Buku Kerja 6
Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green TEOREMA DIVERGENSI, STOKES, DAN GREEN
Materi pokok pertemuan ke 13: 1. Teorema divergensi Gauss
URAIAN MATERI Untuk memudahkan perhitungan seringkali dibutuhkan penyederhanaan bentuk integral yang berdasarkan pada teorema tertentu. Ada tiga teorema fundamental berkaitan dengan operasi diferensial dan integral yang telah dijelaskan sebelumnya, yaitu: Teorema Gauss, Teorema Stokes, dan Teorema Green
Pada modul 5, telah dijelaskan bahwa untuk menghitung volume air yang mengalir melewati pipa dapat menggunakan rumus integral permukaan. Namun, ada perhitungan yang lebih mudah untuk menghitung volume air tersebut, yaitu dengan menggunakan teorema Gauss. Sudah dijelaskan sebelumnya pada modul integral permukaan, bahwa volume total per detik dari fluida yang keluar dari permukaan tertutup S adalah
Pada modul divergensi, merupakan volume per detik dari fluida yang keluar dari sebuah elemen volume . Oleh karena itu, maka volume total per detik dari fluida yang keluar dari semua elemen volume dalam permukaan tertutup S adalah
Jadi,
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 142 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 6
Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
Berikut definisi dari Teorema Gauss.
Jika V adalah volume yang dibatasi oleh suatu permukaan tertutup S dan sebuah fungsi vektor dengan turunan-turunan yang kontinu, maka
Dari rumus tersebut, dari sebuah vektor yang mengelilingi sebuah permukaan tertutup dalam volume yang diselubungi oleh permukaan di atas. Jadi, dalam mencari integral permukaan dapat juga j uga digunakan Teorema Gauss.
CONTOH SOAL Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di bawah ini ! Contoh 1 Hitunglah
di mana
dan S adalah
permukaan kubus yang dibatasi oleh Penyelesaian
1
0 1 1
Menurut teorema divergensi
Maka,
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 143 STKIP PGRI SUMBAR
.
Buku Kerja 6
Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
Berikut definisi dari Teorema Gauss.
Jika V adalah volume yang dibatasi oleh suatu permukaan tertutup S dan sebuah fungsi vektor dengan turunan-turunan yang kontinu, maka
Dari rumus tersebut, dari sebuah vektor yang mengelilingi sebuah permukaan tertutup dalam volume yang diselubungi oleh permukaan di atas. Jadi, dalam mencari integral permukaan dapat juga j uga digunakan Teorema Gauss.
CONTOH SOAL Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di bawah ini ! Contoh 1 Hitunglah
di mana
dan S adalah
permukaan kubus yang dibatasi oleh Penyelesaian
1
0 1 1
Menurut teorema divergensi
Maka,
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 143 STKIP PGRI SUMBAR
.
Buku Kerja 6
Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
Jadi
Contoh 2 Hitunglah
di mana S adalah suatu permukaan tertutup
Penyelesaian Menurut teorema divergensi,
di mana V adalah adalah volume benda yang dibatasi S.
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 144 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 6
Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
LATIHAN TERBIMBING Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong!
Latihan 1 Hitung
untuk
pada daerah
yang dibatasi oleh
Penyelesaian Gambar daerah yang dimaksud adalah seperti di bawah ini
Menurut teorema divergensi
Maka
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 145 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 6
Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
Latihan 2 Jika S adalah permukaan tertutup sebarang yang menutupi sebuah volume V dan
, maka buktikan bahwa
Penyelesaian Menurut teorema divergensi
Maka,
LATIHAN MANDIRI Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia! Latihan 1 Hitunglah
di mana
dan S adalah
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 146 STKIP PGRI SUMBAR
.
Buku Kerja 6
Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
(a) permukaan balok yang dibatasi oleh
(b) permukaan daerah yang dibatasi oleh
Penyelesaian
Latihan 2 Hitung
di mana
dibatasi oleh tabung parabol .
dalam daerah pejal S yang
dan bidang-bidang
Penyelesaian
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 147 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 6
Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
Latihan 3 Buktikanlah bahwa
untuk suatu permukaan tertutup S.
Penyelesaian
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 148 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 6
Latihan 4 Buktikan
Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
Penyelesaian
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 149 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 6
Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
Latihan 5 Hitung
oleh silinder
melalui seluruh permukaan S dari daerah yang dibatasi ,
jika
Penyelesaian
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 150 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 6
Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
Kunci Jawaban Latihan 1 : (a) 30, (b) 351/2 Latihan 2 : 4/3 Latihan 5 : 18
Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 151 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 6
Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
Materi pokok pertemuan ke 14: 2. Teorema Stokes
URAIAN MATERI
Coba Anda perhatikan gambar di samping! Apa yang Anda lihat? Pada gambar tampak seorang ibu dan bapak sedang mendorong mobil. Jika mobil yang mereka dorong tersebut bergerak, berarti mereka telah melakukan usaha. Sebelumnya, kita telah mempelajari bahwa untuk menghitung besar usaha dapat kita gunakan perkalian titik atau integral garis tergantung pada bentuk lintasan. Namun ada kalanya kita kesulitan untuk menghitung besar usaha, misalnya pada bidang dimensi-3. Perhitungan untuk mencari besar usaha akan lebih mudah dengan menggunakan teorema Stokes. Berikut definisi Teorema Stokes
Misalkan S adalah permukaan berarah dalam ruang dengan batas-batasnya adalah kurva C yang tertutup, dan misalkan adalah fungsi vektor kontinu yang mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu dalam domain yang memuat S, maka
Dari rumus di atas dapat disimpulkan, dari sebuah vektor yang mengelilingi sebuah kurva tertutup sederhana C melalui sebarang permukaan S dengan C sebagai batasnya.
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 152 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 6
Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
CONTOH SOAL Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di bawah ini ! Contoh 1 Hitunglah
dengan menggunakan teorema Stokes jika
diketahui permukaan bola
dimana S adalah separuh dari bagian atas dan C batasnya.
Penyelesaian
Batas C dari S adalah suatu lingkaran dengan persamaan dan persamaan parameternya adalah . Berdasarkan teorema Stokes
dimana . Maka
berdasarkan teorema Stokes
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 153 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 6
Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
Jadi,
.
Contoh 2 Buktikan
Penyelesaian Misalkan Maka
Karena
dalam teorema Stokes, di mana
vektor
vektor
konstan
sebuah vektor konstan.
sebarang
maka
LATIHAN TERBIMBING Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong! Latihan 1
Gunakan teorema Stokes untuk menghitung yang dibatasi oleh
dengan
, dimana S adalah permukaan paraboloida dan C sebagai batasnya
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 154 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 6
Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
Penyelesaian Batas C dari S adalah suatu lingkaran dengan persamaan dan persamaan parameternya adalah
dimana
. Berdasarkan teorema Stokes
Maka,
.
Latihan 2
Hitunglah bidang
di mana
dan C adalah perpotongan
dengan silinder
Penyelesaian Integral garis pada soal ini akan mudah dipecahkan dengan menggunakan
teorema Stokes, yaitu
.
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 155 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 6
Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
Misalkan S adalah permukaan yang dibatasi oleh kurva C tersebut, maka permukaan S terlihat pada gambar berikut
yaitu suatu permukaan dengan persamaan dan dibatasi oleh silinder Vektor satuan normal pada permukaan S adalah
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 156 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 6
Jadi
Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
...
Latihan 3
Gunakan Teorema Stokes untuk menghitung
dengan
danC berupa kurva segitiga pada gambar berikut
z (0,0,2)
C
(0,1,0)
y
(1,0,0) x
Penyelesaian Misalkan S berupa kurva dengan C sebagai batas terarahnya, yaitu . Vektor satuan normal pada permukaan S adalah
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 157 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 6
Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
Jadi
LATIHAN MANDIRI Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia!
Latihan 1 Misalkan S bagian dari permukaan bola bidang , dan misalkan
di bawah Gunakan teorema Stokes
untuk menghitung Penyelesaian
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 158 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 6
Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
Latihan 2 Periksa kebenaran Teorema Stokes untuk paraboloid dengan lingkaran batasnya.
jika S adalah sebagai
Penyelesaian
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 159 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 6
Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
Latihan 3 Periksa kebenaran teorema Stokes untuk di mana S adalah permukaan kubus bidang
di atas
Penyelesaian
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 160 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 6
Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
Latihan 4
Periksalah kebenaran teorema Stokes untuk adalah permukaan daerah yang dibatasi oleh yang termasuk dalam bidang .
di mana S
Penyelesaian
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 161 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 6
Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 162 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 6
Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
Kunci Jawaban Latihan 1: Latihan 2 : Latihan 3 : - 4 Latihan 4 : 32/3
Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 163 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 6
Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
Materi pokok pertemuan ke 15: 3. Teorema Green
URAIAN MATERI
Pada materi sebelumnya, kita telah mengenal teorema Stokes. Teorema Stokes berlaku untuk permukaan-permukaan S dalam ruang yang memiliki kurva C sebagai batasnya. Sedangkan, teorema Green berlaku pada daerah tertutup dalam bidang xy yang dibatasi oleh kurva tertutup C. Istilahnya, teorema Green dalam bidang adalah hal khusus dari teorema Stokes. Jadi, tambah satu cara lagi untuk mencari besar usaha. Yaitu, dengan menggunakan teorema Green dalam bidang. Nah, berikut definisi Teorema Green.
Jika R adalah suatu daerah tertutup dalam bidang yang dibatasi oleh sebuah kurva tertutup sederhana C, M dan N adalah fungsi-fungsi kontinu dari dan yang memiliki turunan-turunan kontinu dalam R, maka
Jika
menyatakan medan gaya yang bekerja pada sebuah partikel dimana ,
maka
adalah
usaha
yang
dilakukan
dalam
menggerakkan partikel tersebut mengelilingi suatu lintasan tertutup C. Yaitu
Dengan menggunakan teorema Green, maka usaha yang dilakukan adalah
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 164 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 6
Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
Jadi, selain perhitungan dengan menggunakan integral garis, menentukan besar usaha yang dilakukan juga dapat dihitung dengan menggunakan teorema Green.
CONTOH SOAL Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di bawah ini ! Contoh 1 Buktikanlah teorema Green dalam bidang jika C adalah sebuah kurva tertutup yang memiliki sifat bahwa setiap garis lurus yang sejajar sumbu koordinat memotong C paling banyak pada dua titik Penyelesaian
Misalkan persamaan kurva AEB dan AFB berturut-turut adalah dan Jika R adalah daerah yang dibatasi oleh C , diperoleh
Sehingga diperoleh
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 165 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 6
Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
Dengan cara yang sama, misalkan persamaan-persamaan kurva EAF dan EBF berturut-turut adalah dan Maka
Sehingga diperoleh
Jumlahkan (1) dan (2) maka didapat
Contoh 2
Periksa teorema Green pada bidang untuk
dimana C adalah kurva tertutup dari daerah yang dibatasi oleh
dan
Penyelesaian Kurva-kurva bidang tersebut berpotongan di (0, 0) dan (1,1). Arah positif dalam menjalani C ditunjukkan pada gambar
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 166 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 6
Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
–
Sepanjang
integral garisnya sama dengan
Sepanjang
integral garisnya sama dengan
Maka integral garis yang diinginkan = 7/6 Dengan menggunakan teorema Green
17/15 = 1/30
Dengan demikian selesailah pemeriksaan teorema Green.
Contoh 3 Perlihatkan bahwa jika suatu daerah S pada bidang mempunyai batas C , dengan C adalah kurva tertutup sederhana, maka luas S diberikan oleh
Penyelesaian
Misalkan
dan terapkan teorema Green
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 167 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 6
Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
LATIHAN TERBIMBING Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong! Latihan 1 Hitunglah
di mana C adalah suatu bujur
sangkar dengan titik sudut (0, 0), (0,2), (2,2), (2,0) Penyelesaian Gambar daerah yang dimaksud adalah sebagai berikut
(0,2)
(2,2)
(0,0)
(2,0)
Berdasarkan teorema Green
Maka
Jadi,
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 168 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 6
Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
Latihan 2 Gunakan hasil contoh 3 untuk mencari luas yang dilingkupi oleh elips dengan persamaan parameter
Penyelesaian
Latihan 3
Hitunglah
di sekeliling suatu segitiga
pada bidang dengan titik sudut (0,0), (3,0), (3,2) yang dijalani berlawanan arah dengan jarum jam. Penyelesaian Gambar daerah yang dimaksud adalah sebagai berikut y
x
Berdasarkan teorema Green
Maka
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 169 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 6
Jadi,
Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
LATIHAN MANDIRI Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia!
Latihan 1 Hitunglah integral garis pada soal latihan 3(terbimbing) di sekeliling suatu lingkaran berjari-jari 4 dan berpusat di (0,0) Penyelesaian
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 170 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 6
Latihan 2 Hitunglah
Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
didefinisikan oleh teorema Green
dan
mengelilingi batas daerah yang
(a) secara langsung, (b) menggunakan
Penyelesaian
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 171 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 6
Latihan 3 Hitunglah
Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
sepanjang jajar genjang yang
memiliki titik-titik sudut di (0,0), (2,0), (3,1), dan (1,1). Penyelesaian
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 172 STKIP PGRI SUMBAR
