daNfm2

w,

-0,~

.oso-r=::=J Vent 1

w2

-o,4o

- Figure 159 f= 1,00

-

2,5i 2,50

1

g =20,00

o

surface maître-couple au vent : S = 5 x 6m2 , = 0,86 poteau au vent Wn! = 70 (0,80- 0,40) x 0,86 x 6 = 145 daN/ml poteau sous le vent: W n2 = 70 (- 0,40 - 0,40) x 0,86 x 6 = 289 daN/ml traverse: w,3 = 70 (- 0,40- 0,40) x 0,86 x 6 = 289 daN/ml

Vent II (vent sur longpan avec dépression intérieure)

~

-Figure 158Le calcul des coefficients C, et C;, conformément aux règles "Neige et Vent", a conduit aux résultats suivants : ~

- actions intérieures : dépression intérieure : C; = - 0,20 surpression intérieure : C; = + 0,40

3

-0<0

~

- Figure 160 - poteau au vent : W, 1 = 70 (0,80 + 0,20) x 0,86 x 6 T 361 daN/ml poteau sous le vent : W, 2 = 70 (- 0,40 + 0,20) x 0,86 x 6 = 72 daN/ml - traverse : W,3 = 70 (- 0,40 + 0,20) x 0,86 x 6 = 72 daN/ml

- actions extérieures : façade au vent : façade sous le vent : toiture:

.o.eo-r=::=J_ Vent Il

c, = + 0,80 C,=-0,40

c, = -0,40

260

0~

Conception et calcul des bâtiments métalliques

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Combinaisons des sollicitations

Vent Ill (vent sur pignon avec surpression intérieure)

Les sollicitations résultantes sont obtenues par la plus défavorable des combinaisons suivantes:

G + S,

S, = 1,67 Sn

avec 1,35 G + 1,50 Sn

G-We

- Figure 16 l -

avec

Les valeurs de W11 étant également les plus défavorables parmi celles calculées dans le tableau précédent. Soit :

- surface maître-couple au vent : S = 20,40 x 5m2, 8 = 0,78 - poteaux : Wnl = Wn2 = 70 (- 0,40- 0,40) x 0,78 x 6 = 262 daN/rrù - traverse: Wn3 = 70 (- 0,40- 0,40) x 0,78 x 6 = 262 daN/ml

Réactions d'appuis (daN)

CALCUL DES SOLLICITATIONS :

HA G+

Il s'agit de déterminer:

jG+

- les réactions d'appuis: HA , HE, VA, VE.

G-

- les moments maximaux: Ms, Mc, MD· Ces sollicitations sont déterminées à partir des actions, que nous venons de calculer, et que nous portons dans les formules appropriées aux différents cas de charge (cf tab leaux précédents).

VA

HE

VE

Moments (daNm)

Ma

1

Mc

Mo

s.

+ 3 591 + 3591 + 6609 + 6 609 - 17 9551+ 11 503 - 17 955

~ Sn

+ 3 717 + 3 717 +

6843 + 6843 - 18591[+ 11910 - 18 591

w.

- 4 505 - 2 5571-

3 4341- 24991 + 12 7001-

4 9281+

6440

Les moments maximaux sollicitant la traverse sont: - au faîtage: Mc=+ Il 910 daN/rn - aux appuis: Ms= MD=- 18 591 daN/rn

Le tableau qui suit regroupe l'ensemble de ces sollicitations. Les modules nécessaires sont, sachant qu'il faut vérifier en flexion: Actions Ch. perm. G Neige Sn Vent 1

Cas de charge

A

210

HA

HE

VA

Moments (daNm)

Ma

VE

+ 1 141 + 1 141 + 2100 + 2100 -

A

210

+ 1 467 + 1 467 + 2 700 + 2700 -

c

145 289 289

-

Wn, Wllz Wn3 Total

D B

Wn, Wllz Wn, Total

D B

Venllll Wn 1 Wllz Wn 3 Total

D B

Vent Il

Réaclions d'appuis (daN)

q (daN/ml)

c

E

361 72 72

262 262 262

553 - 1103 - 1 570 - 3 226

172+ 91 + 91 + 343181 + 181 - 1 570- 2 890- 2 890 - 1 055- 3162- 2 628

- 1 377 + 275 + 391 -2043+

42885391 122 -

Mo

5705 + 3 654- 5 705 7 335 + 4 700- 7 335

952126 860 + 252- 1 897 + 1 715 + + 7 850- 5030 + 7 850 + 10517- 4 904 + 5093

226 45 720 449

+ + + +

2 372425 + 1 9554 752-

310 - 1 000 + 164 164 + - 1 000 + 310164 + 164 - 1 423 - 1 423 - 2 620- 2 620 - 2113 - 2113- 2 620- 2620

+ + +

1 725 + 222 + 1 550 222- 1 725 1 550 + 7115- 4 562 + 7115 6940- 4 118 + 6 940

-

-

262

226+ 45 + 720991 -

Mc

312- 2140 60475 1 254 + 1 955 1 506660

M$ Wpe .fyi'YMO

soit:

Wpe ;::: M 1fy, car 'YMo= 1

au faîtage : Wpe 2:: 507 cm 3 --7 IPE 300 - aux appuis : Wpe 2:: 791 cm 3 --7 IPE 330

NOTA Ces sections restent provisoires, tant que les vérifications du déversement et des conditions de flèche de la traverse, ainsi que de l'encastremen t en tête de poteau, ne sont pas effecntées .

263

Conception et calcul des bâtiments métalliques

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

6 .3.4. VÉRIFICATION DE LA FLÈCHE DE LA TRAVERSE Le calcul de la flèche est réalisé au faîtage de la traverse, en C, sous l'action combinée non pondérée: G +Sn. Reprenons l'exemple de calculs précédent. - le moment dans une section (S) vaut : Mx= Ms+ (q . f. 12) . x- (q 12) . x2

Pour x= 0, y= 0, d'où K2 =O. Soit: 1 Ymax = - - (5 q f.4 - 48 M 8 . f.2) 1 384E/

E 1

q f. M8

2, 1 x 106 daN/cm2 8 356 cm4 (IPE 300 au faîtage) G +Sn= 480 daN/ml 20,40 rn 13 040 daNm

D'où l'on tire: Ymax =15 cm> 1/200

A

La flèche est excessive, donc inacceptable. ll faut donc adopter un profù IPE supérieur. Soit un IPE 330. Dans ce cas, la flèche maximale sera :

- Figure 162 -

- en intégrant l'équation de la déformée:

Ymax = 15 X 8 356/11 770 = 10,6 cm= 11192"" 11200

d2 y M dx2 =- E/

Théoriquement, la flèche est juste acceptable. Mais en réalité, la flèche sera moindre, du fait du renforcement de l'encastrement par jarret, dont nous n'avons pas tenu compte.

on obtient :

e

f2 - Mdx= - J_ j El El

dy = dx 0

f

e

2 (M B + q f. x- !1 ;x2J dx 2 0

2

6.3.5. VÉRIFICATION DE LA TRAVERSE AU DÉVERSEMENT La semelle supérieure de la traverse ne peut pas déverser, sous moment positif, car elle est i=obilisée latéralement, bloquée par les pannes. En revanche, la semelle inférieure peut déverser, sous moment négatif dû au vent ' (soulèvement de la toiture); ll faut s'assurer de la stabilité de la traverse au déversement, en menant des calculs conformément à l'annexe F de l' Eurocode 3.

264

265

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Conception et calcul des bâtiments métalliques

6.3.6. DIMENSIONNEMENT DES POTEAUX AU FLAMBEMENT Les poteaux des portiques sont sollicités :

La section retenue pour les traverses est généralement déterminée par le moment au faîtage Mc. Cette section est insuffisante pour reprendre le moment Ms à l'appui (Ms > Mc). li convient donc de renforcer la traverse au niveau de l'encastrement avec les poteaux, au moyen de jarrets.

- à la flexion (sous Ms) et à la compression simple (sous N), dans le plan des portiques (figure A).

Longueur du jarret

- à la compression simple (sous N), dans le plan des longpans (figure B). li y a donc lieu de vérifier les poteaux, dans le premier cas au flambement-flexion, et dans le second cas au flambement simple selon l'annexeE de l'Eurocode 3 (ce qui conduira à des poteaux IPE 400).

r

La longueur du jarret se détermine en considérant qu'au point F, amorce du jarret, la contrainte maximale dans la traverse est égale àfy· Dans notre exemple de calculs : Mee= M

=

Mc= Panne

17 112 daNm(IPE 330) -18 591 daNm 11910daNm

La courbe des moments est parabolique, de la forme y= ax2 . Soit: pour x= S = 10,20 rn, y= Mc+ Ms= 30 501 daNm a = y 1 x2 = 30 50 1 1 100 = 305

Lisse

-h

- pourx=S-j,y=MF= 17 112daNm. Rf= 0,7!!.

___l__

A -

(A)

2

~,:!, lj'~///_ _ _ _ __

(B)

Soit: 17 112 = 305 (10,20- j)2

ouP-

20,4 j + 48 = 0 équation qui a pour solutionj = 2,70 m.

- Figure 163 -

6.3.7.DIMENSIONNEMENT DES RENFORTS DE TRAVERSE

A.

x

JARRETS

""""

- Figure 165 -

Section du jarret Le jarret est réalisé par oxycoupage en biseau d'une p~utrelle IPE 400, et soudage des deux tronçons après retournement.

- Figure 164 -

266

267

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Cette clé présente, en outre, l'avantage de raidir les platines et donc de soulager l'effort dans l'assemblage par boulons HR.

IPE 400

235T L--------~ t65 1165=1= _1:35

Conception et calcul des bâtiments métalliques

oxycoupage

R= 2,700

~~----------~----------~

2 - reconstitution par soudage aprés retournement

- Figure 168 -

- Figure 166 -

6.3.8. VÉRIFICATION DES DÉPLACEMENTS EN TÊTE DE POTEAUX

Assemblage final traverse/poteau Assemblage par platine soudée

Raidisseurs soudés

De la même façon qu'il est nécessaire de vérifier les conditions de limitation de flèche pour les traverses, il est nécessaire de vérifier les déplacements en tête de poteaux, afm de se prémunir contre d'éventuels désordres dans les éléments secondaires (couvertures, étanchéités, bardages ... ). " " ' - Assemblage par platine et boulons HR.

Les déplacements en tête de poteaux sont à vérifier sous deux cas de charges possibles (et non pondérées): G +Sn et G + Wn.

Jarret R = 2,70 m Cas 2: G+ Wn

Cas 1: G +Sn

0 0

..,. w

9::

- Figure 167 -

- Figure 169-

B. CLÉS DE FAÎTAGE

Si la condition de flèche pour les traverses impose de vérifier que f 1 R :5 11200, pour les poteaux il convient généralement de vérifier que 6./ h :5 1/300.

Les clés de faîtage sont adoptées lorsqu'un profil de poutrelle pressenti pour les traverses s'avère insuffisant pour reprendre le moment Mc-

1er CAS DE CHARGES : G + Sn

Plutôt que d'adopter le profù immédiatement supérieur, il est plus économique de conserver le profù initialement envisagé et de le renforcer localement, dans la zone médiane, par adjonction d'une clé de faîtage, qui apportera le complément d'inertie nécessaire.

En un point M d'un poteau, situé à une ordonnée x, le moment vaut :

Conception et calcul des bâtiments métalliques

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES METALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

1 1 1 1 1 1 l 1 l

.rr::==J A

HA

HE

W=~(H~ + 0,30 P 2 6 El

1,08 HA . P) 0,18 h 3 HA

dW -(P-7 0) = dP

Ô=----1

E/m

E

- Figure 170 -

Soit : 0,18 x 500 3 x 2 608

Introduisons un effort fictif P, appliqué en B , horizontalement. Cet effort génère deux réactions RA et RE, en A etE.

1,2 cm

2,1 x !0 6 x 23 130

~=.!.2=_1_<_1_

Le moment enD, dû à l'effort P, vaut:

500

h

416

300

2 (2 k + 6) + 3 hf Ph _h_ MD=:....__...:...__..:....___

4 h 2 (k+2)+hf+(h+Jl

2e CAS

DE CHARGES :

G + Wn

Un raisonnement analogue au précédent permet d'écrire que (figure 172): x2

Mx =- HA x+ q- - 0,54 P;;. 2

- Figure 171 -

Effectuons le calcul en élasticité. Nous avons déterminé, dans l'exemple d'application précédent, les profils suivants : - section traverse : IPE 330 Ux = Il 770 cm4) - section poteau: IPE 400 Ux = 23 130 cm4). - Figure 172 -

k=i_'!_= Il 770 5,00 =O 25 lm S 23 130 10,20 '

En portant cette valeur de Mx dans l'équation donnant l'énergie potentielle du poteau, soit :

Le calcul de MD donne MD= 2,3 P. 1 W=- 2 El

MD RE=-=0,46P h RA =P-RE=0,54P

avec:

h

Jo

M

2

. dx,

x

ô= 0,54 (HA . h3 + qh4J El 3 8

- L'énergie potentielle interne du poteau vaut :

2EI

Jo

~--~---~

- Le moment résultant, sous les deux cas de charges, vaut :Mx= HA . x- 0,54 P. x

f

h

on obtient après résolution :

- Le moment enM vaut : Mx= -0,54 P. x

1 W=- -

f

(HA .x- 0,54P .x)2 . dx

HA q

270

= 2 085 daN (sous Wn vent 1 + G)

=145 daN/ml (sous W111 vent I)

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

D'où l'on tire:!!.= 1,1 cm

Conception et calcul des bfltiments métalliques

Les calculs vont consister à : ~ = _1_!_ = _1_ < _1_

h

500

454

300

- déterminer la surface de la platine, en fonction de la contrainte admissible de compression du béton du massif de fondation .

NOTA

- déterminer l'épaisseur de la platine, en fonction de la contrainte de flexion calculée au droit de chaque ligne de pliage.

Dans le cas de ponts roulants, qui occasionnent un déplacement !!.' supplémentaire, l'utilisation des intégrales de Mohr permet de calculer le déplacement!!. global.

- déterminer les boulons d'ancrage, en fonction des efforts de traction engendrés soit par un moment en pied (encastrement), soit par un soulèvement au vent.

A. PIED DE POTEAU ARTICULÉ

6.3.9. CALCUL DES PLATINES ET DES ANCRAGES EN PIED DE POTEAUX

Ncentré 1--

Suiface de la platine On admet que les platines, soumises aux réactions des fondations, risquent de se plier suivant les lignes tangentes au contour des poteaux, telles que les lignes 1-1 et 2-2 de la figure suivante.

Elle est déterminée par la condition :

cr = N 1 a . b '5fbu 1

t

11

Épaisseur de la platine L'effort à droite de la ligne 1-1 est : F=cr.b.u

-Figure 174-

Le moment correspondant a pour valeur : - Figure 173 -

Les portions de tôles situées à l'extérieur de ces lignes sont alors à calculer comme des poutres en porte-à-faux, et il faut vérifier que la section de tôle située au droit de la ligne de pliage est capable de résister au moment des réactions exercées par le massif des fondations entre cette section et le bord libre de la platine.

Le moment résistant élastique de la platine est : b t2

Mee= Wee .fy avec W,e = -

6

272

t

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Conception et calcul des batiments métalliques

li faut donc vérifier que : N

bt 2 cr b-
2

6

Inversement, si t est fixé a priori, le problème sera de vérifier la contrainte de flexion cr au droit de la ligne de pliage, Soit:

Goujons d'ancrage L' effort admissible par scellement, dans le cas de goujon avec crosse, fixé par les règles CM 66 (article 5, 123) vaut:

d,

1

t--
1

N

ge étant le dosage en ciment du béton (Kg/m3) et les valeurs courantes étant: r=3$

R1 == 20$ (cf figure 175-A ci contre).

HEB 200

Exemple d'application Soit un poteau HEB 200, articulé en pied (figure 175-B), soumis aux sollicitations suivantes: - eEffort de compression (sous G +Se) : N == 44 000 daN ; - effort de soulèvement au vent (sous G + We) : V= 12 000 daN; - béton dosé à 350 kgfm3 de ciment

•

1

1

250

(;-b == 80daN 1 cm2) ;

rH

- détenniner l'épaisseur de la platine et le diamètre des goujons; - vérification de la contrainte de compression sur la semelle de fondation : cr

N ab

44 x 104 - - - = 4,3 MPa < 8 MPa == fub 322

60

t

-

-

:~~

ouo -~

:t·

-Figures 175-A et B-

275

60

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Conception et calcul des bâtiments métalliques

- Épaisseur de la platine :

t;:: 60

r:;;:;;3 v2400

= 13 ,5

soit t = 15

=

- Diamètre des goujons: Effort de traction par goujon :

~ =6

000 daN

2 Effort admissible par goujon :

N"=O.I[l+\xO:O)[ ;; r(20;+!9,2;+7;)>i 1+ 250 D'où l' on tire
;::o.

Soit
B.

PIED DE POTEAU ENCASTRÉ

Dans ce cas, le poteau est sollicité en pied par un effort normal centré N et un moment de flexion M, ce qui est équivalent à un effort vertical N excentré de

M e=-. N

T

Les boulons situés sur Je côté opposé à l'effort N sont soumis à un effort de traction et Je béton situé du côté de l'effort N est soumis à un effort de compression avec répartition triangulaire (figure 176). - Effort de traction sollicitant les boulons de gauche : T =A . cr0 - Effort de compression sollicitant Je béton sous la platine: C = !_b h' crb 2

Sin est le coefficient d'équivalence acier-béton [ n =::}on a: h- h'

cra=ncrb--

h' Écrivons J' équilibre des forces: N + T= Cet celui des moments:

c(h-~)=m=(C-T) t -Figure 176-

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Conception et calcul des bâtiments métalliques

La combinaison des trois relations précédentes conduit à l'équation suivante, en faisantn= 15:

e

e

e

ha + 3 (e-h) h' 2 + 90 A-h'- 90 A-h=O b b

N

La résolution permet d'obtenir h', et par la suite de vérifier Ga et Gb:

h' e -h+-

N A

Ml

3

!Î"\

h' h-3

~~

2Ne -----S.fub b h' (

h-~J

1

4

1

4

50

H } l

Exemple d'application Soit un poteau HEB 200, encastré en pied, soumis à un effort normal pondéré centré de 25 000 daN et à un moment pondéré de 7 500 daNm (figure 177).

1

1

4

, -
Diamètre des goujons : 400

(jl = 24 mm (acier S.235) - Béton : fub = 8 MPa

500

Vérifier les contraintes de traction dans les goujons et de compression sur le béton, et déterminer l'épaisseur de la platine (acier S .235) .

- Figure 177 -

Le moment de 7 500 daNm est équivalent à un effort N excentré de :

e = 7 500 1 25 000 = 30 cm D 16 = 4016 = 6,7 cm< e donc le centre de poussée se trouve hors du tiers central de la section, et la platine est soulevée à gauche (les boulons de gauche étant sollicités en traction).

500

50

et a pour solution h' = 20,7 cm. La contrainte de compression sur le béton est alors : Gb = 2 x 25 000 x 501 [50 x 20,7 X (45 --6,9)] = 6,4 daN 1 cm2 S.fub

Vérification des goujons à la traction Ga= (25 0001 706). (500- 450 + 69) 1 (450- 69) = Il daN 1 mm2 = llO MPa

Vérification de la contrainte de compression du béton A= 3,53 x 2 = 7,06 cm2 =50 cm h=45 cm b=50cm

e

L'équation du 3° degré en h' s'écrit alors:

h'3 + 3 x 5 h'2 + 90 x 7,06 h'- 90 x 7,06 x h = 0

Soit :

l ,25 Ga= 138 MPa
cazcul de 1'épaisseur de la platine : - Vérification dans la section 1-1 : Le moment dans la section 1-1 est obtenu grâce au diagramme trapézoïdal des contraintes situé à droite de la section, que l'on peut décomposer en un diagramme rectangulaire (1) et un diagramme triangulaire (2).

279

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Conception et calcul des batiments métalliques

Les moments correspondants, pour une bande de largeur unité (= 1 cm) et d'épaisseur 1, sont :

Le module d'inertie de la platine pour b = 1 cm est: l 1 V= 12/6

Mt= 64x 15 x 0,15 /2= 72 daNm

M 1 Wee =55 x 6112 :5,fy, d'où 1?: 3,8 cm

La contrainte de flexion dans la section 1-1 est :

M2 = (46 x 151 2). (0,15 1 3) = 17 daNm

- Vérification dans la section 2-2:

M=Mt-M2 =55 daNm

Le même raisonnement conduit au moment maximal : 3'

1'

1

1

1

1

M= 64 x 15 x 0,15/2 = 72 daNm

d'où 72 x 6 1 12 :5,fy, soit 1?: 4,2 cm

2

2

150

1 1

3i

1 1

1i - Figure 179 - Vérification dans la section 3-3 : Du côté tendu, la platine est soumise à un moment M = 0,10 T daN m. T =A . cra= 706 x 11 = 7 766 daN M=777 daNm

W,e =50 r2 16

(1)

46~ (2)

L - Figure IBO-

-Figure 178

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Conception et calcul des bâtiments métalliques

Elles sont composées :

n faut donc vérifier que : 777 x 6 1 (50 r2) '5;/y

soitt~2cm

En conclusion, on sélectioonera une platine de 45 mm d'épaisseur (section 2-2 la plus défavorable). Cependant, compte tenu de la forte épaisseur de tôle, on préféFera une platine plus uùnce, avec raidisseurs bidirectioonels, qui nécessiteront des calculs de vérification complémentaires.

- d'une membrure supérieure (arbalétrier), - d'u ne membrure inférieure (entrait), - d'une âme à treillis, constituée d'éléments verticaux (montants) et obliques (diagonales).

Exemple de ferme américaine

x 1

f - - - - Poinçon

r--+-- - - Diagonale

0

0

Montant ""------ Bracon (éventuel)

f-e-- - - - - Poteau

0

0 -Figure - Figure 18

1-

6.4. CALCUL DES PORTIQUES AVEC FERMES À TREILLIS

182-

Les fermes à treillis sont généralement articulées à leurs appuis, car il est délicat de réaliser de bons encastrements avec des treillis (efforts surabondants dans les membrures).

6.4.1. CONCEPTION TECHNOLOGIQUE

Elles ne sont plus guère utilisées de nos jours, car leur coût est supérieur aux profùs à âme pleine. Elles sont pourtant beaucoup plus performantes techniquement que des profùs pleins, leurs rendement p est assez proche de 1 et elles consomment un uùnimum d'acier. Mais elles exigent des temps de main-d'œuv re importants pour le découpage des éléments et des goussets, le perçage et le bot~loonage des nombreux assemblages, qui ne les rendent plus compétitives que pour :

Les fermes à treillis sont constituées de barres rectilignes, situées dans un même plan, assemblées entre elles selon des triangles (d'où leur appellation de "systèmes triangulés").

- les grandes portées, - les bâtiments légers standardisés, produits en grande série en usine (type hangars agricoles, avec couverture sèche).

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Conception et calcul des bâtiments métalliques

TYPOLOGIE DES FERMES À TREILLIS

ÉLÉMENTS CONSTITUTIFS

TI existe divers types de treillis, de forme générale triangulaire ou trapézoïdale, en N ou en V. La figure 185 récapirule les plus utilisés.

Les fermes à treillis sont composées d'éléments jumelés généralement, afin d'éviter toute dissymétrie et de se prémunir contre des sollicitations de flexion gauche, de torsion et de déversement.

Fermes américaines

X

X 1

1

1

Les membrures, montants et diagonales sont constitués de doubles cornières, simples ou renforcées de plats, de double U, de Tou de profils creux (ronds ou rectangulaires).

Il

-1

Fermes anglaises 1

1

~

cZC7I7]

li

li

][

'l' 0

D

- Figure 184 Les poteaux recevant des fermes à treillis peuvent être des poteaux à treillis également ou des poteaux courants à âme pleine (ce qui est le cas général, pour une raison de coût).

Fermes belges

6.4.2. HYPOTHÈSES DE CALCULS

~

QV\21

Les calculs des poutres à treillis sont établis sur la base d'hypothèses simplificatrices, notamment :

1

1

- les barres sont considérées comme rigides et indéformables. En fait, les allongements ou raccourcissements des barres, pris individuellement, sont faibles. Leur cumul exige cependant de vérifier la déformation globale de flèche ;

Fermes belges

Fermes droites

à entrait retroussé

N/\V\0 -Figure 183-

- les barres sont considérées comme articulées, sans frottement, aux nœuds. En fait, les assemblages aux nœuds se font par boulons, rivets ou soudures sur goussets. Leur plus ou moins grandes rigidités correspondent à des encastrements plus ou moins parfaits. De ce fait, les calculs qui prennent en compte des articulations, placent en sécurité et conduisent à surestimer les efforts, donc les sections des barres, d'au moins 10%; - les axes neutres des barres sont supposés concourants aux nœuds où elles convergent. En fait, on confond souvent axes neutres et lignes de trusquinage, d'où l'apparition de sollicitations secondaires ;

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCOOE 3

- le poids propre des barres est négligé vis-à-vis des charges extérieures sollicitant le système; - les forces extérieures sont supposées être situées dans le plan du système et appliquées aux nœuds, ce qui conduit à des efforts normaux, exclusivement, dans les barres (compression ou traction). En fait, pour des efforts appliqués entre les nœuds, il faut ajouter aux contraintes normales dans les barres les contraintes de flexion engendrées ; - les calculs sont effectués exclusivement en élasticité, l'utilisation des propriétés plastiques de l'acier ne s'appliquant pas aux poutres ajourées. En fait, sous cas de charges excessives, il est certain que, dans les systèmes hyperstatiques, il y a constitution de rotules plastiques à certains nœuds.

Conception et calcul des batiments métalliques

pour deux d'entre elles seulement (delL""< équations de la statique par nœud, donc deux inconnues possibles seulement). Les efforts dans les barres seront donc obtenus deux par deux, de proche en proche. Pour cela : - construire le dynamique des forces extérieures, y compris les réactions d'appuis, progressivement selon l'ordre retenu de résolution des nœuds, en traçant à chaque étape, à partir de l'origine A et de l' extrémité B de ce dyTiamique, les parallèles aux directions des deux barres inconnues. Ces parallèles se coupent en un point 1 et les segments Al et BI, mesurés à l'échelle des forces représentent les efforts dans les deux barres inconnues, en valeur absolue (voir figure 185). P,

8

DÉMARCHE DES CALCULS

P,

La démarche des calculs est la suivante :

- À partir des actions sollicitant le système triangulé, on détermine les efforts de compression ou de traction dans les barres.

2

Ferme

Si b est le nombre de barres et n le nombre de nœuds, le système est isostatique lorsque b = 2 n- 3.

- À partir des efforts précédents, on vérifie les contraintes de traction (vis-à-vis de fy), de compression (vis-à-vis du flambement) et de cisaillement (pour les membrures). - Enfin, on vérifie la ferme globalement au déversement et aux déformations.

Dynamique

- Figure 185 Le sens des efforts dans les barres inconnues est obtenu en parcourant le dynamique dans le sens des forces connues. Si la barre est orientée vers le nœud, elles est comprimée. Dans le sens contraire, elle est tendue.

Exemple d'application

6.4.3. CALCUL DES EFFORTS DANS LES BARRES

Déterminer les efforts dans les barres de la ferme américaine représentée figure 186 page suivante, sachant que les valeurs des forces extérieures appliquées au système sont les suivantes :

La détermination des efforts dans les barres peut s'effectuer selon trois méthodes: la méthode des nœuds, dite de Crémona, - la méthode des sections, dite de Ritter, la méthode des composantes, dite de Culmann. MÉTHODE DE CRÉMONA Le principe de la méthode est le suivant:

F, F2 F3

F•

1 000 2 000 2 000 1 000

daN daN daN daN

Fs

F6 F7 Fa

1 000 1 500 2 500 4 000

daN daN daN daN

Fg 3 000 daN F,o 2 000 daN F,, 4 500 daN

La résolution s'opère par le tracé préalable du dynamique des forces et du funiculaire, qui permettent de déterminer les deux réactions d'appui RA et RB, puis par le tracé du graphique de Crémona, qui détermine les valeurs des efforts dans les · barres.

- numéroter les barres et les nœuds, - déterminer l'ordre de résolution des nœuds, en considérant que la résolution n'est possible qui si les efforts dans les barres concourantes à un nœud sont inconnus

287

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'E UROCODE 3

Conception et calcul des bâtiments métalliques

Constructions graphiques : Le tracé du dynamique est représenté figure 188, celui du funiculaire figure 189 et celui du graphique de Crémona figure 190.

- Résultats graphiques : Barre Effort (daN) Barre Effort (daN) Barre Effort (daN)

4m

A

1 2 3 4 5 6

+ 18 400 + 17 000 + 13 000 + 13 800 + 18 300 + 21 200

7 8 9 10 11 12

-14 500 -12 000 - 12 100 -13 300 - 6 200 -11 700

(Compression : + et traction : -)

L - Figure 186 -

- Numérotation des barres et des nœuds : IV

- Figure 187-

- Ordre de résolution des nœuds : Ordre de résolution 1

Il

x Ill IV IX

v

VI Vil VIII

Barres

à efforts inconnus 1-7 2-14 11-8 15-3 12-4 16-9 13-5 17-6 10 vérifié

- Figure 188 -

13 14 15 16 17

+ + + +

3400 3000 8500 6 200 2 800

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Conception et calcul des bàtiments métalliques

R8 = 12 500 daN RA= 11 000 daN

'' ''

''

A '

''

''

''

''

'' ''

''

''

''

'' ''

''

''

''

''

''

''

'' ''

''

''

''

''

''

- Figure 190 -

''

Diagramme de Crémono

' MÉTHODE DE RITTER

'

'

Cette méthode présente l'avantage de déterminer l'effort dans une barre quelconque sans avoir au préalable à calculer les efforts dans d'autres barres (comme pour la méthode précédente). Le principe en est le suivant:

On coupe le treillis en deux parties par un plan (P), qui sectionne au maximum trois barres où les efforts sont inconnus.

Funiculaire

-Figure 189-

On écrit, pour l'un des tronçons, que les forces extérieures équilibrent les forces intérieures existant dans les barres coupées. Pour cela, on écrit l'équation d'équilibre des moments par rapport à un point /, intersection de deux barres prises parmi les trois barres coupées. On obtient ainsi l'effort dans la 3e barre, ainsi que son sens (signe du moment obtenu). Soit par exemple une poutre (figure 191). La section (P) coupe les barres 1, 2 et 3. Choisissons !, point d'intersection des barres 2 et 3, comme pôle des moments.

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

L'effortj1 dans la barre 1 est obtenu en écrivant l'équation d'équilibre des moments par rapport à/, soit : RA . a = f1 . h

d'où

ft

= RA . !!_ h

9

+

t

A

Plan de section

no Barre

Pôle du Mo men

- Figure 191 -

Détermination des efforts dans les barres de la ferme polonceau à entrait retroussé, représentée figure 192. R= 1 000 daN 1,75 m

1,75m

C =compression

1,75 m

R= 3 000 daN

c

Po Po P,

1

VIII

9 500 x 2,30 =-1, x 1,00

-21 850

5

Il

9 500 x 1, 75 =- f5 x 0,90

-18470

T

8

1

4 000 x 1,75 =- f6 x 2,10

-

c

3330

p2

6

Ill

9 500 x 3,50- 4 000 x 1,75 =- f6 x 1,80

-14 550

T

p2 p2

2

VIII

9 500 x 2,30- 4 000 x 0,60 =- '2 x 1 ,00

-19 450

c

9

Il

9 500 x 1,75- 14 550 x 0,90 =- fg x 0,90

3 920

T

7

v

-

p3

9 500 x 7,00- 4 000 x 5,25 - 3 000 x 3,50 - 2 000 x 1,75 =-

t, x 4,15

-

7 650

T

p3

13

1

4000x1,75+ 3 OOO x 3,50 + 2 000 x 5,25 + 7 650 x 0,85 =- ,,3 x 3,80

-

9080

T

p3

4

Vil

9 500x 4,60- 4 000 x 2,85 -3 OOOx 1,10 + 2 000 x 0,60 =-

-15 100

c

p4

12

1

+ 3 000

c

p4

3

Vil

Ps

14

Ill

Ps

11

Ps

10

(4

x 2,00

4000 x 1,75+ 3 000 x 3,50 -9 650 x 3,80 = -f12X6,40 9 500 x 4,60- 4 000 x 2,85 -3000x1,10+ 3 000 x 2,10 = - '3 x 2,00 9 500 x 3,50- 4000 x 1,75 -7 650 x 1,60 =- ,,4 x 1,80

-17 650

c

-

7 780

T

Vil

9 500 x 4,60- 4 000 x 2,85 -3 000 x 1,10-17 650 x 2,00 = -

t, x 1,80

+ 3 500

T

1

4 000 x 1,75 + 3 000 x 3,50 + 3 500 x 1,80 =-

,10 x 4,30 -

Exemple d'application

1,75m

Efforts (daN)

Équation d'équilibre des moments

T= traction

(P)

5

Conception et calcul des bâtiments méta/li ues

5 550

c

MÉTHODE DE CULMANN

Cette méthode consiste, comme la méthode de Ritter, à sectionner le treillis en deux tronçons et à écrire que les forces extérieures sur un tronçon équilibrent les efforts intérieurs dans les barres coupées. Cet équilibre ne s'exprime plus ici sous forme d'équation, mais sous forme de graphique statique. La résultante des forces extérieures est décomposée graphiquement en trois efforts, selon trois directions parallèles aux trois barres coupées. Considérons, par exemple, la ferme représentée sur la figure 193. 7

La résultante des forces extérieures du tronçon de gauche est R1 =RA - F. Cette résultante est décomposée en trois efforts, dont les directions sont parallèles aux trois barres coupées 2, 9 et 6. · • R1 est d'abord décomposé en R6 et R'l· • Puis R '1 est décomposé en R2 et R9.

P,

- Figure 192 -

29.3

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Conception et calcul des bâtiments métalliques

Calcul des sollicitations Le moment à l'encastrement poteau-ferme vaut:

q(l 4(2k+3)

r r

F/2

~

~

1

5

9

~ ~ ~_1~ 3m

6m

F

·1'

3m

• 1(

12

3m

(P)

- Figure 193 -

- Figure 194 -

6.4.4. VÉRIFICATION DES CONTRAINTES DANS LES BARRES

avec: F

Connaissant les efforts dans les différentes barres, nous pouvons maintenant vérifier l'admissibilité des diverses contraintes de traction et de compression dans les barres, ainsi que des contraintes de cisaillement dans les membrures, lorsque les sections des barres sont fixées a priori. Si ce n'est pas le cas, le problème consistera à dimensionner .les différentes sec tions en optimisant les contraintes au mieux pour chaque élément.

lm =6m f 1 = 18m lm = 23 130 cm4 (IPE 400) /1 = 2 Sv2 + 2 Io (2 demi IPE 400) = (2 x 42,25 x 502) + (2 x 1 450) = 214 150 cm4

EXEMPLE D'APPLICATION

D'où k= 3,1

Vérifier la ferme à treillis en N (figure 194), encastrée sur appuis avec des poteaux iPE 400, supportant des charges pondérées transmises par les pannes F = 4 000 daN.

Soit:

Les membrures de la ferme sont constituées de

T(;.

IPE 400) et les assemblages

des treillis aux nœuds sont boulonnés (articulations). Les poteaux, d' une hauteur de 6 mètres, sont articulés en pied.

~ fm

q=-= 1333 daN et k=-3 f t lm

1 333 x 182 =- 4 000 daN 4 x 9,2

Le moment MB est assimilé à un couple de deux forces FB,,selon la figure 195. Soit:

MB

4 000

h0

1

FB = - = - - = 4 000 daN

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

et

VB = 3 F= 12 000 daN.

Conception et calcul des Mtiments métalliques

• flambement dans le plan transversal : f.K= f.o= 3 rn iy =3,95 cm

Ày = 76, d'où

]:Y= 0,82

et x= 0,65

N $X . Npe 1 YMI 660:5:586 (dépassement de 13 %)

- Contraintes dans les montants et les diagonales Efforts Sections dans les A (J..::, fy fo eK = 0,8 eo ix= iy des Barres 2 2 barres (cm) (cm) barres (mm ) (daN/mm ) (cm) (daN)

- Figure 195-

4

Calcul des efforts dans les barres

8 12

La détermination des efforts dans les barres, selon la méthode de Ritter, conduit aux résultats suivants (figure !96) :

+ 10000 2 L 40/6 + 5300 2 L 35/3 + 2000 2 L 25/3

616

16,2

100

80

1,21

66

20,3

13,1

100

80

1,07

75

18,0

286

7,0

100

80

0,75 107

14,6

2

-31 600 2 L 60/6 1 382

22,9

- 16 800 2 L 50/4

776

21,6

6 300 2 L 30/3

348

18,1

-

(J..::, fy (daN/mm 2 )

406

6 10

À

Contrainte de cisaillement dans les membrures -600 (Efforts en kN)

Dans l'intervalle compris entre les treillis, il faut vérifier la membrure au cisaillement, soit:

- Figure 196 -

T = 1,5::; 0,58/y

t

Aa

Calcul des contraintes dans les membrures - Membrure inférieure tendue (barre 11 ) :

cr

60 x

104

4 255

142 MPa

Pour un demi IPE 400, on a :

Aa = 8,6


Â.x =46, d'où À.x =0,49 et X= 0,84 N::; X . Npe 1YMI , soit 660 $ 758 kN

(200- 13,5) = 1 604 mm2

Dans une section de poutre, située à l'abscisse x de l'appui, le moment vaut:

-Membrure supérieure comprimée (barre 9) :

ll faut vérifier les tronçons de membrures au flambement. Soit : • flambement dans le plan de la poutre : lK = 0,9 lo = 2,70 rn etNpe =A .fy=992 kN ix= 5,86 cm

X

soit:

qx (f.- :ij

qf.2

2

4 (2 k+ 3)

Mx = 9 qx-

qx2

2

- 2,2 q

L'effort tranchant est maximal pour Mx= 0, soit x2 - 18 x+ 4,4

=0 d'où x= 0,25 m.

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

vx

dM x =--=q(9-~

Conception et calcul des bâtiments métalliques

D'où:

1,-

dx

vx = 1 333 (9 -

0,25)

1 8,1 x 10 5 x 0,7

x 40 x l0 5 =7cm

= 117 kN

La contrainte de cisaillement vaut alors : t = 1,5

x

117 x 103

- 109 MPa < 0,58 !y= 140 MPa

1 604

6.4.5. VÉRIFICATION DE LA FLÈCHE Le calcul de la flèche d'une poutre à treillis nécessite de déterminer l'âme équivalente du treillis, afLn de prendre en compte la flèche additionnelle engendrée par l'effort tranchant.

- Figure 197 -

Flèche totale f : !=fm +fr= 7,6 cm

La flèche maximale, à rrù-portée, se décompose : - en une flèche due au moment fléchissant, qui vaut dans notre cas de fLgure : 1 pl4 fm=-384 El - en une flèche due à 1' effort tranchant, qui vaut : 1 / 1 =-(MB+ Md GAa

[ =

e

.l..A_ = _1_ < _1_ 1 8oo

237

200

6.5. CALCUL DES OSSATURES SECONDAIRES

MB étant le moment négatif à l'appui et Mc le moment positif en ·rrù!ieu de travée. Les ossatures secondaires sont destinées à reprendre les sollicitations dues au vent et à assurer la stabilité d' ensemble de la structure. ll s'agit notamriient:

Flèche fm lest l' inertie des membrures seules et pla charge linéique non pondérée.

fm

10,00 x 1 8004 384 2,1 x 106 x 214 150

0,6 cm

- des lisses de bardage, - des potelets de pignon, - des dispositifs de contreventement.

Flèche ft L'aire de l'âme équivalente a pour valeur (figure 197) :

em

6.5.1. CALCUL DES LISSES DE B-ARDAGE

2,6Ad-

ho

AaAd

e~

-+-

A, hg

298

= 0,7 cm2

Les lisses de bardage sont constituées de poutrelles (IPE, t]AP) ou de profils rrùnces pliés. Disposées horizontalement, elles portent sur les poteaux de portiques ou éventuellement sur des potelets intermédiaires. L' entraxe des lisses est déterrrùné par la portée admissible des bacs de bardage.

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

EXEMPLE o' APPLICATION Ciùculer des lisses de longpan, longueur 6 rn, entraxe 2 rn, supportant un bardage bacs acier (poids : 8,3 daNfm2). Wn =50 daN/m2 et C,- Ci= 1, 1

Co ception e t calcul des b~lfmenls métalliques

8 = 5 p e41384 El= 3,6 cm e= 3,6 t 600= 1,2 12oo > 11200

8t

La flèche est excessive. Il faut donc : soit adopter un profil supérieur, en l'occurrence un UAP 130.

o

soit poser des lisses en continuité sur trois poteaux. Dans ce cas, la flèche est réduite à 8 = 0,4 x 3,6 = 1,5 cm et devient acceptable.

o

Cette dernière solution impose cependant de disposer les joints des lisses (longueur 12 rn) en quinconce, afin de ne pas charger inégalement les portiques.

Il 7m

Calcul en flexion verticale

Il

Une lisse fléchit verticalement en outre, sous l'effet de son poids propre et du poids de bardage qui lui est associé. Dans le cas de lisses UAP 130, sur deux appuis (1 = 6 rn), la charge verticale non pondérée vaut :

Il

p = 13,7 + (2 x 8,3) = 30 daN/ml

77/),h?

r

6m

7~~

La flèche verticale est alors : 8 = 5 p . t4f(384 E . l y) = 4,6 cm

·1

8t e = 3,6/600= 1,53 /200 > 11200

- Figure 198 Les calculs sont conduits en élasticité, car les lisses sont dimensionnées par les conditions de flèche et non pas par les conditions de résistance. Les calculs en plasticité sont donc superflus.

La flèche étant trop forte, il faut disposer des suspentes à mi-portée, pour créer un appui intermédiaire. Dans ce cas, la lisse fonctionne en continuité sur trois appuis, verticalement, et la flèche est notablement réduite à 8 = 0,4 x 4,6 = 1,8 cm. ~, ____ 3_m___ ~,____ 3 _m___ ~

Calcul enflexion horizontale

Lisse haute

Les lisses, destinées à reprendre les efforts du vent sur le bardage, sont posées naturellement pour présenter leur inertie maximale dans le plan horizontal.

T

Lisses

- Condition de résistance

La pression engendrée par le vent extrême vaut: W, = 1,75 Wn .8. (C,- Ci)

y

~ f-e

c~urantes

o

Lisse haute :

L

7m

Suspente

f-ct-------~

soit: W, = 1,75 x 50 x 086 x 1,1 x 2 = 166 daN/ml Pour des lisses isostatiques de 6 rn : My = 166 x 62 /8 = 747 daN rn Mpiy ?. 747 / 24= 31 cm3, soit UAP lOO - Condition de flèche

Elle est à vérifier sous une charge non pondérée p = 166/1,75 = 95 daN/où, soit:

~

e

- Figure 199 -

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Conception et calcul des batiments métaJfjques

Vérification des contraintes

Section des suspentes

Les contraintes maximales de flexion ont lieu à mi-portée des lisses, sous l'effet conjugué des moments M, et My. Il faut donc vérifier que:

Le tronçon haut de la suspente est le plus sollicité et doit reprendre un effort de traction R, déjà calculé, soit R = 450 daN. Sa section sera en conséquence :

cr= My! Weey + M, IWeez 5,fy

- Pour les lisses courantes (UAP 130) My= 747 daNm

A~ 450123,5

= 19 mm2

ce qui correspond à une tige de diamètre lj> = 6 mm.

M, = p.f 2 1 8 avec p = 4 x 30 1 3 = 40 daN/rrù ete= 3 rn

6.5.2. CALCUL DES POTELETS DE PIGNONS

Soit M, = 45 daN rn et cr= (747 /70,7) + (45 1 13,8) = 139 MPa
- Pour la lisse haute C'est la lisse la plus sollicitée, qui supporte son poids propre et le bardage associé (charge q 1), ainsi que les poids des autres lisses et des bacs, qui lu i so nt transmis par l'intermédiaire de la suspente (effort R). Soit:

q1 M1 R M2

Reprenons notre exemple précédent et considérons les pignons. Leur ossa~e est constituée de deux potelets intermédiaires de 8 rn de hauteur, ~artage~t les ptgnons en trois travées égales de 6 m. Les potelets supportent les lisses, disposées de la même manière que sur les longpans.

= 13,7 + 8,3 = 22 daN/ml = q 1 . e2 18 = 22 x 3618 = 100 daNm

~

= 1,25 p. et 2 = 1,25 x (4 1 3) x (13,7 x 3 + 8,3 x 6) x (6 1 2) = 450 daN = R . f 14 = 450 x 6 14 = 675 daN rn

Soit: M, = M, + M2

--

-~ 2

m

-

8m

-

2m 2m

= 775 daNm

Il faut vérifier que : (747 1 70,7) + (775 1 Weez) 5,/y

~~~·~6~m~~·~l~·~~6~m~~·~l~•---6_m___~

D'où: Wee,~ 54 cm3 - Figure 20 1 -

ce qui correspond à une section réalisée par deux profils UAP combinés, soudés orthogonalement selon la figure 200. CONDITION DE FLÈCHE

La vériftcation de la flèche se fait sous vent normal Wn-

c.- C;= 1 8 (8 rn)= 0,84 ,_ _ _ _ Suspente $6

soit:

P = Wn. 0 (Ce_ C;) =50 x 0,84 = 42 daN/m2

_ et en pte · d , 1a flèche maximale à mi-portée vaut: Les potelets étant articulés en tete

o =5 p . f4 1 (3 84 El) 5, 1/20Q - Figure 200 -

d'où :

[?_

1 000 p. i 3 /(384 E) [?_ 1 600 cm4

ce qui correspond à un profù IPE 200.

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

VÉRIFICATION DES CONTRAINTES

Conception et calcul des bâtiments métalliques

ctiaire. On place à cet effet un poteler intermédiaire, appuyé en tête contre la panne sablière. L'effort F, en tête du potelet, est :

Les potelets sont sollicités à la fl exion (due au vent) et à la compression (due au poids des potelets, des bacs de bardage et des lisses). En aucun cas, il ne supportent la toirure (ils sont assujettis au portique par appuis glissants).

_ soit repris par la panne sablière, raictie transversalement à cet effet (solution onéreuse),

Effort de flexion

_ soit transmis à la panne suivante par un montant attaché par deux diagonales, qui ramènent les efforts en tête de portique. On a ainsi constitué une "poutre au vent en longpan".

w.== 1,75 x 50 x 0,84 x 6 == 441 daN/ml MJ== 441 x 82 18 == 3 528 daNm

cr!= 35 2801 194 = 182 MPa

Effort de compression : poids de la lisse haute : poids des lisses courantes : poids du bardage : poids propre du poteler :

(13,7 + 10,5) x 6 3x13,7x6 8,3 x 8 x 6 22,4 x 8

= 145 = 247 = 398 = 179 G= 969 daN

- Figure 202 -

La contrainte de compression simple vaut :

cr = G 1A = 9 690 1 2 850 = 3,4 MPa et la vérification au flambement montre que le profil est acceptable.

6 .5.3 CALCUL DES CONTREVENTEMENTS

CALCUL DE LA POUTRE AU VENT EN LONGPAN Considérons le ctispositif dans une travée de portique. L'effort du vent Fen tête du poteler se décompose en : -

un effort F de compression simple dans le montant MN, un effort F d de traction dans les diagonales NP et NQ, un effort F1 de compression dans les traverses des portiques, un effort Fp de compression dans les pannes sablières.

Les contreventements sont des ctispositifs conçus pour reprendre les efforts du vent dans la structure et les descendre au sol. lls sont ctisposés en toiture, dans le plan des versants ("poutres au vent"), et en façade ("palées de stabilité"), et doivent reprendre les efforts du vent appliqués tant sur les pignons que sur les longpans. EFFORTS DU VENT SUR LES LONGPANS Les efforts du vent sur le bardage en longpan sont transmis aux poteaux des portiques par l'intermédiaire des lisses . Les poteaux reprennent en tête 50 % des efforts, les 50 % restants étant absorbés par le dallage. L'effort résultant en tête de poteau est transmis dans le portique, rigide et ctimensionné à cet effet, et aucun dispositif particulier n'est à prévoir dans ce cas. Mais lorsque la travée t est trop grande, les lisses doivent reposer sur un appui intermé-

- Figure 203-A -

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE

Conception et calcul des blltiments métalliques 3

À. =

Q)

:::>

150

= 123 d'où À.= 1,32 et

x= 0,38

1,22

rr

'e 0

a..

NSX. NpefYM!

14,6 s 0,38 x 60 1 1,10 = 20,7 kN. vérifié.

Panne 1,50 rn

Panne

NP

ET

NQ

Adoptons pour les diagonales un profù L 20 x 20 x 3. 1,50m

0

TRAcriON DANS LES DIAGONALES

Fd 16 220 c r = - = - - = 144 MPa fy = 235 MPa A 113

Sablière COMPRESSION DANS LES PANNES SABLIÈRES

F 3m

L..

3m

r--------~~~~---

En travée courante, il n'y a pas d'effort de compression Fp, ce dernier étant équilibré, donc annulé, par le même effort de sens opposé dans la travée adjacente. En revanche, dans les deux travées de rive, il subsiste un effort Fp unilatéral dans les sablières, qu'il convient de vérifier au flambement. La vérification sera effectuée plus loin, lors de l'étude de la poutre au vent en pignon.

- Figure 203-8 -

- Maître-couple attaché à un potele! :

S = h!_ = 6,50 x 3 = 19 50 m2

2 8 = 0,855

'

Efforts du vent sur les pignons

F = We. 8. (Ce- C;). S = 1,75 x 50 x o,855 x (0,80 + 020) x 19,50 x = 14,6 kN cos

~=

Fd

= -F-=~ x

15 •

-./1:52 + 32

w- 2

= 0 45

'

10-2

= 16,2 kN

F, = Fd. cos ~ = 1 622 x 0,45 x

w- 2 = 7,3 kN w- 2 = 14,4 kN

2 cos ~

La transmission des efforts sur les pignons est analogue à celle sur le longpan et passe successivement du bardage aux lisses, puis aux potelets, puis à la traverse du portique de rive. Ce dernier n'étant pas rigide transversalement, il est nécessaire de le stabiliser en construisant un dispositif, tant sur le plan de la toiture (poutre au vent) que dans le plan vertical (palée de stabilité).

2 x 0,45

FP = Fd. sin~= 1 622 x 0,89 x

COMPRESSION DANS LE MONTANT

MN

Adoptons pour le montant un profù L 40 x 40 x 3. A = 234

mm2, Npe =A .!y= 60 kN

ix =iy = 1,2cm fK= fo = 1,50 rn

- Figure 204 -

.CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTAWOUES SELON L'EUROCODE 3

Cor:tcepUon et calcul des Mtiments métalli ues

Calcul de la poutre au vent en pignon

N = P 1 cos o: = 2 112 1 0,74 = 2 854 daN = 28,5 kN - section diagonale :

1

6x1,50m

~~~·1·

1

A= N 1/y= 28,5 123,5 = 1,21 cm 2

;

1•

~-~

soit un profil L 25 x 25 x 3 ou un rond«!> 14. 3m N

Sm

T 1

j4m

Sm -------------------

N

1

6,50 rn

9m

1

T Ct

6m

18 rn

F

·1

- Figure 206 - Figure 205 - Surface du pignon : S = 18 x 8, soit:

o= 0,79

- Effort en tête des potelets : F = W, . o. (C,- C;) Sp

6.6. VÉRIFICATION DE LA STABILITÉ D'ENSEMBLE

F = 1,75 x 50 x 0,79 x 0,80 x 24 = 13,3 kN - Effort de traction dans les diagonales :

Fd = F 1 cos o: = 13,3 10,89 = 15,0 kN

Après avoir dimensionné et vérifié individuellement les éléments d'une structure, il faut s'assurer de la stabilité globale du bâtiment, notamment sous l'effet du vent.

- Section diagonale : A= Fd 1/y= 15,0123,5 = 0,64 cm2

soit un profil L 20 x 20 x 3 ou«!> 10.

PRINCIPE DE VÉRIFICATION

- Pannes montants de la poutre au vent : Elles sont sollicitées à la flexion déviée, comme les pannes courantes, et en outre à la compression (sous F). On doit donc vérifier leur stabilité au flambementflexion (qui est vérifiée ici, tous calculs faits).

L'effort global du vent se décompose en: _ une composante horizontale T (traînée) produisant un effet d'entraînement, _ une composante verticale ascendante U (portance) produisant un effet de soulèvement (figure 209).

Calcul de la palée de stabilité en longpan Ces deux composantes donnent lieu à un moment de renversement MR· P= 1,75 x 50x0,8 x 0,84x 36 =2112 daN= 21,1 kN

Cet effort P se décompose selon : - une force N de traction, reprise par la diagonale, - une force T de compression, transmise au sol par le poteau.

que ce moment de renversement reste inférieur au ~ornent stabilisateur Ms dû au poids propre du bâtiment.

n faut Soit:

'IM_R _ =_U _c_+_ T_I _b_+_T._2_a_$_M_s_=_GPlfl

Conception el calcul des balimenrs métalliques

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Le calcul de ces actions d'ensemble prend en compte les pressions dynamiques du vent, qui sont calculées en affectant aux pressions statiques un coefficient de majoration dynamique ~. qui est fonction, entre autres, de la période du mode fondamental d'oscillation.

p Poteaux à inertie variable :

F=1

T=21t~ f

u

p~

Poteaux à inertie constante :

T=21t Vent

h

~ \jg3Eï

g= 9,81 m/S/S T en secondes

c f./2

f - e - - - - --

j

- Figure 208 -

E(axe de basculement)

EXEMPLE D'APPLICATION

- Figure 207Soit un bâtiment fermé :

u PÉRIODE PROPRE T DU MODE FONDAMENTAL D'OSCILLATION D'UNE STRUCTURE. Les formules donnant la période T pour une structure métallique sont données dans les Règles N. V. (annexe 4). Les deux principales sont données figure 208. COEFFICIENT DE MAJORATION DYNAMIQUE ~

__.:::::,,..;,...,_--=:,__,,- T1

f--+--o_._so._ ~24 T

b

Vent

+ 0,30

+ 0,80

Il est donné par les formules suivantes (Règles N. V., chapitre 1.5.) : - surcharges normale : ~ = 9 ( 1 + Ç, 't) - surcharges extrêmes :

c

~ ( 0,5 + ~)

\.

Pour les bâtiments classiques prismatiques : 9 = 1, ce qui signifie que ~ garde la même valeur, que les surcharges soient normales ou extrêmes. Ç, est fonction de la période propre T 't est fonction de la hauteur du bâtiment (pour h < 10 m, 't =0,36).

310

f. 1 2 = 8 rn

+•---=f.:..:/...:2:....=_8.:.__rn'----J

- Figure 209 longueur: L =75m (10 x 7,50 rn) - largeur : f. = 16 rn - hauteur au faîtage : h = 8,40 rn - pente des versants: 30% (a= 17°)

~rn 1

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCOOE 3

- section poteaux de portique : IPE 400 - poids propre total du bâtiment (ossature, couverture, bardage, équipements fixes, etc.) : G = 50 daN/m2 - pression de base vent extrême: We = 120 daNfm2.

Portance:

V=- (Ce- C) Le

v= (0,30 +

-PériodeT

o We~

0.45 ) + ( 0 •30 + 0 •30) x 75 x 16 x 0,72 x 120 x 1,25 2

= 87 480 daN

·v;w

T=2n·{fh3

- Bras de levier :

avec:

a= h-f= 3 rn 2

p = 8 x 7,50 x 50= 3 000 daN

b =h-1=7,20 m 2

h = 8,40 - 2,40 = 6,00 m

1 = 23 130 cm4.

c

On obtient T = 0,43 seconde d'où

e= 7,55 rn

0,60 + 0,75

Ç= 0,7.

- Coefficient de majoration dynamique

- Moment de renversement :

~

p = ec1 + ç·n . avec

MR = T1b + T2a + Vc = 871 000 daNm - Moment stabilisateur:

.e

Ms= G-?. 871 000 2

8=1

!;= 0,7

d'où G?. 109 000 daN

't= 0,36 d'où~=

(0,75 x 0,60) + (0,25 x 0,75)

Le poids propre du bâtiment étant 75 x 16 x 50 = 60 000 daN, il faut dimensionner les semelles de fondations de manière à ce que leur poids soit au minimum de 109 000- 60 000 = 49 000 daN.

1,25.

A. Ventsurlongpan o (75 m)

=0,72

- Traînées:

T2 =(Ce-C;)L(h-!Jo. w•. ~ T2 = (0,8 + 0,5) x 75 x 6,00 x 0,72 x 120 x 1,25 = 63 180 daN

Le

T 1 =(Ce-C;)(tga)-o . We . ~ 2 75 16 T1 = (- 0,30 + 0,45) x 0,30 x ~ x 0,72 x 120 x 1,25 =2 915 daN

Nombre de poteaux : 2 x 11 = 22. Le poids minimal d'une semelle béton doit donc être de

49 000

= 2 230 daN, ce qui

22 3 2 2 230 correspond à un volume de béton de - - = 0,9 rn (semelle de 2 m par 0,45 m 2,5

d'épaisseur, par exemple)

B. Vent sur pignon Surface du pignon : S =

(h-f)

e

= 115 m

- Coefficient de réduction : o = 0,81.

2

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

u

Conception et calcul des bâtiments métalliques

soit G>

3 331 337

= 88 836 daN

37,5

--

l

Vent

h

+0,80

Condition vérifiée, car moins défavorable que la première solution "vent sur longpan".

020

' t,

T, -0,3 0

L - 4h =41,40 rn

-Figure 210-

- Traînées :

o. We. ~

T2 = (0,8 + 0,3) x 115 x 0,81 x 120 x 1,25 = 15 300 daN T1 = 0,01 (L- 4 h)

=0,01

i --o . We . ~ cos a

16 (75- 33,6) - - - x 0,81 x 120 x 1,25 cos 17°

=842 daN (force d'entraînement) . - Portance :

V =-(Ce-CDUo. We· ~ v = (0,4 + 0,2) x 75 x 16 x 0,81 x 120 x 1,25 = 87 450 daN - Moment de renversement : MR

=T (h-f)+ T[h;f) + 1

2

MR = 3 331337 daNm

- Moment stabilisateur :

Ms=G~~MR 2

6.7. CALCUL DES PLANCHERS MIXTES

l

1

T2 = (C.- C;) S.

1

L=75 rn

1

T1

__,...

+0,40

Vî

Les structures de couverture sont constituées d'ossatures (généralement des profils IPE) et de platelages (généralement des bacs acier), qui sont légers, mais suffisants pour reprendre des charges fmalement faibles. En revanche, les structures de planchers sont constituées d'ossatures plus lourdes (IPE parfois, mais surtout HEA, HEB et PRS), recevant des platelages de forte inertie, nécessaires pour reprendre de fortes charges (surcharges d'exploitation de bureaux, de stockage... pouvant atteindre plusieurs tonnes au m2). Les ossatures de planchers sont constituées de poutres croisées, les solives (supportant le platelage) portant sur des poutres maîtresses, qui portent elles-mêmes sur des poteaux. Quant aux platelages, ce sont : - soit de simples platelages métalliques : tôles épaisses, lisses ou !armées, soit des dalles métalliques, à raidisseurs croisés (dalles orthotropes), peu utilisées en bâtiment, en raison de leur coût élevé, et pratiquement réservées à la réalisation de tabliers de ponts, - soit des dalles béton, coulées sur prédalles ou sur bacs acier utilisés comme coffrages perdus ou collaborants. Ce dernier type de plancher, dit plancher mixte (acier/béton), est le plus répandu dans les constructions de planchers d'immeubles de bureaux, d'entrepôts, de mezzanines, etc. Deux cas de figure sont possibles : la dalle B.A. est non collaborante : elle n'est pas liaisonnée avec l'ossature porteuse en acier, et ne participe donc pas, de ce fait, à l'inertie globale du plancher. La dalle constitue, dans ce cas, une charge permanente pour l'ossature porteuse, qui est pénalisante du fait de son poids élevé ;

315

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTAWQUES SELON L'EUROCODE 3

- la dalle B.A. est col/aborante : elle participe à l'inertie globale du plancher, ce qui impose qu'elle soit parfaitement liaisonnée avec la structure porteuse. Pour cela, il faut prévoir des dispositifs de liaison (connecteurs), à l'interface acier/béton, qui solidarisent dalle et poutres entre elles et s'opposent à leur glissement mutuel.

Conception et calcul des Mliments métalliques

Soit :

B t+h Ad==-! Or,f+ d==n 2

d'où:

d=!?!. t+ h n 2S

,.,! · ----· t~h-- jr_ G

d

GA

Axe neutre

h

- Figure 2 12 Solive

Le moment d'inertie de la section mixte par rapport à l'axe neutre (L'.) est:

- - Poutre maîtresse Équerre d'assemblage boulonnée

- Figure 2 1 1 -

Les planchers mixtes à dalle collaborante étant la solution la plus économique et la plus judicieuse techniquement, nous allons développer la méthode de calculs de ce type de plancher.

lB B(t+ h ] l==lp. +Ad2 +-+- --d n n 2

2

lA et lB étant les inerties propres des sections A et B. 2 bt3 bt(t+ l==IA +Ad+--+- -h- d) 12n n 2

Soit:

2

CONTRAINTES DE FLEXION SIMPLE ncrbs

A. CALCUL D'UN PLANCHER MIXTE À DALLE COLLABORANTE ou - --· - ----

- -- --

INERTIE DU MONTAGE POU1RE/DALLE

Section mixte :

S=A+!!. avec B==bt n

La position de 1' axe neutre (L'.) de la section mixte par rapport à GA• centre de gravité de la poutre acier, est d et on l'obtient en écrivant l' égalité des moments statiques par rapport à (L'.) :

poutre:

J.l.A ==A. d

dalle:

J.l.B =!!. .f n

- Figure 2 13 -

M étant le moment fléchissant maximal dans la section mixte, d'inertie /, les

diverses contraintes extrêmes sont:

Contraintes dans la poutre acier : Traction:

(J . 01

M ==-V· l 1

Conception et calcul des Mliments métalliq,ues

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Compression :

M cras =-(vs -t) 1 (l:)

Contraintes dans la dalle béton h

Compress ion (fibre supérieure) : M crbi =-(vs-t) nf

Compression (fibre inférieure) :

et

Déformations

v =!!:.+r-d s

Contraintes

2

-Figure 214-

CONTRAINTES ADDITIONNELLES DUES AU RETRAIT DU BÉTON

Écrivons l'équilibre du système

Après coulage de la dalle, le béton, en durcissant, devrait s'accompagner d'un retrait (raccourcissement E). Mais la dalle étant solidarisée avec les poutres en acier, ce retrait est contrarié par l'acier, qui s'oppose au racco urcissement de la dalle, à 1' interface acier/béton.

- Force de traction dans le béton (au niveau de l'axeL):

L'effet du retrait peut, en outre, se cumuler avec l'effet d'un abaissement de température (gradient thermique).

L F = 0 et LM 10 = 0, soit :

Bncr'bt + ncr'b2

=~(EaE-KYt :Y2)

Ces effets provoquent: = - un raccourcissement Ea de la poutre acier, - un allongement Eb de la dalle béton (par rapport à sa posi tion d'équilibre, car ne pou vant librement se rétracter, le béton se tend, en fait, ce qui équivaut à un allongement), et l'on a: E=Ea +Eb En posant K=/>.1!._ , les contraintes s'écrivent (figure 214): 1

2

n

~(EaE- K[a + ~]) n

Force de compression dans l'acier: (au niveau de l'axeL) :

FA =

L

cr' a. dS=

1

Ky. dS= K!J.A

Le moment statique IJ.A de la section d'acier A par rapport à 0 vaut:

IJ.A=A . a,d'oùFA=KAa En faisant FB = FA• on obtient :

=K(h- y 1) Ea

K Aa

1

n (E-E) =~ (E

=Eb Eb = cr' b2

0

=~[EaE- K(a + ~)) n

E- Ky 1)

=cr' bl- K (y2- Y1l = ~ (Ea E- K Y2)

318

- Moment dO à FB dans le béton :

MB 10 =FB (a+~):: KA a (a+~)

.

(1)

CONCEPTION ET CALC L DES STRUCTURES MËTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

- Moment dû à FA dans la poutre: MAlO=

l

ya'adS=

avec 1 = /A +A

l

Conception et calcul des bâtiments metalliques

- coefficient d'équivalence acier/béton : n = 15 - coefficient de retrait du béton : 2 x 1o- 4 = E

Ky 2 . dS=Kl

T

a2

Faisons Ms= MA. On obtient:

Q)

·"= 0

KA a (a + p) = K (lA +A a2)

5,00 m

({)

~

d'où :

CJ.=-

AP

______ 6_x_1~,2_o_-_7~ ,2_ 0_m___~~

En portant cette valeur de a dans l'équation (1) précédente, on obtient la valeur de K, qui permet de calculer les valeurs des différentes contraintes. K

(2)

FLÈCHES Réglementairement, elles sont limitées (cf chapitre 4.2.) :

1 . - à de la portée, pour des planchers supportant des murs , cloisons ou 400 vitrages. 1 - à de la portée, pour des planchers courants. 250

- Figure 2 15 -

A. CALCUL DES SOLIVES Le choix d'une section s'opère par approches successives. Essayons, après tâtonnements, un HEA 180. 120 x 8 ? =109,3cm15

S =45,3+-- d vi

120 x 8

8 + 17

15

2 x 109,3

7,3 cm

= 8,5 + 7,3 = 15,8 cm

vs =25 -15,8 =9,2 cm

_ 120 x8 3 120 x8 =2 510+45,3 x7,3 2 + - - - + -- - (12,5-7,3) 2 15 12 x 15 1 =7 000 cm 4

B. EXEMPLE D'APPLICATION

M = 1,20 [1,35 x 230 + 1,50 x 1 000]

Calculer un plancher d'entrepôt, présentant les caractéristiques suivantes: - trame: 7,20 rn x 5,00 m - surcharge de stockage : 10 kNJm2 - dalle B.A., coulée sur bacs acier, d'épaisseur moyenne t = 8 cm entraxe des solives (déterminé par la flexion transversale de la dalle) : 1,20 rn - contraintes admissibles des matériaux : pour l'acier :fy = 235 MPa et 'te= 0,58fy pour le béton :fc28 = 25 MPa

Contraintes de flexion

aai

68 x 15,8 x 10 3 7 000 =- 153 MPa 68 x 1,2 x 10 3 7 000

=+ 12 MPa

52

8

= 68 kN m

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUE

68x 1,2x 10 3 (J bi

15x7000

=+

1 MPa

=+

6MPa

68 x 9,2 x 10 3 (J bs

15 x7 000

SELON L'EUROCODE 3

Conception et calcul des bâtiments métalliques

= !!_ + a. = 12,9 cm 2 = y 1 + t = 20,9 cm Eae =2,1 x 106 x 2 x 10- 4 =42 MPa

D'où les valeurs des contraintes :

+6

(Jas

=0,21

X

129 =+ 27 MPa

(Ja l

=0,21

X

42

abi

1 =-(42-27)= 15

1 MPa

(Jb

1 = - (42 -44) = 15

0 MPa

+1 G

-153

(MPa)

- Figure 2 16 -

Effort tranchant

Contraintes finales

v = 1,20 [ 1,35 x 230 + 1,50 x 1 000] x ~ = 54,3 kN 5

1

0

cr as = cr

54,3 =---=53 MPa <0,58/, =140 MPa 6 x 0,17 y

f

e

12,30 x 1,20 x 500 4

5

384 2,lx10 6 x 7000 0,8 1 1 = 5oo = 625 < 4oo

12 + 27 = + 39

=-15 3- 9=-162 <.fy=

235

MPa

al

Vérification de la flèche

f

s

9 MPa

0 bi

=+

1- 1 =

0

0 bs

=+

6- 0 =+

6

< 0,6 fc28 = 15 MPa

0,8 cm

Diagramme des contraintes (figure 217) +6

Contraintes additionnelles de retrait

=~ = 12,5 cm 2

a. K K

4.

=-=4,4 cm A~

- Figure 217 -

120 x 8 x 2,1 x 10- 4 x 12,5 x 45,3 x

1Q6

x2

(15 x 2 5 10 x 45 ,3) + (120 x 8 x 2 510) + (120 x 8 x 45,3 x 12,52) =0,21 N/mm 3

B. CALCUL DES POUTRES MAÎTRESSES

Nous calculerons ces poutres en travées indépendantes (isostatiques), ce qui place en sécurité.

CONCEPTION ET CALC L DES STRUCTURES MÊTALUQUES SELON L'EUROCODE 3

Charge linéique totale

Vérification à l'effort tranchant

- charges permanentes :

L'effort tranchant vaut:

2x5

= lO,OkN/ml

0 36 • x 5 1,20

1,5 kN/ml

• dalle B.A. : • solive :

• poids propre poutre (estimé) Total

v= 92,6 x 4 = 370 kN La contrainte de cisaillement est : 370

1,5 kN/ml

11,5 x 440

= 13,0 kN/ml

- charge variable :

73 MPa < 0,58 !y = 140 MPa

NOTA

• charge stockage : 10 x 5 =50 kN/ml - charge totale linéique : • non pondérée: 50+ 13 = 63 kN/ml • pondérée: (1,35 x 13) + (1,50 x 50)= 92,6 kN/ml

ll est également concevable de réaliser et de calculer ces poutres maîtresses en continuité. Un calcul en poutre continue sur six appuis permet de réduire la flèche de moitié (j' = 0,49 j) et le moment fléchissant maximal de 16 % (M' =- 0,842 M, maximal sur le second appui), pour les travées de rive, qui restent toujours des HEA 450. Pour les travées médianes, il est possible de réduire les sections à des HEA 400.

Condition de flèche S'agissant d'un plancher industriel, à usage de stockage, la lirrùtation de flèche est 1 de la portée. 250 Soit:

d'où:

5 qf4 f f=--$384 El 250 1 250 q f3

/~----

1 500 x 63 x 8003

384 E 384 x 2,1 x 106 !~50 000 cm4

6.8. LES POUTRES DE ROULEMENT DES PONTS ROULANTS

Les poutres de roulement de ponts roulants sont soumises à diverses sollicitations, agissant en concomitance, qui exigent des calculs complexes et nécessitent une conception très soignée, afin de se prémunir contre d'éventuels désordres, liés notamment à des phénomènes de déversement, de voilement et de torsion. En outre, les déformations des chemins de roulement doivent rester minimes, le bon fonctionnement des ponts roulants n'autorisant que de faibles tolérances.

ce qui correspond à un profù HEA 450.

li y a lieu de se référer :

Vérification de la résistance en flexion

- pour le calcul et l'exécution, aux recommandations du C.T.I.C.M. ("Recommandations pour le calcul et l'exécution des chemins de roulement de ponts roulants),

Le moment fléchissant maximal vaut :

82

M = 92,6 x-= 739 kNm 1

8

Le moment de plastification vaut :

Mpe = Wpe -!y= 3 220 x 235 x lo-3 = 757 kNm My< Mpe Acceptable.

- pour la vérification des déformations et des tolérances, à la norme NF P.22615. Nous n'entreprendrons aucun calcul ; nous nous bornerons simplement à citer les différents efforts et sollicitations affectant les poutres de ~ou.lement, et à décrire leur conception technologique, destinée précisément à résister auxdites sollicitations.

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Conception et calcul des Mtiments métalliques

SOLLICITATIONS DANS LES POUTRES DEROULEMENT

- soit des poteaux classiques, comportant des corbeaux (consoles soudées); - soit des poteaux-baïonnettes.

Les poutres de roulement supportent les rails, qui transmettent les divers efforts résultant du fonctionnement des ponts roulants par l'intermédiaire des galets. Ces efforts sont : - des efforts verticaux R 1o dùs aux poids propres du pont roulant, de la charge levée et des poutres de roulement,

. Dans les deux cas les poutr . . . , es peuvent etre posées soit en travées indépendantes :mt en ~ontmw.té. Le~ ~avées indépendantes semblent préférables, bien qu'elle~ s XIgent es sect:J.ons ~ acJer plus importantes, car leur flexibilité est moindre. Elles -ont, dans ce cas, reliées entre elles par simples éclissages boulonnés au n.iveau des ames.

- des efforts horizontaux longitudinaux Rz, dus à l'accélération ou au freinage du pont roulant,

POUR LES PONTS LÉGERS

- des efforts horizontaux transversaux R3 , dus à l'accélération ou au freinage du chariot, à la marche "en crabe" du pont provenant des imperfections affectant les rails, les galets ... et enfin à divers frottements et déformations.

Les poutres de :oulement sont constituées généralement de poutrelles HEB et HEM renforcées au ruveau de leurs membrures comprimées (figure 218). '

L'ensemble de ces efforts, transmis par les galets, qui sont excentrés tant verticalement qu'horizontalement par rapport aux axes principaux d'inertie des poutres de roulement, engendrent diverses sollicitations agissant simultanément. Ce sont notamment: - des sollicitations de flexions verticale et horizontale, qui sont obtenues par le formulaire donné dans les figures 154 et 155, pour les cas de charges F et G. Les moments et réactions calculés se cumulent avec ceux engendrés par les autres actions (charges permanentes, neige, vent) et interviennent ainsi dans le dimensionnement des portiques ; des sollicitations de déversement des membrures comprimées supérieures, qui imposent de renforcer ces membrures ;

- Figure 218 -

- des sollicitations de voilement local des âmes, au passage des galets, qui imposent de poser des raidisseurs ;

POUR LES PONTS LOURDS

- des sollicitations de torsions, locale et globale, qui imposent une conception de poutre en caisson.

Lfies poutres de roulement sont en fait des caissons constitués de quatre poutres ( Jgure219):

Compte tenu de la forte sensibilité des poutres de roulement à l'instabilité élastique, leur dimensionnement par calculs en plasticité n'est pas admis. Seuls les calculs en élasticité leur sont applicables. Concernant les calculs des ossatures des halles (portiques), recevant des ponts roulants, ils peuvent être conduits en élasticité ou en plasticité, avec cependant des exigences de limitation stricte des déformations.

- pdoutrale A : poutre ve~cale, à âme pleine raidie, sourn.ise directement aux actions es g ets de translatwn du pont roulant. - poutre B : poutre verticale à treillis, dont le rôle est de supporter la poutre horizontale haute C et de transmettre aux appuis les charges correspondantes. - poutre C : poutre horizontale haute, dont le rôle est triple :

• transmettre aux appuis les efforts horizontaux transversaux. R3 du pont roulant : s'opposer au déversement d~ ~a membrure supérieure comprimée de la poutre supporter la passerelle de VISite du chemin de roulement.

A:

CONCEPTION TECHNOLOGIQUE Les poutres de roulement portent sur les poteaux de portiques, qui sont :

- poutre D : poutre horizontale basse, faiblement chargée, qui reprend la flexion honzontale résultant du couple de torsion générale de la poutre de roulement.

327

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

ANNEXE A-1---

B

1-- 1

1~----=-r

Ensemble chemin de roulement

_______,, dJ

LES PRINCIPALES CAUSES DE DÉSORDRES ET DE SINISTRES EN CONSTRUCTION MÉTALLIQUE

D

Les apparitions de désordres, dans les constructions métalliques, sont les conséquences d'erreurs qui peuvent se situer à différents niveaux : - au niveau de la conception (choix technologiques, calculs) ; au niveau de la production (plan d'exécution, choix des méthodes, fabrication, contrôle);

Poutre B

Poutre C

Poutre D

~

IISIISIISII1 00 IISJIZII\JIJ ~ IISIIZII) - Figure 2 19 -

.328

- au niveau de la manutention (transport, levage, montage). Les possibilités d'erreurs sont nombreuses et peuvent concerner tous les acteurs intervenant aux différents stades d' élaboration d'une structure. Certaines erreurs peuvent conduire à des désordres légers, affectant des équipements secondaires, qui ne participent pas à la stabilité de l'ouvrage (déchirement de couvertures ou de bardages, par exemple). Par contre, d'autres erreurs peuvent occasionner des désordres importants, conduisant à l'effondrement partiel ou total de la construction. Dans de tels cas de sinistres, l'effondrement peut être dû à une seule source d'erreur, mais plus généralement résulte d'une conjonction de plusieurs erreurs simultanées. Les principales sources d'erreurs se situent donc: AU NIVEAU DE LA CONCEPTION

n s'agit: - de la stabilité qui n'est pas assurée, soit des éléments pris individuellement (instabilité élastique classique : flambement des pièces comprimées, déversement des pièces fléchies et voilement des âmes minces), soit de la structure dans sa globalité (contreventement insuffisant),

CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES MÉTALLIQUES SELON L'EUROCODE 3

Annexe

- de la résistance insuffisante des sections de pièces, en regard de surcharges excessives. Ce peut être les surcharges climatiques qui ont été mal estimées (erreur de région, oubli de prise en compte de l'altitude vis-à-vis de la neige, etc.) ou les surcharges d'exploitation mal définies (accrochage de charges suspendues ou de monorails non prévus initialement, planchers calculés à usage de bureaux et utilisés co=e plates-formes de stockage, avec des surcharges triplées ou plus, etc.),

par boulons HR déficients (serrage incorrect, diamètre et nuance d'acier des boulons non conformes, coefficient de frottement des platines insuffisant, etc.).

- d'hypothèses et de choix technologiques inappropriés. Ce sont, par exemple, les conditions de liaisons aux nœuds qui sont assimilées à des encastrements ou à des articulations parfaits, pour des raisons de modélisation de méthodes de calculs, alors qu'en réalité un nœud n'est que partiellement encastré ou articulé, ce qui conduit à raisonner sur des sollicitations de calculs différentes des sollicitations réelles affectant les pièces. Ce sont aussi des sections de profils correctement dimensionnés vis-à-vis de la résistance, mais non vérifiés vis-à-vis des exigences de déformations, qui présentent ainsi des flèches (poutres) ou des déplacements (têtes de poteaux) excessifs et incompatibles avec des équipements annexes, ce qui peut provoquer le cisaillement de façades vitrées, le blocage de ponts roulants, etc.

En conclusion, les causes des désordres en construction métallique sont multiples et ~eurs conséquences de portées très variables. TI faut simplement retenir que tous les mter:enants concernés (conception, calculs, dessins, fabrication, montage ... ) sont lmpliqués et responsables à leurs niveaux respectifs d'intervention, et que la prudence doit rester de rigueur pour tous. Malgré tout, la construction métallique reste un mode de construction séduisant, largement aussi sécurisant que les constructions en béton ou en bois.

Ce peut être également l'omission de la prise en compte, dans les calculs de pièces à treillis, des sollicitations secondaires parfois importantes, engendrées par la nonconcourance des axes neutres des barres aux nœuds des treillis. AU NIVEAU DE LA PRODUCTION

De nombreuses erreurs sont possibles, au niveau des plans d'exécution (cotation erronée ou oubliée, omission des renforts et des raidisseurs ...), au niveau de la fabrication proprement dite (erreurs de cotes, de perçages ... ) et au niveau des assemblages en atelier (cordons de soudure insuffisants, tant en épaisseur qu'en longueur). AU NIVEAU DU MONTAGE

Les problèmes surgissant au montage sur chantier résultent souvent de l' absence de calculs ou de vérifications spécifiques au montage. Les notes de calculs sont toujours réalisées "en phase définitive" (bâtiment en place). Elles prennent rarement en compte la "phase provisoire" de montage, laissant aux chefs-monteurs l' initiative des dispositions à mettre en œuvre, ce qui conduit généralement à de multiples problèmes, notamment : déversement de poutres au levage, effondrement de nappes tridimensionnelles lors de leur mise en place (en raison de l'inversion des sollicitations dans certaines barres), effondrement global de la structure en cours de montage du fait de l'absence de dispositifs de contreventement provisoires, etc. D'autres désordres peuvent survenir ultérieurement, lorsque le bâtiment est en service, bien que provenant de fautes de montage : soudures défectueuses, assemblages

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