���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
AULA 13: Principais distribuições de probabilidade ��
������������ �������� �������� ���������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������������� �
��
������������ �� ��������� �������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������������������������������������������� ������������������������������������ �
��
������������ �������� �������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������� � 3.1.
Introdução ....................................................... ........................................................... ........................... 7
3.2.
Fórmula da probabilidade para a variável binomial........................................................... ................. 9
3.3.
Média e variância da distribuição binomial ..................................................... .................................. 16
3.4.
Distribuição binomial e proporções ....................................................... ............................................ 20
��
������������ �� ������������������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������������������������� ��
��
������������ �������� �������� �������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������������������������������� ��������������������� ��
��
������������ ������ ���������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������� �� 6.1.
Utilização das tabelas. ............................................................................................... ......................... 45
6.2.
Aproximação da distribuição binomial pela distribuição distribuição normal ...................................................... 68
��
���������� ���������� ������������������������������������������������������������������ ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������� �� 7.1.
Amostragem aleatória simples ...................................................... ...................................................... 73
7.2.
Amostragem estratificada ................................................... ........................................................... ..... 73
7.3.
Amostragem por conglomerados ............................................................ ............................................ 74
7.4.
Amostragem sistemática...................................................... ........................................................... ..... 75
7.5.
Amostragem por julgamento ......................................................... ...................................................... 75
��
������� �������������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������� ��
��
�������� ������������ �� ������������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������ ��������������������� ��
���
�������� ��������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ ��������������������������������������������������������� ���
���
������ �� ������������ ������������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������������������������� ������������������� ���
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
�
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
1.
������B����� �������� �������A
A di���ib�i��� ��if���e di�c�e�a � � �i�� �ai� �i���e� de �a�i��e� a�ea���ia. � a �a�i��e� e� ��e ��d�� �� �a���e� ��� a �e��a ���babi�idade de �c���e�. U� e�e���� be� �i���e�, e ��e j� �e��� ��aba�had�, � � ca�� d� �a��a�e��� d� dad� de �ei� face�. A �a�i��e� ��e de�ig�a � �e����ad� d� �a��a�e��� � di�c�e�a (��de� �c���e� a�e�a� �� �a���e� 1, 2, 3, 4, 5 e 6). A��� di���, �e � dad� f�� h��e���, ��d�� �� �e����ad�� ��� e��i������ei�. e��i������ei�. Di�e��� ��e a �a�i��e� e� ��e���� � di�c�e�a e ��if���e. Seja � a �a�i��e� di�c�e�a ��if���e ��e ��de a����i� ��� �e����ad�� dife�e��e� ( x1 , x 2 , x3 , ..., xn ). A e��e�a��a e��e�a��a de � fica: fica: �
� �
A e��e�a��a � �i���e��e��e a ��dia a�i����ica de ��d�� �� �a���e� ��e ��de� �c���e�.
������� 1
�� �� 2008 ������������
U�a ���a c����� de� b��a�, cada ��a g�a�ada c�� �� ���e�� dife�e��e, de 1 a 10. U�a b��a � �e�i�ada da ���a a�ea���ia�e��e e � � � ���e�� �a�cad� �e��a b��a. � � ��a �a�i��e� a�ea���ia c�j�(a) (A) de��i� �ad��� � 10. (B) ��i�ei�� ��a��i� � 0,25. (C) ��dia � 5. (D) di���ib�i��� de ���babi�idade� � ��if���e. (E) di���ib�i��� de ���babi�id ���babi�idade� ade� � a��i����ica.
���������.
Ne��e e�e�c�ci�, a �a�i��e� � � � di�c�e�a (a����e a�e�a� �� �a���e� i��ei��� de 1 a 10). A��� di���, e�a � ��if���e, ��i� ��da� a� ������ei� �ea�i�a��e� ��� ���babi�idade de 10% (�� �eja, a� ���babi�idade� ��� ��da� ig�ai� e���e �i). A ��e���� ��� �edi�, �a� ��de��� ca�c��a� a ��a e��e�a��a. A e��e�a��a � �i���e��e��e a ��dia a�i����ica d�� �a���e� ��e � ��de a����i�. �� � � � � � � � � � � ���� � � � � � � � �� � ���
��������: �
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
�
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
2.
������B����� �� B��������
S�� de g�a�de i�������cia a�g��� �i��� de e��e�i�e��� e� ��e a �a�i��e� de i��e�e��e ��de a����i� a�e�a� d�i� �a���e�. P�de��� fa�a� e� ��ce���� e f�aca����. U� e�e���� � � �a��a�e��� de ��a ��eda. Te��� d�i� �e����ad�� ������ei� (ca�a e c���a). P�de��� c���ide�a� ��e �ca�a� � ��ce��� e �c���a� � f�aca���. E� ca��� a��i�, � c���� a��ib�i���� a��ib�i���� a� ��ce��� � �a��� 1 e a� f�aca��� � �a��� �e��. Seja � a �a�i��e� a�ea���ia ��e a����e � �a��� 1 ��a�d� � �e����ad� d� �a��a�e��� da ��eda � ca�a e ��e a����e � �a��� 0 ��a�d� � �e����ad� d� �a��a�e��� � c���a. A �a�i��e� a�ea���ia � a����e a����e a�e�a� �� �a���e� 0 e 1. � ��a �a�i��e� de Be������i. A��� di���, � � �a�b�� ��a �a�i��e� di�c�e�a (��i� a����e a�e�a� a�g��� �a���e�, ��ai� �eja�, 0 e 1). Ca�� a ��eda �eja h��e��a, e���� a ���babi�idade de ��ce��� � ig�a� � ���babi�idade de f�aca��� (e a�ba� �a�e� 50%). Te��a��� ��a di���ib�i��� ��if���e. Ne��e ca��, X �e�ia di�c�e�a, ��if���e e, a��� di���, �e�ia di���ib�i��� de Be������i. M�de��� de e�e����. C���ide�e � �a��a�e��� de �� dad� de �ei� face�. Se �ai� �� ����i��� de 3, c���ide�a��� ��ce���. Se ��� �ai� �� ����i��� de 3, c���ide�a��� c���ide�a��� f�aca���. Va��� c�ia� ��a �a�i��e� a�ea���ia �. A ����a �a�i��e� a�ea���ia � �ai �e c������a� da �eg�i��e f���a. Se � �e����ad� d� �a��a�e��� d� dad� f�� 1, 2, 4, 5, �e�e��� f�aca���. E���� � a����e �a��� �e��. Se � �e����ad� d� �a��a�e��� d� dad� f�� 3 �� 6, �e�e��� ��ce���. E���� � a����e �a��� 1. Di�e��� ��e � � ��a �a�i��e� de Be������i. E�a �e� a �eg�i��e di���ib�i��� de ���babi�idade: I 0 1
P 2/3 1/3
A ���babi�idade de � a����i� � �a��� �e�� � 2/3. E a ���babi�idade de � a����i� � �a��� 1 � 1/3. ���� ����!!! ������������ �� ���������
A����e a�e�a� �� �a���e� 0 e 1.
A g�a�de i�������cia da �a�i��e� de Be������i, e� �e���� de c��c�����, � ��e e�a �e��e ��a ge��e e���da� ����a �a�i��e�: a Bi���ia�. Ge�e�ica�e��e, i�dica��� ��� � a ���babi�idade ��ce��� e � a ���babi�idade de f�aca���. C�� i���, a di���ib�i��� da �a�i��e� � �e�ia:
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
�
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� �
0 1
P��babi�idade � �
E ��a e��e�a��a �e�ia:
� � � � � � � P�� ��a �e�, a e��e�a��a de �� � ig�a� a:
� � � � � � �
Di��� �e����a ��e a �a�i��cia de � � ig�a� a:
� − � −
C���ca�d� � e� e�id��cia:
� � � − � ���� ����!!! ����� � ��������� �� �������� ��� ������������ �� ���������
� �
������� 1
C���ide�e a di���ib�i��� de ���babi�idade� �a�a a �a�i��e� Y: Y 1 2 3
P��babi�idade 0,5 0,2 0,3
a) a �a�i��e� � � � di�c�e�a �� c������a? b) a �a�i��e� � � � ��if���e? P�� ���? c) a �a�i��e� � �e� �e� di���ib�i��� de Be������i? P�� ���? d) ca�c��e a e��e�a��a e a �a�i��cia de � .
���������:
F�i dada a �eg�i��e di���ib�i��� de ���babi�idade. Y 1 2 3
P��babi�idade 0,5 0,2 0,3
A �a�i��e� � � � di�c�e�a. E�a ��� ��de a����i� ��a���e� �a��� e� �� dad� i��e��a�� �ea�.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
�
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
A �a�i��e� � ��� ��de �e� c�a��ificada c��� ��if���e. Na �a�i��e� di�c�e�a ��if���e, a� ���babi�idade� de �c�����cia de cada �a��� ��� ��da� ig�ai� e���e �i. N�� � � ca�� de��a ��e����. A ���babi�idade de � �e� �e� ig�a� a 1 � �ai�� ��e a ���babi�idade de � �e� �e� ig�a� a 2. A �a�i��e� � �a�b�� �a�b�� ��� ��de �e� c�a��ificada c��� de Be������i. A �a�i��e� � ��� ��� a����e a�e�a� �� �a���e� �e�� e 1. P���a���, ��� �e� di���ib�i��� de Be������i. Va��� ag��a ca�c��a� a e��e�a��a de � . C��� fa�e��� �a�a ��a���e� �a�i��e� di�c�e�a, c���ide�a��� ��e a ���babi�idade � a����ga � f�e����cia �e�a�i�a �i���e�. E (Y ) = ∑ y i
× P( yi )
E (Y ) = 1 × 0,5 + 2 × 0, 2 + 3 × 0,3 = 0,5 + 0,4 + 0,9 = 1,8
Fi�a��e��e, �a��� ca�c��a� a �a�i��cia de � . 2 2 E (Y ) = 1
× 0,5 +
22
2
× 0, 2 + 3 × 0,3 = 0,5 +
0,8 + 2,7 = 4
L�g�: V (Y ) = E (Y 2 ) − µ Y 2 V (Y ) = 4 − 1,8
2
= 0,76
������� 2
C���ide�e a di���ib�i��� de ���babi�idade� �a�a a �a�i��e� Z: Z 1,24 2
6,55 100
P��babi�idade 0,25 0,25 0,25 0,25
a) a �a�i��e� Z � di�c�e�a �� c������a? b) a �a�i��e� Z � ��if���e? P�� ���? c) a �a�i��e� Z �e� di���ib�i��� de Be������i? P�� ���?
���������:
F�i dada a �eg�i��e di���ib�i���: Z 1,24 2
6,55 100
P��babi�idade 0,25 0,25 0,25 0,25
A �a�i��e� Z a����e a�e�a� a�g��� �a���e� (��� a�e�a� 4). E�a � ��a �a�i��e� di�c�e�a. M�i�a ge��e c��f��de i���. O fa�� de ��a �a�i��e� a�ea���ia a����i� �a���e� ��� i��ei��� (c���
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
�
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
1,24 �� c��� �ai� de 2) ��� �ig�ifica ��e e�a �eja c������a. Se a �a�i��e� Z f���e c������a e�a ��de�ia a����i� ��a���e� �a��� �ea� c���id� ��� dad� i��e��a��. N��e ��e a� ���babi�idade� de ��d�� �� �a���e� ��� ig�ai� e���e �i (��da� �a�e� 0,25). A �a�i��e� Z �, ����a���, ��if���e. P�� ����� �ad�, c��� e�a ��� a����e a�e�a� �� �a���e� 0 e 1, e�a ��� ��de �e� c�a��ificada c��� de Be������i.
������� 3
C���ide�e a di���ib�i��� de ���babi�idade� �a�a a �a�i��e� K: K 0 1
P��babi�idade 0,5 0,5
a) a �a�i��e� K � di�c�e�a �� c������a? b) a �a�i��e� K � ��if���e? P�� ���? c) a �a�i��e� K �e� di���ib�i��� de Be������i? P�� ���?
���������:
F�i dada a �eg�i��e di���ib�i��� de ���babi�idade: K 0 1
P��babi�idade 0,5 0,5
A �a�i��e� K a����e a�e�a� a�g��� �a���e�. E�a � di�c�e�a. A��� di���, a� ���babi�idade� ��� ��da� ig�ai� e���e �i (�a�e� 0,5 cada ��a). P�de��� c�a��ifica� a �a�i��e� K c��� ��if���e. P�� fi�, a �a�i��e� K a����e a�e�a� �� �a���e� 0 e 1. I��� fa� c�� ��e e�a, a��� de �e� di�c�e�a ��if���e, �e�ha di���ib�i��� de Be������i. Be������i.
������� 4
C���ide�e a di���ib�i��� de ���babi�idade� �a�a a �a�i��e� T: T 0 1
P��babi�idade 0,75 0,25
a) a �a�i��e� T � di�c�e�a �� c������a? b) a �a�i��e� T � ��if���e? P�� ���?
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
�
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
c) a �a�i��e� T �e� di���ib�i��� de Be������i? P�� ���?
���������:
T 0 1
P��babi�idade 0,75 0,25
A �a�i��e� T � di�c�e�a. C����d�, ��� � ��if���e, ��i� a� ���babi�idade� ��� ��� ig�ai� e���e �i (a ���babi�idade de T �e� ig�a� a �e�� � �ai�� ��e a ���babi�idade de T �e� ig�a� a 1). De ��d� di�e���, T ��de �e� c�a��ificada c��� de Be������i, ��i� a����e a�e�a� �� �a���e� 0 e 1.
������� 2
��� ����� 2010 ����������
Pa�a ��a de�e��i�ada ��eda ��iciada�, a ���babi�idade de �e �b�e� �� �e����ad� �ca�a� � ig�a� a 30%. Seja, e����, a �a�i��e� a�ea���ia X ��e a����e a�e�a� �� �a���e� 0 e 1, �e�d� 0 �a�a �e����ad� �c���a� e 1 �a�a �e����ad� �ca�a�. A��i�a�e a a��e��a�i�a ��e a��e�e��a, �e��ec�i�a�e��e, � �a��� ��di� e a �a�i��cia de X. (A) 0,21 e 0,3 (B) 0,7 e 0,21 (C) 0,21 e 0,7 (D) 0,3 e 0,21 (E) 0,3 e 0,7
���������.
A ���babi�idade de ��ce��� � 30% e a de f�aca��� � 70% ( � ���� � ���). L�g�:
� � ���� ��� � ��� ��� � ���� ���� � � ���
��������: �
3.
������B����� B�����A�
3.1.
����������
A di���ib�i��� bi���ia� � a��ic��e� ��a�d� �e��� ���i�� e��e�i�e���� i�de�e�de��e� e, a cada �� de�e�, a���cia��� ������ ���� ����������. P�de��� �e��a� e� �e����ad�� fa�����ei� e �e����ad�� de�fa�����ei�. O� e� ��ce���� e f�aca����.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
�
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
P�� e�e����: �a��� �a��a� �� dad�. Va��� c���ide�a� �� �e����ad� fa�����e� (��ce���) �e �ai� �� ����i��� de 3. Va��� c���ide�a� �� �e����ad� de�fa�����e� (f�aca���) �e ��� �ai� �� ����i��� de 3. Seja � �� a �a�i��e� ��e, e� ca�� de ��ce���, a����e � �a��� 1. E, e� ca�� de f�aca���, a����e � �a��� �e��. A cada �a��a�e���, a ���babi�idade de �c���e� �� e�e��� fa�����e� � de 1/3 (�� �eja, a ���babi�idade de � = 1 � de 1/3). E a ���babi�idade de �c���e� �� e�e��� de�fa�����e� � 2/3 (a ���babi�idade de � = 0 � 2/3). C��� j� �i���, � �� � ��a �a�i��e� de Be������i. Seg�e a di���ib�i��� de ���babi�idade� da �a�i��e� I: I 0 1
P��babi�idade 2/3 1/3
M�i�� be�, �� ��e ��� �a��� �a��a� � dad� ��a ��ica �e�. Va��� �a��a� � dad� ���� �e�e�. A �a�i��e� a�ea���ia � �ai �ai �e��e�e��a� � ���e�� de ��ce���� e� ���� �a��a�e����. U� ������e� �e����ad� d�� ���� �a��a�e���� �e�ia: 2, 4, 3. Va��� �e� c��� �e c������a a �a�i��e� � �� e� cada �� de��e� �a��a�e����. •
1� �a��a�e���: 2
⇒
� = 0
(�i�e��� �� f�aca���, ��i� ��� �ai� �� ����i��� de 3)
•
2� �a��a�e���: 4
⇒
� = 0
(�i�e��� ����� f�aca���, ��i� ��� �ai� �� ����i��� de 3)
•
3� �a��a�e���: 3
⇒
� = 1 (�i�e��� �� ��ce���, ��i� �ai� �� ����i��� de 3).
Ne��e ca��, e� ���� �a��a�e����, � ���e�� de ca��� fa�����ei� f�i de 1 ( � = = 1). Se ���a���� ��d�� �� �a���e� ��e � �� a����e, �e��� e�a�a�e��e 1. O� �eja, � � � � ig�a� � ���a de ��d�� �� �a���e� de � ��. Va��� ��da� �� ���c� � e�e����. S����ha��� ag��a ��e �� �e����ad�� d�� ���� �a��a�e���� f��a�: 3, 1, 6. Va��� �e� c��� �e c������a a �a�i��e� � e� cada �a��a�e���: •
1� �a��a�e���: 3
⇒
� = 1
•
2� �a��a�e���: 1
⇒
� = 0
•
3� �a��a�e���: 6
⇒
� = 1
Ne��e ����� ca��, e� ���� �a��a�e����, � ���e�� de ca��� fa�����ei� f�i de 2 ( � = = 2). Se ���a���� ��d�� �� �a���e� ��e � �� a����e, �e��� e�a�a�e��e 2. N��a�e��e, � � � ig�a� � ���a de ��d�� �� �a���e� de � ��. E��a �a�i��e� � � di�a bi���ia�. ��� ���������� � ������ �� ����� ���������� �� �� �������� �� ������������ ��� �� ������� ���� ���������� ��������� (������� �� ��������). E�a � a ���a de ���ia� �a�i��ei� de Be������i, ��da� i�de�e�de��e� e���e �i.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
�
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� ���� ����!!! �������� ��������
C���e����de � ���a de ���ia� �a�i��ei� de Be������i, i�de�e�de��e� e���e �i. Te� �e�a��� c�� � ���e�� de �e����ad�� fa�����ei� e� ��� e��e�i�e����
3.2.
������� �� ������������� ���� � �������� ��������
� ��� ���� ������� ����� Pa�a ca�c��a� a ���babi�idade de a �a�i��e� a�ea���ia X, c�� di���ib�i��� bi���ia�, a����i� �� de�e��i�ad� �a��� �k�, ba��a a��ica� a �eg�i��e f�����a:
� � � �
Ne��a f�����a, �e���:
•
��� � a ��a��idade de e��e�i�e����
•
��� � a ���babi�idade de ��ce��� e� cada e��e�i�e���
•
��� � a ���babi�idade de f�aca��� e� cada e��e�i�e���
•
�k� �e��e�e��a a ��a��idade de ��ce���� �a�a a ��a� e��a��� ��e�e�d� ca�c��a� a ���babi�idade
E�e����: Q�a� a ���babi�idade de, �a��a�d� ��a ��eda ���� �e�e�, �b�e���� d�a� ca�a�? Ne��e ca��, ��� ���� �a��a�e����, �� ���� e��e�i�e���� (� = 3). E� cada e��e�i�e���, a ���babi�idade ���babi�idade de ��ce��� (�� ai�da: a ���babi�idade ���babi�idade de �b�e� ca�a) � de 0,5 (� = 0,5). A ���babi�idade de f�aca��� � 0,5 (� = 0,5). Q�e�e��� ca�c��a� a ���babi�idade de �c���e�e� d�a� ca�a� (k = 2). Fica��� c��:
� � � �� � ���
� ��� � � � ��� �
� �
� �����
���������� �� ����� ���� Va��� �e���a� � e�e���� d� �a��a�e��� d� dad�. La��a��� � dad� ���� �e�e�. A cada �a��a�e���, c���ide�a��� ��ce��� �e � �e����ad� f�� ����i��� de 3. N� ����� e�e����, a �a�i��e� bi���ia� � �� �� ��de a����i� ��a��� �a���e� (0, 1, 2 e 3). S�� ���� �a��a�e���� d� dad�. O� ��� �e��� �e�h�� ��ce���. O� a�e�a� 1. O� 2. O� e����, e� ���� �a��a�e����, �e��� ���� ��ce���� (����i���� de 3 e� ��d�� �� �a��a�e����). ����� ����� �������
���.�������������������.���.��
�
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
Va��� ca�c��a� a ���babi�idade de � a����i� a����i� cada �� de��e� �a���e�. Pa�a � �e� �e� ig�a� a �e��, ��eci�a��� ��e, ��� ���� �a��a�e����, �e�ha��� ���e��� ��e ��� ��� ����i���� de 3. Q�e�e��� ��e �c���a�, �i����a�ea�e��e, �� ���� e�e����: •
F�aca��� �� ��i�ei�� �a��a�e���
•
F�aca��� �� �eg��d� �a��a�e���
•
F�aca��� �� �e�cei�� �a��a�e���
Ob�e��e ��e � �e����ad� de �� �a��a�e��� ��� �e� ��a���e� i�f����cia �� �e����ad� d�� de�ai� �a��a�e����. S�� ���� e�e���� i�de�e�de��e�. T�d�� e�e� ��� ���babi�idade de 2/3 de �c���e�. Ne��e ca��, a ���babi�idade da i��e��ec��� d�� e�e���� � ig�a� a� ���d��� da� ���babi�idade�. P ( X = 0) =
2
×
3
2
×
3
2 P ( X = 0) = 3
2 3
3
Pa�a � �e� ig�a� a 1, ��eci�a��� �e� e�a�a�e��e 1 �a��a�e��� c�� ��ce���. Te��� a� �eg�i��e� hi���e�e�: •
S�ce��� �� ��i�ei�� �a��a�e���, f�aca��� �� �eg��d� �a��a�e���, f�aca��� �� �e�cei�� �a��a�e���;
•
F�aca��� �� ��i�ei�� �a��a�e���, ��ce��� �� �eg��d� �a��a�e���, f�aca��� �� �e�cei�� �a��a�e���;
•
F�aca��� �� ��i�ei�� �a��a�e���, f�aca��� �� �eg��d� �a��a�e���, ��ce��� �� �e�cei�� �a��a�e���.
Va��� �e� a ���babi�idade �a�a � ��i�ei�� ca��. Te���: •
S�ce��� �� ��i�ei�� �a��a�e���
•
F�aca��� �� �eg��d� �a��a�e���
•
F�aca��� �� �e�cei�� �a��a�e���
S�� ���� e�e���� i�de�e�de��e�. O ��i�ei�� �e� ���babi�idade 1/3. O� de�ai� ��� ���babi�idade de 2/3 de �c���e�. A ���babi�idade da i��e��ec��� fica: 1 3
×
2
×
3
2 3
Pa�a �� de�ai� ca���, a c���a � e�a�a�e��e a �e��a. O� �eja, a ���babi�idade de � �e� ig�a� a 1 fica: 1 2 2 × × 3 3 3
P ( X = 1) = 3 ×
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
Pa�a � �e� ig�a� a 2, ��eci�a��� de d�i� ��ce���� e �� f�aca���. Te��� a� �eg�i��e� hi���e�e�: •
S�ce��� �� ��i�ei�� �a��a�e���, ��ce��� �� �eg��d� �a��a�e���, f�aca��� �� �e�cei�� �a��a�e���;
•
F�aca��� �� ��i�ei�� �a��a�e���, ��ce��� �� �eg��d� �a��a�e���, ��ce��� �� �e�cei�� �a��a�e���;
•
S�ce��� �� ��i�ei�� �a��a�e���, f�aca��� �� �eg��d� �a��a�e���, ��ce��� �� �e�cei�� �a��a�e���.
Veja��� a ���babi�idade da ��i�ei�a hi���e�e. S�� ���� e�e���� i�de�e�de��e�. A ���babi�idade de ��ce��� � 1/3. A de f�aca��� � 2/3. Fica��� c��: 1 3
×
1
×
3
2 3
Pa�a a� de�ai� hi���e�e�, a� c���a� ��� a����ga�. A ���babi�idade de � �e� �e� ig�a� a 2 fica: 1 1 2 × × 3 3 3
P ( X = 2) = 3 ×
1 P ( X = 2) = 3 × 3
2
2 3
×
Fi�a��e��e, �a�a � �e� ig�a� a 3, ��eci�a��� de ��ce���� ��� ���� �a��a�e����. Fica��� c��: 1 1 1 × × 3 3 3
P ( X = 3) =
P�����. Ca�c��a��� a� ���babi�idade� de � a����i� a����i� cada �� d�� �a���e� ������ei�. �� a ���babi�idade de ��ce��� e� cada Seja ��� � ���e�� de e��e�i�e����. Seja � � e��e�i�e���. Seja � �� a ���babi�idade de f�aca���.
Ne��e ����� e�e����, �a��a��� � dad� 3 �e�e� ( � = 3). E a ���babi�idade de ��ce��� e� cada �a��a�e��� e�a de 1/3 ( � = 1/3). A ���babi�idade de f�aca��� e� cada e��e�i�e��� e�a de 2/3 (� = 2/3). Pa�a ��� ��eci�a���� fica� fa�e�d� ��da� e��a� c���a� ��e fi�e��� aci�a �a�a cada ���b�e�a dife�e��e, e�i��e ��a f�����a ��e i�dica a ���babi�idade da �a�i��e� bi���ia� a����i� �� dad� �a���. � a ��e �eg�e: n P ( X = k ) = × p k × q n −k k N�� c���a �e�e�b�a� � �ig�ificad� d� ���b��� de c��bi�a���: n n! = k (n − k )!×k !
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
Va��� �e� a a��ica��� da f�����a a� ����� e�e���� d� dad�. La��a��� � dad� ���� �e�e� ( n = 3 ). C���ide�a��� ��ce��� �e de� ����i��� de 3. A��i�, a ���babi�idade ���babi�idad e de ��ce��� � 1/3 ( p = 1 / 3 ) e a ���babi�idade de f�aca��� f�aca�� � � 2/3 ( q = 2 / 3 ). Va��� ca�c��a�, a ������ de e�e����, a ���babi�idade de � �e� �e� ig�a� a 2 ( k = 2 ). n P ( X = k ) = × p k × q n −k k 3 1 P( X = 2) = × 2 3 1 P ( X = 2) = × 1!×2! 3 3!
2
2 × 3
2
2 × 3
3− 2
3− 2
1 = 3× 3
2
2 × 3
1
Q�e � � �e��� �e����ad� ��e ���ha��� achad� a��e�, �e� a f�����a.
���E ���A!!! �������� ��������
Seja X ����a �a�i��e� bi���ia�. E�a �e��e�e��a � ���e�� de ��ce���� e� ��� e��e�i�e���� (��de cada e��e�i�e��� ��de �e����a� e� ��ce��� �� e� f�aca���). A f�����a da �a�i��e� bi���ia� � a ��e �eg�e. A ���babi�idade de �e���� k ��ce���� e� � e��e�i�e���� �: n P ( X = k ) = × p k × q n −k k
Va��� ��a�ica� �� ���c�. ������� 3
�EFA� �� 2007 �FG��
U� ca�dida�� �e ��b�e�e a ��a ����a c���e�d� ���� ��e���e� de ����i��a e�c��ha ��eci�a�d� ace��a� �e�� �e��� d�a� �a�a �e� a����ad�. Cada ��e���� a��e�e��a ci�c� a��e��a�i�a�, �a� a�e�a� ��a � c���e�a. Se � ca�dida�� ��� �e ��e�a��� e decide �e����de� �e����de� a cada ��e���� a� aca��, a ���babi�idade de �e� a����ad� �� c��c���� � ig�a� a: (A) 0,104. (B) 0,040. (C) 0,096. (D) 0,008. (E) 0,200
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
���������.
Q�a�d� a�a�i�a��� ��a ��ica ��e����, ��de��� �e� ��ce��� (ace��a a ��e����) �� f�aca��� (e��a a ��e����). A ���babi�idade de ��ce��� � de 20% e a de f�aca��� � 80%. p
=
0,2 ; q
=
0,8
A��i�, ��a�d� a�a�i�a��� ��a ��ica ��e����, �e��� ��a di���ib�i��� de Be������i. A ��a��idade de ��ce���� e� ���� e��e�i�e���� c���e����de, ����a���, � ���a de ���� �a�i��ei� de Be������i. Te��� ��a di���ib�i��� bi���ia�. A ���babi�idade de 2 ace���� e� ���� �: n k n k P ( X = k ) = p q − k 3 P ( X = 2) = × 0,2 2 × 0,81 2
= 0,096
A ���babi�idade de 3 ace���� �: 3 3 0 P ( X = 3) = × 0,2 × 0,8 3
= 0,008
A ���babi�idade de �e� a����ad� �: P ( X = 2) + P ( X = 3)
=
0,096 + 0,008
=
0,104
G�������: A ������� 4
CG� 2008 �E�AF�
Seja � a a ���a de � �� �a�i��ei� a�ea���ia� i�de�e�de��e� de Be������i, i��� �, ��e a����e� a�e�a� �� �a���e� 1 e 0 c�� ���babi�idade� p e 1 − p , �e��ec�i�a�e��e. �e��ec�i�a�e��e. A��i�, a di���ib�i��� de � �: �: a) bi���ia� c�� �a���e���� � �� e � �� b) ga�a c�� �a���e���� � �� e � �� c) ��i ��ad�ad� c�� � �� g�a�� de �ibe�dade d) �a��ace e) ��� de ���de�� c�� ��1 g�a�� de �ibe�dade ���������:
C�b�a��a di�e�a d� �e���� e���dad� �e��a a��a. G�������: A.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
������� 5
�E���B�A� 2008/2 �CE�G�A��I��
U� e���da��e �a�ca, a� aca��, a� �e�����a� de �� �e��e de 10 ��e���e� de ����i��a e�c��ha, c�� 4 a��e��a�i�a� ��� ��e����. O ���e�� �ai� ������e� de ace���� � (A) 1,5 (B) 2,0 (C) 2,5 (D) 3,0 (E) 3,5 ���������.
A ���babi�idade de ace��� de cada ��e���� � de 25% (��� 4 a��e��a�i�a� e a�e�a� ��a � c���e�a). O ���e�� de ace���� � ��a �a�i��e� a�ea���ia bi���ia�, ��de � = 10 e � = 0,25. A� a��e��a�i�a� �a�, �c� e �e� ��a�e� �a���e� i�������ei� de �e�e� �b�id��. N�� � ������e� �e���� 1,5 ace����. O� 2,5 ace����. O� 3,5 ace����. E��e� �a���e� ��� ���babi�idade ���babi�idade �e��. Fica���, ����a���, e���e a� a��e��a�i�a� �b� e �d�. Va��� ca�c��a� a ���babi�idade de 2 ace����. n P ( X = k ) = × p k × q n −k k 10 × 0,25 2 × 0,75 8 2
P ( X = 2) =
P( X = 2) = 45 × 0,25 2 × 0,758
Va��� ag��a ca�c��a� a ���babi�idade de 3 ace����. n P ( X = k ) = × p k × q n −k k 10 × 0,25 3 × 0,75 7 3
P ( X = 3) =
P( X = 3) = 120 × 0,25
3
× 0,75
7
Di�idi�d� a� d�a� ���babi�idade�: P( X = 2) P( X = 3)
P( X = 2) P( X = 3)
=
=
45 × 0,25 2 × 0,758 120 × 0,253 × 0,75 7
45 × 0,75 120 × 0,25
=
45 × 3 120
=
130 120
>1
C��c������ ��e P ( X = 2) > P ( X = 3) . G�������: B
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
������� 6
AF�FB 2009 �E�AF�
E� �� e��e�i�e��� bi���ia� c�� ���� ����a�, a ���babi�idade de �c���e�e� d�i� ��ce���� � d��e �e�e� a ���babi�idade de �c���e�e� ���� ��ce����. De��e ��d�, a� ���babi�idade� de ��ce��� e f�aca��� ���, e� �e�ce���ai�, �e��ec�i�a�e��e, ig�ai� a: a) 80 % e 20 % b) 30 % e 70 % c) 60 % e 40 % d) 20 % e 80 % e) 25 % e 75 % ���������.
S�� 3 e��e�i�e���� ( n = 3 ). A ���babi�idade de 2 ��ce���� � dada ���: 3 2 1 P ( X = 2) = × p × q 2 = 3 × p 2 × q A ���babi�idade de ���� ��ce���� �: 3 3 0 P ( X = 3) = × p × q 3 = p 3 O e�e�c�ci� di��e ��e a ��i�ei�a ���babi�idade � 12 �e�e� a �eg��da. 3 × p 2 × q = 12 × p 3 q
= 4 × p
(e��a��� I)
A ���babi�idade de ��ce��� ���ada c�� a ���babi�idade de f�aca��� � ig�a� a 100%. p + q
=1
(e��a��� II)
S�b��i��i�d� I e� II: p + 4 p
=1
p
=
0,2
q
=
0,8
L�g�: G�������: D
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
������� 7
���E� 2010 �E�AF�
U� e���d� i�dica ��e, �a� c����idade� ��e �i�e� e� c�i�a ��i�� f�i� e c�� ��a die�a de bai�a i�ge���� de g��d��a a�i�a�, a ���babi�idade de �� ca�ai� �e�e� fi�h�� d� �e�� �a�c��i�� � ig�a� a 1/4. De��e ��d�, a ���babi�idade de �� ca�a� �e� d�i� �e�i��� e ���� �e�i�a� � ig�a� a: a) 37/64 b) 45/216 c) 1/64 d) 45/512 e) 9/16 ���������
P�de��� �e��a� ��e, a cada �a���, �e��� �� e��e�i�e���. Te�e��� ��ce��� �e �a�ce� �e�i��. E ��e�e��� ca�c��a� a ���babi�idade de e�a�a�e��e 2 ��ce���� e� 5 e��e�i�e���� (�� �eja, 2 �e�i��� e� 5 �a����). Fica��� c��: n P ( X = k ) = × p k × q n −k k 5 1 P( X = 2) = × 2 4
2
3 × 4
3
=
10 ×
27 1024
=
135 512
N�� h� a��e��a�i�a c���e�a. A ��e���� f�i a���ada. G�������: A������
3.3.
����� � ��������� �� ������������ ��������
� ��� ���� ������� ����� Se X �e� di���ib�i��� bi���ia�, bi���ia�, ��a ��dia e ��a �a�i��cia fica�:
� � ���������� �� ����� ���� Va��� c���i��a� c�� � �a��a�e��� d� dad�. O �e����ad� � c���ide�ad� fa�����e� �e �ai� �� ����i��� de 3. � de�fa�����e� �e ��� �ai� �� ����i��� de 3. Va��� �a��a� � dad� 3 �e�e�. N���a �a�i��e� a�ea���ia � �ai �e��e�e��a� � ���e�� de ca��� fa�����ei� �e��e� �a��a�e����. �, ����a���, ��a �a�i��e� bi���ia�.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
Va��� ca�c��a� a ���babi�idade de � a����i� a����i� cada �a���. J� a�� fi�e��� e��a c���a ��a�d� c��e�a��� a e���da� a �a�i��e� bi���ia�. Ma� �k, �a��� �� de ����. Pa�a � a����i� a����i� �a��� �e��, ��eci�a��� ��e �� ���� �a��a�e���� �eja� de�fa�����ei�. � = 3
= 0 � = � = 1/3 � = 2/3
3 1 P( X = 0) = × 0 3 P ( X = 0)
=
1 × 3!×0! 3 3!
0
0
2 × 3
2 × 3
3−0
3− 0
=
8 27
Pa�a � a����i� a����i� �a��� 1, ��eci�a��� ��e e�a�a�e��e �� d�� ���� �a��a�e���� �e����e e� ����i��� de 3. � = 3 � = = 1 � = 1/3 � = 2/3 P ( X = 1)
=
1 × 2!×1! 3 3!
1
2 × 3
3−1
1 = 3× 3
1
2 × 3
2
=
12 27
Pa�a � a����i� � �a��� 2, ��eci�a��� ��e e�a�a�e��e d�i� d�� ���� �a��a�e���� �e����e� e� ����i��� de 3. � = 3 � = = 2 � = 1/3 � = 2/3
1 P ( X = 2) = × 1!×2! 3 3!
2
2 × 3
3− 2
1 = 3× 3
2
2 × 3
1
=
6 27
P�� fi�, �a�a � a����i� � �a��� 3, ��eci�a��� ��e ��d�� �� �a��a�e���� �e����e� e� ����i��� de 3. � = 3 � = = 3 � = 1/3 � = 2/3
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� P ( X = 3) =
1 × 0!×3! 3 3!
3
2 × 3
3− 3
1 = 1× 3
3
2 × 3
0
=
1 27
Q�e�e��� ca�c��a� a ��dia de��a �a�i��e� a�ea���ia. Pa�a ca�c��a� a ��dia de ��a���e� �a�i��e� di�c�e�a, c���ide�a��� ��e a� ���babi�idade� ���babi�idade� ��� a����ga� �� f�e���� f �e����cia� cia� �e�a�i�a�. X
P
X × P
0 8/27 0 1 12/27 12/27 2 6/27 12/27 3 1/27 3/27 T��a� 1 1 E a ��dia da ����a �a�i��e� � fica: fica: µ =
1 1
=1
Va��� ag��a ca�c��a� a ��a �a�i��cia. X
X 2
P
X 2 × P
0 1 2 3 T��a�
0 1 4 9
8/27 12/27 6/27 1/27 1
0 12/27 24/27 9/27 45/27
� �� ��
E a �a�i��cia de � �e�ia: �e�ia:
� − �� � − � � � � �� �� �� �
S� ��e ��d� e��e �a��� a �a��� d� ��i�� ��aba�h�. Q�a�d� � f�� f�� ��a �a�i��e� a�ea���ia bi���ia�, �� jei�� �ai� ���id� de ca�c��a� a ��a ��dia e ��a �a�i��cia �: µ = np
σ 2
=
npq
Pa�a ca�c��a� a ��dia, ba��a ����i��ica� � ���e�� de e��e�i�e���� (�� ����� ca��, �a��a��� � dad� ���� �e�e�, � = 3) �e�a ���babi�idade de ��ce��� e� 1 e��e�i�e��� (�e��e ca��, e� �� �a��a�e���, a ���babi�idade de �ai� �� ����i��� de 3 � 1/3). L�g�: µ = np
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� 1
µ = 3 ×
3
=1
E �a�a �a�i��cia fa�e��� a �e��a c�i�a. S� ��e, a��� d�� �a���� aci�a, ����i��ica��� �e�a ���babi�idade de f�aca��� e� �� e��e�i�e��� (�e��e ca��, e� �� �a��a�e���, a ���babi�idade de �ai� �� ���e�� ��e ��� �eja ����i��� de 3 � 2/3). σ 2 σ 2
=
=
3×
npq
1
×
3
2
=
3
2 3
���E ���A!!! ����� � ��������� �� �������� ��������
� �
E��a� e���e���e� �a�a a ��dia e a �a�i��cia da di���ib�i��� bi���ia� ��de� �e� faci��e��e �b�ida� c�� a ��i�i�a��� da� �����iedade� da e��e�a��a. A �a�i��e� bi���ia� � c���e����de � ���a de � �a�i��ei� de Be������i, de�ig�ada� ��� �. n
X = ∑ I i i =1
Cada �a�i��e� � �e� ��dia � e �a�i��cia ��. A e��e�a��a de �, ����a���, e��i�a�e � e��e�a��a da ���a de � �a�i��ei� �. Vi��� ��e a e��e�a��a da ���a � ig�a� � ���a da� e��e�a��a�. n E ( X ) = E ∑ I i = np i 1 =
Q�a�d� �e��� �a�i��ei� i�de�e�de��e�, a �a�i��cia da ���a � ig�a� � ���a da� �a�i��cia�. P���a���: n V ∑ I i = npq i 1 =
������� 8
GDF �E��� 2010 ���I�E��A�
E� ce��� ��a�� a�����a�, e� ��a �����a��� de 100 e�e�e����, �������e �e�� �eg�i��e c�i���i�: j�ga��e ��a ��eda (h��e��a) e, �e de� ca�a, � e�e�e��� e���a �a a�����a; �e de� c���a, e�e ��� e���a �a a�����a. Q�a� � �a�a�h� e��e�ad� de��a a�����a? (A) 10 (B) 20 (C) 30
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
(D) 40 (E) 50 ���������.
Seja � a a ��a��idade de e�e�e���� �e�eci��ad��. � � � ��a �a�i��e� bi���ia� c�� � = 100 e � = 0,5. A ��dia de � fica: fica:
� � ��� � ��� � �� G�������: E
3.4.
������������ �������� � ����������
A di���ib�i��� bi���ia� � ��i�� a��icada ��a�d� e��a��� i��e�e��ad�� e� ��������e� de ��a dada �����a���. C���ide�e ��a cidade c�� 100.000 habi�a��e� e� ��e 2/5 ��� fa�����ei� a ��a dada �����ica ��ba�a. O� ai�da: a ��������� de habi�a��e� fa�����ei� � �����ica ��ba�a � de 40%. Va��� e���e�i��a� ci�c� �e���a� a� aca��. A ����a �a�i��e� a�ea���ia � �ai de�ig�a� � ���e�� de �e���a� e���e�i��ada� ��e ��� fa�����ei� � �����ica ��ba�a. P�i�ei�a�e��e, �a��� ����� ��e ����� ���ce��� �c���e c�� �e���i���. C��� a��i�? O ��e �ig�ifica ����ce��� c�� �e���i����? Li��a��� ��da� a� �e���a�. S���ea��� ��a. E���e�i��a��� �a� �e���a. De��i� di���, � ���e de�a ����a �a�a a �i��a, ��de�d� �e� ����eada ���a�e��e. A ����a �a�i��e� � ��de ��de a����i� �� �a���e� 0, 1, 2, 3, 4, 5. � �� ca�� a����g� a� �a��a�e��� d� dad�. S�� ci�c� e��e�i�e���� i�de�e�de��e� e, e� cada �� de�e�, a ���babi�idade de �c���e� � �e����ad� fa�����e� � de 2/5. C��� � de�ig�a de�ig�a � ���e�� de �e���a� fa�����ei� � �����ica (= ���e�� de ��ce����), � � � ��a �a�i��e� bi���ia�. A��i�, �e���: • •
� = 5 (���e�� de e��e�i�e����) � = 2/5 (���babi�idade de �e����ad� fa�����e� e� �� e��e�i�e��� � � � �e��� �a���
da ��������� de �e���a� fa�����ei� � �����ica) •
� = 3/5 (���babi�idade de �e����ad� de�fa�����e� e� �� e��e�i�e���)
A ���babi�idade de � a����i� a����i� cada �� d�� �a���e� ������ei� � dada abai��:
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
X 0 1 2 3 4 5
P 0,07776 0,2592 0,3456 0,2304 0,0768 0,01024
T�d�� �� �a���e� aci�a f��a� ca�c��ad�� c�� a f�����a da �a�i��e� bi���ia� dada abai��. n P ( X = k ) = × p k × q n −k k � ��� i��� ��e a ��������� e��� �e�aci��ada c�� a �a�i��e� bi���ia�. E�a �e� �e�a��� c�� a ���babi�idade de ��ce��� e f�aca��� (�a���e� de � e �). Va��� ag��a ��da� �� ���c� � e�e����. P�de��a��� fa�e� a e���e�i��a de �� ��d� �� ���c� dife�e��e. P�de��� fa�e� �� e��e�i�e��� �e� �e���i���, � ��e � a�� �ai� c����. N�� ��e�e��� e���e�i��a� a �e��a �e���a d�a� �e�e�. U�a �e� ��e �� ���e � ����ead�, e�e ��� ����a �a�a �i��a, de ��d� ��e ��a �e���a ja�ai� ��de�ia �e� ����eada �ai� de ��a �e�. Ne��e ca��, ��� �e��� �ai� ��a �a�i��e� bi���ia�. C���i��a��� C���i��a��� �e�d� ci�c� e��e�i�e����. S� ��e e�e� ��� ��� �ai� i�de�e�de��e� e���e �i (e, �a�a �e���� �a�i��e� bi���ia�, �� � e�e���� ��� ��e �e� i�de�e�de��e�). A ���babi�idade de, �� �eg��d� e��e�i�e���, �e� e���e�i��ada ��a �e���a fa�����e� � �����ica ��ba�a de�e�de d� �e����ad� d� ��i�ei�� e��e�i�e���. S�� 100.000 habi�a��e�. 40.000 ��� fa�����ei� � �efe�ida �����ica. 60.000 ��� c������i��. S����ha��� ��e a ��i�ei�a �e���a e���e�i��ada f�i fa�����e� � �����ica. E���e�i��ada a ��i�ei�a �e���a, a �i��a��� � a �eg�i��e: •
�e��� ag��a 99.999 �e���a�
•
�e��a�a� 39.999 fa�����ei� � �����ica
A ���babi�idade de a �eg��da �e���a �a�b�� �e� fa�����e� �: 39.999/99.999. E��e ���e�� � dife�e��e de 2/5. De ����� ��d�, �e a ��i�ei�a �e���a f�i c������ia � �efe�ida �����ica, �e���: •
99.999 �e���a� ai�da �e��a� c�� cha�ce� de �e�e� e���e�i��ada�
•
��da� a� 40.000 fa�����ei� � �����ica ai�da ��de� �e� e���e�i��ada�
A ���babi�idade da �eg��da �e���a �e� fa�����e� �: 40.000/99.999, ��e �a�b�� � dife�e��e de 2/5. N��e� ��e a ���babi�idade de ��ce��� e f�aca��� �� �eg��d� e��e�i�e��� (�a �eg��da e���e�i��a) de�e�de d� �e����ad� d� e��e�i�e��� a��e�i��. O� �eja, �� e��e�i�e���� ��� ��� i�de�e�de��e�. C��c�����: ��� �e��� ��a �a�i��e� bi���ia�.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
Me��� ����a �a�i��e� ��� �e�d� e�a�a�e��e bi���ia�, �bedecida� a�g��a� c��di��e�, ��de��� c���ide����a a����i�ada�e��e bi���ia�. � e�a�a�e��e � ca�� aci�a. Pa�a fica� �ai� c�a��, �a��� �a�a ��a �i��a��� e���e�a. S����ha ��e a� ��a��� ��i�ei�a� �e���a� e���e�i��ada� f��a� fa�����ei� � �����ica. Q�a� a ���babi�idade da ��i��a �e���a �a�b�� �e�? •
�e��a� 99.996 �e���a�
•
de��a�, 39.996 ��� fa�����ei� � �����ica ��ba�a
P���a���, a ���babi�idade ���c��ada �: 39.996/99.996 = 0,399976. E��e ���e�� � ��i�� ����i�� de 2/5 (=0,4). A ����i�idade � �a��a ��e ��de��� c���ide�a� ��e e��a di���ib�i��� � ��a�ica�e��e bi���ia�. O� �eja, �e��� ��e ��� haja �e���i���, ��de��� c���ide�a� ��e, a cada ���� e���e�i��ad�, a ���babi�idade de a �e���a �e� fa�����e� � �����ica ��ba�a � de 2/5. I��� �����e, �e��� �a �i��a��� e���e�a aci�a, � �a��� �b�id� ai�da f�i ��i�� ����i�� de 2/5. U�i�i�a�e��� e��a �����iedade �a� ����i�a� a��a�. E����, �e���i�d�, �e��� ��e: •
a �a�i��e� bi���ia� � ��i� �a�a e���da���� ��������e�
•
a� ���babi�idade� de ��ce��� e f�aca��� ��� �e�a��� c�� a ��������� de �c�����cia de �� dad� fe���e��/�e����ad�/�a���/e�c.
������� 9
��� 2� �EGI�� 2008 �FCC�
E� ��a g�a�de cidade, a ���babi�idade de ��a �e���a �e����de� c���e�a�e��e a ��a ��e���� f�����ada ��� �� e���e�i��ad�� � ig�a� a 40%. Se�eci��a�d� a� aca�� ���� �e���a� �e� �e���i��� e fa�e�d� a �e�g���a �a�a cada ��a i�de�e�de��e�e��e, a ���babi�idade de �e�� �e��� ��a ace��a� a �e�����a � ig�a� a (A) 78,4% (B) 60,0% (C) 54,6% (D) 48,0% (E) 44,8% ���������:
Va��� de�ig�a� ��� �I� � �a�i��e� a�ea���ia ��e a����e � �a��� 1 ��a�d� a �e���a �e�eci��ada �e����de c���e�a�e��e e 0 ��a�d� �e����de i�c���e�a�e��e. �I� � ��a �a�i��e� de Be������i. Seja X a ���a d�� �a���e� de �I�, �a�a a� ���� �e���a� e�c��hida�. C��� e���da��� aci�a, X � ��a �a�i��e� bi���ia�.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
Ce���??? E��ad�!!! Pa�a ��e X �eja bi���ia�, a� �a�i��ei� I �, I� e I�, c���e����de��e� � ��i�ei�a, � �eg��da e � �e�cei�a �e���a� e�c��hida�, de�e� �e� i�de�e�de��e�. S����ha ��e a cidade e� ��e���� �eja �i���c��a. S�� a�e�a� 100 habi�a��e�. 40 de�a� �abe� �e����de� � �e�g���a (e ace��a�). A� ����a� 60 ��� �abe� �e����de� e e��a�. Pa�a a ��i�ei�a �e���a e�c��hida, a ���babi�idade de ace��� � de 40% (40 �e���a� �abe� �e����de�, e� 100 ������ei�). C��� a e�c��ha � �e� �e���i���, �a�a a �eg��da �e���a, a ���babi�idade de ace��� ��� � �ai� de 40%. Se a ��i�ei�a �e���a ace����, e���� ��b�a�a� 39 �e���a� ��e �abe� �e����de�, e� 99 ������ei�. A ���babi�idade de ace��� �a���� �a�a 39/99. Ca�� c������i�, �e a ��i�ei�a �e���a e����, e���� a ���babi�idade de a �eg��da �e���a ace��a� � de 40/99. O� �eja, a� �a�i��ei� I �, I� e I� ��� de�e�de��e�. Q�a�d� i��� �c���e, X ��� � �ai� bi���ia�. Pa�a c������a���� e��e ���b�e�a, a ��e���� di��e �a�a c���ide�a���� ��e a �����a��� � g�a�de. O� �eja, a cidade ��� �e� a�e�a� 100 habi�a��e�, c��� �i��� aci�a. A cidade �e�ia, ��� e�e����, 1.000.000 (�� �i�h��) de habi�a��e�. Ne��e ca��, �e��� ��e a e�c��ha �eja �e� �e���i���, ��de��� c���ide�a� ��e X � a����i�ada�e��e a����i�ada�e��e bi���ia�. E a a����i�a��� � �ea��e��e ��i�� b�a. I��� �c���e �����e � �a�a�h� da a�����a � �e��e�� e� �e�a��� a� �a�a�h� da �����a���. A��i�, di�i��i� ��a �e���a e� �� ���a� de 1.000.000 fa� ���ca dife�e��a. Sabe�d� di���, ��de��� a����i�a�, c���ide�a�d� ��e I �, I� e I� ��� i�de�e�de��e�. T�da� e�a� a��e�e��a� ���babi�idade de ��ce��� de 40% � � ���� e, c���e��e��e�e��e, ���babi�idade de f�aca��� de 60% ( � ���).
Pede��e a ���babi�idade de �e�� �e��� ��a �e���a ace��a� a �e�����a.
≥ � �� Ob�e��e� a e���e���� ��e�� �e��� ��a�. Se���e ��e �e��� e��a e���e����, ��aba�ha��� c�� � e�e��� c����e�e��a�. Va��� ca�c��a� a ���babi�idade d� e�e��� c����e�e��a�:
� � � ����� ����� �������
�
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
� � � �� � ���
� ��� � ��� � �����
L�g�: ����� � � ���� ����� � ≥ � � � − � � � � − ����
G�������: A ������� 10
�AD �E 2009 �CE��E�
A fig��a aci�a a��e�e��a a di���ib�i��� �e�ce���a� da �����a��� de c�ia��a� e j��e�� e���e ci�c� a de�e���e a��� de idade ��e ���ca ���c���� �� de��i��a, ��� �e�da d��ici�ia� �e� ca�i�a �� B�a�i� e� 1998. �A� dife�e��a� e���e �� di�e���� g����� de �e�da �e� ca�i�a � ace���ada. A����i�ada�e��e 25% da �����a��� b�a�i�ei�a c�� idade e���e ci�c� e de�e���e a��� ���ca ���c��a�a� �� de��i��a. E���e�a���, e��e �a��� ��f�e ��ci�a��e� �eg��d� a �e�da �a�ia�d� de 50,7% �a��e�e� d��ic��i�� c�� �e�da de a�� R$ 37,75 a 1,5% �a��e�e� d��ic��i�� c�� �e�da �e� ca�i�a e���e R$ 1.813,00 e R$ 40.500,00�. �. ����� �� ��. ������� �� ������������� �� ����� �� ������, ����/���, ���� (��� ����������)
C���ide�a�d� ��e ��a a�����a a�ea���ia �i���e� de ci�c� �i� i�di��d��� f���e �e�i�ada da �����a��� de c�ia��a� e j��e�� e���e ci�c� e de�e���e a��� de idade �� B�a�i� e� 1998, �e � �e��e�e��a �e��e�e��a � ���e�� de i�di��d��� �e��a a�����a ��e ���ca ���c���� �� de��i��a, e���� a �a�i��cia de � � � A) i�fe�i�� a 400. B) ���e�i�� a 400 e i�fe�i�� a 600.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
C) ���e�i�� a 600 e i�fe�i�� a 800. D) ���e�i�� a 800 e i�fe�i�� a 1.000. E) ���e�i�� a 1.000. ���������
25,2% da �����a��� b�a�i�ei�a c�� idade e���e ci�c� e de�e���e a��� ���ca ���c��a�a� �� de��i��a. I��� �ig�ifica ��e, �a�a cada �e���a e���e�i��ada, h� 25,2% de cha�ce de � i�di��d�� ���ca �e� ���c��ad� �� de��i��a. C���e��e��e�e��e, h� 74,8% de cha�ce de a �e���a j� �e� ���c��ad� �� de��i��a. C��� e��a��� i��e�e��ad�� ��� ca��� e� ��e a �e���a ��� ���c��a � de��i��a, �e���: � � 25,2% ; � = 74,8%
A a�����a �e� �a�a�h� 5.000. � � 5.000
A �a�i��cia fica: Var ( X ) = npq
=
5.000 × 0,252 × 0,748
=
942 ,48
G�������: D
4.
������B����� �� �������
Vi��� ��e a di���ib�i��� bi���ia� � ��i� �a�a ca�c��a���� a ���babi�idade de, e� � �� e��e�i�e����, �e���� � ca��� ca��� fa�����ei�. A f�����a e���dada f�i: n P ( X = k ) = × p k × q n −k k P�i� be�. � ������e� de������a� ��e, ��a�d� � �� � g�a�de e � �� � �e��e��, a f�����a n P ( X = k ) = × p k × q n k ��de �e� a����i�ada ���: k −
� �
��
�
�
O ���b��� � e � �e��e�e��a �� ���e�� �ea�, ��e �a�e a����i�ada�e��e 2,7. Seg��d� B���ab B���ab e M��e��i�, �� �i��� E��a����ica B��ica, a a����i�a��� � b�a �e np
≤
7.
M�i��� �i��� de �a�i��ei� ��� be� de�c�i�a� ��� �ei� da di���ib�i��� de ���babi�idade� dada ���
� �
��
�
�
E��a � a di���ib�i��� de P�i����. � c���� ��b��i��i� � ���d��� np �e�a �e��a λ (���bda).
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� C��� a e��e�a��a da �a�i��e� bi���ia� � dada ��� np , di�e��� ��e λ c���e����de a�
���e�� e��e�ad� de �c�����cia�. A di���ib�i��� de P�i���� de�c�e�e ��i�� be� � ���e�� de �c�����cia� a� ���g� d� �e��� (�� a� ���g� de ��a ���e�f�cie). A�g��� e�e����� �e�ia�: •
O ���e�� de ca���� ��e �a��a� ��� ��a cabi�e de �ed�gi�, d��a��e 5 �i�����;
•
O ���e�� de �e�ef��e�a� �ecebid� ��� ��a ce���a� de a�e�di�e���, d��a��e 2 h��a�;
•
O ���e�� de c�ie��e� ��e e���a� �a fi�a de �� ba�c�, d��a��e 1 h��a.
•
O ���e�� de defei��� �b�e��ad�� e� 2 �e���� ��ad�ad�� de �a�e�ia�; ���E ���A!!! D����������� �� �������
� � ����
P�de �e� ��ada �� ��ga� da di���ib�i��� bi���ia�, ��a�d� � ���e�� de e��e�i�e���� � g�a�de (� g�a�de) e ��a�d� a ���babi�idade de ��ce��� � �e��e�a (� �e��e��). M�i�� ��i� �a�a �e��e�e��a� a�g��� �i��� de �c�����cia� e� �� de�e��i�ad� �e���/���e�f�cie
������� 11
��F 1� ������/2001 �FCC�
A ���babi�idade de ��e �� i�e� ���d��id� ��� ��a ����i�a �eja defei����� � de 10%. U�a a�����a de 30 i�e�� ���d��id�� ��� e��a ����i�a � �e�eci��ada a� aca��. U�e a a����i�a��� �e�a di���ib�i��� de P�i���� �a�a de�e��i�a� a ���babi�idade de ��e ��� �ai� d� ��e �� i�e� defei����� �eja e�c����ad� �e��a a�����a. a) 4 e
−3
b) 4e
−2
c) 3e
−3
d) 1 − 4e
−3
e) 1 − 3e
−3
���������.
A��e� de �e����e���� a ��e���� da �a�ei�a ���ici�ada �e�� e���ciad�, �a��� ��a� a di���ib�i��� bi���ia�. P�de��� c���ide�a� ��e, a cada i�e� �e�eci��ad�, �e��� �� e��e�i�e���. E��a��� i��e�e��ad�� ��� i�e�� defei������. Se � i�e� ����ead� f�� defei�����, c���ide�a��� �� ca�� fa�����e�. Ca�� c������i�, c���ide�a��� �� ca�� de�fa�����e�. A ���babi�idade de
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� ��ce���, e� �� e��e�i�e���, � de 10% ( � = 0,1). O ���e�� de e��e�i�e���� � de 30 ( � = 30). Seja � � ���e�� de i�e�� defei������ �a a�����a de 30 i�e��. Q�e�e��� a ���babi�idade de � �e� �e� ig�a� a �e�� �� 1.
Ba��a a��ica� a f�����a: n P ( X = k ) = × p k × q n −k k 30 × 0,10 × 0,9 30 0
P ( X = 0) =
U�a�d� a ca�c��ad��a: P ( X = 0)
P ( X = 1)
=
≅
0,04239
30 × 0,11 × 0,9 29 1
N��a�e��e c�� � a��i�i� de ca�c��ad��a: P( X = 1) = 30 × 0,11 × 0,9 29
≅
0,14130
A��i�, a ���babi�idade de �e���� �� �� �e�h�� i�e� defei����� �a a�����a � de: 0,14130 + 0,04239
=
0,18369
P�����. Acha��� a ���babi�idade, c���ide�a�d� a di���ib�i��� bi���ia�. Ag��a �a��� ��a� a di���ib�i��� de P�i����. N�� �i��� ��e, e� ce��a� �i��a��e�, a f�����a da di���ib�i��� bi���ia� ��de �e� a����i�ada ���:
� � ����
O�de λ � � ���e�� e��e�ad� de �c�����cia�. E� ��dia, 10% d�� i�e�� ���d��id�� ��� defei������. N��a a�����a c�� 30 i�e��, e��e�a� �e ��e e�i��a� 3 i�e�� defei������ ( λ = 3 ). N��e ��e: λ = np
=
30 × 0,1 = 3 .
A ���babi�idade de �e���� �e�� i�e�� defei������ fica:
� � �
� ��� ��
�
A ���babi�idade de �e���� 1 i�e� defei����� �a a�����a � de:
� � �
� ��� ��
��
A��i�, a ���babi�idade de �e���� �e�� �� �� i�e� defei����� � de:
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� e −3
+
3e −3
=
4 e −3
G�������: A
P�� c��i��idade, ��a�d� a ca�c��ad��a, �e���: 3
4e −
≅
0,19915
O �e����ad� f�i �e�a�i�a�e��e ����i�� da��e�e ca�c��ad� �e� a a����i�a��� (��a�d� a di���ib�i��� bi���ia�). Pe�g���a� ���������, ���� ��� ����� ������ � ���� ���� � ������������ �������� � ������ ��� �������� � ������������ �� ��������
Ne��e e�e�c�ci� e� �a��ic��a�, e�a �e�fei�a�e��e ������e� ��a� a di���ib�i��� bi���ia�. E� ge�a�, �e f�� ������e� ��a� a bi���ia�, ��e�a! Ne��e ca��, �� ��a��� a di���ib�i��� de P�i���� �����e a ��e���� di��e e���e��a�e��e �a�a fa�e� i���. D� c������i�, ��a��a��� a di���ib�i��� bi���ia� �e���. ������� 12
��E �E/2006 �FCC�
O ���e�� de fa�ha� de ce��� �i�� de ��aca ����ica �e� di���ib�i��� de P�i����, c�� �a�a ��dia de 0,1 defei��� ��� � �. Na c��fec��� da ���e�f�cie de �� a����i�, � �ece����i� c�b�i� ��a ���e�f�cie de 2� ��� 2� c�� e��a ��aca. A ���babi�idade de ��e haja �e�� �e��� ��a fa�ha �e��a ���e�f�cie � de: a) e
−0 ,1
b) 1 − e
−0 ,1
c) 1 − e
−0 , 4
d) e
−0 , 4
e) 1 − 1,4e
−0, 4
���������.
E�e�c�ci� be� �a�ecid� c�� � a��e�i��. Seja � a a �a�i��e� ��e de�ig�a � ���e�� de fa�ha�. Va��� ca�c��a� a ���babi�idade de � �eja �eja ig�a� a �e��. P ( X = k ) =
e − λ × (λ )
k
k !
A �a�a ��dia � de 0,1 defei�� ��� � �. E� 4 ��, � ���e�� e��e�ad� � de 0,4 defei��� ( λ = 0,4 ).
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� P ( X = k ) =
P ( X = 0) =
e − λ × (λ )
k
k !
e −0, 4 × (0,4 ) 0!
0
=
e−
0, 4
P���a���, a ���babi�idade ��e ��� haja defei��� �a ��aca � de e
−0 , 4
.
De��e ��d�, a ���babi�idade de ha�e� �e�� �e��� ��a fa�ha �e��a ��aca � de: 1 − e −0 , 4
G�������: C.
I��e�e��a��e ���a� � �eg�i��e. O e�e�c�ci� �edi� �a�a ��a���� a di���ib�i��� de P�i����. Ma�, �e��� ��e e�e ��� �i�e��e di�� �ada a �e��ei��, �ece��a�ia�e��e �ece��a�ia�e��e �e��a��� ��e ��a� a di���ib�i��� de P�i����. N�� d� �a�a ��a� a di���ib�i��� bi���ia� a��i. P�� ���? Ta��� �a di���ib�i��� bi���ia� ��a��� �a de P�i����, a �a�i��e� de i��e�e��e � � ���e�� de �c�����cia� de a�g��a c�i�a. Va��� �e���a� a Q�e���� 11. L� a �a�i��e� de i��e�e��e e�a � ���e�� de i�e�� defei������ ���d��id�� �e�a ����i�a. T�a�a��e de ��a �a�i��e� di�c�e�a, ��e ��de a����i� a�e�a� �� �a���e� 0, 1, 2, 3, ...., 29, 30. P�i� be�, a cada i�e� a�a�i�ad�, �e��� �� e��e�i�e���. A ���babi�idade de ��ce��� (=i�e� defei�����) � de 10%. A ���babi�idade de f�aca��� � de 90%. Se, a ������ de e�e����, ��i�e���� ca�c��a� a ���babi�idade de �e���� e�a�a�e��e 1 i�e� defei�����, ��a��� a f�����a da �a�i��e� bi���ia�. E�a �ai ��� da� a ���babi�idade ���babi�idade de ha�e� e�a�a�e��e 1 defei����� (e, c���e��e��e�e��e, c���e��e��e�e��e, 29 i�e�� �e� defei��). Fica�ia a��i�: P ( X = 1)
=
30 × 0,11 × 0,9 29 1
P�i� be�, e��a��� ca�c��a�d� a ���babi�idade de: •
Te���� 1 i�e� defei�����
•
Te���� 29 i�e�� ��� defei������
•
T�d� i���, �e�ificad� e� 30 e��e�i�e����
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
M�de��� de e�e�c�ci�. Va��� ag��a �a�a a Q�e���� 12. Va��� ca�c��a� a ���babi�idade de �e� e�a�a�e��e ��a fa�ha �a ���e�f�cie, ��a�d� a di���ib�i��� bi���ia�. Va��� c���ide�a� ��ce��� �e���e ��e �b�e��a���� ��a fa�ha. Va��� c���ide�a� f�aca��� �e���e ��e ��� �b�e��a���� ��a���e� fa�ha. Pe�g���a: ��a��� e��e�i�e���� f��a� �ea�i�ad��? N�� d� �a�a �abe�. O ��e �e�ia �� e��e�i�e���? Se�ia a a���i�e de 1 � � de ���e�f�cie? Se�ia a a���i�e de 1 c� � de ���e�f�cie? N�� �e��� c��� c���a� ��a���� e��e�i�e���� f��a� fei���. E �ai�: ��� �abe��� ��a���� ��a���� f�aca���� �c���e�a�. E��a��� i��e�e��ad�� e� ca�c��a� a ���babi�idade de e�a�a�e��e ��a fa�ha �� �a�e�ia�. E��a��� c���ide�a�d� ��e cada fa�ha � �� ca�� fa�����e� (=��ce���). O� �eja, ��e�e��� �abe� a ���babi�idade de, e� ��a ��aca de 4� �, �e���� e�a�a�e��e 1 fa�ha. Q�e�e��� a ���babi�idade de 1 ca�� fa�����e�. Ok, �a�a �� ca��� fa�����ei� � ��a���i��. C����d�, ��� d� �a�a c���a� ��a���� �e�ia� �� ca��� de�fa�����ei�. Q�a��a� fa�ha� dei�a�a� de �c���e�? O���a �e�, ��� �e��� �e�����a. Se���e ��e e��i�e���� dia��e de �i��a��e� a��i�, ��� d� �a�a ��a� a di���ib�i��� bi���ia�. bi���ia�. Da� �a��i��� �a�a a di���ib�i��� de P�i����. A �a�i��e� ��e a��e�e��a di���ib�i��� de P�i���� � di�c�e�a. � �e���e ���e�� de �c�����cia� de a�g��a c�i�a (����a���, �� ��de a����i� a����i� �� �a���e� 0, 1, 2, 3, 4, ...). Ma�, e� ge�a�, � �� ���e�� de �c�����cia� c���ad� ��b�e ��a ba�e c������a. Ne��e e�e�c�ci�, ���ha��� � ���e�� de �c�����cia� de fa�ha� e� ��a ��ea (a ��ea �e� �a���e�a c������a: ��de a����i� ��a���e� �a��� �ea� �ai�� ��e �e��). O���� ca�� ���ic� � � ���e�� de cha�ada� �e�ef��ica� ���a ce���a� de a�e�di�e���. N��a�e��e, e��a��� c���a�d� � ���e�� de �c�����cia� (a �a�i��e� de i��e�e��e � di�c�e�a). Ma� � �e��� � c�������. O �e��� ��de a����i� ��a���e� �a��� �ea� �ai�� ��e �e��. N��a�e��e, �e�e��� a� �e��a� dific��dade�: c��� c���a� ��a���� e��e�i�e���� ac���ece�a�? Cada �eg��d� � �� e��e�i�e���? Cada �i����? Cada h��a? C��� c���a� �� ca��� de�fa�����ei�? C��� c���a� ��a��a� cha�ada� ��� �c���e�a�? C��� c���a� c ���a� ��a��a� �iga��e� ��� f��a� fei�a�? ���E ���A!!! B������� ������ �������
Se���e ��e f�� ������e� ��a� a �a�i��e� bi���ia�, ��e�a (e�ce�� �e � e�e�c�ci� di��e� ��a� a �a�i��e� de ��i����). H� ca��� e� ��e ��� � ������e� ��a� a di���ib�i��� bi���ia�. S�� ca��� e� ��e � ���e�� de �c�����cia� � c���ad� ��� ca��� c������� (c��� e��a��/��ea e �e���). Ne��a� �i��a��e�: ��e a di���ib�i��� de ��i���� A�e�a� ��� c��i��idade, a ideia da di���ib�i��� de P�i���� � a �eg�i��e.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
N� ca�� da� fa�ha� �a ���e�f�cie de 4 � �, ����e��e ��e �e�ia ������e� di�idi� e��a ���e�f�cie e� ��ea� ��i�� �e��e�a�. M�i�� �e��e�a� �e���. ��ea� i�fi�i�e�i�ai�. I��� de �a� f���a ��e a ���babi�idade de �c�����cia de d�a� �� �ai� fa�ha� e� cada ��a de��a� �e��e�a� ��ea� �eja ig�a� a �e��. Cada ���ea�i�ha� � a�a�i�ada, �a�a �e� �e c���e���a ��a fa�ha. O� �eja, a cada ��ea �e��� �� e��e�i�e���. Se a ��ea a��e�e��a� ��a fa�ha, �e��� ��ce���. D� c������i�, �e��� f�aca���. Fei�� i���, a��ica��e a f�����a da di���ib�i��� bi���ia�. S� ��e c��� a� ��ea� ��� ��e �e� be� �e��e�a� �e���, e���� � ���e�� de e��e�i�e���� � be� g�a�de. Q�a�d� � �� � be� g�a�de e � � �� � �e��e��, da� � ������e� de������a� ��e a f�����a da �a�i��e� bi���ia� �e�de a P ( X = k ) =
e −λ × (λ ) k !
k
.
O� �eja: a f�����a da �a�i��e� de P�i���� � ba�eada �a di���ib�i��� bi���ia�. Se�ia ��a di���ib�i��� bi���ia� �e��ecia�� (e��ecia� �����e �e a��ica a ca��� e� ��e � ���e�� de e��e�i�e���� � be� g�a�de, ��a �e� ��e a� �c�����cia� ��� c���ada� ��� ca��� c�������). ������� 13
��E �E 2006 �FCC�
C���ide�a�d� �� dad�� da ��e���� a��e�i��, �e����da a� ��e �eg�e. Na c��fec��� de 3 ���e�f�cie� de��e �i��, a ���babi�idade de ��e e�a�a�e��e d�a� ��� a��e�e��e� defei�� �: −0 , 4
)
−0 , 2
)
−0 ,1
)
a) 3 × (1 − e b) 3 × e
2
×e
−0, 4
2
×e
−0 ,1
−0 ,1
c) 3 × (1 − e
d) 3 × (1 − e e) 3 × (1 − e
−0, 4
) × e −0,8
���������:
P�de��� a��ica� a f�����a da di���ib�i��� bi���ia�. N��e ��e a��i a �i��a��� ��da c����e�a�e��e. N� e�e�c�ci� a��e�i��, e����a��� c���a�d� ��a��a� fa�ha� �c���ia� e� ��a ��ea (c������a). U�a��� a di���ib�i��� de P�i����. Ag��a ��d�� ��d�. E��a��� c���a�d� ��a��a� ��aca� de 4� � a��e�e��a� defei���. A c���age� ��� �e d� �ai� e� f����� de ��a ���e�f�cie/��ea. A c���age� � ��� ��aca de 4��.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
Cada ��aca a�a�i�ada c���e����de a �� e��e�i�e���. Se a ��aca a��e�e��a� fa�ha�, �e��� �� ca�� fa�����e�. D� c������i�, �e��� �� ca�� de�fa�����e�. D� �a�a c���a� ��a���� ��� �� e��e�i�e����, ��a���� ��� �� ��ce���� e ��a���� ��� �� f�aca����. Te���: � = 3 (��� c��fecci��ada� ���� ��aca�) −0 , 4
(a ���babi�idade ���babi�idade de ca�� fa�����e� � ��aca defei����a � f�i ca�c��ada �� e�e�c�ci� a��e�i��. p = 1 − e q = e
−0, 4
(���babi�idade (���babi�idade de ca�� de�fa�����e� � ��aca �e� defei���)
k = 1 (��e�e��� e�a�a�e��e ��a ��aca c�� defei�� � 1 ca�� fa�����e�)
A��ica�d� a f�����a da �a�i��e� bi���ia�: n P ( X = k ) = × p k × q n −k k 3 0, 4 1 0, 4 3−1 P ( X = 1) = × (1 − e − ) × (e − ) 1 P( X = 1) = 3 × (1 − e −0, 4 )× (e −0, 4 )
2
P( X = 1) = 3 × (1 − e −
0, 4
)× (e ) −0, 8
G�������: E ������� 14
��� 2� �EGI�� 2008 �FCC�
O ���e�� de �e�a� defei����a� fab�icada� ��� ��a e���e�a �e� di���ib�i��� de P�i����, c�� ��a �a�a ��dia de 1 �e�a defei����a ��� 1.000 �e�a� fab�icada�. Ad��i�i�d� 100 �e�a� de��a e���e�a, a ���babi�idade de, �� ���i��, ��a �e�a �e� defei����a � ig�a� a (A) e−��� (B) e−��� (C) 1,1 e−��� (D) 0,1e−��� (E) 2 e−��� ���������:
E� 100 �e�a�, e��e�a��e ��e 0,1 �e�a �eja defei����a (ba��a fa�e� �eg�a de ����). � ���
Pa�a �e���� �� ���i�� 1 �e�a defei����a, de�e��� �e�: � 0 �e�a� defei����a�
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
�� � 1 �e�a defei����a. � � ∪ � � � � � � � � �
��
� ���
�
�
�
��
��
� ��� �
�
��
� � ��� � �
�
� � � � ��� �
� ��� ��� � �
G�������: C ������� 15
���/2007 �FCC�
O ���e�� de �acie��e� a�e�did�� ��� �� c���ic� ge�a� �eg�e ��a di���ib�i��� de P�i���� c�� �a�a de 4 �acie��e� ��� h��a. A ���babi�idade de ��e �e�� �e��� �� �acie��e c������e � c���ic� ge�a� e� �� �e���d� de 15 �i����� �: a) 1 − e
−1
b) 1 − e
−4
c) e
−4
d) e 4 e) e
−1
���������.
N��e� ��e a c���age� de �acie��e� �e d� ��� �e��� (��e � c�������). � � ca�� ���ic� de ��i�i�a��� da di���ib�i��� de P�i����. A��e� de fa�e� ��a���e� c���a, ���e� ��e a �e��a D � ���a��e��e ab���da. O ���e�� �e� � a����i�ada�e��e ig�a� a 2,7. Q�a�d� e�e�ad� � ��a��a �����cia, fica ai�da �ai��. P���a���, �a �e��a D �e��� ��a ���babi�idade �ai�� ��e 1, � ��e � i�������e�. U�a ���babi�idade, �� ���i��, � de 100%. Se e� ��a h��a, e� ��dia, ��� a�e�did�� 4 �acie��e�, e���� � ���e�� e��e�ad� de �acie��e� �� �e���d� de 15 �i����� � 1 (ba��a fa�e� �eg�a de ����). P���a���, λ = 1 . Seja � a �a�i��e� ��e de�ig�a � ���e�� de �acie��e� a�e�did��. Q�e�e��� ca�c��a� a ���babi�idade de � �e� �e� �ai�� ��e �e��. Pa�a �a���, ��i�ei�� �a��� ca�c��a� a ���babi�idade de � �e� �e� ig�a� a �e��.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� P ( X = k ) =
e − λ × (λ )
k
k ! 0
P ( X = 0)
=
e −1 × (1)
1
e−
=
0!
P���a���: P( X ≠ 0) = 1 − e
−1
G�������: A. ������� 16
�EFA� �� 2009 �FG��
O ���e�� de c�ie��e� ��e b��ca�, e� cada dia, �� �e��i��� de �� �e���ad� ci���gi�� �e� ��a di���ib�i��� de P�i���� c�� ��dia de 2 �acie��e� ��� dia. Pa�a cada ci���gia efe��ada, � ci���gi�� �ecebe R$ 10.000,00. N� e��a���, e�e c���eg�e fa�e� � ���i�� de d�a� ci���gia� e� �� dia; c�ie��e� e�cede��e� ��� �e�did�� �a�a ������ ci���gi�e�. A��i�a�e a a��e��a�i�a ��e i�di��e � �a��� e��e�ad� da �ecei�a di��ia d� ci���gi��. (c���ide�e e �� = 0,14) (A) R$ 5.600,00. (B) R$ 8.400,00. (C) R$ 10.000,00. (D) R$ 14.400,00 . (E) R$ 20.000,00. ���������.
Seja � a a �a�i��e� ��e i�dica � ���e�� de c�ie��e� ��e b��ca� � ci���gi��, ��� dia. X �e� di���ib�i��� de P�i����. P ( X = k ) =
P( X = 0) =
P( X = 1) =
e
− λ
×
(λ )k
k !
e −2 × 2 0
=
0! e −2 × 21 1!
=
.
e −2
2e −2
J� acha��� a� ���babi�idade� de � �e� �e� ig�a� a �e�� e de � �e� �e� ig�a� a 1. E ��a��� a�� de�ai� ca���? E ��a��� a�� ca��� e� ��e � � � �ai�� �� ig�a� a 2? Be�, e�e� ��de� �e� ��a�ad�� e� c��j����. I��� �����e, �e � f�� �ai�� �� ig�a� a 2, � ci���gi�� �� ��de�� a�e�de� 2 c�ie��e�. S�a �ecei�a di��ia, e� ��a���e� de��e� ca���, �e�� de R$ 20.000,00. A��i�, ���c� i�����a �e, ��� dad� dia, 2 c�ie��e� ���c��a� � ci���gi��, �� �e 20 c�ie��e� ���c��a� � ci���gi��. N�� d�i� ca��� e�e �� �e�� ��a �ecei�a de R$ 20.000,00.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
P�� i���, �a��� ��a�a� ��d�� e��e� ca��� de f���a c��j���a. P ( X ≥ 2) P ( X ≥ 2)
=
=
?
1 − (P ( X = 0) + P ( X = 1) )
P ( X ≥ 2)
=
1 − 3e −2
Seja Y a �a�i��e� ��e i�dica a �ecei�a di��ia d� ci���gi��. A �abe�a abai�� �e�aci��a �� �a���e� de X e ��a� ���babi�idade� c�� �� �e��ec�i��� �a���e� de Y. X 0 1
Y 0 10.000
P��babi�idade
�ai�� �� ig�a� a 2
20.000
1 − 3e −2
e −2
2e
−2
A e��e�a��a de Y fica: −2 E (Y ) = 0 × e
+ 10.000 × 2e
E (Y ) = 20.000e −2
−2
+
20.000 × (1 − 3e −2 )
+ 20.000 − 60.000e
E (Y ) = 20.000 − 40.000e E (Y ) E (Y )
= =
−2
−2
20 .000 − 40 .000 × 0,14 20.000 − 5.600 = 14.400
G�������: D ������� 17
��� 4� �EGI�� 2009 �FCC�
S����ha ��e � ���e�� de �a���c��a� e�i�ida� ��� ��a f���e �adi�a�i�a d��a��e �� �e���d� de �e��� � �eja ��a �a�i��e� a�ea���ia c�� di���ib�i��� de P�i����. Sabe��e ��e a ���babi�idade de ��e ��� haja e�i���e� d��a��e � �e��� � � 1/4. A ���babi�idade de ��e haja �e�� �e��� d�a� e�i���e� d��a��e � �e��� � � (A) ln 4 − 1 (B) (C)
4 − ln 4 4 ln 4 4
(D) 1 − (E)
ln 4 4
3 − ln 4 4
���������.
Te���:
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
� � � �� � ��
�! � � � �������� �� �
A��ica�d� ��ga�i��� �e�e�ia�� d�� d�i� �ad�� da ig�a�dade:
� �� ��
��
Q�a�d� � ��ga�i��� i�cide ��b�e ��a �����cia, ��de��� de�ce� � e���e��e, ����i��ica�d�:
� �� ��
−λ���
Q�a�d� a ba�e � ig�a� a� ��ga�i��a�d�, � ��ga�i��� �a�e 1.
− � � � ��
��
P�de��� �e�a�a� � ��ga�i��� da di�i��� e� ��a ��b��a��� de ��ga�i����:
− � � � �� � − �� ��� ���
Q�a�d� � ��ga�i��a�d� �a�e 1, � ��ga�i��� �a�e 0.
� ��� �������� ��� − � −�� ���
A ���babi�idade de ��a e�i���� �:
S�b��i��i�d� S�b��i��i�d� � �a��� de
� � � � � �
�! �
�
, e�c����ad� �a e��a��� I:
� � � �� �
S�b��i��i�d� S�b��i��i�d� � �a��� de dad� e� II:
� � � �� � �� ��� Fi�a��e��e, ��de��� ca�c��a� a ���babi�idade de �e�� �e��� d�a� e�i���e�:
≥ � � � − � � � � − � � � � − � �� ��� � � − − � � �
����� ����� �������
� − � − �� � �
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
�
� − �� ��� ��� �
G�������: E ������� 18
��� 7� �EGI�� 2009 �FCC�
Seja X a �a�i��e� a�ea���ia ��e �e��e�e��a � ���e�� de cha�ada� ��� �i���� �ecebida� ��� �� PBX. Sabe��e ��e X �e� ��dia λ e ��e P(X = 3) = P(X = 4). S����d� ��e a di���ib�i��� de P�i���� �eja ade��ada �a�a X, a ���babi�idade de ��e �c���a ��a cha�ada e� 30 �eg��d�� � (A) e−� . (B) 4e−� . (C) e−�. (D) 2e−�. (E) 1 − 2 e−�. ���������:
� � � � � �
�! �
�
�!
Ig�a�a�d� a� d�a� ���babi�idade�:
� �!
�
� �!
� �! �! �� � � �
A��i�, e� 1 �i���� e��e�a���e 4 cha�ada�. L�g�, e� �ei� �i����, e��e�a���e 2 cha�ada�. A ���babi�idade de ��a cha�ada e� �ei� �i���� �:
� � �
� �
�!
���
G�������: D
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� Pa�a e�ce��a� �� c��e����i�� da di���ib�i��� de P�i����, fa���� di�e� � �eg�i��e. Se � �e�
di���ib�i��� de P�i����, e����: E ( X ) = V ( X ) = λ
A �a�i��cia e a e��e�a��a de � ��� ig�ai� a λ . ���E ���A!!! ����� � ��������� �� �������� ��� ������������ �� �������
� � 5.
������B����� �������� �������A
Ne��a a��a j� e���da��� a di���ib�i��� ��if���e di�c�e�a. � a di���ib�i��� e� ��e ��d�� �� ������ei� �a���e� a����id�� �e�a �a�i��e� a�ea���ia ��� a �e��a cha�ce de �c���e�. Ag��a �e�e��� �a�b�� ��a �a�i��e� ��if���e. S� ��e, e� �e� de �e� di�c�e�a (�� �eja, a����i� a�e�a� a�g��� �a���e�), e�a � c������a. Sabe��� ��e, �� ca�� de ��a �a�i��e� c������a, ��� ��de��� fa�a� e� ���babi�idade de �c���e� �� dad� ���e��. P�de��� fa�a� a�e�a� e� ���babi�idade� �e�aci��ada� a i��e��a��� de �a���e�. E e��a� ���babi�idade� ��de� �e� ca�c��ada� a �a��i� d� g��fic� da f����� de��idade de ���babi�idade. P�i� be�, a� �a�i��ei� c������a� ��� e���dada� a �a��i� de �e� g��fic� de de��idade de ���babi�idade. Veja��� �� e�e���� de �a�i��e� ��if���e c������a.
Ob�e��e��� a fig��a aci�a. Te��� � de�e�h� de �� g��fic� de ��a f����� de��idade de ���babi�idade (fd�). E�a a����e � �a��� 0,5, ��a�d� � �e��e�ce �e��e�ce a� i��e��a�� [1;3]. Q�a�d� � ��� �e��e�ce a e��e i��e��a��, a f����� a����e � �a��� �e��. O ��e ca�ac�e�i�a ��a �a�i��e� ��if���e? N� i��e��a�� e� ��e a fd� � dife�e��e de �e��, e�a � c����a��e. N� ��e�e��e ca��, �� i��e��a�� de 1 a 3 a fd� �a�e �e���e 0,5.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
���E ���A!!! �������� �������� ��������
S�a f����� de��idade de ���babi�idade � ig�a� a �e�� e� ��da a �e�a �ea�, c�� e�ce��� de �� dad� i��e��a��, ��de a����e �� �a��� c����a��e. Acha� a ��dia da �a�i��e� ��if���e � be� �i���e�. T��a��� � i��e��a�� e� ��e a fd� � dife�e��e de �e��. O ����� ��di� de��e i��e��a�� c���e����de � ��dia da �a�i��e�. N� e�e���� aci�a, a ��dia de � � � ig�a� a 2, ��i� � ����� ��di� d� i��e��a�� [1;3] � 2. J� �i��� ��e, �� ca�� da di���ib�i��� ��if���e, a e��e�a��a � � ����� ��di� d� i��e��a��. Fa��a �e���� ��a� � a ��a �a�i��cia. Se a �a�i��e� � ��if���e �� i��e��a�� de � a�� �, e���� a �a�i��cia fica: V ( X ) =
(b − a) 2 12
���E ���A!!! ����� � ��������� �� �������� �������� ��������
Se a �a�i��e� � ��if���e �� i��e��a�� (a, b), e����: E ( X ) =
V ( X ) =
������� 19
a+b 2
(b − a) 2 12
CG� 2008 �E�AF�
Se�d� � ��a ��a �a�i��e� a�ea���ia ��if���e�e��e ��if���e�e��e di���ib��da �� i��e��a�� [0,1], de�e��i�e ��a �a�i��cia. a) 1/2. b) 1/3. c) 1/4. d) 1/6. e) 1/12. ���������: V ( X ) =
����� ����� �������
(b − a) 2 12
=
(1 − 0) 2 12
=
1 12
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
G�������: E ������� 20
���/2007 �FCC�
O �e��� �ece����i� �a�a �� �edica�e��� c����a d�� fa�e� efei�� �eg�e �� ��de�� c�� de��idade U�if���e �� i��e��a�� de 5 a 15 (e� �i�����). U� �acie��e � �e�eci��ad� a� aca�� e���e �� ��e ���a�a� � �e��di�. A ���babi�idade d� �edica�e��� fa�e� efei�� e� a�� 10 �i�����, �e��e �acie��e, �: a) 0,8 b) 0,7 c) 0,5 d) 0,4 e) 0,3 ���������.
O g��fic� da f����� de��idade de ���babi�idade fica:
A fd� �a�e �e�� e� ��da � �da a �e�a �ea�, c�� e�ce��� d� i��e��a�� e���e 5 e 15. Ne��e i��e��a�� a fd� � c����a��e e ig�a� a 0,1. C��� �abe��� di���? A �a�i��e� �� a����e �a���e� e���e 5 e 10. L�g�, a ���babi�idade de e�a e��a� �e��e i��e��a�� � ig�a� a 1. P���a���, a ��ea d� �e���g��� aci�a de�e �e� ig�a� a 1. Pa�a ��e i��� ac���e�a, a a����a de�e �e� � i��e��� da ba�e. A ba�e �a�e 10. A a����a � � i��e��� da ba�e. P���a���, �a�e 0,1. O e�e�c�ci� �e�g����� ��a� a ���babi�idade da �a�i��e� a�ea���ia a����i� �a���e� �e���e� �� ig�ai� a 10. O� �eja, ��eci�a��� da ��ea de��acada �a abai��:
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
T�a�a��e de �� �e���g��� de ba�e 10 � 5 = 5 e a����a 0,1. P( X < 10) = 5 × 0,1 = 0,5
G�������: C. ������� 21
��� 2� �EGI�� 2008 �FCC�
U�a �a�i��e� a�ea���ia X � ��if���e�e��e di���ib��da �� i��e��a�� [1, 5]. A ��dia e a �a�i��cia c���e����de��e� c���e����de��e� ���, �e��ec�i�a�e��e, �e��ec�i�a�e��e, (A) 2 e 1/3 (B) 2 e 2/3 (C) 3 e 3/4 (D) 3 e 1/3 (E) 3 e 4/3 ���������:
A ��dia � � ����� ��di� d� i��e��a��:
� � �� � � � A �a�i��cia � dada ���:
− � � − �
��
��
�
�� ��
�
� �
G�������: E
6.
������B����� ����A�
A f����� f ����� de��idade de��idade de ���babi�idade ���babi�idade �e��e �a�a ca�ac�e�i�a���� �a�i��ei� c������a�. A f����� de��idade de ���babi�idade �e� �� g��fic� c�� ��a �����iedade e��ecia�. Vi��� ��e a ��ea abai�� da c���a �e��e �a�a ca�c��a���� a ���babi�idade a���ciada a� i��e��a��. U�a f����� de��idade de ���babi�idade ���babi�idade ��i�� i�����a��e � a f����� da �a�i��e� ga���ia�a (�� ����a�). S�a f�����a � a �eg�i��e: f ( x) =
− ( x − µ ) 2 exp 2 2 σ 2 2πσ 1
O�de µ � a ��dia da �a�i��e� a�ea���ia (=e��e�a��a), (=e��e�a��a), σ � � de��i� �ad��� e �e��� � a f����� e����e�cia� e� ��e a ba�e � � ���e�� de E��e�.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
������ ��� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
Ne� ��eci�a fica� ��e�c��ad ��e�c��ad e� dec��a� �� e��e�de� a f����� aci�a. N�� �� a ci�a��� e �e� �e � �a�� �a���� c��e c��e�� ��a� a� ���a� ��a�e��e e��e.. � c�a� c�a�� � ��e ��e ��� ��� ��� ��� �a� �a��� �� fica� fica� de�e de�e ha�d� �e� g��fic� �a�a �a�a,, e� �eg� �eg�id ida, a, fic fica� a� ca� ca�c� c��� �d� ��ea� abai�� da c���a. C��� a di���ib�i��� ����a� � ��i�� i�����a��e, � ��e ge�a��e��e e� �a ����a ��� �abe�a� ��e ��� f���ece� a� i�f���a��e� da� ��ea� abai�� da c���a. O ��e ��� �a��� a��e� a��e�de de�� � �i���e� �i���e��e �e��e ��e c� � c������a� �ai� �abe�a�. E���� �a�� �a���� �e���i�. �e���i�. Sabe� Sabe��� ��e e�i��e ��a �a�i��e� a�ea���ia ��e � ��i�� i�����a��e, i�����a��e, ��e �e cha�a ����a� (� (�� ga ��ia�a). E�a �e� ��a f����� de��idade de ��babi�idade �ei� c����icada, ��� i��� a ����a �ai ��� ��� f���ece f���ece�� �abe�a� �abe�a� c�� a� a� c���a� c���a� ���� ���� �a�. Te��� a�e�a� ��e �abe� c��� ��ha� �a �ab �a. Me��� Me��� ��e ��e a ge��e ge��e ��� ��� ��e ��eci�e �abe� c��� de�e�ha� � g��fic�, �a��� �e� a�g��� de�e�, ge�ad�� �� e�ce� (f����� �di��.�����). � ��i� �a�a �a�a �i��a�i�a���� �i��a�i�a���� a�g�� � �����iedade� da �a�i��e� ����a�. Pa�a Pa�a de�e e�e�ha� � g�� g��fic� fic�,, ��e i�a��� �abe� a ��dia e � de��i� �ad��� d �a�i��e� a�ea���ia ����a� ����a� e� a���i�e. a���i�e. O g��fi � abai�� �e��e�e��a a f����� de��idade de ���babi�idade ��a� ��a�d� d� a �a�i �a�i�� ��e� e� a�ea a�ea�� ���i �iaa � ��a� �e� ��dia �e�� e de��i� �ad��� ��i���i�.
Fig��a 1 � F����� de��idade de ���babi�idade ���babi�idade �a�a �a�i��e� a�ea���ia ���a� c�� ��dia �e�� e de��i� �ad��� ��i���i� . A�g� A�g��a �a�� ca�a ca�ac� c�e� e��� ���ic �ica� a� da da f� ��� de��idade de ���babi�idade da �a�i��e� ����a�. P�i�ei��: � ����� de ���i�� c���e����de � ��dia da da �a �a�i��e� aa�e �eaa��� ���ia (=e��e�a��a). Ne��e ca�� ca��,, a ��d ��dia ia � �e�� �e��.. C�� C���e �e�� ����de �a�b�� � ��da e � �edia�a da di���i �i���. Seg�� Seg��d� d�:: a f���� f����� � � �i��� �i����� ica. P�de��a��� c���ca� �� e��e�h� be� e� ci�a d� �e�� (�� (����� de ���i ���i� ��, �� ��e c� c�i�cide i�cide c�� a ��dia), ��dia), ��e ��e a� a� d�a� d�a� �e�a �e�ade� da f����� �e ��b�e���ia� ��b�e���ia� c�� �e�fei���. I��� ��e� di�e� ��e � �a��� d f����� e� �0,5 � ig�a� a� �a��� da f����� e� +0,5. P�� ���? P����e P����e e��e� e��e� d�i� d�i� �a���e� �a���e� e�� e�� � ig�a��e��e afa��ad�� da ��dia.
����� ����� �������
���.������� ���.�� ��������� ��������� ��������.� ���.���. ��.��
��
������ ��� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
E��e E��e g�� g��fic� fic� aci� aci�aa, ��e ��e �e�� �e��e�e��a e�e��a a �a�i �a�i��e ��e�� a�ea� a�ea���i ��iaa ����a ����a�� c�� ��dia �e�� e de��i� �ad��� ��i���i�, � � �ai� i ����a��e. I��� �����e a� �abe�a� ��e ��� e���da�e��� �ai� adia��e adia��e f���ec f���ece� e� ��ea� abai�� da c���a j���a�e��e j���a�e��e �a�a e��e g��fic�. Se �� e�e�c�ci� �i�e��� �i�e����� ���� ����aa �a�i� �a�i��e� �e� a�ea� a�ea� �ia ����a� ����a� ��e ��e ��� ��� �e�ha �e�ha ��dia ��dia �e�� e de� de� i� �ad��� ��i���i�, �a��� ��eci�a� fa�e� a�g��a� ��a��f���a��e� �a�a ��i�i�a� a� �abe�a�. � abe�a�. A �a�i��e� ����a� c�� ��dia �e�� �e�� e de� de��i �i� � �ad �ad�� ��� � ��i ��i��� ���i� i� � c��� c��� e��e cha�ada de �������� ������ �������� . O� ai�da, de �������� ������ ������ . Se� ��� ��� ���a� � �Z�. Z → �a�i� a�i��e �e�� ��� a� �ed��ida (��dia �e�� e de��i� �ad��� � i���i�).
Te�cei��: � �edida ��e � a����e �a���e� ��i�� g�a�de� (�e�de�d� a �e��e��� (�e�de�d� a − ∞ ), a f����� �e�de �a�a �e��.
+ ∞
) �� ��i��
Q�a���: Q�a���: a ��ea ��ea abai�� abai�� da c�� a i��ei�a (c���ide�a�d� (c���ide�a�d� �a���e� de � �e �e�de de� �d� a� i�fi�i��, be� c��� c��� a��e a��e�e �e�� �e� �e�de de�d �d� � a � ��� i�fi�i��) i�fi�i��) � 1. I��� �����e �����e a ���babi�ida ���babi�ida e de � a����i� a����i� �� �a��� ��a���e� ��a���e� e� ��da a �e� �ea� � 100%. A �eg�i �eg�i�� � g��f g��fic� ic� de ��a ��a f�� f����� ��� de�� de��id idad ade e de ��� ���ba babi bi�i�ida dade de �a� �a�aa ��a ��a � �i��e� ����a� c�� ��dia ��dia �e�� �e�� e de��i� de��i� �ad�� �ad��� � i �a� a 1,6.
Fig��a 2 � F����� de��idade de ���babi�idade �a�a �a�i��e� a�ea���ia ���a� c�� ��dia �e�� e de��i� �ad��� ig�a� a 1 ,6 Ob�e Ob�e�� ��ee ��e ��e � ��� ����� �� de �� i�� i�� � � �e�� �e��� � d� d� g�� g��fic fic� � a�� a��e� e�i� i��. �. I��� I��� � ���e a ��dia, ��� d�i� ca���, � �e��. Ma� � g��fic� g��fic� da da Fig��a Fig��a 2 � �ai� ��a�e ��e � g��fic� da Fig��a 1. � �edid �edid a ��e �� �a���e� de fica� ��i ��i�� �� g�a g�a�d �de� e�,, � ��� �a� �a���e� da f����� ��� �a�a �e�� de f���a �ai� �e��a. I��� �����e, � fica� �a �a�i �a�i�� ��e� e� a�ea a�ea�� ���i �iaa �e�� �e��e� e�ee��ada ��ada �a Fig��a Fig��a 2, � de��i� de��i� �ad�� �ad��� � � �ai �. O� �eja, � ��a �a�i��e� ��e a��e�e��a �a���e� �ai� di��e����, �ai� afa��ad�� da ��dia. Se �� �a�� �a���e �e�� ��� ��� �ai� �ai� di�� di��e����, e����, e���� e���� a ���b ���babi abi�id �idad ade e de e�c� e�c���� ���aa ���� �a���e� �ai� afa��ad�� da ��dia � �ai��. P�� i��� a c���a cai �e��a�e��e, de f���a ��e a ��ea abai�� de�a de�a,, �a�a �a�a �a� �a��� ��e� e� �ai �ai�� afa� afa��� d�� da ��dia, ��� �eja ��� �e��e�a �e��e�a ��a�� �� ca�� da Fig��a 1. Va��� �a�a �� �e�cei�� e� e����.
����� ����� �������
���.������� ���.�� ��������� ��������� ��������.� ���.���. ��.��
��
������ ��� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
Fig��a 3 � F����� de��idade de ���babi�idad ���babi�idade e �a�a �a�i��e� �a�i��e� ����a� c� �ad��� ��i���i�
��dia 2 e de��i�
Ag��a a ��dia � 2. P���a���, � ����� de ���i�� ��� fica e� �e��, �e��, �i� e� 2. Ma� � g��fic� c���i��a �e�d� �i����ic�. S� ��e ����� ����� e��e� e��e�h� h� ag��a ag��a �e� ��e fica� e� e� c i�a de 2. A��i A��i�, �, a f��� f����� �� a��� a����e �e �� �e���� �a���e�, �a��� e� � ig�a� ig�a� a 1 ��a��� e� � ig�a� ig�a� a 3. P�� ���? P��� P����e �e e��e� e��e� d�i� d�i� �a��� � e���� ig�a��e��e afa��ad�� da ��dia. O e��� �a�e �a�a �� �a���e� de � ig ig�ai� a 4 e a 0. A�b�� e���� ig�a��e��e afa��ad�� da ��dia. N��e ��e �� ��e � de��i e��i� � �ad� ad��� � � �i���i �i���i�. �. � � �e��� �e��� de��i de��i� � da �a�i�� �a�i��e� e� da Fi ��a 1. P���a���, a� d�a� c���a� ��� e�a�a�e��e � �e��� �e��� f���a f���a��. ��. S� h�� h���e �e �� �� de��� de���ca� ca�e��� h��i����a� a� ���g� d� ei�� � . E ��� ��� ��e ��e � ��e ��e a �a�i �a�i�� ��e� e� �� �� �a� � ��� i�����a��e? P����e e� e�i��e � �� � �e �e��e�a, c a�ad� de ������� �� ������ �������, ��e a�a��e ��e a ���a de �� �� ���e�� ���e�� ��i�� g�a�de de �a� �a�i�� i��ei� ei� i�de i�de�e �e�d �de� e��e� �e� �e�� �e����a ��a � ��a �a�i��e� c�ja di��� di���ib ib�i �i�� ��� � � ���� ����i� i�aa da da �� �� �a�. a�. H� H� �ai �ai�� a�g a�g� ��a� c��d c��di� i�� �e� a �e�e e�e� � edecida� �a�a ��e i��� �eja a��ic��e�, �a� �a�a � ����� c���� �abe� a�� a��i j� e��� ��i��. P�� i��� a �a�i��e� ����a� ����a� � ga���ia�a � i�����a��e. M�i�a� �a�i��ei�, �e����a��e� de �� ���e�� ���e�� ��i�� ��i�� g�a�d g�a�dee de de �� �� �a� �a�i��ei�, ��de� �e� a����i�ada� ��� ��a c���a ����a�. A��i ��� da� �� e�e���� �i�ad �i�ad� � d� �i�� �i��� � �E�� �E��a�� a���� ��ic icaa �a�a �a�a ec� ec��� ��� �i��a��, d� R�d��f� H�ff�a��. T��e��� a a����a de i�di� i�di��d �d�� ���� ad��� ad�����. ��. A a���� a����aa � i�f� i�f��e� �e�ciada ��� di�e��a� �a�i��ei� �� ��e �� ��de� �e� � �ada� �ada� c��� c��� i�d i�de� e�e� e�de de��e ��e�: �: ca�ga ca�ga ge� �ica, a�i�e��a���, d�e��a� d�e��a� (�a��e� (�a��e� a� a� d�e��a� d�e��a� ��� �eja �eja� � �ea�� �ea��e�� e��ee i�de i�de�e �e�d �de� e��e� �e� da� de�ai�, �a� � �� �� e�e����), e���e ������. C�� �a��a� �a�i��ei� �a�i��ei� dife�e� dife�e��e�, �e�, � �a����e �a����e�� e�� e�� �a� ��e a �a�i��e� �e����a�� �e����a��ee e� ��e���� ��e���� (a (a a����a) �iga �ai� �� �e��� ��a di���ib�i��� ��� �a�. N�� �a��� �e� ���b�e�a� c�� e��e �e��e�a. Na �e�dade e�e �e��e �a�a ��e ��i�a� �����i �����ieda edade de�� ��e ��e �e�e� �e�e��� �� d a��i �a�a f�e��e �eja� de������ada�. Pa� e��e ����� c���� ach� ��e ba��a a�e�a� �abe� da e�i����cia de��e �e��e�a, ��i� aj�da a e��e�de� �����e a �a�i�� �a�i��e� e� ��� ����a� �a� � ��� ��� i��� i�����a ��a��e.
����� ����� �������
���.������� ���.�� ��������� ��������� ��������.� ���.���. ��.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
6.1.
���������� ��� �������.
Ge�ei a �eg�i��e �abe�a c�� � e�ce� (f����� �di��.�����). Na ����a �ai �i� e��a �abe�a (�� ��a �a��e de�a). E�a �a�b�� e��� �e���d��ida a� fi�a� da a��a. Pe�� ��e ��c�� ��� �e��e� �i���e��e��e dec��a� c��� c������a� a �abe�a. Te��e� �ea��e��e e��e�de� c��� � fei�a a c������a. Dig� i��� �����e � ������e� ��e a ����a a��e�e��e �abe�a� e�������ada� de f���a �� ���c� dife�e��e. Se � ca�dida�� ��� e��e�de� ��a� i�f���a��� e��� �e�d� a��e�e��ada, ��� c���eg�i�� fa�e� a c������a c���e�a�e��e. PROBABILIDADE DE Z ESTAR ENTRE 0 E Z � Seg��da ca�a deci�a� de Z � �� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ���
� ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������
���� ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������
���� ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������
���� ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������
���� ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������
���� ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������
���� ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������
���� ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������
���� ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������
���� ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������
O�he� � ������ �� �� a��� da �abe�a. O ��e � ��e e�a f���ece?
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
E�a ��� d� a ���babi�idade de a �a�i��e� Z a����i� �a���e� �� i��e��a�� e���e 0 e Z �. E�e����:
� � � ���� �� Q�a� a ���babi�idade de Z a����i� �a���e� e���e 0 e 1,28? Ne��e ca��, Z� = 1,28. E���� c������a���� a �eg�i��e c����a, de��acada e� �e��e�h�:
�� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ���
� ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������
���� ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������
���� ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������
������������� �� � ����� ����� � � �� ������� ���� ������� �� �� ���� ���� ���� ���� ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������
���� ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������
���� ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������
���� ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������
P���a���:
� � � ���� � ������ � i��� � ��e a �abe�a f���ece. F�i�� ���a�e��e: � ������e� e�������a� a �abe�a de i���e�a� f���a�.
�. Ma� �e�ia ������e� �������a �a�a
E��a �abe�a aci�a f���ece �a���e� �a�a �� � � f���ece� ����a� ��ea�, c��� ��� e�e����:
� � � � − � � �
P�� i���, a��e� de c������a� a �abe�a, ��e��e a�e���� a� ��e e�a e��� f���ece�d�. Veja��� � �eg�i��e e�e����: E������ 5
Ca�c��e a ���babi�idade de ��a �a�i��e� a�ea���ia ����a�, c�� ��dia �e�� e de��i� �ad��� ��i���i�, a����i� �a���e� e���e 1 e 2.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
���������.
P�eci�a��a��� ��a�a� � g��fic� da fd� de��a �a�i��e� e, e� �eg�ida, ca�c��a� a ��ea abai�� da c���a e���e �� �a���e� 1 e 2. Fica�ia a��i�:
Fig��a 4 � ��ea c���e����de��e � ���babi�idade de � a����i� a����i� �a���e� e���e 1 e 2 S� ��e ��� �i��� ��e a fd� da �a�i��e� ����a� � �ei� c����icada. N�� �a��� ca�c��a� e��a ��ea c��� fa��a��� �a a��a �a��ada, ��a�d� �� g��fic�� e�a� �ai� ��a���i��� (��ea� de ��i��g����, �e���g���� e ��a���i��). Va��� ��a� a �abe�a. � abe�a. O ��e ���� �abe�a f���ece � a ���babi�idade de � e��a� e��a� e���e �e�� e Z �. E ��e fi��e be� c�a��: � b�� ��ha� a�e��a�e��e � ��e � ��e a �abe�a e��� f���ece�d�. � ������e� c���������a de di�e��a� f���a�, ��a�e�d� i�f���a��e� dife�e��e�. Q�a�d� Z� f�� ig�a� a 2, � ��e �e���? A ���babi�idade de � e��a� e��a� e���e 0 e 2. Va��� c������a� a �abe�a. P��c��a��� �e�� �a��� Z � = 2. E�c����a��� a �eg�i��e ���babi�idade: 0,4772. A �abe�a e��� ��� di�e�d� ��e a �eg�i��e ��ea � de 0,4772:
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
Fig��a 5 � ��ea c���e����de��e � ���babi�idade de � e��a� e���e 0 e 2 (ba��a c������a� �abe�a �a�a Z � = 2) E �e Z� f�� ig�a� a 1? C������a��� a �abe�a e e�c����a��� a �eg�i��e ���babi�idade: 0,3413. O� �eja, a ���babi�idade de � a����i� �a���e� e���e 0 e 1 � de 0,3413. O� ai�da, a ��ea abai�� � ig�a� a 0,3413:
Fig��a 6 � ��ea c���e����de��e � ���babi�idade de � e��a� e���e 0 e 1 (ba��a c������a� �abe�a �a�a Z � = 1) E����, �a�a �b�e� a ��ea e���e 1 e 2, ba��a ��b��ai� a� ��ea� �e�de� da Fig��a 5 e da Fig��a 6. Fica��� c��: ������ − ������ � ������ ������
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
Fig��a 7 � ��ea c���e����de��e � ���babi�idade de � a����i� a����i� �a���e� e���e 1 e 2 L�g�, a ��ea e���e 1 e 2 � de 0,1359. P���a���, � a����e �a���e� e���e 1 e 2 c�� ���babi�idade de 13,59%. E������ 6
C���ide�a�d� a �e��a �a�i��e� defi�ida �� e�e�c�ci� a��e�i��, ��a� a ���babi�idade de � a����i� �a���e� �ai��e� d� ��e 2? ���������.
Q�e�e��� a �eg�i��e ��ea:
Fig��a 8 � ��ea c���e����de��e � ���babi�idade de � a����i� a����i� �a���e� �ai��e� ��e 2
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� C������a�d� a �abe�a, �� c���eg�i��� de�c�b�i� a ���babi�idade de � e��a� e��a� e���e 0 e 2. Ma� ��e�e��� a ���babi�idade de � e��a� e��a� e���e 2 e ∞ .
Fig��a 9 � C���a�a��� e���e a� ���babi�idade� de � e��a� e��a� e���e 0 e 2 (e� �e��e�h�) e de � e��a� e���e 2 e i�fi�i�� (�e�de). A �abe�a ��� d� a ��ea �e��e�ha. N�� ��e�e��� a ��ea �e�de. C��� �abe��� ��e a f����� � �i����ica, a ��ea � e���e�da de �e�� � ig�a� � ��ea � di�ei�a de �e��. E a� d�a� ���ada� d�� 100%. P���a���, a ��ea � di�ei�a de �e�� � ig�a� a 0,5 (�� 50%) S��a�d� a� ��ea� �e��e�ha e �e�de �e���, ����a���, 0,5. C��� a ��ea �e��e�ha � ig�a� a 0,4772 (ba��a c������a� a �abe�a), a ��ea �e�de � dada �e�a dife�e��a: 0,5 � 0,4772 = 0,0228. P���a���, a ���babi�idade de � a����i� �a���e� �ai��e� ��e 2 � de 2,28%. E������ 7
Ca�c��e a ���babi�idade de ��a �a�i��e� a�ea���ia ����a�, de ��dia 2 e de��i� �ad��� 4, a����i� �a���e� e���e 2 e 8. ���������.
A �abe�a ��� f���ece a�e�a� ��ea� abai�� da c���a fd� da �a�i��e� ����a� c�� ��dia 0 e de��i� �ad��� 1 (�a�i��e� ����a� �ed��ida). N�� � � ca�� da ����a �a�i��e� e� a���i�e. P�eci�a��� fa�e� ��a ��a��f���a���. Seja � a ����a �a�i��e� a�ea���ia e� a���i�e, c�� ��dia 2 ( µ X σ X = 4 ).
=
2 ) e de��i� �ad��� 4(
Seja Z a ����a �a�i��e� ����a� �ed��ida. Va��� fa�e� a �eg�i��e ��a��f���a���:
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� Z =
X − µ X
σ X
Pa�a �b�e� cada �a��� de Z, �ega��� cada �a��� de � , ��b��a���� da ��dia e di�idi��� �e�� de��i� �ad���. Re�e�b�a�d� �����iedade� da ��dia. Q�a�d� ��b��a����, ���a���, di�idi��� �� ����i��ica��� ��a �a�i��e� ��� ��a dada c����a��e, a ��dia ��f�e a �e��a �a�ia���. A ��dia da ���a �a�i��e� Z fica: µ Z
=
µ X − µ X σ
=
0
Re�e�b�a�d� �����iedade� d� de��i� �ad���. S��a� e ��b��a��e� ��� i��e�fe�e� �� de��i� �ad���. Q�a�d� ����i��ica��� �� di�idi��� ��a �a�i��e� ��� ��a dada c����a��e, � de��i� �ad��� ��f�e a �e��a �a�ia���. O de��i� �ad��� da �a�i��e� Z fica: σ Z
=
σ X σ X
=1
A �a�i��e� Z �e� ��dia �e�� e de��i� �ad��� ��i���i�. Pa�a e�a �i� ��� ��de��� c������a� a �abe�a. A dica � �e���e e��a. Se���e ��e �i�e���� ��a �a�i��e� � ��e ��e ��� �e� ��dia �e�� e de��i� �ad��� ��i���i�, ��� ��eci�a�e��� �b�e� a �a�i��e� �ed��ida Z (�a�a e���� c������a� a �abe�a). E a ��a��f���a��� �a�a �b�e� a �a�i��e� Z (de �a� ��d� ��e e�a �e�ha ��dia �e�� e de��i� �ad��� ��i���i�) �e�� a��i�: Z =
X − µ
σ
V���a�d� a� ����� e�e����. Q�e��a��� �abe� a ��ea c���e����de��e a� �a��� 8 da �a�i��e� � . E� �e� de c������a� � �a��� 8, c������a��� � ��e �he � c���e����de��e. O �a��� c���e����de��e da �a�i��e� Z �: 8−2 4
= 1,5
Ta�b�� ��e��a��� �abe� a ��ea c���e����de��e a� �a��� 2 da �a�i��e� � . E� �e� de c������a� � �a��� 2, c������a��� � �a��� ��e �he � c���e����de��e. O �a��� c���e����de��e da �a�i��e� Z �: 2−2 4
=
0
Ag��a �i�. P�de��� ��i�i�a� a �abe�a dada. P��c��a�e��� �e�a ��ea e���e �� �a���e� 0 e 1,5. C������a�d� a �abe�a, a ���babi�idade da �a�i��e� Z a����i� �a���e� e���e 0 e 1,5 � 0,4332. P���a���, a ���babi�idade da �a�i��e� � a����i� a����i� �a���e� e���e 2 e 8 �a�b�� � de 0,4332.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
F�i�� ���a�e��e! E��a ��a��f���a��� � ��i�� i�����a��e!!! � ba��a��e ���a� ��� e�e�c�ci�� da��i �a�a f�e��e. A �a�i��e� Z � cha�ada de �a�i��e� ����a� �ed��ida. Se���e ��e �i�e���� ��a �a�i��e� ����a� � e ��i�e���� �b�e� a �e��ec�i�a �a�i��e� �ed��ida Z, fa�e��� a �eg�i��e ��a��f���a���: Z =
X − µ
σ
E �a�a e��a �a�i��e� Z ��� ��de��� c������a� a �abe�a. Va��� ag��a a �� e�e���� �� ���c� dife�e��e. E������ 8
Pa�a a �e��a �a�i��e� � , ����a�, de ��dia 2 e de��i� �ad��� 4, de�e��i�e ��a� � i��e��a�� ce���ad� �a ��dia ��e c����� 92,5% d�� �a���e�. ���������.
Pa�a ��de���� c������a� a �abe�a, �e��� ��e ��i�i�a� �� �a���e� da �a�i��e� Z: Z =
X − µ
σ
O i��e��a�� ���c��ad� � ce���ad� �a ��dia. Va��� di�idi��� e� d�a� �a��e�. 92,5 2
=
46,25 .
Fig��a 10 � I��e��a�� ce���ad� �a ��dia (�a�a a �a�i��e� �ed��ida Z) ��e c����� 92,5% d�� �a���e�. E��a��� ���c��a�d� �a���e� �ai� ��e a ��ea �e��e�ha �eja ig�a� � ��ea �e�de, c�� a�ba� ig�ai� a 0,4625 (de ��d� ��e a ���a �eja 92,5%).
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
C������a�d� a �abe�a, �e��� ��e � �a��� ���c��ad�, de �a� f���a ��e a ��ea �e��e�ha �eja de 0,4625 � 1,78. C��� a �abe�a c���e����de a� g��fic� de ��a f����� de��idade de ���babi�idade de ��a �a�i��e� a�ea���ia c�� ��dia �e��, �abe��� ��e �e ��a�a de �� g��fic� �i����ic�. P���a���, � ����� �a��� ���c��ad� (��e de�i�i�a a ��ea �e�de) � �1,78. E��e� �a���e� ��� �a���e� da �a�i��e� Z (��e �e� ��dia �e�� e de��i� �ad��� ��i���i�). Va��� acha� �� �a���e� c���e����de��e� da �a�i��e� � . Z = Z =
X − µ
σ X − 2 4
X = Z × 4 + 2
Q�a�d� Z f�� 1,78, � �a�e: �a�e: X = 1,78 × 4 + 2 X = 9,12
Q�a�d� Z f�� �1,78, � 1,78, � �a�e: �a�e: X = −1,78 × 4 + 2 X = −5,12
P���a���, 92,5% d�� �a���e� de � e���� e���e �5,12 e 9,12. Re�a�e ��e e��e i��e��a�� � ce���ad� �a ��dia de � (��i�: (��i�:
(9,12 − 5,12) 2
=
2) .
Va��� �a�a a�g��� e�e�c�ci�� de c��c����. ������� 22
�EFA� �� � 2006 �FCC�
Ve�ific����e ��e �� �a���e� a��ecadad�� d�� ��ib���� e� ��a cidade a��e�e��a� ��a di���ib�i��� ����a�. Sabe��e ��e 10% de��e� �a���e� ��� ���e�i��e� a R$ 1.770,00 e ��e 60% ��� �e���e� �� ig�ai� a R$ 1.350,00.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
z
0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50
P(0 ≤ Z ≤
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� z)
0,00 0,10 0,19 0,27 0,34 0,36 0,38 0,40 0,42 0,43
Dad��: �a���e� da� ���babi�idade� P (0 ≤ Z ≤ z ) �a�a a di���ib�i��� di���ib�i�� � ����a� �ad���. A ��dia e � de��i� �ad��� de��e� �a���e� ca�c��ad�� ��i�i�a�d� a �abe�a aci�a ���, �e��ec�i�a�e��e: a) R$ 1.250,00 e R$ 400,00 b) R$ 1.250,00 e R$ 20,00 c) R$1.410,00 e R$ 400,00 d) R$ 1.410,00 e R$ 20,00 e) R$ 1.560,00 e R$ 20,00. ���������.
A �abe�a dada ��� di� ��e a ��ea �e�de abai�� � de 0,40.
Fig��a 11 � A�e �e�de: ���babi�idade de Z a����i� �a���e� e���e �e�� e 1,3; ��ea �e��e�ha: ���babi�idade de Z a����i� �a���e� �ai��e� ��e 1,3 C��� a ��ea � di�ei�a de �e�� � de 0,5, c��c������ ��e a ��ea �e��e�ha � de 0,10. P���a���, 10% d�� �a���e� de Z ��� ���e�i��e� a 1,3. ����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
A �abe�a �a�b�� ��� di� ��e a ��ea �e�de da fig��a abai�� � de 0,10.
Fig��a 12 � ��ea �e�de: ���babi�idade de Z a����i� �a���e� e���e 0 e 0,25 C��� a ��ea � e���e�da de �e�� � de 0,5, e���� a ��ea �e��e�ha da fig��a abai�� � de 0,6.
Fig��a 13 � P��babi�idade de Z a����i� �a���e� �e���e� ��e 0,25 P���a���, 60% d�� �a���e� de Z ��� �e���e� �� ig�ai� a 0,25. Seja X a �a�i��e� ��e �e��e�e��a �� �a���e� d�� ��ib���� a��ecadad��. 10% d�� �a���e� de X ��� ���e�i��e� a R$ 1.770,00. E 10% d�� �a���e� de Z ��� ���e�i��e� a 1,3. 60% d�� �a���e� de X ��� �e���e� �� ig�ai� a R$ 1.350,00. E 60% d�� �a���e� de Z ��� �e���e� �� ig�ai� a 0,25.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
A �e�a��� e���e Z e X � dada ���: Z =
X − µ
σ
I���a�d� � X: X = Z × σ + µ
Q�a�d� X �a�e 1.770, Z �a�e 1,3. 1770 = 1,3 × σ + µ (e��a��� I)
Q�a�d� X �a�e 1.350, Z �a�e 0,25. 1350 = 0,25 × σ + µ (e��a��� II)
S�b��ai�d� a �eg��da e��a��� da ��i�ei�a: 420 = 1,05 × σ ⇒ σ = 400
V���a�d� �a e��a��� II: 1350 = 0,25 × σ + µ 1350 = 0,25 × 400 + µ ⇒ µ = 1250
G�������: A. ������� 23
��F 2� ������/2007 �FCC�
Pa�a �e����e� a ��e���� �eg�i��e, ��i�i�e, de���e a� i�f���a��e� dada� a �eg�i�, a� ��e j��ga� a�����iada�. Se Z �e� di���ib�i��� ����a� �ad���, e����: P( Z > 2) = 0,023 ; P( Z < 1,64) = 0,945 ; P(0 < Z < 1,5) = 0,433 ; P( Z < 1,34) = 0,91
O �ad��� de ��a�idade de ��a i���e����a �ec��e�da ��e �� ������ i���e���� e��eja� e���e 3,6 e 4,4 ��. U�a i���e����a i���i�e ������ c�� di��e��� X, ��de X � a����i�ada�e��e ����a� c�� ��dia 4 �� e de��i� �ad��� σ . . Se a ���babi�idade de �� ����� da i���e����a e��a� de���� d� �ad��� de ��a�idade � de 95,4%, � �a��� de σ , , e� ��, � ig�a� a: a) 0,54 b) 0,35 c) 0,29 d) 0,22 e) 0,20. ���������.
Pa�a a �a�i��e� X, � i��e��a�� f���ecid� � ce���ad� �a ��dia. Ba��a ���a� ��e:
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� 3,6 + 4,4 2
=
4
Va��� acha� �� �a���e� da �a�i��e� ����a� �ad��� (Z), ce���ad�� �a ��dia (=�e��), ��e de�i�i�e� 95,4% d�� �a���e� de Z. Va��� di�idi� e��e �e�ce���a� e� d�i�. 0,954 2
=
0,477
Fig��a 14 � ��ea� �e�de e a���: de�i�i�a� 95,4% d�� �a���e� de Z P��c��a��� �a���e� de Z, ce���ad�� e� �e��, �a� ��e a ���a da� ��ea� �e�de e a��� �eja de 0,954. C��� � g��fic� � �i����ic�, e���� a ��ea �e�de � ig�a� � ��ea a��� e a�ba� �a�e� 0,477. C��� a ��ea � di�ei�a de �e�� � ig�a� a 0,5, c��c������ ��e a ��ea �e��e�ha � de 0,0233. E � e���ciad� ��� di��e ��e P( Z > 2) = 2,33% . P���a���, �� �a���e� de Z ��e e��a��� ���c��a�d� ��� de 2 e �2.
A �e�a��� e���e X e Z �:
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� Z =
X − µ
σ
⇒
X = σ × Z + µ
Q�a�d� X �a�e 3,6, Z �a�e �2. 3,6 = σ × (−2) + 4 ⇒ σ = 0,2
G�������: E
Pa�a �e����e� a Q�e���� 24 e a Q�e���� 25 c���ide�e a �abe�a a �eg�i�, ��e d� �a���e� da� ���babi�idade� P( Z ≥ z ) �a�a a di���ib�i��� di���ib�i� �� ����a� �ad���.
������� 24
z
P( Z ≥ z )
0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50
0,50 0,40 0,31 0,23 0,16 0,11 0,07
BACE�/2006 �FCC�
A� e���e�a� de �� de�e��i�ad� �e��� ��� ��a �i��a��� ����ida be� de�c�i�a ��� ��a di���ib�i��� ����a�, c�� ��dia ig�a� a 2,5 �i�h�e� de �eai� e de��i� �ad��� de 2 �i�h�e� de �eai�. Se�eci��a�d���e ��a e���e�a a�ea���ia�e��e de��e �e���, a ���babi�idade de�a a��e�e��a� ��a �i��a��� ����ida �ega�i�a �� ���a � de: a) 11% b) 16% c) 23% d) 39% e) 50%. ���������.
Q�e�e��� �abe� a ���babi�idade da �a�i��e� � , ����a� de ��dia 2,5 e de��i� �ad��� 2 (e� �i�h�e� de �eai�), a����i� �a���e� �e���e� �� ig�ai� �e��. Pa�a c������a� a �abe�a, � abe�a, ��eci�a��� ��a� �a���e� da �a�i��e� �ed��ida Z. Z = Z =
X − µ
σ X − 2,5 2
Pa�a � ig�a� ig�a� a �e��, Z �a�e:
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� Z =
0 − 2,5 2
= −1, 25
Se acha���� a ���babi�idade de Z a����i� �a���e� �e���e� �� ig�ai� a �1,25, a����a�ica�e��e e��a�e��� e�c����a�d� a ���babi�idade de � a����i� a����i� �a���e� �e���e� �� ig�ai� a �e��.
Fig��a 15 � P��babi�idade� de Z a����i� �a���e� �e���e� ��e �,125 (��ea �e�de) e �ai��e� ��e 1,25 (��ea �e��e�ha) A �abe�a da ����a f���ece� a ��ea �e��e�ha (= 0,11). N�� ��e�e��� a ��ea �e�de. C��� � g��fic� � �i����ic�, a� d�a� ��ea� ��� ig�ai�. A ���babi�idade ���babi�idade de Z �e� �e��� �� ig�a� a �1,25 � 1,25 � de 11%. P���a���, a ���babi�idade de � �e� �e� �e��� �� ig�a� a �e�� �a�b�� � de 11%. G�������: A. ������� 25
BACE�/2006 �FCC�
O� �a���e� de de�e��i�ad� ������ �� �e�cad� de i��e��i�e���� a��e�e��a� ��a di���ib�i��� c���ide�ada ����a�. Sabe��e ��e �� �a���e� de 16% d�� ������� ��� ���e�i��e� �� ig�ai� a R$ 10.000,00 e ��e �� �a���e� de 60% d�� ������� ��� i�fe�i��e� a R$ 7.000,00. A ��dia d�� �a���e� de��e� ������� �: a) R$ 8.500,00 b) R$ 8.000,00 c) R$ 7.500,00 d) R$ 6.000,00 e) R$ 4.500,00 ���������.
Seja � a a �a�i��e� ��e �e��e�e��a �� �a���e� d� ������. Seg��d� a �abe�a dada, �abe��� ��e 16% d�� �a���e� de Z ��� ig�ai� �� ���e�i��e� a 1.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
Sabe��� �a�b�� ��e 40% d�� �a���e� de Z ��� ig�ai� �� ���e�i��e� a 0,25. P���a���, 60% d�� �a���e� de Z ��� i�fe�i��e� a 0,25. A��i�, �� �a���e� 1 e 0,25, da �a�i��e� Z, c���e����de� a�� �a���e� 10.000 e 7.000 da �a�i��e� � . Z =
X − µ
σ
I���a�d� � � : X = Z × σ + µ
Q�a�d� Z �a�e 1, � �a�e �a�e 10.000. 10.000 = 1 × σ + µ (e��a��� I)
Q�a�d� Z �a�e 0,25, � �a�e �a�e 7.000. 7.000 = 0,25 × σ + µ
M���i��ica�d� ��d�� �� �e���� ��� 4, a ig�a�dade ��� �e a��e�a: 28.000 = 1 × σ + 4 µ (e��a��� II).
S�b��ai�d� a ��i�ei�a e��a��� da �e�cei�a: 28.000 = 1 × σ + 4 µ 10.000 = 1 × σ + µ
18.000 = 3 µ
µ = 6.000
G�������: D. ������� 26
�EFA� �� 2009 �E�AF�
Seja Z ��a �a�i��e� a�ea���ia N���a� Pad���. Dad�� �� �a���e� de � e de P(Z < �) a �eg�i�, �b�e�ha � �a��� �ai� ����i�� de P(�2,58 < Z < 1,96). � P( Z < � )
1,96 0,975
2,17 0,985
2,33 0,99
2,41 0,992
2,58 0,995
a) 0,97 b) 0,985 c) 0,98 d) 0,99 e) 0,95 ���������: P( Z < 2,58) = 99,5% ⇒ P( Z > 2,58) = 100% − 99,5% = 0,5%
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
C��� � g��fic� de fd� da ����a� �ed��ida � �i����ic� e� ����� de �e��, �e���: P( Z < −2,58) = P( Z > 2,58) = 0,5%
Da �abe�a, �e��� ai�da ��e: P( Z < 1,96) = 97,5%
O� �eja: 97,5% da� �b�e��a��e� ��� �e���e� ��e 1,96; 0,5% d�� �a���e� ��� �e���e� ��e �2,58 ��g�, � �e�ce���a� de �a���e� e���e �2,58 e 1,96 � de: 97,5% − 0 ,5% = 97% G�������: A ������� 27
BACE� 2009 �CE�G�A��I��
E��i�a��e ��e �� �e������ de �� de�e��i�ad� �e�cad� �e�ha� di���ib�i��� ����a�, c�� ��dia 20% e de��i� �ad��� 10%. A ���babi�idade de �e�da� fi�a�cei�a� � de, a����i�ada�e��e, (A) 1% (B) 2,5% (C) 5% (D) 10% (E) 20% ���������.
Seja X � �e����� e��e�ad�. Q�e�e��� �abe� a ���babi�idade de X �e� �e��� ��e 0. Pa�a �a���, ca�c��a��� � �a��� c���e����de��e de Z: �
−
�
� − � � �� ����
� −�
O �a��� c���e����de��e de Z � �2. A��i�, ��eci�a��� ca�c��a� a ���babi�idade de Z �e� �e��� ��e �2. N�� e�c����ei �e��a ����a d� BACEN ��a �abe�a da di���ib�i��� ����a�. Ta��e� a ��e�e���� f���e a de ��e � ca�dida�� j� �i�e��e g�a�ad� a� ��ea� a���ciada� a a�g��� �a���e� �ai� c�����. Fe�i��e��e, � �a��� de Z � �ai� ��i�i�ad� � 1,96. A ���babi�idade de Z e��a� e���e � 1,96 e + 1,96 � de 95%. C��� � �a��� 2 � ��i�� ����i�� de 1,96, ��de��� c���ide�a� ��e a ���babi�idade � a����i�ada�e��e a����i�ada�e��e 95%.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
J� �abe��� ��e: −� � � � ≅ ���
L�g�: ���� − �� ��� � � �� � −� � � � ≅ ����
P���a���: � −� � � � ≅
�� � ���� �
G�������: B ������� 28
��EFEI���A ���ICI�A� DE ��� �A��� 2007 �FCC�
Pa�a �e����de� � ��e���� �eg�i��e, ��i�i�e, de���e a� i�f���a��e� abai��, a� ��e j��ga� ade��ada�. Se Z �e� di���ib�i��� ����a� �ad���, e����: P (0 < Z < 1)
=
0,341
P ( 0 < Z < 1,6) = 0,445 P ( 0 < Z < 2)
=
0,477
O� de���i��� efe��ad�� �� ba�c� B, ��� de�e��i�ad� ���, ��� di���ib�i��� ����a� c�� ��dia R$ 9.000,00 e de��i� �ad��� R$ 1.500,00. U� de���i�� � �e�eci��ad� a� aca�� de���e ��d�� �� �efe�e��e� a� ��� e� ��e����. A ���babi�idade de ��e � de���i�� e�ceda a R$ 6.000,00 � de: a) 97,7% b) 94,5% c) 68,2% d) 47,7% e) 34,1% ���������.
Seja X a �a�i��e� ��e �e��e�e��a �� de���i��� fei��� �� ba�c� B. X �e� di���ib�i��� ����a� c�� ��dia 9000 e de��i� �ad��� 1500. O e�e�c�ci� �edi� a ���babi�idade de X>6000. Pa�a ach���a, ��eci�a��� d� �a��� c���e����de��e de Z (����a� �ed��ida). Z = Z =
X − µ
σ
6000 − 9000 1500
= −2
Va��� acha� a ���babi�idade de Z �e� �ai�� ��e �2. Sabe��� ��e a ��ea �e�de da fig��a abai�� � de 0,477.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
Fig��a 16 � ��ea a�a�e�a: ���babi�idade de Z a����i� �a���e� �e���e� ��e �2; ��ea �e�de: ���babi�idade de Z a����i� �a���e� e���e �e�� e 2; ��ea �e��e�ha: ���babi�idade de Z a����i� �a���e� �ai��e� ��e 2. C��� a ��ea � di�ei�a de �e�� � de 0,5, � ��ea �e��e�ha � de 0,023 (=0,5 � 0,477). U�a �e� ��e � g��fic� � �i����ic�, c��c������ ��e a ��ea a�a�e�a �a�b�� � ig�a� a 0,023. De��e ��d�, a ���babi�idade de Z a����i� �a���e� �e���e� �� ig�ai� a �2 � de 2,3%. C���e��e��e�e��e, a ���babi�idade de Z a����i� �a���e� �ai��e� ��e �2 � de 97,7%. E a ���babi�idade de X a����i� �a���e� �ai��e� ��e 6.000 (�a��� de X ��e c���e����de a Z = �2) �a�b�� � de 97,7%. G�������: A ������� 29
�� �I 2009 �FCC�
C���ide�e a �abe�a abai��, ��e d� a�g��� �a���e� da� ���babi�idade� P (Z ≥ �) �a�a a di���ib�i��� ����a� �ad���.
Ve�ific����e ��e, e� �� ��g�� ��b�ic�, a� ��a��idade� de ���ce���� a���ad�� ��� dia ��i� a��e�e��a� ��a di���ib�i��� ����a� c�� ��dia ig�a� a 20 e de��i� �ad��� ig�a� a 4. A ���babi�idade de ��e, e� �� de�e��i�ad� dia ��i�, �eja� a���ad�� �e��� ��e 23 ���ce���� � de (A) 60%. (B) 69%.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
(C) 75%. (D) 77%. (E) 84%. ���������:
Q�a�d� X �a�e 23, Z �a�e: �
−
�
�� − �� �
� ����
L�g�: � �� � � ����
Da �abe�a �e��� ��e: ≥ ���� � ����
L�g�: ���� � ���� ���� � ���� � � − ����
G�������: D ������� 30
�� �I 2009 �FCC�
C���ide�e a �abe�a abai��, ��e d� a�g��� �a���e� da� ���babi�idade� P (Z ≥ �) �a�a a di���ib�i��� ����a� �ad���.
A di���ib�i��� d�� ��e��� ��i���i�� de �e�da de ��a �e�a � c���ide�ada ����a� c�� �� de��i� �ad��� ig�a� a R$ 1,20. Sabe��e ��e 60% d�� ��e��� ��� �e���e� ��e R$ 2,80. E����, a ��dia de��e� ��e��� � ig�a� a (A) R$ 2,70. (B) R$ 2,60. (C) R$ 2,50. (D) R$ 2,80. (E) R$ 2,90. ���������:
Seja X � ��e�� ��i���i� de �e�da. Seja Z a �a�i��e� ����a� �ad���.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
Da �abe�a, �e���: ≥ ���� � ���
L�g�: � ���� � ���
60% d�� �a���e� de Z ��� �e���e� ��e 0,25. E � e���ciad� afi���� ��e 60% d�� �a���e� de X ��� �e���e� ��e 2,80. L�g�, ��a�d� X �a�e 2,80, Z �a�e 0,25. �
−
���� �
��� − ���
��� − ��� ��� � ���� ���� � ��� ��� � ���
G�������: C ������� 31
�� �I 2009 �FCC�
C���ide�e a �abe�a abai��, ��e d� a�g��� �a���e� da� ���babi�idade� P (Z ≥ �) �a�a a di���ib�i��� ����a� �ad���.
A ���babi�idade de ��e ��a �a�i��e� a�ea���ia X, di���ib��da ����a��e��e, c�� ��dia 4 e de��i� �ad��� 2, a��e�e��e �� �a��� �e��� �� ig�a� a 3 �� �ai�� �� ig�a� a 6,5 � de (A) 36%. (B) 42%. (C) 48%. (D) 54%. (E) 62%. ���������:
Q�a�d� X �a�e 3, Z � ig�a� a: �
−
�
�−� �
� −���
Q�a�d� X �a�e 6,5, Z � ig�a� a:
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
�
−
�
���−� �
� ����
L�g�, ��eci�a��� ca�c��a� a ���babi�idade de Z �e� �e��� �� ig�a� a �0,5 �� �ai�� �� ig�a� a 1,25. ≤ −��� � ≥ ���� ��
C������a�d� a �abe�a, �e���: ��� → ≤ −��� � ��� ≥ ��� � ���
≥ ���� � ���
P���a���: ��� � � ��� ≤ −��� � ≥ ���� � ��� � ��
G�������: B ������� 32
�� �I 2009 �FCC�
C���ide�e a �abe�a abai��, ��e d� a�g��� �a���e� da� ���babi�idade� P (Z ≥ �) �a�a a di���ib�i��� ����a� �ad���.
Se �� �a���e� de ��ca��� de �� e��i�a�e��� ��� ����a��e��e di���ib��d�� c�� ��dia R$ 1.000,00 e de��i� �ad��� de R$ 100,00, � �a��� de ��ca��� e� ��e 40% ��� ig�ai� �� i�fe�i��e� a e�e � ig�a� a (A) R$ 925,00. (B) R$ 945,00. (C) R$ 950,00. (D) R$ 960,00. (E) R$ 975,00. ���������:
Pa�a a �a�i��e� Z, �e���: ≥ ���� � ���
L�g�: ≤ −���� � ���
A��i�, � �a��� de X ���c��ad� c���e����de a Z = �0,25.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
� −���� �
− ����� � − ���� ���
����� � ��� ��� � ��� � −���� � �����
G�������: E ������� 33
�� �I 2009 �FCC�
C���ide�e a �abe�a abai��, ��e d� a�g��� �a���e� da� ���babi�idade� P (Z ≥ �) �a�a a di���ib�i��� ����a� �ad���.
O� ��c��� da� e���e�a� de �� �a�� de a�i�idade a��e�e��a�a�, a��e�e��a�a�, e� 2008, ��a di���ib�i��� c���ide�ada c���ide�ada ����a�, c�� ��dia ig�a� a 500 �i� �eai� e de��i� �ad��� ig�a� a 400 �i� �eai�. A ���babi�idade, �a��e�e a��, de ��a e���e�a e�c��hida a�ea���ia�e��e d� �a�� c���ide�ad� N�O �e� a��e�e��ad� ��c�� � de (A) 50%. (B) 40%. (C) 11%. (D) 7%. (E) 5% ���������:
Seja X � �e����ad� �b�id� �e�a e���e�a. Se X f�� �ega�i��, a e���e�a de� ��ej����. Se X f�� 0, a e���e�a �e� de� ��c�� �e� ��ej����. Se X f�� ���i�i��, a e���e�a de� ��c��. Q�e�e��� a ���babi�idade de a e���e�a ��� �e� ��c�� (�� �eja, X = 0 �� X < 0). ≤ � ��
Q�a�d� X �a�e 0, Z �a�e: � �
−
� − ���� ����� ������
� −����
Da �abe�a, �e���: ≥ ���� � ���
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
P���a���: ≤ −���� � ���
D� ��e �e����a: ≤ � � ���
G�������: C
6.2.
A���������� �� ������������ �������� ���� ������������ ������
Va��� ����a� a� �a��a�e��� d� dad�. Q�e�e��� ��e � �e����ad� �eja �� ����i��� de 3. Se���e ��e �ai� �� ����i��� de ����, �e��� �� �e����ad� fa�����e�. Va��� �a��a� � dad� � �e�e�. � �ai de�ig�a� � ���e�� de �e����ad�� fa�����ei�. Va��� �a�a � ca�� de ���� �a��a�e���� ( � = 3). � ��de ��de a����i� �� �a���e� 0, 1, 2 e 3. Seja ��� a �a�i��e� ��e, e� cada �a��a�e���, a����e �a��� 1 ��a�d� � �e����ad� f�� fa�����e�. E a����e �a��� 0 ��a�d� � �e����ad� f�� de�fa�����e�. � �� �e� di���ib�i��� de Be������i. De��e ��d�, e� ���� �a��a�e����, �a��a�e����, � ��de ��de �e� e�c�i�� a��i�: 3
X = ∑ I i i =1
Sabe��� ��e � � ��a �a�i��e� bi���ia�. E�a c���e����de � ���a de ���ia� �a�i��ei� de Be������i. Vi��� ��e, �e�� �e��e�a d� �i�i�e ce���a�, ��a �a�i��e� a�ea���ia c���e����de��e � ���a de i���e�a� ����a� �a�i��ei� a�ea���ia� i�de�e�de��e� ��de �e� a����i�ada ��� ��a �a�i��e� a�ea���ia ����a�. Se � ���e�� de �a��a�e���� c�e�ce� ��i��, � ���e�� de �a�i��ei� i�de�e�de��e� ��e ���a��� �a�b�� a��e��a. Se � �a��� de � �� f�� ��i�� g�a�de, a �a�i��e� � �ai �e� ��a�ica�e��e ����a� (a��ica��� d� �e��e�a d� �i�i�e ce���a�). E ��� �a��� ��de� ��i�i�a� a �abe�a c�� a� ��ea� da �a�i��e� ����a�. Seg��d� � �i��� �E��a����ica e�e�e��a��, d� H�e�, ci�ad� �e�� a���� R�d��f� H�ff�a�, e� �E��a����ica �a�a ec����i��a��, a a����i�a��� � ��i�� b�a ��a�d�: ��a�d�: np
> 15
e n (1 − p ) > 15
Ma� j� � c���� ��i�i�a� a a����i�a��� ��a�d� np
>
5 e n (1 − p ) > 5 .
E��a �����iedade � ba��a��e ��i� e� a�g��� e�e�c�ci��. Re���i�d�: �bedecida� a�g��a� c��di��e�, �a�a ��a �a�i��e� bi���ia� ��� ��de��� ��i�i�a� a �abe�a c�� a� ��ea� da �a�i��e� ����a�.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
������� 34
�C�/2008 �CE��E�
U�a ag��cia de de�e�����i�e��� ��ba�� di���g�� �� dad�� a��e�e��ad�� �a �abe�a a �eg�i�, ace�ca d�� ���e��� de i���ei� �fe��ad�� ( � ) e �e�did�� (� ) e� de�e��i�ad� ���ic��i�, ��� a��� de 2005 a 2007. A��
N��e�� de i���ei� � ) Ofe��ad�� ( � Ve�did�� (� ) 1.500 100 1.750 400 2.000 700
2005 2006 2007 [...]
C���ide�a�d� ��e e� 2008 �eja� �fe��ad�� 2.500 i���ei�, d�� ��ai� �eja� �e�did�� � i���ei� �e��e �e��� a��, �e��e ca��, �e a ���babi�idade de �� i���e� �fe��ad� e� 2008 �e� �e�did� �� �e��� a�� f�� ig�a� a 0,4, e �e � �eg�i� �eg�i� ��a di���ib�i��� bi���ia�, e���� a ���babi�idade de �e �b�e��a� � e�e��� Y ≥ 1.000 i���ei� �e�� i�fe�i�� a 0,41. ���������.
Pa�a �e����e� a ��e����, c�� e�a�id��, ��eci�a��a��� fa�e� � �eg�i��e. Pa��i��a��� da f�����a �i��a, ��e ��� d� a ���babi�idade de cada �a��� e� ��a di���ib�i��� bi���ia�. n k n k P (Y = k ) = × p × q − k P�i�ei��, ca�c��a��a��� a ���babi�idade de � �e� �e� ig�a� a 1.000. 2500 × 0,41000 × 0,6 2500 1000 1000
P (Y = 1.000) =
−
De��i�, fa�e��� a �e��a c�i�a �a�a ������ �a���e�. Ca�c��a��� a ���babi�idade de � �e� ig�a� a 1001. De��i�, 1002. E a��i� ��� dia��e, a�� 2500. S� ��e i��� �ai da� �� ��aba�h� ��i�� g�a�de. O ��e fa�e�??? N��e ��e � ���e�� de i���ei� � be� g�a�de. A �a�i��e� bi���ia� � � � ��a ���a de 2500 �a�i��ei� i�de�e�de��e� c�� di���ib�i��� de Be������i. A ���a de �� ���e�� ��i�� g�a�de de �a�i��ei� i�de�e�de��e� �e� di���ib�i��� ����i�a de ��a ����a�. A��i�, a �a�i��e� � , a��� de �e� bi���ia�, �e a����i�a de ��a di���ib�i��� ����a�. A ��dia de � �: �: µ Y
=
n× p
=
0,4 × 2500 = 1.000
A ��dia de � � � de 1.000 i���ei�.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
C��� � �e� �e� di���ib�i��� ����i�a de ��a ����a�, �abe��� ��e �e� g��fic� � �i����ic� e� ����� de ��a ��dia. De��e ��d�, a ���babi�idade de � �e� �ai�� ��e 1000 � ig�a� � ���babi�idade de � �e� �e� �e��� ��e 1000, e a�ba� ��� ig�ai� a 50%. 50% ��� � i�fe�i�� a 0,41. O i�e� e��� e��ad�. G�������: ������ ������� 35
CG� � 2008 �E�AF�
E� de�e��i�ada� ci�c������cia�, ��a �a�i��e� a�ea���ia bi���ia� ��de �e� be� a����i�ada ��� ��a �a�i��e� a�ea���ia ����a�. Seja � ��a �a�i��e� a�ea���ia bi���ia� c�� �=400 e �=1/2. Ca�c��e � �a��� �ai� ����i�� de P(181 ≤ � ≤ ≤ 219) ��a�d� a a����i�a��� da �a�i��e� bi���ia� �e�a ����a�, dad� ��e F(1,96) = 0,975, F(2,17) = 0,985, F(2,33) = 0,99, F(2,41) = 0,992 e F(2,58) = 0,995, 0,995, ��de ��de F(�) � a f����� f����� de di���ib�i��� de ��a �a�i��e� a�ea���ia a�ea���ia ����a� �ad��� Z. a) 0,95. b) 0,97. c) 0,98. d) 0,984. e) 0,99. ���������.
E� �e� de � e�e�c�ci� f���ece� a �abe�a � abe�a de ��ea� �a�a a �a�i��e� ����a�, f���ece� �a���e� de FDP. S� ��e ��� �i��� �a a��a �a��ada ��e a FDP �a�b�� �e��e �a�a c��c��� de ���babi�idade, e��a�d� i��i�a�e��e �e�aci��ada c�� � g��fic� da f����� de��idade de ���babi�idade (fd�). M�i�� be�, ��e�e��� �abe� a ���babi�idade de � a����i� a����i� �a���e� e���e 181 e 219. A��i �e� a �����iedade ��e e��a��� e���da�d�. � ��a �a�i��e� bi���ia�. A�e�dida� ce��a� c��di��e�, ��de��� c���ide����a ��a�ica�e��e � � ����a�. � � ��e fa�e��� �e��e e�e�c�ci�. A� c��di��e� ��e e���da��� e�a�: np > 15 e n(1 − p ) > 15 . Le�b�a�d�: � � � ���e�� de e��e�i�e���� � � a ���babi�idade de ��ce��� e� cada e��e�i�e���. � � a ���babi�idade de f�aca��� e� cada e��e�i�e��� ( � = 1 � �).
Pa�a e��e e�e�c�ci� fica��� c��: np = 400 × 0,5 = 200 n(1 − p ) = 400 × 0,5 = 200
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
A� c��di��e� f��a� a�e�dida�. � c�a�� ��e �e� ��eci�a�a �e�ifica� �e a� c��di��e� �e�ia� a�e�dida�. O e�e�c�ci� di��e ��e e�a �a�a a����i�a� a di���ib�i��� bi���ia� �e�a di���ib�i��� ����a�. Se � e�e�c�ci� �a�d�� fa�e� a��i�, a ge��e fa�, �e� di�c��i�. C��������: ���� ���� �������� �������� � , ��� ������ � ������ ���������, ��� ������� �������� � ������ �� ����� �� �������� ������.
Ne��a a��a ��� �i��� c��� ca�c��a� a ��dia de ��a �a�i��e� bi���ia�. µ = np
Vi��� �a�b�� a f�����a da �a�i��cia da �a�i��e� bi���ia�. σ 2
=
npq
Pa�a a �a�i��e� bi���ia� d� e�e�c�ci�, a ��dia e a �a�i��cia fica�: µ = np ⇒ µ = 400 × 0,5 = 200 σ 2
=
npq ⇒ σ 2
=
400 × 0,5 × 0,5 = 100
E � de��i� �ad��� fica: σ
= 10
P���a��� e��a �a�i��e� bi���ia� � � ��i�� ����i�a a ��a �a�i��e� ����a� de ��dia 200 e de��i� �ad��� ig�a� a 10. A �e�g���a d� e���ciad� ��de �e� �ee�c�i�a a��i�: ��a� a ���babi�idade de ��a �a�i��e� ����a� de ��dia 200 e de��i� �ad��� 10 a����i� �a���e� e���e 181 e 219? G���a��a��� de c������a� a �abe�a de ��ea� da �a�i��e� ����a� de ��dia 200 e de��i� �ad��� 10. Ma� �� ��� f��a� f���ecid�� �a���e� �a�a a �a�i��e� Z (�a�i��e� ����a� �ed��ida). �ed��ida). Va���, ����a���, acha� �� �a���e� de Z c���e����de��e�. A ��a��f���a��� �a�a chega� � �a�i��e� �ed��ida �: Z =
X − µ
σ
Q�a�d� � �a�e �a�e 181, Z �a�e: Z =
181 − 200 10
= −1,9
Q�a�d� � �a�e �a�e 219, Z �a�e; Z =
219 − 200 10
= 1,9
N�� f��a� f���ecid�� ��ai���e� dad�� �a�a 1,9 �� �1,9. O �a��� �ai� ����i�� �a�a � ��a� � e�e�c�ci� f���ece� ���babi�idade � 1,96. A FDP �a�a Z ig�a� a 1,96 � 0,975. Se F(1,96) = 0,975, i��� �ig�ifica ��e a ���babi�idade de Z a����i� �a���e� �e���e� �� ig�ai� a 1,96 � de 97,5%. O� �eja, a ��ea �e�de da abai�� � de 97,5%.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
Fig��a 17 � ��ea �e�de: ���babi�idade da �a�i��e� ����a� �ed��ida Z a����i� �a���e� �e���e� �� ig�ai� a 1,96 Sabe��� ��e a ��ea i��ei�a da fig��a aci�a � ig�a� a 1 (a ���babi�idade de Z a����i� �� �a��� ��a���e� � de 100%). A ��ea �e�de � de 97,5%. P���a���, a ��ea a�a�e�a � de 2,5%. C��� � g��fic� � �i����ic�, a ��ea � e���e�da de �1,96 �a�b�� � de 2,5%. De��e ��d�, a ��ea �e�de da fig��a abai�� � de 95%.
Fig��a 18 � ��ea �e�de: ���babi�idade de Z a����i� �a���e� e���e �1,96 e 1,96 O� �a���e� �1,96 e 1,96 de�i�i�a� � i��e��a�� ce���ad� e� �e�� ��e c����� 95% d�� �a���e� de Z. O� �eja, 95% d�� �a���e� de Z e���� e���e �1,96 e 1,96. S� ��e ��� g���a��a��� de �abe� ��a� a ���ce��age� e���e �1,9 e 1,9. E��a ��� ��� �e��� c��� ca�c��a�. P�� i��� � e�e�c�ci� �e�g����� � �a��� ��e �ai� �e a����i�a. A��i�, a����i�ada�e��e 95% d�� �a���e� de Z e���� e���e �1,9 e 1,9. Di��� �e��� ��e a����i�ada�e��e 95% d�� �a���e� de � e���� e���� e���e 181 e 219.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
G�������: A.
7.
A�����A���
U�a a�����a � �� ��bc��j���� da �����a���. E��a��� i��e�e��ad�� e� e���da� a �����a��� i��ei�a. Ma�, ��� a�g��a �i�i�a��� (de �e���, de c����, i�����ibi�idade f��ica, e�c), ��� � ������e� fa�e���. A��i�, �e�eci��a��� ��a a�����a �a�a, a �a��i� de�a, �e��a� �i�a� c��c����e� ��b�e a �����a���.
7.1.
A��������� ��������� �������
A a�����age� a�ea���ia �i���e� � a �ai� c�b�ada e� ����a� de c��c�����. De f���a be� �e���ida, ��de��� ��de��� di�e� ��e �e ��a�a da a�����age� fei�a de f���a ��e cada e�e�e��� da �����a��� �e� a �e��a cha�ce de �e� e�c��hid�. P�� e�e����: ��e�e��� e�c��he� a�g��a� �e���a� de ��a e���e�a �a�a �ea�i�a� ��a e���e�i��a. E�c�e�e��� �� ���e� de ��d�� �� f��ci����i�� e� �eda��� de �a�e� de �e��� �a�a�h�. C���ca��� ��d�� �� ���e� e� �� �ac�. Mi����a��� be� ��d�� �� �a��i�. Fei�� i��� ����ea��� 5 ���e�. E��e � �� e�e���� de a�����age� a�ea���ia �i���e�. Q�a�d� a �����a��� � de�c�i�a ��� ��a �a�i��e� c������a, ��� ��de��� �ai� fa�a� e� ���babi�idade de �c���e� �� dad� �a���. Ne��e ca��, �eg��d� S�e�e����, a a�����a � a�ea���ia �e � � ������������� �� ������� �� ������� �������� ��������� �� ������� � ����� � ����������� �� ��������� ��������� ��� ���� ������� ������� ��������� �
7.2.
A��������� �������������
H� di�e���� ������ �i��� de a�����age�. Na ����ica, ��i�a� �e�e� a a�����age� a�ea���ia �i���e� ��de ��� �e� a �ai� i�dicada. Ma�, �a�a c��c�����, � a �ai� i�����a��e. U�a a��e��a�i�a � a�����age� a�ea���ia � a a�����age� e���a�ificada. Ne�a, di�idi��� ����a �����a��� e� e���a���. Idea��e��e, cada e���a�� ab�iga e�e�e���� h���g��e��. E�e����: e��a��� fa�e�d� ��a �e���i�a ��b�e � �e�fi� de c������ da� �e���a� de ��a cidade. � ������e� ��e, �a�a � �i�� de ���d��� a ��e �e �efe�e a �e���i�a, �eja i��e�e��a��e �e�a�a� a �����a��� ��� idade. Di�idi��� ����a �����a��� e� e���a���. U� e���a�� �a�a c�ia��a�, ����� �a�a j��e��, ����� �a�a ad����� e ����� �a�a id����. De���� de cada e���a�� fa�e��� ��a a�����age� a�ea���ia. Q�a� a �a��age� di���? Se cada e���a�� f�� �ea��e��e h���g��e�, a �a�iabi�idade d�� dad��, de���� de cada e���a��, �e�� �e��e�a, � ��e �e��i�e ��e ��aba�he��� c�� a�����a� �e���e�. Veja��� �� ca�� e���e��. Q�e b�� �e�ia (�a�a ��e� e��� fa�e�d� a �e���i�a) �e ��d�� �� id���� d� ����� e���a�� �i�e��e� e�a�a�e��e � �e��� �e�fi� de c������. P�de��a���
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
���a� a�e�a� �� de�e� c��� a a�����a (a a�����a �e�ia �a�a�h� 1), de f���a ��e c��hece��a��� ��i�� be� � c������a�e��� de ��d�� e�e�. H� d�a� f���a� de �e �ea�i�a� a a�����age� ��� e���a���. Na ��i�ei�a, fa�e��� ��a a��ca��� ������������ e���e �� e���a���. O� �eja, �� �a�a�h�� da� a�����a� a �e�e� fei�a� e� cada e���a�� ��� ������ci��ai� a� �a�a�h� d� e���a��. A��i�, �e 30% da �����a��� de��a cidade � f���ad� ��� c�ia��a� e ��� i�e��� e���e�i��a� a� ��d� 100 �e���a�, �e�ia i��e�e��a��e ��e 30 �e���a� f���e� c�ia��a�. U� �eg��d� ��d� �e �efe�e � a��ca��� �������� e���e �� e���a���, ���a�d� � �e��� ���e�� de e�e�e���� de cada e���a��. E�e����: �a��� e���e�i��a� 100 �e���a�, di�idida� e� 4 e���a��� (c�ia��a�, j��e��, ad����� e id����). T��a��� 25 �e���a� de cada e���a�� (���e��� ig�ai�, ��if���e�, �a�a cada e���a��, i�de�e�de��e d� �a�a�h� de cada e���a��). A��� da idade, ������ c�i���i�� de f���a��� de e���a��� ��de�ia� �e�: �e��, �egi�� ge�g��fica, �e�da, ���fi����.
7.3.
A��������� ��� �������������
Ne��a a�����age� ��� di�idi��� ���a�e��e a �����a���. S� ��e ��� ��� ��e�c��a��� e� �e�a�a� a �����a��� e� e���a��� c�� ca�ac�e����ica� �e�e�ha��e�. Di�idi��� a �����a��� e� c��g���e�ad��. C��g���e�ad� ��� ��bc��j����� da �����a��� ��e, idea��e��e, ��� ba��a��e he�e��g��e��, �e��e�e��a�d� be� � ��e �c���e �a �����a��� i��ei�a. U�a da� g�a�de� �a��age�� da a�����age� ��� c��g���e�ad� � a �ed���� de c�����. C����e� � c��g���e�ad� e�e�e���� ��e e���� fi�ica�e��e ��i�� ����i���. P�� e��a c��di���, e�b��a f���e be� i��e�e��a��e ��e cada c��g���e�ad� �i�e��e e�e�e���� be� he�e��g��e��, i��� acaba ��� �c���e�d�. Veja��� �� e�e����, �a�a fica� �ai� c�a��. O e�e���� ��e �eg�e f�i �e�i�ad� d� �i��� �E��a����ica Ge�a� e A��icada� d� Gi�be��� Ma��i��. De�eja��� �e�eci��a� ��a a�����a de chefe� de fa���ia de ��a cidade. S����ha ��e, �a�a � �i�� de �e���i�a, �e�ia ��i� �e�a�a� �� chefe� de fa���ia ��� idade. A�� 30 a���; de 31 a 45; e de 45 e� dia��e. Se�ia ��a a�����age� e���a�ificada. S� ��e i��� �� �e�e� ��de �e� �ei� dif�ci�. �� �e�e� ��� �e �e�, ��e�ia�e��e, ��a �i��a c�� ��d�� �� chefe� de fa���ia (e ��a� �e��ec�i�a� idade�). �� �e�e� a�� �e �e� �a��e de��a i�f���a���, �a� ��de �e� ��e chefe� de fa���ia de �� �e��� e���a�� e��eja� ��i�� e��a�had�� �a cidade, � ��e ����a�ia �ai� de���ada (e ca�a) a a�����age�. U�a ����a ����� � a a�����age� ��� c��g���e�ad�. A��i e���a���, de fa��, �� e�e���� d� �i��� d� Ma��i��. P�de��� �e�a�a� a cidade e� ��a��ei��e�. Cada ��a��ei��� � �� c��g���e�ad�. Fa�e��� ��a �e�e��� d�� c��g���e�ad�� ��e �e��� �e���i�ad��, ��� �ei� de ��a a�����a a�ea���ia �i���e�. E�c��hid�� �� ��a��ei��e�, ��� di�igi��� a e�e� e e���e�i��a��� ��d�� �� chefe� de fa���ia ��e �e�e �e�ide�. Se�ia ��i�� �e, e� cada ��a��ei���, �i����e��� e�e�e���� be� he�e��g��e��, ��e �e��e�e��a��e� be� ��da a �����a���. A��i�, ��eci�a��a��� de ���c�� ��a��ei��e� (���c�� c��g���e�ad��) �a�a �e� ��a b�a ����� d� ��e �c���e �a �����a���.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
S� ��e, �e�� fa�� de �� e�e�e���� de cada c��g���e�ad� e��a�e� fi�ica�e��e �igad�� (��d�� �� chefe� de fa���ia de �� ��a��ei��� ��� �i�i�h��, ���a� �e��� ��� d�� ������), � dif�ci� ��e �� c��g���e�ad�� �eja� �ea��e��e he�e��g��e��. � be� ������e� ��e ��a��ei��e� f���ad�� f���ad�� ��� ca�a� g�a�de� �e�ha� chefe� de fa���ia� c�� idade �ai� e�e�ada, ��e j� c����i����a� fa���ia, ��� fi�h��, ��eci�a� de �ai� e��a��. Pe���a� ��e ���a� ��� �e��� ��a��ei��� ge�a��e��e ��� �e��� ���e� de �e�da, f�e��e��a� �� �e���� e��abe�eci�e���� e��abe�eci�e���� (��e fica� �a� ����i�idade�), ����i�idade�), e�c, � ��e, de�e�de�d� da �e���i�a, ��de �e�e�a� e�e�e���� �ai� �e�e�ha��e� (c�� �e�d��cia � h���ge�eidade) d� ��e dife�e��e�. Pa�a �i�i�i�a� e��e ���b�e�a, � i�����a��e e�c��he� �� ���e�� �ai�� de c��g���e�ad��.
7.4.
A��������� �����������
Ca�� �� �a���e� ��e �e ��e�e�da� i��e��iga� ��� e��eja� e� �e�h��a ��de� e��ec�fica (�e�aci��ada c�� a �a�i��e� �e���i�ada), � ������e� fa�e� a a�����age� de f���a ��e�i�dica�. P�de��a���, ��� e�e����, a cada de� i�e�� da �����a���, e�c��he� ��. T��a��a��� a�e�a� � 10�, � 20�, � 30� e a��i� ��� dia��e. Re�a�e ��e � fa�� de �� dad�� e��a�e� ��de�ad�� ��� a��a�a�ha �a a�����age� �i��e���ica. O ���b�e�a ��de ���gi� ��a�d� h� �e�a��� e���e � c�i���i� de ��de� d�� dad�� e a �a�i��e� e���dada. Veja��� �� ��i�ei�� e�e����. E��a��� e���da�d� a a����a de �� ce��� g���� de �e���a�. P�de��a��� ���a� ��a �i��a de ���e� e� ��de� a�fab��ica e e�c��he� �� a cada 20 ���e�. E��a � ��a a�����age� �i��e���ica. E�c��hid�� �� ���e�, �edi��� a� a����a� da� �e���a� �e�eci��ada�. � �a����e� ��e a ��de� a�fab��ica ��� g�a�de ��a���e� �e�a��� c�� a a����a da �e���a. A a�����age� �i��e���ica ��de�ia �e� fei�a �e� ���b�e�a�. ���b�e�a�. O ���b�e�a ��e ��de �c���e� �a a�����age� �i��e���ica � �� e�e�e���� e��a�e� ��ga�i�ad�� �eg��d� �eg��d� �� c�i���i� ��e �e�ha �e�a��� c�� a �a�i��e� �e���i�ada. U� e�e���� i��e�e��a��e, �i�ad� d� �i��� �E��a����ica A��icada � Ad�i�i���a����, d� S�e�e����, � � ��e �eg�e. I�agi�e ��e ��ei�a��� �e���i�a� dad�� ��b�e i���ei� de ��a dada �egi��. Va��� e�c��he� �� i���ei� a �e�e� �e���i�ad�� �e���i�ad�� a �a��i� da �i��a �e�ef��ica. Ca�� a ����a �i��a �e�ef��ica ��aga a� ca�a� c��f���e ��a ��de� �a ��a, � ������e� ��e �e�ha��� �� ���b�e�a. � ������e� ��e ca�a� de e���i�a (��e �e��a �i��a��� e��a�ia� ig�a��e��e e��a�ada�) e��a�ada�) �e�ha� ca�ac�e����ica� dife�e��e� da� de�ai�. P�de� �e� �ai� ca�a�, �e�e� �� �e��e�� �ai��, �aga�e� �ai� i������, e�c. A��i�, ��de �e� ��e a a�����age� �i��e���ica �e����e e� ���a���� ��ed��i�a��e�e��e ca�a� de e���i�a, � ��e ce��a�e��e �ai ��a�e� �� e��� �a ����a c��c����� ��b�e a di���ib�i��� d�� dad�� �a�a a��e�e bai���. Ne��e ca��, � ���b�e�a f�i ��e ha�ia �e�a��� e���e a �a�i��e� �e���i�ada e a ��de� �eg��d� a ��a� e��a�a� ��ga�i�ad�� �� i�e�� �e���i�ad��.
7.5.
A��������� ��� ����������
T�d�� �� �i��� de a�����age� aci�a �e�ci��ad�� ��� di��� ���babi����ic��. I��� �����e � ������e� de�e��i�a���� a ���babi�idade ���babi�idade de cada e�e�e��� da �����a��� i��eg�a� a a�����a.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
C�� i���, � ������e� e��i�a� � e��� ��e c��e�e��� ��a�d� ��a��� �edida� ca�c��ada� �a a�����a �a�a e��i�a� a� c���e����de��e� �edida� �����aci��ai�. A a�����age� ��� ���babi����ica � a��e�a ��bje�i�a, �e� c�i���i�� �bje�i���. T�a�a��e da a�����age� ��� j��ga�e���. Ne��e ca��, ��� � ������e� e��i�a���� �� e���� a�����ai�. De f���a ge�a�, a a�����age� ��� j��ga�e��� de�e �e� e�i�ada. H�, c����d�, �i��a��e� e� ��e e�a � ��efe���e� � a�����age� ���babi����ica. I��� �c���e e��ecia��e��e ��a�d� � �a�a�h� da a�����a � be� �e��e��. Ne��e ca��, a a�����age� a�ea���ia ��de ��a�e� �e����ad�� ��� �e��e�e��a�i��� da �����a���. U� e�e����, e���a�d� d� �i��� �E��a����ica A��icada � Ad�i�i���a����, d� S�e�e����, � � ��e �eg�e. C���ide�e ��e ��a cadeia de �e��a��a��e� ��e� e��e�i�e��a� ��a ���a ��c�ica de �e��i��, e���ega�d� ba�deja� c�� a��eci�e���. De�id� a� c���� d�� a�a�e�h��, ��de �e� de�ej��e� ��e a e��e�i��cia �eja �i�i�ada a a�e�a� d�i� �e��a��a��e�. Ne��e ca��, g�a�a� � e��e�i��cia da e��i�e de ad�i�i���a��� d�� �e��a��a��e�, � ������e� e�c��he� d�i� �e��a��a��e� ��e j� �e �abe �e�e� �ai� �e��e�e��a�i��� d� c������a�e��� ge�a� d�� c�ie��e�. ������� 36
������ ����������� 2002. �CE��E�
J��g�e �� i�e�� �eg�i��e�, �e�a�i��� a ��c�ica� de a�����age�. 1. N� ca�� de ��a a�����a a�ea���ia de �a�a�h� � e���a�da de ��a �����a��� de N e�e�e����, a ���babi�idade de �e�e��� de cada ��a da� c��bi�a��e� a�����ai� ������ei� � ig�a� a 1/N. 2. C���ide�e a �eg�i��e �i��a��� hi�����ica. U�a de�e��i�ada �����a��� ��de �e� di�idida e� ��bg����� c�� ca�ac�e����ica� �e�e�ha��e�, c��� �e��, fai�a e���ia, �e�di�e��� �e��a� e�c. O� ��bg����� f���a� ��a �a��i��� da �����a��� e �� e�e�e���� �e�eci��ad�� ��� �e����a��e� de ��a a�����a a�ea���ia �i���e� efe��ada e� cada ��bg����. Ne��a �i��a���, � de�e�h� a�����a� � c��hecid� c��� a�����age� ��� c��g���e�ad��. 3. C���ide�e a �eg�i��e �i��a��� hi�����ica. U�a e���e�a ��e� e���da� a �e�da de e���egad�� ���ai� e�i��e��e� e� ��a ��ea d� i��e�i�� d� e��ad� d� Pa�a��. De�e� �e� a��icad�� 1.200 ��e��i����i��, �a� a e���e�a ��� �����i �� cada���� c���e�d� dad�� ��b�e �� e���egad�� ���ai�. A i�e�i����cia d� cada���� i��ede � ����ei� a�ea���i� de �ai� e���egad��. A��� di���, � c���� de c���ac�a� di�e�a�e��e a� fa���ia� ���ai� di��e��a� e� ��a g�a�de ��ea � ��i�� e�e�ad�. Pa�a �iabi�i�a� � e���d�, a ��ea d� i��e�i�� d� e��ad� f�i di�idida e� �e��e�a� ��b��ea� di�j���a�. F��a� �e�eci��ada� a�ea���ia�e��e a�g��a� ��b��ea� e a �e���i�a ���c���� e���e�i��a� ��d�� �� e���egad�� ���ai� de���� de�a�. Ne��a �i��a���, � de�e�h� a�����a� � c��hecid� c��� a�����age� e���a�ificada. ���������.
P�i�ei�� i�e�. ����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
Va��� c���ca� ���e��� �a�a fica� �ai� f�ci� de e��e�de�. A �����a��� �e� 5 e�e�e���� (1, 2, 3, 4, 5). Va��� fa�e� a�����a� c�� �a�a�h� 2. A� a�����a� ������ei� ���: 1,2; 1,3; 1,4; 1,5; 2,3; 2,4; 2,5; 3,4; 3,5; 4,5. S�� ������ei� 10 a�����a�. A ���babi�idade de �e�e��� de cada ��a da� ������ei� a�����a� � 1/10. O e�e�c�ci� afi��a ��e e��a ���babi�idade � de 1/5. O i�e� e��� e��ad�. G�������: ������.
O e�e�c�ci� ��e�e�de� c��f��di� � ca�dida��. Q�a�d� �e��� N e�e�e���� �a �����a��� e �a��� e�c��he� ��, de f���a a�ea���ia, a ��a ���babi�idade de �e� e�c��hid� � 1/N. Q�a�d� �a��� e�c��he� a�����a� de �a�a�h� � ��, �e��� ��e �e� ��a��a� c��bi�a��e� ��� ������ei�. Se a a�����a f�� a�ea���ia �i���e�, cada c��bi�a��� �e�� a �e��a cha�ce de �e� e�c��hida. Seg��d� i�e�. A a�����age� de�c�i�a � a a�����age� e���a�ificada. I�e� e��ad�. G�������: ������
Te�cei�� i�e�. A a�����age� de�c�i�a � ��� c��g���e�ad��. I�e� e��ad�. G�������: ������. ������� 37
��F 2� ������/2007 �FCC�
U�a �e���i�a ��e�e�de e��i�a� � �a��� ��di� �e��a� d�� �a���i�� �ecebid�� �e��� ���fe����e� de 4 e�c��a� d� bai��� Sa�de. Pa�a a �e���i�a ��i�ei�a�e��e f��a� �i��ad�� ��d�� �� ���fe����e� �a�a a� 4 e�c��a� �eg��d� � �e�� �e����a�d� e� 2000 ���fe����e� d� �e�� fe�i�i�� e 1500 ���fe����e� d� �e�� �a�c��i��. F��a� ��������� d�i� ��a��� a�����ai� di��i����. O ��i�ei�� ��a�� ��e�ia �� ����ei� c�� �e���i��� de 350 ���fe����e� d� ���a� de 3500. Na �eg��da �������a, � ���a� da �����a��� de ���fe����e� f�i di�idid� e� d�i� g����� (�� g���� d� �e�� fe�i�i�� e ����� g���� d� �e�� �a�c��i��) e �e�ia� ����ead�� 10% de cada g���� c�� �e���i���. Seg��d� a �e��ia ge�a� da a�����age�, � ��i�ei�� e � �eg��d� ��a�� ���, �e��ec�i�a�e��e: a) a�����age� a�ea���ia �i���e� e a�����age� e���a�ificada b) a�����age� a�ea���ia �i���e� e a�����age� e���a�ificada c) a�����age� e���a�ificada e a�����age� a�ea���ia �i���e� d) a�����age� a�ea���ia �i���e� e a�����age� ��� c��g���e�ad� e� d�i� e���gi��
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
e) a�����age� a�ea���ia �i���e� e a�����age� ��� c��g���e�ad��. c��g���e�ad��. ���������.
N� ��i�ei�� ��a��, ��da� a� c��bi�a��e� de 350 ���fe����e� ��� ig�a��e��e ������ei�. Te��� ��a a�����age� a�ea���ia �i���e�. N� �eg��d� ��a��, �e� ��da� a� c��bi�a��e� ��� ������ei�. N�� � ������e�, ��� e�e����, ��e ��d�� �� 350 ���fe����e� e�c��hid�� �eja� d� �e��� �e��. Na �eg��da a�����age�, �e�a�a��� a �����a��� �����a��� e� e���a��� (c��f���e � �e��). E fi�e��� c�� ��e �� �a�a�h�� da� a�����a�, de���� de cada e���a��, �eja� ������ci��ai� a� �a�a�h� d�� e���a��� de���� da �����a���. � ��a a�����age� e���a�ificada. G�������: A ������� 38
�AD��E 2009 �CE��E�
E� ��a cidade, h� 1.000 e���e�a� d� �a�� da c��������� ci�i� ��e ��� c�a��ificada� �eg��d� � �e� ����e. A di���ib�i��� de��a� e���e�a� � dada �a �abe�a �eg�i��e.
C���ide�e ��e �� i���i���� de �e���i�a decida c��e�a� ��a a�����a de 100 e���e�a� ��� �ei� de ��a a�����age� a�ea���ia e���a�ificada �eg��d� � ����e da� e���e�a�. Se a a��ca��� da a�����a � ��if���e, e���� � ���e�� de e���e�a� de g�a�de ����e ��e�e��e� �a a�����a �e�� ig�a� a A) 1. B) 5. C) 10. D) 25. E ) 50. ���������
A ��e���� fa�a e���ici�a�e��e ��e �a a��ca��� da a�����a � ��if���e�. Re�i�a�e��� � �e��� ���e�� de e�e�e���� de cada �� d�� e���a���. L�g�, � ���e�� de e���e�a� de g�a�de ����e ��e�e��e� �a a�����a �e�� ig�a� a 100/4=25. ����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
G�������: D ������� 39
CEB 2009 ���I�E��A�
Pa�a �abe� da� c��di��e� d�� a�i�ai� de ��a fa�e�da, �e�� �ea�i�ada ��a �e���i�a ��� a�����age� e���a�ificada, a �a��i� de ��a a�����a de 15 a�i�ai�. A �abe�a �eg�i��e a��e�e��a � efe�i�� de a�i�ai� de��a fa�e�da.
C�� ba�e �e��a� i�f���a��e�, a ��a��idade de b��i��� e ������ ��e �e��� ��ad�� �a �e���i�a � de (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) 9 ���������.
A ��e���� ��� di��e �e a a��ca��� � ��if���e �� ������ci��a�. Va��� ����� ��a a��ca��� ������ci��a�. H� �� ���a� de 900 a�i�ai�. De��e�, 550 ��� b��i��� �� ������. ��� ���
�
�� ��
A ��������� de b��i��� e ������ � de 11/18. Ma��e�d� e��a ��������� �a a�����a, a ��a��idade de��e� a�i�ai� ��ad�� �a �e���i�a �e��: �� ��
� �� � ���� ����� �
Se��� ��ad�� a����i�ada�e��e 9 a�i�ai�. G�������: E
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
������� 40
�E��ACA� 2009 ���I�E��A�
A fi�a�idade da a�����age� � �e��i�i� fa�e� i�fe���cia� ��b�e ��a �����a��� a��� i���e��� de a�e�a� �a��e de�a. Fa���e� c��� c����, �e���, e��ai�� de�����i��� e �����a��e� i�fi�i�a� ����a� a a�����age� ��efe���e� a �� e���d� c����e�� (ce���) da �����a���. Na���a��e��e, e��e�a��e e��e�a��e ��e a a�����a �e��e�e��e a �����a��� de ��e f�i e���a�da. e�� �a�da. Wi��ia� J. S�e�e����. E��a����ica A��icada � Ad�i�i���a���. Ad�i�i���a���. S�� Pa���: Ha�b�a, �/d. E���e �� ����d�� de a�����age� e�i��e��e�, a��i�a�e a a��e��a�i�a c���e�a. (A) A a�����age� e���a�ificada c���i��e �a di�i��� da �����a��� g��ba� e� ��bg����� he�e��g��e��, ��i�i�a�d���e e� �eg�ida ��d�� �� e�e�e���� de a�g��� ��bg����� e�c��hid�� a�ea���ia�e��e. (B) A a�����age� ��� c��g���e�ad�� c���i��e �a di�i��� da �����a��� de ��ige� e�, �� ���i��, d�a� ��b�����a��e� c�� a� �e��a� ca�ac�e����ica�. E� �eg�ida, e���ai��e ��a a�����a de cada ��bdi�i���. ��bdi�i���. (C) A a�����age� �i��e���ica c���i��e �a e�c��ha de e�e�e���� �a ��de� e� ��e a�a�ece� e� de�e��i�ada �i��a. (D) E� �e�h��a hi���e�e � �e��i�id� � ��� da a�����age� ��� j��ga�e���, ��� ��� �e ��a�a� de �� ���cedi�e��� ���babi����ic�. (E) A a�����age� a�ea���ia �i���e� � ca�ac�e�i�ada �e�� fa�� de cada e�e�e��� da �����a��� �����i� a �e��a cha�ce de �e� e�c��hid�. ���������.
Le��a A: a a�����age� ��� c��g���e�ad�� � ��e di�ide a �����a��� e� ��bg����� he�e��g��e�� e, e� �eg�ida, ��i�i�a ��d�� �� e�e�e���� d�� ��bg����� e�c��hid��. Le��a B: � a a�����age� e���a�ificada ��e� di�ide a �����a��� e� g����� h���g��e��, c�� a� �e��a� ca�ac�e����ica�. Le��a C: �a a�����age� �i��e���ica, �� e�e�e���� ��� ��� e�c��hid�� �a ��de� e� ��e a�a�ece�. I��� �����e ��� ��aba�ha��� c�� ��d�� �� e�e�e����, a�e�a� c�� �a��e de�e�. C�� i���, a�e�a� de ��i�i�a���� a�g��a �i��a ��e�ia�e��e e��abe�ecida, e� ��e �� e�e�e���� e���� ��de�ad��, �a��� ����a�d�� e�e�e����. E�e����: e�c��he��� �� a cada de� e�e�e����. Le��a D: a a�����age� ��� j��ga�e��� ��de �e� i�dicada ��a�d� a a�����a a �e� �e�i�ada � ba��a��e �e��e�a. Le��a E: a a��e��a�i�a a��e�e��a a��e�e��a a defi�i��� c���e�a de a�����age� a�ea���ia �i���e�. G�������: E ������� 41
�AD��E 2009 �CE��E�
S����ha ��e e� ce��� ���ic��i� h� 120 �i� habi�a��e� ��e �i�e� e� 30 �i� d��ic��i�� �e�ide�ciai�. Pa�a �� e���d� ��ci�ec����ic� �e��e ���ic��i�, f�i �e�i�ada ��a a�����a a�ea���ia de 6 �i� d��ic��i��. De cada d��ic��i� de��a a�����a f��a� c��e�ada� i�f���a��e� de ��da� a� �e���a� ��e ���a� �e��e d��ic��i�. N� ���a�, e��e e���d� �e�a���� i�f���a��e� ����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
ace�ca de 19.200 habi�a��e� de��e ���ic��i�. ���ic��i�. C�� ba�e �e��a� afi��a��e�, a��i�a�e a ����� c���e�a. A) Cada d��ic��i� �e��e�e��a �� e���a�� da �����a��� e� e���d�. B) O ��a�� a�����a� c���ide�ad� �� e���d� � de �� �e�a��a�e��� ��� c��g���e�ad��. C) O e���d� c���ide��� ��a a�����a a�ea���ia �i���e� de 19.200 habi�a��e� de��e ���ic��i�. D) A c��e�a de i�f���a��e� de ��da� a� �e���a� ��e ���a� �� d��ic��i� a�����ad� � �� a��ec�� ca�ac�e����ic� da a�����age� e���a�ificada. E) Cada habi�a��e de��e ���ic��i� c���e���ad� �a a�����a �e��e�e��a ��a ��idade a�����a�. ���������:
F��a� ���ad�� e�e�e���� fi�ica�e��e �igad��, �a�a �ed���� de c�����. T�a�a��e de ��a a�����age� ��� c��g���e�ad��. G�������: B ������� 42
�� �I 2009 �FCC�
C���ide�e: I. E� ��a �i��age� de ��d�� �� ���ce���� a���ad�� e� �� de�e��i�ad� ��g�� ��b�ic�, �� ���e�� � ����ead� e���e �� 10 ��i�ei��� ���ce���� da �i��age� e �e�ifica��e ��e � � ���e�� 6. A �a��i� da�, � a�a�i�ad� � �e��� ���ce���, � d�ci�� �e���, � �ig��i�� �e���, e�c. O ���cedi�e��� ���cedi�e��� ad��ad� e� ��e���� de���i�a��e a�����age� ������ci��a� e���a�ificada. II. Ve�ific����e ��e e� �� e���d� ��b�e ��a �����a��� de �a�a�h� N ��i�i�����e � ����d� da a�����age� a�ea���ia �i���e�. T�da� a� ������ei� a�����a� de �a�a�h� � (� < N) ��� a �e��a ���babi�idade de �e�e� �e�eci��ada�. III. U�a �����a��� � i�icia��e��e di�idida e� g����� ��e c���i��e�, ��d�� e�e�, e� i�di��d��� ba��a��e �e�e�ha��e� �e�e�ha��e� e���e �i. P���e�i���e��e, �b�����e ��a a�����a a�ea���ia e� cada g����. E��e ���ce��� de a�����age� � de���i�ad� a�����age� �i��e���ica. C�� �e�a��� � �e��ia da a�����age�, � c���e�� � ��e c����a APENAS e� (A) I. (B) II. (C) I e II. (D) I e III. (E) II e III ���������:
E� I �e��� ��a a�����age� �i��e���ica.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
E� II �e��� ��a e���ica��� c���e�a ��b�e a a�����age� a�ea���ia �i���e�. Rea��e��e, ��a���e� a�����a de �a�a�h� � �e� a �e��a cha�ce de �e� �e�eci��ada. E� III �e��� � e��� ��a a�����age� ��� e���a���. G�������: B ������� 43
��� 3� �EGI�� 2009 �FCC�
O �bje�i�� de ��a �e���i�a e�a � de �e �b�e�, �e�a�i�a�e��e a�� ���ad��e� de �� bai���, i�f���a��e� ��b�e d�a� �a�i��ei�: ���e� ed�caci��a� e �e�da fa�i�ia�. Pa�a c����i� �a� �bje�i��, ��d�� �� ���ad��e� f��a� e���e�i��ad�� e a�g��d�� ��a��� a� ���e� ed�caci��a�, e, de���e ��d�� �� d��ic��i�� d� bai���, f��a� �e�eci��ad�� a�ea���ia�e��e 300 ���ad��e� �a�a i�f���a� a �e�da fa�i�ia�. A� ab��dage�� ��i�i�ada� �a�a a� �a�i��ei� ���e� ed�caci��a� e �e�da fa�i�ia� f��a�, �e��ec�i�a�e��e, (A) ce��� e a�����age� ��� c��g���e�ad��. (B) a�����age� a�ea���ia e a�����age� �i��e���ica. (C) ce��� e a�����age� ca��a� �i���e�. (D) a�����age� e���a�ificada e a�����age� �i��e���ica. (E) a�����age� �i��e���ica e a�����age� e� d�i� e���gi��. ���������:
Pa�a � ���e� ed�caci��a� h���e ace��� a ��da a �����a���. Ti�e��� �� �e���. Pa�a a �e�da fa�i�ia�, �i�e��� ��a a�����a a�ea���ia �i���e� (�� ca��a� �i���e�). G�������: C ������� 44
��� 7� �EGI�� 2009 �FCC�
C�� �e�a��� � �e��ia ge�a� de a�����age�, c���ide�e a� afi��a�i�a� abai��. I. A �ea�i�a��� de a�����age� a�ea���ia �i���e� �� � fei�a �a�a a�����age� �e� �e���i���. II. A a�����age� e���a�ificada c���i��e �a di�i��� de ��a �����a��� e� g����� �eg��d� a�g��a ca�ac�e����ica c��hecida. O� e���a��� da �����a��� de�e� �e� ����a�e��e e�c���i���. III. E� ��a a�����a ��� c��g���e�ad�� a �����a��� � di�idida e� ��b�����a��e� di��i��a�. IV. A a�����age� �i��e���ica � �� ��a�� de a�����age� ��� ���babi����ic�. � c���e�� � ��e �e afi��a APENAS e� (A) I e II. (B) II e III. (C) II e IV. (D) III e IV.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
(E) I, II e III. ���������:
I. A a�����a a�ea���ia �i���e� ��de �e� fei�a �a��� c�� �e���i��� ��a��� �e� �e���i���. E�e����: ��e�e��� ����ea� 5 a����� de ��a �a�a de a��a �a�a i�e� a ��a e����i���. C���ca��� �� ���e� e� �a��i� de �e��� �a�a�h�, c���ca��� �� �a��i� e� �� �ac�, �i����a��� be� e �e�i�a��� �� 5 ���e�. A a�����age� f�i a�ea���ia �i���e�, e, a��� di���, f�i �e� �e���i��� (��a �e��a �e���a ��� �e� c��� �e� e�c��hida d�a� �e�e�). II. De fa��, �� g����� c���e����de��e� c���e����de��e� a�� e���a��� ��� ����a�e��e e�c��de��e�. e�c��de��e�. E�e����: j��e��, ad����� ad����� e id����. id����. III. De fa��, idea��e��e, a a�����age� ��� c��g���e�ad�� c���i��e e� di�idi� a �����a��� e� g����� he�e��g��e�� (��b�����a��e�). IV. A a�����age� �i��e���ica � �i� �� ��a�� ���babi����ic�. ���babi����ic�. G�������: B
8.
������� ������
���������
Di���ib�i��� ��if���e di�c�e�a
T�d�� �� �a���e� ��� �e��a ���babi�idade. A e��e�a��a � �i���e��e��e a ��dia a�i����ica d�� �a���e� ������ei�
Di���ib�i��� Di��� ib�i��� de Be������i
A����e a�e�a� �a���e� 0 e 1. � �
Di���ib�i��� bi���ia�
S��a de � �a�i��ei� de Be������i. n P ( X = k ) = × p k × q n −k k µ = np
σ 2
Di���ib�i��� de P�i����
=
npq
� � �
� �� �
E ( X ) = V ( X ) = λ
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
������
���������
Di���ib�i��� ��if���e c������a
E ( X )
V ( X ) =
Di���ib�i��� ����a�
=
a+b 2
(b − a) 2 12
U�a� �abe�a �a�a e�c����a� ���babi�idade�. Pa�a �a���, fa�e� a ��a��f���a���: Z =
A�����age�
X − µ X
σ X
A�ea���ia �i���e�: ��d�� e�e�e���� da �����a��� c�� �e��a cha�ce de �e�e� e�c��hid��. E���a�ificada: di�ide a �����a��� e� e���a��� h���g��e�� (��� �a�a, �e��, ��ca�i�a��� ge�g��fica e�c) P�� c��g���e�ad��: di�ide a �����a��� e� c��g���e�ad�� he�e��g��e��. Si��e���ica: �a��e��e de ��a �i��age� e e�c��he��e �� a cada k e�e�e����. P�� j��ga�e���: ��� ���babi����ica; e�c��ha da a�����a c�� ba�e e� a�g�� c��heci�e��� ����i� ��b�e � ���b�e�a.
9.
�������� A�������A�A� �� A��A
������� 1
�� �� 2008 �CE�G�A��I��
U�a ���a c����� de� b��a�, cada ��a g�a�ada c�� �� ���e�� dife�e��e, de 1 a 10. U�a b��a � �e�i�ada da ���a a�ea���ia�e��e e � � � ���e�� �a�cad� �e��a b��a. � � ��a �a�i��e� a�ea���ia c�j�(a) (A) de��i� �ad��� � 10. (B) ��i�ei�� ��a��i� � 0,25. (C) ��dia � 5. (D) di���ib�i��� de ���babi�idade� � ��if���e. (E) di���ib�i��� de ���babi�id ���babi�idade� ade� � a��i����ica.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
������� 2
GDF �E��� 2010 ���I�E��A�
Pa�a ��a de�e��i�ada ��eda ��iciada�, a ���babi�idade de �e �b�e� �� �e����ad� �ca�a� � ig�a� a 30%. Seja, e����, a �a�i��e� a�ea���ia X ��e a����e a�e�a� �� �a���e� 0 e 1, �e�d� 0 �a�a �e����ad� �c���a� e 1 �a�a �e����ad� �ca�a�. A��i�a�e a a��e��a�i�a ��e a��e�e��a, �e��ec�i�a�e��e, � �a��� ��di� e a �a�i��cia de X. (A) 0,21 e 0,3 (B) 0,7 e 0,21 (C) 0,21 e 0,7 (D) 0,3 e 0,21 (E) 0,3 e 0,7 ������� 3
�EFA� �� 2007 �FG��
U� ca�dida�� �e ��b�e�e a ��a ����a c���e�d� ���� ��e���e� de ����i��a e�c��ha ��eci�a�d� ace��a� �e�� �e��� d�a� �a�a �e� a����ad�. Cada ��e���� a��e�e��a ci�c� a��e��a�i�a�, �a� a�e�a� ��a � c���e�a. Se � ca�dida�� ��� �e ��e�a��� e decide �e����de� �e����de� a cada ��e���� a� aca��, a ���babi�idade de �e� a����ad� �� c��c���� � ig�a� a: (A) 0,104. (B) 0,040. (C) 0,096. (D) 0,008. (E) 0,200 ������� 4
CG� 2008 �E�AF�
Seja � a a ���a de � �� �a�i��ei� a�ea���ia� i�de�e�de��e� de Be������i, i��� �, ��e a����e� a�e�a� �� �a���e� 1 e 0 c�� ���babi�idade� p e 1 − p , �e��ec�i�a�e��e. �e��ec�i�a�e��e. A��i�, a di���ib�i��� de � �: �: a) bi���ia� c�� �a���e���� � �� e � �� b) ga�a c�� �a���e���� � �� e � �� c) ��i ��ad�ad� c�� � �� g�a�� de �ibe�dade d) �a��ace e) ��� de ���de�� c�� ��1 g�a�� de �ibe�dade ������� 5
�E���B�A� 2008/2 �CE�G�A��I��
U� e���da��e �a�ca, a� aca��, a� �e�����a� de �� �e��e de 10 ��e���e� de ����i��a e�c��ha, c�� 4 a��e��a�i�a� ��� ��e����. O ���e�� �ai� ������e� de ace���� � (A) 1,5 (B) 2,0 (C) 2,5 (D) 3,0
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
(E) 3,5 ������� 6
AF�FB 2009 �E�AF�
E� �� e��e�i�e��� bi���ia� c�� ���� ����a�, a ���babi�idade de �c���e�e� d�i� ��ce���� � d��e �e�e� a ���babi�idade de �c���e�e� ���� ��ce����. De��e ��d�, a� ���babi�idade� de ��ce��� e f�aca��� ���, e� �e�ce���ai�, �e��ec�i�a�e��e, ig�ai� a: a) 80 % e 20 % b) 30 % e 70 % c) 60 % e 40 % d) 20 % e 80 % e) 25 % e 75 % ������� 7
���E� 2010 �E�AF�
U� e���d� i�dica ��e, �a� c����idade� ��e �i�e� e� c�i�a ��i�� f�i� e c�� ��a die�a de bai�a i�ge���� de g��d��a a�i�a�, a ���babi�idade de �� ca�ai� �e�e� fi�h�� d� �e�� �a�c��i�� � ig�a� a 1/4. De��e ��d�, a ���babi�idade de �� ca�a� �e� d�i� �e�i��� e ���� �e�i�a� � ig�a� a: a) 37/64 b) 45/216 c) 1/64 d) 45/512 e) 9/16 ������� 8
GDF �E��� 2010 ���I�E��A�
E� ce��� ��a�� a�����a�, e� ��a �����a��� de 100 e�e�e����, �������e �e�� �eg�i��e c�i���i�: j�ga��e ��a ��eda (h��e��a) e, �e de� ca�a, � e�e�e��� e���a �a a�����a; �e de� c���a, e�e ��� e���a �a a�����a. Q�a� � �a�a�h� e��e�ad� de��a a�����a? (A) 10 (B) 20 (C) 30 (D) 40 ��� ��
������� 9
��� 2� �EGI�� 2008 �FCC�
E� ��a g�a�de cidade, a ���babi�idade de ��a �e���a �e����de� c���e�a�e��e a ��a ��e���� f�����ada ��� �� e���e�i��ad�� � ig�a� a 40%. Se�eci��a�d� a� aca�� ���� �e���a� �e� �e���i��� e fa�e�d� a �e�g���a �a�a cada ��a i�de�e�de��e�e��e, a ���babi�idade de �e�� �e��� ��a ace��a� a �e�����a � ig�a� a (A) 78,4% (B) 60,0% (C) 54,6% ����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
(D) 48,0% (E) 44,8% ������� 10
�AD �E 2009 �CE��E�
A fig��a aci�a a��e�e��a a di���ib�i��� �e�ce���a� da �����a��� de c�ia��a� e j��e�� e���e ci�c� a de�e���e a��� de idade ��e ���ca ���c���� �� de��i��a, ��� �e�da d��ici�ia� �e� ca�i�a �� B�a�i� e� 1998. �A� dife�e��a� e���e �� di�e���� g����� de �e�da �e� ca�i�a � ace���ada. A����i�ada�e��e 25% da �����a��� b�a�i�ei�a c�� idade e���e ci�c� e de�e���e a��� ���ca ���c��a�a� �� de��i��a. E���e�a���, e��e �a��� ��f�e ��ci�a��e� �eg��d� a �e�da �a�ia�d� de 50,7% �a��e�e� d��ic��i�� c�� �e�da de a�� R$ 37,75 a 1,5% �a��e�e� d��ic��i�� c�� �e�da �e� ca�i�a e���e R$ 1.813,00 e R$ 40.500,00�. �� ����� �� ��� ������� �� ������������� �� ����� �� ������, ��������, ���� (��� ����������)
C���ide�a�d� ��e ��a a�����a a�ea���ia �i���e� de ci�c� �i� i�di��d��� f���e �e�i�ada da �����a��� de c�ia��a� e j��e�� e���e ci�c� e de�e���e a��� de idade �� B�a�i� e� 1998, �e �e��e�e��a � ���e�� de i�di��d��� �e��a a�����a ��e ���ca ���c���� �� de��i��a, e���� � �e��e�e��a a �a�i��cia de � � � A) i�fe�i�� a 400. B) ���e�i�� a 400 e i�fe�i�� a 600. C) ���e�i�� a 600 e i�fe�i�� a 800. D) ���e�i�� a 800 e i�fe�i�� a 1.000. E) ���e�i�� a 1.000.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
������� 11
��F 1� ������/2001 �FCC�
A ���babi�idade de ��e �� i�e� ���d��id� ��� ��a ����i�a �eja defei����� � de 10%. U�a a�����a de 30 i�e�� ���d��id�� ��� e��a ����i�a � �e�eci��ada a� aca��. U�e a a����i�a��� �e�a di���ib�i��� de P�i���� �a�a de�e��i�a� a ���babi�idade de ��e ��� �ai� d� ��e �� i�e� defei����� �eja e�c����ad� �e��a a�����a. a) 4 e
−3
b) 4e
−2
c) 3e
−3
d) 1 − 4e
−3
e) 1 − 3e
−3
������� 12
��E �E/2006 �FCC�
O ���e�� de fa�ha� de ce��� �i�� de ��aca ����ica �e� di���ib�i��� de P�i����, c�� �a�a ��dia de 0,1 defei��� ��� � �. Na c��fec��� da ���e�f�cie de �� a����i�, � �ece����i� c�b�i� ��a ���e�f�cie de 2� ��� 2� c�� e��a ��aca. A ���babi�idade de ��e haja �e�� �e��� ��a fa�ha �e��a ���e�f�cie � de: a) e
−0 ,1
b) 1 − e
−0 ,1
c) 1 − e
−0 , 4
d) e
−0 , 4
e) 1 − 1,4e −0, 4 ������� 13
��E �E 2006 �FCC�
C���ide�a�d� �� dad�� da ��e���� a��e�i��, �e����da a� ��e �eg�e. Na c��fec��� de 3 ���e�f�cie� de��e �i��, a ���babi�idade de ��e e�a�a�e��e d�a� ��� a��e�e��e� defei�� �: a) 3 × (1 − e −0, 4 ) 2 × e −0, 4 b) 3 × e
−0 ,1
c) 3 × (1 − e −0,2 ) d) 3 × (1 − e −0,1 ) 2 × e −0,1 e) 3 × (1 − e −0, 4 ) × e −0,8 ������� 14
��� 2� �EGI�� 2008 �FCC�
O ���e�� de �e�a� defei����a� fab�icada� ��� ��a e���e�a �e� di���ib�i��� de P�i����, c�� ��a �a�a ��dia de 1 �e�a defei����a ��� 1.000 �e�a� fab�icada�. Ad��i�i�d� 100 �e�a� de��a e���e�a, a ���babi�idade de, �� ���i��, ��a �e�a �e� defei����a � ig�a� a (A) e−��� (B) e−��� ����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
(C) 1,1 e−��� (D) 0,1e−��� (E) 2 e−��� ������� 15
���/2007 �FCC�
O ���e�� de �acie��e� a�e�did�� ��� �� c���ic� ge�a� �eg�e ��a di���ib�i��� de P�i���� c�� �a�a de 4 �acie��e� ��� h��a. A ���babi�idade de ��e �e�� �e��� �� �acie��e c������e � c���ic� ge�a� e� �� �e���d� de 15 �i����� �: a) 1 − e
−1
b) 1 − e
−4
c) e
−4
d) e 4 e) e
−1
������� 16
�EFA� �� 2009 �FG��
O ���e�� de c�ie��e� ��e b��ca�, e� cada dia, �� �e��i��� de �� �e���ad� ci���gi�� �e� ��a di���ib�i��� de P�i���� c�� ��dia de 2 �acie��e� ��� dia. Pa�a cada ci���gia efe��ada, � ci���gi�� �ecebe R$ 10.000,00. N� e��a���, e�e c���eg�e fa�e� � ���i�� de d�a� ci���gia� e� �� dia; c�ie��e� e�cede��e� ��� �e�did�� �a�a ������ ci���gi�e�. A��i�a�e a a��e��a�i�a ��e i�di��e � �a��� e��e�ad� da �ecei�a di��ia d� ci���gi��. (c���ide�e e �� = 0,14) (A) R$ 5.600,00. (B) R$ 8.400,00. (C) R$ 10.000,00. (D) R$ 14.400,00 . (E) R$ 20.000,00. ������� 17
��� 4� �EGI�� 2009 �FCC�
S����ha ��e � ���e�� de �a���c��a� e�i�ida� ��� ��a f���e �adi�a�i�a d��a��e �� �e���d� de �e��� � �eja ��a �a�i��e� a�ea���ia c�� di���ib�i��� de P�i����. Sabe��e ��e a ���babi�idade de ��e ��� haja e�i���e� d��a��e � �e��� � � 1/4. A ���babi�idade de ��e haja �e�� �e��� d�a� e�i���e� d��a��e � �e��� � � (A) ln 4 − 1 (B) (C)
4 − ln 4 4 ln 4 4
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� ln 4
(D) 1 − (E)
4
3 − ln 4 4
������� 18
��� 7� �EGI�� 2009 �FCC�
Seja X a �a�i��e� a�ea���ia ��e �e��e�e��a � ���e�� de cha�ada� ��� �i���� �ecebida� ��� �� PBX. Sabe��e ��e X �e� ��dia λ e ��e P(X = 3) = P(X = 4). S����d� ��e a di���ib�i��� de P�i���� �eja ade��ada �a�a X, a ���babi�idade de ��e �c���a ��a cha�ada e� 30 �eg��d�� � (A) e−� . (B) 4e−� . (C) e−�. (D) 2e−�. (E) 1 − 2 e−�. ������� 19
CG� 2008 �E�AF�
Se�d� � ��a ��a �a�i��e� a�ea���ia ��if���e�e��e ��if���e�e��e di���ib��da �� i��e��a�� [0,1], de�e��i�e ��a �a�i��cia. a) 1/2. b) 1/3. c) 1/4. d) 1/6. e) 1/12. ������� 20
���/2007 �FCC�
O �e��� �ece����i� �a�a �� �edica�e��� c����a d�� fa�e� efei�� �eg�e �� ��de�� c�� de��idade U�if���e �� i��e��a�� de 5 a 15 (e� �i�����). U� �acie��e � �e�eci��ad� a� aca�� e���e �� ��e ���a�a� � �e��di�. A ���babi�idade d� �edica�e��� fa�e� efei�� e� a�� 10 �i�����, �e��e �acie��e, �: a) 0,8 b) 0,7 c) 0,5 d) 0,4 e) 0,3
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
������� 21
��� 2� �EGI�� 2008 �FCC�
U�a �a�i��e� a�ea���ia X � ��if���e�e��e di���ib��da �� i��e��a�� [1, 5]. A ��dia e a �a�i��cia c���e����de��e� c���e����de��e� ���, �e��ec�i�a�e��e, �e��ec�i�a�e��e, (A) 2 e 1/3 (B) 2 e 2/3 (C) 3 e 3/4 (D) 3 e 1/3 (E) 3 e 4/3 ������� 22
�EFA� �� � 2006 �FCC�
Ve�ific����e ��e �� �a���e� a��ecadad�� d�� ��ib���� e� ��a cidade a��e�e��a� ��a di���ib�i��� ����a�. Sabe��e ��e 10% de��e� �a���e� ��� ���e�i��e� a R$ 1.770,00 e ��e 60% ��� �e���e� �� ig�ai� a R$ 1.350,00. z
P(0 ≤ Z ≤ z )
0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50
0,00 0,10 0,19 0,27 0,34 0,36 0,38 0,40 0,42 0,43
Dad��: �a���e� da� ���babi�idade� P (0 ≤ Z ≤ z ) �a�a a di���ib�i��� di���ib�i�� � ����a� �ad���. A ��dia e � de��i� �ad��� de��e� �a���e� ca�c��ad�� ��i�i�a�d� a �abe�a aci�a ���, �e��ec�i�a�e��e: a) R$ 1.250,00 e R$ 400,00 b) R$ 1.250,00 e R$ 20,00 c) R$1.410,00 e R$ 400,00 d) R$ 1.410,00 e R$ 20,00 e) R$ 1.560,00 e R$ 20,00. ������� 23
��F 2� ������/2007 �FCC�
Pa�a �e����e� a ��e���� �eg�i��e, ��i�i�e, de���e a� i�f���a��e� dada� a �eg�i�, a� ��e j��ga� a�����iada�. Se Z �e� di���ib�i��� ����a� �ad���, e����: P( Z > 2) = 0,023 ; P( Z < 1,64) = 0,945 ; P(0 < Z < 1,5) = 0,433 ; P( Z < 1,34) = 0,91
O �ad��� de ��a�idade de ��a i���e����a �ec��e�da ��e �� ������ i���e���� e��eja� e���e 3,6 e 4,4 ��. U�a i���e����a i���i�e ������ c�� di��e��� X, ��de X � a����i�ada�e��e ����a� c�� ��dia 4 �� e de��i� �ad��� σ . . Se a ���babi�idade de ��
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
����� da i���e����a e��a� de���� d� �ad��� de ��a�idade � de 95,4%, � �a��� de σ , , e� ��, � ig�a� a: a) 0,54 b) 0,35 c) 0,29 d) 0,22 e) 0,20. ������� 24
BACE�/2006 �FCC�
A� e���e�a� de �� de�e��i�ad� �e��� ��� ��a �i��a��� ����ida be� de�c�i�a ��� ��a di���ib�i��� ����a�, c�� ��dia ig�a� a 2,5 �i�h�e� de �eai� e de��i� �ad��� de 2 �i�h�e� de �eai�. Se�eci��a�d���e ��a e���e�a a�ea���ia�e��e de��e �e���, a ���babi�idade de�a a��e�e��a� ��a �i��a��� ����ida �ega�i�a �� ���a � de: a) 11% b) 16% c) 23% d) 39% e) 50%. ������� 25
BACE�/2006 �FCC�
O� �a���e� de de�e��i�ad� ������ �� �e�cad� de i��e��i�e���� a��e�e��a� ��a di���ib�i��� c���ide�ada ����a�. Sabe��e ��e �� �a���e� de 16% d�� ������� ��� ���e�i��e� �� ig�ai� a R$ 10.000,00 e ��e �� �a���e� de 60% d�� ������� ��� i�fe�i��e� a R$ 7.000,00. A ��dia d�� �a���e� de��e� ������� �: a) R$ 8.500,00 b) R$ 8.000,00 c) R$ 7.500,00 d) R$ 6.000,00 �� �$ ��������
������� 26
�EFA� �� 2009 �E�AF�
Seja Z ��a �a�i��e� a�ea���ia N���a� Pad���. Dad�� �� �a���e� de � e de P(Z < �) a �eg�i�, �b�e�ha � �a��� �ai� ����i�� de P(�2,58 < Z < 1,96). � P( Z < � )
1,96 0,975
2,17 0,985
2,33 0,99
2,41 0,992
2,58 0,995
a) 0,97 b) 0,985 c) 0,98
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
d) 0,99 e) 0,95 ������� 27
BACE� 2009 �CE�G�A��I��
E��i�a��e ��e �� �e������ de �� de�e��i�ad� �e�cad� �e�ha� di���ib�i��� ����a�, c�� ��dia 20% e de��i� �ad��� 10%. A ���babi�idade de �e�da� fi�a�cei�a� � de, a����i�ada�e��e, (A) 1% (B) 2,5% (C) 5% (D) 10% (E) 20% ������� 28
��EFEI���A ���ICI�A� DE ��� �A��� 2007 �FCC�
Pa�a �e����de� � ��e���� �eg�i��e, ��i�i�e, de���e a� i�f���a��e� abai��, a� ��e j��ga� ade��ada�. Se Z �e� di���ib�i��� ����a� �ad���, e����: P (0 < Z < 1)
0,341
=
P ( 0 < Z < 1,6) = 0,445 P ( 0 < Z < 2)
=
0,477
O� de���i��� efe��ad�� �� ba�c� B, ��� de�e��i�ad� ���, ��� di���ib�i��� ����a� c�� ��dia R$ 9.000,00 e de��i� �ad��� R$ 1.500,00. U� de���i�� � �e�eci��ad� a� aca�� de���e ��d�� �� �efe�e��e� a� ��� e� ��e����. A ���babi�idade de ��e � de���i�� e�ceda a R$ 6.000,00 � de: a) 97,7% b) 94,5% c) 68,2% d) 47,7% e) 34,1% ������� 29
�� �I 2009 �FCC�
C���ide�e a �abe�a abai��, ��e d� a�g��� �a���e� da� ���babi�idade� P (Z ≥ �) �a�a a di���ib�i��� ����a� �ad���.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
Ve�ific����e ��e, e� �� ��g�� ��b�ic�, a� ��a��idade� de ���ce���� a���ad�� ��� dia ��i� a��e�e��a� ��a di���ib�i��� ����a� c�� ��dia ig�a� a 20 e de��i� �ad��� ig�a� a 4. A ���babi�idade de ��e, e� �� de�e��i�ad� dia ��i�, �eja� a���ad�� �e��� ��e 23 ���ce���� � de (A) 60%. (B) 69%. (C) 75%. (D) 77%. (E) 84%. ������� 30
�� �I 2009 �FCC�
C���ide�e a �abe�a abai��, ��e d� a�g��� �a���e� da� ���babi�idade� P (Z ≥ �) �a�a a di���ib�i��� ����a� �ad���.
A di���ib�i��� d�� ��e��� ��i���i�� de �e�da de ��a �e�a � c���ide�ada ����a� c�� �� de��i� �ad��� ig�a� a R$ 1,20. Sabe��e ��e 60% d�� ��e��� ��� �e���e� ��e R$ 2,80. E����, a ��dia de��e� ��e��� � ig�a� a (A) R$ 2,70. (B) R$ 2,60. (C) R$ 2,50. (D) R$ 2,80. (E) R$ 2,90. ������� 31
�� �I 2009 �FCC�
C���ide�e a �abe�a abai��, ��e d� a�g��� �a���e� da� ���babi�idade� P (Z ≥ �) �a�a a di���ib�i��� ����a� �ad���.
A ���babi�idade de ��e ��a �a�i��e� a�ea���ia X, di���ib��da ����a��e��e, c�� ��dia 4 e de��i� �ad��� 2, a��e�e��e �� �a��� �e��� �� ig�a� a 3 �� �ai�� �� ig�a� a 6,5 � de (A) 36%.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
(B) 42%. (C) 48%. (D) 54%. (E) 62%. ������� 32
�� �I 2009 �FCC�
C���ide�e a �abe�a abai��, ��e d� a�g��� �a���e� da� ���babi�idade� P (Z ≥ �) �a�a a di���ib�i��� ����a� �ad���.
Se �� �a���e� de ��ca��� de �� e��i�a�e��� ��� ����a��e��e di���ib��d�� c�� ��dia R$ 1.000,00 e de��i� �ad��� de R$ 100,00, � �a��� de ��ca��� e� ��e 40% ��� ig�ai� �� i�fe�i��e� a e�e � ig�a� a (A) R$ 925,00. (B) R$ 945,00. (C) R$ 950,00. (D) R$ 960,00. (E) R$ 975,00. ������� 33
�� �I 2009 �FCC�
C���ide�e a �abe�a abai��, ��e d� a�g��� �a���e� da� ���babi�idade� P (Z ≥ �) �a�a a di���ib�i��� ����a� �ad���.
O� ��c��� da� e���e�a� de �� �a�� de a�i�idade a��e�e��a�a�, a��e�e��a�a�, e� 2008, ��a di���ib�i��� c���ide�ada c���ide�ada ����a�, c�� ��dia ig�a� a 500 �i� �eai� e de��i� �ad��� ig�a� a 400 �i� �eai�. A ���babi�idade, �a��e�e a��, de ��a e���e�a e�c��hida a�ea���ia�e��e d� �a�� c���ide�ad� N�O �e� a��e�e��ad� ��c�� � de (A) 50%. (B) 40%. (C) 11%. (D) 7%.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
(E) 5% ������� 34
�C�/2008 �CE��E�
U�a ag��cia de de�e�����i�e��� ��ba�� di���g�� �� dad�� a��e�e��ad�� �a �abe�a a �eg�i�, ace�ca d�� ���e��� de i���ei� �fe��ad�� ( � ) e �e�did�� (� ) e� de�e��i�ad� ���ic��i�, ��� a��� de 2005 a 2007. A�� 2005 2006 2007
N��e�� de i���ei� Ofe��ad�� ( � ) Ve�did�� (� ) 1.500 100 1.750 400 2.000 700
[...] C���ide�a�d� ��e e� 2008 �eja� �fe��ad�� 2.500 i���ei�, d�� ��ai� �eja� �e�did�� � i���ei� �e��e �e��� a��, �e��e ca��, �e a ���babi�idade de �� i���e� �fe��ad� e� 2008 �e� �e�did� �� �e��� a�� f�� ig�a� a 0,4, e �e � �eg�i� �eg�i� ��a di���ib�i��� bi���ia�, e���� a ���babi�idade de �e �b�e��a� � e�e��� Y ≥ 1.000 i���ei� �e�� i�fe�i�� a 0,41. ������� 35
CG� � 2008 �E�AF�
E� de�e��i�ada� ci�c������cia�, ��a �a�i��e� a�ea���ia bi���ia� ��de �e� be� a����i�ada ��� ��a �a�i��e� a�ea���ia ����a�. Seja � ��a �a�i��e� a�ea���ia bi���ia� c�� �=400 e �=1/2. Ca�c��e � �a��� �ai� ����i�� de P(181 ≤ � ≤ ≤ 219) ��a�d� a a����i�a��� da �a�i��e� bi���ia� �e�a ����a�, dad� ��e F(1,96) = 0,975, F(2,17) = 0,985, F(2,33) = 0,99, F(2,41) = 0,992 e F(2,58) = 0,995, 0,995, ��de ��de F(�) � a f����� f����� de di���ib�i��� de ��a �a�i��e� a�ea���ia a�ea���ia ����a� �ad��� Z. a) 0,95. b) 0,97. c) 0,98. d) 0,984. e) 0,99. ������� 36
������ ����������� 2002. �CE��E�
J��g�e �� i�e�� �eg�i��e�, �e�a�i��� a ��c�ica� de a�����age�. 1. N� ca�� de ��a a�����a a�ea���ia de �a�a�h� � e���a�da de ��a �����a��� de N e�e�e����, a ���babi�idade de �e�e��� de cada ��a da� c��bi�a��e� a�����ai� ������ei� � ig�a� a 1/N. 2. C���ide�e a �eg�i��e �i��a��� hi�����ica. U�a de�e��i�ada �����a��� ��de �e� di�idida e� ��bg����� c�� ca�ac�e����ica� �e�e�ha��e�, c��� �e��, fai�a e���ia, �e�di�e��� �e��a� e�c. O� ��bg����� f���a� ��a �a��i��� da �����a��� e �� e�e�e���� �e�eci��ad�� ��� �e����a��e� de ��a a�����a
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
a�ea���ia �i���e� efe��ada e� cada ��bg����. Ne��a �i��a���, � de�e�h� a�����a� � c��hecid� c��� a�����age� ��� c��g���e�ad��. 3. C���ide�e a �eg�i��e �i��a��� hi�����ica. U�a e���e�a ��e� e���da� a �e�da de e���egad�� ���ai� e�i��e��e� e� ��a ��ea d� i��e�i�� d� e��ad� d� Pa�a��. De�e� �e� a��icad�� 1.200 ��e��i����i��, �a� a e���e�a ��� �����i �� cada���� c���e�d� dad�� ��b�e �� e���egad�� ���ai�. A i�e�i����cia d� cada���� i��ede � ����ei� a�ea���i� de �ai� e���egad��. A��� di���, � c���� de c���ac�a� di�e�a�e��e a� fa���ia� ���ai� di��e��a� e� ��a g�a�de ��ea � ��i�� e�e�ad�. Pa�a �iabi�i�a� � e���d�, a ��ea d� i��e�i�� d� e��ad� f�i di�idida e� �e��e�a� ��b��ea� di�j���a�. F��a� �e�eci��ada� a�ea���ia�e��e a�g��a� ��b��ea� e a �e���i�a ���c���� e���e�i��a� ��d�� �� e���egad�� ���ai� de���� de�a�. Ne��a �i��a���, � de�e�h� a�����a� � c��hecid� c��� a�����age� e���a�ificada. ������� 37
��F 2� ������/2007 �FCC�
U�a �e���i�a ��e�e�de e��i�a� � �a��� ��di� �e��a� d�� �a���i�� �ecebid�� �e��� ���fe����e� de 4 e�c��a� d� bai��� Sa�de. Pa�a a �e���i�a ��i�ei�a�e��e f��a� �i��ad�� ��d�� �� ���fe����e� �a�a a� 4 e�c��a� �eg��d� � �e�� �e����a�d� e� 2000 ���fe����e� d� �e�� fe�i�i�� e 1500 ���fe����e� d� �e�� �a�c��i��. F��a� ��������� d�i� ��a��� a�����ai� di��i����. O ��i�ei�� ��a�� ��e�ia �� ����ei� c�� �e���i��� de 350 ���fe����e� d� ���a� de 3500. Na �eg��da �������a, � ���a� da �����a��� de ���fe����e� f�i di�idid� e� d�i� g����� (�� g���� d� �e�� fe�i�i�� e ����� g���� d� �e�� �a�c��i��) e �e�ia� ����ead�� 10% de cada g���� c�� �e���i���. Seg��d� a �e��ia ge�a� da a�����age�, � ��i�ei�� e � �eg��d� ��a�� ���, �e��ec�i�a�e��e: a) a�����age� a�ea���ia �i���e� e a�����age� e���a�ificada b) a�����age� a�ea���ia �i���e� e a�����age� e���a�ificada c) a�����age� e���a�ificada e a�����age� a�ea���ia �i���e� d) a�����age� a�ea���ia �i���e� e a�����age� ��� c��g���e�ad� e� d�i� e���gi�� e) a�����age� a�ea���ia �i���e� e a�����age� ��� c��g���e�ad��. c��g���e�ad��. ������� 38
�AD��E 2009 �CE��E�
E� ��a cidade, h� 1.000 e���e�a� d� �a�� da c��������� ci�i� ��e ��� c�a��ificada� �eg��d� � �e� ����e. A di���ib�i��� de��a� e���e�a� � dada �a �abe�a �eg�i��e.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
C���ide�e ��e �� i���i���� de �e���i�a decida c��e�a� ��a a�����a de 100 e���e�a� ��� �ei� de ��a a�����age� a�ea���ia e���a�ificada �eg��d� � ����e da� e���e�a�. Se a a��ca��� da a�����a � ��if���e, e���� � ���e�� de e���e�a� de g�a�de ����e ��e�e��e� �a a�����a �e�� ig�a� a A) 1. B) 5. C) 10. D) 25. E ) 50. ������� 39
CEB 2009 ���I�E��A�
Pa�a �abe� da� c��di��e� d�� a�i�ai� de ��a fa�e�da, �e�� �ea�i�ada ��a �e���i�a ��� a�����age� e���a�ificada, a �a��i� de ��a a�����a de 15 a�i�ai�. A �abe�a �eg�i��e a��e�e��a � efe�i�� de a�i�ai� de��a fa�e�da.
C�� ba�e �e��a� i�f���a��e�, a ��a��idade de b��i��� e ������ ��e �e��� ��ad�� �a �e���i�a � de (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) 9 ������� 40
�E��ACA� 2009 ���I�E��A�
A fi�a�idade da a�����age� � �e��i�i� fa�e� i�fe���cia� ��b�e ��a �����a��� a��� i���e��� de a�e�a� �a��e de�a. Fa���e� c��� c����, �e���, e��ai�� de�����i��� e �����a��e� i�fi�i�a� ����a� a a�����age� ��efe���e� a �� e���d� c����e�� (ce���) da �����a���. Na���a��e��e, e��e�a��e e��e�a��e ��e a a�����a �e��e�e��e a �����a��� de ��e f�i e���a�da. e�� �a�da. Wi��ia� J. S�e�e����. E��a����ica A��icada � Ad�i�i���a���. Ad�i�i���a���. S�� Pa���: Ha�b�a, �/d. E���e �� ����d�� de a�����age� e�i��e��e�, a��i�a�e a a��e��a�i�a c���e�a. (A) A a�����age� e���a�ificada c���i��e �a di�i��� da �����a��� g��ba� e� ��bg����� he�e��g��e��, ��i�i�a�d���e e� �eg�ida ��d�� �� e�e�e���� de a�g��� ��bg����� e�c��hid�� a�ea���ia�e��e.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
(B) A a�����age� ��� c��g���e�ad�� c���i��e �a di�i��� da �����a��� de ��ige� e�, �� ���i��, d�a� ��b�����a��e� c�� a� �e��a� ca�ac�e����ica�. E� �eg�ida, e���ai��e ��a a�����a de cada ��bdi�i���. ��bdi�i���. (C) A a�����age� �i��e���ica c���i��e �a e�c��ha de e�e�e���� �a ��de� e� ��e a�a�ece� e� de�e��i�ada �i��a. (D) E� �e�h��a hi���e�e � �e��i�id� � ��� da a�����age� ��� j��ga�e���, ��� ��� �e ��a�a� de �� ���cedi�e��� ���babi����ic�. (E) A a�����age� a�ea���ia �i���e� � ca�ac�e�i�ada �e�� fa�� de cada e�e�e��� da �����a��� �����i� a �e��a cha�ce de �e� e�c��hid�. ������� 41
�AD��E 2009 �CE��E�
S����ha ��e e� ce��� ���ic��i� h� 120 �i� habi�a��e� ��e �i�e� e� 30 �i� d��ic��i�� �e�ide�ciai�. Pa�a �� e���d� ��ci�ec����ic� �e��e ���ic��i�, f�i �e�i�ada ��a a�����a a�ea���ia de 6 �i� d��ic��i��. De cada d��ic��i� de��a a�����a f��a� c��e�ada� i�f���a��e� de ��da� a� �e���a� ��e ���a� �e��e d��ic��i�. N� ���a�, e��e e���d� �e�a���� i�f���a��e� ace�ca de 19.200 habi�a��e� de��e ���ic��i�. ���ic��i�. C�� ba�e �e��a� afi��a��e�, a��i�a�e a ����� c���e�a. A) Cada d��ic��i� �e��e�e��a �� e���a�� da �����a��� e� e���d�. B) O ��a�� a�����a� c���ide�ad� �� e���d� � de �� �e�a��a�e��� ��� c��g���e�ad��. C) O e���d� c���ide��� ��a a�����a a�ea���ia �i���e� de 19.200 habi�a��e� de��e ���ic��i�. D) A c��e�a de i�f���a��e� de ��da� a� �e���a� ��e ���a� �� d��ic��i� a�����ad� � �� a��ec�� ca�ac�e����ic� da a�����age� e���a�ificada. E) Cada habi�a��e de��e ���ic��i� c���e���ad� �a a�����a �e��e�e��a ��a ��idade a�����a�. ������� 42
�� �I 2009 �FCC�
C���ide�e: I. E� ��a �i��age� de ��d�� �� ���ce���� a���ad�� e� �� de�e��i�ad� ��g�� ��b�ic�, �� ���e�� � ����ead� e���e �� 10 ��i�ei��� ���ce���� da �i��age� e �e�ifica��e ��e � � ���e�� 6. A �a��i� da�, � a�a�i�ad� � �e��� ���ce���, � d�ci�� �e���, � �ig��i�� �e���, e�c. O ���cedi�e��� ���cedi�e��� ad��ad� e� ��e���� de���i�a��e a�����age� ������ci��a� e���a�ificada. II. Ve�ific����e ��e e� �� e���d� ��b�e ��a �����a��� de �a�a�h� N ��i�i�����e � ����d� da a�����age� a�ea���ia �i���e�. T�da� a� ������ei� a�����a� de �a�a�h� � (� < N) ��� a �e��a ���babi�idade de �e�e� �e�eci��ada�. III. U�a �����a��� � i�icia��e��e di�idida e� g����� ��e c���i��e�, ��d�� e�e�, e� i�di��d��� ba��a��e �e�e�ha��e� �e�e�ha��e� e���e �i. P���e�i���e��e, �b�����e ��a a�����a a�ea���ia e� cada g����. E��e ���ce��� de a�����age� � de���i�ad� a�����age� �i��e���ica. C�� �e�a��� � �e��ia da a�����age�, � c���e�� � ��e c����a APENAS e� (A) I. (B) II.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
(C) I e II. (D) I e III. (E) II e III ������� 43
��� 3� �EGI�� 2009 �FCC�
O �bje�i�� de ��a �e���i�a e�a � de �e �b�e�, �e�a�i�a�e��e a�� ���ad��e� de �� bai���, i�f���a��e� ��b�e d�a� �a�i��ei�: ���e� ed�caci��a� e �e�da fa�i�ia�. Pa�a c����i� �a� �bje�i��, ��d�� �� ���ad��e� f��a� e���e�i��ad�� e a�g��d�� ��a��� a� ���e� ed�caci��a�, e, de���e ��d�� �� d��ic��i�� d� bai���, f��a� �e�eci��ad�� a�ea���ia�e��e 300 ���ad��e� �a�a i�f���a� a �e�da fa�i�ia�. A� ab��dage�� ��i�i�ada� �a�a a� �a�i��ei� ���e� ed�caci��a� e �e�da fa�i�ia� f��a�, �e��ec�i�a�e��e, (A) ce��� e a�����age� ��� c��g���e�ad��. (B) a�����age� a�ea���ia e a�����age� �i��e���ica. (C) ce��� e a�����age� ca��a� �i���e�. (D) a�����age� e���a�ificada e a�����age� �i��e���ica. (E) a�����age� �i��e���ica e a�����age� e� d�i� e���gi��. ������� 44
��� 7� �EGI�� 2009 �FCC�
C�� �e�a��� � �e��ia ge�a� de a�����age�, c���ide�e a� afi��a�i�a� abai��. I. A �ea�i�a��� de a�����age� a�ea���ia �i���e� �� � fei�a �a�a a�����age� �e� �e���i���. II. A a�����age� e���a�ificada c���i��e �a di�i��� de ��a �����a��� e� g����� �eg��d� a�g��a ca�ac�e����ica c��hecida. O� e���a��� da �����a��� de�e� �e� ����a�e��e e�c���i���. III. E� ��a a�����a ��� c��g���e�ad�� a �����a��� � di�idida e� ��b�����a��e� di��i��a�. IV. A a�����age� �i��e���ica � �� ��a�� de a�����age� ��� ���babi����ic�. � c���e�� � ��e �e afi��a APENAS e� (A) I e II. (B) II e III. (C) II e IV. (D) III e IV. (E) I, II e III.
10.
�ABA����
1
d
5
b
2
d
6
d
3
a
7
a���ad�
4
a
8
e
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
���
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
9
a
27
b
10
d
28
a
11
a
29
d
12
c
30
c
13
e
31
b
14
c
32
e
15
a
33
c
16
d
34
e��ad�
17
e
35
a
18
d
36
e��ad� e��ad� e��ad�
19
e
37
a
20
c
38
d
21
e
39
e
22
a
40
e
23
e
41
b
24
a
42
b
25
d
43
c
26
a
44
b
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
���
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
11.
�AB��A �A ������B����� ����A� ������������� �� � ����� ����� � � �� ������� ���� ������� �� ��
��
�
����
����
����
����
����
����
����
����
����
���
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
���
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
���
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
���
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
���
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
���
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
���
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
���
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
���
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
���
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
���
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
���
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
���
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
���
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
���
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
���
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
���
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
���
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
���
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
���
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
���
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
���
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
���
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
���
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
���
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
���
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
���
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
���
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
���
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
���
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
���
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
������
������ ������
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
���