Universidad de Costa Rica
Facultad de Ciencias Agroalimentarias Escuela de Economía Agrícola
Técnicas de Optimización Financiera
Priscila Arguedass – B00555 José Carlos Barrantes – B00809 Gerardo Camacho – A81208 Anthony Cubero – A92054 Mariangel Fernández – A72478
22 de setiembre, 2015
#$#%&'&'( ) La aversión al riesgo en el modelo MPAC se mide por la prima de mercado, de manera que si se aumentara el grado de aversión al riesgo de los inversionistas, ¿la prima de riesgo sobre la acción de beta alta se incrementaría más o menos que la de una acción de beta baja? Explique con un ejemplo numérico: La fórmula para calcular el rendimiento exigido a la acción de evaluación en el modelo es la siguiente: !" !" ! !" !!" ! !"!, donde el componente !" !!" ! !"! corresponde a la prima del activo o de la acción evaluada y, !!" ! !"!, corresponde a la prima de mercado. De este modo, si se considera un Rf fijo, y, si el mercado tiene rendimientos altos, aumentándome el grado de aversión al riesgo, la prima de riesgo sobre la acción se incrementaría más en una acción de un beta alto a una acción de un beta bajo (considerando que este beta sea siempre positivo, ya que si el beta es negativo el efecto es contrario), esto sucede ya que el beta me determina que tan riesgosa es la inversión en la acción individual de acuerdo al mercado, o que tanta volatilidad tienen los rendimientos de los activos a evaluar versus el rendimiento promedio del mercado. !
En conclusión, si la prima de mercado aumenta, la prima de riesgo sobre la acción va a ser mayor en betas mayores, ya que son proporciones mayores de aumento de la prima. Por ejemplo: •
Con un Rf de 6%, un !" de 1, y un Rm de 11%: !"
!
!" ! !!!! ! !!//Prima de mercado= 5%//Prima de la acción = 5%
Si la prima de mercado aumenta a un 6%, la prima de la acción aumentará en una proporción de 1:1, siendo 6% •
Por otra parte, considerando un !" de 0.5: !"
!
!" ! !!!!!! ! !!//Prima de mercado=5%//Prima de la acción = 2.5%
Ahora, si la prima de mercado aumenta a un 6%, la prima de la acción disminuirá en proporción de 0.5:1, siendo 2.5% •
una
Por último, considerando un !" de 2: !"
!
!" ! !!!! ! !!//Prima de mercado=5%//Prima de la acción=10%
Ahora, si la prima de mercado aumenta a un 6%, la prima de la acción aumentará en una proporción de 2:1, siendo 12%. Con betas negativos, el comportamiento del análisis es totalmente contrario, por ejemplo: •
Considerando un !" de -0.5: !"
!
!" ! !!!!!!!!! ! !!/Prima de mercado=5%//Prima de la acción=-2.5%
!
Ahora, si la prima de mercado aumenta a un 6%, la prima de la acción disminuirá en una proporción de 0.5:1, siendo -3, esto se explica porque los betas negativos significan que el comportamiento va contrario al mercado. #$#%&'&'( ! Si se duplicara la beta de una empresa, ¿acaso se duplicaría su rendimiento esperado?: R/ Si se considera un Rf de 6%, un Rm de 11% y un be ta de 0.5, el rendimiento esperado sería: !"
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Si el beta se duplica, en este caso sería 1, el rendimiento esperado sería: !"
!
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11%
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Por ende, no se puede considerar verdadero que si el beta de una empresa se duplica, su rendimiento esperado se vaya a duplicar. #$#%&'&'( * ¿Qué importancia tiene el concepto de coeficiente de variación en el análisis de las inversiones? R/ El coeficiente de variación es un indicador que me relaciona directamente la desviación o riesgo de la inversión con el valor esperado de la misma, es utilizado en la toma de decisiones de inversión, por ejemplo: Inv.A Esperado Riesgo CV=
Inv.B
12% 20% 9% 17% 9/12= 0,75 17/20=0,85
En este caso en particular, la inversión que se seleccionaría sería la opción A, ya que me genera un coeficiente de variación menor, esto quiere decir, que por cada unidad de rendimiento, se están generando 0.75 uds de riesgo, por otra parte, la inversión B genera 0.85 uds de riesgo por cada unidad de rendimiento, por tanto, no se considera tan buena opción para un inversionista adverso al riesgo. #$#%&'&'( + R/ La proporción en la que se debería invertir en cada uno de los activos A y B, para conformar la cartera AB que permite minimizar su riesgo, es de 27.71% para el activo A y un 72.28% para el activo B, se calcula con la siguiente fórmula:
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Para este caso en específico: !"
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Al ser dos activos, la proporción para el activo b se saca por diferencia: 1-0.2771= 0.7229. El coeficiente de correlación se calcula de la siguiente manera: !
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27.71%(A)/73%(B) Año
Rend A
Rend B
Cartera AB
2010 2011 2012 2013 2014
-2 10 12 14 14 9,6 6,70
3 7 17 14 7 9,6 5,73
1,65 7,81 15,65 14 8,89 9,6 5,55
Esperado Desv Est/Riesgo Coeficiente Correlación
0,66
+
#$#%&'&'( , Las acciones A y B tiene los rendimientos históricos que se indican a continuación: Cálculos con datos Año
Rend A
Rend B
Cartera AB
1994 1995
-10,00 18,50
-3,00 21,29
-6,50 19,90
1996 1997
38,67 14,33
44,25 3,67
41,46 9,00
1998
33,00
28,30
30,65
Esperado
18,90 19,02
18,90 19,03
18,90 18,65
Desv Est/Riesgo Coeficiente Correlacion
0,92
a) Para este caso, la tasa de rendimiento promedio correspondiente a cada acción correspondería a los valores Esperados de 18.9% para la acción A y de igual manera 18.9% para la acción B, si una persona conformara un portafolio asignando un 50% a cada acción, obtendría los rendimientos esperados mostrados en la tabla anterior, siendo el año 1994 el año de menor rendimiento con -6.50% y el año mayor 1996 obteniendo un 41.46% de rendimiento, a lo largo de este período, la tasa de rendimiento promedio esperada sería de un 18.90% b) La desviación estándar para la acción A es de 19.02%, para la acción B de 19.03% y para el portafolio es de 18.65%. c) El coeficiente de correlación, ha de ser más cercano a 0.9, ya que al observar los rendimientos de cada acción de manera anual, ambos comparten su carácter negativo y positivo en los mismos períodos, y los repuntes de rendimiento los poseen ambos en el mismo año (1996), lo que da la idea de que los activos que están siendo analizados están altamente correlacionados, el cálculo de la correlación nos permite verificar este hecho, con un resultado de 0.92 (se utilizó la fórmula del ejercicio 4).
,
#$#%&'&'( ECRI es una empresa controladora compuesta por cuatro subsidiarias principales. Los siguientes datos muestran el porcentaje de participación en el que negocio que proviene de cada una de las subsidiarias, y sus beta correspondientes. Subsidiaria
Porcentaje de Negocios
Servicio público de suministro de energía eléctrica Compañía de televisión por cable Bienes raíces Proyectos internacionales y/o especiales Beta de la compañía controladora=
Beta
60 25 10
0,70 0,90 1,30
5
1,50
0,85
Bi Rf Rm-Rf ki
0,85 6% 5% 10%
Adoptando los cambios de la parte C : Subsidiaria
Porcentaje de Negocios
Servicio público de suministro de energía eléctrica Compañía de televisión por cable Bienes raíces Proyectos internacionales y/o especiales Beta de la compañía controladora=
Beta
50 25 10
0,70 0,90 1,30
15
1,50
0,93
Bi Rf Rm-Rf ki
0,93 6% 5% 11%
-
#$#%&'&'( . El rendimiento esperado de una acción tiene la distribución siguiente:
Cálculos con datos Año
Probabilidad Rendimiento
Escasa
0,10
-50,00
Por debajo del promedio
0,20
-5,00
Promedio
0,40
16,00
Por arriba del promedio
0,20
25,00
Intensa Esperado Riesgo Coeficiente Variación
0,10
60,00 11,40 26,70 2,34
Se calculó el riesgo con la siguiente fórmula (donde sí se incluye la probabilidad): !!" ! ! !! ! !"
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Dando como resultado una desviación estándar/riesgo del 26.70% y un coeficiente de variación de 2.34, esto se interpreta de que por cada unidad de rendimiento que se está genera, también se están generando 2.34 uds de riesgo, se podría concluir que este riesgo está se manifiesta en una proporción mayor al doble que cada unidad de rendimiento.
#$#%&'&'( / Una mujer tiene $35,000 invertidos en una acción que tiene una beta de 0.8 y $40,000 invertidos en una acción cuya beta es de 1.4. Si éstas son las dos únicas inversiones de que se compone su portafolio, ¿cuál es la beta de éste? R/ Para este caso, la beta es de 1,12, surge de la multiplicación de la proporción de las acciones individuales en el portafolio por cada beta individual de las acciones.
.
Mujer
Dinero Invert. Proporción del total
Acción A Acción B Total
35000 40000 75000
Beta de la inversion=
Beta 0,47 0,80 0,53 1,40
1,12
#$#%&'&'( 0 Suponga que la tasa libre de riesgo es del 5% y la prima de riesgo de mercado es de 6% ¿Cuál es el rendimiento esperado del mercado de acciones en su totalidad? ¿Cuál es la tasa de rendimiento requerida sobre una acción que tiene un beta de 1,2?
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Entonces:
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R/ La tasa de rendimiento requerida sobre una acción con un beta de 1,2 es de 11%.
#$#%&'&'( )1 Suponga que el lector tiene un portafolio diversificado que consiste de una inversión por $7500 en cada una de las 20 acciones comunes diferentes. La beta del portafolio es igual a 1,12. Supongamos ahora que decidió vender en $7500 una de las acciones que incluye su portafolio cuya beta es de 1,0 y utilizar el producto de esta venta para adquirir otra acción para incluirla en su portafolio. Supongamos que el beta de esta nueva inversión es igual a 1,75. Calcule la nueva beta del portafolio.
$ 7 500 x 20 = $ 15 000 Cada acción tiene proporción igual al 5% Por regla de 3 se determina $ 150 000 = 100% entonces $ 7500 = 5% Entonces: !!!
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R/ El nuevo beta para el portafolio es de 1,15.
#$#%&'&'( )) Supongamos que el lector es el responsable de administrar el dinero de un fondo de inversión de $ 4 millones. El fondo consiste de 4 acciones a las que corresponden las inversiones y betas que se indican a continuación: !""#
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'$) '() ,() ($) '$$)
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Si la tasa de rendimiento requerido del mercado es del 14% y la tasa libre de riesgos es del 6% anual. ¿Cuál es la tasa de rendimiento requerida? !! !!
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= 0,7625
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R/ La tasa de rendimiento requerida es del 12.1%.
#$#%&'&'( )! Las acciones A y B tienen los rendimientos históricos que se muestran a continuación:
Año
Rend. A
Rend. B
1994
-18 33 15 -0,5 27
-14,5 21,8 30,5 -7,6 26,3
1995 1996 1997 1998
0
a) Calcule la tasa de rendimiento promedio correspondiente a cada acción durante el periodo comprendido entre 1994 y 1998. Utilizando la siguiente fórmula: !"#$%$"&'() !
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!"#$%&'#
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Ejemplo: !!
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Con base a la formula anterior se logra determinar que el rendimiento correspondiente al periodo que rige de 1994 a 1998 es para la acción A y para la acción B es de 11,3% para cada una de ellas. b) Supongamos que alguien tiene un portafolio consistente en 50% e acciones de A y 50% en acciones de B. ¿Cuál sería la tasa de rendimiento anual obtenida sobre el portafolio de 1994 a 1998? ¿Cuál habrá sido el rendimiento promedio sobre el portafolio a lo largo de este periodo? Implementando la siguiente fórmula: !"#$%&%"#'( !"#!$
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Con base a la formula anterior y a utilizada en el punto a) se determina los rendimientos anuales, así como el rendimiento del periodo, los cuales se muestran a continuación:
c)
Año
Rend. Port
1994
-16,25%
1995
27,4%
1996
22,75%
1997
-4,05%
1998
26,65%
E
11,3%
Calcule a desviación estándar de los rendimientos de correspondientes a cada acción y la del portafolio Utilizando la siguiente fórmula se realiza el siguiente cálculo:
!
!!" ! ! !!
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Ejemplo:
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A
B
Portafolio
Ri-E
Potencia
Ri-E
Potencia
Ri-E
Potencia
-29,3 21,7 3,7 -11,8 15,7
858,49 470,89 13,69 139,24 246,49
-25,8 10,5 19,2 -18,9 15
665,64 110,25 368,64 357,21 225
-27,55 16,1 11,45 -15,35 15,35
759,00 259,21 131,10 235,62 235,62
Suma
1728,8
Suma
1726,74
Suma
1620,56
/n
432,2 20,79
/n
431,69 20,78
/n
405,14 20,13
!
!
!
d) Calcule el coeficiente de variación para cada acción y para el portafolio:
!
!"
Acción A
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Portafolio
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Acción B
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e) Si el lector es un inversionista que manifiesta aversión al riesgo ¿Preferiría tener la acción A, la acción B o el portafolio? R/ Se elige el portafolio debido a que es el que presenta menor riesgo (!) en comparación con las acciones A y B, sin dejar de lado que el portafolio es quien presenta menor riesgo por rentabilidad esperada (E). Cuadro resumen:
Año
Rend. A
Rend. B
Rend. Port
1994
-18 33 15 -0,5 27 11,3
-14,5 21,8 30,5 -7,6 26,3 11,3
-16,25 27,4 22,75 -4,05 26,65 11,3
20,79
20,78
20,13
1,84
1,84
1,78
1995 1996 1997 1998 E Desv. Estandar CV
))
#$#%&'&'( )* A lo largo del tiempo del tiempo el lector observó lo siguiente:
Año
Acción X
Acción Y
Mercado
1994 1995 1996 1997 1998
14 19 -16 3 20
13 7 -5 1 11
12 10 -12 1 15
a) ¿Cuáles son las betas de la acción X y Y?
!""#$% 6 0$
!""#$% 7 '(
. / '&0#-'1 2 $&33(
,$ '$ $ +,$
. / $&*($@1 2 ,&$'(3
'$
+'$+'$ $
'$
455678 9
(
455678 A
:68;<= >455678 9?
$
:68;<= >455678 A?
,$
+,$
+'$ +( $
+,$
'$
,$
+'$ 1,3471
Beta:
0,6508
Beta:
b) ¿Cuáles son las tasas de rendimiento requeridas para las acciones X y Y? RF = 6%
RM-RF = 5% !"
c)
!
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¿Cuál es la tasa de rendimiento requerida para un portafolio que consiste de la acción A en un 80% y un 20% de la acción Y? Primero es necesario el cálculo del ! del portafolio !! !!
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= 1,2078
Rendimiento requerido del portafolio: !" !"!
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d) Si el rendimiento esperado sobre la acción X es del 22% ¿La acción X está sobrevaluada o subvaluada? Dado a que el rendimiento requerido es del 12,04%, esperar un rendimiento sobre la acción X de un 22% es sobrevaluar la acción.
#$#%&'&'( )+ Rendimiento de activos A y B y formación de cartera de inversión en proporciones 30%/70% respectivamente: a) Determinar los rendimientos esperados de los activos individuales A y B A continuación se presenta la fórmula utilizada y su desarrollo para el Activo A !"#$%$"&'() !
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b) Determine las desviaciones estándar de las inversiones individuales A y B Utilizando la siguiente fórmula se realiza el siguiente cálculo:
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Ejemplo:
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A continuación se presenta la totalidad de los cálculos:
Periodo 1 2 3 4 5 6 E !
c)
Rendimiento A
Rendimiento B
10 11 14 12 15 16
9 9,5 12 12 10 9
13 2,37
10,25 1,41
Establezca el coeficiente de variación de las inversiones individuales A y B !
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d) Establezca el riesgo de la cartera A/B, el rendimiento esperado de la cartera y el coeficiente de variación de la cartera Rendimiento: Se implementa la siguiente fórmula !"#$%&%"#'( !"#!$
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Rendimiento esperado de la cartera: Se implementó la siguiente fórmula !"#$%$"&'() !
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Desviación estándar de la cartera:
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Los cálculos completos se presentan a continuación: Periodo
Rendimiento A/B
1
9,3
2
9,95
3
12,6
4
12
5
11,5
6
11,1
E
11,075
!
1,24
Coeficiente de variación de la cartera: !
!"
!
!!
)+
!"
! !" !
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e) Compare el riesgo de las carteras individuales y el de la cartera de inversión:
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2/34 ! !" !
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2/.3
!
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El riesgo que presenta la cartera AB es menor en comparación al de la acción A y al de la acción B, con base a la anterior se puede deducir que la cartera AB me permite obtener un máximo rendimiento de la inversión con menor riesgo. Al realizar el cálculo del coeficiente de variación, se intenta determinar la relación existente entre el riesgo de la inversión y el rendimiento esperado, por lo que se reafirma la decisión de invertir en la cartera, debido a que por cada unidad monetaria de rendimiento, el riesgo aumenta en 0,11%. f)
Determine las proporciones óptimas que se deberían invertir entre los dos activos A y B con el fin de minimizar el riesgo de la cartera: Primeramente se debe calcular el coeficiente de correlación, utilizando la siguiente fórmula: !
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!!" !!
! !"# !
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Para el cálculo de la proporción de la inversión se realiza el siguiente cálculo: !!
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!
!! !! !
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! !"!! !" !
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!!! !!
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! !"#$ !
!
!" !"# !
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Entonces la proporción óptima de inversión para el activo A es de 24,69% y para el activo B es de 75,31%.
),
g) Determine el coeficiente Beta del activo financiero A e intérprete su correspondiente resultado:
8)%9#:#)%-0 ! ,$
. / $&@(-'1 2 ,&,@(-
'( K;8F6H6;8EC 4
'$
:68;<= >K;8F6H6;8EC 4?
( $ $
(
'$
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,$
R/ El del activo financiero A es de 0,8571, el beta tiene como fin medir la volatilidad de un activo con respecto a su mercado, por lo que para determinar el nivel de volatilidad se utiliza como punto de referencia el valor 1, esto quiere decir que si el valor del beta es igual a 1, la volatilidad del activo es igual a la volatilidad del mercado, con esto se puede concluir que entre menor sea la beta, menor será la exposición al riesgo. En conclusión, al ser el beta 0,8571 se puede afirmar que el riesgo que presenta el activo A es menor al riesgo del mercado.
#$#%&'&'( ), CATERPILAR: Cálculo del beta de la empresa. a) Si el riesgo sistemático que presenta la acción de Caterpillar es mayor o menor al mercado y por qué. !"#$%&"#'($" %* +$ ,*-,*"'./
BC;D656;8E; F; 5CGG;=<5678 HI=E6J=; BC;D656;8E; F; F;E;GH68<5678 KL,
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R/ El riesgo sistémico que presenta la acción de Caterpillar es mayor al mercado, ya que el mercado tiene una beta de 1, a diferencia de la beta de CAT que es de 1.49 esto, como se explicó anteriormente, me identifica que el rendimiento de CAT es más sensible que el rendimiento del mercado. b) Interprete el valor del beta obtenido para esta empresa. R/ Para esta empresa se obtuvo una Beta de 1.49, esta beta indica el grado de sensibilidad del rendimiento de la acción ante los cambios del rendimiento del m ercado, en este caso, si hubiera un beta de 0.5, se espera que el rendimiento de una acción de CAT cambie 0.5% por cada cambio de 1% en el rendimiento del mercado, en este caso, se espera un cambio de 1.49% en el rendimiento de la acción de CAT por cada 1% en el cambio del rendimiento del mercado. c)
Asumiendo que actualmente la tasa libre de riesgo (bonos del tesoro de los EEUU)es de un 2,35% y que el rendimiento del mercado es de un 2,95% (promedio de bonos de corporativos en EEUU), establezca cuál sería la rentabilidad esperada por el tenedor de las acciones de la empresa Caterpillar para compensar su riesgo sistémico.
R/ Asumiendo una Rf de 2,35% y una Rm de 2,95%. !" !"
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El 3,244% sería la rentabilidad esperada por el tenedor de acciones de Caterpillar como compensación al riesgo sistémico.
#$#%&'&'( )Un inversionista desea invertir en bonos y acciones, se conoce que el rendimiento de las acciones es de 15% y el de los bonos es de 6%, mientras que el riesgo corresponde a 9% y 2% respectivamente. Se sabe además, que el coeficiente de correlación asciende a 0,6. ).
El inversionista solicita 11 carteras, desde 0% en acciones y 100%. Cartera
Riesgo Cartera
Valor esperado cartera
A
3,4
5
B
4,1
7
C
5,5
11
D
6,2
8
E
7,6
11
F
9
10
a) Graficar curvas de indiferencia para
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Determinación del rendimiento y riesgo de la cartera: Riesgo de la cartera: !
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Cálculo de la tolerancia al riesgo: !
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c) Seleccionar cartera óptima: R/ La cartera seleccionada es la cartera C con un rendimiento de 11% la cual toca la curva de indiferencia U=9, es decir, es la cartera que ofrece mayor rendimiento a un riesgo menor. )0
