Elementos Principais de Geometria Descritiva Descritiva Alexandre Kawano
Jo˜ao ao Petreche
22 de Agosto de 2000
PCC 2101
Kawano&Petreche
´ Conteudo 1
Introduc¸ ˜ ao a` Geometria Descritiva 1.1 1. 1 Obj Objet etiv ivos os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Sistem Sistemas as de Projec¸ ao a˜ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Eleme Elementos ntos principa principais is da Geome Geometria tria Descriti Descritiva va . . . . . . . . . . .
2
Pontos Pont os e Re Reta tass 2.1 2. 1 Obj Objet etiv ivos os . . . . . . . . . . . 2.2 2. 2 Est Estudo udo do pon ponto to . . . . . . . . 2.3 2. 3 Est Estudo udo da re reta ta . . . . . . . . . 2.3.1 2.3. 1 Elem Elemento entoss prin principa cipais is . 2.4 Exer Exerc´ c´ıcios ıcios Gerais . . . . . . .
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4
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Planos 3.1 3. 1 Obj Objet etiv ivos os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Interse Intersecc cc¸˜ ¸˜ao ao de plano p lano com os o s quadros de projec pro jec¸ao a˜ o 3.3 3. 3 Per erti tinˆ nˆencia encia de ponto a plano . . . . . . . . . . . 3.4 Interse Intersecc cc¸˜ ¸˜ao ao de plano com plano . . . . . . . . . . 3.5 Interse Intersecc cc¸˜ ¸˜ao ao de reta com plano . . . . . . . . . . . 3.6 Exer Exerc´ c´ıcios ıcios Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . Metodos e´ todos 4.1 4. 1 Obj Objet etiv ivos os . . . . . 4.2 Rota Rotacc¸oes o˜ es . . . . . . 4.3 Mudanc¸a ¸a de planos 4.4 Exer Exerc´ c´ıcios ıcios Gerais .
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1 1 1 4
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10 10 10 12 12 15
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20 20 20 24 25 27 29
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32 32 32 38 47
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Kawano&Petreche
´ Conteudo 1
Introduc¸ ˜ ao a` Geometria Descritiva 1.1 1. 1 Obj Objet etiv ivos os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Sistem Sistemas as de Projec¸ ao a˜ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Eleme Elementos ntos principa principais is da Geome Geometria tria Descriti Descritiva va . . . . . . . . . . .
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Pontos Pont os e Re Reta tass 2.1 2. 1 Obj Objet etiv ivos os . . . . . . . . . . . 2.2 2. 2 Est Estudo udo do pon ponto to . . . . . . . . 2.3 2. 3 Est Estudo udo da re reta ta . . . . . . . . . 2.3.1 2.3. 1 Elem Elemento entoss prin principa cipais is . 2.4 Exer Exerc´ c´ıcios ıcios Gerais . . . . . . .
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Planos 3.1 3. 1 Obj Objet etiv ivos os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Interse Intersecc cc¸˜ ¸˜ao ao de plano p lano com os o s quadros de projec pro jec¸ao a˜ o 3.3 3. 3 Per erti tinˆ nˆencia encia de ponto a plano . . . . . . . . . . . 3.4 Interse Intersecc cc¸˜ ¸˜ao ao de plano com plano . . . . . . . . . . 3.5 Interse Intersecc cc¸˜ ¸˜ao ao de reta com plano . . . . . . . . . . . 3.6 Exer Exerc´ c´ıcios ıcios Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . Metodos e´ todos 4.1 4. 1 Obj Objet etiv ivos os . . . . . 4.2 Rota Rotacc¸oes o˜ es . . . . . . 4.3 Mudanc¸a ¸a de planos 4.4 Exer Exerc´ c´ıcios ıcios Gerais .
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Kawano&Petreche
Lista de Figuras 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1. 11
Elementos principais Elementos principais do sistema sistema de projec projec¸ao. a˜ o. . . . . . . . . . . . Efeito da proximidade proximidade com com o centro centro de projec¸ ao. a˜ o. . . . . . . . . . Centro de projec¸˜ ¸˜ao ao no infinito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistema cil´ cil´ındrico ındrico de projec¸ao. a˜ o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistema cil´ındrico ındrico ortogonal de projec¸ao. ˜ . . . . . . . . . . . . . O per perpend pendicul iculari arismo smo se man mant´ t´em. em. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistem Sist emaa de Mong Monge. e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Projec¸ ao a˜ o de um ponto em dois planos perpendiculare perpendicularess entre si. . . Rotac¸ ao a˜ o das figuras contidas em π 2 em torno da linha de terra LT. ´ Epura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Divis˜ Di vis˜ao do espac esp ac¸o ¸o em quatro qu atro diedro d iedros. s. . . . . . . . . . . . . . . .
2 2 3 3 4 5 6 7 8 9 9
2.1 2.2 2.3
Cota, afasta Cota, afastamen mento to e absci abscissa ssa de de um ponto ponto.. . . . . . . . . . . . . . Projec Pro jec¸oes o˜ es de uma reta na epura. e´ pura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trac Tr ac¸os ¸os de uma reta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11 12 13
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6
Trac¸os ¸os de um plano no espac¸o. ¸o. . . . . . . . . . . . ´ Epura d os trac¸os de um plano. . . . . . . . . . . . dos ´ Epura s implificada dos trac¸os simplificada ¸os de um plano. . . . . Trac¸os ¸os de um plano e trac¸os ¸os de retas nele contidas. Intersecc Interse cc¸˜ ¸˜ao ao de dois planos: uma conjectura. . . . . Intersecc Interse cc¸˜ ¸˜ao ao de dois planos: p lanos: soluc¸˜ao ao . . . . . . . . .
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21 22 22 23 25 26
4.1 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4. 5 4.6 4.7 4.8
Segmen Segm ento to de re reta ta na epura: e´ pura: obter sua VG. . . . . . Rotac¸ ao a˜ o de Segmento. . . . . . . . . . . . . . . . Rotac¸ ao a˜ o de d e uma figura no espac es pac¸o ¸o.. . . . . . . . . . ´ Epura tradicional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tam amb´ b´em em e´ epura. e´ pura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´Epura generalizada. . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ Epura generalizada mostrando projec¸ao a˜ o de ponto. . Obtenc¸˜ ¸˜ao ao de VG de segmento segmento de reta. . . . . . . .
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33 33 36 38 39 39 40 40
ii
Cap´ıtulo 3
Planos 3.1
Objetivos
Prosseguiremos analisando os principais elementos da Geometria Descritiva. Vermos agora “planos”, e suas relac¸o˜ es com pontos e retas que vimos no cap´ıtulo 2. Temos agora trˆes elementos; assim o n´umero de combinac¸ o˜ es, interrelac¸ o˜ es entre eles, e´ necessariamente maior que quando t´ınhamos apenas pontos e retas para estudar. Concretamente, as relac¸o˜ es a ser estudadas s˜ao: ¸ a˜ o de • Intersecc
plano com os quadros de projec¸a˜ o π 1 e π 2 .
encia • Pertinˆ
de ponto a plano;
¸ a˜ o • Intersecc
de plano com plano;
¸ a˜ o • Intersecc
de reta e plano.
Esses itens s˜ao os que veremos nas sec¸ o˜ es seguintes.
3.2
Intersecc¸ ˜ ao de plano com os quadros de projec¸ ˜ ao
A intesecc¸a˜ o de um plano qualquer com um quadro de projec¸˜ao se chama trac¸o. Assim, a intersec¸˜ao de um plano α com π 1 se chama trac¸o de α em π 1 e e´ simbolizado por α ∩ π1 . Caso an´alogo acontece com a intesecc¸a˜ o com π2 (veja figura 3.1). Se vocˆe atentar bem, α ∩ π1 e α ∩ π2 , que s˜ao retas, se interseptam em um ponto 1 P pertencente a` linha de terra. Isso deveria realmente acontecer, pois a linha de terra e´ resultado da intersecc¸˜ao π 1 ∩ π2 , e interesecc¸˜ao de reta e plano ´e um ponto. Da´ı:
(π1 ∩ π2 ) ∩ α = P (π1 ∩ α) ∩ (π2 ∩ α) = P 1
A rigor, {P}, mas vamos relaxar.
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π2 o ã jeç
dr a u Q
ro p e od
Plano no espaço
π 2
∩
α
P
α ∩ π
1
π 1
o ã e ç
Traços
j o r p e o d r d a u Q
Figura 3.1: Trac¸os de um plano no espac¸o. A e´ pura fica ent˜ao como a figura 3.2. A figura 3.2 e´ realmente importante. Note que cada trac¸o do plano α , que s˜ao retas, tem duas projec¸ o˜ es. Por exemplo, a reta α ∩ π1 tem as projec¸ o˜ es ( α ∩ π1 )1 e ( α ∩ π1 )2 . Ocorre que a reta ( α ∩ π1 )1 est´a exatamente sobre o plano π 1 e a reta (α∩π2)2 , exatamente sobre π2 . Ent˜ao, para evitarmos confus˜ao de linhas, s´ımbolos e ´ındices, convencionaremos que quando um elemento geom´etrico (ponto, reta, plano, figura, etc.) estiver sobre2 um dos planos de projec¸a˜ o3, representaremos apenas a projec¸a˜ o mais significativa, ou seja aquela que n˜ao coincidir com a linha de terra. Deste modo, como essa simplificac¸˜a o, a e´ pura da figura 3.2 fica sendo como mostrada na figura 3.3 Um plano no espac¸o fica definido quando s˜ao dados trˆes de seus pontos, um ponto e uma reta a ele pertencentes; duas retas coplanares; sua normal (lembra-se ´ do curso de Algebra Linear ?) e um ponto, uma reta contida no plano e o requisito de que o plano deve ser paralelo a uma outra reta, etc, etc, etc. Realmente, existem v´arias formas de se especificar um plano no espac¸o, mas convencionaremos que um plano somente e´ conhecido se os trac¸os nos planos de projec¸˜a o s˜ao dados. 2
Um ponto pertence a um plano e retas, planos e figuras est˜ao contidas em um plano Se um elemento est´a sobre um dos p lanos de projec¸a˜ o, ent˜ao sua projec¸a˜ o sobre o outro plano ser´a coincidente com a linha terra 3
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2
) 2 π 2
∩
( α ( α ∩ π1 ) 2 ∩ ( α ∩ π2 ) 1
( α
∩
π
) 1
1
1
´ Figura 3.2: Epura dos trac¸ os de um plano.
π 2
∩
α
2 1
α
∩
π
1
´ Figura 3.3: Epura simplificada dos trac¸ os de um plano. Como exemplo, suponha que s a˜ o dados trˆes pontos A , B e C pertencentes a um plano α , e pede-se determinar os trac¸os de α . Para achar um ponto pertencente ao trac¸o em π1 , basta unir dois pontos dados, digamos A e B , e determinar o trac¸ o da reta AB em π 1, com foi visto no cap´ıtulo 2 (veja figura (fig:TracosReta)). Determinando-se os trac¸ os de, digamos, AB e AC , nos planos de projec¸a˜ o, e ligando pontos correspondentes, pode-se determinar os trac¸ os do plano α . A situac¸a˜ o toda est´a ilustrada na figura 3.4.
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Traços retas A
C B
Traços retas
Traços plano
Figura 3.4: Trac¸ os de um plano e trac¸os de retas nele contidas.
Exerc´ıcio 1: Determinar os trac ¸os do plano α de finido pelos pontos A , B e C indicados na ´ epura abaixo. .
B2 A2 C 2
2 1 B1 A1 C 1
.
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3.3
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Pertin ˆencia de ponto a plano
Para se determinar se um ponto P pertence a um plano α, deve-se recair primeiro no problema da pertinˆencia de ponto a reta. Se r ⊂ α e P ∈ r , ent˜ao P ∈ α.
Exerc´ıcio 2: Seja α dado pelos seus trac ¸os nos planos de projec ¸˜ ao. Fornec ¸a uma reta qualquer r contida em α e seus trac ¸os.
π 2
∩
α
2 α ∩
1 π
1
Exerc´ıcio 3: Veri fique se o ponto P pertence a` α.
π 2
P 1
∩
α
2 1
α
∩
π
1
P 2
Um problema natural que pode surgir para vocˆe ´e a determinac¸ a˜ o do ponto de uma determinada reta que tem dist aˆ ncia zero a um plano, ou seja, a intersecc¸˜ao 24
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de uma reta com um plano. Para se resolver esse problema, e´ necess´ario primeiro atacar outro, que ´e a intersecc¸˜ao entre dois planos.
3.4
Intersecc¸ ˜ ao de plano com plano
Partimos do fato que a intersecc¸˜ao entre dois planos ´e uma reta 4 . Ora, se e´ uma reta, para determin a´ -la, bastam dois pontos. Seja a e´ pura na figura 3.5 onde est˜ao representados dois planos α e β .
β
B2
π 2
∩
∩
π
2
α
2
A2 B1 α ∩ π 1
π
1
1
∩
β
A1
Figura 3.5: Intersecc¸ a˜ o de dois planos: uma conjectura. Uma conjectura plaus´ıvel ´e afirmar que os pontos A e B pertencem a` intersecc¸ a˜ o α ∩ β . E realmente pertencem? A resposta ´e sim, pelo seguinte argumento:
A = (π2 ∩ α) ∩ (π2 B
∩ β ) ⇒ A ∈ ( α ∩
= (π1 ∩ α) ∩ (π1 ∩ β ) ⇒ B
∈ ( α ∩
β ) β )
A intersecc¸a˜ o entre os planos ´e mostrada na figura 3.6.
4
Deixemos de lado casos patol´ogicos
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π 2 B2 ∩ α
(α ∩ β )2
β
∩
π
2
2
A2 B1 α ∩ π
1 π
1
1
∩
β
(α ∩ β )1
A1
Figura 3.6: Intersecc¸ a˜ o de dois planos: soluc¸ a˜ o
Exerc´ıcio 4: Sejam dois planos α e β e uma reta r
⊂ β .
Determine r
∩
α.
α
∩
B2
β ∩
π
2
π
2
r2
2
A2 β ∩ π
1
1
B1 r1
π
1
∩
α
A1
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No u´ ltimo exerc´ıcio, vocˆe deve ter concluido que a intersecc¸˜ao r ∩ α e´ dada por r ∩ (α ∩ β ), sendo que α ∩ β foi determinado em exerc´ıcio anterior. A grande lic¸a˜ o e´ que para se determinar a intersecc¸˜ao de uma reta com um plano, ´e funcamental ter a` disposic¸˜ao um plano que passe pela reta. Se esse plano n˜ao ´e dado, criamos um em uma posic¸˜ao arbitr´ aria5.
3.5
Intersecc¸ ˜ ao de reta com plano
Da u´ ltima sec¸ a˜ o tiramos que para se determinar a intersecc¸˜ao de reta com plano, e´ necess´ario primeiro criarmos um plano que contenha a reta. Existem infinitos planos, basta escolher um! Suponha que seja dada uma reta no espac¸ o e seja pedido que se passe um plano qualquer por ela. Pensando em termos de e´ pura, a u´ nica restric¸ a˜ o e´ que os trac¸ os do plano passem pelos trac¸ os da reta nos planos de projec¸˜ao. S´o.
´ que contenha r . Exerc´ıcio 5: Seja a reta r . D eˆ um plano arbitr ario
r2
2 1
r1
Agora suponha que no exerc´ıcio anterior seja acrescido um plano α, e que seja pedido a intersecc¸a˜ o de α com r . Sei que vocˆe sabe resolver!
5
Arbitr´aria, e n˜ao “aleat´oria” como muitos estudantes dizem. Esse erro d´a a t´e arrepios!
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Exerc´ıcio 6: Sejam a reta r e o plano α.Determine r
∩
α.
α
∩
π
r2
2
2 1 r1
π 1
∩
α
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3.6
Kawano&Petreche
Exerc´ıcios Gerais
ao dados tr es ˆ planos no espac ¸o. Pede-se a intersecc ¸˜ ao entre eles. Exerc´ıcio 7: S˜ Quais s˜ ao as possibilidades para o resultado da intersecc ¸˜ ao?
Exerc´ıcio 8: Veri fique se a reta r pertence ou n˜ ao ao plano α dado pelos seus trac ¸os.
α ∩ π2
r2
2 1
r1
α ∩ π1
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Exerc´ıcio 9: Veri fique se o ponto P pertence ou n˜ ao ao plano α de finido pelas retas r e s concorrentes.
r2 P 2
s2 2 1
r1
P 1 s1
Exerc´ıcio 10: S˜ ao dados um plano α e uma reta r r sobre o plano horizontal π 1.
⊂ α .
Determine a projec ¸˜ ao de
r2 α ∩ π2
2 1
α ∩ π1
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PCC 2101
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Exerc´ıcio 11: Seja um ponto P pertencente a um plano α . Determine a projec ¸ ao ˜ de P sobre o plano horizontal π 1.
P 2 α ∩ π2
2 1
α ∩ π1
Exerc´ıcio 12: Determinar a reta r normal ao plano α, passando pelo ponto P ∈ α .
α ∩ π2
P 2
2 1
P 1
31
Cap´ıtulo 4
M´etodos 4.1
Objetivos
Veremos agora m´etodos geom´etricos poderosos para atacar problemas mais dif ´ıceis, e ao mesmo tempo que estudamos, voc eˆ ver´a que a sua compreens a˜ o da Geometria Descritiva aumenta. Se voc eˆ realmente aprender o conteu´ do dessa aula, ficar´a bem claro que a resoluc¸ a˜ o de problemas em Geometria Descritiva n a˜ o se baseia em um amontoado de regras arbitr a´ rias, mas sim em operac¸ o˜ es bem fundamentadas na geometria projetiva. Concretamente, veremos dois m e´ todos: Resoluc¸ a˜ o de problemas na e´ pura por rotac¸ a˜ o de objetos e por mudanc¸a de planos de projec¸˜ao.
4.2
Rotac¸ ˜ oes
Um problema cl´assico ´e a determinac¸ a˜ o da verdadeira grandeza1 de entes geom´etricos, como segmentos de reta e ´areas de pol´ıgonos, quando estes est˜ao representados na e´ pura. Suponha que vocˆe deva obter o comprimento do segmento AB representado na ´epura da figura 4.1. Naturalmente, vocˆe pode usar o teorema de Pit a´ goras, mas queremos que vocˆe use m´etodos puramente geom´etricos (r´egua e compasso). Como fazer? Uma sa´ıda seria rotacionar AB em torno de um eixo perpendicular a` π 2 passando por B, at e´ que AB fique paralelo a` π 1 . Da´ı e´ so´ medir com a r e´ gua a projec¸ a˜ o de AB na nova posic¸a˜ o. A operac¸ a˜ o est´a descrita na figura 4.2.
1
Vimos o que ´e verdadeira grandeza na aula de Geometria Cotada no primeiro semestre
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PCC 2101
Kawano&Petreche
A2
B2
2 1 B1
A1 Figura 4.1: Segmento de reta na ´epura: obter sua VG.
A2
Nova posição
A2
B2
2 a d a m a h c e d a h n i l
B1
1
eixo A1
A1
Figura 4.2: Rotac¸ a˜ o de Segmento.
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Exerc´ıcio 1: Determinar a intersecc ¸˜ ao a reta r com o cone γ usando a t ecnica ´ da rotac ¸˜ ao. Note que r est ´ a em uma posic ¸˜ ao particular que facilita grandemente a resoluc ¸˜ ao do problema.
A2
r2
2 1
A1
r1
Um problema mais sofisticado seria saber se dada uma figura plana, pode-se, de alguma forma, rotacion a´ -la para obter a sua verdadeira grandeza. A resposta e´ afirmativa. Precisamos apenas de duas rotac¸o˜ es consecutivas. Primeiramente, e´ necess´ario localizar uma reta horizontal h que servir´a de “eixo”. Como n˜ao
34
PCC 2101
Kawano&Petreche
necessariamente este eixo est´a numa posic¸ a˜ o conveniente, isto e´ , perpendicular a` π2 , fazemos uma rotac¸˜ao de h e de toda a figura, de forma que h se posicione perpendicularmente a` π 2 . O segundo passo ´e rotacionar a figura em torno da nova posic¸˜ao de h. A operac¸ a˜ o ´e ilustrada na figura 4.3. Resolva novamente o exerc´ıcio da intersecc¸ a˜ o do cone, mas agora note que a reta r est a´ em uma posic¸˜ao gen´erica no espac¸o.
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Kawano&Petreche
Primeiro passo: Idenficar horizontal
Segundo passo: Rotacionar horizontal 6
6
6
new o x i e
0
8
reta horizontal
new
8
0
8
4
new
4
reta horizontal
2
4
2
1
1
5
9
r e t a h o r i z o n t a l
3
5
9 3
r e t a h o r i z o n t a l
3
new
5
new
6
new
7
7
8
new
4
new
2
7
new
1
Terceiro passo: Obter V.G.
3
new
5
new
7
new
5
newer
V.G
7
newer
Figura 4.3: Rotac¸ a˜ o de uma figura no espac¸ o.
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Exerc´ıcio 2: rotac ¸˜ ao.
Kawano&Petreche
Determinar a intersecc ¸ ao ˜ a reta r com o cone γ usando a t ecnica ´ da
A2
r2
2 1
A1
r1
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Kawano&Petreche
2 1
´ Figura 4.4: Epura tradicional.
4.3
Mudanc¸a de planos
A primeira coisa a ser feita ´e uma “mudanc¸ a de mentalidade”. Desde que comec¸ amos o nosso curso, a e´ pura sempre foi representada com a linha terra paralela `a borda inferior do papel (ou do monitor!), como mostrado na figura 4.4 Nada impede que a linha terra fosse colocada de modo inclinado como ilustrado na figura 4.5 Ou ainda mais radicalmente, coloc a´ ssemos duas linhas terra, como mostrado na figura 4.6. E que situac¸a˜ o a figura 4.6 estaria representando espacialmente? E se um ponto P fosse representado nessa ´e puracom duas linhas de terra, quais seriam as posic¸o˜ es das projec¸o˜ es de P ? Para responder, veja a figura 4.7. Note que a cota do ponto, ou a dist aˆ ncia do ponto P a` π 1 e´ constante, independente da posic¸ a˜ o do plano vertical ( π2 , π 3 , e outros arbitrariamente colocados). Pode-se ent˜ao colocar o plano vertical π 3 onde quisermos, sendo que na ´epura, a cota dos pontos representada em π 3 deve ser a mesma representada em π 2 . A essa operac¸ a˜ o de colocarmos planos de projec¸ a˜ o adicionais chamamos de mudanc¸a de planos. Ela pode ser usada para a obtenc¸˜a o da VG de figuras no espac¸ o. Por exemplo, seja novamente o segmento AB da figura 4.1. A obtenc¸˜ao de sua VG por mudanc¸ a de planos est´a mostrada na figura 4.8. Resolva novamente o problema da intersec¸ a˜ o da reta com cone usandomudanc¸ a de planos.
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2 1
Figura 4.5: Tamb´em ´e ´epura.
2 1 1
3
´ Figura 4.6: Epura generalizada.
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P 2
P 2
m e c s o t a m a
P
P 3
P
3
L
) ota c ( z
erra T a inh
z Lin (cota ha ) T
er a
2
a s m m e t a c o
1
P 1
3 1
P 1
´ Figura 4.7: Epura generalizada mostrando projec¸˜ao de ponto.
A2
B2 2 1
B1
A1
B2
new
1 V.G.
B1
A2
new
Figura 4.8: Obtenc¸ a˜ o de VG de segmento de reta.
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Exerc´ıcio 3: Determinar a intersecc ¸˜ ao a reta r com o cone γ usando a t ecnica ´ da mudanc ¸a de planos. Note que r est a´ em uma posic ¸˜ ao particular que facilita grandemente a resoluc ¸˜ ao do problema.
A2
r2
2 1
A1
r1
O pr´oximo exerc´ıcio ´e importante.
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Exerc´ıcio 4: Determinar um plano de projec ¸˜ ao (sua linha de terra) perpendicular ao plano de finido pelos pontos A , B e C . Al em ´ disso, determinar a projec ¸˜ ao do ABC no novo plano de projec tri angulo ˆ ¸˜ ao (deve dar apenas um segmento de reta).
A2
B2 C 2
2 1 A1
C 1
B1
Como esse exerc´ıcio ´e importante, aqui est a´ a sua resoluc¸˜ao: 42
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A2
B2 C 2
2 1 A1
1
3
C 1
B1
so lução
O pr´oximo problema ser´a apenas um exerc´ıcio de aplicac¸ a˜ o:
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Exerc´ıcio 5: duas coisas:
•
ABC representado na ´ Determinar a VG do tri angulo ˆ epura. Note
A ´ epura deste problema ´ e igual a ´ epura soluc ¸˜ ao do exerc ´ıcio anterior;
• O
tri angulo ˆ est a´ em uma posic ¸˜ ao particular.
A1
1
3
C 1
B1 C 3
B3
A3
Agora a pro´ xima quest˜ao, natural, e´ perguntar se podemos usar o m e´ todo de mundanc¸ a de planos para se resolver o problema de determinar a VG de uma figura plana colocada em uma posic¸˜ao qualquer do espac¸ o. A resposta ´e afirmativa, e se vocˆe realmente est a´ entendendo a exposic¸ a˜ o, vocˆe j´a sabe qual e´ o procedimento. O procedimento de soluc¸˜ao pode ser resumido assim: •
“Mudar o plano de projec¸˜ao” de modo a fazer com que a figura plana fique perpendicular ao novo plano de projec¸ a˜ o;
• o
resultado do passo anterior define um novo problema, que ´e o de se determinar a VG de uma figura em uma posic¸˜ao particular.
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Resolva agora o problema completo:
Exerc´ıcio 6:
Determinar a VG do tri angulo ˆ de finido pelos pontos A, B , e C . A2
B2 C 2
2 1 A1
C 1
B1
.
Como aplicac¸a˜ o do que acabamos de ver, resolva o “problema do cone” novamente, mas agora usando o novo m e´ todo:
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Exerc´ıcio 7: Determinar a intersecc ¸ ao ˜ a reta r com o cone γ usando a t ecnica ´ da mudanc ¸a de planos de projec ¸˜ ao.
A2
r2
2 1
A1
r1
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4.4
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Exerc´ıcios Gerais
Fac¸ a os “Projetos” em folha separada.
Exerc´ıcio 8: da rotac ¸˜ ao.
Determinar a dist ancia ˆ entre a reta r e o ponto P usando o m etodo ´
P 2
r2
2 1
r1
P 1
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ˆ entre a reta r e o ponto P usando o m etodo ´ Exerc´ıcio 9: Determinar a dist ancia da mudanc ¸a de plano de projec ¸˜ ao.
P 2
r2
2 1
r1
P 1
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Determinar a intersecc ¸˜ ao entre a reta r e o plano α usando Exerc´ıcio 10: mudanc ¸a de planos. α ∩ π2
r2
2 1
r1
α ∩ π1
Exerc´ıcio 11:
Obtenha a V.G. do ˆ angulo entre os planos α e β . α ∩ π2
β ∩ π2 2 1
α ∩ π1
≡ β ∩
π1
.
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Exerc´ıcio 12:
Obtenha o ponto C da reta t que equidista ¨ dos planos α e β . .
t2 β ∩ π2 α ∩ π2
2 1
t1
α ∩ π1
≡ β ∩
π1
.
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¸os do plano α , sabendo que ele cont em ´ a reta r e Exerc´ıcio 13: Obtenha os trac e´ forma um angulo ˆ de 45 deg com π 1 . .
r2
2 1
r1
.
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Projeto 1: Seja o paralelep ´ı pedo γ , e o vetor v = (1, 1, 1)a. Use o m etodo ´ de mudanc ¸a de planos de modo que v seja projetado como um ponto, e obtenha a projec ¸˜ ao do paralep ´ı pedo. .
v2
γ 2
2 1 γ 1 v1
. a
ver cap´ıtulo 1
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Projeto 2: S˜ ao dados o telhado de uma casa e um poste. Qual ´ e o comprimento do menor fio de luz que que liga o topo do poste X ao telhado A?
A2
X 2
2 1 X 1
A1
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