MATEMATIKA DISKRIT
Kelompok 2 : 1. Khaira Aprinaldo Putra 2. Dandy Adila Putra 3. Annisa Mutiathul Jannah 4. Bima Ardiansyah
JURUSAN TEKNOLOGI INFORMASI PROGRAM STUDI D III TEKNIK KOMPUTER POLITEKNIK NEGERI PADANG 2017/2018
1
KATA PENGANTAR Puji syukur penulis ucapkan atas kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, yang telah memberikan kesehatan kesehatan jasmani dan rohani serta petunjuk dan kekuatan kepada kami sehingga tugas kelompok Matematika Diskrit ini bisa diselesaikan, diselesaikan, walau masih banyak kekurangan. kekurangan. Kritik dan saran sangat kami harapkan agar dapat lebih baik lagi l agi dikemudian hari. Penyusunan Penyusunan makalah ini dimaksudkan untuk memenuhi memenuhi salah satu tugas dari mata kuliah Pengantar Teknologi Informasi. Tugas ini disusun dan dibuat berdasarkan materi – materi materi yang ada pada Modul yang sudah diberikan dosen. Materi – materi materi bertujuan agar dapat menambah pengetahuan dan wawasan dalam belajar, serta juga dapat memahami nilai – nilai nilai dasar yang direfleksikan dalam berpikir dan bertindak. Mudah-mudahan dengan mempelajari Matematika ini, akan mampu menghadapi kesulitan yang timbul dalam belajar. Dan dengan harapan semoga semua mampu berinovasi dan berkreasi dengan potensi yang dimiliki serta bisa memahaminya. Padang, 15 April 2017
Penulis
2
DAFTAR ISI KATA PENGANTAR PENGANTAR ......................................... ............................................................... ............................................. .............................................. ......................... 1 DAFTAR DAFTAR ISI ............................................. .................................................................... ............................................. ............................................. ................................... ............ 3 BANK SOAL MATEMATIKA MATEMATIKA DISKRIT ....................... ............................................. ............................................. ................................ ......... 4 I.
LOGIKA LOGIKA............................................. ................................................................... ............................................ ............................................. ................................ ......... 4
II.
HIMPUNAN HIMPUNAN .......................................... ................................................................. ............................................. ............................................ ...................... 19
III.
GRAPH GRAPH ........................................... ................................................................. ............................................ ............................................. .............................. ....... 29
DAFTAR DAFTAR PUSTAKA PUSTAKA .......................................... ................................................................. ............................................. ............................................ ......................41
3
BANK SOAL MATEMATIKA DISKRIT I.
LOGIKA
1. Tentukan negasi dari kalimat berikut. a. Hari ini adalah minggu atau senin. b. Jika saya lelah dan sibuk, maka saya tidak bias belajar. c. Dalam proses translate d. Bulan terbit di barat. e. Segitiga sama sisi diperlukan dan cukup untuk untuk tiga sisi yang sama. f. 2 + 3 ≠ 18 2. Tulis masing-masing berdasarkan symbol yang membentuk pernyataan. a. Ram kaya dan tak bahagia. b. Sudep berbicara bahasa inggris atau Oriya. c. Saya lapar dan saya bisa belajar. d. Saya lelah jika dan hanya jika saya bekerja dengan keras. keras. e. Jika Bhubaneswar adalah sebuah sebuah kota, maka itu adalah itu adalah ibukota dari Orissa. f. 5+2=7 jika 7-2=5 3. Tulis nilai kebenaran kebenaran dari masing-masing kalimat a. Matahari terbit di sebelah selatan b. Manusia adalah makhluk hidup c. Delhi adalah ibukota India d. Jika tiga sisi dari segitiga sama, maka itu adalah segitiga sama sisi e. (11101)2 + (1)2 =(11110) 2 f. (11101)2 + (1)10 =(11110)10 g. (111111) 2 + (1)2=(100000) 2 dan (111)2=(7)10 h. (270)8 + (5)8 = (184)10 atau (11101) 2 + (111) 2 = (100101) 2 4. Tulis konversi, inversi dan kontra positif dari kalimat melalui kalimat bersyarat bersyarat a. Pada system bilangan biner 1+1=10 b. Makanan yang baik tidak murah c. Jika 9x+36=9 maka x≠17 \ d. Jika cos(x)=1 maka x=0 e. Dua set yang sama jika mereka mengandung mengandung jumlah yang sama darinelemen 5. 1+1=3 dan romulu dan remus mendirikan kota new york itu adalah proposisi salah 6. 1+1=2 dan tahun tahun 1996 adalah tahun lompatan, lompatan, itu adalah proposisi benar benar 7. Pergi langsung ke penjara penjara tidak proposisi, proposisi, karena karena karena itu kalimat perintah bukan bukan pernyataan pernyataan 8. “x > 5” bukan proposisi, Karena itu kebenaran nilai tidak dapat ditentukan kecuali nilai dari x tidak ketahui 9. Kalimat ini adalah salah tidak ti dak proposisi karena ini tidak dapat memberikan kebenaran nilai tanpa penciptaan pertentangan
4
10. Dalam tabel kebenaran evaluasi senyawa proposisi p ∨ ( p ∧ q) di dalam tanda kurung ekspresi lahiriah,langkah-langkah untuk mengevaluasi p, selanjutnya ( p ∧ q), dan kemudian p ∨ ( p ∧ q): ￢
￢
￢
￢
11. Buatlah tabel kebenaran untuk masing-masing kalimat berikut: a. (S ∧ T) ∨ ∼ (S ∨ T) b. (S ∨ T) ⇒ (S ∧ T) 12. Membiarkan S = Semua ikan memiliki kelopak mata. T = Tidak ada keadilan di dunia. U = Saya percaya semua yang saya baca. V = Bulan adalah balon. Ekspresikan masing-masing kalimat berikut menggunakan huruf S, T, U, V dan konektif ∨, ∧, ∼, ⇒, ⇔. Jangan gunakan quantifiers. a. Jika ikan memiliki kelopak mata maka setidaknya ada beberapa keadilan di dunia. b.Jika saya percaya semua yang saya baca maka bulan adalah balon atau setidaknya beberapa ikan tidak memiliki kelopak mata. 13. Membiarkan S = Semua politisi jujur. T = Beberapa pria bodoh. U = Saya tidak punya dua sel otak untuk digosok bersama. W = Pie ada di langit.
5
Terjemahkan masing-masing kalimat berikut ke dalam bahasa Inggris: a. (S∧ ∼ T) ⇒∼ U b. W ∨ (T∧ ∼ U) 14. Nyatakan kebalikan dan kontrapositif dari masing-masing kalimat berikut. Pastikan untuk memberi label masing-masing. a. Agar hujan perlu ada awan. b. Agar hujan itu cukup bahwa ada awan. 15. Asumsikan bahwa alam semesta adalah sistem R biasa dengan bilangan real. Manakah dari kalimat berikut yang benar? Mana yang salah? Berikan alasan untuk jawaban Anda. a.
Jika π rasional maka luas lingkaran adalah E = mc2.
b. Jika 2 + 2 = 4 maka 3/5 adalah bilangan rasional. 16. Untuk masing-masing pernyataan berikut, buatlah rumus yang setara secara logis hanya dengan menggunakan S, T, ∼, dan ∨. (Tentu saja Anda dapat menggunakan tanda kurung sebanyak yang Anda butuhkan.) Gunakan tabel kebenaran atau cara lain untuk menjelaskan mengapa pernyataan itu secara logis setara. a. S ⇒∼ T b. ∼ S∧ ∼ T 17. Untuk setiap pernyataan berikut, rumuskan kalimat bahasa Inggris yang negasinya: a. Set S berisi setidaknya dua bilangan bulat. b. Mares makan gandum dan makan gandum. 18. Manakah dari pasangan pernyataan ini yang secara logis setara? Mengapa? (a) A∨ ∼ B (b) A∧ ∼ B
∼ A ⇒ B ∼ A ⇒∼ B
19. proposisi adalah 20. Proposisi p ∨ ¬p adalah 21. proposisi p ∧ ¬p adalah
6
22. Sebuah proposisi yang bukan merupakan tautologi atau kontradiksi disebut
23. Periksa persamaan logis berikut:
¬ (p → q) ≡ p ∧ ¬q p → q ≡ ¬q → ¬p ¬ (p ↔ q) ≡ p ⊕ q 24. Predikat atau fungsi proposisional adalah... 25. Tulis secara formal pernyataan "untuk setiap bilangan real ada bilangan real yang lebih besar". Tulis negasi dari pernyataan itu. 26. Buktikan bahwa jika x> 2 dan y> 3 maka x + y> 5.
27. Buktikan bahwa jika x + y> 5 maka x> 2 atau y> 3. 28. Buktikan dengan kontradiksi bahwa jika x + y> 5 maka baik x> 2 atau y> 3. 29. Buktikan dengan kontradiksi bahwa √2 bukan an gka yang rasional,
yaitu, tidak ada bilangan bulat a, b seperti itu √2 = a / b.
30. Mengekspresikan proposisi berikut ke dalam bentuk simbolik dan identifikasikan pokok utama. a. Entah karen belajar menghitung dan minh tidak belajar matematika, atau minh belajar matematika. b. Jika keadaan cuaca tidak cerah, maka saya akan membawa payung. c. Program akan berhenti jika dan hanya jika input tidak angka atau tombol escape ditekan. d. Jika X=7 dan Y≠4 dan Z≠2, maka hal ini tidak benar, jika Y=4 atau Z≠2 maka X=7 atau Z=2. (asumsikan kalimat ini kedalam konteks dimana X, Y, dan Z telah ditetapkan nilainya, sehingga merupakan proposisi asli). 31. p dan q menunjukkan masing- masing proposisi ‘hujan salju’ dan ‘aku akan pergi ski’. Tuliskan kalimat yang sesuai dengan proposisi berikut. a. ~p^q b. p→q c. ~q→p d. (p˅~q)^p
7
32. a. Membangun tabel kebenaran untuk ikatan
XOR dengan simbol φ, dimana p φ q berarti ‘salah satu p atau q tetapi bukan keduanya’ b. membangun sebuah tabel kebenaran untuk menunjukkan bahwa p φ q secara logis setara dengan (p˅q)^~(p^q)
33. tuliskan sebuah kalimat untuk komunikasi dan kontrapositif dari proposisi berikut. a. Jika input file ada, maka pesan kesalahan tidak dihasilkan. b. Jika database tidak dapat diakses, maka program saya tidak dapat jalan. c. Jika program tidak mengandung bug, maka menghasilkan output yang benar. 34. Tuliskan kalimat bahasa Inggris yang sesuai dengan kebalikannya dan kontrapositif
dari p→q, dimana p dan q didefinisikan dalam Latihan 2.
35. Bangun tabel kebenaran untuk ekspresi berikut. Dalam setiap kasus, nyatakan apakah ungkapan itu adalah tautologi, kontradiksi, atau tidak tidak keduanya.
(a) ~(p˅~q)˅p (b) [p→ (p^ q)] →~ q (c) (p^ q)↔(~p˅~ q) (d) [(p^ r)˅ (q^ r)]→ (p →~ q)
36. Misalkan P dan Q menunjukkan dua ekspresi logis. Jika P salah untuk a set tertentu dari nilai-nilai kebenaran dari variabel, then P^Q harus menjadi false untuk set nilai itu, jadi tidak perlu mencari nilai kebenaran Q.
(a) Nyatakan aturan serupa yang melibatkan P˅Q.
(b) Menggunakan kedua aturan ini sebagai jalan pintas, buatlah tabel kebenaran untuk ekspresi berikut. (Aturannya beberapa entri dalam tabel mungkin dibiarkan kosong, tetapi yang terakhir kolom harus tetap lengkap).
(i) [~(p^ q)^ (p ˅~ r)]^ [(p^ r) ˅~ q] (ii)~ [~ p^ (q˅ r)]˅ (~ p ^~ r)
37. Gunakan tabel kebenaran untuk menun jukkan bahwa (p˅~ q) dan~ p^ q secara logis setara. 38. Menggunakan tabel kebenaran, buktikan hukum logika berikut:
(a) p^ (q˅ r)≡ (p^ q)˅ (p^ r) (b) p^ (p˅ q)≡ p
39. Gunakan hukum logika untuk menyederhanakan ekspresi berikut:
(a) (p ˅~ q)^ (p˅ q) (b)~ [p →~ (p^ q)] (c)~ [p˅ (q ^~ p)] (d) [(p↔ q) →~ (r→ p)]˅ (r →~ q)
8
40. Algoritma berisi baris berikut: Jika tidak (x 3 dan x < 6) maka ... Bagaimana ini bisa ditulis lebih sederhana? 41. Tulis ulang pseudocode berikut menggunakan While-do sebagai pengganti Repeat-until: 1. n 0 2. term 1 3. jumlah 0 4. Ulangi 4.1. n n+ 1 4.2. termterm/2 4.3. jumlah jumlah+term Until term<0.001 atau n=100 42. Gunakan hukum logika untuk mengklasifikasikan ekspresi berikut sebagai tautologi atau kontradiksi: (a) (p ^~ q)˅ (~ p˅ q)
(b) [p→ (q→ p)]↔ (p ^~ p) (c) [p^ (p→ q)]→ Q
43. Ekspresikan argumen berikut dalam bentuk simbolis dan ujilah validitas menggunakan hukum logika:
‘Jika n> 10 ketika pernyataan panggilan subrutin tercapai, lalu subrutin disebut. Subrutin disebut. Karena itu n> 10 ketika pernyataan panggilan subrutin tercapai’.
44. Ekspresikan argumen berikut dalam bentuk simbolis dan ujilah validitas menggunakan hukum logika:
‘Sandra sedang belajar Komputasi atau Sandra tidak belajar Akuntansi. Jika Sandra sedang belajar Akuntansi maka Sandra adalah tidak belajar Komputasi. Karena itu Sandra sedang belajar komputasi"
45. Temukan ekspresi yang secara logis setara dengan p˅ q tetapi hanya menggunakan penghubung and dan not. 46. Nand konektif, dengan simbol | (kadang-kadang disebut stroke sheffer), didefinisikan oleh tabel kebenaran ditunjukkan pada tabel 4.14
9
(A) Temukan ekspresi yang secara logis setara dengan ~p hanya menggunakan nand konektif. (B) Temukan ekspresi yang secara logis setara dengan p ^ q hanya menggunakan nand konektif. (C) Temukan ekspresi yang secara logis setara dengan p ˅ q hanya menggunakan nand konektif (Latihan ini menunjukkan beberapa ekspresi apa pun yang dibangun menggunakan konektif and, or dan not dapat dikonversi menjadi logis ekuivalen ekspresi hanya menggunakan konektif nand). 47. Tuliskan proposisi berikut secara simbolis dalam notasi logika predikat, dan nyatakan nilai kebenarannya: (a) Ada bilangan real x seperti x 2 - 3x+ 2 = 0. (b) Untuk setiap bilangan real x ada bilangan real y seperti x = y 2. 48. Tuliskan negasi dari proposisi dalam Latihan 18 dalam bentuk simbolis dan dalam bahasa Inggris. 49. Dalam spesifikasi desain sistem peminjaman perpustakaan, B (p, b) menunjukkan predikat 'orang p telah meminjam buku b', dan O (b) menandakan predikat 'buku b sudah lewat'. Tuliskan kalimat berikut dalam bentuk simbolis:
(a) Orang p telah meminjam buku. (Asumsikan bahwa ‘a’ berarti ‘pada setidaknya satu’). (b) Buku b telah dipinjam. (c) Buku b ada di rak. (d) Orang p telah meminjam setidaknya dua buku. (e) Tidak ada buku yang dipinjam oleh lebih dari satu orang. (f) Tidak ada buku yang terlambat. (g) Jika sebuah buku terlambat, maka itu pasti sudah dipinjam. (h) Orang p memiliki buku yang terlambat.
50. Buktikan masing-masing pernyataan berikut: (a) Jumlah dari bilangan genap dan bilangan ganjil adalah ganjil. (b) Produk dari dua angka ganjil itu ganjil. (c) Jika x +y <2 lalu x <1 atau y <1, untuk bilangan real x dan y. (d) Jumlah dari lima bilangan bulat berturut-turut habis dibagi 5. (e) Jika n adalah bilangan bulat, maka n 2+ n adalah genap. (f) Jika n adalah bilangan bulat ganjil, maka n 2 - 1 habis dibagi 4. 51. Isikan rincian dalam garis besar berikut dari bukti bahwa √ 2 adalah irrasional: 1. asumsikan m/n = √ 2 di mana m dan n adalah bilangan asli. jelaskan mengapa kita dapat berasumsi bahwa m dan n tidak keduanya. 2. menyimpulkan bahwa m 2 = 2n2 dan jelaskan mengapa m harus genap 3. biarkan m = 2k (di mana k adalah bilangan asli), dan simpulkan bahwa m adalah genap 4. jelaskan bagaimana ini membuktikan bahwa √ 2 tidak rasional 10
52. Temukan sebuah tandingan untuk masing-masing pernyataan berikut: (a) Setiap nomor alami yang habis dibagi oleh 4 dan 6 juga habis dibagi 24. (b) Jika n adalah bilangan asli, maka n 4 + 4 merupakan kelipatan 5. (c) Setiap bilangan alami dapat dinyatakan dalam bentuk x 2 + y2 + z2 untuk beberapa bilangan bulat non-negatif x, y dan z. (d) Untuk setiap bilangan natural n, n 3 2n - 1. 53. Perhatikan pernyataan referensi diri berikut ini: "Pernyataan ini memiliki lima kata." (a) Apa nilai kebenaran dari pernyataan itu? (B) Tuliskan negasi dari pernyataan tersebut. Apa nilai kebenarannya? (Latihan ini menunjukkan jenis kesulitan yang dapat timbul dengan pernyataan self-referensial, bahkan jika tampaknya memiliki yang terdefinisi dengan baik nilai kebenaran.) 54. Di satu sisi kartu tertulis: "Pernyataan di sisi lain kartu ini benar." Di sisi lain kartu tertulis: "Pernyataan di sisi lain dari kartu ini salah." Jelaskan bagaimana sebuah paradoks muncul dalam situasi ini. (Masalahnya adalah dikenal sebagai paradoks kartu Jourdain.) Empat orang menggunakan komputer di laboratorium komputer. Kamu tahu bahwa orang pertama adalah siswa dan yang kedua tidak, tapi Anda tidak tahu apakah mereka menggunakan perangkat lunak pada jaringan. Anda tahu bahwa orang ketiga menggunakan perangkat lunak jaringan dan yang keempat tidak, tetapi Anda tidak tahu apakah mereka adalah murid. Sebagai pengawas laboratorium, Anda diminta untuk menegakkan aturan bahwa hanya siswa yang diizinkan untuk menggunakan perangkat lunak di jaringan. Dua orang yang harus Anda tanyakan, dan apa yang sebaiknya Anda tanyakan pada mereka? 55. Jika A = {1,2,3,4,5} dan B = {0,3,6}. Tentukan a) A ∪ B b) A ∩ B c) A – B d) B – A 56. Jika A = {a,b,c,d,e} dan B = {a,b,c,d,e,f,g,h}. Tentukan a) A ∪ B b) A ∩ B
11
c) A – B d) B – A 57. Jika A sebuah himpunan. Tampilkan A = A 58. Jika A dan B sebuah himpunan. Tampilkan a) A ∪ B = B ∪ A b) A ∩ B = B ∩ A 59. Diberikan P = { 1, 2, 3, 9, 12, 13 }. Himpunan kelipatan 3 yang terdapat di P adalah.. 60. Diketahui { 15, 4, 7, 6, 2 } ∩ { 2, 4, 6, 8 } = { 4, × 6 }, maka x adalah… 61. A adalah himpunan bilangan asli yang kecil dari 10 62. M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah matematika diskrit} Atau 63. Jika A = { 0, 1 } dan B = { x | x ( x – 1) = 0 }, 64. Dari 100.000 buah bilangan bulat positif pertama, berapa banyak bilangan yang mengandung tepat 1 buah angka 3, 1 buah angka 4, dan 1 buah angka 5? 65. Dari survei di sebuah kelas diketahui bahwa ada 25 siswa yang menyukai matematika dan 30 yang menyukai bahasa Inggris. Ditemukan pula bahwa di kelas itu ada 15 orang yang suka matematika dan bahasa Inggris. Ada berapa siswa dalam kelas itu? 66. Sederhanakan A ∪(A ∩ B) 67. Misalkan A{1, 2, 3, 4} dan relasi R dibawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka, 68. Misalkan B = {a,I,u,e,o} dan S = {1,2,3} 69. Berapa banyak bilangan bulat antara 501 sampai 1000 yang tidak habis dibagi 3 atau 5? 70. Tunjukan bahwa untuk sembarang himpunan A dan B, berlaku (i) A ∪ (A ∩ B) = A ∪ B dan (ii) A ∩ (A ∪ B) = A ∩ B 71. Misalkan A = {2, 3, 4} dan B = {2, 4, 8, 9, 15}. Jika kita definisikan relasi R dari A ke B dengan aturan : (a, b) ∈ R jika a faktor prima dari b 72. Pertimbangkan proposisi: p : Max sedang ngambek. q : Hari ini adalah hari ulang tahunku. Tuliskan kata-kata proposisi majemuk yang diberikan oleh: (i) ¯ p ∧ q (ii) p ∨ q (iii) ¯ p → q (iv) q↔p 73. Pertimbangkan proposisi: p : Mary tertawa. q : Sally menangis. r : Jo berteriak. Tuliskan kata-kata proposisi gabungan berikut ini: p → (q r) (i)
12
(ii) (r ∧ q) ↔ p (iii) (p → ¯q) ∧ (r → q) (iv) p ∨ (¯ q ∨ ¯r) (v) (p ∨ r) ↔ ¯q 74. Jika p, q dan r menunjukkan proposisi berikut: p : Kelelawar buta q : Gnats memakan rumput r : Semut memiliki gigi yang panjang Ungkapkan proposisi majemuk berikut secara simbolis. (i) Jika kelelawar buta maka serangga tidak memakan rumput. (ii) Jika dan hanya jika kelelawar buta atau serangga memakan rumput, maka semut tidak memilikinya gigi yang panjang. (iii) Semut tidak memiliki gigi yang panjang dan, jika kelelawar buta, maka nyamuk tidak makan rumput. (iv) Kelelawar buta atau serangga memakan rumput dan, jika serangga tidak memakan rumput, maka semut tidak memiliki gigi yang panjang. 75. Gambarkan sebuah tabel kebenaran dan tentukan untuk apa nilai-nilai kebenaran p dan q itu proposisi ¯ p ∨ q salah. 76. Gambarkan tabel kebenaran untuk proposisi: ¯ p → q (i) (ii) ¯ q ∧ p (iii) (p ∨ q) → (p ∧ q) (p → q) ¯ q (iv) (v) ¯ p ↔ (p ∧ q) (vi) (¯ p ∧ q) (p ∨ ¯q). 77. Pertimbangkan dua proposisi: p: John kaya. q: John tidak jujur Dalam keadaan apa proposisi majemuk 'Jika John jujur maka dia tidak kaya 'salah? 78. Mengingat tiga proposisi p, q dan r, buat tabel kebenaran untuk: (i) (p ∧ q) → ¯r (ii) (p r) ∧ ¯q (iii) p ∧ (¯ q ∨ r) (iv) p → (¯ q ∨ ¯r) (v) (p ∨ q) ↔ (r ∨ p). 79. Tentukan apakah masing-masing dari berikut ini adalah tautologi, kontradiksi atau tidak: 1. p → (p ∨ q) 2. (p → q) ∧ (¯ p ∨ q) 3. (p ∨ q) ↔ (q ∨ p) 4. (p ∧ q) → p 5. (p ∧ q) ∧ (p ∨ q) 6. (p → q) → (p ∧ q) 7. (¯p ∧ q) ∧ (p ∨ ¯q) 8. (p → ¯q) ∨ (¯ r → p) 13
9. [p → (q ∧ r)] ↔ [(p → q) ∧ (p → r)] 10. [(p ∨ q) → ¯r] (¯ p ∨ ¯q) Latihan 1.3 1. Buktikan bahwa (p → q) ≡ (¯ p ∨ q). 2. Buktikan bahwa (p ∧ q) dan (p → ¯q) adalah proposisi logis yang setara. 3. Buktikan bahwa (p q) ≡ (p ¯ q). 4. Buktikan bahwa p secara logis berarti (q → p). 5. Buktikan bahwa (¯ q → ¯ p) (p → q). 6. Buktikan implikasi logis berikut : (i) (p ∧ q) q (ii) (p ∧ q) p (iii) [(p → q) ∧ p] q [(p → q) ∧ (p ∨ r)] (q ∨ r) (iv) (v) p (q → p) (vi) [(p ∨ q) ∧ ¯q] p 7. Buktikan bahwa pemisahan eksklusif p dan q secara logis setara dengan negasi dari
proposisi biconditional p ↔ q. 8. Tunjukkan bahwa proposisi biconditional p ↔ q secara logis setara dengan konjungsi dari dua proposisi kondisional p → q dan q → p. (Dengan demikian, dalam p ↔ q biconditional, proposisi p adalah diperlukan dan kondisi yang cukup untuk q dan q adalah kondisi yang diperlukan dan cukup untuk p.) 9. Tetapkan persamaan logis berikut: (p → q) ≡ (p ∧ ¯q) (i) (ii) (p ↔ q) ≡ (p ∧ ¯q) ∧ (q ∧ ¯p) (iii) (p ∨ q) ≡ (¯p ∧ ¯q) (iv) (p q) ≡ (p ∧ ¯q) ∧ (q ∧ ¯p). (Hasil ini menunjukkan bahwa setiap proposisi gabungan yang melibatkan disjungtif (baik bentuk), kondisional bersyarat atau biconditional dapat ditulis dalam bentuk yang secara logis setara yang hanya melibatkan negasi dan konjungsi.) 10. Pertimbangkan ikat baru, dilambangkan dengan |, di mana p | q didefinisikan oleh tabel kebenaran berikut:
Menunjukkan bahwa: (i) ¯ p ≡ (p | p) (ii) (p ∧ q) ≡ (p | q) | (p | q). Gunakan hasil untuk latihan 1.3.9 di atas untuk menyimpulkan bahwa sebuah proposisi melibatkan salah satu dari lima konektor akrab dapat ditulis secara logis bentuk ekuivalen yang hanya menggunakan penghubung yang dilambangkan oleh |.
14
Latihan 1.4 1. Buktikan setiap persamaan logis berikut menggunakan metode contoh 1.8. (i) (p ∧ p) ∨ (¯ p ∨ ¯p) ≡ t (ii) (p ∧ q) ∧ q ≡ p ∧ q. (iii) ¯ p ∧ (p ∧ q) ≡ ¯p (iv) p ∧ [(p ∨ q) ∨ (p ∨ r)] ≡ p (v) q ∧ [(p ∨ q) ∧ (¯ q ∧ ¯p)] ≡ q 2. Gunakan metode contoh 1.8 untuk menunjukkan bahwa p ∧ (q ∨ ¯p) adalah logis setara dengan p ∧ q. Nyatakan dualitas masing-masing dari dua proposisi ini dan menunjukkan bahwa dua proposisi ganda juga secara logis setara. 3. Nyatakan kebalikan, kebalikan dan kontrapositif dari proposisi: ‘Jika ya bukan hari minggu maka supermarket buka sampai tengah malam '. Latihan 1.5 Uji validitas argumen berikut. 1. Jika Anda berjudi, Anda bodoh. Anda tidak bodoh karena itu Anda tidak berjudi. 2. Jika saya meninggalkan perguruan tinggi maka saya akan mendapat pekerjaan di bank. Saya tidak meninggalkan bangku kuliah begitu Saya tidak akan mendapat pekerjaan di bank. 3. James adalah seorang polisi atau pemain bola. Jika dia seorang polisi, maka dia memiliki kaki besar. James tidak memiliki kaki besar jadi dia seorang pemain bola. 4. Jika saya bisa berenang, saya akan berlayar bersama Anda. Saya tidak bisa berenang jadi saya tidak datang berlayar denganmu. 5. Jika Anda merasa ini sulit, maka Anda bodoh atau tidak melakukannya pekerjaan rumah. Anda telah menyelesaikan pekerjaan rumah dan Anda tidak bodoh karenanya Anda tidak akan menemukan ini sulit. 6. Anda bisa keluar jika dan hanya jika Anda mencuci. Jika kamu pergi keluar maka Anda tidak akan menonton televisi. Karena itu Anda juga menonton televisi atau mencuci tetapi tidak keduanya. 7. Jika saya lulus pada bulan Juni maka saya akan pergi berlibur di musim panas. Di musim panas Saya akan mendapatkan pekerjaan atau saya akan pergi berlibur. Saya tidak akan pergi berlibur di musim panas jadi saya tidak akan lulus pada bulan Juni. 8. Jika ada awan di langit maka matahari tidak bersinar dan jika matahari tidak bersinar maka suhu turun. Suhu tidak turun begitu tidak ada awan di langit. 9. Saya akan menjadi pengacara atau bankir (tetapi tidak keduanya). Jika saya menjadi pengacara maka saya tidak akan pernah kaya. Karena itu saya akan kaya hanya jika saya menjadi bankir. 10. Jika Anda memenuhi syarat untuk masuk maka Anda harus di bawah 25 dan jika Anda tidak di bawah 25 maka Anda tidak memenuhi syarat untuk mendapatkan beasiswa. Karena itu jika Anda memenuhi syarat untuk mendapatkan beasiswa, Anda memenuhi syarat untuk diterima. 80. Buatlah tabel kebenaran untuk (p = ⇒ q) ∧ q. 81. Dengan menggunakan tabel kebenaran, tentukan apakah (p ∧q) ∨ (¬p) = p ∨ (¬p). Artinya, Anda ingin membandingkan output (p ∧q) ∨ (¬p) dan p ∨ (¬p).
15
82. Jelaskan apakah pernyataan berikut benar dan meniadakannya tanpa menggunakan simbol negasi ¬: ∀n ∈ N ∃m ∈ N n> 3 = ⇒ (n + 7) 2> 49+ m Jelaskan apakah pernyataan berikut benar dan meniadakannya tanpa menggunakan simbol negasi ¬ ∀n ∈ N ∃m ∈ N n2> 4n = ⇒ 2n> 2m + 10 83. Buktikan melalui set inklusi yang (A ∪ B) ∩C = (A∩C) ∪ (B∩C). 84. Masalah Dapatkan sejumlah produk untuk tabel kebenaran
85. Gunakan Prinsip Inklusi-Pengecualian untuk menentukan berapa banyak bilangan bul at dalam himpunan {1,2, ..., 200} yang tidak habis dibagi 3 atau 7 tetapi habis dibagi 11. 86. Menggunakan tabel kebenaran atau sebaliknya, periksa bahwa masing-masing dari berikut ini adalah tautologi: a. p → (p ∨ q) b. ((p ∧ q) → q) → (p → q) c. p → (q → p) d. (p ∨ (p ∧ q)) ↔ p e. (p → q) ↔ (q → p) 87. Untuk masing-masing hal berikut, putuskan apakah pernyataan itu benar atau salah, dan membenarkan penegasan Anda: a. Jika p benar dan q salah, maka p ∧ q benar. b. Jika p benar, q salah dan r salah, maka p ∨ (q ∧ r) benar. c. Kalimat (p ↔ q) ↔ (q ↔ p) adalah tautologi. d. Kalimat p ∧ (q ∨ r) dan (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) secara logis setara 88. Biarkan U = {a, b, c, d}, P = {a, b} dan Q = {a, c, d}. Tuliskan elemen-elemen set berikut ini: a. b. c. d.
P ∪ Q P ∩ Q P Q
89. Anggaplah P, Q, dan R adalah himpunan bagian N. Untuk setiap hal berikut, nyatakan
apakah atau tidak pernyataan itu benar, dan membenarkan penegasan Anda dengan mempelajari kalimat analog dalam logika: a. P ∪ (Q ∩ R) = (P ∪ Q) ∩ (P ∪ R). b. P ⊆ Q jika dan hanya jika Q ⊆ P. c. Jika P ⊆ Q dan Q ⊆ R, maka P ⊆ R. 16
90. Untuk masing-masing kalimat berikut, ekspresikan kalimat dalam kata-kata, sangkal kalimat, dan katakan a. apakah kalimat atau negasinya benar: b. a) ∀z ∈ N, z2 ∈ N b) ∀x ∈ Z, ∀y ∈ Z, ∃z ∈ Z, z2 = x2 + y2 c. c) ∀x ∈ Z, ∀y ∈ Z, (x> y) → (x = y) d) ∀x, y, z ∈ R, ∃w ∈ R, x2 + y2 + z2 = 8w 91. P= dingin dan q= hujan Memberikan contoh yang mendiskrpsikan : (a) ¬p; (b) p ∧ q ; (c) p ∨ q ; (d) q ∨ ¬p. 92. Jawab pernyantaan berikut tanpa menggunakan bersyarat : (a) jika dingin, dia memakai topi. (b) jika produktivitas meningkat, maka harga naik. 93. tentukan kebalikan positf dari pernyataan : (a) jika erik seorang penyair, maka dia miskin. (b) jika marc belajar maka dia lulus ujian. 94. Jawab negasi dari setiap pernyataan berikut: (a) jika dia bekerja , dia akan menghasilkan uang. (b) dia berenang jika dan hanya jika airnya panas. (c) jika salju, maka mereka tidak mengemudi. 95. Tentukan table kebenaran untuk . (a) p ∨ ¬q ; (b) ¬p ∧ ¬q Negasi pernyataan berikut: (a) jika guru tidak masuk, maka bebereapa muruid tidak menyelesaikan pr (b) semua murida menyelesaikan pr dan guru masuk. (c) beberapa murid tidak menyelesaikan pr atau guru tidak masuk. 6. . tes validasi pernyataan berikut: (a) jika hujan, erik sakit. Tidak hujan Erik tidak sakit (b) Jika hujan , erik sakit. Erik tidak sakit Hari tidak hujan 96.
tes validasi pernyataan berikut: Jika saya belajar, maka saya tidak gagal dalam matematika. Jika saya tidak bermain basket, maka saya belajr. Saya gagal matematika Maka saya bermain basket.
17
18
II.
HIMPUNAN
1. Beberapa hubungan umum dan apakah mereka memiliki sifat tertentu yang diberikan dalam tabel berikut:
2. Jika A adalah set, relasi universal adalah relasi R pada A × A sedemikian rupa sehingga aRb untuk semua a, b ∈ A; yaitu, R = A × A 3. Jika A adalah set apapun, relasi kosong adalah relasi R pada A × A di mana aRb tidak pernah benar; yaitu, R = ∅. 4. Jika A adalah set apapun, relasi R pada A di mana aRb jika hanya jika a = b adalah identitas(atau diagonal) relasi I = IA = {(a, a) | a ∈ A}, yang juga ditulis Δ atau ΔA. 5. Setiap fungsi f: A → B menginduksi relasi biner Rf dari A ke B di bawah aturan aRf b jika dan hanya jika f (a) = b. 6. Untuk A = {2, 3, 4, 6, 12}, misalkan aRb berarti a adalah pembagi b. Kemudian R dapat diwakili oleh set{(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 12), (3, 3), (3, 6), (3, 12), (4, 4), ( 4, 12), (6, 6), (6, 12), (12, 12)}. Relasi R juga dapat direpresentasikan oleh digraf dengan adjacency matriks berikut 7. Beberapa hubungan umum dan apakah mereka memiliki sifat tertentu yang diberikan dalam tabel berikut:
8. Jika A adalah set, relasi universal adalah relasi R pada A × A sedemikian rupa sehingga aRb untuk semua a, b ∈ A; yaitu, R = A × A
19
9. Jika A adalah set apapun, relasi kosong adalah relasi R pada A × A di mana aRb tidak pernah benar; yaitu, R = ∅. 10. Jika A adalah set apapun, relasi R pada A di mana aRb jika hanya jika a = b adalah identitas(atau diagonal) relasi I = IA = {(a, a) | a ∈ A}, yang juga ditulis Δ atau ΔA. 11. Setiap fungsi f: A → B menginduksi relasi biner Rf dari A ke B di bawah aturan aRf b jika dan hanya jika f (a) = b. 12. Untuk A = {2, 3, 4, 6, 12}, misalkan aRb berarti a adalah pembagi b. Kemudian R dapat diwakili oleh set{(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 12), (3, 3), (3, 6), (3, 12), (4, 4), ( 4, 12), (6, 6), (6, 12), (12, 12)}. Relasi R juga dapat direpresentasikan oleh digraf dengan adjacency matriks berikut 13. Misalkan S = {1, 2, 3, 4, 5}, T = {3, 4, 5, 7, 8, 9}, U = {1, 2, 3, 4, 9}, V = {2, 4,6, 8}. Hitung masing-masing hal berikut: a. (S ∪ V) ∩ U b. (S ∩ T) ∪ U 14. Biarkan S mengatur dan biarkan T = ∅. Apa yang bisa Anda katakan tentang S × T? 15. Buktikan rumus berikut untuk set acak S, T, dan U. [Petunjuk: Anda mungkin menemukan diagram Venn berguna untuk memandu pemikiran Anda, tetapi diagram Venn bukanlah bukti.] a. S ∩ (T ∪ U) = (S ∩ T) ∪ (S ∩ U) b.S ∪ (T ∩ U) = (S ∪ T) ∩ (S ∪ U) 16. Gambarkan diagram Venn untuk mengilustrasikan bagian (a) dan (b) Latihan 3.3. 17. Misalkan A ⊂ B ⊂ C. Apa itu A \ B? Apa itu A \ C? Apa itu A ∪ B? 18. Jelaskan set Q \ Z dalam kata-kata. Jelaskan R \ Q. 19. Jelaskan Q × R dalam kata-kata. Jelaskan Q × Z. 20. Jelaskan (Q × R) \ (Z × Q) dalam kata-kata 21. Berikan deskripsi eksplisit tentang rangkaian daya S = {a, b, 1, 2}. 22. Biarkan S = {a, b, c, d}, T = {1, 2, 3}, dan U = {b, 2}. Manakah dari pernyataan berikut ini yang benar? a. {a} ∈ S b.1 ∈ T c. {b, 2} ∈ U 23. Tuliskan power set dari masing-masing set:
20
a. {1, ∅, {a, b}} b. {,,∂} 24. Buktikan dengan menggunakan induksi pada k bahwa jika himpunan S memiliki k elemen dan himpunan T memiliki elemen l maka himpunan S × T memiliki elemenelemen. 25. P(A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, A} Buktikan dengan induksi bahwa jika | A | = n maka | P (A) | = 2^n. 26. Misalkan M, P, dan C adalah kumpulan siswa yang mengambil mata pelajaran Matematika, kursus Fisika dan kursus Ilmu Komputer masing-masing di universitas.
Asumsikan | M | = 300, | P | = 350, | C | = 450, | M ∩ P | = 100, | M ∩ C | = 150, | P ∩ C | = 75, | M ∩ P ∩ C | = 10. Berapa banyak siswa yang mengambil salah satu kursus itu?
27. jika f: Z → Z ditentukan oleh f (x) = x + 3, maka inversnya adalah 28. Jika A dan B adalah set yang sama, maka setiap subset dari A × A akan menjadi relasi biner dalam A. Sebagai contoh, asumsikan A = {1, 2, 3, 4}. Kemudian relasi biner "kurang dari" dalam A akan menjadi? 29. Contoh:
1. Ketidaksetaraan yang tidak ketat (≤) di Z.
2. Hubungan divisibilitas pada Z +: a | b ⇔ ∃t, b = at. 3. Setel inklusi ( ⊆) pada P (A) (kumpulan himpunan bagian dari himpunan A). Latihan: buktikan bahwa hubungan yang disebutkan di atas sebenarnya adalah sebagian perintah. 30. Berdasarkan no 5 apakah ketimpangan yang ketat (<) urutan sebagian pada Z? 31. Diagram Hasse. Diagram Hasse adalah representasi grafis dari set sebagian memerintahkan di mana setiap elemen diwakili oleh titik (node atau vertex dari diagram). Penggantinya langsung ditempatkan di atas node dan terhubung ke itu oleh segmen garis lurus. Sebagai contoh, gambar 2.16 mewakili diagram Hasse untuk hubungan divisibilitas pada {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Bagaimana diagram Hasse mencari set yang benar-benar dipesan? 32. pada Z, adalah sebagai berikut: x ≡ y (mod 2) ("x adalah kongruen ke y modulo 2") i ff x − y genap. Misalnya, 6 ≡ 2 (mod 2) karena 6 - 2 = 4 sama, tetapi 7 6≡4 (mod 2), karena 7 - 4 = 3 tidak sama. Kongruensi modulo 2 sebenarnya adalah hubungan kesetaraan:
1. Refleksif: untuk setiap bilangan bulat x, x − x = 0 memang genap, jadi x ≡ x (mod 2).
2. Simetris: jika x ≡ y (mod 2) maka x - y = t sama, tetapi y - x = −t juga genap, maka y ≡ x (mod 2). 3. Transitif: asumsikan x ≡ y (mod 2) dan y ≡ z (mod 2). Kemudian x - y = t dan y - z = u genap. Dari sini, x - z = (x - y) + (y - z) = t + u juga genap, maka x ≡ z (mod 2).
Kelas Kesetaraan, Kumpulan Kuota, Partisi. Dengan mengingat relasi ekivalen ∼ pada himpunan A, dan elemen x ∈ A, himpunan elemen A yang terkait dengan x disebut kelas ekivalen dari x, mewakili [x] = {y ∈ A | y ∼ x}. Elemen x dikatakan sebagai perwakilan kelas
21
[x]. Koleksi kelas kesetaraan, diwakili A / ∼ = {[x] | x ∈ A}, disebut set quotient dari A oleh ∼. Temukan kelas ekivalen pada Z dengan relasi congruence modulo 2. 33. Dalam Z dengan relasi congruence modulo 2 (sebut saja " ∼2"), ada dua kelas kesetaraan: himpunan E bilangan bulat dan himpunan O bilangan bulat ganjil. Kumpulan kecerdasan Z oleh relasi “∼2” congruence modulo 2 adalah Z / ∼2 = {E, O}. Kami melihat bahwa itu sebenarnya adalah partisi Z, karena E ∩ O = ∅, dan Z = E ∪ O. Berdasarkan contoh diatas, Misalkan m menjadi bilangan bulat lebih besar dari atau sama dengan 2. Pada Z kita mendefinisikan relasi x ≡ y (mod m) ⇔ m | (y - x) (yaitu, m membagi persis y - x). Buktikan bahwa itu adalah hubungan kesetaraan. Apa kelas-kelas kesetaraan? Berapa banyak di sana? 34. Berdasarkan contoh pada soal no 9, Pada produk Cartesian Z × Z ∗ kita mendefinisikan relasi (a, b) R (c, d) ⇔ ad = bc. Buktikan bahwa R adalah relasi ekivalen. Apakah itu masih menjadi relasi ekivalen jika kita memperluasnya ke Z × Z? 35. Tulislah set-set berikut dalam formulir yang telah disebutkan: a) Himpunan semua vokal. b) dan x habis dibagi 3} c) Himpunan semua bilangan asli yang meninggalkan sisa setelah pembagian dengan 5. 36. Tulis set berikut dalam bentuk predikat: a) {4, 8, 12, 16, 20} b) {000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111} (c) {1, 4, 9, 16, 25, ...} 37. Biarkan A = {1, {1}, {2}, 3}. Tentukan pernyataan mana yang benar dan mana yang salah:
38. Misalkan = . Misalkan A = {x: x ganjil}, B = {x: x> 7}, dan C = {x: x habis dibagi 3}. Menggambarkan set pada diagram Venn. Oleh karena itu tuli skan set-set berikut dalam formulir yang disebutkan:
39. ilustrasikan hukum distributif pertama, diagram Venn. 40. ilustrasikan hukum penyerapan kedua
menggunakan menggunakan diagram Venn.
41. Tunjukkan bahwa menggunakan hukum set. 42. Apakah pernyataan 'set dengan n elemen memiliki 2 n subset' benar ketika n = 0?
22
43. Biarkan A = {a, b, c} dan B = {p, q}. Tuliskan set-set berikut dalam formulir yang disebutkan: a) A × B b) A2 c) B3 44. Mengekspresikan masing-masing set berikut sebagai produk Cartesian dari set: a) Kumpulan semua makanan 3-kursus yang mungkin (hidangan, hidangan utama dan makanan penutup) di sebuah restoran. b) Kumpulan plat registrasi mobil yang terdiri dari tiga huruf diikuti dengan tiga digit. c) Himpunan semua hasil yang mungkin dari sebuah eksperimen di mana koin dilemparkan tiga kali. 45. Let = {0, 1, 2, ..., 15}. a) Cari representasi dari {2, 4, 5, 7, 11, 14} sebagai string bit. b) Tuliskan set yang diwakili oleh bit string 1010 0110 1110 1001. c) Jika A dan B diwakili oleh bit string 0011 0100 0110 1101 dan 1010 1001 0001 0111, temukan representasi sebagai string bit 46. Tulis suatu algoritma untuk mendapatkan representasi bit string A - B dari representasi bit string A dan B, di mana A dan B adalah himpunan bagian dari himpunan universal dengan n elemen. 47. Pertimbangkan algoritme berikut: a) Masukkan sedikit string b b) n → integer unsigned dengan b sebagai representasi binernya c) hitung ←0 d) Sementara n> 0 lakukan
n ←n (n 1) {‘^’ Menunjukkan bitwise ‘dan’, yang diterapkan di sini ke
representasi biner dari n dan n - 1} hitung ←hitungan -1 e) Hitungan keluaran Tunjukkan bahwa output adalah angka 1 di b. (Anda mungkin merasa berguna untuk melacak algoritme dengan beberapa input yang berbeda terlebih dahulu.) 48. Pertimangkan urutan langkah-langkah berikut dalam pseudocode, di mana x dan y memiliki string dengan panjang yang sama:
Tunjukkan bahwa efek dari urutan langkah adalah untuk menukar nilai x dan y. 49. Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5}, dan biarkan R menjadi relasi pada A yang didefinisikan sebagai berikut: R = {(1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (5, 2), (5, 5) } a) Tuliskan representasi matriks R. b) Gambarkan representasi grafis R. 50. Biarkan R menjadi relasi pada {a, b, c, d} yang ditentukan oleh matriks berikut: 23
a) Gambarkan representasi grafis R. b) Negara, memberikan alasan, apakah R adalah refleksif, simetris atau transitif. 51. Apakah representasi matriks suatu relasi unik, atau dapatkah relasi yang sama diwakili oleh dua matriks yang berbeda? 52. Tentukan apakah masing-masing hubungan berikut bersifat refleksif, ti dak reflektif, simetris, antisimetrik atau transitif: a) 'adalah saudara kandung dari', pada kumpulan semua orang; b) 'adalah putra dari', di lokasi semua orang; c) ‘lebih besar dari’, pada himpunan bilangan real; d) relasi R pada himpunan bilangan real, yang didefinisikan oleh x R y if x 2 = y2; e) ‘memiliki bagian bilangan bulat yang sama dengan’, pada himpunan bilangan real; f) 'adalah kelipatan dari', pada himpunan bilangan bulat positif. 53. Tentukan yang mana dari hubungan dalam Latihan 18 adalah hubungan kesetaraan. Bagi mereka yang hubungan kesetaraan, menggambarkan kelas kesetaraan. 54. Tentukan yang mana dari hubungan dalam Latihan 18 adalah hubungan urutan parsial. 55. Program komputer terdiri dari lima modul: M 1, M2, ..., M5.A relasi R pada set modul didefinisikan oleh aturan: Mi R M j jika Mi berada dalam urutan panggilan M j. Matriks relasi untuk R ditunjukkan di bawah ini:
a) Verifikasi bahwa R adalah refleksif, antisimetrik, dan transitif. b) Modul mana yang merupakan program utama? 56. Dibawah ini yang merupakan kalimat proposisi yang benar -. Miami adalah ibukota Florida -. 2+3=5 -. 5+7=10 -. 1+2=11 57. Apa kalimat Negasi dari proposisi berikut -. Hari ini adalah hari kamis -. Tidak ada polusi di New Jersey
24
-. 2+1=3 -. Musim panas di Magne sangat panas dan cerah 58. Dari kalimat dibawah ini mana kalimat yang inklutif dan eksklusif -. Pengalaman dengan C++ atau Java sangat dibutuhkan -. Makan siang termasuk sup atau salad -. Untuk memasukin negara kamu membuutuhkan pasport atau kartu registrasi 59. Tentukan lawan dan kontra positif dari kalimat implikasi berikut -. Jika hari ini akan turun salju, aku akan main ski besok -. Aku datang kekelas kapanpun akan ada kuis 60. Buat tabel kebenaran dari gabungan proposisi dibawah ini -. P^ ┐p -. Pv ┐p -. (Pv ┐p) → q 61. Tentukan tabel kebenaran dari (p → q) → r) → s 62. Tentukan tabel kebenaran dari (p ← q) ← r) ← s 63. Tentukan kebalikan dan kontrapositif dari tiap iimplikasi dibawah ini -. Jika malam ini turun salju, saya akan tetap dirumah -. Saya pergi ke pantai kapanpun musim panas yang cerah -. Ketika saya tidur telat, itu penting tidur sampai siang hari 64. A = {1,.....,10}, B = {3,7,11,12}, C = {0,1,....,20} Which of the following are propositions? -. 1 + 1 = 3 -. (A U B) µ C -. A ∩ B -. (8 + 22) 3/102 65. tulis kebalikan, invers, kontrapositif dan negasi dari pernyataan berikut
“Jika Sandra menyelesaikan tugasnya, dia aan pergi ke pertandingan basket”
66. Tampilkan kalimat yang tidak konsisten -. Jika jack banyak tidak masuk kelas karena sakit, maka dia gagal sekolah -. Jika Jack gagal sekolah, maka dia tidak terpelajar -. Jika Jack membaca buku, maka dia berpendidikan 67. Soal Nomor telepon di Negeri Unta Terbang memiliki 7 digit, dan satu-satunya digit yang tersedia adalah {0,1,2,3,4,5,7,8}. Tidak nomor telepon dapat dimulai pada 0, 1, atau 5. Temukan jumlah nomor telepon yang memenuhi kriteria berikut: ➊ Anda dapat mengulang semua digit. ➋ Anda tidak boleh mengulangi salah satu digit. ➌ Anda dapat mengulangi digit, tetapi nomor telepon harus genap. ➍ Anda dapat mengulangi digit, tetapi nomor telepon harus aneh. ➎ Anda mungkin tidak mengulangi digit dan nomor telepon harus aneh. 68. Angka 3 dapat dinyatakan sebagai jumlah dari satu atau lebih bilangan bulat positif dalam empat cara, yaitu, sebagai 3, 1+ 2, 2+ 1, dan 1+ 1+ 1. Menunjukkan bahwa bilangan bulat positif n dapat diungkapkan dalam 2n − 1 cara. Biarkan n = 231319.
25
Berapa banyak pembagi bilangan bulat positif n2 kurang dari n tetapi tidak membagi n? 69. Dalam berapa banyak cara seseorang dapat menguraikan set {1,2,3, ..., 100} ke dalam subset A, B, C memuaskan A∪ B∪C = {1,2,3, ..., 100} dan A∩ B∩C = ∅? 70. Soal Berapa banyak dua atau tiga huruf inisial untuk orang-orang yang tersedia jika setidaknya satu huruf harus D dan satu memungkinkan pengulangan? 71. Berapa banyak bilangan bulat positif yang kuat memiliki semua digit mereka berbeda? 72. Untuk menulis buku, angka 1890 digunakan. Berapa halaman buku itu? 73. Urutan palindrom, dimulai dengan 1 ditulis dalam urutan menaik 1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,22,33, ... Temukan palindrom positif tahun 1984-th. 74. Diberikan bilangan bulat positif n, biarkan p (n) menjadi produk dari nol digit nol dari n. (Jika n hanya memiliki satu digit, maka p (n) sama dengan digit itu.) Biarkan S = p (1) + p (2) + ··· + p (999).Temukan S. 75. Dalam setiap angka 6-digit 333333,225522,118818,707099, setiap digit dalam angka muncul setidaknya dua kali. Temukan jumlah bilangan alami 6 digit. 302 Masalah Dalam setiap angka 7-digit 1001011,5550000,3838383,7777777, setiap digit dalam angka muncul setidaknya tiga kali. Temukan jumlah bilangan alami 7 digit. 76. Apakah Anda percaya seorang penyelidik pasar yang melaporkan bahwa dari 1.000 orang, 816 suka permen, 723 suka es krim, 645 kue, sementara "Aku suka permen dan es krim, 463 suka permen dan kue, 470 es krim dan kue, sementara 310 seperti ketiganya?" Nyatakan alasan Anda! 304 Masalah Sebuah survei menunjukkan bahwa 90% siswa sekolah menengah di Philadelphia menyukai setidaknya salah satu dari kegiatan berikut: pergi ke bioskop, bermain olahraga, atau membaca. Diketahui bahwa 45% suka film, 48% suka olahraga, dan 35% suka membaca. Juga, diketahui bahwa 12% menyukai keduanya film dan membaca, 20% hanya menyukai film, dan 15% hanya membaca. Berapa persen siswa sekolah menengah seperti ketiga kegiatan ini? 77. Perusahaan asuransi mobil memiliki 10.000 pemegang polis. Setiap pemegang polis
digolongkan sebagai • tua atau muda, • pria atau wanita, dan • menikah atau sendiri.
Dari para pemegang polis ini, 3000 masih muda, 4600 adalah laki-laki, dan 7000 sudah menikah. Pemegang polis juga dapat diklasifikasikan sebagai 1320 laki-laki muda, 3010 pria menikah, dan 1400 orang yang menikah muda. Akhirnya, 600 dari pemegang polis adalah pria menikah muda. Berapa banyak pemegang polis perusahaan yang muda, perempuan, dan lajang? 306 Masalah Di Abad Pertengahan Tinggi ada empat puluh siswa. Di antara mereka, empat belas seperti Matematika, enam belas seperti teologi, dan sebelas suka alkimia. Juga diketahui bahwa tujuh seperti Matematika dan teologi, delapan seperti teologi dan alkimia dan lima seperti Matematika dan alkimia. Ketiga subjek disukai oleh empat siswa. Berapa banyak siswa yang tidak menyukai Matematika, teologi, atau alkimia? 78. Untuk set S, biarkan n (S) menunjukkan jumlah himpunan bagian dari S. Jika A, B, C, adalah set untuk yang n (A) + n (B) + n (C) = n (A ∪ B ∪C) dan kartu (A) = kartu (B)
= 100, lalu berapakah nilai minimum kartu yang mungkin (A ∩ B ∩C)?
79. Dalam pertempuran yang sangat panas, setidaknya 70% petempur kehilangan mata, setidaknya 75% telinga, setidaknya 80% lengan, dan setidaknya 85% kaki. Apa yang bisa dikatakan tentang persentase yang kehilangan empat anggota? 80. Kekuasaan mengatur P (A) dari himpunan A adalah himpunan semua himpunan bagian A. Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5}.
26
a. Berapa banyak elemen yang ada di P (A)? b. Berapa banyak elemen yang ada di P (A × P (A)) ∪ A? c. Berapa banyak ele men yang ada di P (A × P (A)) ∩ A? 81. yang manakah dari himpunan berikut ynag bernilai sama: { x , y , z }, { z , y , z , x }, { y , x , y , z }, { y , z , x , y}? 82. daftar elements dari himpunan dimana N= {1, 2,3,…}. (a ) A = { x ∈ N | 3 < x < 9} (b) B = { x ∈ N | x adalah bilangan genap, x < 11} (c) C = { x ∈ N | 4 + x = 3} 83. A = {2 , 3 , 4 , 5}. (a ) tunjukan bahwa A bukan himpunan bangian B = { x ∈ N | x adalah bilangan genap}. (b) tunjukan bahwa A merpakan himpunan bagian dari himpunan c = {1 , 2 , 3 , . . ., 8 , 9}. 84. yang manakah himpunan berikut yang bernilai sama? A = { x | x 2 − 4 x + 3 = 0} , B = { x | x 2 − 3 x + 2 = 0} , C = { x | x ∈ N , x < 3} , D = { x | x ∈ N , x adalah bilangan ganjil, x < 5} , F = {1 , 2 , 1} , E = {1 , 2} , H = {1 , 1 , 3}. G = {3 , 1} ,
85. U = {a, b, c, …, y , z }. Identifikasi himpunan berikut yang bernilai sama A = { x | x is a vokal} B = { x | x huruf dari kata “little”} D = { x | x huruf dari kata “title”}. 86. U = {1,2 , …, 9} himpunan semesta, dan diketahui ,
,
A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5} , C = {5 , 6 , 7 , 8 , 9} , E = {2 , 4 , 6 , 8} B = {4 , 5 , 6 , 7} , D = {1 , 3 , 5 , 7 , 9} , F = {1 , 5 , 9}.
,
cari: (a ) A ∪ B dan A ∩ B ; (b) A
∪
C dan A
∩ C ;
(c) D ∪ F dan D ∩ F .
87. berdasarkan soal 6 tentukan: (a ) AC , B C , DC , E C ; (b) A\ B, B \ A, D \ E ; 88. buktikan bahwa kita dapat mempunyai: (a ) A ∩ B = A ∩ C tanpa B = C ; (b) A ∪ B = A ∪ C tanpa B = C .
27
(c)A ⊕ B, C ⊕ D, E ⊕ F .
89. berdasarkan himpunan semesta U = {1, 2, 3, …, 8, 9} dan himpunan A = {1, 2, 5, 6}, B = {2, 5, 7}, C = {1, 3, 5, 7, 9}. Tentukan : (a) A ∩ B dan A ∩ C (b) A ∪ B dan B ∪ C (c) AC dan CC (d) A\B dan A\C (e) A ⊕ B dan A ⊕ C (f) (A ∪ C) \B dan (B ⊕ C) \A 90. A = [{1, 2, 3}, {4, 5}, {6, 7, 8}]. ( a ) element himpunan A; (b) tentukan n(A). 91. Tentukan semua partisi dari S = {a , b, c, d }. 92. Bedasarkan pernyataan berikt: \S 1 : semua kamus berguna S 2 : mery hanya memiliki novel roman S 3 : tidak ada novel roman yang berguna Gunakan diagram vann untuk menentukan kesimpulan berikuut (a) novel roman bukankamus (b) mary tidak mempunyai kamus (c) semua buku yang berguna adalah kamus 93. buktikan : (a) A ⊆ B jika dan hanya jika A ∩ B C = ∅ (b) A ⊆ B jika dan hanya jika AC ∪ B = U (c) A ⊆ B jika dan hanya jika B C ⊆ AC (d) A ⊆ B jika dan hanya jika A\B =∅ (gunakan teori 1.4) 94. Gunakan hukum di Table 1-1 untuk membuktikan identitas setiap himpunan: (a) (A
∩ B) ∪ (A ∩ B C ) = A (b) A ∪ B = (A ∩ B C ) ∪ (AC ∩ B) ∪ (A ∩ B) 95. tentukan himpunan kuasa P (A) of A = {1, 2, 3, 4, 5}.
28
III.
GRAPH
1. Gunakan fungsi algoritma, untuk menentukan grafik yang diberikan dibawah terhubung/tidak.
2. Menunjukkan bahwa grafik G yang diberikan oleh matriks adjacency terhubung dengan menggunakan fungsi algoritma
3. Temukan pelengkap dari grafik tersebut
4. Temukan grafik produk dimana G 1 dan G2 diberikan dibawah ini!
29
5. Membuat grafik dari urutan 5, yang memiliki titik derajat 1 2 2 3 dan 4. Berapa ukuran grafik ini? 6. Temukan derajat setiap titik untuk grafik berikut!
7. Tulis grafik yang merupakan komposisi grafik G 1 dan G2 berikut!
8. Untuk grafik berikut, temukan matriks ketetanggaan!
30
9. Temukan jalur matriks dari grafik berikut!
10. biarkan grafik G diberikan di bawah ini, temukan yang berikut! (a) G – V1; where V1 = {1,3,5,6,7,8} (b) G – E1 ; where E1 = {1,c,d,f,g,i,j,m,n,q,r,t} (c) G – V2; where V2 = {1,3,5,7,9,11,13} (d) G – E2; where E2 = {m,l,n,k,o,j,f,e,d} (e) G(U); where U = {1,2,3,4} 31
(f) G(V); where V = {a,b,c,d,e,f}
11. Dalam digraf G, ditunjukkan di bawah ini menemukan indegree dan outdegree dari setiap vertex
12. Tentukan apakah grafik g yang ditunjukkan di bawah terhubung kuat atau terhubung lemah
13. tentukan apakah grafik g 1 dan g2 yang ditunjukkan di bawah adalah isomorfik.
14. dari grafik yang diberikan di bawah ini (i) grafik biasa (ii) grafik lengkap dan (iii) tidak grafik biasa atau lengkap
32
15. Tentukan pasangan grafik g 1 g2 dan g3 mana yang isomorfik!
16. menentukan derajat simpul V i; I = 1,2,3,4,5 dan 6 dari grafik G yang ditunjukkan di bawah ini. menghitung ∑ deg(V i). gunakan ini untuk menentukan ukuran G.
33
17. Temukan derajat setiap titik untuk grafik berikut!
18. Biarkan g menjadi himpunan semua grafik. menunjukkan bahwa relasi "isomorphic" Adalah relasi ekuivalen pada himpunan G 19. tulis penyatuan dan perpotongan dari grafik berikut!
34
20. tulis penyatuan dan perpotongan dari grafik berikut!
21. Urutan (1,2,2,3,4,5) tidak grafis, oleh teorema Euler (Fakta 4), karena jumlahnya aneh. 22. Pengurangan Havel (Fakta 8) dari urutan (2,2,2,3,4,5) adalah (1,1,1,2,3). Havel's Pengurangan urutan itu (0,0,1,1). Karena (0,0,1,1) adalah derajad derajat a grafik dengan empat simpul, yang diisolasi dan dua di antaranya digabungkan oleh edge, mengikuti dari teorema Havel bahwa urutan (2,2,2,3,4,5) adalah grafis. 23. Jika grafik J isomorfik dengan subgraph dari grafik G, maka itu biasa dikatakan
35
bahwa J "adalah" sebuah subgraph dari G, meskipun VJ dan EJ mungkin bukan himpunan bagian dari VG dan EG, masing-masing. 24. Grafik adalah subgraph dari kesatuannya dengan grafik lainnya. 25. Persimpangan dua grafik adalah subgraph dari keduanya. 26. Pemetaan grafik adalah mitra kombinatorial dari apa yang secara topologi bersifat kontinyu berfungsi dari satu grafik ke grafik lainnya. 27. Sebuah isomorfisma grafik adalah pemetaan grafik sedemikian rupa sehingga baik fungsi simpul maupun fungsi tepi adalah bijections. 28. Ada grafik pelengkap diri dari n jika dan hanya jika n ≡ 0 atau 1 (mod 4). 29. Automorfisma grup Aut (G) dari setiap grafik sederhana adalah isomorfik terhadap automorfisma grup Aut (G) dari ujung-pelengkapnya. 30. Sebuah graf terhubung G adalah isomorfik terhadap grafik garisnya jika dan hanya jika G adalah sebuah siklus (§8.1.3). 31. Jika dua grafik terhubung memiliki grafik garis isomorfik, maka keduanya adalah isomorfik satu sama lain atau mereka K3 dan K1,3 (§8.1.3). 32. Aut (Kn) bersifat isomorfik ke grup simetrik Sn (§5.3.1). 33. Aut (Cn) bersifat isomorfik terhadap grup dihedral Dn (§5.3.2). 34. Grafik K3,3 dan K3 + K3 (§8.1.3) saling melengkapi satu sama lain. 35. Grafik siklus C5 (§8.1.3) adalah pelengkap diri. 36. Grafik garis L (K4) (§8.1.3) adalah isomorfik ke grafik oktahedral O3. 37. Grafik jalur Pn adalah sebuah pohon. 38. Sebuah grafik adalah bipartit jika dan hanya jika tidak memiliki siklus panjang yang aneh. 39. Pohon adalah bipartit. 40. Grafik hypercube Qn dapat didefinisikan secara rekursif sebagai berikut: Q0 = K1, Qn =
K2 × Qn − 1 untuk n> 0.
41. Grafik hypercube Qn adalah bipartit dan isomorfik ke kisi subset satu set elemen n. (Lihat §13.2.) 42. Grafik oktahedral On dapat didefinisikan secara rekursif sebagai berikut: O0 = K2, On = K2 ∗ Aktif − 1 untuk n> 0. 43. Ada tepat lima padatan Platonik: tetrahedron, kubus, oktahedron, yang dodecahedron, dan ikosahedron. 1-kerangka mereka adalah K4, Q3, O4, dodecahedral grafik, dan grafik ikosahedral. 44. Jika A = AG adalah matriks ketetanggaan dari grafik G, maka (i, j) -kali dari Ak adalah jumlah berjalan (§8.4.1) dari panjang k dari vi ke vj di G. 45. Biarkan δ + menjadi out-degree terkecil dari penggaris ketat D. Jika δ +> 0, maka
D memiliki siklus panjang setidaknya δ + + 1. 46. Biarkan δ− menjadi yang terkecil dalam derajat digraf ketat D. Jika δ−> 0, maka D memiliki a siklus panjang setidaknya δ− +1. 47. Sebuah digraf adalah unilateral jika dan hanya jika kondensasinya adalah sebuah jalur.
36
48. Satu set V? adalah dasar dari digraf D jika dan hanya jika V? terdiri dari satu titik dari masing-masing komponen kuat D yang memiliki derajat 0 di D ∗. Dengan demikian, dasar-dasar dari suatu digraf memiliki jumlah simpul yang sama. 49. Nilai eigen dari digraf D adalah kesatuan (menghitung multiplisitas) dari nilai eigen komponen yang kuat. (Lihat §8.9.3.) 50. Biarkan u, v berupa simpul-simpul dari digraft n-verteks D dengan matriks adjacency A. Jika v adalah dapat dijangkau dari u, kemudian beberapa uv-path memiliki panjang ≤ n − 1. Jadi, D kuat jika dan hanya jika setiap entri n – 1 ? k = 0 Ak positif. Ada tes yang lebih efisien secara komputasi untuk diconnectivity: algoritma Warshall's (§14.2) dan pencarian depth depth first (§13.3.2). 51. Misalkan M adalah matriks persegi acak. Perhitungan nilai eigen M dapat kadangkadang dipercepat sebagai berikut. Buat matriks A dengan mengganti setiap entri non-nol M oleh ‘1’, dan kemudian biarkan D me njadi digraf dengan matriks adjacency A. Nilai eigen M adalah penyatuan nilai eigen dari anak di bawah umur M yang diindeks oleh komponen yang kuat D. (Jika satu komponen memiliki simpul v1, v3, v7, maka satu minor memiliki baris dan kolom 1, 3,7 M.) Jika M jarang (beberapa nonzeros), maka digraf D biasanya akan memiliki banyak komponen kecil dan pendekatan ini akan efisien. 52. Model Markov: Misalkan V mewakili seperangkat status dan E kemungkinan transisi proses Markov (§7.7). Kemudian berjalan melalui D mewa kili “sejarah” yang prosesnya dapat mengikuti. 53. Biarkan χ (G) menjadi bilangan kromatik (§8.6.1) dari grafik G. Kemudian setiap orientasi G memiliki panjang jalur setidaknya χ (G) - 1. 54. Grafik G memiliki orientasi yang kuat jika dan hanya jika G 2-ujung-terhubung. (H. Robbins, 1939) 55. Grafik G adalah grafik komparatif jika dan hanya jika setiap rangkaian G umum ganjil> 3 memiliki akord segitiga. 56. Algoritma 1 dan 2 memberikan cara untuk menciptakan orientasi yang kuat dalam 2-ujung-terhubung grafik. 57. Berikan contoh grafik pada lima simpul tanpa jalur Euler. 58. Berikan contoh grafik pada lima simpul dengan dua jalur Euler yang berbeda. 59. Bayangkan sebuah torus dengan dua pegangan. Apa yang akan menjadi rumus Euler yang benar untuk permukaan ini? Itu harus memiliki formulir - E + F = (beberapa angka)
Berapa angka itu? Angka χ di sebelah kanan disebut karakteristik Euler dari permukaan. 60. Pertimbangkan grafik lengkap pada enam simpul. Berapa banyak ujungnya? Berapa banyak wajah? 61. Berapa banyak tepi yang memiliki grafik lengkap pada simpul-simpul k?
37
62. Pertimbangkan grafik yang dibangun di dua baris tiga simpul untuk total enam simpul. Buat grafik dengan menghubungkan setiap titik di baris pertama ke setiap titik di baris kedua dan sebaliknya. Berapa banyak tepi yang dimiliki grafik ini? 63. Perhatikan gambar standar dari bintang berujung lima. Ini dapat dianggap sebagai grafik. Berapa banyak simpul yang dimilikinya? Berapa banyak ujungnya? 64. Berikan contoh grafik dengan lebih banyak simpul daripada tepi. Berikan contoh grafik dengan lebih banyak sisi daripada simpul. 65. Jika permukaan dapat digambarkan sebagai “bola dengan pegangan g,” maka kita katakan memiliki genus g. Jadi bola tunggal memiliki genus 0, torus memiliki genus 1, dan seterusnya. Berdasarkan pengalaman Anda dengan Latihan 3 di atas,
masukkan rumus yang mengaitkan karakteristik Euler χ dengan genus g.
66. “Peta jalan, yang terdiri dari sejumlah kota yang terhubung dengan jalan.” adalah contoh grafik apa? 67. “Representasi relasi biner yang didefinisikan pada himpunan tertentu. Hubungan dari elemen yang diberikan x ke elemen lain y adalah dire-resented dengan panah
yang menghubungkan x ke y.” adalah contoh grafik atau digraf apa?
68. Apakah bipartit n-kubus. Petunjuk: warna merah semua simpul yang representasi binernya memiliki angka genap 1, berwarna biru dengan yang ganjil 1. 69. Sirkuit Hamilton. Sirkuit Hamilton dalam grafik G adalah sirkuit yang berisi setiap titik G sekali (kecuali untuk titik awal dan akhir, yang terjadi dua kali). Jalur Hamilton di G adalah jalur (bukan sirkuit) yang berisi setiap titik G sekali. Perhatikan bahwa dengan menghapus tepi di sirkuit Hamilton kita mendapatkan jalur Hamilton, jadi jika grafik memiliki sirkuit Hamilton, maka itu juga memiliki jalur Hamilton. Kebalikannya tidak benar, yaitu, grafik mungkin memiliki jalur Hamilton tetapi bukan sirkuit Hamilton. Temukan grafik dengan jalur Hamilton tetapi tidak ada sirkuit Hamilton.
70. diwarnai dengan warna n kita mengatakan bahwa itu n-berwarna. Jumlah minimum warna yang diperlukan untuk mewarnai dengan tepat grafik yang
diberikan G = (V, E) disebut nomor kromatik G, dan diwakili χ (G). Tentunya χ (G) ≤ | V |. Beberapa Hasil Tentang Mewarnai Grafik.
1. χ (Kn) = n.
38
2. Biarkan G menjadi grafik sederhana. Pernyataan berikut adalah equiva-lent: (a) χ (G) = 2. (b) G adalah bipartit. (c) Setiap sirkuit dalam G memiliki panjang yang sama 3. Teorema Lima Warna (Kempe, Heawood) (tidak sulit dibuktikan): Setiap grafik sederhana, planar adalah 5-warna. 4. Teorema Empat Warna (Appel dan Haken, 1976), dibuktikan dengan analisis konfigurasi komputer yang rumit: Setiap grafik sederhana, planar berwarna 4warna.
Temukan grafik planar G sehingga χ (G) = 4.
71. Daftar siklus dalam grafik yang ditunjukkan pada Gambar 11.9.
72. Gambar enam pohon (hingga isomorfisma) dengan enam simpul. 73. Gambar sebuah pohon yang simpulnya memiliki derajat berikut, atau jelaskan mengapa tidak ada pohon seperti itu: (a) tujuh simpul, dengan derajat 1, 1, 1, 1, 1, 3, 4; (B) delapan simpul, dengan derajat 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3. 74. Sebuah Pohon memiliki delapan simpul derajat 1, tiga simpul derajat 2, dan dua simpul derajat 3. Simpul memiliki derajat 4. Berapa banyak simpul yang harus ada sama sekali? 75. Temukan pohon spanning minimal untuk setiap graf berbobot di Gambar 11.10 (kebalikan). a. Tuliskan matriks bobot untuk masing-masing grafik terbobot di Latihan 5. b. Biaya relatif untuk membangun hubungan antara enam node, dilambangkan dengan A, B, C, D, E dan F, dalam jaringan area lokal yang diusulkan pada tabulasikan di bawah ini:
39
Temukan jaringan dengan biaya sekecil mungkin yang bisa dibangun untuk menghubungkan semua simpul dalam jaringan. 76. Gunakan algoritme Dijkstra untuk menemukan: (a) lintasan jarak minimum dari C ke F di tertimbang grafik dalam Latihan 5 (a) (Gambar 11.10 (a)); (b) jalur jarak minimum dari A ke C dalam pembobotan grafik dalam Latihan 5 (b) (Gambar 11.10 (b)).
77. Buatlah pohon ekspresi untuk masing-masing ekspresi berikut: (a) a +((b - c) × d) (b) ((a × b)/(c x d)) – (e/f) (c) (a - (b + (c+ d))) - ((e × f) × g) 78. Dengan menerapkan traversal pre-order ke pohon ekspresi, tulis masing-masing ekspresi dalam Latihan 9 dalam notasi awalan Polandia. 79. Dengan menerapkan traversal pasca-pemesanan ke pohon ekspresi, tulis masing-masing ekspresi dalam Latihan 9 dalam notasi Polandia terbalik. 80. Tuliskan (dalam notasi infiks) ekspresi yang sesuai dengan pohon-pohon yang ditunjukkan pada Gambar 11.11 (di halaman sebelah). 81. Pohon berakar biner yang ditunjukkan pada Gambar 11.12 dapat digunakan untuk encode dan decode teks bahasa Inggris sesuai dengan kode Huffman. Urutan tepi dari akar ke huruf apa pun menghasilkan kode biner untuk surat itu. Perhatikan bahwa jumlah bit bervariasi dari satu huruf ke huruf lainnya. 82. Masalah Tentukan apakah ada grafik sederhana dengan delapan simpul memiliki urutan derajat 6,5,4,3,2,2,2,2. 383 Masalah Tentukan apakah urutan 7,6,5,4,4,3,2,1 adalah grafik. 83. Tujuh belas orang berkorespondensi melalui surat satu sama lain — masingmasing dengan yang lain. Dalam surat mereka hanya tiga topik yang berbeda dibahas. Setiap pasangan koresponden hanya berurusan dengan satu dari topiktopik ini. Buktikan bahwa setidaknya ada tiga orang yang menulis satu sama lain tentang topik yang sama. 385 Masalah Jika sebuah polyhedron cembung yang diberikan memiliki enam simpul dan dua belas ujung, buktikan bahwa setiap wajah adalah segitiga. 84.
Buktikan, menggunakan induksi, bahwa urutan n, n, n− 1, n− 1, ..., 4,4,3,3,2,2,1,1
selalu grafis. 85. Tujuh teman pergi berlibur. Mereka memutuskan bahwa masing-masing akan mengirim kartu pos ke tiga dari yang lain. Apakah mungkin setiap itu siswa menerima kartu pos dari tepat ketiganya kepada siapa ia mengirim kartu pos? Buktikan jawaban Anda! 86. Pertimbangkan grafik G pada Gambar. 8-36 (a). 87. (a) Jelaskan G secara formal, yaitu, temukan himpunan V (G) dari simpul G dan himpunan E (G) dari tepi G.
40
(b) Tentukan derajat setiap simpul dan verifikasi Teorema 8.1 untuk grafik ini. 88. Pertimbangkan grafik G pada Gambar. 8-36 (b). Menemukan: (a) semua jalur sederhana dari A ke F; (D) diam (G), diameter G; (b) semua jalur dari A ke F; (E) semua siklus yang termasuk vertex A; (c) d (A, F), jarak dari A ke F; (f) semua siklus di G. 89. Pertimbangkan multigraf pada Gambar 8-37. (a) Yang mana dari mereka yang terhubung? Jika grafik tidak terhubung, cari komponennya yang terhubung. (b) Mana yang bebas siklus (tanpa siklus)? (c) Yang mana loop bebas (tanpa loop)? (d) Yang mana grafik (sederhana)? 90. Biarkan G menjadi grafik pada Gambar. 8-38 (a). Menemukan: (a) semua jalur sederhana dari A ke C; (b) semua siklus; (c) subgraph H yang dihasilkan oleh V = {B, C, X, Y}; (f) semua jembatan. (d) G - Y; (e) semua titik potong; (d) G - Y; 91. Pertimbangkan grafik G pada Gambar. 8-36 (b). Temukan subgraph yang diperoleh ketika setiap titik dihapus. Apakah G memiliki poin pemotongan? 92. Tunjukkan bahwa enam grafik yang diperoleh pada Soal 8,5 berbeda, artinya, tidak ada dua di antaranya yang isomorfik. Juga menunjukkan bahwa (B) dan (C) bersifat homeomorfik.
DAFTAR PUSTAKA
1. 2. 3.
Fundamental Approach to Discrete Mathematics Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics Discrete Mathematics Demystified
41
