Let’s Study Together T ogether
PERSAMA PERS AMAAN AN KUADRAT KUADRAT
ax
2
+ bx + c = 0
STANDART KOMPETENSI Menggunakan Menggunak an operasi dan sifat si fat serta manipuasi a!a"ar daam peme#ahan masaah yang "erkaitan dengan "entuk pangkat$ akar$ dan ogaritma% persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat% sistem persamaan inear & kuadrat% pertidaksamaan satu 'aria"e% ogika matematika
STANDART KOMPETENSI Menggunakan Menggunak an operasi dan sifat si fat serta manipuasi a!a"ar daam peme#ahan masaah yang "erkaitan dengan "entuk pangkat$ akar$ dan ogaritma% persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat% sistem persamaan inear & kuadrat% pertidaksamaan satu 'aria"e% ogika matematika
K(MPETENS) DASAR Kompetensi Dasar Meakukan manipuasi a!a"ar daam perhitungan teknik yang "erkaitan dengan persamaan dan fungsi kuadrat
)ND)KAT(R Menentukan akar persamaan kuadrat dengan melengkapkan bentuk kuadrat Menentukan sumbu simetri, titik puncak, siat de!nit positi, atau negati ungsi kuadrat dengan menlengkapkan bentuk kuadrat Menentukan ungsi kuadrat "ang melelui tiga titik "ang tidak segaris
Materi Prasyarat :
Bilangan BUlat
Operasi Bentuk Ben tuk Aljabar Aljabar – Perkalian Bentuk aljabar – Pemfaktoran
Pretest 1.
abarkan a! b! (! )!
2.
"#$y!2 %&&&&&&&&.. "#' y!2 %&&&&&&&&.. "#$y!"#'y! %&&&&&&&. "#$*!"#$2! %&&&&&&&
+aktorkan : a! b! (! )! e! f!
2#$ , -#2 – 12# #2 $ 10# $ 2 #2 ' # $ , n2 – *, 2#2 $ 10# $ 12
% .&"&&$&&! % .&"&&$&&! % "&&&.!"&&&..! %&&&&&&&. %&&&&&&. %&&&&&..
Perkaian dan Pemfaktoran *entuk A!a"ar
Masih ingatkah ? ( x+y)2 =……………… = ( x+y) (x+y) =x (x+y) + y ( x+y) = x2 + xy + xy + y 2 ( x+y)2 = x2 + 2xy + y 2
" x + y ! = x + 2 xy + y
2
∴
)an x + 2 xy + y = " x + y !
2
2
2
2
2
Jabarkan • (x-y)2 = = ( x-y) (x-y)
=x (x-y) - y ( x-y) = x2 - xy - xy + y2 ( x-y)2 = x2 - 2xy + y2
∴ )an
" x − y !
= x − 2 xy + y 2 2 2 x − 2 xy + y = " x − y ! 2
2
2
• •
Jabaarkan (x+y) (x - y) = =x (x-y) + y ( x-y) = x2 - xy + xy + y 2 ( x+y) (x - y) = x2 - y2
∴
(x + y)" x − y ! = x 2
)an x •
(x+3)(x+2) = =x(x+2) +3 (x+2) = x2+2x+3x+6 =x2 +5x +6
2
− y
2
− y 2 = (x + y)" x − y !
Pemfaktoran bentuk ax 2+bx+c dengan a = 1
Contoh : Faktorkan x2 + 5x + 6 Jaab : x2 + 5x + 6
Faktorkan
=
012+3 012,3
+ dan ,
x2 - !x + "2 =
-, dan x2 -2x -"5 -. =
-/ dan ,
0 1 - , 30 1 .3 01-/3 012,3
M#ngingat k#$ba%i &#$'aktoran Pemfaktoran bentuk ax 2 +bx+c dengan a 1 Contoh : Faktorkan 2x 2 + !x + 6 Jaab : 2x2 + !x + 6 = = 2x2 + x + 3x + 6 = 2x (x+2) + 3(x+2)
+145 6+ = ( x + 2 )( 2x + 3 ) . dan , Jai 2x2 + !x + 6 = (x+2)(2x+3)
Pemfaktoran bentuk x 2 + 2xy + y 2 =( x+y)2 /onto: +aktorkan #2 $10#$2 aab : #2 $10#$2 % #2 $2.#. $ 2 % "# $ !2 % "# $!"#$!
Pemfaktoran bentuk x 2 - 2xy + y 2 =( x-y)2 /onto: +aktorkan #2 '12#$*, aab : #2 '12#$*, % #2 ' 2.#., $ , 2 % "# ' ,!2 % "# ',!"#',!
Pemfaktoran bentuk x 2 - y2 = ( x+y) (x - y) /onto: +aktorkan #2 ' - aab : #2 ' - % # 2 ' 32 % "# $ 3! "# '3! 4atian: +aktorkan #2 ' 51 % #2 ' 2 % "# $ ! "# '! *#2'-5 % * "#2'1,! % * "#$-!"#'-!
4atian soal pemfaktoran
PERSAMAAN K#ADRAT Bentuk Umum Persamaan Kuadrat Bentuk umum atau Bentuk Baku persamaan kuadrat adalah:
ax2 + bx + c Dengan a,b,c
R dan a
= 0 0 serta x adalah peubah ( variabel)
a merupakan koefisien x2 b merupakan koefisien x c adalah suku tetapan atau konstanta
Contoh 1:
Tentukan nilai a, b, dan c dari persamaan kuadrat berikut: a. x2 – ! 0
c. $0 # x2 % &x ! 0
b. "x2 # 2x ! 0
d. $2x – " # x2 ! 0
Jawab: a. x2 – ! 0
'adi a = 1 , b = 0 , dan c = -3
b. "x2 # 2x ! 0
'adi a = 5 , b = 2 , dan c =
c. $0 # x2 % &x ! 0
'adi a = 1 , b = -6 , dan c = 10
d. $2x – " # x2 ! 0
'adi a = 3 , b = 12 , dan c = -5
0
Contoh 2:
atakan dalam bentuk baku, kemudian tentukan nilai a, b dan c dari persamaan :
a. 2x2 = 3x - 8
". 2x - 3 =
b. x2 = 2(x2 3x + 1!
#a$ab% a. 2x2 = 3x 8 Kedua ruas ditambah dengan –3x + 8 2x2 3x + 8 = 3x 8 2x2 3x + 8 =
3x + 8
0
#ad&, a = 2 , b = -3 dan c = 8
/ 1
Jawab: b. x2 = 2(x2 3x + 1! x2 = 2x2 6x + 2 Kedua ruas dikurangi dengan x2 x2 - x2
= 2x2 6x + 2 - x2
0 = x2 6x + 2 x2 6x + 2 = 0 #ad& a = 1 , b = -6 , dan c = 2 c. 2x - 3 =
/ 1
Kedua ruas dikalikan dengan x
(2x 3!x = 5 2x2 3x = 5 2x2 3x 5 = 0 #ad& a = 2 , b = -3, dan c = -5
enis'jenis Persamaan 6ua)rat "P6!
Pers 6ua)rat 4engkap (onto : #2 $ # ', %0 nilai a%&.7 b%&&.)an (%&& *#2'#$,%0 nilai a%&.7 b%&&.)an (%&& Pers 6ua)rat ti)ak lengkap (onto : #2 $ ,# %0 nilai a%&.7 b%&&.)an (%&& *#2 – 23 %0 nilai a%&.7 b%&&.)an (%&&
Latihan…. atakan ke dalam bentuk baku persamaan kuadrat, kemudian tentukan nilai a, b, dan c* a. x2 ! + – x
.
b. (x – $)2 ! x % 2 g. c. (x # 2)( x – ) ! " d. (2 % x)( x # ) ! 2(x – ) e. (x # 2)2 – 2(x # 2) # $ ! 0
h.
, – x ! + 1 + 1
=
, 1 −6
+6
, , + =+ 1 +, 1 −,
Buku Matematika SMU Latihan 1, hal 78 7
Selamat Mengerjakan ... .
( )arangsiapa "ang bersunggu%*sunggu% , pasti ia akan ber%asil “ + Al- hadits
( Sesunggu%n"a disamping kesulitan ada kemuda%an“ + Qs Al Insyraah: 5-6
Mu$ic%ati Nurin A&'
Pembahasan
….
b. (x 1!2 = x - 2 Kedua ruas ditambahkan dengan x + 2
x2 – 2x # $ ! x – 2
x2 – 2x # $ %x # 2 ! x – 2 %x # 2 x2 – x # ! 0
'adi a = 1 , b = -3, dan c = 3
d. (2 - x!( x + 3! = 2(x 3! 2x – x2 # & % x ! 2x – & –x2 % x # &
! 2x – & -
–x2 % x # $2 ! 0 'adi a = -1, b = -3, dan c = 12
+
,
'. = +6 1 1 −6 _________________ x(x-1! 2(x – $) ! x # $ x(x – $) 2x – 2
! x # x2 % x
2x – 2
! 2x # x2
0
!
-2 # 2 !
-
-2 # 2 0
'adi a = 1 , b = 0 , dan c = 2
Menyelesaikan Pers 6ua)rat A)a * (ara menyelesaikan P6 1. Memfaktorkan 2. Melengkapkan 6ua)rat 8empurna *. 9umus ab(
Menyelesaikan P6 )engan Memfaktorkan /onto entukan ;impunan Penyelesaian ";P! )ari P6 #2 $# $ 1- %0 )engan memfaktorkan aab : #2 $# $ 1- % 0 "#$3!"#$2! % 0 "#$3! %0 atau "#$2!%0 #% 0'3 #%0'2 # %'3 #%'2 ;impunan Penyelesaian <'3='2>
entukan impunan Penyelesaian ";P! )ari Persamaan 6ua)rat Berikut :
#2 $5#'20 %0
2#2 '10 %0
2#2 $ 3# $ ,
Pembaasan 1. #2 $5#'20 %0 "#$10!"#'2!%0
#$10 %0 atau #'2 %0 #% '10
#%2
;impunan Penyelesaian <'10=2>
Pembaasan 2. 2#2 '10 %0
2# "#'! %0 2# %0
atau #' %0
#% 0
#%
;impunan Penyelesaian <0=>
Pembaasan *. 2#2 $ 3# $ , %0
"2#$*! "#$2! %0 2#$* %0
atau #$2 %0
2#% '* #%
# % '2 # % '2 −
* 2
;impunan Penyelesaian
*
<−2=− > 2
4atian 8oal 4atian 8oal )i 468 atau Buku ?@aluasi Man)iri
Menyelesaikan P6 )engan Melengkapkan 6ua)rat 8empurna Mengingat 6embali 6ua)rat sempurna x2 +
2xy + y2 =( x+y)2
/onto #2 $ 5#$ 1, % #2 $ 2.#.-$ -2 % "#$-!2 2
# ' 2#y $ y 2 %" #'y!2 /onto #2 ' 1-#$ - % #2 ' 2.#.3$ 32 % "#'3!2
Menyelesaikan P6 )engan Melengkapkan 6ua)rat 8empurna entukan ;P )ari # 2 $5#'20 %0 )engan melengkapkan kua)rat sempurna aab : #2 $5#'20 %0 #2 $5# % 20 ⇔ #2 $5# $ " .5!2 % 20 $ " .5!2 ⇔ #2 $5# $ 1, % 20 $ 1, ⇔ " # $ - !2 % *, ⇔ " #$ -! % ± √*, ⇔ # $ - % ± , 8impunan Penyeesaian 9⇔ # % '- ± , 6:$+; #1 % '- $, atau #2%'-', 2 t 10
4atian 8oal entukan ;P )ari Pk berikut )engan melengkapkan kua)rat sempurna. 1.
#2$ 10# $ 2- % 0
2.
#2',#'-0 %0
*.
2#2$10# $ 12 %0
Pembaasan #2$ 10# $ 2- % 0 #2$ 10# $ 2- % 0 #2$ 10# % ' 2 #2$ 10# $ " .10! 2 % ' 2- $ " .10! 2 #2$ 10# $ 2 % '2- $2 "# $!2 % 1 "# $! % ±√1 "# $! %± 1 # % ' ± 1 #1 % '$1 atau #2%''1 #1 % '- atau #2% ', ;impunan Penyelesaian < ',='-> 1.
Pembaasan 2. #2',#'-0 %0 aab #2',#'-0 %0 #2 ' ,# % -0 #2 ' ,# $ ."',!C2 % -0 $ ."',!C 2 #2 ' ,# $ % -0 $ "# '*!2 % - "# '*! % ±√- "# '*! %± 3 # % '* ± 3 #1 % '*$3 atau #2%'*'3 #1 % - atau #2% '10 ;impunan Penyelesaian < '10=->
Pembahasan 3* 2x2+"x + "2 = Jaab 2x2+"x + "2 = k#,a r,as ibagi #ngan 2 2 x +5x + 6 = x2 +5x = -6 x2 +5x + .*(5)/ 2 = -6 + .*(5)/ 2 x2 +5x + (502)2 = -6 + (502) 2 *
*
" x + ! 2 2
" x + ! 2 2
= −, + 2-
=−
-
2 -
+
1 " x + ! 2 = 2 1 x + = ± 2 -
x = − x1
2
1
2
2
=− +
±
=−
x1
= −2
2 -
2
atau x 2
=−
atau x 2
, 2
= −*
;impunan Penyelesaian < − *=−2>
1 2
atau x 2
-
x1
1
2
2
=− −
Latihan Soal
1 ata, 4,k, a%,asi Mnairi
M#ny#%#saikan &#rsa$aan ,arat #ngan 7,$,s M#n#$,kan 7,$,s ab8
+ bx + c = 0
ax 2 ⇔ x
2
+
b
x +
a
⇔ x 2 + ⇔ x + 2
b a
c
=
a
x
=−
0 ke)ua ruas )ibagi )engan a
c a 2
1 b x + . a 2 a
b
b
2
x +
b 2 − -ac ⇔ x + = -a 2 2a b b 2 − -ac ⇔ x + = ± -a 2 2a
2
1 b = − + . a 2 a c
c
b
x1= 2
=−
b 2a
±
b2
− -ac -a 2
2
= − + a a 2a 2a 2 b c b2 ⇔ x + = − + 2 a -a 2a 2 b -ac b2 ⇔ x + = − +
⇔ x 2 +
b
2
b
x1= 2
=
−b±
b2 2a
− -ac
Contoh oa% 9#nt,kan i$;,nan &#ny#%#saian ari 2x 2+"x + "2 = #ngan $#ngg,nakan r,$,s Jaab 2x2+"x + "2 = a =2 < b =" an 8 = "2 x1= 2 =
x1= 2
=
2
b − -ac
−b±
2a
− 10 ±
10
2
− -.2.12
x1
=
− 10 + 2
2.2
x1= 2 =
− 10 ± 100 − , -
x1= 2
=
x1= 2
=
− 10 ±
-
− 10 ± 2 -
x1 = −2
-
x 2
=
− 10 − 2 -
x1 = −*
;impunan Penyelesaiannya <'*='2>
1atihan oa% 9#nt,
1atihan oa% 9#nt,kan & ari &k b#rik,t #ngan $#ngg,nakan r,$,s "*
x2+ "x + 2 =
2*
x2-6x- =
3*
2x2+"x + "2 =
&#ngg,naan &#rsa$aan ,arat a%a$ k#hi,;an s#hari-hari ( soa% 8#rita) Mo#% $at#$atika yang b#rh,b,ngan #ngan ;#rsa$aan k,arat Contoh : ,arat ari s,at, bi%angan ik,rangi #$;at ka%i bi%angan it, sa$a #ngan -3* 4,at%ah $o#% $at#$atika ari ;#r$asa%ahan t#rs#b,t
Jaab • 1angkah " Misa%kan bi%angan it, aa%ah x*
1angkan 2 b#rasarkan ka%i$at t#rs#b,t i;#ro%#h x2- x=-3 yang $#r,;akan ;#rsa$aan k,arat Jai $o#% $at#$atika ari ;#r$asa%ahan iatas aa%ah x2- x=-3
1atihan oa% 9#nt,kan $o#% $at#$atika ari ;#r$asa%ahan b#rik,t* • ,arat ari s,at, bi%angan ita$bah #ngan #%a;an ka%i bi%angan it, ik,rangi ,a;,%,h sa$a #ngan no% • J,$%ah ,a bi%angan sa$a #ngan 2* asi% ka%i k#,a bi%angan it, sa$a #ngan !5*
&#$bahasan "* ,arat ari s,at, bi%angan ita$bah #ngan #%a;an ka%i bi%angan it, ik,rangi ,a;,%,h sa$a #ngan no% Jaab : 1angkah
: Misa%kan bi%angan it, n
1angkah 2
: n2+>n -2 =
Jai $o#% $at#$atika ari ;#r$asa%ahan iatas aa%ah
n2+>n -2 =
2* J,$%ah ,a bi%angan sa$a #ngan 2* asi% ka%i k#,a bi%angan it, sa$a #ngan !5* Jaab : 1angkah " : Misa%kan bi%angan it, x an y x+y = 2* s#%an,tnya x iran8ang s#bagai ;#rs k,arat shg y=2-x
ar#ab#%
1angkah 2 : asi% ka%inya = !5 x * y = !5
x (2-x) = !5
2x-x2 = !5
-x2+2x-!5=
x2-2x+!5=
MANENTUKAN AKAR PERSAMAAN KUADRAT DEN>AN MELEN>KAPKAN KUADRAT SEMPURNA )ustrasi pertama (X – Y)(X –Y) (X – Y)2
= X2 – XY – XY + Y2 = X2 – 2XY + Y2 = X2 – 2XY + Y2
SEHINGGA : X2 - 2XY + Y2
= (X - Y)2
)ustrasi KEDUA
"2D $ 2E!"2D $ 2E! % -D2 $ -DE $ -DE $ -E 2 % -D2 $ 5DE $ -E2 "2D – 2E!2 % -D2 $ 5DE $ -E2 8?;FGHHA : -D2 $ 5DE $ -E2
% "2D!2 $ 5DE $ "2E!2 % "2D $ 2E!2
)ustrasi ketiga
"2D – E!"2D –E! "D – E!2
% -D2 – 2DE – 2DE $ E2 % -D2 – -DE $ E2 % -D2 – -DE $ E2
8?;FGHHA : -D2 – -DE $ E2
% "2D!2 – -DE $ E2 % "2D – E!2
Illustrasi Keempat "D $ *E!"D $ *E! "D – E! 2
% D2 $ *DE $ *DE $ E 2 % D2 $ ,DE $ E2 % D2 $ ,DE $ E2
8?;FGHHA : D2 $ ,DE $ E2
% D2 $ ,DE $ "*E! 2
% "D ' *E! 2
)A.AIMANA DEN.AN )ENT#K PERSAMAAN
.@+ 2 B+ 5 6+@B C
PER8AT)KAN ? @2 + AB2 = "2@B (2@)2 + (3B)2 = "2@B (2@)2 2*(2@)*(3B)+ (3B)2 = "2@B 2*(2@)*(3B) (2@)2 "2@B+ (3B)2 = "2@B "2@B (2@ 3B)2 = 2@ 3B = 2@ = 3B
*
X = Y 2
)A.AIMANA P#/A DEN.AN )ENT#K @+ 2 @ - 5 : C @2 + 2*@ - A = @2 + 2*@* = A @2 + 2*@* + ()2 = A + ()2 (@ + )2 = 25 X + - = ± 2
X + - = ±
@ + = 5 D9DE @ + = -5 @ = 5 D9DE @ = -5 @=" D9DE @ = -A
D7 474DGD 11E97D D9DH D&D M&E1DIME 9I9DIG &IB1DDI 4I9E &7DMDDI ED7D9 IGDI M1IGD&DI ED7D9 M&E7ID ?
D7 4I9E :
ax + bx + c = 2
0
