http://bebas.ui.ac.id/v12/sponsor/Sponsor-Pendamping/Praweda/Matematika/0411%20Mat%2024f.htm
Bahan Ajar PELUANG Kaidah pencacahan pencacahan.. Dalam kaidah ini, ada beberapa cara yang dapat digunakan, antara lain 1. aturan pengisian tempat yang tersedia ( filling filling slots slots); ); 2. permutasi; permutasi; 3. kombinasi. kombinasi.
1. Aturan Pengisian Pengisian Tempat yang Tersedia ( Filling Slots ) Kaidah dasar yang digunakan dalam membilang atau mencacah adalah sebagai berikut.Misalnya, kegiatan pertama dapat dilakukan dengan n1 cara yang berlainan, kegiatan kedua dengan n2 cara yang berlainan, kegiatan kegiatan ketiga dengan n3 cara yang berlainan, ..., dan kegiatan ke- r dengan nr cara yang berlainan. Banyaknya Banyaknya cara untuk untuk melakukan melakukan r kegiatan r kegiatan itu adalah (n ( n1 n2 n3 ... nr ) cara. Contoh soal : Disediakan angka-angka 3, 4, 5, 6, 7, dan 8. Berapa banyak bilangan bulat yang dapat dibentuk jika bilangan itu itu terdiri dari dari 4 angka dan a. setiap bilangan tidak memuat angka yang sama; b. setiap bilangan boleh boleh memuat memuat angka angka yang sama. sama. Penyelesaian: a. Karena setiap bilangan tidak boleh memuat angka yang sama, angka pertama (sebagai ribuan) dapat dipilih dengan 6 cara, yaitu angka-angka 3, 4, 5, 6, 7, dan 8. Angka kedua (sebagai ratusan) dapat dipilih dengan 5 cara karena satu angka telah dipilih sebagai angka pertama. Kemudian, angka ketiga (sebagai puluhan) dapat dipilih dengan 4 cara dan angka keempat (sebagai satuan) dengan 3 cara. Hal ini dapat dijelaskan dengan tabel berikut.
b. Karena setiap bilangan bilangan boleh memuat memuat angka yang sama maka masing-masing ada enam cara untuk menempati tempat pertama, kedua, ketiga, dan keempat. Jadi, banyaknya bilangan yang dapat dibentuk ada 6 6 6 6 = 1.296 bilangan. Latihan 1 1. Disediakan angka-angka 3, 4, 5, 6, dan 7. Berapa banyak bilangan 4 angka yang dapat dibentuk jika setiap bilangan tidak memuat angka yang sama dan bilangan itu a. bilangan ganjil; b. habis dibagi dibagi 5; c. lebih besar dari 500? 2. Dalam sebuah permainan, setiap peserta diberi tugas menyusun 3 huruf berbeda dari huruf K huruf K , E , N , A, A, R, R, dan I . Peserta dianggap menang apabila dapat membuat susunan huruf sebanyak-banyaknya dalam rentang waktu yang telah ditentukan. Berapa banyak susunan huruf yang dapat dibentuk apabila susunan itu a. diakhiri dengan huruf vokal; b. diakhiri dengan dengan huruf huruf konsonan? Latihan 2
1. Bu Ani memiliki 5 setel baju pesta dan 6 sepatu. Berapa banyak pasangan baju pesta dan sepatu yang dapat dipakai Bu Ani? 2. Di dalam lemari Arman terdapat 6 baju, 4 celana panjang, dan 2 pasang kaus kaki. Ada berapa pasang baju, celana panjang, dan kaus kaki yang dapat dipakai Arman? 3. Dari Kota P ke Kota Q terdapat 5 jalan berbeda yang dapat ditempuh dan dari Kota Q ke Kota R terdapat 3 jalan. Berapa banyak jalan berbeda yang dapat ditempuh dari Kota P ke Kota R? 4. Tentukan banyaknya jalan berbeda yang dapat ditempuh dari Kota A ke Kota C jika jalur perjalanan itu tergambar pada diagram berikut. (Perjalanan sesuai arah anak panah).
5. Disediakan angka-angka 6, 7, 8, dan 9. Berapa banyak bilangan ratusan yang dapat dibentuk jika setiap bilangan tidak memuat angka yang sama dan bilangan itu a. bilangan genap; b. lebih kecil dari 800; c. lebih besar dari 800? 6. Kerjakan soal nomor 5, tetapi setiap bilangan boleh memuat angka yang sama. 7. Berapa banyak bilangan bulat positif lebih kecil dari 600 yang dapat disusun dari angka-angka 4, 5, 6, 7, dan 8 jika bilangan itu tidak memuat angka yang sama
2. Permutasi Kaidah pencacahan yang kedua adalah permutasi yang dalam menuliskan rumusnya menggunakan notasi faktorial. Oleh karena itu, sebelum mempelajari permutasi, ada baiknya jika kita membahas definisi dan notasi faktorial. a. Definisi dan Notasi Faktorial Perhatikan penulisan ”5!” dan ”4!”, yang masingmasing dibaca ”5 faktorial ” dan ”4 faktorial ”. Penulisan tersebut merupakan penulisan dengan notasi faktorial. Adapun nilainya adalah sebagai berikut. 5! = 5 4 3 2 1 dan 4! = 4 3 2 1 Berarti, 5! = 5 (4 3 2 1) 5! = 5 4! (4 + 1)! = (4 + 1) 4! Secara umum dapat dikatakan bahwa : (n + 1)! = (n + 1) n !, untuk n ≥ 1 dan n ! = n (n – 1)(n – 2)(n – 3) ... 3 2 1 Perhatikan bahwa sebenarnya n = 0 tidak memenuhi konsep faktorial, namun karena dalam perhitungan sering ditemui, dan selalu benar jika 0! = 1, agar tidak menjadi polemik, kemudian didefinisikan bahwa 0! = 1 contoh soal :
Penyeleaian.
Penyelesaian
Latihan 1
Secara umum, permutasi r unsur dari n unsur yang berbeda adalah semua urutan berbeda yang mungkin dari r unsur, diambil dari n unsur yang berbeda itu dengan memerhatikan urutannya. Banyaknya permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda ini dinotasikan dengan P (n, r ). Jadi, dari uraian di atas diperoleh bahwa
Banyaknya permutasi n unsur yang memuat k unsur (k ≤ n) yang sama dirumuskan dengan
3. kombinasi
