Análise e previsão de séries temporais I – Prof.: Henrique Hippert
Bacharelado em Estatística – 2011.2
Disciplina: Análise e Previsão de Séries Temporais I Professor: Henrique S. Hippert Aula 16 – Processos MA(1) e MA(2)
1. Processo MA(1) z t
= µ +
at − θ 1 at −1
(1)
Escrito com os dados centrados: zt = at − θ 1at 1 zt = (1 − θ 1 B)at
(2)
−
1.1. Estacionariedade e invertibilidade
Para um modelo MA(1), a equação característica é 1 − θ 1 B = 0 cuja raiz é B
=
1 θ 1
Para que |B| > 1, é preciso que | θ 1 |< 1 Portanto, um modelo MA(1) é sempre estacionário, e será invertível se | θ 1 |< 1 . 1.2. Média e variância
De (1) e (2) acima, E ( zt ) = µ E ( zt ) = 0 2
σ z
=
(1 + θ 12 )σ a2
1.3. Função de autocorrelação (FAC) − θ k + θ 1θ k 1 + ... + θ q k θ q
ρ k =
+
1
−
2 + θ 1 +
2
... + θ q
0
k = 1,2,..., q
k > q
(3)
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Substituindo o coeficiente θ 1 em (3), obtemos: ρ 1
=
− θ 1
1 + θ 12 ρ k = 0 , k >1 1.4. Função de autocorrelação parcial (FACP)
Substituindo o ρ 1 acima nas equações de Yule-Walker, Box & Jenkins (1994) demonstram que é possível chegar à expressão da FACP do modelo MA(1), em função do defasamento k : 2 k 1 − θ 1 φ kk = −θ 1 (4) 2 k 2 1 θ − 1 +
portanto, 1 − θ 12 1 − θ 12 = −θ 1 φ 11 = −θ 1 4 2 2 1 ( 1 )( 1 ) θ θ θ − − + 1 1 1 2 2 1 − θ 1 φ 22 = −θ 1 6 1 θ − 1 2 3 1 − θ 1 , etc. φ 33 = −θ 1 8 − 1 θ 1
=
− θ 1
1 + θ 12
como, pela condição de invertibilidade do modelo, | θ 1 |< 1 é fácil de ver que θ 1k irá decair exponencialmente (se o sinal de θ 1 for negativo, as potências sucessivas de θ 1k terão sinais alternados). Como o termo entre parênteses em (4) 1 − θ 12 <1 2 k 2 − 1 θ 1 +
vemos que | φ kk |< θ 1k e concluímos daí que φ kk será dominada por uma exponencial amortecida. Para um modelo MA(1), portanto, a FAC tem apenas um valor diferente de zero, enquanto a FACP decai indefinidamente. É a situação inversa do que acontecia com AR(1).
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2. Processo MA(2) Modelo: zt = µ + at − θ 1at −1 − θ 2 at −2
(5)
Ou, usando dados centrados, zt = at − θ 1at −1 − θ 2 at −2 2
zt = (1 − θ 1 B − θ 2 B )at
2.1. Estacionariedade e invertibilidade
Os processos MA(2) são sempre estacionários. Para que seja invertível, é preciso que as raízes da equação característica estejam fora do círculo unitário, o que ocorre se os coeficientes atenderem às restrições: θ 2 + θ 1 < 1 θ 2 − θ 1 < 1 − 1 < θ 2 < 1 Estas três restrições definem a área sombreada abaixo:
Um modelo será invertível se o ponto definido por seus coeficientes estiver dentro do triângulo. Note que estas condições são similares àquelas exigidas para a estacionariedade de um AR(2). 2.2. Média e variância:
De (1) e (2) acima, E ( zt ) = µ 2 2 2 Var ( zt ) = σ a (1 + θ 1 + θ 2 ) 2.3. Função de autocorrelação :
Da expressão (3), obtemos ρ 1
=
− θ 1 + θ 1θ 2
1
2 2 + θ 1 + θ 2
=
− θ 1
(1 − θ 2 )
1 + θ 12 + θ 22
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ρ 2
=
1
− θ 2 2 2 + θ 1 + θ 2
ρ k = 0 para k ≥3
2.4. Função de autocorrelação parcial
A expressão da FACP para modelos MA(2) é bastante complicada e não será apresentada aqui. Esta função é dominada pela soma de duas exponenciais (se as raízes da equação característica são reais), ou por uma senóide amortecida, no caso contrário. Portanto, a FACP de um processo MA(2) irá se comportar exatamente como um a FAC de um processo AR(p).
3. Dualidade entre AR e MA
AR: ACF infinita; PACF finita MA: ACF finita; PACF infinita AR: sempre invertível MA: sempre estacionário AR: raizes fora do círculo unitário, para estacionariedade MA: raizes fora do círculo unitário, para invertibilidade
