UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
(Universidad del Perú, Decana de América)
FACULTAD DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y ELÉCTRICA
BALOTARIO EXAMEN FINAL RESUELTO CURSO
:
FUNCIONES ANALÍTICAS
PROFESOR
:
CASTRO VIDAL RAÚL PEDRO
ALUMNOS
:
15190145 CUENTAS LARRAURI RENATO PAOLO 15190013 IPANAQUE CASTILLO FREDDY 15190248 CAPCHA ORELLANA FELIPE ANDRES 15190129 RAMOS PALOMINO ANGEL SEBASTIAN
Ciudad Universitaria, 14 JULIO 2016.
BALOTARIO EXAMEN FINAL PROBLEMA 1 a)
Desarrollar la serie de Taylor de la función:
Sea f ( z ) una función analítica en z=a, entonces f tiene una representación en serie de la forma:
f n ( a)( z - a) n f ( z) = � n! n =0 �
f ( z )=
2−3 z 2 z2 −3 z +1
Alrededor de Zo = -1 RESOLUCIÓN:
2−3 z −1 1 = − . . . ( a) 2 2 z−1 z−1 2 z −3 z +1 ∞ −1 1 1 1 1 1 2 → = = = x = ∑ ( z +1 ) 2 z−1 1−z 3−2 ( z +1 ) 3 2 3 n=0 3 1− ( z−1 ) 3 ∞ 2n ¿ ∑ n+1 ( z+ 1)n …(b) n=0 3 2 3 ( z +1 ) <1 →| z+1|< Si 3 2 ∞ n −1 1 1 1 1 1 = = = ∑ ( z+ 1 ) z −1 1−z 2 1 2 n=0 2 1− (z +1) 2 ∞ n ( z+1 ) ¿ ∑ n +1 n=0 2 1 (z +1) <1 →‖ z+1‖<2 Si 2 ∞ ( z−1 )n −1 =∑ ;‖z +1‖<3 … ( c ) ( z −1 ) n=0 2n +1 F ( z )=
[
‖
n
]
‖
[
‖
]
‖
Ahora reemplazando (b) y (c) en (a), se tiene: ∞
f ( z )= ∑ n=0
2n ( z+ 1 )n ∞ ( z+ 1 )n + ∑ n+1 3n +1 n=0 2
Por lo tanto queda: ∞
f ( z )= ∑ n=0
(
2n 1 + n+1 (z +1)n n+1 3 2
)
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------b) Desarrollar la función
f ( z )=
1 ; en serie de Laurent en el disco ‖z‖<1 ( z−1 ) ( z−2 )
RESOLUCIÓN:
f ( z )=
1 A B = + ( z −1)(z−2) z−1 z−2
De donde:
1 −1 = =−1 1 z →1 z−2 1 1 B=lim = =1 z → 2 z−1 ( 2−1 ) −1 1 1 1 1 f ( z )= + = − → f ( z )= − z−1 z−2 1−z 2−z 1−z Luego A=lim
∞
∞
∞
1
( 2z )
2 1−
∞
1 z n zn f ( z )= ∑ z − ∑ =∑ z n−∑ n+1 2 n=0 2 n=0 n=0 n=0 2 n
()
Por lo tanto: ∞
(
f ( z )=∑ 1− n=0
1 2n +1
)z
n
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------c) Desarrolle la serie de Laurent para la función exponencial
f : �� � talque f ( z ) = e z .
f n (0) = 1
Como: Entonces:
f n (0)( z ) n f ( z) = � n! n =0 �
zn f ( z) = � n =0 n ! �
Además:
Lim
n ��
an +1 an
z n +1 z (n + 1)! = Lim = Lim = 0 <1 n n �� n �� n + 1 z n!
Para todo Z. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------PROBLEMA 2 a) Un sistema T de tipo LTI y causal viene descrito por esta ecuación en diferencias
y [t ]−
3 1 y [ t−1 ] + y [ t−2 ] =x [t] 4 8
Hallar la función de transferencia y la respuesta al impulso de este sistema. RESOLUCIÓN: Hallamos la función transferencia:
y [t ]−
3 1 y [ t−1 ] + y [ t−2 ] =x [ t ] 4 8
3 1 Y ( z ) − z−1 Y ( z ) + z −2 Y ( z )= X ( z ) 4 8
[
]
3 1 Y ( z ) 1− z −1 + z−2 = X ( z ) 4 8 H (z )=
H (z )=
Y ( z) = X ( z)
1
(1− 34 z
z2 1 1 z− 2 4
( )( ) z−
−1
1 + z−2 8
,|z|>
)
1 2
Hallamos el impulso:
H ( z) = z
z
( z− 12 )( z− 14 ) 1 2
Los polos son
H (z) = z
A 1 2
1 4
y
de esta forma podemos escribir:
B
+
1 4
( )( ) z−
z−
Donde A = 2 y B = -1. Sustituyendo:
H (z) = z
2
1
−
( z− 12 ) ( z− 14 )
La respuesta temporal de un sistema causal con una Transformada z del tipo
1 ( 1−az−1 ) Es h [ n ] =a n u [n ] . H (z )=
Por lo tanto:
t
t
( ( ) ( ))
1 1 h [ n]= 2 − 2 4
u[n]
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------b) Calcular la transformada Z inversa de RESOLUCIÓN:
X ( z )=
z2 1 3
2
( ) ( z − 12 ) z−
X (z) = z A= -2 B= -18 C= 18
X ( z )=
z
A B C + + 2 1 1 1 1 1 z − ( z− ) (z− ) ( z − ) (z − ) 3 2 3 2 3 =
2
( )
−2 z −18 z 18 z + + 2 1 1 1 ( z− ) ( z− 3 ) ( z− 2 ) 3
Y por tanto:
1 3
n−1
()
x[n]= (-2n
n
−18
1 1 + 18 3 2
n
() ()
) u[n]
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------PROBLEMA 3 a) Encontrar la serie de Fourier para la función está definida por:
{ {
4t T ,−
RESOLUCIÓN:
4t T ,− < t ≤0 T 2 f ' ( t )= 4t , 0 ≤ t
f ' ' ( t )=
8 T
∞
∑
n=−∞
(
δ t−( 2 n−1 )
T 8 − 2 T
)
∞
∑
δ (t−nT )
n=−∞
δ (t−nT ) ∞ T δ t+ −nT −¿ ∑ ∑¿ 2 n=−∞ n=−∞ 8 f '' ( t ) = ¿ T T t+ 2 n ω0 t ∞ ∞ 1 2 2π 1 2 + ∑ cos n (¿¿)− − ∑ cos ¿ T T n=−∞ T T T n=1 ¿ 8 f ' ' ( t )= ¿ T ∞
(( ) )
n ω0t ∞
∞
∞
16 n [ (−1 ) −1] cos n ω0 t 2∑ T n=1 n=1 16 '' f ( t )= 2 ¿ T
∑ (−1)n cos n ω 0 t−∑ cos ¿= n=1
(−1) ¿
16 [¿ n¿−1]cos n ω 0 t … … … …( a) T2 ¿ ∞
''
f ( t ) =∑ ¿ n=1
∞
como f ( t ) es par entonces f (t )=∑ an cos n ω 0 t n=1
∞
f ' ( t )=∑ −n ω 0 an sin nω 0 t n=1 ∞
f ' ' (t)=∑ −n 2 ω 20 an cos n ω0 t … … … … (b) n=1
(−1) 16 [¿ ¿ n−1] T2 comparando ( a ) y ( b ) se tiene :−n2 ω 20 an=¿ 1−(−1) 16 [¿ ¿ n] 2 2 2 n ω0 T an=¿
{ {
0 , sin es par an = 32 , si n es impar 2 2 2 n ω0 T
0 , si n es par an = 8 , si n es impar n2 π 2 b2 n−1=
8 (2 n−1)2 π 2
Por lo tanto:
f ( t )=
∞ cos(2 n−1)ω0 t 8 2∑ π n=1 (2 n−1)2
f ( t )=
8 1 1 (cos ω0 t+ 2 cos 3 ω0 t+ 2 cos 5 ω 0 t +…) 2 π 3 5
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------b) Calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:
T � 0 , t > � � 2 f (t ) = � T � cos(w0t ) , t < � 2 RESOLUCIÓN: La transformada de Fourier ∞
F ⌊ f (t )⌋ =∫ f ( t ) e−iωt dt −∞ T/2
F ⌊ f (t )⌋ = ∫ cos ( wot )e
−iωt
dt
−T /2 T/2
( eiwot + e−iwot ) −iωt F ⌊ f (t )⌋ = ∫ e dt 2 −T /2 T/2
F ⌊ f (t )⌋ = ∫ −T /2
T /2
e i(wo− w)t e−i(wo+w)t dt + ∫ dt 2 2 −T /2
ei (wo−w)t dt +¿ T /2 i ( wo−w ) F ⌊ f (t ) ⌋ = ∫¿ 2 i(wo−w) −T / 2 T/2
−i(wo+ w) ∫ e−i (wo+w ) dt −2 i(wo+w) −T /2 F (W) =
sen ( wo−w ) T /2 sen ( wo+w ) T /2 + wo−w wo+w
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------PROBLEMA 4 Dada la función
f ( x) = xe - x , x �0
a) Verifique que considerando las extensiones par e impar de la función f : �
� �1 - w2 � � 2w � cos( wx ) dw = sen( wx)dw � � 2 2 � � � (1 + w ) � (1 + w2 )2 � � 0 � 0 �
b) Estudiar la convergencia de la Integral de Fourier para deducir que se cumple: Verifique que considerando las extensiones par e impar de la función f : �
� 1 � �� w2 � dw = � dw � � 2 2� 2 2� � (1 + w ) (1 + w ) � � � � 0 0
.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------PROBLEMA 5 a) Utilizar la convolución para encontrar
Solución: Por el teorema de convolución del tiempo:
En este caso:
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------b) Demostrar que la Transformada de Fourier de la función escalón unitario es
Solución:
Se tiene:
Entonces:
Por linealidad Por función constante
Suponemos: Reemplazando en (1)
Por lo tanto:
Propiedad de derivación
Se cumple:
Reemplazando en:
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------PROBLEMA 6 a) Calcula la Transformada de Fourier de la siguiente señal, en el rango
Tenemos que:
Puesto que es una función real, la fase vale 0. Signifique que la fase permanente constante a cualquier frecuencia.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
b) Demostrar que la transformada de Fourier de una función constante
[ A] = 2p Ad ( w)
F (t)= A es F . Solución F (t)=A… (a) Tal como se muestra en la figura (a) y (b):
La transformada de Fourier de f(t)=A es
…(b) Ahora, por
Se tiene: …(c)
Haciendo x=t e y=-w se tiene …(e) Sustituyendo (e) en (a) se obtiene …(f) Puesto que Haciendo A=1 se obtiene ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------PROBLEMA 7
RESOLUCIÓN: Sea la Función de onda triangular
{
f ( x )=|x| −x ,−π < x
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------b) Represente f(x) mediante serie de Fourier. Solución9 ∞
Buscamos los coeficientes a0 , an y bn de la formula a0 + ∑ (a n cos nx+ bn sin nx) n=0
i) Calculo de los coeficientes de Fourier.
[
π
0
π
1 1 f ( x ) dx= ∫ ∫ −xdx +∫ xdx 2 π −π 2 π −π 0 0 π −1 2 1 2 a0 = [ x ]−π [ x ]0 4π 4 π2 π2 π ;donde A = a0 a0 = + = 4 π 4π 2 a0 =
]
Los coeficientes de an se obtienen a partir de
an =
4A 2 T
[∫ 0
T /2
−xdx+ ∫ xdx 0
−T /2
Siendo T = 2 π Entonces los coeficientes
4A an = 2 T
[∫
]
an son
0
T/2
−x cos nx dx + ∫ x cos nx dx
−T /2
0
Reemplazando T y A en la ecuación
an =
2A cos ( nπ −1 ) ; n=1,2,3 … (nπ )2
Los coeficientes de bn se hallan asi
]
4A bn = 2 T
[∫ 0
T /2
−x sin nx dx + ∫ x sin nx dx
−T /2
0
]
Como f(x)es par, es decir f(x)= f(-x), entonces la Serie de Fourier no posee senos, puesto que sen(nx) es una función impar. En este caso no hace falta calcular los bn, ya que son nulos.
bn =0 ; para todo n=1,2, …
Finalmente la función onda en series de Fourier está dada por:
1 cos ( 2 k−1 ) x 2 (2 k +1) ¿ ∞ π 4 − ∑¿ 2 π k=0
Finalmente la función de onda se representa por:
π 4 cos x cos 3 x cos 5 x − + + +… 2 2 2 π 12 3 5
(
)
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------c) Estudie la convergencia de la serie en x = -p ; x = 0; x = p
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------d)Muestre que :
Solución A partir del resultado anterior obtenemos la suma de la serie: Evaluando en x = 0 se tiene:
π 4 1 1 1 1 0= − + + + +… … … … 2 π 12 32 52 7 2 ∞ 4 ∑ 1 =π π n=1 ( 2 n−1 )2 2 ∞ 1 π2 = ∑( 2 8 n=1 2 n−1 )
(
)
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------PROBLEMA 8
f (t ) = a02 +
1 � 2 an + bn2 � 2 n =1
�
f (t ) = a0 + �an cos(nwt ) + bn sin(nwt )
n =1 Si , además T = b - a , si consideramos a f como una función continua y periódica con periodo T, por series de Fourier podemos decir que:
1 T f (t )dt 0 T� 1 T an = f (t ) cos( nwt )dt 0 T /2� 1 T bn = f (t ) sin( nwt )dt 0 T /2� a0 =
2 � � � f ( t ) = f ( t ) a0 + �an cos(nt ) + bn sin(nt ) � [ ] � � n =1 � Por lo tanto:
b
f (t ) =
�f a
=
�
T
(t ) dt
b-a
En nuestro problema:
1 T 1 2 f (t )] dt = [ � T 0 T
2
0
0
es igual a:
�
a + �a �f (t ) � � n =1
;T = b - a
n
� cos(nt ) + bn sin(nt ) �dt �
T �
1 T 1 a0 f (t )dt + � �an f (t ) cos(nt ) + f (t )bn sin(nt )dt � T 0 T 0 n =1
� T f (t ) cos( nt ) T f (t ) cos( nt ) 1 T = a0 �f (t )dt + �an � + bn � dt 0 0 T 0 T T n =1
Reemplazando los valores de �
= a0 .a0 + �an n =1
an b + bn n 2 2
1 � 2 = a + �an + bn2 2 n =1 2 0
a0 , an y bn
1 � 2 f (t ) = a + �an + bn2 2 n =1 2 0
T
�( E sin( wt ))
f (t ) =
2
0
dt
T
Si Entonces en la RMC:
que es lo que queríamos demostrar:
, donde:
� �2p E sin � � � 0 �T � T T
T
�( E sin(wt )) 0
2
dt
T �2p � �T
=
w=
2
� � t� �dt � �
1 - cos(4p t / T ) dt 2
E T
�sin
E T
�t 1 sin(4p t / T ) � � 2 2 4p / T � � � 0
E T
T 1 sin(4p T / T ) 0 1 sin(4p 0 / T ) � � - + � 4p / T 2 2 4p / T � �2 2 �
E T
T E 0-0+0 = 2 T
T
0
2
E � t� dt = T �
2p T
T
� 0
T
T 2
Finalmente obtenemos: T
f (t ) =
�( E sin(wt )) dt = 2
0
T
E 2
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------PROBLEMA 9 a) Determinar la representación en serie de Fourier discreta de la secuencia:
F ( t )=cos
( π3 n)+ sen ( π4 n)
RESOLUCIÓN: Si: F[T] = X[n]
п п X [ n ] =cos n+sin n= X 1 [ n ] + X 2[n] 3 4 п п X 2 [ n ] =sin n=sin Ω2 n → Ω2= 4 4
п п X 1 [ n ] =cos n=cos Ω1 n → Ω1 = 3 3
Ω1 1 (número racional), X 1 [ n ] es periódica con periodo fundamental N1 = 6 y como = 2п 6 Ω2 1 (número racional), X 2 [ n ] es periódica con periodo fundamental N2 = 8. = 2п 8 п . Por Euler tenemos. X [ n ] Es periódica, No = 24, Ω0= 12
Como
[
п
п
] [
п
]
п
1 i( ) n −i( ) n 1 i ( 4 ) n −i ( 4 ) n X [ n ] = e 3 +e 3 + e −e 2 2i 1 −i 4 Ω n 1 −i 3 Ω n 1 i 3Ω n 1 i 4Ω n X [ n ] = [ e ( ) ] +i [ e ( ) ] −i [ e ( ) ]+ [ e ( ) ] 2 2 2 2 0
Así que
C 3=−i
0
( 12 ) , C 4= 12 , C
0
−4
0
1 1 =C−4 +24=C 20= , C−3=C−3+24 =C21=i 2 2
()
y todos los
C k =0. Por lo tanto, la serie de Fourier discreta de F[T] = X[n] es: 1 i 3 Ω n 1 i 4 Ω n 1 i 20 Ω n 1 i 21 Ω n п X [ n ] =−i [ e ( ) ] + [ e ( ) ] + [ e ( ) ]+i [ e ( ) ] ; Ω0= 2 2 2 2 12
otros
0
0
0
0
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------b) Determinar la respuesta del sistema:
y ( n )=0 . 7 y ( n−1 ) −0 .12 y ( n−2 ) + x ( n−1 ) + x ( n−2 ) Ante una entrada de x ( n )=nu( n) ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------PROBLEMA 10 a) Enuncie las condiciones para que la Transformada de Fourier converja. Las series de Fourier cumplen con ciertas condiciones para que se cumpla la convergencia las cuales son: 1.
y
continúas en el intervalo
por pedazos.
2. La serie de Fourier converge a la función f en los puntos continuos. 3. En los discontinuos la serie de Fourier converge a: Dónde:
Sea f(x) una
función definida para todo x, con periodo 2π.
Entonces, bajo condiciones muy generales, la serie de Fourier de f converge a f(x) para todo x. Describiremos un conjunto de condiciones que asegura dicha convergencia. La función f es continua en cada intervalo de longitud 2π excepto en un número finito de discontinuidades de salto, donde el valor de f es el promedio de sus lımites por la izquierda y por la derecha. En cada intervalo de longitud 2π, la función f tiene una derivada continua, excepto en los puntos de salto y en un número finito de esquinas. En los puntos de salto y en las esquinas hay un valor lımite para la derivada por la derecha y por la izquierda. La función f que satisfaga estas condiciones se llama una función continua a trozos. Así, la serie de Fourier de una función f(x) continua a trozos, de periodo 2π converge a f(x) para todo x. Convergencia uniforme. La convergencia es uniforme en cada intervalo cerrado a ≤ x ≤ b que no contenga puntos de salto.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------b) Que propiedades tiene la convolución de funciones e indique las aplicaciones.
La convolución y las operaciones relacionadas se encuentran en muchas aplicaciones de ingeniería y matemáticas. En estadística, como un promedio móvil ponderado. En teoría de la probabilidad, la distribución de probabilidad de la suma de dos aleatorias independientes es la convolución de cada una de sus distribuciones de probabilidad. En óptica, muchos tipos de "manchas" se describen con convoluciones. Una sombra (e.g. la sombra en la mesa cuando tenemos la mano entre ésta y la fuente de luz) es la convolución de la forma de la fuente de luz que crea la sombra y del objeto cuya sombra se está proyectando. Una fotografía desenfocada es la convolución de la imagen correcta con el círculo borroso formado por el diafragma del iris. En acústica, un eco es la convolución del sonido original con una función que represente los objetos variados que lo reflejan. En ingeniería eléctrica, electrónica y otras disciplinas, la salida de un sistema lineal (estacionario o bien tiempo-invariante o espacio-invariante) es la convolución de la entrada con la respuesta del sistema a un impulso (ver animaciones).
En física, allí donde haya un sistema lineal con un "principio de superposición", aparece una operación de convolución. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------c) Indique las propiedades de la Transformada Z e indique la utilidad en Ingeniería. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z: >LINEALIDAD Si x 1( n) y
x 2( n) son dos secuencias con transformadas X 1 ( Z ) y convergencia R1 y R2 , respectivamene es decir x 1( n) ↔ X 1 ( Z ) ROC=R1
X 2 ( Z ) regiones de
x 2( n) ↔ X 2( Z ) ROC=R2 Entonces ´
a1 x1 ( n) +a2 x 2( n) ↔ a1 X 1( Z ) +a 2 X 2( Z ) R ͻ R1 ᴖ R2 Donde a1 y a2 son constantes arbitrarias es decir la transformada z de una combinacion lineal de secuencias es igual a la combinación lineal de las transformadas z de las secuencias individuales >DESPLAZAMIENTO (CORRIMIENTO) EN EL TIEMPO O TRASLACION REAL Si
x (n ) ↔ X (Z ) ROC=R Entonces
x (n−n ) ↔ Z −n X ( Z ) R´ =R ᴖ { 0<| z|< ∞ } o
o
>INVERSION EN EL TIEMPO Si la transformada z de x (n )
es
X ( Z ) , es decir,
x (n ) ↔ X (Z ) ROC=R Entonces
x (−n) ↔ X
( Z1 ) R = 1R ´
>MULTIPLICACION POR Si
n Z 0 o CORRIMIENTO EN FRECUENCIA
x (n ) ↔ X (Z ) ROC=R
Entonces
Z n x (n ) ↔ X
z ´ R =|z o| R zo
( )
>MULTIPLICACION POR n (O DIFERENCIACION EN EL DOMINIO DE Z) Si tiene transformada z con ROC = R es decir,
x (n ) ↔ X (Z ) ROC=R
Entonces
n x (n) ↔−z
d X ( Z) dz
´
R =R
>ACUMULACION Si la x ( n ) secuencia tiene transformada z igual a
x (n ) ↔ X (Z ) ROC=R
X ( Z ) con region de covergencia R , es decir,
Entonces n
∑
k=−∞
x ( k) ↔
´ 1 z X = X R ͻ Rᴖ {|z|>1 } ( Z) z−1 (Z ) 1−z−1 n
Observe que la expresión
∑
k=−∞
x ( k ) es la contraparte en tiempo discreto de la operacion de integracion
en el dominio del tiempo y se denomina acumulación. >CONVOLUCION Si x 1( n) y x 2( n) son tales que
x 1( n) ↔ X 1 ( Z ) ROC=R1 x 2( n) ↔ X 2( Z ) ROC=R2 Entonces la transformada de la convolución de estas secuencias es dada por
x 1( n) ¿ x 2 ( n) ↔ X 1 ( Z ) X 2 (Z ) R´ ͻ Rᴖ {|z|>1 } Esta relación juega un papel importante en el análisis y diseño de sistemas LIT de tiempo discreto en analogía con el caso de tiempo continuo. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------d) En que consiste la compresión de audio y video y como se utiliza la Transformada de Fourier. En ciencias de la computación la compresión de datos es la reducción del volumen de datos tratables para representar una determinada información empleando una menor cantidad de espacio. Al acto de compresión de datos se denomina compresión, y al contrario descompresión. El espacio que ocupa una información codificada (datos, señal digital, etc.) sin compresión es el cociente entre la frecuencia de muestreo y la resolución. Por tanto, cuantos más bits se empleen mayor será el tamaño del archivo. No obstante, la resolución viene impuesta por el sistema digital con que se trabaja y no se puede alterar el número de bits a voluntad; por ello, se utiliza la compresión, para transmitir la misma cantidad de información que ocuparía una gran resolución en un número inferior de bits. La compresión es un caso particular de la codificación, cuya característica principal es que el código resultante tiene menor tamaño que el original. La compresión de datos se basa fundamentalmente en buscar repeticiones en series de datos para después almacenar solo el dato junto al número de veces que se repite. Así, por ejemplo, si en un fichero aparece una secuencia como "AAAAAA", ocupando 6 bytes se podría almacenar simplemente "6A" que ocupa solo 2 bytes, en algoritmo RLE.
En realidad, el proceso es mucho más complejo, ya que raramente se consigue encontrar patrones de repetición tan exactos (salvo en algunas imágenes). Se utilizan algoritmos de compresión: Por un lado, algunos buscan series largas que luego codifican en formas más breves. Por otro lado, algunos algoritmos, como el algoritmo de Huffman, examinan los caracteres más repetidos para luego codificar de forma más corta los que más se repiten. Otros, como el LZW, construyen un diccionario con los patrones encontrados, a los cuales se hace referencia de manera posterior. La codificación de los bytes pares es otro sencillo algoritmo de compresión muy fácil de entender. A la hora de hablar de compresión hay que tener presentes dos conceptos: Redundancia: Datos que son repetitivos o previsibles. Entropía: La información nueva o esencial que se define como la diferencia entre la cantidad total de datos de un mensaje y su redundancia. La información que transmiten los datos puede ser de tres tipos: Redundante: información repetitiva o predecible. Irrelevante: información que no podemos apreciar y cuya eliminación por tanto no afecta al contenido del mensaje. Por ejemplo, si las frecuencias que es capaz de captar el oído humano están entre 16/20 Hz y 16.000/20.000 Hz, serían irrelevantes aquellas frecuencias que estuvieran por debajo o por encima de estos valores. Básica: la relevante. La que no es ni redundante ni irrelevante. La que debe ser transmitida para que se pueda reconstruir la señal. Teniendo en cuenta estos tres tipos de información, se establecen tres tipologías de compresión de la información: Sin pérdidas reales: es decir, transmitiendo toda la entropía del mensaje (toda la información básica e irrelevante, pero eliminando la redundante). Subjetivamente sin pérdidas: es decir, además de eliminar la información redundante se elimina también la irrelevante. Subjetivamente con pérdidas: se elimina cierta cantidad de información básica, por lo que el mensaje se reconstruirá con errores perceptibles pero tolerables (por ejemplo: la videoconferencia). Una característica importante de las diversas transformadas es su propiedad de compactación. Los coeficientes de una transformada representan también la energía de una señal a las diversas frecuencias; sin embargo, no todos los coeficientes son igualmente significativos y algunas transformadas dan lugar a coeficientes muy poco significativos en altas frecuencias o, por decirlo de otra forma, compactan la mayor parte de la energía de la señal solo en unos pocos coeficientes. En el caso de la imagen transformada bidimensional en el bloque de las siguientes figuras:
La zona de bajas frecuencias corresponde a la parte superior de la matriz, en tanto que las frecuencias más altas corresponden a un extremo inferior derecho. El término de la matriz en la celda superior izquierda se designa como termino de corriente continua, por similitud con el caso eléctrico. En la siguiente figura se pueden apreciar las propiedades de compactación de cuatro transformadas Fourier, coseno discreto, Hadamard y Karhunen-Loeve. En ellas las zonas blancas corresponden a los coeficientes significativos y las zonas más obscuras a coeficientes de un valor muy pequeño o nulo.
http://personales.unican.es/perezvr/pdf/Compresion%20de%20video.pdf ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------e) Como se originaron las Series de Fourier y comente la importancia que tiene en la actualidad. Al regresar a Francia, y como profesor de Análisis de la Escuela Politécnica, Fourier se interesó por la teoría de la conducción del calor en los cuerpos sólidos. En 1807 envió un artículo a la Academia de Ciencias de
París, que trataba sobre dicho tema. Más concretamente, Fourier consideró una varilla delgada de longitud dada, digamos π, cuyos extremos se mantienen a 0◦ centígrados y cuya superficie lateral est´a aislada. Si la distribución inicial de temperatura en la varilla viene dada por una función f (x) (se supone que la temperatura de la varilla en cada sección transversal de la misma es constante), ¿Cuál ser ‘a la temperatura de cualquier punto x de la varilla en el tiempo t ? Suponiendo que la varilla satisface condiciones físicas apropiadas, Fourier demostró que si u(x, t) representa la temperatura en la sección x y en el tiempo t, entonces la función u debe satisfacer:
La primera condición descrita es una Ecuación en Derivadas Parciales de segundo orden, conocido con el nombre de Ecuación del Calor. La segunda significa que la temperatura, en los extremos de la varilla, se mantiene a 0◦ centígrados en cualquier tiempo, mientras que la última relación representa la distribución inicial de temperatura en la varilla considerada Partiendo de las ideas de Bernouilli, para la ecuación de ondas, Fourier buscó las soluciones más sencillas que puede presentar la ecuación del calor: aquellas que son de la forma u(x, t) = X (x)P (t). Imponiendo la condición de que tales funciones satisfagan, formalmente, dicha ecuación, obtenemos, como en el caso de la ecuación de ondas, los dos problemas siguientes de ecuaciones diferenciales ordinarias:
En la expresión anterior, µ hace el papel de parámetro real. Como antes, tiene solución no trivial si y 2
solamente si µ ∈ {n2, n ∈ IINI}. Además, si µ = n , para algún n natural, el conjunto de soluciones de (2.2) es un espacio vectorial real de dimensión uno engendrado por la función sen(nx). Análogamente, para µ = n2, el conjunto de soluciones de (2.3) es un espacio vectorial real de dimensión uno, cuya base la constituye la función exp(−n2t). Así, disponemos de un procedimiento que nos permite calcular infinitas “soluciones elementales” de la ecuación del calor, a saber, las funciones de la forma como:
an vn , donde an ∈ IR y vn se define
Es trivial que, si la distribución inicial de temperatura, f , es algún múltiplo de sen(nx) (o una combinación lineal finita de funciones de este tipo), entonces la solución buscada de (2.1) es un múltiplo adecuado de vn (respectivamente, una adecuada combinación lineal de funciones de esta forma). Ahora bien, f no es, en general de la forma justo mencionada, pero, y aquí demostró Fourier, como Bernouilli, una enorme intuición, ¿Será posible obtener la solución u de (2.1), para cualquier f dada, como superposición de las anteriores soluciones sencillas vn? Es decir, Será posible elegir adecuadamente los coeficientes an tal que la única solución de (2.1) sea de la forma:
Fourier afirmó en su artículo que esto era así. Observemos que nuevamente llegamos a que, entonces, se ha de satisfacer la relación (1.7). Tenemos la misma cuestión para dos problemas completamente diferentes, el problema (1.1) y el problema (2.1). Sin embargo, es de justicia mencionar que Fourier, a diferencia de Bernoulli, alcanzó la fórmula (1.8) para el cálculo de los coeficientes an (aunque la forma en que lo hizo fue uno de los puntos más criticado por los matemáticos de la ´época), llamados desde entonces coeficientes de Fourier. El artículo de Fourier fue estudiado por LaGrange, Laplace y Liendre y fue rechazado por la Academia Francesa, básicamente por la manera en que dedujo la ecuación del calor y por su falta de rigor en la obtención de sus conclusiones (siempre según la opinión de los académicos citados). No obstante, los miembros de tan prestigiosa institución estaban convencidos de la importancia que tenían los problemas relacionados con la propagación del calor y, los resultados teóricos presentados por Fourier tenían una gran concordancia con Diversos experimentos llevados a cabo previamente. Por este motivo, convocaron un premio sobre el tema. Dicho premio fue otorgado a Fourier en 1812, pero a pesar de ´esto, los miembros de la Academia seguían criticando su falta de rigor, de tal manera que, a pesar de obtener el citado premio, Fourier no consiguió el propósito de publicar su trabajo en la célebre serie “Mémoires” de la Academia Francesa. Fourier, haciendo gala de un gran tesón, siguió trabajando en el tema y en 1822 publicó su famoso libro Théorie Analytique de la Chaleur, Firmin Didot, Pere et Fils, 1.822, París, donde incorporó parte de su artículo de 1812 prácticamente sin cambio. Este libro es actual- mente una de las obras Clásicas en Matemáticas. Actualmente tiene una gran influencia en aspectos de telecomunicación y aplicación a la ingeniería.
