Asuransi Jiwa

Asuransi Jiwa Seftina Diyah Miasary // Desty Rakhmawati S2 Matematika FMIPA UGM

January 1, 2014

Outline

1

Pendahuluan

2

Jenis-Jenis Asuransi Jiwa Asuransi yang Dibayarkan Seketika pada Saat Kematian Asuransi dengan Manfaat Bertingkat Asuransi Dwiguna Asuransi Tertunda Asuransi dengan Manfaat Kematian yang Tak Tetap

3

Jenis-Jenis Asuransi Asuransi Jiwa Jiwa (Lanjutan) Asuransi yang Dibayarkan Pada Akhir Tahun Kematian Asuransi Jiwa Berjangka n-Tahun Asuransi Jiwa Seumur Hidup Asuransi Jiwa Dwiguna Asuransi dengan Santunan yang Tak Tetap

4

Hubungan Hubungan Asuransi Asuransi Kontin Kontinu u dan Asuransi Asuransi Diskrit Diskrit

5

Persamaan Persamaan Differensial untuk Asuransi Kontinu Kontinu

Outline

1

Pendahuluan

2

Jenis-Jenis Asuransi Jiwa Asuransi yang Dibayarkan Seketika pada Saat Kematian Asuransi dengan Manfaat Bertingkat Asuransi Dwiguna Asuransi Tertunda Asuransi dengan Manfaat Kematian yang Tak Tetap

3

Jenis-Jenis Asuransi Asuransi Jiwa Jiwa (Lanjutan) Asuransi yang Dibayarkan Pada Akhir Tahun Kematian Asuransi Jiwa Berjangka n-Tahun Asuransi Jiwa Seumur Hidup Asuransi Jiwa Dwiguna Asuransi dengan Santunan yang Tak Tetap

4

Hubungan Hubungan Asuransi Asuransi Kontin Kontinu u dan Asuransi Asuransi Diskrit Diskrit

5

Persamaan Persamaan Differensial untuk Asuransi Kontinu Kontinu

Pendahuluan

Definisi Asuransi Jiwa

Asuransi jiwa merupakan sebuah janji dari perusahaan asuransi (pihak penanggung) kepada nasabahnya (tertanggung) bahwa apabila nasabah mengalami resiko kematian dalam hidupnya maka perusahaan asuransi akan memberikan santunan (manfaat kematian) dengan jumlah tertentu pada ahli waris dari nasahab tersebut.

Pendahuluan

Definisi Asuransi Jiwa

Asuransi jiwa merupakan sebuah janji dari perusahaan asuransi (pihak penanggung) kepada nasabahnya (tertanggung) bahwa apabila nasabah mengalami resiko kematian dalam hidupnya maka perusahaan asuransi akan memberikan santunan (manfaat kematian) dengan jumlah tertentu pada ahli waris dari nasahab tersebut. Nilai harapan dari vriabel random nilai sekarang E (Z ) adalah nilai sekarang aktuaria ( Actuarial Present Value ) atau dengan kata lain nilai uang sekarang ( Present Value ) yang harus dibayarkan untuk mendapatkan sejumlah nilai yang sama pada saat meninggal dalam periode waktu sampai t tahun.

Jenis-Jenis Asuransi Jiwa Kematian

Asuransi yang Dibayarkan Seketika Saat Kematian Model asuransi ini juga disebut sebagai model kontinu dimana besarnya manfaat dan waktu pembayaran hanya bergantung pada lamanya waktu yang ditentukan saat asuransi diterbitkan sampai tertanggung meninggal.


Asuransi yang Dibayarkan Seketika Saat Kematian Model asuransi ini juga disebut sebagai model kontinu dimana besarnya manfaat dan waktu pembayaran hanya bergantung pada lamanya waktu yang ditentukan saat asuransi diterbitkan sampai tertanggung meninggal. Besar manfaat kematian dihitung dari fungsi manfaat dan fungsi diskon (vt ).


Asuransi yang Dibayarkan Seketika Saat Kematian Model asuransi ini juga disebut sebagai model kontinu dimana besarnya manfaat dan waktu pembayaran hanya bergantung pada lamanya waktu yang ditentukan saat asuransi diterbitkan sampai tertanggung meninggal. Besar manfaat kematian dihitung dari fungsi manfaat dan fungsi diskon (vt ). Fungsi dari nilai manfaat kematian pada saat sekarang dari zt , yaitu zt = bt vt dengan zt adalah nilai sekarang untuk nilai polis dari pembayaran manfaat kematian dan T = T (x) merupakan varriabel random sisa usia yang diasuransikan.

Jenis-Jenis Asuransi Jiwa

Asuransi dengan Manfaat Bertingkat

Asuransi Jiwa Berjangka n-Tahun(n-Year Term Insurance ) • Pada asuransi jiwa berjangka n-tahun, pembayaran manfaat kematian dilakukan hanya jika nasabah meninggal di dalam n-tahun masa kepesertaannya sejak memutuskan terdaftar menjadi peserta asuransi. • Misalkan besarnya manfaat kematian adalah 1 unit dan dibayarkan saat seseorang berusia ( x) mengalami kematian, maka: bt =

1

, t≤n 0, t > n

vt = v t , t ≥ n Z =



v T , T ≤ n 0, T >n



• Nilai sekarang aktuaria asuransi berjangka n-yahun dengan pembayaran manfaat kematian sebesar 1 unit dan dilakukan seketika pada saat ( x) mengalami kematian adalah E [Z ], dinotasikan A¯x1:n dengan Z adalah fungsi dari T ¯x1 n = E [Z ] = A :

∞



zt f T (t) dt

0

sehingga, ¯1 A x:n

n

 =  0

=

n

vt t px µx (t) dt e−δt t px µx (t) dt

0

selanjutnya diperoleh, ¯x1 n )2 var (Z ) = 2 Ax1:n − (A :



Asuransi Seumur Hidup (Whole Life Insurance )

• Asuransi jiwa seumur hidup merupakan asuransi jiwa berjangka n-tahun dengan n → ∞, berlaku: bt = 1, t ≥ 0 vt = v t , t ≥ 0 Z = v T , T ≥ 0

• Asuransi ini membayar manfaat kematian ketika nasabah meninggal dunia kapanpun kematian tersebut terjadi.

Seftina Diyah Miasary // Desty Rakhmawati Asuransi (S2 Matematika Jiwa FMIPA UGM) January 1, 2014

7 / 39



• Nilai sekarang aktuaria seumur hidup ( whole life insurance ) yakni: ¯x = A

∞



v t t px µx (t) dt

0

• Untuk seseorang yang terseleksi pada saat [x] dan sekarang berusia [x] + h, maka nilai sekarang aktuarianya sebesar: ¯[x]+h = A

∞

 0

v t t p[x]+h µx (h + t) dt



Contoh 1

Diasumsikan mortalita mengikuti : lx = 100 − x untuk 0 ≤ x ≤ 100 dan 1 tingkat suku bunga kontinu 0,005. Hitunglah A¯40:25 Jawab: Diketahui lx = 100 − x = 100.S (x),0 ≤ x ≤ 100, δ = 0, 05 terlebih dahulu ditentukan µ(x + t) 1 dS (x + t) µ(x + t) = . S (x + t) dt 1 d(100 − x − t) . =− 100 − x − t dt 1 = 100 − x − t



Sehingga,

1 µ(40 + t) = 60 − t S (40 + t) = t p40 = S (40) Selanjutnya, ¯1 A 40:25

 60 −  t

60

25

 = 

e−δt t p40 µ(40 + t) dt

0

25

=

−0,05t

e

0

25

=

 1

60 0 = 0, 283

 60 −   t

60

e−0,05t dt

1 60 − t



dt



Contoh 2

Suatu polis asuransi jiwa seumur hidup ( whole life ) dengan uang pertanggungaan senilai 70 diterbitkan atas (30). Manfaat meninggal dibayarkan pada saat meninggal dunia. Jika probability density function dari future lifetime T untuk (x) adalah : f (t) =



t

70 ,

0,

0 ≤ t ≤ 70 lainnya

dan δ = 0, 10. Hitunglah premi tunggal neto ( net single premium )? Jawab: ¯x A

70

 = 

e−δt .f T (t) dt

0

70

=

0

e−0,1t

1 dt 70



−t −0,1t e−0,1t 70 = e − |0 700 70 1 1 1 −7 = −e + + 7 70 70 1 11 −7 = − e 70 70





diperoleh net single premium , ¯x = 70 bt A

1

1 −7 − e 70 70



= 1 − 11e−7


Asuransi Dwiguna

Asuransi Dwiguna (Endowment Insurance )

• Asuransi dwiguna terdiri dari dwiguna murni berjangka n-tahun dan dwiguna berjangka n-tahun. • Manfaat kematian akan diberikan seketika pada saat kematian apabila peserta asuransi meninggal sebelum n-tahun. sebaliknya, apabila masih hidup sampai dengan n-tahun maka kepadanya akan diberikan dwiguna murni.


Asuransi Dwiguna

Asuransi Dwiguna Murni Berjangka n-Tahun • Manfaat kematian akan diberikan akhir tahun ke-n apabila nasabah tetap hidup minimal selama n-tahun sejak masuk menjadi peserta asuransi sehingga dapat dituliskan: • Nilai sekarang untuk aktuaria untuk dwiguna murni memiliki dua notasi yang berarti sama, yaitu Ax:n1 atau n E x , Ax:n1 = E [Z ] = v n n px

variansinya dapat diperoleh dari, var (Z ) = 2 Ax:n1 − (Ax:n1 )2

= v 2n n pxn q x


Asuransi Dwiguna

Asuransi Dwiguna n-Tahun • Asuransi dwiguna n-tahun merupakan kombinasi dari asuransi berjangka n-tahun dan dwiguna murni. • Manfaat kematian akan diberikan seketika pada saat kematian apabila peserta asuransi meninggal sebelum n-tahun. sebaliknya, apabila masih hidup sampai dengan n-tahun maka kepadanya akan diberikan dwiguna murni. berikut nilai sekarang aktuarianya, ¯x:n = A¯x1 n + Ax n1 A : : variansi untuk asuransi ini yaitu, ¯x:n − (A ¯x:n )2 var (Z ) = 2 A


Asuransi Tertunda

AsuransiTertunda (Deffered Insurance ) • Asuransi tertunda m-tahun memberikan manfaat kematian jika nasabaha meninggal setelah m-tahun menjadi peserta asuransi. • Asuransi jiwa seumur hidup tertunda m-tahun mempunyai nilai sekarang aktuaria sebagai berikut, ¯x = E [Z ] = m| A

∞



vt t px µx (t) dt

m

, sedangkan

• Asuransi jiwa berjangka n-tahun yang tertunda m-tahun, nilai sekarang aktuarinya adalah, ¯ = m|n A¯x1 n = :

m|n Ax

m+n



m

vt t px µx (t) dt


Asuransi Tertunda

Contoh 3

Suatu polis asuransi jiwa seumur hidup tertunda 5 tahun diterbitkan atas (x) dengan manfaat meninggal dibayarkan pada saat meninggal dunia. jika diketahui force of mortality constant µ = 0, 04 dan δ = 0, 10. Berapakah nilai sekarang aktuaria dari asuransi ini? Jawab: ¯ 5| Ax

∞

 =  5

=

∞

∞

t px µx (t)

dt =



e−δt µx (t) dt

5

e−0,10t e−0,04t (0, 04) dt

5

(0, 04)e0,14t ∞ = |5 −0, 14 2 −0,7 = e = 0, 1419 7

Jenis-Jenis Asuransi Jiwa Tetap

Asuransi dengan Manfaat Kematian Meningkat • Asuransi jiwa seumur hidup dengan manfaat kematian meningkat per tahun (anually increasing whole life insurance ) akan memberikan manfaat kematian sebesar 1 unit pada saat terjadi kematian di tahun pertama, 2 unit pada tahun kedua, dan seterusnya, bt = t + 1 , t ≥ 0 vt = v t , t ≥ 0 Z = T + 1, T ≥ 0

Dimana tanda ”” menyatakan bilangan bulat terbesar.

• Nilai sekarang aktuaria dari asuransi ini adalah, (I A¯)x = E [Z ] =

∞

 0

t + 1 v t t px µx (t) dt


Asuransi dengan Manfaat Kematian Meningkat

• Secara umum, nilai sekarang aktuaria untuk asuransi jiwa seumur hidup dengan manfaat kematian meningkat per m-bulan ( m-thly increasing whole life insurance ) yakni, ¯)x E [Z ] = (I (m) A

• Selain itu, jika kematian terjadi dalam jangka waktu n-tahun maka disebut m-thly increasing n-year term life insurance , dimana dalam kasus ini m → ∞, maka nilai sekarang aktuarianya adalah ¯A¯)x = E [Z ] = (I

∞

 0

¯x ds s|A


Asuransi dengan Manfaat Kematian Menurun • Asuransi jiwa seumur hidup dengan manfaat kematian menurun per tahun (anually decreasing whole life insurance ). misalkan suatu asuransi memberikan manfaat kematian sebesar n apabila terjadi kematian di tahun pertama, n − 1 di tahun kedua dan seterusnya sampai dengan jangka waktu asuransi selesai maka fungsinya adalah, bt =



n − t, t ≤ n 0, t>n

vt = v t , t > n Z =



v T (n − T , T ≤ n 0, T >n


Asuransi dengan Manfaat Kematian Menurun

• Nilai sekarang aktuaria dari asuransi ini adalah, (DA)x1:n =

n

 0

vt (n − t)t px µx (t) dt

Jenis-Jenis Asuransi Jiwa (Lanjutan) Kematian

Asuransi yang Dibayarkan Pada Akhir Tahun Kematian Merupakan asuransi yang dibayarkan secara diskrit.


Asuransi yang Dibayarkan Pada Akhir Tahun Kematian Merupakan asuransi yang dibayarkan secara diskrit. Model asuransi ini didefinisikan sebagai fungsi sisa usia masa depan dari nasabah dengan K = K (x) merupakan variabel random sisa usia (diskret). Fungsi manfaat bk + 1, yaitu jumlah pembayaran manfaat dimana indeks k + 1 menyatakan sisa usia dari nasabah dan fungsi diskonto vk + 1, yaitu faktor diskonto suku bunga yang ditetapkan untuk periode dari waktu pengembalian pembayaran sampai waktu diterbitkannya polis.


Asuransi yang Dibayarkan Pada Akhir Tahun Kematian Merupakan asuransi yang dibayarkan secara diskrit. Model asuransi ini didefinisikan sebagai fungsi sisa usia masa depan dari nasabah dengan K = K (x) merupakan variabel random sisa usia (diskret). Fungsi manfaat bk + 1, yaitu jumlah pembayaran manfaat dimana indeks k + 1 menyatakan sisa usia dari nasabah dan fungsi diskonto vk + 1, yaitu faktor diskonto suku bunga yang ditetapkan untuk periode dari waktu pengembalian pembayaran sampai waktu diterbitkannya polis. Nilai sekarang pada saat polis diterbitkan dari pembayaran manfaat asuransi dinotasikan dengan zk+1 , yaitu: zk + 1 = bk+1 vk+1

Jenis-Jenis Asuransi Jiwa (Lanjutan)

Asuransi Jiwa Berjangka n-Tahun

Asuransi Jiwa Berjangka n-Tahun(n-Year Term Insurance ) • Asuransi berjangka n-tahun dengan memberikan 1 unit pada akhir tahun kematian diperoleh: bk+1 =

1

, k = 0, 1, · · · , n − 1 0, lainnya vk+1 = v k+1

Z =



v K +1 , K = 0, 1, · · · , n − 1 0, lainnya

• Nilai aktuaria untuk asuransi ini diberikan dengan, n−1

1

 ]=

Ax:n = E [Z

k=0

vk+1 k px q x+k


Asuransi Jiwa Berjangka n-Tahun

• Dengan menggunakan penurunan aljabar, rumus rekursi dari nilai sekarang aktuaria dari asuransi berjangka n-tahun adalah: 1 Ax1:n = vq x + vpx Ax+1: n−1

• Selanjutnya, nilai variansi dari asuransi berjangka n-tahun sebagai berikut, var [Z ] = 2 Ax1:n − (Ax1:n )2 dimana,

2 A1

x:n

n−1

 =

k =0

v 2k+1 k px q x+k


Asuransi Jiwa Seumur Hidup

Asuransi Jiwa Seumur Hidup(Whole Life Insurance ) • Asuransi jiwa seumur hidup yang diterbitkan untuk x, model yang akan digunakan pada asuransi ini dapat diperoleh dengan memisalkan n → ∞ dari model asuransi berjangka n-tahun sehingga nilai sekarang aktuaria dari asuransi ini adalah: ∞

Ax

 =

vk+1 k px q x+k

k =0

• selanjutnya rumus rekursi untuk asuransi jiwa seumur hidup dimana n → ∞ yakni, Ax = vq x + vpx Ax+1


Asuransi Jiwa Seumur Hidup

Contoh 4

Jika l x = 100 − x untuk 0 ≤ x ≤ 100 dan jika i = 0,05. Hitunglah A 40:25 ? lx+k − lx+k+1 1 Jawab: k| q x = k px q x+k = = lx 100 − x 1 Sehingga, k| q 40 = 60 Selanjutnya diperoleh, 24

A40:25

 = (1 05) ,

k =0

−(k+1)

1 + v 25 25 p40 60

1 25 35 = a25 + v 60 60 1 7 = (14, 09359) + (0, 295308) 60 12 = 0, 407159


Asuransi Jiwa Dwiguna

Asuransi Jiwa Dwiguna(Endowment Insurance ) Asuransi dwiguna (endowment ) n-tahun dengan jumlah unit pembayaran pada akhir tahun kematian adalah kombinasi dari asuransi ber jangka n-tahun dengan asuransi dwiguna murni ( pure endowment ) ntahun. Fungsinya sebagai berikut: bk+1 = 1, k = 0, 1, · · · , n − 1 vk+1

 = 

vk+1 =

v k+1 , k = 0, 1, 2, · · · , n − 1 vn , k = n, n + 1 , · · · v k+1 , k = 0, 1, 2, · · · , n − 1 vn , k = n, n + 1 , · · ·



Nilai sekarang aktuaria dari asuransi dwiguna diperoleh, n

Ax:n

 =

vk+1 k px q x+k

k =0

dengan menggunakan penurunan secara aljabar, diperoleh rumus rekursi untuk asuransi ini, yakni: n−1

Ax:n

 = k=0

vk+1 k px q x+k + v n n px



Contoh 5

Y adalah nilai sekarang dari variabel random untuk asuransi berjangka 30 tahun dengan anuitas 1 yang dibayarkan setiap tahun oleh (x) selama hidupnya. Diberikan, 1

i = 0, 05

2

30 px = 0, 70 2 A1 = 0, 0694 x:30 Ax1:30 = 0, 1443

3 4

Hitung E [Y 2 ]?



Jawab:

1 − Z Y = , dimana Z adalah nilai sekarang dari variabel random asud ransi dwiguna 30 tahun. E [Y ] = V ar (Y ) =

1 − Ax:30 d

1 d

d

2 1 2 ( A ( A ) − x :30 x:30 2



1 (21)2 = 5, 76700 =

=

1 − Ax1:30 − v30 30 px

2

= 14, 568



Ax1:30 + v 60 30 px − (Ax1:30 + v 30 30 px )

sehingga diperoleh, E [Y 2 ] = var (Y ) + (var [Y ])2 = 218




Asuransi dengan Santunan yang Tak Tetap

Asuransi Jiwa dengan Santunan Meningkat Setiap Tahun • Asuransi jiwa seumur hidup dengan santunan yang meningkat setiap tahun, yang menyediakan santunan sejumlah k+1 unit apabila tertanggung meninggal pada tahun-tahun kematian. Fungsi manfaat dan fungsi diskonto serta variabel random dari nilai sekarang, yaitu: bk+1 = k + 1, k = 0, 1, · · · vk+1 = v k+1 , k = 0, 1, 2, · · · Z = (K + 1)v K +1 , K = 0, 1, · · ·

• Nilai sekarang aktuaria dari asuransi jiwa seumur hidup dengan santunan yang meningkat setiap tahunnya dinotasikan dengan (IA)x .



Asuransi Jiwa dengan Santunan Menurun Setiap Tahun • Asuransi jiwa berjangka n-tahun dengan santunan yang menurun setiap tahun, selama periode n-tahun menyediakan manfaat pada akhir tahun kematian sejumlah n-k dimana k adalah lamanya tertanggung hidup sejak asuransi diterbitkan, dengan fungsi sebagai berikut, bk+1 =



n − k, k = 0, 1, · · · , n − 1 0, k = n, n + 1 , · · ·

vk+1 = v k+1 , k = 0, 1, 2, · · · Z =

n − K )v K +1 , K = 0, 1, · · · , n − 1 0, K = n, n + 1 , · · ·

(



• Nilai sekarang aktuaria untuk asuransi jiwa berjangka n-tahun dengan santunan yang menurun setiap tahun dinotasikan dengan (DA)x1:n , yakni: n−1

1

(DA)x:n

 = ( k =0

n − k )k| Ax

Diskrit

Hubungan Asuransi Kontinu dan Asuransi Diskrit

Pada asuransi yang dibayarkan seketika saat kematian (kontinu) dan asuransi yang dibayarkan pada akhir tahun kematian (diskrit) dapat diperoleh beberapa hubungan dengan cara menganalisis nilai sekarang untuk asuransi jiwa seumur hidup dengan manfaat sebesar 1 unit yang dibayarkan seketika pada saat kematian, yakni: ¯x A

∞

 = 

v t t px µx (t) dt

0

1

=

0

vt t px µx (t) dt +

∞

 1

vt t px µx (t) dt

Diskrit

Bentuk diatas dapat dirubah menjadi: 1

=



¯x+1 v t t px µx (t) dt + vpx A

0

Dengan asumsi uniform t px µx (t) = q x dan definisi asuransi berjangka, maka persamaannya menjadi: i ¯ ¯x+1 Ax = vq x + vpx A δ

Selanjutnya nilai sekarang aktuaria pada asuransi seumur hidup diskrit

i jika dikalikan dengan ,diperoleh: δ

i i Ax = vq x + vpx δ δ



i Ax+1 δ



Diskrit

dari dua persamaan diatas dapat dilihat hubungan antara asuransi yang dibayarkan seketika saat kematian(kontinu) dengan asuransi yang dibayarkan pada akhit tahun kematian adalah: i ¯ Ax = Ax δ

Diskrit

Contoh 6

Diberikan, 1

Kematian terdistribusi secara merata

2

i = 0, 05

3

q 35 = 0, 01

4

¯36 = 0, 185 A

Hitunglah A35 ? Jawab:

Hitung terlebih dahulu:

e−δ

1 = , Sehingga 1 + i δ = e

=e

1 ln( 1+ ) i

ln( 1,105 )

= 0, 4879

Diskrit

i δ ¯ ¯ Ax = A36 =⇒ A36 = Ax . δ i Sehingga, 0, 4879 A36 = (0, 185) = 0, 180523 0, 05

Selanjutnya dapat dihitung, A36 = vq 35 + vp35 A36

1 1 = (0, 01) + (1 − 0, 01)(0, 180523) 1, 05 1, 05 = 0, 179

Asuransi Jiwa

Recommend Documents