BAB.I PENGERTIAN DAN PENGGUNAAN STATISTIKA
PENGERTIAN. A. PENGERTIAN. Stat Statis isti tik k
memp mempun unya yaii
seja sejara rah h
yang yang
sang sangat at
panj panjan ang, g,se sepa panj njan ang g
per peraadap dapan man manusi usia, pada ada jama jaman n sebe sebelu lum m mase masehi hi,, bang bangsa sa di Mesopo Mesopotam tamia, ia, Mesir Mesir dan Cina Cina telah telah mengum mengumpul pulkan kan data data statis statistic tic untuk untuk mempero memperoleh leh inform informasi asi tentan tentang g bebera beberapa pa pajak pajak yang yang harus harus dibayar oleh penduduk. Ahli Statistik H.G.Wells yang hidup pada tahun 1800-an mengatakan “ Berpikir secara statistik suatu saat akan menjadi suatu kemampuan atau keahlian yang sangat diperlukan dalam masyarakat yang efisien seperti halnya kebutuhan manusia untuk membaca dan menulis”. Bahwa Bahwa statis statistic tic mempun mempunyai yai kaitan kaitan dan manfaa manfaatt langsu langsung ng dengan dengan banyak hal yang terkait dengan kehidupan . Apa arti statistika , Statistika adalah ilmu tentang bagaimana meng mengum umpu pullkan, kan,
menat enata a,meny menyaj ajik ika an,
meng menga anali nalisi sis, s,
dan
menginterprestasikan data menjadi informasi untuk membantu pengambilan keputusan yang efektif. B. JENIS STATISTIKA
Statistika dibagi 2 yaitu statistika deskriptif dan induktif. 1. Statistika Deskriptif adalah metode statistik yang digunakan untuk mengga menggamba mbarka rkan n data data yang yang telah telah dikump dikumpulk ulkan an menjad menjadii sebuah sebuah informasi. Statistika deskriptif mempunyai kegiatan mulai dari pengumpulan data data,, meng mengol olah ah,d ,dan an meny menyaj ajik ikan an data data . peny penyaj ajia ian n data data dapa dapatt berbentuk tabel, tabel, grafik, ukuran, dan gambar. 1
Statist tistiika 2. Sta
Indu Induk ktif tif
adal adalaah
met metode ode
mengetahui mengetahui tentang tentang sebuah sebuah populasi populasi
yang ang
digun igunaakan kan
untu untuk k
berdasarkan berdasarkan suatu suatu sampel
dengan menganalisis dan menginterprestasikan data data menjadi kesimpulan. C. JENI JENIS S DATA DATA Data berdasarkan sifatnya ada 2 yaitu data kualitatif dan
a.
data kuantitatif. Data kualitatif yaitu data yang berbentuk bukan angk angka. a. Data Data kuan kuanti tita tati tiff yait yaitu u data data yang yang beru berupa pa angk angka. a.Da Data ta kuantitatif ada dua yaitu data Diskrit yaitu data berbentuk bilangan bulat, contoh: jumlah Motor 3 unit dsb. dan Data Kontinu yaitu data data yang yang pada pada suat suatu u inte interv rval al peng penguk ukura uran n yang yang bisa bisa berup berupaa bilangan bulat dan pecahan contoh : berat semangka 3,5 kg. Data berdasarka berdasarkan n sumber ada ada 2 yaitu data data Primer dan dan
b.
data Skunder. Data Primer adalah data yang diperoleh langsung dari sumbernya. Data Skunder adalah data yang diperoleh dari pihak ke dua. D. SKALA SKALA PENGUKU PENGUKURA RAN N Ada 4 jenis pengukuran yaitu skala Nominal, skala ordinal, skala Interval dan skala rasio. Skala Skala Nomina Nominall adalah adalah ukuran ukuran yg paling paling sederh sederhana ana,,
a.
dima dimana na angk angkaa yang yang dibe diberik rikan an kepa kepada da obye obyek k memp mempun unya yaii arti arti sebagai label saja. Data : jumlah penjualan beberapa jenis sepeda motor. No 1 2 3 4 5
Jenis Motor Honda Yamaha Suzuki Kawasaki Mocin
Jumlah ( unit) 3500 3800 2900 1500 1000
2
Skal Skalaa Ordi Ordina nall adal adalah ah angk angkaa yang yang dibe diberik rikan an dima dimana na
b.
angka-angka tersebut mengandung pengertian tingkatan. Data : jumlah penjualan beberapa jenis sepeda motor. No 1 2 3 4 5
Jenis Motor Yamaha Honda Suzuki Kawasaki Mocin
Jumlah ( unit) 3800 3500 2900 1500 1000
Skala Nominal bias dirubah menjadi skala ordinal. c.
Skala Interval adalah suatu skala pemberian angka pada
klasifikasi dari obyek yang mempunyai sifat ukuran ordinal dan ditambah satu sifat lain yaitu interval yang sama. Data : Klasifikasi saham di BEJ tahun 2008 No 1 2 3 4 5
d.
Kriteria Sangat Prosfektif Prosfektif Cukup Prosfektif Kurang Prosfektif Tidak Prosfektif
Nilai Saham 700 - 800 600 – 700 500 – 600 400 – 500 300 - 400
Interval 100 100 100 100 100
Jumlah 4 6 3 2 5
Skala Rasio adalah skala yang mencakup semua skala
yaitu nominal,ordinal, intervaldisamping memberikan keterangan tentang nilai obyek yang diukur. Kondisi A Saham BCA 3000 Jual Toyota 60.000 Inflasi Indonesia 10
Kondisi B Saham BNI 1500 Jual Honda 40.000 Jepang 5
Rasio A/B 2 1,5 2
BAB. II PENYAJIAN DATA
3
Penyajian data digunakan untuk membuat data menjadi sebuah informasi, yang dipakai untuk mengambil keputusan manajerial. A. DISTRIBUSI FREKUENSI. Distribusi frekwensi adalah pengelompokan data kedalam beberapa kategori yang menunjukan banyaknya data dalam setiap kategori , agar data dapat teratur dengan cara mengelompokkan besar kecilnya data, sehingga apabila dibaca akan mudah dipahami.
B. BAGIAN – BAGIAN DISTRIBUSI FREKUENSI. 1. Kelas – kelas adalah kelompok nilai data atau variable. 2. Batas kelas ( class limit ) adalah nilai yang membatasi kelas yang satu dengan kelas yang lain. Terdapat dua batas kelas yaitu : a. Batas kelas bawah ( lower class limit ) , terdapat di deretan sebelah kiri setiap kelas. b. Batas kelas atas ( upper class limit ), terdapat di deretan sebelah kanan setiap kelas. 3. Tepi kelas adalah batas kelas yang tidak punya lubang untuk angka tertentu antara kelas yang satu dengan kelas yang lain. Terdapat dua tepi kelas yaitu : a. Tepi bawah kelas , dirumuskan : batas bawah kelas - 0,5. b. Tepi atas kelas , dirumuskan : batas kelas atas + 0,5. 4. Titik tengah kelas ( class mid point ) adalah angka atau nilai data yang terletak tepat ditengah suatu kelas, dirumuskan : batas atas + batas bawah dibagi dua. 5. Interval kelas ( class interval ) adalah selang yang memisahkan kelas yang satu dengan kelas yang lain. 4
6. Panjang interval kelas ( interval size ) adalah jarak antara tepi atas kelas dan tepi bawah kelas. 7. Frekwensi kelas ( class frekwensi ) adalah banyaknya data yang
termasuk kedalam kelas tertentu.
C. MEMBUAT TABEL DISTRIBUSI FREKWENSI Langkah-langkah penyusunan : 1. Mengurutkan data dari yang terkecil ke yang besar. 2. Menentukan jangkauan ( range = R ) dari data , dirumuskan : R = data terbesar – data terkecil. 3. Menentukan jumlah kelas ( JK ), dirumuskan : JK = 1 + 3,322 log n. n = jumlah data. 4. Menentukan panjang interval kelas ( I ). Dirumuskan :
I =
R JK
Contoh : Seorang mahasiswa akan mengadakan penelitian tentang modal awal yang dimiliki para pedagang kaki lima di Pasar Minggu dengan mengambil 40 sampel dan diperoleh hasil sbb : ( dalam ratusan ribu rupiah ).
5
30
41
45
50
46
43
40
44
50
53
40
44
50
51
51
42
34
34
41
45
50
50
45
43
40
44
52
50
45
40
49
51
41
45
50
51
35
35
52
40
pertanyaan : Buatlah distribusi frekwensi ? D. PENYAJIAN DATA Data yang sudah dikelompokan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dapat disajikan dalam bentuk grafik supaya menjadi lebih menarik dan informative. Grafik yang bersal dari distribusi frekuensi disebut grafik Histogram dan Poligon. Histogram dan Poligon adalah dua grafik yang sering digunakan untuk menggambarkan distribusi frekwensi. Histogram merupakan grafik batang dari distribusi frekwensi. Poligon merupakan grafik garis. Contoh : Biaya promosi yang dikeluarkan oleh perusahaan per tahun yang diambil dari 40 perusahaan sebagai sample ( jutaan rupiah ). kelas I
Biaya promosi 20 - 24
Frekwensi 2
II
25 -
29
6
III
30 - 34
10
IV
35 - 39
14
V
40 - 44
8
Tentukan : Jumlah kelas, batas kelas bawah dan atas, tepi bawah dan atas kelas, titik tengah kelas, interval kelas, panjang interval kelas, frekwensi kelas dan buat histogram dan poligon.
6
D. JENIS-JENIS DISTRIBUSI FREKUENSI
1. Distribusi Frekuensi Relatif . Adalah hasil bagi atau perbandingan antara jumlah frekuensi aspek tertentu dibagi total jumlah frekuensi dikalikan 100%.
Dirumuskan : F.relatif =
fi
∑ f
X 100 %
Contoh : Biaya promosi 40 Perusahaan Kelas I
Biaya Promosi 20 – 24
Frekuensi 2
Frekuensi Relatif 2/40 x 100% = 5%
II
25 – 29
6
6/40 x 100% = 15%
III
30 – 34
10
10/40 x 100% = 25%
IV
35 – 39
14
14/40 x 100% = 35%
V
40 – 44
8
8/40 x 100% = 20%
2. Distribusi Frekuensi Komulatif .
Distribusi ini ada 2 yaitu a. Distribusi F. Komulatif “ kurang dari “ ( < ) b. Distribusi F. Komulatif “ lebih dari “ ( ≥ )
7
Contoh: Distribusi F. Komulatif “ Kurang dari “ Biaya promosi 40 Perusahaan Biaya Promosi
Frekuensi
Biaya Promosi “ kurang
Frekuensi Komulatif
20 – 24
2
dari “ / “< ” < 20
“<“ 0
25 – 29
6
< 25
2
30 – 34
10
< 30
8
35 – 39
14
< 35
18
40 – 44
8
< 40
32
< 45
40
Contoh: Distribusi F. Komulatif “ lebih dari “ Biaya promosi 40 Perusahaan Biaya Promosi
Frekuensi
Biaya Promosi “ lebih dari
Frekuensi Komulatif
20 – 24
2
“ / “≥ ” ≥ 20
“≥ “ 40
25 – 29
6
30 – 34
10
35 – 39
14
40 – 44
8
≥
25
38
≥
30
32
≥
35
≥
40
≥
45
22 8 0
BAB.III UKURAN LOKASI/PEMUSATAN
A. MEAN ( RATA – RATA HITUNG ) Mean ( rata-rata hitung ) adalah nilai rata-rata dari data yang ada. Ratarata hitung dari populasi diberi symbol “
“
, rata –rata sample diberi
symbol “ x “. 8
Rata – rata hitung berdasarkan bentuk data ada : 1. Data tunggal/tidak berkelompok .
Dirumuskan : a. Jika X1,X2,X3 …….Xn, maka rata-rata hitungnya : _
X =
x1
+ x2 + x3 ..... xn n
,
keterangan : n = jumlah data, x = wakil data
contoh : tentukan rata-rata hitung dari data sbb : 8, 7,2 ,5, 18, 20. b. Jika X1,X2,X3, …….Xn masing-masing memiliki frekuensi f1,f2,f3….fn., maka rata-rata hitungnya :
∑ f . X ∑ f
X =
=
f 1. X 1 + f 2 . X 2 ....... f n . X n f 1 + f 2 +..... f n
Contoh : X 4
f 5
7
3
8
2
9
2
12
1
Cari rata-rata hitung data diatas ? 2. Rata-rata hitung data berkelompok .
Apabila telah terbentuk distribusi frekwensi, maka rata-rata hitung ( mean) dirumuskan : _
X =
∑ fiXi
,
keterangan : fi = frekwensi pada kelas ke i, Xi = titik
∑ fi
tengah.
9
Contoh : Biaya promosi yang dikeluarkan oleh perusahaan per tahun yang diambil dari 40 perusahaan sebagai sample ( jutaan rupiah ). kelas I
Biaya promosi 20 - 24
frekwensi 2
II
25 -
29
6
III
30 - 34
10
IV
35 - 39
14
V
40 - 44
8
Tentukan rata –rata hitung dari data diatas ?
B. MEDIAN.
10
Median merupakan nilai tengah dari data yang ada setelah data diurutkan. Median disebut juga rata-rata posisi, disimbolkan Me/ Md. Median ada dua : Median data tunggal .
jika jumlah data ganjil, mediannya berada paling tengah, dirumuskan : Me data = X
n +1 , n = jumlah data 2
Contoh :a. 4, 7,3, 9, 12, 5, 2. Tentukan mediannya ?
jika jumlah data genap, mediannya berada hasil bagi jumlah data yang ditengah, dirumuskan : Me data genap = X
n +1 ,n 2
= jumlah data
Contoh : 9, 8, 14, 4, 7, 3, 10, 6. tentukan Mediannya ?
Median data kelompok. 1
Dirumuskan : Keterangan :
Me
= B +
2
n −(
∑ fo )
fme
XC
B = tepi bawah kelas median. n = jumlah frekwensi fo = jumlah fr ekwensi kelas median sebelum kelas median. C = Panjang interval kelas fme =frekwensi kelas median.
Contoh : Biaya promosi yang dikeluarkan oleh perusahaan per tahun yang diambil dari 40 perusahaan sebagai sample ( jutaan rupiah ).
11
kelas I
Biaya promosi 20 - 24
frekwensi 2
II
25 -
29
6
III
30 - 34
10
IV
35 - 39
14
V 40 - 44 Tentukan : mediannya.
8
C. MODUS. Modus merupakan nilai yang sering muncul dalam data, disimbolkan Mo. Modus ada dua : 1. Modus data tunggal. Contoh : 2, 5,6, 7,6, 8,9,6,7. tentukan modusnya ?
2. Modus data kelompok .
Dirumuskan :
Mo
Keterangan :
= L +
d 1 d 1 + d 2
XC
L = Tepi bawah kelas modus d1 = selisih frekwensi kelas modus dengan frekwensi kelas sebelumnya. d2 = selisih frekwensi kelas modus dengan frekwensi kelas sesudahnya. C = panjang interval.
Contoh : Biaya promosi yang dikeluarkan oleh perusahaan per tahun yang diambil dari 40 perusahaan sebagai sample ( jutaan rupiah ). kelas
Biaya promosi
frekwensi
12
I
20 - 24
2
II
25 -
29
6
III
30 - 34
10
IV
35 - 39
14
V
40 - 44
8
Tentukan modusnya ?
D.QUARTIL. Quartil adalah membagi seperangkat data yang telah terurut menjadi empat bagian yang sama. Terdapat 3 jenis quartil : quartil pertama, kedua dan ketiga (Q1,Q2,Q3 ). Quartil ada 2 : 1. quartil data tunggal. Dirumuskan : Qi = nilai yang ke
i ( n + 1) 4
, i = 1,2,3.
Contoh : tentukan Q1,Q2, Q3 dari data sbb: 8, 2, 10, 9,4,5,12, 8,6,4,7 2. quartil data kelompok . in
dirumuskan :
Qi
= Bi +
4
− ∑ fo fqi
XC
Keterangan ; Bi = tepi bawah kelas quartil. n = jumlah frekwensi. i = 1,2,3. fo = jumlah frekwensi sebelum kelas kuartil fqi = frekwensi kelas quartil. Dan C = panjang interval kelas kuartil.
Contoh : Biaya promosi yang dikeluarkan oleh perusahaan per tahun yang diambil dari 40 perusahaan sebagai sample ( jutaan rupiah ). kelas I
Biaya promosi 20 - 24
frekwensi 2 13
II
25 -
29
6
III
30 - 34
10
IV
35 - 39
14
V
40 - 44 Tentukan quartil 1,2,3.
8
E. DESIL Desil adalah membagi seperangkat data yang telah terurut menjadi sepuluh bagian. Jadi Desil jumlah ada 9 yaitu D1, D2, ……..D9. Desil berdasarkan bentuk data ada 2 : 1. Desil data tunggal/tidak berkelompok, Dirumuskan : Di = nilai ke i
( n + 1) 10
,
i = 1,2,3……..9
Contoh : tentukan D3,D5,D7 dari data dibawah ini : 8,5,7,10,16,9,20,24,14,12. 2. Desil data berkelompok.
i.n
Dirumuskan : Di = Bi + 10
− Fo
F di
XC
Keterangan : Di = desil ke I, Bi = tepi bawah kelas desil ke I, n = jumlah frekwensi, Fo = jumlah frekwensi sebelum kelas desil ke i, Fdi = frekwensi kelas desil, i = 1,2,3……9.
Contoh : Biaya promosi yang dikeluarkan oleh perusahaan per tahun yang diambil dari 40 perusahaan sebagai sample ( jutaan rupiah ). kelas I II
Biaya promosi 20 - 24 25 -
29
frekwensi 2 6 14
III
30 - 34
10
IV
35 - 39
14
V
40 - 44
8
Tentukan : D4,D6,D8 dari tersebut diatas ?
BAB.IV PENGUKURAN DISPERSI
PENGERTIAN Pengukuran dispersi atau pengukuran penyimpangan adalah pengukuran seberapa jauh penyimpangan nilai-nilai data dari nilai pusatnya.
15
JENIS – JENIS PENGUKURAN DISPERSI. 1. Rentang/jangkauan ( Range ) adalah selisih nilai terbesar
dengan nilai terkecil. Dirumuskan :
R = Xt – Xr . Dimana Xt = nilai tertinggi dan
Xr = nilai terendah. Contoh : 9, 13, 16, 20, 26, 28, 35, 46. R = 46 – 9 = 37. 2. Rentang/jangkauan antar kuartil dan semi kuartil. Dirumuskan : RAK = Q3 – Q1 Dimana : RAK = rentang antar kuartil, Q3 = kuartil 3, Q1 = kuartil 1. SK = ½ ( Q3 – Q1 ) Dimana : SK = semi antar kuartil.
3. Deviasi rata-rata ( simpangan rata-rata ). Adalah nilai rata-rata hitung dari harga mutlak simpangannya. a.
Data tidak berkelompok, −
Dirumuskan : DR =
∑ X − X
dimana : X = rata-rata data.
n
Contoh : tentukan Deviasi rata-rata dari 5, 12,18,20, 30. b.
Data berkelompok.
16
−
Dirumuskan : DR =
∑ f X − X
,
n dimana : x = titik tengah, x = rata-rata hitung.
Contoh : Biaya promosi 40 Perusahaan Biaya Promosi
Frekuensi
20 – 24
2
25 – 29
6
30 – 34
10
35 – 39
14
40 – 44
8
Tentukan deviasi rata-rata ?
4. VariansAdalah simpangan rata-rata kuadrat, untuk sample
disimbolkan “ s2”. a. data tidak berkelompok .
1). Sample ( n > 30 )
∑ x − x −
2
dirumuskan : s =
n
contoh : Nilai statistika dari 35 mahasiswa
17
Nilai statistik I 30
frekuensi 5
50
10
70
8
90
7
100
5
Tentukan varians ?
2). Sample ( n < 30 )
2
− x x − dirumuskan : s2 = ∑ n −1
contoh : Nilai statistik I dari 20 mahasiswa Nilai statistik I 30
frekuensi 2
50
5
70
6
90
4
100
3
Tentukan varians? b. Varians berkelompok.
18
1). Sampel ( n ≥ 30 ) 2
− f x − x 2 ∑ S = n
contoh : Biaya promosi 40 Perusahaan Biaya Promosi
Frekuensi
20 – 24
2
25 – 29
6
30 – 34
10
35 – 39
14
40 – 44 Tentukan Varians?
8
2). Sample ( n < 30 ) 2
S2
− f x − x ∑ = n −1
contoh : Biaya promosi 20 Perusahaan Biaya Promosi
Frekuensi
20 – 24
2
25 – 29
4
30 – 34
8
35 – 39
3
40 – 44
3
Tentukan Varians ? 19
5. Standar Deviasi ( simpangan baku )
Adalah akar dari simpangan rata-rata kuadrat, untuk sample disimbolkan “ s”. a. data tidak berkelompok .
1). Sample ( n > 30 ) 2
dirumuskan : s =
x − x− ∑ n
contoh : Nilai statistik I dari 35 mahasiswa
Nilai statistik I 30
frekuensi 5
50
10
70
8
90
7
100
5
Tentukan simpangan baku ?
2). Sample ( n < 30 )
20
2
− ∑ x − x n −1
dirumuskan : s = contoh :
Nilai statistik I dari 20 mahasiswa Nilai statistik I 30
frekuensi 2
50
5
70
6
90
4
100
3
Tentukan simpangan baku?
b. Simpangan baku berkelompok. 1). Sampel ( n ≥ 30 ) 2
_ f X X − ∑ s =
n
contoh : Biaya promosi 40 Perusahaan Biaya Promosi
Frekuensi
20 – 24
2
25 – 29
6
30 – 34
10
35 – 39
14
40 – 44 8 Tentukan simpangan baku ? 2). Sample ( n < 30 )
21
2
s =
_ ∑ f X − X n −1
contoh :Biaya promosi 20 Perusahaan Biaya Promosi 20 – 24
Frekuensi 2
25 – 29
4
30 – 34
8
35 – 39
3
40 – 44
3
Tentukan simpangan baku ?
KOEFISIEN DEVIASI RATA-RATA Koefisien deviasi rata-rata adalah Persentase dari deviasi ratarata terhadap nilai rata-ratanya.
Dirumuskan : KDR =
DR − x100% X
.
keterangan : KDR = koefisien deviasi rata-rata X = rata-rata. KOEFISIEN STANDAR DEVIASI /KOEFISIEN VARIASI Koefisien Standar Deviasi adalah persentase dari standar deviasi terhadap nilai rata-rata. Dirumuskan : KSD =
SD − X 100% X
22
UKURAN KECONDONGAN ( SKEWNESS) Dirumuskan : SK =
µ
− Mo σ
3( µ − Md )
atau SK =
Keterangan : Mo = Modus dan
σ
Md = median. µ = rata-rata hitung, σ = standar deviasi.
UKURAN KERUNCINGAN ( KURTOSIS ) Symbolnya = α4 1 4
Rumusnya data tidak kelompok: α =
∑( x − µ ) n σ
4
1 4
Rumus untuk data berkelompok : α =
4
∑ f ( x − n
µ )
4
4
σ
Jika α4 = 3 maka kurvanya mesokurtik ( tdk mendatar dan tidak meruncing ), jika α4 > 3 kurvanya Leptokurtik ( kurvanya puncak paling tinggi, α4 < 3 kurvanya platykurtik kurvanya mendatar.
BAB.V. KORELASI DAN REGRESI LINEAR SEDERHANA A. Variabel bebas dan variable terikat. Variabel bebas ( Independent variable ) adalah variable yang nilainya tidak tergantung pada variable lainnya. Biasanya disimbolkan X. Variabel terikat ( dependent variable ) adalah veriabel yang nilainya tergantung variable lainnya. Biasanya disimbolkan Y.
B. Koefisien Korelasi linear sederhana.
Koefisien korelasi adalah indek/bilangan yang digunakan untuk mengukur keeratan hubungan antar variable ( hubungannya bias kuat, lemah dan tidak ada hubungan ). Koefisien korelasi disimbolkan “r”. Koefisien korelasi memiliki nilai antara –1 dan +1 ( -1
≤
r ≤ 1 ).
23
a. Jika koefisien korelasi bernilai positif ( r + ) maka variable berkorelasi positif, apabila nilai r mendekati +1 maka semakin kuat hubungan antar variable, demikian sebaliknya. b. Jika koefisien korelasi bernilai negatif ( r - ) maka variable berkorelasi negatif, apabila nilai r mendekati –1 maka semakin kuat hubungan antar variable, demikian sebaliknya. c. Jika koefisien korelasi bernilai 0 maka variabelnya tidak ada hubungan. d. Jika koefisien korelasi bernilai +1 dan –1 maka hubungan antar variable sempurna.
Untuk menentukan keeratan hubungan antar variable tersebut, maka diberikan patokan : a. r = 0 ---- tidak ada hubungan antar variable. b. 0 < r ≤
0,20 ----korelasinya antar variable sangat lemah.
c. 0,20 < r ≤
0,40 ---- korelasinya antar variable lemah.
d. 0,40 < r ≤ 0,70 ---- korelasinya antar variable cukup berarti. e. 0,70 < r ≤ 0,90 ---- korelasinya antar variable kuat. f. 0,90 < r < 1,00 ---- korelasinya antar variable sangat kuat.
g. r = 1dan -1, korelasinya antar variable sempurna. Begitu juga apabila nilai koefisien korelasinya negatif.
C. Jenis koefisien korelasi linear sederhana.
a. koefisien korelasi Pearson.
24
Koefisien korelasi Pearson adalah indek / bilangan yang digunakan untuk mengukur keeratan hubungan antar variable yang datanya berbentuk interval/rasio. Koefisien korelasi Pearson ( r ) dapat ditentukan dengan 2 metode : 1. Metode least square, dirumuskan sebagai berikut :
∑ X .Y − ∑ X .∑Y (n.∑ X − (∑ X ) )(n.∑Y − (∑ y ) ) n
r =
2.
2
2
2
2
Metode product moment, dirumuskan sebagai berikut :
r =
∑ x. y 2 2 ∑ x .∑ y
Keterangan : x = X – X dan y = Y - Y
2 b. Koefisien Penentu ( KP ) atau Koefisien Determinan ( r ).
Adalah koefisien korelasi dikuadratkan dikalikan 100%. Koefisien korelasi menjelaskan seberapa besar pengaruh variable bebas ( X ) terhadap variable terikat ( Y).
Dirumuskan : r2 x 100%.
25
Contoh 1: Apabila anda bekerja dibagian
Marketing , kemudian anda
diminta oleh Pimpinan untuk menganalisis apakah biaya yang dikeluarkan untuk promosi ada hungannya dengan pendapatan diperusahaan . Anda diberikan data sebagai berikut : X = biaya promosi dan Y = Pendapatan. Biaya promosi
3
5
9
6
10
12
( dalam ratusan juta ) Pendapatan
2
4
6
5
7
7
( dalam milyar )
Pertanyaan : Bagaimana kesimpulan anda hubungan antara biaya promosi dan pendapatan yang diperoleh Perusahaan serta seberapa
besar
pengaruhnya
biaya
promosi
terhadap
pendapatan..
D. REGRESI LINEAR. Adalah alat ukur yang digunakan untuk mengukur ada atau tidaknya korelasi antar variable. Regresi artinya ramalan taksiran. Diperkenalkan pertama kali oleh Sir Francis Galton Th. 1877. Regresi linear adalah regresi yang variable bebasnya berpangkat paling tinggi satu. Persamaan regresi linear dari Y terhadap X dirumuskan : Y = a + bX Keterangan : Y = Variabel terikat, X = variable bebas, a = konstanta, b = koefisien regresi.
Dari persamaan regresi tersebut nilai a dan b dapat ditentukan dengan rumus :
26
∑ ∑
∑ ∑ ∑
( n )( X .Y ) − ( X )( Y ) b = 2 ( n ) ( X 2 ) − ( X )
a = Y - b.X contoh : Data penelitian mengenai pengalaman kerja dengan produktivitas dalam menjual produk SM. X = pengalaman kerja. ( tahun ) Y = produktivitas dalam ( unit ).
X Y
3 5
6 10
4 8
9 10 12 14
5 9
7 10
6 9
Pertanyaan : a. Buat persamaan regresinya ? b. Apabila tenaga kerja yang sudah pengalaman 15 tahun berapa produktivitasnya penjualan,
Kesalahan baku regresi dan koefisien regresi. Dirumuskan : a.
Kesalahan baku regresi : Se =
b.
∑ y
2
− a.∑ y − b.∑ x. y n −2
Kesalahan baku koefisien regresi a :
( ∑ x )( se) n.∑ x − ( ∑ x ) 2
Sa =
2
2
27
c.
Kesalahan baku koefisien regresi b : Se
Sb =
∑ x
2
−
( ∑ x )
2
n
Contoh : Hasil survey dampak biaya iklan terhadap omzet penjualan. X = Biaya iklan ( milyar ) dan Y = omzet penjualan ( milyar ) X 4 7 Y 6 9 Pertanyaan :
10 17
12 20
9 16
14 20
8 18
6 10
11 14
a. Buatkan persamaan regresi. b. Berapa omzet penjualan jika biaya klan naik menjadi 30 milyar. c. Tentukan kesalahan baku regresi, koefisien regresi a dan b. Jawab : X = pengalaman kerja. Y = produktivitas.dalam menjual
X
Y
X2
XY
Y2
3
5
15
9
25
6
10
60
36
100
4
8
32
16
64
9
12
108
81
144
10
14
140
100
196
5
9
45
25
81
7
10
70
49
100
6 50
9 77
54 524
36 352
81 791
28
X = 50/8 = 6,25
∑ ∑
Y = 77/8 = 9,63
∑ ∑ ∑
( n ) ( X .Y ) − ( X )( Y ) b = 2 ( n ) ( X 2 ) − ( X )
b =
− 50 .77 4192 − 3850 = 342 = 1,08 = 2 2816 − 2500 316 8.352 − 50
8.524
a = Y - b.X a = 9,63 – 1,08.6,25 = 9,63 – 6,75 = 2,88 a.
b.
Jadi persamaan regresinya Y = 2,88 + 1,08 X Untuk tenaga kerja yang pengalamannya 15 tahun diperkirakan hasil penjualannya adalah Y = 2,88 + 1,08.15 = = 2,88 + 16,2 = 19,08 unit.
E. Koefisien korelasi Rank Spearman.
Adalah angka /indek yang digunakan untuk mengukur keeratan hubungan antar dua variable yang datanya berbentuk data ordinal ( data bertingkat/data rangking ). Disimbolkan “ r s “ . Dirumuskan : r s = 1 -
∑d
6
n (n 2
2
−1)
Keterangan : rs = koefisien korelasi rank spearman. d = selisih dalam ranking. n = banyaknya pasangan ranking. Langkah- langkah untuk menghitung koefisien korelasi rank Spearman :
29
1.
nilai pengamatan dari dua variable yang akan diukur
hubungannya diberi ranking. Pemberian rangking dimulai data terbesar /terkecil. Jika ranking sama diambil rata-rata. 2.
Setiap ranking dihitung perbedaannya.
3.
perbedaan setiap pasang ranking dikuadratkan dan dijumlah.
Contoh : Data mengenai hasil penelitian tentang hubungan indek prestasi ( IP ) dari para sarjana dan nilai prestasi kerja dari 10 sarjana di Perusaan BUMN adalah : IP Nilai
2,5 3 3,3 2,7 3,6 83 80 79 82 88
3,3 3,1 2,9 2,8 3,7 81 78 84 85 90
prestasi X = IP dan Y = Nilai prestasi kerja. Pertanyaan : a.
Hitung koefisien korelasi rank.
b.
Bagaimana kesimpulan anda tentang hubungan antara IP dan
prestasi kerja. Jawab : Rang Y
d2
X 2,5
Y 83
Rang X 10
d= X-Y
5
5
25
3
80
6
8
-2
4
3,3
79
3+4/2=3,5
9
5,5
30,25
2,7
82
9
6
3
9
3,6
88
2
2
0
0
3,3
81
3+4/2=3,5
7
-3,5
12,25
3,1
78
5
10
-5
25
2,9
84
7
4
3
9
2,8
85
8
3
5
25 30
3,7
90
1
a. r s = 1 rs = 1-
1
0 Jumlah
0 139,5
∑d
2
6
n (n 2
−1)
6.139 ,5 10 (10
2
−1)
= 1−
837 990
=1- 0,845 = 0,15
c. Jadi kesimpulannya adalah bahwa
hubungan antara IP
dengan Prestasi kerja sangat lemah positif.
F. Analisis Regresi, Koefiensi Determinasi , Korelasi berganda dan
Parsial. 1. Analisis regresi berganda. Untuk menganalisis besarnya hubungan dan pengaruh variabel independen yang jumlahnya lebih dari satu dikenal dengan anlisis regresi berganda. Bentuk persamaan regresi dengan dua variabel independen adalah : Y = a + b 1X1 + b2X2. Dari persamaan tersebut diperoleh nilai koefisien regresi untuk a,b 1, dan b2 dengan cara sbb : b1 b2 a
= = =
AB
− CD F
DE − AC F
∑Y − b ∑ X − b ∑ X 1
1
2
2
n
31
dimana : A=
n.∑ X 1.Y −∑ X 1 ∑Y
∑( X )
B = n. C=
2
2
− ( ∑ X 2 )
2
n∑ X 1 X 2 −∑ X 1 ∑X 2
D = n . ∑ X 2 .Y −∑ X 2. ∑Y
∑( X ) − ( ∑X )
E = n.
2
2
1
F = EB – C 2
Contoh ; Anda diminta untuk menganalisis data biaya distribusi dan biaya promosi terhadap pendapatan di PT. Agung , datanya sbb : Tabel : 1. Data biaya distribusi dan Promosi serta pendapatan di PT.Agung.
32
Biaya distribusi
Biaya promosi
Pendapatan
( dlm jutaan Rp.)
( dlm jutaan Rp.)
( dlm puluhanjuta Rp.)
5 4 6 5 6 3 8 8 5 4 3
9 10 9 11 14 7 16 9 12 12 9
4 7 3 9 5 5 11 8 9 6 6 Tentukan persamaan regresinya.
Anda diminta untuk menghitung berapa pendapatan PT. Agung jika biaya distribusi 16 juta dan biaya promosi 12 juta.
Koefisien Determinasi. ( R 2) Digunakan untuk menjelaskan seberapa besar kontribusi variabel independen ( X1 dan X2 ) terhadap variabel dependent ( Y). Dirumuskan :
R 2 =
∑Y + b .∑Y . X + b .∑Y . X ) − ( ∑Y ) n.∑Y − ( ∑Y )
n(a.
1
1 2
2
2
2
2
Contoh soal : Dari data tabel 1 : Tentukan berapa besar pengaruh biaya distribusi dan promosi terhadap pendapatan di PT.agung.
Koefisien Korelasi berganda. Dirumuskan : R =
R 2
Contoh soal :
33
Dari data tabel 1 : Tentukan bagaimana hubungan antara biaya distribusi dan promosi terhadap pendapatan di PT.Agung.
Korelasi Parsial. Korelasi parsial adalah hubungan variabel bebas dengan variabel tidak bebas, dengan variabel lain tetap. Korelasi parsial digunakan untuk melihat besarnya hubungan antara dua variabel yang bebas dari variabel yang lainnya. Pada regresi berganda kita juga mengenal koefisien korelasi yang dilambangkan R. koefisien korelasi ini menggambarkan hubungan antara Y dengan X1 dan X2 sekaligus. Korelasi parsial dilambangkan : 1. Ry.x1.x2. yang menyatakan hubungan antara Y dengan X1 dimana x2 dianggap tetap. 2. Ry.x2.x1 yang menyatakan hubungan antara Y dengan x2 dimana x1 dianggap tetap. 3. Rx1x2 Y yang menyatakan hubungan antara x1 dengan x2 dimana Y dianggap tetap.
Koefisien korelasi parsial diturunkan dari koefisien korelasi sederhana sbb :
1. Ry.x1.x2 =
ry. x1 − ry. x2 .rx1 x2
(1 − r yx ) (1 − r x x ) 2
2
2
2. Ry.x2.x1 =
3. R.x1.x2.y =
1
2
− ry. x1.rx1 x2 (1 − r 2 yx1 ) (1 − r 2 x1 x2 ) ry. x2
rx1. x2 − ry. x2 .ryx1
(1 − r yx ) (1 − r yx ) 2
2
2
1
Dimana : r y.x1 : r y.x2 : r x1.x2 : Contoh : dari data diatas tentukan koefisien korelasi parsial.
34
BAB.IV ANGKA INDEK
A. Pengertian angka indek. Adalah angka yang dipakai sebagai alat perbandingan dua atau lebih kegiatan yang sama untuk kurun waktu yang berbeda. Angka indek satuannya persen ( % ) dalam prakteknya tidak disertakan. Angka indek berhubungan dengan periode atau waktu, maka ada dua jenis periode : 1. Periode waktu dasar, adalah periode yang dipakai sebagai dasar dalam membandingkan kegiatan tersebut. 2. Periode waktu berjalan, adalah periode yang dipakai yang sedang berjalan atau periode yang diperbandingkan dalam kegiatan tersebut. 35
Contoh : Jumlah penduduk DKI Jakarta tahun 1997 adalah 8 juta jiwadan tahun 2000 adalah 16 juta. Berapa indek penduduk DKI Jakarta tahun 1977 dan 2000 , jika periode dasarnya tahun 1997 dan berapa indek penduduk tahun 1997 dan 2000 jika periode dasarnya tahun 2000 ?.
B. Jenis-jenis angka indek. 1. Jenis angja indek berdasarkan penggunaannya yaitu a. Indek harga ( price indeks ). b. Indek Kuantitas ( quantity indeks ). c. Indek nilai.
2. Jenis indek berdasarkan cara penentuannya yaitu a. Indek tak tertimbang adalah angka indek yang dalam pembuatannya tidak memasukan factor yang mempengaruhi naik turunnya angka indek. b. Indek tertimbang adalah angka indek yg dalam pembuatannya memasukkan factor yang mempengaruhi angka indek.
3. Cara penentuan angka indek a.
Indek harga. 1). Indek harga tak tertimbang, cara penentuannya ada 3 metode yaitu metode relatif, metode agregat dan metode rata-rata relatif.
36
P t
Metode angka realtif dirumuskan : I t,o = P x100% 0 Keterangan : I t,o = indek harga pd periode t dg periode dasar 0. Pt = harga pd periode t, Po = harga pd periode dasar.
Metode agregat dirumuskan : I t,o =
∑ P x100 % ∑ P t
o
Ket: ∑ P t
=Jumlah
seluruh harga pada periode t.
∑ Po = jumlah seluruh harga pd periode 0
P x 100 % ∑ P 0 Metode rata-rata relatif dirumuskan : I t,o = t
K
K = jumlah barang Contoh : Harga rata-rata Koran di DKI Jakarta dari tahun 1999 s/d 2003 di DKI Jakarta. Jenis barang
1999
2000
2001
2002
2003
Kompas
1200
1500
1600
1800
2000
Media Ind
900
1000
1100
1200
1250
Pos kota Republika
500
600
700
800
850
600
650
700
750
800
Berita kota Bisnis
400
500
600
600
700
500
550
600
600
700
Pertnyaan : Hitunglah indek harga tahun 2001 dan 2003 dengan metode angka relatif, agregat dan rata-rata relatif, dengan periode dasar 1999.
37
2).Indek harga tertimbang. Indek harga tertimbang dibedakan menjadi dua : metode agregat sederhana tertimbang dan metode rata-rata tertimbang. Metode agregat sederhana tertimbang , dikenal beberapa metode : 1. Metode Laspayres, dirumuskan :
IL t,o =
∑ P xQ x100 % ∑ P xQ t
0
0
0
Contoh: Harga rata-rata Koran di DKI Jakarta dari tahun 1999 s/d 2003 di DKI Jakarta. Jenis
199
barang
9
Kompas
120 0
1500
1600
1800
2000
1000
1100
1200
1250
Pos kota Republika Berita Kota
900
600
700
800
850
500
650
700
750
800
600
500
600
600
700
bisnis
400
550
600
600
700
Media Ind
2000
2001
2002
2003
500 Apabila kuantitas penjualan ditahun 1999 yaitu 5000 , 6000,7000, 8000 , 9000 . dan 10000 exp, tentukan indek harga tahun 2003 dengan metode Laspeyres , dengan periode dasar tahun 1999.
38
2. metode Passche, dirumuskan :
IP t,o =
∑ p xQ ∑ p xQ t
0
x 1005 0
3. Metode Drobisch, dirumuskan :
Idt,o =
ILt ,0 + Ipt , o 2
Contoh: Harga rata-rata Koran di DKI Jakarta dari tahun 1999 s/d 2003 di DKI Jakarta. Jenis barang
1999
2000
2001
2002
2003
Kompas
1200
1500
1600
1800
2000
Media Ind
900
1000
1100
1200
1250
Pos kota Republika Berita Kota
500
600
700
800
850
600
650
700
750
800
400
500
600
600
700
bisnis
500
550
600
600
700
Apabila kuantitas penjualan ditahun 2003 yaitu 8000 , 9000,10.000, 12.000 , 15.000 . dan 18.000 exp, , tentukan indek harga tahun 2003 dengan metode Paschee dengan periode dasar tahun 2000..
39
MACAM-MACAM INDEK Berikut ini dibahas beberapa macam indek yang umum dipakai dalam perekonomian. a. indek harga konsumen untuk melihat besarnya laju inflasi. Rumus : inflasi = IHKt – IHKt-1 x 100 IHKt-1 Keterangan : IHKt : indek harga konsumen tahun t IHKt-1: indek harga konsumen tahun t-1 ( tahun lalu ).
BAB.V DATA BERKALA ( TIME SERIES ) Data berkala ( time series ) adalah data yang disusun berdasarkan urutan waktu atau data yang dikumpulkan dari waktu ke waktu. Waktu yang digunakan dapat minggu, bulan , tahun dsb. Dengan adanya data berkala , maka pola gerakan data dapat diikuti atau diketahui. Maka data berkala dapat digunakan sebagai dasar untuk : 1. pembuatan keputusan saat ini. 2. Peramalan keadaan perdagangan/ekonomi dimasa akan dating. 3. Perencanaan kegiatan untuk masa depan.
Perubahan yang terjadi dalam data statistik dalam sederetan waktu tertentu disebut Trend. 40
Dalam penentuan nilai trend dapat digunakan beberapa cara yaitu Metode setengah rata-rata,
metode kuadrat terkecil ( least square ),Metode
Kuadratis. METODE SETENGAH RATA-RATA ( SEMI AVERAGE METHOD ). Langkah – langkah membuat trend : 1. Mengelompokkan data menjadi 2 bagian. Jika data jumlahnya ganjil, maka nilai yang ditengah dapat dihilangkan. 2. Menghitung rata-rata tiap bagian. 3. Menghitung selisih tiap bagian. 4. Menghitung nilai perubahan trend ,
5. Membuat persamaan trend.
Contoh : 1 Data hasil penjualan sepeda motor di PT. Agung Motor sbb : ( dlm unit ) Tahun ‘98 Penjualan 400 Pertanyaan :
‘99 450
‘00 500
‘01 600
‘02 620
‘03 640
‘04 610
‘05 630
‘06 650
‘07 610
a. Tentukan nilai trend tiap tahun. b. Ramalkan berapa hasil penjualan tahun 2012. Contoh : 2 Data hasil penjualan sepeda motor di PT. Putri Motor sbb : ( dlm unit ) Tahun ‘01 Penjualan 800 Pertanyaan :
‘02 920
‘03 940
‘04 810
‘05 930
‘06 950
‘07 1010
c. Tentukan nilai trend tiap tahun. d. Ramalkan berapa hasil penjualan tahun 2012.
41
METODE KUADRAT TERKECIL ( LEAST SQUARE ) Persamaan trendnya adalah
Y = a + bX
Keterangan : Y = data berkala atau nilai trend untuk periode tertentu. X = periode waktu ( hari, minggu, bulan,tahun ). a = konstanta. b = koefisien X. untuk menentukan garis trend , terlebih dahulu dicari nilai a dan b, artinya jika nilai a dan b sudah diketahui maka garis trend dapat dibuat. Nilai a dan b dari persamaan trend linear ditentukan dengan rumus : Y ∑ X .Y ∑ a= dan b = 2 n ∑ X
keterangan :
Y = nilai data berkala.
n = jumlah periode waktu X = tahun kode
Tahun kode ( X ) memiliki nilai yang berbeda untuk jumlah tahun ganjil dan genap. -
untuk jumlah tahun ganjil ( n ganjil ) , nilai X – nya : ….-3,-2,1,0,+1,+2,+3, ……….
-
Untuk jumlah tahun genap ( n genap ), nilai X – nya : …,-5,-3,1,+1,+3,+5,…….
Contoh :1. n ganjil. Data hasil pendapatan iklan di TV X dari tahun 1990 s/d 1999 adalah Tahun Biaya iklan
1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 40 55 60 70 65 80 90 75 100
( dalam milyar )
Pertanyaan : 42
a. tentukan nilai a dan b b. Buatlah persamaan trennya. c. Berapa nilai trend tiap tahun dan nilai trend tahun 2002. Contoh : 2 . n genap. Data penjualan sepeda motor di PT. HOKA, dari tahun 1995 s/d 2002 adalah Tahun Penjualan
1995 200
1996 300
1997 500
1998 1999 400 600
2000 800
2001 700
2002 1000
( dalam unit )
Pertanyaan : a. tentukan nilai a dan b b. Buatlah persamaan trennya. c. Berapa nilai trend tiap tahun dan niali trend tahun 2005. METODE TREND KUADRATIS Untuk pola jangka pendek dengan menggunakan pola linear, sedang apabila jangka panjang dengan non linear atau kuadratis, yaitu dengan persamaan sbb: Y = a + b x + c x 2. Koefisien a,b,c dicari dengan rumus :
( ∑ y )(∑ x ) − ( ∑ x y )( ∑ x ) a= n (∑ x ) − ( ∑ x ) 4
2
2 2
4
b =
c=
2
∑ x. y 2 ∑ x n(
∑ x . y ) − (∑ x )(∑ y ) n.( ∑ x ) − ( ∑ x ) 2
2
4
2 2
contoh : Data jumlah pelanggan PT. Telkom selama 9 tahun terakhir ini. ( dlm jutaan )
43
Tahun 99 Pelanggan 9 Tentukan :
00 13
01 16
02 22
03 25
04 32
05 28
06 24
07 25
a. Nilai a,b,c. b. Buat persamaan kuadratis. c. Ramalkan pelanggan tahun 2010.
BAB VI INDEKS MUSIMAN DAN GERAKAN SIKLIS Ada beberapa metode menghitung indeks musiman antara lain : 1. metode rata-rata sederhana. 2. metode relatif bersambung 3. metode rasio terhadap trend 4. metode rasio terhadap trend rata-rata bergerak.
Ad.1. metode rata-rata sederhana. Contoh : Data penjualan PT. AGIL tahun 2006 – 2007. (milyar ) Bulan (1) Jan Feb Maret April Mei Juni Juli Agustus September
2006 (2) 12 14 18 10 20 22 16 17 18
2007 (3) 16 23 20 18 22 26 19 20 22
jumlah (4) 28 37 38 28 42 48 35 37 40
Rata-rata (5) 14 18,5 19 14 21 24 17,5 18,5 20
Persentase thd total dr rata-2 (6) 14/234,5x100=5,98
INDEKS MUSIMAN (7) = (6) X 12 5,98 X 12 =71,79
44
Oktober Nopember Desember
24 22 19
26 25 20
50 47 39
25 23,5 19,5 234,5
AD.2. METODE RELATIF BERSAMBUNG
Data penjualan PT. AGIL tahun 2006 – 2007. (milyar ) Bulan
2005
2006
2007
Angka relatif bersambung (5)
Rata-rata
(1) Jan
(2) 12
(2) 15
(4) 16
2005 -
2006 15/19x100%=78,9
2007 16/20x100%= 80%
Feb
14
18
23
14/12x100%=
5 18/15x 100%=
23/16x100%=
Maret April Mei Juni Juli Agustus September Oktober Nopember Desember
18 10 20 22 16 17 18 24 22 19
21 18 20 23 26 19 25 27 20 20
20 18 22 26 19 20 22 26 25 20
Relatif
relatif
berantai
bersambung (6) 78,95 + 80= 2
(7) 100%
116,7% 18/14x100%= dst
Keterangan : relatif berantai : angka januari = 100%, februari x 100%, maret x (feb%) , dst
KISI-KISI 1. Buat grafik : poligon/histogram 2. rata-2, median, modus 3. koefisien variasi = koef standart deviasi/simpangan baku---
nilainya besar lebih variasi jika kecil homogen. 4. korelasi rank ( r rank ),
45
5. regresi regresi sederha sederhana na dan dan berganda berganda dan peramal peramalam am 6. data berkala berkala ( semi rata-2, rata-2, rata-2 rata-2 bergerak bergerak,, kuadart kuadart terkecil. terkecil.
BAB.VII. TEORI PROBABILITAS Untuk menghadapi keadaan yang yang tidak pasti , biasanya biasanya orang mengandalkan tebakan , dari tebakan itu muncul kemungkinan atau peluang, yang kemudian melahirkan teori probabilitas. Konsep Konsep probabilitas probabilitas di dukung dukung oleh banyak teori taitu teori Himpunan, Permutasi, dan Kombinasi.
A. Teori Himpunan. Himpunan. Himpunan adalah kumpulan obyek yang didefinisikan dengan jelas dan dapat dibeda-bedakan. Operasi Himpunan. Himpunan. a.
Operasi gabungan ( Union )
Gabungan dari himpunan A dan himpunan B adalah semua unsur yang termasuk didalam A atau di dalam B --- dilambangkan A+B atau U. Contoh : S = { x : 0 ≤ x ≤ 10 ) A = ( 2,3,4,5 ) B = ( 1, 3,4, 6,7,8 ) Tentukan : A U B. Jawab : A U B = ( 1,2,3,4,5,6,7,8 )
b.
Operasi irisan ( intersekcion ).
46
Irisan dari himpunan A dan B adalah himpunan semua unsure yang termasuk didalam A dan didalam B --- dilambangkan A ∩ B.
Contoh : S = { x : 0 ≤ x ≤ 10 ) A = ( 2,3,4,5 ) B = ( 1, 3,4, 6,7,8 ) Tentukan : A ∩ B. Jawab A ∩ B = ( 3,4 ) c. Oper Operas asii sel selis isih ih Adalah himpunan semua unsure A yang tidak termasuk didalam B ---dilambangkan A – B. Contoh : S = { x : 0 ≤ x ≤ 10 ) A = ( 2,3,4,5 ) B = ( 1, 3,4, 6,7,8 ) Tentukan : A - B. Jawab : A – B = ( 2,5 ).
B. Permutasi dan Kombinasi. Dalam membicarakan mengenai permutasi dan konmbinasi selalu berkaitan dengan prinsip dasar membilang dan factorial. 4.
Dasar Membilang.
Jika kejadian pertama n1 cara, kejadian kedua n2 dan seterusnya sampai kejadian nk, maka keseluruhan kejadian adalah n1 x n2 x …nk 47
Contoh : Jika mau pergi dari Jakarta ke Bandung lewat Bogor. Jika dari Jakarta ke Bogor ada 3 cara sedangkan dari Bogor ke Bandung 2 cara , ada berapa cara dari Jakarta ke Bandung. Jawab : n1 = 3 cara ( Jakarta ke Bogor ) n2 = 2 cara ( Bogor ke Bandung ) n1 x n2 = 3 x 2 = 6 5.
Faktorial
Adalah perkalian semua bilangan bulat positif terurut dari bilangan 1 sampai dengan bilangan bersangkutan atau sebaliknya. Factorial – dilambangkan “ ! “. Catatan : 1 ! = 1 dan 0! = 1 Jika n = 1,2, ….maka n! = n. ( n-1 ). (n-2)….2x1. Contoh : tentukan nilai factorial dari bilangan berikut : a. 5! Jawab : 5x4x3x2x1 = 120 b. 3! X 2! Jawab : 3x2x1 x 2x1 = 12 c. 5! : 3! Jawab : 5x4x3x2x1 : 3x2x1 = 20.
6.
Permutasi.
Adalah suatu penyusunan atau pengaturan beberapa obyek ke dalam suatu urutan tertentu. Rumus-rumus permutasi.
48
a. permutasi dari obyek tanpa pengembalian.
1). Permutasi dari n obyek seluruhnya. Dirumuskan : nPn = n! Contoh : -
Tentukan nilai dari 4 P4 ?
Jawab : 4 ! = 4x3x2x1 = 24 -
Di perpustakaan terdapat 4 buku matematika yang berbeda, 3
buku statistik yang berbeda dan 2 buku akuntansi. Semua buku akan disusun pada sebuah rak buku . berapa cara susunan yang mungkin dari kejadian berikut. a. Buku Matematika disususn. b. Buku Statistik disususn. c. Buku Akuntansi disususn. d. Masing-masing kelompok buku disusun bersama. Jawab : a. 4P4 = 4! = 24 b. 3P3 = 3! = 6 c. 2P2 = 2! = 2 d. 24 x 6 x 2 = 288.
2). Permutasi sebanyak r dari n obyek. Permutasi sebanyak r dari n obyek tanpa pengembalian n!
dirumuskan : n Pr = ( n −1)!
syarat : n ≥ r
Contoh : 1. Tentukan nilai dari 6P4 ? 49
Jawab : 6!
6P4 = ( 6 − 4 )! =
6 .5 .4 .3 .2 .1 2!
= 6.5.4.3.2.1 = 360 2 .1
2. Dari empat calon Pimpinan Perusahaan, misalkan ABCD hendak dipilih seorang seorang Ketua, seorang Sekretaris, dan seorang Bendahara. a. Ada berapa cara ke empat calon tersebut di pilih.
b. Tuliskan kemungkinan susunannya. Jawab : a. n = 4 dan r = 3 4!
4P3 = ( 4 − 3)! =
4.3.2.1 1
= 24
b. ABC, ABD,ACB,ACD,ADB,ADC. BAC,BAD,BCA,BCD,BDA,BDC. CAB,CAD,CBA,CBD,CDA,CDB. DAC,DAB,DBA,DBC,DCA,DCB.
b. Permutasi dari n obyek dengan pengembalian. Permutasi dari n obyek dengan pengembalian dirumuskan :
nPr = nr syarat : n ≥ r. contoh : Tentukan permutasi dari ABC sebanyak 2 unsur dengan pengembalian unsur yang terpilih.
Jawab : 3P2 = 3 2 = 9 AA, AB,AC,BB,BC.BA,CC.CB.CA.
50
c. Permutasi dari n obyek yang sama. Permutasi dari n obyek yang sama dirumuskan : n Pn1,n2,n3, …. nk =
n! n1!. n 2!. n3!..... nk !
Contoh . 1. Tentukan permutasi dari kata TAMAT. 2. ada 4 bola putih, 5 bola kuning, dan 2 bola hitam disusun
dalam satu baris. Jika semua bola yang berwarna sama tidak dibedakan satu sama lain berapakah penyusunan yang mungkin. Jawab : 1. n = 5, n1= T = 2, n2 = A =2, n3 = M =1 5 P 2!,2!,1! =
5! 2!. 2!. 1!
=
5.4.3.2.1 2.1 x 2.1 x1
= 30 .
2. n = 4+5+2 = 11 n1 = 4, n2 =5, n3 = 2 11 P4!.5!.2! = 11! 4! x 5! x 2!
= 11 .10 .9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 10 .11 .9.7 = 6930 4.3.2.1 x 5.4.3.2.1 x 2.1
.
4. Kombinasi . Adalah suatu penyusunan beberapa obyek tanpa memperhatikan urutan obyek tersebut. Rumus kombinasi dengan r dari n obyek yang berbeda. C r n
=
n! r !( n − r )!
syarat : n≥r
51
Contoh : Tentukan nilai dari C 24
1.
Jawab : 2.
C 24
=
4! 2!( 4 − 2 )!
=
4.3.2.1 2.1( 2.1)
=6
Dari 5 pemain bulu tangkis, yaitu ABCD dan E hendak
dipilih 2 orang untuk pemain ganda . berapa banyak pemain ganda yang mungkin terbentuk.. 5!
5!
5.4.3.2.1
5 Jawab : C 2 = 2!( 5 − 2)! = 2!.3! = 2.1 x3.2.1 = 10 pasangan
AB,AC,AD,AE,BC.BD.BE,CE.CE.DE.
PROBABILITAS.
PROBABILITAS dapat diartikan menjadi 3 macam pendekatan yaitu 1. Pendekatan klasik yaitu hasil bagi dari banyaknya peristiwa yang dimaksud dengan seluruh peristiwa. Dirumuskan : P (A ) =
X n
Keterangan : P(A) = Probabilitas terjadinya kejadian A X = Peristiwa yang dimaksud n = Banyaknya peristiwa. Contoh : Dua buah dadu dilempar ke atas secara bersamaan. Tentukan probabilitas munculnya angka berjumlah 5.
52
Jawab : 1 2 3 4 5 6
1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6
2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6
3 3.2 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6
4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6
5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6
6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6
Jadi P ( ∑ 5 ) = 4/36 = 1/9.
2. Pendekatan frekuensi relative.
Dirumuskan : P ( Xi ) =
fi n
Keterangan : P(Xi) = probabilitas peristiwa i fi = frekuensi peristiwa i n = banyaknya peristiwa yang bersangkutan.
Contoh : dari hasil ujian statistic dari 60 mhs didapat nilai sebagai berikut : x 60 70 f 12 8 X = nilai dan f = frekuensi
75 18
80 17
90 2
100 3
Tentukan probabilitas salah seorang yang nilainya 80. Jawab : P ( 80 ) = 17/60 3.
Pendekatan subyektif. Probabilitas diartikan sebagai tingkat kepercayaan individu yang didasarkan pada peristiwa masa lalu yang berupa terkaan saja.
PERISTIWA PROBABILITAS
53
1. Peristiwa saling lepas. Dua peristiwa disebut saling lepas jika kedua atau lebih peristiwa itu tidak dapat terjadi pada saat bersamaan. Jika peristiwa A dan B saling lepas, probabilitasnya adalah : P( A U B ) = P(A) + P(B). Contoh : sebuah dadu dilempar keatas, peristiwanya adalah A = Peristiwa mata dadu 4 muncul. B = Peristiwa mata dadu lebih kecil dari 3 muncul. C = Peristiwa mata dadu bilangan genap muncul. Tentukan probabilitas dari kejadian berikut : a. Mata dadu 4 atau lebih kecil dari 3 muncul. b. Mata dadu 4 atau bilangan genap muncul. Jawab : P( A ) = 1/6 P( B ) = 2/6 P( C ) = 3/6 a. P(AU B ) = 1/6 + 3/6 = 4/6 b. P(AUC ) = 1/6 + 3/6 = 4/6.
2. Peristiwa tidak saling lepas.
54
Dua peristiwa atau lebih tidak saling lepas apabila kedua peristiwa atau lebih tersebut dapat terjadi pada saat yang bersamaan. Jika peristiwa A dan B tidak saling saling lepas, probabilitas yang terjadi : P ( AU B ) = P(A) + P(B) – P(A∩ B ) Contoh : Dua buah dadu dilemparkan bersamaan, apabila : A = Peristiwa mata dadu (4,4) muncul. B = peristiwa mata lebih kecildari (3,3) muncul. C = Peristiwa bilangan genap. Tentukan probabilitas berikut : a. P ( AU C). b. P ( BU C) c. P ( AU B)
Jawab : A = ( 4,4 ) B = (1,1), ( 1,2 ), ( 2,1 ), ( 2,2). C = ( 2,2 ), ( 2,4 ), ( 2,6 ), ( 4,2),(4,4),(4,6), (6,2),(6,4),(6,6 ). P(A) = 1/36 , P(B) = 4/36 , P(C) = 9/36 P ( A ∩ B ) = 0, P ( A ∩C ) = 1/36 , P ( b ∩C ) = 1/36
a. P ( A U C) = P (A ) + P ( C ) – P ( A ∩C ) = 1/36 + 9/36 – 1/36 = 9/36 b. P(BUC) = P(B) + P (C) – P ( B ∩C ). = 4/36 + 9/36 -1/36 = 12/36 c. P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B ). = 1/36 + 4/36 – 0 = 5/36.
55
3. Probabilitas beberapa peristiwa dengan pendekatan Kombinasi. n!
n Rumus : C r = r !( n − r )!
Contoh : 5 1. C 3
6 , C 3
2. Ada 6 pemain bulu tangkis antara lain A,B,C,D,E,F, akan dibentuk pemain ganda, tentukan ada berapa pasang pemain ganda terbentuk, buat susunanya?
3. Sebuah kotak berisi 6 bola biru, 4 bola kuning dan 5 bola hitam. Jika diambil 3 bola secara acak, hitunglah probabilitas bahwa yang terambil ialah sebagai berikut : a. Ketiga-tiganya hitam. b. Dua biru satu kuning c. Masing-masing diwakili. Jawab : n = 6 + 4 + 5 = 15 r=3 15!
15 total peristiwanya = C 3 = 3!(15 − 3) =
5
a. P ( 3 H ) =
C 3
15 3
C
3.2.1 x12 .11 ..... x1
= 455
10
=
455 6
b. P ( 2B,1K ) =
15 .14 .13 .12 ........ x1
4
C 2 .C 1 15 3
C
c. P ( 1 H.1B, 1 K ) =
=
15.4 455
C 15 .C 16 .C 14 C 315
=
=
60 455
5.6.4 455
=
120 455
56
4. Probabilitas diagram pohon Diagram dimaksudkan untuk membantu menggambarkan probabilitas bersyarat dan bersama. Diagram pohon sangat berguna untuk menganalisis keputusan bisnis. Contoh : Hasil penelitian di Jakarta menunjukkan bahwa 60% dari usaha kecil dan menengah tidak berbadan hokum . bank sebagai lembaga pembiayaan dengan memperhatikan aspek kehati-hatian memberikan probabilitas 80% kepada UKM berbadan hokum untuk mendapatkan kredit, sedangkan yang tidak berbadan hokum masih punya kesempatan mendapatkan kredit sebesar 20%. Hitunglah berapa persen , UKM mendapatkan kesempatan mendapatkan kredit dari bank. 5. Teorema Bayes Teorema ini dikembangkan oleh Thomas Bayes pada abad 18. Bayes seorang Pendeta bertanya apakah Tuhan ada dengan memperhatikan fakta yang ada dibumi, jadi bila Tuhan ada, maka ada fakta sebagai ciptaan Tuhan . apabila fakta dilambangkan ( A1) untuk suatu fakta dan(A2) untuk fakta lain, sedangkan keberadaan Tuhan dinyatakan dengan (B), maka teorema Bayes dinyatakan berikut :
P ( A1/B ) =
P ( A1) xP ( B / A1) P ( A1) xP ( B / A1) + P ( A2) xP ( B / A2)
Contoh : Perusahaan Agung Jaya yang bergerak bidang elektronik di Jakarta jumlah karyawannya 400 orang, dari jumlah karyawan tersebut , 100 orang adalah sarjana Teknik elektro ( B1 ) dan jumlah
57
ekskutif
perusahaan dari Kabag sampai direksi 80 orang ( A1).
Karena perusahaan elektronik , maka ditentukan bahwa 50% dari eksekutif harus berpendidikan sarjana elektro. Tentukan probabilitas karyawan yang berpendidikan teknik elektro sebagai eksekutif pada perusahaan tersebut.
Jawab : B1 B2 Jumlah
A1 ……. ……. 80
A2 ……. ……. ……
Jumlah 100 …….. 400
B1 B2 Jumlah
A1 40 40 80
A2 60 260 320
Jumlah 100 300 400
Jadi : P ( A1 ) = 80/400 = 0,2 P ( A2 ) = 320/400 = 0,8 P ( B1/A1) = 40/80 = 0,5 P ( B1/A2 ) = 60/320 = 0,19
Hasil teorema Bayes : P ( A1/B1 ) =
0,2 x0,5
( 0,2 x0,5)( 0,8 x0,19 )
=0,4
BAB. VI. DISTRIBUSI TEORITIS A.
Pengertian.
Adalah suatu daftar yang disusun berdasarkan probabilitas dari peristiwa2 bersangkutan.
58
Contoh : sebuah mata uang logam dengan permukaan I = A dan permukaan II = B dilempar ke atas sebanyak 3 kali. Buatkan distribusi teoritisnya . B.
Jenis Distribusi teoritis. a.
Distribusi diskrit.
Contoh : Didalam sebuah kotak terdapat 4 bola biru dan 2 bola kuning. Secara acak diambil 3 bola. Tentukan distribusi probabilitas X, jika X menyatakan banyaknya bola kuning. Nilai Harapan/ Rata-2 hitung distribusi teoritis.
b.
Symbol E (x). Misalkan x
adalah suatu variable random dengan distribusi
probabilitas f( x ) atau P ( X = x ) maka nilai harapannya dirumuskan : E ( x ) = ∑ x.. P ( X = x ). Contoh : Sekelompok ahli di perusahaan terdiri atas 4 orang ahli manajemen dan 3 orang ahli akuntansi. Akan dibentuk suatu komisi yang terdiri dari 3 orang. Jika anggota komisi tiga tersebut diambil secara acak dari ke 7 ahli tersebut. Tentukan nilai harapan banyaknya ahli manajemen yang dapat duduk dikomisi 3 tersebut. c.
Distribusi Binomial.
Distribusi binomial atau distribusi Bernoulli adalah distribusi teoritis yang menggunakan variable random diskrit yang terdiri dari dua kejadian yang berkomplemen, seperti : sukses-gagal, ya-tidak, baik jelek dsb. Distribusi ini memiliki cirri-ciri sbb : 1.
Setiap percobaan hanya memiliki dua perirtiwa, seperti : Sukses – gagal, ya-tidak dst.
2.
Percobaan bersifat independent. 59
Contoh: seorang mahasiswa menghadapi 6 pertanyaan pilihan berganda, setiap pertanyaan memiliki 5 alternatif jawaban. Jika dalam menjawab pertanyaan, mahasiswa tersebut bersepekulasi maka berapa probabilitas menjawab pertanyaan tersebut. Jika banyaknya kemungkinan susunan 5 benar dan 1 salah dapat dicari dengan menggunakan rumus kombinasi.
Rumus distribusi binomial . Dari uraian contoh diatas, maka secara umum rumus probabilitas binomial suatu peristiwa di tuliskan : P(X=x):
C xn . P x .q n − x
Keterangan : x : banyaknya peristiwa sukses. n : banyaknya percobaan p : Probabilitas peristiwa sukses. q : 1-p = probabilitas peristiwa gagal. Contoh : sebuah dadu dilemparkan keatas sebanyak 4 kali. Tentukan probabilitas dari peristiwa berikut. a. mata dadu 5 muncul 1 kali. b. Mata dadu genap muncul sebayak 4 kali c. Mata dadu dan 6 muncul sebanyak 4 kali.
Probabilitas binomial Kumulatif. Adalah probabilitas dari peristiwa binomial lebih dari satu sukses, dapat di hitung dengan rumus :
60
n
PBK =
∑C P q
x =0
n x
x
n − x
Contoh : sebanyak 5 mahasiswa akan mengikuti ujian sarjana dan diperkirakan
probabilitas
kelulusannya
adalah
0,7.
hitunglah
probabilitas : a. Paling banyak 2 orang lulus. b. Yang akan lulus antara 2 sampai 3 orang. c. Paling sedikit 4 diantaranya lulus.
d.
Distribusi poisson
Rumus distribusi Poisson: x
P(X=x):
−λ
λ .
x!
Keterangan : λ : rata-rata terjadinya suatu peristiwa. ℓ : bilangan alam = 2,71828. Contoh : 1.
sebuah toko alat listrik mencatat rata-2 penjualan lampu TL
40 watt setiap hari 5 buah. Jika permintaan akan lampu tersebut mengikuti distribusi Poisson, berapa probabilitas untuk penjualan berikut. a. 0 lampu TL b. 3 lampu TL. 2.
Dalam sebuah majalah yang terdiri dari 120 halaman
terdapat 80 kata yang salah cetak dan berdistribusi secara acak dalam halaman-2 majalah tersebut. Hitung probabilitas, seandainya sebuah halaman majalah tersebut dibuka :
61
a. Tidak terdapat salah cetak. b. 4 kata yang salah cetak. e.
Distribusi Hipergeometrik
Rumus : P( X=x ) : k Cx N-k Cn-x N Cn Keterangan : N : ukuran populasi, n : ukuran sampel, k : banyaknya unsur yang sama pada populasi, x : banyaknya peristiwa sukses.
Contoh : Sebuah kotak berisi 50 bola, 5 diantaranya pecah, apabila diambil 4 bola, berapa probabilitas dua di antaranya pecah ? Jawab : N = 50, n = 4, k = 5, x = 2.
Jika dari populasi yang berukuran N terdapat unsur-unsur yang sama pula, yaitu k1,k2,k3 .....dan dalam sampel berukuran n terdapat unsur2 yang sama pula, yaitu x1,x2,x3 ... dengan k1 + k2 + k3 + ....=N dan x1 + x2 + x3 + .....= n, distribusi hipergeometrik dirumuskan : P ( X = x1,x2, ... ) = k 1Cx1. k2Cx2.. N Cn Contoh : Dari penelitian golongan darah mahasiswa pada sebuah universitas , diketahui bahwa dari 10 mahasiswa terdapat 2 mhs bergolongan darah A, 5 mhs bergolongan darah B dan 3 mhs gol darah O , apabila diambil 5 mhs, berapa probabilitas seorang mhs memiliki golongan darah A, 2 mhs memiliki gol darah B dan 2 mhs memilki gol. Darah O. Jawab : N = 10, terdiri dari k1 = 2. k2 = 5, k3 = 3
62
n = 5 terdiri dari n1 = 1, n2 = 2. n3 = 2. P ( X = 1,2,2 ) = 2C1, 5C2 3C2 10C5 f.
Distribusi Normal.
1. Distribusi Normal Umum adalah distribusi yang simetris dan berbentuk genta atau lonceng. Pada bentuk tersebut ditunjukkan hubungan ordinat pada rata-rata dengan berbagai ordinat pada berbagai jarak simpangan baku yang diukur dari rata-2. Distribusi normal digambarkan sbb :
___________________________________ μ kurva tersebut dipengaruhi oleh rata-rata ( μ ) dan simpangan baku (σ ). Jika simpangan baku dan rata-2 besar maka kurvanya makin rendah dan sebaliknya. Sifat dari distribusi normal adalah a. Bentuknya seperti genta/lonceng.
b. Rata-2 terletak ditengah-2. c. Ujung sisi kurvanya sejajar dengan sumbu horizontal dan tidak pernah
memotong sumbu.
2. Distribusi Normal Standart Distribusi normal standart adalah distribusi normal yang memiliki rata-rata ( µ ) = 0 dan simpangan baku ( σ ) = 1. Bentuk kurvanya : 63
-3
-2
-1
0
+1
+2
+3
Sifat- sifat distribusi normal standart : 1.
Kurva simatris
2.
cekung kebawah untuk interval X = -1 sampai X = +1.
3.
meluas atau melebar tanpa batas ke kiri dank dan kanan.
4.
Luas seluruh daerah kurva normal sebesar 1.
Untuk mengubah distribusi normal umum menjadi distribusi normal standart, gunakan nilai Z ( standard units ). Rumus untuk mengubah : Z =
X − µ σ
Keterangan : Z = Variabel normal standart X = nilai variable random μ = rata-2 variabel random σ = simpangan baku variable random. 3. Penggunaan kurva normal standart. Untuk menentukan luas daerah dibawah kurva normal standard, telah dibuat daftar distribusi normal standarr yaitu table luas kurva normal standart dengan nilai-2 Z tertentu ( lihat terlampir ). Karena seluruh luas kurva adalah 1 dan kurva simetris terhadap μ = 0 maka luas dari garis tegak pada titik nol ke kiri ataupun kekanan adalah 0,5. Luas daerah dibawah kurva normal pada interval tertentu dapat dituliskan P ( 0 < Z < b ).
64
Contoh : Penggunaan table Z. 1. P ( 0< z < 2,13 ) 2. P ( 1,23 < z < 2,35 ) 3. P ( -2,46 < z < 0 ) 4. P ( -1,56 < z < 2,33 )
Contoh : mengubah bentuk umum menjadi standart. 1. P ( 90 < x < 115 ) untuk μ = 105 dan σ = 10. 2. P ( 150 < x < 225 untuk μ = 185 dan σ = 20.
3. Sebuah perusahaan memproduksi
bola lampu yang ketahanannya
berdistribusi normal dengan rata-2 825 jam dan simpangan baku 45 jam. a. Berapa persen lampu yang ketahannya antara 800 s/d 860 jam. b. Berapa persen lampu yang ketahanannya kurang dari 800 jam.
c. Berapa persen lampu yang ketahanannya kurang dari 860 jam. d. Berapa banyak lampu yang tahan lebih dari 950 jam, jika diproduksi 5.000 lampu.
BAB. VII. DISTRIBUSI SAMPLING A.
POPULASI DAN SAMPEL.
65
1. Populasi adalah totalitas dari semua obyek atau individu yang memiliki karakteristik tertentu, jelas dan lengkap yang akan diteliti. 2. Sampel adalah bagian dari populasi yang diambil melalui cara-cara tertentu yang juga memiliki karakteristik tertentu, jelas dan lengkap. B.
METODE SAMPLING
Metode sampling adalah cara pengumpulan data yang hanya mengambil sebagian elemen populasi. Metode sampling pada dasarnya dapat dibedakan atas 2 macam yaitu random dan non random. 2. Random sampling, adalah cara pengambilan sample dengan semua obyek atau elemen populasi memiliki kesempatan yang sama untuk dipilih menjadi sample. 3. Non random sampling adalah cara pengambilan sample yang semua obyeknya tidak memiliki kesempatan yang sama untuk dipilih menjadi sample. TEKNIK PENENTUAN JUMLAH SAMPEL.
C.
Untuk menentukan banyaknya sample yang dapat diambil dari suatu populasi yang berukuran tertentu digunakan perhitungan sebagai berikut : 1. untuk pengambilan sample dengan pengembalian. Jika dari populasi berukuran N diambil sample berukuran dengan pengembalian maka banyaknya sample yang mungkin diambil : Nn Contoh : untuk populasi berukuran 4 dengan anggotanya ABCD dan sample diambil berukuran 2 , maka berapa banyaknya sample yang mungkin dapat diambil . dan buatkan susunannya. 2. untuk pengambilan sample tanpa pengembalian.
66
Pengambilan sample tanpa pengembalian jika anggota populasi telah diambil untuk dijadikan sample tidak disatukan dengan angguta populasi lainnya. Maka banyaknya sample yang mungkin dapat diambil adalah : C n N =
N ! n!( N −n)!
Contoh : untuk populasi berukuran 5 denga anggota-2nya ABCDE dan sample yang diambil berukuran 2 maka berapa banyaknya sample yang mungkin dapat diambil . tuliskan susunannya. D.
JENIS-JENIS DISTRIBUSI SAMPLING.
1. Distribusi sampling rata-rata. Distribusi sampling rata-rata adalah distribusi dari besaran rata-rata yang muncul dari sample-2. Contoh : Sebuah populasi berukuran 6 yang anggotanya adalah 2,3,5,6,8,9 dan sampelnya berukuran 2. buatlah distribusi sampling rata-2 jika pengambilan sampelnya dilakukan tanpa pengembalian. 2. Distribusi sampling proporsi. Proporsi dari sample dinyatakan dengan p = X/n Contoh : 1. Sebuah populasi yang beranggotakan 6 orang, 3 diantaranya perokok dan yang lainnya bukan perokok. Apabila diambil sample yang beranggotakan 3 orang, proporsi atau banyaknya sample untuk ke-3 anggota sample perokok, 2 perokok dan 1 bukan perokok, 1 perokok dan 2 bukan perokok dank e-3 nya bukan perokok dapat diketahui ( pemilihan sample tanpa pengambilan ), misalnya populasi adalah
67
ABC untuk perokok dan KLM bukan perokok. Berapa banyak sample yang mungkin terambil dan buatlah distribusi samplingnya.
Contoh.2. Sebuah toko memiliki 6 karyawan, misalkan ABC untuk yang senang membaca dan XYZ untuk yang tidak senang membaca. Jika dari 6 karyawan tersebut diambil sampel yang beranggotakan 4 karyawan ( pengambilan sampel tanpa pengembalian ), tentukan : a. Banyaknya sampel yang mungkin terambil. b. Buatlah
distribusi sampling proporsi untuk yang senang
membaca.
4. Distribusi sampling beda dua rata-rata.
a. Rata-rata. µ x
1 − x 2
= µ 1 − µ 2
b. simpangan baku. σ x
1 − x2
=
σ 1
2
n1
+
σ 2
2
n2
c. untuk n1 dan n2 dengan n1,n2 > 30, distribusi sampling beda rata-rata akan mendekati distribusi normal, dengan variabel random standart yang rumus Z-nya :
68
− − X − X − ( µ − µ ) 2 2 1 1 Z = σ x − x 1 2
Contoh : Misalkan rata-rata pendapatan manajer dan karyawan biasa per hari, masing-masing adalah Rp. 50.000.- dengan simpangan baku Rp. 15. 000,- dan Rp. 12.000,- dengan simpangan baku Rp.1.000,-. Jika diambil sampelnya random manajer sebanyak 40 orang dan karyawan biasa sebanyak 150 orang tentukan : a. beda rata-rata pendapatan sampel. b. Simpangan baku pendapatan sampel. c. Probasbilitas beda rata-rata pendapatan manajer dan karyawan biasa
lebih dari Rp. 35.000,-
Jawab : Diket : µ1 = 50.000,- µ= 12.000,- σ1 = 15.000,- σ2= 1.000,- n1 = 40, n2 = 150.
c.
Distribusi sampling beda dua proporsi. 1.
Rata-rata µ p1-p2 = P1 – P2
2.
Simpangan Baku σ p1-p2 = V P1 (1-P1) + P2 ( 1 – P2) n1 n2 Rumus Z = ( p1 – p2 ) – (P1 – P2) 3. σ p1-p2
69
contoh : sebanyak 35% pelamar kerja diterima bekerja di Bank Agung . mereka tahun sebelumnya pernah melamar , tetapi tidak diterima. Sebanyak 30% dari pelamar kerja yang belum pernah melamar ditahun sebelumnya tahun ini diterima bank tersebut. Apabila diambil sampel random sebanyak 250 pelamar , baik yang belum pernah melamar maupun yang pernah melamar , berapa probabilitas bahwa beda proporsi yang pernah melamar dan akhirnya diterima tahun ini dengan yang belum pernah melamar juga diterima tahun ini adalah kurang dari 2%. Jawab : P1 = 35% = 0,35 P2 = 30% = 0,30, n1 = 250, n2 = 250, p1 – p2 = 2% = 0,02.
Z = 0,02 – ( 0,35 – 0,30 ) V (0,35)(0,65) + ( 0,3)(0,7) 250 250 = - 0,71 Jadi P ( Z < - 0,71 ) = 0,5 – 0,2612 = 0,2388 atau 23,88%.
70
BAB.VIII. KORELASI DAN REGRESI LINEAR SEDERHANA G. Variabel Variabel bebas dan dan variable variable terikat. terikat. Variabel bebas ( Independent variable ) adalah variable yang nilainya tidak tergantung pada variable lainnya. lainnya. Biasanya disimbolkan disimbolkan X. Variabel terikat ( dependent variable ) adalah veriabel yang nilainya tergantung variable lainnya. Biasanya disimbolkan Y.
sederhana . H. Koefisien Korelasi linear sederhana. Koefisien korelasi adalah indek/bilangan yang digunakan untuk mengukur keeratan hubungan antar variable ( hubungannya bias kuat, lemah dan tidak ada hubungan ). Koefisien korelasi disimbolkan “r”. Koefisien korelasi memiliki nilai antara –1 dan +1 ( -1
≤
r ≤ 1 ).
71
e. Jika koefisie koefisien n korelasi korelasi bernilai bernilai positi positiff ( r + ) maka variable variable berkorelasi positif, apabila nilai r mendekati +1 maka semakin kuat hubungan antar variable, demikian sebaliknya. f. Jika koefisi koefisien en korelas korelasii bernilai bernilai negatif negatif ( r - ) maka maka variabl variablee berkorelasi negatif, apabila nilai r mendekati –1 maka semakin kuat hubungan antar variable, demikian sebaliknya. g. Jika koefisie koefisien n korelasi korelasi bernilai bernilai 0 maka variab variabelnya elnya tidak tidak ada ada hubungan. h. Jika koefisie koefisien n korelasi korelasi bernilai bernilai +1 dan –1 –1 maka hubunga hubungan n antar variable sempurna.
Untuk menentukan keeratan hubungan antar variable tersebut, maka diberikan patokan : h. r = 0 ---- tidak ada hubungan hubungan antar antar variabl variable. e. i.
0 < r ≤
0,20 ----korelasinya antar variable sangat lemah.
j.
0,20 < r ≤
0,40 ---- korelasinya antar variable variable lemah.
k. 0,40 < r ≤ 0,70 ---- korelasinya antar variable cukup berarti. l.
0,70 < r ≤ 0,90 ---- korelasinya korelasinya antar variable kuat.
m. 0,90 < r < 1,00 ---- korelasinya antar variable sangat kuat.
n. r = 1dan 1dan -1, korelasiny korelasinyaa antar antar variable variable sempurna. sempurna. Begitu juga apabila nilai koefisien korelasinya negatif.
I.
Jenis koefisien korelasi linear sederhana. sederhana . a. koefis koefisien ien korel korelasi asi Pearso Pearson. n.
72
Koefisien korelasi Pearson adalah indek / bilangan yang digunakan untuk mengukur keeratan hubungan antar variable yang datanya berbentuk interval/rasio. Koefisien korelasi Pearson ( r ) dapat ditentukan dengan 2 metode : square, dirumuskan sebagai berikut : 1. Metode least square,
∑ X .Y − ∑ X .∑Y (n.∑ X − (∑ X ) )(n.∑Y − (∑ y ) ) n
r =
2.
2
2
2
2
Metode product moment, moment, dirumuskan sebagai berikut :
r =
∑ x. y 2 2 ∑ x .∑ y
Keterangan : x = X – X dan y = Y - Y
2 b. Koefisien Penentu ( KP ) atau Koefisien Determinan ( r ).
Adalah koefisien korelasi dikuadratkan dikalikan 100%. Koefisien korelasi menjelaskan seberapa besar pengaruh variable bebas ( X ) terhadap variable terikat ( Y).
Dirumuskan : r2 x 100%.
73
Contoh 1: Apabila anda bekerja dibagian
Marketing , kemudian anda
diminta oleh Pimpinan untuk menganalisis apakah biaya yang dikeluarkan untuk promosi ada hungannya dengan pendapatan diperusahaan . Anda diberikan data sebagai berikut : X = biaya promosi dan Y = Pendapatan. Biaya promosi
3
5
9
6
10
12
( dalam ratusan juta ) Pendapatan
2
4
6
5
7
7
( dalam milyar )
Pertanyaan : Bagaimana kesimpulan anda hubungan antara biaya promosi dan pendapatan yang diperoleh Perusahaan serta seberapa
besar
pengaruhnya
biaya
promosi
terhadap
pendapatan.. c. koefisien korelasi Rank Spearman. Adalah angka /indek yang digunakan untuk mengukur keeratan hubungan antar dua variable yang datanya berbentuk data ordinal ( data bertingkat/data rangking ). Disimbolkan “ r s “ . Dirumuskan : r s = 1 -
∑d
6
n (n 2
2
−1)
Keterangan : rs = koefisien korelasi rank spearman. d = selisih dalam ranking. n
= banyaknya
pasangan ranking. Langkah- langkah untuk menghitung koefisien korelasi rank Spearman : 1. nilai pengamatan dari dua variable yang akan diukur hubungannya diberi ranking. Pemberian rangking dimulai data terbesar /terkecil. Jika ranking sama diambil rata-rata.
74
2. Setiap ranking dihitung perbedaannya. 3. perbedaan setiap pasang ranking dikuadratkan dan dijumlah. Contoh : Data mengenai hasil penelitian tentang hubungan indek prestasi ( IP ) dari para sarjana dan nilai prestasi kerja dari 10 sarjana di Perusaan BUMN adalah : IP 2,5 3 3,3 2,7 3,6 3,3 3,1 2,9 2,8 3,7 Nilai prestasi 83 80 79 82 88 81 78 84 85 90 X = IP dan Y = Nilai prestasi kerja. Pertanyaan : d. Hitung koefisien korelasi rank. e. Bagaimana kesimpulan anda tentang hubungan antara IP dan prestasi kerja. Jawab : Rang Y
d2
X 2,5
Y 83
Rang X 10
d= X-Y
5
5
25
3
80
6
8
-2
4
3,3
79
3+4/2=3,5
9
5,5
30,25
2,7
82
9
6
3
9
3,6
88
2
2
0
0
3,3
81
3+4/2=3,5
7
-3,5
12,25
3,1
78
5
10
-5
25
2,9
84
7
4
3
9
2,8
85
8
3
5
25
3,7
90
1
1
0 Jumlah
0 139,5
75
a. r s = 1 rs = 1-
∑d
2
6
n (n 2
−1)
6.139 ,5 10 (10
2
−1)
= 1−
837 990
=1- 0,845 = 0,15
f. Jadi kesimpulannya adalah bahwa
hubungan antara IP
dengan Prestasi kerja sangat lemah positif.
J. REGRESI LINEAR. Adalah alat ukur yang digunakan untuk mengukur ada atau tidaknya korelasi antar variable. Regresi artinya ramalan taksiran. Diperkenalkan pertama kali oleh Sir Francis Galton Th. 1877. Regresi linear adalah regresi yang variable bebasnya berpangkat paling tinggi satu. Persamaan regresi linear dari Y terhadap X dirumuskan : Y = a + bX Keterangan : Y = Variabel terikat, X = variable bebas, a = konstanta, b = koefisien regresi.
Dari persamaan regresi tersebut nilai a dan b dapat ditentukan dengan rumus : b =
∑ ∑
∑ ∑ ∑
( n )( X .Y ) − ( X )( Y ) 2 ( n ) ( X 2 ) − ( X )
a = Y - b.X contoh :
76
Data penelitian mengenai pengalaman kerja dengan produktivitas dalam menjual produk SM. X = pengalaman kerja. ( tahun ) Y = produktivitas dalam ( unit ).
X Y
3 5
6 10
4 8
9 10 12 14
5 9
7 10
6 9
Pertanyaan : c. Buat persamaan regresinya ? d. Apabila tenaga kerja yang sudah pengalaman 15 tahun berapa
produktivitasnya penjualan,
Kesalahan baku regresi dan koefisien regresi. Dirumuskan : d.
Kesalahan baku regresi : Se =
e.
∑ y
− a.∑ y − b.∑ x. y n −2
2
Kesalahan baku koefisien regresi a :
( ∑ x )( se) n.∑ x − ( ∑ x ) 2
Sa =
f.
2
2
Kesalahan baku koefisien regresi b : Se
Sb =
∑ x
2
−
( ∑ x )
2
n
77
Contoh : Hasil survey dampak biaya iklan terhadap omzet penjualan. X = Biaya iklan ( milyar ) dan Y = omzet penjualan ( milyar ) X 4 7 Y 6 9 Pertanyaan :
10 17
12 20
9 16
14 20
8 18
6 10
11 14
d. Buatkan persamaan regresi. e. Berapa omzet penjualan jika biaya klan naik menjadi 30 milyar. f. Tentukan kesalahan baku regresi, koefisien regresi a dan b.
Jawab : X = pengalaman kerja. Y = produktivitas.dalam menjual
X
Y
X2
XY
Y2
3
5
15
9
25
6
10
60
36
100
4
8
32
16
64
9
12
108
81
144
10
14
140
100
196
5
9
45
25
81
7
10
70
49
100
6 50
9 77
54 524
36 352
81 791
X = 50/8 = 6,25
Y = 77/8 = 9,63
78
∑ ∑
∑ ∑ ∑
( n ) ( X .Y ) − ( X )( Y ) b = 2 ( n ) ( X 2 ) − ( X )
b =
− 50 .77 4192 − 3850 = 342 = 1,08 = 2816 − 2500 316 8.352 − 50 2
8.524
a = Y - b.X a = 9,63 – 1,08.6,25 = 9,63 – 6,75 = 2,88 c.
Jadi persamaan regresinya Y = 2,88 + 1,08 X
d.
Untuk tenaga kerja yang pengalamannya 15 tahun diperkirakan hasil penjualannya adalah Y = 2,88 + 1,08.15 = = 2,88 + 16,2 = 19,08 unit.
79
DAFTAR PUSTAKA
Anto Dayan, Pengantar Metode Statistik Jilid I, LPES,Jakarta.1986. Djarwanto dan Yogjakarta,1985.
Pangestu
Subagiyo,
Statistik
Induktif,
BPFE,
J.Supranto.Statistik Teori dan Aplikasi Jilid I, Erlangga,Jakarta.2000. Steel R.G.D. and Torrie, JH.. Principle MC.Graw.Hill.KogaKusha.Ltd. 1980.
and Procedure of Statistics,
Sudjana, Metode Statistk.Tarsito.Bandung.1992.
80
BAB.VII. TEORI PROBABILITAS Untuk menghadapi keadaan yang tidak pasti , biasanya orang mengandalkan tebakan , dari tebakan itu muncul kemungkinan atau peluang, yang kemudian melahirkan teori probabilitas. Konsep probabilitas di dukung oleh banyak teori taitu teori Himpunan, Permutasi, dan Kombinasi.
A. Teori Himpunan. Himpunan adalah kumpulan obyek yang didefinisikan dengan jelas dan dapat dibeda-bedakan. Operasi Himpunan. d.
Operasi gabungan ( Union )
Gabungan dari himpunan A dan himpunan B adalah semua unsur yang termasuk didalam A atau di dalam B --- dilambangkan A+B atau U. Contoh : S = { x : 0 ≤ x ≤ 10 ) A = ( 2,3,4,5 ) B = ( 1, 3,4, 6,7,8 ) Tentukan : A U B. Jawab : A U B = ( 1,2,3,4,5,6,7,8 )
e.
Operasi irisan ( intersekcion ). Irisan dari himpunan A dan B adalah himpunan semua unsure yang termasuk didalam A dan didalam B --- dilambangkan A ∩ B.
81
Contoh : S = { x : 0 ≤ x ≤ 10 ) A = ( 2,3,4,5 ) B = ( 1, 3,4, 6,7,8 ) Tentukan : A ∩ B. Jawab A ∩ B = ( 3,4 ) f. Operasi selisih Adalah himpunan semua unsure A yang tidak termasuk didalam B ---dilambangkan A – B. Contoh : S = { x : 0 ≤ x ≤ 10 ) A = ( 2,3,4,5 ) B = ( 1, 3,4, 6,7,8 ) Tentukan : A - B. Jawab : A – B = ( 2,5 ).
B. Permutasi dan Kombinasi. Dalam membicarakan mengenai permutasi dan konmbinasi selalu berkaitan dengan prinsip dasar membilang dan factorial. 1.
Dasar Membilang.
Jika kejadian pertama n1 cara, kejadian kedua n2 dan seterusnya sampai kejadian nk, maka keseluruhan kejadian adalah n1 x n2 x …nk Contoh : Jika mau pergi dari Jakarta ke Bandung lewat Bogor. Jika dari Jakarta ke Bogor ada 3 cara sedangkan dari Bogor ke Bandung 2 cara , ada berapa cara dari Jakarta ke Bandung. 82
Jawab : n1 = 3 cara ( Jakarta ke Bogor ) n2 = 2 cara ( Bogor ke Bandung ) n1 x n2 = 3 x 2 = 6 2.
Faktorial
Adalah perkalian semua bilangan bulat positif terurut dari bilangan 1 sampai dengan bilangan bersangkutan atau sebaliknya. Factorial – dilambangkan “ ! “. Catatan : 1 ! = 1 dan 0! = 1 Jika n = 1,2, ….maka n! = n. ( n-1 ). (n-2)….2x1. Contoh : tentukan nilai factorial dari bilangan berikut : d. 5! Jawab : 5x4x3x2x1 = 120 e. 3! X 2! Jawab : 3x2x1 x 2x1 = 12 f. 5! : 3! Jawab : 5x4x3x2x1 : 3x2x1 = 20.
3.
Permutasi.
Adalah suatu penyusunan atau pengaturan beberapa obyek ke dalam suatu urutan tertentu. Rumus-rumus permutasi.
b. permutasi dari obyek tanpa pengembalian.
1). Permutasi dari n obyek seluruhnya. Dirumuskan : nPn = n!
83
Contoh : -
Tentukan nilai dari 4 P4 ?
Jawab : 4 ! = 4x3x2x1 = 24 -
Di perpustakaan terdapat 4 buku matematika yang berbeda, 3
buku atatistik yang berbeda dan 2 buku akuntansi. Semua buku akan disusun pada sebuah rak buku . berapa cara susunan yang mungkin dari kejadian berikut. a. Buku Matematika disususn. b. Buku Statistik disususn. c. Buku Akuntansi disususn. d. Masing-masing kelompok buku disusun bersama. Jawab : a. 4P4 = 4! = 24 b. 3P3 = 3! = 6 c. 2P2 = 2! = 2 d. 24 x 6 x 2 = 288.
2). Permutasi sebanyak r dari n obyek. Permutasi sebanyak r dari n obyek tanpa pengembalian n!
dirumuskan : n Pr = ( n −1)!
syarat : n ≥ r
84
Contoh : 3. Tentukan nilai dari 6P4 ? Jawab : 6!
6P4 = ( 6 − 4 )! =
6 .5 .4 .3 .2 .1 2!
= 6.5.4.3.2.1 = 360 2 .1
4. Dari empat calon Pimpinan Perusahaan, misalkan ABCD hendak dipilih seorang seorang Ketua, seorang Sekretaris, dan seorang Bendahara. a. Ada berapa cara ke empat calon tersebut di pilih.
b. Tuliskan kemungkinan susunannya. Jawab : a. n = 4 dan r = 3 4!
4P3 = ( 4 − 3)! =
4.3.2.1 1
= 24
b. ABC, ABD,ACB,ACD,ADB,ADC. BAC,BAD,BCA,BCD,BDA,BDC. CAB,CAD,CBA,CBD,CDA,CDB. DAC,DAB,DBA,DBC,DCA,DCB.
b. Permutasi dari n obyek dengan pengembalian. Permutasi dari n obyek dengan pengembalian dirumuskan :
nPr = nr syarat : n ≥ r. contoh : Tentukan permutasi dari ABC sebanyak 2 unsur dengan pengembalian unsure yang terpilih.
85
Jawab : 3P2 = 3 2 = 9 AA, AB,AC,BB,BC.BA,CC.CB.CA.
c. Permutasi dari n obyek yang sama. Permutasi dari n obyek yang sama dirumuskan : n Pn1,n2,n3, …. nk =
n! n1!. n 2!. n3!..... nk !
Contoh . 3. Tentukan permutasi dari kata TAMAT. 4. ada 4 bola putih, 5 bola kuning, dan 2 bola hitam disusun dalam satu baris. Jika emua bola yang berwarna sama tidak dibedakan satu sama lain berapakah penyusunan yang mungkin. Jawab : 1. n = 5, n1= T = 2, n2 = A =2, n3 = M =1 5 P 2!,2!,1! =
5! 2!. 2!. 1!
=
5.4.3.2.1 2.1 x 2.1 x1
= 30 .
2. n = 4+5+2 = 11 n1 = 4, n2 =5, n3 = 2 11 P4!.5!.2! = 11! 4! x 5! x 2!
= 11 .10 .9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 10 .11 .9.7 = 6930 4.3.2.1 x 5.4.3.2.1 x 2.1
.
86
4. Kombinasi . Adalah suatu penyusunan beberapa obyek tanpa memperhatikan urutan obyek tersebut. Rumus kombinasi dengan r dari n obyek yang berbeda. C r n
=
n! r !( n − r )!
syarat : n≥r
Contoh : Tentukan nilai dari C 24
3.
Jawab : 4.
C 24
=
4! 2!( 4 − 2 )!
=
4.3.2.1 2.1( 2.1)
=6
Dari 5 pemain bulu tangkis, yaitu ABCD dan E hendak
dipilih 2 orang untuk pemain ganda . berapa banyak pemain ganda yang mungkin terbentuk.. 5!
5!
5.4.3.2.1
5 Jawab : C 2 = 2!( 5 − 2)! = 2!.3! = 2.1 x3.2.1 = 10 pasangan
AB,AC,AD,AE,BC.BD.BE,CE.CE.DE.
PROBABILITAS.
PROBABILITAS dapat diartikan menjadi 3 macam pendekatan yaitu 4. Pendekatan klasik yaitu hasil bagi dari banyaknya peristiwa yang dimaksud dengan seluruh peristiwa. Dirumuskan : P (A ) =
X n
Keterangan : P(A) = Probabilitas terjadinya kejadian A X = Peristiwa yang dimaksud n = Banyaknya peristiwa.
87
Contoh : Dua buah dadu dilempar ke atas secara bersamaan. Tentukan probabilitas munculnya angka berjumlah 5.
Jawab : 1 2 3 4 5 6
1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6
2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6
3 3.2 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6
4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6
5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6
6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6
Jadi P ( ∑ 5 ) = 4/36 = 1/9.
5. Pendekatan frekuensi relative.
Dirumuskan : P ( Xi ) =
fi n
Keterangan : P(Xi) = probabilitas peristiwa i fi = frekuensi peristiwa i n = banyaknya peristiwa yang bersangkutan.
Contoh : dari hasil ujian statistic dari 60 mhs didapat nilai sebagai berikut : x 60 70 f 12 8 X = nilai dan f = frekuensi
75 18
80 17
90 2
100 3
Tentukan probabilitas salah seorang yang nilainya 80. Jawab : P ( 80 ) = 17/60 6.
Pendekatan subyektif. Probabilitas diartikan sebagai tingkat kepercayaan individu yang didasarkan pada peristiwa masa lalu yang berupa terkaan saja.
88
PERISTIWA PROBABILITAS 6. Peristiwa saling lepas. Dua peristiwa disebut saling lepas jika kedua atau lebih peristiwa itu tidak dapat terjadi pada saat bersamaan. Jika peristiwa A dan B saling lepas, probabilitasnya adalah : P( A U B ) = P(A) + P(B). Contoh : sebuah dadu dilempar keatas, peristiwanya adalah A = Peristiwa mata dadu 4 muncul. B = Peristiwa mata dadu lebih kecil dari 3 muncul. C = Peristiwa mata dadu bilangan genap muncul. Tentukan probabilitas dari kejadian berikut : c. Mata dadu 4 atau lebih kecil dari 3 muncul. d. Mata dadu 4 atau bilangan genap muncul.
Jawab : P( A ) = 1/6 P( B ) = 2/6 P( C ) = 3/6 d. P(AU B ) = 1/6 + 3/6 = 4/6
e. P(AUC ) = 1/6 + 3/6 = 4/6.
7. Peristiwa tidak saling lepas.
89
Dua peristiwa atau lebih tidak saling lepas apabila kedua peristiwa atau lebih tersebut dapat terjadi pada saat yang bersamaan. Jika peristiwa A dan B tidak saling saling lepas, probabilitas yang terjadi : P ( AU B ) = P(A) + P(B) – P(A∩ B ) Contoh : Dua buah dadu dilemparkan bersamaan, apabila : A = Peristiwa mata dadu (4,4) muncul. B = peristiwa mata lebih kecildari (3,3) muncul. C = Peristiwa bilangan genap. Tentukan probabilitas berikut : d. P ( AU C). e. P ( BU C) f. P ( AU B)
Jawab : A = ( 4,4 ) B = (1,1), ( 1,2 ), ( 2,1 ), ( 2,2). C = ( 2,2 ), ( 2,4 ), ( 2,6 ), ( 4,2),(4,4),(4,6), (6,2),(6,4),(6,6 ). P(A) = 1/36 , P(B) = 4/36 , P(C) = 9/36 P ( A ∩ B ) = 0, P ( A ∩C ) = 1/36 , P ( b ∩C ) = 1/36
a. P ( A U C) = P (A ) + P ( C ) – P ( A ∩C ) = 1/36 + 9/36 – 1/36 = 9/36 b. P(BUC) = P(B) + P (C) – P ( B ∩C ). = 4/36 + 9/36 -1/36 = 12/36 f. P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B ).
= 1/36 + 4/36 – 0 = 5/36.
90
8. Probabilitas beberapa peristiwa dengan pendekatan Kombinasi. n!
n Rumus : C r = r !( n − r )!
Contoh : Sebuah kotak berisi 6 bola biru, 4 bola kuning dan 5 bola hitam. Jika diambil 3 bola secara acak, hitunglah probabilitas bahwa yang terambil ialah sebagai berikut : d. Ketiga-tiganya hitam. e. Dua biru satu kuning f. Masing-masing diwakili. Jawab : n = 6 + 4 + 5 = 15 r=3 15!
15 total peristiwanya = C 3 = 3!(15 − 3) =
5
d. P ( 3 H ) =
C 3
15
C 3
3.2.1 x12 .11 ..... x1
= 455
10
=
455
6
e. P ( 2B,1K ) =
15 .14 .13 .12 ........ x1
4
C 2 .C 1 15 3
C
f. P ( 1 H.1B, 1 K ) =
=
15.4 455
C 15 .C 16 .C 14 C 315
=
=
60 455
5.6.4 455
=
120 455
DAFTAR PUSTAKA
91
