���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
Aula 16: Correlação linear e análise de variância 1.
2.
CORRELA��O LINEAR ......................................................... ..................................................................................................................... ............................................................ 2 1.1.
Sinal do coeficiente de correlação ........................................................................................................ 6
1.2.
Memorizando a fórmula do coeficiente de correlação correlação......................................................... ................. 8
1.3.
Propriedades do Coeficiente de correlação ...................................................... .................................. 16
1.4.
Coeficiente de correlação entre variáveis aleatórias ....................................... .................................. 18
AN�LISE DE VARI�NCIA ..................................................... ................................................................................................................ ........................................................... 23 2.1.
Introdução ....................................................... ........................................................... ......................... 23
2.2.
Hipóteses do modelo ........................................................... ........................................................... ..... 27
2.3.
Somas de quadrados ........................................................................................................................... 28
2.4.
Graus de liberdade.................................................... ........................................................... ............... 29
2.5.
Distribuição de qui-quadrado e soma de quadrados quadrados ........................................................... ............... 34
2.6.
Quadrados médios .............................................................................................................................. 37
2.7.
A distribuição F ............................................................................ ...................................................... 37
3.
RESUM�O ............................................................... ................................................................................................................................... ...................................................................... .. 46
4.
QUEST�ES APRESENTADAS EM AULA ..................................................... .......................................................................................... ..................................... 47
5.
GABARITO ............................................................... ................................................................................................................................... ...................................................................... .. 51
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
1
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
1.
C���E�A��� ���EA�
N���� i��e�e��e ag��a � e���da�, a� �e��� �e���, d�a� �a�i��ei� ��e a��e�e��a� ce��a �e�a���. S����ha ��e e��a� �a�i��ei� ��� �e�� e a����a de �� g���� de i�di��d��� ad�����. A �abe�a abai�� �e��e�e��a a�g��� �a���e� ������ei�.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
2
������ ��� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
A����a (�) 1,72 1,75 1,86 1,91 1,86 1,62 1,70 1,93 1,76 1,69 1,68 1,99 1,80 1,87 1,78 1,82 1,92
Pe�� (kg) 68,09 71,08 79,25 83,77 79,68 61,28 66,65 86,50 71,69 65,73 65,59 91,52 74,97 80,98 72,76 77,39 85,25
A����a (�) 1,92 1,79 1,67 1,67 1,86 1,70 1,60 1,84 1,92 1,91 1,79 1,86 1,71 1,70 1,96 1,86 1,67
Pe�� (kg) 85,81 74,23 64,16 65,03 79,79 67,40 59,24 77,87 85,03 85,05 74,02 80,26 67,78 66,89 88,93 79,65 64,56
A��� a (�) 1,83 1,82 1,93 1,66 1,65 1,62 1,74 1,77 1,88 1,96 1,81 1,80 1,76 1,62 1,98 1,65 1,83
Pe�� (kg) 77,28 77,26 86,40 64,41 63,55 60,04 70,07 72,68 81,38 88,66 75,64 74,49 71,85 60,58 90,07 63,01 77,40
A��e� de �a �ai� �ada, �e�� d �c���a� �e�a �e��� dad�� da �abe�a aci�a. C������� a �abe�a, ���� ����ei ei a�g a�g�� ���� g��f g��fic ic�� �� (c� (c��� ��ccad�� �ai� adia��e), e �� a� fi�a� f�i �e�a�a� ��e a �abe�a ��� � �� ��i�� ��ea��. D� ��a ���a� ��e e��a� �e���a� a� da �abe�a aci�a ��� �i�� ��ag�i�ha��. C�ei� ��e ��a �abe�a f���� d ��a �e���i� �e���i�aa �e����a� �e����a�ia ia e� �a���e� �a���e� de �e �� �ai��e� �a�a a� �e��a� �e��a� a����a�. a����a�. Ma� ��� ��� �e ���b�e�a. O e�e���� c���i��a ���id�. A fig��a fig��a abai�� abai�� �e�� �e��e�e e�e��a ��a �� �� �� �� �a���e� de �e��/a����a �a�a e��e e��e g���� de �e���a�:
Figura 1 – Diagrama de dispersão peso x altura
E��e g��fic� aci�a � cha�ad de diag�a�a de di��e����. A�e�a� da� �a�i��ei� �e�� e a����a, �a�a � g���� �e���i�ad�, ��� �e c������a�e� e�a� e�a�a� a�e� e��e �e �eg �eg��d ��d� � ��a ��a � �a, a �e�a��� e�i��e��e � ��a�e ��a �e�a. O� �eja, � ��a�e �i�ea�.
����� ����� �������
���.� �� �.��� ���� ���� ����� ����� ���� ���� ���� ���. �.�� �� .��
3
������ ��� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
N�� ca�� a��i�, � ������e� a����i�a���� �� dad�� �eg��d� ��a f���� f����� de ��i�ei�� g�a� (�eg��d� ��a �e�a). I��� ��d �e� ��i� �a�a e��i�a���� �a���e�. P�de���, �abe�d� a�e�a� a a��� a����a �a da �e�� �e���a �a,, �e� �e��a �a�� ide ide� � �ifica� �e� �e�� (� �ai� �� �e��� i��� ��e fa�e��� �� ���ic� de �eg�e���� �i�ea�). Ne� Ne��e e�e� e�e��� ��� � fic fic�� e�� e���e� �e� �e��e �e��e c�a� c�a�� � ��e ��e e�i�� e�i��ee ��a ��a �e�a �e�a ��e ��e a��� a��� i�a be� a �e�a��� e���e �e�� e a����a. � ��e �� dad� dad��� ��� ��� f��a f��a� � �b� �b�id id�� �� a �a� �a��i �i�� de de ��a ��a � ���i�a. E� c������� �� dad�� �� E�ce� de f���a ��e fica�� fica��ee be� be� e�ide e�ide��e ��e a �e�a� �e�a��� �� ��a� ��a�ee � i�ea� e���e �e�� e a����a. E� �i��a��e �i��a��e�� �eai� �eai� � c��� ���gi�e� ca��� e� ��e a �e�a��� �i�ea ��� � a��i� ��� e�id e�ide� e��e �e.. O dia diag� g�a� a�aa de di�� di��e���� a �eg�i� i�����a ��a �i��a��� a��i�.
Figura Figura 2 – Diagra Diagram m de dispersão peso x altura – relação linear menos intensa
A Fig��a 2 �e��e�e��a ����a �����a��� �����a���,, e� ��e a �e�a��� �e�a��� e���e e���e �� �e� � e a� a����a� d�� i�di i�di�� ��d d��� ��� �� ��� �eg �eg�e �e ��a � �a��� �i�ea� ��� f���e ��a��� �a �����a��� �e��e�e��ada �a Fig��a 1. De ��d� ��d�, �� diag�a�a aci�a, ai�da fica �a����e� afi��a� ��e h� ��a �e�a��� �i�ea� e��� e���ee �e� �e�� � e a�� a���� ��a. a. Ma� Ma� a �e� �e� a��� ��� � ��� ����i�a a��i� de ��a �e�a �a��� e�a �� ca�� da Fig��a 1. P�i� be�, be�, a� e��� e���aa � c�efi c�eficie cie �e de c���e� c���e�a��� a��� �i�ea� �i�ea�.. E�e �ai �ai ��� da� � a �edida d� ���� f���e � a �e�a��� �i�ea� e���e �a� �a�i��ei�. A f� f�����a d� d� c� c�eficie��e de c���e�a��� �i�ea� �:
O c�eficie c�eficie��e ��e aci�a � cha�a cha�a � de ����������� �� ���������� ������ �� �� ����. ����. � ������e� de������a� ��e � c�efic c�eficie� ie��e �e de c���e� c���e�a�� a��� � a����e a����e �a���e �a���e�� a �e�a� �� i��e��a�� de − 1 a 1. −1 ≤
����� ����� �������
r ≤ 1
���.� �� �.��� ���� ���� ����� ����� ���� ���� ���� ���. �.�� �� .��
4
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
Q�a��� �ai� ����i�� de �e�� e��� � c�eficie��e de c���e�a���, �e��� � a �e�a��� �i�ea� e���e a� d�a� �a�i��ei�. Q�a��� �ai� afa��ad� de �e�� e��� � c�eficie��e de c���e�a���, �ai�� � a �e�a��� �i�ea� e���e a� d�a� �a�i��ei�.
A�g��� c��e����i�� i�����a��e�. P�i�ei�� �� ��a�id� ��� R�d��f� H�ff�a� (�i��� �E��a����ica �a�a ec����i��a��). O fa�� d� c�eficie��e de c���e�a��� �e� ����i�� de �e�� ��� �ig�ifica ��e ��� e�i��a �e�a��� e���e d�a� �a�i��ei�. Sig�ifica a�e�a� ��e a� d�a� ��� ��� �e�a��� �i�ea�. P�de �e� ��e a� �a�i��ei� �e �e�aci��e� de ����a� �a�ei�a�. P�de �e� ��a �e�a��� ��ad���ica, e����e�cia�, e�c. Ag��a �� c��e����i� ��a�id� ��� Gi�be��� de A�d�ade Ma��i�� (�i���: �E��a����ica Ge�a� e A��icada�). O fa�� d� c�eficie��e de c���e�a��� �e� ��i�� ����i�� de 1 (�� �1) ��� �ig�ifica ��e a� d�a� �a�i��ei� �e�ha� ��a �e�a��� de ca��a e c���e����cia. N�� i���ica ��e ��a de�a� �e�ha efei�� di�e�� �� i�di�e�� ��b�e a ����a. P�de �e� ��e a� d�a� ��f�a� i�f����cia de ����a� �a�i��ei� de �a�ei�a ��e i��� d� ��ige� a ��a f���e c���e�a��� e���e a�ba�. O���� c��e����i�: � c�eficie��e de c���e�a��� � ge�a��e��e ca�c��ad� a �a��i� de ��a a�����a de �a���e� de � e � . C���ide�e ��e a a�����a �e� � �a�e� ��de�ad�� ( � , � ). ). Se a a�����a f�� g�a�de (i��� �, �e � f�� g�a�de), e���� � c�eficie��e de c���e�a��� de�e da� �� b�� i�d�ci� d� ��e �c���e �a �����a���. Ne��e ca��, �e r ≅ 0 , e���� � be� ������e� ��e ��� e�i��a �e�a��� �i�ea� e���e � e e � . Se � f�� g�a�de e r ≅ 1 �� r ≅ −1 , ���a�e��e �e��� �� f���e i�d�ci� de ��e h� �e�a��� �i�ea� �e�fei�a e���e � e e � . C����d�, �e a a�����a f�� �e��e�a, e�a ��de f���ece� �e����ad�� e�ga�����. Ba��a �e��a� ���a a�����a de �a�a�h� 2. Se �e��� a�e�a� d�i� �a�e� ��de�ad��, ����� diag�a�a de di��e���� �e�� a�e�a� d�i� ������. D�i� ������ di��i���� �e���e e���� a� ���g� de ��a �e��a �e�a. Ne��e ca��, � c�eficie��e de c���e�a��� �e�� ig�a� a 1 (�� �1). Pe�g���a: �e��e ca��, ��de��� afi��a�, c�� ce��e�a, ��e h� �e�a��� �i�ea� �e�fei�a e���e � e � ? N��, ��� ��de���. � �de���. N���a a�����a � ��e f�i ��b�e, ��i�� �e��e�a. � be� ������e� ��e ����a a�����a e��eja f���ece�d� �� �e����ad� e�ga����. Pa�a �� dad�� da Fig��a 1, � c�eficie��e de c���e�a��� � 0,998. C��� a ��a��idade de dad�� � ��i�� g�a�de, ��� ��� de�a�ha� � c��c��� a��i. A�e�a� �b�e��e� ��e � c�eficie��e de c���e�a��� � ��i�� ����i�� de 1. O� �eja, a �e�a��� �i�ea� � ��i�� f���e. I��� j� da�a ��a �e� �� �����i� g��fic�. O� ������ ��a�ica�e��e f���a�a� ��a �e�a. Veja��� ����� e�e����, c�� �e��� ���e��� e�����id��. E������ 1 U� g���� de ��a��� a����� e���d�� j���� �a�a a� ����a� fi�ai�. Fei�a� a� ����a�, e�e� �b�i�e�a� �e �eg�i��e� ���a�:
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
5
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
A����
N��a de �a�e���ica
N��a de f��ica
( X )
(Y )
2 6 8 10 6,5
6 7 7 8 7
1 2 3 4 M�dia
Ca�c��e � c�eficie��e de c���e�a��� �i�ea� e���e a� ���a� de f��ica e �a�e���ica. [Ob�e��a���: i��� ��� � ��e���� de c��c����. Se��e �� �a�a ��� fa�i�ia�i�a���� c�� a f�����a. E����, ��de� ��a� ca�c��ad��a] ���������: A� ���a� e� f��ica e �a�e���ica g�a�da� ce��a �e�a��� �i�ea�. Va��� ca�c��a� � c�eficie��e de c���e�a��� �a�a �e���� a i��e��idade da �e�a��� �i�ea� e�i��e��e e���e e�a�. A���� X 1 2 3 4
2 6 8 10
Y
− X X −
6 �4,5 7 �0,5 7 1,5 8 3,5 ���A�
A��ica�d� a f�����a:
− Y Y −
− Y ) ( X − X )× (Y − ( X − (Y − − X ) − Y )
�1 0 0 1
2
4,5 0 0 3,5 8
20,25 0,25 2,25 12,25 35
2
1 0 0 1 2
Veja ��e � c�eficie��e de c���e�a��� � be� ����i�� de 1. O� �eja, e�i��e i��e��a �e�a��� �i�ea� e���e a� ���a� de f��ica e �a�e���ica.
1.1.
����� �� ����������� �� ����������
Mai� a�g��� c��e����i�� ��b�e � c�eficie��e de c���e�a���. O �i�a� d� c�eficie��e i�dica �e a� g�a�de�a� �����e� ��a �e�a��� di�e�a �� i��e��a. N� ca�� da �e�a��� e���e �e�� e a����a, �i��� ��e � c�eficie��e �i�ha �i�a� +. O� �eja, a �e�a��� e���e �e�� e a����a � ������. ������. Q�a�d� a a����a a��e��a, � �e�� �e�de a a��e��a� �a�b��. Se � �i�a� f�� �ega�i��, a� g�a�de�a� ��� ��a �e�a��� �������. �������. Se�ia � ca�� da �e�a��� e���e � ��e�� de �� ���d��� e a ��a de�a�da. Q�a��� �ai�� � ��e��, �e��� ��a de�a�da. E ��a��� �e��� � ��e��, �ai�� a de�a�da.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
6
������ ��� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
O diag�a�a abai�� ��de�ia �e �e��e�e��a� d�a� �a�i��ei� c�� c���e�a��� �e a�i�a:
Figura 3 – Diagrama de dispersão demanda x preço
O ��e�� � dad� e� R$. A de de�a�da � e� �i�ha�e� �i�ha�e� de ��idade�. Q�a�d Q�a�d � � ��e�� e��� ��� ����a de R$ 2,00, a de�a�d � e� ����� de 40.000 ��idade�. Q�a�d� � ��e�� a��e��a, chega�d� a �a���e� ����i��� de R$ 5,00, a de�a�da cai �a�a ce�ca de 30. 000 ��idade�. Q�a�d� Q�a�d� a c��� c���e�a e�a��� ��� � ����i ����i a de �e��, � diag�a�a diag�a�a de di��e���� di��e���� ��� � �� dei�a �e�h��a dica dica �e a �e �e�a� �a��� � di�e di�e�a �a �� i �e��a. Se�ia � ca�� d� diag�a�a abai��:
Figura 4 – Diagrama de dispersão Y x x X – – correlação próxima de ero
N� diag�a�a aci�a ai�da � �����e� �����e� ���a� ���a� ��a ��a �e�a��� �e�a��� i��e��a i��e��a (c���e� (c���e�aa ��� �ega�i�a). Ma� be� f�a f�aca, ��a�e ���a. N�� N�� �e��e, i��� ��� �ig�ifica ��e a� �a�i��ei� � e � ��� �e�ha� �e�a���. Sig�ifica a�e�a� ��e ��� h� �e�a��� �i�ea�.
����� ����� �������
���.� �� �.��� ���� ���� ����� ����� ���� ���� ���� ���. �.�� �� .��
7
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
���E ���A!!! C���������� �� ���������� Mede � ���� f���e � a �e�a��� �i�ea� e���e d�a� �a�i��ei�. Q�a�d� �a�e �e��: ��� h� �e�a��� �i�ea�. Q�a�d� �a�e 1 �� �1: �e�a��� �i�ea� �e�fei�a. F�����a:
1.2.
����������� � ������� �� ����������� �� ����������
Ag��a ��e j� �i��� � ��e i�dica � �i�a� d� c�eficie��e de c���e�a���, �a��� ����a� a� E�e���� 1. Va��� a����ei�a� e��e e�e�c�ci� �a�a �e��a� e��e�de� a f�����a d� c�eficie��e de c���e�a���. I��� ��de aj�da� �a ��a �e���i�a���. C�� �� dad�� ��igi�ai�, ��d�a��� ����a� � �eg�i��e diag�a�a de di��e����:
Figura 5 - Diagrama de dispersão – notas de física e matemática
Ok, ag��a �a��� �ega� cada ���a de �a�e���ica e ��b��ai� de ��a ��dia. Va��� �ega� cada ���a de f��ica e ��b��ai� de ��a ��dia.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
8
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
A���� X 1 2 2 6 3 8 4 10
Y
X − − X
Y − − Y
6 7 7 8
�4,5 �0,5 1,5 3,5
�1 0 0 1
Va��� ����a� �� diag�a�a de di��e���� de��a� ���a� ���dificada��. O� �eja, �a��� fa�e� �� diag�a�a de di��e���� da� ���a�, j� ��b��a�da� da� �e��ec�i�a� ��dia� (�a���e� de��acad�� e� �e��e�h� �a �abe�a aci�a). O �e����ad� e��� �a fig��a abai��:
Figura 6 – Diagrama de dispersão modificiado
E��a ��difica��� fa� c�� ��e �� ������ d� diag�a�a �eja� de���cad�� �a�a ����i�� da ��ige� d� g��fic�. Fei�� i���, c�� �� ������ ��d�� j� ����i��� � ��ige�, ��de��� ad��a� � �eg�i��e ���cedi�e���. P�de��� ����i��ica� a� ���a� de �a�e���ica (a��e�ada�), �e�a� ���a� de f��ica f ��ica (�a�b�� a��e�ada�). A �abe�a a �eg�i� de�a�ha a� c���a� (�e� c����a de��acada e� �e��e�h�). A���� X 1 2 3 4
2 6 8 10
Y
− X X −
− Y Y −
− Y ) ( X − X )× (Y −
6 7 7 8
�4,5 �0,5 1,5 3,5
�1 0 0 1
4,5 0 0 3,5
Fei�� i���, ���a�i�a��� e��a c����a:
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
9
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
A���� X 1 2 3 4
2 6 8 10
Y
X − − X
6 �4,5 7 �0,5 7 1,5 8 3,5 ���A�
Y − − Y
�1 0 0 1
( X − X )× (Y − − Y ) 4,5 0 0 3,5 8
Pa�a ��� i���? � � �eg�i��e. De��i� ��e ��b��a���� ��da� a� ���a� da� ��a� ��dia�, e���� ��a�e��� �� ������ d� diag�a�a �a�a a� ����i�idade� da ��ige� d� g��fic�. Se a� g�a�de�a� e�����ida� �i�e�e� ��a �e�a��� �i�ea� di�e�a, a �ai�� �a��e d�� ������ e��a�� ��� ��ad�a��e� ���a�e�. ��������� ���������� �������� � ��� � �����
O� ei��� d� g��fic� �e�a�a� � ��a�� e� ��a��� �a��e�. Cada ��a de��a� �a��e� � �� ��ad�a��e.
Figura 7 – Detalhamento dos quadrantes
O� ��ad�a��e� a��e�e��a� a� �eg�i��e� ca�ac�e����ica�: •
1� ��ad�a��e: �� d�i� ei��� a��e�e��a� �a���e� ���i�i���
•
2� ��ad�a��e: � ei�� �e��ica� a��e�e��a �a���e� ���i�i���; � h��i����a�, �ega�i���
•
3� ��ad�a��e: �� d�i� ei��� a��e�e��a� �a���e� �ega�i���
•
4� ��ad�a��e: � ei�� h��i����a� a��e�e��a �a���e� ���i�i���; � �e��ica�, �ega�i���
Se a� g�a�de�a� e�����ida� �i�e�e� �e�a��� �i�ea� di�e�a, �� ������ e��a���, e� ��a �ai��ia, ��� ��ad�a��e� ���a�e�. � e�a�a�e��e � ca�� da fig��a aci�a. S�� ������ e� ��e �� �a���e� a e�e� a���ciad�� ��� � �e��� �i�a�. Veja� a �abe�a abai��:
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
10
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
X − − X
Y − − Y
( X − X )× (Y − − Y )
�4,5 �0,5 1,5 3,5
�1 0 0 1
4,5 0 0 3,5
O ��i�ei�� ����� c���e����de a� �a� ��de�ad� (�4,5; �1). � �� ����� d� �e�cei�� ��ad�a��e. O� d�i� �a���e� ��� �ega�i���. P���a���, � ���d��� e���e e�e� � ���i�i��. O ���i�� ����� c���e����de a� �a� ��de�ad� (3,5;1). � �� ����� d� ��i�ei�� ��ad�a��e. O� d�i� �a���e� ��� ���i�i���. P���a���, � ���d��� e���e e�e� � ���i�i��. A��i�, �e a �ai��ia d�� ������ e��i�e� ��� ��ad�a��e� ���a�e� (� ��e i�dica �e�a��� �i�ea� di�e�a), e���� ��de��� fa�e� �� ���d���� e���e a� c���de�ada� ��e e�e� �e��� ���i�i���, �a − Y ) e �b�i�e���� �� �ai��ia da� �e�e�. Se ���a���� ��d�� �� �a���e� de ( X − X )× (Y − �a��� ���i�i��, be� a���, � �i�a� de ��e � �e a �e�a��� �i�ea� � di�e�a. O� �eja: � �� �i�a� de ��e a �ai��ia d�� ������ e��� ��� ��ad�a��e� ���a�e�. − Y ) f���e �ega�i�a, e���� D� c������i�, �e a ���a de ��d�� �� �a���e� de ( X − X )× (Y − �e��a��� �� �i�a� de ��e g�a�de �a��e d�� ������ e��� ��� ��ad�a��e� �a�e�, � ��e i�dica ��a �e�a��� �i�ea� i��e��a. − Y ) �eja ����i�a de �e��, �e��� P�� fi�, ca�� a ���a de ��d�� �� �a���e� de ( X − X )× (Y − �� �i�a� de ��e ��� h� �e�a��� �i�ea�. H� ������ e��a�had�� ��� ��d�� �� 4 ��ad�a��e�, �e� ��e haja i�d�ci�� de �e�a��� �i�ea�.
E���� e��a � a fi�a�idade d� ���e�ad�� da f�����a d� c�eficie��e de c���e�a���. A ideia � ��a�e� �� ������ �a�a ����i�� da ��ige�, ��b��ai�d� cada �a��� de � �e�a �e�a ��a ��dia e cada − Y ) e �a��� de � �e�a ��a ��dia. E� �eg�ida, ����i��ica��� �� �a���e� de ( X − X )× (Y − ���a��� ��d�, �a�a �e��a� ide��ifica� �e a �ai��ia d�� ������ e��� ��� ��ad�a��e� ���a�e� (� ��e �e����a ���a ���a ���i�i�a) �� ��� ��ad�a��e� �a�e� (� ��e �e����a ���a ���a �ega�i�a). Ca�� a ���a d� ����i�a de �e��, e���� �� ������ e���� e��a�had�� ��� ��d�� �� ��ad�a��e� e ��� h� i�d�ci�� de �e�a��� �i�ea�. Vi��� � ���e�ad�� da f�����a, �a��� a� de���i�ad��. A f����� d� de���i�ad�� � fa�e� c�� ��e � c�eficie��e fi��e �� i��e��a�� de �1 a 1. I��� �a�a ��ai���e� d�a� a�����a� de ��ai���e� d�a� �a�i��ei� e� e���d�. I��� fa� c�� ��e �eja ������e� c���a�a� c��c���� de c���e�a��� e� dife�e��e� e���d��. Pa�a faci�i�a� � e��e�di�e���, �a��� �e�e�b�a� d� ����� e���d� da �a�i��e� ����a�. Vi��� ��e h� di�e��a� �a�i��ei� ����ai�. E�a� ��de� �e� a� �ai� di�e��a� ��dia� e de��i����ad���. Pa�a c���a�a���� ��da� e�a�, ��a��� ��a c���e����, ��e fa� c�� ��e, �a�a ��a���e� �a�i��e� ����a�, ��� ����a��� c������a� a �abe�a de ��ea� da �a�i��e� ����a� �ad���. Q�a� e�a �e��� e��a ��a��f���a���? E�a a �eg�i��e: Z =
X − µ σ
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
11
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
N� ���e�ad�� �e��� ��a ��b��a���. A ��b��a��� da ��dia �e��e �a�a fa�e� c�� ��e a ��dia de Z �eja �e��. O� �eja, fa� c�� ��e � g��fic� da �a�i��e� ����a� fi��e a� �ed�� da ��ige�. � e�a�a�e��e a �e��a ideia ��e �i��� aci�a, �a�a � c�eficie��e de c���e�a���. E �� de���i�ad��? O ��e �e���? Te��� ��a di�i��� �e�� de��i� �ad���. I��� fa� c�� ��e a �a�i��cia de Z �eja ig�a� a 1. I��� �e��i�e ��e c���a�e��� di�e��a� c���a� ����ai�, afa��a�d� �� efei��� de di��e���e� dife�e��e�. N� ca�� d� c�eficie��e de c���e�a���, a ideia � a �e��a. Di�idi��� �e��� de��i�� �ad��� de � e e � . A f�����a fica�ia a��i�: n
∑ [( X i − X )× (Y i − Y )] i =1 n
∑ ( X − X )
n
∑ (Y − Y )
2
i
i =1
i
×
n
2
i =1
n
De��e ��d�, c���eg�i��� �e���a�i�a� � efei�� da di��e����. S� ��e ai�da �e��� �� ���b�e�a. I�agi�e� d�i� e���d�� dife�e��e�, �a�a �e�ifica� a c���e�a��� e���e a� �a�i��ei� � e � . E� �� e���d�, a a�����a �e� �a�a�h� 100 (��� 100 �a�e� ��de�ad��). N� ����� e���d�, a a�����a �e� �a�a�h� 200. S����ha ��e e��a� d�a� �a�i��ei� �e�ha� ��a �e�a��� �i�ea� di�e�a (� e�a�a�e��e i��� ��e ����� e���d� ��e� c��fi��a�). N�� d�i� ca���, � de���i�ad�� d� c�eficie��e de c���e�a��� �e�ia ��a�ica�e��e � �e���. C����d�, �a a�����a c�� �a�a�h� 200, � ���e�ad�� �e�� be� �ai�� ��e �a a�����a de �a�a�h� 100. Ac���ece ��e, �� ���e�ad��, e��a��� ���a�d� �a���e� ���i�i��� (��i� �� ������ e��a���, e� ��a �ai��ia, ��� ��ad�a��e� ���a�e�). P�i� be�, �a a�����a de �a�a�h� 100, ���a��� a�e�a� 100 �a���e�. Na a�����a de �a�a�h� 200, ���a��� 200 �a���e�, � ��e de�e f���ece� �� �e����ad� �ai�� ��e �� e���d� a��e�i��. O� �eja, ai�da �e��� a i�f����cia d� �a�a�h� da a�����a. Pa�a �acaba�� c�� e��a i�f����cia, di�idi��� � ���e�ad�� ��� ���. Fica a��i�: n
∑ [( X i − X )× (Y i − Y )] i =1
n
×
1 n
∑ ( X − X )
n
∑ (Y − Y )
2
i
i =1
n
2
i
×
i =1
n
N� de���i�ad��, ��de��� ��i�a�� � ��� da �ai� ��ad�ada:
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
12
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� n
∑ [( X i − X )× (Y i − Y )] i =1
1
×
n
1
n
n
×
n
∑ ( X − X ) × ∑ (Y − Y ) 2
i
2
i
i =1
i =1
Si���ifica�d� � ���: n
∑ [( X i − X )× (Y i − Y )] r =
i =1 n
n
∑ ( X i − X ) × ∑ (Y i − Y ) i =1
2
2
i =1
E e��a � a f�����a d� c�eficie��e de c���e�a��� �i�ea�.
��������� ������� ����� ���� ���� ��� ��� ��� ����� � ����� �� ������������
Re�����a: ���, ��eci�a� ��� ��eci�a. Se ��c� c���eg�i� dec��a�, ��i��. Ma� c�ei� ��e e��e�de� de ��de �ei� faci�i�a �a �e���i�a��� da f�����a. ������� 1
��E� 2008 �CE�G�A����� �CE�G�A�����
C���ide�e a� afi��a��e� a �eg�i� a �e��ei�� d� C�eficie��e de C���e�a��� ( � ) de Pea���� e���e d�a� �a�i��ei�. I � Se � = 1, a� �b�e��a��e� e���� ��da� ��b�e ��a �i�ha �e�a �� diag�a�a de di��e����. II � Se � > 0, 0 , a �a�i��e� i�de�e�de��e a��e��a ��a�d� a �a�i��e� de�e�de��e a��e��a. III � Se � < 0, a �a�i��e� i�de�e�de��e dec�e�ce ��a�d� a �a�i��e� de�e�de��e dec�e�ce. IV � Se � = 0, ��� e�i��e �e�a��� e���e a� d�a� �a�i��ei�. S�� c���e�a� A�E�A� a� afi��a��e� (A) I e II (B) I e III (C) II e III (D) II e IV (E) III e IV ���������. I�e� I. Se r = 1 , a �e�a��� �i�ea� �i�ea� � �e�fei�a e, a��� di���, a� d�a� �a�i��ei� ��� �e�a��� di�e�a di�e�a (��a�d� ��a a��e��a, a ����a a��e��a; ��a�d� ��a di�i��i, a ����a di�i��i). I�e� c���e��.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
13
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
I�e� II. Se r > 0 , a �e�a��� �e�a��� e���e a� �a�i��ei� � di�e�a (��a�d� ��a a��e��a, a ����a a��e��a; a��e��a; ��a�d� ��a di�i��i, a ����a di�i��i). I�e� c���e��. I�e� III Se r < 0 , a �e�a��� � i��e��a i��e��a (��a�d� ��a a��e��a, a��e��a, a ����a di�i��i). di�i��i). I�e� e��ad�. I�e� IV. Se r = 0 , �e��� �� f���e �i�a� de ��e ��� haja �e�a��� �e�a��� �i�ea�, � ��e ��� i��ede ��e haja ����� �i�� de �e�a��� (e����e�cia�, ��ga����ica, e�c). e�c). I�e� e��ad�. G�������: A ������� 2
�C� CE��E �2008�
U�a ag��cia de de�e�����i�e��� ��ba�� di���g�� �� dad�� a��e�e��ad�� �a �abe�a a �eg�i�, ace�ca d�� ���e��� de i���ei� �fe��ad�� ( � ) e �e�did�� ( � ) e� de�e��i�ad� ���ic��i�, ��� a��� de 2005 a 2007. A��
N��e�� de i���ei� Ofe��ad�� (X) Ve�did�� (Y) 1.500 100 1.750 400 2.000 700
2005 2006 2007
C���ide�a�d� a� i�f���a��e� d� �e���, j��g�e � i�e� ��b�e��e��e. O c�eficie��e de c���e�a��� �i�ea� e���e � e e � � � i�fe�i�� a 0,8. ���������: A��
X
Y
− X X −
− Y Y −
2005 2006 2007
1.500 1.750 2.000
100 400 700 TOTAL
�250 0 250
�300 0 300
( X − X )× (Y − − Y )
− X ) ( X −
− Y ) (Y −
75.000 0 75.000 150.000
62.500 0 62.500 125.000
90.000 0 90.000 180.000
2
2
A f�����a d� c�eficie��e de c���e�a��� �:
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
14
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� n
∑ [( X i − X )× (Y i − Y )] r =
i =1 n
n
∑ ( X − X ) × ∑ (Y − Y ) 2
i
i
i =1
r =
150.000 125.000 × 180.000
2
i =1
=
150 125 × 180
=
150 5 900
=
150 150
=1
A� c���a� f��a� �e�a�i�a�e��e ��a���i�a�. S� �� de�a�he. E�a ������e� �e����e� a ��e���� �e� fa�e� c���a�. N��e c��� �� �a���e� de � e � e���� e���� e�a�a�e��e a� ���g� de ��a �e�a. Pa�a cada �a�ia��� de 250 e� � , �e��� ��a �a�ia��� de 300 e� � . O� �eja, �� ���� �a�e� ��de�ad�� f���ecid�� e���� a� ���g� de ��a �e��a �e�a. Pa�a dei�a� �ai� c�a��, �eg�e � g��fic�:
O c�eficie��e de c���e�a��� �i�ea� ��� d� ��a �edida de ���� f���e � a �e�a��� �i�ea� e���e d�a� �a�i��ei�. Ac���ece ��e, �a�a �� �a���e� f���ecid��, �e��� ��a �e�a��� �i�ea� �e�fei�a (� e�a�a�e��e ��a �e�a). P�� i��� j� da�a �a�a fa�a� ��e e��e c�eficie��e � ig�a� a 1. P���a���, � c�eficie��e ��� � i�fe�i�� a 0,8. I�e� e��ad�. G�������: ������. ������� 3
�� �� 2009 �FCC�
A�a�i�a�d� � diag�a�a de di��e���� e���e d�a� �a�i��ei� a�ea���ia� X e Y, �� a�a�i��a ����� ��� ��i�i�a� ��a f���a de �e�a��� �i�ea� a����i�ada e���e X e Y �a� ��e Y = 3 + 2X, ��a �e� ��e �e� ��d�� �� ������ �e��e�ce� a ��a �e��a �e�a. Se � c�eficie��e de c���e�a��� �i�ea� e���e X e Y f�� �, e���� (A) 0 < � < 1 (B) − 1 < � < 0 (C) � = 1 (D) � = 0
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
15
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
(E) � = − 1 ���������: Ob�e��e� ��e X e Y ��� ��a �e�a��� di�e�a. O� �eja, �e ��a g�a�de�a a��e��a, a ����a �a�b�� a��e��a. E�e���ifica�d�, �e X �a�e� 0, e��e�a��e ��e Y �a�ha a����i�ada�e��e: a����i�ada�e��e:
Se X a��e��a�, �a��a�d� a �a�e� 1, e��e�a��e ��e Y �a�b�� a��e��e, �a�e�d�:
Q�a�d� X a��e��a, Y a��e��a. A��i�, a� d�a� g�a�de�a� a��e�e��a� �e�a��� di�e�a. Q�a�d� ��a a��e��a a ����a �a�b�� a��e��a. L�g�, � c�eficie��e de c���e�a��� � ���i�i��. O� �eja, j� �abe��� ��e � > 0. Fica��� e���e a� a��e��a�i�a� A e C. O e�e�c�ci� di��e ��e a �e�a��� e���e X e Y � a�e�a� ��������������� �i�ea�. L�g�, ��� � ��a �e�a �e�fei�a. L�g�, � c�eficie��e de c���e�a��� ��� ��de �a�e� e�a�a�e��e 1. C�� i��� a��i�a�a��� a a��e��a�i�a A. G�������: A
1.3.
������������ �� C���������� �� ����������
Seja � � c�eficie��e de c���e�a��� e���e � e �� Se ����i��ica���� cada ��a de��a� �a�i��ei� ��� d�a� c����a��e� � e �� � ���� c�eficie��e r ' � dad� ���: r ' = r , �e ab > 0 r ' = − r , �e ab < 0
O� �eja, �e a� c����a��e� �i�e�e� �e��� �i�a� (fa�e�d� c�� ��e � ���d��� e���e a�ba� �eja ���i�i��), � c�eficie��e de c���e�a��� ��� �e a��e�a. Se a� c����a��e� �i�e�e� �i�ai� ������� (fa�e�d� c�� ��e � ���d��� e���e a�ba� �eja �ega�i��), � c�eficie��e de c���e�a��� ���ca de �i�a�. Se ���a���� (�� ��b��ai����), a cada ��a de��a� �a�i��ei�, ��a c����a��e, � c�eficie��e de c���e�a��� fica i�a��e�ad�.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
16
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
������� 4
CA�E� 2008 �CE�G�A�����
Se a� �a�i��ei� Y e X 1 f��e� ��a��f���ada�, �e��ec�i�a�e��e, �e��ec�i�a�e��e, �a�a �a�a Y 1 X 1 ' = − X 1 + 0,5 , � c�eficie��e de c���e�a��� e���e Y 1 e X 1 '
= −2Y +
0,5 e
(A) 0,382 (B) 0,059 (C) � 0,059 (D) � 0,118 (E) � 0,382 ���������. O c�eficie��e de c���e�a��� e���e Y e X 1 � de − 0,059 (�e� fig��a). A �a��i� de��a� �a�i��ei�, c�ia��� ����a�, ��� �ei� de ��a ����i��ica��� e ��a ���a. A� ���a� ��� i��e�fe�e� �� c�eficie��e de c���e�a���. A� ����i��ica��e� ��de� i��e�fe�i� �� �i�a� d� c�eficie��e de c���e�a���. A� ����i��ica��e� f��a� fei�a� ��� − 2 e − 1 . A� d�a� c����a��e� ��� � �e��� �i�a�. C�� i���, � c�eficie��e de c���e�a��� �e��a�ece ig�a� a� da �i��a��� i�icia�. r ' = r = −0,059
G�������: C ������� 5
�� �� 2009 �FCC�
Seja� a� �a�i��ei� a�ea���ia� X e Y, defi�ida� e� �� e��a�� a�����a� de �c�����cia�, a����i�d� �� �a���e�: X = � �1 , � 2, . . . ., � � � e Y = � �1, �2, . . ., � ��. O c�eficie��e de c���e�a��� �i�ea� e���e X e Y � ig�a� a 0,625. 0,6 25. M���i��ica�d� ��� 5 ��d�� �� �a���e� de X e ��� 10 ��d�� ��
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
17
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
�a���e� de Y, �e���e ��e � ���� c�eficie��e de c���e�a��� �i�ea� c���e����de��e a�� d�i� ����� c��j����� f���ad�� � (A) 0,8000 (B) 0,6250 (C) 0,5000 (D) 0,4000 (E) 0,3125 ���������: X e Y f��a� ����i��icad�� ��� c����a��e� de �e��� �i�a� (���i�i�a�). Q�a�d� i��� �c���e, � c�eficie��e de c���e�a��� �e��a�ece � e��a�ece i�a��e�ad�. G�������: B
1.4.
C���������� �� ���������� ����� ��������� ����������
N�� e�e����� ��aba�had�� d��a��e a a��a, �e���e ���ha��� �� c��j���� de �b�e��a��e�. Pa�a �e�h�� e��e�di�e���, �a��� �e�b�a� d� E�e���� 1. Na��e�e e�e�c�ci� ���ha��� �� �a���e� da� ���a� de cada a���� (�a���e� de X e Y). Da�a �a�a ca�c��a� a� ��dia� e� cada ����a ( X e Y ). ). E, a �a��i� de��e� �a���e�, c���eg�i��� ca�c��a� � c�eficie��e de c���e�a���. S� ��e �� �e�e� e��a��� i��e�e��ad�� e� �e� �e d�a� �a�i��ei� a�ea���ia� e���� �i�ea��e��e �e�aci��ada�. Q�a�d� �e��� �a�i��ei� a�ea���ia�, ��e ��de� a����i� di�e���� �a���e�, ��de h� � fa��� cha�ce (���babi�idade), (���babi�idade), � c�eficie��e de c���e�a��� ��da �� �����i�h�. Q�a�d� ��aba�ha��� c�� �a�i��ei� a�ea���ia� fa�a��� e� e��e�a��a�. E a f�����a d� c�eficie��e de c���e�a��� fica: r =
cov( X , Y ) σ X × σ Y
Re�e�b�a�d�: •
cov( X , Y ) � a c��a�i��cia e���e X e Y.
•
σ
� � de��i� �ad��� da �a�i��e� a�ea���ia. a�ea���ia.
Na �e�dade a f�����a aci�a � be� �a�ecida c�� a��e�a e���dada �� i��ci� d� ���ic� de c���e�a���. A f�����a ��e �i��� ��dia �e� e�c�i�a da �eg�i��e �a�ei�a: n
∑ [( X i − X )× (Y i − Y )] i =1
n
×
1 n
∑ ( X − X )
n
∑ (Y − Y )
2
i
i =1
n
����� ����� �������
2
i
×
i =1
n
���.�������������������.���.��
18
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� − Y ) . Na ��i�ei�a �a��e da f�����a, �e��� ��a ��dia. � a ��dia d�� ���d���� ( X − X )× (Y − Q�a�d� �e��� �a�i��ei� a�ea���ia�, e��a ��dia � ��b��i���da �e�a e��e�a��a. � a e��e�a��a de ( X − µ X ) × (Y − µ Y ) . E e��a e��e�a��a, e��e�a��a, c��� �i��� �a a��a de �a�i��ei� a�ea���ia�, a�ea���ia�, � j���a�e��e a c��a�i��cia c��a�i��cia e���e � e e � .
Na �eg��da �a��e da f�����a �e��� a di�i��� �e��� de��i�� �ad��� de � e � , � ��e � �a��id� �a f�����a �a�a a c���e�a��� e���e �a�i��ei� a�ea���ia�. C�� e��a� a��e�a��e�, a f�����a fica: r =
������� 6
cov( X , Y ) σ X × σ Y
BACE� 2009 �CE�G�A����� �CE�G�A�����
Seja� d�a� �a�i��ei� a�ea���ia� X e Y c�� �a�i��cia� fi�i�a� e ��� �e��. O c�eficie��e de c���e�a��� e���e e��a� d�a� �a�i��ei� �
O�de:
: c�eficie��e de c���e�a��� �i�ea� e���e X e Y: c��(X,Y) = c��a�i��cia e���e X e Y.
���, �e��ec�i�a�e��e, de��i� �ad��� de X e de��i� �ad��� de Y. C���ide�a�d� e��a� i�f���a��e�, a�a�i�e a� ������i��e� a �eg�i�. I � Se a e b ��� c����a��e�,
II � Se
,
����a��e ��� e���c���ica III � Se c��(X,Y) = 0, e����
e X e Y ��� e���ca��ica�e��e i�de�e�de��e�.
�(S��) c���e�a(�) APENAS a(�) ������i���(�e�) (A) I. (B) II (C) I e II. (D) I e III. (E) II e III.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
19
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
���������: A��e� de �e����e���� a ��e����, ��eci�a��� e���da� ��a �����iedade da c��a�i��cia. Seja� X e Y d�a� �a�i��ei�. Seja� � e � d�a� c����a��e�. Q�a�d� ��e�e��� ca�c��a� a c��a�i��cia
�e��� � �eg�i��e. Se���e ��e ����i��ica��� ��a da� �a�i��ei� ��� ��a c����a��e, e��a c����a��e ��de �ai� da c��a�i��cia, ����i��ica�d�. L�g�:
A�a��ga�e��e:
E, ��� fi�:
P�� a�a��gia, i��� �a�b�� �a�e �a�a a di�i���. I��� �����e di�idi� ��� � � � �e��� ��e ����i��ica� ��� 1/ � . A��i�:
Vi��� i���, �a��� � ��e����: I�e� I. F�i dada a �eg�i��e e���e����:
A��ica�d� a f�����a da �a�i��cia da ���a:
Q�a�d� ����i��ica��� ��a �a�i��e� ��� ��a c����a��e, a �a�i��cia � ����i��icada �e�a c����a��e a� ��ad�ad�.
Si���ifica�d� �� �e���� de �i�a� c������i�:
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
20
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
Fica��� c��:
Q�a�d� ����i��ica��� ��a �a�i��e� ��� ��a c����a��e, a c��a�i��cia fica ����i��icada ��� e��a c����a��e:
Q�a�d� ����i��ica��� ��a �a�i��e� ��� ��a c����a��e, a c��a�i��cia fica ����i��icada ��� e��a c����a��e:
Si���ifica�d� 2�� d� ���e�ad�� e d� de���i�ad��:
I�e� c���e��. I�e� II. �E���c���ic�� � �i���i�� de �a�ea���i��. O i�e� e��� ��� di�e�d� ��e a ���a
��� � a�ea���ia.
Pa�a �i���ifica� �� c��e����i��, �eja Z �a� ��e:
Ne��e ca��, ���a��� a �a�i��e� X e di�idi��� ��� ��a c����a��e ( e di�idi��� ��� ����a c����a��e ( ).
). T��a��� a �a�i��e� Y
De�de ��e �e��� ��a c��bi�a��� de d�a� �a�i��ei� a�ea���ia�, e� ��i�c��i�, � �e����ad� (=Z) �a�b�� �e�� a�ea���i�. Va��� ca�c��a� a �a�i��cia de Z Se a �a�i��cia f�� ���a, � �����e Z ��� �a�ia. O� �eja, � �e���e c����a��e. Ne��e ca��, de fa�� ��� �e�� a�ea���i�. Se a �a�i��cia f�� dife�e��e de 0, � �����e Z �a�ia. E c��� de�e�de de d�a� �a�i��ei� a�ea���ia�, Z �a�b�� �e�� ��a �a�i��e� a�ea���ia.
A��ica�d� a f�����a da �a�i��cia da ���a:
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
21
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
Q�a�d� di�idi��� ��a �a�i��e� ��� ��a c����a��e, a �a�i��cia � di�idida �e�a c����a��e a� ��ad�ad�:
Q�a�d� di�idi��� ��a �a�i��e� ��� ��a c����a��e, a c��a�i��cia fica di�idida �e�a �e��a c����a��e.
Q�a�d� di�idi��� ��a �a�i��e� ��� ��a c����a��e, a c��a�i��cia fica di�idida �e�a �e��a c����a��e.
N� ��i�ei�� �e��� da ���a, �e��� a �a�i��cia de X, di�idida �e�a �����ia �a�i��cia de X. Q�a�d� � ���e�ad�� � ig�a� a� de���i�ad��, � �e����ad� � 1.
N� �eg��d� �e��� da ���a, �e��� a �a�i��cia de Y di�idida �e�a �a�i��cia de Y. N��a�e��e, � �e����ad� � 1.
O i�e� di��e ��e:
A��ica�d� a f�����a d� c�eficie��e de c���e�a���: S�b��i��i�d� II e� I: O� �eja, Z ��� �e� di��e����, Z ��� �a�ia. L�g�, Z � ��a c����a��e. Rea��e��e ��� � a�g� a�ea���i�. I�e� c���e��. ����� ����� �������
���.�������������������.���.��
22
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
I�e� III. O i�e� afi��a d�a� c�i�a�: � �e a c��a�i��cia � ���a, � c�eficie��e de c���e�a��� � ���� � � �e����ad� fi�a� � ��e X e Y ��� i�de�e�de��e�. De fa��, �e���e ��e a c��a�i��cia f�� ���a, a c���e�a��� �a�b�� �e�� ���a. Ba��a �e� ��e:
Se � ���e�ad�� f�� ���� (c��a�i��cia ���a), � �e����ad� da f�a��� (= ) �a�b�� �e�� ����. A ��i�ei�a �a��e da f�a�e e��� c���e�a. Q�a��� � �eg��da �a��e, e�a e��� e��ada. Vi��� �a a��a 7 ��e � fa�� de a c��a�i��cia �e� ���a ��� ga�a��e �a�i��ei� i�de�e�de��e�. I�e� e��ad�. G�������: C
2.
A�����E DE �A����C�A
2.1.
����������
A a���i�e de �a�i��cia �e��e �a�a �e��a���� a hi���e�e de ��e a� ��dia� de dife�e��e� �����a��e� ��� ��da� ig�ai� e���e �i. Pa�a �e���� ��a ��i�ei�a ideia d� �aci�c��i� e���egad� �e��a fe��a�e��a, �a��� ��aba�ha� c�� �� e�e���� �i���ificad�. E��a��� e���da�d� ��e�� de ����� �a�a �� de�e��i�ad� ��de�� de ca���. N� �e�cad� h� di������ei� 4 �a�ca� dife�e��e� de ��e��. O i���i�� � �e�ifica� �e a� 4 �a�ca� de ��e� �e��i�e� ��e �� ca���� ��de�, e� ��dia, a �e��a ��i���e��age�, a��e� de �e� �ece����ia a ����i�a ���ca de ��e�. Ob�i�e��� a�����a� �a�a cada ��a da� ��a��� �a�ca�. O� �e����ad�� d�� e���d�� e���� �a �abe�a abai�� (�a���e� e� �i� ��i���e����): �b�e��a��e� 1� 2� 3� 4� 5� M�dia
�a�ca A 4,9 4,7 5,3 4,7 4,8 4,88
�a�ca B 5,3 5,2 4,9 4,9 4,6 4,98
�a�ca C 4,7 4,2 4,3 4,9 4,8 4,58
�a�ca D 4,4 5,0 5,1 4,8 4,7 4,8
A ��dia ge�a�, de ��da� a� 20 �b�e��a��e� aci�a, i�de�e�de��e de �a�ca, � ig�a� a 4,81. ����� ����� �������
���.�������������������.���.��
23
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� X = 4,81
Q�e�e��� �abe� �e, �a�a a� ��a��� �a�ca�, a ��dia de ��i���e��age� � a �e��a. A� hi���e�e� ��e �a��� �e��a� ���: H 0 : µ 1
= µ 2 = µ 3 = µ 4
� �: �e�� �e��� ��a da� ��dia� � dife�e��e da� de�ai�
Ob�e��e� ��e, de ac��d� c�� a� a�����a� aci�a, a� ��dia� ��� ��� e�a�a�e��e ig�ai�. A ��e���� �: a� dife�e��a� e���e a� ��dia� ��� de�ida� a�e�a� a fa���e� a�ea���i��? O� a� dife�e��a� ��� �ig�ifica�i�a�, de ��d� ��e � ������e� a����a� ��e h� �e�� �e��� ��a �a�ca dife�e��e da� de�ai�? S�� e��a� �e�g���a� ��e a a���i�e de �a�i��cia �e��a �e����de�. B��, c��� ��e�e��� �� �e� ��a ��i�ei�a ideia, fi�e��� ��a �i���ifica���: ��da� a� a�����a� ��� �a�a�h� 5 (��� ca�� ge�a�, cada a�����a ��de �e� �a�a�h� dife�e��e da� de�ai�). U�a ����a �����i��� � �ece����ia. Va��� ����� ��e ��da� a� �����a��e� de ��de f��a� e���a�da� a� a�����a� a��e�e��a� a �e��a �a�i��cia σ 2 . P�� fi�, �a��� ����� ����� ��e ��da� a� �����a��e� a��e�e��a� di���ib�i��� ����a�. Va��� ca�c��a� a �a�i��cia ������ de ������ de cada g����. Cada �b�e��a��� d� ��ad�� aci�a ��de �e� �e��e�e��ada ���: X ij
��de i i�dica �a�ia de 1 a�� 4 (i�dica�d� a� �a�ca� A, B, C, D) e j �a�ia de 1 a�� 5 (i�dica�d� a� �b�e��a��e� fei�a� de���� de cada �a�ca). A �a�i��cia de���� de ��a dada �a�ca � dada ���: 5
∑ ( X ij − X i ) si
2
=
2
j =1
5 −1
C��� e�e����, �a��� de�a�ha� � c��c��� da �a�i��cia ������ da ������ da �a�ca C (�� �eja, �a�a � ca�� de i = 3) : 5
∑ ( X
3 j −
s3
2
=
j =1
5 −1
X 3
)
2
=
(4,7 − 4,58)
2
+ ( 4,2 − 4,58)
2
+ (4,3 − 4,58)
2
+
(4,9 − 4,58)
2
+ ( 4,8 − 4,58)
4
= 0,097 Fa�e�d� c��c���� �e�e�ha��e� �a�a a� de�ai� �a�ca�, �e���: Ma�ca Va�i��cia
A 0,062
B 0,077
C 0,097
D 0,075
Ca�� ��da� a� �a�ca� a��e�e��e� a �e��a ��dia, e���� �e���: � ��da� e�a� ��� di���ib�i��� ����a�
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
24
2
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
� ��da� e�a� ��� �e��a �a�i��cia σ 2 � ��da� e�a� ��� �e��a ��dia µ I��� e��i�a�e a di�e� ��e ��da� e�a� a��e�e��a� di���ib�i��� id���ica. � c��� �e ��da� a� �b�e��a��e� �i�e��e� �id� e���a�da� de ��a ��ica �����a���, ����a�, de ��dia µ e �a�i��cia σ 2 . De��e ��d�, �e���, �a �e�dade, 4 a�����a� da �e��a �����a���. S�� 4 a�����a� de �a�a�h� 5. Vi��� �a a��a de e��i�ad��e� ��e a �a�i��cia da a�����a (c�� n − 1 �� de���i�ad��) � �� e��i�ad�� �����iciad� da �a�i��cia da �����a���. P���a���, �e �i�e���� ���ia� a�����a�, a ��dia de ��da� a� �a�i��cia� a�����ai� de�e �e� be� ����i�a da �a�i��cia da �����a���. A��i�, ��a ��i�ei�a e��i�a�i�a da �a�i��cia da �����a��� �e�ia: s1
2
+
s2
2
+
s3
2
+
s4
4
2
=
0,062 + 0,077 + 0,097 + 0,075 4
=
0,078
C���i��a�d�. Ai�da �����d� ��e ��da� a� �a�ca� a��e�e��a� a �e��a ��dia, ��de��� acha� ����a e��i�a�i�a �a�a a �a�i��cia da �����a���. C��� j� e���da��� �a a��a de e��i�ad��e�, a ��dia a�����a� �e� �a�i��cia dada ���: 2
σ
X
2
σ
=
n
O� �eja, a� ��dia� a�����ai� a��e�e��a� di��e���� be� �e��e�a, ��a�d� c���a�ada c�� a di��e���� da �����a���. Se �ega���� a di��e���� da �����a��� e di�idi���� ��� �� a� �b�e��� a di��e���� da� ��dia� a�����ai�. A� ��dia� a�����ai� e���� be� c��ce���ada�. 2
n × σ X = σ 2
Se ����i��ica���� a �a�i��cia da� ��dia� a�����ai� ��� �, a� �b�e��� ��a e��i�a�i�a �a�a a �a�i��cia �����aci��a�. A��i�, ��de��� ��a� �� di�e���� �a���e� da ��dia a�����a� �a�a e��i�a� a �a�i��cia de X . . Fei�� i���, ����i��ica��� ��� � ��, e �b�e��� ����a e��i�a�i�a da �a�i��cia �����aci��a�. A ��dia da� ��dia� a�����ai� �: X =
X 1 + X 2
+ X 3 +
4
X 4
4,88 + 4,98 + 4,58 + 4,8
=
4
= 4,81
Te���: s X
2
=
( 4,88 − 4,81)
2
+
( 4,98 − 4,81)
2
+
( 4,58 − 4,81)
4 −1
2
+
( 4,8 − 4,81)
2
= 0,029
E��a � a cha�ada �a�i��cia ����� a� ����� a� �a�ca�. C��� � �a�a�h� da� a�����a� � 5 ( n = 5 ), a ���a e��i�a�i�a da �a�i��cia �a�i��cia da �����a��� �: 5 × 0,029
����� ����� �������
=
0,144
���.�������������������.���.��
25
������ ��� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
Ob�ida� e��a� d�a� e��i�a�i�a� da �a�i��cia da �����a���, ��� di�idi��� �a �e�a ����a. Ra��� e���e a� e��i�a�i�a�:
,144 0,078
= 1,85
E e��e ���e�� ���e�� aci�a aci�a � ��e � i ��� �e��i�i� �e��i�i� decidi� decidi� �e a� ��dia� ��dia� ��� ��d � ig�ai� e���e �i �� ���. Ca�� a� a� �� ��dia� �e �eja�, ef efe�i� �e��e, ��da� ig�ai� e���e �i, a �a��� e���e � d�a� e��i�a�i�a� de�e�ia �e� be� ����i�a de 1. A� d�a� e��i�a�i�a� de�e�ia� c�i�cidi (�� �e�e� ��i�� ����i�a� ��a da ����a). Ca�� Ca�� a� e��i e��i�a �a�i �i�a �a�� ��� ��� c�i� c�i� ida� (e (e a �a��� �a��� e���e e���e e�a� �eja be� dife�e dife�e �e de 1), i��� � �� �i�a� de ��e a� ��dia� da� a�ca� de ��e� ��e� ��� dife�e��e dife�e��e�� e���e e���e �i (�� � ja, h� �e�� �e��� ��a �a�ca dife�e��e da� de ai�). P�� ���? Se ��da� a� �a�ca� �i�e�e� a �e��a ��dia, ��a� ��a� f����e� de��idade de ���babi�idade �e ��b�e����� (e (e���� �� ��da� �e��e�e��ada� �e�a c���a e� ��e�� �� g��fic� abai��).
N� f��d�, ��da� a� a�����a� �de� �e� c���ide�ada� c��� e���a�da� da s1
C�� i���, � c��c���
2
+
s2
2
+
s3
2
4
+
s4
e��a �����a���.
2
(dec���e��e da� �a�i��cia� ������ ����� da� �a�ca�)
�ea��e��e �ai ge�a� ��a b�a e��i�a�i�a da �a�i��cia da �����a���. J� a �eg��da e��i�a�i�a, e��i�a�i�a, e� � de�i�ada da �a�i��cia ����� ����� a� �a�ca�. C��� a� ��dia� 2 a��� a����� ��ai ai�� ��� ��� ���c ���c� � di�� di��ee �a� (�e� c���a �e�de d� g��fic� aci�a), s X � �e��e��. 2
M���i��ica�d� n × s X , �b�e�e��� ��a b�a e��i�a�i�a �a�a a �a�i��cia da �����a���. A� d�a� �a� e� e��i�a�i�a� �e �e��� be be� ����i�a�. A �a��� e���e e�a� �e�� ��a�e ig�a� a 1. Ag��a �a��� �e��a� �e��a� e� ���� ca��.
����� ����� �������
���.������� ���.�� ��������� ��������� ��������.� ���.���. ��.��
26
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
Se ��da� a� �a�ca� �i�e�e� a �e��a �a�i��cia, �a� �i�e�e� ��dia� dife�e��e�, e�a� ��de�ia� �e� �e��e�e��ada� �e�� g��fic� abai��:
C��� ��da� e�a� a��e�e��a� a �e��a �a�i��cia, � c��c���
s1
2
+
s2
2
+
s3
2
+
s4
4
2
(dec���e��e
da� �a�i��cia� ������ da� ������ da� �a�ca�) �ea��e��e �ai ge�a� ��a b�a e��i�a�i�a da �a�i��cia da �����a���. J� a �eg��da e��i�a�i�a, ba�eada �a �a�i��cia ����� ����� a� ��dia� a�����ai�, e�a �e�� ���b�e���ica. A� ��dia� a�����ai� e��a��� �ai� di��e��a� d� ��e e��a�ia� ca�� a� ��dia� �����aci��ai� f���e� ��da� ig�ai� e���e �i. I��� fa�� c�� ��e a �eg��da e��i�a�i�a, de�i�ada da �a�i��cia ����� a� �a�ca�, �e����e ��� e��i�ad�� �ai�� ��e a��e�e dec���e��e da �a�i��cia ������ da� �a�ca�. C�� i���, a �a��� e���e a� d�a� e��i�a�i�a� �e�� be� �ai�� ��e 1. Ag��a �a��� c��e�a� a e���da� a a���i�e de �a�i��cia c�� �� ���e� ��e ge�a��e��e a�a�ece� �a� ��e���e�. Ve�e��� ��e a ��a��� e���e a� e��i�a�i�a�� �ai c���e����de�, �a �e�dade, a ��a �a��� e���e �� cha�ad�� ��ad�ad�� ��di��.
2.2.
H�������� �� ������
Va��� ��aba�ha� c�� �� ��de�� �ai� �i���e� (e�b��a a a���i�e de �a�i��cia ����a �e� a��icada �a�a ��de��� �ai� c����e���). Te��� � �����a��e� �����a��e� e� e���d� (�� e�e���� dad� �a �e��� a��e�i��, k = 4 , ��i� e�a� 4 �a�ca� dife�e��e�). De cada �����a���, ��� e���a�da� a�����a� de �a�a�h� ni (�� e�e���� a��e�i��, n1 = n 2 = n3 = n 4 = n5 = 5 � ��da� a� a�����a� �i�ha� �a�a�h� 5). O ���e�� ���a� de e���a��e� fei�a� (i�c��i�d� ��d�� �� g����� e� e���d�) � N . . N� ����� e�e����, N = 20 (5 e���a��e� �a�a cada ��a da� 4 �a�ca� de ��e�). U�a dada �b�e��a��� X ij ��de �e� �e��e�e��ada a��i�: ����� ����� �������
���.�������������������.���.��
27
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� X ij
= µ i + u ij
Cada �b�e��a��� � ig�a� � ��dia da �����a��� de ��de e�a f�i e���a�da, �ai� �� e��� a�ea���i� ( u ij ). A� hi���e�e� ���: •
�� e���� ��� �a�i��ei� a�ea���ia� c�� ��dia �e��;
•
�� e���� ��� i�de�e�de��e� i�de�e�de��e� e���e �i;
•
�� e���� ��� �a�i��cia c����a��e, �� �eja, V (uij ) = σ 2 , �a�a ��a���e� � e ��a���e� ��
•
�� e���� ��� di���ib�i��� ����a�
Na �e�dade, ��c�� ��� ��eci�a� �e ��e�c��a� e� dec��a� a� hi���e�e� aci�a. E�a� �e���e e��a��� i����ci�a� �a ��e����. O ���i�� �e�� ��a� e� a� �e�ci��ei � � �eg�i��e. P�de ac���ece� de a ��e���� i�dica� e���e��a�e��e �ai� hi���e�e�. A� � a���� ��de�ia �e a�����a�, �e��a�d� ��e a ��e���� e��� �edi�d� a�g��a c�i�a ��e e�e ��� e���d��. E����, �e a ��e���� �����e� a� hi���e�e� aci�a, ��� ��eci�a e���a� e� ���ic�, acha�d� ��e � ��a c�i�a de ����� ���d�. � �� fa�e� a a���i�e de �a�i��cia ����a��e��e, c��� �e�e��� ��� ���ic�� a �eg�i�.
2.3.
����� �� ���������
C��� �i��� �� e�e���� i�icia� (c�� a� 4 �a�ca� de ��e�), � �e��e �e ba�eia e� c��c��� da �a�i��cia (����� (����� e e ������). ������). E a �a�i��cia � �e����ad� de ��a ���a de ��ad�ad�� de de��i��. E����, ��� h��a, �a��� f�ca� �e��a� ���a� de ��ad�ad�� de de��i��. H� ���� ���a� i�����a��e�: a ���a de ��ad�ad�� �����; �����; a ���a de ��ad�ad�� ������ d�� g����� (�� ai�da: ���a de ��ad�ad�� d�� �e��d���); a ���a de ��ad�ad�� ����� g����� (�� ai�da: ���a de ��ad�ad�� de ��a�a�e����). ��a�a�e����). Seja �� � ���e�� de �e���� d� i��i�� g����. N� e�e���� da� �a�ca� de ��e�, �a�a cada g���� ��� ���ha��� 5 �b�e��a��e�. O� �eja: n1
n2
=
=
n3
=
n4
=
5
A ���a d�� ��ad�ad�� d�� �e��d��� (�� ai�da, ������ d�� g�����) � defi�ida ���: k
ni
SQ Re s = ∑ ∑ ( X ij
−
X i ) 2
i =1 j =1
O� �eja, ���a��� ��da� a� �b�e��a��e� e ��b��a���� da ��dia d� �e��ec�i�� g����. E�e�a��� a� ��ad�ad�. De��i� ���a��� ��d�. Pa�a � e�e���� da� �a�ca� de ��e�, fica��a��� c��: SQ Re s
=
( 4,9 − 4,88) +
2
+
( 4,4 − 4,8) 2
����� ����� �������
( 4,7 − 4,88) +
(5 − 4,8) 2
2
+
+
(5,3 − 4,88)
(5,1 − 4,8) 2
2
+
+
( 4,7 − 4,88)
(4,8 − 4,8) 2
+
2
+
(4,8 − 4,88)
2
+ ... +
( 4,7 − 4,8) 2
���.�������������������.���.��
28
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� SQ Re s
= 1,244
A ���a d�� ��ad�ad�� de ��a�a�e���� (�� ai�da, ����� �� g�����) � dada ���: ni
SQTrat = ∑ ( X i
− X )
2
× ni
i =1
Le�b�a�d� ��e X i � a ��dia de cada ��a da� 5 a�����a� (�a�a (�a�a i = 1 , ��� e�e����, �e��� X 1 = 4,88 , ��e � a ��dia �a�a a a�����a da �a�ca A).
E X � a ��dia de ��d�� �� �a���e�, � a ��dia ge�a� de ��da� a� �b�e��a��e�, �b�e��a��e�, i�de�e�de��e i�de�e�de��e de �a�ca. N� e�e���� da� �a�ca� de ��e�, X = 4,81 . O c��c��� da ���a de ��ad�ad�� de ��a�a�e���� � dad� ���: SQTrat = (4,88 − 4,81) 2 × 5 + ( 4,98 − 4,81) 2 × 5 + ( 4,58 − 4,81) 2 × 5 + (4,8 − 4,81) 2 × 5 SQTrat = 0,434
A ���a de ��ad�ad�� ���a� � dada ���: k
ni
SQTotal = ∑ ∑ ( X ij
−
X ) 2
i =1 j =1
T��a��� cada �b�e��a��� e ��b��a���� da ��dia ge�a�. E�e�a��� a� ��ad�ad� e ���a��� ��d�. Pa�a � e�e���� ��e �e��� ��aba�had�, fica��� c��: SQTotal
=
( 4,9 − 4,81) 2
+
(4,7 − 4,81) 2
+ ... +
(4,8 − 4,81) 2
+
( 4,7 − 4,81) 2 = 1,678
Ob�e��e� ��e: SQTotal
=
SQ Re s + SQTrat
I��� �e���e ac���ece. ���E ���A!!! S��a� de ��ad�ad��:
2.4.
G���� �� ���������
Ag��a �e�e��� �� g�a�de ���� ���� ���� A ideia � faci�i�a� a �e���i�a��� d� ��ad�� �e���� �� da ��gi�a 36. Se ��c� ��� e��i�e� ��i�� afi� de �e� e��e ���� ���� ���� e ��efe�i� �� dec��a� � �a� d� ��ad��, �e� ���e��. Ne��e ca��, ��de ���a� di�e�� �� �a�a a ��gi�a 36.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
29
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
Va��� i��e�����e� �� ���c� a �a���ia ��e e��a��� e���da�d� (a���i�e de �a�i��cia). Va��� fa�a� �� ���c� ��b�e g�a�� de �ibe�dade. U�i�i�a��� e��a e���e���� e� a��a� a��e�i��e�, �e� fa�a� e�a�a�e��e d� ��e �e ��a�a. Be�, � g�a� de �ibe�dade �ada �ai� � ��e �� �a���e��� ��e e���a �� c��c��� da f����� ga�a. � ��a f����� i�����a��e. A �a��i� de�a � ��e ��� c�������da� a� f����e� de��idade de ���babi�idade �a�a di�e��a� di���ib�i��e� de ���babi�idade i�����a��e� (c��� T, ��i� ��ad�ad�, F). S� ��e i�dica� �a�a ��c�� ��a� � a f����� ga�a e, de���� de�a, ��a� � � �a���e��� ��e c���e����de a� ���e�� de g�a�� de �ibe�dade, ��� �ai aj�da� e� �ada a e��e�de� �e�h�� � ��e � e��e g�a� de �ibe�dade. C�ei� e�, de�e ha�e� a�g��a e���ica��� �ge�����ica� �a�a � ���e�� de g�a�� de �ibe�dade. Pa�a ��e� j� e���d�� c��c���, e���� �e��a�d� e� a�g��a c�i�a a����ga � e���ica��� de de�i�ada e i��eg�a� ��� �ei� de i�c�i�a��e� de �e�a e ��ea� abai�� da c���a. E���ica��e� ��i�i�a�d� ge��e��ia ��� �ai� f�cei� �a�a a��i�i�a����. E��a a�a��gia, �e � ��e e�i��e, e� ���ca achei e� �e�h�� �i��� de e��a����ica (be� � �e�dade ��e �� c������ei �i���� i����d����i�� de e��a����ica). A�e�a� di���, ��a�e ��d�� e�e� ��a�e� ��a �hi����i�ha� ��e � ��i� �a�a �e���i�a���� c��� chega� a�� g�a�� de �ibe�dade. E���� � ��e e� ��� fa�e� � �e�a��a� a ��c�� e��a �hi����ia�. E� ��da� a� �e�e� ��e �i��� �� g�a�� de �ibe�dade, ha�ia ��a ���a de ��ad�ad�� de de��i��. A ��a��idade de g�a�� de �ibe�dade �e�� ig�a� � ��a��idade de �e���� i�de�e�de��e� ��e e��a��� ���a�d�. A ��i�ei�a �e� ��e �i��� � g�a� de �ibe�dade f�i c�� a di���ib�i��� T. Vi��� ��e X �e� ��dia µ e de��i� �ad���
σ
n
.
Q�a�d� de�c��hece��� � de��i���ad��� da �����a���, ��b��i������ �ad��� da a�����a).
σ
��� � (de��i�
Pa�a c��c��� de �2, fa�e��� a��i�: n
∑ ( X − X )
2
i
s
2
=
i =1
n −1
N� de���i�ad�� �e��� �� ���e��, ��a c����a��e, a�g� ��e ��� �a�ia. N� ���e�ad��, �e��� ��a ���a de � ��ad�ad�� de de��i��, ��e ��de� �a�ia� de ��a a�����a �a�a ����a. � e��e fa��� ��e � a�ea���i�. Va��� ��� c��ce���a� �e�e. N��e�ad��: ( X 1 − X ) 2
+ ( X 2 − X )
2
+
( X 3
− X )
2
+ ... + ( X n −1 − X )
2
+ X n −
X ) 2
Q�a� a �efe���cia �a�a � c��c��� d�� de��i��? � a ��dia a�i����ica. P�i� be�, �a��� ����� ��e a ge��e c��hece j���a�e��e a ��dia a�i����ica. C��hece��� a ��dia a�i����ica da a�����a, �a� ��� c��hece��� �� �a���e� �b�e��ad��. O� ai�da: a ��dia da a�����a � dada. Q�a��� a�� �a���e� de cada ��a da� �b�e��a��e�, e��e ��� ��� c��hece���.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
30
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
Fi�ada a ��dia da a�����a, �a��� c���ide�a� ��e a ge��e � ����� �a�a ����� �a�a e��abe�ece� ��ai���e� �a���e� �a�a a� �b�e��a��e� e, c�� i���, ca�c��a� � �a��� d� de��i� a� ��ad�ad�, ��e e���a �a f�����a d� ���e�ad��. A��i�, ��� ����� �i��e� �a�a e�c��he� � �a��� de � 1 (e, c�� i���, de�e��i�a� � �a��� de 2 ( X 1 − X ) ). N�� �a�b�� ����� �i��e� �a�a e�c��he� � �a��� de � 2. E a��i� ��� dia��e. Ne��e ���ce���, ��� �e��a��� �i��e� �a�a e�c��he� �� �a���e� de n − 1 �b�e��a��e�. N�� �e��a��� �i��e� �a�a e�c��he� �� �a���e� de X 1 , X 2 , ..., X n 1 . −
J� � �a��� de � �, e��e ��� ��� �e��� �ibe�dade �a�a e�c��he�. E�c��hida� ��da� a� de�ai� �b�e��a��e� ( X 1 , X 2 , ..., X n 1 ), �� e�i��e e�i��e �� ��ic� �a��� de � � ��e fa� c�� ��e a ��dia da −
a�����a �eja ig�a� a� �a��� fi�ad� �a�a X . . O� �eja, ����a �ibe�dade �e �e���i�gi� a n − 1 de��i�� a� ��ad�ad�. O ���i�� de��i� a� ��ad�ad� ��� ��de �e� �i��e�e��e e�c��hid�. P���a���, ��� n − 1 g�a�� de �ibe�dade. A �eg��da �e� ��e �i��� �� g�a�� de �ibe�dade f�i c�� a di���ib�i��� de ��i���ad�ad�. E�a � dada ���: 2
χ =
(n − 1) s
2
2
σ
N� de���i�ad��, �e��� a �a�i��cia da �����a���. E�a � �� ���e��, ��a c����a��e, a�g� fi��, ��e ��� �a�ia. N� ���e�ad��, �e��� d�a� �a�ce�a�. A ��i�ei�a � ( n − 1) , ��e �a�b�� � �� ���e�� fi�� (� � �a�a�h� da a�����a �e��� 1). O ����� fa���, e�e �i� �a�ia. T�a�a��e da �a�i��cia a�����a�. � a �a�i��cia de ��a de�e��i�ada a�����a. Se �e��a���� e� ��da� a� a�����a� ������ei�, e� cada ��a de�a� s 2 a����e �� �a��� dife�e��e. � e��e fa��� ��e ����a
( n − 1) s 2
2
��a �a�i��e� a�ea���ia, ��e fa�
σ
e��a e���e���� �a�ia�. Va��� ����a���, ��� c��ce���a� �e��e �e���. N��a�e��e, �e��� a �a�i��cia a�����a� ( �2), ��e ad��� da ���a de � de��i�� a� ��ad�ad�. Fi�ada ��a de�e��i�ada ��dia a�����a�, ��de�e��� e�c��he� �i��e�e��e � �a��� de n − 1 de��i��. O ���i�� de��i�, e��e ��� ��de �e� �i��e�e��e e�c��hid�. S� h� �� �a��� ������e� �a�a e�e, de �a� ��d� ��e a ��dia da� �b�e��a��e� �eja ig�a� a ��a dada ��dia a�����a�. Te���, ���a�e��e, n − 1 g�a�� de �ibe�dade. A �e�cei�a �e� ��e e���da��� g�a�� de �ibe�dade f�i �� �e��e de ��i���ad�ad� �a�a ���ia� ��������e�. A e��a����ica �e��e e�a dada �e�a ���a de ��d�� �� �a���e� de
(Oi − E i )
E i
2
. Ag��a �� de��i��
��� ca�c��ad�� e� �e�a��� �� f�e����cia� e��e�ada�. Pe�g���a: ��a� a �efe���cia �a�a c��c��� d�� de��i��?
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
31
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
A �efe���cia ��� a� f�e����cia� e��e�ada�. P�i� e���� �a��� ����� ��e a� f�e����cia� e��e�ada� ��� dada� e ��e ��� ����� �i��e� �a�a e�c��he� a� f�e����cia� �b�e��ada� (de�e��i�a�d�, a��i�, � �a��� d� de��i�). Q�a��a� f�e����cia� �b�e��ada� ��� ��de��� e�c��he� �i��e�e��e? Pa�a e�e���ifica�, �a��� �e���a� a ��e���� 24 da a��a �a��ada. Na �e�dade, ��� ada��a� � ���b�e�a: N� c���� A, ha�ia 100 ca�dida��� i��c�i��� e� �� c��c����. N� c���� B �a�b�� ha�ia 100 ca�dida��� i��c�i��� �e��e c��c����. F��a� a����ad�� 140 ca�dida��� de��e� 200 a�����. O� 60 �e��a��e� f��a� �e����ad��. Ca�c��e a e��a����ica �e��e �a�a �e��a� a hi���e�e de ��e a ��������� de a����ad�� ��� d�i� c����� � a �e��a. E��e ���b�e�a ���dificad�� ��� �e� �e�����a. I��� �����e ��� f��a� f���ecida� a� f�e����cia� �b�e��ada� de���� de cada c����. Ma� ��� �e� ���b�e�a. N���� i��e�e��e a��i ��� �e�� acha� e�a�a�e��e � �a��� da e��a����ica �e��e; �i� de�e��i�a� � ���e�� de g�a�� de �ibe�dade. Ag��a ��� �� c��hece��� �� ���ai� da a�����a. D� ���a� de a����� (i�c��i�d� �a��� � c���� A ��a��� B), 140 f��a� a����ad�� e 60 f��a� �e����ad��. Sabe��� ai�da ��e h� 100 a����� e� cada c����. Sabe�d� a�e�a� �� ���ai� (�� �eja, � ���a� de a����ad��, � ���a� de �e����ad��, e � ���a� de a����� e� cada c����), ��de��� de�e��i�a� a� f�e����cia� e��e�ada�, ca�� a hi���e�e ���a �eja �e�dadei�a:
A����ad�� Re����ad�� T��a�
c���� A F�e����cia e��e�ada 70 30 100
c���� B F�e����cia e��e�ada 70 30 100
T��a� 140 60 200
O� ���e��� e� �e��e�h� i�dica� �� ���ai�. S�� e��e� ���e��� ��e a ge��e c��hece. Se a hi���e�e ���a f�� �e�dadei�a, e��e�a��� ��e a ��������� de a����ad�� e �e����ad��, e� cada c����, �eja ig�a� � ��������� ge�a�, ���a�d� �� d�i� d �i� c����� e� c��j����. O� �eja, c��hece� �� �a���e� ���ai� � � �e��� ��e c��hece� a� f�e����cia� e��e�ada�. E �ice��e��a. Ag��a �a��� �a�a a� f�e����cia� �b�e��ada�.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
32
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
c���� A F�e����cia �b�e��ada ? ? 100
A����ad�� Re����ad�� T��a�
c���� B F�e����cia �b�e��ada ? ? 100
T��a� 140 60 200
A� f�e����cia� �b�e��ada� ��� f��a� i�f���ada�. Va��� c���ide�a� ��e ����� �i��e� �a�a ��ee�ch���a�. O� �eja, �� f��d� e��a��� c���ide�a�d� ��e ����� �i��e� �a�a de�e��i�a� �� �a���e� de cada
(Oi − E i )
2
E i
.
Va��� ��ee�che� a ��i�ei�a c����a c�� � ���e�� 80. P�� ���? P����e ����� �i��e� �a�a e�c��he� ��a���e� ���e��, e���� �a��� e�c��he� � ���e�� �� �e�� 80.
A����ad�� Re����ad�� T��a�
c���� A F�e����cia �b�e��ada 80 ? 100
c���� B F�e����cia �b�e��ada ? ? 100
T��a� 140 60 200
E e��a f�i a ��ica c����a ��e ��de��a��� ��ee�che� �i��e�e��e. A� de�ai� ��� ��de� �ai� �e� ��ee�chida� �i��e�e��e. Pa�a ��e � ���a� de a����� a����ad�� �eja de 140, a �eg��da c����a de�e �e� ig�a� a 60.
A����ad�� Re����ad�� T��a�
c���� A F�e����cia �b�e��ada 80 ? 100
c���� B F�e����cia �b�e��ada 60 ? 100
T��a� 140 60 200
Pa�a ��e � ���a� de a����� d� c���� A �eja ig�a� a 100, a �e�cei�a c����a de�e �e� ��ee�chida c�� 20.
A����ad�� Re����ad�� T��a�
c���� A F�e����cia �b�e��ada 80 20 100
c���� B F�e����cia �b�e��ada 60 ? 100
T��a� 140 60 200
Pa�a ��e � ���a� d� c���� B �eja ig�a� a 100 e � ���a� de �e����ad�� �eja 60, a ��a��a c����a de�e �e� ig�a� a 40.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
33
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
A����ad�� Re����ad�� T��a�
c���� A F�e����cia �b�e��ada 80 20 100
c���� B F�e����cia �b�e��ada 60 40 100
T��a� 140 60 200
N�� �� f���� �i��e� �a�a ��ee�che� 1 c����a. P�� i���, �e��� 1 g�a� de �ibe�dade. A��i�, ��a�d� f����� ca�c��a� a ���a d�� �a���e�
(Oi − E i )
E i
2
, ��� ��de��� e�c��he�
�i��e�e��e 1 de�e�. O� de�ai�, e��e� ��� �e��� �i��e�e��e e�c��hid��. Ge�e�a�i�a�d�, �a�a �� ca�� ��a���e� c�� ���ia� ��������e�, � ���e�� de g�a�� de �ibe�dade �e�� �e���e ig�a� a ( L − 1) × (C − 1) . Re���i�d� ��d�: � ��e fica da �hi����ia� � ��e �� g�a�� de �ibe�dade ��� �e�a��� c�� a ��a��idade de �e���� ��e ��de��� e�c��he� �i��e�e��e.
2.5.
D����������� �� ������������ � ���� �� ���������
Ai�da e��a��� �a �i��e�������� da �a���ia de h�je. Va��� �e�e�b�a� �� ���c� da a��a �a��ada. Seja X ��a �a�i��e� a�ea���ia, c�� ��dia µ e �a�i��cia σ 2 . Seja s 2 � e��i�ad�� da �a�i��cia �����aci��a�, ba�ead� e� ��a a�����a a�ea���ia de �a�a�h� �. Na a��a �a��ada, �i��� ��e
(n − 1) s 2
2
�e� di���ib�i��� de ��i���ad�ad� c�� n − 1 g�a�� de �ibe�dade.
σ
Va��� a�a�i�a� c�� ca��a e��a e���e����. 2
χ =
(n − 1) s
2
2
σ
E c��� � ��e �e ca�c��a ��a �a�i��cia a�����a�? B��, � ��i�ei�� �a��� � ca�c��a� a ���a d�� ��ad�ad�� d�� de��i�� e� �e�a��� � ��dia da a�����a. Fica a��i�: n
∑ ( X i − X ) s2
=
2
i =1
n −1
V���e��� � �a�i��e� de ��i���ad�ad� e� e���d�. E�a � dada ���: 2
χ =
(n − 1) s
2
2
σ
S�b��i��i�d� � �a��� de �2:
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
34
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� n
∑ ( X − X )
2
i
2
χ =
i =1 2
σ
N� ���e�ad�� �e��� ��a ���� �� ��������� ��� �������. ������� . E���� � i��� ��e e� ��e�ia cha�a� a a�e����, �a�a faci�i�a� a �e���i�a���. S��a� de ��ad�ad�� de de��i�� ��de� �e� ��ada� �a�a ge�a� di���ib�i��e� de ��i���ad�ad�. Ba��a di�idi� a ���a de ��ad�ad� d�� de��i�� �e�a �a�i��cia da �����a���. Fi�a��e��e, ����e��� �a�a a �a���ia de h�je (a���i�e de �a�i��cia). Se a hi���e�e ���a f�� �e�dadei�a (�� �eja, �e ��da� a� �a�ca� de ��e� �i�e�e� a �e��a ��dia), e���� ��da� a� ���a� de ��ad�ad�� de de��i�� ��e e���da��� �e��a a��a ��de� �e� ��ada� �a�a ge�a� di���ib�i��e� de ��i���ad�ad�. A��i�: •
SQ Re s 2
�e� di���ib�i��� de ��i���ad�ad�.
σ •
SQTrat 2
�e� di���ib�i��� de ��i���ad�ad�.
σ •
SQTotal 2
�e� di���ib�i��� de ��i���ad�ad�.
Cada ��a de��a� di���ib�i��e� �e� �� ce��� g�a� de �ibe�dade. O� g�a�� de �ibe�dade ���: •
SQ Re s 2
: N − − k
σ •
SQTrat 2
: k − 1
σ •
SQTotal 2
: N − 1
Ob�e��e� ��e: ( N − k ) + ( k − 1) = N − 1
O� �eja, �e ���a���� �� g�a�� de �ibe�dade �a�a �� �e��d��� e �a�a �� ��a�a�e����, chega��� a� g�a� de �ibe�dade ���a�. Va��� �e��a� �e���i�a� �� g�a�� de �ibe�dade. Pa�a �a���, �a��� �e�b�a� da �hi����ia� ��e c���a��� �� �a f�. 29. N� c��c��� da ���a de ��ad�ad�� ���a�, �ega��� cada �b�e��a��� e ��b��a���� da ��dia ge�a�. De��i� e�e�a��� a� ��ad�ad�. C��� ��� � �b�e��a��e�, ��� � de��i�� a� ��ad�ad�. Va��� c���ide�a� ��e X � dad�. P�de��� e�c��he� �i��e�e��e N − 1 de��i��. O ���i��, e��e ��� ��de �e� �i��e�e��e e�c��hid�. S� h� �� �a��� ������e� �a�a e�e, de �a� ��d� ��e a ��dia ge�a� da a�����a �eja ig�a� a� �a��� fi�ad� �a�a X
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
35
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
N� c��c��� da ���a de ��ad�ad�� de ��a�a�e����, �ega��� a ��dia de cada g���� (�� ����� e�e����, �e�ia a ��dia de cada ��a da� 4 �a�ca� de ��e�) e ��b��a���� da ��dia ge�a�. N��a�e��e, �a��� ����� ��e X � dad�. S�� � de��i�� de��i�� a� ��ad�ad� (�e��e e�e����, k = 4 ). Veja: SQTrat = (4,88 − 4,81) 2 × 5 + ( 4,98 − 4,81) 2 × 5 + ( 4,58 − 4,81) 2 × 5 + (4,8 − 4,81) 2 × 5
E� ���b����: SQTrat = ( X 1 − X ) 2 × n1
2
2
2
+ ( X 2 − X ) × n 2 + ( X 3 − X ) × n3 + ( X 4 − X ) × n 4
Se ��� c��hec���e��� a� ��dia� de cada g���� (�� ���b���e��� a ��dia ge�a� da� 4 �a�ca�), ��de��a��� e�c��he� �i��e�e��e 3 de��i��. O ���i��, e��e ��� ��de�ia �e� e�c��hid�. Pa�a e�e �� ha�e�ia �� �a��� ������e�, de �a� f���a ��e a ��dia da� 4 �a�ca� �eja ig�a� � ��dia ge�a� fi�ada. Te���, ����a���, k − 1 g�a�� de �ibe�dade. P�� fi�, �� c��c��� da ���a de ��ad�ad�� d�� �e��d���, ���a��� cada �b�e��a��� e ��b��a���� da ��dia d� �e��ec�i�� g����. S�� � de��i�� a� ��ad�ad�. Se ���b���e��� a�e�a� a� ��dia� de cada g���� (�� �eja, a� ��dia� de cada �a�ca), e ��� c��hec���e��� � �a��� de cada �b�e��a���, ��de��a��� e�c��he� �i��e�e��e di�e���� de��i��. Pa�a a �a�ca A, �e��a���: ( X 11
− X 1 )
2
+
( X 12
−
X 1 ) 2
+
( X 13 − X 1 ) 2
+ ( X 14 −
X 1 ) 2
+
( X 15
−
X 1 ) 2
Se ��� c��hece��� a� �b�e��a��e�, a�e�a� a ��dia da �a�ca A, ��de��a��� e�c��he� �i��e�e��e 4 de��i��. O ��i��� ��� ��de e�c��he� �i��e�e��e. S� h� �� �a��� ������e� �a�a e�e, de �a� ��d� ��e a ��dia da �a�ca A �eja ig�a� a� �a��� e��abe�ecid�. O �e��� �c���e �a�a ��da� a� de�ai� �a�ca�. E� cada ��a de�a�, 1 d�� de��i�� ��� ��de �e� �i��e�e��e e�c��hid�. A��i�, � ���e�� de g�a�� de �ibe�dade � ig�a� a N − . S�� � de��i�� a� ��d�. Pa�a cada − k g����, 1 de��i� ��� ��de �e� �i��e�e��e e�c��hid�. C��� �e��� � g�����, �e��� � de��i�� ��e ��� ��de� �e� �i��e�e��e e�c��hid��. T�d� e��e b�� b�� b�� ��e �e��� �i��� de�de a f�. 29 (a hi����i�ha d�� g�a�� de �ibe�dade e da� ���a� de ��ad�ad� �e�d� �e�aci��ada� c�� di���ib�i��e� de ��i���ad�ad�), ��d� i��� e�a �a�a faci�i�a� �a �e���i�a��� d� �e���� abai��. Se ��c� ��� g����� de ��d� e��e b�� b�� b��, �e�� �e��� dec��e � ��ad�� a �eg�i�:
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
36
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
���E ���A!!! Ca�� a hi���e�e ���a �eja �e�dadei�a (�� �eja, ��d�� �� g����� a��e�e��e� a �e��a ��dia), e����: SQ Re s 2
�e� di���ib�i��� de ��i���ad�ad� c�� N − − k g�a�� de �ibe�dade
σ
SQTrat 2
�e� di���ib�i��� de ��i���ad�ad� c�� k − 1 g�a�� de �ibe�dade
σ
SQTotal 2
�e� di���ib�i��� de ��i���ad�ad� c�� N − 1 g�a�� de �ibe�dade
σ
2.6.
��������� ������
Q�a�d� di�idi��� ��a ���a de ��ad�ad�� �e�� �e��ec�i�� ���e�� de g�a�� de �ibe�dade, �b�e��� �� cha�ad�� ���ad�ad�� ��di���. O ��ad�ad� ��di� d�� �e��d��� fica: QM Re s
SQ Re s
=
N − k
A�a��ga�e��e, �� ��ad�ad�� ��di�� de ��a�a�e��� e ���a� fica�: QMTrat = QMTotal
2.7. Seja
=
SQTrat k − 1 SQTotal N − 1
A ������������ F χ 1
2
��a �a�i��e� �a�i��e� a�ea���ia a�ea���ia c�� di���ib�i��� de ��i���ad�ad� ��i���ad�ad� c�� �1 g�a�� de
�ibe�dade. Seja de �ibe�dade.
χ 2
2
��a �a�i��e� �a�i��e� a�ea���ia a�ea���ia c�� c�� di���ib�i��� di���ib�i��� de ��i���ad�ad� ��i���ad�ad� c�� �2 g�a��
Va��� c�ia� a �eg�i��e �a�i��e�: 2
W =
χ 1 / g1 2
χ 2 / g 2
N� ���e�ad�� �e��� ��a �a�i��e� de ��i���ad�ad� di�idida �e�� �e� ���e�� de g�a�� de �ibe�dade. N� de���i�ad��, �e��� ��a �a�i��e� de ��i���ad�ad� di�idida �e�� �e� ���e�� de g�a�� de �ibe�dade.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
37
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
E��a di�i��� ge�a ��a �e�cei�a �a�i��e�, c�� di���ib�i��� F (�� ai�da: F de S�edec��). E��a �a�i��e� � �����i �1 g�a�� de �ibe�dade a���ciad�� a� �e� ���e�ad�� e �2 g�a�� de �ibe�dade a���ciad�� a� �e� de���i�ad��. P���a���, a �a���: F =
QMTrat QM Re s
Te� di���ib�i��� F de S�edec��, c�� k − 1 g�a�� de �ibe�dade �� ���e�ad�� e N − g�a�� − k de �ibe�dade �� de���i�ad��. E��a �a��� � ��i�i�ada �a�a �e��a� a hi���e�e ���a de ��e ��da� a� �����a��e� ��� a �e��a ��dia (�� ����� e�e����, de ��e ��da� a� �a�ca� de ��e� �e��i�e� a �e��a ��i���e��age� ��dia). Ca�� a hi���e�e ���a �eja �e�dadei�a, �� d�i� ��ad�ad�� ��di�� �e��� ����i���, e a �a��� �e�� ����i�a de 1. Ca�� a hi���e�e ���a �eja fa��a, �� d�i� ��ad�ad�� ��di�� �e��� be� dife�e��e� e���e �i, e a �a��� aci�a �e�� be� �ai�� ��e 1. E���� � �e��e � a�e�a� i���. Ba��a ca�c��a� �� �a���e� de QMTrat e QM Re Re s , e��ec�fic�� �a�a � e��e�i�e��� fei��, � ��e �ai ge�a� a e��a����ica �e��e ( F _ _ teste , �� �eja, � �a��� de � �a�a � e��e�i�e��� fei��). De��i� c������a��� a �abe�a da di���ib�i��� � (�b�e�d� F _ _ crítico ). De��i�, ba��a c���a�a� a e��a����ica �e��e c�� � �a��� c���ic�. Se a e��a����ica �e��e f�� �ai�� ��e � �a��� c���ic�, �ejei�a��� a hi���e�e ���a. Se f�� �e���, acei�a��� a hi���e�e ���a.
���E ���A!!! Te��e F: QMTrat QM Re s
�e� di���ib�i��� F (ca�� a hi���e�e ���a �eja �e�dadei�a).
Fa�e��� � e��e�i�e���, �b�e�d� �a���e� e��ec�fic�� �a�a QMTrat e Re s , � ��e �ai ge�a� a e��a����ica �e��e ( F _ _ teste ). QM Re Se F _ teste > F _ critico , �ejei�a��� a hi���e�e ���a. Se F _ teste < F _ critico , acei�a��� a hi���e�e ���a.
������� 7
�� �� 2005 �CE�G�A����� �CE�G�A�����
Se � 1, � 2, ... � �, � 1, � 2, ... � � ��� �a�i��ei� a�ea���ia� i�de�e�de��e� e c�� di���ib�i��� ����a� �ed��ida, e���� a �a�i��e� a�ea���ia W =
X 1
2 2
Y 1
+ X 2 + Y 2
2
2
+ ... + X n + ... + Y n
2
2
�e� di���ib�i���:
(A) ����a�.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
38
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
(B) ��i���ad�ad� c�� � � 1 g�a�� de �ibe�dade. (C) � de S��de�� c�� � g�a�� de �ibe�dade. (D) F c�� (� �1, � �1) g�a�� de �ibe�dade. (E) F c�� (�, �) g�a�� de �ibe�dade. ���������. P�de��� �ee�c�e�e� a �a�i��e� � de��e de��e ��d�:
( X + X W = (Y + Y 2
1
2
1
2
2 2
2
+ ... + X n + ... + Y n
2
2
) / n
) / n
N� ���e�ad�� �e��� ��a di���ib�i��� de ��i���ad�ad� c�� � g�a�� de �ibe�dade, di�idida ��� �� Ide� �a�a � de���i�ad��. L�g�, � �e� di���ib�i��� F c�� (�, �) g�a�� de �ibe�dade. G�������: E ������� 8
�CE �� 2007 �CE�G�A����� �CE�G�A�����
Se � 1 � � 2 � ���� ��� � 1 � � 2 � ���� �� ��� �a�i��ei� a�ea���ia� i�de�e�de��e� e c�� di���ib�i��� ����a� �ed��ida, e���� a �a�i��e� a�ea���ia W =
X 1
2 2
Y 1
+ X 2 + Y 2
2
2
+ ... + X n + ... + Y n
2
2
�e� di���ib�i���:
(A) ����a�. (B) ��i���ad�ad� c�� � � 1 g�a�� de �ibe�dade. (C) � de S��de�� c�� � g�a�� de �ibe�dade. (D) F c�� (� � 1 � � � 1 � g�a�� de �ibe�dade. (E) F c�� (�� �� g�a�� de �ibe�dade. ���������. Q�e���� id���ica � a��e�i��. G�������: E E������ 2 Pa�a � e�e���� da� ��a��� �a�ca� de ��e�, ��aba�hada� d��a��e a a��a, �e��e a hi���e�e de ��e a� ��dia� ��� ig�ai�, c����a a hi���e�e a��e��a�i�a de ��e h� �e�� �e��� ��a ��dia dife�e��e da� de�ai�. U�i�i�e �� ���e� de �ig�ific��cia de 10%. Re�������.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
39
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
P�de��� j���a� ��d�� �� c��c���� j� �ea�i�ad�� d��a��e a a��a e� ��a �abe�a, a��i�: F���e da �a�ia��� T�a�a�e���� (e���e) Re��d��� (de����) T��a�
G�a�� de �ibe�dade 3
S��a de ��ad�ad�� 0,434
Q�ad�ad� ��di� 0,145
16 19
1,244 1,678
0,078
F _ _ teste
1,858974
O� ��ad�ad�� ��di�� f��a� �b�id�� �e�a di�i��� e���e a ���a de ��ad�ad�� e � ���e�� de g�a�� de �ibe�dade. O� �eja: QMTrat =
0,434 3
=
0,145
E� �e� de ��i�i�a� a e���e���� ���a�a�e����, � e�e�c�ci� ��de �e �efe�i� � �a�ia��� ����� ��a�a�e����. O� �eja, � ���b��� �e�ia QM _ entre QMTrat = QM _ entre
=
0,145
Pa�a � ��ad�ad� ��di� de �e��d���� (de����), a c���a � a����ga: QM Re s
=
QM _ dentro =
1, 244 16
=
0,078
E��e� d�i� ��ad�ad�� ��di�� ��� ��i�i�ad�� �a�a fa�e� � �e��e F. F _ teste =
QMTrat QM Re s
=
QM _ entre
QM _ dentro
=
0,145 0,078
= 1,8589
A �a��� e���e �� ��ad�ad�� f�i de 1,8589. F�i dife�e��e de 1. Ca�� a �a��� �eja be� ����i�a de 1, acei�a��� a hi���e�e ���a. Ca�� a �a��� �eja be� afa��ada de 1, �ejei�a��� a hi���e�e ���a. E ag��a? O ���e�� 1,8589 � ����i�� �� afa��ad� de 1? Be�, � ��e �ai ��� �e����de� i��� � a �abe�a da di���ib�i��� F. Abai�� �eg�e �� ��echi�h� da Tabe�a F �a�a ���e� de c��fia��a de 10%.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
40
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� F���ece �a���e� c���ic�� ( � 0), �a� ��e P( F > F 0 ) = 10%
N��e�� GL de���i�ad�� 15 16 17 18 19 20
2 2,695172932 2,668171457 2,644638468 2,623946985 2,605612364 2,589254118
N��e�� de GL d� ���e�ad�� 3 4 2,489787735 2,461810755 2,437433917 2,416005381 2,397021508 2,380087057
2,361433116 2,332744869 2,307747133 2,285771772 2,266302568 2,248934402
5 2,273022447 2,243757603 2,218252647 2,195827465 2,175956494 2,158227217
A e��a����ica �e��e (1,8589) � �e��� ��e � �a��� c���ic� (2,46). Acei�a��� a hi���e�e ���a. Pa�a �e�h�� �i��a�i�a���, �eg�e de�e�h� da f����� de��idade de ���babi�idade, �a�a (3, 16) g�a�� de �ibe�dade.
De ac��d� c�� a �abe�a �a�a a di���ib�i��� F, �e��� ��e a ��ea a�a�e�a da fig��a abai�� � de 10%.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
41
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
Q�e � a �egi�� c���ica. A e��a����ica �e��e ��� cai� �a �egi�� c���ica. P���a���, acei�a��� a hi���e�e ���a. ������� 9
�E���B�A� 2008/2 �CE�G�A�����
Di�ide���e a�ea���ia�e��e 12 ���e� de �e��a e� ���� g�����. O ��i�ei�� � �a��id� c��� g���� de c������e (C), e���a��� �� ������ d�i� �ecebe� �� fe��i�i�a��e� A e B. A �abe�a abai�� a��e�e��a a ANOVA �a�cia� d� e��e�i�e���.
E����, a� c����a��e� �, � e � ���, �e��ec�i�a e a����i�ada�e��e, ig�ai� a (A) 1, 11 e 4,5 (B) 1, 11 e 9 (C) 2, 11 e 9 (D) 2, 12 e 2 (E) 3, 12 e 3 ���������. O e�e�c�ci� f���ece� di�e�� a �abe�a da a���i�e de �a�i��cia, j� c�� ��da� a� c���a� �����a�. SQ i�dica ����a de ��ad�ad���. GL i�dica �g�a�� de �ibe�dade�. EQM i�dica �e��� ��ad���ic� ��di�� (��e � �i���i�� de d e ��ad�ad� ��di�).
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
42
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
Q�e�e��� �e��a� �e �� ���� �i��� de ���d���� (c�� fe��i�i�a��e� A e B, �ai� � g���� de c������e, C) a��e�e��a� �� �e���� �e����ad��. O e�e�c�ci� ��� i�dic�� e�a�a�e��e � ��e �e e��� c���a�a�d�. P�de�ia, ��� e�e����, �e� a ��a��idade de ���e�ada� ���d��ida� ��� de�e��i�ada ��ea ��a��ada. A� ��d�, ��� 12 �b�e��a��e� (��a �a�a cada ���e de �e��a). P���a���: N = 12 ⇒ N − 1 = 11
A ���a de ��ad�ad�� ���a� �e� N − 1 g�a�� de �ibe�dade. L�g�, a c����a��e � da �abe�a � ig�a� a 11. b = 11
O ���e�� de g�a�� de �ibe�dade a���ciad� � ���a de ��ad�ad�� ���a� � ig�a� � ���a d�� de�ai� g�a�� de �ibe�dade. a+9 = b a + 9 = 11 a
=
2
C�� i���, j� d� �a�a �a�ca� �e��a C. P�� fi�, a e��a����ica �e��e �e��e fica: F _ teste = c
=
156 17,3
= 9,02
G�������: C C���ide�e a de�c�i��� abai�� �a�a �e����de� � Q�e���� 10 e Q�e���� 11. U� e���d� ��e�e�de c���a�a� a� �edida� de ��e���� �a�g���ea �i����ica de ���� g�����: ��� f��a��e�, e��f��a��e� e f��a��e�. U�a a�����a � �e�eci��ada de cada g����, �e�d� �� dad�� �e�e�a��e� a��e�e��ad�� abai��. S���e��e ��e a� �a�i��cia� �����aci��ai� �eja� ig�ai�, e ��e a ��e���� �a�g���ea �i����ica �eja ����a��e��e di���ib��da. A� ��dia� e �� de��i�� �ad��e� e���� e���e���� e� ��Hg.
������� 10
F��A�A 2009 �CE�G�A����� �CE�G�A�����
A� e��i�a�i�a� da �a�i��cia de���� d�� g����� e e���e �� g�����, ���, �e��ec�i�a�e��e,
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
43
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
��������� Te��� �� ���a� de 100 �b�e��a��e� ( N = 100 ), �efe�e��e� a ���� g����� �e���i�ad�� ( k = 3 ) A ��dia ge�a� d�� ���� g����� � dada ���: X =
115 × 60 + 114 × 30 + 118 × 10 100
= 115
A ���a de ��ad�ad�� e���e �� g����� � dada ���: SQ _ entre = 60 × (115 − 115) 2
+ 30 × (114 − 115)
2
+ 10 × (118 − 115)
2
= 120
E��a ���a de ��ad�ad�� �����i k − 1 g�a�� de �ibe�dade. k − 1 = 3 − 1 = 2
L�g�, � ��ad�ad� ��di� fica: QM _ entre =
120 2
Va��� ag��a ca�c��a� a ���a de ��ad�ad�� de���� d�� g�����. Pa�a �a���, ��eci�a���, e� cada g����, ca�c��a� a ���a d�� ��ad�ad�� d�� de��i�� e� �e�a��� � ��dia d� g����. Pa�a �� ����f��a��e�, �abe��� ��e a �a�i��cia � ig�a� a 14 2. E c��� f�i ca�c��ada e��a �a�i��cia? E�a f�i ca�c��ada ���a�d� �� ��ad�ad�� d�� de��i�� e di�idi�d� ��� 59. L�g�, a ���a d�� ��ad�ad�� d�� de��i��, �a�a � g���� d�� ����f��a��e�, � ig�a� a 14 2 × 59 . C��� � �e��� �aci�c��i�, ��de��� acha� a� ���a� d�� ��ad�ad�� d�� de��i�� �a�a �� de�ai� g�����. C�� i���, �e���: SQ _ dentro
= 14
2
2
2
× 59 + 10 × 29 + 12 × 9 = 15760
E��a ���a de ��ad�ad�� �e� N − − k g�a�� de �ibe�dade. N − k = 100 − 3 = 97
L�g�: QM _ dentro
=
15760 97
G�������: E
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
44
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
������� 11
F��A�A 2009 �CE�G�A����� �CE�G�A�����
U�i�i�a�d� �� ���e� de �ig�ific��cia de 5%, a E��a����ica F, a� ��e���e� �a�g���ea� ��dia� ��� ���� g����� e � �a��� c���ic� ���, �e��ec�i�a�e��e, �e��ec�i�a�e��e,
���������. E��a����ica �e��e: F _ teste =
QM _ entre QM _ dentro
=
120 / 2 15760 / 97
=
60 × 97 15760
= 0,37
C������a�d� a �abe�a c���cada a� fi�a� d� a���i�� (�a�a �� ���e� de �ig�ific��cia de 5%), �e��� �� �e��e�� ���b�e�a. H� ��a c����a �a�a 2 g�a�� de �ibe�dade �� ���e�ad��. Ma� ��� h� ��a �i�ha �a�a 97 g�a�� de �ibe�dade �� de���i�ad��. O �a��� �ai� ����i�� � 120 g�a�� de �ibe�dade. L�g�, � �a��� c���ic� de�e e��a� ����i�� de 3,07. A �����ia ��e���� fa� e��a a����i�a���, ��i� ��a�, e� ��da� a� a��e��a�i�a�, � �a��� 3,07. A��i�, c��c������ ��e a �egi�� c���ica c���e����de a� i��e��a�� de 3,07 a�� i�fi�i��. A e��a����ica �e��e cai �a �egi�� de acei�a���. Acei�a��� a hi���e�e de ��e a� ��dia� ��� ���� g����� ��� ig�ai� e���e �i. G�������: A E�e�c�ci�� de a���i�e de �a�i��cia ��� ��� ��i�� c�b�ad�� e� ����a. Na �e�dade, � ��e cai �� ���c� �ai� � a a��ica��� da a���i�e de �a�i��cia a���ciada � �e�a de �eg�e���� �i�ea�, �a���ia ��e �e�e��� �a ����i�a � ���i�a a��a. E�ce��a��� a��i ����a a��a. B��� e���d��!
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
45
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
3.
�E�����
������� F�����a d� c�eficie��e de c���e�a��� �i�ea�
P����iedade� d� c�eficie��e de c���e�a���
C�eficie��e de c���e�a��� e���e �a�i��ei� a�ea���ia� S��a� de ��ad�ad�� G�a�� de �ibe�dade
Q�ad�ad�� ��di��
E��a����ica F
����� ����� �������
���������
Si�a� de a����cia de �e�a��� �i�ea� Re�a��� �i�ea� �e�fei�a e di�e�a Re�a��� �i�ea� �e�fei�a e i��e��a Se ���a���� c����a��e� a X e Y, ��� ��� �e a��e�a. Se ����i��ica���� X e Y ��� d�a� c����a��e�, e����: � � c�eficie��e ��� �e a��e�a, ca�� a� c����a��e� �e�ha� �i�ai� ig�ai�; � � c�eficie��e �e a��e�a, ca�� a� c����a��e� �e�ha� �i�ai� dife�e��e�
���.�������������������.���.��
46
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
4.
��E���E� A��E�E��ADA� E� A��A
������� 1
��E� 2008 �CE�G�A����� �CE�G�A�����
C���ide�e a� afi��a��e� a �eg�i� a �e��ei�� d� C�eficie��e de C���e�a��� ( � ) de Pea���� e���e d�a� �a�i��ei�. I � Se � = 1, a� �b�e��a��e� e���� ��da� ��b�e ��a �i�ha �e�a �� diag�a�a de di��e����. II � Se � > 0, 0 , a �a�i��e� i�de�e�de��e a��e��a ��a�d� a �a�i��e� de�e�de��e a��e��a. III � Se � < 0, a �a�i��e� i�de�e�de��e dec�e�ce ��a�d� a �a�i��e� de�e�de��e dec�e�ce. IV � Se � = 0, ��� e�i��e �e�a��� e���e a� d�a� �a�i��ei�. S�� c���e�a� A�E�A� a� afi��a��e� (A) I e II (B) I e III (C) II e III (D) II e IV (E) III e IV ������� 2
�C� CE��E �2008�
U�a ag��cia de de�e�����i�e��� ��ba�� di���g�� �� dad�� a��e�e��ad�� �a �abe�a a �eg�i�, ace�ca d�� ���e��� de i���ei� �fe��ad�� ( � ) e �e�did�� ( � ) e� de�e��i�ad� ���ic��i�, ��� a��� de 2005 a 2007. A�� 2005 2006 2007
N��e�� de i���ei� Ofe��ad�� (X) Ve�did�� (Y) 1.500 100 1.750 400 2.000 700
C���ide�a�d� a� i�f���a��e� d� �e���, j��g�e � i�e� ��b�e��e��e. O c�eficie��e de c���e�a��� �i�ea� e���e � e e � � � i�fe�i�� a 0,8. ������� 3
�� �� 2009 �FCC�
A�a�i�a�d� � diag�a�a de di��e���� e���e d�a� �a�i��ei� a�ea���ia� X e Y, �� a�a�i��a ����� ��� ��i�i�a� ��a f���a de �e�a��� �i�ea� a����i�ada e���e X e Y �a� ��e Y = 3 + 2X, ��a �e� ��e �e� ��d�� �� ������ �e��e�ce� a ��a �e��a �e�a. Se � c�eficie��e de c���e�a��� �i�ea� e���e X e Y f�� �, e���� (A) 0 < � < 1 (B) − 1 < � < 0 (C) � = 1 (D) � = 0 (E) � = − 1
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
47
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
������� 4
CA�E� 2008 �CE�G�A�����
Se a� �a�i��ei� Y e X 1 f��e� ��a��f���ada�, �e��ec�i�a�e��e, �e��ec�i�a�e��e, �a�a �a�a Y 1 X 1 ' = − X 1 + 0,5 , � c�eficie��e de c���e�a��� e���e Y 1 e X 1 '
= −2Y +
0,5 e
(A) 0,382 (B) 0,059 (C) � 0,059 (D) � 0,118 (E) � 0,382 ������� 5
�� �� 2009 �FCC�
Seja� a� �a�i��ei� a�ea���ia� X e Y, defi�ida� e� �� e��a�� a�����a� de �c�����cia�, a����i�d� �� �a���e�: X = � �1 , � 2, . . . ., � � � e Y = � �1, �2, . . ., � ��. O c�eficie��e de c���e�a��� �i�ea� e���e X e Y � ig�a� a 0,625. 0,6 25. M���i��ica�d� ��� 5 ��d�� �� �a���e� de X e ��� 10 ��d�� �� �a���e� de Y, �e���e ��e � ���� c�eficie��e de c���e�a��� �i�ea� c���e����de��e a�� d�i� ����� c��j����� f���ad�� � (A) 0,8000 (B) 0,6250 (C) 0,5000 (D) 0,4000 (E) 0,3125 ������� 6
BACE� 2009 �CE�G�A����� �CE�G�A�����
Seja� d�a� �a�i��ei� a�ea���ia� X e Y c�� �a�i��cia� fi�i�a� e ��� �e��. O c�eficie��e de c���e�a��� e���e e��a� d�a� �a�i��ei� �
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
48
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
O�de:
: c�eficie��e de c���e�a��� �i�ea� e���e X e Y: c��(X,Y) = c��a�i��cia e���e X e Y.
���, �e��ec�i�a�e��e, de��i� �ad��� de X e de��i� �ad��� de Y. C���ide�a�d� e��a� i�f���a��e�, a�a�i�e a� ������i��e� a �eg�i�. I � Se a e b ��� c����a��e�,
II � Se
,
����a��e ��� e���c���ica III � Se c��(X,Y) = 0, e����
e X e Y ��� e���ca��ica�e��e i�de�e�de��e�.
�(S��) c���e�a(�) APENAS a(�) ������i���(�e�) (A) I. (B) II (C) I e II. (D) I e III. (E) II e III. ������� 7
�� �� 2005 �CE�G�A����� �CE�G�A�����
Se � 1, � 2, ... � �, � 1, � 2, ... � � ��� �a�i��ei� a�ea���ia� i�de�e�de��e� e c�� di���ib�i��� ����a� �ed��ida, e���� a �a�i��e� a�ea���ia W =
X 1
2 2
Y 1
+ X 2 + Y 2
2
2
+ ... + X n + ... + Y n
2
2
�e� di���ib�i���:
(A) ����a�. (B) ��i���ad�ad� c�� � � 1 g�a�� de �ibe�dade. (C) � de S��de�� c�� � g�a�� de �ibe�dade. (D) F c�� (� �1, � �1) g�a�� de �ibe�dade. (E) F c�� (�, �) g�a�� de �ibe�dade. ������� 8
�CE �� 2007 �CE�G�A����� �CE�G�A�����
Se � 1 � � 2 � ���� ��� � 1 � � 2 � ���� �� ��� �a�i��ei� a�ea���ia� i�de�e�de��e� e c�� di���ib�i��� ����a� �ed��ida, e���� a �a�i��e� a�ea���ia W =
����� ����� �������
X 1
2 2
Y 1
+ X 2 + Y 2
2
2
+ ... + X n + ... + Y n
2
2
�e� di���ib�i���:
���.�������������������.���.��
49
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
(A) ����a�. (B) ��i���ad�ad� c�� � � 1 g�a�� de �ibe�dade. (C) � de S��de�� c�� � g�a�� de �ibe�dade. (D) F c�� (� � 1 � � � 1 � g�a�� de �ibe�dade. (E) F c�� (�� �� g�a�� de �ibe�dade. ������� 9
�E���B�A� 2008/2 �CE�G�A�����
Di�ide���e a�ea���ia�e��e 12 ���e� de �e��a e� ���� g�����. O ��i�ei�� � �a��id� c��� g���� de c������e (C), e���a��� �� ������ d�i� �ecebe� �� fe��i�i�a��e� A e B. A �abe�a abai�� a��e�e��a a ANOVA �a�cia� d� e��e�i�e���.
E����, a� c����a��e� �, � e � ���, �e��ec�i�a e a����i�ada�e��e, ig�ai� a (A) 1, 11 e 4,5 (B) 1, 11 e 9 (C) 2, 11 e 9 (D) 2, 12 e 2 (E) 3, 12 e 3 ������� 10
F��A�A 2009 �CE�G�A����� �CE�G�A�����
A� e��i�a�i�a� da �a�i��cia de���� d�� g����� e e���e �� g�����, ���, �e��ec�i�a�e��e,
������� 11
F��A�A 2009 �CE�G�A����� �CE�G�A�����
U�i�i�a�d� �� ���e� de �ig�ific��cia de 5%, a E��a����ica F, a� ��e���e� �a�g���ea� ��dia� ��� ���� g����� e � �a��� c���ic� ���, �e��ec�i�a�e��e, �e��ec�i�a�e��e,
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
50
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
5.
GABA����
1
a
2
e��ad�
3
a
4
c
5
b
6
c
7
e
8
e
9
c
10
e
11
a
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
51