���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
AULA 14: Estimadores pontuais e intervalos de confiança ��
����������� �������� �������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������ � 1.1.
Estimador para a média ...................................................... ........................................................... ....... 3
1.2.
Estimador para a variância .......................................................... ........................................................ 5
1.3.
Estimador para uma proporção .................................................... ...................................................... 11
1.4.
Detalhando um pouco mais........................................................... ...................................................... 11
��
��������� �� ��������� ���� � ����������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������������������� ��������������������� �� 2.1.
como uma variável aleatória ..................................................... ...................................................... 13
2.2.
Esperança e variância de ........................................................................................................... ..... 15
2.3.
Intervalo de confiança para a média ...................................................... ............................................ 30
2.4.
Intervalo de confiança para a média quando a variância variância da população não é conhecida................. 41
��
��������� �� ��������� ���� �������������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������� ��������� �� 3.1.
como uma variável aleatória ..................................................... ...................................................... 49
3.2.
Intervalo de confiança para uma proporção .................................................... .................................. 53
��
��������� �� ��������� � ������� ������� �� ������� ������������������������������������������������������������� ��
��
����� �� �������� �������� ���� ���������� ������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������� ��������� ��
��
��������������� ��������������� ��� ����������� ����������� ������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������������������������������� ��������������������� �� 6.1.
Estimador não tendencioso ........................................................... ...................................................... 82
6.2.
Estimador de variância mínima. ................................................... ...................................................... 85
6.3.
Estimador de mínimos quadrados ........................................................... ............................................ 86
6.4.
Estimador de máxima verossimilhança verossimilhança ................................................... ............................................ 87
��
������� �������������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������� ���
��
�������� ������������ �� ������������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������������������������������� ������������������� ���
��
��������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������������� ���
���
������ � � ������������ ������ ������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������������������������� ������������������� ���
���
������ �� � ������������ � �� ������� ���������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������������������� ������� ���
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
�
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
1.
����������� ��������
C���ide�e ��a �e���i�a �ala�ial e���l�e�d� alg��� ���ad��e� de �� bai���. E��a �e���i�a �e��l��� �� �eg�i��e c��j���� (dad�� e� R$ 1.000,00). ������� ��� ��������� �� ������ � ������� ��� ��� ��������� �� ��������� �� ��������� �� ��������� �� ��������� �� ��������� �� ��������� �� ��������� �� ��������� �� ��������� �� ���������
O c��j���� d�� �al��i�� de ��d�� �� ���ad��e� � a ����a ��������� . Q�al��e� ��bc��j���� ��� �a�i� da ����la��� � ��a �������. Q�e�e��� de�c�b�i� � �al��i� ��di� d�� ���ad��e� d� bai���. A g�a�de�a de i��e�e��e (��dia �ala�ial) �e �efe�e � ����la���. O� �eja, e��a��� i��e�e��ad�� �� �al��i� ��di� de ��d�� �� ���ad��e�. A ��dia ����laci��al � � ����� ���������. Pa���e��� � ��al��e� ��al��e� ca�ac�e����ica ����laci��al. ����laci��al. Se, ��� alg�� ���i��, ��� ��de���� �eali�a� �� ce���, ��� fa�e��� ��a a�����age�. A� l��g� d� c����, ��abalha�e��� ba�ica�e��e c�� a a�����age� alea���ia �i��le�. M�i�� be�. Seleci��a��� ��a a�����a de de� �e���a�. Se ��c� calc�la� a ��dia �a�a a a�����a aci�a i�dicada, �b�e�� R$ 3.600,00. A ��dia a�����al � de R$ 3.600,00. A �a��i� de��a a�����a, �a��� e��i�a� a ��dia da ����la���. U�a��� a ��dia a�����al (=R$ 3.600,00) c��� �� e��i�ad�� da ��dia ����laci��al, de�c��hecida. Di�e��� ��e R$ 3.600,00 � a ��dia e��i�ada, a �a��i� da a�����a fei�a. � ��a e��i�a�i�a ��� �����. E��e �al�� ��di� de 3.600 � ��a ca�ac�e����ica da a�����a. Di�e��� ��e �e ��a�a de ��a e��a����ica. ���� ����!!! ���������: � ��a ca�ac�e����ica da ����la��� �����������: � ��a ca�ac�e����ica da a�����a
N��a�e��e: a ��dia a�����al � R$ 3.600,00. E��a��� di�e�d� ��e ��a e��i�a�i�a �a�a a ��dia ����laci��al � R$ 3.600,00. O� �eja, ��a��� a ��dia a�����al c��� e��i�ad�� da ��dia ����laci��al. A e��i�a��� ��� ����� �e c����a��e � e��i�a��� ��� i��e��al�. Ne��a �l�i�a, ��� defi�i��� �� �al�� ��ic� �a�a a e��i�a�i�a; �i� �� i��e��al� de �al��e�. U� e�e��l� ��� a��ela� �e���i�a� elei���ai� de i��e���� de ����. Le�b�a� ��a�d� �e di� ��e �� �ca�dida��� e���� �ec�ica�e��e e��a�ad���? e��a�ad���?
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
�
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
Se � ca�dida�� A �e� e���e 30% e 34% da� i��e���e� de ����, e � ca�dida�� B �e� e���e 28% e 32% da� i��e���e� de ����, ��� d� �a�a afi��a� ��e� �ai ga�ha�. A� � Willia� B���e� di� ��e ele� e���� �ec�ica�e��e e��a�ad��. Ne��e �eg��d� ca��, a �a��i� de ��a a�����a, ���c������e e��abelece� �� i��e��al� de �al��e� ������el �a�a a� i��e���e� de ���� de cada ca�dida��. Pa�a � ca�dida�� A, � i��e��al� � de 30% a 34%. Di�e��� Di� e��� ��e �e ��a�a de ��a e��i�a�i�a ��� i��e��al�. P�� e���a���, �a��� ��� c��ce���a� �a e��i�a�i�a ��� �����. O ���i�� de �e fa�e� ��a a�����age� � � fa�� de ha�e� alg��a dific�ldade e� a�ali�a� ��da a ����la���. P�de �e� ��i�� ca��, ��i�� de���ad�. O� ��de �e� i��i��el. Se�ia � ca�� de �e� ��al a �e���� ���i�a ��e �� �a�e�ial ������a. Se �i�e���� ��e ��b�e���l� a �e���e� cada �e� �ai��e�, a�� ��e ele a��ebe��e, e���� ��� ��de��� a�ali�a� ��d�� �� �bje���, ��b �e�a de de����i���� ��d�� e ��� ��b�a� �ai� �e�h��. Se f���e ������el a�ali�a� a ����la��� i��ei�a, c���eg�i��a��� c���eg�i��a��� c�� e�a�id�� �abe� ��a ��dia e �e� de��i� �ad��� (e��e� �al��e� �eai� ��� ������ �a���e����). Q�a�d� fa�e��� ��a a�����age�, c���eg�i��� a�e�a� �abe� a ��dia e � de��i� �ad��� da a�����a fei�a. N���� �bje�i��, �bje�i��, ����a���, �, a �a��i� d�� �al��e� de ��dia e de��i� �ad��� da a�����a, e��i�a� ��ai� �� �al��e� de ��dia e de��i� �ad��� da ����la���. N���� �bje�i�� � e��i�a� � �al�� d� �a���e��� de�c��hecid�. Cla�� ��e ��de��a��� e��a� i��e�e��ad�� e� ������ �a���e���� ��e ��� a ��dia e � de��i� �ad���. Ma�, e� c��c�����, �a g�a�de �ai��ia da� ��e���e�, ��� c�b�ad�� a�e�a� e��e� d�i� �a���e���� (al�� da �a�i��cia, i��i�a�e��e �elaci��ada c�� � de��i� �ad���, e da ���������, ��e �e�e��� �e��a a�la). Q�a�d� e�c�lhe��� �� e��i�ad��, ��de��� e��a� i��e�e��ad�� i��e�e��ad�� e� di�e��a� ca�ac�e����ica�. Alg��� �i��� de e��i�ad��e� ���: •
N�� �e�de�ci���� (�� ��� �iciad��)
•
De ���i�a �e����i�ilha��a �e����i�ilha��a
•
De �a�i��cia ���i�a
•
De ���i��� ��ad�ad��
P�� e���a���, ��� ��� �e�e��� c�� de�alhe� cada ��a de��a� ca�ac�e����ica�. Fala��� �ai� ��b�e i��� a� fi�al da a�la.
1.1.
��������� ���� � �����
� ��� ���� ������� �����
U�a��� a ��dia a�����al ( ) �a�a e��i�a� a ��dia ����laci��al ����laci��al ( )
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
�
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
���������� �� ����� ���� Va��� �ad���i�a� ����a li�g�age�. H� d�i� ���b�l�� ���al�e��e e���egad�� �a�a a ��dia. A �a��i� de ag��a, � i�����a��e �abe� dife�e�ci��l��, ��i� ele� ��� a�a�ece� j����� e� ��a �e��a ��e����.
Q�a�d� �e��� ��a �a�i��el alea���ia, a ��dia de��a �a�i��el � de�ig�ada ��� . �� �e�e� ��de��� ��dela� ��a ����la��� c��� ��a �a�i��el alea���ia. E����, �e���e ��e ��i�e���� ��� �efe�i� � ��dia de ��a �a�i��el alea���ia, �� � ��dia de ��a ����la���, �a��� ��a� � ���b�l� .
Seja � a a �a�i��el alea���ia ��e de�ig�a � �e��l�ad� d� la��a�e��� de �� dad�. J� �i��� ��e a ��dia de��a �a�i��el alea���ia (= e��e�a��a) � de 3,5 (le�b�a? F�i � e�e��l� ��ad� �a a�la ��b�e �a�i��ei� alea���ia�).
� ���
P�de��� �e��a� ��e 3,5 � a ��dia da �a�i��el alea���ia � . O� e����, �e �e��a���� e� ��a ����la��� f���ada ��� ��d�� �� �e��l�ad�� ��e ��de�ia� �e� �b�id�� ��a�d� �e la��a � dad� i�fi�i�a� �e�e�, di�e��� ��e a ��dia de��a ����la��� � 3,5. Pega��� � dad� de �ei� face� e la��a��� ���� �e�e�, �b�e�d�: 6, 2, 3. E��e� ���� la��a�e���� ��� ��a a�����age� d�� i�fi�i��� �e��l�ad�� ��e ��de�ia� �c���e�. Se ��i�e���� ��� �efe�i� � ��dia de ��a a�����a, �a��� ��ili�a� � ���b�l� X (� � ba��a�): ba��a�):
�
�� � �� �
�
�� �
O���� e�e��l�. S����ha ��e a ��dia d�� �al��i�� de ��d�� �� ���ad��e� d� bai��� ��ili�ad� �� e�e��l� d� i��ci� da a�la �eja R$ 2.000,00.
� �����
J� a a�����a ��e fi�e���, e���e�i��a�d� 10 �e���a�, �e��l��� e� ��a ��dia de R$ 3.600,00. � �����
E��e�de�a�? Re���i�d�: •
Fal�� e� ��dia ����laci��al: � ���b�l� � µ
•
Fal�� e� ��dia de �a�i��el alea���ia: � ���b�l� � µ (��i� �a�i��ei� �a�i��ei� alea���ia� alea���ia� ��� ��� ��ada� �a�a ��dela� ����la��e�)
•
Fal�� e� ��dia a�����al: ���b�l� � X
N���� �bje�i�� �, a �a��i� de ��a a�����a, e��i�a� ��al � �a���e��� ����laci��al. Pa��i�d� da a�����a da� de� �e���a� aci�a, e��i�a��� a ��dia ����laci��al e� R$ 3.600,00.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
�
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
O �al�� da ��dia da a�����a ( X ) � �� e��i�ad�� da ��dia ����laci��al ( µ ). � �� e��i�ad�� ��� �e�de�ci���, de �a�i��cia ���i�a, de ���i��� ��ad�ad�� e, �e a �a�i��el alea���ia f�� ����al, � �a�b�� �� e��i�ad�� de ���i�a �e����i�ilha��a. �e����i�ilha��a. A� fi�al da a�la fala�e��� ��b�e e��a� ca�ac�e����ica� d�� e��i�ad��e�.
�������� ������� 1
De ��a ����la��� f�i e���a�da ��a a�����a c�� �� �eg�i��e� �al��e�: 4, 6, 8, 8. Q�al a e��i�a�i�a �a�a a ��dia da ����la���? ���������.
N�� �abe��� a ��dia da ����la��� ( µ ). ). Ne��e ca��, �a��� ��ili�a� a ��dia da a�����a ( X ) �a�a e��i�a� a ��dia da ����la���. A e��i�a�i�a da ��dia da ����la��� fica: X =
4+6+8+8 4
=
6,5
E��i�a��� a ��dia ����laci��al e� 6,5. ������� 2
De ��a ����la��� f�i e���a�da ��a a�����a c�� �� �eg�i��e� �al��e�: 3, 5, 5, 7. Q�al a e��i�a�i�a �a�a a ��dia da ����la���? ���������
E�e�c�ci� be� �a�ecid� c�� � a��e�i��. N�� �abe��� a ��dia da ����la��� ( µ ). ). Ne��e ca��, �a��� ��ili�a� a ��dia da a�����a ( X ) �a�a e��i�a� a ��dia da ����la���. A e��i�a�i�a da ��dia da ����la��� fica: X =
3+5+5+ 7 4
=
5
E��i�a��� a ��dia ����laci��al e� 5.
1.2.
��������� ���� � ���������
� ��� ���� ������� ����� U�a��� a �a�i��cia da a�����a (� �) �a�a e��i�a� a �a�i��cia da ����la��� (
����� ����� �������
).
���.�������������������.���.��
�
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
A �a�i��cia a�����al ��de �e� calc�lada de d�a� �a�ei�a�.
∑ ∑ ∑
Se � e�e�c�ci� �edi� � e��i�ad�� �����iciad�, ��a��� ��1 �� de���i�ad��:
�
−
− �
Se � e�e�c�ci� �edi� � e��i�ad�� de ���i�a �e����i�ilha��a e a �a�i��el f�� ����al, ��a��� � �� de���i�ad��:
���������� �� ����� ����
�
−
Va��� �ad���i�a� a �i�b�l�gia. Q�a�d� ��i�e���� ��� �efe�i� � �a�i��cia ����laci��al �� � �a�i��cia de ��a �a�i��el alea���ia, �a��� ��a� � ���b�l� σ 2 . O� e����, ��de��� ��a� � ���b�l� V( � � ). ). O���� ���b�l� ������el ��� e�e�c�ci�� � Va�( � ). ). Q�a�d� ��i�e���� ��� �efe�i� � �a�i��cia de ��a a�����a, ��a��� s 2 . •
Va�i��cia da ����la��� (�� da �a�i��el alea���ia): σ 2
•
Va�i��cia da a�����a: s 2
= V ( X ) = Var ( X )
Pa�a �a�i��cia, � e��i�ad�� ��e �a��� ��a� ge�al�e��e �:
∑ ( X i − X ) =
2
s2
,
n −1
��e � a �e��a f����la �i��a �a e��a����ica de�c�i�i�a. Na e��a����ica de�c�i�i�a, ��a�d� �e e���da a f����la da �a�i��cia a�����al, a��e�de��e ��e � de���i�ad�� � � n − 1 � e� �e� de ���. Q�a�d� ��e�e��� e��i�a� a �a�i��cia da ����la���, �� d�� fa���e� ��e �e� i�fl���cia �e��e de���i�ad�� � j���a�e��e a ca�ac�e����ica de�ejada �a�a � e��i�ad��. Pa�a ��e � e��i�ad�� �e�ha ce��a ca�ac�e����ica de �al f���a ��e ele ����a �e� e���ad�ad� c��� ��� �e�de�ci���, � �ece����i� ��e � de���i�ad�� �eja � n − 1 �. E��e e��i�ad�� aci�a � � �ai� ��ili�ad�. Ele � ��� �e�de�ci���. C����d�, �� ca�� da �a�i��el ����al, ele ��� � � e��i�ad�� de ���i�a �e����i�ilha��a. O e��i�ad�� de ���i�a �e����i�ilha��a �e����i�ilha��a �:
∑ ( X − X )
2
s2
=
i
n
Se ��� aca�� � e�e�c�ci� de� ��a a�����a de ��a �a�i��el ����al e �edi� �a�a calc�la� � e��i�ad�� de ���i�a �e����i�ilha��a da �a�i��cia ��ili�a��� � �� de���i�ad�� (e� �e� de n − 1 ). Ma� ach� ��e � i�������el ��e i��� �c���a. O ��e de�e �ai cai� �e��� � c�� � de���i�ad�� n − 1 . � i�������el, �a� ��� i�������el, c��f���e c��f���e �e�e��� e� e� alg��� e�e�c�ci�� de c��c����� d��a��e a a�la.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
�
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� ������� 3
C���ide�e a �eg�i��e a�����a de ��a �a�i��el alea���ia ����al: 1, 2, 3. Calc�le: a) � e��i�ad�� ��� �e�de�ci��� da �a�i��cia ����laci��al b) � e��i�ad�� de ���i�a �e����i�ilha��a da �a�i��cia ����laci��al ���������
a) O e��i�ad�� ��� �e�de�ci��� � a��ele e� ��e �e��� � n − 1 � �� de���i�ad��. Fica a��i�:
∑ ( X i − X ) =
2
s2
s
2
=
n −1
(− 1)2 + 0 2 + 12
=1
3 −1
b) O e��i�ad�� de ���i�a �e����i�ilha��a � a��ele c�� � �� �� de���i�ad��.
∑ ( X i − X ) =
2
s
s ������� 1
2
=
2
n
(− 1)2 + 0 2 + 12 3
=
2 / 3
����� �� 2008 �����
C���ide�e ��a A�����a Alea���ia Si��le� de � ��idade� e���a�da� de ��a ����la��� �a ��al a ca�ac�e����ica, X, e���dada �e� di���ib�i��� N���al c�� ��dia µ e �a�i��cia σ 2 , a�ba� de�c��hecida�, �a� fi�i�a�. C���ide�e, ai�da, a� e��a����ica� ��dia da a�����a, X 1
n
n
∑ X i
�
e �a�i��cia da a�����a s 2
i =1
=
1
n
n
∑ ( X − X )
2
i
�
. E����, � c���e�� afi��a� ��e:
i =1
(A) X e S 2 ���, a�b��, ��� �e�de�ci���� �a�a a e��i�a��� da ��dia e da �a�i��cia da ����la���, �e��ec�i�a�e��e. �e��ec�i�a�e��e. (B) X � �����e�de�ci���, �a� � S 2 �e�de�ci��� �a�a a e��i�a��� da ��dia e da �a�i��cia �a�i��ci a da ����la���, ����la���, �e��ec�i�a�e��e. �e��ec�i�a�e��e. (C) X � �e�de�ci���, �a� S 2 � �����e�de�ci��� �a�a a e��i�a��� da ��dia e da �a�i��cia da ����la���, ����la���, �e��ec�i�a�e��e. �e��ec�i�a�e��e. (D) X e S 2 ���, a�b��, �e�de�ci���� �a�a a e��i�a��� da ��dia e da �a�i��cia da ����la���, �e��ec�i�a�e��e. �e��ec�i�a�e��e.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
�
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
(E) X e S 2 ���, a�b��, �����e�de�ci���� �a�a a e��i�a��� da ��dia e da �a�i��cia da ����la���, �a� a�e�a� X � c���i��e��e. ���������:
Ne��a ��e����, �e���: � a ��dia a�i����ica da a�����a c��� �� e��i�ad�� da ��dia ����laci��al: �i��� ��e a ��dia da a�����a � �� e��i�ad�� �����e�de�ci���. �����e�de�ci���. � a �a�i��cia da a�����a c��� �� e��i�ad�� da �a�i��cia ����laci��al: �i��� ��e, ��a�d� �e ��a n �� de���i�ad��, � e��i�ad�� � �e�de�ci���. ��������: �
Re���i�d�: h� di�e���� �i��� de e��i�ad��e�. P�� h��a, ai�da ��� �abe��� e�a�a�e��e � ��e ele� �ig�ifica�. S� �abe��� ��e, �� ca�� de e��i�a���� a �a�i��cia da ����la��� a �a��i� de ��a a�����a, � de���i�ad�� ��de �e� � n − 1 � �� ���. Se � e�e�c�ci� ��� fala� �ada, ��ili�e � n − 1 �. E��e � � e��i�ad�� e��i�ad�� �ai� ��ili�ad�. Ele � ��� �e�de�ci���. Se � e�e�c�ci� �edi� � e��i�ad�� de ���i�a �e����i�ilha��a e a di���ib�i��� f�� ����al, ��ili�e ���. ������� 2
��������� 2010 ������������
E� �� c��j���� de ���e���, �Xi�, de N ele�e���� e���a�d�� de ��a de�e��i�ada ����la��� de i��e�e��e, f�i ��ili�ada a �eg�i��e e���e���� c��� �edida da di��e����
�
� − �
��de � a ��dia a�i����ica d�� dad��. Q�al � �ig�ificad� e��a����ic� c���e�� de��a e���e����? (A) De��i� �ad��� ��� �e�de�ci��� da ����la���. (B) E��i�a�i�a ��� �e�de�ci��a d� de��i� �ad��� da ����la���. (C) E��i�a�i�a �e�de�ci��a d� de��i� �ad��� da ����la���. (D) Va�i��cia ��� �e�de�ci��a da ����la���. (E) E��i�a�i�a �e�de�ci��a �e�de�ci��a da �a�i��cia da ����la��� ����la��� ���������.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
�
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
Q�a�d� ��a��� �N� �� de���i�ad��, a �a�i��cia a�����al � �� e��i�ad�� �e�de�ci��� da �a�i��cia ����laci��al. C���e��e��e�e��e, � de��i� �ad��� a�����al �a�b�� � �� e��i�ad�� �e�de�ci��� d� de��i� �ad��� ����laci��al. ��������: �
������� 3
��� 2008 ������
Q�al � e��i�ad�� de ���i�a �e����i�ilha��a da �a�i��cia de ��a �a�i��el � ����al�e��e di���ib��da �b�id� a �a��i� de ��a a�����a alea���ia �i��le� X �, X�, X�, ..., X�, de��a �a�i��el, �e�d� m = ∑ X i / n � e��i�ad�� de ���i�a �e����i�ilha��a �e����i�i lha��a da ��dia? a) b)
∑ ( X i − m)
2
n −1
∑ ( X i − m)
2
n−2
∑ ( X i − m) 2 c) n −1 d) e)
∑ ( X i − m)
2
∑ ( X i − m)
2
0, 5
n
���������.
O e���ciad� e��� ��a�d� a le��a ��� �a�a i�dica� a ��dia a�����al. Vi��� ��e � e��i�ad�� de ���i�a �e����i�ilha��a da �a�i��cia �a�a a di���ib�i��� ����al � a��ele ��e a��e�e��a ��� �� de���i�ad��. ��������: �.
������� 4
����� �� 2009 ������
(Dad�� da ��e���� a��e�i��: 17, 12, 9, 23, 14, 6, 3, 18, 42, 25, 18, 12, 34, 5, 17, 20, 7, 8, 21, 13, 31, 24, 9.) C���ide�a�d� ��e a� �b�e��a��e� a��e�e��ada� �a ��e���� a��e�i�� c����i��e� ��a a�����a alea���ia �i��le� X �, X �, ..., X� de ��a �a�i��el alea���ia X, de�e��i�e � �al�� �ai� ����i�� da �a�i��cia a�����al, ��a�d� �� e��i�ad�� ��� �e�de�ci��� da �a�i��cia de X. C���ide�e ��e: 23
∑ X i
=
388
i =1
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
�
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� 23
∑ X i
2
=
8676
i =1
a) 96,85 b) 92,64 c) 94,45 d) 90,57 e) 98,73 ���������.
A ��dia fica: 23
∑ X i X =
i =1
=
23
388 23
A ��dia d�� ��ad�ad�� da� �b�e��a��e� fica: X 2
=
8676 23
A �a�i��cia (c�� � �� de���i�ad��), � dada ���: X 2
2
− X
388 = − 23 23 8676
2
Pa�a � e��i�ad�� ��� �e�de�ci��� (�� ��� �iciad�, �� ��� e��ie�ad�), ��� ��a��� n − 1 �� de���i�ad��. P���a���, ��eci�a��� aj���a� � de���i�ad��. O �e��l�ad� aci�a c���ide�a ��a di�i��� ��� 23 (= �). P�eci�a��� ��l�i�lica� ��� 23, �a�a ca�cela� e��a di�i���. E� �eg�ida, di�idi��� ��� 22, �a�a ��e � de���i�ad�� �eja ig�al a n − 1 . O e��i�ad�� ��� �e�de�ci��� da �a�i��cia fica: s
2
=
s
23 22 2
=
×
8676 388 2 − 23 23
8676 22
−
388
2
23 × 22
= 394,36 � 297,52 = 96,84 ��������: �
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
1.3.
��������� ���� ��� ���������
� ��� ���� ������� ����� U�a��� a ��������� a�����al ( ̂ ) �a�a e��i�a� a ��������� ����laci��al ( �)
1.4.
���������� �� ����� ����
C���ide�e ��e a ��������� de ���ad��e� de ��a cidade ��e ��e�e�de� ���a� ��� ca�dida�� A � de 40%. � �� �al�� ��e �e �efe�e � ����la��� i��ei�a. � �� �a���e���. Va��� �ad���i�a�. Se���e ��e ��� �efe�i���� � ��������� da ����la���, ��a��� � ���b�l� p . p
=
40%
S����ha ��e ��� ��� c��hece��� e��a ��������� �efe�e��e � ����la��� (40%) e, �a�a e��i���la, e���e�i��a��� 10 �e���a�. De��a�, 5 ��e�e�de� ���a� �� ca�dida�� A. A ��������� �e�ificada �a a�����a � 50%. Cha�a��� de pˆ . pˆ
=
50%
Va��� ��a� pˆ c��� e��i�ad�� de p . Re���i�d�: •
P�������� da ����la���: p
•
P�������� a�����al: pˆ
������� 4
Pa�a ��a �e���i�a de i��e���e� de ���� �a�a a P�efei���a de ��a cidade, f��a� e���e�i��ada� 100 �e���a�. Ve�ific����e ��e, �e��a a�����a, 30 elei���e� ��e�e�de� ��l�a� �� ca�dida�� A. Q�al a e��i�a�i�a da ��������� ����laci��al de i��e���e� de ���� d� ca�dida�� A? ���������.
N�� �abe��� ��al a ��������� ����laci��al (�� �eja, �efe�e��e a ��d�� �� elei���e� da cidade). Va��� ��a� a ��������� �e�ificada �a a�����a �a�a e��i�a� a ��������� ����laci��al. Na a�����a �e���: pˆ
=
30%
=
0,3
Di�e��� ��e a e��i�a�i�a da ��������� ����laci��al � de 30%.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� ������� 5
���� 2007 �������
U� ���g�a�a de c�����le de ��alidade f�i i��le�e��ad� e� ��a ag��cia ba�c��ia. A cada 10 clie��e� ��e e���a� �a fila �a�a ��lici�a� �� ce��� �i�� de �e��i�� S, �� a�e�de��e e���ega �� �e��e�� ��e��i����i�, ��e de�e �e� ��ee�chid� �el� clie��e e de��l�id� a� cai�a d� ba�c�. U� d�� ��e�i��� ���i���ad�� dia�ia�e��e � a ��������� de clie��e� ��e e���� �a�i�fei��� c�� � a�e�di�e��� de �� ��d� ge�al. E� de�e��i�ada �e�a�a, f��a� �b�e��ad�� �� �e��l�ad�� �����ad�� �a �abela a �eg�i�. Dia da �e�a�a
2�
3�
4�
5�
6�
N��e�� de clie��e� �b�e��ad��
30
40
20
50
70
��������� de clie��e� �a�i�fei��� �a�i�f ei���
0,9
0,8
0,9
0,8
0,6
C�� ba�e �e��e� dad��, j�lg�e � i�e� ��e �e �eg�e. 1. A e��i�a�i�a da ��������� ��dia de clie��e� �a�i�fei��� c�� � a�e�di�e��� de �� ��d� ge�al a� l��g� de��a �e�a�a � ���e�i�� a 0,8. ���������.
Va��� ��ili�a� a ��������� da a�����a �a�a e��i�a� a ��������� da ����la���. O ���e�� de clie��e� �a�i�fei��� f�i de: 30 × 0,9 + 40 × 0,8 + 20 × 0,9 + 50 × 0,8 + 70 × 0,6
= 159
O ���e�� ���al de clie��e� e���e�i��ad�� f�i: 30 + 40 + 20 + 50 + 70 = 210
A ��������� de clie��e� �a�i�fei��� �a a�����a �: pˆ
=
159 210
=
0,7571 .
P���a���, � i�e� e��� e��ad�. A e��i�a�i�a � de 75,71%. � i�fe�i�� a 80%. ��������: ������. ���� ����!!! ����������� ��������
� U�a��� a ��dia a�����al �a�a e��i�a� a ��dia ����laci��al ( X � �� e��i�ad�� de µ ); � U�a��� a �a�i��cia a�����al �a�a e��i�a� a �a�i��cia ����laci��al. Se � e��i�ad�� f�� �����iciad� (�� �����e�de�ci���) ��a��� n − 1 �� de���i�ad��. Se � e��i�ad�� f�� de ���i�a �e����i�ilha��a e a �a�i��el f�� ����al, ��a��� n �� de���i�ad��. � U�a��� a ��������� a�����al �a�a e��i�a� a ��������� ����laci��al.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
2.
��������� �� ��������� ���� � �����
2.1.
���� ��� �������� ���������
M�i�a� ����la��e� ��de� �e� ��delada� �eg��d� ��a �a�i��el alea���ia. C��� e�e��l�, c���ide�e a �e��e�a���a de �� l�cal, �edida c�� ����� �e����e��� ��gic� de i�fi�i�a� ca�a� a��� a ���g�la. N���� �bje�i�� � e��i�a� a �e��e�a���a ��dia d� l�cal e� �� dad� dia. Pa�a �a���, c���ide�a��� ��e a �e��e�a���a �e c������a c��� ��a �a�i��el alea���ia � . De��e ��d�, e�c����a� a �e��e�a���a ��dia d� l�cal � � �e��� ��e e�c����a� a e��e�a��a de � . E ( X ) = µ = ?
N�� dad� dia, �a��� l� �e��e l�cal e, e� de� i���a��e� dife�e��e�, �edi��� a �e��e�a���a. Ag��a �e��� ��a a�����age� de �a�a�h� 10 �a�a a �e��e�a���a � e��e�a���a �� l�cal. S����ha ��e e��a ��dia �e�ha �id� X 1 = 2 �C. Ne��e �����, ��� c���a �ada le�b�a� a �i�b�l�gia ��e �ad���i�a���. •
X � a ��dia de ��a a�����a
•
µ � a ��dia da ����la��� (� � �al�� ��e ��e ��e�e�de��� e��i�a�)
S� ��e �� i���a��e� e� ��e �eali�a��� a a�����age� f��a� alea���ia�e��e e�c�lhid��. Se, ��� aca��, ������ i���a��e� �i�e��e� �id� e�c�lhid��, cada ��a da� �edi��e� ��de�ia �e� ligei�a�e��e dife�e��e. Se�ia ������el �e� �b�id� ��a �eg��da ��dia ig�al a X 2 = 2,1 �C. O� �a�b�� �e�ia ������el �e� � e� �b�id� ��a �e�cei�a ��dia X 3
=
2 ,051�C.
Q�a�d� ��� �efe�i��� a ��a ��ica a�����a, X �e��e�e��a �e��e�e��a �� ���e��, a ��dia a�i����ica da��ela a�����a. Ma� �a�b�� ��de��� ��� �efe�i� a X de f���a dife�e��e. P�de��� �e��a� e� i���e�a� a�����a�, c�� X a����i�d� �al��e� dife�e��e� dife�e��e� e� cada ��a ��a dela�. A��i�, X �e�ia ��a �a�i��el ���� ����!!!
��de �e� �i��a c��� ��a �a�i��el alea���ia
Q�a�d� ��� �efe�i��� a c��� ��a �a�i��el alea���ia, � �����e e��a��� �e��a�d� e� ��da� a� dife�e��e� a�����a� ��e ��de�ia� �e� �id� e���a�da�. Ne��e ca��, � �i��a a�e�a�
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
c��� ��a f����la, �� ����d� de c�lc�l�: ���a��� ��d�� �� �al��e� da a�����a e di�idi��� ��� ���. Ne��e ca��, di�e��� ��e � ��a �����������. P�� ����� lad�, ��a�d� ��� �efe�i��� a ��a a�����a e� �a��ic�la�, ��e f���ece �� ��ic� �al�� �a�a a ��dia a�����al, �e��e ca��, a����i�� �� �al�� ��ic�, fi��. P�� e�e��l�, � �. Ne��a �i��a���, ��a�d� ��� �efe�i��� a c��� alg� fi��, di�e��� ��e � � � ��a ���������� da ��dia ����laci��al. Na �e�dade, e��e� ���e� �e��a����ica�, �e��i�a�i�a�, ��a���e����, ��d� i��� ��� cai e� ����a. A�� h�je ��� �i ��a ��e���� �� e��l��a�d� a� dife�e��a� c��cei��ai� de �� ���e �a�a � �����, �k? De ��d� e��e bl� bl� bl� aci�a, �� � ��e i�����a �: ��de �e� �i��a c��� alg� ��e �a�ia (ca�� e��eja��� �e��a�d� �e��a�d� e� ��da� a� ������ei� a�����a�) �� ��de �e� �i��a c��� alg� fi�� (��a�d� �e��a��� e� ��a a�����a e� �a��ic�la�). ������� 6
�� �� 2009 �����
Seja ��a ����la��� c����i���da �el�� �al��e� 1, 2, 3, 4, 5 e 6. T�da� a� a�����a� c�� �a�a�h� 2, �e� �e���i���, ��� �eleci��ada�. A ���babilidade de ��e a ��dia a�����al �eja ���e�i�� a 5 � de (A) 1/4 (B) 1/6 (C) 2/3 (D) 1/3 (E) 1/15 ���������:
Veja� c��� � e�e�c�ci� e��l��a c��� ��a �a�i��el alea���ia. A cada ������el a�����a de �a�a�h� 2, a����e �� �al�� dife�e��e. E�e��l�: �e a a�����a f�� (1, 3), a ��dia a�����al �e�� 2. Se a a�����a f�� (1, 5), a ��dia a�����al �e�� 3. O� �eja, �e �e��a���� e� ��da� a� ������ei� a�����a� de �a�a�h� 2, �a�ia, � ��a �a�i��el alea���ia. Abai�� �e��� ��da� a� a�����a� ������ei�, de �a�a�h� 2, �e� �e���i���: 1, 2 2,3 3,5
1, 3 2,4 3,6
1,4 2,5 4,5
1,5 2,6 4,6
1,6 3,4 5,6
S�� ��i��e a�����a� ������ei�. E� �� ��ic� ca�� a ��dia � �ai�� ��e 5. T�a�a��e da a�����a (5,6).
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
Te��� �� ca�� fa�����el e� ��i��e ������ei�. A ���babilidade de ��e a ��dia �eja �ai�� ��e 5 � de: �
�
��
��������: �
De��ac� ��e ��� e�a �ece����i� e�c�e�e� ��da� a� a�����a� �a�a c���a� ��a��a� ���. P�de��a��� ��a� a��li�e c��bi�a���ia �a�a �a���. N� ca�� da� a�����a� ������ei�, ��e�e��� f���a� c��j����� de d�i� ele�e����, a �a��i� d�� �ei� �al��e� di������ei�. Te��� c��bi�a��� de 6, ���ad�� 2 a 2. ��
�
�
�� � ��
� ��
N� ca�� d�� ca��� fa�����ei�, �e��� �� ��ic� ca�� fa�����el (5, 6). Di�idi�d� � ���e�� de ca��� fa�����ei� �el� ���e�� de ca��� c a��� ������ei�, �e���: �
2.2.
�
��
��������� � ��������� ��
� ��� ���� ������� ����� �e� e��e�a��a ig�al a e �a�i��cia ig�al a � . � �
Al�� di���, � a����i�ada�e��e ����al. A a����i�a��� �e�� �a��� �elh�� ��a��� �ai�� f�� � �a�a�h� da a�����a.
���������� �� ����� ���� � ������el de������a� ��e: E ( X ) = µ
O� �eja, � �al�� e��e�ad� �a�a a ��dia a�����al (�i��a c��� ��a �a�i��el alea���ia) � ig�al � ��dia da ����la���. E��lica�d� �elh��. Se f���e ������el fa�e� ��i�a� e ��i�a� a�����a�, de �al ��d� ��e, e� cada ��a dela�, calc�l���e��� a ��dia a�����al ( X ), ), a ��dia de ��d�� �� �al��e� de X �e�ia j���a�e��e a ��dia da ����la��� ( µ ). ). C��� e�e��l�, c���ide�e �� �e��aed�� �eg�la�. Na� ��a� face� �e��� �� ���e��� 1, 2, 3, 4.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
La��a��� � �e��aed�� ��b�e ��a �e�a. � �e��e�e��a �e��e�e��a � �al�� da face ��e fica e� c���a�� c�� a �e�a. Va��� �eali�a� �� e���d� d�� ������ei� �e��l�ad�� de��e la��a�e���. Pa�a �a���, la��a��� d�a� �e�e� (a�����a de �a�a�h� 2). Sa��a� �� �e��l�ad�� 1 e 3. Pa�a e��a a�����a e� �a��ic�la� a ��dia a�����al f�i: f �i: X =
1+ 3 2
=
2
Ok, fi�e��� ��a ��ica a�����a. Ne��e ca��, X � �� ���e��. � �i��le��e��e a ��dia a�i����ica d�� �al��e� �e��e�ce��e� � a�����a. Ac���ece ��e ��� e��a��� i��e�e��ad�� e� ��a a�����a e��ec�fica, ��e f���ece �� �al�� ��ic� �a�a X . E��a��� i��e�e��ad�� �a �a�i��el alea���ia X . . O �e��l�ad� d� la��a�e��� d� dad� � alea���i�. Se�ia ������el ��e �i����e��� �b�id� ����a� a�����a�. Se � �e��aed�� f�� h���g��e�, a� ������ei� a�����a� �e�ia�: 1e1 2e1 3e1 4e1
1e2 2e2 3e2 4e2
1e3 2e3 3e3 4e3
1e4 2e4 3e4 4e4
Se�ia� 16 a�����a� ������ei�, ��da� ela� c�� a �e��a ���babilidade ���babilidade de �c���e�. O �al�� da ��dia a�����al e� cada ��a de��a� a�����a� �e�ia: Val��e� da a�����a 1e1 1e2 1e3 1e4 2e1 2e2 2e3 2e4 3e1 3e2 3e3 3e4 4e1 4e2 4e3 4e4
X
1 1,5 2 2,5 1,5 2 2,5 3 2 2,5 3 3,5 2,5 3 3,5 4
Re�a�e ��e X ��de �e� �i��� c��� ��a �a�i��el �a�i��e l alea���ia ��e a����e di�e���� �al��e�. A ��dia de ��d�� �� ������ei� �al��e� de X fica:
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� E ( X ) =
1 16
× (1 + 1,5 +
2 + 2,5 + 1,5 + 2 + 2,5 + 3 + 2 + 2,5 + 3 + 3,5 + 2,5 + 3 + 3,5 + 4)
E ( X ) = 2,5
Va��� ag��a calc�la� a ��dia da �a�i��el alea���ia � . A �a�i��el alea���ia � a����e a����e �� �al��e� 1, 2, 3, 4, cada �� c�� ���babilidade 1/4. P���a���: E ( X ) = µ =
1 4
×1 +
1 4
×2+
1 4
×3+
1 4
×4
µ = 2,5
C��cl�i�d�: a e��e�a��a da ��dia a�����al � ig�al � e��e�a��a da ����la���. I��� �ig�ifica ��e, �e f���e ������el fa�e� �� ���e�� ��i�� g�a�de de a�����a�, a ��dia de ��da� a� ��dia� a�����ai� �e�ia ig�al � ��dia da ����la���. ���� ����!!!
c��� ��a �a�i��el alea���ia alea���ia c�� e��e�a��a e��e�a��a µ . . O� �eja, a X ��de �e� �i��a c��� ��dia da� ��dia� a�����ai� � a ��dia da ����la��� Ai�da ��� e���da��� a� di�e��a� ca�ac�e����ica� d�� e��i�ad��e�. Ma� ��de��� fala� ��b�e ��a dela�: � e��i�ad�� ��� �e�de�ci��� (�� ��� �iciad�, �� ��� �ie�ad�). O fa�� da ��dia de X �e� ig�al � ��dia ��dia da ����la��� ����la��� ��� �e��i�e �e��i�e cla��ifica� X c��� e��i�ad�� ��� �e�de�ci��� (�� ��� �iciad�). U�a�d� e��e e��i�ad��, e� ��dia (c���ide�a�d� a� i���e�a� a�����a� ��e ��de�ia� �e� fei�a�), ��� e��a��� �eal�e��e ace��a�d� � �al�� d� �a���e��� de�c��hecid�. Se���e ��e a e��e�a��a de �� e��i�ad�� f�� ig�al a� �a���e��� e��i�ad�, e��a��� dia��e de �� e��i�ad�� ��� �e�de�ci���. E ( X ) = µ :
A ��dia de X � ig�al a� �a���e��� e��i�ad�; e��i�ad�; �e fi����e��� i���e�a� i���e�a� a�����age��, a�����age��, e� ��dia, ace��a��a��� a ��dia ����laci��al.
Sabe�d� ��e X ��de �e� �e� �i��a c��� ��a �a�i��el �a�i��el alea���ia, � ������el ������el calc�la� a ��a �a�i��cia. Seja σ 2 a �a�i��cia �a�i��ci a da ����la���. � ������el de������a� ��e, �e�d� � �� � �a�a�h� da� a�����a�, a �a�i��cia de X fica: V ( X ) =
σ 2 n 2
U� ����� ���b�l� ������el �a�a a �a�i��cia de X �e�ia: σ X . P���a���:
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
σ X
2
=
σ 2 n
A �a�i��cia da ��dia a�����al � ig�al � �a�i��cia da ����la��� di�idid� ��� ��� �. P�� c���e����cia, � de��i� �ad��� da ��dia a�����al �: σ X
=
σ n
O� �eja, � de��i� �ad��� de X � ig�al a� de��i� �ad��� da ����la��� di�idid� ��� �ai� de �. E��a� f����la� da �a�i��cia e de��i� �ad��� �� ��� ��lida� �e a �a�i��el alea���ia �i�e� ����la��� i�fi�i�a (�� �eja, a����e i�fi�i��� �al��e�, c��� �� ca�� de ��a �a�i��el alea���ia c������a). Ca�� a ����la��� �eja fi�i�a (c��� f�i � ca�� d� la��a�e��� d� �e��aed��), � �e��l�ad� c���i��a �ale�d�, de�de ��e a a�����age� �eja fei�a c�� �e���i���. Ca�� a ����la��� �eja fi�i�a e a a�����age� �eja fei�a �e� �e���i���, a� f����la� de�e� �e� ada��ada� (fa��� de c���e��� �a�a ����la��e� fi�i�a�). Fala��� ��b�e e��e fa��� �ai� adia��e. P�� e���a���, �a��� ��� c��ce���a� �a f����la ��e � �ai� c�b�ada: σ X
2
=
σ 2 n
P�� c���e����cia: σ X
=
σ n
Va��� �e� a a�lica��� de��a f����la da �a�i��cia �a�a � ca�� d� �e��aed��. A �a�i��el alea���ia � ��de ��de a����i� �� �al��e� 1, 2, 3 e 4, cada �� c�� ���babilidade 1/4. S�a �a�i��cia fica: X
Q�ad�ad� d� de��i� e� �ela��� � 2
1 2 3 4
��dia ( e ) 2,25 0,25 0,25 2,25 TOTAL
P��babilidade ( P ) 0,25 0,25 0,25 0,25 1
e2
×
P
0,5625 0,0625 0,0625 0,5625 1,25
E �a�i��cia de � fica: fica: V ( X ) = σ 2
=
1,25 1
= 1,25
A �a�i��el alea���ia X , ��a�d� fa�e��� a�����a� de �a�a�h� 2, a����e �� �eg�i��e� �al��e�:
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
P��babilidade 1 1/16 1,5 2/16 2 3/16 2,5 4/16 3 3/16 3,5 2/16 4 1/16 X
E ��a �a�i��cia fica: X
1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
Q�ad�ad� d� de��i� e� �ela��� � ��dia ( e 2 ) 2,25 1,00 0,25 0,00 0,25 1,00 2,25 TOTAL
P��babilidade ( P ) 1/16 2/16 3/16 4/16 3/16 2/16 1/16 1
e2
×P
0,140625 0,125 0,046875 0 0,046875 0,125 0,140625 0,625
A �a�i��cia de X � � dada ���: V ( X ) =
0,625 1
=
0,625
A �a�i��cia da ����la��� f�i de 1,25. σ 2
= 1, 25
A �a�i��cia de X f�i 0,625. V ( X ) = 0,625
A� a�����a� �i�ha� �a�a�h� 2. n
=
2
P���a���: V ( X ) = 0,625 =
σ 2 n 1,25 2
���� ����!!! X ��de �e� �i��a c��� c��� ��a �a�i��el alea���ia alea���ia c�� e��e�a��a e��e�a��a µ e �a�i��cia
σ
σ 2 n (e, c���e��e��e�e��e, de��i� �ad���
����� ����� �������
n ).
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
O� �eja, a ��dia de X � ig�al � ��dia da ����la���. E a �a�i��cia �a�i��ci a de X � ig�al � �a�i��cia da ����la��� di�idida ��� �. O de��i� �ad��� de X � ig�al a� de��i� �ad��� da ����la��� di�idid� ��� �ai� de �.
Ag��a �e� � g�a�de de�alhe. Pel� �e��e�a d� li�i�e ce���al � ������el de������a� ��e a �a�i��el alea���ia X �e� di���ib�i��� a����i�ada�e��e a����i�ada�e��e ����al. ����al. A a����i�a��� a����i�a��� � �elh�� ��a��� �ai�� � �a�a�h� da� a�����a� (��a��� �ai�� � �al�� de �). I��� �ale �e��� ��e a �a�i��el � ��� ��� �eja ����al. Ca�� a �a�i��el � �eja �eja ����al, a �a�i��el X �a�b�� �e�� ����al ����al (a� j� ��� ��� � a����i�a���). a����i�a���). O� �eja, �a�a a �a�i��el X ��� ��de��� ��de��� ��ili�a� a �abela de de ��ea� �a�a a �a�i��el ����al. ����al. I��� � de e���e�a ��ilidade �a de�e��i�a��� d�� cha�ad�� i��e��al�� de c��fia��a. ���� ����!!! X ��de �e� �i��a c��� c��� ��a �a�i��el alea���ia alea���ia ����al (�� a����i�ada�e��e a����i�ada�e��e
����al), c�� ��dia µ , , �a�i��cia
σ 2 n
e de��i� �ad���
σ n
.
A a����i�a��� �ale �e��� ��e X ��� �eja ����al. Q�a��� �ai�� � �a�a�h� da� a�����a�, �elh�� a a����i�a���.
������� 7
��� 1� ������/2001 �����
Pa�a �e����de� � ��e���� �eg�i��e, c���ide�e a �abela abai��, �efe�e��e � di���ib�i��� ����al �ad���. z
F ( z )
1,20 1,60 1,64
0,885 0,945 0,950
U�a ����i�a de e��ac��a� lei�e e� �� � fa� �eg��d� ��a ����al c�� ��dia µ e de��i� �ad��� 10g. O �e�� ��di� µ de�e �e� �eg�lad� �a�a ��e a�e�a� 5,5% d�� �ac��e� �e�ha� �e��� d� ��e 1000 g. C�� a ����i�a a��i� �eg�lada, a ���babilidade de ��e � �e�� ���al de 4 �ac��e� e�c�lhid�� a� aca�� �eja i�fe�i�� a 4.040 g �: a) 0,485 b) 0,385 c) 0,195 d) 0,157 e) 0,115 ���������. ����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
A ��e���� ��de�ia �e� �id� �ai� cla�a, e��lici�a�d� � ��e �ig�ifica F(�). � ��i�� c���� ��ili�a���� � ���b�l� F(�) �a�a �e��e�e��a� a f����� di���ib�i��� de ���babilidade (FDP). Rele�b�a�d� � �ig�ificad� da FDP, ela ��� f���ece ���babilidade� �a�a a �a�i��el alea���ia Z, ����al, de ��dia 0 e de��i� �ad��� ��i���i�. A��i�, �a ��i�ei�a li�ha da �abela �e��� ��e F(1,2) = 0,885. I��� �ig�ifica ��e a ���babilidade de Z a����i� �al��e� �e���e� ��e 1,2 � de 88,5%. A�al�ga�e��e, da �eg��da li�ha �e��� ��e a ���babilidade de Z a����i� �al��e� �e���e� ��e 1,6 � de 94,5%. P�� fi�, da �e�cei�a � e�cei�a li�ha �e��� ��e a ���babilidade de Z a����i� �al��e� �e���e� ��e 1,64 � de 95%. Da �abela aci�a, c��cl����� ��e a ��ea �e�de da fig��a abai�� � ig�al a 94,5%.
U�a �e� ��e a ��ea ���al � ig�al a 1, c��cl����� ��e a ��ea �e��elha � ig�al a 5,5%. C��� � g��fic� � �i����ic�, �abe��� ��e a ��ea a�a�ela abai�� �a�b�� � ig�al a 5,5%.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
Seja � a a �a�i��el alea���ia ��e i�dica � �e�� d�� �ac��e� de lei�e e� ��. A ��a��f���a��� �a�a e�c����a� a �a�i��el �ed��ida �: Z =
X − µ
σ
Sabe��� ��e 5,5% d�� �al��e� de � ��� ��� �e���e� �� ig�ai� a �1,6. Sabe��� ��e 5,5% d�� �al��e� de � ��� ��� �e���e� �� ig�ai� a 1.000 g. L�g�, ��a�d� � �ale �ale �1,6, � �ale �ale 1.000. − 1,6 =
1000 − µ
⇒
10
−16 = 1000 − µ ⇒
µ = 1016
E�c����a��� � �e�� ��di� d�� �ac��e�. O� �e��� d�� �ac��e� �e c������a� c��� ��a �a�i��el ����al de ��dia 1016 e de��i� �ad��� de 10 g�a�a�. A �e�g���a �: ��al a ���babilidade ���babilidade de � �e�� ���al de ��a a�����a de 4 �ac��e� �e� i�fe�i�� a 4040g? Le�b�a�d� ��e
4040 4
= 1010 ,
�e��� ��e e��a �e�g���a e��i�ale a:
Q�al a ���babilidade de � �e�� ��di� de ��a a�����a de 4 �ac��e� �e� i�fe�i�� a 1010 g? Seja X a �a�i��el alea���ia ��e ��e de�ig�a � �e�� �e�� ��di� e� e� a�����a� de 4 �ac��e�. �ac��e�. X �e� di���ib�i��� ����al. S�a ��dia � dada ���: E [ X ] = µ = 1016
S�a ��dia � ig�al � ��dia da ����la���. Se� de��i� �ad��� � dad� ���: V [ X ] = σ X
=
σ n
=
10 2
=
5
X � ��a �a�i��el alea���ia c�� ��dia 1016 e de��i� �ad��� ig�al a 5.
Q�e�e��� �abe� a ���babilidade de X �e� i�fe�i�� a 1010g. 1010g. P�eci�a��� c����l�a� c����l�a� a �abela de ��ea� f���ecida �a ����a. Pa�a �a���, ��eci�a��� acha� � �al�� da �a�i��el ����al �ed��ida � ��e ��e c���e����de a 1010. E ag��a c�idad�! A �a�i��el alea���ia e� e���d� � X . Na h��a de �b�e� a �a�i��el �� �e��� ��e fa�e� ��a ��b��a��� e ��a di�i���. S�b��a���� a ��dia da �a�i��el X (�� ca��, 1016). E di�idi��� �el� de��i� �ad��� de X (�� ca��, 5). Z =
����� ����� �������
X − µ
σ X
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
Q�a�d� X �ale 1010, � �ale: �ale: Z =
1010 − 1016 5
= −1,2
Va��� acha� a ���babilidade de � �e� �e� �e��� ��e �1,2. A �abela f���ecida ��� di� ��e a ��ea �e�de da fig��a abai�� � de 0,885.
C��� a ��ea ���al � ig�al a 1, a ��ea �e��elha � ig�al a 0,115 (=1�0,885). U�a �e� ��e � g��fic� � �i����ic�, a ��ea a�a�ela da fig��a abai�� �a�b�� � de 0,115.
A ���babilidade de � �e� �e� �e��� ��e �1,2 � de 0,115. C���e��e��e�e��e, a ���babilidade de X �e� �e��� ��e 1010 �a�b�� � de 0,115. ��������: �.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� ������� 8
���/2007 �����
Se �e�i�a���� ��a a�����a alea���ia de 1200 �b�e��a��e� de ��a ����la��� c�� di���ib�i��� ��if���e �� i��e��al� [17; 29], a di���ib�i��� da ��dia a�����al X �e��, a����i�ada�e��e, a) ��if���e c�� ��dia 23 e �a�i��cia 12 b) ����al c�� ��dia 23 e de��i� �ad��� 0,1 c) ��if���e c�� ��dia 23 e �a�i��cia 1 d) ����al c�� ��dia 23 e de��i� �ad��� 12. e) ����al c�� ��dia 23 e de��i� �ad��� 1. ���������.
Q�a�d� a ����la��� �e� di���ib�i��� ����al, X �a�b�� � ��a �a�i��el alea���ia ����al. ����al. Q�a�d� a ����la��� ��� f�� ����al, X �e�� a����i�ada�e��e a����i�ada�e��e ����al. ����al. A a����i�a��� a����i�a��� �e�� �a��� �elh�� ��a��� �ai�� f�� a a�����a. Ne��e ca��, e� ��e � � ��if���e, X � a����i�ada�e��e ����al. N��e N��e ��e a a�����a � be� g�a�de ( � = 1200). E���da��� �a a�la �a��ada ��e, �a�a calc�la� a ��dia de ��a �a�i��el alea���ia ��if���e, ba��a �ega� � ����� ��di� d� i��e��al� e� ��e ela � dife�e��e de �e��. Ne��e ca��, a e��e�a��a de � fica: fica: E [ X ] =
29 + 17 2
23
=
A ��dia de X c�i�cide c�� a ��dia ����laci��al. E [ X ] = µ = 23
Pa�a �e��i�a� a ��e����, ai�da fal�a acha� � de��i� �ad��� da ��dia a�����al. Pa�a �a���, ��eci�a��� da �a�i��cia da ����la��� ����la��� (��� i�f���ada). Vi��� �a a�la �a��ada ��e, �e ��a �a�i��el alea���ia � ��if���e �� i��e��al� [a, b], ��a �a�i��cia fica: V ( X ) =
2 (b − a )
12
Ne��e ca��, a �a�i��el � ��if���e �� i��e��al� e���e 17 e 29.
�
��� − ��� ��
�
�� ��
� ��
Sabe�d� ��e � �e� �e� �a�i��cia 12, �e���: 2
σ X
=
σ 2 n
=
σ X
����� ����� �������
12 1200 =
=
0,01
0,1
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
P���a���, X �e� di���ib�i��� a����i�ada�e��e a����i�ada �e��e ����al, c�� ��dia 23 e de��i� �ad��� 0,1. ��������: �.
������� 9
��� ����� 2010 ����������
Ce��a ����la��� e� e���d� �e� � �� e � ��. Se f��e� �eali�ada� 500 a�����a� alea���ia� de �a�a�h� 25, ��a��a� de��a� a�����a� �e e��e�a ��e �e�ha� ��dia �ai�� d� ��e 50? (A) 37. (B) 49. (C) 53. (D) 65. (E) 77. ���������.
A ��dia da� a�����a� ( ) ��de �e� �i��a c��� ��a �a�i��el alea���ia a����i�ada�e��e ����al, de ��dia 47 (��i� � ig�al � ��dia da ����la���). Al�� di���, �e� de��i� �ad��� dad� ���:
�
�
�� �� √ ��
√
�
�� � ��� �
C�� i���, �e� ��dia 47 e de��i� �ad��� 2,4. Q�e�e��� �abe� a ���babilidade de e��a �a�i��el alea���ia a����i� �al��e� �ai��e� ��e 50. P�eci�a��� c����l�a� a �abela I, c�l�cada a� fi�al da a�la. Pa�a �a���, ��a��� a ��a��f���a��� ��e c���e��e a �a�i��el e� e���d� ( ) �a �a�i��el ����al �ad���:
− � − �� �
���
Q�a�d� �ale 50, Z �ale:
�
�� − �� ���
� ����
C�� i���, a ���babilidade de a ��dia a�����al �e� �ai�� ��e 50 � ig�al � ���babilidade de Z �e� �ai�� ��e 1,25. C����l�a�d� a �abela I, c�l�cada a� fi�al da a�la, �e���: PROBABILIDADE DE Z ESTAR ENTRE 0 E Z �
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
Seg��da ca�a deci�al de Z � ��
�
����
����
����
����
����
����
����
����
����
���
������
������
������
������ ������
������
������
������
������
������
������
L�g�:
� � � ���� � ������ P���a���:
� ���� � ��� − ������ ������ � ������ ������ E��e�a��e ��e e� 10,56% da� a�����a� a ��dia a�����al �eja �ai�� ��e 50. Le�b�a�d���e ��e �e��� e���a�da� 500 a�����a�: ������ � ��� ��� � ����
E��e�a��e ��e e� a����i�ada�e��e 53 a�����a� a ��dia �eja �ai�� ��e 50. ��������: �
������� 10
���������� �� �����/2007 �����
Pa�a �e����de� � ��e���� �eg�i��e, c���ide�e, de���e �� dad�� abai��, a��ele� ��e j�lga� a�����iad��. Se � �e� �e� di���ib�i��� ����al �ad���, e����: P ( Z > 2)
=
0,023 ; P (0 < Z < 1,6)
=
0, 445 ; P ( Z < 1)
=
0,84 ; P ( 0 < Z < 2,33)
=
0, 49
S����ha ��e � �e�� de c�ia��a� de 10 a���, ���a de�e��i�ada ����la���, �e�ha di���ib�i��� ����al c�� ��dia µ de�c��hecida e de��i� �ad��� 4 kg. A ���babilidade de ��e � �e�� ��di� de ��a a�����a alea���ia �i��le� de 100 c�ia��a�, �eleci��ada� de��a ����la���, difi�a ��� �ai� de 400 g�a�a� de µ �, a����i�ada�e��e, a����i�ada�e�� e, ig�al a: a) 0,10 b) 0,16 c) 0,20 d) 0,27 e) 0,32 ���������.
�a�i��el alea���ia alea���ia de ��dia ��dia µ e de��i� �ad���: X � ��a �a�i��el σ X
=
σ n
=
4 10
=
0, 4
Va��� acha� a ���babilidade de X di��a� �e��� de 0,4 kg da ��dia ����laci��al. I��� �c���e ��a�d� X a����e �al��e� e���e µ − 0,4 e µ + 0, 4 .
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� Va��� acha� �� �al��e� de � c���e����de��e�. c���e����de��e�. Q�a�d� X � ig�al a µ − 0, 4 , � � � ig�al a: Z =
X − µ
σ X
=
µ − 0,4 − µ 0,4
= −1
Q�a�d� X � ig�al a µ + 0, 4 , � � � ig�al a: Z =
X − µ
σ X
=
µ + 0,4 − µ 0,4
=1
F���� i�f���ad�� ��e: P ( Z < 1)
=
0,84
De��a f���a, a ��ea �e�de da fig��a abai�� � ig�al a 0,84.
L�g�, a ���babilidade de � �e� �e� �ai�� ��e 1 � de: P ( Z > 1)
= 1 − 0,84 =
0,16
E��a ���babilidade c���e����de � ��ea a�a�ela da fig��a abai��:
C��� a fd� da ����al �ed��ida � �i����ica e� ����� de �e��:
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� P ( Z < −1)
=
0,16 .
O� �eja, a ��ea �e��elha abai�� � ig�al � a�a�ela e cada ��a dela� �ale 0,16.
De��e ��d�, a ���babilidade de � e��a� e��a� e���e �1 e 1 � de: P ( −1 < Z < 1) = 1 − 0,16 − 0,16
=
0,68
E��a ���babilidade c���e����de � ��ea �e�de abai��:
A ���babilidade de � a����i� a����i� �al��e� e���e �1 e 1 � de 68%. P���a���, a ���babilidade de X a����i� �al��e� e���e µ − 0, 4 e µ + 0, 4 �a�b�� � de 68%. O� �eja, a ���babilidade de X di��a� �e��� de 0,4 kg da ��dia ����laci��al � de 68%. C���e��e��e�e��e, a ���babilidade de X di��a� �ai� de 0,4 kg da ��dia ����laci��al � de 32%. ��������: �
������� 11
��������� 2010 ������������
A di���ib�i��� de ���babilidade� da �a�i��el alea���ia X � �al ��e X = �1 c�� 50% de ���babilidade �� X = 1 c�� 50% de ���babilidade. A ��dia, , de ��a��� �eali�a��e� de X,
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
��ce��i�a� e i�de�e�de��e�, � ��a �a�i��el alea���ia de ��dia e de��i� �ad���, �e��ec�i�a�e��e, ig�ai� a (A) 0 e 2 (B) 0 e 1 (C) 1 e 0.5 (D) 1 e 0 (E) 0 e 0.5 ���������
P�i�ei�� calc�la��� a ��dia de X:
� −� � � −� � � � � � −� � ��� � � � ��� ��� � � � −� Ag��a calc�la��� a �a�i��cia de X:
� �−��
� � −� � � � � � � � � ��� � � � ��� � �
� − � �
� �−� � �
L�g�:
� � � � ��a �a�i��el alea���ia c�� ��dia ig�al � ��dia de X. L�g�, L �g�, �e� ��dia 0. � ��a �a�i��el alea���ia c�� de��i� �ad��� dad� ���: � � � ��� √ √ � �e� ��dia 0 e de��i� �ad��� 0,5. ��������: �
A��e� de �a��a���� �a�a � ����i�� ���ic�, �ale di�e� ��e a� f����la� e���dada� �e��a �e��� ��� di�e�a�e��e �b�ida� a �a��i� da� �����iedade� da e��e�a��a. Va��� checa�? Va��� i�icia� �ela e��e�a��a de X . . A ��dia a�����al � calc�lada a��i�: � ���a��� ��da� a� e���a��e� � di�idi��� ��� �� Q�a�d� �e��a��� �e��a��� e� ��da� � �da� a� a�����a� ������ei�, cada e���a��� � ��a �a�i��el alea���ia. Fica��� c��:
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
n ∑ Xi E ( X ) = E i 1 n =
Se di�idi���� a� �a�i��ei� ��� ��a c����a��e, a e��e�a��a �a�b�� � di�idida ��� e��a c����a��e: n × E ∑ Xi n i 1
1
E ( X ) =
=
A e��e�a��a da ���a � ig�al � ���a da� e��e�a��a�: n
1
E ( X ) =
×
n
E ( X )
i =1
1
=
1
E ( X ) =
n
∑ E ( Xi )
n
n
×
∑ µ i =1
× n × µ = = µ
Ag��a �a��� �a�a a �a�i��cia: n ∑ Xi V ( X ) = V i 1 n =
Q�a�d� di�idi��� a� �a�i��ei� ��� �� a �a�i��cia ��f�e a di�i��� a� ��ad�ad�. n × V ∑ Xi 2 n i 1 1
V ( X ) =
=
Se a a�����a alea���ia f�� fei�a a �a��i� de ��a ����la��� i�fi�i�a (�� fi�i�a, �a� c�� �e���i���), cada e���a��� � i�de�e�de��e da� de�ai�. Ne��e ca��, a �a�i��cia da ���a � ig�al � ���a da� �a�i��cia�. V ( X ) =
V ( X ) =
2.3.
1
n2
1
n2
n
×
∑ V ( Xi ) i =1
× n × σ
2
=
σ 2 n
��������� �� ��������� ���� � �����
� ��� ���� ������� ����� O i��e��al� de c��fia��a �a�a a ��dia � dad� ���: � �
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
O�de Z� � � �al�� �a�a a di���ib�i��� ����al �ed��ida ��e deli�i�a a ��ea fi�ada �el� ���el de c��fia��a.
D��������� �� ����� ���� Va��� �����a� �� e�e��l�, �a�a e��e�de���� d� ��e �e ��a�a � a������. P�� e���a���, ��� �e ��e�c��e� e� fa�e� c���a�. N�� �e ��e�c��e� e� dec��a� �� g�a�a� ��al��e� c�i�a. S� ��e�� ��e e��e�da� a ideia ge�al. De��i�, ��� e�e�c�ci�� de c��c����, a� �e�e��� � �a��� a �a��� da c��������� d� i��e��al� de c��fia��a. O� �eja, ����e�i���e��e � ��e ��� c��ce���a�e��� e� c��� �e��l�e� a� ��e���e�. Ne��e ���e���, ��� �e ��e�c��e� c�� i���. Seja � ��a �a�i��el alea���ia ��e �e��e�e��a ��a ����la��� i�fi�i�a c�� �a�i��cia c��hecida ( σ 2 ). E��e �i�fi�i�a� � �� �a�a �e� �ig�����. Ca�� a ����la��� �eja fi�i�a, �� �e��l�ad�� ��e �e�e��� �e�e��� �� �e a�lica� �e a a�����age� f�� fei�a c�� �e���i���. P�i� be�, e���� � � � ����a �a�i��el alea���ia c�� �a�i��cia c��hecida ( σ 2 ). � �e��e�e��a ����a ����la���. A�e�a� de c��hece���� ��a �a�i��cia, ��� c��hece��� ��a ��dia ( µ ). ). N���� �bje�i�� �e�� �b�e� ��a a�����a e, a �a��i� dela, defi�i� � cha�ad� i��e��al� de c��fia��a �a�a µ . . Va��� ����� ��e a �a�i��cia da ����la��� �eja de 16. V ( X ) = σ
2
= 16
A ��dia da ����la���, e��a ��� ��� c��hece���. Va��� cha���la de µ . . E ( X ) = µ = ?
Va��� �b�e� ��a a�����a de �a�a�h� 4. n
=
4
A ��dia de ��a a�����a de �a�a�h� 4 � X . . A��e� de efe�i�a�e��e fa�e� ��a a�����age� (� ��e ��� f���ece�� �� �al�� e��ec�fic� �a�a X ), ), �a��� �e��a� e� ��da� a� a�����a� ��e ��de�ia� �e� �b�ida� (c�� �a�a�h� 4). E� cada ��a dela�, X a����e �� �al�� dife�e��e. dife�e��e. C��f���e �i��� �� �� c��e�� da a�la, X ��de �e� �i��a c��� ��a �a�i��el alea���ia ����al (�� a����i�ada�e��e ����al) ����al) de ��dia µ . . Sabe��� �a�b�� ��e X �e� ��a �a�i��cia �a�i��ci a dada ���: V ( X ) =
V ( X ) =
σ 2
16 4
n =
4
P���a���, � de��i� �ad��� da �a�i��el X � dad� ���:
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
σ X
=
4 = 2
Va��� c�ia� a �eg�i��e �a�i��el ��a��f���ada: Z =
X − µ
σ X
A �a�i��el Z, c��f���e j� e���dad� �a a�la a��e�i��, �e� ��dia �e�� e de��i� �ad��� ��i���i�. � a ����a �a�i��el ����al �ed��ida. Sabe��� ��e Z �e� ��dia �e�� e de��i� �ad��� ��i���i�. E Z �a�b�� � ��a �a�i��el ����al. Pa�a a �a�i��el Z ��� ��de��� c����l�a� a �abela da �a�i��el ����al �ed��ida. Va��� de�e��i�a� � i��e��al�, ce���ad� �a ��dia, ��e c����� 95% d�� �al��e� de Z. C����l�a�d� C����l�a�d� a TABELA I, c�l�cada a� fi�al da a�la, �e��� ��e � i��e��al� de 0 a 1,96 c����� 47,5% d�� �al��e�. P���a���, � i��e��al� de �1,96 a 0 �a�b�� c����� 47,5% d�� �al��e�. J���a�d� �� d�i�, �e��� ��e 95% d�� �al��e� e���� e���e �1,96 e 1,96 (��ea �e�de abai��).
I��� ��e� di�e� ��e 95% d�� �al��e� de Z e���� e���e �1,96 e 1,96. Ma� ��e� � Z? Le�b�a�d�: Z =
X − µ
σ X
O� �eja, �e fi����e��� ���ia� a�����a� e �a�a cada ��a dela� �b�i����e��� �� �al�� �a�a , e� 95% d�� ca��� � �al�� X , P���a���, a ���babilidade de
����� ����� �������
X − µ
σ X X − µ
σ X
e��a�ia e���e �1,96 e 1,96.
a����i� �al��e� e���e �1,96 e 1,96 � de 95%.
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
Ok. Ag��a ��� �ega��� e �eal�e��e fa�e��� ��a a�����a c�� 4 �al��e�. E��a a�����a �e��l��� e�: 1, 5, 3, 1. Pa�a e��a a�����a e��ec�fica, � �al�� de X f�i 2,5. C�� ba�e �e��a �e��a a�����a e��ec�fica, e��ec�fica, �e��� �� �al�� e��ec�fic� �a�a X . . Se c���ide�a���� a�e�a� e��a a�����a, X ��� � �ai� �a�i��el. � �� �al�� ��ic� (2,5). E �a�a e��a a�����a e��ec�fica � �al�� de Z �: Z =
2,5 − µ 2
.
A ���babilidade de e��e �al�� e��a� �� i��e��al� de �1,96 a 1,96 ��� � �ai� 95%. I��� �����e a e���e���� aci�a ��� a����e �ai� �al��e� di�e����, alea���i��. � �� �al�� ��ic�. 2,5 � �� ���e��, ��a c����a��e. O �al�� de µ � �a�b�� �� ���e��, c����a��e. � de�c��hecid�. Ma� � c����a��e. A ��dia da ����la��� � �� ���e��, �� �al�� ��ic�. E, ��� fi�, � de���i�ad�� 2 �a�b�� � c����a��e. Fa�e�d� a c���a
2,5 − µ 2
, �b�e��� �� �al�� ��e ��de �� ��� e��a� �� i��e��al� �1,96 a
1,96. Q�a�d� ��b��i������ a �a�i��el X ��� �� �al�� �b�id� �a�a ��a dada a�����a e��ec�fica, e��ec�fi ca, ��� fala��� �ai� e� ���babilidade. � e��ad� afi��a� ��e, c�� ���babilidade de 95%, � �al��
2,5 − µ 2
e��a�� e���e �1,96 e 1,96.
Ma�, �����d� ��e e��e �al�� e��eja e���e �1,96 e 1,96, fica��� c��: − 1,96 ≤
− 3,92 ≤ −
2,5 − 3,92 −
6,42
2,5 − µ 2
≤ 1,96
2,5 − µ ≤ 3,92 ≤ − µ ≤
3,92 − 2,5
≤ − µ ≤ 1, 42
− 1, 42 ≤
µ ≤ 6,42
E��e i��e��al� e���e �1,42 e 6,42 � cha�ad� de i��e��al� de 95% de c��fia��a �a�a a ��dia da ����la���. Re�a�e ��e ��� �e��� ce��e�a de ��e a ��dia da ����la��� ( µ ) ) e��eja �e��e i��e��al�. Ne� ��de��� di�e� ��e a ���babilidade de ela e��a� �e��e i��e��al� �eja de 95%. Te��a�d� e��lica� de ����a f���a � ��e f�i fei��.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
������ ��� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
E� 95% d�� ca���, X e��� di��a��e ��a��e �e��� �e��� de 1,96 1,96 de��i� de��i��� �ad��� �ad��� da �� �� ia µ . . C��� � de��i� �ad��� de X � 2, �e��� ��e e� 95% d�� ca��� X di��a �e��� ��e 3,92 da ��dia µ . . O� �eja, e� 95% d�� ca��� X e��� e���e µ − 3,92 e µ + 3,92 .
Fa�e Fa�e�� ���� a a�� a���� ���a �age ge�. �. Ob� Ob� ��� �� e��ec�fic� �al�� �a�a X (=2, (=2,5) 5).. E� e �al�� ��de e��a� �� ��� �� i��e��al� e���e − 3,92 e µ + 3,92 . Se fi����e��� i���e�a a�����age��, e� 95% dela� � �al�� de X de fa�� e��a�ia c���id� �� �efe�id� i��e��al�. a�a e��e �al�� e� �a��ic� �a��ic�la� la� (2,5) (2,5),, ��� �e�� �e���� c��� �abe�. Va��� ����� ��e e��e �al�� ��eja ��eja �e��e i��e��al� i��e��al�.. Se i��� f�� f�� �e�dade �e�dade,, ��al � i��e��al� ��e c����� µ ? ? O �al�� e�c����ad� �a�a X de 2,5. 2,5. E��e �al�� ��de ��de �a��� e��a� � e��� e���ee �da de µ ��a��� � di�ei� di�ei�a. a. Va��� Va��� fa�e� fa�e� �� d�i� d�i� c ��� e���e���. Se X e��i�e� � e���e�da de
, � ca�� �ai� e���e�� �e�ia j���a�e��e �� �d�: X = µ − 3,92 2,5 = µ − 3,92
E��e ca�� e���e�� �c���e�ia �e µ = 6,42
Se X e��i�e� � di�ei�a de µ , , � ca�� �ai� e���e�� �e�ia j���a�e��e ��a� �: X = µ + 3,92 2,5 = µ + 3,92
E��e ca�� e���e�� �c���e�ia � e: µ = −1,42
����� ����� �������
���.������� ���.�� ��������� ��������� ��������.� ���.���. ��.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
Re���i�d�, �����d� ��e � �al�� e�c����ad� �a�a X di��a �e��� de 1,96 de��i� �ad��� de µ , �� �al��e� e���e��� ��e µ ��de a����i� ��� �1,42 e 6,42. P���a���, c�� 95% de c��fia��a, µ e��� �e��e i��e��al�. E��a e��i�a�i�a da ��dia da ����la��� � ��� �e�e� cha�ada de e��i�a�i�a ��� i��e��al�. N�� e��a��� lhe a��ib�i�d� �� �al�� ��ic�, �a� ��a fai�a de �al��e�. N� c��e�� de��a a�la �i��� c��� fa�e� a e��i�a�i�a ��� �����. Na e��i�a�i�a ��� ����� ��� de�e��i���a��� ��a fai�a de �al��e�. Si� �� �al�� ��ic�. E��i���a��� � �al�� de µ c�� � �al�� de X . . Va��� fa�e� �ai� �� e�e��l�. De��a �e� ��� c�l�ca� � ��a��� a �a����, �a�a ge��e c��e�a� a fi�a� c��� fa�e�. ������� 12
�������� 2009 �����
E� �� de�e��i�ad� �a�� de a�i�idade, �� �al��i�� d�� e���egad�� ��� c���ide�ad�� ����al�e��e di���ib��d�� c�� ��a ��dia μ e ��a �a�i��cia ����laci��al ig�al a 1.600 (R$)�. U�a a�����a alea���ia c�� 100 de��e� e���egad�� a��e�e���� ��a ��dia de R$ 1.000,00 �a�a �� �al��i��. De�eja��e, c�� ba�e �e��a a�����a, �b�e� �� i��e��al� de c��fia��a �a�a a ��dia μ c�� �� ���el de c��fia��a de 95%, c���ide�a�d� a ����la��� de �a�a�h� i�fi�i�� e a i�f���a��� da di���ib�i��� ����al �ad��� (Z) ��e a ���babilidade P (� > 2) = 0,025. O i��e��al�, c�� �� �al��e� e� R$, � ig�al a (A) [960,00; 1.040,00] (B) [992,00; 1.008,00] (C) [994,00; 1.006,00] (D) [996,00; 1.004,00] 1.004,00] (E) [920,00; 1.080,00] ���������:
Pa�a de�e��i�a��� d� i��e��al� de c��fia��a, �eg�i��� 4 �a����. �������� �����: ��eci�a��� de�e��i�a� � i��e��al�, �a�a a �a�i��el ����al �ed��ida (Z), ��e c����� 95% d�� �al��e� (��i� e��e � � ���el de c��fia��a ��lici�ad� �� e���ciad�). Cha�a��� e��e �al�� de Z � a���ciad� a 95% de c��fia��a.
O e�e�c�ci� di��e ��e e��e �al�� � ig�al a 2. Veja�:
� � � ���% L�g�:
� −� � ���% P���a���:
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� ���% − ���% − ���% � ��% −� � � � � ���%
L�g�, 95% d�� �al��e� de Z e���� �� i��e��al� de �2 a�� 2. P�� i���, � �al�� de Z � ���c��ad� � 2.
� � ������� ����� : de�e��i�a� � �al�� e��ec�fic� de �a�a a a�����age� fei�a.
� ����� ���������� ���� ���������� �������� ����� : de�e��i�a� � de��i� �ad��� de �
A a�����a �e� �a�a�h� 100. ( � = 100) O de��i� �ad��� de fica: ����� � � � �� ��� �� � � � √ ��
������ �����: de�e��i�a� � i��e��al� de c��fia��a.
Pa�a �a���, �abe��� ��e e� 95% d�� ca��� � �al�� de � e��a�� e��a�� e���e �2, e 2. − ≤ ≤
Va��� ��b��i��i� ��
− − ≤ ≤ I��la�d� a ��dia ����laci��al:
− � ≤ ≤ � � O ��e i��� �ig�ifica? Sig�ifica ��e a ���babilidade de a ��dia ����laci��al e��a� �� i��e��al� aci�a defi�id� � de 95%. Ad��a�d� a ab��dage� f�e��e��i��a da ���babilidade, �e��� � �eg�i��e. Se f���e ������el �eali�a�, i���e�a� �e�e�, ��a a�����age� de �a�a�h� �, e� 95% da� �e�e� � i��e��al� aci�a defi�id� c���e�ia a ��dia ����laci��al. M�i�� be�. A� a ge��e �ega e fa� ��a ��ica a�����a, �b�e�d� �� ��ic� �al�� �a�a a ��dia a�����al. C�� i���, �b�e���: ���� ����� � − � � � ≤ ≤ ���� ����� � �� �� ��� ≤ ≤ �����
Ag��a ��� fala��� �ai� e� ���babilidade. � e��ad� di�e� ��e a ���babilidade de a ��dia ����laci��al e��a� �� i��e��al� aci�a � de 95%. I��� �����e, aci�a, ��� �e��� �ai� �e�h��a �a�i��el.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
992 � �� ���e��, 1.008 � ����� ���e��, � �� ���e�� (de�c��hecid�, �a� � c����a��e, fi��). Q�a�d� ��b��i������ a �a�i��el �el� �e� �al�� e��ec�fic� �b�id� �a�a a a�����a fei�a, fala��� e� c��fia��a. Di�e��� ��e, c�� 95% de c��fia��a, a ��dia ����laci��al e��� c���ida �� i��e��al� e���e 992 e 1.008 ��������: �
V�c�� ��de� g�a�da� ��e � i��e��al� de c��fia��a �e�� �e���e da f���a
− � ≤ ≤ � � E, �a�a �e���i�a�, � �� �e��a� a��i�. N�� �b�e��� a ��dia da a�����a (�� ca�� 1.000). N�� ��e�e��� acha� �� i��e��al� ��e c���e�ha a ��dia da ����la���. � �a����el ����� ��e a ��dia da ����la��� �eja ����i�a de 1.000. E����, �a�a acha� e��e i��e��al�, ��� a�da��� �� ���c� �a�a e���e�da e �� ���c� �a�a a di�ei�a, a� l��g� da �e�a �eal. O� �eja, a ��dia ����laci��al de�e e��a� �� �eg�i��e i��e��al�: ����� ��
N�� �a��i��� de 1.000 (��dia a�����al). A �a��i� de��e ���e��, ��� �a��� a�da� �� �����i�h� �a�a e���e�da (�a��� ��b��ai� alg��a c�i�a) e �� �����i�h� �a�a di�ei�a (�a��� ���a� alg��a c�i�a). E ��e c�i�a � e��a? N�� �a��� a�da� �� ce��� ���e�� de de��i����ad��� �a�a �� lad� e �a�a � �����. ����� � �� ���� ����� � � � ��
E ��a���� de��i����ad��� ��� �a��� a�da�? O e�e�c�ci� � ��e �ai di�e� � ��a��� �a��� a�da� �a�a �� lad� e �a�a � �����. I��� �e�� di�� �el� ���el de c��fia��a. N�� �a��� a�da� � � de��i����ad���. ���� ����� � ����
O i��e��al� de c��fia��a ��� �e��i�e de�e��i�a� ��a fai�a de �al��e� � al��e� e� ��e �e ��de e��a� a ��dia ����laci��al. � ��a e��i�a�i�a ���� i��e��al��, ��i� ��� a��ib�i � ��dia ����laci��al �� �al�� ��ic�, �i� �� i��e��al� �eal.
���� ����!!! ������� �� ��������� �� ��������� ���� � ����� �� ���������
1� Pa���: Acha� � �al�� de Z0 a���ciad� a� ���el de c��fia��a dad� �� e�e�c�ci�.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
2� Pa���: E�c����a� � �al�� e��ec�fic� de X �a�a a a�����a a�����a fei�a. 3� Pa���: E�c����a� � de��i� �ad��� de X . . U�ili�a� a f����la: σ X
=
σ n
4� Pa���: De�e��i�a� � i��e��al� de c��fia��a: X − Z 0 × σ X ≤ µ ≤ X + Z 0 × σ X
������� 13
��� 2008 ������
C������a �� i��e��al� de 95% de c��fia��a �a�a a ��dia de ��a ����la��� ����al a �a��i� d�� dad�� de ��a a�����a alea���ia �i��le� de �a�a�h� 64 de��a ����la���, ��e f���ece� ��a ��dia de 48 e �� de��i���ad��� a�����al de 16, c���ide�a�d� ��e F(1,96) = 0,975, ��de F(�) � a f����� de di���ib�i��� di���ib�i ��� de ��a �a�i��el alea���ia ����al �ad��� � . a) 44,08 a 51,92. b) 41,78 a 54,22. c) 38,2 a 57,8. d) 35,67 a 60,43. e) 32,15 a 63,85. ���������:
Re�a�e ��e ��� c��hece��� a �a�i��cia da ����la���. Se���e ��e i��� ac���ece, ��� de�e��� ad��a� �� �eg�i��e� ���cedi�e����: � ��ili�a��� a �a�i��cia da a�����a �� l�ga� da �a�i��cia da ����la��� � c����l�a��� a �abela da di���ib�i��� T, e� �e� da �abela da di���ib�i��� ����al. N�� fala�e��� �� ���c� �ai� ��b�e i��� �� ����i�� ���ic� ��e �a��� e���da�. Di�� i���, c��cl����� ��e � ce��� �e�ia ��ili�a� a di���ib�i��� T. C����d�, � e�e�c�ci� ��� f���ece� a �abela da di���ib�i��� T. F���ece� a�e�a� alg��� �al��e� da f����� di���ib�i��� de ���babilidade da �a�i��el ����al �ed��ida (= �a�i��el ����al �ad���). N�� �e��� �a�da, �e�e��� ��e ��ili�a� �� �al��e� da �a�i��el �ed��ida. O �ai� e�a�� �e�ia �e��l�e� � e�e�c�ci� c���ide�a�d� a di���ib�i��� T. Ma� ��� �a��� �b�iga�� c�� � e���ciad�. Se � e���ciad� �� de� i�f���a��e� ��b�e a �a�i��el ����al, �a��� ��a� a �a�i��el ����al. Va��� c���ide�a� ��e e��a a�����a j� � �a��a�el�e��e g�a�de, de f���a ��e a dife�e��a e���e ��a� a di���ib�i��� ����al �� l�ga� da di���ib�i��� T ��� � ��� g�a�de. P�i�ei�� �a���: de�e��i�a�d� � �al�� de Z � a���ciad� a 95% de c��fia��a. Se F(1,96) = 0,975, i��� �ig�ifica ��e a ���babilidade de � a����i� a����i� �al��e� �e���e� �� ig�ai� a 1,96 � de 97,5%.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
O� �eja, a ��ea �e�de da fig��a f ig��a abai�� � de 97,5%.
Sabe��� ��e a ��ea i��ei�a da fig��a aci�a � ig�al a 1 (a ���babilidade de � a����i� �� �al�� ��al��e� � de 100%). P���a���, a ��ea a�a�ela � de 2,5%. C��� � g��fic� � �i����ic�, a ��ea � e���e�da de �1,96 �a�b�� � de 2,5%. De��e ��d�, a ��ea �e�de da fig��a abai�� � de 95%.
O� �al��e� �1,96 e 1,96 deli�i�a� � i��e��al� de c��fia��a de 95% �a�a a �a�i��el �ed��ida � . O� �eja, � �al�� de Z � a���ciad� a 95% � 1,96. Z 0
= 1,96
Seg��d� �a���: de�e��i�a� � �al�� de X e��ec�fic� �a�a a a�����a fei�a. X = 48
Te�cei�� �a���: de�e��i�a� � de��i� �ad��� de X . . A a�����a �e� �a�a�h� 64 ( � = 64). O de��i� �ad��� de X � dad� �ela f����la: σ X
����� ����� �������
=
σ n
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
N�� c��hece��� � de��i� �ad��� da ����la���. E��a��� c���ide�a�d� ��e a a�����a � ��i�� g�a�de a �al ����� ��e a ��a �a�i��cia �eja �� e�cele��e e��i�ad�� da ����la���. Va��� c���ide�a� ��e a �a�i��cia a�����al � ig�al � �a�i��cia da ����la���. P���a���, � de��i� �ad��� da ����la��� �a�b�� � ig�al a� de��i� �ad��� da a�����a (=16). σ = 16 σ X
=
16 64
=
2
Q�a���: de�e��i�a� � i��e��al� de c��fia��a. O i��e��al� de c��fia��a � da f���a: f ���a: X − Z 0 × σ X ≤ µ ≤ X + Z 0 × σ X S�b��i��i�d� �� �al��e�: X − Z 0 × σ X
≤ µ ≤ X +
Z 0 × σ X
48 − 1,96 × 2
≤
µ ≤ 48 + 1,96 × 2
48 − 3,92
≤
µ ≤ 48 + 3,92
44,08 ≤ µ ≤ 51,92
��������: �. ������� 14
��� 2� ������ 2008 �����
A �ida da� l���ada� fab�icada� ��� ��a e���e�a a��e�e��a ��a di���ib�i��� ����al c�� ��a �a�i��cia ����laci��al ig�al a 400 (h��a�) � . E���ai��e ��a a�����a de 64 l���ada� e �e�ifica��e ��e a �e��ec�i�a �ida ��dia � ig�al a 1.200 h��a�. C���ide�a�d� a ����la��� de �a�a�h� i�fi�i�� e a i�f���a��� da di���ib�i��� ����al �ad��� (Z) ��e a ���babilidade P(Z > 2) = 2,5%, �e���e ��e � i��e��al� de c��fia��a de 95% �a�a a �ida ��dia da� l���ada� � (A) [1.160 , 1.240] (B) [1.164 , 1.236] (C) [1.180 , 1.220] (D) [1.184 , 1.216] (E) [1.195 , 1.205] ���������:
P�i�ei�� �a���:
� � Seg��d� �a���:
� ���� Te�cei�� �a���:
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
�
�� �� � � � ��� � �� √ √ ��
Q�a��� �a���:
� � ���� ����� � � ��� ��� � � ���� ����� ���
������ ������ ����� ����� ��������: �
2.4.
��������� �� ��������� ���� � ����� ������ � ��������� �� ���������
��� � ��������� G�a�de �a��e d�� e�e�c�ci�� de c��c���� ��b�e i��e��al� de c��fia��a ��� ��� �e��l�id�� ��� �ei� da di���ib�i��� ����al. Ele� e���l�e� � c��heci�e��� da di���ib�i��� T de S��de��. A g�a�de �a��age� � ��e a f���a de �e �e��l�e�e� �� e�e�c�ci�� de i��e��al� de c��fia��a ��� �ei� da di���ib�i��� T � e�a�a�e��e a �e��a da��ela �i��a aci�a, �a�a a di���ib�i��� ����al. A ��ica c�i�a ��e ��da � a �abela e� ��e fa�e��� a c����l�a. N� fi�al da a�la h� d�a� �abela�. A ��ica c�i�a ��e �ai ��da� � ��e �a��� c����l�a� a �abela II, e� �e� da �abela I. Sabe��� ��e X ��de �e� �i��� c��� ��a �a�i��el alea���ia ����al ����al (�� a����i�ada�e��e a����i�ada�e��e ����al). P���a���, �a�a X ��de��� ��ili�a� a �abela de ��ea� da �a�i��el ����al. ����al. Pa�a ��ili�a� e��a �abela, ��eci�a��� e�c����a� a �a�i��el ����al �ed��ida Z: Z =
X − µ
σ X
.
O�de σ X � � de��i� �ad��� da �a�i��el X . S�a f����la �: σ X
=
σ
.
n
E���e�a���, �e ��� ���be���� a �a�i��cia da ����la��� ( σ 2 ), ��� �e��� c��� c��� calc�la� σ X . Ne��e� ca���, ��ili�a��� a �a�i��cia da a�����a �� l�ga� da �a�i��cia da ����la���. E� ���ble�a� a��i�, �a �e�dade, ��� e��a��� e��i�a�d� d�a� g�a�de�a� a� �e��� �e���. E��a��� e��i�a�d� a ��dia e a �a�i��cia da ����la���. C��� ��� �e��� ce��e�a �e� ��b�e � �al�� da ��dia �e� ��b�e � �al�� da �a�i��cia da ����la���, ����� i��e��al� de c��fia��a �e� ��e �e� �ai�� ��e a��ele ��e �e�ia �b�id� ca�� c��hec���e��� � �al�� de σ 2 , �a�a �a��e���� � �e��� ���el de c��fia��a. � e�a�a�e��e e��a a ideia da di���ib�i��� T. Pa�a il����a�, �eg�e� alg��� g��fic�� ge�ad�� c�� � e�cel.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
A� c���a� e� a��l e �e��elh� i�dica� a� di���ib�i��e� T c�� 2 e 4 g�a�� de libe�dade. P�� h��a, a�e�a� fi��e� c�� a i�f���a��� de ��e � ���e�� de g�a�� de libe�dade �e� �ela��� c�� � �a�a�h� da a�����a. Q�a��� �ai�� � �a�a�h� da a�����a, �ai�� � ���e�� de g�a�� de libe�dade. Q�a�d� a a�����a � �e��e�a (c��� � � e�e��l� da c���a a��l, c�� 2 g�a�� de libe�dade), � g��fic� � dife�e��e da c���a ����al (e� �e�de). � �edida ��e � �a�a�h� da a�����a a��e��a, a di���ib�i��� T �e a����i�a da ����al. N��e� ��e a c���a e� �e��elh� j� e��� �ai� ����i�a da c���a �e�de. I��� � a�� i���i�i��. Se a a�����a f�� ��i�� g�a�de, e���� c��hece� a �a�i��cia da a�����a � ��a�ica�e��e � �e��� ��e c��hece� a �a�i��cia da ����la���. � c��� �e e��i����e��� cai�d� ���a�e��e ��� ���ble�a e� ��e a �a�i��cia ����laci��al � c��hecida. P���a���, �e �� ���ble�a ��� ���be���� a �a�i��cia da ����la���, a� ��ica� c�i�a� ��e ��da� ���: U�ili�a��� a �a�i��cia da a�����a �� l�ga� da �a�i��cia da ����la���. E� �e� de c����l�a� a �abela de ��ea� da �a�i��el �ed��ida ����al, c����l�a��� a �abela da di���ib�i��� T A� fi�al de��a a�la c����a ��a �abela �a�a a di���ib�i��� T (TABELA II). O �e� g��fic� de fd� � ��i�� �a�ecid� c�� � da di���ib�i��� ����al. Ele c���i��a �e�d� �i����ic�, e� �� f���a�� ��e le�b�a � de �� �i��. Pa�a c����l�a� e��a �abela, �e��� ��e �abe� � ���e�� de g�a�� de libe�dade. � ������ �� ����� �� ��������� � ����� � − , ���� ��� � � ������� �� �������. ������� 15
��������� 2010 ������������ ������������
U� le�a��a�e��� �eali�ad� a �e��ei�� d�� �al��i�� �ecebid�� ��� ��a de�e��i�ada cla��e ���fi��i��al ��ili��� ��a a�����a de 100 de��e� ���fi��i��ai�, �a ��al f��a� �b�e��ad�� ��a ��dia de R$ 2.860,00 e �� de��i� �ad��� de R$ 786,00. Q�al �e��, e� �eai�, � de��i� �ad��� da di���ib�i��� da� ��dia� a�����ai� d�� �al��i�� de��a cla��e de ���fi��i��ai�?
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
(A) 3,64 (B) 7,86 (C) 78,60 (D) 786,00 (E) 7.860,00 ���������.
Q�a�d� � de��i� �ad��� da ����la��� � c��hecid�, � ����al c�� ��dia ig�al a e de��i� �ad��� . √
Se � de��i� �ad��� da ����la��� � de�c��hecid�, ��b��i������ e��e �al�� ��� ��a e��i�a�i�a. O de��i� �ad��� a�����al (= �) � �� e��i�ad�� d� de��i� �ad��� da ����la��� ( ). O� �eja, c��� � de�c��hecid�, ��b��i������ e��e �al�� ���
�� ��e � �e� e��i�ad��.
C���e��e��e�e��e, �e�� di���ib�i��� T de S��de��, c�� ��dia ig�al a e de��i� �ad��� . √
��� ��� � � � ���� �� ��� √ √ ��� ��������: �
Alg��� al���� c��f��de� e��a� �a�i��cia� ��e ���gi�a�. C�idad� �a�a ��� c��f��di�! Rele�b�a�d�: 1 � � a �a�i��cia da ����la���. T��a��� cada �al�� da ����la���. S�b��a���� da ��dia ����laci��al, �b�e�d� �� de��i�� e� �ela��� � ��dia. E� �eg�ida, calc�la��� a ��dia d�� ��ad�ad�� d�� de��i��. I��� � a �a�i��cia ����laci��al. 2 � �� � a �a�i��cia da a�����a. � �� e��i�ad�� de � T��a��� cada �al�� da a�����a. S�b��a���� da ��dia a�����al, �b�e�d� �� de��i��. E� �eg�ida, calc�la��� a ��dia d�� ��ad�ad�� d�� de��i��. I��� � a �a�i��cia a�����al. 3 � � a �a�i��cia de . T��a��� ��d�� �� ������ei� �al��e� de � S�b��a���� da ��dia de��a �a�i��el alea���ia, �b�e�d� �� de��i��. Calc�la��� a ��dia d�� ��ad�ad�� d�� de��i��, �b�e�d� a �a�i��cia de . J� e���da��� ��e �
4 � � a e��i�a�i�a da �a�i��cia de . � �b�ida ��b��i��i�d�, �a f����la aci�a i�dicada, a �a�i��cia ����laci��al �ela a�����al.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
������� 16
�
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
��� 1� ������/2001 �����
Pa�a �e����de� � ��e���� �eg�i��e, c���ide�e a� �abela� a �eg�i�. Ela� f���ece� alg��� �al��e� da f����� de di���ib�i��� F(�). A �abela 1 �efe�e��e � �a�i��el ����al �ad���, a� �abela� 2 e 3 �efe�e���e � �a�i��el � de S��de�� c�� 10 e 15 g�a�� de libe�dade, �e��ec�i�a�e��e. Tabela 1 � F(�) 1,20 0,885 1,60 0,945 1,64 0,950
Tabela 2 � F(�) 1,37 0,90 1,81 0,95 2,36 0,98
Tabela 3 � F(�) 1,75 0,95 2,25 0,98 2,60 0,99
O �e�� de c�ia��a� �ec����a�cida� d� �e�� fe�i�i�� ���a c����idade �e� di���ib�i��� ����al c�� ��dia µ e de��i� �ad��� de�c��hecid�. U�a a�����a de 16 �ec����a�cid�� �ec����a� cid�� i�dic�� �� �e�� ��di� de 3,0 kg e de��i� �ad��� a�����al ig�al a 0,8 kg. U� i��e��al� de c��fia��a �a�a µ , c�� c�eficie��e de c��fia��a de 96% � dad� ���: a) 3,0 ± 0,37 b) 3,0 ± 0,41 c) 3,0 ± 0, 45 d) 3,0 ± 0,68 e) 3,0 ± 0,73 ���������.
P�i�ei�� �a���: �b�e� � � a���ciad� a 96% de c��fia��a. C��� a a�����a �e� �a�a�h� 16, � ���e�� de g�a�� de libe�dade � ig�al a 15. C����l�a�e��� a �abela 3 dada �� e���ciad�. A ���babilidade de � �e� �e��� �� ig�al a 2,25 � de 0,98 (��ea �e�de da fig��a abai��). P���a���, a ���babilidade de � �e� �ai�� ��e 2,25 � de 2% (��ea �e��elha abai��).
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
C��� � g��fic� da fd� � �i����ic�, a ���babilidade de � �e� �e��� ��e �2,25 �a�b�� � de 2%. Cada ��a da� ��ea� �e��elha� abai�� �ale 2%.
Sabe��� ��e a ��ea ���al � ig�al a 1. C��cl����� ��e a ��ea �e�de abai�� � de 96%.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
A��i�, a ���babilidade de � e��a� e���e �2,25 e 2,25 � de 96% (=100% � 2% � 2%). C��cl����� ��e � �al�� de � � ��e e��� a���ciad� a 96% � 2,25. Seg��d� �a���: �b�e� � �al�� e��ec�fic� de X �a�a a a�����a a�����a fei�a X = 3 (f���ecid� (f���eci d� �� e���ciad�)
Te�cei�� �a���: �b�e� � de��i� �ad��� de X s X
s
=
n
=
0,8 16
=
0,2
Q�a��� �a���: de�e��i�a� � i��e��al� de c��fia��a. O i��e��al� de c��fia��a � da f���a: f ���a: X − t 0
×s
X
≤
µ ≤ X + t 0 × s X
3 − 2,25 × 0,2 ≤ µ ≤ 3 + 2,25 × 0, 2 3 − 0, 45 ≤ µ ≤ 3 + 0,45
��������: � ������� 17
��� �� 2006 �����
Pa�a �e��l�e� a ��e���� abai��, c���ide�e a� �abela� a �eg�i�. Ela� f���ece� alg��� �al��e� da di���ib�i��� F(�). A �abela 1 �efe�e��e � �a�i��el ����al �ad���, a� �abela� 2 e 3 �efe�e�� �e � �a�i��el � de S��de�� c�� 15 e 16 g�a�� de libe�dade, �e��ec�i�a�e��e:
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
Tabela 1 � F(�) 1,60 0,945 1,64 0,950 2,00 0,977
Tabela 2 � F(�) 1,753 0,95 2,248 0,98 2,583 0,99
Tabela 3 � F(�) 1,746 0,95 2,235 0,98 2,567 0,99
S����d���e ��e a ���ce��age� da �ecei�a i��e��ida e� ed�ca���, d�� 600 ���ic��i�� de ��a �egi��, �e� di���ib�i��� ����al c�� ��dia µ , de�eja��e e��i�a� e��a ��dia. Pa�a �a��� �e ����e�� de���e e��e� 600, alea���ia�e��e e c�� �e���i���, 16 ���ic��i�� e �e �b�e���� �� �e�ce���ai� i��e��id�� ��� ele� e� ed�ca���. O� �e��l�ad�� i�dica�a� ��a ��dia a�����al de 8% e de��i� �ad��� a�����al ig�al a 2%. U� i��e��al� de c��fia��a �a�a , c�� c�eficie��e de c��fia��a de 96%, � dad� ���: µ , a) (8 ± 1,124 )% b) (8 ± 1,117 )% c) (8 ± 0,877 )% d) (8 ± 0,870 )% e) (8 ± 0,755)% ���������.
Te��� �� e�e�c�ci� de i��e��al� de c��fia��a e� ��e ��� �e �abe a �a�i��cia da ����la���. De�e��� c����l�a� a �abela �a�a a �a�i��el �. C��� a a�����a �e� �a�a�h� 16, � ���e�� de g�a�� de libe�dade � ig�al a 15. A �abela a �e� ��ili�ada � a �abela 2 d� e���ciad�. Va��� �a�a �� �a���� de �e���e. P�i�ei�� �a���: de�e��i�a� � �al�� de � � a���ciad� a 96% de c��fia��a. Da �abela 2, �abe��� ��e a ���babilidade de � a����i� �al��e� �e���e� ��e 2,248 � de 98%. L�g�, a ���babilidade de � a����i� �al��e� �ai��e� ��e 2,248 � de 2%. C��� � g��fic� da fd� da di���ib�i��� � � �i����ic�, a ���babilidade de � a����i� �al��e� �e���e� ��e �2,248 �a�b�� � de 2%. C��� c���e����cia, a ���babilidade de � e��a� e���e �2,248 e 2,248 � de 96% (=100% � 2% � 2%). O� �al��e� de � ��e deli�i�a� 96% d�� �al��e� ��� �2,248 e 2,248. t 0
=
2,248
Seg��d� �a���: de�e��i�a�d� � �al�� e��ec�fic� de X . . X = 8% (dad� �� e���ciad�)
Te�cei�� �a���: de�e��i�a� � de��i� �ad��� de X . . (f���ec id� �� e���ciad�) n = 16 (f���ecid�
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
σ X σ X
2
σ 2
=
=
=
n
σ 2 16
σ 4
C��� ��� �abe��� � de��i� �ad��� ����laci��al, ��b��i������ �ela ��a e��i�a�i�a. De��e ��d�, a e��i�a�i�a d� de��i� �ad��� de X �: s X s X
=
=
2 4
s 4 =
0,5
Q�a��� �a���: e�c����a�d� � i��e��al� de c��fia��a. O i��e��al� de c��fia��a � da f���a: f ���a: X − t 0
×s
X
≤
µ ≤ X + t 0 × s X
8 − 2,248 × 0,5 ≤ µ ≤ X + 2,248 × 0,5 8 − 1,124 ≤ µ ≤ X + 1,124
��������: �. ������� 18
��� 7� ������ 2009 �����
O� �al��i�� d�� e���egad�� de de�e��i�ad� �a�� de a�i�idade a��e�e��a� ��a di���ib�i��� ����al c�� ��a �a�i��cia ����laci��al de�c��hecida. U�a a�����a alea���ia de 16 e���egad�� de��e �a�� f�i a�ali�ada a��e�e��a�d� ��a ��dia ig�al a R$ 1.500,00 e �� de��i� �ad��� ig�al a R$ 200,00. C���ide�a�d� a ����la��� de �a�a�h� i�fi�i�� e � ����� � ��a��il da di���ib�i��� � de S��de�� �a�a �e��e ��ica�dal �al ��e P(� > � �����) = 0,025 c�� � g�a�� de libe�dade, �b�e�e��e �� i��e��al� de c��fia��a de 95% �a�a a ��dia ����laci��al. O i��e��al� �b�id�, c�� �� �al��e� e� �eai�, f�i ig�al a
(A) [1.473,50; 1.526,50] (B) [1.473,00; 1.527,00] (C) [1.394,00; 1.606,00] (D) [1.393,50; 1.606,50] (E) [1.392,50; 1.607,50]
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
���������:
P�i�ei�� �a���: de�e��i�a�d� � �al�� de � �. C��� a a�����a �e� �a�a�h� 16, �e��� 15 g�a�� de libe�dade. O �al�� de � �, f���ecid� �a �abela, � de 2,13.
� ����
Seg��d� �a���:
� ����� Te�cei�� �a���:
�
��� �� √ ��
√
�
�
��� �
� ��
Q�a��� �a���: O i��e��al� de c��fia��a fica:
�
�
���� ����� � � ���� ���� � �� ����� ����� � ������ ������
��������� �������� ��������: �
3.
������A�� D� C����A��A �A�A ����������
3.1.
���� ��� �������� ���������
Seja a ��������� de ca��� fa�����ei� e� ��a ����la��� e ̂ a ��������� de ca��� fa�����ei� e� ��a a�����a. Vi��� ��e ̂ � �� e��i�ad�� �a�a . Pa�a fica� �ai� cla��, �a��� a�ali�a� � e�e��l� d� dad� ��e � la��ad� ���� �e�e�. C���ide�a��� ca�� fa�����el ��a�d� �ai �� ��l�i�l� de 3. Na ����la��� (f���ada ��� ��d�� �� ������ei� �e��l�ad�� d� la��a�e��� d� dad�), a ��������� de ca��� fa�����ei� � ig�al a 1/3. P�� e��e ���i��, a ���babilidade de ��ce��� e� �� ��ic� la��a�e��� � ig�al a 1/3. A��i�, a ��������� de ca��� fa�����ei� �a ����la��� � ig�al � ���babilidade de ��ce��� e� �� la��a�e���. Fica��� c��: (��������� (�������� � de ca��� fa�����ei� fa�����e i� �a ����la��� = ���babilidade de ��ce��� e� �� la��a�e���) p
= 1 / 3
q
=
de�fa���� �ei� �a ����la��� = ���babilidade de f�aca��� f�aca ��� e� 2 / 3 (��������� de ca��� de�fa�����ei�
�� la��a�e���).
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
La��a��� � dad� ���� �e�e�. Ob�e��� �� �eg�i��e� �e��l�ad��: 1, 3, 6. Na a�����a de �a�a�h� 3, a ��������� de ca��� fa�����ei� f�i de 2/3. pˆ
=
2 / 3
U�a��� a ��������� a�����al �a�a e��i�a� a ��������� da ����la���. Ca�� ��� ���b���e��� ��e � dad� �e� 1/3 de face� c�� ��l�i�l�� de 3, a �a��i� d� �e��l�ad� �b�id� �a a�����age� aci�a, e��i�a��a��� e��a ��������� e� 2/3. Q�a�d� �e��� ��a ��ica a�����a, pˆ � �� �al��, �� ���e��, fi��, c����a��e. Ma� ��de��� �e��a� e� pˆ de f���a dife�e��e. dife�e��e . P�de��� �e��a� e� i���e�a� a�����a� ������ei�. Se la�����e��� � dad� ���� �e�e� ���a�e��e, �b�e�d� ����a a�����a, pˆ ��de�ia a����i� ������ �al��e�. Q�a�d� c���ide�a��� a� i���e�a� a�����a� ������ei�, pˆ � ��a �a�i��el alea���ia. Ne��e e�e��l� d� dad�, a� a�����a� de �a�a�h� 3 ������ei� �e�ia�: 1 1 1 2 1 1 3 1 1 4 1 1 5 1 1 6 1 1 1 4 1 2 4 1 3 4 1 4 4 1 5 4 1 6 4 1 1 1 2 2 1 2 3 1 2 4 1 2 5 1 2 6 1 2 1 4 2 2 4 2 3 4 2 4 4 2 5 4 2 6 4 2 1 1 3 2 1 3 3 1 3 4 1 3 5 1 3 6 1 3 1 4 3 2 4 3 3 4 3 4 4 3 5 4 3 6 4 3 1 1 4 2 1 4 3 1 4 4 1 4 5 1 4 6 1 4 1 4 4 2 4 4 3 4 4 4 4 4 5 4 4 6 4 4 1 1 5 2 1 5 3 1 5 4 1 5 5 1 5 6 1 5 1 4 5 2 4 5 3 4 5 4 4 5 5 4 5 6 4 5 1 1 6 2 1 6 3 1 6 4 1 6 5 1 6 6 1 6 1 4 6 2 4 6 3 4 6 4 4 6 5 4 6 6 4 6 1 2 1 2 2 1 3 2 1 4 2 1 5 2 1 6 2 1 1 5 1 2 5 1 3 5 1 4 5 1 5 5 1 6 5 1 1 2 2 2 2 2 3 2 2 4 2 2 5 2 2 6 2 2 1 5 2 2 5 2 3 5 2 4 5 2 5 5 2 6 5 2 1 2 3 2 2 3 3 2 3 4 2 3 5 2 3 6 2 3 1 5 3 2 5 3 3 5 3 4 5 3 5 5 3 6 5 3 1 2 4 2 2 4 3 2 4 4 2 4 5 2 4 6 2 4 1 5 4 2 5 4 3 5 4 4 5 4 5 5 4 6 5 4 1 2 5 2 2 5 3 2 5 4 2 5 5 2 5 6 2 5 1 5 5 2 5 5 3 5 5 4 5 5 5 5 5 6 5 5 1 2 6 2 2 6 3 2 6 4 2 6 5 2 6 6 2 6 1 5 6 2 5 6 3 5 6 4 5 6 5 5 6 6 5 6 1 3 1 2 3 1 3 3 1 4 3 1 5 3 1 6 3 1 1 6 1 2 6 1 3 6 1 4 6 1 5 6 1 6 6 1 1 3 2 2 3 2 3 3 2 4 3 2 5 3 2 6 3 2 1 6 2 2 6 2 3 6 2 4 6 2 5 6 2 6 6 2 1 3 3 2 3 3 3 3 3 4 3 3 5 3 3 6 3 3 1 6 3 2 6 3 3 6 3 4 6 3 5 6 3 6 6 3 1 3 4 2 3 4 3 3 4 4 3 4 5 3 4 6 3 4 1 6 4 2 6 4 3 6 4 4 6 4 5 6 4 6 6 4 1 3 5 2 3 5 3 3 5 4 3 5 5 3 5 6 3 5 1 6 5 2 6 5 3 6 5 4 6 5 5 6 5 6 6 5 1 3 6 2 3 6 3 3 6 4 3 6 5 3 6 6 3 6 1 6 6 2 6 6 3 6 6 4 6 6 5 6 6 6 6 6
T�da� e��a� a�����a� ��� e��i������ei�. P�de��� ����a� � �eg�i��e ��ad��: P��babilidade 64/216 96/216 48/216 8/216
pˆ
0 1/3 2/2 3/3 A e��e�a��a de pˆ fica: E ( pˆ ) = µ pˆ
=
0×
64 216
+
1 3
×
96 216
+
2 3
×
48 216
+
3 3
×
8 216
= 1 / 3
A e��e�a��a da ��������� a�����al � ig�al � e��e�a��a da ��������� da ����la���. A �a�i��cia de pˆ fica:
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
σ pˆ
2
1 = 0 − 3
2
1 1 × + − 216 3 3 64
2
2 1 × + − 216 3 3 96
2
1 × + 1 − 216 3 48
2
×
8 216
=
2 27
Sabe�d� ��e a ��������� a�����al ��de �e� �i��a c��� ��a �a�i��el, � i�����a��e �e� �� �ei� �ai� ���id� �a�a calc�la� ��a ��dia e ��a �a�i��cia. Ne��e e�e��l� d� la��a�e��� d� dad�, �eja � � ���e�� de ca��� fa�����ei� e� � �� la��a�e����. Vi��� �a a�la �a��ada ��e � � � ��a �a�i��el bi���ial c�� ��dia e �a�i��cia dada� ���: µ X
=
np
2
=
npq
σ X
O�de ��� � � ���e�� de e��e�i�e����, e��e�i�e����, � � a ���babilidade de ��ce��� e � � a ���babilidade de f�aca���. Ne��e e�e��l�, � = 3; � = 1/3; � = 2/3. Fica��� c��: µ X = np = 1 σ X
2
= npq =
2 / 3
� �e�
��dia 1 e �a�i��cia 2/3. I��� �ig�ifica ��e, e� ���� la��a�e����, e��e�a��� 1 ca�� fa�����el (e d�i� de�fa�����ei�). O� �eja, �e f���e ������el fa�e� i�fi�i��� c��j����� de ���� la��a�e���� d� dad�, � ���e�� ��di� de ca��� fa�����ei� �e�ia ig�al a 1.
Seja � pˆ � a ��������� de ca��� fa�����ei� �e�ificada ���a dada a�����a de �a�a�h� ���. A �a�i��el � pˆ � ��de �e� �b�ida a �a��i� de � . pˆ =
X n
Pa�a fica� �ai� cla��, �����ha��� �� c��j���� de la��a�e���� e� �a��ic�la�. La��a��� � dad� ���� �e�e�, �b�e�d�: 1, 3, 6. Ne��a �i��a���, � ���e�� de ca��� fa�����ei� � ig�al a 2 ( � = = 2). E a ��������� de ca��� fa�����ei� fica: pˆ = pˆ =
X n 2 3
E� d�i� �e���� d�� ca���, �i�e��� ��ce���. F�cil, ��? Pa�a acha� a ��������� de ca��� fa�����ei� �a a�����a, ba��a �ega� a �a�i��el � e e di�idi� ��� ���. Sabe��� c��� calc�la� a ��dia e a �a�i��cia da �a�i��el bi���ial. Sabe��� ��e a �a�i��el � pˆ �, ��e i�dica a ��������� de ca��� fa�����ei� �a a�����a, ��de �e� �b�ida ���: pˆ =
X n
.
� � ��� ��a c����a��e ���. Pa�a �b�e���� � pˆ �, di�idi��� a �a�i��el � �
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
Q�a�d� di�idi��� ��a �a�i��el ��� ��a c����a��e, a ��dia �a�b�� fica di�idida ��� e��a c����a��e. A ��dia de pˆ �: µ pˆ
=
µ X n
np
=
n
= p
C��cl����� ��e a e��e�a��a de pˆ � j���a�e��e a ���babilidade de ��ce��� e� �� e��e�i�e���. Q�a�d� la��a��� � dad� ���� �e�e� (�b�e�d� ��a ��ica a�����a de �a�a�h� 3), �e�e��� �� de�e��i�ad� �al�� �a�a a ��������� a�����al ( pˆ ). E��e �al�� ��de �e� ig�al a 1/3 �� ���. N� e�e��l� aci�a (c�� �e��l�ad�� 1, 3 e 6), i�cl��i�e, f�i dife�e��e. Ma�, �e f���e ������el �e�e�i� i�fi�i�a� �e�e� � c��j���� de ���� la��a�e����, �b�e�d� �a�a cada a�����a �� �al�� de pˆ , �e��a��� ��e a ��dia de pˆ �e�ia ig�al a 1/3. Veja��� ag��a a �a�i��cia de pˆ . Q�a�d� di�idi��� ��a �a�i��el ��� ��a c����a��e, a �a�i��cia ��f�e a �a�ia��� a� ��ad�ad�. pˆ
=
X n
⇒
σ pˆ
2
=
σ X n
2
=
2
npq n
2
=
pq n
E �e� de��i� �ad��� fica: σ pˆ =
pq n
E���� � ��e i�����a �a�a ge��e � �abe� i���. Se pˆ f�� a �a�i��el ��e ��e i�dica a ��������� ��������� de ca��� fa�����ei� �a a�����a, e���� pˆ �e� ��dia e de��i� �ad��� dad�� ���: µ pˆ = p σ pˆ =
pq n
���� ������� ��������� �� ����� ���������� �� �������
P�de �e� �i��a c��� ��a �a�i��el c�� ��dia e de��i� �ad��� dad�� ���: µ pˆ = p σ pˆ =
pq n
O�de ��� � a ��������� de ca��� fa�����ei� �a ����la��� e ��� � a ��������� de ca��� de�fa�����ei� �a ����la���.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
3.2.
��������� �� ��������� ���� ��� ���������
Q�a�d� e���da��� i��e��al� de c��fia��a �a�a ��a ��dia, ��e��a��� j���a�e��e e��i�a� �� i��e��al� �a�a a ��dia de ��a ����la��� ( µ ). ). Ag��a ��e�e��� e��i�a� ��a ��������� (�). O ���cedi�e��� �e�� a��l�g�. E�e��l�: Ma�ia �e� �� dad�. S� ��e ��� � �� dad� ����al (c�� face� 1, 2, 3, 4, 5 e 6). � �� dad� e��ecial. Na� ��a� face� ��� ������ ���e���, ��e ��� �abe��� ��ai� ���. Al�� di���, ��� �abe��� ��a��a� face� h� �e��e dad�. P�de� �e� 5, 7, 9, 20, e�c. Ma�ia de�afia J��� a de�c�b�i� a ��������� de face� ��e c����� ��l�i�l�� de 3. Se e��e f���e �� dad� ����al, J��� �abe�ia ��e 1/3 da� face� ��� ��l�i�la� de 3. O ���cedi�e��� c��bi�ad� � � �eg�i��e. Ma�ia la��a � dad�. De��i� de la����l�, ela di� � �e��l�ad� a J���, ��e � a���a. De��i� di���, Ma�ia la��a � dad� ��a �eg��da �e�. N��a�e��e c����ica � �e��l�ad� a J���. E i��� �e �e�e�e ��� �ai� d�a� �e�e�. Re���i�d�: Ma�ia la��a � dad� ��a��� �e�e�. A �a��i� de��e� �e��l�ad��, J��� �e� ��e de�c�b�i� ��al a ��������� de face� d� dad� ��e c����� ��l�i�l�� de 3. O� �e��l�ad�� d�� ��a��� la��a�e���� f��a�: 3, 7, 9, 2. Ne��e� 4 la��a�e����, �i�e��� d�i� ca��� fa�����ei�. O� ai�da: �a a�����a, �i�e��� 50% de ca��� fa�����ei�. Vi��� �e��a a�la ��e �� e��i�ad�� �a�a a ��������� da ����la��� � a ��������� da a�����a. De��e ��d�, J��� e��i�a ��e �e�ade da� face� d� dad� ��� ��l�i�la� de 3. J��� e��i�a a ��������� de ��l�i�l�� de 3 c��� �e�d�: pˆ =
1 2
J��� fe� ��a e��i�a�i�a ��� �����. Ma�, e �e J��� ��i�e��e e��i�a� ��a �fai�a� de �al��e� �a�a a ���������? E �e J��� ��i�e��e e��abelece� �� i��e��al� de 95% de c��fia��a?? C��� fica�ia?? Seja � a �a�i��el ��e i�dica � ���e�� de ca��� fa�����ei� �e��e� ��a��� la��a�e����. Sabe���, de�de a a�la �a��ada, ��e � � ��a �a�i��el bi���ial c�� ��dia np e de��i� �ad���
npq .
Vi���, �a�b�� �a a�la �a��ada, ��e � � � a����i�ada�e��e ����al �a�a g�a�de� �al��e� de ���. E� �ei ��e, �e��e e�e��l�, � �� �e� � ��� g�a�de ( � = 4). Ma� �a��� ����� ��e j� �eja �a����el di�e� ��e � � � a����i�ada�e��e ����al. Ok, e���� � , al�� de �e� bi���ial, � a����i�ada�e��e ����al. C���ide�e a �a�i��el abai��:
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� Z =
X − µ X
σ X
Z �e� ��dia �e�� e de��i� �ad��� ��i���i�. Z � ��a �a�i��el ����al �ed��ida. Pa�a a �a�i��el Z, ��� ��de��� c����l�a� a �abela I. Sabe��� ��e, e� 95% d�� ca���, Z a����e �al��e� e���e �1,96 e 1,96. A��i�, e� 95% da� �e�e�, �e���: − 1,96 ≤
Z ≤ 1,96
S�b��i��i�d� � �al�� de Z: X − µ X
− 1,96 ≤
σ X
≤ 1,96
S�b��i��i�d� � �al�� da ��dia e d� de��i� �ad��� da �a�i��el bi���ial: − 1,96 ≤
− 1,96 ×
npq
X − np npq
≤ 1,96
≤ X − np ≤ 1,96 ×
npq
Di�idi�d� ��d�� �� �e���� ��� � ��: pq
− 1,96 ×
n
≤
X n
− p ≤ 1,96 ×
pq n
Le�b�a�d� ��e, �e � � � a �a�i��el bi���ial, e����: pˆ =
− 1,96 ×
pq n
X n
ˆ − p ≤ 1,96 × ≤ p
pq n
I��la�d� � � � ��: ˆ − 1,96 × − p
pq n
ˆ + 1,96 × ≤ − p ≤ − p
pq n
M�l�i�lica�d� ��d�� �� �e���� ��� �1: pˆ − 1,96 ×
pq n
ˆ + 1,96 × ≤ p ≤ p
pq n
Le�b�a�d� ��e: σ pˆ =
pq n
Fica��� c��: pˆ − 1,96 × σ pˆ
����� ����� �������
≤ p ≤
pˆ + 1,96 × σ pˆ
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
E e��e � � i��e��al� de c��fia��a de 95% �a�a a ���������. Veja c��� � be� �a�ecid� c�� � i��e��al� de c��fia��a �a�a a ��dia. Vi��� ��e � i��e��al� de c��fia��a �a�a a ��dia da �a�i��el � � � dad� ���: X − Z 0 × σ X
≤ µ ≤ X +
Z 0 × σ X
E � i��e��al� de c��fia��a �a�a ��a ��������� � da �eg�i��e f���a: pˆ − Z 0 × σ pˆ
ˆ+ ≤ p ≤ p
Z 0 × σ pˆ
E���� �a�a ge��e � ��e i�����a � i���. I��e�e��a �abe� ��al � i��e��al� de c��fia��a �a�a a ���������. ���� ����!!! ��������� �� ��������� ���� � ��������� pˆ − Z 0 × σ pˆ
ˆ+ ≤ p ≤ p
Z 0 × σ pˆ
Va��� ��l�a� a� e�e��l� d� J���? Va��� �e��i�a� de calc�la� � i��e��al� de c��fia��a. V�� c�l�ca� � �a��� a �a���, �a�a g�a�a����. Na �e�dade, � �ai� �a�a ��ele�b�a�����. ��ele�b�a�����. I��� �����e � � �e��� �a��� a �a��� d� i��e��al� de c��fia��a �a�a a ��dia. P�i�ei�� �a���: de�e��i�a� � �al�� de Z � a���ciad� a� ���el de c��fia��a �edid�. O ���el de c��fia��a � de 95%. C����l�a�d� a �abela I, �e��� ��e Z � � ig�al a 1,96. E� 95% d�� ca���, a �a�i��el �ed��ida Z e��� e���e �1,96 e 1,96. Z 0
= 1,96
Seg��d� �a���: �b�e� � �al�� e��ec�fic� de pˆ �a�a a a�����a a�����a fei�a. pˆ
=
0,5
Te�cei�� �a���: e�c����a� � de��i� �ad��� de pˆ N� c�lc�l� d� i��e��al� de c��fia��a �a�a a ��dia, a �a�i��el alea���ia al ea���ia e�a a ��dia a�����al ( X ). U���a��� a ��dia a�����al �a�a e��i�a� a ��dia ����laci��al. P���a���, calc�l��a��� � de��i� �ad��� de X . . Ag��a, a �a�i��el alea���ia � a ��������� a�����al ( pˆ ). U�a��� a ��������� a�����al �a�a e��i�a� a ��������� ����laci��al. Va��� calc�la� � de��i� �ad��� de pˆ .
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� pq
σ pˆ =
n
E a��i �e��� �� ���ble�a. ���ble�a. Pa�a calc�la���� � de��i� �ad��� de pˆ , ��eci�a��� c��hece� c��hece� a ��������� ����laci��al ( p ), ��e � j���a�e��e � �al�� ��e ��e�e�de��� e��i�a�. N�� �e��� c��� calc�la� � de��i� �ad��� de pˆ . P�de���, �� ���i��, e��i�a�l�, ��b��i��i�d� p ��� pˆ s pˆ
pˆ qˆ
=
n
A a�����a fei�a �e��l��� e�: pˆ = qˆ
=
0,5
P���a���: s pˆ
=
0,5 × 0,5 4
=
0,5 2
=
0,25
Q�a��� �a���: e�c����a� � i��e��al� de c��fia��a. Pa�a �a���, �abe��� ��e � i��e��al� de c��fia��a � da f���a: pˆ − Z 0 × σ pˆ
ˆ+ ≤ p ≤ p
Z 0 × σ pˆ
S�b��i��i�d� �� �al��e�: 0,5 − 1,96 × 0, 25 ≤ p
≤
0,5 + 1,96 × 0,25
p
≤
0,5 + 0,49
0,01 ≤ p
≤
0,99
0,5 − 0, 49
≤
C�� 95% de c��fia��a, a ��������� de face� d� dad� e��ecial �e� e��� e���e 1% e 99%. A� ��c� fala e di�: �a� ��e i��e��al� �ai� i���il! E��a��� e�gl�ba�d� ��a�ica�e��e ��a�ica�e��e ��d�� �� �al��e� ������ei� �a�a a ���������. De fa��, fic�� �� i��e��al� be� g�a�de. I��� �c���e �����e a a�����a f�i �e��e�a. � b�� ��abalha���� c�� a�����a� �ai��e�, �a�a ��e � i��e��al� di�i��a. Al�� di���, a�����a� g�a�de� �a�b�� ��� ����a �a��age�. Q�a��� �ai�� a a�����a, �ai� a �a�i��el bi���ial � �e a����i�a da ����al; fica �ai� ade��ad� � ��� da �abela I. ������� 5
Calc�le � i��e��al� de 95% de c��fia��a �a�a a ��������� de elei���e� de �� ���ic��i� ��e ���a��� �� ca�dida�� A. C���ide�e ��e ��a �e���i�a c�� 100 elei���e� �e�el�� ��e, de��e�, 20% ���a��� �� �efe�id� ca�dida��. ���������.
P�i�ei�� �a���: de�e��i�a� � �al�� de Z � c���e����de��e a 95% de c��fia��a. Sabe��� ��e ��������e� ��de� �e� ��a�ada� a �a��i� de �a�i��ei� bi���iai�, ��e ��de� �e� a����i�ada�
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
�ela �a�i��el ����al. A��i�, �a�a de�e��i�a� Z �, �� ca�� de ��������e�, �a�b�� ��ili�a��� a �abela de ��ea� �a�a a �a�i��el ����al �ed��ida. �ed��ida. C����l�a�d� a TABELA I, �e��� ��e Z 0
= 1,96 .
Seg��d� �a���: de�e��i�a� �� �al��e� e��ec�fic�� de pˆ e qˆ Pa�a a a�����a fei�a, �e���: pˆ = 0,20 (��������� da a�����a) qˆ
pˆ
= 1−
=
0,80
Te�cei�� �a���: de�e��i�a� � de��i� �ad��� de pˆ s pˆ
s pˆ
=
=
pˆ qˆ n
0,20 × 0,80 100
=
0,4 10
=
0,04
Q�a��� �a���: de�e��i�a� � i��e��al� de c��fia��a. pˆ − Z 0 × s pˆ
ˆ + Z 0 × s pˆ ≤ p ≤ p
0,2 − 1,96 × 0,04 ≤ p 12,16%
≤
p
≤
0,2 + 1,96 × 0,04
≤
27,84%
C�� 95% de c��fia��a, a ��������� ����laci��al de elei���e� ��e ���a�� �� ca�dida�� A � e��� e���e 12,16% e 27,84%. Ob�e��a���: �a �e�dade, ��a�d� e�c�lhe��� a a�����a de 100 elei���e�, � ���al ��e a a�����a �eja �e� �e���i���. O� �eja, e���e�i��ad� �� elei���, � �e��� ��� �e�� ���a�e��e e�c�lhid�. Vi��� �a a�la �a��ada ��e, e� ��a �i��a��� a��i�, a �a�i��el � a�e�a� a����i�ada�e��e bi���ial. Vi��� i��� l� �� ���ic� ��b�e ��������e�. De��� � e�e��l� de ��a cidade c�� 100.000 habi�a��e�. E����a��� �e���i�a�d� a ��������� de �e���a� fa�����ei� a ��a ��l��ica ��ba�a. Fi�e��� d�i� e�e��l��. U� c�� �e���i���, ����� �e� �e���i���. M����a��� ��e a dife�e��a �a� ���babilidade� e���l�ida� e�a �e��e�a. Fi�ali�ei di�e�d� ��e, a�e�dida� alg��a� c��di��e�, a �a�i��el ��de �e� c���ide�ada a����i�ada�e��e bi���ial. J���a�e��e ag��a �e��� a i�������cia di���. Q�a�d� ��i�e���� e��abelece� i��e��al�� de c��fia��a �a�a ��a ���������, �e��� ��e a a�����age� �eja fei�a �e� �e���i���, ��de��� c���ide�a� ��e �e��� ��a �a�i��el bi���ial. Sabe��� ��e, a�e�dida� alg��a� c��di��e�, a �a�i��el bi���ial �e� di���ib�i��� ��i�� ����i�a da di���ib�i��� ����al. P���a���, ��de�e��� c����l�a� a �abela de ��ea� �a�a a �a�i��el ����al. F�i e�a�a�e��e � ��e fi�e��� �� e�e��l� aci�a.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
������� 19
����� �� 2009 �����
E� ��a �e���i�a de ��ib���� de c���e���cia e��ad�al, e� 2008, �eali�ada c�� 400 �ec�lhi�e���� e�c�lhid�� alea���ia�e��e de ��a ����la��� c���ide�ada de �a�a�h� i�fi�i��, 80% �efe�ia���e a de�e��i�ad� i������. De�eja��e c������i� �� i��e��al� de c��fia��a de 95,5% �a�a a e��i�a�i�a de��a ���������. C���ide�a�d� ����al a di���ib�i��� a�����al da f�e����cia �ela�i�a d�� �ec�lhi�e���� de��e i������ e ��e �a di���ib�i��� ����al �ad��� a ���babilidade P (−2 ≤ Z ≤ 2) = 95,5%, � i��e��al� � (A) [0,70; 0,90] (B) [0,72; 0,88] (C) [0,74; 0,86] (D) [0,76; 0,84] (E) [0,78; 0,82] ���������:
P�i�ei�� �a���: de�e��i�a� � �al�� de Z �. O e���ciad� di��e ��e:
�
Seg��d� �a���: Te�cei�� �a���:
̂
� � ��� ��� →
�
� � − ��� � ���
̂ ̂ �
�
��� � �� � ��� ��� ���
�
� �
���� ���� ���
�
��� ��
� ����
Q�a��� �a���: e�c����a�d� � i��e��al� de c��fia��a. � �
�
� � � � � � � � �� ��� � ���� ����
��������: � ������� 20
����� ����� ����
��� 4� ������ 2009 �����
Se Z �e� di���ib�i��� ����al �ad���, e����: P (Z > 1,64) = 0,05; P(Z > 2) = 0,02; P(0< Z < 1,75) = 0,46 De�eja��e e��i�a� a ��������� (�) de ���ce���� j�lgad�� ��� �� ��ib��al �egi��al d� ��abalh� d��a��e � �e���d� de 2000 a�� 2008. U�a a�����a alea���ia de 10.000 ���ce����, ����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
�eleci��ada da ����la��� (������a i�fi�i�a) de ��d�� �� ���ce����, �e�el�� ��e 5.000 f��a� j�lgad�� �� �efe�id� �e���d�. �e���d�. U� i��e��al� de c��fia��a, c�� c�eficie��e de c��fia��a de 90% �a�a �, ba�ead� �e��a a�����a, � dad� ��� (A) 0,5 ± 0,005 (B) 0,5 ± 0,0062 (C) 0,5 ± 0,0065 (D) 0,5 ± 0,0082 (E) 0,5 ± 0,01 ���������:
P�i�ei�� �a���: de�e��i�a� � �al�� de Z �. Te���:
̂ ̂ ̂ ̂ � ���� � �� →
L�g�:
−���� �
C��cl����� ��e:
� ���� � ���� ���� − �� − �� � ��� ���
�
Seg��d� �a���:
� −���� � ��
� �
����
�����
������
� ���
� � − � � � − ��� � ���
Te�cei�� �a���:
� �
�
�
��� � ��� ������
�
���
���
� �����
Q�a��� �a���: e�c����a�d� � i��e��al� de c��fia��a. � �
�
��� ��� � ���� ���� � ��� ����� �� ��� ��� � ���� ������ ��
��������: �
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
���� ����!!! �������� �� ��������� �� ���������
Se f�� i��e��al� de c��fia��a �a�a ��a ��dia e c��hece���� a �a�i��cia da ����la���, ����la���, ��ili�a��� a �abela da �a�i��el ����al. Se f�� i��e��al� de c��fia��a �a�a ��a ��dia e ��� c��hece���� a �a�i��cia da ����la���, ��ili�a��� a �abela da di���ib�i��� T (a �e��� ��e � e�e�c�ci� diga �a�a ��ili�a� a �abela da �a�i��el ����al). Se f�� i��e��al� de c��fia��a �a�a ��a ���������, ��ili�a��� a �abela da �a�i��el ����al.
4.
������A�� D� C����A��A � �A�A��� DA A�����A
S�� c����� alg��� �i��� de e�e�c�ci�� e� ��e �e �ede � �a�a�h� ��e de�e �e� a a�����a �a�a ��e �e c���iga ��a de�e��i�ada a��li��de d� i��e��al� de c��fia��a. A��e� de �e���� e��e �i�� de e�e�c�ci�, � b�� �e���� ��a ����� da �ela��� e���e a a��li��de d� i��e��al� de c��fia��a e � e��� da e��i�a�i�a. ������� 6
C���ide�e � i��e��al� de c��fia��a de 90,10% �a�a a ��dia de ��a ����la��� ����al c�� �a�i��cia 16, c�������d� a �a��i� da �eg�i��e a�����a: 2, 6, 6, 10. Q�al � e��� ���i�� c��e�id� �a e��i�a�i�a da ��dia ����laci��al? ���������.
C����l�a�d� a �abela I, �e���:
�
A ��dia a�����al �:
�
O de��i� �ad��� da ��dia a�����al �:
� � � � � � �� �
√ √
O i��e��al� de c��fia��a fica:
����
�
�� �� �
��
��
� � ���� ��� � �
O� li�i�e� d� i��e��al� ���: [2,7 ; 9,3] C�� 90,10% de c��fia��a, a ��dia ����laci��al e��� e���e 2,7 e 9,3. ����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
Q�al � �ai�� e��� ��e c��e�e��� ��a�d� ��a��� a ��dia a�����al �a�a e��i�a� a ��dia ����laci��al? I���, � cla��, c���ide�a�d� �� c�eficie��e de c��fia��a de 90,10%. A ��dia a�����al e��� be� �� �ei� d� i��e��al� de c��fia��a. L�g�, � e��� �e�� �ai�� �e a ��dia ����laci��al e��i�e� e� ��a da� e���e�idade� d� i��e��al� de c��fia��a. O e��� �e�� ���i�� �e a ��dia ����laci��al f�� ig�al a 2,7 �� �e ela f�� ig�al a 9,3. N� ��i�ei�� ca��, � e��� c��e�id� fica: erro = X − µ erro
=
6 − 2,7
=
3,3
N� �eg��d� ca��, � e��� c��e�id� �: erro
=
6 − 9,3 = −3,3
E� ��al��e� �� de��e� d�i� ca���, � ��d�l� d� e��� � de 3,3. � c���� ��e �� e�e�c�ci�� ig���e� a �ala��a ��d�l� e diga� a�e�a� �e����. De��e ��d�, di�e��� ��e, ��� d�i� ca��� aci�a, � e��� c��e�id� f�i de 3,3. E����, ��a�d� � e�e�c�ci� �e �efe�i� a e��� ���i�� c��e�id�, ele ��e� ��e a ge��e �����ha ��e a ��dia ����laci��al e��� j���a�e��e �a e���e�idade d� i��e��al� de c��fia��a. N��e ��e � e��� ���i�� � �e���e �e�ade da a��li��de d� i��e��al� de c��fia��a. Ne��e e�e��l�, � i��e��al� de c��fia��a e�a [2,7 ; 9,3] S�a a��li��de �: Amplitude
=
9,3 − 2,7
=
6,6
E a �e�ade da a��li��de �: Amplitude 2
=
6,6 2
=
3,3
���� ����!!! ���� ������ ��������, ���� ����������� ����� �� ���������:
C���e����de � �e�ade da a��li��de d� i��e��al� de c��fia��a N� ca�� d� i��e��al� de c��fia��a �a�a a ��dia, ��a�d� a �a�i��cia da ����la��� � c��hecida, �e���: X − Z 0σ X
≤ µ ≤ X +
Z 0σ X
A a��li��de d� i��e��al� de c��fia��a �:
(
Amplitude = X + Z 0σ X
) − ( X − Z σ ) = 2Z σ 0
X
0
X
L�g�, � e���, ��e � ig�al � �e�ade da a��li��de, � e���e��� ���: erro _ max = Z 0σ X
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
N� ca�� d� i��e��al� de c��fia��a �a�a a ��dia, ��a�d� a �a�i��cia da ����la��� � de�c��hecida, de�c��hecida, �� c�lc�l�� ��� a��l�g��. Fica��� c��: erro _ max = t 0 s X
P�� fi�, �� ca�� d� i��e��al� de c��fia��a �a�a a ���������, � e��� ���i�� �: erro _ max = Z 0 s pˆ
���� ����!!! ���� ������ ��������
E��i�a��� da ��dia, c�� �a�i��cia ����laci��al ����laci��al c��hecida: erro _ max = Z 0σ X
E��i�a��� da ��dia, c�� �a�i��cia ����laci��al de�c��hecida: erro _ max = t 0 s X
E��i�a��� da ���������: ���������: erro _ max = Z 0 s pˆ
Sabe�d� di���, �a��� a�� e�e�c�ci�� de c��c����. ������� 21
����� 2010 �����
Seja X ��a �a�i��el alea���ia ����al�e��e di���ib��da �e��e�e��a�d� � �al��i� d�� e���egad�� e� �� de�e��i�ad� �a�� de a�i�idade. U�a a�����a alea���ia de 100 e���egad�� f�i �eleci��ada e a�������e �� i��e��al� de c��fia��a de 95% �a�a a ��dia de X c��� �e�d� [760,80; 839,20], �����d� a ����la��� de �a�a�h� i�fi�i�� e �abe�d���e ��e � de��i� �ad��� ����laci��al � ig�al a R$ 200,00. Ca�� � �a�a�h� da a�����a �i�e��e �id� de 1.600 e �b�e�d���e a �e��a ��dia a��e�i��, � i��e��al� de c��fia��a de 95% a��e�e��a�ia ��a a��li��de ig�al a (A) R$ 78,40. (B) R$ 39,20. (C) R$ 49,00. (D) R$ 58,80. (E) R$ 19,60. ���������:
A a��li��de d� i��e��al� de c��fia��a � dada ���:
� �
����� ����� �������
�
���.�������������������.���.��
��
√ � �
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
�
Q�a�d� � �a�a�h� da a�����a � 100, a a��li��de �:
������ ������ − ������ ������ � ����
E� �eg�ida, � �a�a�h� da a�����a � a��e��ad� �a�a 1600. V�� cha�a� e��e ���� �a�a�h� de a�����a de �
O �a�a�h� da a�����a � ��l�i�licad� ��� 16.
A ���a a��li��de ( ′) fica:
√ √ √ √ √
� ��
��
��
��
�
�
�
� �
�� ��
�
�
�
�� ��
�
� �
E���e �a����e�i�, �e��� a a��li��de ��igi�al:
��������: �
� �� ��� ��� � � � ����� �
Re���i�d� � ��e fi�e���: O �a�a�h� da a�����a f�i ��l�i�licad� ��� 16. L�g�, C���
√
√
f�i ��l�i�licad� ��� 4.
e��� �� de���i�ad��, e���� a a��li��de f�i di�idida ��� 4.
������� 22
��� �� 2009 �����
A d��a��� de �ida de �� de�e��i�ad� e��i�a�e��� a��e�e��a ��a di���ib�i��� ����al c�� ��a �a�i��cia ����laci��al ig�al a 100 (dia�) �. U�a a�����a alea���ia de 64 de��e� e��i�a�e���� f���ece� ��a ��dia de d��a��� de �ida de 1.000 dia�. C���ide�a�d� a ����la��� de �a�a�h� i�fi�i��, �� i��e��al� de c��fia��a de ( 1 − α ) c�� a��li��de a��li� �de de 4,75 dia� �a�a a ��dia f�i c�������d�. Ca�� � �a�a�h� da a�����a �i�e��e �id� de 400, �b�e�d�� �e a �e��a ��dia de 1.000 dia�, a a��li��de d� i��e��al� de c��fia��a de ( 1 − α ) �e�ia de (A) 0,950 dia�. (B) 1,425 dia�. (C) 1,900 dia�. (D) 2,375 dia�. (E) 4,750 dia�.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
���������:
A����ei�a�d� � �aci�c��i� da ��e���� a��e�i��. O �a�a�h� da a�����a �al��� de 64 �a�a 400. O� �eja, f�i ��l�i�licad� ��� 6,25. L�g�,
√
f�i ��l�i�licad� ��� 2,5.
C���e��e��e�e��e, a a��li��de �e�� di�idida ��� 2,5 ���� � ��� ���
��������: �
Pa�a ��e� ��efe�i� ��a ��l���� �ai� de�alhada, �e��� � �eg�i��e. I�icial�e��e, a a�����a �e� �a�a�h� 64 e a a��li��de d� i��e��al� de c��fia��a f�i de 4,75.
√ √ √ √ √ � �
�
���� � �
�
�� ��
E� �eg�ida, � fei�a ���a a�����age�, de �a�a�h� 400. A a��li��de �
������� 23
��
��
� �
��
�
�
.
�
�
��� ���
�� �� � ����
�� ��
� ���� �
�
�
���
�
���� ����
� ���
�����/2006 �����.
O� ��e��� de �� de�e��i�ad� ���d��� �e�did� �� �e�cad� ��� ��a di���ib�i��� ����al c�� de��i� �ad��� ����laci��al de R$ 20,00. P�� �ei� de ��a �e���i�a �eali�ada c�� ��a a�����a alea���ia de �a�a�h� 100, c�� �� de�e��i�ad� ���el de c��fia��a, a�������e, �a�a a ��dia de��e� ��e���, �� i��e��al� de c��fia��a �e�d� [R$ 61,08; R$ 68,92]. A �e��a ��dia a�����al f�i �b�ida ��ad���lica�d� � �a�a�h� da a�����a e ��ili�a�d� �a�b�� � �e��� ���el de c��fia��a. N�� d�i� ca��� c���ide�����e i�fi�i�� � �a�a�h� da ����la���. ����la���. O ���� i��e��al� de c��fia��a e�c����ad� �� �eg��d� ca�� f�i: a) [R$ 63,04; R$ 66,96]
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
b) [R$ 62,06; R$ 67,94] c) [R$ 61,57; R$ 68,43] d) [R$ 61,33; R$ 68,67] e) [R$ 61,20; R$ 68,80] ���������.
Na ��i�ei�a �e���i�a, � i��e��al� de c��fia��a f�i [R$ 61,08; R$ 68,92]. A ��dia a�����al ( X ) c���e����de a� ����� ��di� ��di� d� d� i��e��al� i��e��al � de c��fia��a. c��fia�� a. P���a���, �e��a ��i�ei�a a�����age�, a ��dia a�����al �b�ida f�i: X =
68,92 + 61,08 2
=
65
A a��li��de d� i��e��al� � dada ���: ����� ����� − ����� ����� � ����
Na �eg��da �e���i�a, a �e��a ��dia a�����al f�i �b�ida. J� a a�����a �e�e �e� �a�a�h� ��ad���licad�. O ���� �a�a�h� da a�����a fica: n' = 4 n
C�� i���,
√
f�i d��licad�. C��� c���e����cia, a a��li��de f�i di�idida ��� 2.
A ���a a��li��de �: ���� �
� ����
C�� i���, � ���� i��e��al� � ce���ad� e� 65, c�� a��li��de de 3,92. I��� ��� �e��i�e acha� �� li�i�e� d� ���� i��e��al� de c��fia��a: 65 + 65 −
3,92
2 3,92
2
= 66,96
= 63,04
L�g�: 63,04 ≤ µ ≤ 66,96
��������: �. ������� 24
���������� �� ��� ����� 2007 �����
Pa�a �e����de� � ��e���� �eg�i��e, ��ili�e, de���e a� i�f���a��e� abai��, a� ��e j�lga� ade��ada�. Se Z �e� di���ib�i��� ����al �ad���, e����: P (0 < Z < 1)
=
P (0 < Z < 1,6)
0,341 =
0, 445
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� P (0 < Z < 2) = 0, 477
U�a �a�i��el alea���ia � �e� di���ib�i��� ����al c�� ��dia µ e de��i� �ad��� 100. O �a�a�h� da a�����a �a�a ��e a dife�e��a, e� �al�� ab��l���, e���e a ��dia a�����al e µ �eja �e��� d� ��e 2, c�� c�eficie��e de c��fia��a de 89% �: a) 1.000 b) 2.200 c) 2.800 d) 3.600 e) 6.400 ���������.
O e�e�c�ci� fi��� � e��� ���i�� a �e� c��e�id� e, �a�a ��e i��� �c���a, �e�g����� ��e �a�a�h� de�e �e� a a�����a. O e��� ���i�� c��e�id� � ig�al a: erro _ max = Z 0σ X
Pa�a a�lica� a f����la, �e��� ��e e�c����a� Z � a���ciad� a 89% e � de��i� �ad��� de X . . Sabe��� ��e P (0 < Z < 1,6) = 0,445 . L�g�, a ��ea �e�de da fig��a abai�� � ig�al a 0,445:
C��� � g��fic� � �i����ic�, e���� a ��ea �e�de da fig��a abai�� � ig�al a 0,89:
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
De��e ��d�, a ���babilidade de Z e��a� e���e �1,6 e 1,6 � ig�al a 89%. Z 0
= 1,6
Va��� a� de��i� �ad��� de X . . σ X
=
σ n
=
100
n
E�c����ad�� �� �al��e� de Z � e de σ X , ��de��� e�c����a� � e��� ���i�� c��e�id�. erro _ max = Z 0σ X erro _ max
= 1,6 ×
100
n
E � e�e�c�ci� di��e ��e � e��� ���i�� � ig�al a 2. 2 = 1,6 ×
100
n
I��la�d� � ���: n
= 1,6 ×
100 2
=
80 ⇒ n = 6400
��������: �.
Di�e��� ��e, �a�a ��e � e��� ���i�� c��e�id� �eja ig�al a 2, a a�����a de�e �e� �a�a�h� 6400 (c���ide�a�d� (c���ide�a�d� �� c�eficie��e de c��fia��a de 89%). ������� 25
��� 3� ������ 2009 �����
Se Z �e� di���ib�i��� ����al �ad���, e����: P(Z > 1,64) = 0,05, P(Z > 2) = 0,02, P(0 < Z < 2,4) = 0,49, P(0 < Z < 0,68) = 0,25 Se � �e� � e� di���ib�i��� de S��de�� c�� 3 g�a�� de libe�dade P(�
����� ����� �������
>
1,638) = 0,10
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
Se � �e� � e� di���ib�i��� de S��de�� c�� 4 g�a�� de libe�dade P(�
>
1,533) = 0,10
A e��e�i��cia c�� ��abalhad��e� de ��a ce��a i�d����ia i�dica ��e � �e��� �e��e�id� �a�a ��e �� ��abalhad��, alea���ia�e��e �eleci��ad�, �eali�e �� �e��i��, � di���ib��d� de �a�ei�a a����i�ada�e��e ����al c�� de��i� �ad��� de 12 �i�����. De�eja��e, ��� �ei� de ��a a�����a alea���ia, c�� �e���i���, e��i�a� a ��dia ����laci��al. O �a�a�h� de��a a�����a, �a�a ��e a dife�e��a e� �al�� ab��l��� e���e � �e�dadei�� �al�� ����laci��al e ��a e��i�a�i�a �eja de �� ���i�� 2 �i�����, c�� ���babilidade de 96%, � (A) 64 (B) 81 (C) 100 (D) 144 (E) 196 ���������:
C��� c��hece��� � de��i� �ad��� ����laci��al, ��ili�a��� a di���ib�i��� ����al, e ��� a di���ib�i��� � de S��de��. O �al�� de Z �, ��e deli�i�a � i��e��al� de 96% � ig�al a 2. Ba��a ���a� ��e:
√ √ √ � � � �� →
L�g�:
−� �
O� �eja:
� � � ���� ���� − �� − �� � ��� ���
�
Fica��� c��:
� −� � ��
�
�
����
�
�
��
� � �� �
� ��
� �� � ���
��������: � ������� 7
De�eja��e e��i�a� a ��������� de elei���e� de �� ���ic��i� ��e ���a�� �� ca�dida�� A. Pa�a �a���, b��ca��e ��e, c�� �� c�eficie��e de c��fia��a de 95%, � e��� ���i�� c��e�id� �eja de 2% (�a�a �ai�, �� �a�a �e���).
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
a) � ������el, c�� �� dad�� f���ecid��, de�e��i�a� � �a�a�h� da a�����a �a�a ��e � e��� ���i�� �eja de 2%? P�� ���? b) �����d� �a�i��cia ���i�a, ��al � �a�a�h� da a�����a �a�a ��e � e��� ���i�� �eja de 2%? c) �a�i�i�a�d� � �al�� de �� ��al � �a�a�h� da a�����a �a�a ��e � e��� ���i�� �eja de 2%? d) �����d� ��e a �l�i�a �e���i�a i�dic�� 36% de ����� �a�a e��e ca�dida��, ��al � �a�a�h� da a�����a �a�a ��e � e��� ���i�� �eja de 2% ���������.
Le��a A. A f����la d� e��� ���i�� �: erro _ max = Z 0 s pˆ
O e��� ���i�� fi�ad� � ig�al a 0,02. O ���el de c��fia��a � de 95%, � ��e i��lica e� Z � ig�al a 1,96. E �abe��� ��e s pˆ
=
pˆ qˆ n
.
S�b��i��i�d� S�b��i��i�d� ��da� e��a� i�f���a��e�: 0,02 = 1,96 ×
pˆ qˆ n
Le�b�a�d� ��e: qˆ = 1 − pˆ . 0,02
= 1,96 ×
pˆ × (1 − pˆ ) n
Te��� ��a ��ica e��a��� e d�a� �a�i��ei�. Pa�a de�c�b�i���� � �al�� de � ��, ��eci�a��� d� �al�� de pˆ . P�eci�a��� d� �al�� da ��������� a�����al. A� fic�� dif�cil. Ai�da ��� fi�e��� a a�����age�. Q�e�e��� j���a�e��e calc�la� ��e �a�a�h� de�e �e� e��a a�����a �a�a ��e � e��� �eja de, �� ���i��, 2% (�a�a �� c�eficie��e de c��fia��a de 95%). De��i� ��e ���be���� � �a�a�h� da a�����a, a� �i� fa�e��� a a�����age�. S� e���� �b�e�e��� a ��������� a�����al. Re���i�d�: �a�a de�c�b�i� � �a�a�h� de � ��, ��eci�a��� da ��������� a�����al. E �� fa�e��� a a�����age� (�b�e�d� a ��������� a�����al), de��i� ��e ���be���� � �al�� de ���. Fica��� �e� �a�da. N�� d� �a�a �e��l�e� � ���ble�a c�� � e���ciad� f���ecid�. O ��e fa�e�? B��, h� d�a� ����e�, li��ada� �a� le��a� B, C e D. Le��a� B e C.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
U�a f���a de �e��l�e� � ���ble�a li��ad� �a le��a A � a ��e �eg�e. A e��i�a�i�a da �a�i��cia de pˆ � dada ���: σ pˆ σ pˆ
2
=
2
=
pˆ × (1 − pˆ ) n
pˆ − pˆ 2 n
−1
=
n
pˆ 2
+
1
n
pˆ
Pa�a �� dad� �al�� de � ��, ��e �al�� de � pˆ � �a�i�i�a a �a�i��cia aci�a? De ����a f���a: �a�a �� �al�� fi�ad� de � ��, ��al � �al�� de � pˆ � ��e ����a a �a�i��cia a �ai�� ������el? P�de��� i��e���e�a� a e��a��� aci�a c��� ��a f����� de �eg��d� g�a� (� g��fic� � ��a �a��b�la). I��� � �a���ia l� d� e��i�� ��di�. L� a ge��e e���da c��� e�c����a� � ����ice da �a��b�la (��e c���e����de a�� �al��e� de ���i�� �� ���i��). C���ide�e ��a f����� de �eg��d� g�a� d� �i��: y
ax 2
=
+ bx +
c
O �al�� de � ��e ��e �a�i�i�a (�� �i�i�i�a, de�e�de�d� d� �al�� de � ��) a f����� � �: x
= −b / 2 a
A�lica�d� e��e �e��l�ad� a� ����� ca��, �e��� ��e � �al�� de � ��e �a�i�i�a a �a�i��cia �: pˆ
=
− 1 / n
2 × ( −1 / n)
=
0,5
O ca�� e� ��e a �a�i��cia � a �ai�� ������el �c���e ��a�d� a ��������� ����laci��al � ig�al a 50%. Vi��� ��e: fi�ad� �� a �a�i��cia �e�� ���i�a �e pˆ = qˆ
=
0,5 .
P�� ����� lad�, fi�ad� � �al�� d� e���, � �e�� ���i�� �e pˆ = qˆ
=
0,5 .
Veja�: erro _ max = Z 0 s pˆ erro _ max
=
Z 0
×
pˆ qˆ n
L�g�: n = Z 0
2
n = Z 0
2
pˆ qˆ (erro _ max)
2
pˆ × (1 − pˆ ) (erro _ max)
2
Pa�a �� dad� �al�� de Z �, fi�ad� � e��� ���i��, �e��� ��e � �e�� ���i�� ��a�d� �a�i�i�a���� � ���e�ad�� pˆ × (1 − pˆ ) . Te��� ��a �a��b�la, e� ��e � ����ice ����ic e �c���e j���a�e��e �� �� ����� 0,5.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
O� �eja, ��e pˆ = qˆ
=
0,5 �e a ��e���� di��e�:
� ��e � ���i��; � ��e �a�i��cia ���i�a ���� ����!!! N� c�lc�l� d� �a�a�h� da a�����a �a�a e��i�a� ��a ���������, ����� ��e e�e�c�c i� di��e�: p = 0,5 �e���e ��e � e�e�c�ci� � C���ide�e �a�i��cia ���i�a � C���ide�e � ���i��. Q�a�d� fi�a��� a ��������� e� 0,5, �a�a efei��� de de�e��i�a��� d� �a�a�h� da a�����a, �a �e�dade, e��a��� ��abalha�d� c�� a hi���e�e �ai� c���e��ad��a. E��a � a al�e��a�i�a ��e �a�i�i�a � �al�� de � ��. T�abalha� c�� ��a a�����a �ai�� �e���e � alg� �ai� c���e��ad��. A��i�, �� ��d� de �f�gi�� d� ���ble�a li��ad� �a le��a �A� � ����� ��e a ��������� � ig�al a 50%. A��i�, ��abalha�e��� c�� �� �al�� de � �� g�a�de. Ag��a ��de��� acha� � �a�a�h� da a�����a. erro _ max = Z 0 s pˆ 0,02
S����d� ��e pˆ = qˆ
=
= 1,96 ×
pˆ × (1 − pˆ ) n
0,5 , �e���:
0,02
= 1,96 ×
0,5
n
⇒
n
=
49
2
=
2401
A a�����a ��eci�a �e� �a�a�h� 2401 (�a��� �a le��a B ��a��� �a le��a C). Le��a D. O���a �a�da �a�a � ���ble�a li��ad� �a le��a A � fa�e� ��a a�����age� ��eli�i�a�. ��eli�i�a�. P�de��e fa�e� ��a a�����age� �e���, �ai� ���ida, de ��d� a �b�e� �� �al�� de pˆ . O� e���� ��a� alg��a i�f���a��� a��e�i�� di������el. Ob�id� e��e �al�� ��eli�i�a� de pˆ , ��de��� calc�la� � �al�� de ��� e, e� �eg�ida, fa�e� a a�����age� ��a�a �ale��. Na le��a D, �abe��� ��e a �l�i�a �e���i�a �e�el�� ��e � ca�dida�� �e� 36% da� i��e���e� de ����. Va��� ��a� �� dad�� de��a �e���i�a a��e�i�� �a�a calc�la���� � �al�� de ���. Va��� ����� ��e pˆ � 36%. De��e ��d�, �e���: erro _ max = Z 0 s pˆ
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� 0,02 = 1,96 ×
0,02
= 1,96 ×
0,6 × 0,8
0,36 × 0,64
n ⇒
n
n
=
2.212,762
A����i�a�d� �a�a � ���e�� i��ei�� �eg�i��e: n = 2.213
A a�����a ��eci�a �e� �a�a�h� 2.213. N��e � �a�a�h� e�c����ad� �a�a a a�����a �a le��a D f�i �e��� ��e � e�c����ad� �a� le��a� B e C. I��� �����e, �a� le��a� B e C, ��a��� a hi���e�e e� ��e � � � �ai�� ������el. � a hi���e�e �ai� c���e��ad��a (����� ��e � = 0,5). ������� 26
���������� �� ����� 2007 �����
Pa�a �e����de� � ��e���� �eg�i��e c���ide�e, de���e �� dad�� abai��, a��ele� ��e j�lga� a�����iad��. Se Z �e� di���ib�i��� ����al �ad���, e����: P ( Z > 2)
=
0,023 ; P (0 < Z < 1,6)
=
0, 445 ; P ( Z < 1)
=
0,84 ; P ( 0 < Z < 2,33)
=
0, 49
Pa�a e��i�a� a ��������� de c��a de �� �edica�e��� a��i�a�a�i���i� �eali�����e �� e��e�i�e��� cl��ic�, a�lica�d���e � �edica�e��� e� ��� d�e��e� e�c�lhid�� a� aca��. Ne��a a�����a f�i c���ide�ad� ��e 80% d�� d�e��e� f��a� c��ad��. C�� ba�e �e��a� i�f���a��e� e ��ili�a�d� � Te��e�a Ce���al d� Li�i�e, � �al�� de �, �a�a ��e � e��� c��e�id� �a e��i�a��� �eja �� ���i�� 0,08, c�� c��fia��a de 89%, � de: a) 16 b) 25 c) 36 d) 49 e) 64 ���������. P�de��� i��e���e�a� ��e, �a a�����a ��eli�i�a�, a ��������� de c��a �e�ificada f�i de 80%. A �a��i� de��e �al��, ��de��� calc�la� � �al�� de � �� �a�a ��a �eg��da a�����age�, de �al f���a ��e � e��� ���i�� �eja de 0,08. A f����la d� e��� ���i�� �: erro _ max = Z 0 s pˆ
P�i�ei��, �a��� e�c����a� Z �. Sabe��� ��e P (0 < Z < 1,6) = 0,445 . L�g�, a ��ea �e�de da fig��a abai�� � ig�al a 0,445:
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
C��� � g��fic� � �i����ic�, e���� a ��ea �e�de da fig��a abai�� � ig�al a 0,89:
De��e ��d�, a ���babilidade de Z e��a� e���e �1,6 e 1,6 � ig�al a 89%. Z 0
= 1,6
Ag��a �a��� acha� s pˆ s pˆ
pˆ qˆ
=
n
S�b��i��i�d� �� �al��e� da a�����a ��eli�i�a�: s pˆ
=
0,8 × 0,2
n
=
0,4
n
V�l�a�d� �a f����la d� e��� ���i��: erro _ max = Z 0 s pˆ
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� 0,4
0,08 = 1,6 ×
n
I��la�d� �: n
=
64
⇒
8
n
=
64
��������� �. ������� 27
��� 2� ������ 2008 �����
E� ��a cidade, c���ide�ada c�� ��a ����la��� de �a�a�h� i�fi�i��, � fei�� �� e���d� �bje�i�a�d� de�ec�a� a ��������� de habi�a��e� ��e ��efe�e� a �a�ca d� �ab��e�e X. U�a a�����a �il��� f���ece� �� �al�� de 20% �a�a e��a ���������. De�eja��e �b�e� �� i��e��al� de c��fia��a de 95% �a�a a ���������, �e�d� � i��e��al� ��a a��li��de de 10%. Se a di���ib�i��� a�����al da f�e����cia �ela�i�a d�� habi�a��e� ��e ��efe�e� a �a�ca d� �ab��e�e X � ����al e ��ili�a�d� a i�f���a��� da di���ib�i��� ����al �ad��� (Z) ��e a ���babilidade P(�Z� ≤ 2) = 95%, �e���e ��e � �a�a�h� da a�����a de�e �e� de (A) 400 (B) 361 (C) 324 (D) 289 (E) 256 ���������� O �al�� de Z � dad� �a ��e���� � ig�al a 2. Ag��a ��a��� a f����la da a��li��de d� i��e��al� de c��fia��a:
̂ √ √ � � �
� ��
�
� � � � �
�
�
��� ��� � � � � �
��� � �� � ��� ���
��� � �� � ��� ��� ���
� ��
� ���
��������� �
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
������� 28
��� �� 2006 �����
Pa�a �e��l�e� a ��e���� abai��, c���ide�e a� �abela� a �eg�i�. Ela� f���ece� alg��� �al��e� da di���ib�i��� F(�). A �abela 1 �efe�e��e � �a�i��el ����al �ad���, a� �abela� 2 e 3 �efe�e�� �e � �a�i��el � de S��de�� c�� 15 e 16 g�a�� de libe�dade, �e��ec�i�a�e��e: Tabela 1 � F(�) 1,60 0,945 1,64 0,950 2,00 0,977
Tabela 2 � F(�) 1,753 0,95 2,248 0,98 2,583 0,99
Tabela 3 � F(�) 1,746 0,95 2,235 0,98 2,567 0,99
U� e�ge�hei�� e�ca��egad� d� c�����le de ��alidade de�eja e��i�a� a ��������� � de l���ada� defei����a� de �� l��e, c�� ba�e ���a a�����a de �a�a�h� 400. Sabe��e, c�� ba�e e� e��e�i��cia� a��e�i��e�, ��e � de�e e��a� ����i�� de 0,5. U�a�d� � �e��e�a d� li�i�e li�i� e ce���al �a�a e��i�a� a a��li��de d� i��e��al� de c��fia��a c��fia ��a de 90% �a�a �, ��de��� afi��a� ��e a a��li��de d� i��e��al� de c��fia��a �, a����i�ada�e��e, a����i�ada�e��e, ig�al a: a) 0,041 b) 0,045 c) 0,058 d) 0,070 e) 0,082 ���������. ���������. O e��� ���i�� c��e�id� �: erro _ max = Z 0 s pˆ
Va��� acha� � �al�� de Z � a���ciad� a 90% de c��fia��a. C����l�a�d� a �abela 1, �e��� ��e 90% d�� �al��e� de Z � e���� e���e �1,64 e 1,64. Z 0
= 1,64
Va��� acha� � �al�� de s pˆ s pˆ
s pˆ
=
=
0,5 × 0,5 400
pˆ qˆ n =
0,5 20
=
0,025
V�l�a�d� �a f����la d� e���: erro _ max = Z 0 s pˆ erro _ max
= 1,64 × 0,025 =
0,041
A a��li��de d� i��e��al� de c��fia��a � � d�b�� d� e��� ���i��.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� Amplitude
=
0,082
��������� �. ������� 2�
��� �� 200� �����
E� ��a cidade c�� ��a g�a�de ��a��idade de elei���e�, ce��� ca�dida�� e�c��e�da ��a �e���i�a �i�a�d� �e�ifica� ��al �e�� a ��������� de ����� a �e� fa���, e��abelece�d� ��e � e��� a�����al da ��������� �eja �� ���i�� 2%. Pa�a a �e���i�a c���ide�����e ����al a di���ib�i��� a�����al da f�e����cia �ela�i�a d�� elei���e� ��e �a�ife��a�a� �e� i��e�e��e e� ���a� �� ca�dida�� e ��e �a di���ib�i��� ����al �ad��� (Z) a ���babilidade P (�Z�≤ 1,8) = 93%. O �e��l�ad� da �e���i�a a��e�e���� ��a �a�i��cia c�� �al�� ���i�� e c�� �� i��e��al� de c��fia��a de 93%. O �a�a�h� da a�����a f�i e���� de (A) 8.000 (B) 5.000 (C) 4.000 (D) 2.500 (E) 2.025 ���������� Q�a�d� a �a�i��cia � ���i�a, �abe��� ��e a ��������� a�����al � ig�al a 0,5.
̂ ̂ √ �
O e��� ���i�� fica:
� ���
�
�
���� � ��� �
� �� ��� �
�
�
� �
��� � �� � ��� ���
���
����
� ��
� �� � �����
��������� � ������� 30
����� �� 2007 �����
U�a �e���i�a �ece��e f�i �eali�ada �a�a a�alia� � �e�ce���al da ����la��� fa�����el � elei��� de �� de�e��i�ad� ����� ������ic� �a�a c����a� �� �el� c��e���a�i�� de a�i�e����i� da cidade. Pa�a i���, �eleci������e ��a a�����a alea���ia �i��le� e���a�da de ��a ����la��� i�fi�i�a. O �e��l�ad� a����� 50% de i��e���� de ����� �a�a e��e �����
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
������ic�. C���ide�a�d� ��e a �a�ge� de e��� f�i de 2 ������ �e�ce���ai�, �a�a �ai� �� �a�a �e���, e ��e � ���el de c��fia��a ��ili�ad� f�i de 95%, f��a� ���ida�, a����i�ada�e��e: (A) 50 �e���a�. (B) 100 �e���a�. (C) 1.200 �e���a�. (D) 2.400 �e���a�. (E) 4.800 �e���a�. ���������� O e��� ���i�� � dad� ���: pˆ qˆ
erro _ max = Z 0 ×
n
P�de��� fa�e� a c����l�a de Z � �a �abela da di���ib�i��� ����al c�l�cada a� fi�al da a�la. Ma�, de �a��� a�a�ece� e��e �e�ce���al de 95%, j� �abe��� ��e Z � � ig�al a 1,96. S�b��i��i�d� �� �al��e�: 0,02 = 1,96 ×
0,02
n
0,5 × 0,5
n
= 1,96 ×
= 1,96 ×
0,5
0,5 0,02
n =
49
n = 2401
F��a� ���ida� 2401 �e���a�. A����i�a�d�, �e��� 2.400. ��������� � ������� 31
����� �� 200� �����
Pa�a e�a�i�a� a ��i�i�� de ��a ����la��� ��b�e ��a �������a, f�i ����ada ��a �e���i�a de ��i�i�� e� ��e f��a� ���ida� 1680 �e���a�, da� ��ai� 51,3% �e decla�a�a� fa�����ei� � �������a. O� a�ali��a� �e�������ei� de�e��i�a�a� ��e a �a�ge� de e��� de��e �e��l�ad�, e� �� de�e��i�ad� ���el de c��fia��a, e�a de 2 ������ �e�ce���ai�, �a�a �ai� �� �a�a �e���. C���ide�a�d� ��e f���e de�ejada ��a �a�ge� de e��� de 1 ����� �e�ce���al, �a�a �ai� �� �a�a �e���, �� �e��� ���el de c��fia��a, a��i�ale a al�e��a�i�a ��e i�di��e � ���e�� de �e���a� ��e de�e�ia� �e� ���ida�. (A) 840 (B) 2520
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
(C) 3360 (D) 5040 (E) 6720 ���������� A �a�ge� de e��� � ig�al � �e�ade da a��li��de d� i��e��al� de c��fia��a. erro _ max = Z 0 ×
pˆ qˆ n
A ��ica c�i�a ��e ��de�e��� al�e�a� � � de���i�ad�� (�al�� de de���i�ad��, �a�a ��e � e��� ���i�� �eja di�idid� ��� 2.
n ). Te��� ��e d�b�a� �
Pa�a ��e i��� ac���e�a, � �a�a�h� da a�����a de�e �e� ��ad���licad�. n' = 4 n = 6720
��������� �
A����A: Ca����i���, O ��e �e� a �eg�i� � alg� j� e���e�a�e��e de�alhad� �a�a �� �ad��e� de ��a ����a abe��a a ca�dida��� de ��da� a� ��ea� de f���a���, c��� � � ca�� d� AFRFB. O� �eja, a cha�ce de c�b�a��a de alg�� d�� ���ic�� ��e ab��da�e��� �a �e����cia � ��i�� �e��e�a. E����, c���ide�e� � �e��a��e da a�la c��� ������� ��������. �������� . U� e���a. Ok? O ��e �eal�e��e i�����a �a a�la de h�je � ��e ��c�� �aiba�: •
calc�la� �� e��i�ad��e� �����ai� �a�a ��dia, �a�i��cia e ���������
•
calc�la� i��e��al� de c��fia��a �a�a ��dia e ���������;
•
de�e��i�a� � �a�a�h� da a�����a �a�a c���eg�i� li�i�a� � e��� ���i�� c��e�id�.
O� �eja, � i�����a��e f�i a �a���ia dada a�� e��e �����. Da��i �a�a f�e��e, a i�������cia d�� a������� � ��i�� �e��� (c���ide�a�d�, � cla��, a cha�ce de c�b�a��a e� ����a).
5.
�A��� D� C������� �A�A �����A���� �����A�
Q�a�d� a a�����age� � fei�a �e� �e���i���, a �a��i� de ��a ����la��� fi�i�a, cada e���a��� ��� � i�de�e�de��e da� de�ai�. A�e�a� di���, �e ��de���� c���ide�a� a ����la��� be� g�a�de, � �a����el c���ide�a� ��e cada e���a��� � i�de�e�de��e da� de�ai�. C����d�, ��a�d� � �a�a�h� da ����la��� (e� �ela��� a� �a�a�h� da a�����a) ��� f�� ��� g�a�de, a a����i�a��� fica ��i�.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
Seg��d� � a���� Willia� J S�e�e����, �e a a�����a f�� ���e�i�� a 5% da ����la���, a a����i�a��� fica ��i�. Ne��e� ca���, ��a�d� e��i�e���� calc�la�d� � i��e��al� de c��fia��a, ��eci�a�e��� a�lica� �� fa��� de c���e���. � � cha�ad� fa��� de c���e��� �a�a ����la��� fi�i�a. O fa��� de c���e��� �: N − n N − 1
��de � � � �a�a�h� da ����la��� e � � � �a�a�h� da a�����a. Ne��e ca��, �� �al��e� d�� de��i����ad��� da ��dia a�����al e da ��������� a�����al fica�: σ X s pˆ
=
=
σ n pˆ qˆ n
×
×
N − n N − 1 N − n N − 1
E��e fa��� de c���e��� aci�a e���dad�, c�� a �ai� ��ad�ada, ��ad�ada, �ale �a�a �� de��i�� �ad���. Pa�a c���igi���� a �a�i��cia, � fa��� � ele�ad� a� ��ad�ad�, ����a�d���e:
−
− �
������� 32
�� ���� 200� �����
U�a e���e�a �e� �� ���al de 200 cab�� e� e�����e. U�a e��e�i��cia c�� 64 dele�, �eleci��ad�� a� aca��, a��e�e���� ��a �e���� de ������a ��dia de 2.000 kg. C���ide�a�� �e a� �e���e� de ������a d�� cab�� ����al�e��e di���ib��da� c�� de��i� �ad��� ����laci��al ig�al a 100 kg. Pa�a �� ���el de �ig�ific��cia α �a di���ib�i��� ����al �ad��� (Z) a ���babilidade P(Z > 1) = α / 2 . A a��li��de d� i��e��al� de c��fia��a c��fia��a de (1 � α) �a�a a �e���� de ������a ��dia � (e� kg), c���ide�a�d� k =
136 199
:
(A) 12,5 k 1 −
(B) 20 k 1 −
(C) 12,5 � (D) 20 � (E) 25 � ���������. N��e� ��e a ����la��� fi�i�a � �e��e�a (200). A a�����a de �a�a�h� 64 �e��e�e��a 32% da ����la���. Va��� ��a� � fa��� de c���e��� �a�a ����la��e� fi�i�a�.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
A a��li��de d� i��e��al� de c��fia��a � ig�al a� d�b�� d� e��� ���i�� c��e�id�. A = 2 Z 0 × σ X
O �al�� de Z 0 f�i f���ecid� �el� e���ciad�. Z 0 = 1
O de��i� �ad��� da ��dia a�����al � ig�al a: σ X σ X
σ
=
=
σ X
n
100 64 =
σ X
N − n
×
N − 1 200 − 64
×
100 8
200 − 1 136
×
199
= 12,5 × k
P���a���: A
=
2 × 1 × 12,5k = 25k
��������� � ������� 33
������ 2008 �����
A �a��� da� �a�i��cia� d� e��i�ad�� de ��������� ���a ����la��� de �a�a�h� �, ��b �� e���e�a� de a�����age� alea���ia �i��le� de �a�a�h� � c�� �e���i��� e �e� �e���i��� �: (A) 1. (B) ���. (C) ���. (D) ����������). (E) ������������ ���������� Q�a�d� a a�����age� � c�� �e���i���, � e��i�ad�� fica: s pˆ
=
pˆ qˆ n
Q�a�d� a a�����age� � �e� �e���i���, � e��i�ad�� fica: s pˆ
����� ����� �������
=
pˆ qˆ n
×
N − n N − 1
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
A �a��� e���e a�b�� � dada ���:
N − n N − 1 = N − n N − 1
1÷
S� ��e e��a �ela��� aci�a � ��lida �a�a �� de��i����ad���. C��� a ��e���� �e �efe�i� � �a�i��cia, �e��� ��e ele�a� a� ��ad�ad�: N − 1 N − n
��������� � ������� 34
��� 4� ������ �����
U�a ����la��� �����i 15 ele�e���� e �e� �a�i��cia σ 2 . De��a ����la��� �e�i�a��e ��a a�����a alea���ia �e� �e���i��� de � ele�e����. Sabe�d���e ��e a ��dia a�����al de��e� � ele�e���� �e� �a�i��cia ig�al a
σ 2
, � �al�� de � � dad� ���
28
(A) 5 (B) 10 (C) 14 (D) 25 (E) 28 ����������
�
�
��
� �
�
�
�
��
�
�
�
� �
�
− − � �� − �� − �
�� − ��
�� − �
� � � �� −
� �� �� − � � � ��
� ��
��������� �
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
6.
CA�AC�������CA� D�� �����AD����
C��� j� adia��a���, alg��a� ca�ac�e����ica� d�� e��i�ad��e� ���: •
N�� �e�de�ci���� (�� ��� �iciad��)
•
De ���i�a �e����i�ilha��a �e����i�ilha��a
•
De �a�i��cia ���i�a
•
De ���i��� ��ad�ad��
6.1.
��������� ��� �����������
Seja � �� e��i�ad�� �a�a � �a���e��� α . . Di�e��� ��e � � �� e��i�ad�� ��� �e�de�ci��� �e: E ( a ) = α
N�� �i��� ��e a ��dia a�����al ( X ) � �� e��i�ad�� �����e�de�ci��� �a�a a ��dia ����laci��al. Pa�a �ele�b�a����, �a��� �e�e� � ca�� d� �e��aed�� h���g��e�, c�� face� 1, 2, 3 e 4. Va��� la����l� 2 �e�e�, �b�e�d� ��a a�����a de �a�a�h� 2. O ��ad�� abai�� ��a� ��da� a� ������ei� a�����a�. 1e1 2e1 3e1 4e1
1e2 2e2 3e2 4e2
1e3 2e3 3e3 4e3
1e4 2e4 3e4 4e4
Se�ia� 16 a�����a� ������ei�, ��da� ela� c�� a �e��a ���babilidade ���babilidade de �c���e�. O �al�� da ��dia a�����al e� cada ��a de��a� a�����a� �e�ia:
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
Val��e� da a�����a 1e1 1e2 1e3 1e4 2e1 2e2 2e3 2e4 3e1 3e2 3e3 3e4 4e1 4e2 4e3 4e4
X
1 1,5 2 2,5 1,5 2 2,5 3 2 2,5 3 3,5 2,5 3 3,5 4
Re�a�e ��e X ��de �e� �i��� c��� ��a �a�i��el �a�i��e l alea���ia ��e a����e di�e���� �al��e�. A ��dia de ��d�� �� ������ei� �al��e� de X fica: E ( X ) =
1 16
× (1 + 1,5 +
2 + 2,5 + 1,5 + 2 + 2,5 + 3 + 2 + 2,5 + 3 + 3,5 + 2,5 + 3 + 3,5 + 4)
E ( X ) = 2,5
Va��� ag��a calc�la� a ��dia da �a�i��el alea���ia � . A �a�i��el alea���ia � a����e a����e �� �al��e� 1, 2, 3, 4, cada �� c�� ���babilidade 1/4. P���a���: E ( X ) = µ =
1 4
×1 +
1 4
×2+
1 4
×3+
1 4
×4
µ = 2,5
C��cl�i�d�: a e��e�a��a da ��dia a�����al � ig�al � e��e�a��a da ����la���. I��� �ig�ifica ��e, �e f���e ������el fa�e� �� ���e�� ��i�� g�a�de de a�����a�, a ��dia de ��da� a� ��dia� a�����ai� �e�ia ig�al � ��dia da ����la���. Va��� a����ei�a� e��e e�e��l� d� �e��aed�� e �a��� calc�la� a �a�i��cia da� a�����a�. Pa�a �a���, �a��� fa�e� d�i� c�lc�l��: �� c�� � de���i�ad�� � e ����� c�� � de���i�ad�� n − 1 . Pa�a dife�e�cia�, ��a�d� ��ili�a���� � de���i�ad�� �, �a��� ad��a� � ���b�l� s * .
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
Val��e� da a�����a
2
∑ ( xi − x) s2
=
1e1 1e2 1e3 1e4 2e1 2e2 2e3 2e4 3e1 3e2 3e3 3e4 4e1 4e2 4e3 4e4 ���al
2
2
∑ ( xi − x)
i =1
s *2
2 −1
0 0,5 2 4,5 0,5 0 0,5 2 2 0,5 0 0,5 4,5 2 0,5 0 20
=
2
i =1
2
0 0,25 1 2,25 0,25 0 0,25 1 1 0,25 0 0,25 2,25 1 0,25 0 10
N��e ��e: E ( s 2 ) = 2
E ( s * ) =
20 16 10 16
= 1, 25
=
0,625
Va��� ag��a calc�la� a �a�i��cia da �a�i��el alea���ia � . E ( X ) =
1+ 2 + 3+ 4
E ( X 2 ) =
4
=
1 + 4 + 9 + 16 4
2,5
=
7,5
V ( X ) = E ( X 2 ) − E ( X ) 2 V ( X )
=
7,5 − 2,5
2
= 1, 25
O �a���e��� � ig�al a 1,25. O� e��i�ad��e� f��a� 1,25 ( �� , c�� � de���i�ad�� n − 1 ) e 0,625 ( s*2 , c�� � de���i�ad�� �). P�� i��� di�e��� ��e � e��i�ad�� �a�i��cia a�����al de�e �e� n − 1 �� de���i�ad��. I��� ga�a��e �� e��i�ad�� �����iciad�.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
6.2.
��������� �� ��������� ������.
Va��� c���i��a� c�� � e�e��l� d� �e��aed�� c�� face� 1, 2, 3, 4 e a� ������ei� a�����a� de �a�a�h� 2. Q�e�e��� e��i�a� a �a�i��cia da ����la���. Q�e� �e� ace��� a ��da� a� face� d� �e��aed��, �abe ��e: µ =
1+ 2 + 3 + 4 4
=
2,5
J� ��e� de�c��hece a� face� d� �e��aed��, ��de�� a�e�a� e��i�a� a ��dia da ����la���, c�� ba�e �� �e��l�ad� de ��a a�����a de �a�a�h� 2. D��a��e ��da a a�la, ��� ��abalha��� c�� � e��i�ad�� X (��dia a�i����ica da a�����a). P�i� be�, �a��� c�ia� ����� e��i�ad�� �a�a a ��dia ����laci��al. V�� cha���l� de X * , �a�a dife�e�cia� d� ���b�l� a��e�i��. E��e ����� ���� e��i�ad�� �e�� ��a ��dia ���de�ada d�� �al��e� da a�����a, e� ��e � ��i�ei�� �al�� da a�����a �e� �e�� 2 e � �eg��d� �al�� da a�����a �e� �e�� 1. E�e��lifica�d�: �e a a�����a f��: (2, 3), ����� e��i�ad�� �e��: X * =
2 × 2 + 3 ×1 3
=
2,333
A �abela abai�� ��a� ��da� a� a�����a� ������ei�, ������ei�, be� c��� �� �al��e� d�� e��i�ad��e�. e��i�ad��e�. Val��e� da a�����a 1e1 1e2 1e3 1e4 2e1 2e2 2e3 2e4 3e1 3e2 3e3 3e4 4e1 4e2 4e3 4e4 ���al
X
X *
1 1,5 2 2,5 1,5 2 2,5 3 2 2,5 3 3,5 2,5 3 3,5 4 40
1 1,333333 1,666667 2 1,666667 2 2,333333 2,666667 2,333333 2,666667 3 3,333333 3 3,333333 3,666667 4 40
I��e�e��a��e �b�e��a� ��e: E ( X ) = E ( X *) =
40 16
=
2,5
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
O� �eja, � e��i�ad�� X * �a�b�� � �����e�de�ci���. Q�al��e� ��dia ���de�ada d�� �al��e� da a�����a �e�� �� e��i�ad�� �����e�de�ci��� da ��dia ����laci��al. A� �e� a �e�g���a: ��� ����� �������� �������� ����� ��������� ���� ���� �� ��� ��������� ? N�� �ece��a�ia�e��e. �ece��a�ia�e��e. De�e�de da� ca�ac�e����ica� ��e ��c� ��e� �a�a � �e� e��i�ad��. U�a ca�ac�e����ica i��e�e��a��e � ��e � e��i�ad�� �e�ha �a�i��cia ���i�a. Se ��c� calc�la� a �a�i��cia d�� e��i�ad��e� X * e X , �e�� ��e ele� ��� �a�i��cia� dife�e��e�. N�� ��� �e���d��i� �� c�lc�l�� a��i, ��� a�e�a� da� � �e��l�ad�: V ( X ) = 0,625 V ( X *) = 0,6944
N��e ��e X �e� ��a �a�i��cia �a�i��ci a �e��� ��e X * . I��� ��de �e� i��e�e��a��e. i��e�e��a�� e. Se fi����e��� fi����e ��� i���e�a� a�����a�, e� ��dia, ace��a��a��� � �al�� d� �a���e��� ��� d�i� ca��� (c�� ��al��e� �� de��e� d�i� e��i�ad��e�). S� ��e � e��i�ad�� X * �e� �ai�� di��e����. di��e����. Ele a��e�e��a, c�� �ai�� �ai�� f�e����cia, f�e����cia, �al��e� �al��e� afa��ad�� da ��dia ����laci��al. P�� i���, � e��i�ad�� X � �elh��. A��i�, ��a ca�ac�e����ica ��e �e c�����a b��ca� � ��e � e��i�ad�� �e�ha �a�i��cia ���i�a. O� �eja, ��e a �a�i��cia d� e��i�ad�� e�c�lhid� �eja �e��� ��e a �a�i��cia de ��al��e� ����� e��i�ad��. De���e �� e��i�ad��e� li�ea�e� (�� �eja, a��ele� ��e ��� �b�id�� a �a��i� de ��a ��dia ���de�ada c�� �� �al��e� da a�����a), � ������el de������a� ��e a ��dia a�i����ica �i��le� ( X ) a��e�e��a �a�i��cia ���i�a. � ������el c���a�a� a efici��cia e���e d�i� e��i�ad��e� dife�e��e�. Ba��a di�idi� ��a� �a�i��cia�. A��i�, a efici��cia �ela�i�a de X * , e� c���a�a��� c�� X , , � dada ���: 0,625 0,6944
6.3.
=
90%
��������� �� ������� ���������
O���� �i�� de e��i�ad�� � a��ele ��e �i�i�i�a a ���a d�� ��ad�ad�� d�� de��i��. P�� e���a���, ��� �e�e��� e��e �i�� de e��i�ad�� c�� �ai� de�alhe�. Fala�e��� �ai� a �e��ei�� �a a�la de �eg�e���� li�ea�, e� ��e �e�� ��i�� f�e��e��e �eali�a���� a ��e�a��� ��e �i�i�i�a a ���a d�� ��ad�ad�� d�� de��i��. I��e�e��a��e �b�e��a� ��e X e pˆ ��� e��i�ad��e� de ���i��� ��ad�ad��. O� �eja, a ��dia a�����al e a ��������� a�����al e��i�a� a ��dia e a ��������� ����laci��ai�, �bedece�d� a� c�i���i� de ���i��� ��ad�ad��.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
6.4.
��������� �� ������ ���������������
U� e��i�ad�� de ���i�a �e����i�ilha��a � a��ele ��e �a�i�i�a a ���babilidade (�e a �a�i��el alea���ia f�� di�c�e�a) �� a de��idade de ���babilidade (�e a �a�i��el alea���ia f�� c������a) de a a�����a �b�e��ada �e� �id� �b�ida. Pa�a e��lica�, ��� ada��a� �� e�e��l� e���a�d� d� li��� E��a����ica �a�a Ec����i��a�, d� R�d�lf� H�ff�a��. C���ide�e �� �e��aed�� ��e �����i face� a��i� e b�a�ca�. La��a��� � �e��aed��. O �e��l�ad� �b�id� c���e����de � face ��e fica e� c���a�� c�� � ��l�. Ca�� �aia ��a face a��l, �e��� �� ca�� fa�����el. Ca�� �aia ��a face b�a�ca, �e��� �� ca�� de�fa�����el. O �e��aed�� � la��ad� 3 �e�e�, �e��l�ad� e� 1 ca�� fa�����el (1 �e��l�ad� a��l e 2 b�a�c��). N�� �� �e��� ace��� a� �e��l�ad� de��a a�����a e �e��� ��e e��i�a� a ��������� ����laci��al, �� �eja, a ��������� de face� a��i� �� �e��aed��. Pa�a acha� � e��i�ad�� de ���i�a �e����i�ilha��a, ��� �e��� ��e �e� ��al a ��������� ��e �a�i�i�a a ���babilidade de e��a a�����a �e� �id� �b�ida. O ��ad�� abai�� �e���e �� c�lc�l��. N��e�� de face� a��i� 0 1 2 3 4
���babilidade de ��ce��� e� 1 P��babilidade de, e� 3 la��a�e����, e��e�i�e��� �e���� e�a�a�e��e 1 ca�� fa�����el 0 0 0,25 0,421875 0,5 0,375 0,75 0,140625 1 0
A �ai�� ���babilidade (0,421875) �c���e ��a�d� �e��� 1 face a��l. L�g�, � e��i�ad�� de ���i�a �e����i�ilha��a � 0,25. Ne��e e�e��l�, a ��������� ����laci��al �� ��de�ia a����i� alg��� �al��e� (0; 0,25; 0,5; 0,75; 1,0). � ��a �a�i��el di�c�e�a. Aca�� a ��������� ����laci��al � ����a a����i� ��al��e� �al�� �� i��e��al� e���e 0 e 1, e���� � ������el de������a� ��e a ��������� a�����al ( pˆ =
X n
, ��de � � a �a�i��el
bi���ial) � �� e��i�ad�� de ���i��� ��ad�ad�� e de ���i�a �e����i�ilha��a. Se a �a�i��el alea���ia f�� ����al, � e��i�ad�� de ���i�a �e����i�ilha��a �a�a a �a�i��cia � dad� ���: n
∑ ( xi − x) s *2
=
2
i =1
n
Se a �a�i��el alea���ia f�� ����al, a ��dia a�i����ica da a�����a ( X ) ) � �� e��i�ad�� de ���i�a �e����i�ilha��a �a�a a ��dia ����laci��al. ����laci��al.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
Te��� �a�a Q�e���� 35 e Q�e���� 36. Pa�a �e����de� �� ��e���e� �eg�i��e�, c���ide�e a� di���ib�i��e� a�����ai� de ci�c� e��i�ad��e� ��������� �a�a e��i�a� � �a���e��� T de ��a ����la���, il����ada� �a fig��a a��e�e��ada a �eg�i�.
������� ��
���� ���� ������������
Se � i��e�e��e f�� �� e��i�ad�� ��� �ie�ad�, de�e��e ��ili�a� a�e�a� (A) T1 (B) T4 (C) T1 �� T4 (D) T2 �� T5 (E) T1 �� T2 �� T3 ����������
E��i�ad�� ��� �ie�ad� � �i���i�� de e��i�ad�� ��� �e�de�ci���. Q�e�e��� ��e a ��dia d� e��i�ad�� �eja ig�al a T. O� ��ic�� e��i�ad��e� ��e a��e�e��a� a��e�e��a� e��a ca�ac�e����ica ��� T1, T2 e T3. ��������� �
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� ������� ��
���� ���� ������������
Le�a�d���e e� c���a a� �����iedade� de �� b�� e��i�ad��, � �elh�� de���e �� e��i�ad��e� ��������� � (A) T1 (B) T2 (C) T3 (D) T4 (E) T5 ����������
E���e �� e��i�ad��e� T1, T2 e T3, � ��e a��e�e��a �a�i��cia ���i�a � T2, ��i� a��e�e��a ��a c���a �ai� afilada, � ��e i�dica ��e a ��������� de �al��e� ����i��� � ��dia � �ai��. ��������� �
������� ��
��������� ���� ������������
Q�a�d� �e la��a ��a ce��a ��eda, a ���babilidade de � �e��l�ad� �e� ca�a � �. A ��eda f�i la��ada de� �e�e�, ��ce��i�a� e i�de�e�de��e�, e � �e��l�ad� f�i de 2 ca�a� e 8 c���a�. Te�d� e� �i��a e��e e��e�i�e���, a e��i�a�i�a de ���i�a �e����i�ilha��a �e����i�ilha��a de � � (A) 0.2 (B) 0.25 (C) 0.3 (D) 0.35 (E) 0.4 ����������
A ��������� a�����al � �� e��i�ad�� de ���i�a �e����i�ilha��a da ��������� ����laci��al. Na a�����a, f��a� 2 ca�a� e� 10 la��a�e����. ̂ �
� ��
� ���
��������� �
������� ��
����� ���� ������������ � �����������
C���ide�e a� a��e���e� a �eg�i�. A ��dia a�����al � �e���e �� e��i�ad�� ��� �iciad� �a�a a ��dia de ��a ����la���.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
PORQUE O e��� �ad��� d� e��i�ad�� ��� �iciad� �a�a a ��dia de ��a ����la��� � �ai�� d� ��e a �a�i��cia da ����la���. A�ali�a�d���e A�ali�a�d���e a� a��e���e�, c��cl�i��e ��e (A) a� d�a� a��e���e� ��� �e�dadei�a�, e a �eg��da � ��a j���ifica�i�a c���e�a da ��i�ei�a. (B) a� d�a� a��e���e� ��� �e�dadei�a�, e a �eg��da ��� � ��a j���ifica�i�a c���e�a da ��i�ei�a. (C) a ��i�ei�a a��e���� � �e�dadei�a, e a �eg��da � fal�a. (D) a ��i�ei�a a��e���� � fal�a, e a �eg��da � �e�dadei�a. (E) a ��i�ei�a e a �eg��da a��e���e� ��� fal�a�. ����������
A ��i�ei�a f�a�e e��� c���e�a. A ��dia a�����al � �� e��i�ad�� ��� �e�de�ci���. �e�de�ci���. A �eg��da f�a�e e��� e��ada. Ba��a �e��a� �� �eg�i��e e�e��l�: Va�i��cia da ����la���: 100 (l�g�, � de��i� �ad��� �: σ = 10 ); �a�a�h� da a�����a: 25 ( n = 25) . O de��i���ad��� da ��dia a�����al fica: σ X
=
10 5
=
2
O de��i���ad��� da ��dia a�����al f�i �e��� ��e a �a�i��cia da ����la���. ��������� �
������� ��
�� �� ���� ������������
C�� ba�e e� ��a a�����a alea���ia �i��le� ( � �, � �,..., � �) de ��a ����la��� de ��dia c��hecida µ , , �� e��i�ad�� ��� �iciad� da �a�i��cia da ����la��� �: a) b) c) d) e)
2
( X 1 − µ )
+
( X 2 − µ )2 + ... + ( X n − µ )2 n−2
( X 1 − µ )
2
+
( X 2 − µ )2 + ... + ( X n − µ )2 n −1
( X 1 − µ )
2
+
( X 2 − µ )2 + ... + ( X n − µ )2 n
( X 1 − µ )
2
+
( X 2 − µ )2 + ... + ( X n − µ )2 n +1
( X 1 − µ )
2
+
( X 2 − µ )2 + ... + ( X n − µ )2 n+2
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� ����������
Di��e��� a a�la ��da ��e � e��i�ad�� ��� �e�de�ci��� da �a�i��cia � c���eg�id� c�� � de���i�ad�� n − 1 . � �e���e a��i� (�� �elh��, ��a�e �e���e). E� 99,9999% da� ��e���e�, � ��e �e �ede � a e��i�a�i�a da �a�i��cia. Pa�a �a���, ����e��e a�e�a� � c��heci�e��� de ��a a�����a. Ne��e ca��, ��a��� a ��dia a�����al c��� e��i�a�i�a da ��dia ����laci��al. E, �a�a acha���� � e��i�ad�� ��� �e�de�ci��� da �a�i��cia ����laci��al, fa�e���:
∑ ( X − X )
2
s2
i
=
n −1
Ac���ece ��e e��a ��e���� c�i�� alg� ����. A��i, ��� j� c��hece��� a ��dia ����laci��al. Ela ��� ��eci�a �e� e��i�ada. S� ��eci�a��� e��i�a� a �a�i��cia da ����la���. Q�a�d� i��� ac���ece, � e��i�ad�� dad� ���: ( X 1 − µ )
2
+
( X 2 − µ )2 + ... + ( X n − µ )2 n
c�� � �� de���i�ad��, � ��� �e�de�ci���. Pa�a dei�a� cla��, �a��� calc�la� a ��a e��e�a��a. e��e�a��a. O e��i�ad�� �: s
2
=
( X 1 − µ )
2
+
( X 2 − µ )2 + ... + ( X n − µ )2 n
Te���:
( X 1 − µ ) 2 E ( s ) = E 2
+
( X 2 − µ )2 + ... + ( X n − µ )2
n
O � � ��a c����a��e, ��de �e� e���a�da da e��e�a��a. 1
= E (( X 1 − µ ) 2 n
+
( X 2 − µ )2
+ ... +
( X n − µ )2 )
P�de��� �e�a�a� a e��e�a��a da ���a e� ���a de e��e�a��a�. =
1
n
{(
× E ( X 1 − µ )
=
1
n
2
) + E (( X
2
×
)2 ) + ... + E (( X n − µ )2 )}
− µ
{nVar ( X )} = Var ( X )
A e��e�a��a d� e��i�ad�� � ig�al a� �a���e���, � ��e �e��i�e cla��ific��l� c��� ��� �e�de�ci���. ��������� �
������� ��
��� ������� �����
C�� �ela��� � �e��ia ge�al da a�����age�, � i�c���e�� afi��a� ��e:
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
a) Q�a��� �e��� � e��� �ad��� da e��i�a�i�a, �e��� �e�� a c��fiabilidade e a ��eci��� da e��i�a�i�a. b) E� ��a a�����a ��� c��gl��e�ad�� a ����la��� � di�idida e� ��b�����la��e� di��i��a�. c) A �eali�a��� de ��a a�����age� alea���ia �i��le� �� � ������el �e � �e���i�ad�� �e���i�ad�� �����i� ��a li��a c���le�a de cada ��idade a�����al. d) U� e��i�ad�� � c���ide�ad� ��� �iciad� ��a�d� ��a e��e�a��a � ig�al a� �al�� ����laci��al ��e e��� �e�d� �e���i�ad�. e) A�����age� e���a�ificada c���i��e �a di�i��� de ��a ����la��� e� g����� �eg��d� alg��a ca�ac�e����ica c��hecida. O� e���a��� da ����la��� de�e� �e� ����a�e��e e�cl��i���. ���������
Le��a A. E��� �ad��� � �i���i�� de de��i� �ad���. Se a e��i�a�i�a �e� e��� �ad��� �e��e��, i��� �ig�ifica ��e ela ���c� �a�ia. Pa�a e�e��lifica�, �a��� ��abalha� c�� a e��i�a�i�a ��e j� e���da���: X . . Se X �e� �� de��i� �ad��� �ad��� �e��e��, e���� a ��dia a�����al ���c� �a�ia de ��a a�����a �a�a ����a. I��� �ig�ifica ��e cada ��dia a�����al �a�b�� � be� ����i�a da ��dia da ����la���. Q�a��� �e��� � e��� �ad��� de X , �ai� ��eci�a � a ����a e��i�a�i�a. Mai� c��fi��el ela �. N���a e��i�a�i�a de�e e��a� be� ����i�a d� �e�dadei�� �al�� d� �a���e���. Al�e��a�i�a e��ada. Le��a B. Al�e��a�i�a c���e�a. Real�e��e, �a a�����age� ��� c��gl��e�ad��, b��ca��e di�idi� a ����la��� e� ��b�����la��e�, e� c��j����� he�e��g��e�� ��e �e��e�e��e� be� a ����la��� i��ei�a. C��� �i��� �a a�la �a��ada, i��� �e� �e���e �e �e�ifica. C��� � i���i�� de��e �i�� de a�����age� � �ed��i� c����� e �e���, �� c��gl��e�ad�� ��� e�c�lhid�� de f���a ��e �e�� ele�e���� e��eja� ����i���/ligad��, � ��e ��i�a� �e�e� fa� c�� ��e �� c��gl��e�ad� ��� ab�a�ja i�e�� ��� he�e��g��e�� a��i�. Le��a C. E� ge�al, �eal�e��e a a�����age� alea���ia �i��le� � fei�a ��a�d� �e �e� ��a li��age� de ��d�� �� ele�e����. A��i�, �a�a e�c�lhe� alea���ia�e��e �� g���� de f��ci����i�� ��e �a��ici�a�� de ��a �e���i�a ��b�e � cli�a ��ga�i�aci��al da e���e�a, �a��e��e de ��a li��age� de ��d�� �� e���egad��. De��a li��a, e���ae���e, alea���ia�e��e, alg��a� �e���a�. O ���ce��� de e�c�lha ��de �e da� de di�e��a� f���a�. P�de��� e�c�e�e� � ���e de ��d�� ele� e� �eda��� de �a�el de �e��� �a�a�h�, d�b�a�, c�l�ca� ��� �ac�, �i����a� be�, e ����ea�. P�de��� a��ib�i� a cada �� dele� �� ���e�� e ��a� ��a �abela de ���e��� alea���i�� �a�a e�c�lhe� �� ���e���. P�de��� c�l�ca� �e�� ���e� e� �la�ilha�, e�ec��a� �� ���g�a�a ��e ge�e ���e��� alea���i��, a��ib�i�d� �� ���e�� a cada �e���a,
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
e de��i� ��de�a� de f���a c�e�ce��e. E�fi�, h� i���e�a� f���a� ��e, ge�al�e��e, �a��e� de ��a li��age� de ��d�� �� ele�e����, c��� f�i di�� �� e���ciad�. C����d�, h� f���a� de �e fa�e� ��a a�����age� alea���ia �e� ��e e�i��a ��a li��age� ����ia. A ba�ca c���ide��� e��e i�e� c���e��. A� �e� �e�, cabe�ia �ec����. Ci�� �a �e��e�cia �� ��ech� d� li��� �E��a����ica a�licada � ad�i�i���a���� d� a���� Willia� S�e�e����: �Se a ����la��� al�� � fi�i�a, h� e��e�cial�e��e d�a� �a�ei�a� de e�c�lhe� ��a a�����a alea���ia. U� ����d� e���l�e a c���ila��� de ��a li��a de ��d�� �� ele�e���� da ����la��� [...]. O �eg��d� ����d� � ��ad� ��a�d� �� ele�e���� da ����la��� ��� ��� cla�a�e��e ide��ific��ei�, � ��e ����a i�������el a li��age�. P�� e�e��l�, �� ���ce��a�e��� de ali�e����, �� �a eli�i�a��� de �e��d���, �� �� c�����le da ��l�i���, e� ge�al, ��� h� � c��cei�� de i�e�� ��e ����a� c����i��i� ��a a�����a. A al�e��a�i�a �e�ia e���� �eleci��a� l�ca��e� e� l�ga� de i�e��, c���, ��� e�e��l�, �4 ��legada� aci�a e 7 abai���. C���eg�e��e i��� e�ca�a�d� a ����la��� c��� �e f���e c������a de c�b��, e �eleci��a�d� c�b�� �a�a a a�����a. O���a al�e��a�i�a �e�ia � e���eg� de �� ���ce��� de �i����a [...]� P�de��� �e��a� �a��ele� ����ei�� de �������e�. V�c� �a�da ��a ca��a c���e�d� ���� c�dig�� de ba��a� d� ���d���, �e����de�d� � �e�g���a: ��al a �a�ca de c����e�e ��e le�a ��c� �a�a a c��a d� ���d� de 2014??? D��i�g�, d��a��e � ���g�a�a d� Fa�����, � fei�� � ����ei�. A�a�ece��� �� ����e de ��del�� �e�i���a� j�ga�d� �� e��el��e� �a�a ci�a. E� �e�e (e� di��e: e� �e�e), �����d� ��e a� ��del�� j�g�e� ��i�� be� �� i���e��� e��el��e�, �i����a�d� be� ��d�� ele�, ��a�d� ��a dela� �ega� � e��el��e ga�had��, a e�c�lha �e�� �id� alea���ia �i��le�. E �e�h��a da� ��del�� �i�ha ��a li��age� d�� c��c���e��e� a� ����i�. O���� e�e��l�. V�c� e��� ��e�a�a�d� ��e�a�a�d� ��a ���a. V�c� e��� e� d��ida �e c�l�c�� ��i�� �al �� ���. Pa�a a�alia� a ��a��idade de �al, ��c� �i����a be� a ���a, e�che ��a c�lhe� e e��e�i�e��a. V�c� e��� fa�e�d� ��a a�����age� da ���a. E��� a�alia�d� a�e�a� �� �e��e�� �eda�� da ��a ����la���, �a�a decidi� alg� ��b�e a ���a i��ei�a. A��e� de e��e�i�e��a� ��c� ��� �i�ha ��a li��age� de ��da� a� �a���c�la� ��e e��a�a� de���� da ���a (�� �eja, ��a li��a de ��d�� �� �edaci�h�� de ba�a�a, ce����a, ab�b�i�ha, e�c). Ali��, �e��e ca��, ach� ��e �e� d� �a�a fala� e� li��a de ��d�� �� ele�e����. S����d� ��e ��c� �e�ha �i����ad� be� a ���a, ��a�d� ��c� e�che� a c�lhe�, ��c� e��a�� fa�e�d� ��a a�����age� alea���ia �i��le�. N��a �i��a��� c��� a de��a ��e���� da FCC, l�, d��a��e a ����a, �a���e a al�e��a�i�a ��ai� c���e�a� (�� ��ai� e��ada�, c��f���e � ca��). C������ di�e� ��e ��� � ��a �ai� b�iga�d� c�� a ����a. A le��a �A� e��� cla�a�e��e e��ada. Ela e��� ��a�ica�e��e ��edi�d�� �a�a �e� �a�cada c��� i�e� e��ad�. J� a le��a C, a�e�a� de e��ada, ��� � ��� ab���da. A a�����age� alea���ia, �a �ai��ia da� �e�e�, � �e��� fei�a a �a��i� de ��a li��age�. Na le��a C e��a��� dia��e de �� ca�� de i���eci��� �a e�c�i�a d� e���ciad�. N�� c���a �ada dei�a� e��a i���eci��� ��a l�, �a�ca� a le��a A e ������. Le��a D. Al�e��a�i�a c���e�a. F�i e�a�a�e��e i��� ��e �i��� ��b�e �� e��i�ad��e� ��� �e�de�ci����. �e�de�ci����. ����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
Vi��� ��e X ��de �e� c���ide�ada ��a �a�i��el alea���ia alea� ��ia e ��e ��e � fa�� de a e��e�a��a de de ����la��� fa� de��e �� e��i�ad�� e��i�ad�� ��� �iciad�. I��� �ale �a�a �a�a X �e� ig�al � ��dia da ����la��� ��al��e� e��i�ad��. Se ��a e��e�a��a f�� ig�al a� �a���e��� �e���i�ad�, e���� � e��i�ad�� � ��� �e�de�ci��� (�� ��� �iciad�). Le��a E. Al�e��a�i�a c���e�a. Ba��a le�b�a� d� e�e��l� dad� �a a�la �a��ada. Di�idi��� D i�idi��� a ����la��� e� e���a���, c��f���e a idade (j��e��, ad�l��� e id����). A di�i��� �e de� c��f���e ��a ca�ac�e����ica c��hecida (idade). O� e���a��� ��� ����a�e��e e�cl��i���. ��������� �.
������� ��
��� ���� �����
C�� �ela��� � �e��ia ge�al da a�����age�, � c���e�� c ���e�� afi��a� ��e: a) �a a�����age� alea���ia �i��le�, a �ele��� da� ��idade� a�����ai� �� ��de �e� �eali�ada �e� �e���i���. b) a a�����age� ��� c��gl��e�ad�� e� ge�al � �ai� eficie��e e �e��� ec����ica ��a�d� c���a�ada c�� � ����d� de a�����age� alea���ia �i��le�. c) �a a�����age� e���a�ificada, �� e���a��� da ����la��� ��� �ece��i�a� �e� ����a�e��e e�cl��i���. d) � a��e��� d� �a�a�h� da a�����a �e� c��� c���e����cia � a��e��� d� e��� �ad��� da� e��i�a�i�a� e) � �i�� �� ��ci� de �� e��i�ad�� de �� �a���e��� � a dife�e��a e���e � �e� �al�� e��e�ad� e � �al�� d� �a���e���. ����������
Le��a A. U�a a�����a alea���ia ��de �i� �e� fei�a c�� �e���i���. P�de��� �e��a� �� ����ei� da �ega��e�a. N� ��i�ei�� ����ei�, �e��� � ���e�� 26 (2 �e�i�ad� d� gl�b� da� de�e�a� e 6 �e�i�ad� d� gl�b� da� ��idade�). Pa�a � �eg��d� ����ei�, �� gl�b�� c���i��a� c���e�d� ��da� a� de�e�a� (i�cl��i�e � 2) e ��da� a� ��idade� (i�cl��i�e � 6). O� ���e��� ��� alea���ia�e��e e�c�lhid�� e h� �e���i���. E� �e�e, � ������el ��e � ���e�� 26 �eja ���a�e��e ����ead�. O���� e�e��l� ��� a� �������e� e� ��e ��c� �a�da �� SMS �a�a �� ce��� ���e�� e c��c���e a di�e���� ����i��. A cada �e�a�a � ����ead� �� ����i� (e�e��l�: �a ��i�ei�a �e�a�a ��� de� TV��, �a �eg��da, 10 �����, �a �e�cei�a, 2 ca���� e �a �l�i�a � ����eada ��a ca�a). E� ��i�a� ��e�ia��e�, ��e� �a�da � SMS l�g� ��� ��i�ei��� dia� e��� c��c���e�d� a ��d�� �� ����i��. Me��� ��e ele �eja ����ead� �a ��i�ei�a �e�a�a (ga�ha�d� ��a TV), �e� ���e ��l�a �a�a � b�l� de c��c���e��e�, �e�d� cha�ce� de ga�ha� e� ��al��e� ����� ����ei�. S����d� ��e a e�c�lha, e� cada ����ei�, �eja alea���ia, �e��� ��a a�����age� alea���ia c�� �e���i���.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
Le��a B. E� ge�al, a a�����age� ��� c��gl��e�ad�� � �ai� ec����ica ��e a alea���ia �i��le�. Ba��a �e��a� �� ca�� da �e���i�a c�� �� chefe� de fa��lia de ��a dada cidade, ��ad� c��� e�e��l� �a a�la �a��ada. Se �����e��� ��a a�����age� alea���ia, ��de��a��� �e� ��e ��� di�igi� a ������ ��i�� di��a��e� �� d�� ������, � ��e e�ca�ece a �e���i�a. U�a�d� a a�����age� ��� c��gl��e�ad�� (c���ide�a�d� cada bai���/cada ��a��ei���/cada c��j���� de 8 ��a��ei��e�/e�c) c��� �� c��gl��e�ad�, ��i��� d�� chefe� de fa��lia �eleci��ad�� ���a��� ����i��� ��� d�� ������, � ��e �ed�� �� c�����. Al�e��a�i�a e��ada. Le��a C. E��ad�. Na a�����age� e���a�ificada �� e���a��� ��� �i� ����a�e��e e�cl��i���. N� e�e��l� da a�la �a��ada, di�idi��� a ����la��� e� j��e��, ad�l��� e id����. U� id��� ��� ��de �e� �a�b�� j��e�. Le��a D. Al�e��a�i�a e��ada. Q�a��� �ai�� a a�����a, �elh�� ela �e��e�e��a a ����la���. C��� c���e����cia, �elh��a� ����a� e��i�a�i�a� (� ��e i��lica e� �e��� e��� �ad���). Ta�b�� d� �a�a �i��ali�a� i��� ��� �ei� da f����la ��e �i���. Va��� ��abalha� c�� a ��dia a�����al. Se� de��i� �ad��� � dad� ���: V [ X ] = σ X
=
σ n
O ��� e��� �� de���i�ad��. Q�a��� �ai�� � �al�� de � (�� �eja, ��a��� �ai�� � �a�a�h� da a�����a), �e��� � de��i� �ad��� da e��i�a�i�a. Le��a E. Al�e��a�i�a c���e�a. N�� c��e��ei i��� d��a��e a �a��e �e��ica. A����ei�a�d� a �������idade, fale��� �� ���c� ��b�e � �i�� d� e��i�ad��. Va��� ��abalha�, ���a�e��e, c�� � e��i�ad�� �a�a a ��dia ( X ). ). O fa�� da ��dia de X �e� ig�al � ��dia da ����la��� ����la��� ��� �e��i�e �e��i�e cla��ifica� a ��dia a�i����ica da a�����a c��� e��i�ad�� ��� �e�de�ci��� (�� ��� �iciad�). U�a�d� e��e e��i�ad��, �a ��dia (c���ide�a�d� a� i���e�a� a�����a� ��e ��de�ia� �e� fei�a�), ��� e��a��� �eal�e��e ace��a�d� � �al�� d� �a���e��� de�c��hecid�. E �e, e� �e� da ��dia a�����al, ��� �����e���, ��� e�e��l�, a �edia�a da a�����a �a�a e��i�a� a ��dia da ����la���? Veja��� �� e�e��l�. C���ide�e C���ide�e �� �e��aed�� c�� face� 1, 2, 3, 5.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
Seja � a �a�i��el ��e de�ig�a � �e��l�ad� d� la��a�e��� d� �e��aed��. Sabe��� ��e a e��e�a��a de � � � ig�al a 2,75 (ba��a fa�e� a ��dia a�i����ica d�� �al��e� aci�a). La��a��� � �e��aed�� ���� �e�e�. Va��� �e� ��ai� ��� �� ������ei� �e��l�ad��. C��j����� de 3 la��a�e���� 1 1 1 1 1 2 1 1 3 1 1 5 1 2 1 1 2 2 1 2 3 1 2 5 1 3 1 1 3 2 1 3 3 1 3 5 1 5 1 1 5 2 1 5 3 1 5 5
C��j����� de 3 la��a�e���� 2 1 1 2 1 2 2 1 3 2 1 5 2 2 1 2 2 2 2 2 3 2 2 5 2 3 1 2 3 2 2 3 3 2 3 5 2 5 1 2 5 2 2 5 3 2 5 5
C��j����� de 3 la��a�e���� 3 1 1 3 1 2 3 1 3 3 1 5 3 2 1 3 2 2 3 2 3 3 2 5 3 3 1 3 3 2 3 3 3 3 3 5 3 5 1 3 5 2 3 5 3 3 5 5
C��j����� de 3 la��a�e���� 5 1 1 5 1 2 5 1 3 5 1 5 5 2 1 5 2 2 5 2 3 5 2 5 5 3 1 5 3 2 5 3 3 5 3 5 5 5 1 5 5 2 5 5 3 5 5 5
Va��� ��a� a �edia�a a�����al c��� e��i�ad�� da ��dia ����laci��al. A �edia�a a�����al �e� a �eg�i��e di���ib�i��� de ���babilidade�: Val�� 1 2 3 5
���babilidade 10/64 22/64 22/64 10/64
A ��dia da �edia�a a�����al �: E [ D ] ≅ 2,65
Se f���e ������el efe��a� i�fi�i�a� �e�e� �� ���� la��a�e����, a ��dia �b�ida �a�a � ����� e��i�ad�� �e�ia de ce�ca de 2,65. � �� e��i�ad�� ��e, e� ��dia, dife�e d� �a���e��� (=2,75). C��cl����� ��e � �� e��i�ad�� �ie�ad� (�� �e�de�ci���, �� ai�da, �iciad�). O �e� �i�� � dad� �ela dife�e��a e���e ��a ��dia e � �a���e��� e���dad� (��al �eja, a ��dia da ����la���). Ne��e e�e��l�, e�e��l�, � �i�� fica: vies
= E [ D ] −
µ ⇒ vies
=
2,65 − 2,75
= −0,1
��������� �
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� ������� ��
��� ����� ������
Seja T �� e��i�ad�� de �� �a���e��� θ de ��a ����la���. Se E (T ) = θ , di���e ��e T � �� e��i�ad�� de θ : a) eficie��e b) ��� e��ie�ad� c) c���i��e��e d) de ���i��� ��ad�ad�� e) de ���i�a �e����i�ilha��a �e����i�ilha��a ����������
Vi��� ��e � fa�� da e��e�a��a d� e��i�ad�� �e� ig�al a� �a���e��� �e��i�e cla��ifica� � e��i�ad�� c��� ��� �iciad� (�� ��� �e�de�ci���, �� ��� e��ie�ad�). T�da� e��a� e���e���e� ��� �i���i�a�. ��������� ��
������� ��
��� �� ���� �����
Seja ( � . � �, � �, � �) ��a a�����a alea���ia �i��le� de ��a di���ib�i��� ����al c�� ��dia µ . F��a� �b�id�� 3 e��i�ad��e� �a�a µ : : X 1 + X 2
Y 1
=
Y 2
=
+ X 3
3 2 X 1
Y 3 = X 1
+ X 2 − 3 X 3
+
2 X 2
−
2 X 3
E����, APENAS (A) Y � ��� �ie�ad�. �
(B) Y e Y ��� ��� �ie�ad��. �
�
(C) Y e Y ��� �ie�ad��. �
�
(D) Y e Y ��� �ie�ad��. �
�
(E) Y e Y ��� �ie�ad��. �
�
����������
U� e��i�ad�� � �ie�ad� ��a�d� ��a e��e�a��a � dife�e��e d� �a���e��� e��i�ad�. U� e��i�ad�� � ��� �ie�ad� ��a�d� ��a e��e�a��a � ig�al a� �a���e��� e��i�ad�.
�
�
�
�
�
�
�
−
����� ����� �������
�
� �
�
�
� �
�
�
�
�
�
− �
� � �
�
�
�
�
− � � �
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
�
�
�
−
�
�
��
− �
�
� � − � �
Ob�e��e� ��e Y� e Y� a��e�e��a� e��e�a��a ig�al a . L�g�, ��� ��� �ie�ad��. J� Y� a��e�e��a e��e�a��a ig�al a 0. P���a���, ��� �e��� ga�a��ia� de ��e �eja ��� �ie�ad�, ��i� ��� �abe��� �e � �.
��������� �
Q�a��� �� ca�ac�e����ica� d�� e��i�ad��e�, c�ei� ��e a� ����a� de�e� �e li�i�a� a c�b�a� ��e���e� c��cei��ai�. O� e����, �e �e���i�gi� a�� e��i�ad��e� ���ai� (��dia a�����al, ��������� a�����al, �a�i��cia a�����al �a�a e��i�a�, �e��ec�i�a�e��e, a ��dia ����laci��al, a ��������� ����laci��al e a �a�i��cia ����laci��al). Dig� i��� �����e, �e f�� �a�a �a��a� di���, � ba��a��e ������el ��e a ��e���� e�ija fe��a�e��a� de c�lc�l�. C��� e�e��l�, �eg�e ��a ��e���� da Ce�g�a��i�: ������� ��
��������� ���� ������������
C�� ba�e e� ��a a�����a alea���ia ( x1 , x 2 ,..., x n ) � e��i�ad�� de ���i�a �e����i�ilha��a �e����i�ilha��a e − λ λ x
d� �a���e��� λ �a di���ib�i��� di���ib�i� �� de P�i����, P ( X = x ) =
x!
�a�a x = 0,1, 2,... � a:
(A) ��dia ��ad���ica da a�����a. (B) ��dia ge�����ica da a�����a. (C) ��dia ha����ica da a�����a. (D) ��dia a�i����ica da a�����a. (E) �edia�a da a�����a. ����������
Seja ( x1 , x 2 ,..., x n ) a a�����a �b�ida. A ���babilidade de �b�e���� e��a a�����a � dada ���: P ( X 1
= x1 ∩ X 2 = x 2 ∩ ... ∩ X n =
xn )
S����d� ��e �� �al��e� da a�����a ��� i�de�e�de��e� e���e �i, a ���babilidade da i��e��ec��� � � ���d��� da� ���babilidade�: P ( X 1
= x1 ∩ X 2 = x 2 ∩ ... ∩ X 3 =
x 3 ) = P ( X 1
e − λ λ
x1
= =
����� ����� �������
x1!
= x1 ) ×
e − λ λ
P ( X 2
x2
×
x 2 !
= x 2 ) × ... ×
P ( X n
=
xn )
e − λ λ n x
× ... ×
e −λ n x1 !× x 2 !× × ... x n !
x n !
x + x2 +...+ xn
× λ 1
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� Q�e�e��� �a�i�i�a� e��a ���babilidade, ��e � ��a f����� de λ . C��� a f�����
l�ga����ica � c�e�ce��e, �e �a�i�i�a���� a f����� aci�a, �a�b�� �a�i�i�a��� �e� l�ga�i���. A�lica�d� � l�ga�i��� �e�e�ia��: n e λ x ln × λ x1 !× x 2 !× × ... x n ! −
1 + x2 +...+ x n
= −λ n + ( x1 + x 2
+ ... + x n ) × ln(λ ) − ln( x1!× x 2 !×... × x n !)
Pa�a acha� � �al�� de λ ��e �a�i�i�a e��a f�����, f�����, de�i�a��� de�i�a��� e� �ela��� a λ e ig�ala��� a �e��. − n + ( x1 + x 2 + ... + x n )
( x1 + x 2
+ ... + x n )
( x1 + x 2
+ ... + x n )
1
λ 1
n
1
λ
=
=
n
=
λ
0
O� �eja, � �al�� de λ ��e �a�i�i�a a ���babilidade de de �b�e���� ��a dada a�����a (e��i�ad�� de ���i�a �e����i�ilha��a) � a ��dia a�i����ica da a�����a. ��������: �
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
7.
�������
������ E��i�ad��e� �����ai�
�������� � �� e��i�ad�� de
S � �� e��i�ad�� de ̂ � � �� e��i�ad�� de �� �e� ��dia e de��i� �ad��� �√ ̂ �e� �e� ��dia � e de��i� �ad��� �
Di���ib�i��e� a�����ai�
I��e��al� de c��fia��a �a�a ��dia c�� X − Z 0 × σ ≤ µ ≤ X + Z 0 × σ X X �a�i��cia ����laci��al c��hecida I��e��al� de c��fia��a �a�a ��dia c�� X − t 0 × s ≤ µ ≤ X + t 0 × s X X �a�i��cia ����laci��al de�c��hecida I��e��al� de c��fia��a �a�a ��������� pˆ − Z 0 × σ pˆ ≤ p ≤ pˆ + Z 0 × σ pˆ E��� ���i�� c��e�id� e �a�a�h� da a�����a
erro _ max = Z 0σ X erro _ max = t 0 s X erro _ max = Z 0 s pˆ
Fa��� de c���e��� �a�a ����la��e� ����la��e� fi�i�a�
N − n N − 1
Ca�ac�e����ica� d�� e��i�ad��e�
8.
� N�� �e�de�ci����: e��e�a��a d� e��i�ad�� = �a���e���. � De �a�i��cia ���i�a; � De ���i��� ��ad�ad��: �i�i�i�a a ���a d�� ��ad�ad�� d�� de��i�� � De ���i�a �e����i�ilha��a: �a�i�i�a a ���babilidade de a a�����a �e� �id� �b�e��ada.
�������� A�������ADA� �� A��A
������� 1
����� �� 2008 �����
C���ide�e ��a A�����a Alea���ia Si��le� de � ��idade� e���a�da� de ��a ����la��� �a ��al a ca�ac�e����ica, X, e���dada �e� di���ib�i��� N���al c�� ��dia µ e �a�i��cia σ 2 , a�ba� de�c��hecida�, �a� fi�i�a�. C���ide�e, ai�da, a� e��a����ica� ��dia da a�����a, X 1
n
n
∑ X i
�
e �a�i��cia da a�����a s 2
i =1
����� ����� �������
=
1
n
n
∑ ( X − X )
2
i
�
. E����, � c���e�� afi��a� ��e:
i =1
���.�������������������.���.��
���
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
(A) X e S 2 ���, a�b��, ��� �e�de�ci���� �a�a a e��i�a��� da ��dia e da �a�i��cia da ����la���, �e��ec�i�a�e��e. �e��ec�i�a�e��e. (B) X � �����e�de�ci���, �a� � S 2 �e�de�ci��� �a�a a e��i�a��� da ��dia e da �a�i��cia �a�i��ci a da ����la���, ����la���, �e��ec�i�a�e��e. �e��ec�i�a�e��e. (C) X � �e�de�ci���, �a� S 2 � �����e�de�ci��� �a�a a e��i�a��� da ��dia e da �a�i��cia da ����la���, ����la���, �e��ec�i�a�e��e. �e��ec�i�a�e��e. (D) X e S 2 ���, a�b��, �e�de�ci���� �a�a a e��i�a��� da ��dia e da �a�i��cia da ����la���, �e��ec�i�a�e��e. �e��ec�i�a�e��e. (E) X e S 2 ���, a�b��, �����e�de�ci���� �a�a a e��i�a��� da ��dia e da �a�i��cia da ����la���, �a� a�e�a� X � c���i��e��e. ������� 2
��������� 2010 ������������
E� �� c��j���� de ���e���, �Xi�, de N ele�e���� e���a�d�� de ��a de�e��i�ada ����la��� de i��e�e��e, f�i ��ili�ada a �eg�i��e e���e���� c��� �edida da di��e����
�
� − �
��de � a ��dia a�i����ica d�� dad��. Q�al � �ig�ificad� e��a����ic� c���e�� de��a e���e����? (A) De��i� �ad��� ��� �e�de�ci��� da ����la���. (B) E��i�a�i�a ��� �e�de�ci��a d� de��i� �ad��� da ����la���. (C) E��i�a�i�a �e�de�ci��a d� de��i� �ad��� da ����la���. (D) Va�i��cia ��� �e�de�ci��a da ����la���. (E) E��i�a�i�a �e�de�ci��a �e�de�ci��a da �a�i��cia da ����la��� ����la��� ������� 3
��� 2008 ������
Q�al � e��i�ad�� de ���i�a �e����i�ilha��a da �a�i��cia de ��a �a�i��el � ����al�e��e di���ib��da �b�id� a �a��i� de ��a a�����a alea���ia �i��le� X �, X�, X�, ..., X�, de��a �a�i��el, �e�d� m = ∑ X i / n � e��i�ad�� de ���i�a �e����i�ilha��a �e����i�i lha��a da ��dia? a) b)
∑ ( X i − m)
2
n −1
∑ ( X i − m)
2
n−2
∑ ( X i − m) 2 c) n −1 d)
∑ ( X i − m)
0, 5
2
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
���
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
e)
∑ ( X i − m)
2
n
������� 4
����� �� 2009 ������
(Dad�� da ��e���� a��e�i��: 17, 12, 9, 23, 14, 6, 3, 18, 42, 25, 18, 12, 34, 5, 17, 20, 7, 8, 21, 13, 31, 24, 9.) C���ide�a�d� ��e a� �b�e��a��e� a��e�e��ada� �a ��e���� a��e�i�� c����i��e� ��a a�����a alea���ia �i��le� X �, X �, ..., X� de ��a �a�i��el alea���ia X, de�e��i�e � �al�� �ai� ����i�� da �a�i��cia a�����al, ��a�d� �� e��i�ad�� ��� �e�de�ci��� da �a�i��cia de X. C���ide�e ��e: 23
∑ X i
=
388
=
8676
i =1 23
∑ X i
2
i =1
a) 96,85 b) 92,64 c) 94,45 d) 90,57 e) 98,73 ������� 5
���� 2007 �������
U� ���g�a�a de c�����le de ��alidade f�i i��le�e��ad� e� ��a ag��cia ba�c��ia. A cada 10 clie��e� ��e e���a� �a fila �a�a ��lici�a� �� ce��� �i�� de �e��i�� S, �� a�e�de��e e���ega �� �e��e�� ��e��i����i�, ��e de�e �e� ��ee�chid� �el� clie��e e de��l�id� a� cai�a d� ba�c�. U� d�� ��e�i��� ���i���ad�� dia�ia�e��e � a ��������� de clie��e� ��e e���� �a�i�fei��� c�� � a�e�di�e��� de �� ��d� ge�al. E� de�e��i�ada �e�a�a, f��a� �b�e��ad�� �� �e��l�ad�� �����ad�� �a �abela a �eg�i�. Dia da �e�a�a
2�
3�
4�
5�
6�
N��e�� de clie��e� �b�e��ad��
30
40
20
50
70
��������� de clie��e� �a�i�fei��� �a�i�f ei���
0,9
0,8
0,9
0,8
0,6
C�� ba�e �e��e� dad��, j�lg�e � i�e� ��e �e �eg�e. 1. A e��i�a�i�a da ��������� ��dia de clie��e� �a�i�fei��� c�� � a�e�di�e��� de �� ��d� ge�al a� l��g� de��a �e�a�a � ���e�i�� a 0,8. ������� 6
�� �� 2009 �����
Seja ��a ����la��� c����i���da �el�� �al��e� 1, 2, 3, 4, 5 e 6. T�da� a� a�����a� c�� �a�a�h� 2, �e� �e���i���, ��� �eleci��ada�. A ���babilidade de ��e a ��dia a�����al �eja ���e�i�� a 5 � de (A) 1/4 ����� ����� �������
���.�������������������.���.��
���
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
(B) 1/6 (C) 2/3 (D) 1/3 (E) 1/15 ������� 7
��� 1� ������/2001 �����
Pa�a �e����de� � ��e���� �eg�i��e, c���ide�e a �abela abai��, �efe�e��e � di���ib�i��� ����al �ad���. z
F ( z )
1,20 1,60 1,64
0,885 0,945 0,950
U�a ����i�a de e��ac��a� lei�e e� �� � fa� �eg��d� ��a ����al c�� ��dia µ e de��i� �ad��� 10g. O �e�� ��di� µ de�e �e� �eg�lad� �a�a ��e a�e�a� 5,5% d�� �ac��e� �e�ha� �e��� d� ��e 1000 g. C�� a ����i�a a��i� �eg�lada, a ���babilidade de ��e � �e�� ���al de 4 �ac��e� e�c�lhid�� a� aca�� �eja i�fe�i�� a 4.040 g �: a) 0,485 b) 0,385 c) 0,195 d) 0,157 e) 0,115 ������� 8
���/2007 �����
Se �e�i�a���� ��a a�����a alea���ia de 1200 �b�e��a��e� de ��a ����la��� c�� di���ib�i��� ��if���e �� i��e��al� [17; 29], a di���ib�i��� da ��dia a�����al X �e��, a����i�ada�e��e, a) ��if���e c�� ��dia 23 e �a�i��cia 12 b) ����al c�� ��dia 23 e de��i� �ad��� 0,1 c) ��if���e c�� ��dia 23 e �a�i��cia 1 d) ����al c�� ��dia 23 e de��i� �ad��� 12. e) ����al c�� ��dia 23 e de��i� �ad��� 1. ������� 9
��� ����� 2010 ����������
Ce��a ����la��� e� e���d� �e� � �� e � ��. Se f��e� �eali�ada� 500 a�����a� alea���ia� de �a�a�h� 25, ��a��a� de��a� a�����a� �e e��e�a ��e �e�ha� ��dia �ai�� d� ��e 50? (A) 37. (B) 49. (C) 53.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
���
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
(D) 65. (E) 77. ������� 10
���������� �� �����/2007 �����
Pa�a �e����de� � ��e���� �eg�i��e, c���ide�e, de���e �� dad�� abai��, a��ele� ��e j�lga� a�����iad��. Se � �e� �e� di���ib�i��� ����al �ad���, e����: P ( Z > 2)
=
0,023 ; P (0 < Z < 1,6)
=
0, 445 ; P ( Z < 1)
=
0,84 ; P ( 0 < Z < 2,33)
=
0, 49
S����ha ��e � �e�� de c�ia��a� de 10 a���, ���a de�e��i�ada ����la���, �e�ha di���ib�i��� ����al c�� ��dia µ de�c��hecida e de��i� �ad��� 4 kg. A ���babilidade de ��e � �e�� ��di� de ��a a�����a alea���ia �i��le� de 100 c�ia��a�, �eleci��ada� de��a ����la���, difi�a ��� �ai� de 400 g�a�a� de µ �, a����i�ada�e��e, a����i�ada�e�� e, ig�al a: a) 0,10 b) 0,16 c) 0,20 d) 0,27 e) 0,32 ������� 11
��������� 2010 ������������
A di���ib�i��� de ���babilidade� da �a�i��el alea���ia X � �al ��e X = �1 c�� 50% de ���babilidade �� X = 1 c�� 50% de ���babilidade. A ��dia, , de ��a��� �eali�a��e� de X, ��ce��i�a� e i�de�e�de��e�, � ��a �a�i��el alea���ia de ��dia e de��i� �ad���, �e��ec�i�a�e��e, ig�ai� a (A) 0 e 2 (B) 0 e 1 (C) 1 e 0.5 (D) 1 e 0 (E) 0 e 0.5 ������� 12
�������� 2009 �����
E� �� de�e��i�ad� �a�� de a�i�idade, �� �al��i�� d�� e���egad�� ��� c���ide�ad�� ����al�e��e di���ib��d�� c�� ��a ��dia μ e ��a �a�i��cia ����laci��al ig�al a 1.600 (R$)�. U�a a�����a alea���ia c�� 100 de��e� e���egad�� a��e�e���� ��a ��dia de R$ 1.000,00 �a�a �� �al��i��. De�eja��e, c�� ba�e �e��a a�����a, �b�e� �� i��e��al� de c��fia��a �a�a a ��dia μ c�� �� ���el de c��fia��a de 95%, c���ide�a�d� a ����la��� de �a�a�h� i�fi�i�� e a i�f���a��� da di���ib�i��� ����al �ad��� (Z) ��e a ���babilidade P (� > 2) = 0,025. O i��e��al�, c�� �� �al��e� e� R$, � ig�al a (A) [960,00; 1.040,00] (B) [992,00; 1.008,00] (C) [994,00; 1.006,00] (D) [996,00; 1.004,00] 1.004,00]
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
���
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
(E) [920,00; 1.080,00] ������� 13
��� 2008 ������
C������a �� i��e��al� de 95% de c��fia��a �a�a a ��dia de ��a ����la��� ����al a �a��i� d�� dad�� de ��a a�����a alea���ia �i��le� de �a�a�h� 64 de��a ����la���, ��e f���ece� ��a ��dia de 48 e �� de��i���ad��� a�����al de 16, c���ide�a�d� ��e F(1,96) = 0,975, ��de F(�) � a f����� de di���ib�i��� di���ib�i ��� de ��a �a�i��el alea���ia ����al �ad��� � . a) 44,08 a 51,92. b) 41,78 a 54,22. c) 38,2 a 57,8. d) 35,67 a 60,43. e) 32,15 a 63,85. ������� 14
��� 2� ������ 2008 �����
A �ida da� l���ada� fab�icada� ��� ��a e���e�a a��e�e��a ��a di���ib�i��� ����al c�� ��a �a�i��cia ����laci��al ig�al a 400 (h��a�) � . E���ai��e ��a a�����a de 64 l���ada� e �e�ifica��e ��e a �e��ec�i�a �ida ��dia � ig�al a 1.200 h��a�. C���ide�a�d� a ����la��� de �a�a�h� i�fi�i�� e a i�f���a��� da di���ib�i��� ����al �ad��� (Z) ��e a ���babilidade P(Z > 2) = 2,5%, �e���e ��e � i��e��al� de c��fia��a de 95% �a�a a �ida ��dia da� l���ada� � (A) [1.160 , 1.240] (B) [1.164 , 1.236] (C) [1.180 , 1.220] (D) [1.184 , 1.216] (E) [1.195 , 1.205] ������� 15
��������� 2010 ������������
U� le�a��a�e��� �eali�ad� a �e��ei�� d�� �al��i�� �ecebid�� ��� ��a de�e��i�ada cla��e ���fi��i��al ��ili��� ��a a�����a de 100 de��e� ���fi��i��ai�, �a ��al f��a� �b�e��ad�� ��a ��dia de R$ 2.860,00 e �� de��i� �ad��� de R$ 786,00. Q�al �e��, e� �eai�, � de��i� �ad��� da di���ib�i��� da� ��dia� a�����ai� d�� �al��i�� de��a cla��e de ���fi��i��ai�? (A) 3,64 (B) 7,86 (C) 78,60 (D) 786,00 (E) 7.860,00 ������� 16
��� 1� ������/2001 �����
Pa�a �e����de� � ��e���� �eg�i��e, c���ide�e a� �abela� a �eg�i�. Ela� f���ece� alg��� �al��e� da f����� de di���ib�i��� F(�). A �abela 1 �efe�e��e � �a�i��el ����al �ad���, a� �abela� 2 e 3 �efe�e���e � �a�i��el � de S��de�� c�� 10 e 15 g�a�� de libe�dade, �e��ec�i�a�e��e.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
���
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
Tabela 1 � F(�) 1,20 0,885 1,60 0,945 1,64 0,950
Tabela 2 � F(�) 1,37 0,90 1,81 0,95 2,36 0,98
Tabela 3 � F(�) 1,75 0,95 2,25 0,98 2,60 0,99
O �e�� de c�ia��a� �ec����a�cida� d� �e�� fe�i�i�� ���a c����idade �e� di���ib�i��� ����al c�� ��dia µ e de��i� �ad��� de�c��hecid�. U�a a�����a de 16 �ec����a�cid�� �ec����a� cid�� i�dic�� �� �e�� ��di� de 3,0 kg e de��i� �ad��� a�����al ig�al a 0,8 kg. U� i��e��al� de c��fia��a �a�a µ , c�� c�eficie��e de c��fia��a de 96% � dad� ���: a) 3,0 ± 0,37 b) 3,0 ± 0,41 c) 3,0 ± 0, 45 d) 3,0 ± 0,68 e) 3,0 ± 0,73 ������� 17
��� �� 2006 �����
Pa�a �e��l�e� a ��e���� abai��, c���ide�e a� �abela� a �eg�i�. Ela� f���ece� alg��� �al��e� da di���ib�i��� F(�). A �abela 1 �efe�e��e � �a�i��el ����al �ad���, a� �abela� 2 e 3 �efe�e�� �e � �a�i��el � de S��de�� c�� 15 e 16 g�a�� de libe�dade, �e��ec�i�a�e��e: Tabela 1 F(�) � 1,60 0,945 1,64 0,950 2,00 0,977
Tabela 2 F(�) � 1,753 0,95 2,248 0,98 2,583 0,99
Tabela 3 � F(�) 1,746 0,95 2,235 0,98 2,567 0,99
S����d���e ��e a ���ce��age� da �ecei�a i��e��ida e� ed�ca���, d�� 600 ���ic��i�� de ��a �egi��, �e� di���ib�i��� ����al c�� ��dia µ , de�eja��e e��i�a� e��a ��dia. Pa�a �a��� �e ����e�� de���e e��e� 600, alea���ia�e��e e c�� �e���i���, 16 ���ic��i�� e �e �b�e���� �� �e�ce���ai� i��e��id�� ��� ele� e� ed�ca���. O� �e��l�ad�� i�dica�a� ��a ��dia a�����al de 8% e de��i� �ad��� a�����al ig�al a 2%. U� i��e��al� de c��fia��a �a�a , c�� c�eficie��e de c��fia��a de 96%, � dad� ���: µ , a) (8 ± 1,124 )% b) (8 ± 1,117 )% c) (8 ± 0,877 )% d) (8 ± 0,870 )% e) (8 ± 0,755)% ������� 18
��� 7� ������ 2009 �����
O� �al��i�� d�� e���egad�� de de�e��i�ad� �a�� de a�i�idade a��e�e��a� ��a di���ib�i��� ����al c�� ��a �a�i��cia ����laci��al de�c��hecida. U�a a�����a alea���ia ����� ����� �������
���.�������������������.���.��
���
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
de 16 e���egad�� de��e �a�� f�i a�ali�ada a��e�e��a�d� ��a ��dia ig�al a R$ 1.500,00 e �� de��i� �ad��� ig�al a R$ 200,00. C���ide�a�d� a ����la��� de �a�a�h� i�fi�i�� e � ����� � ��a��il da di���ib�i��� � de S��de�� �a�a �e��e ��ica�dal �al ��e P(� > � �����) = 0,025 c�� � g�a�� de libe�dade, �b�e�e��e �� i��e��al� de c��fia��a de 95% �a�a a ��dia ����laci��al. O i��e��al� �b�id�, c�� �� �al��e� e� �eai�, f�i ig�al a
(A) [1.473,50; 1.526,50] (B) [1.473,00; 1.527,00] (C) [1.394,00; 1.606,00] (D) [1.393,50; 1.606,50] (E) [1.392,50; 1.607,50] ������� 19
����� �� 2009 �����
E� ��a �e���i�a de ��ib���� de c���e���cia e��ad�al, e� 2008, �eali�ada c�� 400 �ec�lhi�e���� e�c�lhid�� alea���ia�e��e de ��a ����la��� c���ide�ada de �a�a�h� i�fi�i��, 80% �efe�ia���e a de�e��i�ad� i������. De�eja��e c������i� �� i��e��al� de c��fia��a de 95,5% �a�a a e��i�a�i�a de��a ���������. C���ide�a�d� ����al a di���ib�i��� a�����al da f�e����cia �ela�i�a d�� �ec�lhi�e���� de��e i������ e ��e �a di���ib�i��� ����al �ad��� a ���babilidade P (−2 ≤ Z ≤ 2) = 95,5%, � i��e��al� � (A) [0,70; 0,90] (B) [0,72; 0,88] (C) [0,74; 0,86] (D) [0,76; 0,84] (E) [0,78; 0,82] ������� 20
��� 4� ������ 2009 �����
Se Z �e� di���ib�i��� ����al �ad���, e����: P (Z > 1,64) = 0,05; P(Z > 2) = 0,02; P(0< Z < 1,75) = 0,46 De�eja��e e��i�a� a ��������� (�) de ���ce���� j�lgad�� ��� �� ��ib��al �egi��al d� ��abalh� d��a��e � �e���d� de 2000 a�� 2008. U�a a�����a alea���ia de 10.000 ���ce����, �eleci��ada da ����la��� (������a i�fi�i�a) de ��d�� �� ���ce����, �e�el�� ��e 5.000 f��a� j�lgad�� �� �efe�id� �e���d�. �e���d�. U� i��e��al� de c��fia��a, c�� c�eficie��e de c��fia��a de 90% �a�a �, ba�ead� �e��a a�����a, � dad� ��� (A) 0,5 ± 0,005 (B) 0,5 ± 0,0062 (C) 0,5 ± 0,0065 ����� ����� �������
���.�������������������.���.��
���
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
(D) 0,5 ± 0,0082 (E) 0,5 ± 0,01 ������� 21
����� 2010 �����
Seja X ��a �a�i��el alea���ia ����al�e��e di���ib��da �e��e�e��a�d� � �al��i� d�� e���egad�� e� �� de�e��i�ad� �a�� de a�i�idade. U�a a�����a alea���ia de 100 e���egad�� f�i �eleci��ada e a�������e �� i��e��al� de c��fia��a de 95% �a�a a ��dia de X c��� �e�d� [760,80; 839,20], �����d� a ����la��� de �a�a�h� i�fi�i�� e �abe�d���e ��e � de��i� �ad��� ����laci��al � ig�al a R$ 200,00. Ca�� � �a�a�h� da a�����a �i�e��e �id� de 1.600 e �b�e�d���e a �e��a ��dia a��e�i��, � i��e��al� de c��fia��a de 95% a��e�e��a�ia ��a a��li��de ig�al a (A) R$ 78,40. (B) R$ 39,20. (C) R$ 49,00. (D) R$ 58,80. (E) R$ 19,60. ������� 22
��� �� 2009 �����
A d��a��� de �ida de �� de�e��i�ad� e��i�a�e��� a��e�e��a ��a di���ib�i��� ����al c�� ��a �a�i��cia ����laci��al ig�al a 100 (dia�) �. U�a a�����a alea���ia de 64 de��e� e��i�a�e���� f���ece� ��a ��dia de d��a��� de �ida de 1.000 dia�. C���ide�a�d� a ����la��� de �a�a�h� i�fi�i��, �� i��e��al� de c��fia��a de ( 1 − α ) c�� a��li��de a��li� �de de 4,75 dia� �a�a a ��dia f�i c�������d�. Ca�� � �a�a�h� da a�����a �i�e��e �id� de 400, �b�e�d�� �e a �e��a ��dia de 1.000 dia�, a a��li��de d� i��e��al� de c��fia��a de ( 1 − α ) �e�ia de (A) 0,950 dia�. (B) 1,425 dia�. (C) 1,900 dia�. (D) 2,375 dia�. (E) 4,750 dia�. ������� 23
�����/2006 �����.
O� ��e��� de �� de�e��i�ad� ���d��� �e�did� �� �e�cad� ��� ��a di���ib�i��� ����al c�� de��i� �ad��� ����laci��al de R$ 20,00. P�� �ei� de ��a �e���i�a �eali�ada c�� ��a a�����a alea���ia de �a�a�h� 100, c�� �� de�e��i�ad� ���el de c��fia��a, a�������e, �a�a a ��dia de��e� ��e���, �� i��e��al� de c��fia��a �e�d� [R$ 61,08; R$ 68,92]. A �e��a ��dia a�����al f�i �b�ida ��ad���lica�d� � �a�a�h� da a�����a e ��ili�a�d� �a�b�� � �e��� ���el de c��fia��a. N�� d�i� ca��� c���ide�����e i�fi�i�� � �a�a�h� da ����la���. ����la���. O ���� i��e��al� de c��fia��a e�c����ad� �� �eg��d� ca�� f�i: a) [R$ 63,04; R$ 66,96] b) [R$ 62,06; R$ 67,94] c) [R$ 61,57; R$ 68,43]
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
���
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
d) [R$ 61,33; R$ 68,67] e) [R$ 61,20; R$ 68,80] ������� 24
���������� �� ��� ����� 2007 �����
Pa�a �e����de� � ��e���� �eg�i��e, ��ili�e, de���e a� i�f���a��e� abai��, a� ��e j�lga� ade��ada�. Se Z �e� di���ib�i��� ����al �ad���, e����: P (0 < Z < 1)
=
P (0 < Z < 1,6)
0,341 =
0, 445
P (0 < Z < 2) = 0, 477
U�a �a�i��el alea���ia � �e� di���ib�i��� ����al c�� ��dia µ e de��i� �ad��� 100. O �a�a�h� da a�����a �a�a ��e a dife�e��a, e� �al�� ab��l���, e���e a ��dia a�����al e µ �eja �e��� d� ��e 2, c�� c�eficie��e de c��fia��a de 89% �: a) 1.000 b) 2.200 c) 2.800 d) 3.600 e) 6.400 ������� 25
��� 3� ������ 2009 �����
Se Z �e� di���ib�i��� ����al �ad���, e����: P(Z > 1,64) = 0,05, P(Z > 2) = 0,02, P(0 < Z < 2,4) = 0,49, P(0 < Z < 0,68) = 0,25 Se � �e� � e� di���ib�i��� de S��de�� c�� 3 g�a�� de libe�dade P(�
>
1,638) = 0,10
Se � �e� � e� di���ib�i��� de S��de�� c�� 4 g�a�� de libe�dade P(�
>
1,533) = 0,10
A e��e�i��cia c�� ��abalhad��e� de ��a ce��a i�d����ia i�dica ��e � �e��� �e��e�id� �a�a ��e �� ��abalhad��, alea���ia�e��e �eleci��ad�, �eali�e �� �e��i��, � di���ib��d� de �a�ei�a a����i�ada�e��e ����al c�� de��i� �ad��� de 12 �i�����. De�eja��e, ��� �ei� de ��a a�����a alea���ia, c�� �e���i���, e��i�a� a ��dia ����laci��al. O �a�a�h� de��a a�����a, �a�a ��e a dife�e��a e� �al�� ab��l��� e���e � �e�dadei�� �al�� ����laci��al e ��a e��i�a�i�a �eja de �� ���i�� 2 �i�����, c�� ���babilidade de 96%, � (A) 64 (B) 81 (C) 100 (D) 144 (E) 196 ������� 26
���������� �� ����� 2007 �����
Pa�a �e����de� � ��e���� �eg�i��e c���ide�e, de���e �� dad�� abai��, a��ele� ��e j�lga� a�����iad��. Se Z �e� di���ib�i��� ����al �ad���, e����: P ( Z > 2)
=
0,023 ; P (0 < Z < 1,6)
����� ����� �������
=
0, 445 ; P ( Z < 1)
=
0,84 ; P ( 0 < Z < 2,33)
���.�������������������.���.��
=
0, 49
���
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
Pa�a e��i�a� a ��������� de c��a de �� �edica�e��� a��i�a�a�i���i� �eali�����e �� e��e�i�e��� cl��ic�, a�lica�d���e � �edica�e��� e� ��� d�e��e� e�c�lhid�� a� aca��. Ne��a a�����a f�i c���ide�ad� ��e 80% d�� d�e��e� f��a� c��ad��. C�� ba�e �e��a� i�f���a��e� e ��ili�a�d� � Te��e�a Ce���al d� Li�i�e, � �al�� de �, �a�a ��e � e��� c��e�id� �a e��i�a��� �eja �� ���i�� 0,08, c�� c��fia��a de 89%, � de: a) 16 b) 25 c) 36 d) 49 e) 64 ������� 27
��� 2� ������ 2008 �����
E� ��a cidade, c���ide�ada c�� ��a ����la��� de �a�a�h� i�fi�i��, � fei�� �� e���d� �bje�i�a�d� de�ec�a� a ��������� de habi�a��e� ��e ��efe�e� a �a�ca d� �ab��e�e X. U�a a�����a �il��� f���ece� �� �al�� de 20% �a�a e��a ���������. De�eja��e �b�e� �� i��e��al� de c��fia��a de 95% �a�a a ���������, �e�d� � i��e��al� ��a a��li��de de 10%. Se a di���ib�i��� a�����al da f�e����cia �ela�i�a d�� habi�a��e� ��e ��efe�e� a �a�ca d� �ab��e�e X � ����al e ��ili�a�d� a i�f���a��� da di���ib�i��� ����al �ad��� (Z) ��e a ���babilidade P(�Z� ≤ 2) = 95%, �e���e ��e � �a�a�h� da a�����a de�e �e� de (A) 400 (B) 361 (C) 324 (D) 289 (E) 256 ������� 28
��� �� 2006 �����
Pa�a �e��l�e� a ��e���� abai��, c���ide�e a� �abela� a �eg�i�. Ela� f���ece� alg��� �al��e� da di���ib�i��� F(�). A �abela 1 �efe�e��e � �a�i��el ����al �ad���, a� �abela� 2 e 3 �efe�e�� �e � �a�i��el � de S��de�� c�� 15 e 16 g�a�� de libe�dade, �e��ec�i�a�e��e: Tabela 1 F(�) � 1,60 0,945 1,64 0,950 2,00 0,977
Tabela 2 F(�) � 1,753 0,95 2,248 0,98 2,583 0,99
Tabela 3 � F(�) 1,746 0,95 2,235 0,98 2,567 0,99
U� e�ge�hei�� e�ca��egad� d� c�����le de ��alidade de�eja e��i�a� a ��������� � de l���ada� defei����a� de �� l��e, c�� ba�e ���a a�����a de �a�a�h� 400. Sabe��e, c�� ba�e e� e��e�i��cia� a��e�i��e�, ��e � de�e e��a� ����i�� de 0,5. U�a�d� � �e��e�a d� li�i�e li�i� e ce���al �a�a e��i�a� a a��li��de d� i��e��al� de c��fia��a c��fia ��a de 90% �a�a �, ��de��� afi��a� ��e a a��li��de d� i��e��al� de c��fia��a �, a����i�ada�e��e, a����i�ada�e��e, ig�al a: a) 0,041 b) 0,045
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
���
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
c) 0,058 d) 0,070 e) 0,082 ������� 29
��� �� 2009 �����
E� ��a cidade c�� ��a g�a�de ��a��idade de elei���e�, ce��� ca�dida�� e�c��e�da ��a �e���i�a �i�a�d� �e�ifica� ��al �e�� a ��������� de ����� a �e� fa���, e��abelece�d� ��e � e��� a�����al da ��������� �eja �� ���i�� 2%. Pa�a a �e���i�a c���ide�����e ����al a di���ib�i��� a�����al da f�e����cia �ela�i�a d�� elei���e� ��e �a�ife��a�a� �e� i��e�e��e e� ���a� �� ca�dida�� e ��e �a di���ib�i��� ����al �ad��� (Z) a ���babilidade P (�Z�≤ 1,8) = 93%. O �e��l�ad� da �e���i�a a��e�e���� ��a �a�i��cia c�� �al�� ���i�� e c�� �� i��e��al� de c��fia��a de 93%. O �a�a�h� da a�����a f�i e���� de (A) 8.000 (B) 5.000 (C) 4.000 (D) 2.500 (E) 2.025 ������� 30
����� �� 2007 �����
U�a �e���i�a �ece��e f�i �eali�ada �a�a a�alia� � �e�ce���al da ����la��� fa�����el � elei��� de �� de�e��i�ad� ����� ������ic� �a�a c����a� �� �el� c��e���a�i�� de a�i�e����i� da cidade. Pa�a i���, �eleci������e ��a a�����a alea���ia �i��le� e���a�da de ��a ����la��� i�fi�i�a. O �e��l�ad� a����� 50% de i��e���� de ����� �a�a e��e ����� ������ic�. C���ide�a�d� ��e a �a�ge� de e��� f�i de 2 ������ �e�ce���ai�, �a�a �ai� �� �a�a �e���, e ��e � ���el de c��fia��a ��ili�ad� f�i de 95%, f��a� ���ida�, a����i�ada�e��e: (A) 50 �e���a�. (B) 100 �e���a�. (C) 1.200 �e���a�. (D) 2.400 �e���a�. (E) 4.800 �e���a�. ������� 31
����� �� 2009 �����
Pa�a e�a�i�a� a ��i�i�� de ��a ����la��� ��b�e ��a �������a, f�i ����ada ��a �e���i�a de ��i�i�� e� ��e f��a� ���ida� 1680 �e���a�, da� ��ai� 51,3% �e decla�a�a� fa�����ei� � �������a. O� a�ali��a� �e�������ei� de�e��i�a�a� ��e a �a�ge� de e��� de��e �e��l�ad�, e� �� de�e��i�ad� ���el de c��fia��a, e�a de 2 ������ �e�ce���ai�, �a�a �ai� �� �a�a �e���. C���ide�a�d� ��e f���e de�ejada ��a �a�ge� de e��� de 1 ����� �e�ce���al, �a�a �ai� �� �a�a �e���, �� �e��� ���el de c��fia��a, a��i�ale a al�e��a�i�a ��e i�di��e � ���e�� de �e���a� ��e de�e�ia� �e� ���ida�. (A) 840 (B) 2520
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
���
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
(C) 3360 (D) 5040 (E) 6720 ������� 32
�� ���� 2009 �����
U�a e���e�a �e� �� ���al de 200 cab�� e� e�����e. U�a e��e�i��cia c�� 64 dele�, �eleci��ad�� a� aca��, a��e�e���� ��a �e���� de ������a ��dia de 2.000 kg. C���ide�a�� �e a� �e���e� de ������a d�� cab�� ����al�e��e di���ib��da� c�� de��i� �ad��� ����laci��al ig�al a 100 kg. Pa�a �� ���el de �ig�ific��cia α �a di���ib�i��� ����al �ad��� (Z) a ���babilidade P(Z > 1) = α / 2 . A a��li��de d� i��e��al� de c��fia��a c��fia��a de (1 � α) �a�a a �e���� de ������a ��dia � (e� kg), c���ide�a�d� k =
136 199
:
(A) 12,5 k 1 −
(B) 20 k 1 −
(C) 12,5 � (D) 20 � (E) 25 � ������� 33
������ 2008 �����
A �a��� da� �a�i��cia� d� e��i�ad�� de ��������� ���a ����la��� de �a�a�h� �, ��b �� e���e�a� de a�����age� alea���ia �i��le� de �a�a�h� � c�� �e���i��� e �e� �e���i��� �: (A) 1. (B) ���. (C) ���. (D) ����������). (E) ������������ ������� 34
��� 4� ������ �����
U�a ����la��� �����i 15 ele�e���� e �e� �a�i��cia σ 2 . De��a ����la��� �e�i�a��e ��a a�����a alea���ia �e� �e���i��� de � ele�e����. Sabe�d���e ��e a ��dia a�����al de��e� � ele�e���� �e� �a�i��cia ig�al a
σ 2 28
, � �al�� de � � dad� ���
(A) 5 (B) 10 (C) 14 (D) 25 (E) 28
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
���
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
������� 35
���� 2008 ������������
Se � i��e�e��e f�� �� e��i�ad�� ��� �ie�ad�, de�e��e ��ili�a� a�e�a� (A) T1 (B) T4 (C) T1 �� T4 (D) T2 �� T5 (E) T1 �� T2 �� T3 ������� 36
���� 2008 ������������
Le�a�d���e e� c���a a� �����iedade� de �� b�� e��i�ad��, � �elh�� de���e �� e��i�ad��e� ��������� � (A) T1 (B) T2 (C) T3 (D) T4 (E) T5 ������� 37
��������� 2010 ������������
Q�a�d� �e la��a ��a ce��a ��eda, a ���babilidade de � �e��l�ad� �e� ca�a � �. A ��eda f�i la��ada de� �e�e�, ��ce��i�a� e i�de�e�de��e�, e � �e��l�ad� f�i de 2 ca�a� e 8 c���a�. Te�d� e� �i��a e��e e��e�i�e���, a e��i�a�i�a de ���i�a �e����i�ilha��a �e����i�ilha��a de � � (A) 0.2 (B) 0.25 (C) 0.3 (D) 0.35 (E) 0.4 ������� 38
����� 2008 ������������ � �����������
C���ide�e a� a��e���e� a �eg�i�. A ��dia a�����al � �e���e �� e��i�ad�� ��� �iciad� �a�a a ��dia de ��a ����la���. PORQUE O e��� �ad��� d� e��i�ad�� ��� �iciad� �a�a a ��dia de ��a ����la��� � �ai�� d� ��e a �a�i��cia da ����la���. A�ali�a�d���e A�ali�a�d���e a� a��e���e�, c��cl�i��e ��e (A) a� d�a� a��e���e� ��� �e�dadei�a�, e a �eg��da � ��a j���ifica�i�a c���e�a da ��i�ei�a. (B) a� d�a� a��e���e� ��� �e�dadei�a�, e a �eg��da ��� � ��a j���ifica�i�a c���e�a da ��i�ei�a. (C) a ��i�ei�a a��e���� � �e�dadei�a, e a �eg��da � fal�a.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
���
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
(D) a ��i�ei�a a��e���� � fal�a, e a �eg��da � �e�dadei�a. (E) a ��i�ei�a e a �eg��da a��e���e� ��� fal�a�. ������� 39
�� �� 2005 ������������
C�� ba�e e� ��a a�����a alea���ia �i��le� ( � �, � �,..., � �) de ��a ����la��� de ��dia c��hecida µ , , �� e��i�ad�� ��� �iciad� da �a�i��cia da ����la��� �: a) b) c) d) e)
2
( X 1 − µ )
+
( X 2 − µ )2 + ... + ( X n − µ )2 n−2
( X 1 − µ )
2
+
( X 2 − µ )2 + ... + ( X n − µ )2 n −1
( X 1 − µ )
2
+
( X 2 − µ )2 + ... + ( X n − µ )2 n
( X 1 − µ )
2
+
( X 2 − µ )2 + ... + ( X n − µ )2 n +1
( X 1 − µ )
2
+
( X 2 − µ )2 + ... + ( X n − µ )2 n+2
������� 40
��� ��/2006 �����
C�� �ela��� � �e��ia ge�al da a�����age�, � i�c���e�� afi��a� ��e: a) Q�a��� �e��� � e��� �ad��� da e��i�a�i�a, �e��� �e�� a c��fiabilidade e a ��eci��� da e��i�a�i�a. b) E� ��a a�����a ��� c��gl��e�ad�� a ����la��� � di�idida e� ��b�����la��e� di��i��a�. c) A �eali�a��� de ��a a�����age� alea���ia �i��le� �� � ������el �e � �e���i�ad�� �e���i�ad�� �����i� ��a li��a c���le�a de cada ��idade a�����al. d) U� e��i�ad�� � c���ide�ad� ��� �iciad� ��a�d� ��a e��e�a��a � ig�al a� �al�� ����laci��al ��e e��� �e�d� �e���i�ad�. e) A�����age� e���a�ificada c���i��e �a di�i��� de ��a ����la��� e� g����� �eg��d� alg��a ca�ac�e����ica c��hecida. O� e���a��� da ����la��� de�e� �e� ����a�e��e e�cl��i���. ������� 41
��� 2007 �����
C�� �ela��� � �e��ia ge�al da a�����age�, � c���e�� c ���e�� afi��a� ��e: a) �a a�����age� alea���ia �i��le�, a �ele��� da� ��idade� a�����ai� �� ��de �e� �eali�ada �e� �e���i���. b) a a�����age� ��� c��gl��e�ad�� e� ge�al � �ai� eficie��e e �e��� ec����ica ��a�d� c���a�ada c�� � ����d� de a�����age� alea���ia �i��le�. c) �a a�����age� e���a�ificada, �� e���a��� da ����la��� ��� �ece��i�a� �e� ����a�e��e e�cl��i���. d) � a��e��� d� �a�a�h� da a�����a �e� c��� c���e����cia � a��e��� d� e��� �ad��� da� e��i�a�i�a�
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
���
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
e) � �i�� �� ��ci� de �� e��i�ad�� de �� �a���e��� � a dife�e��a e���e � �e� �al�� e��e�ad� e � �al�� d� �a���e���. ������� 42
��� 2008. ������
Seja T �� e��i�ad�� de �� �a���e��� θ de ��a ����la���. Se E (T ) = θ , di���e ��e T � �� e��i�ad�� de θ : a) eficie��e b) ��� e��ie�ad� c) c���i��e��e d) de ���i��� ��ad�ad�� e) de ���i�a �e����i�ilha��a �e����i�ilha��a ������� 43
��� �� 2009 �����
Seja ( � . � �, � �, � �) ��a a�����a alea���ia �i��le� de ��a di���ib�i��� ����al c�� ��dia µ . F��a� �b�id�� 3 e��i�ad��e� �a�a µ : : X 1 + X 2
Y 1
=
Y 2
=
+ X 3
3 2 X 1
Y 3 = X 1
+ X 2 − 3 X 3
+
2 X 2
−
2 X 3
E����, APENAS (A) Y � ��� �ie�ad�. �
(B) Y e Y ��� ��� �ie�ad��. �
�
(C) Y e Y ��� �ie�ad��. �
�
(D) Y e Y ��� �ie�ad��. �
�
(E) Y e Y ��� �ie�ad��. �
�
������� 44
��������� 2005 ������������
C�� ba�e e� ��a a�����a alea���ia ( x1 , x 2 ,..., x n ) � e��i�ad�� de ���i�a �e����i�ilha��a �e����i�ilha��a λ
e − λ x
d� �a���e��� λ �a di���ib�i��� di���ib�i� �� de P�i����, P ( X = x ) =
x!
�a�a x = 0,1, 2,... � a:
(A) ��dia ��ad���ica da a�����a. (B) ��dia ge�����ica da a�����a. (C) ��dia ha����ica da a�����a. (D) ��dia a�i����ica da a�����a. (E) �edia�a da a�����a.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
���
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
9.
�ABA����
1
b
16
c
31
e
2
c
17
a
32
e
3
e
18
d
33
d
4
a
19
d
34
b
5
e��ad�
20
d
35
e
6
e
21
e
36
b
7
e
22
c
37
a
8
b
23
a
38
c
9
c
24
e
39
c
10
e
25
d
40
a
11
e
26
e
41
e
12
b
27
e
42
b
13
a
28
e
43
b
14
e
29
e
44
d
15
c
30
d
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
���
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
10.
�AB��A � � D�����B����� ����A�
�� �,� �,� �,� �,� �,� �,� �,� �,� �,� �,� �,� �,� �,� �,� �,� �,� �,� �,� �,� �,� �,� �,� �,� �,� �,� �,� �,� �,� �,� �,� �,�
11.
� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,����
�,�� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,����
�,�� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,����
������������� �� � ����� ����� � � �� ������� ���� ������� �� �� �,�� �,�� �,�� �,�� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,����
�,�� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,����
�,�� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,����
�,�� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,���� �,����
�AB��A �� � D�����B����� � D� ���D���
������������ � ������ ��� � ������ ���� �� ������� � ������ ������� ������� �� t 0 ��� ��� � ������������� �� t ������� ������� ����� − t 0 � + t 0 ���� ����� � ��
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
���
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� ����� �� ��������� � � � � � � � � � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� ��� ∞
�,� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,���
����� ����� �������
������� �� � (������������� ��������� �� ���������) �,� �,�� �,�� �,�� �,��� ��,��� ��,��� ��,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,���
���.�������������������.���.��
�,��� ���,��� ��,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,��� �,���
���