BAB VII KURVA NORMAL Kurva Normal adalah kurva yang memiliki nilai sedang lebih banyak daripada nilai yang kurang atau nilai yang lebih. Suatu alat statistik yang sangat penting untuk menaksir dan meramalkan peristiwa-peristiwa yang lebih luas. Suatu data membentuk distribusi normal bila jumlah data di atas dan di bawah mean adalah sama. Kurva normal bukan hanya satu kurva, melainkan mempunyai sejumlah kurva yang tidak terbatas yang mungkin dapat dibuat, dan semua itu dideskripsikan dengan suatu persamaan aljabar berikut.
Secara umum, pemahaman atas persamaan aljabar ini tidak menjadi kebutuhan atau diperlukan untuk mengapresiasi dan menggunakan kurva normal. Namun demikian persamaan ini perlu dijelaskan untuk memahami bagaimana konsep dan aplikasi suatu kurva normal. Pertama, penggunaan simbol-simbol dalam persamaan ini dimaksudkan untuk menyederhanakan proses perhitungan. Simbol-simbol itu termasuk “2". “p”, dan “e”. Lambang “e” untuk menunjukkan adanya perhitungan dengan bilangan irasional atau untuk menunjukkan batasan yang sangat panjang. Hal ini dimungkinakn untuk menunjukkan “sejumlah keunikan”, dalam kasus “e” ini, yang menunjukkan “kekuatan khusus” Kedua, adanya sekumpulan simbol yang menjadi kepedulian termasuk simbol “X”, yaitu melambangkan variabel responden untuk suatu skor nilai. Tinggi dari suatu kurva pada satu titik merupakan fungsi dari X (fx). Ketiga, dua simbol terakhir dalam persamaan adalah “mu (μ) lambang dari ratarata ” dan “sigma (σ) lambang dari stadar deviasi” kedua lambang ini disebut dengan parameter atau nilai-nilai. Kedua parameter ini memberikan kemungkinan pembuatan kurva normal menjadi tidak terbatas, yaitu dengan menghubungkan kedua parameter
Page 78
ini. Dalam hal ini konsep parameter menjadi sangat penting dan perlu diperhatikan secara sungguh-sungguh. Kurva normal memiliki 2 unsur: yaitu rata-rata populasi (lambang: miu) dan variansi (lambang: sigma kuadrat). Dua hal itu lah yang bakal mempengaruhi bentuk dari kurva normal (luas dan tingginya).Sebelumnya perlu ditekankan bahwa kurva normal ini dimaksudkan untuk mengetahui sebaran data, apakah sesuai dengan kurva ini atau tidak. Kalo misalnya ada data yang ga sesuai, bukan berarti untuk dibuang), tapi berarti kalo misal ada yang ga sesuai, kita harus memakai analisis yang non parametrik. Jadi ini bener-bener cuma ngaruh ke analisa lanjutan aja. Kurva normal ini bisa didapatkan dari 2 hal: dari hasil penelitian empirik atau dari grafik poligon yang dihaluskan.Tapi, pada prakteknya, ga ada distribusi data yang "senormal kurva normal". Tapi biasanya cuma mendekati dengan kurva normal. Dimana μ adalah rata-rata, σ adalah standar deviasi dan π = 3,14159… Contoh grafik fungsi kerapatan probabilitas dari distribusi normal digambarkan dalam Gambar 1.
Gambar 1. Grafik fungsi probabilitas distribusi normal
Grafik fungsi distribusi normal tersebut di atas membentang dari minus tak hingga hingga tak hingga. Hanya saja, semakin jauh dengan rata-rata (M1), nilai probabilitas akan semakin mendekati nol. Contoh soal 1: Dari penelitian terhadap 150 orang laki-laki yang berumur 40–60 tahun didapatkan rata-rata kadar kolesterol (μ) mereka 215 mg % dan simpangan baku σ = 45 mg %. Hitunglah peluang kita mendapatkan seorang yang kadar kolesterolnya:
Page 79
a. < 200 mg % b. > 250 mg % c. antara 200 –275 mg % Jawab : Untuk menghitung nilai probabiltas dari pertanyaan di atas, kita gunakan rumus fungsi probabilitas distribusi normal. Karena nilai probabilitas yang dibutuhkan adalah pada rentang nilai x tertentu, maka kita harus menggunakan integral untuk menghitungnya. 200
a. P (<200 mg) =
1 2 e
( x )2 2 2
b. P (> 250 mg) =
1 250 2 e
275
c. P(200< x <275) =
1 200 2 e
dx
( x )2 2 2
dx
( x )2 2 2
dx
Untuk mengatasi permasalahan di atas, terdapat cara lain untuk menghitung nilai peluang distribusi normal. Untuk menentukan nilai peluang pada soal di atas, kita pelajari dulu cara menghitung nilai Z dan membaca tabel luas kurva normal. Nilai Z didapat dengan rumus berikut:
Z
x
Sedangkan tabel luas kurva normal adalah tabel yang memuat luas kurva normal dari titik minus tak hingga sampai titik x. Tabel luas kurva normal ini sangat bermanfaat untuk menghitung soal-soal seperti contoh soal 1b. Hanya saja, tabel kurva normal ini disusun berdasarkan nilai Z. Sehingga kita harus menghitung nilai Z terlebih dahulu
Page 80
Tabel luas kurva normal untuk distribusi normal ditunjukkan dalam Tabel 1a dan 1b.
Tabel 1a. Nilai luas kurva normal untuk nilai Z < 0 (negatif)
Tabel 1a. Nilai luas kurva normal untuk nilai Z > 0 (positif)
Penyelesaian contoh soal 1 dengan menggunakan tabel kurva normal. Dari penelitian terhadap 150 orang laki-laki yang berumur 40–60 tahun didapatkan rata kadar kolesterol (μ) mereka 215 mg % dan simpangan baku σ = 45 mg %. Hitunglah peluang kita mendapatkan seorang yang kadar kolesterolnya: a. > 250 mg % b. < 200 mg % c. antara 200 –275 mg %
Page 81
Jawab : μ = 215 σ = 45 Untuk memudahkan pengerjaan, kita kerjaan contoh soal 1.b terlebih dahulu. b.
P(x < 200)
Z Z
200
200 215 45
Z 0.67 Berdasarkan tabel kurva normal, untuk nilai Z = -0,67, luasnya adalah 0.2514. Sehingga peluang untuk menemukan laki-laki dengan kadar gula kurang dari 200 mg % adalah 0.2514.
a. P(x > 250) Untuk menghitung soal 1a, kita cari dulu peluang menemukan laki-laki dengan kadar gula kurang dari 250 mg atau P (x <250 )
Z
250 215 45
Z 0.78 Berdasarkan tabel kurva normal, untuk nilai Z = 0.78, luasnya adalah 0.7794. Sehingga peluang untuk menemukan laki-laki dengan kadar gula kurang dari 250 mg % , P (x < 250) adalah 0.7794. Peluang untuk menemukan laki-laki dengan kadar gula lebih dari 250 mg % , atau P (x > 250) dapat dilakukan dengan cara berikut :
P ( x > 250)
= 1 - P ( x < 250 ) = 1 - 0.7794 = 0.2206
Page 82
Keluarga Distribusi Kurva normal merupakan salah satu bentuk (anggota keluarga) dari sekian banyak (tidak terbatas) pola distribusi. Model setiap anggota keluarga ditentukan oleh seperangkat parameter (μ dan σ) dengan nilai (perhitungan) khusus. Sebab parameter σ dapat ditempatkan pada suatu nilai, posisitf atau negatif, dan parameter μ mempunyai nilai posisitf, hubungan dari kedua parameter ini membuat keluarga kurva normal menjadi luas sekali yang mempunyai anggota anggota tidak terbatas. Atas dasar itu, kurva normal diusulkan menjadi suatu model umum, karena asumsi kurva normal mampu menjelaskan sejumlah besar fenomena yang terjadi secara alami, mulai dari skor tes sampai ke fenomena bintang-bintang di langit. Kesamaan Anggota Keluarga Kurva Norma Anggota keluarga kurva normal sangat bervariasi mempunyai perbedaan, akan tetapi mempunyai sejumlah sifat-sifat umum yang sama, sifat-sifat umum ini disebut juga dengan kesamaan anggota keluarga kurva normal. Kesamaan (sifat-sifat umum ini) mencakup: bentuk simetri, mendekat ke ujung tetapi tidak pernah bersentuhan dengan
sumbu
X
(asimtot),
dan
mempunyai
wilayah
di
bawah
kurva.
Dalam hal bentuk, semua anggota keluarga kurva normal mempunyai kesamaan yaitu berbentuk “lonceng”, kemudian sumbu X mempunyai kesamaan skala yang tepat. Sebagian besar wilayah di bawah kurva berada di sekitar titik tengan atau rata-rata. Ujung garis distribusi mendekat ke sumbu X tetapi tidak pernah menyentuh, dan luas wilayah di bawah kurvanya sangat kecil Kesamaan dalam hal simetris, semua anggota keluarga kurva normal berada pada dua sisi sejajar dan simetris. Artinya, jika satu kurva normal digambarkan pada permukaan kertas dua dimensi, maka jika kertas itu dilipat pada garis tengahnya (garis rata-rata) maka kedua sisi kurva normal itu harus tepat sama. Keadaan simetris ini juga tergambar dalam struktur tubuh manusia, secara umum dalam posisi sejajar atau mendekati simetris antara sisi kiri dan kanan. Begitu juga dalam perkembangan kehidupan manusia baik individual maupun sosial.
Page 83
Semua keluarga kurva normal mempunyai ekor mendekati sumbu X, tetapi tidak pernah menyentuhnya. Implikasinya, dibagian manapun suatu titik yang berada pada kurva (arah positif atau negatif) tetap saja mempunyai wilayah yang berada di bawah kurva normal. Oleh karena itu, gambar dari satu kurva normal harus mempunyai panjang garis yang tidak berhingga. Sehingga untuk mengeahui luas wilayah yang berada di bawah kurva normal harus dilihat dari suatu rentang yang dibatasi oleh sejumlah garis, hanya sebagaian kecil dari segmen garis yang digambarkan untuk kurva normal khusus. Semua anggota keluarga kurva normal mempunyai total wilayah di bawah kurva sama dengan satu (1.00) , seperti yang terjadi pada model-model kemungkinan atau distribusi frekuensi. Sifat ini, menjadi tambahan pada sifat simetri, implikasinya bahwa wilayah pada setiap setengah dari distribusi adalah 0,50 atau setengah. Ciri-Ciri Kurva Normal 1. Bentuk Kurva Normal Bentuk kurva normal menyerupai bentuk genta (bel). Kurva normal merupakan suatu poligon yang dilicinkan yang mana ordinatnya memuat frekuensi dan absisnya memuat nilai variabel. Bentuk kurva normal adalah simetris, sehingga luas rata-rata (mean) ke kanan dan ke kiri masing-masing mendekati 50 %. Memiliki satu modus, jadi kurva unimodal
2. Daerah Kurva Normal Ruangan yang dibatasi daerah kurva dengan absisnya disebutdaerah kurva normal. Luas daerah kurva normal biasa dinyatakan dalam persen atau proporsi. Dengan kata lain luas daerah kurva normal adalah seratus per sen, apabila dinyatakan dalam persen,dan apabila dinyatakan dengan proporsi, luas daerah kurva normaladalah satu.
Page 84
Kurva Normal Standart (Kurva Normal Baku) Kurva normal standar atau kurva normal baku adalah kurva normalyang mana nilai rata-ratanya sama dengan nol (m = 0 ) dan simpangan bakunya adalah 1 (s = 0 ). Dalam kurva normal umum nilai rata-rata sama dengan x dan nilai simpangan baku 1s, 2s, 3s. dengan kata lain dalam kurva normal umum nilai rata-ratanya tidak sama dengan nol (m ¹ 0) dan nilai simpangan bakunya tidak sama dengan 1 (s ¹ 1). Nilai kurve normal adalah 100% Z score adalah nilai standar dari nilai tak terhingga Z score =
=
Contoh soal Hasil penelitian terhadap 100 orang siswa diperoleh sebagai berikut, rata-rata 15, standar deviasi 7. Berapakah siswa yang dapat nilai 17 ke atas? Z-score =
=
= = 0,28
berdasarkan tabel 11,03%
Bentuk kurva normal tergantung pada distribusi nilai/ skor yang akan dibuat kurvanya. Penyebaran skor dan panjang pendeknya rentangan distribusinya berpengaruh besar atau menentukan bentuk kurvanya. Jika jumlah responden sama, rentangan nilainya tidak sama,sedangkan simpangan bakunya tidak sama, maka kurva normal dari distribusi nilai tersebut akan berbeda bentuknya. Jenis bentuk kurva yang diakibatkan oleh perbedaan rentangan nilai dan simpangan baku ada 3 macam: 1. leptokurtic, merupakan bentuk kurva normal yang meruncing tinggikarrena pengumpulan nilai pada nilai sekitar niai rata-rata sangat banyak.
Page 85
2. platykurtic, merupakan bentuk kurva normal yang endatar rendah karena perbedaan frekuensi pada skor-skor yamg mendekati rata-rata sangat kecil. 3. normal, merupakan bentuk kurva normal yang biasa, artinya bentuknya merupakan bentuk antara leptorkutic dan platykurtic, karena penyebaran nilai biasa dan tidak terjadi kejutan-kejutanyang berarti Kurva Normal Standart (Kurva Normal Baku)
Distribusi Normal
Page 86
Data populasi akan berdistribusi normal jika rata-rata nilainya sama dengan modenya serta sama dengan mediannya. Ini berarti bahwa sebagian nilai mengumpul pada posisi tengah, sedangkan frekuensi skor yang rendah dan yang tinggi menunujukkan kondisi yang semakin sedikit dan seimbang. Oleh karena penurunan frekuensi pada nilai yang semakin rendah dan nilai yang semakin tinggi adalah seimbang, maka penurunan garis kurva ke kanan dan ke kiri akan seimbang. Kurva normal mempunyai hubungan erat dengan data yang kontinue (interval maupun ratio). Distribusi yang normal kurvanya merupakan distribusi yang paling banyak dijumpai dan digunakan sebagai pengembangan rumus-rumus statistik parametric (inferensial statistik). Disamping itu sifat normal ini yang paling banyak ditunjukkan oleh sifat populasi. Distribusi normal mempunyai sifat-sifat yang khusus yaitu: 1. Bentuknya simetri dengan sumbu X 2. Nilai rata-rata = mode = median 3. Mode hanya satu (unimodal) 4. Ujung-ujung grafiknya hanya mendekati sumbu X atau dengan kata lain tidak akan bersinggungan maupun berpotongan dengan sumbu X. 5. Kurva akan landai jika rentangan nilai besar, sebaliknya jika rentangan skor kecil maka kurvanya akan meninggi. 6. Luas daerah kurva akan sama dengan luas satu persegi empat.
Page 87
Dibawah ini adalah contoh:
Persamaan di atas dapat membuat para pelajar menjadi panik dan/atau mengalami kesulitan untuk memahami konsep kurva normal. Secara umum, pemahaman atas persamaan aljabar ini tidak menjadi kebutuhan atau diperlukan untuk mengapresiasi dan menggunakan kurva normal. Namun demikian persamaan ini perlu dijelaskan untuk memahami bagaimana konsep dan aplikasi suatu kurva normal. Pertama, penggunaan simbol-simbol dalam persamaan ini dimaksudkan untuk menyederhanakan proses perhitungan. Simbol-simbol itu termasuk “2". “p”, dan “e”. Lambang “e” untuk menunjukkan adanya perhitungan dengan bilangan irasional atau untuk menunjukkan batasan yang sangat panjang. Hal ini dimungkinakn untuk menunjukkan “sejumlah keunikan”, dalam kasus “e” ini, yang menunjukkan “kekuatan khusus” Kedua, adanya sekumpulan simbol yang menjadi kepedulian termasuk simbol “X”, yaitu melambangkan variabel responden untuk suatu skor nilai. Tinggi dari suatu kurva pada satu titik merupakan fungsi dari X (fx). Ketiga, dua simbol terakhir dalam persamaan adalah “mu (μ) lambang dari rata-rata ” dan “sigma (σ) lambang dari stadar deviasi” kedua lambang ini disebut dengan parameter atau nilai-nilai.Kedua parameter ini memberikan kemungkinan pembuatan kurva normal menjadi tidak terbatas, yaitu dengan menghubungkan kedua parameter ini. Dalam hal ini konsep parameter menjadi sangat penting dan perlu diperhatikan secara sungguhsungguh.
Page 88
