Buku Ajar Statistik Terapan

BAB I PENDAHULUAN 1.1 PENGERTIAN ISTILAH STATISTIK DAN STATISTIKA Banyak sekali definisi tentang statistik, ini disebabkan karena luasnya ruang lingkup statistik. Untuk keperluan praktis, statistik dapat diartikan secara sempit dan luas. Dalam arti sempit, statistik mempunyai fungsi menyajikan data tertentu dalam bentuk table dan diagram, statistik ini termasuk statistik deskriptif. Statistik deskriptif ialah susunan angka yang memberikan gambaran tentang data yang disajikan dalam bentuk table, diagram, histogram, poligon frekuensi, ogivve, ukuran penempatan (median, kuartil, desil dan persentil), ukuran gejala pusat (rata-rata hitung, rata-rata ukur, ratarata harmonik dan modus), simpangan baku, kurva normal, korealsi dan regresi linear. Dalam arti luas, statistik berarti salah satu alat untuk mengumpukan data, mengolah data, menyajikan data. Menganalisa data, menarik kesimpulan dan membuat keputusan berdasarkan analisis data yang dikumpulkan. Statistik dalam arti luas ini disebut juga dengan istilah statistika ( statistics, statistik inferensial, statistik induktif, statistik probabilitas).

1.2 PERANAN STATISTIK Sejak dahulu statistika telah digunaka, dalam bidang biologi, farmasi, geologi, industri, kedokteran, pendidikan, psikologi, sosiologi, teknik danlainlain. Dunia penelitian atau riset dimanapun telah memanfaatkan dan bahkan harus menggunakan statistik untuk mendapatkan hasil yang diharapkan. Karena begitu meluasnya penggunaan statistika maka di bidang teknik khususunya teknik sipil dalam hal ini jalan tol menyadari pentingnya statistika

Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

1

sebagai engineering tools yang dapat dipercaya. Disini statistika sebagai alat diantaranya : 1. Pengumpulan data yang baik baik secara poplasi maupun sampel. 2. Pengolahan data atau analisa data. 3. Penyajian data baik dalam bentuk laporan manajemen maupun teknis. 4. pengambilan keputusan atau perencanaan 5. evaluasi atau Pengawasan antara data yang dilaporkan dengan penyimpangan di lapangan 6. Melakukan pemecahan masalah teknis maupun manajerial.

1.3 RANGKUMAN Statistik deskriptif ialah susunan angka yang memberikan gambaran tentang data yang disajikan dalam bentuk table, diagram, histogram, poligon frekuensi, ogivve, ukuran penempatan (median, kuartil, desil dan persentil), ukuran gejala pusat (rata-rata hitung, rata-rata ukur, rata-rata harmonik dan modus), simpangan baku, kurva normal, korealsi dan regresi linear.

Statistika induktif ialah salah satu alat untuk mengumpukan data, mengolah data, menyajikan. menganalisa data, menarik kesimpulan dan membuat keputusan berdasarkan analisis data yang dikumpulkan


2

1.4 SOAL-SOAL 1. Apa pengertian statistik dalam arti sempit dan dalam arti luas ? 2. Apa perbedaaan statistik dan statistika.? 3. Mengapa kita perlu statistic ? 4. Bagaimana peranan statistik dalam bidang teknik terutama teknik sipil? 5. Apa yang dimaksud dengn statistik deskriptif dan statistik induktif ?


3

BAB II PENGUMPULAN DAN PENGOLAHAN DATA Untuk mendapatkan kumpulan data yang baik dan mencakup seluruh unit yang menjadi objek penelitian maka data statistik harus dapat dipercaya dan tepat waktu, sehingga informasi yang dikumpulkan sesuai dengan keadaan sebenarnya dan dengan metode serta cara yang tepat. Hal-hal yang perlu diperahatikan sebelum data dikumpulkan adalah sebagai berikut : 1. Harus diketahui untuk apa data itu dikumpulkan. 2. Harus diketahui jenis elemen atau objek yang akan diselidiki. Elemen adalah unit terkecil dari objek penelitian, misalnya orang, organisasi atau badan usaha, barang dan lain-lain. Tujuan darI pengumpulan data adalah untuk mengetahui jumlah elemen dan karakteristik elemen tersebut. Karakteristik adalah sifat-sifat, ciri-ciri atau hal-hal yang dimiliki oleh elemenelemen, yaitu semua keterangan mengenai elemen. Nilai karakteristik suatu elemen

berupa

nilai

variabel.

Untuk

menunjukkan

suatu

variable

dipergunakan huruf misalnya: X, Y, Z dan sebagainya. Contoh : 3 perusahaan dengan X = modal perusahaan dalam jutaan rupiah, di mana X1 = 5, X2 = 7, X3 = 4, berarti perusahaan pertama mempunyai modal Rp 5 juta, perusahaan kedua Rp 7 juta, perusahaan ketiga Rp 4 juta.

2.1. POPULASI DAN SAMPEL Populasi adalah kumpulan elemen baik hasil perhitungan maupun pengukuran, baik kuantitatif maupun kualitatif mengenai karakteristik dari sekelompok objek yang lengkap dan jelas. Sedangkan sampel adalah sebagian dari populasi yang diambil dengan menggunakan teknik tertentu yang disebut teknik sampling. Data yang diperoleh dari hasil sampling


4

merupakan data perkiraan (estimate value). Penelitian yang menggunakan seluruh anggota populasinya disebut sampel total atau sensus. Data yang diperoleh sebagai hasil pengolahan sensus disebut data sebenarnya (true value) atau parameter. Dibandingkan dengan sensus, pengumpulan data dengan cara sampling membutuhkan biaya lebih murah , waktu lebih cepat, tenaga lebih sedikit dan menghasilkan cakupan data yang lebih banyak serta terperinci. Dalam banyak hal pengumpulan data dengan cara sampling lebih disukai dengan pertimbangan biaya, waktu dan penelitian yang bersifat merusak objek. Jika n adalah jumlah elemen sampel dan N adalah jumlah elemen populasi, maka n
Sambel diambil dari populasi dan dianalisis (n)

Kesimpulan dibuat diharapkan berlaku untuk populasi GambarData 2.1 Hubungan antara dan sampel diskrit yaitu data Populasi yang diperoleh dari hasil menghitung atau membilang. Data 2.2 TEKNIK PENGAMBILAN SAMPEL (TEKNIK SAMPLING) kontinu yaitu data yang diperoleh dari hasil Statistika terbagi menjadi dua yaitu statistik deskriptif dan statistik pengukuran. induktif (inferensial).Statistika deskriptif dikerjakan untuk mendapatkan statistika induktif. Statistika induktif

berusaha menyimpulkan tentang

karakteristik populasi berdasarkan sampel yang diambil dari populasi yang bersangkutan dengan menggunakan metode atau cara tertentu. Untuk mendapatkan kesimpulan yang dapat dipertanggungjawabkan haruslah dicari cara-cara yang benar termasuk cara-cara pengambilan


5

sampel atau sampling. Kriteria yang perlu diperhatikan dalam pengambilan sampel adalah sebagai berkut : 1. Jelas daerah generalisasinya. 2. Batas-batas yang tegas tentang sifat-sifat populasi (karakteristiknya). 3. Sumber-sumber informasi tentang populasi. 4. Rumusan persoalan yang akan diteliti. 5. Keterangan mengenai populasi yang akan diteliti. 6. Teknik sampling dan besar anggota sampel yang sesuai dengan tujuan penelitian. 7. Definisi unit-unit, istilah yang diperlukan. 8. Unit sampling yang diperlukan 9. Skala pengukuran yang akan dipergunakan 10. Keterangan yang ada kaitannya dengan permasalahan yang akan dibahas 11. Ukuran sampel yang akan dianalisis 12. Prosedur sampling yang akan digunakan. 13. Teknik pengumpulan data yang akan dipergunakan 14. Metode analisis yang akan digunakan. 15. Sarana dan prasarana yang diperlukan untuk penelitian.

Alasan mengapa populasi tidak dapat dilakukan sehingga digunakan sampel : 1. Ukuran populasi Karena ukuran populasi terlalu besar, obyek terlalu banyak sehingga sulit melakukan penelitian terhadap populasi tersebut. 2. Masalah biaya Makin banyak obyek yang diteliti maka makin banyak biaya yang dikeluarkan. 3. Masalah waktu Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

6

Sensus memerlukan waktu yang lebih lama dibandingkan sampling. 4. Penelitian yang sifatnya merusak Jika penelitian terhadap obyek sifatnya merusak, maka sampling harus digunakan. 5. Masalah ketelitian Makin banyak obyek yang diteliti maka makin kurang ketelitiannya, sebaliknya jika jumlah obyek lebih sedikit. 6. Faktor ekonomis. Kegunaan dari hasil penelitian sepadan apa tidak dengan biaya, waktu, dan tenaga yang dikeluarkan. Jika tidak, maka tidak perlu penelitian dilakukan terhadap sensus. Pada dasarnya cara pengambilan sampel ada dua cara yaitu : 1. Cara acak (sampling random) yaitu cara pengambilan atau pemilihan elemen dari populasi untuk menjadi sampel secara acak sehingga setiap elemen mempunyai kesempatan yang sama (equal chance) untuk dipilih menjadi anggota sampel. Pemilihan dapat dilakukan dengan cara lotre/undian, ordinal atau table bilangan random atau dengan komputer. Cara ini dianggap objektif, samplingnya disebut probability sampling yaitu semua elemen mempunyai probabilitas (kemungkinan) yang sama untuk dipilih. 2. Cara bukan acak (sampling non random) yaitu cara pengambilan atau pemilihan elemen dari populasi untuk menjadi sampel dimana setiap elemen tidak mendapat kesempatan yang sama untuk dipilih menjadi anggota sampel. Cara

ini

lebih

bersifat

subjektif

dan

samplingnya

disebut

nonprobability sampling artinya setiap elemen tidak mempunyai probabilitas yang sama untuk dipilih.


7

2.3 JENIS DATA Data adalah hasil pencatatan peristiwa atau karakteristik elemen yang dilakukan pada tahap pengumpulan data yang jika diolah dengan baik dapat melahirkan berbagai informasi. Data dapat berupa bilangan (data kuantitatif) dan dapat berupa kategori (data kualitatif). Data yang berbentuk bilangan atau data kuantitatif menurut nilainya dibagi menjadi dua golongan yaitu : 1. Data diskrit yaitu data yang diperoleh dari hasil menghitung atau membilang. Contoh : a. Perusahan A mempunyai 5 anak perusahaan b. PT. Jasa Marga sudah membangun 15 Jalan Tol tahun 2003 2. Data kontinu yaitu data yang diperoleh dari hasil pengukuran Contoh : a. Luas daerah yang dibebaskan untuk Jalan Tol sebesar 30,5 hektar b. Kecepatan rata-rata mobil yang melewati Jalan Tol Jagorawi 110 km/jam.

2.4 PEMBULATAN BILANGAN Seringkali

kita

menghadapi

angka-angka

hasil

penyelesaian

perhitungan analisa atau laporan yang panjang sekali, sehingga menyuilitkan didalam pembacaannya. Oleh karena itu banyak orang yang menghendaki pencatatan data kuantitatif itu dalam bentuk yang paling sederhana. Salah satu cara menyederhanakan data kuantitaif yang panjang itu, ialah dengan cara pembulatan bilangan.


8

Ada beberapa aturan yang dapat digunakan sebagai pedoman dalam pembulatan bilangan, yaitu : 1. Bila angka terkiri yang harus dihapus adalah 4 atau kurang, maka angka terkanan yang mendahuluinya tidak berubah. Contoh : Rp 49.275,42 dibulatkan hingga ribuan rupiah, menjadi Rp 49.000,-. Dalam hal ini angka yang harus dihapus adalah mulai angka 2 ke kanan, maka angka 2 merupakan angka terkiri yang harus dihapus, sedangkan angka yang mendahului angka 2 adalah angka 9. 2. Bila angka terkiri yang harus dihapus lebih besar 5 atau 5 yang diikuti oleh angka bukan nol, maka angka terkanan yang mendahuluinya bertambah dengan satu. Contoh : Rp 49.275,42 dibulatkan hingga ratusan rupiah, menjadi Rp 49.300,-. Dalam hal ini angka yang harus dihapus adalah mulai angka 7 ke kanan, maka angka 7 merupakan angka terkiri yang harus dihapus, sedangkan angka 2 merupakan angka terkanan yang mendahului angka 7. Rp 49.275,42 dibulat kan hingga puluhan rupiah, menjadi Rp 49.280,-. Angka yang harus dihapus adalah mulai angka 5 ke kanan. Angka 5 ini diikuti oleh angka yang bulan nol. 3. Bila angka terkiri yang harus dihapus lebih besar 5 atau angka 5 yang diikuti oleh angka bukan nol, maka terkanan yang mendahuluinya akan tetap jika ia genap dan bertambah satu jika ia ganjil. Aturan ini disebut aturan ”genap terdekat”. Contoh : 27,50 dibulatkan hingga satuan menjadi 28,00 244,50 dibulatkan hingga satuan menjadi 244,00


9

Aturan ini dapat pula diambil kebalikannya, yaitu membuat tetap jika ia ganjil dan bertambah satu jika ia genap. Aturan ini disebut aturan ”ganjil terdekat” Contoh : 27,50 dibulatkan hingga satuan menjadi 27,00 244,50 dibulatkan hingga satuan menjadi 245,00

2.5 TEKNIK PENGUMPULAN DATA Sumber data dibagai menjadi dua yaitu sumber data primer dan sumber data sekunder. Sumber data primer yaitu data yang didapat dari observasi langsung oleh peneliti. Sumber data sekunder yaitu data yang diperoleh melalui wawancara kepada pihak lain tentang obyek atau subyek yang diteliti. Dari kedua sumber data tersebut sumber data primer lebih dapat dipertanggung jawabkan dibandingkan sumber data sekunder. Teknik –tekniik pengumpulan data dapat dilakukan melalui : 1. Wawancara (Interview) 2. Angket (Questionnary) 3. Pengamatan (Observation) 4. Dokumentasi (Dokumentation) 5. Langsung (Participation) Bagian yang penting dalam pengumpulan data adalah merancang angket /kuesioner. Kuesioner atau angket adalah satu set pertanyaan yang tersusun secara sistemetis dan standar sehingga pertanyaan yang sama dapat diajukan terhadap responden. Yang dimaksud dengan sistematis adalah bahwa item-item pertanyaan disusun menurut logika sesuai dengan maksud dan tujuan pengumpulan data. Sedangkan standard adalah setiap item pertanyaan mempunyai pengertian, konsep dan definisi yang sama.


10

2.6 PENGOLAHAN DATA Secara umum pengolahan data dapat dibedakan menjadi dua yaitu pengolahan ata secara manual (manual data processing) dan pengolahan data secara elektronik (elektronik data processing). 1. Pengolahan data secara manual Pengolahan data secara manual umumnya dilakukan untuk jumlah observasi yang tidak terlalu banyak karena pengolahan data secara manual memerlukan waktu yang sangat lama. Contoh : Volume lalu lintas bulan Desember tahun 2002 Jalan Tol Tangerang Merak untuk Golongan Kendaraan IIA sebagai berikut : Gerbang Cikupa

= 62.060 kendaraan

Gerbang Blaraja Timur

= 5.058 kendaraan

Gerbang Balaraja Barat

= 23.103 kendaraan

Gerbang Ciujung

= 9.380 kendaraan

Gerbang Serang Timur

= 43.975 kendaraan

Gerbang Serang Barat

= 5.719 kendaraan

Gerbang Cilegon Timur

= 18.084 kendaraan

Gerbang Cilegon Barat

= 6.501 kendaraan

Gerbang Merak

= 28.504 kendaraan

Tentukan jumlah volume lalu lintas, Rata-rata volume lalu lintas per hari dan persentase gerbang tol yang volume lalu lintasnya kurang dari 10.000 kendaraan di Jalan Tol Tangerang Merak.


11

Penyelesaian : Data tersebut dapat diolah secara manual yaitu : Jumlah volume lalu lintas =62.060+5.058+23.103+…+ 28.504= 202.384 kendaraan Rata-rata volume lalu lintas per hari=

202.384 31 =6.258 kendaraan

Persentase gerbang tol yang volume lalu lintasnya kurang dari 10.000 kendaraan

=

4 x 100%= 44,44 % 9

2. Pengolahan data secara elektronik Pengolahan menggunakan

data

secara

elektronik

dapat

dilakukan

dengan

aplikasi komputer dengan program-program yang

tersedia, misalnya Microsoft Excel, SPSS, Statgraphics dan lain-lain.

2.7 RANGKUMAN Elemen adalah unit terkecil dari objek penelitian, misalnya orang, organisasi atau badan usaha, barang dan lain-lain. Karakteristik adalah sifat-sifat, ciri-ciri atau hal-hal yang dimiliki oleh elemen-elemen, yaitu semua keterangan mengenai elemen. Nilai karakteristik suatu elemen berupa nilai variabel. Untuk menunjukkan suatu variable dipergunakan huruf misalnya: X, Y, Z dan sebagainya.


12

Populasi adalah kumpulan elemen baik hasil perhitungan maupun pengukuran, baik kuantitatif maupun kualitatif mengenai karakteristik dari sekelompok objek yang lengkap dan jelas. Sampel

adalah

sebagian

dari

populasi

yang

diambil

dengan

menggunakan teknik tertentu yang disebut teknik sampling. Data adalah hasil pencatatan peristiwa atau karakteristik elemen yang dilakukan pada tahap pengumpulan data yang jika diolah dengan baik dapat melahirkan berbagai informasi. Populasi adalah kumpulan elemen baik hasil perhitungan maupun pengukuran, baik kuantitatif maupun kualitatif mengenai karakteristik dari sekelompok objek yang lengkap dan jelas. Sampel adalah sebagian dari populasi Data diskrit yaitu data yang diperoleh dari hasil menghitung atau membilang. Data kontinu yaitu data yang diperoleh dari hasil pengukuran. Sumber data dibagai menjadi dua yaitu sumber data primer dan sumber data sekunder. Sumber data primer yaitu data yang didapat dari observasi langsung oleh peneliti. Sumber data sekunder yaitu data yang diperoleh melalui wawancara kepada pihak lain tentang obyek atau subyek yang diteliti. Secara umum pengolahan data dapat dibedakan menjadi dua yaitu pengolahan data secara manual (manual data processing) dan pengolahan data secara elektronik (elektronik data processing).


13

2.8 SOAL 1. Apa yang dimaksud dengan elemen? Berikan beberapa contoh! 2. Apa yang dimaksud dengan karakteristik? Berikan beberapa contoh! 3. Apa yang dimaksud populasi dan sampel? Berikan contohnya! 4. Apa perbedan antara sensus dan sampling? 5. Apa keuntungan menggunakan metode sampling dibandingkan dengan metode sensus. 6. Sebutkan teknik oengambilan sampel. 7. Apa yang dimaksud dengan data kuantitatif dan data kualitatif? 8. Apa yang dimaksud dengan data deskrit dan data kontinu? Berikan beberapa contoh! 9. Sebutkan jenis sumber data dan jelaskan! 10. Sebutkan teknik-teknik pengumpulan data!


14

BAB III DISTRIBUSI FREKUENSI EMPIRIS Distribusi Frekuensi Empiris adalah suatu daftar yang menunjukkan penggolongan kumpulan data diamana termasuk penentuan berapa bilangan yang termasuk ke dalam setiap golongan tersebut . Tujuan dari penentuan Distribusi Frekuensi adalah untuk menyajikan data dalam bentuk yang lebih teratur dan ringkas sehingga lebih mudah untuk dipahami.

3.1 BAGIAN-BAGIAN DARI DITRIBUSI FREKUENSI 1. Variabel Penyelidikan Variabel Penyelidikan adalah obyek yang diselidiki 2. Nilai Variabel Nilai variable adalah nilai masing-masing penyelidikan / pengujian. Contoh : Apabila seorang ahli beton mengadakan pengujian tentang kekuatan karakteristik beton dimana untuk mendapatkan kekuatan karakteristik diperlukan nilai masing-masing pengujian beton Dari contoh diatas yang merupakan : Variabel penyelidikan adalah pengujian kekuatan karakteristik beton dan Nilai variabel adalah nilai masing-masing pengujian beton Pada Umumnya Pembuatan Distrbusi Dapat Dibagi 3 Tahap : 1. Menentukan jumlah kelas , guna memasukkan angka-angka. 2. Memasukkan angka-angka ke kelas-kelas yang sesuai serta menghitung frekuensinya. 3. Membuat tabel distribusi frekuensi Distribusi frekuensi dibagi 2 : a. Distribusi Frekuensi Tunggal


15

b. Distribusi Frekuensi Bergolong

DISTRBUSI FREKUENSI TUNGGAL (DFT) Distribusi Frekuensi Tunggal (DFT) adalah suatu pencaran frekuensi yang menunjukkan tidak adanya pengelompokkan nilai variabel. Contoh : Variabel Penyelidikan : Penyelidikan tentang nilai mata kuliah Statistik Semester I Mahasiswa Jurusan Teknik Sipil Politeknik UI tahun akademik 1993/1994 . Nilai Variabel : 7

6

6

5

7

6

5

6

6

6

7

8

6

5

5

6

5

7 7

4

6

6

5

7

7

7

8

5

7 6

Dari angka-angak tersebut diatas kita tidak dapat memperoleh gambaran apa-apa. Untuk mendapatkan gambaran dan kesimpulan , kita perlu mengatur angka-angka itu menjadi suatu tabel . Penyajian dalam bentukDistribusi Frekuensi Tunggal Nilai Mata Kuliah Statistik Semester I

Mahasiswa Jurusan Teknik Sipil

Politeknik UI tahun akademik 1993/1994 . No.( i )

Nilai ( Xi )

Frekuensi ( f i )

1

4

1

2

5

7

3

6

11

4

7

9

5

8

2

k 5



fi

30

i 1


16

k = banyaknya kelas fi = frekuensi kelas ke i k 5



fi

i 1

= jumlah indek = 1 s/d k termasuk frekuensi ke 1 dan ke k

Dari tabel tersebut diatas kita dapat mengambil kesimpulan bahwa urutan data yang mempunyai frekuensi dari tertinggi ke terendah adalah : 6, 7, 5, 8, 4 Jumlah kolom yang ada pada panel yang ada pada tabel bukan merupakan syarat mutlak, jumlah kolom dalam tabel tergantung pada kebutuhan .

DISTRIBUSI FREKUENSI BERGOLONG (DFB) Distribusi Frekuensi Bergolong (DFB) adalah suatu pencaran frekuensi yang menunjukkan adanya pengelompokkan nilai variabel dalam satu kelas.

1

3−5

2,5 − 5,5

3

Frekuen si ( Fi) 4

2

6−8

5,5 − 8,5

5

7

3

9 −11

8,5 -11,5

11

10

4

12 −14

11,5 −14,5

13

13

No. (i)

Batas Kelas ( Xi ) Semu

Nyata

Tanda Kelas ( Mi)

k 5



fi

34

i 1

Istilah-istilah Yang Digunakan dalam Distribusi Frekuensi Bergolong : 1. Kelas Kelas adalah tiap-tiap kelompok nilai variabel.


17

Contoh : Dalam tabel diatas terdapat 4 kelas dengan masing-masing kelas yaitu kelas pertama 3 – 5, kelas kedua 6 – 8, kelas ketiga 9 – 11 dan kelas keempat 12 – 14. 2. Batas Kelas Batas Kelas adalah nilai-nilai yang membatasi antara kelas yang satu dengan kelas yang lain . Contoh : Nilai 3 dan 5,6 dan 8,9 dan 11,12 dan 14.

3. Batas Kelas Atas dan Batas Kelas Bawah Batas Kelas Atas (Upper Limits) adalah nilai tertinggi dalam suatu kelas . Contoh : Angka-angka pada deret sebelah kanan batas kelas yaitu 5,8,11 dan 14. Batas Kelas Bawah (Lower Limits) adalah nilai terndah dalam suatu kelas Contoh : Angka-angka pada deret sebelah kanan batas kelas yaitu 3, 6, 9 dan 12

4. Batas Kelas Semu dan Batas Kelas Nyata Batas Kelas Semu adalah nilai yang terpisah antara batas kelas yang satu dengan batas kelas yang lain. Contoh : Nilai 5 dengan 6, 8 dengan 9, 11 dengan 12. Batas Kelas Nyata adalah nilai yang sama antara batas kelas yang satu dengan batas kelas yang lain. Contoh : Nilai 2,5 ; 5,5 ; 8,5 ; 11,5 ; 14,5. Nilai Batas Kelas Nyata =


B k a s I  B k b s II 2

18

Keterangan : B k a s I : Batas kelas atas semu prioritas I B k b s II : Batas kelas bawah semu prioritas II

5. Lebar Kelas / Interval Kelas ( I ) Lebar Kelas / Interval Kelas adalah jumlah nila-nilai variabel dalam tiap kelas. Contoh : Kelas 3 – 5 terdiri dari nilai – nilai variabel 3, 4, dan 5. Jadi tiap – tiap kelas terdiri dari 3 nilai variabel, sehingga interval kelas = 3 Interval Kelas ( I ) = B k a n – B k b n dalam satu kelas atau

= B k a s II – B k a s I

atau

= B k b s II – B k b s I

Keterangan : Bkan

: Batas kelas atas nyata

Bkbn

: Batas kelas bawah nyata

B k a s II : Batas kelas atas semu prioritas II B k a s I : Batas kelas atas semu prioritas I B k b s II : Batas kelas bawah semu prioritas II B k b s I : Batas kelas bawah semu prioritas II

6. Titik Tengah / Tanda Kelas / Class Mark (m i ) Titik Tengah / Tanda Kelas / Class Mark adalah nilai variabel yang terdapat di tengah-tengah antara Batas Kelas Atas dengan Batas Kelas Bawah atau nilai yang mewakili tiap-tiap kelas . Contoh : Pada tabel diatas niali 4, 7, 10 dan13 merupakan tanda kelas. Tanda Kelas (m i) =


Bkb s/n - Bks s/n dalam satu kelas 2

19

Keterangan : Bkb s/n : Batas kelas bawah semu / nyata Bka s/n : Batas kelas atas semu / nyata

7. Jarak Pengukuran / Range ( R ) Jarak Pengukuran / Range adalah nilai variabel tertinggi dikurangi dengan nilai variabel terendah dalam suatu pengujian . (Tidak perlu memandang batas nyatanya).

Hal-hal

Yang

Perlu

Diperhatikan

Dalam

Pembuatan

Diustribusi

Frekuensi Bergolong (DFB) : 1. Menentukan jumlah kelas, guna memasukkan angka-angka atau nilai-nilai variabel . Biasanya digunakan Aturan Sturges oleh H . A Sturges tahun 1926. k = 1 + 3,3 log n

pembulatan ( 0,0 – 0,9)

Keterangan : k : Banyaknya kelas n : Banyaknya data / pengamatan 2. Menentukan interval kelas , guna memasukkan angka-angka atau nilanilai variabel yang sesuai serta kemudian menghitung frekuensinya.

I

R H-L  k k

Keterangan : I : Interval Kelas R : Range H : Nilai Variabel Tertinggi L : Nilai Variabel Terndah k : Banyaknya kelas


20

Contoh : Hasil pemeriksaan keteguhan tekan beton (benda uji kubus dengan sisi 15 cm) sesudah 28 hari dengan campuran 1 : 1 1/2 : 21/2, yang dilaksanakan di Laboratorium Pengujian Bahan Politekni UI Depok dalam satuan kg/cm 2 . 157,4

167,8

171,2

174,7

177,4

157,7

168,4

172,4

175,1

178,8

162,2

168,7

173,2

175,5

179,2

164,2

169,9

173,6

176,0

181,3

165,8

170,2

174,7

176,1

185,7

data disusun secara acak satu angka dibelakang koma. n

= 25

H

= 185,7 kg/cm2

L

= 157,4

kg/cm2

Banyaknya Kelas (k) k

= 1 + 3,3 log n = 1 + 3,3 log 25 = 5,6132  6

Interval Kelas ( I )

I

R H - L 185.7  157.4    4.7167 kg/cm 2 k k 6

Penyajian Dalam Bentuk Distribusi Frekuensi Bergolong : Hasil pemeriksaan keteguhan tekan beton (benda uji kubus dengan sisi 15 cm) sesudah 28 hari dengan campuran 1 : 2 : 3, yang dilaksanakan di Laboratorium Pengujian Bahan Politekni UI Depok dalam satuan kg/cm 2 .


21

Batas Kelas ( Xi) (Kg/Cm2) Semu Nyata

Kelas (i)

Tanda Kelas (mi) (Kg/Cm2)

Frekuensi (fi)

1

157.4 - 162.1

157.35 - 162.15

159.75

2

2

162.2 -0166.9

162.15 - 166.95

164.55

3

3

167.0 - 171.7

166.95 - 171.75

169.35

6

4

171.8 - 176.5

171.75 - 176.65

174.15

9

5

176.6 - 181.3

176.55 - 181.35

178.95

4

6

181.4 - 186.1

181.35 - 186.15

183.75

1

6



fi

25

i 1

DISTRIBUSI FREKUENSI RELATIF (DFR) Distribusi Frekuensi Relatif adalah pencaran frekuensi yang diperoleh dengan membagi frekuensi tiap-tiap kelas dengan banyaknya data pengamatan .

Fri 

fi n

Keterangan : Fri

= Frekuensi Relatif Kelas ke i

fi

= Frekuensi Kelas ke i

n

= Banyaknya Data Pengamatan

Frekuensi Relatif bisa juga dibuat dengan bentuk persentase atau disebut juga Persentase Distribusi yang dapat diperoleh dengan mengalikan frekuensi relatif dengan 100%.

Fr1 %  

fi  100% n


22

Contoh : Hasil pemeriksaan keteguhan tekan beton (benda uji kubus dengan sisi 15 cm) sesudah 28 hari dengan campuran 1 : 2 : 3, yang dilaksanakan di Laboratorium Pengujian Bahan Politekni UI Depok dalam satuan kg/cm 2 . Kelas (i) 1

Tanda Kelas (mi) (Kg/Cm2) 159.75

Frekuensi (fi) 2

Fri

Fri (%)

0.08

8

2

164.55

3

0.12

12

3

169.35

6

0.24

24

4

174.15

9

0.36

36

5

178.95

4

0.16

16

6

183.75

1

0.04

4

6

 fi  25 i 1

6

 Fri  1  Fri  100% 6

i 1

i 1

DISTRIBUSI FREKUENSI KOMULATIF (DFK) Distribusi Frekuensi komulaitf adalah pencaran frekuensi yang merupakan penjumlahan-penjumlahan frekuensi-frekuensi kelas secara berurutan. Sebagai akibat dari penjumlahan-penjumlahan antara frekuensi yang beurutan harus diperhatikan bahwa bentuk kelasnya sudah berubah sesuai dengan Distribusi Frekuensi Komulatif. Distribusi Frekuensi Komulatif dibagi 2 : a. Distribusi Frekuensi Komulatif (DFK) kurang dari b. Distribusi Frekuensi Komulatif (DFK) lebih dari Contoh : a. DFK “kurang dari (<)” hasil pemeriksaan keteguhan tekan beton (benda uji kubus sisi 15 cm) sesudah 28 hari dengan campuran 1 : 2 : 3 yang


23

dilaksanakan di Laboratorium Pengujian Bahan Politeknik UI Depok dalam satuan kg/cm2 Batas Kelas Komulatif “<” (Xki) (Kg/Cm2) Kurang dari 157.35

Frekuensi Komulatif “<” (Fki) 0

Kurang dari 162.15

2

Kurang dari 166.95

5

Kurang dari 171.75

11

Kurang dari 176.55

20

Kurang dari 181.35

24

Kurang dari 186.15

25

b. DFK “lebih dari (>)” hasil pemeriksaan keteguhan tekan beton (benda uji kubus sisi 15 cm) sesudah 28 hari dengan campuran 1 : 2 : 3 yang dilaksanakan di Laboratorium Pengujian Bahan Politeknik UI Depok dalam satuan kg/cm2 . Batas Kelas Komulatif “>” (Xki) (Kg/Cm2) Lebih dari 157.35

Frekuensi Komulatif “<” (Fki) 25

Lebih dari 162.15

23

Lebih dari 166.95

20

Lebih dari 171.75

14

Lebih dari 176.55

5

Lebih dari 181.35

1

Lebih dari 186.15

0


24

PENYAJIAN DISTRIBUSI FREKUENSI DALAM BENTUK GRAFIK, DAN DIAGRAM Dalam laporan-laporan tertulis, brosur, majalah, buku-buku, dan lainlain sering kita lihat Distribusi Frekuensi disajikan dalam bentuk grafik dan diagram. Atau disajikan bersama-sama table Distribusi Frekuensi. Guna penyajian Distribusi Frekuensi dalam bentuk grafik dan diagram adalah : 1. Mempertegas dan memperjelas Distribusi Frekuensi yang telah disajikan sebagai table/daftar. 2.

Sebagai pengganti bagi Distribusi Frekuensi yang berbentuk sebagai

daftar / tabel. Grafik dan diagram yang sering dipakai untuk melukiskan distribusi frekuensi adalah : 1. Histogram frekuensi 2. Poligon frekuensi 3. Ogive frekuensi 4. Diagram lingkaran

HISTOGRAM FREKUENSI Histogram frekuensi adalah suatu bentuk diagram yang terdiri dari persegi panjang dimana setiap persegi panjang tersebut mewakili/ menerangkan/ menggambarkan sebuah kelas dari distribusi frekuensi. Contoh : Histogram frekuensi hasil pemeriksaan keteguhan tekan beton (benda uji kubus sisi 15 cm) sesudah 28 hari dengan campuran 1 : 2 : 3 yang dilaksanakan dilaboratorium pengujian bahan Politeknik UI Depok dalam satuan kg/cm2.


25

10 9 8

frekuensi

7 6 5 4 3 2 1 0 157,35 162,15 166,95 171,75 176,55 181,35 186,15

keteguhan tekan beton (kg/cm2)

Skala : x = 2 : 8,72 kg/cm2 y=1:1 POLIGON FREKUENSI Poligon Frekuensi adalah suatu bentuk grafik yang digambarkan dengan

menghubungkan titik-titik tengah dari garis puncak histogram

dengan memakai garis lurus.

Contoh : Poligon frekuensi hasil pemeriksaan keteguhan tekan beton (benda uji kubus sisi 15 cm) sesudah 28 hari engan campuran 1 : 2 : 3 yang dilaksanakan dilaboratorium pengujian bahan Politeknik UI Depok dalam satuan kg/cm2.


26

10 9

159,75

164,55

169,35

174,15

178,95

183,75

9

8

frekuensi

7 6

6

5 4

4

3 2

3 2

1

1

0 keteguhan tekan beton (kg/cm2)

Keterangan : Untuk melengkapi poligon frekuensi diawal dan diakhir distribusi frekuensi, masing-masing ditambah satu kelas dengan frekuensi = “ 0/nol “ sehingga poligon frekuensi komulatif dengan memakai garis lurus.

OGIVE FREKUENSI Ogive frekuensi adalah suatu bentuk grafik yang merupakan bentuk penyajian distribusi frekuensi komulatif yang digambarkan dengna menghubungkan titik-titik dari frekuensi komulatif dengan memakai garis lurus. Contoh : a. Ogive Frekuensi “kurang dari (<)”hasil pemeriksaan keteguhan tekan beton (benda uji kubus sisi 15 cm) sesudah 28 hari engan campuran 1 : 2 : 3 yang dilaksanakan dilaboratorium pengujian bahan Politeknik UI Depok dalam satuan kg/cm2.


27

30

frekuensi

25

25

24

20

20

15 11

10 5

5 2

0

0

157,35 162,15 166,95 171,75 176,55 181,35 186,15


b. Ogive frekuensi “lebih dari (>)”hasil pemeriksaan keteguhan tekan beton (benda uji kubus sisi 15 cm) sesudah 28 hari engan campuran 1 : 2 : 3 yang dilaksanakan dilaboratorium pengujian bahan Politeknik UI Depok dalam satuan kg/cm2. 30 25

25

frekuensi

23

20

20

15

14

10 5

5 1

0

0

157,35 162,15 166,95 171,75 176,55 181,35 186,15



28

Diagram lingkaran adalah suatu bentuk ddiagram yang berbentuk lingkaran dengan jari-jari yang membagi lingkaran itu menjadi beberapa daerah yang luasnya sesuai dengan frekuensinya, diman luas tersebut tergantung dari besar sudut. ( io ) = Fri x 3600 keterangan : ( io ) = sudut pada kelas I Contoh : Diagram lingkaran hasil pemeriksaan keteguhan tekan beton (benda uji kubus sisi 15 cm) sesudah 28 hari engan campuran 1 : 2 : 3 yang dilaksanakan dilaboratorium pengujian bahan Politeknik UI Depok dalam satuan kg/cm2.

Kelas (i)

Tanda Kelas (mi) (Kg/Cm2)

Frekuensi (fi)

Fri

Fri (%)

1

159.75

2

0.08

8

28.8

2

164.55

3

0.12

12

43.2

3

169.35

6

0.24

24

86.4

4

174.15

9

0.36

36

129.6

5

178.95

4

0.16

16

57.6

6

183.75

1

0.04

4

14.4

6

6

 fi  25 i 1


 Fri  1  Fri  100% i 1

α (i)

6

i 1

( i ) = 360

29

183.75 (4%) 178.95 (16%)

159.75 (8%) 164.55 (12%)

`

169.35 (24%) 174,15 (36%)


30

RANGKUMAN Distribusi Frekuensi Empiris adalah suatu daftar yang menunjukkan penggolongan kumpulan data diamana termasuk penentuan berapa bilangan yang termasuk ke dalam setiap golongan tersebut. Variabel Penyelidikan adalah obyek yang diselidiki. Distribusi Frekuensi Relatif adalah pencaran frekuensi yang diperoleh dengan membagi frekuensi tiap-tiap kelas dengan banyaknya data pengamatan Distribusi Frekuensi komulaitf adalah pencaran frekuensi yang merupakan penjumlahan-penjumlahan frekuensi-frekuensi kelas secara berurutan. Nilai variable adalah nilai masing-masing penyelidikan / pengujian. Distribusi Frekuensi Tunggal (DFT) adalah suatu pencaran frekuensi yang menunjukkan tidak adanya pengelompokkan nilai variabel. Distribusi Frekuensi Bergolong (DFB) adalah suatu pencaran frekuensi yang menunjukkan adanya pengelompokkan nilai variabel dalam satu kelas. Poligon Frekuensi adalah suatu bentuk grafik yang digambarkan dengan


dengan memakai garis lurus. Distribusi Frekuensi Relatif adalah pencaran frekuensi yang diperoleh dengan membagi frekuensi tiap-tiap kelas dengan banyaknya data pengamatan


31

Distribusi Frekuensi komulaitf adalah pencaran frekuensi yang merupakan penjumlahan-penjumlahan frekuensi-frekuensi kelas secara berurutan. Histogram frekuensi adalah suatu bentuk diagram yang terdiri dari persegi panjang dimana setiap persegi panjang tersebut mewakili/ menerangkan/ menggambarkan sebuah kelas dari distribusi frekuensi. Poligon Frekuensi adalah suatu bentuk grafik yang digambarkan dengan


dengan memakai garis lurus. Ogive frekuensi adalah suatu bentuk grafik yang merupakan bentuk penyajian distribusi frekuensi komulatif yang digambarkan dengna menghubungkan titik-titik dari frekuensi komulatif dengan memakai garis lurus. Diagram lingkaran adalah suatu bentuk ddiagram yang berbentuk lingkaran dengan jari-jari yang membagi lingkaran itu menjadi beberapa daerah yang luasnya sesuai dengan frekuensinya, diman luas tersebut tergantung dari besar sudut.


32

3.8 SOAL 1. Apa yang dimaksud dengan distribusi frekuensi empiris? 2. Apa yang dimaksud dengan distribusi frekuensi tunggal? 3. Apa yang dimaksud dengan distribusi frekuensi bergolong? 4. Apa yang dimaksud dengan distribusi frekuensi relatif? 5. Apa yang dimaksud dengan distribusi frekuensi komulatif? 6. Dibawah ini disajikan Data Volume Kendaraan Pada Ruas Jalan Tol Jakarta-Bogor-Ciawi untuk 50 Hari Kerja Pada Pukul 07.00 S/D 09.00 Pada Bulan Juli - September 2007 (Dalam Ratusan) 46.7

42.6

49.2

35.4

45.6

56.3

28.3

63.4

68.1

73.2

19.4

61.5

32.4

53.4

36.5

38.2

48.4

42.5

52.6

54.3

47.3

47.3

50.8

50.8

45.4

57.5

58.2

64.7

65.4

76.7

25.9

26.8

35.4

35.7

38.1

37.3

50.3

52.1

60.1

57.1

42.3

46.8

48.6

56.8

68.0

40.8

40.1

44.6

44.2

46.9

a. Buatlah distribusi frekuensi bergolong, relatif dan komulatif. b. Gambarkan histogram, polygon, diagram lingkaran, ogive frekuensi dari distribusi frekuensi diatas.


33

BAB IV UKURAN-UKURAN DISKRIPTIF DALAM STATISTIK Sebelum kita melangkah lebih jauh pada ukuran lokasi (Mean, Median, Modus dan sebagainya), mengingat bahwa ukuran lokasi menggunakan operasi penjumlahan, maka diperlukan cara untuk menyajikan penjulahan dalam bentuk symbol atau Notasi Summasi (  ). 4.1 SUMMASI (  ). Misal dalam n pengamatan yang dinyatakan sebagai x1, x2, x3 …….. xn untuk menyatakan jumlah dapat dinyatakan dengan notasi summasi sebagai berikut : n

 xi  x

1

i 1

 x2  x3  ...  xn

Keterangan :



= Operasi Penjumlahan / Summasi

i

= Indeks Summasi

n

= Batas Indeks Summasi

xi

= Data Pengamatan ke i

Pembacaan Notasi : Jumlah semua data x dari indeks = 1 s/d n termasuk data ke 1dan data ke n.

Contoh : x1

=

4

x i 1

i

20

;

x2

=

25

;

x3

=

23

;

x4

=

24

 x1  x 2  x 3  x 4  20  25  23  24  92


34

Bila

n

pengamatan

masing-masing

dikwadratkan,

maka

bentuk

penjumlahannya adalah sebagai berikut : n

x i 1

2 i

 x 1  x 2  x 3  ...  x n 2

2

2

2

Pembacaan Notasi : Jumlah semua data x2 dari indeks = 1 s/d n termasuk data ke 1 dan ke n Contoh : x1 = 4 ; x2 = 3 ; x3 = 5 3

x i 1

2 i

 x1  x 2  x 3 2

2

2

 4 2  3 2  5 2  50

Contoh-contoh diatas tidak lepas dari aturan-aturan aljabar yang digunakan dalam summasi.

ATURAN-ATURAN ALJABAR DALAM SUMMASI : 1. ATURAN I : Summasi suatu penjumlahan / pengurangan sama dengan jumlah / selisih dari summasi : n

 x i 1

i

 yi  zi  

n

x i 1

i

n

n

i 1

i 1

  yi   zi

BUKTI : n

 x i 1

i

 y i  z i   x 1  y i  z i   x 2  y 2  z 2   ...  x n  y n  z n  

n

x i 1


i

n

n

i 1

i 1

  yi   zi

35

2. ATURAN II : Summasi perkalian antara variable dan konstanta sama dengan perkalian konstanta dan summasi variable. n

 kx i 1

n

 k x i

i

i 1

BUKTI : n

 k.x i 1

 k.x 1  k.x 2  ...  k.x n

i

 k x1  x 2  ...  x n  n

 k xi i 1

3. ATURAN III : Summasi konstanta sama dengan konstanta dikali dengan jumlah indeks dalam summasi. n

C 

n.C

i 1

BUKTI n

C  C i 1

1

 C 2  ...  C n

 n.C  (n - 1)C  C 4.2 UKURAN-UKURAN LOKASI / HARGA-HARGA TENGAH Ukuran-ukuran lokasi / harga-harga tengah adalah merupakan hargaharga yang dapat menggambarkan distribusi frekuensi pada lokasi/letaknya. Ukuran-ukuran lokasi meliputi : 1. Rata-rata / Mean


36

2. Median, Kwartil, Desil dan Persentil 3. Modus 4. Geometric Mean 5. Harmonic Mean

4.2.1 MEAN / RATA-RATA (

)

Mean / Rata-rata adalah jumlah dari semua data dibagi dengan banyaknya data.

1. MEAN DISTRIBUSI FREKUENSI TUNGGAL Apabila terdapat n data pengamatan yaitu x1, x2, x3 …….. xn , maka nilai rata-ratanya :

x 1  x 2  x 3  ...  x n x n atau dapat ditulis : n

x 

x i 1

i

n

Apabila terdapat n data pengamatan dimana setiap data frekuensi lebih dari satu, yaitu :

x1

f1, x2

f2, .... , xk

fk

maka nilai rata-ratanya :

x 

x 1 .f 1  x 2 .f 2  ...  x k .f k f 1  f 2  f 3  ...  f k

atau dapat ditulis :


37

k

x

x 

i 1 k

k

i

f i 1

.f

i



x i 1

i

.f

i

n

i

k

1 x  n

x i 1

i

.f

i

Keterangan : k = Banyaknya data yang terkelompok.

2. MEAN DISTRIBUSI FREKUENSI BERGOLONG Mean Distribusi Data Bergolong tidak jauh berbeda dengan Distribusi Frekuensi Tunggal, hanya nilai xi (nilai variable / data tunggal) diganti / dirubah titik tengah / tanda kelas (mi). Dimana tanda kelas dianggap mewakili nilai variable-variable yang terdapat pada masing-masing kelas. Mean di sini hanya merupakan perkiraaan terdekat saja, maka nilai rata-rata Distribusi Frekuensi Bergolong dapat dituliskan

x 

m 1 .f 1  m 2 .f 2  m 3 .f 3  ...  m k .f k f 1  f 2  f 3  ...  f k

atau dapat ditulis : k

x 

 m i .f i i 1

k

f i 1

k



m i 1

i

.f i

n

i

Keterangan :


38

= Nilai Rata-Rata Kelas (i)

Frekuensi (fi)

mi . fi (Kg/ Cm2)

1

Tanda Kelas (mi) (Kg/ Cm2) 92,635

2

185,27

2

101,355

5

506,775

3

110,075

9

990,675

4

118,795

7

831,565

n=Banyaknya Data mi = tanda kelas ke i fi = frekuensi ke i k = Banyaknya Data yang dikelompokkan / Banyaknya kelas. Contoh: Hasil pemeriksaan keteguhan tekan beton (benda uji kubus sisi 15 cm) sesudah 28 hari dengan campuran 1 : 2 : 3 yang dilaksanakan di Laboraturium Pengujian Bahan Politeknik UI Depok dalam satuan kg / cm2.


39

5

127,515

4

510,060

6

136,235

3

408,705

30

3.433,05

6

f i 1

i



1 n x   m i .f i n i 1 1  .3433.05 30 2  114.435 kg cm Cara lain menghitung mean Distribusi Frekuensi Bergolong, yaitu dengan cara KODING / ABRITER / TERKAAN

x  x0  I.u 1 k   . ui . f i n i 1 Pembuktian Rumus : Rumus diatas diambil berdasarkan rumus awal :

1 x  n


n

m i 1

i

.f

i

40

mi  x0  I.ui

1 k x   ( x0  I.ui ). f i n i 1 1 k   ( x0 . f i  I.ui . f i ) n i 1 k 1  k   . x0 . f i   I.ui . f i  n  i 1 i 1  k k 1    . xo . f i  I ui . f i  n  i 1 i 1  k 1    . x0 .n  I ui . f i  n  i 1 

 x0  I.u Keterangan : = Nilai Rata-Rata x0 = Nilai Rata-Rata terkaan yang dipilih secara abriter dengan memilih nilai mi (tanda kelas) dengan asumsi deviasi pada mean terkaan = 0 I

= Interval kelas

ύ

= Nilai rata-rata penyimpangan / Deviasi

n

= Banyaknya Data pengamatan ύi

fi k

= Deviasi ke i

= Frekuensi ke i = Banyaknya data yang dikelompokkan


41

Langkah-Langkah Menentukan Mean secara Koding / Abriter / Terkaan : 1. Menyusun data dalam bentuk Distribusi Frekuensi. 2. Menentukan Mean Terkaan (x0) secara abtriter dari tanda kelas dengan asumsi deviasi pada mean terkaan = 0. 3. Menentukan nilai deviasi masing-masing kelas mulai dari mean terkaan. Deviasi diaatas mean terkaan diberi tanda minus (-), sedangkan dibawah deviasi terkaan diberi tanda plus (+). Apabila data disusun dari nilai terrendah ke tertinggi. 4. Menentukan nilai rata-rata. Contoh : Hasil pemeriksaan keteguhan tekan beton (benda uji kubus sisi 15 cm) sesudah 28 hari dengan campuran 1 : 2 : 3 yang dilaksanakan di Laboraturium Pengujian Bahan Politeknik UI Depok dalam satuan kg / cm2. Kelas (i) 1

Tanda Kelas (mi) (Kg/ Cm2) 92,635

Frekuensi fi 2

Deviasi (ui) -3

ui . fi

2

101,355

5

-2

-10

3

110,075

9

-1

-9

4

118,795

7

0

0

5

127,515

4

1

4

6

136,235

3

6

 i 1

fi 

30

2

-6

6 -15

x  x0  I.u


42

1 k 1 u  . u i . f i  . 15  0.5 n i 1 30 x  118.795  (0.5).8.72  114.435 kg cm 2 Catatan : Jika :x0 >

4.2.2

maka komponen koreksi (ύ) akan (-)

x0 =

maka komponen koreksi (ύ) = 0

x0 <

maka komponen koreksi (ύ) akan (+)

MEDIAN ( ~ x) Median adalah nilai yang membatasi 50% Distribusi Frekuensi bagian bawah dengan 50% Distribusi Frekuensi bagian atas, apabila data disusun menurut besarnya. 1. MEDIAN DISTRIBUSI FREKUENSI TUNGGAL Cara menentukan Median Frekuensi Tunggal : 1. Menyususn data menurut besarnya, dari nilai terendah ke tertinggi atau sebaliknya. 2. Menentukan harga yang terletak di tengah-tengah urutan data. Apabila banyaknya data ganjil nilai median merupakan satu nilai yang berada di tengah-tengah. Apabila banyaknya data genap nilai median merupakan data nilai ditengah dijumlahkan dan dibagi dua. Contoh : a. 4, 4, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 14 ~ x =8 b. 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ~ x = (7 + 8)/2 = 7,5


43

2. MEDIAN DISTRIBUSI FREKUENSI BERGOLONG Median Distribusi Frekuensi Bergolong dapat ditentukan dari grafik

atau

diagram

salah

satunya

adalah

dengan

menggunakan ogive frekuensi kurang dari : Contoh : Ogive frekuensi “<” Hasil pemeriksaan keteguhan tekan beton (benda uji kubus sisi 15 cm) sesudah 28 hari dengan campuran 1 : 2 : 3 yang dilaksanakan di Laboraturium Pengujian Bahan Politeknik UI Depok dalam satuan kg / cm2. x = 1 : 8,72 kg / cm2

Skala

y = 2:5

y

f.kom. (f ki)

30 27 25

23

20 E

C

15 (1/2 n – fkbx2) 10

fx2

7 5

A

D

B

2 0 88,275 96,995 105,715 114,435 123,155 131,875 140,595 Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

44

Keteguhan tekan beton(kg/cm2) Langkah-langkah menentukan ~ x : 1. Menentukan letak kelas median dengan menentukan 50% frekuensi.  fx = ½ . n = ½ . 30 = 15 Kelas median (105,715 – 14,435) 2. Membuat perbandingan A sebagai interpolasi pada kelas median.

x  Bbnx  AD  ADE :  ABC

AD AB  AE BC AD I  1 2.n  fkb x fx AD 

x  Bbn x 

I (1 2.n  fkb x ) fx

I .(1 2.n  fkb x ) fx

Keterangan : x

= nilai median

Bbnx = Batas Bawah Nyata Kelas Median I

= Interval Kelas

N

= Banyaknya Data Pengamatan

fkbx

= Frekuensi Komulatif Sebelum Kelas Median

fx

= Frekuensi Kelas Median


45

Contoh :

x  105.715  8.72(15  7)  113.466 kg cm 2 4.2.3

KWARTIL (K) Kwartil berdasarkan rumus median adalah nilai yang membatasi setiap kelipatan 25% distribusi frekuensi apabila data disusun berdasarkan besarnya.

K 1  Bbn k 1 

I .(1 4 .n  fkb k 1 ) f k1

K 2  Bbn k 2 

I .( 2 4 .n  fkb k 2 ) f k2

K 3  Bbn k 3 

I .(3 4 .n  fkb k 3 ) f k3

4.2.4 DESIL (D) Desil adalah nilai yang membatasi distribusi frekuensi setiap kelipatan 10% apabila data disusun berdasarkan besarnya.

D 1  Bbn D 1 

I .(1 10 .n  fkb D 1 ) f D1

D 2  Bbn D 2 

I .(5 10 .n  fkb D 2 ) f D2

D 3  Bbn D 3 

I .(9 10 .n  fkb D 3 ) f D3

4.2.5 PERSENTIL (P) Persentil adalah nilai yang membatasi distribusi frekuensi setiap 100% apabila data disusun berdasarkan besarnya.


46

P1  Bbn P1 

I .(1 100.n  fkbP1 ) f P1

P25  Bbn P 25 

I .( 25 100.n  fkbP 25 ) f P 25

P50  Bbn P 50 

I .(50 100.n  fkbP 50 ) f P 50

P75  Bbn P 75 

I .(75 100.n  fkbP 75 ) f P 75

P99  Bbn P 99 

I .(99 100.n  fkbP 99 ) f P 99

4.2.6 MODUS ( xˆ ) Modus adalah nilai yang sering timbul dari keseluruhan pengamatan data/ nilai yang memounyai frekuensi tertinggi. 1. MODUS DISTRIBUSI FREKUENSI TUNGGAL Contoh : a. 4, 8, 5, 6, 8, 7, 6, 7, 9, 7, 6, 7, 5 x=7 f=4 b. 4, 8, 6, 4, 7, 4, 7, 9, 7, 6, 7, 5 x = 4 & 7  f = 4 (bimodus/ modus ganda) c. 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 tidak mempunyai modus sebab masing-masing data mempunyai frekuensi yang sama jumlahnya. 2. MODUS DISTRIBUSI FREKUENSI BERGOLONG Modus Distribusi Frekuensi Bergolong dapat ditentukan dengan menggunakan histogram frekuensi.


47

Contoh: Histogram Frekuensi Hasil pemeriksaan keteguhan tekan beton (benda uji kubus sisi 15 cm) sesudah 28 hari dengan campuran 1 : 2 : 3 yang dilaksanakan di Laboraturium Pengujian Bahan Politeknik UI Depok dalam satuan kg / cm2. Skala x = 1 : 8,72 kg / cm2 y = 1:1 y

Kelas Modus (105,715 – 114,435)

Frek. (fi)

B

9

 x  Bbn x  b

b c

8

F

E

G

 AEB :  CED

7 6

D

5 4

A

3 2 1 0 88,275 96,995 105,715 114,435 123,155 131,875 140,595 x=kelas modus Keteguhan tekan beton (kg/cm2)

FE AB  EG CD b ( f  fbx )  x ( I  b) ( f x  fsx )


48

b. y  b.x  I .x I .x ( y  x) I .( f x  fbx )  ( f x  fbx )  ( f x  fsx )

b



I .( f x  fbx ) (2. f x  fbx  fsx )

 x  Bbn x 

I .(f x  fb x ) (2.f x  fb x  fs x )

Keterangan :

 x

= nilai modus

Bbnx = Batas Bawah Nyata Kelas Modus I

= Interval Kelas

fx

= Frekuensi Kelas Modus

fbx

= Frekuensi sebelum Kelas Modus

fsx

= Frekuensi setelah Kelas Modus

Contoh :

 105.715  8.70.(9  5) x   111,528kg cm 2 [( 2.9)  7  5]


49

4.3

RANGKUMAN Ukuran-ukuran lokasi / harga-harga tengah adalah merupakan hargaharga

yang

dapat

menggambarkan

distribusi

frekuensi

pada

lokasi/letaknya. Mean /Rata-rata adalah jumlah dari semua data dibagi dengan banyaknya data. Median adalah nilai yang membatasi 50% Distribusi Frekuensi bagian bawah dengan 50% Distribusi Frekuensi bagian atas, apabila data disusun menurut besarnya. Kwartil berdasarkan rumus median adalah nilai yang membatasi setiap kelipatan 25% distribusi frekuensi apabila data disusun berdasarkan besarnya Desil adalah nilai yang membatasi distribusi frekuensi setiap kelipatan 10% apabila data disusun berdasarkan besarnya. Persentil adalah nilai yang membatasi distribusi frekuensi setiap 100% apabila data disusun berdasarkan besarnya. Modus adalah nilai yang sering timbul dari keseluruhan pengamatan data/ nilai yang memounyai frekuensi tertinggi

4.4 SOAL 1. Apa yang dimaksud dengan harga-harga lokasi? 2. Sebutkan macam-macam harga lokasi dan jelaskan? 3. Data volume kendaraan pada ruas jalan tol jakarta-bogor-ciawi untuk 30 hari kerja pada pukul 07.00 s/d 09.00 pada bulan agustus september 2007


50

Kelas 1 2 3 4 5 6

Tanda Kelas (dalam ratusan) 17 28 39 50 61 72

Frekuensi 1 4 11 7 5 2

a. Hitung nilaimean, median dan modus. b. Hitung nilai kuartil 3, desil 2 dan persentil 66.


51

BAB V UKURAN-UKURAN LOKASI / HARGA-HARGA DEVIASI Rata-rata

dari

serangkaian

nilai-nilai

observasi

tidak

dapat

diinterpretasikan secara terpisah dari hasil variasi nilai-nilai tersebut sekitar rata-ratanya. Bila terdapat keseragaman dalam nilai observasi (xi), maka variasi tersebut = 0 dan x = x. Contoh : x1

x2

x3

x4

x5

x6

A

60

65

50

60

65

60

A = 360/60 = 60

B

30

90

50

70

60

60

B = 360/60 = 60

-

variasi data A 50 s/d 65

-

variasi data B 30 s/d 90 Hasil tersebut menunjukkan bahwa nilai A lebih kecil variasinya

dibandingan B, dengan kata lain nilai A lebih stabil terhadap nilai

nya.

Variasi data dari harga tengah idealnya harus kecil. Apabila variasi data terhadap harga tengah terlalu besar, maka harga tengah tersebut kurang berguna sebagai nilai yang mewakili atau menggambarkan keadaan datanya. Macam-Macam Pengukuran Variasi : 1. Range 2. Deviasi Kwartil 3. Deviasi Rata-Rata (Simpangan Rata-Rata) 4. Deviasi Standard (Simpangan Standard ) dan varians.

5.1 RANGE Range adalah selisih antara data dengan nilai variable tertinggi dan data dengan nilai variable terendah dari keseluruhan pengamatan data.

R H L Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

52

Range merupakan pengukuran disperse (variasi) yang paling sederhana. Apabila kita ingin memperoleh pengukuran variasi secara kasar dan cepat, Range dapat digunakan. Karena kesederhanaannya, maka range banyak sekali digunakan dalam pengawasan kualitas (Quality Control)

5.2 DEVIASI KWARTIL (SIMPANGAN KWARTIL) (dk) Deviasi Kwartil adalah pengukuran variasi atas dasar jarak inter kwartil. Pengukuran didasarkan pada jarak K1 dan K3. Deviasi Kwartil tidak dipengaruhi oleh dispersi dari seluruh nilai-nilai observasi/pengamatan, tapi hanya mengikut sertakan disperse nilai-nilai observasi (xi) terhadap mediannya (x). Jarak antara K1 dan K3 dinamakan Jarak Imter Kwartil. Makin kecil jarak tersebut, makin tinggi tingkat konsentrasi distribusi tengah, seluas 50%. Pengukuran variasi ini tidak membawa pengauh terhadap xi yang terdapat dibawah K1 dan xi diatas K3. Pengukuran deviasi Kwaril dapat dirumuskan:

dk 

K 3  K1 2

Keterangan : dk = Deviasi Kwartil K3 = Kwartil 3 K1 = Kwartil 1


53

Contoh :

K1  Bbnk 1 

I .(1 4 .n  fkbk 1 ) f k1

8,72.(1 4.30  7) 9 2  106,199 kg cm  105,725 

K 3  K1 2 122,532  106,109   8,167 kg cm 2 2

dk 

dk = 8,167 kg/cm2 terhadap x nya dk digunakan untuk mengukur merata atau tidaknya distribusi pendapatan.

5.3 DEVIASI RATA-RATA ( d x ) Deviasi Rata-Rata adalah harga rata-rata penyimpangan data terhadap rata-ratanya. 1. d x Distribusi Frekuensi Tunggal Bila serangkaian nilai observasi x1, x2, ......, xn memiliki rata-rata Maka deviasi nilai-nilai observasi terhadap dapat dinyatakan sebagai (x1 -

), (x2 -

1),

.

nya secara berturut-turut …… (xn -

n-1).

Penjumlahan deviasi nilai-nilai observasi terhadap x nya, menjadi : n

 (x i 1

i

x)


54

Sedangkan deviasi rata-rata :

1 n dx  . (x i  x ) n i 1 ternyata rumus ini menjadi nilai dx = 0. BUKTI :

1 n dx  . ( x i  x ) n i 1 1 n 1 n  . x i  . x n i 1 n i 1 1  x  .[( n  1)  1].x n x x 0 Tujuan pengukuran deviasi adalah mengukur variasi nilai-nilai observasi dari suatu nilai tertentu (

nya). Pengukuran seperti ini pada umumnya

menitik beratkan pada hasil besar kecilnya deviasi, bukan arah deviasi (+ atau -). Mengingat tujuan tersebut, maka pengukuran deviasi atas dasar nilai-nilai absolut, sehingga perumusannya, sebagai berikut :

1 n dx  . (x i  x ) n i 1


55

Contoh : (i)

(xi)

1

24

(xi - ) - 1,5

| (xi - ) | 1,5

2

25

- 0,5

0,5

3

26

+ 0,5

0,5

4

27

+ 1,5

1,5

0

4

4

 i 1

1 n x  . x i n i 1 x  1 4 .( x 1  x 2  x 3  x 4 )  1 4.( 24  25  26  27)  25,5 1 n dx  . (x i  x ) n i 1  1 4 .4  1 2. dx Distribusi Frekuensi Bergolong

1 n dx  . m i  x  f i n i 1 Keterangan :

dx = Deviasi Rata-Rata n = Banyaknya Data Pengamatan / Nilai Observasi k = Banyaknya Kelas / Data yang Dikelompokkan mi = Tanda Kelas ke i x = Rata-Rata fi = Frekuensi ke i


56

Contoh : Hasil pemeriksaan keteguhan tekan beton (benda uji kubus sisi 15 cm) sesudah 28 hari dengan campuran 1 : 2 : 3 yang dilaksanakan di Laboraturium Pengujian Bahan Politeknik UI Depok dalam satuan kg / cm2. Kelas (i) 1

Tanda kelas (mi) (kg/cm2) 92,635

Frekuensi (fi) 2

|mi - | - fi (kg/cm2) 43,6

2

101,36

5

65,4

3

110,075

9

39,24

4

118,795

7

30,52

5

127,515

4

52,32

6

136,235

3

65,4

30

296,48

6

 i 1

= 114,435 kg / cm2 113,466 kg / cm2

x=

 

rata-rata

median

1 n . mi  x  f i n i 1 1  .296,48  9,883kg cm 2 terhadapx 30

dx 

dalam kondisi tertentu dapat dihitung terhadap median distribusi sehingga dapat dirumuskan :

dx 

1 n . m i  x  f i n i 1

Rumus tersebut digunakan apabila dengan menggunakan x dapat menghasilkan variasi seminimal mungkin. d

merupakan pengukuran variasi yang lebih baik dibandingkan R atau

dk, karena hasil pengukuran d Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

mencerminkan variasi tiap-tiap nilai 57

observasi dari nilai

nya

bukan hanya tergantung pada nilai-nilai

ekstrim. Tetapi rata-rata deviasi secara absolute tanpa menghiraukan tanda-tanda (+) atau (-) menyulitkan manipulasi secara mateatika. Untuk itu sebagai sarana untuk menetukan deviasi yang lebih baik digunakan standart deviasi dan variasi.

5.4 STANDARD DEVIASI DAN VARIASI Penggunaan

nilai-nilai

absolut

bagi

pengukuran

variasi

tidak

memungkinkan manipulasi secara matematis. Berdasarkan rumus dari d , bila penjumlahan dilakukan terhadap (xi -

)2 ,

maka rata-rata hasil penjumlahan diatas tidak akan = 0

1 n . (x i  x ) 2 n i 1



perumusan ini dinamakan deviasi kwadrat rata-

rata KARL PERSON menamakannya pengukuran Varians dan dirumuskan sebagai berikut :

1 n S  . (x i  x ) 2 n i 1 2

Untuk penyimpangan standard / deviasi standard merupakan akar varians :

1 n S . (x i  x ) 2 n i 1 Keterangan : S2 = Varians S = Standard Deviasi n = Banyaknya Nilai Observasi / Data Pengamatan xi = Nilai Observasi ke i Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

58

= Nilai Rata-Rata 2

1. S dan S Distribusi Frekuensi Tunggal Data populasi

1 n S  . (x i  x ) 2 n i 1 2

1 n S . (x i  x ) 2 n i 1 Data Sampel

1 n S  . ( xi  x ) 2 n  1 i 1 2

S

1 n . ( xi  x ) 2 n  1 i 1

Di dalam peraturan beton bertulang Indonesia 1970 ditetapkan bahwa keteguhan karakteristik dari beton ditentukan dengan n = 20 buah benda uji. Hal ini adalah didasarkan pertimbangan-pertimbangan berikut : 1. Bahwa pada pangujian mutu dari beton, 20 beton uji sudah cukup dapat memberikan gambaran yang representatif dari keteguhan karakteristik. 2. 20 benda uji adalah jumlah terkecil dengan mana secara tepat dapat diperhitungkan adanya hasil pemeriksaan yang tidak memenuhi syarat (qi) = 5% yaitu 5% x 20 = 1, artinya diantara 20 hasil pemeriksaan berturut-turut hanya ada boleh 1 hasil yang tidak memenuhi syarat.


59

Dengan Rumus: n 1 S  . ( xi  x ) 2 (n  1) i 1 2

n 1 S . (x i  x ) 2 (n  1) i 1

Alasan menggunakan pembagian (n-1) bukan n adalah agar varians tidak kabur. (n-1) biasa disebut dengan derajat kebebasan. Bentuk Lain Rumus S2 dan S Distribusi Frekuensi Tunggal : a. Dengan menghilangkan nilai rata-rata :


60

n 1 S  . ( xi  x ) 2 (n  1) i 1 2

n

S .( n  1)   ( xi  x ) 2 2

i 1 n

  ( xi  2 x.xi  x 2 ) 2

i 1 n

n

n

i 1

i 1

  xi  2.x  xi   x 2 2

i 1 n

n

  xi  2.x  xi  [( n  1)  1]. x 2 2

i 1 n

i 1 n

  xi  2.x  xi  n.x 2 2

i 1 n

i 1

  xi  2 x.n.x  n.x 2 2

i 1 n

  xi  2n.x 2  n.x 2 2

i 1 n

  xi  n.x 2 2

i 1


61

n

1 n 2   xi  n.[ . xi ] n i 1 i 1 n 1 n 2 2   xi  .[ xi ] n i 1 i 1 n 1 1 n 2 2 S  .[ xi  .( xi )2 ] (n  1) i 1 n i 1 2

n 1 1 n 2 S .[ xi  .( xi )2 ] (n  1) i 1 n i 1

b. Dengan menggunakan titik asal deviasi secara abriter / terkaan / koding n 1 1 n 2 S  .[  x i  .(  x i ) 2 ] (n  1) i 1 n i 1 2

S 

n 1 1 n 2 .[  x i  .(  x i ) 2 ] (n  1) i 1 n i 1

Keterangan : X0 = Titik Asal Deviasi Secara Abriter Dari Data xi Contoh : Evaluasi pengukuran lebar block kayu yang akan digunakan sebagai test kekuatan tekan  serta dalam satuan cm.


62

lebar (xi) (cm) 17,3

(xi - )2 (cm)

xi 2 (cm2)

(xi–x01) (cm)

(xi–x01) 2 (cm2)

(xi–x02) (cm)

(xi–x01) 2 (cm2)

6,4009

299,29

0,7

0,49

1,9

3,61

12,4

5,6169

153,76

-4,2

17,64

-3

9

13,6

1,3689

184,96

-3

9

-1,8

3,24

15,4

0,3969

237,16

-1,2

1,44

0

0

14,8

0,0009

219,04

-1,8

3,24

0,6

0,36

16,6

3,3489

275,56

0

0

1,2

1,44

13,9

0,7569

193,21

-2,7

7,29

-1,5

2,25

12,7

4,2849

161,29

-3,9

15,21

-2,7

7,29

16,9

4,5369

285,61

0,3

0,09

1,5

2,25

14,1

0,4489

198,81

-2,5

6,25

-1,5

1,69

147,7

27,161

2208,69

-18,3

60,65

-6,3

31,1

1. Dengan Rumus 1 :

1 n . x i n i 1 1  .147,7  14,77cm 10

x 

S

2

1 n 1 n 2  .[  x i  .(  x i ) 2 ] n i 1 n i 1 1  .27,161  2,7161cm 2 10

S  


1 n 1 n 2 .[  x i  .(  x i ) 2 ] n i 1 n i 1 1 .27,161  1,648cm 10

63

2. Dengan Rumus 2 :

1 n 2 1 n S  .[  xi  .(  xi ) 2 ] n i 1 n i 1 2



1 .[ 2208,69  1 10 .147,7 2 ]  2,7161cm 2 10 1 n 2 1 n .[  xi  .(  xi ) 2 ] n i 1 n i 1

S

 1 10 .[60,65  1 10 .(147,7) 2 ]  1,648cm 3. Dengan Rumus 3 :

1 n 1 n 2 S  .[ (x i  x o 1 )  .[ (x i  x o 1 ) 2 ]] n i 1 n i 1 1  .[60,65  1 10 .( 18,.3) 2 ]  2,7161cm 2 10 2

S  

1 n 1 n 2 .[ (x i  x o 1 )  .[  (x i  x o 1 ) 2 ]] n i 1 n i 1 1 .[60,65  1 10 .( 18,.3) 2 ]  1,648cm 10

2. S2 dan S Distribusi Frekuensi Bergolong Data Populasi

S2 

1 n . (mi  x ) 2 . f i n i 1

S 

1 n . (mi  x ) 2 . f i n i 1


64

Data sampel

S

2

S 

n 1  . (m i  x ) 2 .f i n  1 i 1 n 1 . (m i  x ) 2 .f i n  1 i 1

Keterangan : S2 = Varians S = Standard Deviasi n = Banyaknya Data Pengamatan / Nilai Observasi mi = Tanda Kelas ke i

x = Nilai Rata-Rata fi = Frekuensi ke i k = Banyaknya Data yang Dikelompokkan

Bentuk Lain S2 dan S Distribusi Bergolong, Yaitu Dengan Cara KODING / ABRITER / TERKAAN :

x  x o  u .I 1 k u  . ui . f i n i 1


65

1 k x  xo  [ . u i . f i ].I n i 1 mi  xo  u i .I 1 k S  . (mi  .x ) 2 f i n i 1 (mi  .x )  ( x o  u i .I )  ( x o  u i .I ) 2

 (u i .I )  (u  I )  I .(u i  u ) 1 k (mi  x )  I .(u i  . u i . f i n i 1


66

Disubtitusikan ke rumus S2

S2  

1 k . (m i .x )f i n i 1 1 k 2 1 k . I .(U i  .U i .f i ) 2 .f i n  1 i 1 n i 1

k 1 1 k 2  .I . (U i  .U i .f i ) 2 .f n 1 n i 1 i 1 k 1 1 k 1 k 2 2  .I . (U i  2U i . .U i .f i  .U i .f i ) 2 .f i n 1 n i 1 n i 1 i 1



k 1 1 k 1 k 2 .I 2 . [U i .f i  2U i .f i . .U i .f i  f i .( .U i .f i ) 2 ] n 1 n i 1 n i 1 i 1



k 1 1 k 1 k 2 .I 2 .[ U i .f i  2U i .f i . .U i .f i  n .( .U i .f i ) 2 ] n 1 n i 1 n i 1 i 1



k 1 2 k 1 k 2 .I 2 .[ U i .f i  .( U i .f i ) 2  n .( .U i .f i ) 2 ] n 1 n i 1 n i 1 i 1

S2  S 

k 1 1 k 2 .I 2 .[ U i .f i  .( U i .f i ) 2 ] n 1 n i 1 i 1 k 1 1 k 2 .I 2 .[ U i .f i  .( U i .f i ) 2 ] n 1 n i 1 i 1

Contoh : Hasil pemeriksaan kekuatan tekan beton ( benda uji kubus sisi 15 cm) sesudah 28 hari dengan campuran 1 : 2 : 3 yang dilaksanakan di Lab Uji Bahan Politekik Negeri Jakarta, dalam satuan kg / cm2 .


67

kelas (i) 1

tanda kelas (mi) (kg/cm2) 92,635

frek (fi) 2

(mi - )2 . fi (kg / cm2) 950,48

ui

ui - fi

ui2 . fi

-3

-6

18

2

101,355

5

855,432

-2

-10

20

3

101,075

9

171,0864

-1

-9

9

4

118,795

7

133,0672

0

0

0

5

127,515

4

684,3456

1

4

4

6

136,235

3

1425,72

2

6

12

-15

63

6



4220,1312

i 1

Keteguhan tekan beton Rata – rata (’ bm) =

x  bm  xo  u .I 1 k u  .U i . f i n i 1 1  .( 15)  0,5 30 x  118,795  (0,5).8,72  114,435 kg cm 2  bm


68

STANDAR DEVIASI (S) 1. Menggunakan Rumus 1

1 k S  . (mi  x ) 2 f i n  1 i1 1  .4220,1312  145,52177kg cm 2 30  1 2

S 

1 k . (mi  x ) 2 f i n  1 i1 1 .4220,1312  12,603kg cm 2 30  1

2. Menggunakan Rumus 2 k 1 1 k 2 .I 2 .[ U i .f i  .(U i .f i ) 2 ] n 1 n i 1 i 1 1 1  .(8,7) 2 .[63  .( 15) 2 ] 30  1 30 2  145,52177kg cm

S2 

S 

k 1 1 k 2 2 .I .[ U i .f i  .( U i .f i ) 2 ] n 1 n i 1 i 1

1 1 .(8,7) 2 .[63  .( 15) 2 ] 30  1 30  12,603 kg cm 2 

Setelah ’ bm dan S didapat, dapat ditentukan ’ bk (keteguhan tekan beton karakteristik ) Di Indonesia didalam symposium Beton bulan Januari 1970 dan didalam seminar ke II Tertib Pembangunan Bulan April 1970 telah dsisepakati untuk mengikuti jejak dari CEB ( Praktische Richtlynen Voor de Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

69

Berekening En Uitvoering Van Gewapend- Beton Konstructies “, Beton Vereniging, Den Haag 1966. Apabila harga limit dari keteguhan tekan atau dikenal dengan keteguhan tekan karakteristik kita menyatakan dengan ’ bk , keteguhan tekan rata – rata dari sejumlah besar hasil pemeriksaan adalah ’ bm , deviasi standard adalah S dan loefisien Variasi adalah  . Maka ketguhan tekan karakteristik beton ditentukan oleh persamaan ’ bk

= ’ bm – 1,645 .S

’ bk

= ’ bm – ( 1- 1,645 .d )

Dimana possibility ( = risk) terjadinya keteguhan yang kurang dari harga karakteristik (qi ) terbatas pada 5% (qi = 5%) saja dengan zi = 1,645 (nilai konstanta karena kemungkinan terjadi keteguhan tekan beton kurang dari harga karakteristik / besaran random). CONTOH 2 :

 bk   bm  1,645.S  114,435  1,645.12,063  94,591kg cm 2


70

RANGKUMAN Macam-Macam Pengukuran Variasi : 1. Range 2. Deviasi Kwartil 3. Deviasi Rata-Rata (Simpangan Rata-Rata) 4. Deviasi Standard (Simpangan Standard ) dan varians. Range adalah selisih antara data dengan nilai variable tertinggi dan data dengan nilai variable terendah dari keseluruhan pengamatan data. Deviasi Kwartil adalah pengukuran variasi atas dasar jarak inter kwartil. Pengukuran didasarkan pada jarak K1 dan K3.

Standard deviasi dihitung berdasarkan Berdasarkan rumus dari d , bila penjumlahan dilakukan terhadap (xi -

)2 , maka rata-rata hasil

penjumlahan diatas tidak akan = 0 Pengukuran Varians dan dirumuskan sebagai berikut :

1 n S  . (x i  x ) 2 n i 1 2

Untuk penyimpangan standard / deviasi standard merupakan akar varians :

1 n S  . (x i  x ) 2 n i 1


71

5.6 SOAL 1. Sebutkan macam-macam ukuran variasi? 2. Apa yang dimaksud dengan range, deviasi rata-rata, deviasi kuartil dan standard deviasi? 3. Apa perbedaan standard deviasi populasi dan sampel? Jelaskan! 4. Data volume kendaraan pada ruas jalan tol jakarta-bogor-ciawi untuk 30 hari kerja pada pukul 07.00 s/d 09.00 pada bulan agustus september 2007 Kelas 1 2 3 4 5 6



a. Hitung deviasi kuartil distribusi frekuensi diatas. b. Hitung deviasi rata-rata distribusi frekuensi diatas. c. Hitung standard deviasi dan varians distribusi frekuensi diatas.


72

BAB VI SKUNES, MOMEN DAN KURTOSIS Skunes berasal dari kata ketidaksimetrian atau tidak simetris suatu distribusi. Dalam hal ini distribusi yang tidak simetris disebut sebagai distribusi skued. Pada distribusi simetris nilai mean, median dan modus adalah sama dan membentuk satu garis.

Mean = median = modus

Jika terjadi distribusi tidak simetris atau skued maka ada 2 (dua) kemungkinan yaitu : 1. Skued positif 2. Skued negatif

6.1 DISTRIBUSI SKUED POSITIF Yang dimaksud dengan distribusi skued positif adalah jika niali mean terbesar, nilai modus yang terkecil dan nilai median berada diantara nilai harga mean dan nilai modus. Dengan kata lain :


73

Mean > median > modus

Modus Median Mean Untuk mudah diingat distribusi skued positif adalah jika ekor dari kurva landai ke arah kanan.

DISTRIBUSI SKUED NEGATIF Yang dimaksud dengan distribusi skued negatif adalah jika nilai modus terbesar sedangkan nilai mean yang terkecil, sedangkan nilai median berada diantara modus dan mean

Mean < median < modus

Modus

Median

Mean

Untuk mudah diingat skued negatif jika ekor dari kurva landai ke arah kiri. Hasil perhitungan skunes akan memberi informasi yang biasanya merupakan pengganti hasil perhitungan tendensi sentral dan dispersi yang tidak gagal. Dua distribusi dapat saja memberikan harga mean dan deviasi standard yang sama, tetapi masih tetap berbeda di dalam formasinya. Informasi ini diberikan oleh skunes.


74

6.3 PENGUJIAN SKUNES Skunes ada di dalam distribusi jika memenuhi beberapa persyaratan sebagai berikut :Nilai dari harga mean, median dan modus tidak berdempetan. Kuartil tidak berjarak sama dari median, yang mana adalah : (K3 – Med) tidak sama dengan (Med – K1) Jumlah median deviasi positif tidak sama dengan jumlah median deviasi negatif. Frekuensi modus pada kedua sisi tidak sama. Jika nilai – nilai itu digambarkan pada kertas grafik tidak membentuk kurva distribusi normal yang berbentuk seperti bel. Ini berarti jika dibagi dua bagian ditengah-tengah akan menghasilkan kurva yang tidak sah.

6.3.1 KOEFISIEN SKUNES KARL PEARSON Cara menghitung koefisien skunes menurut Karl Pearson didasar pada fakta bahwa pada : 1. distribusi simetris, mean = modus 2. skued positif, mean > modus 3. skued negatif, mean < modus

Koefisien Skunes =

mean  mod us Sd

Jika modus sulit ditemukan pada distribusi frekuensi tertentu, maka dapat digunakan rumus modus empiris untuk rumus diatas : Modus empiris = 3 median = 2 mean


75

Dengan demikian maka ;

mean  mod us mean  3median  2mean = Sd Sd

Koefisien Skunes =

=

Koefisien Skunes =

3mean  3median 3mean  median = Sd Sd

3(mean  median) Sd

Hasil perhitungan Koefisien Skunes dengan menggunakan cara ini akan memberikan kuantiats nilai dan arah dari skunes yang diberikan di dalam distribusi. Secara praktis nilai dari koefisien ini akan berada pada nilai -1 (skued negatif) dan +1 (skued positif). Untuk nilai distribusi simetris koefisien skunes = 0.

6.4 MOMEN Momen adalah suatu perangkat yang digunakan untuk melakukan penelitian dalam statistik, yaitu untuk mempelajari distribusi statistik skunes dan kurtoris. Momen dari suatu distribusi adalah perhitungan menengah dari variasi pangkat deviasi cacah yang berupa bilangan. Untuk data dalam bentuk deretan individu, momen ke r di sekitar harga rata-rata di beri lambing µr, yang dinyatakan sebagai berikut : n

( X1  X ) µr =

i 1

n

r

(X  X ) =

r

n

Dengan r = 1,2,3,…


76

Dimana x1,

x2,x3, …xn adalah nilai kuantitas variable yang memenuhi

persamaan diatas. Untuk dalam bentuk distribusi frekuensi digunakan hubungan sebagai berikut :

n

 fi( X 1  X ) µr =

r

i 1

n

 fi( X  X ) =

r

n

Dimana fi adalah frekuensi dari (1 < I < n) Jika nilai variable diketahui dalam bentuk kelas maka titik menengahnya diambil sebagai variable (x). Dari definisi maka :

µ1 =

(X  X ) 0  0 = =

n

n

Oleh karena penjumlahan cacah deviasi rata-rata adalah selamanya = 0. Untuk setiap distribusi µ1 = 0, maka,

µr = =

(X  X )

2

n

Pada dasarnya µ2 adalah Standard Deviasi pangkat dua (Sd2) atau = Varians.Dengan demikian untuk setiap distribusi µ2 = Varians. 6.5 KURTOSIS Untuk suatu distribusi walaupun sudah dapat ditentukan tendensi sentral, dispersi dan skunes, pada dasarnya belum diperoleh gambaran lengkap dari distribusi yang diberikan. Pada kenyataannya masih diperlukan satu lagi perhitungan yang menurut Karl Pearson disebut sebagai Kurva Flatness atau Kurva Convexity atau Kurva Kurtosis. Kurtosis dapat memberi gambaran tinggi rendahnya bentuk kurva normal atau distribusi normal apakah itu berbentuk seperti lonceng ataukah landai seperti bukit, sehubungan dengan ini KarPearson memberi koefisien ß2. Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

77

Leptokurtik ß2 > 3 Normal (Mesokurtik) ß2 = 3 Platikurtik ß2 < 3

Koefisien kurtosis = ß2 = ( m4/m22 )

Dimana : m4 = momen 4 m2 = momen 2 Pengujian normalitas data dengan koefisie kurtosis persentil dihitung dengan rumus : K=

!/ 2( K 3  K1) P90  P10

Dimana = K3 = kuartil ketiga K1 = Kuarti kesatu P10 = Persentil kesepuluh P90 = Persentil ke – 90 Kriteria :

Jika K = 0,263 atau mendekati 0263 maka datanya berdistribusi normal atau mendekati distribusi normal. Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

78

6.6 RANGKUMAN Skunes berasal dari kata ketidaksimetrian atau tidak simetris suatu distribusi. Distribusi yang tidak simetris disebut sebagai distribusi skued. Distribusi skued positif adalah jika niali mean terbesar, nilai modus yang terkecil dan nilai median berada diantara nilai harga mean dan nilai modus. Distribusi skued negatif adalah jika nilai modus terbesar sedangkan nilai mean yang terkecil, sedangkan nilai median berada diantara modus dan mean

Koefisien Skunes =

3(mean  median) Sd

Momen adalah suatu perangkat yang digunakan untuk melakukan penelitian dalam statistik, yaitu untuk mempelajari distribusi statistik skunes dan kurtoris. Kurtosis dapat memberi gambaran tinggi rendahnya bentuk kurva normal atau distribusi normal apakah itu berbentuk seperti lonceng ataukah landai seperti bukit, sehubungan dengan ini KarPearson memberi koefisien ß2


79

6.7 SOAL 1. Apa yang dimaksud dengan distribusi skued? 2. Bagaimanakah hubungan antara mean, median dan modus pada distribusi skued positif dan skued negatif! 3. Data volume kendaraan pada ruas jalan tol jakarta-bogor-ciawi untuk 30 hari kerja pada pukul 07.00 s/d 09.00 pada bulan agustus september 2007 Kelas 1 2 3 4 5 6



a. Hitung koefisien skunes distribusi frekuensi diatas. b. Bagaimanakah gambaran bentuk kurva normal dari distribusi frekuensi diatas.


80

BAB VII DISTRIBUSI NORMAL Histogram seperti ditunjukan dalam contoh-contoh terdahulu tidak memberikan kesempatan pada kita untuk dapat mengadakan interprestasi secara seksama, oleh sebab itu fungsi tangga tersebut direalisasikan menjadi fungsi teoritis menurut suatu persamaan matematik tertentu. Didalam matematik statistik dikenal berbagai fungsi distribusi hasil pemeriksaan, dimana fungsi Distribusi Normal adalah yang sering digunakan. Distribusi Normal atau Distribuai Gauss ditemukan oleh Gauss dan dipublikasikan tahun 1809 hingga sekarang. Distribusi normal merupakan hukum probabilitas yang mendasari semua Variable Kontinu. Suatu variable random kountinu xi dikatakan berdistribusi normal dengan mean

dan

2

varians S . Apabila variable itu mempunyai fungsi probabilitas yang berbentuk :

 f .(x

).dx i 

1  1 S 2 .( x i .x ) 2

.e 2 .S 2 2 2 ( x i .x ) 11 S . S .e  f .(x i ).dx i  2 . i

Keterangan : xi = nilai variable ke i S2 = variansi S = standard deviasi = nilai rata-rata e

= 2,718



= 3,14


81

Jika fungsi probabilitas itu digambar, maka kita peroleh grafik yanng dinamakan kurva normal, seperti dibawah ini :

f (xi) 100 %

xi Dengan memperhatikan kurva kita peroleh sifat-sifat kurva, sebagai berikut : 1.

Harga Modus, yaitu harga sumbu x dengan kurvanya, maksimum terletak pada x =

.

2.

Kurva normal simetris terhadap sumbu vertikal melalui

.

3.

Kurva normal mempunyai titik belok pada x =

4.

Kurva normal memotong sumbu mendatar secara ASIMITOSIS.

5.

Luas daerah diantara kurva normal dan sumbu mendatar = 1 atau

 S.

100% (secara singkat dikatakan luas kurva normal = 1) Luas bagian-bagian kurva normal merupakan harga probabilitas , yang akan mendapatkan harga xi yang membatasi luas bagian itu. Luas bagian-bagian kurva normal merupakan dapat dihitung dengan menghitung harga integral f (xi) dalam batas harga-harga x. Misalnya luas kurva normal seluruhnya, yaitu luas antara x = -  dan x = 

(x i .x ) 2 11 S . S .e adalah:  f .( x i ).dx i  2 . 2

Luas bagian kurva normal antara xi = a dan xi = b atau probabilitas harga x antara a dan b yang dapat ditulis P (a  x  b), adalah:


82

a

P . (a  x  b) =



f (xi) . dxi

b

Kurva normalnya, sebagai berikut:

f (xi)

a

b

xi

Integral ini selalu dapat dihitung dengan x dan S diketahui. Tetapi menghitung P (a  x  b) dengan cara integral fungsi diatas tidak praktis. Maka untuk itu ditemukan suatu cara lain yang lebih mudah, yaitu dengan menggunakan tabel luas kurva normal standard yang mempunyai

= 0 dan

S = 1 atau disebut “Distribusi Normal Standard ” Apabila suatu kurva normal dengan

 0 dan S  1 untuk menggunakan

tabel (Tabel A) maka skala kurva normal xi harus diubah menjadi skala zi (besaran random variable tidak berdimensi yang mengikuti distribusi normal dari GAUSS dengan x = 0 dan S = 1). Rumus :

zi 

xi x S

z dapat dilihat di tabel A Contoh : = 114, 435 kg/cm2 S

= 12,063 kg/cm2


83

Pa Pb

x

a = 100

b = 120

xi kg/cm2

= 114, 435 S

=

12,063

P (100  xi  120) kg/cm2 = Pa + Pb

Za  

a  x 100  114,435   1,20 S 12,063

Pa = 0,3849 = 38,49%

Zb  

b  x 120  114,435   0,46 S 12,063

Pb = 0,1772 = 17,72%

2.

x

Pa

Pb

a=120

b=135 xi kg/cm2

= 114, 435 S

=


12,063

84

P (120  xi  135) kg/cm2 = Pa - Pb

b  x 135  114,435   1,70 S 12,063

Zb  

Pb = 0,4554 = 45,54 %

Za  

a  x 120  114,435   0,46 S 12,063

Pa = 0,1772 = 17,72%

P (120  xi  135) = 45,54 % - 17,72 % = 27,82 % 3.

Pa

a = 100 x

xi kg/cm2

= 114, 435 S

=

12,063

P (xi  100) kg/cm2 = 50 % - Pa

Za  

a  x 100  114,435   1,20 S 12,063

Pa = 0,3849 = 38,49%

P (xi  100) = 50 % - 38,49 % = 11,51% Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

85

4.

Pa

a = 100 x

xi kg/cm2

= 114, 435 S

=

12,063

P (xi  100) kg/cm2 = 50 % + Pa

Za  

a  x 100  114,435   1,20 S 12,063

Pa = 0,3849 = 38,49%

P (xi  100) = 50 % + 38,49 % = 88,49 %

7.1 CARA MEMBUAT LENGKUNG DISTRIBUSI NORMAL Garis lengkung yang menggantikan suatu histogram dinyatakan dengan persamaan

(x i .x ) 2 1 .1  1 2 . .e S S f (x i )  Y  2 yi = Dapat Dilihat Pada Tabel B I = Interval Kelas

Lengkung Distribusi Normal :


86

f (xi) = Yi = I / S . yi

xi =

- zi . S

xi =

- zi . S

Menentukan ordinat lengkung Distribusi Normal dari Histogram yang diketahui. xi =

- zi .

zi

yi

Yi = I / S . yi

S 0 0,5 1 1,5 2

Keterangan : zi = Besaran random variable tak berdimensi yang mengikuti distribusi normal dan GAUSS dengan

= 0 dan S = 1 dalam urutan absis ke

i. yi = Ordinat dari fungsi distribusi normal dalam urutan absis ke i Yi = Dimulai dari 0 dan seterusnya, diambil dengan interval yang sama, semakin kecil interval zi semakin kecil teliti lengkung distribusi normal. Sehubungan bentuk lengkung distribusi normal adalah simetris, maka dalam pembuatan legkung distribusi normal cukup dihitung ordinatnya ½ bagian, yaitu untuk zi positif atau negative.


87

=114, 435 kg/cm2, S=12,063 kg/cm2, I=8,720 kg/cm2 Contoh : ’ bi = xi Lengkung Distribusi Normal dan Histogram hasil pemeriksaan keteguhan tekan beton (benda uji kubus sisi 15 cm) sesudah 28 hari dengan campuran 1 : 2: 3 yang dilaksanakan di laboraturium Pengujian Bahan Politeknik UI dalam satuan kg/cm2. ’ bi =T’bm + zi . S (kg/cm2 ) ’ b1 = 114,435 + 0 . 12,063 = 114,435 ’ b2 = 114,435 + 0,5 . 12,063 = 120,4665 ’ b3 = 114,435 + 1 . 12,063 = 126,498 ’ b4 = 114,435 + 1,5 . 12,063 = 132,5295 ’ b5 = 114,435 + 2 . 12,063 = 138,561 ’ b6 = 114,435 + 2,5 . 12,063 = 144,5925 0,30

frekuensi

0,25

zi

yi

Yi = I / S . yi

0

0,399

0,5

0,352

1

0,242

1,5

0,1295

2

0,054

2,5

0,0175

Y1 = 8,72 / 12,063 . 0,399 = 0,29 Y2 = 8,72 / 12,063 . 0,352 = 0,25 Y3 = 8,72 / 12,063 . 0,242 = 0,17 Y4 = 8,72 / 12,063 . 0,1295 = 0,09 Y5 = 8,72 / 12,063 . 0,054 = 0,04 Y6 = 8,72 / 12,063 . 0,0175 = 0,01

0.29 0.25

0,20 0.017

0,15 0,10 0,05

0.09 0.04 0.01

0,00

114,435 120,467 126,498 132,530 138,561 144,593



88

Luas antara lengkung Distribusi Normal dengan garis ’ bi = 1 atau 100%.Kalau dikembalikan lagi pada rumus keteguhan tekan beton karakteristik ’ bk = ’ bm – zi . S , dimana zi = 1,645 (dari tabel C). Pki

Pka

qi = ½ . (100 – Pi)

Pi

qi

qi ’ bki = ’ bm – zi . S x = ’ bm

’ bka = ’ bm + zi . S

Nilai zi = 1,645 disebabkan resiko terjadinya keteguhan tekan beton yang kurang dari harga karakteristik q = 5 %, maka prosentasi jatuhnya hasil pemeriksaan Pi = 90 %. Pi (’ bki  ’ bi  ’ bka) kg/cm2 = Pki + Pka

 b ki   b m  z i .S  114,435  1,645.12,063  94,591kg cm 2

 b ki   b m  z i .S  114,435  1,645  12,063  134,279 kg cm 2 Pi (94,59  ’ bi  134,279) kg/cm2 = Pki + Pka

z ki  

 b ki   b m 94,591 114,435   1,645 S 12,063 Pki = 0,4505

= 45,05 %


89

z ka  

 b ka   b m 134,2791 114,435   1,645 S 12,063 Pka = 0,4505

= 45,05 %

Pk i  Pk a Pi

(94,59



’

bi



kg/cm2

134,279)

 45,05%  45,05%  90,10%  90%

q i  1 2 .(100  Pi )%  1 2 .(100  90)%  5% 7.2 RANGKUMAN Distribusi normal merupakan hukum probabilitas yang mendasari semua Variable Kontinu. Suatu variable random kountinu xi dikatakan berdistribusi normal dengan mean

dan varians S2.

Garis lengkung yang menggantikan suatu histogram dinyatakan dengan persamaan

(x .x ) 2 1 .1  1 2 . i .e S S f (x i )  Y  2


90

7.3 SOAL 1. Apa yang dimaksud dengan distribusi normal? 2. Bagaimanakah cara membuat distribusi normal? 3. Data volume kendaraan pada ruas jalan tol jakarta-bogor-ciawi untuk 30 hari kerja pada pukul 07.00 s/d 09.00 pada bulan agustus september 2007 Kelas 1 2 3 4 5 6

Tanda Kelas (mi) (dalam ratusan) 17 28 39 50 61 72


c. Gambarkan distribusi normal dari distribusi frekuensi diatas. d. Hitung persentase distribusi -

(xi < 60)

-

(xi > 60)

-

(30>xi > 60)


91

BAB VIII ANALISIS REGRESI Salah satu tujuan analisa data ialah untuk memperkirakan /memperhitungkan besarnya efek kuantitatif atau hubungan dari perubahan suatu variable lainnya. Contoh nyata dari hubungan tersebut dalam kehidupan sehari – hari antara lain : 1. Besarnya biaya perawatan kendaraan sebagai akibat dari banyaknya kilometer yang sudah dijalani. 2. Banyaknya perjalanan perhari yang dilakukan suatu rumah tangga sebagai akibat dari pemilikan kendaraan dan jumlah orang dewasa di dalam rumah tangga tersebut. 3. Produktifitas kerja dalam taraf tertentu tergantung pada efisiensi dan efektivitas kerja. Berdasarkan contoh diatas terlihat mana : 1. Variabel Bebas : yang mempengaruhi → Independent variable/variable predictor → lambang “x” 2. Variable terikat → yang dipengaruhi → dependent variable/variable kriterium → lambang ”y” Untuk membuat ramalan (forecasting) x dan y diukur dengan suatu nilai yang disebut koefisien korelasi, sedangkan besarnya pengaruh x dan y diukur dengan koefisien regresi. Hubungan yang diperoleh antara variablevariable tesebut dinyatakan dalam persamaan matematik yang dinyatakan hubungan fungsional Hubungan fungsional antara : 1. Satu variable predictor dan satu variable kriterium disebut analisis regresi tunggal 2. Lebih dari satu variable disebut analisis regresi ganda Fungsi analisis regresi Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

92

1. Untuk mendapatkan hubungan fungsional antara dua variable atau lebih atau untuk mendapatkan pengaruh antara variable predictor terhadap variable kriterium. 2. Untuk meramalkan pengaruh variable predictor terhadap variable kriterium

8.1 PERSAMAAN ANALISIS REGRESI Dalam statistika untuk unutk menyimpulkan data populasi biasanya digunakan data sampel. Dalam analisis regresi hubungan fungsional yang diharapkan berlaku untuk populasi berdasarkan data sampel yang diambil dari populasi yang bersangkutan

→ hubungan fungsional tersebut dalam

persamaan matematis disebut persamaan regresi. Regresi dengan x merupakan variable bebas dan y merupakan variable tak bebas → dinamakan regresi y atas x, sebaliknya regresi x atas y

Dimana yˆ  a: b.x Ŷ (baca ye topi) = variable kriterium X = variable predictor a = bilangan konstan b = koefisien arah regresi linier Koefisien arah regresi dinyatakan dengan huruf b yang juga menyatakan perubahan rata-rata variable y untuk setiap variable x sebesar satu bagian. Bila harga b positif → variable y akan mengalami kenaikan atau pertambahan Bila harga b negatif → variable y akan mengalami penurunan

8.2 METODE TANGAN BEBAS Metode ini menggunakan metode kira-kira menggunakan diagram pencar berdasarkan hasil pengamatan. Data digambarkan dengan sumbu datar → x dan sumbu tegak → y. Bentuk regresi diperkirakan berdasarkan Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

93

letak titik-titik. Jika letak titik-titik sekitar garis lurus cukup beralasan menduga regresi linier. Jika letak regresi sekitar garis lengkung cukup beralasan menduga regresi non linier. Regresi linier ditarik secocok mungkin dengan letak titik-titik → persamaan ditentukan dengan menggunakan 2 (dua) titik yang dilalui.

Contoh : y

Vol. kend .

x

. .

. .

. .

a

. .

y

. .

regresi linier

.

b

y x

. .

ŷ = a + b.x 0

Kecepatan Kendaraan

x

Diagram pencar menunjukkan model lengkung, regresi digambarkan secocok mungkin dengan ketak titik-titik dengan persamaan parabola, pangkat dua atau bentuk lain. Regresi

ini

memberikan

perkiraan

yang

berbeda

sesuai

dengan

pertimbangan pribadi


94

y

Regresi lengkung . . .

. . . .

. .

.

. .

. .

0

. .

x

8.3 METODE KUADRAT TERKECIL (LEAST SQUARE METHODE) Metode kuadrat terkecil merupakan metode persamaan regresi yang biasanya digunakan untuk mencari hubungan garis lurus. Cara ini berpangkat pada kenyataan bahwa jumlah pangkat 2 (kuadrat dari jarak antara titik-titik dengan garis regresi yang sedang dicari harus sekecil mungkin.Untuk sebuah variable bebas “x” dan variable tak bebas “y” didapat persamaan regresi untuk model regresi linier populasi :

. y.x  1   2 .x Akan ditaksir harga θ1 dan θ2 oleh a dan b. Sehingga didapat persamaan regresi menggunakan model regresi data sampel :

yˆ  a  b.x

→ regresi x atas y

Data hasil pengamatan dicatat dalam susunan seperti di bawah ini.


95

Variablet ak bebas (y) y1

Variable bebas(x) X1

y2

X2

.

.

.

.

.

.

yn

Xn

Koefisien-koefisien regresi a dan b untuk regresi linier dapat dihitung dengan rumus : Koefisien regresi x atas y

 yi xi    xi xi. yi a n. xi    xi 2

2

2

b

n. xi. yi   xi yi





n.  xi 2   xi

2

Jika koefisien b dihitung terlebih dahulu, maka koefisien a dapat dihitung dengan rumus :

a  y  b.x Dimana : ỹ = rata-rata variable tak bebas x = rata-rata variable bebas Persamaan regresi y atas x

xˆ  c  d. y


96

Koefisien regresi y atas x :

 xi yi    yi xi. yi c n. yi    yi 2

2

2

d

n. xi. yi   xi yi





n.  yi 2   yi

2

Estimasi Dari Varians “S2 Y. X” Varians dari komponen kesalahan, S2 y. x mempunyai pengaruh terhadap ketelitian dari parameter regresi. Besarnya varians, S2 y. x semakin besar kesalahan prediksi parameter dan semakin tidak teliti prediksi y sebagai fungsi variable x. Dalam kebanyakan kasus, S2 y. x tidak diketahui besarnya, untuk mengestimasi harga tersebut maka S 2 y. x dapat dihitung :

S 2 y.x  Se 2

Dimana :

  yi  yî  

2

n2

n – 2 = derajat kebebasan untuk kesalahan

Contoh : Tentukan nilai regresi dan nilai varians kekuatan geser sebagai fungsi linier dari kedalaman.


97

No. Benda Kedalaman (ft) Kekuatan geser (kst) uji xi yi 1 6 0.28 2

8

0.58

3

14

0.50

4

14

0.83

5

18

0.71

6

20

1.01

7

20

1.29

8

24

1.50

9

28

1.29

10

30

1.58

Σ=

182

9.57

1.

ŷ = a + b.x

2.

b

3.

a  y  b.x

n. xi. yi   xi yi





n.  xi 2   xi

2

  yi  yî  

4.

S y.x  Se

5.

x

1  182  18.2 10

6.

y

1  9.57  0.957 10

2


2

2

n2

98

No.

xi.yi

xi2

yi2

ŷi = a + b xi (yi – ŷi) (yi – ŷi)2

1

1.68

36

0.078

0.325

-0.045

0.0020

2

4.64

64

0.336

0.429

0.151

0.0228

3

7.00

196

0.250

0.739

-0.239

0.0571

4

11.63

196

0.689

0.739

0.091

0.0083

5

12.78

324

0.504

0.946

-0.236

0.0557

6

20.20

400

1.020

1.049

-0.039

0.0015

7

25.80

400

1.662

1.049

0.241

0.058

8

36.00

576

2.250

1.257

0.243

0.0590

9

36.10

784

1.662

1.463

-0.173

0.0299

10

47.40

900

2.445

1.566

0.014

0.0002

Σ = 203.23 3876 10.946

b

10.203.32  1829.57 10.3876  182

2

0.2945

 0.0516

a  y  b.x = 0.957 – (0.0516)(18.2) = 0.018 Persamaan regresi kekuatan geser sebagai fungsi kedalaman adalah : Ŷ = 0.018 + 0.0516 x

S 2 y.x 

0.2945  0.0368 → Estimasi Varians 10  2

Sy.x  0.368  0.192 → estimasi standar deviasi (simpangan baku) Kesalahan Prediksi = 0.192 Persamaan regresi bisa digunakan untuk menaksir kekuatan geser dari kedalaman 6 kaki sampai 30 kaki.


99

Persamaan ini dapat digunakan untuk kedalaman > 30 kaki jika kecenderungan linier dapat dipertanggungjawabkan → berdasarkan alasan fisik (misal : jenis tanah sama) Secara grafis, garis linier yang dapat ditunjukkan oleh garis berikut. Jika dituluskan kisaran + Sy.x dari garis ini menghasilkan suatu pita selebar satu deviasi standar (simpangan baku) dari setiap garis tepi garis linier. y k e k u a 2 t a 1.5 n 1 g e 0.5 s e r 0

. . . .

. . ŷ = 0.018 + 0.0516 .

.

. . .

.

Sy.x = 0.192

.

. x 10

20

30 Kedalaman (ft)

8.4 TES DAN EVALUASI MODEL REGRESI Persamaan regresi yang dihasilkan dari metode kuadrat terkecil dapat dites terhadap beberapa keadaan : 1. Apakah variable bebas x betul mempunyai koreksi yang baik dengan variable tak bebas y. Jika x tidak mempunyai koreksi yang dekat dengan y maka x tidak menyumbang informasi apapun terhadap prediksi harga y → kemiringan dari regresi b = 0, untuk melihat kemungkinan tersebut perlu diadakan tes untuk melihat apakah b = 0. 2. Evaluasi terhadap b dapat dilakukan dengan menghitung “confidence intervalnya”


100

3. Kegunaan model regresi (goodness of fit). Dilihat dari koefisien korelasi diantara tiap-tiap variable dan koefisien variasinya. 1. Interval Kepercayaan Sehubungan Dengan Regresi Linier / Confidence Interval (Distribusi T / Student) Confidence interval untuk parameter a / 100.(1-  )% CI

a  t .S a

 Analisa varians 1 arah

Confidence interval untuk parameter b / 100.(1-  )% CI

b  t .Sb

 Analisa varians 1 arah

t

didasarkan atas degree of freedom / derajat kebebasan (df) = (n-2) dan  = 5% = 0.05  taraf signifikan Jika semua interval b positif ini berarti bahwa harga b akan positif  harga Y yang diharapkan akan bertambah besar apabila X bertambah Contoh :

t

dilihat dari table

 = 5 % = 0.05

t

di dapat  = 2.306 df = (n-2) = (10 – 2) = 8 Jadi :

a  t .S a = 0.018  batas bawah batas atas

= 0.018 – 2.306 . 0.16 = -0.35 = 0.018 + 2.306 . 0.16 = 0.39

b  t .Sb = 0.0516  batas bawah


2.306 . 0.16

2.306 . 8.06 . 10-3

= 0.0516 - 2.306 . 8.06 . 10-3 = 0.033

101

= 0.0516 + 2.306 . 8.06 . 10-3 =0.07

batas atas

Nilai a = 0.018 memenuhi kriteria interval batas Nilai b = 0.0516 memenuhi kriteria interval batas 2. Menguji Independent X Dan Y, Tepatnya Pengujian Hipotesa / H0 : B =0, Dapat Ditempuh Dengan Menggunakan Analisis Varians  Dengan Distribusi F (Flourence) Jumlah kuadrat semua nilai individu

Y  Y 2 ,

dipecah menjadi 3

bagian sumber yaitu :

Yi 2 

 Yi  n

2



 b.  X i  X  . Yi  Y    Yi  Yî

(1)

(2)



2

(3)

  X i  . Yi   b  X i .Yi   n   Dimana :

Yi 2

= jumlah kuadrat-kuadrat total

(1)

= Jumlah kuadrat-kuadrat karena regresi a

(2)

= Jumlah kuadrat-kuadrat karena regresi b|a

(3)

= Jumlah kuadrat-kuadrat residu / penyimpangan sekitar regresi

Rumus diatas dapat ditulis

Yi 2  JK a  JK  b a   JK Re s

Tiap jumlah kuadrat-kuadrat (JK) mempunyai derajat kebebasan (dk) masing-masing yaitu :


102

n 

Yi 2

1 

JK a

1 

JK  b a 

(n - 2) 

jika tiap JK dibagi oleh dk – nya masingmasing, maka dapat diperoleh  kuadrat tengahnya (KT) untuk tiap sumber variasi

JK Re s

Untuk memudahkan perhitungan dibuat daftar analisa varians (ANOVA) untuk regresi linier sederhana Sumber variasi

dk

JK

Regresi (a)

1

 Yi 

KT

F

Sreg  JK  b a 

2 S Re g

2

n Regresi (b|a)

1

Residu

(n-2)

Jumlah

n

F

JK  b a 



 Yi  Yî

Yi 2



2

S Re s 



 Yi  Yˆ



2

2 S Re s

 n  2

-

-

2 SRe g 2 SRe s

ternyata berdistribusi F dengan dk pembilang 1 dan dk

penyebut (n-2)  berdasarkan hipotesa H0 : b = 0 ditolak jika F  F1 (1 ) (1.n-2) dan diterima jika sebaliknya


103

Contoh : Sumber Dk variasi Regresi (a)

1

Regresi (b|a)

1

Residu Jumlah

JK

 Yi 

KT 9.572  10

2

n

8

JK  b a 



 Yi  Yî



1.49

2 SRe g

S 2

2 Re s



-

Regresi (a) → n = 10 →

1.49  40  F 0.0368

0.0368

Yi 2

10

F

-

9,57  0.957 10

 

Regresi (b/a) → 0,0516203,23 

182  9,57  1,49 10

 

Residu → 0,0368

S 2 reg 1,49   40 2 S res 0,0368 Nilai F  F1 (1- 

) (1.n-2)

dilihat dari table di dapat nilai F = 5.32

Ternyata 40 > 5.32  F  F1 (1- 

) (1.n-2)

Maka : H0 dengan B=0 ditolak berarti regresi linier 3. Koefisien korelasi Untuk menentukan seberapa kuat hubungan fungsional antara variablevariable pada persamaan regresi maka perlu ditentukan derajat hubungan variable-variable. Studi yang membahas tentang derajat hubungan antara variable-variable dikenal dengan nama analisis korelasi. Ukuran yang dipakai untuk mengetahui derajat hubungan terutama untuk data kuantitatif disebut koefisien korelasi


104

Korelasi dalam regresi linier Koefisien korelasi r berdasarkan sekumpulan data (xi, yi) berukuran n dapat digunakan rumus :

r

n xi. yi   xi  yi 

n xi

2



  xi  n yi 2   yi  2

2



Bentuk lain dapat digunakan

r  1  S 2 y.x S 2 y r2 = koefisien determinasi Jika persamaan regresi linier y atas x telah ditentukan dan sudah didapatkan koefisien arah b, maka koefisien determinasi r2, dapat ditentukan dengan rumus sbb :

r2 





b n xi. yi   xi yi n yi 2   yi

2

Dari rumus diatas dapat diturunkan rumus koefisien korelasi :

r  b.Sx / Sy Koefisien korelasi r merupakan akar dari koefisien determinasi r2 Dari rumus diatas berlaku 0 < r2 < 1 Sehingga untuk koefisien korelasi -1 < r < +1 Harga r = -1 → hub. Linier sempurna tak langsung Harga r = +1 → hub. Linier sempurna langsung Harga r = 0 → tidak terdapat hub. Linier Harga – harga r lainnya bergerak antara -1 dan +1 Tanda negatif → korelasi tak langsung Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

105

Tanda positif → korelasi langsung Estimasi dari varians → ssti simpangan baku → kesalahan prediksi

  yi  yî  

2

S y.x  S .e 2

2

n  2

Dimana : yi = variable tak bebas hasil pengamatan ŷi = di dapat dari regresi berdasarkan sampel n = Ukuran sampel S2y.x dapat ditulis :

 n 1  2 2 2 S 2 y.x    S y b S x n2





Dimana : S2y = Varians untuk variabel y S2x = Varians untuk variabel x Setelah estimasi dari varians atau rata-rata kuadrat penyimpangan sekitar regresi / rata-rata kuadrat residu, Se2 diketahui maka-maka varians – varians lain untuk regresi linier sederhana dapat ditentukan Varians koefisien regresi b S 2b 

S 2 y.x

 xi  x 

2

Varians koefisien regresi a

1  x2  S a  S y.x   2 n   xi  x   2

2


106

Varians ramalan rata-rata y untuk Xo yang diketahui 2 1  xo  x    S yˆ  S y.x   2  n  xi  x   2

2

Varians ramalan individu y untuk Xo yang diketahui 2  1  xo  x     S y.x 1   2 n   xi  x  

S yˆ i  2

2

Contoh :

Analisis regresi populasi penduduk cibubur No

tahun (xi)

populasi (yi)

xi.yi

yi2

1

2000

58.045

116090000

3369222025

2

2001

58.165

116388165

3383167225

3

2002

58.878

117873756

3466618884

4

2003

59.160

118497480

3499905600

5

2004

59.577

119392308

3549418929

10010

293.825

588241709

17268332663

Korelasi

b=

n (∑ x i

y i ) - (∑ x i ∑ y i )

(∑ xi )- (∑ yi ) 2

n

n

=5

∑Xi.Yi

= 588.241.709

∑Xi.

= 10010

∑Yi

= 293.825


2

=

5.( 588.241.709 ) - ( 10010 x 293.825 ) 5.(20.040.030) - (10010)2

= 405.9

107

∑Yi²

r2 =

= 17.268.332.663

b(n.∑ Xi.Yi) - (∑ Xix ∑ Yi) (nx ∑ Yi 2 ) - (∑ Yi )2

r² = 0.964 r = 0.9825 Harga r = +1 → hub. Linier sempurna langsung

8.5 REGRESI NON LINIER Jika persamaan regresinya non linier maka perlu memperbaikinya dengan persamaan regresi non linier. Beberapa model persamaan regresi non linier : 1. Parabolik Kuadratik

yˆ  a  b.x  c.x 2 Dengan menggunakan metode kuadrat terkecil maka a, b dan c dapat dihitung dari sistem persamaan :

 yi  n.a  b xi  c xi  xi. yi  a xi  b xi  c xi  xi . yi  a xi  b xi  c xi 2

2

2

2

3

3

4

b. Parabolik Kubik

yˆ  a  b.x  c.x 2  d .x 3 Untuk menentukan koefisien a, b, c dan d digunakan persamaan sebagai berikut :


108

 yi  n.a  b xi  c xi  d  xi  xi. yi  a xi  b xi  c xi  d  xi  xi . yi  a xi  b xi  c xi  d  xi  xi . yi  a xi  b xi  c xi  d  xi 2

2

3

3

4

2

2

3

4

5

3

3

4

5

6

c. Model Exponen

yˆ  a.b X Dalam logaritma, persamaannya menjadi :

log yˆ  log a  log b.x Maka a dan b dapat dicari dari :

log a  log b 

 log yi  log b  xi 

 n    n xi. log yi    xi log yi  n

n xi 2   xi

2

Model exponen sering pula disebut model pertumbuhan, model persamaannya menjadi :

yˆ  a.e bx e = bilangan pokok logaritma = 2.7183 Persamaan diatas menjadi :

ln yˆ  ln a  b.x Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

→ linier dalam x dan ln y 109

Sehingga a dan b dapat dihitung sbb :

log yˆ  log a  0.4343b.x

d. Model Geometrik

yˆ  a.x b Jika diambil logaritmanya, maka :

log yˆ  log a  b log x Koefisien a dan b dapat dicari dari :

log a 

 log yi  b  log xi

n n n log xi. log yi    log xi  log yi 

e. Model Logistik

b





n  log 2 xi   log xi 

yˆ 

2

1 a.b x

untuk ŷ ≠ 0 maka persamaan diatas dapat ditulis :

1  a.b x yˆ


110

Jika diambil logaritmanya, maka :

1 log   log a  log b x  yˆ  f. Model Hiperbola

yˆ 

1 a.  b.x

Untuk ŷ ≠ 0 maka persamaan di atas dapat ditulis :

1  a  b.x yˆ


111

8.6 RANGKUMAN Analisis regresi digunakan untuk mendapatkan hubungan fungsional antara dua variable atau lebih atau untuk mendapatkan pengaruh antara variable prediktor terhadap variable kriterium. Persamaan regresi dengan x merupakan variable bebas dan y merupakan variable tak bebas dinamakan regresi y atas x,

yˆ  a  b.x Metode ini menggunakan metode kira-kira menggunakan diagram pencar berdasarkan hasil pengamatan. Data digambarkan dengan sumbu datar → x dan sumbu tegak → y. Bentuk regresi diperkirakan berdasarkan letak titik-titik.. Metode kuadrat terkecil merupakan metode persamaan regresi yang biasanya

digunakan

untuk

mencari

hubungan

garis

lurus.

. y.x  1   2 .x Akan ditaksir harga θ1 dan θ2 oleh a dan b. Jika persamaan regresinya non linier maka perlu memperbaikinya dengan persamaan regresi non linier. Persamaan regresi yang dihasilkan dari metode kuadrat terkecil dapat dites terhadap beberapa keadaan : 1. Untuk melihat kemungkinan Apakah variable bebas x betul mempunyai koreksi yang baik dengan variable tak bebas y. Jika x tidak mempunyai koreksi yang dekat dengan y maka x tidak menyumbang informasi apapun


112

terhadap prediksi harga y → kemiringan dari regresi b = 0, diadakan tes untuk melihat apakah b = 0. 2. Evaluasi terhadap b dapat dilakukan dengan menghitung “confidence intervalnya” 3. Kegunaan model regresi (goodness of fit). Dilihat dari koefisien korelasi diantara tiap-tiap variable dan koefisien variasinya. Beberapa model persamaan regresi non linier. 1. Parabolik Kuadratik 2. Parabolik Kubik 3. Model Exponen 4. Model Geometrik 5. Model Logistik 6. Model Hiperbola


113

8.7 SOAL 1. Apa yang dimaksud dengan analisis regresi? 2. Sebutkan fungsi analisis regresi? 3. Apa yang dimaksud dengan variabel bebas dan tak bebas? 4. Dibawah ini disajikan pertumbuhan kota Palembang :

Tahun 1997

PDRB Penduduk PC (jutaan rp) 4670319 1184608 3158

Bus

Truk

2409

21569

1998

6809872

1198224

3200

2417

20367

1999

7941073

1199783

1729

2428

20471

2000

8924252

1460224

2811

2475

20594

2001

10269137

1489370

3175

2791

22261

2002

12348540

1530578

3250

2901

22689

yang

mempunyai

a. Tentukan

persamaan

regresi

hubungan

fungsional antara tahun pertumbuhan dengan jumlah bus. b. Hitung kesalahan prediksi atau kesalahan residu dari persamaan regresi tersebut. c. Gambarkan garis persamaan regresi dengan skala yang benar, dan bandingkan hasilnya dengan garis persamaan regresi dengan metode tangan bebas. d. Uji dan evaluasi persamaan regresi yang dihasilkan dengan : -

Confidence interval

-

Menguji hipotesa nol (b = 0).

-

Koefisien korelasi.


114

DAFTAR PUSTAKA -

Anto Dajan, Pengantar Metoda Statistik Jilid I, LP3ES, Jakarta, 1972

-

Alan Marino, Ar. Alvinsyah., Heddy R. Agah., Sutanto, Meng., Suyono Dikun, Tri Tjahyono, Analiisis Statistika dalam Perencanaan Lalu Lintas dan Transportasi, Jakarta

-

Raymond, H. Myers dan Ronald, E. Wolpole, Ilmu Peluang dan Statistika Untuk Insinyur dan Ilmuwan Terbitan Kedua, Penerbit ITB, 1986

-

Sudjana, Metoda Statistik Edisi Kelima, Penerbit Tarsito Bandung, 1989.

-

Sudjud, R. Karjasaputradan Wiratman Wangsadinata, Evaluasi dan Klasifikasi Beton Sehubungan Dengan Peraturan Beton Bertulang Indonesia, Jakarta, 1970

-

Zainal Mustafa, Pengantar Statistik Deskriptif Edisi Kedua, Bagian Penerbitan Fakultas Ekonomi Universitas Islam Indonesia Yogyakarta, 1992


115

BUKU AJAR STATISTIKA TERAPAN Untuk Mahasiswa Semester 3 D-IV Jalan Tol

Disusun oleh : Nunung Martina, ST, Msi


116

PRAKATA Penyusunan Buku Ajar Statistik Terapan untuk ini dimaksudkan untuk membantu para mahasiswa semester 3 D-IV Jalan Tol untuk mengambil mata kuliah Statistik Terapan. Hal ini karena penulis menyadari bahwa di Jurusan Teknik Sipil khususnya D-IV Jalan Tol belum ada buku pegangan tersebut. Isi buku ini terdiri dari 8 bab yang tiap bab diakhiri dengan rangkuman dan soal-soal latihan untuk memahamkan setiap bab yang diberikan. Penulisan buku ini dimulai dari Pendahuluan, Pengumpulan dan Pengolahan Data, Distribusi Frekuensi Empiris, Ukuran-ukuran Deskriptif Dalam Statistik, Ukuran-ukuran Lokasi, Skunes, Momen dan Kurtosos, Distribusi Normal dan Analisis Regresi. Penyusunan buku ini telah diusahakan sedemikian rupa dimulai dari pengertian dasar hingga pembahasan dan contoh-contoh terapan sehingga mahasiswa dapat memperoleh manfaatnya. Mudah-mudahan, karya kecil ini mampu menjadi sumbangsih guna meningkatkan kualitas belajar mengajar, khususnya mahasiswa Politeknik Negeri Jakrta.

Depok, Oktober 2007 Penyusun


117

DAFTAR ISI PRAKATA

i

DAFTAR ISI

ii

BAB I

PENDAHULUAN

1

1.1

Pengertian istilah statistik dan statistika

1

1.2

Peranan statistik

2

1.3

Rangkuman

3

1.4

Soal latihan

3

BAB II

BABIII

PENGUMPULAN DAN PENGOLAHAN DATA

4

2.1

Populasi dan Sampel

5

2.2

Teknik pengambilan sampel

6

2.3

Jenis data

9

2.4

Pembulatan bilangan

9

2.5

Teknik Pengumpulan data

11

2.6

Pengolahan data

12

2.7

Rangkuman

14

2.8

Soal latihan

16

DISTRIBUSI FREKUENSI EMPIRIS

17

3.1

Bagian-bagian dari distribusi frekuensi

17

3.2

Distribusi frekuensi tunggal

18

3.3

Distribusi frekuensi bergolong

20

3.4

Distribusi frekuensi relatif

25

3.5

Distribusi frekuensi komulatif

26

3.6

Penyajian

distribusi

frekuensi

dalam

28

bentuk grafik dan diagram 3.7

Rangkuman

34

3.8

Soal latihan

36


118

BAB IV UKURAN-UKURAN

DESKRIPTIF

DALAM

37

STATISTIK

BAB V

4.1

Summasi

37

4.2

Ukuran-ukuran lokasi/ harga-harga tengah

40

4.3

Rangkuman

53

4.4

Soal latihan

54

UKURAN-UKURAN LOKASI

56

5.1

Range

57

5.2

Deviasi kuartil

57

5.3

Deviasi rata-rata

58

5.4

Standard deviasi dan variasi

62

5.5

Rangkuman

73

5.6

Soal latihan

74

BAB VI SKUNES, MOMEN DAN KURTOSOS

VII

VIII

76

6.1

Distribusi skued positif

76

6.2

Distribusi skued negatif

77

6.3

Pengujian skunes

78

6.4

Momen

79

6.5

Kurtosis

81

6.6

Rangkuman

82

6.7

Soal latihan

83

DISTRIBUSI NORMAL

84

7.1

Cara membuat lengkung distribusi normal

91

7.2

Rangkuman

96

7.3

Soal latihan

96

ANALISIS REGRESI

98

8.1

Persamaan analisis regresi

99

8.2

Metode tangan bebas

100


119

8.3

Metode kuadrat terkecil

102

8.4

Tes dan evaluasi model regresi

107

8.5

Regresi non linier

115

8.6

Rangkuman

119

8.7

Soal latihan

120

DAFTAR PUSTAKA


122

120

Buku Ajar Statistik Terapan

Recommend Documents