PERSAMAAN LINGKARAN
A. Kompetensi Kompetensi Inti KI1 : Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya KI2 : Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (gotong royong, kerjasama, toleran, damai), santun, responsif dan pro-aktif dan menunjukkan sikap sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia. KI3 : Memahami, menerapkan, menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah KI4 : Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, dan mampu menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan. B. Kompetensi Kompetensi Dasar 3.19. Mendeskripsikan konsep dan kurva lingkaran dengan titik pusat tertentu dan menurunkan persamaan umum lingkaran dengan metode koordinat C. Indikator 1. Peserta didik dapat menjelaskan bentuk-bentuk lingkaran yang banyak ditemui dalam kehidupan sehari-hari. 2. Peserta didik dapat menentukan persaman lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari jari r dalam bidang cartesius. 3. Peserta didik dapat menentukan persaman lingkaran dengan pusat P(a,b) dan jari jari r dalam bidang cartesius. 4. Peserta didik dapat menghitung persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari jari r dalam grafik bidang cartesius. 5. Peserta didik dapat menghitung persamaan lingkaran dengan pusat P(a,b) dan jari jari r dalam grafik bidang cartesius. D. Materi Pembelajaran Materi Prasyarat: 1. Teorema Pythagoras.
Materi Inti: 1. Kedudukan lingkaran pusat O(0,0) dan jari-jari r pada bidang koordinat cartesius. 2. Kedudukan lingkaran pusat P(a,b) dan jari-jari r pada bidang koordinat cartesius.
Tugas Bahan Ajar MataKuliah Desain Pembelajaran
E. Uraian Materi 1. Pengertian Lingkaran Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu. Titik tertentu itu disebut pusat lingkaran dan jarak titik itu terhadap lingkaran disebut jari-jari lingkaran. Lihat gambar berikut:
P (titik pusat)
R (jari-jari)
2. Persamaan Lingkaran yang Berpusat di (0,0) Sebagai tempat kedudukan titik-titik, lingkaran dapat dirumuskan persamaannya. Persamaan lingkaran merupakan persamaan yang menghubungkan nilai x dengan nilai y dari setiap titik (x,y) yang terletak pada lingkaran. Persamaan lingkaran dapat dirumuskan seperti berikut:
Misal titik T(x,y) adalah sebarang titik pada lingkaran yang berpusat di titik (0,0) dan berjari-jari = r. Perhatikan gambar berikut. Y
T(x,y) r
X
Jarak titik O(0,0) dengan T(x,y) adalah: OT = ( −0)2 OT2 = (−0)2
+ (−0)2 + ( − 0)2
OT2 = x2 + y2 Karena OT = r, maka : x 2 + y2 = r 2
Tugas Bahan Ajar MataKuliah Desain Pembelajaran
Karena titik T(x,y) adalah sembarang titik pada lingkaran, maka untuk semua titik pada lingkaran berlaku hubungan x 2 + y2 = r 2. Jadi dapat disimpulkan: Persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan berjari-jari = r adalah: x2 + y2 = r 2 Contoh Soal: 1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (0,0) dan berjari-jari = 4. Jawab: Lingkaran : pusat (0,0) , jari-jari = 4 Persamaan lingkarannya adalah: x2 + y2 = 42 x2 + y2 = 16 2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (0,0) dan melalui titik (3,7). Jawab: Lingkaran : pusat (0,0), jari-jari = r Persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 = r 2 Melalui titik (3,7) maka dengan menggunakan konsep jarak antara dua titik, yaitu titik (0,0) dan titik (3,7) maka r 2 = 32 + 72 = 9 + 49 = 58 r = √ 58 Persamaan lingkaran pusat (0,0) dan jari-jari r =
√ 58 adalah
x2 + y2 = √ 582 x2 + y2 = 58 3. Tentukan tempat kedudukan titik K(x,y) sedemikian sehingga jarak K ke B(0,16) sama dengan 4 kali jaraknya terhadap A(0,1). Jawab: BK = 4 AK BK 2 = 42 AK 2 (x – 0)2 + (y – 16)2 = 16 {(x – 0)2 + (y – 1)2 } x2 + y2 – 32y + 256 = 16 {x 2 + y2 – 2y + 1} x2 + y2 – 32y + 256 = 16x 2 + 16y2 – 32y + 16 15x2 + 15y2 = 240 x2 + y2 = 16 x2 + y2 = 42 Jadi tempat kedudukan tersebut adalah lingkaran yang berpusat di (0,0) dan berjari-jari =4 3. Persamaan Lingkaran yang Berpusat di (a, b) Pusat lingkaran dapat digeser dari titik (0,0) ke sembarang titik lain, misalnya ke titik (a,b). Dengan pergeseran tersebut kita memperoleh lingkaran yang berpusat di titik (a,b) dan jari-jari r. Lihat gambar di bawah ini. Sesuai dengan teori pergeseran, persamaan lingkaran hasil pergeseran dapat diperoleh dari persamaan lingkaran awal, yaitu x yang Tugas Bahan Ajar MataKuliah Desain Pembelajaran
bergeser sejauhh a menjadi (x – a) dan y yang bergeser sejauhh b menjadi (y – b). Karena persamaan lingkaran sebelum digeser adalah x 2 + y2 = r 2 maka persamaan lingkaran hasil pergeseran adalah (x – a)2 + (y – b)2 = r 2 Y
(a,b)
b
r
x
a r
Persamaan awal x2 + y2 = r 2 Setelah digeser sejauh a sejajar sumbu x menjadi (x – a)2 Setelah digeser sejauh b sejajar sumbu y menjadi (y – b)2 Maka sesuai rumus phytagoras jari-jari yang merupakan sisi miring menjadi r 2 = (x – a)2 + (y – b)2 Maka dapat disimpulkan: Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (a,b) dan jari-jari r adalah (x – a)2 + (y – b)2 = r 2
Contoh soal: 1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (3,1) dan berjari-jari = 5 Jawab: Lingkaran : pusat (3,1) , jari-jari = 5 Persamaannya adalah : (x – 3)2 + (y – 1)2 = 52 atau (x – 3)2 + (y – 1)2 = 25
2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (2,-3) dan melalui titik (4,5) Jawab: Lingkaran : pusat (2,-3), jari-jari = r Persamaannya : (x – 2)2 + (y – (-3))2 = r 2 (x – 2)2 + (y + 3)2 = r 2 Melalui titik (4,5) maka r 2 = (4 – 2)2 + (5 + 3) 2 = 4 + 64 = 68 Persamaan lingkarannya adalah : (x – 2)2 + (y + 3) 2 = 68
Tugas Bahan Ajar MataKuliah Desain Pembelajaran
Latihan Soal: 1. Sebutkan macam-macam benda berbentuk lingkaran yang ada di sekitar kalian… 2. Jelaskan pengertian lingkaran menurut pendapat dan kalimat sendiri… 3. Persamaan x2 + y2 = 25 adalah persamaan lingkaran yang jari-jarinya sama dengan… 4. Persamaan lingkaran yang berpusat di (0,0) dan berjari- jari 11 adalah… 5. Persamaan lingkaran yang berpusat di (0,0) dan melalui (2,4) adalah… 6. Lingkaran yang berpusat di (0,0) dan memalui (7,24) memiliki jari- jari… 7. Tempat kedudukan titik P(x,y) yang jaraknya terhadap titik A(0,9) sama dengan tiga kali jaraknya terhadap B(0,1) adalah lingkaran dengan jari- jari sama dengan… 8. Persamaan lingkaran yang berpusat di (1,-2) dan berjari- jari 5 adalah… 9. Suatu lingkaran yang persamaannya (x – 1)2 + (y + 5) 2 = 16 berpusat di titik… 10. Lingkaran yang berpusat di (2,1) dan melalui titik (-10,6) memiliki jari- jari… 11. Lingkaran yang berpusat di titik potong garis 3x + 2y = 8 dan 2x + y = 5 dan melalui titik (3,5), mempunyai jari- jari sama dengan… 12. Sebuah titik A bergerak sedemikian sehingga jaraknya terhadap (0,0) selalu sama dengan dua kali jaraknya terhadap titik (3,0). Tempat kedudukan titik A adalah lingkaran dengan pusat dan jari- jari…
Tugas Bahan Ajar MataKuliah Desain Pembelajaran
