ASURANSI JIWA Nilai harapan atau Ekspektasi Nilai Nilai harapan harapan atau ekspekt ekspektasi asi dari Z , Z , dinotasikan E ( Z ) , dengan distribusi peluang p ( z ) didefinisikan sebagai E ( Z ) =
∑ z p( z ) jika Z peubah acak diskrit
z∈Z
E ( Z ) =
∞
∫
−∞
z p ( z ) dz jika Z peubah acak kontinu
The Curtate Future Life Time of ( x)
Didefinisikan K = [ T ]
seb sebaga agai
angka ngka tahun hun leng lengk kap
menda mendata tang ng seseo seseoran rang g yang yang berus berusia ia ( x) atau curta curtate te future future lifetime of ( x) . K adalah bilangan bulat terbesar yang bernilai kurang dari atau sama dengan T. Distribusi peluang dari peubah acak K adalah Pr( K = k ) = Pr Pr(k ≤ T ≤ k + 1) = k p x q x + k untuk k = 0,1,... dengan k px qx +k adalah peluang seseorang yang berusia ( x ) akan hidup sampai usia x + k dan meninggal satu tahun kemudian . Hukum De Moivre
De Moivre mempostulasikan ω sebagai usia maksimum yang akan dilalui manusia. Diasumsikan T berdistribusi secara sera serag gam anta antara ra usia usia 0 samp sampai ai usia sia ω − x sehi sehing ngga ga hal hal ini ini memberikan persamaan Pr(T = t ) = g (t ) =
1 ω
− x
untuk 0 < t < ω − x
1
Bunga Majemuk
Bunga majemuk adalah suatu perhitungan bunga dimana besar pokok jangka investasi selanjutnya adalah besar pokok sebelumnya ditambah dengan besar bunga yang diperoleh. Misalkan p menyatakan pokok, dan i menyatakan tingkat bunga setahun. Pada akhir tahun pertama, jumlah bunga dan pokoknya adalah p1 = p(1 + i ) . Pada akhir tahun kedua besar bunga dan pokoknya adalah p1 + ip1 = p (1 + i ) . Dengan jalan 2
yang sama diperoleh jumlah pokok dengan bunganya pada akhir tahun ke n adalah pn = p (1 + i )n
Pada bunga majemuk dinotasikan sebagai
didefinisikan faktor v=
1 1+ i
diskon yang
,
sehingga dapat ditulis sebagai pn = pv − n
Asuransi dan Asuransi Jiwa
Asuransi adalah sebuah sistem untuk meminimalkan kehilangan finansial dengan menyalurkan resiko kehilangan dari seseorang atau badan usaha ke lainnya. Pada dasarnya asuransi jiwa adalah usaha kerjasama dari sejumlah orang yang sepakat memikul kesulitan keuangan bila terjadi musibah terhadap salah satu anggotanya. Dibawah kontrak asuransi jiwa, pembayaran santunan terdiri dari pembayaran tunggal yang disebut sum insured. Nilai tunai dari pembayaran santunan dinotasikan dengan Z , sedangkan ekspektasi dari nilai pembayaran ( E ( Z ) ) adalah premi tunggal bersih dari kontrak.
Adapun komponen – komponen penting dalam asuransi jiwa adalah: 2
1
Tertanggung Tertanggung adalah orang atau individu atau badan hukum yang memiliki kepentingan keuangan terhadap barang atau properti yang dipertanggungjawabkan sehingga ia memiliki hak untuk membeli proteksi asuransi
2
Penanggung Penanggung adalah perusahaan asuransi yang akan memberikan ganti rugi kepada tertanggung atas kerugian yang dideritanya sesuai dengan polis yang diterbitkannya
3 Polis Asuransi Polis merupakan kesepakatan tertulis antara penanggung dan tertanggung yang berisi kondisi yang berlaku, serta data-data obyek pertanggungan 4
Santunan Santunan adalah sejumlah uang pertanggungan pada polis asuransi jiwa yang dapat dibayarkan kepada penerima santunan saat peserta asuransi atau tertanggung mati
5 Penerima Santunan Penerima santunan adalah seorang atau beberapa orang yang ditunjuk dalam polis asuransi untuk menerima santunan 6
Premi Asuransi Premi adalah pembayaran berkala yang dibayarkan pemegang polis kepada perusahaan asuransi untuk menjaga suatu polis agar tetap berlaku.
Tipe-Tipe Asuransi Jiwa Asuransi Seumur Hidup 3
Asuransi seumur hidup memberi pembayaran satu unit pada akhir tahun kematian. Pada kontrak ini pembayaran ditentukan selagi waktu pembayaran (k + 1) acak. Nilai tunainya Z = v k +1 . Premi tunggal bersih (Actuarial Present Value) dinotasikan dengan A x = E (v
k +1
)=
∞
∑
v k +1 k p xq x + k
k = 0
Asuransi Berjangka Asuransi berjangka merupakan bentuk asuransi yang paling sederhana. Di bawah kontrak ini santunan akan dibayarkan jika tertanggung meninggal selama jangka waktu tertentu. Sebagai contoh, pembayaran sebesar satu unit akan dibayarkan jika kematian terjadi selama n tahun pertama, dengan waktu pembayaran di akhir tahun kematian, maka diperoleh nilai tunai v k +1 untuk k = 0,1,..., n − 1 Z = . untuk k ≥ n 0 2
3
Peubah acak Z menjangkau nilai v, v , v ,... dan distribusi dari K Pr ( Z = v k +1 ) = Pr (K = k ) = k p x q x + k
dan premi tunggal bersih dinotasikan dengan A x:n = E (v 1
Pure Endowment
4
k +1
)=
n −1
∑v k = 0
k +1 k
px qx +k
Pure endowment menyediakan satu unit santunan hanya jika tertanggung hidup pada tahun ke n yang telah disepakati. Nilai tunai dari santunan tersebut adalah
0 Z = k v
untuk k = 0,1,..., n − 1 untuk k ≥ n
.
Premi tunggal bersih dinotasikan dengan A x:n1 = E (v n ) = v n n p x
Endowment
Istilah endowment di sini berbeda dengan pure endowment . Endowment merupakan perpaduan asuransi berjangka dengan pure endowment. Jadi bila tertanggung meninggal selama jangka waktu asuransi, misal n tahun, maka kepada penerima santunan akan dibayarkan santunan sebesar satu unit, sedang bila dia mencapai usia x+n maka kepadanya juga akan dibayarkan santunan sebesar satu unit pada akhir tahun ke x+n Nilai tunai santunan adalah
v k +1 Z = n v
untuk k = 0,1,..., n − 1 untuk k ≥ n
Premi tunggal bersih dinotasikan dengan A x:n . Z = Z1 + Z 2
sehingga A x:n = A1x:n + Ax:n1
Anuitas Hidup
5
Anuitas yang pembayarannya dikaitkan dengan hidup matinya seseorang disebut anuitas hidup. Jadi anuitas hidup adalah serangkaian pembayaran yang dilakukan selama seseorang masih hidup. Pembayaran hanya dilakukan bila pada waktu pembayaran jatuh, orang tersebut masih hidup. Anuitas Seumur Hidup
Misal anuitas seumur hidup menyediakan pembayaran tahunan satu unit selama penerima santunan masih hidup. Pembayaran dilakukan pada waktu 0,1,…,k . Nilai tunai dari pembayaran adalah & . Y =1 + v + v 2 + ... + v k = a& k +1 Distribusi peluang dari peubah acak diberikan oleh & & ) = Pr( K = k ) = k p x q x + k untuk k = Pr(Y = a 0,1, 2,... k +1
Nilai tunai untuk anuitas seumur hidup awal adalah nilai harapan & dan dinotasikan dengan a& x , diperoleh ∞
& & & & a a x =∑ k =0
pq
kk+ i x x k
+
Anuitas Hidup Berjangka n Tahun
Nilai tunai dari anuitas hidup berjangka n tahun adalah & a& k +1 Y = & a& n
untuk k = 0,1,..., n − 1 untuk k = n, n + 1, n + 2,...
.
Sama halnya dengan premi tunggal bersih dari anuitas & & , adalah berjangka n tahun, a x:n n −1
& & = a x:n
∑ a&&k 1 k px qx +
k = 0
atau & & = a x:n
6
n −1
∑v k = 0
k k
px
+k
& & n px +a n
Anuitas Tertentu
Anuitas tertentu adalah pembayaran berkala yang dilakukan selama jangka waktu tertentu. Nilai anuitas tertentu dari n pembayaran sebesar satu unit tiap akhir tahun adalah 2
an =+ v v ++ = v...
1 −v
n
n
.
i
Jika pembayaran dilakukan pada permulaan tahun sebesar satu unit tiap kali pembayaran selama n tahun, maka nilai tunainya disebut dengan nilai tunai anuitas awal, dan didapat & & =1 + v + v + ... + v a n 2
n −1
=
1− v n iv
.
Jika dibandingkan dengan maka & & =a va n n
7
Perhitungan Premi Bersih Tahunan Asuransi Sederhana Menggunakan Prinsip Ekivalensi
Jiwa
Perhitungan premi bersih tahunan asuransi jiwa sederhana menggunakan prinsip ekivalensi E ( L) = 0 . 1. Asuransi Seumur Hidup Misalkan suatu asuransi seumur hidup memberi santunan sebesar C pada akhir tahun kematian. Premi bersih tahunan yang dibayarkan sebesar P santunan ( k + 1) x . Waktu pembayaran adalah acak, maka loss bagi perusahaan asuransi adalah & . L = C v k +1 − P x a& k +1
Dengan menggunakan prinsip ekivalensi E ( L) = 0 didapat premi bersih tahunan & )= 0 E ( C v k +1 − P x a& k +1 & & )=0 C E ( v k +1 ) − P x E ( a k +1
E ( v k +1 ) P x = C . & & ) E ( a k +1 P x
= C
A x
& & a x
.
2 Asuransi Berjangka
Misalkan suatu asuransi berjangka n tahun memberi pembayaran sebesar C pada akhir tahun kematian. Premi bersih 1 tahunan yang dibayarkan sebesar P dimana x adalah usia x:n seseorang yang membeli kontrak asuransi. Waktu pembayaran santunan ( k + 1) adalah acak, maka loss bagi perusahaan asuransi dinyatakan sebagai & C v k +1 − P x1:n a& untuk k = 0,1,..., n − 1 k +1 L = . 1 & untuk k ≥ n − P x:n a& n 1 & & −P a & & L = C v k +1 − P x1:n a k +1 x :n n
8
dengan menggunakan prinsip ekivalensi E ( L) = 0 didapat 1 & −P a & &)=0 E ( C v k +1 − P x1:n a& k +1 x:n n
& +a & &)=0 E ( C v k +1 ) − P x1:n E ( a& k +1 n
E ( v k +1 )
P x:n = C . & & +a & &) E ( a k +1 n 1
1
P x:n
A x1:n = C . & & a x:n
3 .Pure Endowment
Misalkan suatu pure endowment berjangka n tahun memberi pembayaran sebesar C unit pada akhir tahun kematian. Premi 1 bersih tahunan yang dibayarkan sebesar P x:n dengan x adalah usia pemegang polis dan waktu pembayaran santunan ( k + 1) adalah acak, maka loss bagi perusahaan asuransi dapat dinyatakan sebagai & − P x:n1a& untuk k = 0,1,..., n − 1 k +1 L = n 1 & untuk k ≥ n C v − P x:n a& n n 1 & & +Cv −P a & & L = − P x:n1a k +1 x:n n
dengan prinsip ekivalensi E ( L ) = 0 didapat n 1 & +Cv −P a & &)=0 , E (− P x:n1a& k +1 x:n n
&+ a & & )=0 , E ( C v n ) − P x:n1 E ( a& n k +1
E ( v n )
P x:n = C . & & +a & &) E ( a k +1 n 1
1
P x:n
A x:n1 = C . & & a x:n
9
4.
Endowment
Misalkan suatu endowment berjangka n tahun memberi pembayaran sebesar C unit pada akhir tahun kematian. Premi bersih tahunan yang dibayarkan sebesar P x:n dengan x adalah usia pemegang polis dan waktu pembayaran santunan ( k + 1) adalah acak, maka loss bagi perusahaan asuransi dinyatakan sebagai
Cv k +1 − P x:n a& & untuk k = 0,1,..., n − 1 k +1 L = . n & untuk k ≥ n C v − P x:n a& n n & & + Cv −P a & & L = Cv k +1 − P x:n a k +1 x:n n dengan prinsip ekivalensi E ( L) = 0 didapat n & + C v −P a & &) = 0 E ( L ) = E ( Cv k +1 − P x:n a& k +1 x:n n
& +a & & )= 0 C ( E (v k +1 ) + E ( v n )) − P x:n E (a& k +1 n
P x:n
E (v k +1 ) + E ( v n ) = C . & & +a & &) E (a k +1 n
maka didapatkan persamaan P x:n
A x1:n + Ax:n1 = C . & & a x:n
. Contoh Perhitungan Premi Bersih Tahunan Asuransi Jiwa Sederhana Menggunakan Prinsip Ekivalensi
Misalkan seseorang yang berusia 40 tahun membeli suatu kontrak asuransi jiwa sederhana. P x adalah besar premi bersih tahunan yang harus dibayarkan oleh orang tersebut. 10
Diasumsikan kematian pemegang polis mengikuti hukum De Moivre k p x =1 −
dengan n ω
− x
ω
=
99,
sehingga
k p x q x + k =
1 ω
− x
dan
; k ≥ n . Bila suku bunga pada saat itu sebesar
i=10%, maka didapat v
sebesar v =
1 1 + 10 %
. Besar premi untuk
tiap-tiap jenis kontrak asuransi jiwa sederhana dapat ditentukan seperti berikut ini.
Asuransi Seumur Hidup
Dari penjelasan di atas diperoleh jangka waktu asuransi seumur hidup sebesar n = ω − x = 99 − 40 = 59 dimana x adalah usia pemegang polis. A P40 = C 40 . & & a 40
Premi bersih tahunan asuransi seumur hidup berjangka 59 tahun dengan nilai santunan berbeda yang dihitung menggunakan persamaan diberikan di Tabel berikut ini.
Tabel Premi bersih tahunan asuransi seumur hidup (dalam ribuan rupiah) no Santunan C Premi bersih tahunan 1 5.000 92,361 2 10.000 184,722 11
3 4 5
15.000 20.000 25.000
277,083 369,445 461,806
Asuransi Berjangka
Diasumsikan seseorang membeli kontrak asuransi berjangka 20 tahun, maka jangka waktu asuransi berjangka n= 20. 1
P40:20
1 A40:20 = C . & & a 40:20
Premi bersih tahunan asuransi berjangka 20 tahun dengan nilai santunan berbeda yang dihitung dengan persamaan diberikan di Tabel berikut. Tabel Premi Bersih Tahunan Asuransi Berjangka (dalam ribuan rupiah) no Santunan C Premi bersih tahunan 1 5.000 86,593 2 10.000 173,187 3 15.000 259,780 4 20.000 346,374 5 25.000 432,967
Pure Endowment
Diasumsikan seseorang tersebut membeli kontrak pure endowment 20 tahun, maka jangka waktu pure endowment n = 20.
12
P40:201
A40:201 = C . & & a 40:20
Premi bersih tahunan pure endowment 20 tahun dengan nilai santunan berbeda yang diperoleh dari persamaan diberikan di tabel di bawah ini. Tabel Premi Bersih Tahunan Pure Endowment (dalam ribuan rupiah) no Santunan C Premi bersih tahunan 1 5.000 58,962 2 10.000 117,927 3 15.000 176,891 4 20.000 235,855 5 25.000 294,818 Endowment
Diasumsikan seseorang tersebut membeli kontrak endowment 20 tahun, maka jangka waktu endowment n=20. P40:20
1 1 + A40:20 A40:20 = C . & & a 40:20
Premi bersih tahunan endowment 20 tahun dengan nilai santunan berbeda yang diberikan pada Tabel di bawah ini
Tabel Premi Bersih Tahunan Endowment (Dalam Ribuan Rupiah) no Santunan C Premi bersih tahunan 1 5.000 145,557 13
2 3 4 5
14
10.000 15.000 20.000 25.000
291,114 436,671 582,228 727,785
